Kegelschnitte, andere algebraische Kurven mit besonderem Blick auf die Reflexion Prof. Dr. Dörte...

Kegelschnitte, andere algebraische Kurven

mit besonderem Blick auf die Reflexion

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de, www.leuphana.de/matheomnibus

Gliederung

Reflexion


andere algebraische Kurven

Reflexion

Kegelschnitte

Verschiedene gemeinsameinteraktive Konstruktionen

Konchoiden

GeoGebra

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\reflexion-gerade.ggb

Parabel und einfallendes Licht


Bei der Parabel werden achsenparallel einfallende Strahlen zum Brennpunkt hin reflektiert.

Hat man keine Parabel, ist es anders.

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\parabel-empfang.ggb

Parabel und gespiegelter Brennpunkt


Parabeln haben eine Leitgerade. Jeder Punkt der Parabel ist vom Brennpunkt ebenso weit entfernt wie von der Leitgeraden.


D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\parabel-empfang-leit.ggb

Parabel als Ortskurve


Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte P, die von einem festen Punkt F ebenso weit entfernt sind wie von einer festen Geraden.

F heißt Brennpunkt,die Gerade heißt Leitgerade.

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\parabel-leit-konstr.ggb

Ellipse und dasselbe Vorgehen


Ellipse aus der bekannten Gleichung und die Tangente erhält man in GeoGebra direkt.

Alternativ aus der Stauchung eines Kreises und Konstruktion der Tangente aus der Kreistangente.

Wie erhalten wir auf einfache Weise eine Ellipse?

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\ellipse-und-reflexion.pdf

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\elli_affines_kreisbild.ggb



Wie erhalten wir auf einfache Weise eine Ellipse?

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\elli_affines_kreisbild.ggb



Bei der Ellipse gehen Strahlen von einem Punkt der Achse aus. Wie werden sie reflektiert?

In GeoGebra erhält man die Ellipse aus der bekannten Gleichung und die auch die Tangente direkt.

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\elli_reflexion.ggb



Bei der Ellipse gehen Strahlen von einem Punkt der Achse aus. Wie werden sie reflektiert?

Mit beliebiger Stellung von F ergibt sich nichts Sinnvolles.




Zieht man F so, dass ein reflektierter Strahl durch den zu F symmetrischen Punkt G verläuft, dann ergibt sich, dass alle reflektierten Strahlen durch G verlaufen.

Wir haben die Brennpunkte der Ellipse gefunden.




Bei der Ellipse werden von einem Brennpunkt ausgehende Strahlen zum anderen Brennpunkt hin reflektiert.

Gehen wir nun so vor wie bei der Parabel, dann spiegeln wirG an der Tangente zu G‘.

Der Ort von G‘ scheint ein Kreis zu sein!




Wer die Fadenkonstruktion der Ellipse kennt, sieht sofort :

FP PG const

FP PG' const R

Sind F und G Brennpunkte,dann gibt es den Leitkreis, sonst aber nicht.

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\elli_reflexion_leitkreis.ggb



Nun machen wir wieder aus dem gefundenenOrt, dem Leitkreis, eine Konstruktion der

Ellipse

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\leitkreiskonstruktion.ggb

Hyperbel und dasselbe Vorgehen


Nun machen wir wieder aus dem gefundenenOrt, dem Leitkreis, eine Konstruktion:

Und schon haben wirmehr als wir suchten:

Hyperbel

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\leitkreiskonstruktion.ggb

Namensgeheimnis


In der Leitkreiskonstruktion ergibt sich geometrischdas Namensgeheimnis:

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\leitkreis+sperr.ggb

Namensgeheimnis


Auch in der Leitgeradenkonstruktion der Parabel ergibt sichdas Namensgeheimnis geometrisch :

Eigentlich wirdbei gemeinsamer Betrachtung aller Kegelschnittedie Parabelachse waagerechtgelegt.

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\parabel_leit_sperr.ggb

Gliederung

Reflexion


andere algebraische Kurven

Reflexion

Kegelschnitte

Verschiedene gemeinsameinteraktive Konstruktionen

Konchoiden

GeoGebra


Konchoiden (Hundekurven)


Mein Vortrag 2006 MNU in Karlruhe

Konchoide des Nikomedes

Ist dieHüllkurveeine Parabel?

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\hund_lichtstrahlen.ggb



Pascalsche Schnecken

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\pascalschnecken.ggb



Pascalsche Schnecken

Hier machen wir weiter!

D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\pascalschnecken.ggb

Katakaustik


D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\kardioide_und_reflexion.ggb

Kardioide konstruiert aus der Reflexion


D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\Kardioide_aus_reflexion_konstr.ggb

Nephroide konstruiert aus der Reflexion


D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\nephroide.ggb

Kurven in unserer Welt


Parabeln in unserer Welt


D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\5punkte-berlin.ggb



Regelflächen



D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\peaucellier-mit.ggb



D:\mathe-lehramt\didaktik\krumm-nicht-dumm\parabel-st-petersburg-3.ggb

Kegelschnitte, andere algebraische Kurvenmit besonderem Blick auf die Reflexion


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