Kapitel 9 Gleichm¨aßige Konvergenz von …kanzow/analysis2/Kapitel9.pdf · der Identit¨at cos(2...

Kapitel 9

Gleichmaßige Konvergenz von

Funktionenfolgen

9.1 Gleichmaßige Konvergenz9.2 Eigenschaften der Grenzfunktion9.3 Gleichmaßige Konvergenz von Funktionenreihen9.4 Anwendung auf Potenzreihen9.5 Taylor–Polynome9.6 Taylor–Reihen9.7 Das Integral fur Regelfunktionen

9.1 Gleichmaßige Konvergenz

Gegeben seien gewisse Funktionen fn : X → K mit gemeinsamen Definitionsbereich X(n ∈ N). Die Folge der Funktionen {fn} heißt auf X punktweise konvergent , wenn fur jedesx ∈ X die Zahlenfolge {fn(x)} ⊆ K konvergiert. Durch

f(x) := limn→∞

fn(x)

ist dann eine Funktion f : X → K definiert. Wir untersuchen in diesem Kapitel insbeson-dere Fragen der folgenden Gestalt:

(a) Wann ist die Grenzfunktion f stetig? Reicht dazu die Stetigkeit aller Funktionen fn?

(b) Wie kann man das Integral von f berechnen, wenn man die Integrale der fn kennt?

(c) Wann ist die Grenzfunktion f differenzierbar? Genugt hierfur die Differenzierbarkeitaller Funktionen fn?

Wir bemerken zunachst, dass die obigen Fragen viel mit der Vertauschbarkeit von Grenz-prozessen zu tun hat. Die oben eingefuhrte Grenzfunktion f ist zum Beispiel genau dann

263

264KAPITEL 9. GLEICHMASSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN

stetig in einem Punkt x0, wenn limx→x0f(x) = f(x0) gilt. Gemaß Definition der Grenz-

funktion f ist dies aquivalent zu

limx→x0

limn→∞

fn(x) = limn→∞

fn(x0).

Setzen wir die fn selbst als stetig voraus, so konnen wir dies auch schreiben als

limx→x0

limn→∞

fn(x) = limn→∞

limx→x0

fn(x).

Also ist f stetig in x0, wenn sich die beiden oben auftretenden Grenzprozesse vertauschenlassen. Wir zeigen in unserem folgenden Beispiel allerdings, dass dies im Allgemeinen nichtder Fall ist.

Beispiel 9.1 (a) Sei fn : [0, 1] → R fur jedes n ∈ N definiert durch fn(x) := xn. DieFolge {fn} ist offenbar punktweise konvergent gegen die Grenzfunktion

f : [0, 1] → R, f(x) :=

{

0, falls x ∈ [0, 1),1, falls x = 1.

Obwohl alle fn stetig sind, ist f selbst unstetig, vergleiche hierzu auch die Abbildung9.1.

1

1

x x2

xn

xf

Abbildung 9.1: Veranschaulichung des Beispiels 9.1 (a)

(b) Sei fn : [0, 1] → R fur jedes n ∈ N wie folgt definiert: fn ist auf dem Intervall [0, 12n

]linear mit f(0) := 0, f( 1

2n) := n, auf dem Intervall [ 1

2n, 1

n] ist fn ebenfalls linear

mit f( 12n

) := n, f( 1n) := 0, und auf dem verbleibenden Teilintervall [ 1

n, 1] sei fn(x)

die Nullfunktion, vergleiche hierzu die Abbildung 9.2. Insgesamt ist jedes fn danneine stetige und stuckweise lineare Funktion. Die Folge {fn} konvergiert punktweiseoffenbar gegen die Nullfunktion f ≡ 0, da fur jedes x ∈ [0, 1] und alle n ∈ N

hinreichend groß fn(x) = 0 gilt. Andererseits haben wir∫ 1

0

f(x)dx = 0 6= 1

2= lim

n→∞

∫ 1

0

fn(x)dx,

Christian Kanzow, Universitat Wurzburg, SS 2011

9.1. GLEICHMASSIGE KONVERGENZ 265

n

x

fn

12n

1n

Abbildung 9.2: Zur Definition der Abbildung fn im Beispiel 9.1 (b)

d.h., die Folge der Integrale der fn konvergiert nicht gegen das Integral von f .

(c) Betrachte die Funktionen fn : R → R, fn(x) := sin(nx)√n

fur n ∈ N. Die Grenzfunktion

ist offenbar wieder die Nullfunktion f ≡ 0. Ihre Ableitung f ′ ≡ 0 ist aber nicht dieGrenzfunktion von der Folge {f ′

n} der Ableitungen

f ′n(x) =

√n cos(nx).

Die Folge {f ′n} divergiert sogar an jeder Stelle x. Aus

√n cos(nx) → a fur ein a ∈ R

wurde namlich cos(nx) → 0 und daher (Teilfolge!) auch cos(2nx) → 0 folgen. Ausder Identitat cos(2nx) = cos2(nx)− sin2(nx) = 2 cos2(nx)− 1 ergabe sich dann aberder Widerspruch 0 = −1. 3

Die negativen Ergebnisse des Beispiels 9.1 lassen sich weitgehend vermeiden, wenn mandie punktweise Konvergenz durch eine starkere Konvergenzforderung ersetzt. Zu diesemZweck erinnern wir zunachst an die beiden Vektorraume

B(X) :={

f : X → K∣

∣ f ist beschrankt auf X}

und

C(X) :={

f : X → K∣

∣ f ist stetig auf X}

der auf X beschrankten bzw. stetigen Funktionen, wobei X im Falle der beschranktenFunktionen eine beliebige nichtleere Menge sein darf, wahrend im Falle der stetigen Funk-tionen zumindest ein metrischer Raum vorliegen soll (anderenfalls haben wir den Begriffder Stetigkeit nicht definiert). Der Leser stelle sich bei allen nachfolgenden Ausfuhrungeninsbesondere die Menge X = [a, b] vor, auf die wir zum Teil auch explizit zuruckgrei-fen werden (etwa bei der Frage der Integrierbarkeit der Grenzfunktion, denn integrierbareFunktionen haben wir bislang nur fur reelle Intervalle kennengelernt).

Aufgrund des Satzes 7.47 bzw. der Bemerkung 7.48 werden beide Vektorraume mittelsder Vorschrift

‖f‖∞ := supx∈X

∣

∣f(x)∣

∣ fur f ∈ B(X) bzw. f ∈ C(X)



zu normierten Raumen, wobei man im Falle des Vektorraumes C(X) das Supremum durchein Maximum ersetzen darf, sofern X eine kompakte Menge ist. Hiermit definieren wir jetzteinen anderen (und ganz naturlichen) Konvergenzbegriff fur eine Folge von Funktionen fn.

Definition 9.2 Eine Folge von beschrankten Funktionen fn : X → K heißt auf X gleich-maßig konvergent gegen eine Funktion f : X → K, wenn es zu jedem ε > 0 ein N ∈ N gibtderart, dass ‖fn − f‖∞ < ε fur alle n ≥ N gilt.

Statt von der gleichmaßigen Konvergenz einer Funktionenfolge {fn} gegen eine Abbildungf werden wir im Folgenden manchmal auch nur von der gleichmaßigen Konvergenz einergegebenen Funktionenfolge {fn} sprechen. Damit ist dann gemeint, dass es eine Funktionf gibt, gegen welche die Funktionenfolge {fn} gleichmaßig konvergiert.

Die Definition der gleichmaßigen Konvergenz lasst sich auch wie folgt ausdrucken: DieFunktionenfolge {fn} konvergiert genau dann gleichmaßig gegen eine Funktion f , wenn‖fn − f‖∞ → 0 gilt. Alternativ kann die Definition der gleichmaßigen Konvergenz wegender Aquivalenz

‖g‖∞ < ε ⇐⇒∣

∣g(x)∣

∣ < ε fur alle x ∈ X

auch wie folgt formuliert werden: Eine Folge von Funktionen fn : X → K konvergiertgleichmaßig gegen eine Funktion f : X → K, wenn es zu jedem ε > 0 ein N = N(ε) ∈ N

gibt derart, dass fur alle x ∈ X und alle n ≥ N gilt:

∣

∣fn(x) − f(x)∣

∣ < ε.

Zum Vergleich dazu bedeutet die punktweise Konvergenz von {fn} gegen f : Greift manein x ∈ X heraus, so gibt es zu jedem ε > 0 ein N = N(ε, x) ∈ N derart, dass fur allen ≥ N gilt:

∣

∣fn(x) − f(x)∣

∣ < ε.

Bei der punktweisen Konvergenz hangt die Wahl von N also von ε und x ab, wahrend beider gleichmaßigen Konvergenz das zugehorige N lediglich von ε abhangt. Man hat in diesemSinn also eine gleichmaßige Konvergenz bezuglich aller x ∈ X vorliegen, was insbesonderedie Namensgebung rechtfertigt. Damit ist auch klar, dass die gleichmaßige Konvergenzeiner Funktionenfolge die punktweise Konvergenz dieser Funktionenfolge impliziert.

Anschaulich besagt die gleichmaßige Konvergenz einer Funktionenfolge fn gegen eineGrenzfunktion f , dass sich die Folgenglieder fn schließlich und endlich allesamt in einem

”ε–Schlauch“ um die Funktion f herum befinden mussen, wobei letztlich egal ist, wie klein

ε > 0 hierbei gewahlt wurde. Die Abbildung 9.3 (a) illustriert diesen Sachverhalt, wahrenddie Abbildung 9.3 (b) verdeutlicht, warum die Funktionenfolge aus dem Beispiel 9.1 (b)nicht gleichmaßig konvergiert.

Beispiel 9.3 (a) Wir betrachten die schon im Beispiel 9.1 aufgetretene Funktionenfolgefn : [0, 1] → R, fn(x) := xn. Fur x ∈ [0, 1) war diese punktweise konvergent gegendie Nullfunktion. Wahlen wir x ∈ [0, 1) beliebig und geben uns ein ε > 0 vor, so ist


9.1. GLEICHMASSIGE KONVERGENZ 267

f + ε

f

f − εε

ε

(a) (b)

n

ε

−ε

12n

1n

bax x

fn

Abbildung 9.3: (a) Beispiel einer gleichmaßig konvergenten Funktionenfolge; (b) Beispieleiner nicht gleichmaßig konvergenten Funktionenfolge

xn = |xn − 0| =∣

∣fn(x) − f(x)∣

∣ < ε gleichwertig mit

n >ln(ε)

ln(x).

Als N = N(ε, x) eignet sich daher jede naturliche Zahl N > ln(ε)/ln(x). Fur ε < 1 istder Quotient ln(ε)/ln(x) fur x ∈ (0, 1) aber nicht nach oben beschrankt, es gibt alsokeine universelle Konstante N = N(ε), die von x unabhangig ist, mit der gleichmaßigeKonvergenz vorliegen wurde.

