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TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik Prof. Dr. rer. nat. V. Popov www.reibungsphysik.de Kinematik und Dynamik (Mechanik II) Vorlesungsnotizen SS 2009 FG Systemdynamik und Reibungsphysik

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TECHNISCHE UNIVERSITT BERLIN Fakultt V Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut fr Mechanik

Prof. Dr. rer. nat. V. Popov www.reibungsphysik.de

Kinematik und Dynamik (Mechanik II)

Vorlesungsnotizen SS 2009

FG Systemdynamik und Reibungsphysik

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 1. Kinematik einer eindimensionalen Bewegung: Geschwindigkeit als Ableitung, Entfernung als Integral, Beschleunigung. Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 1.1.1.-1.1.3.

I. Kinematik und Dynamik. Unter der Ki-nematik versteht man rein mathematische und geometrische Methoden zur Beschreibung von Bewegungen, wie Koordinaten, Vekto-ren, geometrische Bindungen ect.

Das Wort Dynamik, oder Englisch dynamics, wird in allen Wissenschaftszweigen als Syn-onym zur Bewegung verstanden. An einigen deutsprachigen Technischen Universitten ist fr die Dynamik auch ein anderes Wort ge-bruchlich: "die Kinetik". Im Sinne unserer Vorlesung sind "die Dynamik" und "die Ki-netik" Synonyme.

Alle Fragen ber die Ursachen und Charakter von Bewegungen werden in der klassischen Mechanik ganz einheitlich beantwortet: Ge-m den Newtonschen Gesetzen. Die New-tonschen Gesetze und deren Anwendung in verschiedenen Situationen sind das Haupt-thema der Veranstaltung Kinematik und Dy-namik.

II. Massenpunkt. Der Begriff eines Massen-punktes ist einer der Grundbegriffe der Me-chanik. Unter einem Massenpunkt versteht man einen Krper, dessen Ausmae man bei der Beschreibung seiner Bewegung vernach-lssigen kann. Natrlich hngt die Mglich-keit einer solchen Vernachlssigung von den konkreten Bedingungen der Aufgabe ab. So kann man z.B. die Planeten als Massenpunkte annehmen, wenn man ihre Bewegung um die Sonne untersucht, dagegen freilich nicht, wenn man ihre tgliche Drehung betrachtet.

III. Eindimensionale Bewegung. Wir be-ginnen mit der Bewegung in einer Richtung, wie in einem Wagen auf einer geraden Stra-e. Um Koordinaten angeben zu knnen, mssen wir ein Koordinatensystem whlen. Bei einer eindimensionalen Bewegung reicht die Angabe einer Koordinatenachse x, die in der Bewegungsrichtung zeigt:

Wir whlen auf dieser Achse einen Koordina-tenursprung. Zu jedem Zeitpunkt befindet sich der Wagen in einem bestimmten Punkt dieser Achse. Diesen Sachverhalt merken wir uns, indem wir schreiben: ( )x x t= .

IV. Geschwindigkeit als Ableitung. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitin-tervall 1 2( , )t t wird als Verhltnis des zurck-gelegten Weges zu der verstrichenen Zeit definiert:

2 1

2 1

( ) ( )x t x tvt t

=

.

Die momentane Geschwindigkeit ist Grenz-wert dieses Verhltnisses fr 2 1 0t t :

2 1

2 1

0 2 1

( ) ( )lim

t t

x t x tvt t

=

.

Das ist nichts anderes als die erste Ableitung der Koordinate nach der Zeit:

dtdxv = .

In der Mechanik ist es blich die Ableitung nach Zeit durch einen Punkt ber dem Buch-staben zu bezeichnen:

v x= . Ntzliche Regeln der Differnzial- und Integralrechnung

Funktion ( )x t

Ableitung dxdt

Funktion ( )g t

Stammfunktion (unbestimmtes

Integral)

( ) ( )dG t g t t= C 0 0 C t 1 1 t C+

( ) ( )u t f t+

du dfdt dt

+ ( ) ( )u t v t+

d du t v t C+ +

( ) ( )u t f t du dff udt dt

+ partielle Integration

d ddu dff t u t uv Cdt dt

+ = + 2t 2t t 2 / 2t C+ 3t 23t 2t 3 / 3t C+ nt 1nnt nt 1 /( 1)nt n C+ + +

( )u u f= , ( )f f t=

du du dfdt df dt

=

Substitionsmethode

sin t cos t cos t sin t C+ cos t sin t sin t cos t

te te te te C+

ln t 1/ t 1/ t ln t C+

arcsin t 2

1

1 t

2

1

1 t

arcsin t

xO

2

V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit ( )v t als Funktion der Zeit bekannt, so kann Koordinate zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt werden. Zwei Lsungsmglichkeiten:

1. Unbestimmte Integration. Geschwindig-keit ist zeitliche Ableitung der Koordinate:

( ) ( )dx t v tdt

= . Koordinate zu bestimmen be-

deutet demnach eine Funktion zu finden, de-ren Ableitung der gegebenen Funktion ( )v t gleich ist. Diese Funktion nennt man Stamm-funktion oder unbestimmtes Integral von der Funktion ( )v t . Bezeichnung:

( ) ( )dx t v t t C= + . Integration ist offenbar eine Umkehroperati-on zur Ableitung. Die Tabelle der Ableitun-gen - gelesen in der umgekehrten Richtung - ist gleichzeitig eine Tabelle der Integrale (s. Tabelle).

2. Bestimmte Integration. In einem kurzen Zeitabschnitt t ndert sich die Koordinate des Wagens um x v t = . Die gesamte n-derung der Koordinate auf einem lngeren Zeitintervall kann man als Summe

2 1( ) ( ) ( )ii

x t x t v t t berechnen. Jedoch ist die mit dieser Methode erhaltene Koordi-nate nicht ganz genau, weil sich die Ge-schwindigkeit whrend des Zeitintervalls t ndert. Wenn wir die Zeit klein genug wh-len, so ist die Summe przise:

2 10

( ) ( ) ( )lim it i

x t x t v t t

=

Den Grenzwert nennt man bestimmtes Inte-gral:

2

1

2 1( ) ( ) ( )dt

t

x t x t v t t =

Die Bezeichnung des Integral erinnert an seine Herkunft: Das Delta wird zu d, um uns daran zu erinnern, da die Zeit so gering ist, wie mglich, und die Addition wird geschrie-ben als eine Summe mit einem groen "S", das sich im Laufe der Zeit etwas ausgestreckt hat . Bestimmte Integrale berechnet man mit dem Hauptsatz der Differential- und In-tegralrechnung: Ist ( )G t eine Stammfunkti-on von ( )g t , so gilt:

( )d ( ) ( )b

a

g t t G b G a= .

VI. Beschleunigung ndert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit:

)(tvv = , so sprechen wir von einer beschleu-nigten Bewegung. Beschleunigung ist zeitli-che Ableitung der Geschwindigkeit:

dtdva = .

Da die Geschwindigkeit selbst eine Ableitung der Koordinate nach der Zeit ist, so ist die Beschleunigung eine Ableitung von Ablei-tung oder, wie man sagt, die zweite Ableitung der Koordinate nach der Zeit. Das wird in einer der folgenden Formen geschrieben:

xdt

xddtdx

dtda ==

= 2

2

.

Ist die Abhngigkeit der Koordinate von der Zeit bekannt, so kann man alle sonstigen wichtigen kinematischen Gren sofort be-rechnen: Nach einmaliger Ableitung haben wir die Geschwindigkeit, nach der zweiten Ableitung die Beschleunigung.

VII. Kinematische Grundaufgaben.

1. 0a = . Das bedeutet: / 0a v dv dt= = = . Erste Integration: const ov v= = (gleichfr-mige Bewegung). Aus der Definition

/v dx dt= erhalten wir nach der zweiten In-tegration 0x v t C= + . Integrationskonstante erhlt man mit Hilfe der Anfangsbedingung:

0 0 0x v t C= + ( )0 0 0x x v t t= + .

2. 0a a= (gleichmig beschleunigte Bewe-gung) Zweifache Integration

3. ( )a a t= Zweifache Integration

4. ( )a a v= . Wir schreiben Beschleunigung als zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

( )dv a vdt

= und trennen die Variablen:

( )dv dt

a v= . Integration

( )dv t C

a v= + ergibt

nun einen Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit. Zur Berechnung der Koor-dinate integriert man Geschwindigkeit nach Zeit.

5. ( )a a x= Lsung durch Multiplikation mit v und Darstellung in der Form d ( )dv v a x x= .

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 2. Ebene und rumliche Bewegung: Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, Vektoren. Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik 1II, 1.1.4 I. Ebene Bewegung. Kartesische und Po-larkoordinaten. Die Lage eines Massen-punktes auf einer Ebene wird durch zwei Ko-ordinaten beschrieben. Meistens werden da-fr entweder kartesische oder polare Koordi-naten benutzt.

Kartesische Koordina-ten: (x,y)

Polarkoordinaten: ( ,r ) Zusammenhang zwischen beiden wird durch die folgenden Gleichungen gegeben:

cossin

x ry r

= =

Umgekehrt:

( )2 2

arctan /r x y

x y

= +

=.

II. Rumliche Bewegung. Kartesische, zy-lindrische und Kugelkoordinaten. In drei Dimensionen wird die Lage eines Massenpunktes mit drei Koordinaten gege-ben. Definition von kartesischen, zylindri-schen und Kugelkoordinaten sowie Zusam-menhnge zwischen ihnen werden mit den drei nachfolgenden Bildern illustriert.

Kartesische Koordinaten: (x,y,z)

Zylindrische Koordinaten: ( , ,z) Zusammenhang mit kar-tesischen Koordinaten: cosx = siny = z z= Kugelkoordinaten: ( , ,r ) Zusammenhang mit kar-tesischen Koordinaten: cos cosx r = cos siny r = sinz r =

III. Vektorielle Darstellung. Orthonor-mierte Basen.

(x,y,z) seien kartesi-sche Koordinaten des Massenpunktes P in einem rechtshndigen Koordinatensystem. Alternativ kann die Lage des Punktes mit

dem Radiusvektor r charakterisiert werden. Definieren wir drei Vektoren , ,x y ze e e , die entlang der Koordinatenachsen gerichtet sind und je die Lnge Eins haben. Diese drei Ein-heitsvektoren sind zu einander orthogonal und bilden eine orthonormierte Basis. Jeder Vektor kann in seine kartesischen Komponenten zerlegt werden:

( ), ,x y z x y zr r r r xe ye ze x y z= + + = + + . Kartesische Koordinaten knnen als Skalar-produkte des Vektors mit entsprechenden Basisvektoren bestimmt werden:

xx r e= , yy r e= , zz r e= . In dem beschriebenen Fall einer konstanten kartesischen Basis (Einheitsvektoren der Ba-sis sind "raumfest") leitet man den Radius-vektor ab, indem man seine Komponenten ableitet:

( ), ,x y z x y zr r r r xe ye ze x y z= + + = + + . Diese Gleichung kann man auch als

( ), ,x y z x x y y z z x y zv v v v v e v e v e v v v= + + = + + schreiben. Eine weitere Ableitung ergibt Be-schleunigung:

( )( )( )

, ,

, ,

, ,

x y z x x y y z z x y z

x y z x y z

x y z x x y y z z x y z

a v v v v v e v e v e v v v

r r r r xe ye ze x y z

a a a a e a e a e a a a

= = + + = + + =

= + + = + + =

= + + = + +

IV. Polare Basis. Die orthonormierte Basis, in die man den Vektor zerlegt, mu nicht unbedingt konstant sein: Sie kann sich als Ganzes (als orthonor-miertes Dreibein) bewegen; dabei ndern sich die Richtungen der Basisvektoren; beide Vektoren bleiben aber orthogonal zu einander und ihre Lnge bleibt Eins.

Im Weiteren untersuchen wir nher ebene Bewegung. Zur Beschreibung ebener Bewe-gung wird in der Mechanik sehr oft die soge-

2

nannte "polare Basis" benutzt.

