Jül - 702 - FF

Oktober 1970

•

KERNFORSCHUNGSANLAGE JOLICH GESELLSCHAFT MIT BESCHRÄNKTER HAFTUNG

Institut für Festkörperforschung

Theorie der Dämpfung

von Phononen in festem Helium

von

Peter Gillessen

Als Manuskript gedruckt

l

Berichte der Kernforschungsanlage Jülich - Nr. 702 Institut für Festkörperforschung JOI - 702 - FF

Dok.: Phonon Domping - Theory Helium, Solid - Phonon Domping

Im Tausch zu beziehen durch: ZENTRALBIBLIOTHEK der Kernforschungsanlage Jülich GmbH, _ Jülich, Bundesrepublik Deutschland

Theorie der Dämpfung

von Phononen in festem Helium

von

Peter Gillessen

D 82 (Diss. T. H. Aachen)

I n h a 1 t

I Einleitung

II Dämpfung und Verschiebung der Phononen in schwach anharmonischen Kristallen mit nichtprimitiver Git­terstruktur

a) Störungsrechnung bei Potentialentwicklung nach Taylor

b) Diskussion der Dämpfung filr kleine .tkund~ und filr Phononen an der Grenze der Brillouinzone

c) Entwicklung des Potentials nach Hermite'schen Polynomen. Selbstkonsistente Bestimmung der Phononenenergien

d) Zusammenhang zwischen der "Taylor"- und der "Hermite'schen" Methode

e) Zusätzliche Terme in der Störungsrechnung

III Dämpfung und Verschiebung in festem Helium

a) Aufbau des orthogonalen Funktionensystems. Selbstkonsistenzbedingung

b) Störungsrechnung. Dämpfung und Verschiebung c) Diskussion

IV Literatur

V Anhang

Seite 1

12

12

26

31

35

36

38

38

45

54

I Einleitung

Festes Helium ist aus verschiedenen Gründen ein interessantes Objekt für theoretische Untersuchungen. Einmal kennt man das Wechselwirkungspotential zwischen den Atomen recht gut, so daß es möglich sein sollte, die Eigenschaften des Heliums "from first principles" aus zu berechnen. Zum anderen nimmt Helium, ähnlich wie Wasserstoff, als sogenannter Quanten­kristall 1 eine besondere Stellung unter den Kristallen ein. Infolge der kleinen Masse der Heliumatome und ihrer schwachen Wechselwirkung ist die Nullpunktenergie in diesem Kristall von der Größenordnung der potentiellen Energie und daher die Nullpunktamplitude nicht mehr klein, verglichen mit dem Gitter­abstand. Damit bricht die klassische harmonische Näherung selbst als Ausgangspunkt für eine Störungsrechnung zusammen2• Man muß zu quantenmechanischen Methoden greifen, um den Helium­kristall zu beschreiben.

Das Heliumatom ist ein sehr kleines Atom. Außerdem ist seine Elektronenhülle abgeschlossen; d.h. die Polarisierbarkeit des Heliumatoms ist sehr klein. Die Polarisierbarkeit geht in die van-der-Waals'sche Anziehung quadratisch, in die Drei­Körperkräfte aber in dritter Potenz ein, so daß die Drei­Körperkräfte vernachlässigbar sind. Den Heliumkristall kann man daher mit einem Hamiltonoperator, der nur Zwei-Körper­kräfte enthält, gut beschreiben.

Diese Zwei-Körperkräfte sind trotz der einfachen Struktur des Heliumatoms bisher noch nicht berechnet worden. Man kann aber hoffen, daß dies in nicht zu ferner Zukunft ein­mal geschehen wird.

Bisher ist man auf experimentelle Ermittlung des Potentials angewiesen. Man benutzt dazu Messungen des zweiten Virial­koeffizienten3. Die freien Parameter in den mögli~hen ana­lytischen Ansätzen für das Potential werden dadurch ermittelt, daß man den daraus berechneten zweiten Virial-

- 2 -

koeffizienten mit dem experimentellen möglichst gut in Über­

einstimmung bringt.

Wählen wir, wie es in den meisten Arbeiten über festes Helium geschieht, als analytische Form das 6-12-Potential nach Lennard-Jones V C ") = lt E [ „ ~0 )''l. :'. :, ) & ]

0

ist die Tiefe:-:des Potentialminimums und ~ ( G:,"' 2, .s ~- & 1:;

E für He}

die Nullstelle - so erhalten wir für Helium einen Wert von ,,iO;~ k für t im Gegensatz zu den anderen Edelgasen, deren

t von l 't, ~ if beim Neon bis zu .z .z -1 tf beim Xenon reichen. Die He-He-Bindung ist also, verglichen mit den Bindungen der

anderen Edelgase, sehr schwach.

Helium wird selbst am absoluten Nullpunkt nur unter Druck :\

fest. Das Isotop/{ besitzt im Druckbereich von etwa 30-100 atm eine kubisch raumzentrierte und oberhalb eine nexagonal dichtes gepackte Struktur.~~ ~dagegen ist für alle Drucke oberhalb etwa 25 atm hexagonal dichtest ge­packt bis auf einen sehr kleinen Bereich in der Nähe des Schnittpunktes der) -Linie mit der Schmelzkurve im P-T Diagramm, in dem es raumzentriert ist. Für sehr hohe Drücke, etwa ab 2000 atm, ordnen sich die Atome beider Isotope ku­bisch-flächenzentriert.

Wir wollen uns in Zukunft auf ~e~beschränken, weil in /~e ~ Phononen durch Streuung langsamer Neutronen gemessen werden können. 1-le

3 absorbiert Neutronen sehr stark. Wir betrachten

die hcp-Struktur, weil man sie am einfachsten als Einkristall darstellen kann. Alle Streuversuche sind bisher an dieser Phase gemacht worden. Auf eine weitere Frage, die für die Behandlung des Heliums wichtig ist, gibt uns das Experiment Auskunft. Die Heliumatome sind entweder Bosonen ( 1-1/) oder Fermionen (l-./e :t). D.h. die den Kristall beschreibende Wellen­funktion muß symmetrisch bzw. antisymmetrisch sein. Doch ist die Energie für den Austausch zweier Atome kleiner als AO-?~ ~ während die Debye-Temperatur rund ~ D l.r beträgt. Wir vernach­lässigen also in Zukunft die Statistik und sprechen von unterscheidbaren Teilchen, die isoliert voneinander auf ihren Gitterplätzen sitzen.

- 3 -

In dieser Arbeit werden wir von der konventionellen Störungs­rechnung zur Berechnung von Dämpfung und Verschiebung der Phononen ausgehen und sie auf nichtprimitive Kristalle er­weitern. Anschließend dehnen wir die Theorie auf nichtprimi­tive Kristalle mit hard core - zur Anwendung auf Helium - aus. Im einzelnen werden wir dazu im Kapitel II das Verfahren von Maradudin und Fein5 auf die Behandlung nichtprimitiver Kristalle im Hinblick auf die hcp-Struktur des festen Heliums erweitern. Dazu werden wir zuerst, in Abschnitt a, nach dem üblichen Ver­fahren, das Kristallpotential nach Auslenkungen der Gitterbau­steine aus ihren Ruhelagen in eine Taylorreihe entwickeln. Die Mitnahme des Potentials bis zum quadratischen Glied liefert die harmonische Näherung, bzw. die quasiharmonische Näherung, wenn wir die Temperaturabhängigkeit des Gitterabstandes be­rücksichtigen. Dieser harmonische Hamiltonoperator läßt sich leicht diagonalisieren und als Ausgangspunkt einer Störungs­rechnung verwende~ Er liefert die Normalbewegungen des Kristalls, kollektive Schwingungen der Atome im Gitterverband, die Phononen. Diese Phononen sind die voneinander unabhängigen, d.h. wechselwirkungsfreien Quanten des elastischen Feldes.

Berücksichtigen wir nun die höheren anharmonischen Glieder der Potentialentwicklung, so bedeutet dies die Mitnahme einer Wechselwirkung zwischen den Phononen, die ihre Lebensdauer begrenzt (Dämpfung) und damit über die Kramers-Kronig-Re­lation, eine Änderung ihrer Frequenzen bewirkt.

Zur Berechnung der Dämpfung und der Verschiebung der Fre­quenzen benutzen wir den Einteilchen-Phonon-Propagator j)(~A,~) , der eine Funktion der Wellenzahl 4z, des Zweig­index ~ und der Frequenz w ist. Für den Fall, daß die Pho­nonen nicht miteinander wechselwirken, gehorchen sie dem freien oder ungestörten Propagator

(I,1)

- 4 -

A

Dabei ist M die Masse eines Atoms. f "',g~ 1 ist der Tempera-turfaktor. Man sieht an dieser Formel, daß der Propagator dann sehr groß wird, wenn w gerade die nResonanz"-Frequenz ~<~) also die Phononenfrequenz erreicht. Die Pole von J)o

~ 1 liefern also die ungestörten Phononen.

Entsprechend beschreiben die Pole von ..D die gestörten Phononen. Man kann J> schreiben als

//

j) r-J At l t./( /1} - w - Mi'-l~,w)

(I,2)

und man sieht, daß die hinzugekommene Selbstenergie /~ eine Veränderung der Lage der Pole in der komplexen w -Ebene be­schreibt. Das bedeutet, daß im wesentlichen die Verschiebung der Phononenfrequenazen durch

(I,3)

und ihre Dämpfung durch

,- r.J j..._ M beschrieben wird. (I,4)

Die Projektion des Pols auf die reelle Achse liefert also die Phononenfrequenzen, während sein Abstand von der reellen Achse ein Mass filr die Lebensdauer der Phononen ist.

Maradudin und Fein 5 haben Dämpfung und Verschiebung der Phononen filr Bravais-Gitter in niedrigster Näherung ausge­rechnet. In dieser Näherung kann M durch zwei Graphen

- -4 ~ -o

-"2'ti-LJ

-~eo /

0 "'1,

,.., '4;.' ,.\"

~ i.,•

h~ L> 0

1

Az /\ {.)

(I,5)

dargestellt werden, wobei der erste Graph (viereckige+ Vertex

- 5 -

mit einer Phononlinie) dem Viererglied der Taylorentwicklung des Potentials und der zweite Graph (zwei dreieckige Vertizes mit zwei Phononlinien) dem Quadrat des kubischen Entwicklungs­gliedes entspricht.

Bei dem ersten Graphen handelt es sich um Erzeugung und Ver­nichtung eines Phonons am gleichen Vertex. Man nennt solche Phononen instantane Phononen. Sie tragen nur zur Verschiebung der Frequenzen und nicht zur Dämpfung bei, da die Dämpfung dem Zerfall von Phononen in andere entspricht. Erst der zweite Graph liefert solche Zerfälle, wenn nämlich die Energie .). j.. ' l 1) ~ w z.B. gerade ausreicht, um zwei Phononen~~ und~~ zu er-zeugen.

In der gleichen Ordnung Störungsrechnung tritt bei Kristallen, die keine Inversionssymmetrie besitzen (also z.B. hcp­

Kristallen) noch ein dritter Graph auf:

Hier findet ebenfalls kein Zerfall statt. Auch dieser Term trägt nur zur Verschiebung bei.

Im Teil b des ersten Kapitels diskutieren wir die Dämpfung unter stark vereinfachenden Annahmen für kleine Impulse und ziehen Phasenraumüberlegungen heran, um die möglichen Zer­fälle von Phononen an der Brillouinzonengrenze qualitativ

abzuschätzen.

(I, 6)

Die Entwicklung des Potentials nach Potenzen der Auslenkungen der Atome aus ihren Ruhelagen hat nur Sinn bei Kristallen, bei denen diese Auslenkungen klein im Vergleich zum Gitter­abstand sind. Man müßte sonst höhere Terme der Entwicklung

- 6 -

mitnehmen, um eine gute Beschreibung der Wechselwirkung zu erhalten. Flir stark anharmonische Kristalle haben Götze

6 und

Horner7 diese Entwicklung nach anharmonischen Gliedern im Rahmen der Störungstheorie behandelt und die auftretenden Terme der Störungsreihe teilweise aufsummieren können. Damit haben sie den Kristall gut beschreiben können.

