Kausalit£¤t, Korrelation und Kovarianz bei ... Sch£¤tzung der Kovarianz:...

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  • Kausalität, Korrelation und Kovarianz bei  Messunsichercheitanalysen

    Kausalität

    Korrelation

    Kovarianz Maryna Galovska, Volkswagen AG 

    maryna.galovska@volkswagen.de

    • Standard‐Verfahren des GUM • Grundbegriffe • Schätzung der Korrelation • Kombinieren der Unsicherheiten • Beispiele • Monte‐Carlo‐Simulation • Zusammenfassung

    Berechnung der Messunsicherheit –Empfehlungen für die  Praxis, Berlin, 17. und 18. März 2016

  • 1. Standard‐Verfahren des GUM

    Kausalität

    Korrelation

    Kovarianz

    1. Modellieren der Messung 2. Einschätzung der Größen 3. Einschätzung der Korrelationen 4. Kombinieren der Werte und Unsicherheiten unter 

    der Berücksichtigung der Korrelationen 5. Schätzung der erweiterten Messunsicherheit 6. Angeben des vollständigen Messergebnisses

    x1, u1 x2, u2 xM, uM

    Y=f (X1, X2, …, XM) y ± U

    r ( x1, x2 ) S. 2

  • X3

    X1 X2

    kausaler  Effekt

    Korrelation

    Korrelation durch eine gemeinsame dritte Variable:

    Korrelation zwischen X1 und X2 darf nicht als kausal interpretiert werden!              

    Korrelation zwischen Schokoladenkonsum und Anzahl an  Nobelpreisträgern in einem Land **          

    *http://www.spiegel.de/unispiegel/jobundberuf/10‐cm‐2000‐euro‐grosse‐maenner‐verdienen‐mehr‐a‐296853.html

    **http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMon1211064

    2.1 Kausalität und Korrelation

    Große Männer verdienen mehr *

    Kausalität: Veränderung  X1 ist Ursache für Veränderung  X2 (Wirkung)

    Zusammenhang zwischen  Zufallsgrößen innerhalb 

    einer Verteilung

    Aufgrund desselben • Normals • Messgeräts • Referenzwerts …

    S. 3

  • Schätzung der Kovarianz:  Experimentell aus Messreihen Modellbasiert, aus Erfahrung oder Vorkenntnissen.

    Varianz  von X1

    Varianz  von X2

    Gemeinsame Varianz  von X1 und X2

    ),()()(),( 212121 xxrxuxuxxu 

    Im Kontext der Messunsicherheit:

    -1 ≤ r(x1, x2) ≤ 1

    X1 X2Var (X1) Var (X2) r

    Cov (X1, X2)

    2.2 Korrelation und Kovarianz

    Korrelationskoeffizient charakterisiert den Grad der Korrelation

    S. 4

  • 2.3 Darstellung von zwei korrelierten Größen

    Supplement 1: multivariate Gauß‐Verteilungen

    S. 5

    Andere Verteilungen:

  • Messgerät

    MX

    M1 M2

    MX = M1 – M2

    Ohne Berücksichtigung der Korrelation  r(m1, m2) = 0 u2(mX) = u2(m1) + u2(m2)

    Mit Berücksichtigung der Korrelation r(m1, m2) = 1 u2(mX) = (u(m1) – u(m2))2

    u(m1) = u(m2)

    u2(mX) = 2·u2(m2)

    u2(mX) = 0

    Schätzwert der Messunsicherheit liegt im Intervall von 0 bis  2·u2(m2) abhängig von der Berücksichtigung der Korrelation!

    2.4 Korrelation. Extrembeispiel

  • 3. Berechnung der Kovarianz

    Korrelation Beobachtete Korrelation Logische Korrelation

    Ermittlung Statistisch (Type A) Nicht statistisch (Type B)

    Verfügbare Information

    Beobachtungen bei den  Wiederholmessungen:

    Messgrößen sind von einer  Größe abhängig:

    Kovarianz

    )(),( 2211 qFXqFX  n

    n

    xxxX xxxX

    222212

    112111

    ...,: ...,:

    ),( 21 xxu 221

    quq F

    q F

     

     

      ))(()1( 1

    2211 xxxxnn ii

    S. 7

    )()( ),(

    21

    21

    xuxu xxu

    ),( 21 xxr

  • 3. Kombinieren der Unsicherheiten

    Y=f (X1, X2, …, XM)

    u X1 X2 … XM

    X1 u2(x1) u(x1, x2) … u(x1, xM)

    X2 u(x2, x1) u2(x2) … u(x2, xM)

    … … … … …

    XM u(xM, x1) u(xM, x2) u2(xM)

    c X1 X2 … XM

    X1 c21 c1·c2 … c1·cM

    X2 c1·c2 c22 … c2·cM

    … … … … …

    XM c1·cM c2·cM c2M

     

     

     1

    1

    2 ),()( N

    i

    N

    ij jiijc xxucyu

    i i x

    fc  

    Kombinierte Varianz: Sensitivitätskoeffitienten:

    S. 8

  • c X1 X2 … XM

    X1 c21 c1·c2 … c1·cM

    X2 c1·c2 c22 … c2·cM

    … … … … …

    XM c1·cM c2·cM c2M

    r X1 X2 … XM

    X1 1 r(x1, x2) … r(x1, xM)

    X2 r(x2, x1) 1 … r(x2, xM)

    … … … … …

    XM r(xM, x1) r(xM, x2) 1

      

     

     N

    i

    N

    i

    N

    ij jijijiiic xxrxuxuccxucyu

    1

    1

    1

    222 ),()()(2)()(

    3. Kombinieren der Unsicherheiten

    Y=f (X1, X2, …, XM)