Als Basis fhrt man zwei Ein-heitsvektoren:

re in Richtung des Radius-Vektors eines Massenpunktes

und e senkrecht zu re (s. Bild). Selbstver-stndlich bewegt sich die polare Basis zu-sammen mit dem Radiusvektor. Der Radius-vektor kann in der polaren Basis besonders einfach dargestellt werden: rr re= . Bei der zeitlichen Ableitung mu man aber beachten, dass sich auch die Basisvektoren mit der Zeit ndern:

( ) ( ) ( )rr t r t e t= . Beim Ableiten muss man die Regel zum Ab-leiten von Produkten benutzen:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r rr t r t e t r t e t= + . (1) Um weiter zu verfahren brauchen wir zeitli-che Ableitung von Basisvektoren. Diese wird mit der nachstehenden Skizze illustriert.

rde zeigt in Richtung e und hat die Lnge

1 d d = . Daher: rde d e= . de zeigt in Richtung re und hat die Lnge

1 d d = . Daher: rde d e = . Indem wir diese Gleichungen durch dt divi-

dieren und erkennen, dass ddt = , erhalten

wir

re e= , re e = . Fr die zeitliche Ableitung des Radiusvektors (Gleichung (1)) ergibt sich somit

( ) ( ) ( ) ( )rv r t r t e t r t e= = + . Eine weitere Ableitung liefert den Bescheu-nigungsvektor:

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r

r r

a v

r t e r t e r t e r t e r t e

r t e r t e r t e r t e r t e

= =

+ + + + =

+ + +

( ) ( )2( ) ( ) 2 ( ) ( )rzirkulareKomponenteradialeKomponente

a r t r t e r t r t e = + + (2)

Zeitliche Ableitung des polaren Winkels nennt man Winkelgeschwindigkeit.

Sonderfall: Bewegung auf einer Kreisbahn Bewegt sich ein Massenpunkt auf einem Kreis mit dem Radius r , so gilt 0r = , 0r = . Die Gleichung (1) nimmt die Form

( )v r t r e= = an. Geschwindigkeit ist im-mer senkrecht zum Radius (und tangential zum Kreis gerichtet und betragsmig gleich

v r r = = Die Gleichung (2) nimmt die Form

2 ( ) ( )ra r e t r e t = + an. Die Beschleuni-gung hat die Komponente in Tangentialrich-tung a r = und die Komponente in radialer Richtung

22 2

rva r rr

= = =

Sie ist nach innen - zum Zentrum hin - ge-richtet und heit daher Zentripetalbeschleu-nigung.

Sonderfall: Zentralbewegung Bei der Zentral-bewegung ist der Beschleunigungs-vektor stets auf einen Punkt, das Zentrum Z, hin gerichtet. Dies trifft zum Beispiel fr die Bewegung der Planeten zu. Bei einer Zentralbewegung verschwindet die zirkulare Komponente der Beschleunigung, wenn wir den Koordinatenursprung in das Zentrum legen:

( )21 d2 ( ) ( ) 0da r t r t rr t = + = = 2r const =

Nach dem Bild berstreicht der Fahrstrahl r in der Zeit dt die Flche 12d dA rr = . Die Flchengeschwindigkeit 12d / dA t rr= bleibt daher konstant (das 2. Keplersche Gesetz).

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 3. Newtonsche Gesetze der Dynamik. Bestimmung der Kraft bei vorgegebener Bewegung, Bestimmung der Bewegung bei vorgegebener Kraft. Schiefer Wurf. Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik 1II, 1.2.1.-1.2.2.

I. Newtonsche Gesetze (Newton, 1687). 1. Newtonsches Gesetz: Wirkt auf einen Kr-per keine Kraft, so fhrt er eine geradlinige, gleichfrmige Bewegung aus: v const= . (Auch als Trgheitsgesetz bekannt: Galilei, 1638).

2. Newtonsches Gesetz: ma F= oder ddvm Ft= : Masse mal Beschleunigung gleich

Kraft. Dieses Gesetz gilt nur fr ein Inertial-system.

3. Newtonsches Gesetz: Krfte, die zwei wechselwirkende Krper aufeinander aus-ben, sind gleich gro, entgegengerichtet und haben eine gemeinsame Wirkungslinie.

Varianten der Schreibweise des 2.N.G.

ma F= oder ddvm Ft= oder

2

2

dd

rm Ft

=

oder mv F= oder mr F= Schreibweise in Komponenten:

x x

y y

z z

ma Fma F

ma F

= = =

oder x x

y y

z z

mv Fmv F

mv F

= = =

oder x

y

z

mx Fmy F

mz F

= = =

.

Einheit der Kraft ist 2

kg m Ns

(1 Newton).

Bemerkung zum Sprachgebrauch:

Geschrieben in der Form mr F= , stellt das 2. N.G. eine Differentialgleichung bezglich

( )r t dar, die als Bewegungsgleichung be-zeichnet wird (Engl.: "equation of motion"). Radiusvektor als Funktion der Zeit ( )r t nennt man in diesem Zusammenhang Bewe-gungsgesetz.

II. Bestimmung der Kraft bei vorgegebe-ner Bewegung ist die einfachste Aufgabe der Dynamik. Ist das Bewegungsgesetz ( )r t be-kannt, so berechnet sich die Kraft nach dem 2. N.G. durch zweifaches Differenzieren.

Beispiel 1. Ein Krper (Masse m) fhrt eine eindimensionale Bewegung nach dem Gesetz

( ) sinx t a t= (a und sind Konstanten). Zu bestimmen ist die auf ihn wirkende Kraft.

Lsung. Die erste Ableitung der Koordinate

nach Zeit liefert cosx a t = , nochmaliges Differenzieren ergibt 2 sinx a t = . Die Kraft ist nach dem 2.N.G. gleich

2 sinF mx ma t = = .

Beispiel 2. Kurvenfahrt. Ein Auto (Masse

1000kgm = ) durchfhrt eine Kurve (Radius

100R m= ) mit der Ge-schwindigkeit 30m/sv = (108 km/h). Wie gro ist die Kraft, die auf es wirkt, wie ist sie gerich-tet, was ist das fr eine Kraft? Lsung. Bei einer Bewegung auf einer Kreis-bahn mit einer betragsmig konstanten Ge-schwindigkeit ist die Beschleunigung zum Zentrum des Kreises gerichtet und ist gleich

2 /ra v R= . Nach dem 2. N.G. hat auch die Kraft nur die radiale Komponente:

2

r rvF ma mR

= = .

2 2 2 23 3 3

2 2

30 /10 9 10 9 1010r

v m s kg mF m kg NR m s

= = = =

Das ist die Reibungskraft zwischen der Strae und den Reifen.

III. Bestimmung der Bewegung bei vorge-gebener Kraft. Ist die Kraft, die auf einen Krper wirkt, be-kannt (oder ist das "Kraftgesetz" bekannt), so kann man die Bewegung bestimmen, indem man die Differentialgleichung mr F= lst. Zur eindeutigen Bestimmung des Bewe-gungsgesetzes ( )r t mssen die Anfangsbe-dingungen - die Lage und die Geschwindig-keit zu einem Zeitpunkt bekannt sein.

Beispiel 3. Zu bestimmen ist die eindimen-sionale Bewegung unter der Einwirkung einer konstanten Kraft. Zum Zeitpunkt 0t = be-fand sich der Krper im Punkt 0x und hatte Geschwindigkeit 0v .

Lsung. Das 2.N.G. lautet ddvm Ft= . Indem

wir beide Seiten mit dt multiplizieren d dm v F t= und unbestimmt integrie-

ren 1d dm v F t C= + 1mv Ft C= + erhal-

2

ten wir die Geschwindigkeit. Das Ergebnis schreiben wir in der folgenden Form:

1ddxm Ft Ct= + . Multiplikation mit dt :

( )1d dm x Ft C t= + und zweite unbestimmte Integration liefern ( )1 2d dm x Ft C t C= + + 21 1 22mx Ft C t C= + + . Die noch unbe-kannten Integrationskonstanten 1C und 2C bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen:

0 2mx C= , 0 1mv C= . Daraus folgt 21 0 02mx Ft mv t mx= + + oder

210 0 2

Fmx x v t t= + + .

Fr die Geschwindigkeit ergibt sich 0

Fmv v t= + .

Bemerkung: Diese Lsungsmethode funktio-niert auch bei einer beliebigen, explizit vor-gegebenen Kraft ( )F t als Funktion der Zeit. Die Beschleunigung ist dann auch eine gege-bene Funktion der Zeit. Durch erste Integrati-on gewinnt man die Geschwindigkeit, durch zweite Koordinate. Die beiden Integrations-konstanten bestimmen sich aus den Anfangs-bedingungen.

Beispiel 4. Bremsweg bei Vollbremsung. Zu bestimmen ist der Bremsweg eines Autos mit der Anfangs-geschwindigkeit

0v bei Vollbrem-sung. Der Rei-bungskoeffizient sei 1 = .

Lsung. Die auf das Auto wirkenden Krfte werden durch den Freischnitt sichtbar gemacht. 2. N.G. lautet:

1 2 0my mg N N= + + = , 1 2mx R R= . Aus der ersten Gleichung folgt 1 2N N mg+ = Reibungskrfte bei Vollbremsung erhalten wir nach dem Gesetz "NormalkraftRei-bungskoeffizient": 1 1R N= , 2 2R N= . Daraus folgt ( )1 2 1 2R R N N mg + = + = und fr die x-Komponente des 2.N.G. mx mg= . Das ist eine Bewegung unter Wirkung einer konstanten Kraft, daher gilt

0v v gt= 2 21 1

0 0 02 20Fmx x v t t v t gt= + + = +

Aus der ersten Gleichung berechnet sich die Zeit bis zum Stillstand: 0 0v v gt= =

0 /t v g= . Einsetzen in die zweite Glei-chung liefert den Weg bis zum Stillstand:

2 2 20 0 01 1

2 2Bremsv v vx

g g g = = .

Fr 0 30 /v m s= (108 km/h) ist 2 2 2 201

2 2

30 / 452 1 10 /Brems

v m sx mg m s

= =

Fr 0 15 /v m s= (54 km/h) ist 11Bremsx m . Fr 0 8,5 /v m s= (ca. 30 km/h) 3,5Bremsx m .

Beispiel 5. Schiefer Wurf. Ein Krper mit der Masse m wird zur Zeit

0t = unter einem Winkel zur x-Achse mit einer Geschwindigkeit

0v abgeworfen. Wenn Luftwiderstand vernachlssigbar ist, wirkt als einzige Kraft das gewicht G in ne-gativer z-Richtung. Das 2. N.G. in kartesi-schen Koordinaten lautet

0mx = , mz G mg= = . Zweifache Integration fhrt nach Krzen von m auf

1x C= , 3z gt C= +

1 2x C t C= + , 2

3 42tz g C t C= + + .

Die Anfangsbedingungen: 1 0(0) cosx C v = = 3 0(0) sinz C v = =

2(0) 0x C= = , 4(0) 0z C= = . Einsetzen liefert

0 cosx v = , 0 sinz gt v = + ,

0 cosx v t= , 2

0 sin2tz g v t= + .

Durch Elimination der Zeit t: 0/ cost x v = erhlt man die Bahngleichung

2

2 20

tan2 cos

gxz xv

= +

Der Krper bewegt sich auf einer Parabel. Die Wurfweite wx folgt aus der Bedingung

( ) 0wz x = : 20 sin 2w

vxg

= .

Die grte Wurfweite ergibt sich fr / 4 = , und sie betrgt 2,max 0 /wx v g= .

Die Wurfhhe ist gleich 20( sin ) / 2hz v g= .

1

Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 4. Krfte: Schwerkraft, Reaktionskrfte, Widerstandskrfte, Federkraft, Auftriebskraft, Scheinkrfte. Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 1.2.3, 1.2.4.

I. Kraftgesetze 1. Gravitationskraft: Jedes Objekt zieht jedes andere Objekt mit einer Kraft an, welche proportional zu beiden Massen und umge-kehrt proportional dem Qua-drat der Entfernung zwischen ihnen ist. Die Kraft ist entlang der Verbindungslinie zwischen beiden Krpern gerichtet.

2

MmF Gr

=

Gravitationskonstante: 116,67 10G = 3

2

mkg s

2. Widerstandskraft (turbulent) Ein fahrendes Au-to oder ein Flug-zeug erfahren eine Widerstandskraft, die annhrend mit der folgenden Gleichung wiedergegeben wird:

212w wF c Av= .