Koehler8 schlägt eine andere Methode vor, um die Restwechsel­wirkung klein zu machen, die wir zur Störungsrechnung benutzen wollen. Wir werden diese Methode im Abschnitt c behandeln. Koehler geht von der Tatsache aus, daß die Eigenfunktionen des harmonischen Hamiltonoperators Hermite'sche Funktionen sind. Das sind Hermite'sche Polynome multipliziert mit ihrer Gewichtsfunktion, der Gaußfunktion. Anstatt nun das Potential nach Potenzen der Auslenkungen zu entwickeln, entwickelt er es nach Hermite'schen Polynomen in den Auslenkungen. Der Entwicklungskoeffizient n-ter Ordnung erweist sich dabei als Mittelwertbildung Jer n-ten Ableitung des Potentials mit den Gaußfunktionen . L ie Entwicklung nach Taylor ist als Grenz­fall in der Entwicklung nach Hermite'schen Polynomen enthalten. Lassen wir nämlich die Breiten der Gaußfunktion gegen null gehen, d.h. machen wir aus der Gaußfunktion eine S -Funktion, so wird aus der gemittelten n-ten Ableitung des Potentials die n-te Ableitung an der Stelle der 6 -Funktion und aus dem n-ten Polynom bleibt nur die höchste, nämlich n-te Potenz, übrig.

Wir haben also nichts Weiteres getan, als die "Mittelung über eine c~ -Funktion" (Taylor) auf die Mittelung über allgemeine Gaußfunktionen, charakterisiert durch ihre Breiten, erweitert. Die optimalen Breiten lassen sich dann leicht durch Mini­malisierung der Grurrlzustandsenergie bezüglich dieser Breiten ermitteln.

Brechen wir die Entwicklung wieder nach dem zweiten Glied ab, so erhalten wir auch hier einen harmonischen Hamiltonoperator, aber mit anderen Potentialkonstanten als bei der Taylorent-

- 7 -

wicklung. Die Potentialkonstanten sind durch die Minimali­

sierung gerade so gewählt, daß das Eigenfunktionensystem

des "Hermite'schen" harmonischen Hamiltonoperators mit dem

zur Mittelung der Potentialableitungen verwendeten identisch

ist. Wir haben damit eine selbstkonsistente Theorie zur Be­stimmung der Phononenfrequenzen gewonnen, die ja proportional

zum Quadrat aus den reziproken Breiten der Gaußfunktionen ~nd.

Da die im Taylor-Verfahren benutzten Funktionen in der Klasse

der zur Variation zugelassenen Funktionen enthalten sind,

müssen die selbstkonsistent bestimmten Funktionen und damit die

selbstkonsistent bestimmten Phononen der Wirklichkeit näher

kommen.

Durch die Minimalisierung der Grundzustandsenergie haben wir

einen gegenüber der Taylorentwicklung renormierten ungestör­

ten Hamiltonoperator gewonnen. Horner7 und Götze 6 gewinnen

eine solche Renormierung durch Teilsummationen der anhar­

monischen Glieder der Taylorentwicklung. Ihr Verfahren liefert

die gleichen selbstkonsistenten harmonischen Phononen.

vurch die Verwendung der Entwicklung nach Hermite'schen Poly­

nomen wird eine weitere Renormierung vorgenommen, nämlich

die der Wechselwirkungsvertizes. Auf den Zusammenhang zwischen

Entwicklung nach Hermite'schen Polynomen und der renormierten

Taylorreihe geht der Abschnitt d ein.

Im Teil e wird mit Hilfe der höheren Glieder der Potentialent­

wicklung die Störungsrechnung ausgebaut. Da jetzt mit einem

Wechselwirkungsvertex n-ten Grades außer einem Term der n-ten

Potenz (Taylor) auch solche vom Grade n-2, n-4, .•• vorkommen,

treten entsprechend bei der Berechnung der Selbstenergie

zusätzliche Graphen in gleicher Ordnung auf.

Während wir uns bis hierher auf normale anharmonische Kristalle

beschränkt haben, wollen wir uns im Kapitel III mit dem festen

Helium selbst beschäftigen. Festes Helium zählt zu den stärker

anharmonischen Kristallen. Allein die mittleren Auslenkungen

seiner Nullpunktsschwankungen betragen etwa 30% des Gitterab-

- 8 -

standes9. Außerdem liegen die Atome im Mittel keineswegs im Potentialminimum ihrer Nachbarn, sondern ihr Abstand ist größer als die Entfernung des Wendepunktes des Potentials. Das bedeutet, daß die Krümmung der Potentialkurve und d.h. die zweite Ableitung des Potentials an der Stelle der mittleren La­gen der Atome negativ und damit die Frequenzen einer üblichen quasiharmonischen Theorie imaginär sind2 • Deshalb ist diese Näherung, wie wir eingangs schon erwähnten, als Ausgangspunkt fUr eine Störungsrechnung nicht brauchbar.

Eine weitere Schwierigkeit bietet der hard core des Helium­Helium-Potentials ( :AG im Lenard-Jones Potential). Wenn wir die Auslenkungen der Atome durch eine (wegen der großen Null­punktbewegung breite) Gaußfunktion beschreiben, wUrden die Ausläufer der Gaußfunktion in den hard core hinein reichen; das Matrixelement der potentiellen Energie wUrde divergieren. Wir haben also eine starke Beeinflussung der Wellenfunktion durch den hard core zu erwarten. Zur Berücksichtigung dieser Nahkorrelation im Ansatz der Wellenfunktion multiplizieren

10 wir sie nach dem Vorbild von Nosanow1 mit sog. Jastrow-Faktoren {, die ein schnelles Abfallen der Wellenfunktion bei Potential­anstieg bewirken sollen. Üblicherweise wird fUr f ein Produkt von Zweiteilchenkorrelationen angesetzt

f = Ti p . . ( 1 Af; - .t{. , )

i<i t'~ ( (I,7)

wobei ~. ~ die einzelnen Atome des Kristalls durchnumeriert und die Lage des i-ten Atoms angibt. Ein solches {.~ soll also gegen null gehen, wenn A-T; - J.f~ -:. o geht und gegen eins gehen, wenn ,«{' - J.f4 -> o0 geht. Filr die spezielle Form der (. i wur-

1 11 den verschiedene Ansätze gemacht ' , doch wollen wir diese erst im Zusammenhang mit numerischen Rechnungen diskutieren.

Die das Helium realistischer beschreibende Grundzustands­funktion ist also eine Gaußfunktion multipliziert mit einer

- 9 -

Nahkorrelationsfunktion. Im dritten Kapita. werden wir von einer solchen Grundzustandsfunktion, die nicht mehr die einfachen mathematischen Eigenschaften der reinen Gauß­funktion besitzt, ausgehen und auf ihr ein orthogonales Funktionensystem8 so aufbauen, daß wir die nichtdiagonalen Matrixelemente des wahren Hamfttonoperators in diesem System zur Störungsrechnung benutzen können.

Im Teil a werden wir dazu ein den Hermite'schen Funktionen analoges orthogonales Funktionensystem konstruieren, so daß filr / =.,, , wenn manaso die Nahkorrelationen wegläßt, die alten Hermite'schen Funktionen herauskommen.

Die in den Gaußfunktionen auftretenden Breiten und eventuell in l enthaltene freie Parameter werden wieder durch Minimalisierung der Grundzustandsenergie bestimmt. Damit gewinnen wir auch hier eine selbstkonsistente Gleichung zur Bestimmung der Breiten der Gaußfunktion.

Dieses so gewonnene Funktionensystem hat noch einen weiteren wichtigen Vorteil: Der Hamiltonoperator ist bezilglich der untersten Zustände diagonal. Wenn wir den Grundzustand mit / f > und den n-ten angeregten Zustand mit / ;: ... ;"„ > bezeichnen, so gilt

< f I '~ / < f I 1-1 I ::. 0

und außerdem

Das gleiche gilt natilrlich auch im Fall der Hermite'schen Funktionen und ist eine Folge der selbstkonsistenten Be­stimmung des ungestörten Hamiltonoperators. Bei der Ent­wicklung des Potentials nach Hermite'schen Polynomen

(I,8)

(I,9)

- 10 -

sind in der Störung alle Terme, die höher als von zweiter Ordnung sind, zusammengefaßt und also mlissen die Matrixele­mente der Störung, die in den Funktionen nur Polynome niedriger Ordnung enthalten, verschwinden.

Diese einfachen zusammenhänge sind bei dem Funktionensystem flir das Helium nicht mehr gegeben. Selbst im ungestörten Hamiltonoperator kommen beliebig hohe Terme der neuen Polynome vor. Gleichwohl beginnt die Störung V-/ erst mit Polynomen dritten Grades. Die Entwicklungskoeffizienten

der Störung sind einfach < ~: · -- ~: / wff )und das ist identisch mit < AzA ... {.,„ / I./ / I '>

> „ A „ 1

Flir die Störungsrechnung braucht man also nur die nicht­diagonalen Matrixelemente des Hamiltonoperators aus der ersten Spalte. Man kann leicht zeigen, daß sich alle andern nicht­diagonalen Matrixelemente durch die der ersten Spalte aus­drlicken lassen.

Eine Schwierigkeit des neuen Funktionensystems liegt darin, daß der Zustand / ~. - -- "'1„ '- nicht wie im "Hermite'schen 11

~„ (',,,. / Fall ein i-i - Phononenzustand ist. D.h. der zu diesem Zustand gehörende Eigenwert des ungestörten Hamiltonoperators ist nicht einfach die Summe der Eigenwerte der''Ein-Phonon"-Anre­gungen wie im Hermite'schen Fall.

' A""' /

(I,10)

Deshalb ist es auch problematisch, die Phononen zu definieren.

Aber aus dem Experiment 12 ' 13 wissen wir, daß sich im festen Helium zumindest die niedrigen Moden fast so frei ausbreiten können wie in anderen, klassischen Kristallen. Definieren wir nun den ersten angeregten Zustand / ; > als Ein-Phonon­Zustand, so wollen wir die nächst höheren angeregten Zustände als Mehr-Phononen-Zustände im Sinne der harmonischen Theorie auffassen. Wir setzen also in (I,10) das Gleichheitszeichen

- 11 -

für die tiefsten angeregten Zustände. Eine Diskussion der Berechtigung dieser schwerwiegendsten Näherung der Theorie bringen wir im Abschnitt c.

Mit diesen zusätzlichen Annahmen lassen sich Verschiebung und Dämpfung nach der Methode von Maradudin und Fein für das feste Helium berechnen.

- 12 -

II Dämpfung und Verschiebung in schwach anharmonischen Kristallen mit nichtprimitiver Gitterstruktur

a) Störungsrechnung bei Potentialentwicklung nach Taylor

Der Hamiltonoperator eines nichtprimitiven Kristalls einer Atomsorte lautet, wenn man die potentielle Energie nach Aus­lenkungen entwickelt

(p ~) i ~ i-., ...... t .... ...... ,

1-l L .1 L. ,...,„ f"'.l. 1~· Cf r'A

"'" T .z ! •„ Lt .„ •z

""' ~M .... „ w.f

~ ~· f"',z.. • (; 1 "i

...... ~, ...... l

f""_· r.~ r· L • L z i l

4 ! Jo\.7„. ~.,.

2 t . „ •

(II,1)

Dabei zählt der Vektor ""1. die W Elementarzellen des Kristalls, !""- numeriert die s Atome einer Zelle und i gibt die kartesichen Koordinaten an. M ist die Masse eines Atoms. cp ~: ~--_ ;:

t... • . • LI!.

bedeutet in üblicher Weise die Ableitungen des Potentials nach den Gitterorten X;:.: . . . X~: am Ort der mittleren

Lagen X .... t""''f • ' • i, 1 ) )

\/ ""'t /\ l"'t .,

.„

1 ~ bedeutet schließlich die Auslenkung

des("'-- -ten Atoms in der m.-ten Zelle in Richtung ~ aus der Ruhela-- .....

ge X t;'

"

(II,2)

- 13 -

...., ist der zu ~7 kanonisch konjugierte Impuls. Die Diago-

nalisierung des quadratischen Terms liefert die Phononenenergien w ( ~} und die Polarisationsvektoren e? (;) in harmo-nischer Näherung:

(II,3)

mit der hermiteschen Matrix

e (II,4)

Dabei ist ~ der Wellenvektor und ) der Zweigindex des Phonons

w ( ~ ) . A ,,, 1, · · · ) 3 s Wegen der Hermitezität der Kopplungsmatrix t sind die Eigenwerte ~' reell. Die orthogonalen Eigenvektoren können normiert werden

und sind vollständig.

