Kapitel 4 Nutzenmaximierung · es unmöglich zu sagen, ob es Person 1 besser geht als Person 2. ......

Kapitel 4

Nutzenmaximierung

Vor- und Nachbereitung:● Varian, Chapters 4 und 5 (mit Appendix)● Frank, Chapter 3 (mit Appendix)● Übungsblatt 4

© Klaus M. Schmidt, 2008

Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 2009) 2

4.1 Die Nutzenfunktion

Indifferenzkurven sind sehr anschaulich, aber relativ unhandlich. Eine alternative Darstellung der Präferenzen des Konsumenten ist die sog. Nutzenfunktion.

Verschiedenen Güterbündeln werden Nutzenwerte zugeordnet, und zwar so, dass bevorzugte Güterbündel einen höheren Nutzenwert erhalten als weniger erwünschte:

Eine Nutzenfunktion ordnet Güterbündel entsprechend den Präferenzen des Konsumenten. Die absoluten Nutzenwerte selbst haben keine Bedeutung.

© Klaus M. Schmidt, 2008

),(),(),(),( 21212121 yyuxxuyyxx ≥⇔≥


-100000.0021C

-2102B

-1173A

u3u2u1Bündel

Abb. 4.1: Ordinaler Nutzen

Jede der drei Nutzenfunktionen u1, u2 und u3 ordnet die Güterbündel A, B und C in derselben Reihenfolge und repräsentiert darum dieselbe Präferenzordnung.


Bemerkungen:● Da eine Nutzenfunktion keine kardinale Bedeutung hat, ist es

sinnlos zu sagen: „Gut A stiftet mir doppelt so viel Nutzen wie Gut B‚“, oder: „Mein Nutzenzuwachs aus dem Konsum einer zusätzlichen Tafel Schokolade ist nur halb so groß wie der aus dem Konsum einer zusätzlichen Orange“. Die Nutzenfunktion beschreibt lediglich die Rangfolge von Güterbündeln (ordinalesKonzept).

● Der Nutzen ist auch nicht interpersonell vergleichbar. Auch wenn wir die Nutzenfunktion verschiedener Individuen kennen, istes unmöglich zu sagen, ob es Person 1 besser geht als Person 2.

4.1.1 Die Konstruktion einer Nutzenfunktion

Angenommen, man kennt die Indifferenzkurvenschar des Konsumenten. Wie kann man daraus seine Nutzenfunktion ableiten?


Abb. 4.2: Konstruktion einer Nutzenfunktion

Eine Möglichkeit bei monotonen Präferenzen: Zeichnen Sie die 45o-Linie durch den Ursprung. Bei monotonen Präferenzen muss sie jede Indifferenzkurve genau einmal schneiden. Der Nutzen kann gemessen werden als Abstand der Indifferenzkurve vom Ursprung.

2x

1x


4.1.2 Existenz und Eindeutigkeit der NutzenfunktionAngenommen, wir haben einen Konsumenten mit irgendwelchen gegebenen Präferenzen. Können wir sicher sein, dass eine Nutzenfunktion existiert, die die Präferenzen dieses Konsumenten beschreibt?

Wenn das nicht der Fall wäre, dann wäre das Konzept der Nutzenfunktion nicht viel wert, weil es eben nur zur Beschreibung von manchen, aber nicht von allen Präferenzen genutzt werden könnte.

Darum ist der folgende Satz wichtig:

Satz 4.1 [Existenz einer Nutzenfunktion]:Wenn eine Präferenzordnung vollständig, transitiv und streng monoton ist (und zusätzlich eine schwache technische Annahme erfüllt ist), dann existiert eine Nutzenfunktion, die diese Präferenzen repräsentiert.


Bemerkungen:● Zwar existiert für (fast) jede Präferenzordnung eine Nutzenfunktion, aber

sie ist nicht eindeutig: Wenn ich eine gegebene Präferenzordnung habe, dann gibt es viele verschiedene Nutzenfunktionen, die diese Präferenzordnung beschreiben (vgl. Abb. 4.1).