Dabei ist A die Projektionsflche des Krpers auf eine Ebene senkrecht zur Anstrmrich-tung, ist die Dichte des Mediums (z.B. Luft), v ist die Anstrmgeschwindigkeit (bzw. Fahrgeschwindigkeit) und der Wider-standsbeiwert wc erfat alle weiteren Parame-ter. Er liegt z.B. bei modernen Pkw zwischen 0.3 und 0.4. Das Kraftgesetz ist nur gltig bei schnellen Bewegungen, bei denen sich eine turbulente Strmung bildet.

3. Widerstandskraft (Laminar) Bewegt sich der Krper in einer Flssigkeit oder einem Gas so langsam, dass sich keine Wirbel bilden (laminare Umstrmung), so ist die Widerstandskraft, wie das bereits Newton herasgefunden hat, proportional zur Ge-schwindigkeit:

wF v= . Die Konstante hngt von der Geometrie des umstrmten Krpers und von der Zhig-keit des Mediums, diesmal nicht aber von seiner Dichte. Minus-Vorzeichen zeigt, dass die Kraft entgegengestzt zur Geschwindigkeit gerichtet ist. Fr eine Kugel gilt z.B.:

6wF rv= .

(1854 Stokes); r ist hier Radius der Kugel, - Viskositt des Mediums. (Z.B. fr Was-ser bei 20C ist 310 Pa s , fr die Luft bei 20C 51,8 10 Pa s ).

4. Haftreibung und Gleitreibung Durch ausfhrliche experimentelle Untersu-chungen hat Coulomb (1736-1806) festge-stellt, dass die Reibungskraft R zwischen zwei Kr-pern, die mit der Normalkraft N an einan-der gedrckt sind, in erster, grober Nherung folgende einfache Eigenschaften hat:

A. Die Haftreibung (auch statische Rei-bungskraft) sR , die zu berwinden ist, um den Krper in Bewegung zu setzen, ist pro-portional zur Anprekraft N:

s sR N= . Der Koeffizient s heit statischer Rei-bungskoeffizient. Er hngt von der Material-paarung ab, weist aber dagegen fast keine Abhngigkeit von der Kontaktflche und Rauhigkeit der Oberflchen.

B. Die Gleitreibung (auch kinetische Rei-bungskraft) kR ist die Widerstandskraft, die nach dem berwinden der Haftung wirkt. - Gleitreibung ist proportional zur Anpre-kraft N

k kR N= - Die Gleitreibung hngt nicht (bzw. nur sehr schwach) von der Gleitgeschwindigkeit ab.

V. Elastische Kraft Alle Krper in der Welt sind mehr oder weniger deformierbar. Bei Fe-dern ist ihre Elastizitt besonders ausgeprgt und wird technisch genutzt. Verschiebt man einen mit einer Fe-der gekoppelten Krper um x aus seiner Gleichgewichtsposition, so wirkt die feder auf ihn mit der Kraft

elF cx= . c ist die Steifigkeit der Feder.

2

VI. Auftriebskraft (a) Bewegt sich ein nicht symmetrischer Kr-per in einer Flssigkeit oder Luft, so ist die auf ihn vom Medi-um wirkende Kraft im Allgemeinen nicht entgegengestzt zur Geschwindig-keit gerichtet. Die entgegengesetzte Komponente der Kraft nennt man Widerstandskraft (s. oben). Die zur Bewegung senkrecht gerichtete Kompo-nente heit Auftriebskraft. Beide sind bei turbulenten Umstrmungen ungefhr propor-tional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Fr dnne strom-linienfrmige Krper (wie ein Flgel) gilt

2AF v S=

wobei S die Flche des Flgels ist und der sogenannte Anstellwinkel.

(b) Darber hinaus gibt es auch bei sehr lang-samen Bewegungen die entgegen der Schwe-rekraft gerichtete archimedische Auftriebs-kraft, die gleich dem Gewicht der verdrng-ten Flssigkeit ist.

VII. Elektrische, magnetische Krfte Auf einen geladenen Krper im elektrischen Feld mit der Feldstrke E wirkt die Kraft F qE= , q ist die elektrische Ladung.

Auf einen geladenen Krper im magnetischen Feld mit der Induktion B wirkt die Kraft F qv B= ; sie ist stets senkrecht zur Ge-schwindigkeit gerichtet.

VIII. Reaktionskrfte (auch Fhrungs-krfte, Zwangskrfte) Wenn ein Massenpunkt gezwungen ist, sich auf einer vorgegebenen Flche oder Kurve zu bewegen, so spricht man von einer gefhrten oder gebundenen Bewegung. In die-sem Fall treten die sogenannten Reak-tionskrfte auf, welche gerade die geforderte Bindung an eine Flche oder Kur-ve bewirken. Fr den Betrag der Reaktions-kraft kann man kein spezielles Kraftgesetz angeben. Sie zeigt aber immer in die Rich-tung, in der die Bewegung verhindert wird.

IX. Scheinkrfte Das 2. Newtonsche Gesetz gilt nur in Inerti-alsystemen. Manchmal ist es bequemer, eine Bewegung relativ zu einem sich beschleunigt bewegenden oder rotierenden Bezugssystem zu betrachten (die Erde ist z.B. auch kein ideales Inertialsystem). Man kann zeigen, dass man auch in einem bescheunigten Sy-stem die Newtonschen Gesetze in gewhnli-cher Form anwenden kann, wenn man zustz-liche, sogenannte Scheinkrfe einfhrt.

(a) In einem Bezugs-system, das sich rela-tiv zu einem Inertial-system mit der Be-schleunigung A be-wegt, mu die Scheinkraft

translF mA=

eingefhrt werden.

(b) In einem mit einer Winkelgeschwindig-keit rotierendem Bezugssystem ms-sen zwei Scheinkrfte eingefhrt werden (diese Kraftgesetze werden im Kurs Mechanik III hergeleitet): Zentrifugalkraft 2zentrifF mr= wirkt radial von der Rotationsachse (r ist der Abstand zur Achse). Coriolis-Kraft 2CF mv = .

Beispiel. Satellitenbewegung. Mit welcher Geschwin-digkeit umluft die Erde ein erdnaher Satellit? Ra-dius der Bahn sei

36, 4 10R km= . Lsung. Die einzige Kraft, die auf den Satel-liten wirkt, ist die Anziehungskraft der Erde (Schwerekraft). Sie ist immer zum Zentrum der Erde gerichtet und in der Nhe der Erd-oberflche gleich rF mg= . Bewegt sich der Satellit auf einer Kreisbahn, so ist seine Be-schleunigung ebenfalls zum Zentrum gerich-tet und gleich 20 /ra v R= . Nach dem 2.N.G.

gilt 20 /mv R mg= . Daraus folgt

26 3

0 6, 4 10 9,8 8 10 /msv Rg m m s= =

1

Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 5. Das 2. Newtonsche Gesetz: Anwendungsbeispiele. Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 1.1.3, 1.2.4

Beispiel 1. Geostationre Satelliten Verluft die Bewegung eines Satelliten in der quatorebene der Erde und ist die Umlaufzeit gleich einem Tag, so "hngt" der Satellit immer ber dem gleichen Punkt der Erde. Die einzige auf ihn wirkende Kraft ist die zum Zentrum gerichtete Gravitations-

kraft 2rMmF Gr

= . Bei einer Bewegung auf

dem Kreis ist Beschleunigung ebenfalls zum Zentrum gerichtet und gleich 2ra r= , wo-bei 2 /T = die Winkelgeschwindigkeit ist (T=1 Tag ist die Umdrehungsperiode). 2.N.G.

besagt, dass 2

22

2MmG mr mrr T

= =

( )

1/32

22GMTr

=

. (1)

Die Fallbeschleunigung auf der Erdoberflche ist gleich 2/g GM R= mit 36380 10R m= als Erdradius. Daraus folgt 2GM gR= . Ein-setzen in (1) liefert

( )( ) ( )

( )

1/31/3 2 262 2

2 2

9,8 6,38 10 24 3600

2 2gR Tr

=

42000km . Das Entspricht einer Hhe ber der Erdoberflche von ca. 35620km .

Beispiel 2. Vertikaler Start einer Rakete Zu berechnen ist die Fluchtgeschwindigkeit bei einem vertikalen Start einer Rakete (Luft-widerstand ist zu vernachlssigen). Lsung. Es liegt eine eindimensionale Bewe-gung vor. 2.N.G. fr die radiale Bewegung

lautet 2GMrr

= . Beschleunigung ist hier

eine Funktion der Koordinate. Man lst diese Differentialgleichung durch Multiplizieren

beider Seiten mit Geschwindigkeit ddrrvt

=

und Bercksichtigung, dass r

rdvdv dv drx a v

dt dr dt dr= = = = .

Die Bewegungsgleichung nimmt die Form

2r

rdv GMvdr r

= an.

Multiplizieren mit dr ergibt

2r rGMv dv drr

= .

Eine bestimmte Integration fhrt auf ( )22 0 1 1

2 2rr vv GM

R r = +

Die gesuchte Geschwindigkeit ist eine solche, bei der 0v wenn r

( ) 20 2 11, 2 /rGMv gR km sR

= = .

Beispiel 3. Maximale Geschwindigkeit eines Autos. In der vertikalen Richtung gibt es keine Be-wegung. Unter Vernach-lssigung der Auftriebs-kraft gilt daher: N mg= . Da sich das Auto mit ei-ner konstanten Ge-schwindigkeit bewegen soll, lautet die hori-zontale Komponente des 2.N.G.:

0 wm F R = + , wobei R mg= die maxima-le erreichbare Reibungskraft zwischen den Rdern und der Strae ist und 212w wF c Av= die (turbulente) Widerstandskraft. Aus

212 wmg c Av = folgt

2

w

mgvc A

= .

Mit den charakteristischen Werten: 0, 4wc = , 22,5A m= , 31, 2 /kg m = , 1600m kg= ,

0.8 = erhalten wir 146 / 525 /v m s km h .

Beispiel 4. Freier Fall in einer viskosen Flssigkeit Zu bestimmen ist das Bewe-gungsgesetz einer in einer Fls-sigkeit frei fallenden Kugel mit Anfangsbedingungen: ( )0 0y = , ( )0 0yv = .

Lsung. Das 2. N. G. lautet: y

y

dvm mg v

dt= . Multiplikation mit dt

ergibt y ydv g v dtm = +

. Nach Trennung

der Variablen und bestimmter Integration er-

halten wir 0 0

yv ty

y

dvdt t

g vm = =

+

2

0ln yv

ym g v t

m

+ =

ln 1 ym v t

mg

+ =

1

tm

ymgv e

=

Fr sehr groe Zeit t erreicht die Geschwin-

digkeit den Grenzwert mg

. Minus-Zeichen

zeigt, dass sich die Kugel in die negative y-Richtung bewegt. Zur Bestimmung der Koordinate schreiben wir die Geschwindigkeit als zeitliche Ablei-

tung 1t

mdy mg edt

=

, multiplizieren diese

Gleichung mit dt und integrieren bestimmt

0 0

1y t t

mmgdy e dt

=

. Ergebnis:

2

2 1 mmg my t g e t

= +

Beispiel 5. Ein Feder-Masse-System Zu bestimmen ist das Bewegungsgesetz einer mit einer Feder gekoppelten Masse. Anfangsbedingungen: fr 0t = lauten

(0) 0v = ; 0(0)x x= . Lsung. Wir betrachten nur die Bewegung in horizontaler Richtung und vernachlssigen Reibung in dieser Richtung. Die einzige Kraft, die unter diesen Voraussetzungen auf den aus der Ruhelage ausgelenkten Krper wirkt, ist die Federkraft F kx= . Das 2.N.G. sieht wie folgt aus: ma kx= ( )/a k m x= . Mit Bezeichnung 2/k m = schreiben wir es in

der Form 2a x= oder 2dv xdt

= .

Mit der Identitt dv dv dx dv vdt dx dt dx

= = ergibt sich

2dv v xdx

= . Multiplikation mit dx und be-

stimmte Integration ergibt

0

2

0

v x

x

vdv xdx= 22 2

2 002 2 2

xv x

=

Daraus ergibt sich Geschwindigkeit als Funk-tion der Koordinate: 2 20v x x= . Wir schreiben nun Geschwindigkeit als zeitliche

Ableitung der Koordinate: 2 20dx x xdt

= ,

trennen die Variablen und integrieren be-

stimmt: 0

2 200

x t

x

dx dt tx x

= =

.

