Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt()...

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN Fakultät V Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik Prof. Dr. rer. nat. V. Popov www.friction-physics.de Kinematik und Dynamik (Mechanik II) Vorlesungsnotizen SoSe 2019 FG Systemdynamik und Reibungsphysik

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik

Prof. Dr. rer. nat. V. Popov www.friction-physics.de

Kinematik und Dynamik (Mechanik II)

Vorlesungsnotizen SoSe 2019

FG Systemdynamik und Reibungsphysik

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Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 1.

Kinematik einer eindimensionalen Bewegung: Geschwindigkeit als Ableitung, Entfernung als

Integral, Beschleunigung. Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.1.1.-1.1.3.

I. Kinematik und Dynamik. Unter der Ki-

nematik versteht man rein mathematische und

geometrische Methoden zur Beschreibung

von Bewegungen, wie Koordinaten, Vekto-

ren, geometrische Bindungen ect.

Das Wort Dynamik, oder Englisch dynamics,

wird in allen Wissenschaftszweigen als Sy-

nonym zur Bewegung verstanden. An einigen

deutschsprachigen Technischen Universitäten

ist für die Dynamik auch ein anderes Wort

gebräuchlich: "die Kinetik". Im Sinne unserer

Vorlesung sind "die Dynamik" und "die Ki-

netik" Synonyme.

Alle Fragen über die Ursachen und den Cha-

rakter von Bewegungen werden in der klassi-

schen Mechanik ganz einheitlich beantwortet:

Gemäß den Newtonschen Gesetzen. Die

Newtonschen Gesetze und deren Anwendung

in verschiedenen Situationen sind das Haupt-

thema der Veranstaltung Kinematik und Dy-

namik.

II. Massenpunkt. Der Begriff eines Massen-

punktes ist einer der Grundbegriffe der Me-

chanik. Unter einem Massenpunkt versteht

man einen Körper, dessen Ausmaße man bei

der Beschreibung seiner Bewegung vernach-

lässigen kann. Natürlich hängt die Möglich-

keit einer solchen Vernachlässigung von den

konkreten Bedingungen der Aufgabe ab. So

kann man z.B. die Planeten als Massenpunkte

annehmen, wenn man ihre Bewegung um die

Sonne untersucht, dagegen freilich nicht,

wenn man ihre tägliche Drehung betrachtet.

III. Eindimensionale Bewegung. Wir be-

ginnen mit der Bewegung in einer Richtung,

wie in einem Wagen auf einer geraden Stra-

ße. Um Koordinaten angeben zu können,

müssen wir ein Koordinatensystem wählen.

Bei einer eindimensionalen Bewegung reicht

die Angabe einer Koordinatenachse x, die in

die Bewegungsrichtung zeigt:

Wir wählen auf dieser Achse einen Koordina-

tenursprung. Zu jedem Zeitpunkt befindet

sich der Wagen in einem bestimmten Punkt

dieser Achse. Diesen Sachverhalt merken wir

uns, indem wir schreiben: ( )x x t .

IV. Geschwindigkeit als Ableitung. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitin-

tervall 1 2( , )t t wird als Verhältnis des zurück-

gelegten Weges zu der verstrichenen Zeit

definiert:

2 1

2 1

( ) ( )x t x tv

t t

.

Die momentane Geschwindigkeit ist Grenz-

wert dieses Verhältnisses für 2 1 0t t :

2 1

2 11

02 1

( ) ( )lim

t t

x t x tv t

t t

.

Das ist nichts anderes als die erste Ableitung

der Koordinate nach der Zeit:

dt

dxv .

In der Mechanik ist es üblich die Ableitung

nach der Zeit durch einen Punkt über dem

Buchstaben zu bezeichnen:

v x .

Nützliche Regeln der Differenzial- und Integralrechnung

Funktion

( )x t

Ableitung

dx

dt

Funktion

( )g t

Stammfunktion

(unbestimmtes

Integral)

( ) ( )dG t g t t

C 0 0 C

t 1 1 t C

( ) ( )u t f t

du df

dt dt

( ) ( )u t v t

d du t v t C

( ) ( )u t f t du dff u

dt dt

partielle Integration

d ddu df

f t u t uv Cdt dt

2t 2t t 2 / 2t C

3t 23t 2t 3 / 3t C

nt 1nnt nt 1 /( 1)nt n C

( )u u f ,

( )f f t

du du df

dt df dt

Substitionsmethode

sin t cos t cos t sin t C

cos t sin t sin t cos t

te te te te C

ln t 1/ t 1/ t ln t C

arcsin t

2

1

1 t

2

1

1 t

arcsin t

x O

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V. Entfernung als Integral.

Ist die Geschwindigkeit ( )v t als Funktion der

Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-

nem beliebigen Zeitpunkt bestimmt werden.

Zwei Lösungsmöglichkeiten:

1. Unbestimmte Integration. Die Ge-

schwindigkeit ist die zeitliche Ableitung der

Koordinate: ( )

( )dx t

v tdt

. Die Koordinate zu

bestimmen bedeutet demnach eine Funktion

zu finden, deren Ableitung der gegebenen

Funktion ( )v t gleich ist. Diese Funktion

nennt man Stammfunktion oder unbestimmtes

Integral der Funktion ( )v t . Bezeichnung:

( ) ( )dx t v t t C .

Die Integration ist offenbar eine Umkehrope-

ration zur Ableitung. Die Tabelle der Ablei-

tungen - gelesen in der umgekehrten Rich-

tung - ist gleichzeitig eine Tabelle der Integ-

rale (s. Tabelle).

2. Bestimmte Integration. In einem kurzen

Zeitabschnitt t ändert sich die Koordinate

des Wagens um x v t . Die gesamte Än-

derung der Koordinate auf einem längeren

Zeitintervall kann man als Summe

2 1( ) ( ) ( )i

i

x t x t v t t berechnen. Jedoch

ist die mit dieser Methode erhaltene Koordi-

nate nicht ganz genau, weil sich die Ge-

schwindigkeit während des Zeitintervalls t

ändert. Wenn wir die Zeit klein genug wäh-

len, so ist die Summe präzise:

2 10

( ) ( ) ( )lim it i

x t x t v t t

Den Grenzwert nennt man bestimmtes Integ-

ral: 2

1

2 1( ) ( ) ( )d

t

t

x t x t v t t

Die Bezeichnung des Integrals erinnert an

seine Herkunft: Das wird zu d, um uns

daran zu erinnern, dass die Zeit so gering ist,

wie möglich, und die Addition wird als eine

Summe mit einem großen "S" geschrieben,

das sich im Laufe der Zeit etwas ausgestreckt

hat: . Bestimmte Integrale berechnet man

mit dem Hauptsatz der Differential- und In-

tegralrechnung: Ist ( )G t eine Stammfunkti-

on von ( )g t , so gilt:

( )d ( ) ( )

b

a

g t t G b G a .

VI. Beschleunigung

Ändert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit:

)(tvv , so sprechen wir von einer beschleu-

nigten Bewegung. Die Beschleunigung ist die

zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

dt

dva .

Da die Geschwindigkeit selbst die Ableitung

der Koordinate nach der Zeit ist, ist die Be-

schleunigung eine Ableitung der Ableitung

oder, wie man sagt, die zweite Ableitung der

Koordinate nach der Zeit. Dies wird in einer

der folgenden Formen geschrieben:

xdt

xd

dt

dx

dt

da

2

2

.

Ist die Abhängigkeit der Koordinate von der

Zeit bekannt, so kann man alle sonstigen

wichtigen kinematischen Größen sofort be-

rechnen: Nach einmaliger Ableitung haben

wir die Geschwindigkeit, nach der zweiten

Ableitung die Beschleunigung.

VII. Kinematische Grundaufgaben.

1. 0a . Das bedeutet: / 0a v dv dt .

Erste Integration: const ov v (gleichför-

mige Bewegung). Aus der Definition

/v dx dt erhalten wir nach der zweiten In-

tegration 0x v t C . Die Integrations-

konstante erhält man mit Hilfe der Anfangs-

bedingung:

0 0 0x v t C 0 0 0x x v t t .

2. 0a a (gleichmäßig beschleunigte Bewe-

gung) Zweifache Integration

3. ( )a a t Zweifache Integration

4. ( )a a v . Wir schreiben die Beschleuni-

gung als zeitliche Ableitung der Geschwin-

digkeit: ( )dv

a vdt

und trennen die Variablen:

( )

dvdt

a v . Integration

( )

dvt C

a v ergibt

nun einen Zusammenhang zwischen der Zeit

und der Geschwindigkeit. Zur Berechnung

der Koordinate integriert man die Geschwin-

digkeit nach der Zeit.

5. ( )a a x Lösung durch Multiplikation mit

v und Darstellung in der Form d ( )dv v a x x .

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Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 2.

Ebene und räumliche Bewegung: Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, Vektoren. Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik 1II, 1.1.4

I. Ebene Bewegung. Kartesische und Po-

larkoordinaten. Die Lage eines Massen-

punktes auf einer Ebene wird durch zwei Ko-

ordinaten beschrieben. Meistens werden da-

für entweder kartesische oder polare Koordi-

naten benutzt.

Kartesische Koordina-

ten: (x,y)

Polarkoordinaten:

( ,r )

Der Zusammenhang zwischen beiden wird

durch die folgenden Gleichungen gegeben:

cos

sin

x r

y r

Umgekehrt gilt:

2 2

arctan /

r x y

y x

.

II. Räumliche Bewegung. Kartesische, zy-

lindrische und Kugelkoordinaten.

In drei Dimensionen wird die Lage eines

Massenpunktes mit drei Koordinaten gege-

ben. Definition von kartesischen, zylindri-

schen und Kugelkoordinaten sowie Zusam-

menhänge zwischen ihnen werden mit den

drei nachfolgenden Bildern illustriert.

Kartesische Koordinaten: (x,y,z)

Zylindrische Koordinaten: ( , ,z)

Zusammenhang mit kar-

tesischen Koordinaten: cosx

siny

z z

Kugelkoordinaten: ( , ,r )

Zusammenhang mit kar-

tesischen Koordinaten:

cos cosx r

cos siny r

sinz r

III. Vektorielle Darstellung. Orthonor-

mierte Basen.

(x,y,z) seien kartesi-

sche Koordinaten des

Massenpunktes P in

einem rechtshändigen

Koordinatensystem.

Alternativ kann die

Lage des Punktes mit

dem Radiusvektor r charakterisiert werden.

Definieren wir drei Vektoren , ,x y ze e e , die

entlang der Koordinatenachsen gerichtet sind

und je die Länge Eins haben. Diese drei Ein-

heitsvektoren sind zueinander orthogonal und

bilden eine orthonormierte Basis.

Jeder Vektor kann in seine kartesischen

Komponenten zerlegt werden:

, ,x y z x y zr r r r xe ye ze x y z .

Kartesische Koordinaten können als Skalar-

produkte des Vektors mit entsprechenden

Basisvektoren bestimmt werden:

xx r e , yy r e , zz r e .

In dem beschriebenen Fall einer konstanten

kartesischen Basis (Einheitsvektoren der Ba-

sis sind "raumfest") leitet man den Radius-

vektor ab, indem man seine Komponenten

ableitet:

, ,x y z x y zr r r r xe ye ze x y z .

Diese Gleichung kann man auch als

, ,x y z x x y y z z x y zv v v v v e v e v e v v v

schreiben. Eine weitere Ableitung ergibt die

Beschleunigung:

, ,

, ,

, ,

x y z x x y y z z x y z

x y z x y z

x y z x x y y z z x y z

a v v v v v e v e v e v v v

r r r r xe ye ze x y z

a a a a e a e a e a a a

IV. Polare Basis.

Die orthonormierte Basis, in die man den

Vektor zerlegt, muß nicht unbedingt konstant

sein: Sie kann sich als Ganzes (als orthonor-

miertes Dreibein) bewegen; dabei ändern sich

die Richtungen der Basisvektoren; beide

Vektoren bleiben aber orthogonal zu einander

und ihre Länge bleibt Eins.

Im Weiteren untersuchen wir ebene Bewe-

gung näher. Zur Beschreibung ebener Bewe-

gung wird in der Mechanik sehr oft die soge-

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nannte "polare Basis" benutzt.

Als Basis führt

man zwei Ein-

heitsvektoren

ein: re in Rich-

tung des Radi-

us-Vektors ei-

nes Massen-

punktes und e senkrecht zu re (s. Bild).

Selbstverständlich bewegt sich die polare

Basis zusammen mit dem Radiusvektor. Der

Radiusvektor kann in der polaren Basis be-

sonders einfach dargestellt werden: rr re .

Bei der zeitlichen Ableitung muss man aber

beachten, dass sich auch die Basisvektoren

mit der Zeit ändern:

( ) ( ) ( )rr t r t e t .

Beim Ableiten muss man die Regel zum Ab-

leiten von Produkten benutzen:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r rr t r t e t r t e t . (1)

Um weiter zu verfahren, brauchen wir die

zeitliche Ableitung von Basisvektoren. Diese

wird mit der nachstehenden Skizze illustriert.

rde zeigt in Richtung e und hat die Länge

1 d d . Daher: rde d e .

de zeigt in Richtung re und hat die Länge

1 d d . Daher: rde d e .

Indem wir diese Gleichungen durch dt divi-

dieren und erkennen, dass d

dt

, erhalten

wir

re e , re e .

Für die zeitliche Ableitung des Radiusvektors

(Gleichung (1)) ergibt sich somit

( ) ( ) ( ) ( )rv r t r t e t r t e .

Eine weitere Ableitung liefert den Beschleu-

nigungsvektor:

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r r

r r

a v

r t e r t e r t e r t e r t e

r t e r t e r t e r t e r t e

2( ) ( ) 2 ( ) ( )r

zirkulareKomponenteradialeKomponente

a r t r t e r t r t e (2)

Die zeitliche Ableitung des polaren Winkels

nennt man Winkelgeschwindigkeit.

Sonderfall: Bewegung auf einer Kreisbahn

Bewegt sich ein Massenpunkt auf einem

Kreis mit dem Radius r , so gilt 0r , 0r .

Die Gleichung (1) nimmt die Form

( )v r t r e an. Die Geschwindigkeit ist

immer senkrecht zum Radius (und tangential

zum Kreis gerichtet) und betragsmäßig gleich

v r r .

Die Gleichung (2) nimmt die Form 2 ( ) ( )ra r e t r e t an. Die Beschleuni-

gung hat die Komponente in Tangentialrich-

tung a r und die Komponente in radialer

Richtung 2

2 2

r

va r r

r

Sie ist nach innen - zum Zentrum hin - ge-

richtet und heißt daher Zentripetalbeschleu-

nigung.

Sonderfall: Zentralbewegung

Bei der Zentral-

bewegung ist der

Beschleunigungs-

vektor stets auf

einen Punkt, das

Zentrum Z, hin

gerichtet. Dies

trifft zum Beispiel

für die Bewegung

der Planeten zu.

Bei einer Zentralbewegung verschwindet die

zirkulare Komponente der Beschleunigung,

wenn wir den Koordinatenursprung in das

Zentrum legen:

21 d2 ( ) ( ) 0

da r t r t r

r t

2r const

Nach dem Bild überstreicht der Fahrstrahl r

in der Zeit dt die Fläche 12

d dA rr . Die

Flächengeschwindigkeit 12

d / dA t rr bleibt

daher konstant (das 2. Keplersche Gesetz).

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Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 3.

Newtonsche Gesetze der Dynamik. Bestimmung der Kraft bei vorgegebener Bewegung,

Bestimmung der Bewegung bei vorgegebener Kraft. Schiefer Wurf.

Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik 1II, 1.2.1.-1.2.2.

I. Newtonsche Gesetze (Newton, 1687).

1. Newtonsches Gesetz: Wirkt auf einen

Körper keine Kraft, so führt er eine geradli-

nige, gleichförmige Bewegung aus:

v const . (Auch als Trägheitsgesetz be-

kannt: Galilei, 1638).

2. Newtonsches Gesetz: ma F oder

d

d

vm F

t : Masse mal Beschleunigung gleich

Kraft. Dieses Gesetz gilt nur für ein Inertial-

system.

3. Newtonsches Gesetz: Kräfte, die zwei

wechselwirkende Körper aufeinander ausü-

ben, sind gleich groß, entgegengerichtet und

haben eine gemeinsame Wirkungslinie.

Varianten der Schreibweise des 2.N.G.

ma F oder d

d

vm F

t oder

2

2

d

d

rm F

t

oder mv F oder mr F

Schreibweise in Komponenten:

x x

y y

z z

ma F

ma F

ma F

oder

x x

y y

z z

mv F

mv F

mv F

oder

x

y

z

mx F

my F

mz F

.

Einheit der Kraft ist 2

kg mN

s

(1 Newton).

Bemerkung zum Sprachgebrauch:

Geschrieben in der Form mr F , stellt das

2. N.G. eine Differentialgleichung bezüglich

( )r t dar, die als Bewegungsgleichung be-

zeichnet wird (Engl.: "equation of motion").

Den Radiusvektor als Funktion der Zeit ( )r t

nennt man in diesem Zusammenhang Bewe-

gungsgesetz.

II. Bestimmung der Kraft bei vorgegebe-

ner Bewegung ist die einfachste Aufgabe der

Dynamik. Ist das Bewegungsgesetz ( )r t be-

kannt, so berechnet sich die Kraft nach dem

2. N.G. durch zweifaches Differenzieren.

Beispiel 1. Ein Körper (Masse m) führt eine

eindimensionale Bewegung nach dem Gesetz

( ) sinx t a t (a und sind Konstanten).

Zu bestimmen ist die auf ihn wirkende Kraft.

Lösung: Die erste Ableitung der Koordinate

nach der Zeit liefert cosx a t , nochma-

liges Differenzieren ergibt 2 sinx a t .

Die Kraft ist nach dem 2.N.G. gleich 2 sinF mx ma t .

Beispiel 2. Kurvenfahrt.

Ein Auto (Masse

1000kgm ) durchfährt

eine Kurve (Radius

100R m ) mit der Ge-

schwindigkeit 30m/sv

(108 km/h). Wie groß ist

die Kraft, die auf es wirkt, wie ist sie gerich-

tet, was ist das für eine Kraft?

Lösung: Bei einer Bewegung auf einer Kreis-

bahn mit einer betragsmäßig konstanten Ge-

schwindigkeit ist die Beschleunigung zum

Zentrum des Kreises gerichtet und ist gleich 2 /ra v R . Nach dem 2. N.G. hat auch die

Kraft nur die radiale Komponente: 2

r r

vF ma m

R .

2 2 2 23 3 3

2 2

30 /10 9 10 9 10

10r

v m s kg mF m kg N

R m s

Das ist die Reibungskraft zwischen der Straße

und den Reifen.

III. Bestimmung der Bewegung bei vorge-

gebener Kraft.

Ist die Kraft, die auf einen Körper wirkt, be-

kannt (oder ist das "Kraftgesetz" bekannt), so

kann man die Bewegung bestimmen, indem

man die Differentialgleichung mr F löst.

Zur eindeutigen Bestimmung des Bewe-

gungsgesetzes ( )r t müssen die Anfangsbe-

dingungen - die Lage und die Geschwindig-

keit zu einem Zeitpunkt bekannt sein.

Beispiel 3. Zu bestimmen ist die eindimensi-

onale Bewegung unter der Einwirkung einer

konstanten Kraft. Zum Zeitpunkt 0t be-

fand sich der Körper im Punkt 0x und hatte

die Geschwindigkeit 0v .

Lösung: Das 2.N.G. lautet d

d

vm F

t . Indem

wir beide Seiten mit dt multiplizieren

d dm v F t und unbestimmt integrie-

ren d dm v F t 1mv Ft C erhalten

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2

wir die Geschwindigkeit. Das Ergebnis

schreiben wir in der folgenden Form:

1

d

d

xm Ft C

t . Multiplikation mit dt :

1d dm x Ft C t und zweite unbestimmte

Integration liefern 1 2d dm x Ft C t C

21

1 22mx Ft C t C . Die noch unbe-

kannten Integrationskonstanten 1C und 2C

bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen:

0 2mx C , 0 1mv C .

Daraus folgt 210 02

mx Ft mv t mx oder

210 0 2

Fm

x x v t t .

Für die Geschwindigkeit ergibt sich

0Fm

v v t .

Bemerkung: Diese Lösungsmethode funktio-

niert auch bei einer beliebigen, explizit vor-

gegebenen Kraft ( )F t als Funktion der Zeit.

Die Beschleunigung ist dann auch eine gege-

bene Funktion der Zeit. Durch die erste In-

tegration gewinnt man die Geschwindigkeit,

durch die zweite die Koordinate. Die beiden

Integrationskonstanten bestimmen sich aus

den Anfangsbedingungen.

Beispiel 4. Bremsweg bei Vollbremsung

Zu bestimmen ist der Bremsweg eines Autos

mit der Anfangs-

geschwindigkeit

0v bei Vollbrem-

sung. Der Rei-

bungskoeffizient sei 1 .

Lösung: Die auf das

Auto wirkenden

Kräfte werden durch

den Freischnitt

sichtbar gemacht.

2. N.G. lautet:

1 2 0my mg N N , 1 2mx R R .

Aus der ersten Gleichung folgt 1 2N N mg

Die Reibungskräfte bei Vollbremsung erhal-

ten wir nach dem Gesetz "NormalkraftRei-

bungskoeffizient": 1 1R N , 2 2R N . Da-

raus folgt 1 2 1 2R R N N mg und

für die x-Komponente des 2.N.G.

mx mg . Das ist eine Bewegung unter

Wirkung einer konstanten Kraft, daher gilt

0v v gt

2 21 10 0 02 2

0Fm

x x v t t v t gt

Aus der ersten Gleichung berechnet sich die

Zeit bis zum Stillstand: 0 0v v gt

0 /t v g . Einsetzen in die zweite Glei-

chung liefert den Weg bis zum Stillstand: 2 2 2

0 0 01 12 2Brems

v v vx

g g g .

Für 0 30 /v m s (108 km/h) ist

2 2 2 2

012 2

30 /45

2 1 10 /Brems

v m sx m

g m s

Für 0 15 /v m s (54 km/h) ist 11Bremsx m .

Für 0 8,5 /v m s (ca. 30 km/h) 3,5Bremsx m .

Beispiel 5. Schiefer Wurf

Ein Körper mit der Masse m wird zur Zeit

0t unter einem

Winkel zur x-

Achse mit einer

Geschwindigkeit

0v abgeworfen.

Wenn der Luftwiderstand vernachlässigbar

ist, wirkt als einzige Kraft das Gewicht G in

negativer z-Richtung. Das 2. N.G. in kartesi-

schen Koordinaten lautet

0mx , mz G mg .

Zweifache Integration führt nach Kürzen von

m auf

1x C , 3z gt C

1 2x C t C , 2

3 42

tz g C t C .

Die Anfangsbedingungen:

1 0(0) cosx C v 3 0(0) sinz C v

2(0) 0x C , 4(0) 0z C .

Einsetzen liefert

0 cosx v , 0 sinz gt v ,

0 cosx v t , 2

0 sin2

tz g v t .

Durch Elimination der Zeit t: 0/ cost x v

erhält man die Bahngleichung 2

2 2

0

tan2 cos

gxz x

v

Der Körper bewegt sich auf einer Parabel.

Die Wurfweite wx folgt aus der Bedingung

( ) 0wz x : 2

0 sin 2w

vx

g .

Die größte Wurfweite ergibt sich für

/ 4 , und sie beträgt 2

,max 0 /wx v g .

Die Wurfhöhe ist gleich 2

0( sin ) / 2hz v g .

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Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 4.

Kräfte: Schwerkraft, Reaktionskräfte, Widerstandskräfte, Federkraft, Auftriebskraft,

Scheinkräfte. Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.2.3, 1.2.4.