(b) Die Situation andert sich grundlegend, wenn wir die Funktionen fn(x) := xn nur aufdem Intervall [0, 1

2] betrachten. In diesem Fall liegt gleichmaßige Konvergenz gegen

die Nullfunktion vor, wenn wir nur N = N(ε) so wahlen, dass bei gegebenem ε > 0(mit ε < 1) N > ln(ε)/ln(1

2) gilt. 3

Eine einfache Charakterisierung der gleichmaßigen Konvergenz von Funktionen ist in demfolgenden Resultat enthalten.

Satz 9.4 ( Cauchy–Kriterium fur gleichmaßige Konvergenz von Funktionenfolgen )Eine Folge von beschrankten Funktionen fn : X → K ist genau dann gleichmaßig kon-vergent (gegen eine gewisse Grenzfunktion f : X → K), wenn {fn} eine Cauchy–Folge indem normierten Raum

(

B(X), ‖ · ‖∞)

ist, es also zu jedem ε > 0 ein N ∈ N gibt mit‖fn − fm‖∞ ≤ ε fur alle m, n ≥ N .

Beweis: Konvergiert die Folge {fn} gleichmaßig gegen eine Grenzfunktion f , so bedeutetdies definitionsgemaß, dass wir eine konvergente Folge in dem normierten Raum

(

B(X), ‖ ·‖∞

)

vorliegen haben. Jede konvergente Folge ist aber bekanntlich eine Cauchy–Folge indiesem Raum, womit die eine Richtung bereits bewiesen ist.



Zum Nachweis der Ruckrichtung sei {fn} als Cauchy–Folge vorausgesetzt. Dann exi-stiert zu jedem ε > 0 ein N ∈ N mit

‖fn − fm‖∞ ≤ ε ∀m, n ≥ N.

Wegen |fn(x) − fm(x)| ≤ ‖fn − fm‖∞ fur alle x ∈ X folgt hieraus insbesondere

|fn(x) − fm(x)| ≤ ε ∀m, n ≥ N (9.1)

fur alle x ∈ X, wobei die Große von N hierbei nicht von dem gewahlten Punkt x abhangt.Wegen (9.1) ist die Folge der Funktionswerte {fn(x)} fur jedes x ∈ X dann eine Cauchy–Folge in K. Die Vollstandigkeit von K impliziert daher, dass {fn(x)} fur jedes x ∈ Xkonvergiert, also existiert der (punktweise) Grenzwert

f(x) := limn→∞

fn(x).

Lasst man das n in Formel (9.1) fest und betrachtet darin den Grenzwert fur m → ∞, soerhalt man

|fn(x) − f(x)| = limm→∞

|fn(x) − fm(x)| ≤ ε ∀n ≥ N

fur alle x ∈ X. Da die Große von N hierbei unabhangig von dem betrachteten x war, folgtsomit

‖fn − f‖∞ = supx∈X

|fn(x) − f(x)| ≤ ε ∀n ≥ N.

Definitionsgemaß bedeutet dies gerade, dass die Folge {fn} sogar gleichmaßig gegen dieGrenzfunktion f konvergiert. 2

Da die Grenzfunktion einer gleichmaßig konvergenten Folge von beschrankten Funktionenfn offenbar selbst wieder beschrankt sein muss, lasst sich das vorige Resultat auch wie folgtschreiben.

Korollar 9.5 ( Menge der beschrankten Funktionen als Banach–Raum )

Der normierte Raum(

B(X), ‖ · ‖∞)

ist vollstandig, also ein Banach–Raum.

9.2 Eigenschaften der Grenzfunktion

Wir untersuchen in diesem Abschnitt die Eigenschaften der Grenzfunktion einer gleichmaßigkonvergenten Folge von Funktionen. Dabei wird sich insbesondere herausstellen, dass dieim Beispiel 9.1 aufgetretenen negativen Effekte bei nur punktweiser Konvergenz im We-sentlichen nicht mehr auftreten konnen.

Satz 9.6 ( Stetigkeit der Grenzfunktion bei gleichmaßiger Konvergenz )Seien X ein metrischer Raum und fn : X → K eine Folge von stetigen Funktionen, diegleichmaßig gegen eine Funktion f : X → K konvergiere. Dann ist f ebenfalls stetig.


9.2. EIGENSCHAFTEN DER GRENZFUNKTION 269

Beweis: Sei x ∈ X beliebig gegeben. Wir haben dann zu zeigen, dass es zu jedem ε > 0ein δ > 0 gibt derart, dass

∣

∣f(x)−f(y)∣

∣ < ε fur alle y ∈ X mit d(x, y) < δ gilt, wobei d dieMetrik in X bezeichne. Sei also ε > 0. Da die Folge {fn} gleichmaßig gegen f konvergiert,existiert ein N ∈ N mit

∣

∣fN(ξ) − f(ξ)∣

∣ <ε

3fur alle ξ ∈ X.

Da fN im Punkt x stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit

∣

∣fN(x) − fN (y)∣

∣ <ε

3fur alle y ∈ X mit d(x, y) < δ.

Daher folgt

∣

∣f(x) − f(y)∣

∣ ≤∣

∣f(x) − fN(x)∣

∣ +∣

∣fN(x) − fN(y)∣

∣ +∣

∣fN (y) − f(y)∣

∣

<ε

3+

ε

3+

ε

3= ε

fur alle y ∈ X mit d(x, y) < δ. 2

Die gleichmaßige Konvergenz einer Folge von stetigen Funktionen fn impliziert also die Ste-tigkeit der Grenzfunktion. Bei nur punktweiser Konvergenz ist diese Aussage im Allgemei-nen nicht mehr richtig (siehe Beispiel 9.1 (a)), wenngleich es naturlich durchaus Beispielevon nur punktweise konvergenten und stetigen Funktionenfolgen gibt, deren Grenzfunktionauch stetig ist (siehe Beispiel 9.1 (b)).

Als unmittelbare Folgerung des Satzes 9.6 und des Korollars 9.5 erhalten wir das nach-stehende Resultat.

Korollar 9.7 ( Menge der stetigen Funktionen als Banach–Raum )

Der normierte Raum(

C(X), ‖ · ‖∞)

ist vollstandig, also ein Banach–Raum.

Wir wollen im nachsten Resultat integrierbare Funktionen untersuchen. Dazu ersetzen wirden bislang sehr allgemeinen Definitionsbereich X durch ein kompaktes Intervall X = [a, b],da wir den Begriff des (eigentlichen) Integrals fur allgemeinere Mengen bislang noch nichtdefiniert haben und dies auch erst im nachsten Semester tun werden. Fur eine integrierbare(und damit beschrankte) Abbildung f : [a, b] → K lautet die Supremumsnorm dann

‖f‖∞ := sup{

|f(x)|∣

∣x ∈ [a, b]}

.

Damit konnen wir das folgende Resultat beweisen.

Satz 9.8 ( Integrierbarkeit der Grenzfunktion bei gleichmaßiger Konvergenz )Sei fn : [a, b] −→ K fur jedes n ∈ N eine integrierbare (und damit beschrankte) Funktion,



die gleichmaßig gegen eine Funktion f : [a, b] → K konvergiere. Dann ist f integrierbar,und es gilt

b∫

a

f(x)dx = limn→∞

b∫

a

fn(x)dx.

Beweis: Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Wegen ‖fn − f‖∞ −→ 0 fur n −→ ∞ existiert einN ∈ N mit

‖fn − f‖∞ <ε

2(b − a)∀n ≥ N

⇐⇒∣

∣fn(x) − f(x)∣

∣ <ε

2(b − a)∀x ∈ [a, b] ∀n ≥ N

⇐⇒ fn(x) − ε

2(b − a)< f(x) < fn(x) +

ε

2(b − a)∀x ∈ [a, b] ∀n ≥ N.

Da die fn beschrankt sind, folgt hieraus insbesondere die Beschranktheit von f . Fernererhalt man fur alle n ≥ N fur das obere und untere Riemann–Integral die Ungleichungen

b∫

a

f(x)dx ≤b

∫

a

(

fn(x) +ε

2(b − a)

)

dx =

b∫

a

fn(x)dx +ε

2

undb

∫

a

f(x)dx ≥b

∫

a

(

fn(x) − ε

2(b − a)

)

dx =

b∫

a

fn(x)dx − ε

2,

vergleiche Bemerkung 7.6. Hieraus folgt

b∫

a

f(x)dx ≤b

∫

a

f(x)dx + ε.

Da ε > 0 hierbei beliebig war, ergibt sich

b∫

a

f(x)dx =

b∫

a

f(x)dx

und daher die Riemann–Integrierbarkeit von f . Fur alle n ≥ N erhalten wir nun auch dieAbschatzung

∣

∣

∣

∣

b∫

a

f(x)dx −b

∫

a

fn(x)dx

∣

∣

∣

∣

<ε

2,

aus welcher sich unmittelbar die Behauptung ergibt. 2



Da die gleichmaßige Konvergenz von fn gegen f insbesondere die punktweise Konvergenzimpliziert, konnen wir

f(x) = limn→∞

fn(x) fur alle x ∈ [a, b]

schreiben. Damit lasst sich die Aussage des Satzes 9.8 auch als

∫ b

a

limn→∞

fn(x)dx = limn→∞

∫ b

a

fn(x)dx

formulieren, d.h. wir durfen Integration und Limes–Bildung miteinander vertauschen, so-fern {fn} gleichmaßig gegen f konvergiert.

Wir wollen als Nachstes eine Folge von differenzierbaren Funktionen betrachten. Dader Ableitungsbegriff ebenfalls nur fur Funktionen von einer Veranderlichen definiert ist,beschranken wir uns bei dem Definitionsbereich der betrachteten Abbildungen wieder aufein kompaktes Intervall X = [a, b] in R.

Satz 9.9 ( Differenzierbarkeit der Grenzfunktion bei gleichmaßiger Konvergenz )Seien fn : [a, b] −→ R differenzierbare Funktionen derart, dass die Folge der Ableitungen{f ′

n} gleichmaßig konvergiert und die Folge {fn} selbst zumindest in einem Punkt x0 ∈ [a, b]konvergent ist. Dann konvergiert die Folge {fn} gleichmaßig gegen eine differenzierbareFunktion f , und es gilt

f ′(x) = limn→∞

f ′n(x) (9.2)

fur alle x ∈ [a, b].

Beweis: Wir zerlegen den Beweis in zwei Teile.

Schritt 1: In diesem ersten Schritt zeigen wir die gleichmaßige Konvergenz der Funktionen-folge {fn} unter Verwendung des Cauchy–Kriteriums aus dem Satz 9.4. Mit dem gegebenenPunkt x0 ∈ [a, b] gilt zunachst die Abschatzung

∣

∣fm(x) − fn(x)∣

∣ ≤∣

∣fm(x) − fn(x) − fm(x0) + fn(x0)∣

∣ +∣

∣fm(x0) − fn(x0)∣

∣

fur alle x ∈ [a, b] und beliebige n, m ∈ N. Auf die nach Voraussetzung differenzierbareFunktion g(x) := fm(x) − fn(x) wenden wir den Mittelwertsatz an und erhalten

∣

∣fm(x) − fn(x) − fm(x0) + fn(x0)∣

∣ =∣

∣f ′m(ξ) − f ′

n(ξ)∣

∣ · |x − x0|

fur alle x ∈ [a, b] mit einem (im Allgemeinen von x und x0 abhangigen) Zwischenpunkt ξ.Wegen der vorausgesetzten gleichmaßigen Konvergenz der Ableitungsfolge {f ′

n} existiertnach Satz 9.4 zu jedem ε > 0 ein N1 ∈ N mit

‖f ′m − f ′

n‖∞ <ε

2(b − a)∀n, m ≥ N1.



