Kapitel 4.2: O entliche G uter - TU Dortmund · Kapitel 4.2: O entliche G uter 1 Dr. J org Franke...

Kapitel 4.2:

Öffentliche Güter1

Dr. Jörg Franke

Technische Universität Dortmund

Sommersemester 2010

1Diese Folien dienen der Ergänzung des Vorlesungsstoffes im Rahmen der Vor-und Nachbereitung. Sie stellen kein Skript dar; es wird keine Gewähr für Richtigkeitund/oder Vollständigkeit übernommen.

Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)

MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

2. Bereitstellung im Markt

Verfahren:

▸ Konsument i finanziert Anteil yi am öffentliches Gutdurch freiwilligen Konsumverzicht des privaten Gutes

▸ Summe individueller Anteile zur Produktion desöffentlichen Gutes benutzt: y = ∑

ni=1 yi .

Aus der Perspektive von Konsument i :

maxxi ,yi

vi(y) + xi

NB: xi + yi = x̄i

y = ∑ni=1 yi

⇒ maxyi

vi(yi +∑j≠i yj) + x̄i − yi

1 / 27



Lösung des Nutzenmaximierungsproblems:

Nutzenmaximierender Anteil ȳi erfüllt B.1.O.:

v ′i (ȳi +∑j≠i

yj) = 1

Im Allgemeinen: Konsument i setzt Beitrag ȳi so daß

GRSi ∣xy = GRTS ∣xy

Wie reagiert Konsument j ≠ i? 3 Fälle:1. v ′j (ȳi + yj +∑k≠i ,j yk) = 1: Konsument j belässt yj

unverändert.2. v ′j (ȳi + yj +∑k≠i ,j yk) < 1: Konsument j reduziert yj auf ȳj

bis entweder: ȳj = 0 oder v ′j (ȳi + ȳj +∑k≠i ,j yk) = 1.3. v ′j (ȳi + yj +∑k≠i ,j yk) > 1: Konsument j erhöht yj auf ȳj

solange bis v ′j (ȳi + ȳj +∑k≠i ,j yk) = 1.Konsument i wird seinen Anteil ebenfalls auf ỹi anpassen...

2 / 27



Ende des Anpassungsprozesses: Gesamtmenge ŷ desöffentlichen Gutes charakterisiert durch:

i. v ′i (ŷ) = 1 für mindestens ein i = 1, . . . , n.ii. v ′i (ŷ) ≤ 1 für alle i = 1, . . . , n.iii. v ′i (ŷ) > 0 für alle i = 1, . . . , n.iv. Für alle i mit v ′i (ŷ) = 1 gilt: ŷ = ∑i ŷi .v. Für alle j mit v ′j (ŷ) < 1 gilt: ŷj = 0.

Beispiel:

y

vi(y)

v1(y)

v2(y)

v3(y)

ŷ = ŷ3 3 / 27



Summation über alle i = 1, . . . , n ergibt:n

∑i=1

v ′i (ŷ) > 1

Vergleich mit pareto-optimaler Bereitstellung y∗,charakterisiert durch Samuelson’sche Optimalitätsbedingung:

n

∑i=1

v ′i (y∗) = 1

Fazit: Unterproduktion des öffentlichen Gutes: ŷ < y∗.

y

v ′i (y)

v ′3(y)

∑ni=1 v ′i (y)1

y∗ŷ4 / 27



Satz

Die im Markt (in dezentraler Privatinitiative) bereitgestellteMenge des öffentlichen Gutes ist suboptimal, es kommt zuUnterproduktion des öffentlichen Gutes.

Grund: Free rider- bzw. Freifahrerverhalten

▸ Ein (wenige) Marktteilnehmer produziert öffentliches Gut,d.h. verzichtet freiwillig auf privaten Konsum.

▸ Alle anderen Marktteilnehmer profitieren vonBereitstellung des öffentlichen Gutes, ohne auf privatenKonsum zu verzichten.

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Auswertung Exerperiment 3

Despriktive Statistik:

▸ 25 Teilnehmer

▸ Studiengänge: 52% WiWi, 20% WiMa, 8% Nat, 20%Sonst.

▸ Geschlecht: 56% weiblich, 44% männlich.

▸ Augenfarbe: 25% Blau, 54% braun, 21% grün.