I. Gravitationskraft: Jedes Objekt zieht je-

des andere Objekt mit einer

Kraft an, welche proportional

zu beiden Massen und um-

gekehrt proportional dem

Quadrat der Entfernung zwi-

schen ihnen ist. Die Kraft ist

entlang der Verbindungslinie

zwischen beiden Körpern gerichtet.

1 2

2

m mF G

r

Gravitationskonstante: 116,67 10G 3

2

m

kg s

II. Widerstandskraft (turbulent)

Ein fahrendes Au-

to oder ein Flug-

zeug erfahren eine

Widerstandskraft,

die annähernd mit der folgenden Gleichung

wiedergegeben wird: 21

2w wF c Av .

Dabei ist A die Projektionsfläche des Körpers

auf eine Ebene senkrecht zur Anströmrich-

tung, ist die Dichte des Mediums (z.B.

Luft), v ist die Anströmgeschwindigkeit

(bzw. Fahrgeschwindigkeit) und der Wider-

standsbeiwert wc erfasst alle weiteren Para-

meter. Er liegt z.B. bei modernen Pkw zwi-

schen 0.3 und 0.4. Das Kraftgesetz ist nur

gültig bei schnellen Bewegungen, bei denen

sich eine turbulente Strömung bildet.

III. Widerstandskraft (Laminar)

Bewegt sich der Körper in einer Flüssigkeit

oder einem Gas so langsam, dass sich keine

Wirbel bilden (laminare Umströmung), so ist

die Widerstandskraft, wie das bereits Newton

herausgefunden hat, proportional zur Ge-

schwindigkeit:

wF v .

Die Konstante hängt von der Geometrie

des umströmten Körpers und von der Zähig-

keit des Mediums ab, diesmal aber nicht von

seiner Dichte. Das Minus-Vorzeichen zeigt,

dass die Kraft entgegengesetzt zur Ge-

schwindigkeit gerichtet ist. Für eine Kugel

gilt z.B.:

6wF rv .

(1854 Stokes); r ist hier Radius der Kugel,

- Viskosität des Mediums. (Z.B. für Was-

ser bei 20°C ist 310 Pa s , für die Luft

bei 20°C 51,8 10 Pa s ).

IV. Haftreibung und Gleitreibung

Durch ausführliche experimentelle Untersu-

chungen hat Coulomb (1736-1806) festge-

stellt, dass die Reibungskraft R zwischen

zwei Kör-

pern, die

mit der

Normalkraft

N an einan-

der gedrückt sind, in erster, grober Näherung

folgende einfache Eigenschaften hat:

A. Die Haftreibung (auch statische Rei-

bungskraft) sR , die zu überwinden ist, um

den Körper in Bewegung zu setzen, ist pro-

portional zur Anpresskraft N:

s sR N .

Der Koeffizient s heißt statischer Rei-

bungskoeffizient. Er hängt von der Material-

paarung ab, weist aber dagegen fast keine

Abhängigkeit von der Kontaktfläche und

Rauigkeit der Oberflächen auf.

B. Die Gleitreibung (auch kinetische Rei-

bungskraft) kR ist die Widerstandskraft, die

nach dem Überwinden der Haftung wirkt.

- Gleitreibung ist proportional zur Anpress-

kraft N

k kR N

- Die Gleitreibung hängt nicht (bzw. nur sehr

schwach) von der Gleitgeschwindigkeit ab.

V. Elastische Kraft

Alle Körper in der Welt

sind mehr oder weniger

deformierbar. Bei Fe-

dern ist ihre Elastizität

besonders ausgeprägt und wird technisch

genutzt. Verschiebt man einen mit einer Fe-

der gekoppelten Körper um x aus seiner

Gleichgewichtsposition, so wirkt die Feder

auf ihn mit der Kraft

elF cx .

Dabei ist c die Steifigkeit der Feder.

Page 10: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

VI. Auftriebskraft

(a) Bewegt sich ein nicht symmetrischer

Körper in einer Flüssigkeit oder Luft, so ist

die auf ihn vom

Medium wirkende

Kraft im Allgemei-

nen nicht entgegen-

gesetzt zur Ge-

schwindigkeit ge-

richtet. Die entgegengesetzte Komponente

der Kraft nennt man Widerstandskraft (s.

oben). Die zur Bewegung senkrecht gerichte-

te Komponente heißt Auftriebskraft. Beide

sind bei turbulenten Umströmungen ungefähr

proportional zum Quadrat der Geschwindig-

keit.

Für dünne stromli-

nienförmige Körper

(wie ein Flügel) gilt 2

AF v S

wobei S die Fläche des Flügels ist und

der sogenannte Anstellwinkel.

(b) Darüber hinaus gibt es auch bei sehr lang-

samen Bewegungen die entgegen der Schwe-

rekraft gerichtete archimedische Auftriebs-

kraft, die gleich dem Gewicht der verdräng-

ten Flüssigkeit ist.

VII. Elektrische, magnetische Kräfte

Auf einen geladenen Körper im elektrischen

Feld mit der Feldstärke E wirkt die Kraft

F qE , q ist die elektrische Ladung.

Auf einen geladenen Körper im magnetischen

Feld mit der Induktion B wirkt die Kraft

F qv B ; sie ist stets senkrecht zur Ge-

schwindigkeit gerichtet.

VIII. Reaktionskräfte (auch Führungs-

kräfte, Zwangskräfte)

Wenn ein Massenpunkt gezwungen ist, sich

auf einer vorgegebenen Fläche oder Kurve zu

bewegen, so spricht man von einer geführten

oder gebundenen

Bewegung. In die-

sem Fall treten die

sogenannten Reakti-

onskräfte auf, wel-

che gerade die geforderte Bindung an eine

Fläche oder Kurve bewirken. Für den Betrag

der Reaktionskraft kann man kein spezielles

Kraftgesetz angeben. Sie zeigt aber immer in

die Richtung, in der die Bewegung verhindert

wird.

IX. Scheinkräfte

Das 2. Newtonsche Gesetz gilt nur in Iner-

tialsystemen. Manchmal ist es bequemer, eine

Bewegung relativ zu einem sich beschleunigt

bewegenden oder rotierenden Bezugssystem

zu betrachten (die Erde ist z.B. auch kein

ideales Inertialsystem). Man kann zeigen,

dass man auch in einem beschleunigten Sys-

tem die Newtonschen Gesetze in gewöhnli-

cher Form anwenden kann, wenn man zusätz-

liche, sogenannte Scheinkräfe einführt.

(a) In einem Bezugs-

system, das sich rela-

tiv zu einem Inertial-

system mit der Be-

schleunigung A be-

wegt, muss die

Scheinkraft

translF mA

eingeführt werden.

(b) In einem mit einer

Winkelgeschwindig-

keit rotierendem

Bezugssystem müs-

sen zwei Scheinkräfte

eingeführt werden

(diese Kraftgesetze

werden im Kurs Mechanik III hergeleitet):

Zentrifugalkraft 2

zentrifF mr wirkt radial

von der Rotationsachse (r ist der Abstand zur

Achse).

Coriolis-Kraft 2CF mv .

Beispiel. Satellitenbewegung. Mit welcher Geschwin-

digkeit umläuft die Erde

ein erdnaher Satellit? Der

Radius der Bahn sei 36,4 10R km .

Lösung. Die einzige Kraft, die auf den Satel-

liten wirkt, ist die Anziehungskraft der Erde

(Schwerekraft). Sie ist immer zum Zentrum

der Erde gerichtet und in der Nähe der Erd-

oberfläche gleich rF mg . Bewegt sich der

Satellit auf einer Kreisbahn, so ist seine Be-

schleunigung ebenfalls zum Zentrum gerich-

tet und gleich 2

0 /ra v R . Nach dem 2.N.G.

gilt 2

0 /mv R mg . Daraus folgt

2

6 3

0 6,4 10 9,8 8 10 /m

sv Rg m m s

Page 11: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 5.

Das 2. Newtonsche Gesetz: Anwendungsbeispiele.

Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.1.3, 1.2.4

Beispiel 1. Geostationäre Satelliten

Verläuft die Bewegung eines

Satelliten in der Äquatorebene

der Erde und ist die Umlaufzeit

gleich einem Tag, so "hängt"

der Satellit immer über dem

gleichen Punkt der Erde. Die

einzige auf ihn wirkende Kraft

ist die zum Zentrum gerichtete Gravitations-

kraft 2r

MmF G

r . Bei einer Bewegung auf

dem Kreis ist Beschleunigung ebenfalls zum

Zentrum gerichtet und gleich 2

ra r , wo-

bei 2 /T die Winkelgeschwindigkeit ist

(T=1 Tag ist die Umdrehungsperiode). Das

2.N.G. besagt, dass 2

2

2

2MmG mr mr

r T

1/32

22

GMTr

(1)

Die Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche

ist gleich 2/g GM R mit 36380 10R m

als Erdradius. Daraus folgt 2GM gR . Ein-

setzen in (1) liefert

1/321/3 262 2

2 2

9,8 6,38 10 24 3600

2 2

gR Tr

42000km . Das entspricht einer Höhe über

der Erdoberfläche von ca. 35620km .

Beispiel 2. Vertikaler Start einer Rakete

Zu berechnen ist die Fluchtgeschwindigkeit

bei einem vertikalen Start einer Rakete (Luft-

widerstand ist zu vernachlässigen).

Lösung: Es liegt eine eindimensionale Bewe-

gung vor. Das 2.N.G. für die radiale Bewe-

gung lautet 2

GMr

r . Die Beschleunigung

ist hier eine Funktion der Koordinate. Man

löst diese Differentialgleichung durch Multi-

plizieren beider Seiten mit der Geschwindig-

keit d

dr

rv

t und Berücksichtigung, dass

rr

dvdv dv drx a v

dt dr dt dr .

Die Bewegungsgleichung nimmt die Form

2

rr

dv GMv

dr r an.

Multiplizieren mit dr ergibt

2r r

GMv dv dr

r .

Eine bestimmte Integration führt auf

22 0 1 1

2 2

rrvv

GMR r

Die gesuchte Geschwindigkeit ist eine solche,

bei der 0v wenn r

2

0 2 11,2 /r

GMv gR km s

R .

Beispiel 3. Maximale Geschwindigkeit eines

Autos.

In der vertikalen Richtung gibt es keine Be-

wegung. Unter Vernach-

lässigung der Auftriebs-

kraft gilt daher: N mg .

Da sich das Auto mit ei-

ner konstanten Geschwindigkeit bewegen soll,

lautet die horizontale Komponente des 2.N.G.:

0 wm F R , wobei R mg die maxima-

le erreichbare Reibungskraft zwischen den

Rädern und der Straße ist und 212w wF c Av

die (turbulente) Widerstandskraft. Aus

212 wmg c Av folgt

2

w

mgv

c A

.

Mit den charakteristischen Werten: 0, 4wc , 22,5A m ,

31,2 /kg m , 1600m kg ,

0.8 erhalten wir 146 / 525 /v m s km h .

Beispiel 4. Freier Fall in einer viskosen

Flüssigkeit

Zu bestimmen ist das Bewe-

gungsgesetz einer in einer Flüs-

sigkeit frei fallenden Kugel mit

den Anfangsbedingungen:

0 0y , 0 0yv .

Lösung. Das 2. N. G. lautet:

y

y

dvm mg v

dt . Multiplikation mit dt

ergibt y ydv g v dt

m

. Nach Trennung

der Variablen und bestimmter Integration er-

halten wir 0 0

yv ty

y

dvdt t

g vm

Page 12: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

0ln yv

y

mg v t

m

ln 1 y

mv t

mg

1

t

my

mgv e

Für sehr große Zeit t erreicht die Geschwin-

digkeit den Grenzwert mg

. Das Minus-

Zeichen zeigt, dass sich die Kugel in die nega-

tive y-Richtung bewegt.

Zur Bestimmung der Koordinate schreiben

wir die Geschwindigkeit als zeitliche Ablei-

tung 1t

mdy mg

edt

, multiplizieren diese

Gleichung mit dt und integrieren bestimmt

0 0

1

y t t

mmg

dy e dt

.

Ergebnis: 2

21 m

tmg my t g e

Beispiel 5. Ein Feder-Masse-System

Zu bestimmen ist das

Bewegungsgesetz

einer mit einer Feder

gekoppelten Masse.

Die Anfangsbedingungen für 0t lauten

(0) 0v ; 0(0)x x .

Lösung: Wir betrachten nur die Bewegung in

horizontaler Richtung und vernachlässigen die

Reibung in dieser Richtung. Die einzige Kraft,

die unter diesen Voraussetzungen auf den aus

der Ruhelage ausgelenkten Körper wirkt, ist

die Federkraft F kx . Das 2.N.G. sieht wie

folgt aus: ma kx /a k m x . Mit

der Bezeichnung 2/k m schreiben wir es

in der Form 2a x oder 2dvx

dt .

Mit der Identität dv dv dx dv

vdt dx dt dx

ergibt sich

2dvv x

dx . Multiplikation mit dx und be-

stimmte Integration ergibt

0

2

0

v x

x

vdv xdx 22 2

2 002 2 2

xv x

Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit als

Funktion der Koordinate: 2 2

0v x x . Wir

schreiben nun die Geschwindigkeit als zeitli-

che Ableitung der Koordinate:

2 2

0

dxx x

dt , trennen die Variablen und

integrieren bestimmt:

0

2 200

x t

x

dxdt t

x x

.

Mit der Substitution

0

0

sin /

0 sin 1

2 2

0 0 0

sin

cos cos

x arc x x

x arcx x z x z

dx x z dz x x x z

erhalten wir

0

0

0

sin /

sin /0

sin 12 20sin 10

0

cos

cos

arcsin( / ) / 2

arc x xxarc x x

arc

x arc

x z dzdxz

x zx x

x x t

Daraus folgt 0 sin / 2x x t

Alternative:

0

0

00

/21

0

/ :/

|1 /

x

x x

x

x x zd x x

zx x

0/

21 1

x xdz

z

0/

1

0

arcsin | arcsin arcsin1x x x

z tx

Umkehren dieser Funktion ergibt

0 0sin 2 cosx x t x t

Beispiel 6. Scheinkräfte.

A. Wann kippt ein

Auto um?

Gleichgewicht der

Kraftmomente be-

züglich des rechten

Rades (im rotierenden Bezugssystem!!):

2 /m v R h mgd /v Rgd h .

B. Neigung eines

Motorradfahrers

C. Zentrifuge. Durchmesser = 45 cm,1400

Umdrehungen pro Minute. Zu bestimmen ist

die effektive Fallbeschleunigung in dem mit

der Zentrifuge verbundenen Bezugssystem.

Page 13: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 6.

Impuls, Kraftstoß, Schwerpunktsatz, Impulserhaltung, Stoß Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.2.5, 2.2, 2.5

I. Impuls. Die vektorielle Größe p mv

heißt Impuls des Körpers. Der Gesamtimpuls

eines Mehrkörpersystems berechnet sich als

Summe der Impulse seiner Bestandteile:

i ip m v .

II. Impulssatz.

Geschrieben in der Form d

d

pF

t trägt das

2. Newtonsche Gesetz den Namen Impulssatz.

III. Kraftstoß. Durch Multiplizieren mit dt

und Integration kann der Impulssatz in der

folgenden Integralform dargestellt werden: 2 2

1 1

( )

( )

d ( )d

p t t

p t t

p F t t 2

1

2 1( ) ( ) ( )d

t

t

p t p t F t t

Die Änderung des Impulses ist somit gleich

der Größe 2

1

( )d

t

t

F F t t , die Kraftstoß heißt.

IV. Abgeschlossenes System.

Ein Mehrkörpersystem heißt abgeschlossen,

wenn die zu ihm gehörigen Körper nur mitei-

nander wechselwirken.

V. Impulserhaltungssatz

Betrachten wir ein abgeschlossenes System

bestehend aus

zwei Körpern.

Diese Körper

wechselwirken

nur mit einander.

Die Wechselwirkungskräfte genügen dem 3.

Newtonschen Gesetz (actio=reactio). Das 2.

Newtonsche Gesetz für jeden Körper kann

demnach wie folgt geschrieben werden:

11

dvm F

dt 2

2

dvm F

dt .

Summieren beider Gleichungen ergibt

1 21 2 0

dv dvm m

dt dt oder 1 1 2 2 0

dm v m v

dt

In der Klammer steht der Gesamtimpuls des

Systems: 0dp

dt . Daraus folgt:

1 1 2 2p m v m v const

Der Impuls eines abgeschlossenen Systems

bleibt erhalten (Impulserhaltungssatz).

Dieser Satz gilt für ein abgeschlossenes Sys-

tem bestehend aus beliebiger Zahl von Kör-

pern.

VI. Innere und äußere Kräfte

Die Kräfte, mit denen die Körper, die zu einem

System gehören, mit einander wechselwirken,

nennen wir innere Kräfte.

Die Kräfte, mit denen die Körper des Systems

mit den Körpern außerhalb des Systems wech-

selwirken, nennen wir äußere Kräfte.

Diese Definitionen sind systemabhängig. So

ist z.B. die Wechselwirkungskraft zwischen

der Sonne und der Erde eine innere Kraft,

wenn wir die Sonne und die Erde als ein Sys-

tem betrachten. Betrachten wir dagegen nur

die Erde als "System", so ist das eine äußere

Kraft.

VII. Impulssatz für ein Mehrkörpersystem

Betrachten wir jetzt ein nicht abgeschlossenes

(offenes)

System, d.h.

ein System,

dessen Kör-

per auch mit

Körpern

außerhalb des Systems wechselwirken.

F und F sind hier innere Kräfte. 1F und 2F

sind äußere Kräfte. Das 2. Newtonsche Gesetz

für die beiden Körper lautet:

11

dpF F

dt ; 2

2

dpF F

dt .

Addition dieser Gleichungen ergibt

1 2 ext

dpF F F

dt

extF ist die Summe aller äußeren Kräfte.

Impulssatz:

Die zeitliche Ableitung des Impulses eines

Systems ist gleich der Summe aller äußeren

Kräfte, die auf dieses System wirken.

Teilerhaltung des Impulses:

Ist die Projektion der resultierenden äußeren

Kraft auf die x-Achse Null, so bleibt die x-

Projektion des Impulses erhalten.

Page 14: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

Beweis: Der Impulssatz ext

dpF

dt in der Pro-

jektion auf die x-Achse lautet: 0xdp

dt .

Daraus folgt xp const .

VIII. Schwerpunktsatz Der Radiusvektor des Schwerpunkts eines

Systems wird wie folgt definiert:

1 1 2 2

1 2

i i i i

s

i

m r m rm r m rR

m m m M

,

wobei M die Gesamtmasse des Systems ist.

Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes be-

rechnet sich als zeitliche Ableitung dieses

Vektors:

1 1 2 2

1 2

i i

s s

m vm r m r pV R

m m M M

.

Betrachten wir zwei Fälle:

a) Abgeschlossenes System

1 1 2 2

1 2

sdR m v m v pconst

dt m m M

:

Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems

bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.

b) Offenes System

/ extFdV dp dt

dt M M oder

2

2 ext

d RM F

dt .

IX. Plastischer Stoß

Betrachten wir den Zusammenstoß zweier

Körper, nach dem sie sich als ein Ganzes be-

wegen (an ei-

nander kleben).

Solch einen Stoß

nennt man plastischer Stoß. Die Wechselwir-

kungskräfte zwischen beiden Körpern, unab-

hängig von deren Größe und physikalischer

Herkunft sind innere Kräfte. Wirken am Sys-

tem keine weiteren Kräfte, so ist das ein abge-

schlossenes System. Der Impuls des Systems

bleibt deshalb erhalten. Insbesondre gilt das

für beliebige Zeitpunkte vor und nach dem

Stoß:

Impuls vor dem Stoß: 1 1 2 2m v m v

Impuls nach dem Stoß 1 2m m v

Wenn keine äußeren Kräfte gewirkt haben:

1 1 2 2 1 2m v m v m m v

1 1 2 2

1 2

m v m vv

m m

X. Zerfall (z.B. durch eine Explosion)

Impuls "vor": 1 2 0 0m m

Impuls "nach": 1 1 2 2m v m v

Impulserhaltungssatz: 1 1 2 2 0m v m v

12 1

2

mv v

m

XI. Mittelwert einer Kraft

Betrachten wir eine von der Zeit abhängige

Kraft ( )F t . Den Mittelwert dieser Kraft auf

dem Zeitintervall

von 1t bis 2t kön-

nen wir bestim-

men, indem wir

das Zeitintervall in

eine sehr große

Zahl N von Teilintervallen t unterteilen

(offensichtlich gilt 2 1N t t t ).

Den Mittelwert F (der Strich über dem Buch-

staben bedeutet "Mittelwert") berechnet man

mit der bekannten Regel 1

1 N

i

i

F FN

. Indem

wir diese Gleichung mit t multiplizieren und

dividieren, erhalten wir

2

11

2 1

( )

tN

iti

F t dtF t

FN t t t

.

Nach dem Impulssatz in der Integralform gilt 2

1

2 1( )

t

t

F t dt p p , wobei 2p und 1p Impulse

des Systems zu den Zeitpunkten 2t und 1t

sind. Für den Mittelwert der Kraft ergibt sich

somit

2 1

2 1

p pF

t t

Der Mittelwert der Kraft ist gleich der Ände-

rung des Impulses dividiert durch das Zeitin-

tervall, in dem diese Änderung stattgefunden

hat.

Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt eines

Systems bewegt sich so, als ob die Gesamt-

masse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren

Kräfte an ihm angreifen.

Page 15: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 7.

Arbeit, kinetische und potentielle Energie, Elastischer Stoß Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.7

I. Mechanische Arbeit, Arbeitssatz

Betrachten wir einen Körper mit der Masse m,

der sich unter der Wirkung einer (im Allgemei-

nen zeit- oder ortsabhängigen) Kraft F bewegt.

Das zweite Newtonsche Gesetz für den Körper

lautet: dv

m Fdt

.

Indem wir diese Gleichung mit v multiplizie-

ren, erhalten wir

dvm v F v

dt (Skalarprodukt!) (1)

Die linke Seite der Gleichung kann in der Form

2

2 2

d vd v vdv m mm v

dt dt dt

dargestellt werden. Die rechte Seite schreiben

wir wie folgt um: dr

F v Fdt

.

Die Gleichung (1) nimmt die Form

2

2

md v F dr

an. Bestimmte Integration ergibt

2 2

1 1

2

2

v r

v r

md v F dr oder

2

1

2 2

2 1

2 2

r

r

mv mvF dr . (2)

Die Größe 2

2

mvK ist die kinetische Energie

des Körpers.

Das Integral 2

1

r

r

W F dr nennt man die von

der Kraft F auf dem Weg zwischen 1r und 2r

geleistete Arbeit.

Gleichung (2) sagt aus, dass Änderung der ki-

netischen Energie eines Objektes gleich der

durch die einwirkenden Kräfte geleisteten Ar-

beit ist.

2 1K K W . (Arbeitssatz)

II. Eigenschaften der Arbeit.

-Arbeit ist als Integral 2

1

r

r

W F dr definiert.

-Bei einer konstanten Kraft gilt

2

1

2 1

r

r

W F dr F r r F r

- Wann ist W=0? 0F oder 0r oder

90 .

- Die Arbeit von A nach B ist gleich Minus die

Arbeit von B nach A.

-Die Arbeit ist eine additive Größe (Die Arbeit

mehrerer gleichzeitig wirkender Kräfte ist

gleich der Summe der Arbeiten einzelner Kräf-

te). Folgt aus der Definition.

III. Leistung

Betrachten wir die Bewegung innerhalb eines

infinitesimal kleinen Zeitintervalls dt , so kann

man den Arbeitssatz in der Differentialform

schreiben: dK dW .

