Kapitel 4.2: O entliche G uter - TU Dortmund · Kapitel 4.2: O entliche G uter 1 Dr. J org Franke...

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Kapitel 4.2: ¨ Offentliche G¨ uter 1 Dr. J¨ org Franke Technische Universit¨ at Dortmund Sommersemester 2010 1 Diese Folien dienen der Erg¨ anzung des Vorlesungsstoffes im Rahmen der Vor- und Nachbereitung. Sie stellen kein Skript dar; es wird keine Gew¨ ahr f¨ ur Richtigkeit und/oder Vollst¨ andigkeit ¨ ubernommen.

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  • Kapitel 4.2:

    Öffentliche Güter1

    Dr. Jörg Franke

    Technische Universität Dortmund

    Sommersemester 2010

    1Diese Folien dienen der Ergänzung des Vorlesungsstoffes im Rahmen der Vor-und Nachbereitung. Sie stellen kein Skript dar; es wird keine Gewähr für Richtigkeitund/oder Vollständigkeit übernommen.

  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    2. Bereitstellung im Markt

    Verfahren:

    ▸ Konsument i finanziert Anteil yi am öffentliches Gutdurch freiwilligen Konsumverzicht des privaten Gutes

    ▸ Summe individueller Anteile zur Produktion desöffentlichen Gutes benutzt: y = ∑

    ni=1 yi .

    Aus der Perspektive von Konsument i :

    maxxi ,yi

    vi(y) + xi

    NB: xi + yi = x̄i

    y = ∑ni=1 yi

    ⇒ maxyi

    vi(yi +∑j≠i yj) + x̄i − yi

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Lösung des Nutzenmaximierungsproblems:

    Nutzenmaximierender Anteil ȳi erfüllt B.1.O.:

    v ′i (ȳi +∑j≠i

    yj) = 1

    Im Allgemeinen: Konsument i setzt Beitrag ȳi so daß

    GRSi ∣xy = GRTS ∣xy

    Wie reagiert Konsument j ≠ i? 3 Fälle:1. v ′j (ȳi + yj +∑k≠i ,j yk) = 1: Konsument j belässt yj

    unverändert.2. v ′j (ȳi + yj +∑k≠i ,j yk) < 1: Konsument j reduziert yj auf ȳj

    bis entweder: ȳj = 0 oder v ′j (ȳi + ȳj +∑k≠i ,j yk) = 1.3. v ′j (ȳi + yj +∑k≠i ,j yk) > 1: Konsument j erhöht yj auf ȳj

    solange bis v ′j (ȳi + ȳj +∑k≠i ,j yk) = 1.Konsument i wird seinen Anteil ebenfalls auf ỹi anpassen...

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Ende des Anpassungsprozesses: Gesamtmenge ŷ desöffentlichen Gutes charakterisiert durch:

    i. v ′i (ŷ) = 1 für mindestens ein i = 1, . . . , n.ii. v ′i (ŷ) ≤ 1 für alle i = 1, . . . , n.iii. v ′i (ŷ) > 0 für alle i = 1, . . . , n.iv. Für alle i mit v ′i (ŷ) = 1 gilt: ŷ = ∑i ŷi .v. Für alle j mit v ′j (ŷ) < 1 gilt: ŷj = 0.

    Beispiel:

    y

    vi(y)

    v1(y)

    v2(y)

    v3(y)

    ŷ = ŷ3 3 / 27

  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Summation über alle i = 1, . . . , n ergibt:n

    ∑i=1

    v ′i (ŷ) > 1

    Vergleich mit pareto-optimaler Bereitstellung y∗,charakterisiert durch Samuelson’sche Optimalitätsbedingung:

    n

    ∑i=1

    v ′i (y∗) = 1

    Fazit: Unterproduktion des öffentlichen Gutes: ŷ < y∗.

    y

    v ′i (y)

    v ′3(y)

    ∑ni=1 v ′i (y)1

    y∗ŷ4 / 27

  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Satz

    Die im Markt (in dezentraler Privatinitiative) bereitgestellteMenge des öffentlichen Gutes ist suboptimal, es kommt zuUnterproduktion des öffentlichen Gutes.

    Grund: Free rider- bzw. Freifahrerverhalten

    ▸ Ein (wenige) Marktteilnehmer produziert öffentliches Gut,d.h. verzichtet freiwillig auf privaten Konsum.

    ▸ Alle anderen Marktteilnehmer profitieren vonBereitstellung des öffentlichen Gutes, ohne auf privatenKonsum zu verzichten.

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Auswertung Exerperiment 3

    Despriktive Statistik:

    ▸ 25 Teilnehmer

    ▸ Studiengänge: 52% WiWi, 20% WiMa, 8% Nat, 20%Sonst.