6 / 27



Theoretische Analyse:

▸ Induzierte Nutzenfunktion quasi-linear:

ui(xi , yi) =180

25

¿ÁÁÀ

25

∑j=1

yj + 1, 5xi = 7, 2

¿ÁÁÀ

25

∑j=1

yj + 1, 5xi

▸ Budgetrestriktion: xi + yi = 100

Einsetzen der Restriktion ergibt:

ui(yi) = 7, 2

¿ÁÁÀ

25

∑j=1

yj + 150 − 1, 5yi

7 / 27



1. Herleitung der effizienten Allokation:

Definition: Aggregierter Surplus (AS):

AS(y) =25

∑i=1

⎛

⎝

180

25

¿ÁÁÀ

25

∑j=1

yj − 1, 5yi⎞

⎠= 180

√y − 1, 5y

Pareto-optimale Menge des öffentlichen Gutes:

maxy

AS(y) = 180√

y − 1, 5y

NB: y = ∑25i=1 yi ≤ 25 ∗ 100 = 2500

B.1.O.: 90√y − 1, 5 = 0 für y ≤ 2500

▸ Optimale Menge des öffentlichen Gutes: y∗ = 2500.▸ Teilnehmer i sollte gesamtes Anfangsvermögen in Y

investieren: y∗i = 100.8 / 27



2. Herleitung der Marktallokation:

Marktteilnehmer i investiert als Nutzenmaximierer:

maxyi

7, 2

¿ÁÁÀ

25

∑j=1

yj + 150 − 1, 5yi

B.1.O.:3, 6√

y− 1, 5 = 0

▸ Nutzenmaximierende Menge des öffentlichen Gutes:ŷ = 5,76.

▸ Individueller nutzenmaximierende Beitrag:ŷi = max{5,76 −∑j≠i yj,0}.

▸ Unter Annahme symmetrischen Verhaltens: ŷi = 0,23

9 / 27



Theoretische Vorhersagen:

▸ Suboptimale Bereitstellung des öffentl. Gutes im Markt:ŷ = 5, 76 < y∗ = 2500.

▸ Freifahrerverhalten der Individuen: ŷi = 0, 23 < y∗i = 100.▸ Grad des Freifahrerverhaltens ausgedrückt durch

Freifahrer-Index yi ,i.e. realisiertes Investment von i inY :

▸ extremes Freifahrerverhalten: yi = 0, 23▸ kein Freifahrerverhalten: yi = 100

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Auswertung 1:▸ Durchschnittlicher Freifahrer-Index: ȳi = 46.64▸ Signifikant unterschieden von y∗i = 100 und ŷi = 0, 23

Histogramm: Freifahrer-Index

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Y

Häu

figke

it

11 / 27



Auswertung 2: Studiengänge

Studiengang Mittelwert Standard-Abweichung

WiWi 40 9,61

WiMa 53,2 18,50

Nat 50 30

Sonst 56 20,40

Resultat 2:

▸ Freifahrer-Index für WiWi-Studierende am geringsten.

▸ Paarweise Unterschiede jedoch statistisch nichtsignifikant.

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Auswertung 3: Geschlecht

Geschlecht Mittelwert Standard-Abweichung

W 57,21 9,83

M 33,18 10,22

Differenz 24,03 14,33

Resultat 3:

▸ Freifahrer-Index für männliche geringer als für weiblicheTeilnehmer.

▸ Differenz signifikant auf 6 Prozent Signifikanzniveau(einseitiger t-test).

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Auswertung 4: Augenfarbe (genetische Disposition)

Augenfarbe Mittelwert Standard-Abweichung

Blau 38 10,86

Braun 57,77 11,28

Grün 41 20,15

Resultat 4:

▸ Freifahrer-Index für blau-äugige am geringsten.

▸ Paarweise Unterschiede nicht signifikant.

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Zusammenfassung Experiment 3▸ Pareto-effiziente Allokation nicht freiwillig bzw. dezentral

realisierbar.▸ Freifahrerverhalten experimentell beobachtbar:

▸ Experimentelles Verhalten signifikant unterschieden vonpurem eigennutzbasierten Vorhersagen.

▸ Experimentelles Verhalten signifikant unterschieden vonpareto-effizientem Verhalten.

▸ Signifikante Geschlechtsunterschiede: Freifahrerverhaltendeutlich geringer bei weiblichen Teilnehmern.