J 1 ,) ,\

("" ~ - r . - C) .

' ?

Außerdem gilt wegen (II,3)

Das Vorzeichen ist noch frei wählbar.

(II,5)

(II,5a)

...., Entwickeln wir nun die Auslenkungen ~ ~ nach Normalkoordinaten

Q 4r ~

... ~? : l u;: A, . )

~)

mit der unitären

A u :: 4, ::. i ~ vs N

Q ,+ ~

Transformationsmatrix

1 Je (2""' !"' / ,,,,, ' e . f I g L \ " /

und setzen (II,6) in (II,1) ein, so lautet der

(II,6)

(II,7)

- 14 -

Hamiltonoperator, wenn man noch die Bewegungsgleichung (II,3) berücksichtigt

.// )-) - -.z M

(II,8)

-t • • •

Dabei ist

l .. ) ( Ar1 Ä?,) „ ! L V \A • 0 C

r-. ~„ "'! J.,.t„··· ...... „ f""· ... r„ (II,9) . . ' . „ & „ ..,

Wir entscheiden uns nun für das positive Vorzeichen in (II,5a).

Das hat den Vorteil, daß v("l(Ae· ... {~) == vt~ 1 (-4r1 • •• -~„)>t

~„ L. )1 A l-t „

Andernfalls erhielten wir noch einen Faktor (-_.,) Da die cp ;:: .:: ~: symmetrisch bezüglich Vertauschungen der

der Indext;lp-el"' sind, sind es auch die V'"') ( : 1

• • • ~"} , ,,, ~~

( "1r/ ) Q "t J':J 1-bezüglich der Paare ~: ~ und ;. lassen sich in

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Phononen umschreiben:

Mt, C-J {'J:) <

(II,10)

- 15 -

+ Die ~ und ~ gehorchen Bosevertauschungsrelationen.

Ac lft' .,. ] [Cl~ ) q ~· = und

[ At f-r) . { (+)]

~ a. '::' 0 >. 1 ,) 1

(II,11)

Der rein harmonische Anteil des Hamiltonoperators (erste Zeile in (II,S))gewinnt damit die bekannte Form

/--/ 0

~ l ~ lJ ( ~ ) ( 0. : + 0. ; ~ i ) (II , 12)

~~ Die Änderungen der Phononenenergien und die Breiten der Phonon-linien wollen wir nun mit Hilfe des Formalismus nach Maradudin und Fein5 berechnen:

Wir gehen aus von dem Einteilchen-Temperatur-Phononpropagator

I~ 1 f > Q ~· ( T') (II, 12)

Dabei bedeutet < tJ > Mittelung des Operators t7" über die exakte kanonische Gesamtheit mit der Temperatur T

- f> 1-1 Spe &

~V" e -(l li

A mit

Wir setzen den normalen von t abhängigen Propagator in die komplexe t -Ebene fort und betrachten ihn längs der imaginären Achse 7: „ ~ t • T, ist ein Zeitordnungsoperator, der die Ope­ratoren von links nach rechts nach kleiner werdenden ~ -Argu­menten ordnet.

meint die Normalkoordinate

Q_ 4t im durch r- = i. t modifizierten "Heisenberg"-Bild. A

- 16 -

Da der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt, ist .D nur eine Funktion von t-- r' (im folgenden wollen wir 1: '=- o setzen), und die Translationsinvarianz des Hamiltonoperators bedeutet, daß

gilt. Dabei ist .:1 ( lli- .{.') ::: -1 , wenn Ae: ~ '-+ d2„ und -= o

sonst(~~::: reziproker Gittervektor). Wir beschränken uns in Zukunft auf die erste ßrillouinzone und untersuchen j) ( A-t, /1 ~ 1

1 L} • Für -~p L r- ~ o gilt

/)lt)= Dc t-~ ~1')

und wir können j) in eine Forierreihe entwickeln:

.D { -4 ) A 11

T) „ 2 e ; ~„ L"

mit

0 :: y

c:; '('

2 ii y y=Ö -;-_,, !.?

- j I ...

Für den Phononpropagator schreiben wir nun die Störungsreihe

auf

(II,13)

(II,14)

(II,15)

't j)(4i A ~ 1 .r):: < JL a;rTj q :(~) rf*f,o)?zusammenhängend,

offen (II,16)

· fl l-lo

< ~YJ ~ (J-Hier bedeutet 8 >„ .,.. ·f.Ji-t , also s„ ~ " mit ungestörten Eigenfunktionen.

Mittelung über das Ensemble

Die Q : { "t J sind jetzt Operatoren im Wechselwirkungsbild

Q4 )

e

" - t.- /-f., t

der Störoperator r 'vv(I) c/ l" (/Af,o}:. J_ e o

(II,17)

- 17 -

Die Bezeichnung "zusammenhängend, offen" bedeutet, daß nur die zusammenhängenden und offenen Graphen in der Störungs­reihe wegen dem linked-cluster Theorem berücksichtigt zu werden brauchen. Der erste Term der Störungsreihe liefert den ungestörten Propagator

J>" { ~ A A 1

, f} = < ~ Q; (T J Q; 7

( v) >o (II,18)

~ - ~ -1et 1/ 4t -1>)\ < ) i" ( 4 ~ (i) + q ) { i)) ( C( 1\ + ~ ) • /o

v' '"") {.1' ZM t.Jli1 t-JI~,;

Dies liefert, wenn man berücksichtigt, daß /l

- ,l;fl ~f":J e

und

- -1

Für die Fourierkoeffizienten erhält man damit

~(l f ß. ( 4, 1) L) e - , „_r d ~ ,,,. -

0

Für p ( 1J? ,) J 1, L) v J schreiben wir nun die Dysongleichung auf

V {"" ,l A', o~) ,., o„ (kt A, 0.) J,\ ,\' +

-1- y o ( ~ ), l-Jv) l M ( ik J\ 11 '>-',) f}f A-; f' A', ~„) ,)"

(II,19)

(II,20)

(II,21)

- 18 -

Dabei ist in M { 4-e ,\ f', /..!)„} die Summe aller irreduziblen

Graphen zusammengefaßt, die zwei freie Enden besitzen. Gleichung. (II,21) in Graphenschreibweise

t

Aufstellung der Graphenregeln: 1) Jeden Vertex V("') charakterisieren wir mit einem h -Eck,

jede Ecke entspricht einem Indexpaar ( 1;}

2) Wegen der Kristallsymmetrie des Hamiltonoperators trägt jeder Vertex den Faktor L) ( i 4c,Jund wegen der Zei tunab­hängigkei t des Hamil tonoper~tors den Faktor J? &.)~: J 0 •

D.h. es gelten in jedem Vertex Quasiimpuls- und Energie­erhaltungssatz.

3) Alle Ecken werden mit ungerichteten Linien verbunden. Alle topologisch verschiedenen Graphen werden aufgefUhrt.

4) Jede Linie entspricht einem Pr:1 ( Ae: ) .·, ~v;) , d.h. die beiden Ecken, die durch J)o verbunden werden, haben gleiches ) t und entgegengesetzt gleiches 4, und t.-.Jv •

• p

5) Ein Graph p -ter Ordnung trägt den Faktor f3 ~ ( ~ ~J und einen Symmetriefaktor, der die Zahl der Möglichkeiten angibt, die Do -Linien an den Vertizes anzubringen, ohne die topologische Struktur des Graphen zu verändern.

6) Uber alle in den j)o vorkommenden 4,· und 'li: wird summiert.

- 19 -

Die Dysongleichung ist flir unseren Fall - hcp Helium - wegen " der Z eine 6x6 Matrixgleichung. Wir wollen .D f 4 ;l A: "-'r)

X': „ in einen diagonalen und einen nichtdiagonalen Teil zerlegen. Dazu schreiben wir (II,21):

j) 0

/ A) J r\ tl 1 = 2 P { ~ 11

)') [ d A ) " - Po /)) /'1 ( A }i "'J ] A"

l'1 teilen wir auf in

wobei N auf "nichtdiagonal" hinweist.

oder

-z j) () ,, ;)') A ( A) h N(;) ;) h) ~ //

(II,22)

Wir wollen _.D nur in der niedrigsten Ordnung in den Anharmoni­zi täten berechnen, deshalb lassen wir den Nichtdiagonalanteil von j) weg, da er um eine Ordnung kleiner ist als der diagonale

Anteil.

Wenn die Pole von .D ( ').) weit getrennt sind, d.h. wenn die Dispersionskurven weit auseinander liegen, kann man zeigen, daß..D in der Umgebung eines solchen Pols in erster Näherung vom Diagonalteil von l'1 bestimmt wird und damit selbst dia­

gonal ist.

Der Pol vonD ist durch Min die komplexe -Ebene verschoben:

- 20 -

Der Realteil von M liefert eine Verschiebung der Resonanz­

frequenz:

- -1 Ll ( Jk ~ ' w ) ;: ···-----<2 Mf ~<i)

J( e M ( 4 A , w ! L. l }

E -> t o (II,26)

Die Verschiebung des Pols um den Imaginärteil in die komplexe Ebene wirkt sich auf der reellen w -Achse als Verbreiterung der Phononenresonanz aus, liefert also eine endliche Lebensdauer der Phononen und beschreibt deren Dämpfung:

-+ 1- ; '4 ~ l:> ). :: _ _!___________ __ ~ 4...... M ( 4 tl 1

LJ t i l ) - 1 7

.? M (!:. w ( _.\ / f -"> t- o

Wir haben also fUr j)

D ( ~ A. w{) = A- i}o(-tt~,u„) M(;t,,),;,Jv}

oder, wenn wir j) 0 aus Gl. (II,20) einsetzen

,1 /1 .D ( -1; .~ 1 w. ) = --- • ----------- ---·-· ··- -·· - - - .. kJ ( 4r ! 2 +- L'l l - M ! -4 A 1 {.:J " )

/l 1 . v M ß Dies läßt sich näherungsweise zerlegen in

i - l. ~ -+ w ( At;· - M ( -~ L '-'" J ]

V (. <~(~)M,A

(niedrigste Ordnung in den Anharmonizitäten). tn Gleichung (II,25) sieht man, daß der diagonale Anteil von M eine Korrektur zu ~rf}liefert, und zwar ist die Verschiebung der Phononenfrequenz gegeben durch (II,26) und die Breite der Phononenlinie (die Dämpfung) durch (II,27).

(II,27)

(II,23)

(II,24)

(II,25)

Um t zu bekommen, mUssen wir also M berechnen. Jv'lbesteht aus der Summe aller irreduziblen Graphen mit zwei freien äußeren Enden. Irreduzibel bedeutet, daß man den Graph nicht durch Zerschneiden

- 21 -

einer ..Do -Linie (Phononlinie) in zwei getrennte Teile mit zwei äußeren Punkten zerlegen kann. Ein Graph, in dem nur ein Vr 3 )vorkommt, liefert aus Symmetriegrilnden keinen Beitrag. Der

V II+)

erste Term ist also einer mit einem -Vertex. Von gleicher Größenordnung sind aber auch (vrn) z -Terme, so daß die nie­drigsten Beiträge zu 11 folgendermaßen aussehen:

!'1 "' M1 .,. Mt Berechnung der Bei träge zu f1 :

Die Terme M4 , Mz und M3 sind von gleicher Größenordnung. Die weiteren Beiträge sind im allgmeinen kleiner um Potenzen von

. 11z/ .J < ~ z > J_ , wenn (.-(,.. der Gitterabstand ist. Wir lassen sie fort.

