Kinematik des starren K rpers - Technische Mechanik...

Technische Mechanik II

Kinematik des starren Körpers

Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc.

Fachbereich Mechatronik und MaschinenbauHochschule Bochum

WS 2009/2010


Übersicht

1. Kinematik des Massenpunktes2. Kinematik des starren Körpers

◦ Beschreibung von Starrkörperbewegungen

◦ Ebene Bewegung

- Momentanpol

- Gangpolbahn und Rastpolbahn

◦ Räumliche Bewegung

3. Kinetik des Massenpunktes

4. Kinetik des starren Körpers

5. Stossprobleme

Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 2/23


Beschreibung von Starrkörperbewegungen 1/6

Grundlegende Begriffe

Starrer Körper

Idealisierung eines realen Körpers, nach der die elastischeVerformung des Körpers nicht berücksichtigt wird

Starrkörperbewegung

Allgemeine Bewegung eines starren Körpers, die sich stets alsÜberlagerung einer translatorischen und einer rotatorischenBewegung darstellen lässt




Grundlegende Begriffe (Forts.)

Translation

Alle Punkte eines Körpers erfahren die gleiche Verschiebung

Rotation

Alle Punkte eines Körpers bewegen sich mit der gleichen Winkel-geschwindigkeit entlang von Kreisbahnen um eine gemeinsameAchse




Grundlegende Begriffe (Forts.)

Freiheitsgrad

Bewegungsmöglichkeit eines Körpers (bzw. eines Systems), dieunabhängig von anderen Bewegungen ausgeführt und durch eineunabhängige Koordinate beschrieben werden kann

freie Objekte Freiheitsgrade

in der Ebene 2Massenpunkt

im Raum 3

in der Ebene 3Starrer Körper

im Raum 6




Drehung um eine feste Achse

Geschwindigkeit von Punkt P

v = ω × r , r =−→OP

Allgemeine Darstellung

v = ω ×−→QP x y

z

~r

~v

α

~ω

P

Q

O

Bei Drehung um eine feste Achse erfährt jeder Punkt eines starrenKörpers die gleiche Winkelgeschwindigkeit.




Allgemeine Bewegung

Ortsvektor zu Punkt B

rB = rA + sAB

Geschwindigkeitsvektor

rB = rA + sAB

⇓vB = vA + sAB

?sAB = ω × sAB

x y

z

~ω

~sAB

A

B~vB

~vA

~rB

~rA

⇒ vB = vA + ω × sAB

Beschleunigungsvektor aB = aA + ω × sAB + ω × (ω × sAB)




Allgemeine Bewegung (Forts.)

Momentanpol

Zeitlich veränderlicher Drehpunkt, dessen augenblickliche

Geschwindigkeit Null ist

x y

zb

b

~ω

B′

B

~vB

~vB′

M

allg.: vB = vA + ω × sAB

hier: vA = vM = 0

vB = ω × sMB

Mit Hilfe des Momentanpols ist esmöglich, jede beliebige Starr-körperbewegung als reine Rotationum diesen Punkt aufzufassen.



Ebene Bewegung 1/7

Grafische Bewegungsanalyse

b

B

~vB

Translation

b

B

~ω

Rotation um B

b

B

M

~vB~ω

Rotation um M+ =

0 = vB + ω × sBM

Lage des Momentanpols

sBM =ω × vB

ω2



Ebene Bewegung 2/7

Grafische Bewegungsanalyse (Forts.)

Darstellung im . . .

. . . raumfesten Koordinatensystem

rOM = ([rOK+sKM]·ex)ex+([rOK+sKM]·ey)ey

⇒ Rastpolbahn

. . . körperfesten Koordinatensystem

sKM = (sKM · eξ)eξ + (sKM · eη)eη

⇒ Gangpolbahn

~ex

~ey

~eξ~eη

A

~vA

B

M

~vB

~sKM

O

K

~rOM



Ebene Bewegung 3/7


Rastpolbahn

Bahn des Momentanpols von einem Beobachter gesehen, der sichan einem raumfesten Punkt befindet (globale Darstellung)

Gangpolbahn

Bahn des Momentanpols von einem Beobachter gesehen, der sichmit dem Starrkörper bewegt (lokale Darstellung)

Bei einer ebenen Bewegung rollt die Gangpolbahn auf derRastpolbahn ab!