▸ Resultate aus Marwell and Ames (1981)”Economists free

ride, does anyone else?“, Journal of Public Economics,weitgehend bestätigt:

ȳi ∈ (40, 60)

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Öffentliche Bereitstellung des Öffentlichen Gutes

▸ Private dezentrale Bereitstellung nicht effizient:Unterproduktion.

▸ Ausweg: Staat stellt öffentliches Gut y zentralisiert bereit.

▸ Kostendeckung durch anteilige Steuern unter Berücksich-tigung des jeweiligem individuellen Nutzens aus demKonsum des öffentlichen Gutes:

▸ Fairnessgründe,▸ Im Wettbewerbsmarkt ist Nutzen aus privaten Gütern

ebenfalls mit zu zahlenden Preisen verknüpft.

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Intuition

▸ Preis für öffentliches Gut y (als entgangener privaterKonsum) zu hoch.

▸ Anteilige Subventionierung des Konsums von y (effektivePreissenkung), so dass Ausbringungsmenge steigt.

▸ Jeder Marktteilnehmer konsumiert y : Steuererhebung aufKonsum aller Marktteilnehmer.

▸ Besteuerung des jeweiligen Marktteilnehmer anteiligabgestimmt:

▸ Anteil von i an Kosten aus Produktion von y: ti .▸ Produktion von y : Steuerschuld des i : tiy .▸ Staatliche Bereitstellung durchführbar bei

Kostendeckung: ∑ni=1 ti = 1.

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Frage: Existieren Steuern ti , so dass Konsumenten diepareto-effiziente Ausbringungsmenge des öffentlichen Gutesnachfragen?▸ Staat kennt Nutzenfunktionen (u1(y , x1) . . . un(y , xn))▸ Basierend auf Information wird fiktives optimales y∗

bestimmt über Samuelson’sche Bedingung:

n

∑i=1

v ′i (y∗) = 1.

▸ Implementierter Steuerersatz: ti = v ′i (y∗)

▸ Falls tatsächlich y∗ nachgefragt würde, wärekostendeckende staatliche Bereitstellung möglich:

n

∑i=1

ti =n

∑i=1

v ′i (y∗) = 1.

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Frage: Welche Menge y wird Konsument i bei Steuersatzti = v ′i (y

∗) nachfragen?

maxxi ,y

vi(y) + xi

NB: xi + tiy = x̄i

⇒ maxy

vi(y) + x̄i − tiy

Nutzenmaximum charakterisiert durch B.1.O.: v′i(y) = ti

Für ti = v ′i (y∗) gilt daher:

v ′i (y) = ti = v′i (y

∗) ⇒ y = y∗

Fazit: Alle Konsumenten i = 1 . . . n fragen pareto-optimaleMenge des öffentlichen Gutes nach!

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Definition (Lindahl Gleichgewicht)

System von personalisierten Steuern (Preisen) (t1 . . . tn, y∗)heisst Lindahl Gleichgewicht, wenn:

▸ Konsument i , gegeben personalisierte Steuer ti , gerade y∗

nachfragt.

▸ Ausbringungsmenge y∗ durch Steuereinnahmenkostendeckend bereitgestellt werden kann:

n

∑i=1

tiy∗ = y∗

Satz

Die Ausbringungsmenge des öffentlichen Gutes in einemLindahl-Gleichgewicht ist pareto-optimal!

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Intuition

Im Lindahl-Gleichgewicht gelten für jedes Individuumindividuelle Preise für den Konsum des öffentlichen Gutes:

▸ Private Bereitstellung des öffentlichen Gutes: v ′i (ȳ) = 1

▸ Im Lindahl-Gleichgewicht: ti = v ′i (y∗) < v ′i (ȳ) = 1, da

∑ni=1 ti = ∑

ni=1 v

′i (y

∗) = 1. Daraus folgt:▸ Unterproduktion wird reduziert: y∗ > ȳ .▸ Unterproduktion wird vollständig reduziert: y∗ erfüllt

Samuelson’sche Bedingung und ist daher pareto-optimal.

▸ Höhere Wertschätzung impliziert höhere Steuerbeiträge:

v ′i (y∗) > v ′j (y

∗)⇒ ti > tj .

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Praktische Relevanz des Lindahl-Gleichgewichts:

▸ Eher gering wegen hoher Informationsanforderung: Staatinformiert über Nutzenfunktionen der Konsumenten.