L!J 1

'

M"l=' ~r? 2.. /'-' 1 ~ yt 'l< ~ 1 A II

(II,28)

(II,29)

(II,30)

l.J, 1 LJ,„

J - ~ . + „ // - 0_" ) 0 ' V •

(II,31)

- 22 -

Die Zahlenfaktoren kommen folgendermaßen zustande:

A (- .,/ M,,, trägt den Faktor (laut Regel 5) (l ~ • Dann gibt

-1 I

es 4x3 Möglichkeiten, die Po -Linie anzubringen. Man bekommt also - 12 p . M~ ist mit (3 ~ (-.-.r versehen. Dazu gibt es für z. die erste Phononlinie 3x3 Möglichkeiten; für die zweite blei-

ben dann noch 2x2. Es resultiert der Faktor 4J' (3z. Ent-M ~ (-.,,)l }), •. \" ) sprechend erhalten wir bei 3 (!> z ! ; 3x2 für die „ ( 4- / , .....,„, -

Linie und 3 für die P„(A,'tJ1, t.:J,) -Linie. Also 'jf3i

1

In M„ schränken die J - undtl -Funktion die 4 - und or 1 -Werte

nicht ein. Die Summe über &.J) • läßt sich ausführen:

t.!) 1 r "" ' '

(s. Gleichung (II,19)). Damit wird M _,,

~·,1 •

{ Ä? 1 '

// 'f < i., A' )

..(, 1) < M ~( tl' (II,32)

(II,33)

In Mzläßt sich aufgrund der c5 -Funktion die Summe über t-:J~·· ausführen und wir erhalten, wenn wir Po aus (II,19) einsetzen

Ü•

'

• l • i

t.J, + wf ~} V ' 1\'

l

( "'~ - 1-? • ) -t V

(II,34)

- 23 -

Dabei wurde die aus (II, 7) und (II,9) folgende Beziehung benutzt

'"'( Ar„ At„ l V("l(-4,' -~ ... I::; V . . . ! ':: L . . . /.~ ) A,, L. „

Zur Abkürzung schreiben wir und berechnen

A --------·---···--( )

~ „ ~ '-"v - i...?„, T w

FUr 11 z. erhalten wir

•• A ' i., „ i.., +

im Anhang A.

1, I '+ a., II

// -t ...,,., [ ·--~--

,· t..J.,. I " t.:J , „

~ '-'11 -t I ., - L.> - 0 l.J L.) ~ '""

., I 1/

i, - .... l, - i..,

In h 1 fordern die J - und D -Funktionen, daß t.7~, = o

oder einem reziproken Gittervektor ist.

1

und ~ =- o

. ,,

V (l)(; ~~ ~I) v(J)(~I~" -~ ), r ,,\ A ' ,) tl rl /

t.., r •

(II,35)

] (II,36)

(II,37)

- 24 -

1 Da !h auf die erste Brillouinzone beschränkt ist, wird aus Ll( 4z') ein J~'. 0 • Die Summe tiber '-'y'1 läßt sich wie in (II,32) ausführen und man erhält

lj t, /> V (-:11 ( At -4 :> 1 V (J) ( :.

!h. - +. ) l_ j M3 ( ~A, i.J„): ~

M~ 1\ ,\ A' / A" A „ /

4,'' .A, ,\ ,,

• ~·1

~ .... (r)-+!_

r / '} { 4, ") l.J { o, ,\ '-' ~ •I

In Bravais-Gittern würde dieser Term wegen

verschwinden.

f1" und M3 sind reell, da

1 1

V['r)(,1z -~ ~ '~ !

ft ) ,\' ~·;

(siehe Gleichung (II,9); (II,7) und II,5a). Vertauschungen der Indexpaare ändert den Wert von V'"')nicht, d.h.

,1, 1 - 4.?, '

= A' ii' /

V {J) (. ~l ~ -),1,.j,/ Eine ähnliche Überlegung gilt ftir ß f

In Mtrtihrt der imaginäre Anteil nur von den Nennern in der eckigen Klammer her. Mit Hilfe der Kramers-Kronig-Relation kann man in MzReal- und Imaginarteil trennen.

---- = t -'> + v >( !. i E

Ftir Verschiebung und Dämpfung erhalten wir damit

•

(II,38)

(II,39)

- 25 -

( '+) - A.c Ae 1 ' 4? 1)

6{ Art~{.)) „ ~ ,,,,

2 ~ -4 ) /J ...,. < ~ ( - V ( >. / 1 ~

t.J . oft l t. A )il ~. I t.J (A,',: M 1 A . ~I A'

~. /

~ ~ ' ;b ,, z A z I Vill ( ~ -4 - ) I Ll(4.?-Ji>

1

- 4·; /'/

" ' A'' / ----

l ~i /

4- /11 '-' . ~'11, " 1

" /\ ·' t.; w J

A1 A"

\ )J [ hl+<+~I - ~·+~'/+~ + '-'t-'"'-t"' t.J~<J-W

1 ,, ,., - .... 1

i., - h ] '

i..,, + ..... - w

~ ~ A 4?" ) ,,

z_ V (3) (; - {. 0) V r11( ; -'" t? h +/'/ ------·-·-3

LJ ! 4) il ,.\. ,) " r 4- "1 -1," t.:J? (: " ). J . ;..)

A' r)''

(II,40)

1- lh A, µ) „ - lj1/ ~ 1 z / V r~i ( ~~ ... /h' -- 4/'/ / < 4 ( 4 - 4 '_ ~ '') . ----

4- fv1 l w( ~) -4,',{, „ fl 1 A" .

;. / , ~· 1' ,,

. ----1 1/

f..J • ""

(II,41)

- 26 -

b) Diskussion der Dämpfung für kleine { und kleine l-.J und für Phononen an der Grenze der Brillouinzone.

Wir betrachten die Dämpfung bei der Temperatur 1 = o. Dann ist i., .... "' und r wird

z 1?'4?"

"' ~"

(II,42)

Es kommen nur Prozesse in Frage, bei denen der Kristall ange­regt wird, der Energieübertrag ~ ~ also positiv ist. D~h. die erste cl-Funktion liefert keinen Beitrag. Die L\ -Funktion schrei­ben wir um:

wobei Q...... die reziproken Gittervektoren meinen.

~ /J k _,,,

2 2 ) vh)(; -A, 1 - ~„ J e • r .· -; ;1, w J ~

4 Ml t_, ( 1) ). . x·) .,,, 4·~"

>' ) „

. --- 6 {!.:7-u'- w") (II,43)

Nun sind die Kopplungsparameter und die Frequenzen periodisch bezüglich der Verschiebung des 4.-Wertes um einen beliebigen reziproken Gittervektor. Wenn wir dies berücksichtigen und die Summe über ~·· ausführen, erhalten wir:

A

w(llrJ l' ;

l.) ( 'e '1' LJ (/ 4? - 1,,, ';·· ~· i ~"

I A,' lJ ( 1' i -

(1 /

. z g ( { - ;h' ~ d2.._ €: [3 ~ )

0(''1--"'7') ,\" ) .

(II,44)

- 27 -

Die G -Funktion soll berücksichtigen, daß der Wertebereich von ;k" auf die erste BZ beschränkt ist. Der ImpulsUbertrag ist im allgmeinen beliebig und fUr jeden Wert von4-Ä?' gibt es genau einen reziproken Gittervektor, der in die erste BZ zurUckfUhrt. Das bedeutet:

l

Zur Untersuchung der Dämpfung für kleine 4. betrachten wir zunächst V flJ (At - A,

1

- ~" ) für ~ -::.. o ~ A. ,)" I

i... ..... , ..... .J

f"• ( A.. ) e 7' ; •

t „ t\ /

- ~II \

j :: ~ ,, /

• t""t ! "'1' 1 e ' ' . • 1 \' L l. l /\ 1

Wir entwickeln e

(II,45)

(II,46)

Die ~~~, die zur Summe beitragen, sind wegen der endlichen Reich­weite der Kopplungskräfte beschränkt. Nun müssen wir zwischen akus­tischen und optischen Zweigen unterscheiden. Für akustische Zweige wird der Polarisationsvektor er;; ( ::, ) fUr kleine ~von/"1 unabhängig. D.h. wir können 2. ausführen und damit ver-

..... „1"'„ schwindet das absolute Glied. Also ist für kleine /k

- -1, I

(II,47)

- 28 -

und für optische Zweige erhalten wir

- A.r 1

y

-~ i „ l01-o.S t

~" / (II,48)

Wir wollen annehmen, daß die Kopplungsparameter und Frequenzen nur vom Betrage von ~ abhängen.

Für akustische Zweige müssen wir auch c..:; klein werden lassen. Das bedingt aber aufgrund der Energieerhaltung, daß auch t.v ( ~ ')

und ~ ( ;.:·} entsprechend klein werden müssen. Damit schränk; \ 1 \ li \ 1 sich die Summation über „ und 11 auf die Summation über 11 afe

\ 11 1 A 11

und 1t alt ein. Gleichzeitig heißt das, daß ~ und ,„ auch klein werden. V r1 >( 11.t 4?

1 A/'} muß also für kleine .4e ·und kleine 4 '. .{ ''

untersucht werden. Entsprechend (II,47) ergibt sich

Damit wird 1- , wenn wir noch die Summen durch Integrale er­setzen,

,- - 2 1z ,\ ·~k

»~{.

(II,49)

- 29 -

Ausführung der Integration über ,;h ergibt

r,.,, 2_ )z f j ~, J_;' ri- /,;'/ cS( o -

;\ 1 J.~~'

Um keine Winkelintegration ausführen zu müssen, lassen

wir zunächst ,f sehr klein werden. Dann ist /J,z-/h'i~-J.:'

und wir erhalten

( . L:; ()! .._ -

'· ( ·< ,. .\'' " ,.

i ( ) ;? '

Also (II,50)

Für die optischen Zweige gilt für kleine 4 wegen (II,48)

1- ~ z J q~ 1 J(w-lJ

1,,t 1 J, - {~ ) ----- - ------ ---- ' 1 ·- 0 LJ( 4?'; L:J/ J,- ,/.,'' A

XX' ,)• t ) " i

Hier ist w eine Konstante (von der Größenordnung

w ::::: w(<J ] ) • 1- hängt also für kleine ~ , wie man

an der J -Funktion sofort sieht, nicht mehr von lz ab.

D.h. /-"" ,o„,t- für kleine 1z . (II,51)

Für Phononen am Rand der Brillouinzone kann man die

unterschiedliche Dämpfung der einzelnen Zweige qualita-

tiv verstehen. Wenn wir die gemessenen Dispersionskurven .-'f <,

von v.J. Minkiewicz et cl.zugrunde legen - sie haben in

[ioio] - Richtung die drei akustischen, den longitu­

dinal und den tiefliegenden transversal optischen Zweig,

in [0001] - Richtung die beiden akustischen und den

tiefliegenden optischen Zweig gemessen - lassen sich

die Dispersionskurven für die anderen Richtungen in

- 30 -

etwa erraten. (Sie könnten mit einem Gittermodell mit

Kopplung naher Nachbarn interpoliert werden). Damit

kann man den für die Dreierzerfälle (II,44) zur Ver-

fügung stehenden Phasenraum, der durch die Energie-

erhaltung ( 1 .lf..-41)

c.J (w- u('kc? :- t...?i „ „ A' I \ A ) einge-

schränkt wird, abschätzen. Durch Abzählung der Mög­

lichkeiten zum Zerfall in verschiedene Zweige kann man

für das Grenz-Phonon in [1ofoj -Richtung (M-Symmetrie)

Folgendes qualitativ über die Dämpfung sagen: Der un­

terste transversal akustische Zweig (am Rand etwa 0,5meV)

ist durch Dreierprozesse gar nicht und der etwas darüber­

liegende TA-Zweig sehr schwach gedämpft. Erst der TO­

Zweig bei 1,6meV zeigt eine nennenswerte Dämpfung,

während der LA- ( ~ Z, R "" e V) , der LO- ( -::::: ").. ~ """" ~ V)

und der TO-Zweig ( ~ 2, f. ._ e v) sehr stark gedämpft sein

müssen. Für den LO-Zweig wurde dieses Ergebnis von

V.J. Minkiewicz et al. aus den Messungen abgeleitet.