● Aber: Jede dieser Nutzenfunktionen enthält exakt dieselbe Information und führt zu denselben Entscheidungen des Konsumenten.

4.1.3 Beispiele von NutzenfunktionenWenn man eine Nutzenfunktion gegeben hat, ist es in der Regel leicht, die zugehörigen Indifferenzkurven zu finden: Zeichne einfach die Menge aller Punkte, für die u(x1,x2) konstant ist.

Beispiel:

Auf einer Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant:

=> Indifferenzkurve hat die Form:

1 2 1 2( , )u x x x x= ⋅

1 2x x k⋅ =

21

kx x=


Abb. 4.3: Indifferenzkurve für 1 2 1 2( , )u x x x x= ⋅

2x

1x


Wie sieht eine Nutzenfunktion für gegebene Indifferenzkurven aus?

Perfekte Substitute => lineare Indifferenzkurven

Eine naheliegende Nutzenfunktion, die diese Indifferenzkurven repräsentiert, ist

Perfekte Komplemente => rechtwinklige Indifferenzkurven:

Konsument will die beiden Güter immer in einem bestimmten Verhältnis konsumieren. Wenn die Menge von Gut 1 steigt, während die von Gut 2 unverändert bleibt, ändert sich sein Nutzen nicht.

Eine naheliegende Nutzenfunktion:

2 1x A B x= − ⋅

1 2 1 2( , )u x x a x b x= ⋅ + ⋅

{ }1 2 1 2( , ) min ,u x x a x b x= ⋅ ⋅


Abb. 4.4: Quasilineare Präferenzen

Quasilineare Präferenzen => Indifferenzkurven des Konsumenten sind vertikal versetzt

2x

1x

Indifferenzkurven können beschrieben werden durch:

2 1( )x k v x= −


Nutzenfunktion, die diese Indifferenzkurven generiert:

mit v' > 0, v'' < 0. Diese Funktion ist linear in x2, aber nicht linear in x1 , darum die Bezeichnung “quasi”-lineare Nutzenfunktion.

Diese Nutzenfunktionen haben die Eigenschaft, dass die Grenzrate der Substitution nur von x1 aber nicht von x2 abhängt. Das ist besonders plausibel, wenn Gut 2 für die “Ausgaben für alle übrigen Güter” steht und für Gut 1 nur ein kleiner Teil des Budgets ausgegeben wird.

Cobb-Douglas Nutzenfunktionen

Die folgende Nutzenfunktion ist eine recht flexible und leicht zu handhabende Funktion, die monotone, streng konvexe Präferenzen generiert:

wobei A, a, b > 0. Wir werden die Eigenschaften dieser Nutzenfunktion in vielen Anwendungsbeispielen näher kennenlernen.

1 2 1 2( , ) ( )u x x v x x= +

1 2 1 2( , ) a bu x x A x x= ⋅ ⋅


4.2 Exkurs: Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Sie kennen aus der Schulmathematik Funktionen mit einer unabhängigen Variablen: ● Sei x eine reelle Zahl. Dann ordnet die Funktion f(x) jedem Wert x

einen Funktionswert y = f(x) zu. ● Man sagt gelegentlich auch:

Das bedeutet, die Funktion f hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W. Jedem Element des Definitionsbereichs wird durch die Funktion f genau ein Element des Wertebereichs zugeordnet.

Allgemeines Konstrukt: Korrespondenz (z.B. Ellipse)

:f D W→


Beispiele: Sei die Menge der reellen Zahlen und die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen

Sie kennen auch die Ableitungen solcher Funktionen: ● Die erste Ableitung gibt die Steigung der Funktion an einer Stelle x

an. ● Die zweite Ableitung gibt an, wie sich die Steigung der Funktion an

der Stelle x verändert.

2: mit ( ): mit ( )

: mit ( )

x

f f x xf f x e

f f x x

+

+

+ +

→ =→ =

→ =

R RR R

R R

+RR


Schließlich wissen Sie, dass eine Funktion an der Stelle ein (lokales) Maximum annimmt, wenn: ● die erste Ableitung an der Stelle gleich 0 ist und ● die zweite Ableitung an der Stelle kleiner als 0 ist.