Mit der Substitution

( )( )0

0

sin /0 sin 1

2 20 0 0

sin

cos cos

x arc x x

x arcx x z x z

dx x z dz x x x z

=

= =

erhalten wir

( )

( )

( )( )

00

0

sin /sin /0sin 12 2

0sin 10

0

coscos

arcsin( / ) / 2

arc x xxarc x x

arcx arc

x z dzdx zx zx x

x x t

= =

=

Daraus folgt ( )0 sin / 2x x t = +

( )( ) 00

00/2

10

/ :/|1 /

x

x xx

x x zd x xzx x

= = =

0/

21 1

x x dzz

=

0/1

0

arcsin1arcsin | arcsin/ 2

x x xz tx

= = =

Umkehren dieser Funktion ergibt ( )0 0sin 2 cosx x t x t = + =

Beispiel 6. Scheinkrfte.

A. Wann kippt ein Auto um? Gleichgewicht der Kraftmomente be-zglich des rechten Rades (im rotierenden Bezugssystem!!): ( )2 /m v R h mgd= /v Rgd h= .

B. Neigung eines Motorradfahrers C. Zentrifuge. Durchmesser = 45 cm,1400 Umdrehungen pro Minute. Zu bestimmen ist die effektive Fallbeschleunigung in dem mit der Zentrifuge verbundenen Bezugssystem.

1

Mechanik II / Vorlesung 6 / Prof. Popov Impuls, Kraftsto, Schwerpunktsatz, Impulserhaltung, Sto Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 1.2.5, 2.2, 2.5

I. Impuls. Vektorielle Gre p mv= heit Impuls des Krpers. Der Gesamtimpuls eines Mehrkrpersystems berechnet sich als Summe der Impulse seiner Bestandteile: i ip m v= . II. Impulssatz. Geschrieben in der Form

ddp Ft=

trgt das 2. Newtonsche Gesetz den Namen Impulssatz.

III. Kraftsto. Durch Multiplizieren mit dt und Integration kann der Impulssatz in der folgenden Integralform dargestellt werden:

2 2

1 1

( )

( )

d ( )dp t t

p t t

p F t t= 2

1

2 1( ) ( ) ( )dt

t

p t p t F t t =

nderung des Impulses ist somit gleich der

Gre 2

1

( )dt

t

F F t t= , die Kraftsto heit.

IV. Abgeschlossenes System. Ein Mehrkrpersystem heit abgeschlossen, wenn die zu ihm gehrigen Krper nur mitein-ander wechselwirken.

V. Impulserhaltungssatz Betrachten wir ein abgeschlossenes System bestehend aus zwei Krpern. Diese Krper wechselwirken nur mit einander. Die Wechselwirkungskrfte gengen dem 3. Newtonschen Gesetz (actio=reactio). Das 2. Newtonsche Gesetz fr jeden Krper kann demnach wie folgt geschrieben werden:

11

dvm Fdt

= 22dvm Fdt

= .

Summieren beider Gleichungen ergibt 1 2

1 2 0dv dvm mdt dt

+ = oder ( )1 1 2 2 0d m v m vdt

+ =

In der Klammer steht der Gesamtimpuls des

Systems: 0dpdt

= . Daraus folgt:

1 1 2 2p m v m v const= + = Impuls eines abgeschlossenen Systems bleibt erhalten (Impulserhaltungssatz).

Dieser Satz gilt fr ein abgeschlossenes Sy-stem bestehend aus beliebiger Zahl von Kr-pern.

IV. Innere und uere Krfte Die Krfte, mit denen die Krper, die zu einem System gehren, mit einander wechselwirken, nennen wir innere Krfte.

Die Krfte, mit denen die Krper des Systems mit den Krpern auerhalb des Systems wech-selwirken, nennen wir uere Krfte.

Diese Definitionen sind systemabhngig. So ist z.B. die Wechselwirkungskraft zwischen der Sonne und der Erde eine innere Kraft, wenn wir die Sonne und die Erde als ein Sy-stem betrachten. Betrachten wir dagegen nur die Erde als "System", so ist das eine uere Kraft.

VII. Impulssatz fr ein Mehrkrpersystem Betrachten wir jetzt ein nicht abgeschlossenes (offenes) System, d.h. ein System, dessen Kr-per auch mit Krpern auerhalb des Systems wecheselwirken. F und F sind hier innere Krfte. 1F und 2F sind uere Krfte. Das 2. Newtonsche Gesetz fr die beiden Krper lautet:

11

dp F Fdt

= + ; 2 2dp F Fdt

= + .

Addition dieser Gleichungen ergibt

1 2 extdp F F Fdt

= + =

extF ist Summe aller ueren Krfte.

Impulssatz: Zeitliche Ableitung des Impulses eines Sy-stems ist gleich der Summe aller ueren Krfte, die auf dieses System wirken. Teilerhaltung des Impulses: Ist Projektion der resultierenden ueren Kraft auf die x-Achse Null, so bleibt die x-Projektion des Impulses erhalten.

2

Beweis: Der Impulssatz extdp Fdt

= in der Pro-

jektion auf die x-Achse lautet: 0xdpdt

= .

Daraus folgt xp const= .

VIII. Schwerpunktsatz Radiusvektor des Schwerpunkts eines Systems wird wie folgt definiert:

1 1 2 21 2

i i i is

i

m r m rm r m rRm m m M

+ + = = =

+ +

,

wobei M die Gesamtmasse des Systems ist. Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes be-rechnet sich als zeitliche Ableitung dieses Vektors:

1 1 2 2

1 2

i is s

m vm r m r pV Rm m M M+ +

= = = =+ +

. Betrachten wir zwei Flle:

a) Abgeschlossenes System 1 1 2 2

1 2

sdR m v m v p constdt m m M

+ + = = =

+ + :

Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.

b) Offenes System

/ extFdV dp dtdt M M

= = oder 2

2 extd RM Fdt

= .

IX. Plastischer Sto Betrachten wir Zusammensto zweier Krper, nach dem sie sich als ein Ganzes bewegen (an einander kleben). Solcher Sto nennt man pla-stischer Sto. Die Wechselwirkungskrfte zwi-schen beiden Krpern, unabhngig von deren Gre und physikalischer Herkunft sind innere Krfte. Wirken am System keine weiteren Krfte, so ist das ein abgeschlossenes System. Der Impuls des Systems bleibt deshalb erhal-ten. Insbesondre gilt das fr beliebige Zeit-punkte vor und nach dem Sto: Impuls vor dem Sto: 1 1 2 2m v m v+ Impuls nach dem Sto ( )1 2m m v+ Wenn keine ueren Krfte gewirkt haben:

( )1 1 2 2 1 2m v m v m m v+ = +

1 1 2 2

1 2

m v m vvm m+

=+

X. Zerfall (z.B. durch eine Explosion)

Impuls "vor": ( )1 2 0 0m m+ = Impuls "nach": 1 1 2 2m v m v+ Impulserhaltungssatz: 1 1 2 2 0m v m v+ =

12 1

2

mv vm

=

XI. Mittelwert einer Kraft Betrachten wir eine von der Zeit abhngige Kraft ( )F t . Den Mittelwert dieser Kraft auf dem Zeitinter-vall von 1t bis

2t knnen wir bestimmen, indem wir das Zeitintervall in eine sehr groe Zahl N von Teilintervallen t unterteilen (offensichtlich gilt 2 1N t t t = ). Den Mittelwert F (der Strich ber dem Buch-staben bedeutet "Mittelwert") berechnet man

mit der bekannten Regel 1

N

ii

FF

N==

. Indem

wir diese Gleichung mit t multiplizieren und

dividieren, erhalten wir

2

11

2 1

( )t

N

iti

F t dtF tF

N t t t=

= =

.

Nach dem Impulssatz in der Integralform gilt 2

1

2 1( )t

t

F t dt p p= , wobei 2p und 1p Impulse

des Systems zu den Zeitpunkten 2t und 1t sind. Fr den Mittelwert der Kraft ergibt sich somit

2 1

2 1

p pFt t

=

Mittelwert der Kraft ist gleich nderung des Impulses dividiert durch das Zeitintervall, in dem diese nderung stattgefunden ist.

Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt eines Systems bewegt sich so, als ob die Gesamt-masse in ihm vereinigt wre und alle ueren Krfte an ihm angriffen.

1

Mechanik II / Vorlesung 7 / Prof. Popov Arbeit, kinetische und potentielle Energie, Elastischer Sto Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 1.2.7 I. Mechanische Arbeit, Arbeitssatz Betrachten wir einen Krper mit der Masse m, der sich unter der Wirkung einer (im Allgemei-nen zeit- oder ortsabhngigen) Kraft F bewegt. Das zweite Newtonsche Gesetz fr den Krper

lautet dvm Fdt

= .

Indem wir diese Gleichung mit v multiplizie-ren, erhalten wir

dvm v F vdt

= (Skalarprodukt!) (1)

Die linke Seite der Gleichung kann in der Form

( ) ( )22 2

d vd v vdv m mm vdt dt dt

= =

dargestellt werden. Die rechte Seite schreiben

wir wie folgt um: drF v Fdt

= . Die Gleichung

(1) nimmt die Form ( )22m d v F dr= an.

Bestimmte Integration ergibt

( )2 2

1 1

2

2

v r

v r

m d v F dr=

oder 2

1

2 22 1

2 2

r

r

mv mv F dr = . (2)

Die Gre 2

2mvK = ist die kinetische Energie

des Krpers.

Das Integral 2

1

r

r

W F dr= nennt man die von

der Kraft F auf dem Weg zwischen 1r und 2r geleistete Arbeit. Gleichung (2) sagt aus, dass nderung der ki-netischen Energie eines Objektes gleich der durch die einwirkenden Krfte geleisteten Ar-beit ist.

2 1K K W = . (Arbeitssatz)

II. Eigenschaften der Arbeit.

-Arbeit wird als Integral 2

1

r

r

W Fdr= definiert.

-Bei einer konstanten Kraft gilt

( )2

1

2 1

r

r

W F dr F r r F r= = =

- Wann ist W=0? 0F = oder 0r = oder 90 = .

- Die Arbeit von A nach B ist gleich minus die Arbeit von B nach A.

- Arbeit ist eine additive Gre (Arbeit mehre-rer gleichzeitig wirkender Krfte ist gleich der Summe der Arbeiten einzelner Krfte). Folgt aus der Definition.

III. Leistung. Betrachten wir Bewegung in-nerhalb eines infinitesimal kleinen Zeitinter-valls dt , so kann man den Arbeitssatz in der Differentialform schreiben: dK dW= . Dividieren durch dt ergibt dK dWdt dt

= . (3)

Die Gre /dW dt heit Leistung der Kraft.

Gleichung (3) bedeutet, dass die zeitliche nderung der kinetischen Energie eines Ob-jektes gleich der durch die einwirkenden Krfte aufgebrachten Leistung ist. Einheiten: [ Arbeit ] = Newton Meter ={Joule} [ Leistung ] = Joule pro Sekunde ={Watt} 1 Kilowattstunde 310 3600= J = 63,6 10 Joule

IV. Potentielle Energie, Energieerhaltungs-satz. Betrachten wir eine eindimensionale Be-wegung unter der Einwirkung einer Kraft

( )F x , die nur von der Koordinate abhngt. Das zweite Newtonsche Gesetz lautet:

( )mv F x= . Multiplizieren mit v ergibt

( )dv dxm v F xdt dt

= oder ( )mvdv F x dx= Bestimmte Integration ergibt

( ) ( ) ( )0

220

02 2

x

x

mvmv F x dx U x U x = = , (4)

wobei ( ) ( )U x F x dx= Stammfunktion zur Funktion ( )F x ist (unbestimmtes Integral von ( )F x ).

r

F

cosW F r =

2

(4) kann wie folgt umgeschrieben werden:

( ) ( )220

02 2mvmv U x U x+ = + . (5)

Die Gre ( )U x heit potentielle Energie und

die Summe ( )2

2mvE U x K U= + = + - volle

Energie des Systems.