Ähnliches Verhalten kann man für das Grenzphonon in

[0001] -Richtung (A-Symmetrie) zeigen: Der TA- und

der TO-Zweig ( ~ -1, "t ...., e V am Rand der BZ) werden

nicht oder sehr schwach gedämpft sein, während der

LA- und der Lo-Zweig ( ~ Z ...... e V am Rand) eine Dämpfung

etwa wie die des niedrig liegenden TO-Zweiges in

[1ofo] -Richtung haben werden. Dieses Bild kann na­

türlich quantitativ noch beträchtlich durch den Faktor

4z'-{..:/c ~"

in (II,44) modifiziert werden.

- 31 -

c) Entwicklung des Potentials nach Hermite'schen Polynomen. Selbstkonsistente Bestimmung der Phononenenergien

In Teil a dieses Kapitels haben wir das Potential, wie üblich, nach kleinen Auslenkungen um das Potentialmini­mum entwickelt. Geht man bis zu quadratischen Gliedern in den Auslenkungen, so erhält man die harmonische Näherung. Der harmonische Hamiltonoperator besitzt als Eigenfunktions­system die Hermite'schen Funktionen, d.h. Hermite'sche Polynome multipliziert mit ihrer Gewichtsfunktion, der um das Potentialminimum zentrierten Gaußfunktion. Die Breiten der Gaußfunktion, d.h. die Phononenfrequenzen des Systems sind durch die zweiten Ableitungen des Systems nach den Auslenkungen am Ort des Potentialminimums festgelegt. Die höheren Terme der Taylorentwicklung werden dann als Störung behandelt. Das Ziel dieses Verfahrens ist es, von dem wahren Hamiltonoperator I~ ein 1~ 0 , dessen Eigenfunktions­system man kennt, abzuspalten, so daß der Rest w = 1--1 - J-1 o

klein gegen H0 ist und als Störung behandelt werden kann. /-/~ soll dabei das System schon in wesentlichen Zügen be­

schreiben. Während das quadratische Glied der Taylorent­wicklung bei den meisten Kristallen diese Forderung recht gut erfüllt, ist beim Helium die zweite Ableitung des Potentials am Ort der nächsten Nachbarn bereits negativ. Die harmonische Näherung liefert damit imaginäre Frequenzen für jeden Punkt der Brillouinzone2 . Sie versagt daher als Ausgangspunkt einer Störungsrechnung.

Einen ungestörten Hamiltonoperator, der den Kristall schon gut beschreibt, liefert das folgende Verfahren von Koehler8 : Wir entwickeln das Potential anstatt nach Potenzen der Auslenkungen (Taylor) nach Hermi-te' schen Polynomen der Auslenkungen mit den Phononenfre­quenzen als noch freien Parametern. Brechen wir nach dem zweiten Glied die Entwicklung ab und legen wir das Koordi­natensystem so, daß die in den Auslenkungen linearen Glie­der wie bei der Taylorentwicklung verschwinden, so bekom­men wir wieder einen harmonischen Hamiltonoperator.

- 32 -

Zur Illustration betrachten wir ein Teilchen in einem

eindimensionalen Potential \./ • Die Hermi te' sehen Poly­

nome haben die Orthogonalitätseigenschaft „ ~

, l - -;; ~ 1 {{ f e - i q. /~ " ( 17 '} ) I~ - ( q "! ) e <i '!-

Die Entwicklung des Potentials nach den Hn 1-1

v ~ l v„ J--J~

liefert filr die Entwicklungskoeffizienten

<:: o 1 V J-1.,. I o ~

Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Hn. Die Methode enthält die Taylor' sehe Entwicklung als einen

Grenzfall. Lassen wir näml1c h ~ -~ - gehen, so wird 1 !? e - ~ ~ l zu J { 4 ) und <:. o / ~ / o '> -> ii ~ v / Vt T ol~~ ~ " ' Aus den Hermite'schen Polynomen wird ~ 1 ~o

-... ~ -~ - ~'

:(z;J„ Den freien Parameter ~ (oder im allgemeinen Fall die Frequenzen) legen wir nun so fest, daß die Grundzu-standsenergie minimal wird.

Das liefert filr ~ die selbstkonsistente Beziehung

I o. s c ')

- 33 -

Da wir eine Klasse von Funktionen zugelassen haben, die auch den Taylor' sehen Fall enthält ({ -"> 00 ), ist das Variations­verfahren der Taylor'schen Methode Uberlegen. Der neue har­monische Hamiltonoperator

besitzt als Eigenfunktionensystem genau das System der Her­mite'schen Funktionen, das auch der Entwicklung des Potentials bzw. der Mittellung der Potentialableitungen zugrundeliegt (gleiches ~ ). Im allgemeinen Fall, also im nichtselbstkon­sistenten Fall, haben die beiden Funktionensysteme, das zur Entwicklung benutzte und das zugehörige Eigenfunktionen­system verschiedene ~ (Im Taylor-Fall z.B. ist das erste unendlich und das zweite V ~- ~e ~~ ' ) • Das Verfahren fUhrt bei festem l~e tatsächlich zu reellen Frequenzen in der ganzen Brillouinzone. Außerdem hat das selbstkonsistent bestimmte Funktionensystem folgende, fUr die Störungsrechnung wichtige Eigenschaften:

Die Matrixelemente des wahren Hamiltonoperanrs zwischen dem Grundzustand und dem ersten angeregten und zwischen dem Grund­zustand und dem zweiten angeregten Zustand verschwinden.

i t? 1 1-1 J A '> !:' L 0) N I 2 > = 0

Im Vielteilchen-Fall, also fUr den anharmonischen Festkörper fUhren wir das äquivalente Verfahren durch. Die zur Variation benutzte Grundzustandsfunktion ist

„

~: / O'> : e (II,52)

(Summenkonvention)

- 34 -

\..."'

Hier sind alle l ~ ~ Variationsparameter, und die ~ ~

Selbstkonsistenzbeziehung lautet nun

Die/~ in dem Hermite'schen Funktionensystem sind nun „ Polynome in den Normalkoordinaten Q i

~,(~;) bedeutet die Besetzungszahl des Phononenzustandes mit dem Wellenvektor Ä/~ und dem Zweig ),. , und es gilt z_ „, =- "' • /~.., /i7) kann man also mit einem n -Phononenzu-s'tand identifizieren.

~ ..... ,,,, ;- ~ ly

Die ~ "1 sind die mit U 7' >diagonalisierten rz 4„ .

Entsprechend dem einfachen Fall haben wir hier die Ma­trixelemente

L "J 1-1 J 4 > ::- < o/ 1-1 J ~„ ,,,.p > :- o A ~. A"

und noch

zusätzlich

Die Orthogonalitätseigenschaft der /{lautet .)/. 1 A,. 1

~ v) /-/ ~ ( ;: • ' ' ~ ) /-/~ { ;„ • „ Ap~ ) J 0 '> = „ ~„ „,,, ;_

t!. 0 J J )~/~ ( A,~ •• , .1,...., ?

J ........... ::: 1 I / O'> I ,t ~-

,

4,„ 1 , d ( "4 .... 4,„ -4....,

) • ... L' L:., ' ..

)„ L ...

(II,53a)

(II,53b)

(II,54)

- 35 -

,.,, 1 ~ ~

Dabei ist J ( ~:· · · · ~ 2' 1 11 ; ,\: ) gleich eins, /

wenn die Indexpaare auf der linken Seite bis auf irgend-eine Permutation gleich den Indexpaaren auf der rechten Seite des Semikolons sind, und null sonst8.

d) Zusammenhang zwischen der "Taylor"- und der 11 Hermite'schen" Methode

Die Entwicklung des Potentials nach selbstkonsistent bestimmten Hermite'schen Polynomen lautet

....

V~ Z l )-J ( 4„ - . . 4„ j' „ L, ~ ... (II,55)

~~ 0 "··· Är"' At A"

dabei sind die Hn aus den Normalkoordinaten Q ; des selbstkonsistent bestimmten Modell-Hamiltonoperators

aufgebaut.

Andererseits lautet die der Taylormethode analoge Ent­wicklung in denselben Q i

00

V= Z Z l,•o J,„ 4„

,1„ ' ,,.., H

V r"' Dabei ist

Setzen wir Vaus (II,56) ein, so erhalten wir

•

(II,56)

(II,58)

- 36 -

Das Matrixelement auf der rechten Seite liefert nur dann einen Beitrag, wenn ~ ~ h

gerade oder beide ungerade sind. ( ;r,') Indizes, während Uber die "

ist und wenn "","" beide Die {~) sind äußere

summiert wird.

).1 r~)

Man sieht, daß jeder Vertex V gleich der Auf-summation einer unendlichen Reihe von gemittelten Taylorgliedern ist. Es handelt sich also um eine Ver-

1-1

texrenormierung. yc~i ist dabei im Sinne von De Domi-

nicis und Martin15 eine Summe von i - Diagrammen,

die nur einen Vertex enthalten. Wir müssen noch be-tonen, daß wir fUr die Entwicklung nach Potenzen von Normal­

koordinaten schon renormierte Normalkoordinaten benutzt haben, d.h. die Normalkoordinaten, die man erhält, wenn man unseren durch Minimalisierung der Grundzustands-energie gewonnenen Modellhamiltonoperator zugrundelegt.

Der Zusammenhang zwischen dem nach Taylor entwickelten Hamiltonoperator und den renormierten Phononen und Vertizes wird ausführlich bei Horner7 oder Götze6 be­handelt. Sie gewinnen die Renormierung durch Teilauf­summation von anharmonischen Termen •

e) Zusätzliche Terme in der Störungsrechnung

Durch die Entwicklung des Potentials nach Hermite'schen Polynomen anstatt nach Potenzen der Auslenkungen sieht die Störung \J nun etwas anders aus

... ~f 1'1„ H -H. „ 2 l yr~> 4?„ .„ ~ ... ·, )-/ ~ { j w:: ,\„

.. '

/1„ 1\ .... ' ·' ... J h"' l ....,„ 4, •

(II,59) . ' ,,,

A"

mit

- 37 -

I ~"' 4e wobei , ... ~) , ,,, ) ... einen normierten v. -Phononenzu-stand bedeutet.

Nun ist also der Vertex V c ... ) nicht nur mit einem Pro-dukt von Normalkoordinaten Gverkntipft, sondern auch mit Produktion aus ( i..-.-2), (...,, - 1.;.J, • „ Normalkoordinaten. Die Vertizes können wir also nicht mehr allein durch die Zahl der Ecken charakterisieren. Da die Ecken auch weiterhin die Ansatzpunkte der Phononenlinien sein sollen, gibt die Zahl der Ecken in Zukunft nur den Grad des Pro­duktes der Q an. Die Ordnung der Entwicklung, also das "11'' in V1

... l schreiben wir in den Vertex hinein. Wenn wir Vt))und yr'I> analog dem "Taylor"-Fall mitnehmen, sehen die zusätzlichen Beiträge zu Mso aus:

• 3

Ae ~~"

V /1r)

und mit

Diese Terme tragen nur zur Verschiebung, nicht zur Dämpfung bei. Wir wollen sie hier nicht weiter aus­rechnen. Das Verfahren soll nur überleiten zu dem eigentlichen Problem, der Berechnung von Dämpfung und Verschiebung in festem Helium.

- 38 -

III Dämpfung und Verschiebung in Helium

a) Aufbau des orthogonalen Funktionensystems. Selbstkonsistenzbedingung

Die weiten Nullpunktschwingungen der Heliumatome lassen den hard core des Zwei-Teilchenpotentials besonders wichtig wer­den. Die wahren Wellenfunktionen gehen wegen der starken Abstoßungskräfte bei Annäherung zweier Atome viel stärker gegen Null als es die in den vorherigen Kapiteln benutzten Funktionen verwirklichen können.

Wir verwenden deshalb für Helium Wellenfunktionen, die die Nahkorrelationen schon explizit enthalten:

f (.··,.X~,··) ist dabei eine Funktion, die rasch verschwindet, wenn der Abstand ~ von irgend zwei Atomen kleiner als der "hard core Radius" CJ"" wird, und die gegen Eins geht, wenn 1

größer als v wird. Üblicherweise setzt man für / ein Pro­dukt aus Paarkorrelationsfunktionen (Jastrowfunktionen)

f . (' J ,ef. - ,([. J) '~ • 4

an, wie es Nosanow1 für Helium zuerst getan hat*. Jo> ist wieder die schon benutzte korrelierte Gaußfunktion (II,51) 8 .