Aus der Konvergenz von{

fn(x0)}

(womit insbesondere eine Cauchy–Folge vorliegt) ergibtsich ferner, dass zu diesem ε > 0 ein N2 ∈ N existiert mit

∣

∣fm(x0) − fn(x0)∣

∣ <ε

2∀n, m ≥ N2.

Damit erhalt man die Abschatzung

∣

∣fm(x) − fn(x)∣

∣ ≤ ‖f ′m − f ′

n‖∞ · |x − x0| +∣

∣fm(x0) − fn(x0)∣

∣

≤ ε

2(b − a)· (b − a) +

ε

2= ε

fur alle x ∈ [a, b] und alle n, m ≥ N := max{N1, N2}. Nach dem Cauchy–Kriterium ausdem Satz 9.4 ist die Folge {fn} somit gleichmaßig konvergent gegen eine gewisse Grenz-funktion f . Letztere ist wegen des Satzes 9.6 zumindest stetig, diese Eigenschaft wird imFolgenden aber nicht weiter verwendet.

Schritt 2: Wir zeigen in diesem Teil, dass die soeben konstruierte Grenzfunktion f sogardifferenzierbar ist und die Grenzwertbeziehung (9.2) erfullt ist.

Nach Voraussetzung ist die Folge der Ableitungen {f ′n} gleichmaßig konvergent und

besitzt daher einen Grenzwert, den wir mit g bezeichnen wollen. Damit ist dann zu zeigen,dass f differenzierbar ist mit f ′(x) = g(x) = limn→∞ f ′

n(x) fur alle x ∈ [a, b] (da diegleichmaßige Konvergenz die punktweise Konvergenz impliziert). Sei dazu x ∈ [a, b] beliebiggewahlt. Fur eine Folge {xk} ⊆ [a, b] mit xk −→ x und xk 6= x fur alle k ∈ N haben wir zuzeigen, dass

limk→∞

f(xk) − f(x)

xk − x= g(x) (9.3)

gilt. Sei hierfur ε > 0 beliebig gegeben. Wegen der gleichmaßigen und damit punktweisenKonvergenz existiert ein (hinreichend großes) n ∈ N mit

∣

∣f ′n(x) − g(x)

∣

∣ ≤ ε

3.

Ferner konnen wir (ohne Einschrankung fur dasselbe) n auch annehmen, dass

∣

∣

∣

∣

f(y) − f(x)

y − x− fn(y) − fn(x)

y − x

∣

∣

∣

∣

≤ ε

3(9.4)

gilt, denn durch Anwendung des Mittelwertsatzes auf die Funktion fm − fn folgt fur alley 6= x und alle hinreichend großen n, m ∈ N namlich

∣

∣

∣

∣

fm(y) − fm(x)

y − x− fn(y) − fn(x)

y − x

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

(fm − fn)(y) − (fm − fn)(x)

y − x

∣

∣

∣

∣

=∣

∣(fm − fn)′(ξm)∣

∣

=∣

∣f ′m(ξm) − f ′

n(ξm)∣

∣



≤ ‖f ′m − f ′

n‖∞≤ ε

3

mit gewissen Zwischenstellen ξm, so dass man fur m −→ ∞ und der schon bekannten Kon-vergenz der Folge {fm} gegen f tatsachlich die Abschatzung (9.4) mit einem hinreichendgroßen n erhalt.

Da fn (mit dem fest gewahlten n) nach Voraussetzung differenzierbar ist, existiert eink0 ∈ N, so dass

∣

∣

∣

∣

fn(xk) − fn(x)

xk − x− f ′

n(x)

∣

∣

∣

∣

≤ ε

3∀ k ≥ k0

gilt (k0 hangt naturlich von n ab). Hieraus folgt nun

∣

∣

∣

∣

f(xk) − f(x)

xk − x− g(x)

∣

∣

∣

∣

≤∣

∣

∣

∣

f(xk) − f(x)

xk − x− fn(xk) − fn(x)

xk − x

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

fn(xk) − fn(x)

xk − x− f ′

n(x)

∣

∣

∣

∣

+∣

∣f ′n(x) − g(x)

∣

∣

≤ ε

3+

ε

3+

ε

3= ε

fur alle k ≥ k0. Dies impliziert aber die Gultigkeit von (9.3) und vervollstandigt somit denBeweis. 2

Der gerade gefuhrte Beweis ist vergleichsweise langlich. Es sei deshalb darauf hingewiesen,dass man unter etwas starkeren Voraussetzungen deutlich kurzere Beweise finden kann.Man vergleiche diesbezuglich etwa [20, Seite 293].

Man beachte, dass die Voraussetzungen im Satz 9.9 etwas umfangreicher sind, als mandies vielleicht erwarten wurde. Das folgende Beispiel zeigt allerdings, dass die Aussage desSatzes 9.9 im Allgemeinen nicht gilt, selbst wenn die Folge der differenzierbaren Funktionenfn gleichmaßig konvergiert.

Beispiel 9.10 Betrachte die Funktionenfolge {fn}, die durch

fn : R → R, fn(x) :=1

nsin(nx),

definiert ist. Wegen ‖fn −0‖∞ = ‖fn‖∞ = 1n→ 0 fur n → ∞ konvergiert diese gleichmaßig

gegen die Grenzfunktion f ≡ 0. Die Folge {f ′n} der Ableitungen f ′

n(x) = cos(nx) hingegenkonvergiert nicht gegen f ′ ≡ 0. 3



9.3 Gleichmaßige Konvergenz von Funktionenreihen

Sei {fk} wieder eine gegebene Folge von Funktionen fk : [a, b] → R derart, dass derGrenzwert

F (x) :=

∞∑

k=0

fk(x)

zumindest punktweise fur alle x ∈ [a, b] existiert. Wir haben jetzt also eine Funktionenreihevorliegen. Diese heißt gleichmaßig konvergent (gegen die Grenzfunktion F ), wenn die Folge{Fn} der Partialsummen

Fn :=

n∑

k=0

fk

gleichmaßig konvergiert. Damit ist die gleichmaßige Konvergenz einer Funktionenreihe aufdie bereits zuvor behandelte gleichmaßige Konvergenz einer Funktionenfolge zuruckgefuhrt.Wir konnen die entsprechenden Resultate uber die Eigenschaften der Grenzfunktion vongleichmaßig konvergenten Funktionenfolgen daher wie folgt auf Funktionenreihen ubertra-gen.

Satz 9.11 ( Eigenschaften der Grenzfunktion gleichmaßig konvergenter Funktionenreihen )Seien fk : [a, b] → K gegebene Funktionen, so dass der punktweise Grenzwert

F (x) :=

∞∑

k=0

fk(x) fur alle x ∈ [a, b]

existiert. Dann gelten die folgenden Aussagen:

(a) Sind alle fk stetig und konvergiert die Folge {Fn} gleichmaßig gegen die Grenzfunk-tion F : [a, b] → K, so ist F ebenfalls stetig.

(b) Sind alle fk integrierbar und konvergiert die Folge {Fn} gleichmaßig gegen die Grenz-funktion F , so ist auch F integrierbar und es gilt

∫ b

a

F (x)dx =∞

∑

k=0

∫ b

a

fk(x)dx.

(c) Sind alle fk differenzierbar und ist die Folge der Ableitungen {F ′n} gleichmaßig kon-

vergent (gegen eine geeignete Grenzfunktion), so ist F selbst differenzierbar mit

F ′(x) =∞

∑

k=0

f ′k(x)

fur alle x ∈ [a, b].


9.3. GLEICHMASSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONENREIHEN 275

Beweis: (a) Aus der Stetigkeit aller fk folgt unmittelbar die Stetigkeit aller Fn. Damitergibt sich die Behauptung aus dem Satz 9.6.

(b) Die Integrierbarkeit der fk impliziert naturlich die Integrierbarkeit aller Fn. Aus demSatz 9.8 ergibt somit direkt die Integrierbarkeit von F , und gemeinsam mit den Definitionenvon F und Fn erhalt man die Formel

∫ b

a

F (x)dx9.8= lim

n→∞

∫ b

a

Fn(x) = limn→∞

n∑

k=0

∫ b

a

fk(x)dx =

∞∑

k=0

∫ b

a

fk(x)

und daher gerade die Behauptung.

(c) Mit fk sind naturlich auch alle Fn differenzierbar. Aufgrund des Satzes 9.9 ist dieGrenzfunktion F damit differenzierbar, und wir erhalten

F ′(x) = limn→∞

F ′n(x) = lim

n→∞

n∑

k=0

f ′k(x) =

∞∑

k=0

f ′k(x).

also die Aussage (c). 2

Ebenso einfach lasst sich auch das Cauchy–Kriterium aus dem Satz 9.4 ubertragen, dassich bei Funktionenreihen wie folgt liest.

Satz 9.12 ( Cauchy–Kriterium fur gleichmaßige Konvergenz von Funktionenreihen )Seien fk : [a, b] → K gegebene beschrankte Funktionen. Dann ist die Funktionenreihe∑∞

k=0 fk(x) genau dann gleichmaßig konvergent, wenn die Folge der Partialsummen {Fn}eine Cauchy–Folge ist, wenn also zu jedem ε > 0 ein N ∈ N existiert mit

∥

∥

∥

∥

n+p∑

k=n+1

fk

∥

∥

∥

∥

∞≤ ε

fur alle n ≥ N und alle p ∈ N.

Mittels dieses Cauchy–Kriteriums erhalten wir relativ leicht ein einfaches hinreichendesKriterium fur das Vorliegen der gleichmaßigen Konvergenz einer gegebenen Funktionenrei-he.

Satz 9.13 ( Majorantenkriterium von Weierstraß fur Funktionenreihen )Seien fk : [a, b] → K gegebene Funktionen mit ‖fk‖∞ ≤ ck fur alle k ∈ N0 derart,dass die Reihe

∑∞k=0 ck konvergiert. Dann ist die Funktionenreihe

∑∞k=0 fk (absolut und)

gleichmaßig konvergent.