Dividieren durch dt ergibt dK dW

dt dt . (3)

Die Größe /dW dt heißt Leistung der Kraft.

Gleichung (3) bedeutet, dass die zeitliche

Änderung der kinetischen Energie eines Ob-

jektes gleich der durch die einwirkenden

Kräfte aufgebrachten Leistung ist.

Einheiten:

[ Arbeit ] Newton Meter {Joule}

[ Leistung ] Joule pro Sekunde {Watt}

1 Kilowattstunde 310 3600 J =63,6 10 Joule

IV. Potentielle Energie, Energieerhaltungs-

satz

Betrachten wir eine eindimensionale Bewe-

gung unter der Einwirkung einer Kraft ( )F x ,

die nur von der Koordinate abhängt.

Das zweite Newtonsche Gesetz lautet:

mv F x .

Multiplizieren mit v ergibt

dv dx

m v F xdt dt

oder mvdv F x dx

Bestimmte Integration ergibt

0

22

00

2 2

x

x

mvmvF x dx U x U x , (4)

wobei U x F x dx Stammfunktion zur

Funktion ( )F x ist (unbestimmtes Integral).

r

F

cosW F r

Page 16: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

(4) kann wie folgt umgeschrieben werden:

22

00

2 2

mvmvU x U x . (5)

Die Größe ( )U x heißt potentielle Energie und

die Summe 2

2

mvE U x K U - volle

Energie des Systems.

Gleichung (5) besagt, dass die volle Energie

des Systems erhalten bleibt (Energieerhal-

tungssatz): E K U konst .

Der Energieerhaltungssatz in dieser Form gilt

nur dann, wenn die Kräfte nur von der Koordi-

nate abhängen (im Allgemeinen Fall gilt das

für konservative Kräfte, s. nächste Vorlesung).

Bemerkung: Aus der Definition der potentiel-

len Energie folgt, dass U

F xx

. Diese

Gleichung nennt man 1. Satz von Castigliano.

V. Beispiele

1. Potentielle Energie der Schwerekraft.

Die Schwerekraft ist gleich

F mg . Die Potentielle

Energie ist demnach

U mgdh mgh C .

C ist eine beliebige Konstante,

die z.B. gleich Null gesetzt

werden kann. Der Energieerhaltungssatz hat

die Form 2

2

mvmgh konst .

2. Potentielle Energie einer elastischen Feder.

Die Federkraft ist gleich F cx .

Die potentielle Energie demnach

2

2

xU cxdx c .

Energieerhaltungssatz: 2 2

2 2

mv xc konst .

3. Potentielle Energie der Gravitationskraft im

allgemeinen Fall.

2

MmF G

r .

2

Mm MmU G dr G

r r .

Energieerhaltungssatz: 2

2

mv MmE G konst

r .

Die auf dem geschlosse-

nen Weg geleistete Ar-

beit ist gleich

2 1 4 3 6 5 8 7

1 1 1 1 1 1 1 10W GMm

r r r r r r r r

Kräfte, deren Arbeit auf jedem geschlossenen

Weg Null ist, heißen konservativ.

VI. Ein Pendel

Zu bestimmen ist das Bewe-

gungsgesetz und die Stangen-

kraft für ein Pendel bestehend

aus einem leichten Stab und

einer Kugel, die man als einen

Massenpunkt betrachten kann.

Zum Zeitpunkt 0t wird es

aus der Ruhelage um den

Winkel 0 ausgelenkt und

freigelassen.

Lösung: Wir stellen zunächst den Energieer-

haltungssatz auf 22

00

2 2

mvmvmgh mgh .

Unter Berücksichtigung der geometrischen

Beziehung (1 cos )h l und 0 0v ergibt

sich 2

0(1 cos ) (1 cos )2

vgl gl

Daraus folgt

02 cos cosv gl .

Wir wollen das 2. Newtonsche

Gesetz in polarer Basis schrei-

ben. Die zirkularen und radialen

Komponenten der Beschleuni-

gung sind gleich

a l , 2

ra l

Für die zirkularen und radialen

Kraftkomponenten erhalten wir:

sinF mg cosr NF mg F

Das 2.N.G. ist dann: sinml mg ,

2

cos Nml mg F an.

Aus der zweiten Gleichung können wir die

Stangenkraft als Funktion des Winkels be-

rechnen:

2

0cos 3cos 2cosN

vF mg m mg

l .

Das Bewegungsgesetz bekommen wir aus der

Gleichung 0

d2 cos cos

dv l gl

t

durch Trennung der Variablen und Integration.

Ist ein Perpetuum mobile möglich?

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1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 8.

Arbeit, kinetische und potentielle Energie, konservative Kräfte, Energieerhaltungssatz Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.2.7

I. Konservative Kräfte

Gegeben sei ein Kraftfeld , ,F x y z F r .

Das Kraftfeld (oder einfach die Kraft) heißt

konservativ, wenn die von dieser Kraft auf ei-

nem beliebigen geschlossenen Weg geleistete

Arbeit gleich Null ist: 0W F dr .

Schlussfolgerung:

Die Arbeit zwischen 1 und 2 hängt nicht vom

Weg ab!

Konservative Kräfte: Gravitationskraft, elasti-

sche Kraft, elektrostatische Kräfte.

Nichtkonservative Kräfte: Widerstandskraft,

Reibungskraft

II. Potentielle Energie einer konservativen Kraft

Wir definieren eine neue Funktion:

( ) ( ) ( )

P

O

U P F r dr W O P

( ) ( ) ( )

Q

O

U Q F r dr W O Q

Jetzt gehen wir den Weg

O P Q O .

Die Arbeit ist gleich

( ) ( ) ( ) 0W O P W P Q W Q O

oder

( ) ( ) ( ) 0U P W P Q U Q .

Daraus folgt

( ) ( ) ( )W P Q U P U Q

Bei einer Bewegung unter der Wirkung von

konservativen Kräften gilt

2 1 1 2K K W U U .

Daraus folgt der Energieerhaltungssatz

2 2 1 1K U K U konst

III. Wie stellt man fest, ob eine Kraft kon-

servativ ist?

Ein homogenes Kraftfeld ist konservativ.

1

1

1 1 0

r

r

W F dr F r r

Eine zentrale Kraft, die

nur vom Abstand zu einem

Zentrum abhängt, ist konser-

vativ.

Die Summe konservativer

Kräfte ist wieder eine konservative Kraft:

Gravitationskraft einer beliebigen Massen-

verteilung

Elektrostatische Kraft einer beliebigen Ver-

teilung von Ladungen

Elastische Kräfte (letztendlich nichts ande-

res als elektrische Kräfte)

Eine beliebige Kombination aus elektri-

schen, elastischen und Gravitationskräften.

IV. Potentielle Energien:

a) Einer elastischen Feder mit Steifigkeit c: 2

( )2

xU x c (1)

b) Im Gravitationsfeld:

1 2( )m m

U r Gr

. (2)

c) Der Zentrifugalkraft in einem rotierenden

Bezugssystem:

2 2( )2

mU r r . (3)

V. Kräfte, die senkrecht zur Bewegungsrich-

tung gerichtet sind, leisten keine Arbeit und

brauchen weder im allgemeinen Arbeitssatz,

noch im Energieerhaltungssatz berücksich-

tigt zu werden:

- Zwangs- oder Reaktionskräfte

- magnetische Kräfte F qv B

- Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem

2F mv

- (aerodynamische) Auftriebskraft.

Erläuterung zur Arbeit von Zwangskräften

Zwangskräfte in mechanischen Systemen sind

Kräfte, die stets senkrecht zur Bewegungsrich-

tung gerichtet sind. Daraus folgt für die Arbeit:

2 2

1 1

2 2 2

1 1 1

r r

Zwangs eingeprägt

r r

r r r

Zwangs eingeprägt eingeprägt

r r r

W F dr F F dr

F dr F dr F dr

O

P

Q

P Q

R

Page 18: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

Bei Berechnung der Arbeit können Zwangs- (Re-

aktions-)kräfte außer Acht gelassen werden.

VI. Arbeitssatz in Anwesenheit von konser-

vativen und nicht konservativen Kräften?

Der Arbeitssatz in der allgemeinen Form

2 1K K W gilt immer. Die Arbeit können

wir schreiben als 2 1 kons nichtkonsK K W W W

Für die Arbeit der konservativen Kräfte gilt

1 2konsW U U . Der Arbeitssatz nimmt die

Form 2 1 1 2 nichtkonsK K U U W an oder

1 1 2 2 nichtkonsK U K U W .

VII. Gravitationsfeld einer Kugel

Masse des infinitesimalen Ringes:

2 2

2 sin

4 4 2

dA h ad ddm m m m

a a

.

Die durch den Ring erzeugte potentielle Ener-

gie: 'Gm dm

dUr

2 2

' sin

2 2 cos

m m dG

R Ra a

Die volle potentielle Energie:

2 20

' sin

2 2 cos

Gm m dU

R Ra a

2 2'( ) ( )

2

Gm mR a R a

Ra

a R a : ' /U Gm m R

b R a : ' /U Gm m a

IX. Anwendungsbeispiele

B1. Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit für

eine Rakete, die unter einem Winkel zur

Vertikalen gestartet wird?

Lösung:

Am Anfang: 2

12

mvK , 1

MmU G

R

Am Ende: 2 0K , 2 0U .

Energieerhaltungssatz: 2

02

mv MmG

R .

Daraus 2

2GM

v gRR

- hängt vom Win-

kel nicht ab!

B2. Ein Fadenpendel wird nach

links bis zur Höhe h ausgelenkt

und losgelassen. In der vertika-

len Position stößt der Faden auf

ein Hindernis. Welche maxima-

le Höhe erreicht das Pendel in

der rechten Position?

Lösung:

Am Anfang: 1 0K , 1U mgh

Am Ende: 2 0K , 2 2U mgh .

Zwangskräfte bleiben unberücksichtigt. Aus

dem Energieerhaltungssatz folgt 2h h .

B3. Im Abstand h über dem Ende einer unge-

spannten Feder befindet sich eine Masse m. Sie

wird ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelas-

sen. Wie groß ist die maximale Zusammendrü-

ckung der Feder?

Lösung: Sowohl die Gravitationskraft

als auch die elastische Kraft sind kon-

servativ. Es gilt der Energieerhaltungs-

satz.

Am Anfang: 1 0K , 1 0U mgh

Am Ende: 2 0K , 2

22

xU mgx c

Energiesatz: 2

2

xmgh mgx c . Daraus

21 1

mg hcx

c mg

. Sonderfall: Bei 0h

ist 2 /x mg c - zwei Mal größer, als bei stati-

scher Belastung.

h

m

h

x

v

R

Eine dünne

Kugelschale

mit Masse m .

Page 19: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 9.

Energieerhaltung, Impulserhaltung Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.2.7, 2.5

I. Schleifenfahrt (Looping) Ein Körper gleitet von einer Höhe h mit der

Anfangsgeschwindigkeit 0 0v eine schiefe

Ebene hinab, die in einer Kreisschleife aus-

läuft. Es soll diejenige Höhe bestimmt werden,

für die kein Ablösen von der Kreisbahn mit

dem Radius R eintritt.

Bedingung

dafür ist, daß

der Bahndruck

im höchsten

Punkt P der

Kreisbahn

verschwindet,

d.h. 2

2vm mg

R .

Eine Energiebilanz zwischen dem Anfangs-

punkt und dem höchsten Punkt in der Schleife

liefert: 2

20 22

vmgh mgR m

Daraus folgt die Höhe 5/ 2h R .

II. Elastischer Stoß

(a) gerader, zentrischer Stoß

Geschwindigkeiten vor dem

Stoß: 1v und 2v .

Geschwindigkeiten nach dem Stoß: 1v und 2v .

In einem abgeschlossenen System bleibt der

Impuls erhalten:

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v . (1)

Bei einem elastischen Stoß bleibt die Energie

erhalten: 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2mv m v mv m v . (2)

Diese Gleichungen können umgeschrieben

werden:

1 1 1 2 2 2m v v m v v

2 2 2 2

1 1 1 2 2 2m v v m v v

Wir teilen die zweite Gleichung durch die ers-

te:

1 1 2 2v v v v oder 1 2 1 2v v v v (3)

Der Betrag der relativen Geschwindigkeit än-

dert sich beim elastischen Stoß nicht.

Aus dem linearen Gleichungssystem (1) und

(3) folgt:

1 1 2 21 1

1 2

2m v m v

v vm m

1 1 2 22 2

1 2

2m v m v

v vm m

(b) Nicht gerader, zentrischer Stoß (hier nur

Sonderfall 1 2m m , 2 0v ).

Der Impulserhaltungssatz nimmt die Form

1 1 2 2m v m v 1 1 2 2m v m v

an.

Energieerhaltung: 2 2

1 1 2 2m v m v 2 2

1 1 2 2m v m v .

Bei gleichen Massen bedeutet das

1 1 2v v v und 2 2 2

1 1 2v v v .

Aus der ersten Glei-

chung ist ersichtlich,

dass die Vektoren

1v , 1v und 2v ein Drei-

eck bilden. Die zweite

Gleichung ist der Py-

thagoras-Satz. Daraus folgt, dass dies ein

rechtwinkliges Dreieck ist ( 90 ): nach

einem elastischen Stoß fliegen die Kugeln un-

ter einem rechten Winkel zu einander.

III. Energieänderung beim plastischen Stoß

Betrachten wir noch einmal einen plastischen

Stoß, d.h. einen Zusammenstoß zweier Körper,

nach dem sie sich als ein Ganzes bewegen (an

einander kleben).

Die Wechselwirkungskräfte zwischen beiden

Körpern, unabhängig von deren Größe und

physikalischer Herkunft sind innere Kräfte.

Wirken am System keine weiteren Kräfte, so

ist das ein abgeschlossenes System. Der Im-

puls des Systems bleibt deshalb erhalten. Ins-

besondre gilt das für beliebige Zeitpunkte vor

und nach dem Stoß:

Impuls "vor": 1 1 2 2m v m v

Impuls "nach" 1 2m m v

Wenn keine äußeren Kräfte gewirkt haben:

1 1 2 2 1 2m v m v m m v ;

Page 20: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

1 1 2 2

1 2

m v m vv

m m

Wie steht es mit der Energie der Körper?

Die Energieänderung ist gleich

2 2 21 2 1 1 2 2

2 1

2

1 1 2 21 2 2 2

1 2 1 1 2 2

2

1 1 2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

2 2 2

2 2 2

2

m m v m v m vK K K

m v m vm m

m m m v m v

m v m vm v m v

m m

2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

1 2

2 2

1 1

2

m v m v m v m v m m

m m

m v

2 2

1 1 2 2 2 22m v m v m v 2 2

1 1m v 2 2

2 2m v

2 2

1 2 1 2

1 2

22 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2

2

2 2

m m v v

m m

m v m v m m v v m m v v

m m m m

und ist immer negativ: Bei einem plastischen

Stoß geht Energie verloren!

IV. Kinetische Energie eines Mehrkörper-

systems

2

2

mvK ? falsch !

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme:

Laborsystem (x,y) und ein System, das sich

mit der Geschwindigkeit v des Schwerpunktes

bewegt (Schwerpunktsystem).

Gegeben sind: die Geschwindigkeiten iv im

Schwerpunktsystem und die Geschwindigkeit

v des Schwerpunktes.

Zu bestimmen ist gesamte kinetische Energie.

Die Geschwindigkeiten im Laborsystem sind

'i iv v v .

Die gesamte Kinetische Energie ist gleich

22'

2 2

i ii im v vm v

T

2 22

2 2 2

i i i i im v m v v m v

2 2

2 2

i ii i i

m v vv m v m

0 m

2

2

mv

2

2

i im v

z. B. Wärme

Kinetische

Energie im

Schwerpunkt

System =

„innere Energie“

„Kinetische Energie

des Schwerpunktes“

0

1m 0

2m

0

5m 0

4m

0

3m

m

v

Page 21: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 10.

Teilelastischer Stoß, Stoßzahl. Körper mit veränderlicher Masse Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 2.6, 2.7.

I. Elastischer und nicht elastischer Stoß

0 1v v -absolut elastischer Stoß

1 0v -absolut plastischer Stoß

1 0v e v - teilelastischer Stoß

e = Stoßzahl

Beim elastischen Stoß bleibt Energie erhalten.

Ein Modell für einen teilelastischen Stoß.

Ein Körper mit Mas-

se m ist mit einer

Feder (Steifigkeit c)

und einem Dämpfer

(Dämpfungskonstan-

te d) versehen. Er

stößt gegen eine starre Wand mit der Ge-

schwindigkeit 0v . Mit den Methoden, die spä-

ter bei der Schwingungstheorie erläutert wer-

den (Vorlesung 21) kann man zeigen, dass für

2d mc der Stoß absolut plastisch ist: Der

Körper springt

nicht zurück.

Für 2d mc

ist der Stoß

teilelastisch

und die Stoß-

zahl kann

durch die

Gleichung

2exp

2 4 / 1e

mc d

angenähert werden (Bild oben).

Beispiel 1: Man lässt eine elastische Kugel aus

einer Höhe 1h auf eine starre ebene Fläche

fallen. Nach dem Stoß erreicht sie eine Höhe

1h . Wie groß ist die Stoßzahl?

Lösung: Die Geschwindigkeit vor dem Stoß ist

gleich 1 12v gh .

Die nach dem Stoß 2 22v gh .

Die Stoßzahl ist gleich 2 1 2 1/ /e v v h h .

Bei 2 1/ 0.78h h ist 0.88e . Nach vier Stö-

ßen wird die Höhe 4

1 10.78 0.37h h sein.

II. Teilelastischer Stoß zweier Körper

Beim teilelastischen Stoß verringert sich der

Betrag der relativen Geschwindigkeit:

1 2 1 2e v v v v .

Aus dieser Gleichung zusammen mit dem Im-

pulserhaltungssatz 1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v

kann man 1v und 2v bestimmen:

1 1 1 2 2 1

1 2

11v m v e v m em

m m

2 2 2 1 1 2

1 2

11v m v e v m em

m m

III. Körper mit veränderlicher Masse a) Rakete im Weltraum

Eine Rakete stößt Verbrennungsprodukte mit

einer Abstoßgeschwindigkeit c aus. Die ver-

bliebene Masse der Rakete sei ( )m t . Das Mas-

sendifferential dm ist eine negative Größe.

Deshalb ist die abgestoßene Masse gleich

dm . Wir gehen in ein Inertialsystem über,

das sich zum Zeitpunkt t mit der Rakete be-

wegt.

Impulserhaltung beim Abstoß einer kleinen

Gasmasse dm :

Impuls "vor" 0

Impuls "nach" 0mdv c dm

/dv cdm m ; (1)

Diese Änderung der Geschwindigkeit gilt na-

türlich in jedem Inertialsystem, auch im "ru-

henden". Integration von (1) führt zur

Ziolkowski-Gleichung:

0

0

0

ln ln

m

m

dm m mv c c c

m m m

Beispiel 2. Wie schwer muss eine Rakete min-

destens sein, damit sie eine Kapsel mit der

Masse m bis zur Geschwindigkeit v beschleu-

nigen kann? Antwort: /0 v cme

m ;

Beispiel: v=Fluchtgeschwindigkeit (11,2 km/s)

c=2, 3 oder 4 km/s. 11,2/ 2 270e ; 11,2/3 40e ; 11,2/ 4 16e .

Page 22: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

b) Rakete im Schwerefeld

Das System ist nicht abgeschlossen, der Impuls

bleibt nicht erhalten. Der Impulssatz gilt aber

für alle Systeme, auch nicht abgeschlossene:

Impuls "vor" 0

Impuls "nach" mdv c dm .

Die Änderung des Impulses ist gleich Kraft

mal Zeit:

( )dp mdv c dm Fdt m dm gdt mg dt

Daraus folgt dmdv

m mg cdt dt

. (2)

dmq

dt

ist die pro Zeiteinheit

ausgestoßene Masse. Die Glei-

chung (2) nimmt die Form an:

s

dvm mg cq F S

dt

sF ist die Schwerekraft, S ist der Schub.

Angenommen, die Massenänderung q ist kon-

stant. Dann gilt: 0m m qt

0

dv cq cqg g

dt m m qt

0 00

log 1

tcq q

v gt gt c tm qt m

Grenzfall: kleine t

0

0 0

cq m gqv gt c t t

m m

Ein Start ist nur

dann möglich, wenn

0cq m g

Beispiel 3. Ein Mensch (Masse m) geht vom

Bug eines (am Anfang

ruhenden) Bootes (Länge

L) zum Heck über. Wie

verschiebt sich das Boot

unter den folgenden An-

nahmen: (a) Es gibt keine Reibung zwischen

dem Boot und dem Wasser, (b) Es gibt eine

Widerstandskraft proportional zur Geschwin-

digkeit?

Lösung (a): keine Reibung.

Die Länge des Bootes ist 1 2L x x .

Verschiebung des Schwerpunktes:

1 2 0S

mx Mxx

m M

(Null nach dem

Schwerpunktsatz).

Aus dem Gleichungssystem folgt

2

mx L

M m

.

Lösung (b): Mit Widerstandskraft

Das 2. N.G. für den Menschen und das Boot:

1

2 2

mx N

Mx N x

1 2 2mx Mx x

oder 1 2 2mx Mx x C .

Aus den Anfangsbedingungen folgt 0C .

Somit 2 1 2x mx Mx .

Am Ende des Prozesses sind 1 0x , 2 0x .

Somit ist 2 0x : Das Boot ist am Ende in der-

selben Lage wie am Anfang!

g

Page 23: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 11. Drehimpuls, Drehimpulssatz (Drallsatz). Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.2.6, 2.3

I. Drehimpuls (Drall) eines Massenpunktes

Den Vektor L r p r mv= × = ×� � � � �

bezeichnet man als Drehimpuls des Massen-punktes. r

� ist dabei der Radiusvektor des

Massenpunktes von einem festen Bezugs-punkt, der frei wählbar ist. Der Drehimpuls hängt somit von der Wahl des Bezugspunktes ab.

II. Der Drehimpulssatz (Drallsatz) Zeitliche Ableitung des Drehimpulses ergibt:

( )

( ) 0 .

d d dL r mv r mv r m v

dt dt dt

v mv r F M

= × = × + × =

= × + × = +

� � � � � � �ɺ

� �� � �

M�

ist hier das Kraftmoment bezüglich dessel-ben Koordinatenursprunges. Für die zeitliche Ableitung des Drehimpulses gilt somit:

L M=� �ɺ

Die zeitliche Ableitung des Drehimpulses im Bezug auf einen raumfesten Punkt ist gleich dem Moment der am Massenpunkt angreifen-den Kraft bezüglich desselben Punktes. (Drehimpulssatz)

III. Drehimpulserhaltung

Verschwindet das Moment M�

, so ist 0L =�ɺ

oder L const=�

- der Drehimpuls bleibt erhal-ten. Anders als beim Impulserhaltungssatz kann der Drehimpuls auch in einem nicht abge-schlossenen System erhalten bleiben. Dafür ist es notwendig, dass das Kraftmoment ver-schwindet (nicht aber unbedingt die Kraft selbst!)

IV. Bewegung in einem Zentralfeld. Zeigt bei einer Bewegung der Kraftvektor stets zu einem Zentrum O hin, so verschwin-det das Moment bezüglich O, denn in diesem Fall haben F

� und r

� stets die gleiche Rich-

tung, somit gilt 0r F× ≡��

. Der Drehimpuls bezüglich des genannten Kraftzentrums bleibt somit erhalten.

V. Ebene Bewegung. Liegt die gesamte Bahn in einer Ebene (sagen wir (x,y)) und wählen wir als Bezugspunkt einen Punkt in derselben Ebene, so hat der Drehimpuls eine einzige Komponente zL .