    Kombinierte Varianz:

    S. 9

  • 4.1 Beispiel. Beobachtete Korrelation

    1 1

    2 2 RU

    UR  Messgleichung:

    Wiederholmessungen: U1: 0,0994; 0,1005; 0,1000; 0,1005; 0,1003; 0,1015; 0,1000; 0,1002; 0,1011; 0,1021  V U2: 0,1035; 0.1069; 0,1047; 0,1061; 0.1063; 0,1073; 0,1049; 0,1054;  0,1060; 0,1063 V

    U1, V

    U 2,

    V r(U1, U2) = 0.74

    U1 U2

    R1 R2

    V1 V2

    S. 10

    R1 –Normalwiderstand: 100,0037 Ω; u=0,0002 Ω

    Messung des Widerstandes:

    Weil die Schwankungen einer Stromquelle auf zwei Größen (U1, U2) wirken,  kommt es zur Korrelation.

  • Kombinierte Varianz:

    r U1 U2 R1

    U1 1 0,74 0

    U2 0,74 1 0

    R1 0 0 1

    ),()()(2)()()()( 212121 22

    2 22

    1 22

    2 2

    1121 UUrUuUuccRucUucUucRu UURUUc 

    A/B x u

    U1 A 0,1006 V 0,0008 V

    U2 A 0,1057 V 0,0011 V

    R1 B 100,0037 Ω 0,0002 Ω

    2 1

    12 1 U

    RUcU  1

    1 2 U

    RcU  1

    2 1 U

    UcR 

    Empfindlichkeitskoeffizienten:

    4.1 Beispiel. Beobachtete Korrelation

    Komponenten der Unsicherheit: Korrelation:

    S. 11

  • *http://www.phi‐design.de/

    Messung der X‐Position von A und B in einem anderen Koordinatensystem: XAS und XBS sind korreliert (aufgrund der gemeinsamen Transformation) 

    A B

    x

    y

    xS

    yS *

    X

    ?),( BSAS XXrXXX XXX

    BBS

    AAS

     F1 :

    F2 :

    4.2 Beispiel. Logische Korrelation

    S. 12

  • 5,0 )()(2

    )(),(

    2)()()()()(

    05,0)()()()(

    2

    22

    

    

    

    xuxu xuxxr

    xuxuxuxuxu

    mmxuxuxuxu

    BSAS

    ABSAS

    BA

    Annahme:  Messunsicherheiten der X‐Koordinate von A und B  und der Transformation sind gleich:

    )( )()(

    ),( 221 xu X

    F X

    Fxxu BSAS  

     

     )()(

    ),(),( BSAS

    BSAS BSAS xuxu

    xxuxxr 

    4.2 Beispiel. Logische Korrelation

    XAS, mm

    X B S,

    m m

    XXX XXX

    BBS

    AAS

     F1 :

    F2 :

    S. 13

    Monte‐Carlo‐Simulation

  • A B

    xS

    yS Mittelpunkt in S‐ Koordinatensystem:

    2/)( BSASS XXM 

    Abstand:

    ASBSS XXD 

    )( 2 3

    4 )(2)(4

    4 ),()()(2)()()( 2

    2222 2 xuxuxuxxrxuxuxuxuMu BSASBSASBSASSc 

     

     

    )(2)(2)(4),()()(2)()()( 222222 xuxuxuxxrxuxuxuxuDu BSASBSASBSASSc 

    4.2 Beispiel. Logische Korrelation

    M

    D

    Mittelpunkt:

    2/)( BA XXM 

    Abstand:

    AB XXD 

    Berechnete  im (x,y)‐ Koordinatensystem  (vor der Transformation)  Funktionsmaßen

    x

    y

    mmMuc 035,0)( )(2 1

    4 )()()( 2

    22 2 xuxuxuMu BAc 

     

    )(2)()()( 2222 xuxuxuDu BAc  mmDuc 071,0)( 

  • A B

    xS

    yS Mittelpunkt in S‐ Koordinatensystem:

    2/)( BSASS XXM 

    Abstand:

    ASBSS XXD 

    )( 2 3

    4 )(2)(4

    4 ),()()(2)()()( 2

    2222 2 xuxuxuxxrxuxuxuxuMu BSASBSASBSASSc 

     

     

    )(2)(2)(4),()()(2)()()( 222222 xuxuxuxxrxuxuxuxuDu BSASBSASBSASSc 

    4.2 Beispiel. Logische Korrelation

    M

    D

    Mittelpunkt:

    2/)( BA XXM 

    Abstand:

    AB XXD 

    2061,0)( mmMu Sc )(2 1

    4 )()()( 2

    22 2 xuxuxuMu BAc 

     

    22 071,0)( mmDu Sc )(2)()()( 2222 xuxuxuDu BAc 

    mmMuc 035,0)( 

    mmDuc 071,0)( 

  • u=0.05; N=100000;

    A=10+normrnd(0, u, 1, N); B=20+normrnd(0, u, 1, N); dx=‐3+normrnd(0, u, 1, N); As=A+dx; Bs=B+dx; plot(As, Bs, '.')

    r=corr(As', Bs')

    Ms=(As+Bs)/2; Ds=Bs‐As;

    u_M=std(Ms) u_D=std(Ds)

    5. Monte‐Carlo‐Simulation

    XXX XXX

    BBS

    AAS

     F1 :

    F2 :

    ),( BSAS xxr

    )(),( ScSc DuMu

    X=[10‐3; 20‐3]'; N=100000; u=0.05*sqrt(2); r=0.5; M=2;  cov=[u*u  r*u*u; r*u*u u*u ];

    for i=1:M R=mvnrnd(X