Wir bauen auf diese Grundzustandsfunktion analog zu dem Funktionensystem der Hermite'schen Polynome ein orthogona­les Funktionensystem8 in der Hoffnung auf, damit die Pho­nonen als die unteren angeregten Zustände wieder gut be­schreiben zu können.

(III,1)

* Vom Standpunkt einer konsequenten Theorie aus befriedigender, aber numerisch schwieriger zu handhaben, ist die Herleitung der Nahkor~51ationsfunktion aus der Schrödingergleichung, die Horner mit Hilfe der Leiternäherung im Sinne der Brueckner-Theorie gewann.

- 39 -

= ß ~ ( t1r • • • - Ji „ ) I ( > /< f J I [f.., J ? I f > ~„ A"'

(III,2)

mit

) lf'> =

(III,3)

Die .B.., werden ähnlich wie /~~ aufgebaut. Zur Konstruktion von ß 14,. 4~ l ... ( ~„... ~ „ ) /~ / ... '1 N>. )

gehen wir von einem Polynom „ ( 117: · · • -? 7~ der Ordnung i.i. in den Auslenkungen aus und gewinnen daraus

s ( A. •... lh„ . :-: . . . ...„ ) ' " ~A ~ ... J ' /"' „

'4 t ... (III,4) 13 ( ~„ , , . --1.r „ )

'I, ~ „ ~ ' -

:? 2

,~ ( ~'j ;~-- • • • ~ ; ~ ) „ Y , " r • „

Dabei ist 1-:; :: .ß„ =- -1 • Und

)"':) I o. ..., „ 1 ... i r f"'-t ; =

L "

daraus wird

..... _, (III,5)

I~ setzt sich zusammen aus

(III,6)

- 40 -

und

ß i ,\-, "rt ) <! ( ~ „ A~ (III,7)

Allgemein sind die

- 2...::. 2 ß . ( ::: .. ~.~. -4„ __ . -'t„-~·) )( f -„ „ -~ . . J l ~ ... -„ ~ ... 4t . ' • •• ' „ '<l

'J - • h -~

l ·· A · • h -~

ß L 11;1 ~ ... -~ ',

\/ ) . . -- ) ;<. 11-1 ~. \

'I /1--~ (III,8)

Die f„ ........ werden aus der Orthogonalitätsbedingung bestimmt:

Wegen (3) gilt auch

Daraus folgt für h-. '> i-i

„ 0 (III,9)

und für v., <: i.,

. :::

rl- /

(III,10)

- 41 -

t Die Transformationsmatrizen 5 werden durch ...5 S =- -1 und

(·h. A,„ ""4 s.... ' „ . ' ) ("'~ ...

ft( (\M ' '„ (III,11)

eindeutig gemacht. .... ....

In dem so gewonnenen Funktionensystem sind nun noch die J-~; (siehe (II,52)) und eventuell Parameter in der Nahkorrelations­funktion f , deren Form wir noch nicht festgelegt haben, frei wählbar. Diese Parameter werden durch die Minimalisierung der Grundzustandsenergie bestimmt.

<fl \/!/>

2 <fl f(v(f)-('V';;f)'lf > ;; f 2

„

(III,12)

mit .,,, { <! [V- ! z 2 ( \7?) ?_~ I ] , 4,.., ....., (III,13)

....... . (III,14) E„ = o /) r z ~

1 ' - .... „ liefert für I ~ " die

< .i siehe Anhang B und C)

s.elbstkonsistente Gleichung (Rechnung

(III,15)

Eine weitere nützliche Bedingung liefert die Festlegung des

- 42 -

Koordinatensystems:

-= 0 (III,16)

Daraus erhält man:

:; 0 (III,17)

oder, wegen (e; 3)

Da die Grundzustandsfunktion f lv> die Gittersymmetrie be-io

sitzt, verschwindet der Mittelwert über alle f ; für ~ 'p -Gitter (siehe Anhang D). Also

(III,19)

Mit den beiden Bedingungen (III,15) und (III,17) vereinfachen sich die Matrixelemente des wahren Hamiltonoperators zwischen den Funktionen des oben definierten Systems erheblich. Die ersten Matrixelemente sind (siehe Anhang E)

<{1 H lf > sE"

~ 1' i~ I ; > ~ o

(III,20)

(III,21)

(III,22)

(III,23)

.[.{o/VuJ f;:; 1~; 0~: /v'>-~f/V~lf> < 0/{ 7~~:1""l OJ~1 /v) Tl .„ 'i V •1 r1 V•· 17: r•/ (III,24)

- 43 -

Die wertvollen Eigenschaften, daß die untersten nichtdiago­nalen Matrixelemente verschwinden, verdanken wir den Opti­malisierungsbedingungen: Minimalisierung der Grundzustands-_..__... - """" energie bezüglich der 1 r: ~ und bezüglich der X r-­

• ~

Die Anregungsenergie z

(__ ~ / I~ / : ). - E, • ~ ,.. ) : I; w ( t) 2M ('(~

•

definieren wir als Energie eines Phonons mit dem Wellen­vektor~ und Zweigindex~

(III,25)

Den Hamiltonoperator denken wir uns nun wieder aufgespalten in /-/ -= )-/ o -t 'vv' • )-/ (/ soll das Funktionensystem JJ „ I { > als Eigenfunktionensystem besitzen. Und 'vv' ist die Rest­wechselwirkung, mit der wir Störungsrechnung treiben woll.en.

Durch das Funktionensystem allein ist der Operator 1-lo nicht eindeutig gegeben. Erst die Angabe der Eigenwerte legt ihn fest. Wir verlangen nun, daß die Störung 'vJ ein Teil der exakten Wechselwirkung sein soll, die nur von den Ortsko­ordinaten und also z.B. nicht von Impulskoordinaten bzw. Differentiationen nach den Ortskoordinaten abhängt.

Damit liegt /-/ 0 eindeutig fest; denn gäbe es ein anderes l~o>, das auch dieß~/f)als Eigenfunktionensystem besitzt, so kann es sich von l-10 nur auf Kosten von W unterscheiden, also nur durch eine Funktion der Ortskoordinaten oder durch eine Konstante: Also

mit

J-1„ß~Jf>~ E„0

!3 ... lf>

1-1 j}, B ... 1 r ') : E:, cs 1't i r > wobei ;: 0

:: E ")ist • 0 0

und

- 44 -

1-10 - 14 .: :: w '- w :a c + ( { °1)

d. h. ( c t f ( i) ) ß " ) f > „ ( E L,

0

- E ,.' 1

) 13""' I { '>

Die Konstante kann das Funktionensystem reproduzieren. Da wir aber E0° schon festgelegt haben, ist c ,,. o • Ein f t"f) aber kann niemals die 13~Jf1?) J f). reproduzieren, da diese selbst nur von q abhängen.

D.h. auch 1 r "l):: o • Damit liegt also H „ eindeutig fest. Die Störung W :: H - /-/,, entwickeln wir nun nach den Poly­

nomen .!3..,

-'vv= 2 z. mit

"= 3 ~ •... -4„ ~„ ... )1„

\ A I („) / A,1 4„) B { ~~ ' .. ~„ )'• vv l~,···;.. „ A„ A„ (III,26)

#

w r-·( :· ... t) "r· ( ~ ... ~: r '< ~><: 1w11 > (III,27)

Nun ist aber (wir kürzen der ~ersichtlichkei t halber/~: .. i:) mit 1 ~) ab und schließen bei 2 auch die Summen Uber 4„ „. 4 ...

und ft„ ·· · ~ ... ein) ""'

L ~ J w I f "> ~ ~ i., J l-1 I ( > , so daß sich

W schreiben läßt als

- - ," w = L f"' , < ~ I J..J J ( ) ß ~ )t ~ J

Die &"' J (>sind also, wie im vorherigen Kapitel die J-1'"' J o > , dem Problem so gut angepaßt, daß nur eine Spalte der Matrix

J .+'"'""" zur Störungsrechnung benBtigt wird. Alle anderen Matrixelemente von )~ lassen sich daraus im Prinzip berech­nen, denn

>. '1- ...... „ :: 1-JoLt„ c~k""' .,. l_ {~ ? <: e / /..J / f > ~ ~ J B~) ~) •

.f::: 3

- 45 -

b) Störungsrechnung; Dämpfung und Verschiebung

Es ist selbstverständlich, daß die Energie eines Zustandes ~ ~ ~ 4

1 ~: · · · ~: > nicht einfach gleich ?- !. t.:J { ~:) , der Summe der Energien von einfach angeregtei:( Zuständen ) ~ ;. '> ist, denn die Funktionenß~sind ja gerade keine harmonischen oder Oszillator-Funktionen, wie es die/~~waren.

Wir nehmen aber im folgenden an, daß die Abweichungen von der einfach~n Additivität im Bereich niedriger Anregungszahlen ( n nicht zu groß gegen 1) genügend klein sind, so daß wir sie vernachlässigen können. Die numerische Nachprüfung muß ergeben, ob und wie weit diese Annahme berechtigt ist. Ein­fache Modellrechnungen scheinen zu zeigen, daß sie nicht sehr schwerwiegend ist.

J fh1 ~ \. Wir fassen also von nun an einen Zustand \ · · · , " ,,> als einen At. {' .f /\..,

vi -Phononenzustand aus den Phononen ( ~.·} mit i =- 4, ••. , ...., auf.

Die Störung schreibt sich

~„ ~l ~3

[ ~4 ""'t ..... ) z ( ..,, ~l tirA,') ß (~ ~) "f ~· 't ~(. ~ ~l {l 1l r:• f"'z

'-1

l""s ~ ~, e fl A 1 ~ ~ ~ « 1 1 ~1,

c,, i i 'l

) r -.

fl„ ß" J z - f> l"

'lt ~

t 2

- 46 -

Die ß.... enthalten Glieder mit Produkten aus t?, -t, ?, · · ·, i.-i Aus-

/ h1 Ar„ \.

lenkungen ot • Gemäß unserer Annahme, daß > „ · · · ti ~ > ein ~ -Phononenzustand sein soll, setzen wir nun voraus, daß wir auch in unserem Falle die Matrixelemente der Störungs­rechnung nach den bekannten Verfahren berechnen können, die für unabhängige Phononen gelten.

Die Graphenregeln definieren wir wieder so wie im Kapitel II,d. Einen Vertex mit f Operatoren charakterisieren wir also mit einem€ -Eck. In den Vertex schreiben wir hinein, aus welchem Glied der Z \r-.1~ !3~ er stammt. So sind die

.... typischen Vertizes für~=~.~ . .

Die Terme, die keine Ecke besitzen { ß~), brauchen wegen des linked-cluster-Theorems nicht berücksichtigt zu werden und sie treten im obigen Schema darum gar nicht erst auf.

Mit diesen so definierten Verti~es gelten die normalen Rechenregeln:

Ein Vertex h-ter Ordnung bedeutet ( ;_~ · · · ;: ) J-.I ) {) tJ ( lt„-+ · ~ 4) J2 '-" 0

V ~'

und wenn die Zahl der Ecken e kleiner ist als ~ , treten noch Faktoren - (! i, et'~ hinzu.

Alle Ecken werden mit ungerichteten Linien untereinander verbunden und jede Linie trägt den Faktor J)o • Zur Bestimmung der Verschiebung und Dämpfung müssen wir nun das M ( { A A: w} der Dysongleichung berechnen. In den von Brun et a1. 13 beobachteten Neutronengruppen, die an longitudinal optischen Phononen der c-Achse gestreut wurden, Jassen sich schwache Strukturen erkennen. Wenn sie physikalischer Natur sind, wird man die nichtdiagonalen Glieder der Selbstenergie berücksichtigen müssen, die solche Mehrfachpeaks erklären können. Die Mitnahme dieser Glieder ist im Prin-zip möglich, verkompliziert aber wegen des Matrixcharakters von Mdie Rechnungen. Wir beschränken uns hier wie Maradu-

- 47 -

din und Fein5 auf den diagonalen Anteil von M .