Beweis: Nach Voraussetzung ist die Reihe∑∞

k=0 ck konvergent, insbesondere ist die zu-gehorige Folge der Partialsummen daher eine Cauchy–Folge in R. Somit existiert zu jedem



ε > 0 ein N ∈ N mit∑n+p

k=n+1 ck ≤ ε fur alle n ≥ N und alle p ∈ N. Aus der Dreiecksun-gleichung und ‖fk‖∞ ≤ ck fur alle k ∈ N folgt daher

∥

∥

∥

∥

n+p∑

k=n+1

fk

∥

∥

∥

∥

∞≤

n+p∑

k=n+1

∥

∥fk

∥

∥

∞ ≤n+p∑

k=n+1

ck ≤ ε

fur alle n ≥ N und alle p ∈ N. Aus dem Satz 9.12 folgt deshalb die behauptete gleichmaßigeKonvergenz der gegebenen Funktionenreihe. 2

Wir betrachten als Illustration kurz ein Beispiel zum Majorantenkriterium von Weierstraß.

Beispiel 9.14 Gegeben sei die Funktionenreihe

∞∑

k=1

fk(x) mit fk(x) :=cos(kx)

k2∀k ∈ N.

Wegen ‖fk‖∞ = 1k2 und der Konvergenz der Reihe

∑∞k=1

1k2 folgt aus dem Majoranten-

kriterium 9.13 von Weierstraß bereits die gleichmaßige Konvergenz der gegebenen Funk-tionenreihe auf ganz R. Formal haben wir im Satz 9.13 zwar nur kompakte Intervalle alsDefinitionsbereich der fk zugelassen, wahrend wir hier den gesamten R betrachten, aberwegen der Periodizitat der Cosinus–Funktion konnen wir zunachst auch nur ein kompaktesPeriodenintervall betrachten und anschließend daraus dann die gleichmaßige Konvergenzauf ganz R erhalten. 3

Eine stetige und nirgends differenzierbare Funktion:

Zum Abschluss und als Anwendung dieses Abschnittes wollen wir ein Beispiel einer gleich-maßig konvergenten Funktionenreihe angeben, die in jedem Punkte stetig, aber nirgendsdifferenzierbar ist. Zu diesem Zweck benotigen wir zunachst das folgende Hilfsresultat.

Lemma 9.15 Seien f : R → R differenzierbar in einem Punkt a ∈ R sowie {xn}, {yn}zwei Folgen mit

limn→∞

xn = limn→∞

yn = a sowie xn ≤ a ≤ yn fur alle n ∈ N.

Dann ist

limn→∞

f(yn) − f(xn)

yn − xn

= f ′(a),

wobei stets yn − xn > 0 gelte.

Beweis: Wegen der vorausgesetzten Differenzierbarkeit gilt

f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) + r(x)(x − a)



mit einer Abbildung r : R −→ R, welche die Eigenschaft

limx→a

r(x) = 0

besitzt, vergleiche Satz 6.3. Insbesondere haben wir also

f(xn) = f(a) + f ′(a)(xn − a) + r(xn)(xn − a) und

f(yn) = f(a) + f ′(a)(yn − a) + r(yn)(yn − a).

Subtraktion beider Gleichungen liefert

f(yn) − f(xn) = f ′(a)(yn − xn) + r(yn)(yn − a) − r(xn)(xn − a).

Nach Division durch yn − xn erhalten wir somit

f(yn) − f(xn)

yn − xn

= f ′(a) + r(yn)yn − a

yn − xn

+ r(xn)a − xn

yn − xn

. (9.5)

Nach Voraussetzung gilt hierbei

r(yn) −→ 0 und r(xn) −→ 0 fur n −→ +∞

sowie

0 ≤ yn − a

yn − xn

≤ 1 und 0 ≤ a − xn

yn − xn

≤ 1 ∀n ∈ N,

so dass diese Quotienten insbesondere beschrankt bleiben. Aus (9.5) folgt daher

limn→∞

f(yn) − f(xn)

yn − xn

= f ′(a)

und damit gerade die Behauptung. 2

Wir werden das Lemma 9.15 auf die folgende Weise anwenden: Gibt es zwei Folgen {xn}, {yn}mit den genannten Eigenschaften derart, dass der fragliche Grenzwert nicht existiert, sokann die betrachtete Funktion f in dem Punkte a nicht differenzierbar sein.

Wir kommen nun zur Konstruktion einer stetigen und nirgends differenzierbaren Funk-tion f . Dazu definieren wir zunachst die

”Sagezahn–Funktion“ g : R −→ R, die fur

x ∈[

− 12, +1

2

]

gleich dem Betrag |x| ist und ansonsten periodisch (mit der Periode 1)fortgesetzt wird. Dann gelten:

• g ist auf ganz R stetig

• es ist 0 ≤ g(x) ≤ 12

fur alle x ∈ R

• g ist genau an den Stellen x = k2

(k ∈ Z) nicht differenzierbar.



12

12

−1 −12

g = g0

1x

g1

g2

Abbildung 9.4: Zur Konstruktion der Abbildungen gj

Wir”verdichten“ nun die

”Singularitaten“, indem wir

gj(x) :=1

2jg(2jx) fur x ∈ R und j = 0, 1, 2, . . .

setzen, vergleiche hierzu auch die Abbildung 9.4.Die Funktionen gj haben dann die nachstehenden Eigenschaften:

• gj ist auf ganz R stetig

• es ist 0 ≤ gj(x) ≤ 12j+1 fur alle x ∈ R

• gj ist genau an den Stellen x = k2j+1 (k ∈ Z) nicht differenzierbar

• gj hat die Periode 12j

• gj hat die Nullstellen (Minima) in den Punkten x = k2j (k ∈ Z)

• gj hat Maxima in den Punkten x = k2j + 1

2j+1 (k ∈ Z)

• zwischen aufeinanderfolgenden Nullstellen und Maxima ist gj linear.

Betrachte nun die beiden Punkte

x :=k

2nund y :=

k + 1

2n.

Dann sind x und y Nullstellen von gn und somit auch Nullstellen von allen gj mit j ≥ n.Also gilt

gj(y) − gj(x)

y − x= 0 fur alle j ≥ n.

Fur j < n hingegen ist gj linear zwischen y und x mit Steigung +1 oder −1. Wir habenalso

gj(y) − gj(x)

y − x= ±1 fur alle j < n.



Nach diesen Vorbemerkungen definieren wir nun eine Abbildung f : R −→ R durch

f(x) :=

∞∑

j=0

gj(x).

Wegen |gj(x)| ≤ 12j+1 und der Konvergenz der geometrischen Reihe folgt aus dem Majoran-

tenkriterium des Satzes 9.13 sofort die gleichmaßige (und somit insbesondere punktweise)Konvergenz der Reihe. Folglich ist f zumindest wohldefiniert auf ganz R. Wir zeigen nununter Verwendung der zuvor eingefuhrten Notation, dass dieses f die gewunschten Eigen-schaften besitzt.

Satz 9.16 Die gerade definierte Funktion f ist stetig auf ganz R, aber in keinem Punktx ∈ R differenzierbar.

Beweis: Aus der gerade erwahnten gleichmaßigen Konvergenz der Reihe gegen die Grenz-funktion f sowie der Stetigkeit aller gj ergibt sich mit dem Satz 9.11 (a) sofort die Stetigkeitvon f .

Wir beweisen nun, dass f in einem beliebig gegebenen Punkt a ∈ R nicht differenzierbarist. Dazu konstruieren wir uns Folgen {xn} und {yn} mit

xn :=kn

2n≤ a ≤ kn + 1

2n=: yn fur gewisse kn ∈ Z

(die kn sind gerade so gewahlt, dass xn ≤ a ≤ yn gilt). Die Intervalle [xn, yn] haben somiteine Lange von 1

2n und bilden daher eine Intervallschachtelung, die sich auf a zusammen-zieht, d.h. wir haben limn→∞ xn = a und limn→∞ yn = a. Nun berechnen wir (fur festesn ∈ N)

f(yn) − f(xn)

yn − xn=

∞∑

j=0

gj(yn) − gj(xn)

yn − xn.

Die Glieder der rechts stehenden Reihe sind aufgrund unserer Vorbetrachtungen fur j ≥ nalle gleich 0. Es bleibt also nur eine endliche Summe mit genau n Summanden stehen, dieentweder +1 oder −1 sind. Damit muss diese Summe eine gerade ganze Zahl sein, wenn ngerade ist, und eine ungerade ganze Zahl, wenn n ungerade ist. Die Folge

{f(yn) − f(xn)

yn − xn

}

ist daher nicht konvergent. Wegen Lemma 9.15 kann f in dem Punkt a daher nicht diffe-renzierbar sein. 2



9.4 Anwendung auf Potenzreihen

Wir untersuchen in diesem Abschnitt die gleichmaßige Konvergenz von Funktionen, diedurch Potenzreihen der Gestalt

f(z) =

∞∑

n=0

an(z − z0)n

mit Entwicklungspunkt z0 ∈ K gegeben sind. Wir erinnern daran, dass

r := sup{

|z − z0|∣

∣

∞∑

n=0

an(z − z0)n konvergent

}

den Konvergenzradius der Potenzreihe bezeichnet. Wir wissen bereits, dass eine solchePotenzreihe in der offenen Kugel Kr(z0) konvergiert, auf dem Rand konvergiert oder diver-giert und außerhalb stets divergiert. Wir zeigen jetzt, dass eine solche Potenzreihe in jederabgeschlossenen Kugel um z0 mit Radius ρ < r sogar absolut und gleichmaßig konvergiert.

Satz 9.17 ( Gleichmaßige Konvergenz von Potenzreihen )Die Potenzreihe

f(z) :=

∞∑

n=0

an(z − z0)n (mit an, z0 ∈ K)

habe den Konvergenzradius r > 0. Dann konvergiert die Potenzreihe absolut und gleichmaßigauf Kρ(z0) fur jedes 0 < ρ < r, wobei

Kρ(z0) :={

z∣

∣ |z − z0| ≤ ρ}

die abgeschlossene Kugel um z0 vom Radius ρ bezeichnet.

Beweis: Mit fn(z) := an(z − z0)n haben wir f(z) =

∑∞n=0 fn(z). Wahle jetzt ein z1 ∈ K

mit ρ < |z1 − z0| < r, so dass f nach Voraussetzung in z1 punktweise konvergiert. Alsoexistiert ein M > 0 mit |fn(z1)| ≤ M fur alle n ∈ N. Fur alle z ∈ Kρ(z0) gilt dann

∣

∣fn(z)∣

∣ =∣

∣an(z − z0)n∣

∣ =∣

∣an(z1 − z0)n∣

∣ ·∣

∣

∣

∣

z − z0

z1 − z0

∣

∣

∣

∣

n

=∣

∣fn(z1)∣

∣ ·∣

∣

∣

∣

z − z0

z1 − z0

∣

∣

∣

∣

n

≤ M · θn

mitθ :=

ρ

|z1 − z0|∈ (0, 1).

Also ist‖fn‖∞ ≤ M · θn fur alle n ∈ N

mit der auf Kρ(z0) definierten Supremumsnorm ‖g‖∞ := sup{

|g(z)|∣

∣ z ∈ Kρ(z0)}

. Wegenθ ∈ (0, 1) ist die geometrische Reihe M

∑∞n=0 θn konvergent. Daher konvergiert die Potenz-

reihe f =∑

fn absolut und gleichmaßig auf Kρ(z0) wegen Satz 9.13. 2


9.4. ANWENDUNG AUF POTENZREIHEN 281

Wegen Satz 9.17 konvergiert eine Potenzreihe gleichmaßig, sofern man von dem Rand desKonvergenzkreises hinreichend wegbleibt. Das folgende Beispiel zeigt, dass im Allgemeinentatsachlich keine gleichmaßige Konvergenz in dem gesamten Konvergenzbereich vorliegenmuss.