Gleichung (5) besagt, dass die volle Energie des Systems erhalten bleibt (Energieerhal-tungssatz): E K U konst= + = . Der Energieerhaltungssatz in dieser Form gilt nur dann, wenn die Krfte nur von der Koordi-nate abhngen (im Allgemeinen Fall gilt das fr konservative Krfte, s. nchste Vorlesung).

Bemerkung: Aus der Definition der potentiel-

len Energie folgt, dass ( ) UF xx

=

. Diese

Gleichung nennt man 1. Satz von Castigliano.

V. Beispiele A. Potentielle Energie der Schwerekraft.

Die Schwerekraft ist gleich F mg= . Potentielle Energie ist demnach U mgdh mgh C= = + . C ist eine beliebige Konstante, die z.B. gleich Null gesetzt

werden kann. Der Energieerhaltungssatz hat

die Form 2

2mv mgh konst+ = .

B. Potentielle Energie einer elastischen Feder. Die Federkraft ist gleich F cx= . Potentielle Energie demnach

2

2xU cxdx c= = .

Energieerhaltungssatz: 2 2

2 2mv xc konst+ = .

C. Potentielle Energie der Gravitationskraft im allgemeinen Fall.

2

MmF Gr

= .

2

Mm MmU G dr Gr r

= = . Energieerhaltungssatz:

2

2mv MmE G konst

r= = .

Die auf dem geschlossenen Weg geleistete Arbeit ist gleich

2 1 4 3 6 5 8 7

1 1 1 1 1 1 1 1 0W GMmr r r r r r r r

= + + +

Krfte, deren Arbeit auf jedem geschlossenen Weg Null ist, heien konservativ.

VI. Ein Pendel Zu bestimmen ist das Bewe-gungsgesetz und die Stangen-kraft fr ein Pendel bestehend aus einem leichten Stab und einer Kugel, die man als ein Massenpunkt betrachten kann. Zum Zeitpunkt 0t = wird es aus der Ruhelage um den Winkel 0 ausgelenkt und freigelassen. Lsung. Wir schreiben zunchst den Energie-

erhaltungssatz 220

02 2mvmv mgh mgh+ = + .

Unter Bercksichtigung geometrischer Bezie-hung (1 cos )h l = und 0 0v = ergibt sich

2

0(1 cos ) (1 cos )2v gl gl + =

Daraus folgt ( )02 cos cosv gl = .

Wir wollen das 2. Newtonsche Gesetz in polarer Basis schrei-ben. Die zirkulare und radiale Komponenten der Beschleuni-gung sind gleich a l = , ( )

2ra l =

Fr die zirkulare und radiale Kraftkomponenten haben wir:

sinF mg = cosr NF mg F= Das 2.N.G. nimmt die Form

sinml mg = , ( )2 cos Nml mg F = an. Aus der zweiten Gleichung knnen wir die Stangenkraft als Funktion des Winkels be-rechnen:

( )2

0cos 3cos 2cosNvF mg m mgl

= + = .

Das Bewegungsgesetz bekommen wir aus der

Gleichung ( )0d 2 cos cosd

v l glt = =

durch Trennung der Variablen und Integration.

Ist ein Perpetuum mobile mglich?

1

Kinematik und Dynamik / Mechanik II / Vorlesung 8 / Prof. Popov Arbeit, kinetische und potentielle Energie, konservative Krfte, Energieerhaltungssatz Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 1.2.7 I. Eigenschaften der Arbeit.

-Arbeit wird als Integral 2

1

r

r

W Fdr= definiert.

-Bei einer konstanten Kraft gilt

( )2

1

2 1

r

r

W F dr F r r F r= = =

- Wann ist W=0? 0F = oder 0r = oder 90 = .

- Die Arbeit von A nach B ist gleich Minus die Arbeit von B nach A.

- Arbeit ist eine additive Gre (Arbeit mehre-rer gleichzeitig wirkender Krfte ist gleich der Summe der Arbeiten einzelner Krfte). Folgt aus der Definition.

II. Konservative Krfte Gegeben sei ein Kraftfeld ( ) ( ), ,F x y z F r= . Das Kraftfeld (oder einfach die Kraft) heit konservativ, wenn die von dieser Kraft auf ei-nem beliebigen geschlossenen Weg geleistete Arbeit gleich Null ist: 0W Fdr= = . Schlussfolgerung: Die Arbeit zwischen 1 und 2 hngt vom Weg nicht ab!

Konservative Krfte: Gravitationskraft, elasti-sche Kraft, elektrostatische Krfte. Nichtkonservative: Widerstandskraft, Rei-bungskraft III. Potentielle Energie einer konservativen Kraft Wir definieren eine neue Funktion:

( ) ( ) ( )P

O

U P F r dr W O P= =

( ) ( ) ( )Q

O

U Q F r dr W O Q= = Jetzt gehen wir den Weg O P Q O . Die Arbeit ist gleich

( ) ( ) ( ) 0W O P W P Q W Q O + + = oder

( ) ( ) ( ) 0U P W P Q U Q + + = . Daraus folgt

( ) ( ) ( )W P Q U P U Q =

Bei einer Bewegung unter der Wirkung von konservativen Krften gilt

2 1 1 2K K W U U = = . Daraus folgt der Energieerhaltungssatz

2 2 1 1K U K U konst+ = + =

IV. Wie stellt man fest, ob eine Kraft kon-servativ ist? Ein homogenes Kraftfeld ist konservativ.

( )1

1

1 1 0r

r

W F dr F r r= =

Eine zentrale Kraft, die nur vom Abstand zu einem Zentrum abhngt, ist konser-vativ. Summe konservativer Krfte ist eine konservative Kraft:

Gravitationskraft einer beliebigen Massen-verteilung

Elektrostatische Kraft einer beliebigen Ver-teilung von Ladungen

Elastische Krfte (letztendlich nichts ande-res als elektrische Krfte)

Eine beliebige Kombination aus elektri-schen, elastischen und Gravitationskrften.

V. Potentielle Energien: a) Einer elastischen Feder mit Steifigkeit c:

2

( )2xU x c= (1)

b) Im Gravitationsfeld: 1 2( ) m mU r Gr

= . (2)

c) Der Zentrifugalkraft in einem rotierenden Bezugssystem:

2 2( )2mU r r= . (3)

VI. Krfte, die senkrecht zur Bewegungs-richtung gerichtet sind, leisten keine Arbeit

O

P

Q

r

FcosW F r =

P Q

R

2

und brauchen weder im allgemeinen Ar-beitssatz, noch im Energieerhaltungssatz bercksichtigt zu werden: - Zwangs- oder Reaktionskrfte - magnetische Krfte ( )F qv B= - Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem ( )2F mv = - (aerodynamische) Auftriebskraft.

Erluterung zur Arbeit von Zwangskrften Zwangskrfte in mechanischen Systemen sind Krfte, die stets senkrecht zur Bewegungsrich-tung gerichtet sind. Daraus folgt fr die Arbeit:

( )2 2

1 1

2 2 2

1 1 1

r r

Zwangs eingeprgtr r

r r r

Zwangs eingeprgt eingeprgtr r r

W Fdr F F dr

F dr F dr F dr

= = + =

+ =

Bei Berechnung der Arbeit knnen Zwangs- (Reaktions-)krfte auer Acht gelassen werden.

VII. Arbeitssatz in Anwesenheit von konser-vativen und nicht konservativen Krften? Der Arbeitssatz in der allgemeinen Form

2 1K K W = gilt immer. Die Arbeit knnen wir schreiben als 2 1 kons nichtkonsK K W W W = = +

Fr die Arbeit der konservativen Krfte gilt 1 2konsW U U= . Der Arbeitssatz nimmt die

Form 2 1 1 2 nichtkonsK K U U W = + an oder

1 1 2 2 nichtkonsK U K U W+ = + .

VIII. Gravitationsfeld einer Kugel

Masse des infinitesimalen Ringes:

2 2

2 sin4 4 2

ds h ad ddm m m ma a

= = = .

Die durch den Ring erzeugte potentielle Ener-

gie: 'Gm dmdUr

= =

2 2

' sin2 2 cos

m m dGR Ra a

= +

Die volle potentielle Energie:

2 20

' sin2 2 cos

Gm m dUR Ra a

= = +

2 2' ( ) ( )2

Gm m R a R aRa

= +

a R a> : ' /U Gm m R= b R a< : ' /U Gm m a=

IX. Anwendungsbeispiele B1. Wie gro ist die Fluchtgeschwindigkeit fr eine Rakete, die unter einem Winkel zur Vertikale gestartet wird? Lsung:

Am Anfang: 2

1 2mvK = , 1

MmU GR

=

Am Ende: 2 0K = , 2 0U = .

Energieerhaltungssatz: 2

02

mv MmGR

= .

Daraus 2 2GMv gRR

= = - hngt vom Win-

kel nicht ab!

B2. Ein Fadenpendel wird nach links bis zur Hhe h ausgelenkt und losgelassen. In der vertika-len Position stt der Faden auf ein Hindernis. Welche maxima-le Hhe erreicht das Pendel in der rechten Position?

Lsung: Am Anfang: 1 0K = , 1U mgh= Am Ende: 2 0K = , 2 2U mgh= . Zwangskrfte bleiben unbercksichtigt. Aus dem Energieerhaltungssatz folgt 2h h= .

B3. Im Abstand h ber dem Ende einer unge-spannten Feder befindet sich eine Masse m. Sie wird ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelas-sen. Wie gro ist die maximale Zusammen-drckung der Feder? Lsung: Sowohl Gravitationskraft als auch elastische Kraft sind konservativ. Es gilt der Energieerhaltungssatz. Am Anfang: 1 0K = , 1 0U mgh= +

Am Ende: 2 0K = , 2

2 2xU mgx c= +

Energiesatz: 2

2xmgh mgx c= + . Daraus

21 1mg hcxc mg

= + +

. Sonderfall: Bei 0h =

ist 2 /x mg c= - zwei Mal grer, als bei stati-scher Belastung.

h

m

hx

v

R

Eine dnne Kugelschale mit Masse m .

1

Mechanik II /Vorlesung 9 / Prof. Popov Energieerhaltung, Impulserhaltung Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 1.2.7, 2.5

I. Schleifenfahrt (Looping) Ein Krper gleitet von einer Hhe h mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 0v = eine schiefe Ebene hinab, die in einer Kreisschleife aus-luft. Es soll diejenige Hhe bestimmt werden, fr die kein Ablsen von der Kreisbahn mit dem Radius R eintritt.

Bedingung dafr ist, da der Bahndruck im hchsten Punkt P der Kreisbahn verschwindet, d.h.

22vm mg

R= .

Eine Energiebilanz zwischen dem Anfangs-punkt und dem hchsten Punkt in der Schleife liefert:

220 22vmgh mgR m+ = +

Daraus folgt die Hhe ( )5 / 2h R= .

II. Elastischer Sto (a) Zentrischer Sto

Geschwindigkeiten vor dem Sto: 1v und 2v .

Geschwindigkeiten nach dem Sto: 1v und 2v .

In einem abgeschlossenen System bleibt Im-puls erhalten:

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v + = + . (1) Bei einem elastischen Sto bleibt Energie er-halten:

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v + = + . (2)

Diese Gleichungen knnen umgeschrieben werden:

( ) ( )1 1 1 2 2 2m v v m v v =

( ) ( )2 2 2 21 1 1 2 2 2m v v m v v = Wir teilen die zweite Gleichung durch die er-ste:

1 1 2 2v v v v + = + oder ( )1 2 1 2v v v v = (3) Betrag der relativen Geschwindigkeit ndert sich beim elastischen Sto nicht.

Aus dem linearen Gleichungssystem (1) und (3) folgt:

1 1 2 21 11 2

2 m v m vv vm m+ = ++

1 1 2 22 2

1 2

2 m v m vv vm m+ = ++

(b) Nicht zentrischer Sto (hier nur Sonderfall 1 2m m= , 2 0v = ).

Der Impulserhaltungssatz nimmt die Form

1 1 2 2m v m v+ 1 1 2 2m v m v = + an.