Ebene Bewegung 4/7


Beispiel: Abrutschende Leiter

A

B

M(t0)

~vB

~vA

~vS

M(t1)Gangpolbahn

Rastpolbahn



Ebene Bewegung 5/7


Beispiel: Rollendes Rad

M(t0)

~vS

ω

M(t1)

~vS

ω Rastpolbahn

Gangpolbahn



Ebene Bewegung 6/7

Drehung des Koordinatensystems

[xP

yP

]

=

[cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

] [ξPηP

]

︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸

rP = R r′

P

Aktive Drehung: rP

= R r′

P

Passive Drehung: r′

P= R

−1r

P

Eigenschaften der Rotationsmatrix

◦ det(R) = 1

◦ RTR = RR

T = I

◦ R−1 = R

T

x

y

xP

yP

ξ

η

ξPηP

ϕ

~rP

P



Ebene Bewegung 7/7

Verwendung der Rotationsmatrix

OrtsvektorrP = r0 + s0P = r0 + R s

′

0P

GeschwindigkeitsvektorvP = v0+ω×s0P = v0+R s

′

0P

(s′

0P = 0)

Zeitableitung der Rotationsmatrix

R =dR

dt= ϕ

dR

dϕ

s0P

Darstellung im raumfesten x, y-KOS

s′

0PDarstellung im körperfesten ξ, η-KOS

x

y

ξη

ω

ϕ

~s0P

0

P

~rP

~r0

Zusammenhang zwischen R und ω

RRTs0P = ω × s0P



Räumliche Bewegung 1/8

Beschreibung der Position und Orientierung von starren Körpern

Die Konfiguration eines starren Körpers im Raum ist durch sechs

Koordinaten eindeutig definiert:

◦ drei Translationskoordinaten, z. B. x, y, z → Ortsvektor r0

◦ drei Rotationskoordinaten, z. B. ψ, θ, φ → Rotationsmatrix R

Position eines Körperpunktes

rP = r0 + s0P = r0 + R s′

0P

Eine beliebige Orientierung kanndurch drei aufeinander folgendeDrehungen beschrieben werden

x0 y0

z0

x3

y3

z3

~ω

~s0P

0

P

~rP

~r0




Beschreibung von Drehbewegungen

Drehungen um endliche Winkel sind nicht kommutativ!

x

y

z

x

y

z

90◦

x

y

z

x

y

z

90◦

x

y

z

90◦

x

y

z

90◦




Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)

Parametrierung mit Euler-Winkeln

1. Drehung um z0

0R1 =

cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 0

0 0 1

2. Drehung um x1

1R2 =

1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

3. Drehung um z2

2R3 =

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

x0

y0

z0

ψψ y1

z1 = z0

θ

θ

x2 = x1

y2

φ

φ

x3

y3

z3 = z2





Parametrierung mit Euler-Winkeln (Forts.)

s0 = 0R3 s3 s0 Darstellung im x0, y0, z0-KOS

s3 Darstellung im x3, y3, z3- KOS

Konstruktion der Rotationsmatrix 0R3

0R3 = 0

R11R2

2R3

=

cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 0

0 0 1

1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

=

cosψ cosφ− sinψ cos θ sinφ − cosψ sinφ− sinψ cos θ cosφ sinψ sin θ

sinψ cosφ+ cosψ cos θ sinφ − sinψ sinφ+ cosψ cos θ cosφ − cosψ sin θ

sin θ sinφ sin θ cosφ cos θ





Parametrierung mit Euler-Winkeln (Forts.)

Singuläre Stellung: θ = nπ , n = 0,±1,±2, . . .

R|θ=0=

cosψ cosφ− sinψ sinφ − cosψ sinφ− sinψ cosφ 0sinψ cosφ+ cosψ sinφ − sinψ sinφ+ cosψ cosφ 0

0 0 1

=

cos(ψ + φ) − sin(ψ + φ) 0sin(ψ + φ) − cos(ψ + φ) 0

0 0 1

→ keine Unterscheidung der Winkel ψ und φ möglich!





Parametrierung mit Kardan-Winkeln1. Drehung um z0

0R1 =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

2. Drehung um y1

1R2 =

cosψ 0 sinψ0 1 0

− sinψ 0 cosψ

3. Drehung um x2

2R3 =

1 0 00 cosφ − sinφ0 sinφ cosφ

x0

y0

z0

θ θ

x1

z1 = z0

ψ

ψ

y2 = y1

z2

φ

φ

x3 = x2

y3

z3





Parametrierung mit Kardan-Winkeln (Forts.)

s0 = 0R3 s3 s0 Darstellung im x0, y0, z0-KOS

s3 Darstellung im x3, y3, z3- KOS

Konstruktion der Rotationsmatrix 0R3

0R3 = 0

R11R2

2R3

=

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

cosψ 0 − sinψ0 1 0

sinψ 0 cosψ

1 0 00 cosφ − sinφ0 sinφ cosφ

=

cosψ cos θ sinφ sinψ cos θ − cosφ sin θ cosφ sinψ cos θ + sinφ sin θ

cosψ sin θ sinφ sinψ sin θ + cosφ cos θ cosφ sinψ sin θ − sinφ cos θ

− sinψ sinφ cosψ cosφ cosψ





Parametrierung mit Kardan-Winkeln (Forts.)

Singuläre Stellung: ψ =π

2+ nπ , n = 0,±1,±2, . . .

R|ψ=π

2

=

0 sinφ cos θ − cosφ sin θ cosφ cos θ + sinφ sin θ0 sinφ sin θ + cosφ cos θ cosφ sin θ − sinφ cos θ

−1 0 0

=

0 − sin(θ − φ) cos(θ − φ)0 cos(θ − φ) sin(θ − φ)

−1 0 0

→ keine Unterscheidung der Winkel θ und φ möglich!


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