Wir haben nach den Graphenregeln alle irreduziblen Graphen mit zwei freien äußeren Enden zu zeichnen: Der Graph nie­drigster Ordnung ist:

-Aa~-...,.,,

G = M <~) A

Ai"~"' Dann folgen Kombinationen von Graphen dritter Ordnung:

=- M (l)

l

und weiter

::: M n1

'+

-~ ~ -VJ"

• "l

• l

M (3/

.s

( < M f); Wegen LJ -fr)und cJ an jedem Vertex liefert .... - keinen l.!J,.,,,o -

Beitrag.

(49)

(50)

(51)

(52)

4i .,., ... , 1u n1 ,.,, liefert keinen Beitrag, da es sich um einen reduziblen

Graphen handelt.

- 48 -

Die Graphen der vierten Ordnung sind

0-~,

""~14,

M (l;J „

f/I (~) l

und (53)

(54)

Der Graph in (49) ist von der Größenordnung A , die Graphen (50) bis ( 54) von der Ordnung 1\ z • Höhere ( ~ 3, „. ) Ordnungen wollen wir hier nicht betrachten, obwohl im Fall des He mit seiner be­sonders starken Anharmonizität Terme höherer Ordnung wichtig wer­den könnten. Ob dies der Fall ist, muß die numerische Untersuchung zeigen. Die Formeln fUr die Graphen sind:

„ ! 4 ~( M ('l) „ - A. 2. (. "11 A,~ "1, ) l < ~ .., r f 3 A• A ~ ~. 1\,

At.Ar,4. l ~

~. ~l h

(55)

' 4 ( Ae - ~ ) ' s t:J_,. ~„ I 0

Für den kombinatorischen Faktor ist die Zahl der Möglichkeiten maßgebend, die Do -Linien anzubringen. (Hier also Faktor 1)

,/

/V1 ':'" ( N · l 2 ("• (: -: ;:r; .( ; -; :' J 1-1 / f '> • ~·Ar" 11" ,\.

b I 1..) II

A 1 " , • A. 1/ . „ .! -4 1 4 ., - ,(. .. 1 I I J f ' - ''? Ar - ''? ) l J / - ...> • . < J ( ~. ,, „ r· ; <-., ,, r r· .

(56)

l.> ' • o I V

( 1 1 '•

(.) • L.). 't- '°• - /,(). ' 0

- 49 -

Es gibt 3· 2 Möglichkeiten, die Vo{ 4,"} -Linie an dem zweiten Ver­

tex anzubringen. Dann bleiben noch filr jede Lage der Po(!h") -Linie

3 Möglichkeiten, die A(~'J -Linie mit dem ersten Vertex zu ver­

binden.

\ ' . () l:) - 1..:1, - "' " • V 1

( 1 " (} - '-'• +- ._,, t- ...:J, ' 0

JI

l

Filr die Vor 4')-Linie gibt es 3x3 Möglichkeiten und es bleiben

filr die y0 (1,")-Linie noch jeweils 2x2 Möglichkeiten ilbrig. ' 1

1,1 /l ~ - ( Ar - Ar 4, 1

) - ; !. 4 - + ~ . / 1-/ / { ). • M " - ' l 2 1"'3 A A A' J A r\ ,\

4 l r ~·

19, 1

.f

- ( 11,1 ;t.,„ A?, - l 1 h.f 4, A.,J

'L (1l ,\,f ~e ,)J/ ,)„ ~, ,)3 )J--J/f>· 4,,4r„-hl )\, 1\t ~J

rlht ""t ;hJ s ) ( ~ ~ ,,„ ~ l i

..... ("'•

1 ~

""'l -J ) ("'t ("'l

/ •• 'l

[ 1-) 2 / ... „ .... , "'J '4„ (3 /M• ,.., I" J

l l l ", l.'~ 'i ,) „

At„ 4 .-}." ,\ s-

~ . ' .

r\.s J

(57)

(58)

,„; .... , „, I ~/ i] ( ~~ ·1, r .... „ ..... !>_ h' . f l-t

, .... ... , M~-

) f ?~ (

/"'l /" J

( - ) s" tl') -. (•-("'.

("' ·- l A 1' /i

~„ ,\~. j r" ~ „ ~ '')

.„ ·~

'„-

Hier gibt es drei Möglichkeiten, die 90 -Linie am ersten Vertex

anzubringen.

'

- 50 -!

1„ N/ ~ - h . lt . ::! ) /V' { Az -~ ~ t - ~ ' - t 4 -1 4 ' - ~ '/ /./ l f '). ' (" 1 " ( L ' ( ~ ~ (\ ~· ~' J < ,~ 11 A' r\

/'1

~·'ll /'

u/

i"I ( J. 1 t • ) /\ ( '1 . Az T A/ -Az 1) J CJ, • l.J.; „ . }; o '11 A c.o, v

1 t ,..,

l!) ,( • f,.)• ' V

(59)

f

r~ ( 4. 4 ' ~ 4r.

~: / /-/ / f '> 5'+ ,., „ '1v ..._„

""+ ['tl - (' 2 )„ 11:) ~ ~„ ("'• ...

= ~II )'I . . ..... ~

z 1„ '

"'· .tr 't ~ lf

~- ... „,,..

h.. ~ h.- 4,, Ätl ) s (At~- h, 4~ ;,., s· .,,, ' .... ~

l -2 (S 4 3 ( ~; 1~ 3 ~s ) '

(" l- (°"' (' j • ) ' !

flz„ ~,-lt~ '„ 1 ~" ~~ ~ t 'S l ~ ' 1

j

(60) ~s ~' )~

)~ -,,") ]

Damit haben wir die Beiträge zur Selbstenergie zusammengestellt und können daraus wie in II,a die Dämpfung und Verschiebung bestimmen (II,26 und II,27).

ilt 1-,1 (}l 111 IY.) {'f! Die Größen ~ ... , M z

1 M • , M i.· , h " und f1 l sind reell und

tragen nur zur Verschiebung bei. Dämpfung bedeutet physikalisch in unserem Fall, daß ein Phonon in (mindestens) zwei andere Pho-

h ()1

nonen zerfällt. Ein solcher Prozeß tritt aber nur in J auf, wo das Phonon k L.:J (;) in die beiden Phononen * tv( ;') und

1i LJ/ ;.") Uber die Wechselwirkung LJ) 1-1 / f> zerfällt. Mehrpho­nonenzerfälle haben wir durch die Beschränkung auf [J) J.I / f >und ;_ ~ 1 H / ( > nicht mi tberilcksichtigt.

l.11 lll Analog zum Kapitel II vereinfachen wir r1 ~

I ,, Ilz

11 - Ar ll) ~ t (l

M i : ~ ,.,~ ,~ ' /~ J r > .

M {ll

und 1

• •

fvl 11) :: ~ (1 k 2. :i l Mt

.f./Jlrh ~· A ••

• Li ( 4 -4 1- -4 ')

- 51 -

1 1

... 'T ,, 1 .,

i., ~"" 1, 7 i... -t-A

,, [ "',, • ~ t'i.::1„- w 1

L.J c' !..>"' -t t..7 +a.a -w

1 1 h - ..., lo, - ...,

f ] . , ,, t' 1.#,1 + w' - ~ .,

t "411- L.7 + ~ d .\„ f'f) • un ,-,,,, •

4') /J -t C J.i { A' „ ____ .......

Real- und Imaginäranteil von 34 - 36 und man erhält

}1 ()1

.l berechnen sich wie in II,

L1 ( ; ,_,) • - „ "} ( M ~) (}) ~ h ~,; ( A+) t h :111 ( l) r M ;111 ( t) 'I ~M~ L.>{ ~

{:t { )4 ... 4,' -4,\ ... ,,, -+ - -41 \ l

5 /1 ~ z ~· r ) I <) ~:. )J-1 /f>} I ..,. - A • e l'1 ~ -4 '4" ,)' ~ •'

~ )7:) [ 1

" 1 .,

' ~ { h- "11

- 4'') "'ri., +A ~ + ... +4

[.,) w " 1() + "-' 1 + ,_, ,, 'V_...,._~··

t 1.. 1 II ,.. - i.., 1 ,, J] ... - "' -

1 ~-+ ...,1„ ~'' ~ ... w'+ ~··

- 52 -- ~ IJ k

:: 2 ;1(: .+'Ar~

1 '"" I 1 I ~ _....,, -4, i ·)<'1-~ "'f, /i-1/f) • ,\ ' ;\ ., ; ;.. )' ) ,,

N 1' „

'4{A,-~'-~/)

Größenvergleich der Bei träge zu /J. { ~ "' J :

Lassen wir l gegen eins gehen, so kommen wir zu der einfacheren Theorie mit Hermiteschen Polynomen zurück. Z.B. wird aus

P. p '· ·- f.$ f l) L. tl .' .. (;j . J. ) :: ( 1 ,·. ~ i. ... 0

r „ r 'J. <. f l >o ~ ">o bedeutet Mittelung nur Uber die Gaußfunktion. Ein solches

- ' Matrixelement (das ll1; Uber Gaußf~tionen gemittelt) ergibt null, wenn es eine ungerade Anzahl von 1r enthält. Das läßt sich durch sukzessive Anwendung der Formel ( /';( J J leicht zeigen. Ist die Abweichung der Wellenfunktion von der Gaußfunktion nicht zu groß, so können wir die Matrixelemente nach diesen Abweichungen entwickeln. Wir schreiben f?' A + lf und damit

Nun bestehen die in den AusdrUcken der Selbstenergie auftretenden ß ""' .., aus solchen Matrixelementen. (l s. bei denen die

Summe aus i.i und "' ungerade ist, sind also "linear in Cf n

(siehe Def. derf'~ ). Wenn wir also in o/ linearisieren, können (JI O .A {Cf/

wir in den Ausdrücken fUr M '+ oder , .... , t. z.B. die in 'f qua-dratischen Terme ßH '!111 b,..,. f:.<+1 ·~1l gegen den Term (ll.., bzw. f"- l , der in nullter Näherung gar kein <f enthält, streichen.

- 53 -

(>1

Der Term f'-1 '1 wird durch diese Überlegung auch ins rechte Licht gerückt. Er ist, im Gegensatz zu allen anderen berück­sichtigten Termen linear in der Potentialkonstanten A . Er sollte also eine Größenordnung größer sein, als die anderen, die in ) quadratisch sind. /"1~

3

' aber ist wegen fl:r~ in cf linear, während alle anderen l'v! '.s Terme ohne jedes <f besitzen.

- 54 -

c) Diskussion

Zum Abschluß stellen wir noch einmal die drei wichtigsten Annahmen der Theorie zusammen:

1) Wir mußten bei unserer Störungsrechnung die n-fachanregungen als ~-Phononenzustände auffassen. Da aber das die Anregungen darstellende Polynomsystem wegen der Nahkorrelationen eine von der Gaußfunktion abweichende Gewichtsfunktion besitzt, setzen sich u.a. die Energien der Mehrfachanregungen nicht einfach aus der Summe der Energien der Einfachanregungen zusammen. Der Unterschied zwischen den beiden Energien wird vernachlässigt. Da wir von dem Störanteil des Hamiltonopera­tors nur < .3 / /1 J f > und L. 4 11-1 / ( .> mitnehmen, kommen nur Zu­stände mit maximal vier Phononen vor, so daß der Fehler, der mit höherem n anwächst, nicht zu groß sein sollte. Auch die Experimente 12 ' 13 , 14 , die die Existenz der Phono­nen bestätigt haben, sprechen für die Berechtigung unserer Annahme.

2) Die Theorie wurde für T = o entwickelt, da das Funktionensystem an den Grundzustand angepaßt wurde. In der Tat werden die Messungen bei Temperaturen vorgenommen, die klein gegen die Debyetemperatur Tl) z 'l o Lr sind ( T ,b lp / 4 0 und kleiner). Dabei sind nur die ganz langwelligen Phononen thermisch an­geregt, also Phononen, die mit Hilfe der Neutronenstreuung gar nicht angeregt werden können. Unser Verfahren entspricht also bis auf eine kleine Korrektur wegen der Wechselwirkung mit den langwelligen Phononen in diesem Punkt den realen Verhältnissen.