Energieerhaltung: 2 2

1 1 2 2m v m v+2 2

1 1 2 2m v m v = + . Bei gleichen Massen bedeutet das

1 1 2v v v = + und 2 2 2

1 1 2v v v = + . Aus der ersten Glei-chung ist ersichtlich, dass die Vektoren

1v , 1v und 2v ein Drei-eck bilden. Die zweite Gleichung ist der Py-

thagoras-Satz. Daraus folgt, dass dies ein rechtwinkliges Dreieck ist ( 90 = ): nach einem elastischen Sto fliegen die Kugeln un-ter einem rechten Winkel zu einander.

III. Energienderung beim plastischen Sto Betrachten wir noch einmal einen plastischen Sto, d.h. einen Zusammensto zweier Krper, nach dem sie sich als ein Ganzes bewegen (an einender kleben).

Die Wechselwirkungskrfte zwischen beiden Krpern, unabhngig von deren Gre und physikalischer Herkunft sind innere Krfte. Wirken am System keine weiteren Krfte, so ist das ein abgeschlossenes System. Der Im-puls des Systems bleibt deshalb erhalten. Ins-besondre gilt das fr beliebige Zeitpunkte vor und nach dem Sto: Impuls "vor": 1 1 2 2m v m v+ Impuls "nach" ( )1 2m m v+ Wenn keine ueren Krfte gewirkt haben: ( )1 1 2 2 1 2m v m v m m v+ = + ;

2

1 1 2 21 2

m v m vvm m+

=+

Wie steht es mit der Energie der Krper?

Die Energienderung ist gleich ( )

( )

( )

2 2 21 2 1 1 2 2

2 1

2

1 1 2 21 2 2 2

1 2 1 1 2 2

21 1 2 2 2 2

1 1 2 21 2

2 2 2

2 2 2

2

m m v m v m vK K K

m v m vm mm m m v m v

m v m vm v m v

m m

+ = =

++ + =

+

+=

( ) ( )( )( )

2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2

1 2

2 21 1

2

m v m v m v m v m m

m m

m v

+ + +=

+

=2 2

1 1 2 2 2 22m v m v m v+ +( ) 2 21 1m v 2 22 2m v+( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2 21 2 1 2

1 2

22 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2

2

2 2

m m v v

m m

m v m v m m v v m m v v

m m m m

+

+

+ = =

+ +

und ist immer negativ: Energie geht bei einem plastischen Sto verloren!

IV. Kinetische Energie eines Mehrkrpersy-stems

2

2mvK = ? falsch !

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme: Laborsystem (x,y) und ein System, das sich mit der Geschwindigkeit v des Schwerpunktes bewegt (Schwerpunktsystem).

Gegeben sind: Geschwindigkeiten iv im Schwerpunktsystem und Geschwindigkeit v des Schwerpunktes. Zu bestimmen ist gesamte kinetische Energie.

Geschwindigkeiten im Laborsystem sind 'i iv v v= + .

Die gesamte Kinetische Energie ist gleich ( )22'

2 2i ii i m v vm vT

+= = =

2 222 2 2i i i i im v m v v m v= + + =

2 2

2 2i i

i i im v vv m v m= + + =

0= m

2

2mv

= + 2

2i im v

z. B. Wrme

Kinetische Energie im Schwerpunkt System = innere Energie

Kinetische Energie des Schwerpunktes

0

1m 0

2m

0

5m 0

4m

0

3m

m v

1

Mechanik II /Vorlesung 10 / Prof. Popov Teilelastischer Sto, Stozahl. Krper mit vernderlicher Masse Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 2.6, 2.7. I. Elastischer und nicht elastischer Sto

0 1v v= -absolut elastischer Sto

1 0v = -absolut plastischer Sto

1 0v e v= - teilelastischer Sto e = Stozahl

Beim elastischen Sto bleibt Energie erhalten.

Ein Modell fr einen teilelastischen Sto. Ein Krper mit Masse m ist mit ei-ner Feder (Steifigkeit c) und einem Dmp-fer (Dmpfungskon-stante d) versehen.

Er stt gegen eine starre Wand mit der Ge-schwindigkeit 0v . Mit den Methoden, die sp-ter bei der Schwingungstheorie erlutert wer-den (Vorlesung 21) kann man zeigen, dass fr

2d mc> der Sto absolut plastisch ist: Der Krper springt nicht zurck. Fr 2d mc< ist der Sto teilelastisch und die Sto-zahl kann durch die Glei-chung

2exp

2 4 / 1e

mc d

=

angenhert werden (Bild oben).

Beispiel 1: Man lsst eine elastische Kugel aus einer Hhe 1h auf eine starre ebene Flche fallen. Nach dem Sto erreicht sie eine Hhe

1h . Wie gro ist die Stozahl? Lsung: Die Geschwindigkeit vor dem Sto ist gleich 1 12v gh= . Die nach dem Sto

2 22v gh= .

Die Stozahl ist gleich 2 1 2 1/ /e v v h h= = . Bei 2 1/ 0.78h h = ist 0.88e = . Nach vier St-en wird die Hhe 4 1 10.78 0.37h h= sein.

II. Teilelastischer Sto zweier Krper Beim teilelastischen Sto verringert sich der Betrag der relativen Geschwindigkeit: ( ) ( )1 2 1 2e v v v v = .

Aus dieser Gleichung zusammen mit dem Im-pulserhaltungssatz

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v + = + kann man 1v und 2v bestimmen:

( ) ( )1 1 1 2 2 11 2

1 1v m v e v m emm m

= + + +

( ) ( )2 2 2 1 1 21 2

1 1v m v e v m emm m

= + + +

III. Krper mit vernderlicher Masse a) Rakete im Weltraum

Eine Rakete stt Verbrennungsprodukte mit einer Abstogeschwindigkeit c. Die verbliebe-ne Masse der Rakete sei ( )m t . Das Massendif-ferential dm ist eine negative Gre. Deshalb ist die abgestoene Masse gleich dm . Wir gehen in ein Inertialsystem ber, das sich zum Zeitpunkt t mit der Rakete bewegt. Impulserhaltung beim Absto einer kleinen Gasmasse dm : Impuls "vor" 0= Impuls "nach" ( ) 0mdv c dm= =

/dv cdm m= ; (1) Diese nderung der Geschwindigkeit gilt na-trlich in jedem Inertialsystem, auch im "ru-henden". Integration von (1) fhrt zur

Ziolkowski-Gleichung:

0

0

0

ln lnm

m

dm m mv c c cm m m

= = =

Beispiel 2. Wie schwer muss eine Rakete min-destens sein, damit sie eine Kapsel mit der Masse m bis zur Geschwindigkeit v beschleu-

nigen kann? Antwort: /0 v cm em

= ;

Beispiel: v=Fluchtgeschwindigkeit (11,2 km/s) c=2, 3 oder 4 km/s.

11,2/ 2 270e = ; 11,2/3 40e = ; 11,2 / 4 16e = .

b) Rakete im Schwerefeld

2

Das System ist nicht abgeschlossen, der Impuls bleibt nicht erhalten. Impulssatz gilt aber fr alle Systeme, auch nicht abgeschlossene: Impuls "vor" 0= Impuls "nach" ( )mdv c dm= . nderung des Impulses ist gleich Kraft mal Zeit:

( ) ( )dp mdv c dm Fdt m dm gdt mg dt= = = + Daraus folgt

( )dmdvm mg cdt dt

= + . (2)

( )dm qdt

= ist die pro Zeiteinheit

ausgestoene Masse. Die Glei-chung (2) nimmt die Form an:

sdvm mg cq F Sdt

= + = +

sF ist Schwerekraft, S ist Schub. Angenommen, die Massennderung q ist kon-stant. Dann gilt: 0m m qt=

0

dv cq cqg gdt m m qt

= = +

0 00

log 1t cq qv gt gt c t

m qt m

= + =

Grenzfall: kleine t 0

0 0

cq m gqv gt c t tm m

= + =

Ein Start ist nur dann mglich, wenn

0cq m g> Beispiel 3. Ein Mensch (Masse m) geht vom

Bug eines (am Anfang ruhenden) Bootes (Lnge L) zum Heck ber. Wie verschiebt sich das Boot unter den folgenden An-

nahmen: (a) Es gibt keine Reibung zwischen dem Boot und Wasser, (b) Es gibt eine Wider-standskraft proportional zur Geschwindigkeit? Lsung. (a) keine Reibung. Die Lnge des Bootes ist 1 2L x x= . Verschiebung des Schwerpunktes:

1 2 0Smx Mxx

m M+

= =+

(Null nach dem Schwerpunktsatz). Aus dem Gleichungssystem folgt

2mx L

M m=

+.

(b) (Mit Widerstandskraft)

Das 2. N.G. fr den Menschen und das Boot: 1

2 2

mx NMx N x

= =

1 2 2mx Mx x+ =

oder 1 2 2mx Mx x C+ = + . Aus den Anfangsbedingungen folgt 0C = . Somit 2 1 2x mx Mx = . Am Ende des Prozesses sind 1 0x = , 2 0x = . Somit ist 2 0x = : Das Boot ist am Ende in der-selben Lage wie am Anfang!

IV. Kinetische Energie eines Mehrkrpersy-stems

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme: Laborsystem (x,y) und ein System, das sich mit der Geschwindigkeit v des Schwerpunktes bewegt (Schwerpunktsystem). Gegeben sind: Geschwindigkeiten iv im Schwerpunktsystem und Geschwindigkeit v des Schwerpunktes. Zu bestimmen ist gesamte kinetische Energie. Lsung: Geschwindigkeiten im Laborsystem sind 'i iv v v= + . Die gesamte Kinetische Energie ist gleich

( )22'2 2

i ii i m v vm vT+

= = = 2 22

2 2 2i i i i im v m v v m v= + + =

2 2

2 2i i

i i im v vv m v m= + + =

0= m

2

2mv

= + 2

2i im v

g

Kinetische Energie im Schwerpunktsystem = innere Energie Kinetische Energie des Schwerpunktes

0

1m 0

2m

0

5m 0

4m

0

3m

m v

1

Mechanik II /Vorlesung 11 / Prof. Popov Drehimpuls, Drehimpulssatz (Drallsatz). Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 1.2.6, 2.3

I. Drehimpuls (Drall) eines Massenpunktes Den Vektor L r p r mv= =

bezeichnet man als Drehimpuls des Massen-punktes. r ist dabei der Radiusvektor des Massenpunktes von einem festen Bezugs-punkt, der frei whlbar ist. Der Drehimpuls hngt somit von der Wahl des Bezugspunktes ab.

II. Der Drehimpulssatz (Drallsatz) Zeitliche Ableitung des Drehimpulses ergibt:

( )

( ) 0 .

d d dL r mv r mv r m vdt dt dt

v mv r F M

= = + =

= + = +

M ist hier Kraftmoment bezglich desselben Koordinatenursprunges. Fr die zeitliche Ab-leitung des Drehimpulses gilt somit:

L M= -

Die zeitliche Ableitung des Drehimpulses im Bezug auf einen raumfesten Punkt ist gleich dem Moment der am Massenpunkt angreifen-den Kraft bezglich desselben Punktes. (Drehimpulssatz)

III. Drehimpulserhaltung Verschwindet das Moment M , so ist 0L = oder L const= - der Drehimpuls bleibt erhal-ten. Anders als beim Impulserhaltungssatz kann der Drehimpuls auch in einem nicht abge-schlossenen System erhalten bleiben. Dafr ist es notwendig, dass das Kraftmoment ver-schwindet (nicht aber unbedingt die Kraft selbst!)

IV. Bewegung in einem Zentralfeld. Zeigt bei einer Bewegung der Kraftvektor stets zu einem Zentrum O hin, so verschwin-det das Moment bezglich O, denn in diesem Fall haben F und r stets die gleiche Rich-tung, somit gilt 0r F . Der Drehimpuls bezglich des genannten Kraftzentrums bleibt somit erhalten.

V. Ebene Bewegung. Liegt die gesamte Bahn in einer Ebene (sagen wir (x,y)) und whlen wir als Bezugspunkt einen Punkt in derselben Ebene, so hat der Drehimpuls eine einzige Komponente zL .

Index z wird in diesem Fall meistens ausgelas-sen. Fr die einzige Drallkomponente erhal-ten wir

2sinL mrv mrv mr = = =Beispiel 1. Eine Masse m, die von einem Fa-den gehalten wird, bewegt sich mit der Win-kelgeschwindigkeit 0 auf einer glatten, waa-gerechten Kreisbahn mit dem Radius 0r .