Index z wird in diesem Fall meistens ausgelas-sen. Für die einzige Drallkomponente erhal-ten wir

2sinL mrv mrv mrϕθ ω= = =Beispiel 1. Eine Masse m, die von einem Fa-den gehalten wird, bewegt sich mit der Win-kelgeschwindigkeit 0ω auf einer glatten, waa-

gerechten Kreisbahn mit dem Radius 0r .

Der Faden wird durch ein Loch A in der Mitte der Kreisbahn geführt. a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit

1ω , wenn der Faden so angezogen wird, dass

sich die Masse im Abstand 1r bewegt?

b) Wie ändert sich dabei die Fadenkraft?

Lösung: Die Spannkraft des Fadens zeigt stets zum Punkt A. Sie hat bezüglich A kein Mo-ment. Der Drehimpuls bezüglich A bleibt so-mit erhalten: Der Drehimpuls im Anfangszustand:

20 0 0L mr ω= .

Der Drehimpuls im Endzustand: 2

1 1 1L mr ω= .

Aus der Drehimpulserhaltung 2 20 0 1 1mr mrω ω=

folgt

2

01 0

1

r

rω ω

=

.

Das 2. N.G. für eine Bewegung auf einer Kreisbahn unter der Wirkung der radialen Spannkraft S lautet:

4 342 2 20 0 0

0 0 03

r r rS m r mr m S

r r rω ω ω = = = =

.

Beispiel 2. Geschwindigkeit eines Satelliten in Anwesenheit eines kleinen Widerstandes. Auf die erdnahen Satelliten wirkt eine sehr kleine Widerstandskraft, die sich erst über große Zeiträume bemerkbar macht. Wie ändert sich die Geschwindigkeit eines Satelliten unter der Wirkung der Widerstandskraft?

Page 24: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

Lösung: In erster Annäherung bewegt sich der Satellit auf einer Kreisbahn, deren Radius sich aber sehr langsam ändert. Der Drehimpuls des Satelliten ist gleich L mrv= . Aus dem 2.N.G.

für die Kreisbewegung folgt 2

2

v mMm G

r r= .

Indem wir aus dieser Gleichung den Radius bestimmen und in die Gleichung für den Dreh-

impuls einsetzen, erhalten wir GMm

Lv

= .

Die Widerstandskraft übt auf den Satelliten ein kleines negatives Kraftmoment aus. Der Drehimpuls wird daher langsam abnehmen. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit grö-ßer wird: Reibung führt zur "Beschleunigung" des Satelliten!

VI. Drallsatz für ein Mehrkörpersystem

Betrachten wir ein Zweikörpersystem, dessen Körper sowohl miteinander, als auch mit Kör-pern außerhalb des Systems wechselwirken. Der gesamte Drehimpuls des Systems ist

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2L r p r p r m v r m v= × + × = × + ×� � � � � � � � �

.

Seine zeitliche Ableitung ist gleich

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2L r m v r m v r m v r m v= × + × + × + ×� � � � � � � � �ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ .

Nach dem 2.N.G. gilt

1 1 1 ,1extm v F F F= = +� � ��ɺ , 2 2 2 ,2extm v F F F= = − +

� � ��ɺ .

Für L�ɺ ergibt sich somit

( ) ( )1 ,1 1 1 1 2 ,2 2 2 2ext extL r F F v m v r F F v m v= × + + × + × − + + ×� � � � �� � � � � �ɺ

oder

( ) ( )( )

1 ,1 2 ,2

1 2 1 ,1 2 ,2

ext ext

ext ext

L r F F r F F

r r F r F r F

= × + + × − + =

= − × + × + ×

� � � � �� �ɺ

� � �� � � �

Da 1 2r r−� � und F�

die gleiche Richtung haben

(das 3. Newtonsche Gesetz!) erhalten wir end-gültig

( ) ( )1 ,1 2 ,2

1 ,1 2 ,2 ,1 ,2

ext ext

ext ext ext ext ext

L r F F r F F

r F r F M M M

= × + + × − + =

= × + × = + =

� � � � �� �ɺ

� � � � �� �

extL M=� �ɺ

Die zeitliche Ableitung des gesamten Drehim-pulses eines Mehrkörpersystems bezüglich eines festen Punktes ist gleich dem resultie-renden Moment aller äußeren Kräfte bezüg-lich desselben Punktes. (Drehimpulssatz).

VII. Drehung eines Massenpunktsystems um eine feste Achse.

Wir betrachten ein System von Massen, die alle starr mit einer Achse verbunden sind. Alle Massen führen eine ebene Bewegung aus und bewegen sich mit der gleichen Winkelgeschwin-digkeit ϕɺ . Der gesamte Drehimpuls (genauer ge-sagt, seine z-Komponente) ist in diesem Fall gleich

2a i i a

i

L m r ϕ ϕ= = Θ∑ ɺ ɺ . (1)

Die Größe 2a i i

i

m rΘ =∑ bezeichnet man als

Massenträgheitsmoment des Systems bezüg-lich der gegebenen Achse. Leitet man (1) unter Beachtung von

a constΘ = nach der Zeit ab, so folgt

a aMϕΘ =ɺɺ .

Auch diese Gleichung nennt man oft Drehim-pulssatz, obwohl dies lediglich eine spezielle Form des Drehimpulssatzes ist.

Beispiel 3. Das in A aufgehängte Pendel be-steht aus einer starren, masselo-sen Stange, an der die Massen

1m und 2m an-

gebracht sind. Es ist die Bewe-gungsgleichung

für eine ebene Bewegung des Pendels aufzu-stellen. Lösung: Das Massenträgheitsmoment des Sys-tems um den Punkt A ist gleich

( ) ( )22 21 2 1 22 4m l m l m m lΘ = + = + .

Das Kraftmoment ist

( )1 2 1 2sin 2 sin 2 sinM m gl m g l gl m mϕ ϕ ϕ= − − = − +Der Drehimpulssatz lautet:

( ) ( )21 2 1 24 2 sinm m l gl m mϕ ϕ+ = − +ɺɺ . ⇒

( )( )

1 2

1 2

2sin

4

g m m

l m mϕ ϕ

+= −

+ɺɺ

Page 25: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 12. Kinematik der ebenen Rotation. Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 3.1.3, 3.1.4

I. Starrer Körper. Einen starren Körper kann man als ein System von Massenpunkten defi-nieren, deren Abstände unverändert bleiben. Ein starrer Körper kann im Raum drei unab-hängige Translationsbewegungen und drei Rotationen ausführen. Somit ist jeder starre Körper ein mechanisches System mit 6 Frei-heitsgraden.

II. Ebene Rotation Besonders einfach lässt sich eine ebene Bewe-gung eines starren Körpers beschreiben, d.h. eine Bewegung, bei der sich jeder Punkt des Körpers in einer Ebene bewegt. Ist ein Punkt

(O im Bild) des star-ren Körpers unbeweg-lich, so kann der Kör-per nur eine Rotati-onsbewegung um die-sen Punkt ausführen.

( )Pr�

sei der Radiusvektor vom unbeweglichen Zentrum zu einem beliebigen Punkt P. Es gilt:

( )Prr re=� �, wobei re

� ein Einheitsvektor in

Richtung ( )Pr�

ist. Für die Geschwindigkeit des Punktes P erhalten wir

( )Pr r=�ɺ ɺ r re re r e r eϕ ϕϕ ω+ = =� � � �ɺ ɺ .

Die zeitliche Ableitung des Winkels ϕ ω=ɺ heißt Winkelgeschwindigkeit des Körpers (sie ist gleich für alle Punkte des Körpers).

III. Zusammengesetzte Bewegung Zur Beschreibung einer beliebigen Bewegung eines starren Körpers führen wir zwei Koordi-

natensys-teme ein: Ein "raum-festes" Sys-tem (x,y) und ein mit dem starren Körper fest verbunde-

nes System ( ),x yɶ ɶ . Bezeichnungen: A sei ein

beliebiger Referenzpunkt im Körper, P ist ein beliebiger Punkt des Körpers, r

� ist der Ra-

diusvektor des Punktes P im beweglichen (in den Körper "eingefrorenen") System. Pr

� sei

der Radiusvektor desselben Punktes im raum-festen System, Ar

� sei der Radiusvektor des

Bezugspunktes A im raumfesten System.

Offenbar gilt: P Ar r r= +� � �.

Die zeitliche Ableitung ergibt die Geschwin-

digkeit: P A Ar r r r r eϕϕ= + = +� � � � �ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ (1)

Ar�ɺ nennt man Geschwindigkeit der Translati-

onsbewegung des Körpers, ϕ ω=ɺ die Winkel-geschwindigkeit.

IV. Momentanpol Die den zwei Koordinatensystemen entspre-chenden Einheitsvektoren bezeichnen wir als

, , ,x y x ye e e eɶ ɶ

� � � �. Für den Radiusvektor Pr

� des

Punktes P bezüglich des raumfesten Koordi-natensystems gilt dann

P A A x yr r r r xe ye= + = + +ɶ ɶ

� � � � � �ɶ ɶ .

Projektionen auf die Koordinatenachsen (x,y):

( )P P x A x y x

A x x x y x

x r e r xe ye e

r e xe e ye e

= ⋅ = + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ɶ ɶ

ɶ ɶ

� � � � � �ɶ ɶ

� � � � � �ɶ ɶ

( )P P y A x y y

A x y y y

y r e r xe ye e

y xe e ye e

= ⋅ = + + ⋅ =

+ ⋅ + ⋅ɶ ɶ

ɶ ɶ

� � � � � �ɶ ɶ

� � � �ɶ ɶ

Daraus folgt: cos sinP Ax x x yϕ ϕ= + −ɶ ɶ

sin cosP Ay y x yϕ ϕ= + +ɶ ɶ

Die Geschwindigkeit des Punktes P erhalten wir durch Ableitung der Koordinaten nach der Zeit (dabei wird berücksichtigt, dass ( )tϕ ϕ= und die Kettenregel benutzt):

( )sin cosP Ax x x yϕ ϕ ϕ= + − − ɺɺ ɺ ɶ ɶ

( )cos sinP Ay y x yϕ ϕ ϕ= + − ɺɺ ɺ ɶ ɶ .

Ist 0ϕ ≠ɺ , so kann man immer einen Punkt M finden, dessen Geschwindigkeit Null ist:

( )sin cos 0M Ax x x yϕ ϕ ϕ= + − − =ɺɺ ɺ ɶ ɶ

( )cos sin 0M Ay y x yϕ ϕ ϕ= + − =ɺɺ ɺ ɶ ɶ .

Auflösung dieses Gleichungssystems nach

( ),x yɶ ɶ gibt die Lage von diesem Punkt in dem

starr mit dem Körper verbundenen Koordina-tensystem:

( )1sin cosM A Ax x yϕ ϕ

ϕ= −ɶ ɺ ɺɺ

,

( )1cos sinM A Ay x yϕ ϕ

ϕ= +ɶ ɺ ɺɺ

.

Dieser Punkt heißt Momentanpol des Körpers. Da sich Momentanpol nicht bewegt, kann sich der Körper nur um diesen Punkt drehen.

Page 26: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

Eine beliebige Bewegung eines starren Kör-pers kann somit (auf kurzen Zeitabschnitten) als eine reine Drehung angesehen werden.

Die Lage des Momentanpols lässt sich auch geometrisch bestimmen. Aus der vektoriellen

Gleichung (1): P A Ar r r e v r eϕ ϕϕ ω= + = +� � � � �ɺ ɺ ɺ folgt

für den Momentanpol: 0M Ar v r eϕω= + =� � �ɺ .

Daraus folgt

Ave

rϕ ω= −�

�:

Der Vektor eϕ�

ist entge-

gengesetzt zu

Av�

gerichtet.

Das bedeutet, dass der Vektor re�

, der immer

senkrecht zu eϕ�

steht, senkrecht zur Richtung

von Av�

steht. In der Projektion auf die Rich-

tung Av lautet die Gleichung (1): Av rω= .

Daraus /Ar v ω= .

Bemerkung 1. Der Momentanpol kann auch außerhalb des starren Körpers liegen.

Bemerkung 2. Der Momentanpol ist ein Punkt, der sich zum gegebenen Zeitpunkt nicht be-wegt. Die Lage des Momantanpols kann sich aber ändern. Das bedeutet, dass sich der Kör-per im nächsten Zeitpunkt um eine etwas ver-schobene Achse dreht usw. Die Gesamtheit aller momentanen Drehzentren nennt man Rastpolbahn.

V. Wie findet man den Momentanpol? 1. Sind die Richtungen der Geschwindigkeiten von zwei Punkten eines starren Körpers gegeben (Bild (a)), so liegt der Momentanpol auf dem Schnitt der Senk-rechten zu den jeweiligen Geschwindigkeiten.

2. Sind die Geschwindigkeiten von zwei Punkten parallel zu einander (Bild (b)), so liegt das Momentanzentrum auf dem Schnittpunkt der Senk-rechten zu den beiden Ge-schwindigkeiten mit der Verbindungsgeraden der Pfeilspitzen beider Geschwindigkeiten.

3. Rollt ein Körper auf einer unbeweglichen Fläche ohne Gleiten, so befindet sich der Mo-mentanpol im Kontaktpunkt. (Bei reinem Rol-

len eines Rades kann man sich vorstellen, dass die starre Unterlage und das Rad miteinander verzahnt sind. Der Kontaktpunkt kann sich somit relativ zur Unterlage nicht bewegen).

Beispiel 1. Eine Leiter ist gegen eine Wand gestützt und gerät ins Rutschen. Wo liegt der Momentanpol? Lösung: Die Geschwin-digkeiten des oberen und des unteren Endes der Leiter sind entlang der Wand bzw. dem Boden gerichtet. Der Momen-

tanpol liegt auf dem Schnitt der Senkrechten zu den Geschwindigkeiten.

Beispiel 2. Ein Stab gleitet von einer Stufe (Höhe h) ab. Wo liegt das Momentanzentrum?

Lösung: Im Punkt A gleitet der Stab ent-lang dem Boden, im Punkt C in seiner ei-genen Längsrichtung. Offenbar ist

/ /a x x h= . Daraus folgt 2 /a x h= und

2 /y h x h= + .

Beispiel 3. An einer Achse (A) ist unbeweg-lich ein Zylinder mit dem Radius a befestigt. Um die gleiche Achse dreht sich eine Stange AB mit der Winkelgeschwin-digkeit 1ω . Am

anderen Ende der Stange ist frei drehbar ein Rad mit dem Radius b angebracht, das an dem unbeweglichen Zylinder ohne Rutschen rollt. Zu bestimmen ist die Winkelgeschwindigkeit

2ω des Rades.

Lösung: Punkt A ist der Momentanpol der Stange. Für die Geschwindigkeit des Punktes B ergibt sich somit ( )1 )Bv a bω= + . Der Kon-

taktpunkt des Rades mit dem Zylinder ist der Momentanpol des Rades. Daher 2Bv bω= .

Aus dem Vergleich beider Ausdrücke folgt:

( )2 1 /a b bω ω= + .

Weitere Beispiele s. Hauger, Schnell, Gross, Technische Mechanik 3 (Beispiele 3.3, 3.4).

Page 27: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 13.

Drehung in drei Dimensionen, Drehimpulssatz, kinetische Energie und Arbeit bei einer

Rotation um eine feste Achse. Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 3.1, 3.2

I. Reine Rotation eines starren Körpers

Bei einer Rotation um den

Winkel d um die Achse

verschiebt sich der Punkt

senkrecht zur Ebene

(Achse - Radiusvektor)

um den Betrag

sin .dr r d

Wenn wir einen Vektor d so definieren, dass

er entlang der Achse gerichtet ist und den Be-

trag d hat, so gilt: dr d r .

Für die Geschwindigkeit dr

vdt

ergibt sich

v r

wobei /d dt die Winkelgeschwindigkeit

der Rotation des starren Körpers ist.

II. Allgemeine Bewegung

Zur Beschreibung einer beliebigen Bewegung

eines starren Körpers führen wir zwei Koordi-

natensysteme ein: Ein "raumfestes" System

(x,y,z) und ein mit dem starren Körper fest

verbundenes System 1 2 3, ,x x x .

Bezeichnun-

gen: O ist ein

beliebiger

Referenz-

punkt im

Körper, P ist

ein beliebiger

Punkt des

Körpers, r ist

der Radiusvektor des Punktes P im bewegli-

chen (in den Körper "eingefrorenen") System.

r ist der Radiusvektor desselben Punktes im

raumfesten System, R ist der Radiusvektor des

Bezugspunktes O im raumfesten System.

Bei einer zusammengesetzten Bewegung

(Translation des Punktes O und Rotation um

diesen Punkt): 'dr dR d r .

Mit Bezeichnungen:

,dr

vdt

,

dRV

dt

d

dt

erhält man: v V r

Wählen wir jetzt den Nullpunkt des mit dem

Körper verbundenen Koordinatensystems im

Punkt 'O im Abstand a von O. Den Radius-

vektor des Punktes P relativ zum neuen

Bezugspunkt bezeichnen wir mit r .

''r r a

( '' )

''

v V r a

V a r

' ' '',V r

' ,V V a

' Die Winkelgeschwindigkeit hängt

nicht vom Bezugssystem ab!

III. Eigenschaften des Vektorproduktes

(a) a b b a

(b) ( )a b c a b a c

(c) ( ) ( )a b a b

(d) ( ) ( ) ( )a b c a b c c a b

(e) ( ) ( ) ( )a b c b a c c a b

(f) 0a a

(d) ( ) 0a a b

Vektorprodukt in Komponenten

( , ,i j k - sind Einheitsvektoren):

x y za a i a j a k ,

x y zb b i b j b k

( )x xA a b a b i i ( ) ( )x y x za b i j a b i k

( ) ( )y x y ya b j i a b j j ( )y za b j k

( ) ( ) ( )z x z y z za b k i a b k j a b k k

( ) ( ) ( )x y y x z x x z y z z yA a b a b k a b a b j a b a b i

x y z z yA a b a b

y z x x zA a b a b

z x y y xA a b a b

IV. Beschleunigung bei einer Rotation um

eine feste Achse

Indem wir die Gleichung v r nach der

Zeit ableiten, erhalten wir

v r r r r .

Bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit:

2

v r r r

r r

Es ist leicht zu sehen, dass dieser Vektor in der

gleichen Ebene liegt wie und r und immer

senkrecht zur Achse gerichtet ist:

(Skalarprodukt 2v r r =

d dr

0

k

i j

O

O'

P

r

r

a

x

y

z

R

'r

P x2

Page 28: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

2 2r r ist Null).

Dem Betrag nach ist dieser Vektor

gleich 2v .

Der Beschleunigungsvektor bei einer Rotation

mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ist

immer senkrecht zur Achse gerichtet und ist

gleich 2 , wobei der kürzeste Abstand vom

gegebenen Punkt zur Achse ist.

V. Gleichzeitige Rotation um zwei Achsen

(1)

1dr d r ,

(2)

2dr d r

1 2 1 2

1 2 1

( )dr d r d r d r a d r

d a d d r

2 1d d d .

Dasselbe gilt für die Winkelgeschwindigkeiten:

1 2 .

Beispiel 1. Eine Scheibe dreht sich mit einer

Winkelgeschwindigkeit

1 um eine vertikale

Achse, die sich ihrer-

seits mit einer Winkel-

geschwindigkeit 2 um eine vertikale Achse

dreht. Zu bestimmen ist die Winkelgeschwin-

digkeit der Scheibe.

Lösung:

1 2 . In diesem Fall 1 2 .

Beispiel 2: Eine Scheibe dreht sich mit einer

Winkelgeschwindig-

keit 1 um eine

Achse, die sich ih-

rerseits mit einer

Winkelgeschwindigkeit 2 um eine horizontale

Achse dreht. Zu bestimmen ist die momentane

Winkelgeschwindigkeit der Scheibe in der ge-

zeigten Lage.

Lösung:

VI. Dynamik der Rotation um eine feste

Achse

Betrachten wir die Rotation

eines starren Körpers um

eine feste Achse.

Wir teilen den Körper in

kleine Elemente im .

Für die Projektion des

Drehimpulses auf die Rota-

tionsachse gilt ,extL M (1).

Der Drehimpuls ist gleich

i i i i i i

i i i i i

L r m v m r r

m r r r r

Seine Projektion auf die Rotationsachse

2 2 2 2cos

i i i i i

i i i i i

L Le m e r r r e r

m r r m

Die Größe 2

i im

nennt man Massenträgheitsmoment bezüglich

der Rotationsachse.

Der Drehimpulssatz (1) nimmt somit die fol-

gende Form an

,extM oder

,extM (Drallsatz)

wobei ,extM Kraftmoment aller äußeren Kräfte

bezüglich der Rotationsachse ist.

VII. Kinetische Energie bei einer Rotation

um eine feste Achse

222 21

2 2 2

i ii ii i

mm vK m

2

2K

VIII. Arbeit bei einer Rotation um eine feste

Achse.

An einem Punkt P eines star-

ren Körpers mit dem Radius-

vektor r greift eine Kraft

F an. Bei einer Rotation um

die gezeigte Achse um den

Winkel d verschiebt sich

der Angriffspunkt der Kraft

um den Vektor dr d r .

Die von der Kraft F geleistete Arbeit ist

zyklische Umstellung

dA F dr F d r d r F

oder dA d M . 1

2

d dr

r

0

F

i

ir

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1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 14.

Trägheitsmomente, Dynamik ebener Bewegung Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 3.2.2

I. Analogie zwischen einer eindimensionalen

Translation und eindimensionalen Rotation Translation Rotation

x Koordinate Winkel

x v Geschwin-

digkeit Winkelgeschwin-

digkeit

m Masse Trägheitsmoment

F Kraft

M r F Kraftmoment

p mv Impuls L Drehimpuls

p F Impulssatz

L M Drehimpulssatz

2

2

mK v

Kinetische

Energie 2

2K

Kinetische Ener-

gie

mv F das 2.N.G. M sein Analogon

dA F dr Arbeit

dA M d Arbeit

II. Berechnung der Trägheitsmomente

Das Massenträgheitsmoment eines Körpers

bezüglich der z-Achse wird definiert als

2 2

i i im x y oder

2 2 2 2dm x y x y dV

B1.

B2.

B3.

22 2

0 03

l lMdx Ml

x dm xl

B4.

/ 2 / 2 22 2

/ 2 / 212

l l

l l

Mdx Mlx dm x

l

B5. Platte mit den Seiten a und b. Bei einer

Rotation um die Achse y schneiden wir die

Platte in dünne Streifen

senkrecht zur y-Achse.

Für jeden Streifen gilt 2

12

ad dm .

Nach Integration über

alle Massenelemente:

2

12y

am .

Bei Rotation um die Achse x: 2

12x

bm .

B6. "Senkrechten-Achsen-Satz".

Für ebene Figuren (in

der Ebene (x,y) liegend)

gilt z x y .

Beweis: 2 2

x i i im y z 2

i im y

2 2

y i i im x z 2

i im x

2 2

z i i i x ym x y .

B7. Platte mit den Seiten a und b senkrecht

zur Plattenebene.

Aufgrund von B5 und

B6:

2 2

12z

ma b .

B8. Quader mit den Seiten a, b und c. Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse: Wir

schneiden den Quader in dünne Platten senk-

recht zur z-Achse.

Nach B7 gilt für jede

Platte

2 2

12z

dmd a b

Nach Integration

über alle Platten:

2 2

12z

ma b .

Analog 2 2

12x

ma c , 2 2

12y

mb c .

Dichte Volumen

m r

2mr

r m

2mr

Stablänge l

x

y z

x

y z

x

y

z

a

b

c

Stablänge l

x x+dx

dxdm M

l

x

y

a

b

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2

B9. Kreis mit dem Radius R.

Wir schneiden aus

dem Kreis einen

dünnen Kreisring mit

dem inneren Radius

r und dem äußeren Radius r dr . Die Masse

des Kreisringes ist 2 2

2 2rdr mdm m rdr

R R

.