Wenn die zweite Ableitung der Funktion für alle Werte von x kleiner als 0 ist, muss es sich um ein globales Maximum handeln, sonst kann es auch nur ein lokales Maximum sein.

Für die Nutzentheorie benötigen wir Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen: Die Nutzenfunktion

gibt an, wie hoch der Nutzen eines Konsumenten ist, wenn er x1Einheiten von Gut 1, x2 Einheiten von Gut 2, etc. und xn Einheiten von Gut n konsumiert.

1 2( , ,..., )nu x x x


Normalerweise betrachten wir nur den Zwei-Güterfall.

Beispiele:

Beachten Sie:● Der Definitionsbereich einer Nutzenfunktion ist im Zwei-Güterfall

die Menge aller Vektoren (x1,x2), wobei x1 und x2 nicht negativ werden dürfen. Man sagt auch:

● Der Wertebereich einer Nutzenfunktion ist dagegen einfach wiederdie Menge der reellen Zahlen, also , wobei auch negative Nutzenwerte zugelassen sind.

1 2 1 2

1 2 1 21

1 2 1 2

( , ) 3( , ) 4( , ) a a

u x x x xu x x x xu x x x x −

= +== ⋅

2D += R

W = R


Im Zwei-Güter-Fall kann man sich die Nutzenfunktion als Nutzengebirge vorstellen:

Abb. 4.5: Ein Nutzengebirge


Durch das Nutzengebirge lassen sich verschiedene Schnitte legen:● Wenn Sie einen waagerechten Schnitt durch das Nutzengebirge

machen, erhalten Sie eine Höhenlinie. Diese Höhenlinie gibt Ihnen alle (x1,x2)-Kombinationen an, die zur selben Nutzenhöhe führen. Eine solche Höhenlinie ist also nichts anderes als eine Indifferenzkurve!

● Wenn Sie einen senkrechten Schnitt durch das Nutzengebirge parallel zur x1-Achse für irgendeinen festen Wert von x2 machen, dann bekommen Sie eine Funktion im u-x1-Diagramm, die nur noch von x1 abhängt. Diese Funktion gibt an, wie sich der Nutzen des Konsumenten verändert, wenn die Menge von Gut 1 variiert, während die Menge von Gut 2 konstant gehalten wird.

● Analog: Wenn Sie einen senkrechten Schnitt durch das Nutzengebirge parallel zur x2-Achse für irgendeinen festen Wert von x1 machen, dann bekommen Sie eine Funktion im u-x2-Diagramm, die nur noch von x2 abhängt. Diese Funktion gibt an, wie sich der Nutzen des Konsumenten verändert, wenn die Menge von Gut 2 variiert, während die Menge von Gut 1 konstant gehalten wird.


Auch eine Funktion mit mehreren Variablen kann man differenzieren. In dieser Vorlesung benötigen wir nur die partiellen Ableitungen einer solchen Funktion.

Bei einer partiellen Ableitung hält man eine Variable (z.B. x2) konstant, und fragt, wie sich der Funktionswert verändert, wenn sich nur x1verändert.

Graphisch kann man sich das mit dem Schnitt durch das Nutzengebirge parallel zur x1-Achse veranschaulichen. Hier wird x2 konstant gehalten und nur x1 variiert. Die erste partielle Ableitung nach x1 gibt also an, wie steil das Nutzengebirge ansteigt, wenn wir uns an der Stelle x2 parallel zur x1-Achse bewegen.

Wie man partielle Ableitungen bildet, wissen Sie schon: ● Wenn Sie partiell nach x1 differenzieren wollen, betrachten Sie

einfach x2 als eine Konstante und leiten die Funktion nach x1 ab, genauso, wie Sie das in der Schule gelernt haben.

● Wenn Sie partiell nach x2 differenzieren wollen, betrachten Sie x1 als eine Konstante und leiten die Funktion nach x2 ab.