Der Faden wird durch ein Loch A in der Mitte der Kreisbahn gefhrt. a) Wie gro ist die Winkelgeschwindigkeit

1 , wenn der Faden so angezogen wird, dass sich die Masse im Abstand 1r bewegt? b) Wie ndert sich dabei die Fadenkraft?

Lsung: Die Spannkraft des Fadens zeigt stets zum Punkt A. Sie hat bezglich A kein Mo-ment. Der Drehimpuls bezglich A bleibt so-mit erhalten: Der Drehimpuls im Anfangszustand:

20 0 0L mr = .

Der Drehimpuls im Endzustand: 2

1 1 1L mr = . Aus der Drehimpulserhaltung 2 20 0 1 1mr mr =

folgt 2

01 0

1

rr

=

.

Das 2. N.G. fr eine Bewegung auf einer Kreisbahn unter der Wirkung der radialen Spannkraft S lautet:

4 342 2 20 0 0

0 0 03

r r rS m r mr m Sr r r

= = = =

.

Beispiel 2. Geschwindigkeit eines Satelliten in Anwesenheit eines kleinen Widerstandes. Auf die erdnahen Satelliten wirkt eine sehr kleine Widerstandskraft, die sich erst ber groe Zeitrume bemerkbar macht. Wie ndert sich die Geschwindigkeit eines Satelliten unter der Wirkung der Widerstandskraft? Lsung. In erster Annherung bewegt sich der Satellit auf einer Kreisbahn, deren Radius sich

2

aber sehr langsam ndert. Der Drehimpuls des Satelliten ist gleich L mrv= . Aus dem 2.N.G.

fr die Kreisbewegung folgt 2

2

v mMm Gr r= .

Indem wir aus dieser Gleichung den Radius bestimmen und in die Gleichung fr den Dreh-impuls einsetzen, erhalten wir

GMmLv

= .

Die Widerstandskraft bt auf den Satelliten ein kleines negatives Kraftmoment. Der Dreh-impuls wird daher langsam abnehmen. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit grer wird: Reibung fhrt zur "Beschleunigung" des Satelliten!

VI. Drallsatz fr ein Mehrkrpersystem

Betrachten wir ein Zweikrpersystem, dessen Krper sowohl miteinander, als auch mit Kr-pern auerhalb des Systems wechselwirken. Der gesamte Drehimpuls des Systems ist

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2L r p r p r m v r m v= + = + . Seine zeitliche Ableitung ist gleich

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2L r m v r m v r m v r m v= + + + . Nach dem 2.N.G. gilt

1 1 1 ,1extm v F F F= = + , 2 2 2 ,2extm v F F F= = + .

Fr L ergibt sich somit ( ) ( )1 ,1 1 1 1 2 ,2 2 2 2ext extL r F F v m v r F F v m v= + + + + +

oder

( ) ( )( )

1 ,1 2 ,2

1 2 1 ,1 2 ,2

ext ext

ext ext

L r F F r F F

r r F r F r F

= + + + =

= + +

Da 1 2r r und F die gleiche Richtung haben (das 3. Newtonsche Gesetz!) erhalten wir end-gltig

( ) ( )1 ,1 2 ,21 ,1 2 ,2 ,1 ,2

ext ext

ext ext ext ext ext

L r F F r F F

r F r F M M M

= + + + =

= + = + =

extL M= - Die zeitliche Ableitung des gesamten Drehim-pulses eines Mehrkrpersystems bezglich eines festen Punktes ist gleich dem resultie-renden Moment aller ueren Krfte bezg-lich desselben Punktes. (Drehimpulssatz).

VII. Drehung eines Massenpunktsystems um eine feste Achse.

Wir betrachten ein System von Massen, die alle starr mit einer Achse verbunden sind. Alle Massen fhren eine ebene Bewegung aus und bewegen sich mit der gleichen Winkelgeschwin-digkeit . Der gesamte Drehimpuls (genauer ge-sagt, seine z-Komponente) ist in diesem Fall gleich

2a i i a

iL m r = = . (1)

Die Gre 2a i ii

m r = bezeichnet man als Massentrgheitsmoment des Systems bezglich der gegebenen Achse. Leitet man (1) unter Beachtung von

a const = ab, so folgt

a aM = . Auch diese Gleichung nennt man oft Drehim-pulssatz, obwohl dies lediglich eine spezielle Form des Drehimpulssatzes ist.

Beispiel. Das in A aufgehngte Pendel besteht aus einer starren, masselosen Stan-ge, an der die Massen 1m und

2m angebracht sind. Es ist die Bewegungsglei-chung fr eine

ebene Bewegung des Pendels aufzustellen. Lsung: Das Massentrgheitsmoment des Sy-stems um den Punkt A ist gleich

( ) ( )22 21 2 1 22 4m l m l m m l = + = + . Das Kraftmoment ist

( )1 2 1 2sin 2 sin 2 sinM m gl m g l gl m m = = +Der Drehimpulssatz lautet: ( ) ( )21 2 1 24 2 sinm m l gl m m + = + .

( )( )

1 2

1 2

2sin

4g m ml m m

+

= +

1

Mechanik II /Vorlesung 12 / Prof. Popov Kinematik der ebenen Rotation. Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 3.1.3, 3.1.4 I. Starrer Krper. Einen starren Krper kann man als ein System von Massenpunkten defi-nieren, deren Abstnde unverndert bleiben. Ein starrer Krper kann im Raum drei unab-hngige Translationsbewegungen und drei Rotationen ausfhren. Somit ist jeder starre Krper ein mechanisches System mit 6 Frei-heitsgraden.

II. Ebene Rotation Besonders einfach lsst sich eine ebene Bewe-gung eines starren Krpers beschreiben, d.h. eine Bewegung, bei der sich jeder Punkt des Krpers in einer Ebene bewegt. Ist ein Punkt

(O im Bild) des starren Krpers unbeweglich, so kann der Krper nur eine Rotati-onsbewegung um

diesen Punkt ausfhren. ( )Pr sei der Radiusvektor vom unbeweglichen

Zentrum zu einem beliebigen Punkt P. Es gilt: ( )P

rr re= , wobei re ein Einheitsvektor in Richtung ( )Pr ist. Fr die Geschwindigkeit des Punktes P erhalten wir

( )Pr r= r re re r e r e + = = . Die zeitliche Ableitung des Winkels = heit Winkelgeschwindigkeit des Krpers (sie ist gleich fr alle Punkte des Krpers).

III. Zusammengesetzte Bewegung Zur Beschreibung einer beliebigen Bewegung eines starren Krpers fhren wir zwei Koordi-

natensy-steme ein: Ein "raum-festes" Sy-stem (x,y) und ein mit dem starren Krper fest verbunde-

nes System ( ),x y . Bezeichnungen: A sei ein beliebiger Referenzpunkt im Krper, P ist ein beliebiger Punkt des Krpers, r ist Radius-vektor des Punktes P im beweglichen (in den Krper "eingefrorenen") System. Pr sei der Radiusvektor desselben Punktes im raumfe-sten System, Ar sei Radiusvektor des Bezugs-punktes A im raumfesten System.

Offenbar gilt: P Ar r r= + . Die zeitliche Ableitung ergibt die Geschwin-digkeit:

P A Ar r r r r e= + = + . (1)

Ar nennt man Geschwindigkeit der Translati-onsbewegung des Krpers, = die Winkel-geschwindigkeit.

IV. Momentanpol Die den zwei Koordinatensystemen entspre-chenden Einheitsvektoren bezeichnen wir als

, , ,x y x ye e e e . Fr den Radiusvektor Pr des Punktes P bezglich des raumfesten Koordi-natensystems gilt dann

P A A x yr r r r xe ye= + = + + . In Projektionen auf Koordinatenachsen (x,y):

( )P P x A x y xA x x x y x

x r e r xe ye e

r e xe e ye e

= = + + =

+ +

( )P P y A x y yA x y y y

y r e r xe ye e

y xe e ye e

= = + + =

+ +

Daraus folgt: cos sinP Ax x x y = + sin cosP Ay y x y = + +

Die Geschwindigkeit des Punktes P erhalten wir durch Ableitung der Koordinaten nach Zeit (dabei wird bercksichtigt, dass ( )t = und Kettenregel benutzt):

( )sin cosP Ax x x y = + ( )cos sinP Ay y x y = + .

Ist 0 , so kann man immer einen Punkt M finden, dessen Geschwindigkeit Null ist:

( )sin cos 0M Ax x x y = + = ( )cos sin 0M Ay y x y = + = .

Auflsung dieses Gleichungssystems nach ( ),x y gibt die Lage von diesem Punkt in dem starr mit dem Krper verbundnen Koordina-tensystem:

( )1 sin cosM A Ax x y = ,

( )1 cos sinM A Ay x y = + .

Dieser Punkt heit Momentanpol des Krpers. Da sich Momentanpol nicht bewegt, kann sich der Krper nur um diesen Punkt drehen. Eine

2

beliebige Bewegung eines starren Krpers kann somit (auf kurzen Zeitabschnitten) als eine reine Drehung angesehen werden.

Die Lage des Momentanpols lsst sich auch geometrisch bestimmen. Aus der vektoriellen Gleichung (1): P A Ar r r e v r e = + = + folgt

fr den Momentanpol: 0M Ar v r e= + = . Daraus folgt

Aver

= :

der Vektor e ist gerichtet entgegenge-setzt zu Av .

Das bedeutet, dass der Vektor re , der immer senkrecht zu e steht, senkrecht zur Richtung von Av steht. In der Projektion auf die Rich-tung Av lautet die Gleichung (1): Av r= . Daraus /Ar v = .

Bemerkung 1. Der Momentanpol kann auch auerhalb des starren Krpers liegen.

Bemerkung 2. Der Momentanpol ist ein Punkt, der sich zum gegebenen Zeitpunkt nicht be-wegt. Die Lage des Momantanpols kann sich aber ndern. Das bedeutet, dass sich der Kr-per im nchsten Zeitpunkt um eine etwas ver-schobene Achse dreht usw. Die Gesamtheit aller momentanen Drehzentren nennt man Rastpolbahn.

V. Wie findet man den Momentanpol? 1. Sind die Richtungen der Geschwindigkeiten von zwei Punkten eines starren Krpers gegeben (Bild (a)), so liegt der Momentanpol auf dem Schnitt der Senk-rechten zu den jeweiligen Geschwindigkeiten.

2. Sind die Geschwindigkeiten von zwei Punkten parallel zu einander (Bild (b)), so liegt das Momentanzentrum auf dem Schnittpunkt der Senk-rechten zu den beiden Ge-schwindigkeiten mit der Verbindungsgeraden der Pfeilspitzen beider Geschwindigkeiten.

3. Rollt ein Krper auf einer unbeweglichen Flche ohne Gleiten, so befindet sich der Mo-mentanpol im Kontaktpunkt. (Bei reinem Rol-

len eines Rades kann man sich vorstellen, dass die starre Unterlage und das Rad miteinander verzahnt sind. Der Kontaktpunkt kann sich somit relativ zur Unterlage nicht bewegen).

Beispiel 1. Eine Leiter ist gegen eine Wand gesttzt und gert ins Rutschen. Wo liegt der Momentanpol? Lsung. Geschwindig-keiten des oberen und des unteren Endes der Leiter sind entlang der Wand bzw. dem Boden gerichtet. Der Momen-

tanpol liegt auf dem Schnitt der Senkrechten zu den Geschwindigkeiten.

Beispiel 2. Ein Stab gleitet von einer Stufe (Hhe h) ab. Wo liegt das Momentanzentrum?

Lsung. Im Punkt A gleitet der Stab ent-lang dem Boden, im Punkt C in seiner ei-genen Lngsrichtung. Offenbar ist

/ /a x x h= . Daraus folgt 2 /a x h= und

2 /y h x h= + .