Das Trägheitsmoment des Kreisringes ist (nach

B2) gleich 2 3

2

2md dm r r dr

R . Das

gesamte Trägheitsmoment ergibt sich durch

Integration von 0r bis r R :

23

2

0

2

2

Rm mR

r drR

.

B10. Kreis bezüglich einer in seiner Ebene

liegenden Achse.

Nach dem "Senkrechten-Achsen-Satz" (B6) gilt 2

2 22

z x y x y

mR .

Daraus folgt 2

4x y

mR

B11. Kugel mit dem Radius R.

Wir schneiden

die Kugel in

dünne Kreis-

scheiben senk-

recht zur Rota-

tionsachse.

Die Masse einer

Scheibe ist 2dm r dz . Das Trägheitsmoment einer

Scheibe ist 4

2

2 2

dm rd r dz

. Mit

2 2 2r R z ergibt sich für das Gesamtträg-

heitsmoment

2

2 2

58

2 15

R

R

R zdz R

. (1)

Die Dichte kann man aus der Gleichung

34

3m V R erhalten und in (1) einset-

zen. (1) erhält dann die Form 22

5mR .

Satz von Steiner

Betrachten wir das Trägheitsmoment s eines

starren Körpers bezüglich einer Achse s-s, die

durch den Schwerpunkt S geht und Trägheits-

moment a desselben Körper bezüglich einer

Achse a-a parallel dazu. Der Abstand zwischen

beiden Achsen sei a. Zwischen den beiden

Trägheitsmomenten besteht ein Zusammen-

hang, der durch den Satz von Steiner gegeben

wird: 2

a s smr wobei m die Masse des

Körpers ist.

Beweis:

Das Trägheitsmoment

bezüglich der Achse a

ist gleich

2

2

a i ai

i si

m r

m r a

2 2

2

2

2

i si si

i si i si

m r r a a

m r a m r

2 2

i sa m ma

III. Dynamik einer ebenen Bewegung

Betrachten wir die Bewegung eines starren

Körpers in einer Ebene (x,y) unter der Einwir-

kung von äußeren Kräften F . Für ein beliebi-

ges System - auch einen starren Körper - gilt

immer der Schwerpunktsatz: smr F , wobei sr

Radiusvektor des Schwerpunkts und F die

Summe aller äußeren Kräfte ist. Betrachten wir

jetzt die Bewegung des Körpers aus einem Be-

zugssystem, das eine Translationsbewegung mit

dem Schwerpunkt des Körpers ausführt. In die-

sem System bewegt sich der Schwerpunkt nicht

und eine beliebige Bewegung ist eine reine

Rotation um den Schwerpunkt. Dieses System

ist aber ein sich beschleunigt bewegendes und

somit kein Inertialsystem. Für eine Rotation um

den Schwerpunkt gilt der Drehimpulssatz in der

Form s s scheinL M M , wobei Momente

aller physikalischen äußeren Kräfte und der

Scheinkräfte bezüglich des Schwerpunkts be-

rücksichtigt werden müssen. Das Moment der

Scheinkräfte ist aber bezüglich des Schwer-

punktes gleich Null, da die Scheinkräfte im

Schwerpunkt angreifen. Somit fallen sie aus

dem Drehimpulssatz aus und er nimmt die

Form s sL M an. Die 3 Bewegungsglei-

chungen für eine ebene Bewegung sind somit

s xmx F , s ymy F , s sM

m

m

x

y

z

R

z

r

Page 31: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 15.

Ebene Dynamik eines starren Körpers: Beispiele

I. Bewegungsgleichungen für Translations-

bewegung und für Rotationsbewegung.

Die 3 Bewegungsgleichungen für eine ebene

Bewegung sind

s xmx F , s ymy F , s sM .

II. Hinabrollende Kugel

Für eine ebene Bewegung gelten die drei Be-

wegungsgleichungen s xmx F , s ymy F ,

s sM . Dabei sind sx und sy Koordinaten

des Schwerpunkts und 22

5s mr ist das Träg-

heitsmoment der Kugel bezüglich des Schwer-

punkts. Die o.g. Gleichungen lauten:

sinsmx mg H , (1)

0 cosN mg cosN mg (2)

s rH (3)

Beim Rollen ohne Gleiten ist der Berührungs-

punkt der Kugel mit der Ebene der Momentan-

pol. Der Abstand des Zentrums vom Momen-

tanpol ist r. Somit ist die Geschwindigkeit des

Zentrums gleich

sx r (4)

Aus dem Gleichungssystem (1)-(4) folgt für die

Beschleunigung

2

1 5sin sin

1 / 7s

s

x g gmr

und für die

Haftreibung (2/7) sinH mg .

Das gilt aber nur solange diese Haftreibung

tatsächlich realisiert werden kann, d.h. solange

H N 2

tan7

H

N . Ist diese Be-

dingung nicht erfüllt, so wird die Kugel durch-

rutschen. Z.B. muss für eine stählerne Kugel

mit 0.3 7

tan 12

und 45 sein.

Beginnt die Kugel zu rutschen, so steigt die

Reibkraft nicht weiter, sondern bleibt gleich

H N .

Die Gleichungen (1) und (3) nehmen nun die

Form

sinsmx mg N ,

s r N

oder

sin cossmx mg ,

coss r mg an.

III. Schiefe Ebene mit verschiedenen Roll-

körpern (Experiment).

Für einen rotationssymmetrischen Körper mit

dem Außenradius R gilt

2

1sin

1 /s

s

x gmR

Je größer 2/s mR , d.h. je weiter die Masse von

der Achse verteilt ist, desto kleiner ist die Be-

schleunigung (Beim Holzylinder kleiner, als

beim Doppelkegel).

IV. Energieerhaltungssatz.

Die kinetische Energie eines Körpers berechnet

sich als die kinetischen Energie der Translati-

onsbewegung des Schwerpunkts plus die kineti-

sche Energie der Rotationsbewegung bezüglich

des Schwerpunkts. 2 2

2 2

s smvK

Gibt es im Kontakt kein Gleiten (reines Rollen),

so leisten die Reibkräfte im Kontakt keine Ar-

beit und die Energie bleibt erhalten.

Beispiel. Rollt eine Kugel ohne Gleiten wie in

(I) aus der Höhe h, so lautet der Energieerhal-

tungssatz zwischen dem Anfangszustand und

dem Endzustand am Fuße der geneigten Ebene

wie folgt: 2 2

2 2

s smvmgh

.

Unter Berücksichtigung der kinematischen Be-

ziehung sv r nimmt der Erhaltungssatz die

Form 2 2 2

2

2/

2 2 2

s s s ss

mv v vmgh m r

r

an.

V. Ein Fahrzeug mit einem Vorder- bzw.

Hinterradantrieb.

r

mg N

H

x

y

mg

N1 N2

H h

a

Page 32: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

Die beiden "Schwerpunktgleichungen" lauten

mx H und 1 20 N N mg .

Der Drehimpulssatz bezüglich des Schwerpunk-

tes ist: 1 202 2

a aN N hH . Hieraus folgt

12

mg hN H

a , 2

2

mg hN H

a .

Die maximale Haftkraft genügt der Bedingung

max 1H N max max

2

mg hH H

a

(5)

max2 1 /

mgH

h a

. Die maximale Be-

schleunigung ist somit max2 1 /

gx

h a

. Dies

gilt nur solange 2 0N ist.

Die maximale Reibkraft ist entweder durch die

Bedingung (5) beschränkt oder durch die Be-

dingung, dass die Vorderräder nicht abheben:

2 02

mg hN H

a ,

2

mgaH

h . Im zweiten Fall

wäre die maximale Beschleunigung gleich

max2

gax

h . Die maximale Beschleunigung ist

gleich dem kleinsten von zwei gefundenen

Werten.

Im Fall des Vorderradantriebs genügt die ma-

ximale Haftkraft der Bedingung max 2H N .

Daraus folgt

max2 1 /

gx

h a

(kleiner als beim Antrieb über die Hinterräder).

VI. Schaukeln auf einer Reckstange mit der

Amplitude 90°. Zu bestimmen ist der maximale

Wert der horizontalen Komponente der La-

gerreaktion. Modellieren wir den Menschen als

einen homogenen Stab mit der Masse m.

Die Winkelgeschwindigkeit kann aus dem

Energiesatz bestimmt werden.

Energie "vor":

0U , 0K .

Energie bei :

( / 2)sinU mg l , 2 / 2K .

Erhaltungssatz: 2 sin2 2

lmg

oder

2 sinmgl

.

Differenzieren nach der Zeit ergibt

cos2

mgl

.

Die horizontale Kraftkomponente ergibt sich

aus dem Schwerpunktsatz:

x sA mx . Für sx gilt ( / 2)cossx l .

Zweimaliges Differenzieren ergibt 2

2

( / 2)cos ( / 2)sin

3 9sin 2 sin 2

8 8

sx l l

mglg

Die Reaktionskraft (9 /8) sin 2xA mg er-

reicht ihren (betragsmäßig) maximalen Wert

(9 /8)mg bei 45 .

VII. Rutschen einer Leiter Zu bestimmen ist

die Geschwindigkeit v des

Schwerpunkts als Funktion

des Winkels .

Lösung: Der Momentanpol

befindet sich im Punkt M. Der

Abstand vom Momentanpol

zum Schwerpunkt ist gleich

/ 2l . Die kinetische Energie

ist gleich 22 2 2 2 2

2 12 2 2 6

M ml l mlK m

.

Energieerhaltungssatz: 2 2( / 2)sin / 6 / 2mg l ml mgl

(3 / )(1 sin )g l .

Die Schwerpunktgeschwindigkeit ist somit

gleich

(3 / 4)(1 sin )2

s

lv gl .

mg

N1 N2

H

l

A

mg

x

y

xA yA

l

M

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1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 16.

Drehimpulserhaltungssatz, Exzentrischer Stoß Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 3.3.3

I. Drehimpulserhaltung: Aus dem Drehim-

pulssatz L M folgt, dass wenn das gesamte

Moment aller an einem System angreifenden

äußeren Kräfte bezüglich eines Bezugspunktes

gleich Null ist, der Drehimpuls bezüglich des-

selben Punktes konstant bleibt.

Bemerkung 1: Das System muss nicht abge-

schlossen sein. Nur das Moment der ein-

wirkenden Kräfte muss verschwinden!

Bemerkung 2: Die Erhaltung des Drehimpul-

ses gilt auch für einzelne Richtungen, auf

welchen die Projektion des Momentenvektors

gleich Null ist.

B1. Bei Drehung um eine feste Achse ohne

Reibungsmoment gilt L const . Verrin-

gert sich das Trägheitsmoment, so wird die

Winkelgeschwindigkeit größer (Experiment mit

Drehschemel).

B2. Hält man in den Händen eine Einrichtung

mit einem Rotor und versucht man, die Rotati-

onsachse zu ändern, so entsteht eine Rotations-

bewegung in der entgegengesetzten Richtung

(2. Experiment mit Drehschemel).

B3. Ein Stab trifft mit der Geschwindigkeit v

auf ein Lager A und wird dort eingeknickt. Zu

bestimmen ist die Winkelgeschwindigkeit nach

dem Aufprall.

Lösung:

Das Kraftmo-

ment bezüglich

des Punktes A

ist

gleich Null. Deshalb bleibt der Drehimpuls

erhalten. Bei einer Translationsbewegung ist

i i i i i sL m r v m r v mr v .

Für den Drehimpuls haben wir deshalb:

"vor": 16

lL m v

"nach":

22 2

212 6 9

ml l mlL m

1 2L L 3

2

v

l .

Wie groß ist Energieverlust bei diesem Stoß?

2

12

mK v ,

22 2 2 2

2

3

9 2 18 2 8

ml ml v mvK

l

3/4 der Energie geht verloren.

B4. Zu berechnen sind lineare und Winkelge-

schwindigkeit sowie die Lage des Momentan-

pols nach einem plastischen Stoß.

Lösung: Die Ener-

gie bleibt hier nicht

erhalten. Aber der

Impuls und der

Drehimpuls bleiben

erhalten, und zwar

bezüglich eines be-

liebigen Bezugspunktes, da dies ein abge-

schlossenes System ist.

Impuls "vor": mv

Impuls "nach": 2

lmv m v

Impulserhaltung:

2

lv v v

2

2

lv v

Stellen wir den Drehimpulssatz bezüglich des

Schwerpunktes des Stabes auf:

Drehimpuls "vor": 2

lmv

Drehimpuls "nach": 2 2

Stab

l lm v

Drehimpulserhaltung:

( /2) ( /2) ( /2)Stabm l v l m l v

oder

2

( / 2) Stabv l vml

Mit 2 /12Stab ml folgt daraus 2

3v l v

.

Lösung des umrahmten Gleichungssystems

ergibt 6

5

v

l und

1

5v v .

Der Momentanpol befindet sich unter dem

Schwerpunkt im Abstand 1

6

vl l

.

Diesen Punkt nennt man Stoßmittelpunkt. Wird

der Körper in diesem Punkt gelagert, so treten

beim Stoß keine Lagerreaktionen auf.

B5. In welcher Höhe h muss eine Billardku-

gel horizontal angestoßen werden, damit sie

auf glatter Bahn nach dem Stoß rollt?

Lösung: Die Roll-

bedingung bedeutet,

dass der Kontakt-

punkt mit dem Bo-

l

v l/3 A

v m

m l v'

m

F

S r

h

A

Page 34: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

den der Momentanpol ist. Daher gilt

sv r . (1)

Schwerpunktsatz: smv F . (2)

Drehimpulssatz: s F h r . (3)

Dividieren von (3) durch (2) ergibt

7

5

s

s

h r rm v

.

Dasselbe Ergebnis erhält man auch, wenn man

den Drallsatz bezüglich des Momentanpols

schreibt (ist in diesem Fall richtig, aber nicht

empfohlen).

B6. Ein geschlossenes zylindrisches Gefäß (in-

nerer Radius R, Höhe h, Trägheitsmoment )

gefüllt mit Wasser wird schnell bis zu einer

Winkelgeschwindigkeit 0 beschleunigt. Wel-

che Winkelgeschwindigkeit 1 wird sich im

Zustand einstellen, in dem sich das Gefäß und

das Wasser als ganzes drehen? Reibmoment in

der Achse ist zu vernachlässigen.

Lösung: Nachdem das Gefäß in die Rotation

gesetzt wurde, hat es den Drehimpuls

0 0L . Im Endzustand ist der Drehimpuls

gleich 2

1 12L mR . Da auf das System

(bezüglich der Achse) keine äußeren Momente

wirken, bleibt der Drehimpuls erhalten:

0 1L L . Daraus folgt

01 2 2mR

. Da-

rauf beruht z.B. die Methode, mit der man ein

rohes Ei von einem gekochten Ei unterscheiden

kann.

B7. Ballistisches Pendel

Die Geschwindigkeit einer Kugel kann gemes-

sen werden, indem sie in ein "Ballistisches

Pendel" (auch Stoßpendel) geschossen und des-

sen Ausschlagwinkel gemessen wird. Wie

hängt die Geschwindigkeit der Kugel von dem

maximalen Winkel ab? (Gegeben: Das Träg-

heitsmoment des Pendels bezüglich des

Aufhängepunktes, Masse M des Pendels, der

Höhenabstand h zwischen dem Aufhängepunkt

und dem

Punkt, wo

die Kugel

das Pendel

trifft, Ab-

stand l zwi-

schen dem

Aufhänge-

punkt und

dem Schwerpunkt des Pendels, Masse m der

Kugel).

Lösung: Wir betrachten drei Zustände:

1. Direkt vor dem Zusammenstoß

2. Direkt nach dem Zusammenstoß

3. Maximale Auslenkung des Pendels.

Zwischen 1 und 2 ändert sich der Winkel

nicht (d.h. er bleibt Null). Das Kraftmoment

aller Kräfte bezüglich des Aufhängepunktes ist

Null, somit gilt der Drehimpulserhaltungssatz:

2hmv mh 2

hmv

mh

. (1)

Ab diesem Moment (zwischen 2 und 3) bleibt

die Energie erhalten:

2

21 cos

2m

hmvg Ml mh

mh

(2)

Aus (1) und (2) folgt

212 1 cos mv mh g Ml mh

hm .

B8. Eine Kugel stößt elastisch mit einer Wand

zusammen. Zu bestimmen sind die Geschwin-

digkeit und die Winkelgeschwindigkeit nach

dem Abprall (kein Gleiten im Kontakt).

Bezüglich des Kontaktpunktes O ist das Dreh-

moment aller Kräfte während des Stoßes gleich

Null Drehimpulserhaltung:

sin sin smvr mv r (1)

Beim elastischen Stoß bleibt auch die Energie

erhalten: 2 2 2

2 2 2

Smv mv an. (2)

Rollen ohne Gleiten: sinxv r v . (3)

Aus diesen drei Gleichungen kann man drei

Unbekannte v , und bestimmen.

Mit (3) nehmen (1) und (2) die Form

2sin sin 1 /Sv v mr

2 21 sin /Sv v mr

Z.B. wenn 90 , so ist sin 5/7 ,

45 und 0.71v

r .

v v'

v v'

N H

O

Page 35: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 17.

Kreiselbewegung, Tensor der Trägheitsmomente

I. Drehimpuls bei einer Drehung um eine

beliebige Achse

cosx

siny

2

12x

mb

2

12y

ma

tanb

a .

2

cos12

x x x

mbL

2

sin12

y y y

maL

2 21

2 2

sintan tan

cos

a a b a

b b a b

.

Der Vektor des Drehimpulses dreht sich um die

Achse.

II. Zeitliche Änderung eines rotierenden

Vektors.

Wenn ein Vektor A sich mit der Winkelge-

schwindigkeit dreht, so gilt A A .

Beispiele:

(a) Geschwindigkeit v r r

(b) Beschleunigung a v v r

(c) Änderung des Drehimpulses L L

III. Die in der Achse bei einer Rotation wir-

kenden Kräfte.

Nach dem Drehimpulssatz

gilt L L M .

Ändert sich der Drehimpuls,

so muss ein Kraftmoment

wirken! Die Änderung des

Drehimpulses zeigt in die

Tafel. In den Lagern

muss somit ein Kräftepaar

wirken, wie im Bild 1 gezeigt. Woher stammt

dieses Kraftmoment? Betrachten wir die Platte

im rotierenden Bezugssystem. Durch die Zent-

rifugalkräfte entsteht ein Kraftmoment in der

gezeigten Richtung. Die Reaktionskräfte in den

Lagern wirken in die entgegensetzte Richtung.

Was geschieht, wenn die Achse nicht festgehal-

ten wird?

IV. Symmetrischer Kreisel

Definition: x y z . Zum Beispiel:

A. Reguläre Präzession (Nutation) eines sym-

metrischen Kreisels.

1 1 1L

2 2 2 0L

3 3 3L

Winkelgeschwindig-

keit der Drehung um

die Symmetrieachse:

33

3 3

cosL L

1 Pr

1

sinsin

L

Daraus Pr

1

L

. Die Kreisachse beschreibt

einen Kreiskegel um die Richtung L .

V. Präzession unter der Einwirkung eines

Kraftmomentes

Wenn wir die Kreiselachse gleichmäßig um die

vertikale Achse drehen, wie ändert sich der

Drehimpuls?

L L M

VI. Spielkreisel

a

b

L F

F

x

y

L

1x

3x

F

-F L in die

Tafel gerich-

tet

Wenn die Kräfte in vertikaler Ebene wirken, so

bewegt sich die Achse in der horizontalen Ebene

Pr L

mg

h

Page 36: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

Pr sin sinL L mgl

Pr

mgl mgl

L

Astronomisches Beispiel: Präzession der Erde

Periode der astronomischen Präzession

25800 Jahre.

VII. Präzession und Nutation

VIII. Satz vom gleichsinnigen Parallelismus

der Drehachsen (Foucault)

.

Sonne

Nut Pr äz

Die Kreiselachse versucht sich gleichsinnig

parallel mit der Achse der Zwangsdrehung

zu stellen.

Page 37: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 18.

Die Eulerschen Gleichungen, Lagerreaktionen bei Rotoren Literatur: Hauger, Schnell und Gross: 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4

I. Trägheitstensor (dieses Semester ohne Her-

leitung). Die neunkomponentige Größe

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

mit

2

ij ij i j

m

m r rr

heißt Trägheitstensor. Die Diagonalelemente

xx , yy , zz sind axiale Trägheitsmomente,

nicht diagonale Elemente xy u.s.w. sind Devia-

tionsmomente. In expliziter Form

2 2

2 2

2 2

xx xy xz

ik yx yy yz

zx zy zz

m y z mxy mxz

myx m x z myz

mzx mzy m x y

Für ein Kontinuum 2

ik ik i kdV r rr

Der Drehimpuls berechnet sich mit Hilfe des

Trägheitstensors als

, ,

i ij j

j x y z

L

oder ausführlich:

x xj j xx x xy y xz z

j

L

y yj j yx x yy y yz z

j

L

z zj j zx x zy y zz z

j

L

Die kinetische Energie berechnet sich als

, , ,

1 1

2 2ij i j ij i j

i j x y z

K

II. Hauptträgheitsachsen und Hauptträg-

heitsmomente.

Man kann ein kartesisches Koordinatensystem

immer so wählen, dass der Trägheitstensor eine

Diagonalform annimmt. Diese Koordinatenach-

sen heißen Hauptträgheitsachsen und die Dia-

gonalelemente des Tensors Hauptträgheitsmo-

mente. In Hauptachsen verschwinden alle Devia-

tionsmomente:

1

2

3

0 0

0 0

0 0

ik

.

Der Drehimpuls und die kinetische Energie ha-

ben dann eine besonders einfache Form:

1 1

2 2

3 3

0 0

0 0

0 0

x x x

y y y

z z z

L

L

L

, (2)

2 2 2

1 2 3

1

2x y zK

.

III. Die Eulerschen Gleichungen

Wenn man den Drehimpuls bezüglich der

Hauptachsen berechnet, so muß man bei Be-

rechnung der zeitlichen Ableitung noch die Dre-

hung der Achsen selbst berücksichtigen.

dL d LL M

dt dt

Sind 1 , 2 und 3 Rotationsgeschwindigkei-

ten bezüglich der Hauptachsen des Trägheits-

tensors, so kann man den Drehimpulssatz in

der folgenden Form schreiben (Eulersche Glei-

chungen):

1 1 2 3 2 3 1M

2 2 3 1 3 1 2M

3 3 1 2 1 2 3M

Beispiel 1: Der momentenfreie symmetrische

Kreisel (ein Körper in kardanischer Lagerung

oder auch ein frei fliegender Körper)

1 1 2 3 2 3 0

2 2 3 1 3 1 0

3 3 1 2 1 2 0

Wenn 1 2 ist, dann ist 3 0 . D.h. um

die Symmetrieachse dreht sich der Körper mit

einer konstanten Geschwindigkeit.

Beispiel 2: Bei kleinen Rotationsgeschwin-

digkeiten sind alle drei Rotationen unab-

hängig!

Beispiel 3: Kollermühle

Ein um eine horizontale Achse A frei drehbares

Rad rollt längst eines Kreises ab. Die Achse A

wird durch eine zwangsläufige Führung über

eine vertikale, angetriebene und mit einer Art

Page 38: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

Kardangelenk versehene Achse B eingeleitet

und unterhalten (Winkelgeschwindigkeit 0 ).

Zu bestimmen ist die vom Rad auf den Boden

ausgeübte Kraft.