Beispiel 9.18 Betrachte die Reihe∑∞

k=0 zk. Diese besitzt den Konvergenzradius R = 1und konvergiert daher fur alle z ∈ K mit |z| < 1. Sie ist auf dieser Menge jedoch nichtgleichmaßig konvergent. Um dies einzusehen, bezeichnen wir die n-te Partialsumme mit

sn(z) :=n

∑

k=0

zk =1 − zn+1

1 − z.

Dann istzn+1 = (z − 1)sn(z) + 1,

so dass aus der gleichmaßigen Konvergenz von sn(z) fur alle z mit |z| < 1 auch diegleichmaßige Konvergenz der Folge {zn} fur alle diese z folgen wurde, was bekanntlichaber nicht der Fall ist, vergleiche Beispiel 9.1 (a). 3

Ahnlich wie den Satz 9.17 beweist man die nachstehende Folgerung.

Korollar 9.19 Die Potenzreihe

f(z) :=

∞∑

n=0

an(z − z0)n (mit an, z0 ∈ K)

habe den Konvergenzradius r > 0. Dann konvergiert die hieraus formal abgeleitete Potenz-reihe

g(z) :=∞

∑

n=1

nan(z − z0)n−1

absolut und gleichmaßig auf Kρ(z0) fur jedes 0 < ρ < r.

Beweis: Setze gn(z) := nan(z − z0)n−1. Dann ist g =

∑∞n=1 gn. Wie im Beweis von Satz

9.17 zeigt man, dass‖gn‖∞ ≤ nMθn−1

mit der dort eingefuhrten Supremumsnorm und mit gewissen Konstanten M > 0 und θ ∈(0, 1) gilt. Aus dem Quotientenkriterium folgt sofort die Konvergenz der Reihe M

∑∞n=1 nθn−1

und damit die eigentliche Behauptung wegen des Satzes 9.13. 2

Durch Zusammenfassung unserer bisherigen Resultate erhalten wir das nachstehende Er-gebnis, das wir hier nur fur reelle Potenzreihen definieren, da der Differenzierbarkeitsbe-griff fur komplexe Funktionen nicht eingefuhrt wurde, obgleich das Ergebnis im Komplexenebenfalls gelten wurde.



Satz 9.20 ( Ableitung von Potenzreihen )Die Potenzreihe

f(x) :=

∞∑

n=0

an(x − x0)n (mit an, x0 ∈ R)

habe den Konvergenzradius r > 0. Dann ist f fur alle x ∈ (x0 − r, x0 + r) differenzierbarmit

f ′(x) =

∞∑

n=1

nan(x − x0)n−1.

Ferner haben f und f ′ denselben Konvergenzradius.

Beweis: Sei x ∈ (x0 − r, x0 + r). Dann existiert ein 0 < ρ < r mit x ∈ Kρ(x0). Daherfolgt die Behauptung uber die Differenzierbarkeit von f sowie die angegebene Darstellungvon f ′(x) aus dem Satz 9.11 (c) und dem Korollar 9.19.

Die Aussage zum Konvergenzradius von f und f ′ hingegen erhalt man wie folgt: Setzezunachst

g(x) :=

∞∑

n=1

nan(x − x0)n.

Dann ist f ′(x)(x − x0) = g(x). Fur jedes feste x 6= x0 ist die Reihe f ′(x) also ein Viel-faches der Reihe g(x). Also konvergiert f ′ im Punkte x genau dann, wenn g im Punktex konvergent ist. Nach dem Kriterium von Cauchy–Hadamard aus dem Satz 3.44 ist derKonvergenzradius r von f charakterisiert durch die Formel

r =1

Lmit L := lim sup

n→∞

n√

|an|.

Analog ist der Konvergenzradius r′ von f ′ gleich dem Konvergenzradius von g, welcherwiederum nach der Formel von Cauchy–Hadamard gegeben ist durch

r′ =1

L′ mit L′ := lim supn→∞

n√

n|an|.

Wegen n√

n → 1 fur n → ∞, vergleiche Beispiel 3.4 (g), ergibt sich jedoch L = L′, so dassdie beiden Konvergenzradien r und r′ von f und f ′ in der Tat ubereinstimmen. 2

Das vorstehende Ergebnis besagt, dass eine Potenzreihe gliedweise differenziert werdendarf. Hierzu gilt folgende Verallgemeinerung.

Satz 9.21 ( Analytizitat von Potenzreihen )Die Potenzreihe

f(x) =∞

∑

n=0

an(x − x0)n (mit an, x0 ∈ R)


9.5. TAYLOR–POLYNOME 283

habe den Konvergenzradius r > 0. Dann ist f : (x0 − r, x0 + r) → R beliebig oft differen-zierbar, und es gilt

an =1

n!f (n)(x0)

fur alle n ∈ N0.

Beweis: Wegen Satz 9.20 ist f differenzierbar mit einer Ableitung f ′, die ebenfalls eine Po-tenzreihe darstellt, welche denselben Konvergenzradius wie f selbst besitzt. Daher konnenwir den Satz 9.20 erneut auf f ′ anwenden und erhalten, dass auch die zweite Ableitung f ′′

existiert. So fortfahrend, ergibt sich auf diese Weise, dass die Abbildung f unendlich oftdifferenzierbar ist. Ferner erhalt man durch wiederholte Anwendung des Satzes 9.20 dieFormel

f (k)(x) =∞

∑

n=k

n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)an(x − x0)n−k,

aus welcher sich insbesondere

f (k)(x0) = k!ak ⇐⇒ ak =f (k)(x0)

k!

ergibt wegen 00 = 1. 2

Das vorige Resultat besagt, dass jede Potenzreihe eine C∞–Funktion ist, also beliebigoft differenzierbar ist. Bei der Behandlung von Taylor–Reihen im Abschnitt 9.6 werdenwir umgekehrt sehen, dass jede C∞–Funktion in eine Potenzreihe entwickelt werden kann,allerdings konvergiert diese Potenzreihe nicht notwendig gegen die gegebene C∞–Funktion.

9.5 Taylor–Polynome

Seien I ⊆ R ein gegebenes Intervall und f : I → R eine in einem Punkt x0 n-mal differen-zierbare Funktion. Zur lokalen Approximation dieser Funktion in der Nahe von x0 suchenwir ein Polynom der Gestalt

T (x) :=

n∑

k=0

ak(x − x0)k

derart, dass

T (x0) = f(x0), T ′(x0) = f ′(x0), . . . , T (n)(x0) = f (n)(x0)

gelten. Wegen

T (k)(x0) = k!ak ∀k = 0, 1, . . . , n

ergibt sich aus dieser Forderung sofort

ak =1

k!f (k)(x0) ∀k = 0, 1, . . . , n.



Wir erhalten also

T (x) =

n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x − x0)

k.

Dieses Polynom erhalt einen eigenen Namen.

Definition 9.22 Das Polynom

T fn (x; x0) := f(x0) +

f ′(x0)

1!(x − x0) +

f ′′(x0)

2!(x − x0)

2 + . . . +f (n)(x0)

n!(x − x0)

n

heißt n-tes Taylor–Polynom von f mit Entwicklungspunkt x0.

Sofern der Entwicklungspunkt x0 aus dem Zusammenhang klar ist, schreiben wir im Fol-genden oft nur T f

n (x) statt T fn (x; x0). Besitzt die Funktion f in einer Umgebung von x0

eine Darstellung als Potenzreihe der Form

f(x) =

∞∑

k=0

ak(x − x0)k,

so ist das zugehorige Taylor–Polynom offenbar gerade durch die n-te Partialsumme

T fn (x) =

n∑

k=0

ak(x − x0)k

gegeben, vergleiche den Satz 9.21. Wir fragen uns als Nachstes, wie gut das n-te Taylor–Polynom die Funktion f tatsachlich (zumindest in der Nahe von x0) approximiert. Zudiesem Zweck definieren wir den Fehler

Rn+1(x) := f(x) − T fn (x; x0),

den wir auch als das Restglied bezeichnen wollen. Eine explizite Darstellung des Fehlers istin dem folgenden Resultat enthalten.

Satz 9.23 ( Integral–Form fur Rn+1 )

Seien f : I → R insgesamt (n + 1)-mal stetig differenzierbar auf einem Intervall I mitx0 ∈ I. Dann gilt

Rn+1(x) =1

n!

∫ x

x0

(x − t)nf (n+1)(t)dt

fur jedes x ∈ I.

Beweis: Der Beweis erfolgt durch Induktion nach n. Fur n = 0 reduziert sich die Aussageauf die Identitat

f(x) = f(x0) +

∫ x

x0

f ′(t)dt,


9.5. TAYLOR–POLYNOME 285

die aufgrund des Hauptsatzes 7.37 der Differential– und Integralrechung gilt. Die behaup-tete Darstellung moge daher fur ein n − 1 gelten. Es sei also

Rn(x) =1

(n − 1)!

∫ x

x0

(x − t)n−1f (n)(t)dt.

Durch partielle Integration erhalt man hieraus

f(x) − T fn−1(x; x0) = −(x − t)n

n!f (n)(t)

∣

∣

∣

x

x0

+1

n!

∫ x

x0


=f (n)(x0)

n!(x − x0)

n +1

n!

∫ x

x0

(x − t)nf (n+1)(t)dt.

Dies impliziert offenbar die behauptete Darstellung von Rn+1(x). 2

Als Folgerung aus dem Satz 9.23 ergibt sich die nachstehende alternative Darstellung furden Fehler Rn+1(x).

Satz 9.24 ( Lagrange–Form fur Rn+1 )

Sei f : I → R insgesamt (n+1)-mal stetig differenzierbar auf einem Intervall I mit x0 ∈ I.Dann gibt es zu jedem x ∈ I ein ξ zwischen x0 und x mit

Rn+1(x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x − x0)

n+1.

Beweis: Sei x ∈ I beliebig gegeben. Das Polynom p(t) := (x − t)n besitzt die n-facheNullstelle t = x und hat links bzw. rechts von x einheitliche Vorzeichen. Insbesonderehat p einheitliches Vorzeichen auf dem gesamten Intervall zwischen x0 und x. Aus demverallgemeinerten Mittelwertsatz 7.32 der Integralrechnung ergibt sich daher die Existenzeines ξ zwischen x0 und x derart, dass

Rn+1(x)9.23=

1

n!

∫ x

x0


7.32= f (n+1)(ξ)

∫ x

x0

(x − t)n

n!dt

= −f (n+1)(ξ)(x− t)n+1

(n + 1)!

∣

∣

∣

x

x0

=f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x − x0)

n+1,

womit die Behauptung bereits bewiesen ist. 2

Die Lagrange–Form des Fehlers Rn+1 liefert eine oft benutzte Darstellung, die wir in dernachstehenden Folgerung formulieren.