    ▸ Geschlecht: 56% weiblich, 44% männlich.

    ▸ Augenfarbe: 25% Blau, 54% braun, 21% grün.

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Theoretische Analyse:

    ▸ Induzierte Nutzenfunktion quasi-linear:

    ui(xi , yi) =180

    25

    ¿ÁÁÀ

    25

    ∑j=1

    yj + 1, 5xi = 7, 2

    ¿ÁÁÀ

    25

    ∑j=1

    yj + 1, 5xi

    ▸ Budgetrestriktion: xi + yi = 100

    Einsetzen der Restriktion ergibt:

    ui(yi) = 7, 2

    ¿ÁÁÀ

    25

    ∑j=1

    yj + 150 − 1, 5yi

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    1. Herleitung der effizienten Allokation:

    Definition: Aggregierter Surplus (AS):

    AS(y) =25

    ∑i=1

    180

    25

    ¿ÁÁÀ

    25

    ∑j=1

    yj − 1, 5yi⎞

    ⎠= 180

    √y − 1, 5y

    Pareto-optimale Menge des öffentlichen Gutes:

    maxy

    AS(y) = 180√

    y − 1, 5y

    NB: y = ∑25i=1 yi ≤ 25 ∗ 100 = 2500

    B.1.O.: 90√y − 1, 5 = 0 für y ≤ 2500

    ▸ Optimale Menge des öffentlichen Gutes: y∗ = 2500.▸ Teilnehmer i sollte gesamtes Anfangsvermögen in Y

    investieren: y∗i = 100.8 / 27

  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    2. Herleitung der Marktallokation:

    Marktteilnehmer i investiert als Nutzenmaximierer:

    maxyi

    7, 2

    ¿ÁÁÀ

    25

    ∑j=1

    yj + 150 − 1, 5yi

    B.1.O.:3, 6√

    y− 1, 5 = 0

    ▸ Nutzenmaximierende Menge des öffentlichen Gutes:ŷ = 5,76.

    ▸ Individueller nutzenmaximierende Beitrag:ŷi = max{5,76 −∑j≠i yj,0}.

    ▸ Unter Annahme symmetrischen Verhaltens: ŷi = 0,23

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Theoretische Vorhersagen:

    ▸ Suboptimale Bereitstellung des öffentl. Gutes im Markt:ŷ = 5, 76 < y∗ = 2500.

    ▸ Freifahrerverhalten der Individuen: ŷi = 0, 23 < y∗i = 100.▸ Grad des Freifahrerverhaltens ausgedrückt durch

    Freifahrer-Index yi ,i.e. realisiertes Investment von i inY :

    ▸ extremes Freifahrerverhalten: yi = 0, 23▸ kein Freifahrerverhalten: yi = 100

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Auswertung 1:▸ Durchschnittlicher Freifahrer-Index: ȳi = 46.64▸ Signifikant unterschieden von y∗i = 100 und ŷi = 0, 23

    Histogramm: Freifahrer-Index

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Y

    Häu

    figke

    it

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Auswertung 2: Studiengänge

    Studiengang Mittelwert Standard-Abweichung

    WiWi 40 9,61

    WiMa 53,2 18,50

    Nat 50 30

    Sonst 56 20,40

    Resultat 2:

    ▸ Freifahrer-Index für WiWi-Studierende am geringsten.

    ▸ Paarweise Unterschiede jedoch statistisch nichtsignifikant.

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Auswertung 3: Geschlecht

    Geschlecht Mittelwert Standard-Abweichung

    W 57,21 9,83

    M 33,18 10,22

    Differenz 24,03 14,33

    Resultat 3:

    ▸ Freifahrer-Index für männliche geringer als für weiblicheTeilnehmer.

    ▸ Differenz signifikant auf 6 Prozent Signifikanzniveau(einseitiger t-test).

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Auswertung 4: Augenfarbe (genetische Disposition)

    Augenfarbe Mittelwert Standard-Abweichung

    Blau 38 10,86

    Braun 57,77 11,28

    Grün 41 20,15

    Resultat 4:

    ▸ Freifahrer-Index für blau-äugige am geringsten.

    ▸ Paarweise Unterschiede nicht signifikant.

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Zusammenfassung Experiment 3▸ Pareto-effiziente Allokation nicht freiwillig bzw. dezentral

    realisierbar.▸ Freifahrerverhalten experimentell beobachtbar:

    ▸ Experimentelles Verhalten signifikant unterschieden vonpurem eigennutzbasierten Vorhersagen.