Beispiele:

Beachten Sie: Das Zeichen steht für “partielle Ableitung”. Man schreibt also , wenn man die Funktion f(x1, ..., xn) partiell nach xiableitet.

Wenn die Funktion f nur von einer Variablen abhängt, dann sind die partielle Ableitung und die totale Ableitung immer identisch und es gilt:

1 2 1 2

1

2

( , ) 3 ,u x x x xuxux

= +∂

=∂∂

=∂

11 2 1 2

1

2

( , ) ,a au x x x xuxux

−= ⋅∂

=∂∂

=∂

1 2 1 2

1

2

( , ) 4 lnu x x x xuxux

= ⋅∂

=∂∂

=∂

∂if x∂ ∂

( )df x dx f x= ∂ ∂


4.3 Grenznutzen und Grenzrate der Substitution

Der Grenznutzen des Gutes 1 ist der zusätzliche Nutzen, den der Konsument aus einer zusätzlichen kleinen Menge erhält, bezogen auf diese zusätzliche Menge, d.h.:

Also beträgt die absolute Nutzenänderung aus der zusätzlichen Menge :

Wenn wir eine marginale Veränderung der Menge x1 betrachten dann ist der Grenznutzen einfach die partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach x1:

1 1 2 1 21

1 1

( , ) ( , )u x x x u x xuGNx x

+ Δ −Δ= =Δ Δ

1xΔ1 1u GN xΔ = Δ

1( 0),xΔ →

1 21

1

( , )u x xGNx

∂=

∂


Wir können den Grenznutzen verwenden, um die Grenzrate der Substitution an einer beliebigen Stelle (x1,x2) zu bestimmen:

Betrachte eine kleine Variation von x1 und x2 entlang der Indifferenzkurve durch (x1,x2). Für diese muss gelten:

Daraus folgt (vgl. Kap. 3.2.4):

Wenn die Nutzenfunktion differenzierbar ist, können wir also schreiben:

1 2

2 1

GN x GRSGN x

Δ− = =

Δ

1 1 2 2 0GN x GN x u⋅Δ + ⋅Δ = Δ =

1 2 1

1 2 2

( , )( , )

u x x xGRSu x x x∂ ∂

= −∂ ∂


4.4 Nutzenmaximierung

Der große Vorzug von Nutzenfunktionen besteht darin, dass wir die optimale Entscheidung des Konsumenten leicht ausrechnen können.

Im Folgenden gehen wir immer davon aus, dass der Konsument streng monotone Präferenzen hat und dass es eine innere Lösung für sein Nutzenmaximierungsproblem gibt.

Nutzenmaximierungsproblem:

unter der Nebenbedingung

Beachten Sie: Wenn die Präferenzen des Konsumenten streng monoton sind, muss das optimale Konsumgüterbündel auf der Budgetgeraden liegen.

1 21 2,

max ( , )x x

u x x

1 1 2 2p x p x m⋅ + ⋅ =


Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Sie das Nutzenmaximierungsproblem lösen können:

1. Substitutionsverfahren

2. Lagrange-Verfahren

Das Substitutionsverfahren kennen Sie aus der Schule: Sie lösen die Nebenbedingung nach x2 auf und setzen diesen Ausdruck für x2 in der Zielfunktion ein. Jetzt haben Sie ein gewöhnliches Maximierungs-problem ohne Nebenbedingung mit nur einer Unbekannten, das Sie wie gewohnt lösen können.

Das Lagrange-Verfahren ist bei etwas komplizierteren Problemen sehr viel leichter zu handhaben und hat darüber hinaus den Vorteil, dass es eine interessante ökonomische Interpretation der Lösung erlaubt.


Das Lagrange-Verfahren

1. Aufstellen der Lagrange-Funktion:

Die Lagrange-Funktion ist also einfach die ursprüngliche Zielfunktion abzüglich eines Produkts. Dieses Produkt setzt sich zusammen aus ● dem sog. Lagrange Parameter (sprich: Lambda) und ● der ursprünglichen Nebenbedingung, die so aufgelöst wurde, dass

alle Terme auf der linken Seite stehen.