Korollar 9.25 Seien f : I → R eine n-mal stetig differenzierbare Funktion und x0 ∈ I.Dann gilt

f(x) = T fn (x) + η(x)(x − x0)

n

fur alle x ∈ I, wobei η eine Funktion mit limx→x0η(x) = 0 ist.

Beweis: Mit dem Satz 9.24 (mit n an Stelle von n + 1, da wir hier ja einen Differenzier-barkeitsgrad weniger gefordert haben) ergibt sich

f(x) − T fn−1(x) = Rn(x)

=f (n)(ξ)

n!(x − x0)

n

=f (n)(x0)

n!(x − x0)

n +f (n)(ξ) − f (n)(x0)

n!(x − x0)

n,

alsof(x) − T f

n (x) = η(x)(x − x0)n

mit der Abbildung (Achtung: die Zwischenstelle ξ hangt von x ab)

η(x) :=f (n)(ξ) − f (n)(x0)

n!.

Mit x → x0 gilt auch ξ → x0 fur die Zwischenstellen ξ, so dass wir aus der Stetigkeit vonf (n) im Punkte x0 unmittelbar

limx→x0

η(x) = limx→x0

f (n)(ξ) − f (n)(x0)

n!= 0

erhalten. 2

Die im Korollar 9.25 angegebene Formel wird oft als

f(x) = T fn (x) + o

(

(x − x0)n)

(9.6)

geschrieben, wobei o das so genannte Landau–Symbol bezeichnet. Dieses ist wie folgt defi-niert: Sind f, g zwei in einer Umgebung von x0 gegebene Funktionen, so schreibt man

f(x) = o(

g(x))

fur x → x0, falls limx→x0

f(x)

g(x)= 0

gilt. Ferner schreibt man

f = h + o(g), falls f − h = o(g)

gilt. Dies rechtfertigt die Formulierung (9.6). Entsprechend schreibt man auch

f(x) = O(

g(x))

fur x → x0, falls |f(x)| ≤ C|g(x)|


9.6. TAYLOR–REIHEN 287

mit einer Konstanten C > 0 gilt, was sich im Falle von g(x) 6= 0 auch aquivalent schreibenlasst als

lim supx→x0

∣

∣

∣

∣

f(x)

g(x)

∣

∣

∣

∣

< ∞

Man spricht hierbei auch von den”klein-o“– und

”groß-o“–Symbolen.

Wir geben zum Abschluss noch eine dritte Darstellung des Restgliedes Rn+1 an.

Satz 9.26 ( Cauchy–Form fur Rn+1 )

Sei f : I → R insgesamt (n+1)–mal stetig differenzierbar auf einem Intervall I mit x0 ∈ I.Dann gibt es zu jedem x ∈ I ein θ ∈ (0, 1) mit

Rn+1(x) =1

n!(1 − θ)nf (n+1)

(

x0 + θ(x − x0))

(x − x0)n+1.

Beweis: Aufgrund des Satzes 9.23 gilt

Rn+1(x) =

∫ x

x0

g(x, t)dt

mit der Funktion

g(x; t) :=1

n!(x − t)nf (n+1)(t).

Nach dem Mittelwertsatz 7.33 der Integralrechnung existiert nun ein ξ zwischen x0 und x,also ξ = x0 + θ(x − x0) fur ein θ ∈ (0, 1), mit

∫ x

x0

g(x, t)dt = g(x; ξ)(x− x0).

Die Definition von g liefert daher die Behauptung. 2

9.6 Taylor–Reihen

Wir verallgemeinern jetzt den Begriff des Taylor–Polynoms auf unendlich oft differenzier-bare Funktionen.

Definition 9.27 Sei f : I → R eine beliebig oft differenzierbare Funktion und x0 ∈ Ibeliebig gegeben. Dann heißt

Tf (x) :=∞

∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x − x0)

k

die Taylor–Reihe von f mit Entwicklungspunkt x0.



Die Taylor–Reihe einer Funktion f ist also eine Potenzreihe. Die n-te Partialsumme derTaylor–Reihe ergibt das Taylor–Polynom aus dem vorigen Abschnitt. Daher konvergiertdie Taylor–Reihe genau fur diejenigen x ∈ I gegen den Funktionswert f(x), fur die dasRestglied Rn+1(x) aus (beispielsweise) dem Satz 9.24 gegen Null konvergiert. Es kannnaturlich sein, dass die Taylor–Reihe nur im Entwicklungspunkt x = x0 konvergiert, ihrKonvergenzradius also nicht positiv ist. Andererseits kann es auch vorkommen, dass dieTaylor–Reihe konvergiert, aber leider nicht gegen den gewunschten Wert f(x). Fur dieseunerwunschte Situation geben wir zunachst ein Beispiel an.

Beispiel 9.28 Sei f : R → R definiert durch

f(x) :=

{

e−1/x2

, falls x 6= 0,0, falls x = 0.

Wir zeigen, dass f beliebig oft differenzierbar ist und f (n)(0) = 0 fur alle n ∈ N gilt. DieTaylor–Reihe von f um den Entwicklungspunkt x0 := 0 ist dann identisch Null, konvergiertalso, aber nicht gegen f(x).

Wir beweisen durch vollstandige Induktion nach n, dass es Polynome pn gibt mit

f (n)(x) =

{

pn( 1x)e−1/x2

, falls x 6= 0,0, falls x = 0.

Der Induktionsanfang n = 0 ist klar, man setze einfach p0 ≡ 1. Die Aussage moge nun furein beliebiges n ≥ 0 gelten. Fur jedes x 6= 0 ist dann

f (n+1)(x) =d

dxf (n)(x)

=d

dx

(

pn

(1

x

)

e−1/x2

)

=

(

−p′n(1

x

) 1

x2+ 2pn

(1

x

) 1

x3

)

e−1/x2

= pn+1

(1

x

)

e−1/x2

mit dem Polynompn+1(t) := −p′n(t) · t2 + 2pn(t) · t3.

Fur x = 0 hingegen gilt gemaß Definition des Differenzenquotienten

f (n+1)(0) = limx→0

f (n)(x) − f (n)(0)

x

= limx→0

pn( 1x)e−1/x2

x

= limr→±∞

rpn(r)e−r2



= 0,

wobei wir mit r := 1x

substituiert haben und die letzte Gleichheit aus dem Wachstumsver-halten der Exponentialfunktion folgt, siehe Satz 5.5. 3

Aufgrund des nachstehenden Satzes kennen wir in einigen wichtigen Fallen bereits dieTaylor–Reihe.

Satz 9.29 ( Taylor–Reihe von Potenzreihen )Seien I ⊆ R ein Intervall, x0 ∈ I beliebig und f : I → R eine Funktion, welche durch diePotenzreihe

f(x) :=

∞∑

k=0

ak(x − x0)k

fur alle x ∈ I dargestellt werde. Dann ist die Taylor–Reihe von f gleich dieser Potenzreiheund konvergiert gegen f .

Der Beweis des Satzes 9.29 folgt unmittelbar aus dem Satz 9.21. Mittels des Satzes 9.29konnen wir einige Beispiele von Taylor–Reihen angeben.

Beispiel 9.30 (a) Die Taylor–Reihe der Exponentialfunktion mit Entwicklungspunktx0 = 0 ist

exp(x) =

∞∑

k=0

xk

k!.

Sie konvergiert bekanntlich fur alle x ∈ R. Aus dem Additionstheorem erhalt manauch die Taylor–Reihe fur einen beliebigen Entwicklungspunkt x0:

exp(x) = exp(x0) exp(x − x0) =∞

∑

k=0

exp(x0)

k!(x − x0)

k.

(b) Die Taylor–Reihe des Sinus ist gegeben durch

sin(x) =∞

∑

k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!,

und diese Reihe konvergiert ebenfalls fur alle x ∈ R. Aus der Lagrange–Form desRestgliedes folgt weiter (Achtung: die Taylor–Entwicklung geht hier bis zum Term2n + 2, auch wenn durch Umindizierung die Summation letztlich nur von k = 0 bisk = n verlauft)

sin(x) =

n∑

k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!+ R2n+3(x)

mit

R2n+3(x) =sin(2n+3)(ξ)

(2n + 3)!x2n+3 = (−1)n+1 cos(ξ)

(2n + 3)!x2n+3.



Damit folgt fur das Restglied die Abschatzung

∣

∣R2n+3(x)∣

∣ ≤ |x|2n+3

(2n + 3)!

fur alle x ∈ R.

(c) Die Taylor–Reihe des Cosinus ist durch die uberall konvergente Potenzreihe

cos(x) =∞

∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!

gegeben. Mit dem Satz 9.24 erhalten wir analog zu Teil (b) die Darstellung

cos(x) =n

∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!+ R2n+2(x)

mit dem Restglied

R2n+2(x) = (−1)n+1 cos(ξ)

(2n + 2)!x2n+2,

so dass wir∣

∣R2n+2(x)∣

∣ ≤ |x|2n+2

(2n + 2)!

fur alle x ∈ R erhalten. 3

Wir wollen als Nachstes noch die Taylor–Reihe des naturlichen Logarithmus angeben.

Satz 9.31 ( Taylor–Reihe des Logarithmus )Fur alle x ∈ (−1, +1] ist

ln(1 + x) =∞

∑

k=1

(−1)k+1xk

k.

Beweis: Die Funktion f(x) := ln(1 + x) ist auf dem Intervall (−1,∞) beliebig oft diffe-renzierbar. Fur die Ableitungen gilt offenbar

f (k)(x) =(k − 1)!(−1)k+1

(1 + x)k(k ∈ N).

Daher istf (0)(0)

0!= 0 und

f (k)(0)

k!=

(−1)k+1

kfur alle k = 1, 2, . . . .

Fur das Taylor–Polynom mit Entwicklungspunkt x0 = 0 erhalten wir somit

T fn (x) =

n∑

k=1

(−1)k+1xk

k.



Zum Beweis der Konvergenz der angegebenen Reihe gegen den Wert ln(1 + x) mussen wirnun zeigen, dass das zugehorigen Restglied Rn+1(x) fur jedes x ∈ (−1, +1] fur n → ∞gegen Null geht.

Zu diesem Zweck betrachten wir zunachst das Restglied in der Lagrange–Form, welchesgegeben ist durch

Rn+1(x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!xn+1 =

(−1)n · xn+1

(n + 1)(1 + ξ)n+1

fur ein ξ zwischen 0 und x. Hieraus ergibt sich fur jedes x ∈ [0, 1]

∣

∣Rn+1(x)∣

∣ =1

n + 1

∣

∣

∣

∣

x

1 + ξ

∣

∣

∣

∣

n+1

≤ 1

n + 1→ 0 fur n → ∞

und daher die Konvergenz der genannten Reihe in jedem Punkt x ∈ [0, 1]. Fur x ∈ (−1, 0)hingegen lasst sich auf diese Weise nicht die gewunschte Aussage herleiten, denn der Nenner1 + ξ konnte fur ξ → −1 gegen Null gehen.