    ▸ Experimentelles Verhalten signifikant unterschieden vonpareto-effizientem Verhalten.

    ▸ Signifikante Geschlechtsunterschiede: Freifahrerverhaltendeutlich geringer bei weiblichen Teilnehmern.

    ▸ Resultate aus Marwell and Ames (1981)”Economists free

    ride, does anyone else?“, Journal of Public Economics,weitgehend bestätigt:

    ȳi ∈ (40, 60)

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Öffentliche Bereitstellung des Öffentlichen Gutes

    ▸ Private dezentrale Bereitstellung nicht effizient:Unterproduktion.

    ▸ Ausweg: Staat stellt öffentliches Gut y zentralisiert bereit.

    ▸ Kostendeckung durch anteilige Steuern unter Berücksich-tigung des jeweiligem individuellen Nutzens aus demKonsum des öffentlichen Gutes:

    ▸ Fairnessgründe,▸ Im Wettbewerbsmarkt ist Nutzen aus privaten Gütern

    ebenfalls mit zu zahlenden Preisen verknüpft.

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Intuition

    ▸ Preis für öffentliches Gut y (als entgangener privaterKonsum) zu hoch.

    ▸ Anteilige Subventionierung des Konsums von y (effektivePreissenkung), so dass Ausbringungsmenge steigt.

    ▸ Jeder Marktteilnehmer konsumiert y : Steuererhebung aufKonsum aller Marktteilnehmer.

    ▸ Besteuerung des jeweiligen Marktteilnehmer anteiligabgestimmt:

    ▸ Anteil von i an Kosten aus Produktion von y: ti .▸ Produktion von y : Steuerschuld des i : tiy .▸ Staatliche Bereitstellung durchführbar bei

    Kostendeckung: ∑ni=1 ti = 1.

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Frage: Existieren Steuern ti , so dass Konsumenten diepareto-effiziente Ausbringungsmenge des öffentlichen Gutesnachfragen?▸ Staat kennt Nutzenfunktionen (u1(y , x1) . . . un(y , xn))▸ Basierend auf Information wird fiktives optimales y∗

    bestimmt über Samuelson’sche Bedingung:

    n

    ∑i=1

    v ′i (y∗) = 1.

    ▸ Implementierter Steuerersatz: ti = v ′i (y∗)

    ▸ Falls tatsächlich y∗ nachgefragt würde, wärekostendeckende staatliche Bereitstellung möglich:

    n

    ∑i=1

    ti =n

    ∑i=1

    v ′i (y∗) = 1.

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Frage: Welche Menge y wird Konsument i bei Steuersatzti = v ′i (y

    ∗) nachfragen?

    maxxi ,y

    vi(y) + xi

    NB: xi + tiy = x̄i

    ⇒ maxy

    vi(y) + x̄i − tiy

    Nutzenmaximum charakterisiert durch B.1.O.: v′i(y) = ti

    Für ti = v ′i (y∗) gilt daher:

    v ′i (y) = ti = v′i (y

    ∗) ⇒ y = y∗

    Fazit: Alle Konsumenten i = 1 . . . n fragen pareto-optimaleMenge des öffentlichen Gutes nach!

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Definition (Lindahl Gleichgewicht)

    System von personalisierten Steuern (Preisen) (t1 . . . tn, y∗)heisst Lindahl Gleichgewicht, wenn:

    ▸ Konsument i , gegeben personalisierte Steuer ti , gerade y∗

    nachfragt.

    ▸ Ausbringungsmenge y∗ durch Steuereinnahmenkostendeckend bereitgestellt werden kann:

    n

    ∑i=1

    tiy∗ = y∗

    Satz

    Die Ausbringungsmenge des öffentlichen Gutes in einemLindahl-Gleichgewicht ist pareto-optimal!

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Intuition

    Im Lindahl-Gleichgewicht gelten für jedes Individuumindividuelle Preise für den Konsum des öffentlichen Gutes:

    ▸ Private Bereitstellung des öffentlichen Gutes: v ′i (ȳ) = 1

    ▸ Im Lindahl-Gleichgewicht: ti = v ′i (y∗) < v ′i (ȳ) = 1, da

    ∑ni=1 ti = ∑

    ni=1 v

    ′i (y

    ∗) = 1. Daraus folgt:▸ Unterproduktion wird reduziert: y∗ > ȳ .▸ Unterproduktion wird vollständig reduziert: y∗ erfüllt

    Samuelson’sche Bedingung und ist daher pareto-optimal.

    ▸ Höhere Wertschätzung impliziert höhere Steuerbeiträge:

    v ′i (y∗) > v ′j (y

    ∗)⇒ ti > tj .