3) Im Falle von so stark anharmonischen Kristallen wie festem Helium ist es nicht selbstverständlich, daß man sich auf die ersten Glieder der Störung L3 //-t J f >und L~ 1 J-.llf>beschränken kann. Für ~e3 hat Horner17 numerische Rechnungen ausgeführt, in denen er den hard core lediglich durch ein effektives Potential be­rücksichtigt. Dabei liefert die Mitnahme des niedrigsten Terms der Anharmonizität zwar relativ geringe Verbreiterungen aber große Verschiebungen der Phononenfrequenzen. Jedenfalls ist

- 55 -

es von dieser Arbeit her fraglich, ob man ftir beide Effekte schon eine ausreichende Genauigkeit erhält, wenn man die Selbstenergie nur durch ihre einfachsten Anteile ersetzt.

Erst numerische Rechnungen, die sich an diese Arbeit an­schließen sollen, können zeigen, ob die Annahmen 1 und 3 gerechtfertigt sind. Eine Kritik des zweiten Punktes kann erst eine Theorie ftir T t o geben. Unsere Theorie läßt sich nicht ohne weiteres auf T*o erweitern, weil sie auf einer Formu­lierung tiber die Zustände beruht. Man mtißte ftir T * o von vorne­herein von der Temperatur-Greenfunktion ausgehen.

- 56 -

Herrn Professor Dr. G. Leibfried bin ich für viele klärende und anregende Diskussionen und für seine großzügige För­derung sehr dankbar.

Besonders danke ich Herrn Dr. W. Biem für die Anregung zu dieser Arbeit und für seine intensive Betreuung.

IV Literatur

1 NOSANOW, L.H.: Phys. Rev. Letters 13, 270 (1964); Phys. Rev. 146, 1, 120 (1966)

2 DE WETTE, F.W. und B.R.A. NIJBOER: Phys. Letters .1.§., 19 (1965)

3 HIRSCHFELDER, I.O., C,F. CURTISS, R.B. BIRD: Molecular Theory of Gasesand Liquids (John Wiley a. Sons, Inc., New York)

4 WILKS, J.: Liquid and Solid Helium (Oxford University Press, London, 1968)

5 MARADUDIN, A.A. and A.E. FEIN: Phys. Rev. 128, 2589 (1962) -AMBEGAOKAR, V., J. CONWAY and G. BAYM: Proc. 1963 Int. Conf. Latt. Dyn. New York: Pergamon Press 1964 - MARADUDIN, A.A. und V. AMBEGAOKAR: Phys. Rev. 135, A1071 (1964) - MARADUDIN, A.A., P.A. FLINN and R.A. COLDWELL - HORSFALL: Ann. Phys. 15, 360 (1961) - MARADUDIN, A.A. und I.P. IPATOVA, J. Math. Phys. 9, 525 (1968) -MARADUDIN, A.A. und S.H. VOSKÖ: Rev. Mod. Phys. 40, 1 (1968)

6 GÖTZE, W.: Phys. Rev. 156, 951 (1967)

7 HORNER, H.: Z. Phys. 205, 72 (1967)

8 KOEHLER, T.R.: Phys. Rev. Letters 18, 654 (1967), - Phys. Rev. 165, 942 (1968) ~

9 WERTHAMER, N.R.: Amer. J. Phys. 37, 763 (1969)

10 JASTROW, R.: Phys. Rev. 98, 1479 (1955)

11 HANSEN, J. und D. LEVESQUE: Phys. Rev. 165, 293 (1968)

12 MINKIEWICZ, V.J. et al.: Phys. Rev. Letters 19, 1307 (1967) Phys. Rev. 174, 267""'T1968)

13 BRUN, T.O. et al.: Int. Atom. Ag., Vienna 1968

14 BITTER, H.: Diss. Techn. Hochschule Aachen

15 DE DOMINICIS,C. und P.C. MARTIN: J. Math. Phys. 5, 14 (1964) -J. Math. Phys. ?, 31 (1964)

16 HORNER, H.: wird veröffentlicht

- A1 -

V Anhang

A Zur Berechnung von "'12 (At ~ , """" )

t,.o 1

" / ~ 2. 1 ~ "" . -t t.:J

V

Diese Summe betrachten wir als Summe der Residuen einer Funktion 1c&) innerhalb einer bestimmten Umrandung .1:'.

-1 A A 1(2) ::: /l l 2 ~ -+ ' • ' ? ( „ ) l ,, ? ' "' ~ ...., 4: - 1-::1. 't....., 4 - (!

Diese Funtion hat unter anderem Pole auf der reellen Achse fUr

y

~ -Ebene

--------'-----'-----·----------·----v'• o ...,

-·-·--------> c-

Der Integrationsweg .Csoll n~r die Pole auf der reellen Achse ein­schließen. Dann ist

2 lj I

{

Dies ist aber gleich

-+

A A =

J wenn wir die

Integrationswege nach unten bzw. oben wegziehen. Das ist erlaubt, da/r~1fUr 1~/ -> c0 schneller als mit ,'{

1 verschwindet.

Die Pole, die dann eingeschlossen werden, liegen bei

2 A ;; . '

l l.J ,,

- A2 -

Die Summe ist also gleich

1 " h -T ~ -f- A

,· W' + ,,.,' „ t..J'' "

1 " 1-, -+ i., ~A ----- j-

' I • t. j,.Jy - "' - ~

' •I ,., - ... I •1 } " - .... . ' ,,

4. 1-J~ +i..J - ,_,

B Berechnung von Matrixelementen, gebildet mit Gaußfunktionen

Zu berechnen ist u.a. das Integral (zur Vereinfachung der Schreib­arbeit nennen wir [:; } :: e )

AusfUhrung der Differentiationen liefert ( 1-;t' = 1:,t)

- l 1e e

J

„

Nun ist

Je e ' f ". f [ C1 I .._ ._ - <' q r- ( 1-lf ..... _„ "'"'"' , ....... ,„ r:;.,„ + ~ - h..,i..,_,

- A3 -

D.h. Differentiationen einer der beiden in den Matrixelementen vorkommenden Gaußfunktionen lassen sich auf die zu mittelnden Funktionen umwälzen. Damit erhält man, wenn man noch bezUglich f und~ symmetrisiert

.c_olf 1-1 ~ /o>. ,,_~' t:_ .t.ol f;f lo> -t.:. o/ f Vff I o '> (B2)

Nützlich sind noch folgende Beziehungen, die wir zur Herleitung von (B2) benutzt haben:

(B3)

(B4)

C Minimalisierung der Grundzustandsenergie

(C1)

Wir minimalisieren die Grundzustandsenergie bezüglich der Parameter

1- ...... .,, ("' -4 . ~

ff 0 = 0 J r ::.~ Das iief ert für

r tri_-1. J ... v te' T

4M

L ö J / 1 I 0 > < o/ - ", 1 t , v~fi ' V ':>

L o/ ( <>/v>l

L_O} V41/o) <öl -1, 1,• {e J 0)

C. o/ f'J O)~

(C2)

- A4 -

Multiplikation mit r;...,.. r;,'-, liefert

r z " 't M (.o/ Clo > < v/ r:f' ~~ r:...p 1 1e' V1f 1 o'> - <oJ V~/o> {. o/ r:... 1· r .... ~ 'lfl' (lo> .... .... ~ < < „ I f l. J,; > <

Unter Ausnutzung der Beziehung (B4) erhält man daraus

- ' 11 [ ~ VI { 1

/ 0 > < „ I ('V... \7 ... 1 V 4( ) I 1) '> 1 ~""' • ~

~ "' f ~ 1 o > ~

.! a J V t./f / o > < o/ ( \? .... '7 ... · l ~) J o '> .( oj f 1

/ o) i

..... D Beweis, daß <.. f J? '! I ( > ~ o im hcp-Gitter:

] (C3)

Wir beziehen uns in unserer Bezeichnungsweise auf die Figur 1, und wählen, da alle Teilchen gleichberechtigt sind, k.. „ ( "i ~ ")

und t'1 .., --t •

Als erstes betrachten wir Spiegelung an der Ebene X= o.

Der Spiegeloperator, der dies leistet, sei S ~ • Dann ist

S "'L (/'}xi ( '> =- ~ f / 1)1 / f) , da .S"" eine Deckoperation ist.

Andererseits ist $ ,,, ~ r / 1 "I f > -- < f I s.., ?.11) I f > ,;- - < f 11 J(I f > Daraus folgt, daß

C:. f / 1><1 f'> !t o FUr die ~ -Richtung verläuft der Beweis analog.

Zum Beweis, daß auch der Mittelwert Uber 1i verschwindet, wählen wir die Spiegelung an der Ebene, die durch die Punkte

(

0

;

0

), (

0

: ") und { 0:-1geht. Eine Spiegelung an dieser Ebe­

ne ist analog der Spiegelung an der ~ =- o Ebene eine Deck­operation. Also

t.fl1,lf">:? ~r1 •

Da, wie wir schon gezeigt haben, die Mittelwerte Uber 1Y und 1 i. verschwinden, bleibt

- A5 -

Die Matrix S 1 hat die Form

" -'l l s --

(3'

z

Also

Lf/~'1/f'>: d.h. auch

-

,f

l

r;i -r.

A -(!

E Berechnung der Matrixelemente

" ! f / /-.j / ~ ) :: < 0/ f ?/ () > 1 (~ (; /- i t (: i / t v) i J~j ~; f / () >

Berechnung des letzten Faktors auf der rechten Seite liefert nach ( B2) ( { ~ } :: e )

~ t ~ !. 0 / { 1-1 1 e { / o > :

4 ~ ~r ,- < 0

/ { ~ e I o > -t L o J / l V °f e / ._1 >

Nach Gleichung (III,17), wenn man nach (B3) ausnutzt, ist also

~ ( / 1-I / ~ ) :' 1' 1\

Berechnung von

)f i ~"" ) A, • s -1 L ~„ , f „ , s „ ( „; , r, ) ,

(E1)

(E3)

(E4)

- A6 -

Den letzten Faktor verarbeiten wir wieder nach (B2):

_ ~2 (&j f qt I f1e (, 'ai, -ri /;e) t l?e~ f {lf1(, "~e_,+?f!t„]

~,.,, 1 " J .J V z (.

- l [ {1 f.J • 1 t. -r f d r~ t 3 ] • [ f / f'1 • ~ f, + ( J ~1 1 3 1 I 0 ">

4~,: s~ , ... .:- '=-o „ ~ ( I v.~ 1 t ..... Nach Gleichung (III,12) gilt -· ,- ~ 'ir /

Oben eingesetzt erhalten wir:

Daraus wird nach Ausnutzung der Selbstkonsistenzbedingung in der Form (C2):

(E5)

- A7 -

Setzen wir dieses Ergebnis wieder in (E4) ein, so wird

~ ~ 4, t ' ( 4~ ' - ,., J """' .A,„ c. 1z„ / 1--1 1 " '> ;: eo < ,\~ I ,\: > 1- :: f'" )t1 J t1„ ~ 1 )..„ l\l er-•

(E6)

(E7)

Der letzte Faktor der rechten Seite läßt sich zerlegen (III,6)

- Z (3 ,„ { f~ fi! i ~) ~ 0 / f J/ ß, f J) f / 0 '> .Äp ,)

- f? (J { f„ P,) ~ ~1 I 1-J f / 0 '> und wegen (E3) und (III,12)

Mit Hilfe von (B2) wird daraus

(ES)

- A.8 -

Mit (III,12), (III,13) und {III,10)

-:: [ ~ 0 - c. ( I V~ I f > ) i. 0 I ( 21 0 > f ~ tl 'T L. o/ V 11 1 ·t~ w t, I 0 '>

Daraus folgt wegen der Selbstkonsistenzbedingung (C2)

(E10)

Berechnung von

Die beiden anderen Terme aus der Zerlegung von ~ fallen wegen (E10) und (E3) weg. Es bleibt zu berechnen

.:( 0 I f l-1 1 e, 1 "' 1 ", f I 0 > :

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-t? ~"~ ,,, '''~.,. < 1P, ~P, f1~~]..,. ,,„ 1~r ~') f f1Pe -c> f1{' .

. [ cla, 1 •· 'h f .,. dee, "/e. fo f ..,. cll'f, "} ~, ?~~ /, ~ '• 1,, f ,, /;„Ji•)

- A9 ....

In (E11) eingesetzt ergibt sich

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