Zum Nachweis der Konvergenz fur x ∈ (−1, 0) benutzen wir deshalb das Restglied inder Cauchy–Form

Rn+1(x) =f (n+1)(θx)

n!(1 − θ)nxn+1 =

(−1)nxn+1

(1 + θx)n+1(1 − θ)n

fur ein θ ∈ (0, 1). Ist daher |x| < 1 (insbesondere also x ∈ (−1, 0)), so ist

1 − θ

1 − θ|x| < 1

und daher

∣

∣Rn+1(x)∣

∣ = |x|n+1 (1 − θ)n

|1 + θx|n+1

≤ |x|n+1

1 − |x|

(

1 − θ

1 − θ|x|

)n

≤ |x|n+1

1 − |x|→ 0 fur n → ∞.

Damit ist alles bewiesen. 2

Speziell fur x = 1 erhalt man aus dem Satz 9.31 die Formel

ln(2) = 1 − 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6± . . . ,



d.h., die alternierende harmonische Reihe∑∞

k=1(−1)k+1 1k

konvergiert (was wir schon langewissen) gegen den Grenzwert ln(2) (was wir bislang noch nicht wussten).

Als kleine Anwendung des Satzes von Taylor wollen wir noch ein Kriterium fur dasVorliegen von lokalen Minima und Maxima angeben. Zu diesem Zweck werden diese Begriffzunachst definiert.

Definition 9.32 Seien I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine gegebene Funktion. EinPunkt ξ ∈ I heißt

(a) lokales Minimum von f , wenn ein ε > 0 existiert mit

f(ξ) ≤ f(x) fur alle x ∈ I ∩ [ξ − ε, ξ + ε].

(b) striktes lokales Minimum von f , wenn ein ε > 0 existiert mit

f(ξ) < f(x) fur alle x ∈ I ∩ [ξ − ε, ξ + ε] mit x 6= ξ.

(c) lokales Maximum von f , wenn ein ε > 0 existiert mit

f(ξ) ≥ f(x) fur alle x ∈ I ∩ [ξ − ε, ξ + ε].

(d) striktes lokales Maximum von f , wenn ein ε > 0 existiert mit

f(ξ) > f(x) fur alle x ∈ I ∩ [ξ − ε, ξ + ε] mit x 6= ξ

(e) (striktes) lokales Extremum von f , wenn ξ ein (striktes) lokales Minimum oder Ma-ximum von f ist.

Entsprechend konnen (strikte) globaleMinima/Maxima/Extrema definiert werden.

Fur die in Abbildung 9.5 gezeichnete Funktion f auf X = [x1, x8] ist x2 das (strikte) globaleMinimum, x7 das (strikte) globale Maximum, x1 und x3 sind strikte lokale Maxima, x8 istein striktes lokales Minimum und alle Punkte des Intervalls [x4, x5] sind (nicht strikte)lokale Minima (die inneren Punkte dieses Intervalls sind zugleich lokale Maxima); x6 istweder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

Handelt es sich bei ξ um einen inneren Punkt des Intervalls I, so kennen wir bereits einnotwendiges Kriterium fur das Vorliegen eines lokalen Extremums: Wegen Satz 6.15 giltdann f ′(ξ) = 0. Das Beispiel f(x) = x3 mit ξ := 0 zeigt jedoch, dass diese Bedingung nichthinreichend fur das Vorliegen eines lokalen Extremums ist. Als relativ einfache Folgerungdes Satzes 9.24 konnen wir jetzt aber auch ein hinreichendes Kriterium formulieren, undzwar sogar fur das Vorliegen eines strikten lokalen Extremums.

Satz 9.33 ( Kriterium fur strikte lokale Extrema )Seien I ⊆ R ein Intervall und f : I → R insgesamt n-mal stetig differenzierbar mit

f ′(ξ) = 0, f ′′(ξ) = 0, . . . , f (n−1)(ξ) = 0, f (n)(ξ) 6= 0

fur einen inneren Punkt ξ von I. Dann gelten:


9.7. DAS INTEGRAL FUR REGELFUNKTIONEN 293

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

Abbildung 9.5: Minima und Maxima einer Funktion

(a) Ist n gerade und f (n)(ξ) > 0, so ist ξ ein striktes lokales Minimum von f .

(b) Ist n gerade und f (n)(ξ) < 0, so ist ξ ein striktes lokales Maximum von f .

Beweis: Aufgrund des Satzes 9.24 erhalten wir fur jedes x ∈ I durch Taylor–Entwicklungvon f um den Punkt ξ

f(x) =n−1∑

k=0

f (k)(ξ)

k!(x − ξ)k + Rn(x) = f(ξ) + Rn(x)

fur ein gewisses Restglied Rn(x). Wir verwenden hier das Restglied in der Lagrange–Form.Gilt f (n)(ξ) > 0, so gilt auch f (n)(x) > 0 fur alle x aus einer hinreichend kleinen Umgebungvon ξ. Fur gerades n folgt aus der Darstellung des Lagrange–Restglieds daher unmittelbarf(x) > f(ξ) fur alle x 6= ξ aus dieser Umgebung von ξ. Analog folgt die Behauptung imFall (b). 2

Als Beispiel betrachten wir die Funktion f(x) := x4 fur x ∈ R. Die Ableitungen sindgegeben durch f ′(x) = 4x3, f ′′(x) = 12x2, f ′′′(x) = 24x und f (4)(x) ≡ 24. In ξ = 0 giltdaher f ′(ξ) = f ′′(ξ) = f ′′′(ξ) = 0 sowie f (4)(ξ) > 0. Aufgrund des Satzes 9.33 ist derNullpunkt somit ein striktes lokales Minimum. Anschaulich ist klar, dass es sich hierbeisogar um das globale Minimum von f handelt, das ergibt sich aber nicht aus dem obigenResultat.

9.7 Das Integral fur Regelfunktionen

Wir gehen in diesem Abschnitt als eine Anwendung der bisherigen Theorie uber die gleich-maßige Konvergenz von Funktionenfolgen auf das Integral fur so genannte Regelfunktionenein. Dazu bezeichnen wir in diesem gesamten Abschnitt mit I := [a, b] stets ein gegebeneskompaktes Intervall. Ferner seien

B(I) :={

f : I → R∣

∣ f ist beschrankt}

und



R(I) :={

f : I → R∣

∣ f ist Riemann–integrierbar}

die Mengen der auf I beschrankten bzw. Riemann–integrierbaren Funktionen. Per Defini-tion gilt dann die Inklusion

R(I) ⊆ B(I).

In vielen Buchern der Analysis (siehe beispielsweise [2, 20]) wird das Integral nicht furdie Klasse der Riemann–integrierbaren Funktion eingefuhrt, sondern stattdessen das sogenannte Regelintegral auf der Menge der Regelfunktionen. Mit den uns jetzt zur Verfugungstehenden Hilfsmitteln sind wir relativ leicht in der Lage, dieses Regelintegral einzufuhrenund mit dem uns vertrauten Riemann–Integral zu vergleichen.

Zwecks Einfuhrung der Regelfunktionen sei zunachst an die Definition einer Treppen-funktion erinnert, vergleiche hierzu das Beispiel 2.2 (g): Eine Abbildung f : I → R heißtTreppenfunktion, wenn es eine Partition P von I durch Punkte xk mit

a = x0 < x1 < . . . < xn = b

gibt derart, dass f auf jedem der offenen Teilintervalle (xj−1, xj) konstant ist. Treppenfunk-tionen sind also stuckweise konstante Funktionen. Uber die Werte einer Treppenfunktionin den (hochstens) endlich vielen Zerlegungspunkten xk wird nichts ausgesagt, sie mussenlediglich reell sein. Insbesondere ist jede Treppenfunktion daher beschrankt. Bezeichnenwir mit

T (I) :={

f : I → R∣

∣ f ist Treppenfunktion}

die Menge aller Treppenfunktionen auf dem Intervall I, so haben wir

T (I) ⊆ B(I).

Jede Treppenfunktion ist offenbar Riemann–integrierbar mit

∫ b

a

f(x)dx =n

∑

j=1

cj(xj − xj−1), (9.7)

wenn wir zur Abkurzung cj := f(x) fur x aus dem Konstanzintervall (xj−1, xj) setzen. DieWerte einer Treppenfunktion in den endlich vielen Partitionspunkten xk spielen fur dasRiemann–Integral dabei bekanntlich keine Rolle.

Mit der uns schon aus der Bemerkung 7.48 bekannten Supremumsnorm

‖f‖∞ := sup{

|f(x)|∣

∣x ∈ [a, b]}

fur f ∈ B(I)

konnen wir unter Verwendung von Treppenfunktionen nun die Klasse der Regelfunktioneneinfuhren.

Definition 9.34 Eine Funktion f : I → R heißt Regelfunktion, wenn es eine Folge vonTreppenfunktionen fn : I → R gibt mit ‖f − fn‖∞ → 0 fur n → ∞.



Eine Abbildung f ist also genau dann eine Regelfunktion, wenn es eine Folge von Trep-penfunktionen gibt, die gleichmaßig gegen f konvergiert. Die Menge aller Regelfunktionenbezeichnen wir mit

R′(I) :={

f : I → R∣

∣ f ist Regelfunktion}

.

Aus der Definition folgt sehr leicht, dass eine Regelfunktion zwangslaufig beschrankt ist.Sei nun f ∈ R′(I) eine Regelfunktion und {fn} eine zugehorige Folge von Treppenfunk-

tionen mit ‖f − fn‖∞ → 0. Da jedes fn insbesondere Riemann–integrierbar ist, folgt ausdem Satz 9.8 sofort die Riemann–Integrierbarkeit von f mit

∫ b

a

f(x)dx = limn→∞

∫ b

a

fn(x)dx. (9.8)

Da jede Treppenfunktion naturlich selbst eine Regelfunktion ist, haben wir somit die In-klusionen

T (I) ⊆ R′(I) ⊆ R(I).

Diese Inklusionen sind sogar echt, was im Falle der linken Inklusion sehr leicht zu sehenist, wahrend das folgende Beispiel zeigt, dass auch die rechte Inklusion echt ist.

Beispiel 9.35 Betrachte die beschrankte Funktion

f : [0, 1] → R mit f(x) :=

{

0, fur x = 0,sin( 1

x), fur 0 < x ≤ 1.

Dann ist f mit Ausnahme des Punktes x = 0 stetig und daher Riemann–integrierbar,vergleiche den Satz 8.5. In x = 0 existiert allerdings noch nicht einmal der einseitigeGrenzwert f(0+) := limx→0+ f(x). Im Hinblick auf den gleich zu beweisenden Satz 9.37 istf daher keine Regelfunktion, vergleiche hierzu auch die Abbildung 9.6. 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Abbildung 9.6: Der Graph der Funktion aus dem Beispiel 9.35.

Bevor wir zu dem gerade angesprochenen Satz gelangen, benotigen wir noch die nachste-hende Definition.



