Kapitel V. Determinanten
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Folie 1 Kapitel V. Determinanten Inhalt: Alternierende Formen Permutationen Determinanten Lineare Gleichungssysteme Anwendungen
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Kapitel V. Determinanten. Inhalt: Alternierende Formen Permutationen Determinanten Lineare Gleichungssysteme Anwendungen. w. P. v. § 26 Inhaltsmessung von Parallelogrammen. In diesem Paragrafen soll die Einführung der Determinante über einen geometrischen Ansatz motiviert werden. - PowerPoint PPT Presentation
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Folie 1
Kapitel V. Determinanten
Inhalt:Alternierende FormenPermutationenDeterminantenLineare GleichungssystemeAnwendungen
Folie 2
§ 26 Inhaltsmessung von Parallelogrammen
In diesem Paragrafen soll die Einführung der Determinante über einen geometrischen Ansatz motiviert werden.
Die Ebene wird durch R2 repräsentiert, ein Parallelogramm wird durch 2 Vektoren gegeben:
Es geht um die Eigenschaften des Flächeninhalts von Parallelogrammen in der euklidischen Ebene.
w
v
P
Wir bezeichnen mit F(v,w) die Fläche von dem von v und w aufgespannten Parallelogramm P.Dabei soll F(v,w) gerichtet sein, insofern, als F(v,w) = -F(w,v) gilt.Zum Beispiel: F(v,w) positiv, wenn v vor w im Gegenuhrzeigersinn.
Folie 3
Kapitel V, §26
w
v
Pu
Elementargeometrische Überlegungen zeigen:
F(v + u,w) = F(v,w) + F(u,w)
Und ebenso: F(v,w + z) = F(v,w) + F(v,z)Weiterhin: F(v,sw) = sF(v,w) = F(sv,w)für positive s .
Schließlich: F(-v,w) = -F(v,w) = F(v,-w)
w
v
-v
Folie 4
Kapitel V, §26
Insgesamt: F ist bilinear und alternierend, dh. F(v,w) = -F(w,v)
Daher: F(v,w) = F11v1w1 + F21v
2w1 + F12v1w2 + F22v
2w2
mit F11 = 0 = F22 und F12 = - F21 , weil F alternierend.
Daher gilt F(v,w) = s(v1w2 – v2w1) mit einer Konstanten s .
Mit der Festlegung F(e1,e2) = 1 (Normierung von F, so dass das Ein-heitsquadrat den Flächeninhalt 1 erhält) wird diese Konstante zu 1 :
F(v,w) = Δ(v1,w1,v2,w2) (vgl. §1) =: det(v,w)
.:F RRR 22
Die beiden Spaltenvektoren v,w lassen sich als die Spaltenvektoren von (2,2)-Matrizen A = (v,w) verstehen. Insofern definiert det eine Abbildung
.bc-addcbadet,:det
RR2x2
Folie 5
Kapitel V, §26
wobei tr A := a + d (Spur von A) .
Im übrigen ist det auch bilinear in den Zeilenvektoren.
Eigenschaften von det :
(26.1) Satz: Für A aus R2x2 gilt:.0Afalls,0Arg
.0 Adet und0Afalls,1Arg .0 Adetfalls,2Arg
(26.2) Korollar: Für A aus R2x2: .0 AdetarinvertierbA (26.3) Satz: Für A,B aus R2x2 : det (AB) = (det A)(det B) .
(26.4) Satz von Cayley: Für A aus R2x2 ist
,AdetA)Atr(A2
(26.5) Satz: Für A,B,C aus R2x2 :1o (AB –BA)2 = (det(AB –BA))E2o (AB –BA)2C = C(AB –BA)2 .