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Praktische Relevanz des Lindahl-Gleichgewichts:

    ▸ Eher gering wegen hoher Informationsanforderung: Staatinformiert über Nutzenfunktionen der Konsumenten.

    ▸ Konsumenten haben Anreiz jeweilige Nutzenfunktionnicht wahrheitsgemäß zu offenbaren, da Preisfestlegungvon individueller Antwort abhängt: Anreizproblem.

    ▸ In anderen Worten: Lindahl-Preise für dasselbe öffentlicheGut sind für unterschiedliche Konsumenten verschieden:Wer zahlt freiwillig höhere Preise für dasselbe Gut?

    ▸ Identische Preise für öffentliches Gut können daher perDefinition nicht zu effizienter Bereitstellung führen.

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    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Alternative Entscheidungsmechanismen:Abstimmungsverfahren

    ▸ realistischer und praktikabler als Lindahl-Preisfestlegung.

    ▸ Nachteil: Abweichung von pareto-optimaler Bereitstellung.

    Beispiel: Gemeinsame Festlegung der Raumtemperatur

    ▸ Fiktive Modellannahme: Funktionierende und exaktregelbare Klimaanlage.

    ▸ Finanziert durch n Benutzer: Jeder zahlt gleichenKostenanteil von 1/n.

    ▸ Bei gegebener Kostenverteilung hat jeder Nutzer iWunschtemperatur yi .

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    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Fortsetzung und Spezifikation des Beispiels:

    ▸ n = 11 Teilnehmer mit folgenden Wunschtemperaturen:

    (y1 . . . yi . . . y11) = (16; 16, 5; 17; . . . ; 21)

    ▸ Entscheidung durch Mehrheitswahl

    ▸”Gleichgewicht“: Alternative, die bei paarweisen

    Abstimmungen gegen jede andere gewinnt.▸ Wähler i hat bei jeder Abstimmung genau eine Stimme:

    ▸ Erfolgt Abstimmung über yi , so wählt i seineWunschtemperatur yi .

    ▸ Wird über (yj , yk) mit j , k ≠ i abgestimmt, präferiert idie der Wunschtemperatur yi ”

    nähere“ Alternative:

    minx∈{j ,k}

    ∣yx − yi ∣ .

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Frage: Existiert eine Alternative, die bei (allen möglichen)paarweisen Abstimmungen immer gewinnt?

    Theorem (Medianwähler-Resultat)

    Die bevorzugte Alternative des”Medianwählers“ gewinnt alle

    paarweisen Abstimmungen.

    Wer ist der”Medianwähler“ im Beispiel?

    Betrachte i = 6 mit y6 = 18, 5:

    ▸ Genau 5 Wähler bevorzugen kältere Raumtemperatur.

    ▸ Genau 5 Wähler bevorzugen wärmere Raumtemperatur.

    ▸ Wähler i = 6 bildet den Median der Reihung der Wählerentsprechend ihrer präferierten Temperatur.

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  • Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Implikation: Wähler i = 6 müsste mit y6 = 18, 5 jedepaarweise Abstimmung gewinnen.

    Test:

    ▸ y6 = 18, 5 vs. y9 = 20: Für Wähler i = 1 . . . 5 gilt y6 − yi < y9 − yi .Damit erhält Alternative y6 bereits mindestens 6 Stimmen unddamit die Mehrheit.

    ▸ y6 = 18, 5 vs. y5 = 18: Für Wähler i = 7 . . . 11 gilt yi − y6 < yi − y5.Damit erhält Alternative y6 wiederum mindestens 6 Stimmen unddamit die Mehrheit.

    ▸ Generell gilt: Für jede Abstimmung yi vs. y6 werden mindestens 6Wähler für y6 stimmen, d.h. Alternative y6 gewinnt alle paarweisenAbstimmungen.

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    MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

    Paarweise Abstimmungsregel

    Vorteile: einfach verständlich, praktikabel, führt immer zu Ergebnis.

    Nachteile:

    (i) Durchführung zahlreicher Abstimmungen notwendig.

    (ii) Ergebnis im Allgemeinen nicht pareto-effizient.Spezialfall: Sei v ′6(y6) =

    111 ∑

    11i=1 v

    ′i (y6), dann gilt:

    11v ′6(y6) =11

    ∑i=1

    v ′i (y6) = GK(y6)

    Samuelson’sche Bedingung in diesem Fall erfüllt.

    (iii) Abstimmungsregel ist manipulierbar, abhängig von der Reihenfolgeder Abstimmung ⇒ Bestimmung der Geschäftsordnung wichtig!

    ⇒ Theorie der Kollektiventscheidungen (Social Choice)

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