Lösung: Den Drehwinkel um die

Symmetrieachse bezeichnen wir

als . Die Winkelgeschwindig-

keiten um die drei Hauptachsen

sind dann:

1 0

R

r

1 0

2 0 cos 2 0 1 3sin

3 0 sin 3 1 2

Die Eulerschen Gleichungen:

1 0M

2

2 2 3 1 3 1 1 0 sinR

Mr

2

3 3 1 2 2 1 1 0 cosR

Mr

Der Betrag des Kraftmomentes ist

2

1 0

RM N G R

r

220

1 0

1

2

MN G G m g r

R r

Bei schneller Rotation kann die Druckkraft viel

größer als die Gewichtskraft werden!

Beispiel 4: Kreiselwirkung bei Luftschraube

Bei einer Rechtskurve

wird die Flugzeugnase

nach unten gedrückt

und bei einer Linkskur-

ve nach oben. Bei zweimotorigen Flugzeugen

und gegenseitig laufenden Luftschrauben werden

die Tragflügel verdreht.

IV. Lagerreaktionen bei ebener Bewegung

Dreht sich der Körper um eine feste Achse z, gilt

0x , 0y , z

Für den Drehimpuls , ,

i ij j ij j

j x y z

L

haben wir

x xj j xx x

j

L xy y xz z

y yj j yx x

j

L yy y yz z

z zj j zx x

j

L zy y zz z

Die Änderung des Drehimpulses berechnet sich

als d L

L Ldt

oder

x xz z yL 2

z z y xz z z yzL L

y yz z z x xL L 2

z yz z xz zL

z zz z xL y yL x zz zL

Aus dem Drehimpulssatz folgt 2

xz z z yz xM ,

2

yz z xz z yM ,

zz z zM ,

Die dritte Gleichung ist die übliche Form des

Drallsatzes bei einer ebenen Rotation um eine

feste Achse. Die ersten zwei Gleichungen ge-

ben die seitens der Achse wirkenden Reakti-

onsmomente. Die Reaktionsmomente treten

nur bei einer Abweichung von einer symmetri-

schen Form auf (wenn Deviationsmomente

nicht gleich Null sind).

Beispiel 5: Auswuchten eines Rades. An einem Autorad (Drehachse z) befindet sich

eine Unwucht mit der Masse 0m .

Welche Massen 1m und 2m müssen an den

Stellen (1) und (2) angebracht werden, damit

das Rad ausgewuchtet ist?

Lösung: Das Rad ist ausgewuchtet, wenn der

Schwerpunkt auf der Drehachse liegt und die

Deviationsmomente verschwinden:

0 0 2 2 1 1 0m r m r m r

0 0 0 1 1 1 2 2 2 0zy m r e m re m r e .

Auflösen liefert die gesuchten Massen

0 0 21 0

1 1 2

r e em m

r e e

, 0 0 1

2 0

2 1 2

r e em m

r e e

.

2

3

0

R

r

G

N

Page 39: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 19.

Schwingungen, Federzahlen, imaginäre Exponenten Literatur: Hauger, Schell und Gross. Technische Mechanik III, 5.1, 5.2.1, 5.2.2

Beispiele für Schwingungen - Masse an einer Feder

- Schwingungen in elektrischen Kreisen

- Elektronen in einem Atom

- Regelungssysteme

- Ökologische Systeme

- Wirtschaftliche Systeme

- ......

I. Periodische Schwingungen:

x t T x t

1f

T - Frequenz (Einheit Hertz: Hz=1/s)

I.a. Harmonische Schwingungen

2

2 ;x t x t x t x t

2

T

;

22 f

T

Allgemeine Form von harmonischen Schwin-

gungen:

cosx t C t

cos cos sin sinC t C t

cos sinA t B t ;

cosA C , sinB C ;

2 2C A B , arctanB

A .

II. Harmonische Schwingung und Kreisbe-

wegung

cosx C t

t Phasenwinkel

(oder Phase)

Kreisfrequenz und Winkelgeschwindigkeit sind

in diesem Fall Synonyme.

III. Einmassenschwinger.

Betrachten wir eine Masse ge-

koppelt an eine starre Wand mit

einer linear elastischen Feder.

Betrachten wir dieses System

zunächst unter Vernachlässigung der Schwere-

kraft. Das zweite Newtonsche Gesetz lautet:

mx cx oder 2

0

cx x x

m

.

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist

0 0cos sinx t A t B t

Die Konstanten A und B berechnen sich mit

Hilfe von Anfangsbedingungen:

00x x , 00x v . Daraus folgt

0A x , 0 0/B v .

Die Lösung lautet somit

00 0 0

0

cos sinv

x t x t t

.

Die Amplitude der Schwingung ist gleich

22

0 0 0/C x v ,

die Phase 0

0 0

arctanv

x

.

0 /c m wird Eigenkreisfrequenz genannt.

Kinetische und potentielle Energie oszillieren,

wobei ihre Summe konstant bleibt:

2 2 2 2 2

0 0

22 2

0

1 1 1sin

2 2 2

1cos

2 2

Energie

E T U mx cx m C t

cCcC t const

IV. Physikalisches Pendel. Betrachtet wird

ein beliebiger starrer

Körper, der eine ebe-

ne Bewegung um

eine feste Achse A

ausführt.

Der Drehimpulssatz

bezüglich der Rotati-

onsachse lautet:

sinA mgl .

Für kleine vereinfacht sich die Gleichung zu

A mgl oder 2 0 mit

2 / Amgl .

Für den Sonderfall eines mathematischen Pen-

dels erhalten wir 2 2/ / /Amgl mgl ml g l .

V. Federzahlen elastischer Systeme

Bei einer linear elastischen Feder gilt F c l .

Der Steifigkeitskoeffizient kann somit definiert

werden als /c F l .

sinx A t Kreisfrequenz

T - Periode

Page 40: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

Dehnfedern

Elastizitätsmodul E

E

F lE

A l

AEF l

l

AEc

l .

Biegefedern (Blattfedern)

Elastizitätsmodul

E, geometrisches

Trägheitsmoment

des Querschnitts

ist I.

Aus der Statik ist bekannt, dass die Verschie-

bung des Endpunktes des Balkens ist gleich 3

3

Flx

EI

3

3EIF x

l

3

3EIc

l

Eine auf beiden Enden gestützte Blattfeder

In diesem Fall ist Verschiebung wie bei einem

einseitig eingespannten Balken der Länge / 2l

unter der Wirkung einer Kraft / 2F :

3 3/ 2

2 3 48

lF Flx

EI EI

3

48EIc

l .

VI. Parallelschaltung von Federn

Gesamtsteifigkeit

1 2*c c c

VII. Reihenschaltung von Federn

Gesamtsteifigkeit

1 2

1 1 1

*c c c

VIII. Lineare Differentialgleichungen mit

konstanten Koeffizienten

A. Homogene Gleichungen 1

1 1 01.... 0

n n

n nn n

d x d dxa a a a x

dt dt dt

Allgemeiner Lösungsansatz: tx Ce , const

Einsetzen in die Gleichung ergibt die charakte-

ristische Gleichung: 1 2

1 2 0 0n n n

n n na a a a

Dies ist eine algebraische Gleichung n -ter

Ordnung. Sie hat genau n Wurzeln: 1,..., n

(Theorem von Gauß). Die allgemeine Lösung

der Differentialgleichung ist:

1 2

1 2ntt t

nx t C e C e C e

.

Beispiel 1. 5 6 0x x x ;

1) tx e 2) 2 5 6 0

3) 1 2 ; 2 3 ;

Allgemeine Lösung: 2 3

1 2

t tx C e C e .

Beispiel 2. 9 0x x ;

Charakteristische Gleichung: 2 9 0 ; 2 9 ; 1 3 ; 2 3 ;

Allgemeine Lösung: 3 3

1 2

t tx C e C e .

Beispiel 3. 9 0x x ;

Charakteristische Gleichung: 2 9 0 ; 2 9 ; 1 3i ; 2 3i ;

Hier i ist imaginäre Einheit: 2 1i .

Allgemeine Lösung: 3 3

1 2

it itx C e C e

IX. Imaginäre Exponenten 2 3 4

12! 3! 4!

x x x xe x

2 3 4

12! 3! 4!

ixix ix ix

e ix

2 1i ; 3 2i i i i ; 4 1i

2 3 4 5

12! 3! 4! 5!

x x x xix i i

2 4 6

12! 4! 6!

x x x

3 5 7

3! 5! 7!

x x xi x

cos sinx i x :

cos sinixe x i x (Eulersche Formel)

Beispiel 3 – Fortsetzung. 3 3

1 2

it itx C e C e

1 2cos3 sin3 cos3 sin3C t i t C t i t

1 2 1 2cos3 sin 3

cos3 sin 3

A B

C C t iC iC t

A t B t

A

l

F

x

F

l

F

l/2

F/2 F/2

l/2

x

1c

2c

1c 2c

Page 41: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 20.

Gedämpfte Schwingungen Literatur: Hauger, Schell und Gross. Technische Mechanik III, 5.2.3

I. Gedämpfte Schwingungen

Bewegungsgleichung (das 2. N.G.):

mx dx cx

Standardform: 0d c

x x xm m

2 2

0

2

02 0x x x - die Bewegungsglei-

chung für freie Schwingungen eines gedämpf-

ten Einmassenschwingers.

II. Lösung mit dem Exponentialansatz

Gegeben sei die DGL 2

02 0x x x

Lösung: Ansatz tx Ae

Die Charakteristische Gl. 2 2

02 0

hat zwei Wurzeln 2 2

1,2 0 .

Die Allgemeine Lösung ist 1 2t tx Ae Be

Drei Fälle:

A. Kleine Dämpfung 2 2

0

2 2

1,2 0

2 2

0 *i i

2 2

0* ;

* *

1 2

i t i tx C e C e

* *

1 2

t i t t i tC e e C e e

cos * sin *

cos *

t

t

e A t B t

Ce t

Das ist eine Schwingung mit der Kreisfre-

quenz 2 2

0* und einer nach dem

Gesetz te abnehmenden Amplitude. heißt

Abklingkoeffizient [ 1s ]. Die "Periode" (z.B.

Zeit zwischen zwei Maxima) 2 / *T 2 2

02 / strebt bei 0 gegen .

B. Große Dämpfung 2 2

0

Beide 1,2 sind reell (und negativ)

2 2 2 20 0t t

x Ae Be

Zwei Exponenten

Anfangsbedingungen:

00x x , 00x v

1 20 0

00x Ae Be A B x

1 2

1 2

t tx t A e B e

1 2 00x A B v

2 0 0

2 1

x vA

; 0 1 0

2 1

v xB

.

1 22 0 0 0 1 0

2 1 2 1

t tx v v xx t e e

z. B. für 0 0x , 0 0v

2 12 10 0

2 1 2 1

t tt tv vx t e e e e

„Übergedämpfte Schwingun-

gen“

C Aperiodischer Grenzfall 0 ,

1 2 .

In der letzten Gleichung des Abschnitts B set-

zen wir 2 1 und lassen gegen

Null streben:

Federkraft

Dämpfungskraft (viskose Reibung)

Page 42: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

1 1

1 1

0

0

t t t

t t t

vx t e e

e ev t

t

1 | |

0 0

t tx v te v te

Die allgemeine Lösung ist in diesem Fall

0 0 0

t t t tx t Ae Bte x e v x te .

Abhängig von den Anfangsbedingungen kön-

nen sich folgende Bewegungen ergeben:

III. Energie bei nicht gedämpften und ge-

dämpften Schwingungen

Für ungedämpfte Schwingungen gilt

2 2 2 2 2

0 0

22 2

0

1 1 1sin

2 2 2

1cos

2 2

Energie

E T U mx cx m C t

cCcC t const

Die Energie bleibt erhalten. Der Mittelwert der

kinetischen Energie ist dabei gleich dem Mit-

tewert der potentiellen Energie:

/ 2K U E

Für gedämpfte Schwingungen multiplizieren

wir 0mx dx cx mit x :

2

0mxx d x cxx

2 22 2

2 2 2

d mx d cx d mxd x

dt dt m

24

dE dK K

dt m .

Mittelung über eine Periode ergibt:

4 2dE

K Edt

.

Die Energie nimmt somit nach dem Gesetz

2

0

tE E e ab.

IV. Schwingungen in Anwesenheit trocke-

ner Reibung

Ein Klotz (Masse m) bewege sich auf einer

Unterlage (Reibungskoeffizient ). Die Rei-

bungskraft R mg ist stets gegen die Ge-

schwindigkeit gerichtet. Das 2. N.G. liefert:

, 0

, 0

mx cx R x

mx cx R x

2

0

2

0

, 0

, 0

x x r x

x x r x

/r R m

Bei den Anfangsbedingungen

1 00x t x , 1 0 0x t

bewegt sich der Klotz nach links 0x ,

2

0x x r ;

2

0/x r ist eine Partikularlösung der nicht

homogenen Gleichung.

Die allgemeine Lösung ist 2

0 0 0cos sin /x A t B t r ;

Einsetzen der Anfangsbedingungen:

2

0 0

0

0 /

0 0

x A r x

x B

ergibt 0B und 2

0 0/A x r .

Die endgültige Lösung ist:

2 2

0 0 0 0/ cos /x x r t r ;

Diese Lösung gilt solange

2

0 0 0 0/ sin 0x x r t

Die Geschwindigkeit würde ihr Vorzeichen

ändern, wenn 0sin 0t . Das geschieht zum

Zeitpunkt 1 0/t . In diesem Moment ist

2 2 2

0 0 0 0 0/ / 2 /x x r r x r

D.h. nach einer halben Periode hat der Aus-

schlag um 2

02 /r abgenommen. In der nächs-

ten halben Periode wird offenbar dasselbe pas-

sieren. Nach einer endlichen Zahl von Halbpe-

rioden kommt der Körper vollständig zum

Stillstand.

Page 43: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 21.

Erzwungene Schwingungen, Resonanz Literatur: Hauger, Schell und Gross. Technische Mechanik III, 5.3.1

I. Erzwungene Schwingungen ohne Dämp-

fung

Freischnitt: elF cx F t

Bewegungsgleichung: mx cx F t

Angenommen die äußere Kraft ändert sich

nach dem Gesetz 0 cosF t F t

Bewegungsgleichung: 0 cosmx cx F t

Lösungsansatz: cosx C t . Einsetzen in die

Bewegungsgleichung liefert 2

0cos cos cosm C t cC t F t

2

0C c m F

0 0 0

2 2 2 2

0

F F m F mC

c m c m

Die Lösung: 0

2 2

0

cosF m

x t

(1)

heißt Partikularlösung der DGL. Aus (1) folgt:

wenn 0 , hat x dasselbe Vorzeichnen

wie F . Koordinate und Kraft schwingen in

gleicher Phase.

wenn 0 , hat x entgegengesetztes zu

F Vorzeichnen Die Koordinate schwingt

in „Gegenphase“ zur Kraft.

Amplitude wird , wenn 0 -

RESONANZ.

Die Allgemeine Lösung setzt sich aus der all-

gemeinen Lösung der homogenen Gleichung

und einer Partikularlösung zusammen:

00 0 2 2

0

cos sin cosF m

x A t B t t

(2)

Beispiel: Zum Zeitpunkt 0t befinde sich die

Masse in Ruhe im Gleichgewicht: (Anfangs-

bedingungen: (0) 0x , (0) 0v ).

Zu bestimmen ist ihre Bewegung unter der

Wirkung der Kraft 0 cosF t F t .

Lösung: Aus (2) folgt

0

2 2

0

(0) 0F m

x A

00 0 0 0 2 2

0 0

0

(0) sin cos sin

0

t

F mx A t B t t

B

Daraus folgt: 0B , 0

2 2

0

F mA

.

Die Lösung lautet

0 002 2 2 2

0 0

002 2

0

cos cos

cos cos

F m F mx t t

F mt t

(3)

Sonderfall 0 (Resonanz). In (3) setzen

wir 0 ein und lassen 0 .

00 0

0 0

0 00

0

0 00 0

0 0

cos( ) cos

cos( ) cos

sin sin2

F mx t t

t t tF t

m t

F Ft tt t

m m

00

0

sin2

F tx t

m

(Resonanzfall) Bild d oben).

cos2 cos3t t

a

cos2 cos2.1t t

b

cos2 cos0.1t t

c

sint t

d

Resonanzfall

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2

II. Schwebungen. Oft werden Schwingungen

mit verschiedenen Frequenzen überlagert. Er-

zwungene Schwingung ohne Dämpfung ist ein

Beispiel hierfür: 0( ) cos cosx t C t t .

Wir untersuchen den Fall, wo die beiden Fre-

quenzen fast gleich sind: 0 ( ist

eine kleine Frequenzdifferenz 0 , ).

Es gilt / 2 , 0 / 2 ,

wobei 0

2

der Mittelwert der beiden

Frequenzen ist. Für den uns interessierenden

Ausdruck 0cos cost t ergibt sich

0cos cos

cos / 2 cos / 2

cos cos / 2

t t

t t

t t

sin sin / 2

cos cos / 2

t t

t t

sin sin / 2t t

0cos cos 2sin sin / 2t t t t .

Diese Art von Schwingung heißt Schwebung

(Bild b oben)

III. Erzwungene Schwingungen mit Dämp-

fung

Bewegungsgleichung:

mx cx dx F t , 0 cosF t F t

2

0 02 / cosx x x F m t .

Dies ist eine lineare, nicht homogene DGL.

Trigonometrische Funktionen und imaginäre

Exponenten

cos sinie i

cos sinie i

2cosi ie e cos ( ) / 2i ie e ,

2 sini ie e i sin ( ) / 2i ie e .

Partikularlösung

Wir stellen cos t als Summe von Exponenti-

alfunktionen dar: cos ( ) / 2i t i tt e e und

lösen dann die Gleichung

2

0 02 / 2 ( )i t i tx x x f e e .

Wegen der Linearität können wir die Aufgabe

in getrennte Lösungen von zwei Aufgaben

teilen

2

1 0 1 1 02 / 2 i tx x x f e und

2

2 0 2 2 02 / 2 i tx x x f e .

Diese Gleichungen lösen wir mit dem Expo-

nentialansatz: 1 1( ) i tx t x e , 2 2( ) i tx t x e

2 2

2 0 2 2 02 / 2x x i x f

2 2

2 0 2 2 02 / 2x x i x f

0

1 2 2

0

/ 2

2

fx

i

, 0

2 2 2

0

/ 2

2

fx

i

.

Die partikuläre Lösung ist:

0 0

2 2 2 2

0 0

2 2

00

2 2 22 2 2 200

2 2002

2 2 2 2

0

0

/ 2 / 2( )

2 2

2/ 2

24

cos 2 sin4

cos

i t i t

i t

i t

f fx t e e

i i

i ef

i e

ft t

x t

Dies ist eine harmonische Schwingung mit der

Amplitude

0

02

2 2 2 2

0 4

fx

und der Phasenverschiebung :

2 2

0

2tan

.

Das Verhältnis

2

0 0

22 2 2 20

0

( )

(0)4

xV

x

heißt Vergrößerungsfunktion. Sie zeigt, um

wie viel größer die Schwingungsamplitude

verglichen mit dem statischen Fall ist. Der

maximale Wert der Vergrößerungsfunktion:

0 0 0max

0

( )

(0) 2

xV Q

x

heißt die Güteziffer

des Schwingers.

F t

DämpferF FederF

Freischnitt:

Schnelle Schwingungen langsam oszillierende

Amplitude

2 0

2 0.3

2 1

2 0

2 0.3

2 1

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1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 22.

Erzwungene Schwingungen mit Dämpfung (Fortsetzung) Literatur: Hauger, Schell und Gross. Technische Mechanik III, 5.3.2

I. Erzwungene Schwingungen mit Dämp-

fung

Bewegungsgleichung:

mx cx dx F t , 0 cosF t F t

2

0 0 02 / cos cosx x x F m t f t .

Genauso, wie bei freien gedämpften Schwin-

gungen ist es bequem komplexe Zahlen zu be-

nutzen.

II. Lösung von linearen, nicht homogenen

Differentialgleichungen

Eine lineare, nicht homogene Gleichung 1

1 1 01.... ( )

n n

n nn n

d x d dxa a a a x f t

dt dt dt

ist leicht lösbar im Fall, wenn die Funktion

( )f t eine Exponentialfunktion ist:

0( ) ptf t F e ( p ist eine beliebige Konstante).

Allgemeine Lösungsmethode: Suche partikulä-

re Lösung in der gleichen Exponentialform: ptx Ce . Einsetzen in die DGL liefert:

1 2

1 2 0 0

n n n

n n nC a p a p a p a F

.

Daraus folgt

0

1 2

1 2 0

n n n

n n n

FC

a p a p a p a

.

Diese Methode funktioniert auch bei harmoni-

schen Funktionen ( )f t , da trigonometrische

Funktionen über die Eulersche Formel mit der

Exponentialfunktion verbunden sind.

III. Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form

z x iy .

" i " ist hier die imaginäre Einheit: 2 1i .

x heißt Realteil, y Imaginärteil der Zahl:

Re( )x z , Im( )y z .

Die zur z komplex konjugierte Zahl ist

*z x iy .

Die komplex konjugierte Zahl bekommt man

durch Änderung des Vorzeichens vor " "i .

Betrag einer komplexen Zahl: 2 2z x y .

Offenbar gilt

22 2*z z x iy x iy x y z .

Polare Darstellung von komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl ist eindeutig durch Anga-

be ihrer Real- und Imaginärteile definiert, d.h.

durch die Angabe eines Paars (x,y). Jeder kom-

plexen Zahl kann eindeutig ein Punkt auf der

Ebene (x,y) zugeordnet werden (und umge-

kehrt). Jeder Punkt auf der Ebene kann aber

auch eindeutig durch seine Polarkoordinaten

definiert werden:

cosx r , siny r .

Die komplexe Zahl hat

dann die Form

cos sin iz r ir re .

r ist offenbar gleich dem Betrag der komplexen

Zahl 2 2z x y . heißt Phase der kom-

plexen Zahl: tan / Im( ) / Re( )y x z z .

cos Re( )ie , sin Im( )ie

Lösungsweg 2 (der beste Weg). cos t wird

als Realteil einer komplexen Exponentialfunk-

ton gesehen.

Beispiel 1. Gegeben sei eine periodische Grö-

ße, z.B. Kraft 0( ) cosF t F t .

Sie kann als Realteil einer komplexen Funktion

0( ) i tF t F e betrachtet werden: ( ) Re ( )F t F t .

Beispiel 2. Gegeben sei eine Kosinus-Funktion

mit einer Phasenverschiebung:

0

0 0 0cos Rei t

F F t F e

0

0Rei i tF e e

ˆRe i tF e

F ist die komplexe Amplitude 0

0ˆ iF F e

Merke: Der Koeffizient vor der komplexen

Exponentialfunktion kann auch eine komplexe

Zahl sein!

Der Hintergrund der Methode:

Wir betrachten die Gleichung 2

0 2 ( )x x x f t .

Angenommen, eine partikuläre Lösung der

Gleichung für 1( ) cosf t t ist 1( )x t und für

2( ) sinf t t gerade 2 ( )x t . Die Lösung für

1 2( ) ( ) ( )f t af t bf t ist dann

1 2( ) ( ) ( )x t ax t bx t .

Insbesondere für die Kraft

0 0 0( ) cos sin i tf t f t if t f e

lautet die Lösung 0 1 0 2( ) ( ) ( )x t f x t if x t .

F t

DämpferF FederF

Freischnitt:

Page 46: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

D.h.: Der Realteil der Lösung bei einer kom-

plexen Kraft ist gleich der Lösung unter der

Wirkung des Realteils der Kraft.

Lösungsschritte:

Schritt 1 : Wir erkennen eine reelle periodische

Kraft 0 cosF t als Realteil einer komplexen

Funktion: 0 0cos Re i tF t F e

Schritt 2 : Die gegebene reelle Kraft ersetzen

wir durch die komplexe:

2

0 02 / i tx x x F m e .