▸ Konsumenten haben Anreiz jeweilige Nutzenfunktionnicht wahrheitsgemäß zu offenbaren, da Preisfestlegungvon individueller Antwort abhängt: Anreizproblem.

▸ In anderen Worten: Lindahl-Preise für dasselbe öffentlicheGut sind für unterschiedliche Konsumenten verschieden:Wer zahlt freiwillig höhere Preise für dasselbe Gut?

▸ Identische Preise für öffentliches Gut können daher perDefinition nicht zu effizienter Bereitstellung führen.

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Alternative Entscheidungsmechanismen:Abstimmungsverfahren

▸ realistischer und praktikabler als Lindahl-Preisfestlegung.

▸ Nachteil: Abweichung von pareto-optimaler Bereitstellung.

Beispiel: Gemeinsame Festlegung der Raumtemperatur

▸ Fiktive Modellannahme: Funktionierende und exaktregelbare Klimaanlage.

▸ Finanziert durch n Benutzer: Jeder zahlt gleichenKostenanteil von 1/n.

▸ Bei gegebener Kostenverteilung hat jeder Nutzer iWunschtemperatur yi .

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Fortsetzung und Spezifikation des Beispiels:

▸ n = 11 Teilnehmer mit folgenden Wunschtemperaturen:

(y1 . . . yi . . . y11) = (16; 16, 5; 17; . . . ; 21)

▸ Entscheidung durch Mehrheitswahl

▸”Gleichgewicht“: Alternative, die bei paarweisen

Abstimmungen gegen jede andere gewinnt.▸ Wähler i hat bei jeder Abstimmung genau eine Stimme:

▸ Erfolgt Abstimmung über yi , so wählt i seineWunschtemperatur yi .

▸ Wird über (yj , yk) mit j , k ≠ i abgestimmt, präferiert idie der Wunschtemperatur yi ”

nähere“ Alternative:

minx∈{j ,k}

∣yx − yi ∣ .

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Frage: Existiert eine Alternative, die bei (allen möglichen)paarweisen Abstimmungen immer gewinnt?

Theorem (Medianwähler-Resultat)

Die bevorzugte Alternative des”Medianwählers“ gewinnt alle

paarweisen Abstimmungen.

Wer ist der”Medianwähler“ im Beispiel?

Betrachte i = 6 mit y6 = 18, 5:

▸ Genau 5 Wähler bevorzugen kältere Raumtemperatur.

▸ Genau 5 Wähler bevorzugen wärmere Raumtemperatur.

▸ Wähler i = 6 bildet den Median der Reihung der Wählerentsprechend ihrer präferierten Temperatur.

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Implikation: Wähler i = 6 müsste mit y6 = 18, 5 jedepaarweise Abstimmung gewinnen.

Test:

▸ y6 = 18, 5 vs. y9 = 20: Für Wähler i = 1 . . . 5 gilt y6 − yi < y9 − yi .Damit erhält Alternative y6 bereits mindestens 6 Stimmen unddamit die Mehrheit.

▸ y6 = 18, 5 vs. y5 = 18: Für Wähler i = 7 . . . 11 gilt yi − y6 < yi − y5.Damit erhält Alternative y6 wiederum mindestens 6 Stimmen unddamit die Mehrheit.

▸ Generell gilt: Für jede Abstimmung yi vs. y6 werden mindestens 6Wähler für y6 stimmen, d.h. Alternative y6 gewinnt alle paarweisenAbstimmungen.

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Paarweise Abstimmungsregel

Vorteile: einfach verständlich, praktikabel, führt immer zu Ergebnis.

Nachteile:

(i) Durchführung zahlreicher Abstimmungen notwendig.

(ii) Ergebnis im Allgemeinen nicht pareto-effizient.Spezialfall: Sei v ′6(y6) =

111 ∑

11i=1 v

′i (y6), dann gilt:

11v ′6(y6) =11

∑i=1

v ′i (y6) = GK(y6)

Samuelson’sche Bedingung in diesem Fall erfüllt.

(iii) Abstimmungsregel ist manipulierbar, abhängig von der Reihenfolgeder Abstimmung ⇒ Bestimmung der Geschäftsordnung wichtig!

⇒ Theorie der Kollektiventscheidungen (Social Choice)

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Kapitel 4.2: Öffentliche Güter (Kollektivgüter)MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwähler

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