Beachten Sie: Wenn die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt ist, muss der zweite Term dieses Produkts gleich 0 sein.

( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , ( , )L x x u x x p x p x mλ λ= − ⋅ + −

λ


2. Partielle Ableitungen bilden und gleich 0 setzen:

3. Gleichungssystem nach x1, x2, und λ auflösen

4. Eigentlich müssten Sie jetzt noch mit den Bedingungen zweiter Ordnung überprüfen, ob Sie auch tatsächlich ein globales Maximum (und kein lokales Maximum oder gar ein Minimum) gefunden haben. Im Rahmen dieser Vorlesung lassen wir diesen Schritt weg.

1 21

1 1

1 22

2 2

1 1 2 2

( , ) 0

( , ) 0

0

u x xL px x

u x xL px xL p x p x m

λ

λ

λ

∂∂= − =

∂ ∂∂∂

= − =∂ ∂∂

= − − + =∂


Ökonomische Interpretation des Ergebnisses:● Aus den beiden ersten Gleichungen folgt sofort, dass

Das ist die Bedingung, dass im Nutzenmaximum der Betrag der Grenzrate der Substitution gleich dem Preisverhältnis sein muss.

● Der Lagrange-Parameter λ, den Sie berechnen müssen, gibt an, um wie viel sich der Wert der Zielfunktion erhöht, wenn die Nebenbedingung um eine marginale Einheit gelockert wird. Hier bedeutet das: Um wie viele Nutzeneinheiten steigt der Nutzen des Konsumenten, wenn sein Budget um eine Geldeinheit größer wird.

1 2

1 1

1 2 2

2

( , )

( , )

u x xx p

u x x px

∂∂

=∂

∂


Beispiel: Cobb-Douglas Nutzenfunktion

Nutzenmaximierungsproblem:

unter der Nebenbedingung

Lagrange-Ansatz:

1 21 2,

max ( , )x x

u x x

1 2 1 2( , ) a bu x x Ax x=

1 1 2 2p x p x m⋅ + ⋅ =

( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , a bL x x Ax x p x p x mλ λ= − ⋅ + −


Partiell ableiten:

Daraus folgt:

11 2 1

1

11 2 2

2

1 1 2 2

0

0

0

a b

a b

L Aax x pxL Abx x pxL p x p x m

λ

λ

λ

−

−

∂= − =

∂∂

= − =∂∂

= − − + =∂

11 2 1

11 2 2

1 1 2 2

a b

a b

Aax x pAbx x pp x p x m

λλ

−

−

==

+ =


Wenn wir bei den ersten beiden Bedingungen durcheinander teilen,erhalten wir

d.h., der Betrag der Grenzrate der Substitution ist gleich dem Preisverhältnis. Auflösen nach x2 ergibt:

Wenn wir diesen Ausdruck in die dritte Bedingung (die ursprüngliche Nebenbedingung) einsetzen erhalten wir:

2 1

1 2

ax pbx p

=

1 12

2

bp xxap

=

1 11 1 2

2

bp xp x p map

+ =


Auflösen nach x1 ergibt:

Einsetzen in den Ausdruck für x2 ergibt:

*1

1

a mxa b p

=+

*2

2

b mxa b p

=+


Beachten Sie:

1. Die nachgefragte Menge von Gut 1 hängt nur von p1 und m, nicht aber von p2 ab

2. Die nachgefragte Menge von Gut 2 hängt nur von p2 und m, nicht aber von p1 ab

3. Der Konsument gibt einen konstanten Anteil seines Einkommens für Gut 1 (bzw. Gut 2) aus, d.h.,

Das sind wichtige Eigenschaften der Cobb-Douglas Nutzenfunktion, die Sie sich merken sollten.

Übungsaufgabe: Lösen Sie dieses Problem mit dem Substitutionsverfahren. Das ist etwas umständlicher, aber Sie sollten in der Lage sein, dasselbe Ergebnis herauszubekommen.

* *1 1 2 2 und a bp x m p x m

a b a b= =

+ +

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