Schritt 3 : Exponentialansatz ˆ i tx xe :

2 2

0 0ˆ2 /i t i ti xe F m e

Schritt 4 : Komplexe Amplitude:

0

2 2

0

ˆ2

F mx

i

(1)

Damit ist die Lösung der Ersatzgleichung

0

2 2

0

( )2

i tF m

x t ei

Schritt 5 : Die komplexe Amplitude (1) stel-

len wir in polarer Form dar: ˆix e mit

2

02

22 2 2 2

0

ˆˆ*4

F mxx

,

2 2

0

Im 2tan

ˆRe

x

x

.

Schritt 6 : ˆRe i tx x e

Re cosi i te e t

Ergebnis : ( ) cosx t t

Schwingungsamplitude:

0

22 2 2 2

0 4

F m

Phasenverschiebung: 2 2

0

2arctan

IV. Die allgemeine Lösung setzt sich aus einer

partikulären Lösung der nicht homogenen

Gleichung und der allgemeinen Lösung der

homogenen Gleichung zusammen. Z.B. für

kleine Dämpfungen:

( ) cos cos * sin *tx t t e A t B t

Nach einer ausreichend langer Zeit wird das

zweite Glied abklingen. Dann wird die Lösung

nur durch die partikulare Lösung der nicht ho-

mogenen Gleichung bestimmt.

Beispiele für Übergangsprozesse (Einschwing-

vorgang):

V. Beispiele für erzwungene Schwingungen

Beispiel: "Fußpunkterregung"

Bewegungsgleichung:

Fmx c x x dx ,

Fmx cx dx cx

0 cosmx cx dx cx t ,

d.h. identisch mit dem Fall

einer Erregung durch eine

Kraft 0( ) cosF t cx t .

Beispiel: Erregung über einen Dämpfer

Bewegungsgleichung:

Fmx cx dx dx ,

0 sinmx cx dx d x t ,

d.h. identisch mit dem Fall

einer Erregung durch eine

Kraft 0( ) sinF t d x t .

Zu berechnen ist die Schwin-

gungsamplitude.

Lösung

0( ) Im( )i tF t d x e

0

2 2

0

2

xx

i

.

Schwingungsamplitude:

0

22 2 2 2

0

2

4

x

.

Vergrößerungsfunktion:

2

2 2 2 2

0

2

4

V

0 cosFx x t

x

0 cosFx x t

x

2 0.3

2 1

Page 47: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 23.

Schwingungen von Systemen mit zwei Freiheitsgraden Literatur: Hauger, Schell und Gross. Technische Mechanik III, 5.4.1

I. Zwei gekoppelte Pendel.

In diesem Fall kann man die allgemeine Lö-

sung aufschreiben ohne die Bewegungsglei-

chungen aufzustellen. Bei kleinen Auslenkun-

gen ist dies ein lineares System. Wenn wir ei-

nige "Lösungen"

erraten haben,

dann ist auch ihre

Superposition mit

beliebigen Koeffi-

zienten eine mög-

liche Bewegung.

Fall (a). Wenn

beide Pendel um den gleichen Winkel ausge-

lenkt werden ( 1 2 ), so lautet der Dreh-

impulssatz für jedes Pendel 2 sinml M mgl .

Für kleine Winkel: /g l ist dies die

Schwingungsgleichung mit der Fre-

quenz1 /g l .

Fall (b). Wenn die Pendel um den gleichen

Winkel in entgegengesetzten Richtungen aus-

gelenkt werden, lautet der Drehimpulssatz: 2 2sin 2 sin cosml mgl kd

Bei kleinen Winkeln ersetzen

wir sin , cos 1 : 2

2

2g kd

l ml

Dies ist eine Schwingungsgleichung mit der

Frequenz2

2 2

2g kd

l ml .

Bezeichnen wir die Auslenkung des ersten

Pendels mit 1 und des zweiten mit 2 . Unsere

zwei "Lösungen" (zwei mögliche Schwin-

gungsformen) (a) und (b) lassen sich wie folgt

schreiben:

"Lösung 1" (Bewegungsart 1): (1) (1) (1)

1 1 1cos sinA t B t (1) (1) (1)

2 1 1cos sinA t B t

"Lösung 2" (Bewegungsart 2): (2) (2) (2)

1 2 2cos sinA t B t (2) (2) (2)

2 2 2cos sinA t B t

Diese zwei Bewegungsformen nennt man

"normale Moden" oder "normale Formen" oder

"Eigenformen" oder "Hauptschwingungen"

des Systems.

Die (Kreis)Frequenzen 1 und 2 sind

Eigen(kreis)frequenzen

"Allgemeine Lösung": (1) (1) (2) (2)

1 1 1 2 2cos sin cos sinA t B t A t B t (1) (1) (2) (2)

2 1 1 2 2cos sin cos sinA t B t A t B t

Beispiel. Zu bestimmen ist das Bewegungsge-

setz von zwei gekoppelten Pendeln mit den

folgenden Anfangsbedingungen:

1 0(0) , 2(0) 0 , 1(0) 0 , 2(0) 0 .

Aus der allgemeinen Lösung folgt (1) (2)

1 0(0) A A (1) (2)

2(0) 0A A (1) (2)

1 1 2(0) 0B B (1) (2)

2 1 2(0) 0B B

Die Lösung lautet somit

01 1 2( ) cos cos

2t t t

02 1 2( ) cos cos

2t t t

.

Wenn 1 2 ist, so beschreiben beide Glei-

chungen die Schwebungen.

II. Wie findet man die Eigenformen?

Lösungsmethode 1.

(1) (2)

0 / 2A A

(1) (2) 0B B

1

2

t

m m

a b

sinl

Page 48: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

Betrachten wir das oben gezeigte Zweimassen-

system und stellen für dieses die Bewegungs-

gleichungen auf:

1 1 2 1( )mx kx k x x

2 2 2 1( )mx kx k x x

Summieren beider Gleichungen ergibt

2

1 2

1 22

d x xm k x x

dt

Subtrahieren:

2

1 2

1 223

d x xm k x x

dt

.

Bezeichnungen: 1 2x x X , 1 2x x Y .

Gleichungen A und B nehmen die Form 2

2

d Xm kX

dt und

2

23

d Ym kY

dt an.

Ihre Lösung: (1) (1)

1 1( ) cos sinX t A t B t (2) (2)

2 2( ) cos sinY t A t B t

mit 2

1 /k m , 2

2 3 /k m .

Umkehrtransformation:

12

X Yx

, 2

2

X Yx

.

III. Reguläre Lösungsmethode

Wir betrachten das folgende System:

Die Bewegungsgleichungen lauten

1 1 2 1( )mx kx k x x

2 2 1( )mx k x x

Suchen wir Lösungen in der Form:

1 cosx X t , 2 cosx Y t . Einsetzen in die

Bewegungsgleichungen liefert 2 ( )m X kX k Y X 2 ( )m Y k Y X

oder nach Umformung

22 0k m X kY (5)

2 0kX k m Y (6)

Bedingung für die Lösbarkeit des Systems:

2

2

20

k m k

k k m

2 4 2 23 0m km k 2

4 23 0k k

m m

Eigenfrequenzen:

2 2

2

1,2

3 3 3 5

2 2 2

k k k k

m m m m

. (7)

1 01.62 , 2 00.62 mit 0 /k m .

Eigenformen bekommt man, indem man (7) in

(5) oder (6) einsetzt: 22 /Y m k X .

2

1

3 5

2

k

m

3 52 0.62

2Y X X

2

2

3 5

2

k

m

3 52 1.62

2Y X X

Man kann die Lösungen auch in der Matrix-

form darstellen:

1

1 1

2 1

1cos

0.62

xx C t

x

1

2 2

2 2

1cos

1.62

xx C t

x

Auf ähnliche Weise kann man zeigen, dass der

sin-Ansatz zum gleichen Ergebnis führt. Es

gibt zwei weitere unabhängige Lösungen:

1

3 3

2 3

1sin

0.62

xx C t

x

1

4 4

2 4

1sin

1.62

xx C t

x

Die allgemeine Lösung lautet:

1 2 3 4x x x x x . Sie enthält 4 Konstanten,

die man aus den vier Anfangsbedingungen be-

stimmen kann.

IV. Lösung mit komplexen Federzahlen

Die äquivalente, frequenzabhängige Steifigkeit

ist gleich 2 2 2 2 4

2

2 2

( ) 3*

2 2

k k m k km mk m

k m k m

.

Eigenfrequenzen sind solche Frequenzen, bei

denen die äquivalente, frequenzabhängige Stei-

figkeit Null wird: 2 2 2 43 0k km m . Das

ist genau die charakteristische Gleichung, die

wir oben auf einem anderen Weg erhalten ha-

ben.

1x 2x

(charakteristi-

sche Gleichung)

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1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 24.

Erzwungene Schwingungen mit zwei Freiheitsgraden Literatur: Hauger, Schell und Gross. Technische Mechanik III, 5.4.2

I. Erzwungene ungedämpfte Schwingungen.

Wir betrachten das skizzierte System:

Die Bewegungsgleichungen lauten

1 1 2 1( )mx kx k x x

2 2 1( ) ( )mx k x x F t

1 1 2 1( )k k

x x x xm m

2 2 1

( )( )

k F tx x x

m m

Die allgemeine Lösung dieser nicht homogenen

DGL ist gleich der Summe einer Partikularlö-

sung der nicht homogenen Gleichung und der

allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung.

(a) Lösung der homogenen Gleichung.

In ungedämpften Systemen kann man auf glei-

che Weise einen Sinus- oder Kosinus- oder

Exponentialansatz verwenden. Nehmen wir den

cos-Ansatz: 1 cosx X t , 2 cosx Y t .

Einsetzen in die Bewegungsgleichungen liefert 2 ( )m X kX k Y X 2 ( )m Y k Y X

oder nach Umformung

22 0k m X kY (1)

2 0kX k m Y

Bedingung für die Lösbarkeit des Systems

(charakteristische Gleichung):

2

2

20

k m k

k k m

24 2

2

30

k k

m m (2)

Eigenfrequenzen:

2 2

2

1,2

3 3 3 5

2 2 2

k k k k

m m m m

.

1 1.62 /k m , 2 0.62 /k m (3)

Eigenformen bekommt man, indem man (3) in

(1) einsetzt: 22 /Y m k X .

Die Determinante (2) kann man nach dem The-

orem von Viet umformen (wird später benutzt):

2 2 2 2

1 2 (4).

(b) Partikularlösung der nicht homogenen

Gleichung.

Die äußere Kraft sei 0( ) cosF t F t .

In ungedämpften Systemen werden die Lösun-

gen in der gleichen Form wie die Krafterregung

gesucht: 1 cosx X t , 2 cosx Y t . Einset-

zen in die Bewegungsgleichungen liefert

220

k kX Y

m m

2 00

Fk kX Y f

m m m

Die Determinanten X und Y sind

02

0

0,

,X

k

m kf

k mf

m

,

2

2

0

0

2, 0

2

,

Y

mf

mkf

m

.

Somit

0 2 2 2 2

1 2

/X k mX f

, (5)

2

0 2 2 2 2

1 2

2 /Y k mY f

. (6)

X und Y werden groß bei 1 und

2 (zwei Resonanzen).

Numerisches Beispiel. Betrachten wir folgen-

des numerisches Beispiel: 1 2 1m m ,

1 2 1k k . Die Eigenfrequenzen sind: 1

1 1.62s , 1

2 0.62s .

Die Schwingungsamplituden (5) und (6) sind

0 2 2 2 2

1

1.62 0.62X f

(7)

2

0 2 2 2 2

2

1.62 0.62Y f

(8)

(S. Bild). Aus den Gleichungen (7) und (8)

kann man folgende Schlussfolgerungen ziehen:

1x 2x

F(t)

Page 50: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

➢ Beide Amplituden werden bei den bei-

den Eigenfrequenzen 1 1.62 und

2 0.62 unendlich (Resonanz).

➢ Das Verhältnis der Amplituden ist 2/ 2Y X .

1

2

1/ 2 0.62Y X

2

2

2/ 2 1.62Y X

.

Das bedeutet, dass bei jeder der zwei Reso-

nanzen genau die jeweilige Eigenform ange-

regt wird. Methode zur experimentellen

Untersuchung von Eigenformen (experimentel-

le Modalanalyse).

➢ Die Schwingungsamplitude X ist immer

von Null verschieden. Die Schwingungs-

amplitude Y dagegen wird Null bei 2 2t . [Im

allgemeinen Fall 2

1 2 1/t k k m ]. Das be-

deutet, dass trotz der anregenden Kraft, die auf

den zweiten Körper wirkt, sich dieser nicht be-

wegt! Dies ist der sogenannte Tilgereffekt. Die

entsprechende Frequenz ist die Tilgerfrequenz.

Praktische Anwendung zur Schwingungs-

tilgung.

II. Schwingungen eines starren Körpers mit

2 Freiheitsgraden.

Zu bestimmen sind die freien und die erzwun-

genen Schwingungen des skizzierten Systems

ohne Berücksichtigung der Schwerekraft für

0( ) cosF t F t .

Für die elastischen Federkräfte gilt

1 1( )F c x l , 2 2F c x .

Der Schwerpunktsatz für den starren Körper:

1 2 1 ( )mx c c x c l F t ,

Der Drallsatz bezüglich des Schwerpunkts:

1 ( )c x l l lF t

( 2 / 3ml ist das Trägheitsmoment des Sta-

bes).

(a) Freie Schwingungen.

1 2 1 0c c c

x x lm m m

,

22

1 1 03

mlc lx c l 1 13 3

0c c

xlm m

Wir suchen eine Lösung in der Form

cosx A t , cosB t :

2 1 2 1 0c c c

A A lBm m m

(9)

2 1 13 30

c cB A B

lm m

Charakteristische Gleichung:

2 1 2 1

21 1

03 3

c c cl

m m m

c c

lm m

24 2 1 2 1

2

4 30

c c c

m m

.

Betrachten wir den Sonderfall 1 2c c c

2

1 4,3c

m , 2

2 0,7c

m .

Die Schwingungsformen erhalten wir aus der

Gleichung (9): 212

mB A

l c

.

1 2,3 /B A l

2 1,3 /B A l .

Die freie Schwingung des Stabes ist im allge-

meinen Fall eine Superposition aus zwei

Schwingungen mit den Frequenzen 1 und 2 .

(b) Erzwungene Schwingungen

01 2 1 cosFc c c

x x l tm m m m

,

01 1

2

3 3cos

Fc cx t

lm m ml

Die Lösung wird gesucht in der Form

cosx A t , cosB t .

2 012 FccA lB

m m m

,

2 01 1

2

3 3 Fc cA B

lm m ml

X

Y

Page 51: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 25.

Dynamische Stabilität Literatur: Hauger, Schell und Gross. Technische Mechanik III, 3.4.4

Beispiel 1. Stabilität des Kreisels

Die Eulerschen Gleichungen:

1 1 2 3 2 3 0

2 2 3 1 3 1 0

3 3 1 2 1 2 0

Eine Lösung ist die Bewegung

um eine Hauptachse

(z.B. mit dem Trägheitsmoment 1 ) mit einer

konstanten Winkelgeschwindigkeit:

1 0konst , 2 3 0 .

Problem: Was passiert, wenn sich der Körper

nicht ganz genau um die Achse dreht?

Das heißt: 1 0 1 ,

2 20 ,

3 30 .

Einsetzen in die Eulerschen Gleichungen lie-

fert:

1 1 2 3 2 3 0

2 2 3 1 3 0 1 0

3 3 1 2 0 1 2 0

Wir vernachlässigen Glieder zweiter Ordnung:

1 1 0 1 konst

2 2 3 1 0 3 0

3 3 1 2 0 2 0

Ein lineares Gleichungssystem wird mit einem

Exponentialansatz gelöst:

2

tAe , 3

tBe .

2 3 1 0 0A B

3 1 2 0 0B A

Lösbarkeitsbedingung:

2 3 1 0

1 2 0 3

0

oder

2 2

2 3 3 1 1 2 0 0 .

2

3 1 1 2 02

2 3

.

Fall 1: 3 1 1 2 0

3 1 1 2 *

1,2 0

2 3

.

Die allgemeine Lösung ist

* *

2 2 2

t tA e B e ,

* *

3 3 3

t tA e B e .

Sie besteht aus einem exponentiell abklingen-

den *te

und einem exponentiell anwachsen-

den Teil *te

. Eine beliebig kleine Störung

wird mit der Zeit anwachsen: Die Bewegung ist

instabil.

Fall 2: 3 1 1 2 0

1 3 1 2 *

1,2 0

2 3

i i

.

Die allgemeine Lösung ist * *

2 2 2cos sinA t B t , * *

3 3 3cos sinA t B t .

In diesem Fall bleibt eine kleine Störung immer

klein: Die Bewegung ist stabil.

Die Bedingung 3 1 1 2 0 ist er-

füllt wenn 1 entweder das maximale oder das

minimale Trägheitsmoment ist.

Beispiel 2. Stabilität eines rotierenden Pen-

dels (Zentrifugalregler, 1789, James Watt).

Der Drehimpulssatz im rotierenden Bezugssys-

tem: 2 2

0 cos sinml m rl mgl oder

2 2

0 0cos sin sin sin cosr g g

l l l

Für kleine 2

0

g

l

(a) 2

0 /g l 2

0

g

l .

Die Bewegung ist eine harmonische Schwin-

gung mit der Frequenz * 2

0/g l und

einer konstanter Amplitude: Die vertikale Lage

ist stabil.

1 2

3

1 2 3 0, ,

mg

2m r

0

Bild im

rotierenden

(nicht

inertialen)

System

Page 52: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

(b) 2

0 /g l indifferentes Gleichgewicht.

(c) 2

0 /g l 2

0

g

l .

Die Lösung hat die Form

2 20 0

g gt t

l lAe Be

.

Der Winkel wächst unendlich mit der Zeit: Die

vertikale Lage ist instabil. In der Tat wird die

Linearisierung irgendwann ungültig: Es gibt

eine neue stabile Lage:

2

0sin sin cos 0g

l

2

0cos /g l

Beispiel 3. Angefachte Schwingungen eines

Drahtes im Wind

Wird ein Draht vom Wind umweht (in horizon-

taler Richtung) und bewegt er sich vertikal mit

einer Geschwindigkeit v so hat die Kraft, die

die Luft auf den Draht ausübt sowohl eine hori-

zontale, als auch eine vertikale Komponente.

Bei einem Draht mit einem runden Querschnitt

ist die vertikale Komponente entgegen der Ge-

schwindigkeit gerichtet.

Bei einem nicht symmetrischen Draht, wie un-

ten im Bild, kann sie in die gleiche Richtung

zeigen, wie die Geschwindigkeit. (Das liegt am

Ablösen der Strömung an den Kanten).

Bewegungsgleichung für einen

nicht symmetrischen Draht im

Wind:

mx cx dx oder

0c d

x x xm m

.

Einsetzen des Exponentialan-

satzes ˆ tx xe führt zur charakteristischen

Gleichung 2 0

d c

m m .

Ihre Lösungen sind 2

1,22 2

d d c

m m m

Für

2

2* 02

d c

m m

ist das eine ange-

fachte Schwingung nach dem Gesetz

2 cos *d

tmx Ce t .

Beispiel 4. Stick-Slip-Bewegung

Die Bewegungsgleichung für den Block lautet:

0( ) mx F x kx kv t ,

Offenbar hat sie immer eine stationäre Lösung

0 0x x v t mit 0 0( ) /x F v k .

Zur Untersuchung der Stabilität der stationären

Lösung nehmen wir an, dass die stationäre Lö-

sung schwach gestört wird.

0 0x x v t x

mit einer kleinen Abweichung x . Nach Ein-

setzen in die Bewegungsgleichung und Linea-

risierung bezüglich der Störung x erhalten

wir die folgende lineare Gleichung für die Stö-

rung:

0

( ) 0

x v

dF xm x x k x

dx

Nach Einsetzen des üblichen Exponentialansat-

zes e tx kommen wir zur charakteristi-

schen Gleichung

2

0

1( ) 0

dF kv

m dx m .

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung

sind 2

1,2

1 1

2 2

dF dF k

m dx m dx m

.

Haben beide charakteristische Zahlen einen

negativen Realteil, so wird eine beliebige Stö-

rung der stationären Lösung exponentiell ab-

klingen und die stationäre Bewegung ist (ge-

genüber kleinen Störungen) stabil. Die Bedin-

gung für Stabilität ist in diesem Fall nur erfüllt,

wenn 0( ) 0dF

vdx

, d.h.: Die Reibungskraft

wächst mit der Gleitgeschwindigkeit.

x

Page 53: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Anhang

Verschiedenes zum Thema Kinematik und Dynamik

Der Stoff der folgenden Kapitel wird im Sommersemester wegen des Zeitmangels nicht behandelt.

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 26*.

2. Newtonsches Gesetz: Anwendungsbeispiele

I. Das zweite Keplersche Gesetz für Plane-

tenbewegung

Wir betrach-

ten verein-

facht eine

Bewegung auf

einer Kreis-

bahn. Das

zweite Newtonsche Gesetz für den ersten

Planeten lautet: 1 1 1m a F .

Es gibt nur eine radiale Komponente der

Kraft (Gravitationskraft 2

1 1/GMm r ) und der

Beschleunigung (Zentripetalbeschleunigung 2

1 1r ). Das 2. N.G. nimmt die folgende Form

an: 2 2

1 1 1 1 1/m r GMm r . Daraus folgt

2 3

1 1/GM r . Die Winkelgeschwindigkeit ist

gleich 1

1

2

T

, wobei 1T die Umlaufperiode

des ersten Planeten ist. Somit gilt

2 3

1 12 / /T GM r . (1)

Für den zweiten Planeten ergibt sich ähnlich

2 3

2 22 / /T GM r .

Dividieren der ersten Gleichung durch die

zweite ergibt

2 3

2 2

1 1

T r

T r

.

Das ist ein Sonderfall des 2. Keplerschen

Gesetzes für die Planetenbewegung.

II. Schiefer Wurf mit Luftwiderstand

Das 2.N.G. ergibt:

ma G v

oder in Komponenten

0x x

y y

ma v

ma mg v

Die Bewegungen in beiden Richtungen sind

völlig unabhängig!

Für beide haben wir die Lösungen:

0 cos 1t

mm

x v

0 sin 1t

mmg m mg

y t v

Das ist gleichzeitig auch die Balkenkurve in

parametrischer Form.

Bewegung beim schiefen Wurf unter

Berücksichtigung des Luftwiderstandes

Das 2.N.G. in einer bewegten Basis

III. Planeten- oder Satellitenbewegung

Bezeichnungen: M ist die Masse des zentra-

len Körpers, m ist die Masse des "umkreisen-

den" Körpers.

In Polarkoordinaten mit dem Zentrum im

zentralen Körper gilt:

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2

2 2ra r r e r r e

Das 2.Newtonsche Gesetz ergibt:

2

2

rm r r F

m r r F

oder

2

2

2 0

Mr r G

r

r r

Die letztere Gleichung kann als

210

dr

r dt

geschrieben werden.

Daraus folgt

2r const C.

Das ist das 3. Keplersche Gesetz:

rd

21

2 2

r ddA r rd

2 2

2 2

r rA const

(die Flächengeschwindigkeit ist konstant)

Die r- Komponente des 2.N.G. kann umge-

schrieben werden:

2

3 2

C GMr

r r

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1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 27*.

Trägheitstensor, die Eulerschen Gleichungen

I. Tensorrechnung

x

i y

z

Vektor

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

Multiplikation eines Tensors und eines Vek-

tors

, ,

i ij j

j x y z

L

;

x xj j xx x xy y xz z

j

L

y yj j yx x yy y yz z

j

L

z zj j zx x zy y zz z

j

L

Einsteinsche Konvention:

, ,

i ij j ij j

i x y z

L

Das Summationszeichen wird ausgelassen und

über alle doppelt auftretenden Indizes über

(x,y,z) summiert (Summationsindizes).