Definition 9.36 Seien D ⊆ R, f : D −→ R und a ∈ R ein (nicht notwendig in Dliegender) Haufungspunkt von D. Dann hat f in a einen linksseitigen bzw. rechtsseitigenGrenzwert, wenn ein c ∈ R existiert mit limn→∞ f(xn) = c fur alle {xn} −→ a mit xn < abzw. xn > a fur alle n ∈ N. Wir schreiben dann f(a−) bzw. f(a+) fur den links– bzw.rechtsseitigen Grenzwert.

Die obige Definition eines einseitigen (links– oder rechtsseitigen) Grenzwerts entspricht imPrinzip dem Folgen–Kriterium fur die Stetigkeit der Funktion, nur dass die betrachtetenFolgen {xn} nicht mehr beliebig sein durfen, sondern sich dem Grenzpunkt a von linksbzw. rechts nahern mussen.

Offenbar gelten die nachstehenden Aquivalenzen fur den linksseitigen Grenzwert:

• f hat in a einen linksseitigen Grenzwert c (Folgen–Kriterium)

• ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :∣

∣f(x) − c∣

∣ < ε fur alle x ∈ (a − δ, a) (ε-δ-Kriterium)

• ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :∣

∣f(x) − f(y)∣

∣ < ε fur alle x, y ∈ (a − δ, a) (Cauchy–Kriterium).

Entsprechende Charakterisierungen gelten fur den rechtsseitigen Grenzwert. Die Abbildun-gen 9.7 und 9.8 geben jeweils zwei Beispiele von Funktionen an, die in einem gegebenenPunkt x unstetig sind und dort entweder einen links– und rechtsseitigen Grenzwert haben(siehe Abbildung 9.7) oder eben nicht (siehe Abbildung 9.8).

x x

f

f

Abbildung 9.7: Zwei Beispiele von Funktionen, die im Punkt x unstetig sind, dort abersowohl einen rechts– als auch einen linksseitigen Grenzwert besitzen

Mittels dieser einseitigen Grenzwerte lassen sich die Regelfunktionen auf kompaktenMengen charakterisieren.

Satz 9.37 ( Charakterisierung von Regelfunktionen )Eine auf einen kompakten Intervall I := [a, b] beschrankte Funktion f : [a, b] −→ R istgenau dann eine Regelfunktion, wenn fur jeden inneren Punkt x ∈ (a, b) die einseitigenGrenzwerte f(x+) und f(x−) sowie in den beiden Randpunkten die einseitigen Limitesf(a+) und f(b−) existieren.



x x

f

Abbildung 9.8: Zwei Beispiele von Funktionen, die keinen linksseitigen(

Bild (a))

bzw.keinen rechtsseitigen Grenzwert

(

Bild (b))

im Punkt x haben

Beweis: Sei f zunachst eine Regelfunktion. Dann existiert eine Folge von Treppenfunk-tionen fn : I −→ R mit ‖fn − f‖∞ −→ 0. Zu vorgegebenem ε > 0 gibt es daher ein n ∈ N

mit∣

∣fn(x) − f(x)∣

∣ <ε

3fur alle x ∈ I.

Da fn eine Treppenfunktion ist, existiert fur jedes gegebene x ∈ [a, b) der rechtsseitigeGrenzwert fn(x+). Somit gibt es nach dem oben genannten Cauchy–Kriterium ein δ > 0mit

∣

∣fn(y) − fn(z)∣

∣ <ε

3fur alle y, z ∈ I ∩ (x, x + δ).

Damit erhalt man∣

∣f(y)− f(z)∣

∣ ≤∣

∣f(y) − fn(y)∣

∣ +∣

∣fn(y) − fn(z)∣

∣ +∣

∣fn(z) − f(z)∣

∣

<ε

3+

ε

3+

ε

3= ε

fur alle y, z ∈ (x, x + δ). Also existiert der rechtsseitige Grenzwert f(x+) aufgrund desCauchy–Kriteriums. Analog beweist man die Existenz des linksseitigen Grenzwertes f(x−)fur alle x ∈ (a, b].

Zum Nachweis der Umkehrung sei ε > 0 beliebig gegeben. Wegen der Existenz dereinseitigen Grenzwerte von f gibt es dann zu jedem Punkt x0 ∈ I eine Zahl δ > 0, so dassfur alle x, y im Intervall U := I ∩ (x0 − δ, x0 + δ) Folgendes gilt (Cauchy–Kriterium): Wennx und y beide kleiner oder beide großer als x0 sind, dann ist

∣

∣f(x) − f(y)∣

∣ < ε.

Weil I kompakt ist, genugen endlich viele der offenen Intervalle (x0 − δ, x0 + δ) zur Uber-deckung von I. Folglich wird I auch von den entsprechenden endlich vielen Intervallen Uuberdeckt, etwa von

Uk := I ∩ (xk − δk, xk + δk) fur k = 1, 2, . . . , l.



Die in I gelegenen Anfangs–, Mittel– und Endpunkte der offenen Intervalle (xk−δk, xk+δk)sowie die Randpunkte a und b denken wir uns der Große nach geordnet. Dadurch erhaltenwir eine Zerlegung

a = y0 < y1 < y2 < . . . < yN = b

von I. Fur jedes j = 1, . . . , N wahlen wir einen Punkt ξj ∈ (yj−1, yj). Damit definieren wireine Treppenfunktion T : I −→ R durch

T (x) :=

{

f(ξj), falls x ∈ (yj−1, yj) fur ein j,f(yj), falls x = yj fur ein j.

Wir behaupten, dass dann

∣

∣f(x) − T (x)∣

∣ < ε fur alle x ∈ I

ist. In den Teilpunkten x = yj ist diese Behauptung offenbar richtig. Zu jedem anderenPunkt x ∈ I gibt es genau ein j mit x ∈ (yj−1, yj). Zu diesem j existiert wiederum ein kmit

(yj−1, yj) ⊆ (xk − δk, xk) oder (yj−1, yj) ⊆ (xk, xk + δk).

Also sind x und ξj entweder beide kleiner oder beide großer als xk, und damit folgt dieBehauptung

∣

∣f(x) − T (x)∣

∣ =∣

∣f(x) − f(ξj)∣

∣ < ε.

Fur jedes n ∈ N erhalten wir mit ε := 1n

somit eine Treppenfunktion Tn auf I mit∣

∣f(x)−Tn(x)∣

∣ < 1n

fur alle x ∈ I. Die Folge der Treppenfunktion {Tn} konvergiert auf demIntervall I somit gleichmaßig gegen f . 2

Aus dem Satz 9.37 ergibt sich sofort die nachstehende Folgerung. Man beachte in die-sem Zusammenhang lediglich, dass eine auf einer kompakten Menge stetige Funktion dortautomatisch beschrankt ist.

Korollar 9.38 ( Stetige Funktionen sind Regelfunktionen )Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Dann ist f eine Regelfunktion.

Ebenso sind alle monotonen Funktionen Regelfunktionen, was wir in dem nachstehendenResultat beweisen wollen.

Korollar 9.39 ( Monotone Funktionen sind Regelfunktionen )Sei f : [a, b] → R eine beschrankte Funktion. Ist f dann monoton (wachsend oder fallend),so ist f eine Regelfunktion.

Beweis: Wir setzen ohne Einschrankung voraus, dass f monoton wachst. Zur Verifikationder Behauptung verwenden wir das Kriterium aus dem Satz 9.37 und zeigen zunachst dieExistenz des linksseitigen Grenzwertes in einem beliebigen Punkt x0 ∈ (a, b]. Seien dazus := sup

{

f(x) | x ∈ [a, x0)}

und ε > 0 beliebig gegeben. Dann existiert ein ξ ∈ (a, x0)



mit s − ε < f(ξ). Aus der Monotonie von f ergibt sich somit s − ε < f(x) ≤ s fur allex ∈ (ξ, x0), also limx→x0− f(x) = s, insbesondere existiert dieser einseitige Limes damit.

Wir beweisen als Nachstes die Existenz des rechtsseitigen Grenzwertes in einem be-liebigen Punkt x0 ∈ [a, b). Zu diesem Zweck definieren wir s := inf

{

f(x) | x ∈ (x0, b]}

und geben uns wieder ein beliebiges ε > 0 vor. Dann existiert erneut ein ξ ∈ (x0, b)mit f(ξ) < s + ε. Erneut unter Ausnutzung der Monotonie von f ergibt sich hierauss ≤ f(x) < s + ε fur alle x ∈ (x0, ξ). Dies impliziert limx→x0+ f(x) = s und damit dieExistenz auch dieses einseitigen Limes. 2

Die Definition des Regelintegrals:

Bislang haben wir gezeigt, dass die Regelfunktionen eine echte Teilmenge der Riemann–integrierbaren Funktionen darstellen. Nun werden die Regelfunktionen meist eingefuhrt,ohne dass das Riemann–Integral bekannt ist. Vielmehr benutzt man die Regelfunktionenzur Definition eines Integrals, des Regelintegrals . Wir skizzieren hier nur kurz die Vorgehens-weise: Zunachst wird die Vorschrift (9.7) benutzt, um das Integral fur Treppenfunktionen zudefinieren, anschließend verwendet man (9.8) zur Definition des Integrals einer Regelfunk-tion. Bei diesem Zugang hat man allerdings sicherzustellen, dass diese beiden Definitionenauch sinnvoll sind, beispielsweise also der Limes (9.8) existiert und unabhangig von der

speziell gewahlten Folge {fn} ist. Die Konvergenz der Folge der Integrale {∫ b

afn(x)dx}

sieht man wie folgt: Wegen ‖f − fn‖∞ → 0 ist {fn} als konvergente Folge insbesondereeine Cauchy–Folge in dem Raum (B(I), ‖ · ‖∞). Aus

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

fn(x)dx −∫ b

a

fm(x)dx

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|fn(x) − fm(x)|dx ≤ (b − a)‖fn − fm‖∞ ∀n, m ∈ N

folgt dann aber, dass {∫ b

afn(x)dx} eine Cauchy–Folge in dem vollstandigen Raum (R, | · |)

ist und somit der Grenzwert (9.8) tatsachlich existiert. Schließlich ist dieser Grenzwertunabhangig von der gewahlten Folge von Treppenfunktionen, denn aus ‖f − fn‖∞ → 0und ‖f − gn‖∞ → 0 folgt

‖fn − gn‖∞ ≤ ‖fn − f‖∞ + ‖f − gn‖∞ → 0 fur n → ∞,

woraus sich unmittelbar∣

∣

∣

∣

∫ b

a

fn(x)dx −∫ b

a

gn(x)dx

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|fn(x) − gn(x)|dx ≤ (b − a)‖fn − gn‖∞ → 0 fur n → ∞

ergibt, also

limn→∞

∫ b

a

fn(x)dx = limn→∞

∫ b

a

gn(x)dx.

Fur das so definierte Regelintegral lassen sich ahnliche Rechenregel wie fur das uns bekannteRiemann–Integral beweisen. Der interessierte Leser sei diesbezuglich beispielsweise auf diebeiden Bucher [2, 20] verwiesen.


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