Beispiel:

i i i i x x y y z z

i

AB AB A B A B A B A B

2 2

l l lA A A A A A

Die Bezeichnung der Summationsindizes kann

man beliebig verändern: i i l l j jAB AB A B

Wichtige Spezialtensoren:

A Einheitstensor

1 0 0

0 1 0

0 0 1

ij

; 1,

0,ij

i j

i j

i ij j iA B B

B Diagonaltensor

1

2

3

0 0

0 0

0 0

ij

; i ij jL ,

1x xL , 2y yL , 3z zL

C Symmetrischer Tensor: ij ji

xx xy xz

ij xy yy yz

xz yz zz

Theorem: Jeder symmetrische Tensor 2. Stufe

kann durch entsprechende Wahl der Achsen-

richtungen auf eine Diagonalform gebracht

werden. Bekannte Beispiele: Hauptachsen des

Spannungstensors, des Deformationstensors.

II. Beziehung zwischen Drehimpuls und

Winkelgeschwindigkeit, Trägheitstensor

n n nL m r v mr v mr r

Index n (Nummer eines Elementes) wird im Weiteren ausgelassen.

2

b a c -c a b -Regel

L mr r m r r r

2

i i i j jL m r r r

, ,i x y z Summierung über j!

i ij j

2 2

i ij j i j j ij i j j

ij

L m r rr m r rr

, ,

i ij j ij j

j x y z

L

2

ij ij i j

m

m r rr Trägheitstensor.

z.B.: 2 2 2 2

xx m r x m y z

xy mxy usw.

2 2

2 2

2 2

xx xy xz

ik yx yy yz

zx zy zz

m y z mxy mxz

myx m x z myz

mzx mzy m x y

Die Diagonalelemente xx , yy , zz sind axiale

Trägheitsmomente, nicht diagonale Elemente

xy usw. sind Deviationsmomente.

Bei einem Kontinuum 2

ik ik i kdV r rr

III. Kinetische Energie

22

2 2

m mK v r

2

r r r r r

Tensor zweiter

Stufe

„Symmetrieachse“

Summierung über alle Massenelemente

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2

22 2

b a c -c a b -Regel

r r r r r r

22 2

2

mK r r (1)

2

, ,

i i i i

i x y z

, i ir r

Somit kann die kinetische Energie (1) in der

folgenden Form umgeschrieben werden:

2

2i i i i j j

mK r r r

Einsteinsche Konvention!

i ij j

2 2

2 2i ij j i i j j ij i j i j

ij

m mK r r r r rr

Das Endergebnis:

, , ,

1 1

2 2ij i j ij i j

i j x y z

K

IV. Hauptträgheitsachsen und Hauptträg-

heitsmomente

Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Ten-

sor. Man kann ein kartesisches Koordinatensys-

tem immer so wählen, dass dieser eine Diago-

nalform annimmt. Diese Koordinatenachsen

heißen Hauptträgheitsachsen und die Diagonal-

elemente des Tensors Hauptträgheitsmomente.

In Hauptachsen verschwinden alle Deviations-

momente:

1

2

3

0 0

0 0

0 0

ik

.

Der Drehimpuls und die kinetische Energie ha-

ben dann eine besonders einfache Form:

1 1

2 2

3 3

0 0

0 0

0 0

x x x

y y y

z z z

L

L

L

, (2)

2 2 2

1 2 3

1

2x y zK

.

V. Die Eulerschen Gleichungen

Den Drehimpuls (2) wollen wir in den Drehim-

pulssatz einsetzen. Dafür ist aber eine vorberei-

tende kinematische Untersuchung notwendig.

Betrachten wir zwei Koordinatensysteme: Ein

"ruhendes" System K und ein "rotierendes" Sys-

tem K'. Wir betrachten einen beliebigen, zeitab-

hängigen Vektor von beiden Systemen

aus.

Angewendet an den Drehimpuls:

dL d LL M

dt dt

.

Wählen wir als "rotierendes" das mit den Haupt-

trägheitsachsen verbundene System.

12 3 3 2 1

d LL L M

dt

23 1 1 3 2

d LL L M

dt

31 2 2 1 3

d LL L M

dt

Wegen 1 1 1L , 2 2 2L , 3 3 3L

1 1 2 3 3 3 2 2 1M

2 2 3 1 1 1 3 3 2M

3 3 1 2 2 2 1 1 3M

1 1 2 3 2 3 1M

2 2 3 1 3 1 2M

3 3 1 2 1 2 3M

Die Eulerschen Gleichungen - gekoppelte,

nichtlineare Differentialgleichungen.

Einsteinsche Konvention

Summe über alle Massenelemente!

ruhendes rotierendes

S.

A

1. Wenn hier A konst

dann ist hier

dAA

dt

2. Wenn sich A hier ändert

d A

dt

,

dann ist hier

dA d AA

dt dt

A

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1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 28*.

Erzwungene Schwingungen (Fortsetzung).

I. Erregung durch eine Unwucht

Erregung durch eine rotierende Unwucht findet

man in Systemen mit Rotoren.

Sei x die Koordina-

te des Schwer-

punkts der Masse

m. Eine Unwucht

(Masse um ) dreht

sich mit der Win-

kelgeschwindigkeit

um eine an der

Masse m befestigten Achse. Zu bestimmen ist

die erzwungene Schwingung der Masse m.

Lösung: Die x-Koordinate des Schwerpunkts

des Gesamtsystems " "um m ist gleich

( cos )us

u

mx m x r tx

m m

.

Der Schwerpunksatz lautet

u sm m x cx dx

2 cosu um m x m r t cx dx

2 cosu um m x dx cx m r t .

Die Partikularlösung ist wie wir wissen

0cosx t . Die Schwingungsamplitude

erhalten wir, indem wir 2

0 uF m r in

0

22 2 2 2

0 4

uF m m

einsetzen:

2

22 2 2 2

0 4

u ur m m m

.

Dabei sind 2

0 / uc m m , 2 /( )ud m m .

II. Erzwungene Schwingungen bei einer pe-

riodischen, nicht sinusförmigen Anregung.

2 2 2cos sinL R l R .

22 2 2 2

22 2 2

sin 1 / sin

11 / sin sin

2 2

l R l R l

Rl R l l

l

2 1sin (1 cos2 )

2

2 2

2 2

cos cos 24 4

cos cos 24 4

R RL R l

l l

R RR t l t

l l

Bewegungsgleichung 0( ( ))mx c x x t ,

wobei 2

0 ( ) cos cos 24

Rx t R t t

l .

1) Wenn 0( ) cosx t R t , dann 2 cosm x cx cR t ,

und wir haben die Partikularlösung

1 22

0

cos cos( )

1 /

cR t R tx t

c m

.

2) Wenn 2

0( ) cos24

Rx t t

l , ist die Partikular-

lösung

2

2 2

0

/ 4 cos 2( )

1 2 /

R l tx t

.

3) Wenn 2

0 ( ) cos cos 24

Rx t R t t

l , dann

2

1 2 2 2

0 0

/ 4 cos 2cos( ) ( ) ( )

1 / 1 2 /

R l tR tx t x t x t

III. Beispiel für linear gedämpfte Schwin-

gung. 0 0 , 00 , ?t

x r

m

um

c

0F

2 0

2 0.3

2 1

m

Schubkurbelgetriebe

R l

L

elF ka

3DämpfF d a

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2

Drallsatz:

3A el DämpfM aF aF

2 2 22 9a m ka a d

2

02 0

9

24

d

m ; 2

04

k

m

Allgemeine Lösung:

cos *tt Ce t ;

mit 2 2

0*

cos *

*sin *

t

t

C e t

e t

0 cos

0 cos * sin

C

C C

0 cos 02

0 cos * sin

C

C C

0 0* *C C

0 sin **

tt e t

IV. Angefachte Schwingungen

Beispiel: Zeitlich verzögerte Regelung

F t c x t ( kleine Verzögerung)

Bewegungsgleichung:

mx t cx t mx t c x t x t

0c c

x t x t x tm m

2 2

02 0

2 2

1,2 0i

2 cos * sin *c

tmx t e A t B t

Dies ist eine Schwingung mit exponentiell

wachsender Amplitude.

V. Resonanz in elektrischen Schaltkreisen Die drei passiven Schaltelemente:

Kondensator Widerstand Induktivität (Spule)

a) Spannung CV q / C

b) Spannung RV RI R dq dt

c) Spannung LV 2

2

dI d qL L

dt dt

Elektrischer Schwingungskreis

2

2( )

d q dq qL R V t

dt dt C oder

2

2

( )/

d q dq q V tR L

dt dt CL L oder

22

02

( )2

d q dq V tq

dt dt L

Bezeichnungen: 2

0 1/CL , 0 1/ CL und

2 /R L . Diese Gleichung hat die gleiche

Form, wie die Gleichung für erzwungene

Schwingungen eines Einmassenschwingers.

Die Lösung der homogenen Gleichung (in Ab-

wesenheit des erregenden Potentials

0 cos *tq q e t beschreibt gedämpfte

Schwingungen mit der Frequenz * und dem

Abklingkoeffizienten / 2R L .

Im Fall eines harmonischen erregenden Poten-

tials 0( ) cosV t V t nimmt die Gleichung die

Form 2

2 002

2 cosVd q dq

q tdt dt L

an.

Ihre Partikularlösung 0 cosq q t beschreibt

eine erzwungene Schwingung mit der Amplitu-

de

0

02

2 2 2 2

0

/

4

V Lq

.

Ladung Kapazität

Widerstand Strom

x Sensor Prozessor

Aktor F

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1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 29*.

Komplexe Federzahlen

I. Komplexe Federzahlen

1). Feder unter Wirkung einer periodischen

Kraft

F cx (1)

Den Proportionali-

tätskoeffizienten nen-

nen wir Federzahl.

2). Dämpfer unter Wirkung einer periodischen

Kraft

F dx (2)

Bei einer periodi-

schen, harmonischen

Kraft

0 cosF F t schreiben wir die Kraft in kom-

plexer Form 0

i tF F e und suchen die Lösung

in der Form i tx xe . Ergebnis: ( ) ( )F t id x t ,

d.h. die Kraft ist zu jedem Zeitpunkt proportio-

nal zur Auslenkung, wie bei einer Feder.

Der Koeffizient dc id , der die Kraft mit der

Auslenkung verbindet, ist jetzt aber komplex

und hängt von der Frequenz ab. Wir nennen ihn

komplexe, frequenzabhängige Federzahl.

3). Masse unter Wirkung einer periodischen

Kraft.

Bewegungsgleichung

0 cosmx F t ersetzen

wir durch

0

i tmx F e und suchen eine Partikularlösung in

der Form i t

px xe . Dann gilt 2F m x .

Auch in diesem Fall ist die Kraft proportional

zur Auslenkung. Der Proportionalitätskoeffi-

zient ist zwar reell, aber negativ und frequenz-

abhängig: 2

mc m .

Bemerkung: Anders als bei Federn und Dämp-

fern, ist für die Bewegung einer Masse nicht

ihre relative, sondern absolute Beschleunigung

maßgebend. Deswegen muss man bei der effek-

tiven Feder, die die Masse wiedergibt, immer

ein Ende an die feste Umgebung koppeln.

4). Parallelgeschaltete Feder und Dämpfer

unter Wirkung einer periodischen Kraft.

cx dx F t .

Für eine Kraft

0

i tF t F e ergibt sich

wieder ein linearer Zu-

sammenhang zwischen

der Kraft und der Auslenkung:

i d c x t F t .

Die Federzahl ist jetzt eine komplexe Größe

* Re( *) Im( *)c i d c c i d c i c

5). Allgemeiner Fall

Für ein lineares mechanisches System (d.h. ein

beliebig kompliziertes System aufgebaut aus

linearen Federn und linearen Dämpfern) gilt bei

einer Erregerkraft 0

i tF e ein linearer Zusam-

menhang

( ) *( ) ( )F t c x t ,

wobei *( )c komplexe Federzahl des Systems

ist.

II. Berechnung von erzwungenen Schwin-

gungen mit Hilfe von komplexen Federzah-

len.

Die Gleichung ( ) *( ) ( )F t c x t bedeutet in

expliziter Form 0 *( )i tF e c x . Daraus folgt

0 0

*( ) Re * Im *

i t i tF Fx e e

c c i c

.

Die imaginäre Zahl *( ) Re * Im *c c i c

hat in polarer Darstellung die Form

*( ) * ic c e mit

2 2

* Re * Im *c c c und

Im *tan

Re *

c

c . Folglich ist

0 0

*( ) *

i t i t iF Fx e e

c c

Der Realteil von dieser Funktion gibt die Lö-

sung der ursprünglichen (reellen) Gleichung:

00( ) cos cos

*

Fx t t x t

c

Die Amplitude der Schwingungen ist demnach

00

2 2Re * Im *

FAmplitude x

c c

.

0 cosF F t

Page 60: Kinematik und Dynamik (Mechanik II) · 2 V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit vt() als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt

2

III. Zusammengesetzte Systeme aus mehre-

ren Federn und Dämpfern.

A) Reihenschaltung einer Feder und eines

Dämpfers.

Zu bestimmen ist die

Schwingungs-

amplitude unter der

Wirkung einer peri-

odischen Kraft 0 cosF F t .

Lösung: Die komplexe Federzahl der Feder ist

Fc c . Die komplexe Federzahl des Dämpfers

ist dc id . Für die Steifigkeit der zusam-

mengesetzten Feder gilt bei einer Reihenschal-

tung * F d

F d

c c c idc

c c c id

.

Der Betrag dieser komplexen Zahl ist gleich

22

*cd

c

c d

.

Für die Schwingungs-

amplitude ergibt sich

22

0

0

F c dx

cd

.

B) Einfaches rheologisches Modell für Gummi.

Elastomere (wie

Gummi) sind soge-

nannte viskoelastische

Stoffe, deren elasti-

sche Eigenschaften sich als eine Kombination

aus Federn und Dämpfern darstellen lässt (aus-

führlicher in der LV "Kontaktmechanik und Reibungs-

physik" oder "Materialtheorie" im Hauptstudium).

Zu berechnen ist die Schwingungsamplitude

der gezeigten Feder-Dämpfer-Kombination

unter Wirkung einer periodischen Kraft

0 cosF F t .

Lösung: Die gezeigte

Kombination ist eine

Reihenschaltung der

Federn *

1 1c c id

und 2c . Die gesamte

Steifigkeit ist somit

*1 21 2 1 2 2

*

1 2 1 2 1 2

*c id cc c c c id c

cc c c id c c c id

.

Der Betrag der komplexen Federzahl ist

2 2

11 2 2

2 2 2

1 2 1 2

*c dc c id c

c cc c id c c d

.

Die Schwingungsamplitude ist demnach

2 2

1 200 2 2

2 1

c c dFx

c c d

Für Gummi gilt in der Regel 1 2c c (z.B.

3

1 210c c . Bei sehr langsamen Beanspruchun-

gen gilt 1 2 0

0 0

1 2 1

c c Fx F

c c c

. Bei sehr großen

Frequenzen strebt Amplitude gegen einen sehr

viel kleineren Grenzwert 00

2

Fx

c .

C) Erzwungene Schwingungen eines Zweimas-

sensystems.

Im links dargestellten

Zweimassensystem

ersetzen wir beide Fe-

dern und beide Massen

durch äquivalente Fe-

dern. Die Federzahl des

gesamten Systems ist

gleich

2 4 2 2

2

2

2

1 3*

1 1 2

m cm cc m

c m

c m c

Die Schwingungsamplitude ist demnach 2

0 0 2 4 2 2

2

3

c mx F

m cm c

Es gibt drei charakteristische Frequenzen: Bei

1 und 2 wird die Schwingungsamplitude

unendlich groß (Resonanzfrequenzen). Nächs-

tes Mal werden wir sehen, dass dies die soge-

nannten Eigenfrequenzen des Systems sind. Bei

der Frequenz T wird die Schwingungs-

amplitude Null. Dies ist die Tilgerfrequenz.

1 2

T

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1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 30*.

Qualitative Analyse von Schwingungssystemen

I. Wie lange dauert ein Einschwingvorgang?

Bewegungsgleichung:

mx cx dx F t , 0 cosF t F t

2

0 0 02 / cos cosx x x F m t f t .

Lösung:

( ) cos cos * sin *tx t t e A t B t

Die Amplitude der "freien

Schwingungen" (allgemeine

Lösung der homogenen

Gleichung) verringert sich

um das e-fache (2,7) in der

Zeit 1/ .

II. Wie breit ist das Resonanzmaximum?

Bei der Resonanzfre-

quenz nimmt die

Schwingungsamplitude

0

22 2 2 2

0 4

F mx

den Wert 0

2

F mx

an.

Einen zweimal kleine-

ren Wert nimmt sie an, wenn

2

2 2 2 2 2 2

0 4 16 oder

2 2

2 2

0 0 12 oder

2

2 2 2

0 0 04 12

0 3 .

Die Gütezahl ist somit 0 /Q .

III. Wie beeinflusst Dämpfung den Fre-

quenzgang der Amplitude? Bei kleiner

Dämpfung folgt die Amplitude als Funktion der

Erregerfrequenz im Wesentlichen der Kurve

ohne Dissipation. Nur die Spitzen werden "ab-

gestumpft".

IV. Kann man die Höhe des Resonanzmaxi-

mums berechnen ohne die Bewegungsglei-

chung zu lösen?

0 cosmx cx dx F t

Die Lösung der Ersatzdifferentialgleichung mit

der Kraft 0

i tF e führt zur Gleichung

2

0m id c x F mit der Lösung

0

2

Fx

m id c

Wir können asymptotische Werte bei sehr klei-

nen, sehr großen und Resonanzfrequenz finden:

1) klein 0 0Fx

c

2) groß 0

2

Fx

m

3) Resonanz 0 0Fx

id

Schwingungsamplituden bei diesen wichtigen

Punkten kann man aber auch bestimmen ohne

die gesamte Lösung zu kennen (z.B. auch dann,

wenn die exakte Lösung nicht bekannt ist).

Bei kleinen Frequenzen kann man Terme mit

Geschwindigkeit und Beschleunigung vernach-

lässigen ( 0 coscx F t ), bei sehr großen spielt

nur der der Term mit Beschleunigung eine we-

sentliche Rolle ( 0 cosmx F t ), bei der Reso-

nanzfrequenz müssen alle Terme ausfallen mit

Ausnahme des Geschwindigkeitsproportionalen

Terms ( 0 cosdx F t ). Das sieht man daran,

dass die Energie, die dem System zugeführt

wird, dann ihr Maximum erreicht, wenn die

Kraft immer in Richtung Geschwindigkeit ge-

richtet ist und somit den Körper immer "be-

schleunigt".

Hätten wir eine nicht lineare konservative

Kraft, 0( ) cosmx G x dx F t , so könnten

wir diese Gleichung nicht analytisch lösen, aber

die Grenzfälle kleiner und großer Frequenzen

könnten auch in diesem Fall ermittelt werden.

Hätten wir eine lineare konservative Kraft aber

eine nicht lineare Dämpfung, z.B. 3

0 cosmx cx kx F t , so könnte man auf

ähnliche Weise näherungsweise das Schwin-

gungsgesetz und die Schwingungsamplitude bei

der Resonanz ermitteln: 3

0 coskx F t

1/3

0 / cosx F k t .

V. Seitenbänder bei Rundfunkübertragung Bei der Rundfunkübertragung, die die Amplitu-

denmodulation (AM) benutzt, wird das hoch-

frequente Trägersignal durch die Schallam-

plitude moduliert.

F t

DämpferF FederF

Freischnitt:

3

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2

Die oben gezeigte modulierte Schwingung kann

wie folgt ausgedrückt werden

01 cos cosmx b t t . Oder

1 10 0 02 2

cos cos cosm mx t b t b t

Das bedeutet, dass die ausgestrahlte Welle eine

Summe von drei Wellen darstellt: eine reguläre

Welle mit der Frequenz 0 , sowie Schwingun-

gen mit den Frequenzen 0 m und 0 m .

Wie scharf darf das Resonanzmaximum ei-

nes Schwingungskreises eines Funkempfän-

gers sein?

Ein Schwingungskreis unterdrückt Schwingun-

gen mit allen Frequenzen, die weiter von der

Trägerfrequenz 0 entfernt sind, als um einige

. Ist die Breite der Resonanzkurve zu klein,

so empfängt das Gerät nur die Trägerfrequenz.

In der ist aber keine Information enthalten. Die

Breite des Maximums (und somit die Dämp-

fungskonstante) muss somit größer sein, als die

Modulationfrequenz: m . Man kann das

auch anders sehen: Die Modulation wird nur

dann wirklich übermittelt, wenn die Dauer des

Einschwingvorganges kleiner ist als die Modu-

lationsperiode: 1

modT

, was zu derselben

Gleichung m führt.

VI. Wie bestimmt man die Tilgerfrequenz

und welchen Einfluss hat Dämpfung auf die

Tilgung von Schwingungen?

Betrachten wir einen elastisch (Gesamtsteifig-

keit c ) gelagerten "Tisch" mit der Masse M .

Wenn auf ihn technisch bedingt eine periodi-

sche Kraft 0 cosF t mit einer bestimmten Fre-

quenz wirkt, kann man die Schwingungen des

Tisches unterdrücken, indem man an ihn eine

weitere Masse m elastisch koppelt. Der physi-

kalische Sinn des Til-

gereffektes besteht

darin, dass der Tisch

M die zusätzliche

Masse zum Schwin-

gen erregen und somit

ihre eigenen Energie

abgeben kann. Dafür muss die Schwingungs-

frequenz gleich der Eigenfrequenz des Tilgers

sein. Da bei Resonanz das Verhältnis der

Amplituden unendlich wird, kann die Tilger-

masse auch dann schwingen, wenn sich der

Tisch gar nicht mehr bewegt. Die Bedingung

für die Tilgung ist offenbar 1 /c m . Der

Einschwingvorgang dauert allerdings bei einem

idealen Tilger unendlich lange. Bei einem rea-

len Tilger (mit Dämpfung) dauert er eine endli-

che Zeit, aber auch der Tilgereffekt ist nicht

ideal.

Die äquivalente Fe-

derzahl ergibt sich

aus der neben ste-

hender Skizze.

Die Federzahl ist

gleich

2

12

2 2

1

*m c id

c M cm c id

.

Ohne Dämpfung wird diese Steifigkeit unend-

lich bei 2

1 0m c . Bei kleinen Dämpfun-

gen ist die Steifigkeit nicht unendlich aber

groß: 1*m c

cid

VII. Dynamik eines Fahrzeuges

Nebenstehende Skizze kann als ein einfaches

Modell eines Fahrzeuges angesehen werden

(ein "Viertelfahrzeug").

Zu bestimmen sind die Eigenfrequenzen und

der Frequenzgang der Beschleunigung des

Aufbaus bei einer Fußpunkterregung nach dem

Gesetz 0 cosx A t .

Gegeben: 1 10m kg ,

2 250m kg . Die Eigen-

frequenz des Rades al-

leine sei 10 Hz, des

Aufbaus alleine 1 Hz.

Da wir in der Karosserie

( 2m ) sitzen, sind wir nur an der Koordinate 2x

interessiert:

1 2 0

2 2 2 2

2 2 1 2 1 2

c c xx

c m c c m c

. Oder

1 2 0

2 2 2 2 2

1 2 1 2

c c xx

m m

.

Wir sind aber an der Beschleunigung interes-

siert, da wir nur diese unmittelbar empfinden.

2

1 2 02 2 2 2 2

1 2 1 2

c c xa

m m

.

Wie groß sind die Eigenfrequenzen?

(Eine vereinfachte Methode wird erläutert).