Beispiel 3. An einer Achse (A) ist unbeweg-lich ein Zylinder mit dem Radius a befestigt. Um die gleiche Achse dreht sich eine Stange AB mit der Winkelgeschwin-digkeit 1 . Am

anderen Ende der Stange ist frei drehbar ein Rad mit dem Radius b angebracht, der an dem unbeweglichen Zylinder ohne Rutschen rollt. Zu bestimmen ist die Winkelgeschwindigkeit

2 des Rades. Lsung. Punkt A ist der Momentanpol der Stange. Fr die Geschwindigkeit des Punktes B ergibt sich somit ( )1 )Bv a b= + . Der Kon-taktpunkt des Rades mit dem Zylinder ist der Momentanpol des Rades. Daher 2Bv b= . Aus dem Vergleich beider Ausdrcke folgt:

( )2 1 /a b b = + .

Weitere Beispiele s. Hauger, Schnell, Gross, Technische Mechanik 3 (Beispiele 3.3, 3.4).

1

Mechanik II / Vorlesung 13 / Prof. Popov Drehung in drei Dimensionen, Drehimpulssatz, kinetische Energie und Arbeit bei einer Rotation um eine feste Achse. Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 3.1, 3.2 I. Reine Rotation eines starren Krpers Bei einer Rotation um den Winkel um die Achse verschiebt sich der Punkt senkrecht zur Ebene (Achse- Radiusvektor) um den Betrag

sin .r r = Wenn wir einen Vektor so definieren, dass er entlang der Achse gerichtet ist und den Be-trag hat, so gilt: r r = .

Fr die Geschwindigkeit rvt

= ergibt sich

v r= wobei / t = die Winkelgeschwindigkeit der Rotation des starren Krpers ist.

II. Allgemeine Bewegung Zur Beschreibung einer beliebigen Bewegung eines starren Krpers fhren wir zwei Koordi-natensysteme ein: Ein "raumfestes" System (x,y,z) und ein mit dem starren Krper fest verbundenes System ( )1 2 3, ,x x x .

Bezeichnun-gen: O ist ein beliebiger Referenz-punkt im Krper, P ist ein beliebiger Punkt des Krpers, r ist

Radiusvektor des Punktes P im beweglichen (in den Krper "eingefrorenen") System. r ist Radiusvektor desselben Punktes im raumfesten System, R ist Radiusvektor des Bezugspunktes O im raumfesten System. Bei einer zusammengesetzten Bewegung (Translation des Punktes O und Rotation um diesen Punkt): 'dr dR d r= + . Mit Bezeichnungen:

,dr vdt= ,dR V

dt= d

dt =

erhlt man: v V r= +

Whlen wir jetzt den Nullpunkt des mit dem Krper verbundenen Koordinatensystems im Punkt 'O im Abstand a von O. Den Radius-vektor des Punktes P relativ zum neuen

Bezugspunkt bezeichnen wir mit r . ''r r a = +

( '' )

''

v V r a

V a r

= + + =

= + + =

' ' '',V r= + ' ,V V a= + ' = Winkelgeschwindigkeit hngt nicht

vom Bezugssystem ab! III. Eigenschaften vom Vektorprodukt (a) a b b a = (b) ( )a b c a b a c + = + (c) ( ) ( )a b a b = (d) ( ) ( ) ( )a b c a b c c a b = = (e) ( ) ( ) ( )a b c b a c c a b = (f) 0a a = (d) ( ) 0a a b =

Vektorprodukt in Komponenten ( , ,i j k - sind Einheitsvektoren):

x y za a i a j a k= + + ,

x y zb b i b j b k= + +

( )x xA a b a b i i= = ( ) ( )x y x za b i j a b i k+ +

( ) ( )y x y ya b j i a b j j+ + ( )y za b j k+ +

( ) ( ) ( )z x z y z za b k i a b k j a b k k+ + +

( ) ( ) ( )x y y x z x x z y z z yA a b a b k a b a b j a b a b i= + +

x y z z yA a b a b=

y z x x zA a b a b=

z x y y xA a b a b=

IV. Beschleunigung bei einer Rotation um eine feste Achse Indem wir die Gleichung v r= nach Zeit ableiten, erhalten wir

( )v r r r r = + = + . Bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit:

( ) ( ) ( )( ) 2

v r r r

r r

= = =

=

Es ist leicht zu sehen, dass dieser Vektor in der gleichen Ebene liegt wie und r und immer senkrecht zur Achse gerichtet ist: (Skalarprodukt ( )( )2v r r = =

rr

0

k

i j

O O'

P

r r

a

x

y

z

R

'rP x2

2

( ) ( )2 2r r = ist Null).

Dem Betrag nach ist dieser Vektor gleich 2v = .

Beschleunigungsvektor bei einer Rotation mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ist immer senkrecht zur Achse gerichtet und ist gleich 2 , wobei der krzeste Abstand vom gegebenen Punkt zur Achse ist.

V. Gleichzeitige Rotation um zwei Achsen

(1)1dr d r = ,

(2)2dr d r =

( )1 2 1 2

1 2 1

( )dr d r d r d r a d rd a d d r

= + = + =

+ +

2 1d d d = + .

Dasselbe gilt fr die Winkelgeschwindigkeiten: 1 2 = + .

Beispiel 1. Eine Scheibe dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit

1 um eine vertikale Achse, die sich ihrer-seits mit einer Winkel-

geschwindigkeit 2 um eine vertikale Achse dreht. Zu bestimmen ist die Winkelgeschwin-digkeit der Scheibe.

Lsung: 1 2 = + . In diesem Fall 1 2 = + .

Beispiel 2: Eine Scheibe dreht sich mit einer Winkelgeschwindig-keit 1 um eine Achse, die sich ih-rerseits mit einer

Winkelgeschwindigkeit 2 um eine horizontale Achse dreht. Zu bestimmen ist die momentane Winkelgeschwindigkeit der Scheibe in der ge-zeigten Lage. Lsung:

VI. Dynamik der Rotation um eine feste Achse

Betrachten wir Rotation eines starren Krpers um eine feste Achse. Wir teilen den Krper in kleine Elemente im . Fr die Projektion des

Drehimpulses auf die Rotationsachse gilt ,extL M= . (1)

Der Drehimpuls ist gleich ( )

( ) ( )i i i i i i

i i i i i

L r m v m r r

m r r r r

= = =

Seine Projektion auf die Rotationsachse ( )( ) ( )( )

2 2 2 2cos

i i i i i

i i i i i

L Le m e r r r e r

m r r m

= = = = = =

Die Gre 2

i im = nennt man Massentrgheitsmoment bezglich der Rotationsachse.

Der Drehimpulssatz (1) nimmt somit die fol-gende Form an ,extM = oder ,extM = (Drallsatz)

wobei ,extM Kraftmoment aller ueren Krfte bezglich der Rotationsachse ist.

VII. Kinetische Energie bei einer Rotation um eine feste Achse

( ) ( )22

2 212 2 2

i ii ii i

mm vK m

= = = 2

2K =

VIII. Arbeit bei einer Rotation um eine feste Achse. An einem Punkt P eines starren Krpers mit dem Radiusvektor r greift eine Kraft F an. Bei einer Rotati-on um die gezeigte Achse um den Winkel d verschiebt sich der Angriffspunkt der Kraft um den Vektor dr d r= . Die von der Kraft F geleistete Arbeit ist

( ) ( )zyklische Umstellung

dA F dr F d r d r F = = =

oder dA d M= . 1

2

r

r

0

F

iir

1

Mechanik II / Vorlesung 14 / Prof. Popov Verschiedenes aus der Dynamik Diese Vorlesung dient im Wesentlichen einer gezielten Vorbereitung zur Klausur. Ihr Inhalt kann daher dieses Semester vllig anders sein! B1. Ein Mensch (Masse m) geht vom Bug eines

(am Anfang ruhenden) Bootes (Lnge L) zum Heck ber. Wie verschiebt sich das Boot unter den folgenden Annahmen:

(a) Es gibt keine Reibung zwischen dem Boot und Wasser, (b) Es gibt eine Widerstandskraft proportional zur Geschwindigkeit? Lsung. (a) keine Reibung. Die Lnge des Bootes ist 1 2L x x= .

Verschiebung des Schwerpunktes:

1 2 0Smx Mxx

m M+

= =+

(Null nach dem Schwerpunktsatz). Aus dem

Gleichungssystem folgt 2mx L

M m=

+.

(b) (Mit Widerstandskraft)

Das 2. N.G. fr den Menschen und das Boot: 1

2 2

mx NMx N x

= =

1 2 2mx Mx x+ =

oder 1 2 2mx Mx x C+ = + . Aus den Anfangsbedingungen folgt 0C = . Somit 2 1 2x mx Mx = . Am Ende des Prozesses sind 1 0x = , 2 0x = . Somit ist 2 0x = : Das Boot ist am Ende in der-selben Lage wie am Anfang!

B2. Drei Massen sind durch masselose starre Stbe verbunden und gleiten ein schiefe Ebene

hinab. An der Masse 3m greift eine Kraft F an. Wie gro ist die Beschleunigung des Systems? Lsung. In meisten Fllen empfiehlt sich als erstes eine Freischnittskizze zu machen und mit den

aufgetragenen Krften 2. N.G. fr jeden Krper

aufzustellen. In der y-Richtung gibt es keine Bewegung. 2.NG. fr diese Richtung entartet sich zu Gleichgewichtsbedingungen

1 1 cosN m g = , 2 2 cosN m g = , 3 3 cosN m g = Fr die Reibungskrfte ergibt sich aus dem Reibungsgesetz: 1 1 1 cosR m g = ,

2 2 2 cosR m g = , 3 3 3 cosR m g = . Bezeichnen wir die Beschleunigung der Krper in der x-Richtung durch a, so lautet das 2.NG. in dieser Richtung

1 1 1 1 1sin cosm a m g m g S = +

2 2 2 2 1 2sin cosm a m g m g S S = +

3 3 3 3 2sin cosm a m g m g S F = + Durch Addition der Gleichungen fallen alle inneren Krfte im System aus (in diesem Fall die Stabkrfte): ( ) ( )( )

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

sin

cos

m m m a m m m g

m m m g F

+ + = + +

+ + +

Diese Gleichung ist nichts anderes als der Schwerpunktsatz fr dieses System. Fr die Beschleunigung ergibt sich

( )( )

( )

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 2 3

sin cosm m m

a g gm m m

Fm m m

+ +=

+ +

++ +

B3. Ein Auto bremst so, dass die darauf von der Strae wirkende Kraft F kleiner G ist ( ist der Reibungskoeffizient, G - Gewichtskraft). Wie gro darf eine senkrecht zur Bewegung gerichtete Kraft sein, so dass das Auto noch nicht rutscht? Lsung. Die Bremskraft F und

die Kraft 1F , die das Auto vom seitlichen Rutschen abhlt, sind in Wirklichkeit zwei Komponenten der

Reibungskraft zwischen den Rdern und der Strae, deren Betrag den Wert mg nicht bersteigen darf. "An der Gernze des Rutschens" gilt somit: 2 2 2( )F F mg+ = .

Die maximale zulssige Seitenkraft erreichnet sich zu

2 2( )F mg F = (s. Bild links). Bei einer Vollbremsung

reicht bereits eine unendlich kleine Seitenkraft.

F

F

2

B4. Ein Krper bewegt sich so, dass seine Polarkoordinaten als Funktionen der Zeit sind gleich ( )31r l t= + und 3t = . Zu bestimmen ist die Beschleunigung fr = . Lsung. Zur Beschreibung der Bewegung

whlen wir eine "polare Basis" ( re , e ).

Fr der Radiusvektor des Krpers gilt rr re= . Seine Ableitung nach Zeit ergibt Geschwindigkeit: r r rr re re re r e= + = + . Beschleunigung erhalten wir durch nochmaliges Differenzieren:

( ) ( )2 2

r r

r r

r

r re re r e r e r e

re r e r e r e r e

r r e r r e

= + + + + =

+ + + =

= + +

Im unseren Spezialfall gilt ( )31r l t= + , 23r l t= , 6r l t= ,

3t = , 23 t = , 6 t = ,

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

23 2

2 2 3

3 3

3 3

6 1 3

2 3 3 1 6

2 1 33

6 1 2

r

r

r l t l t t e

l t t l t t e

t t el t

t t e

= +

+ + + =

+ + + +

fr = ist 3t = ( )1/ 3/t = . Fr Beschleunigung ergibt sich

( )( )( )

( )( )1/3 2 1 33 /

6 1 2re

r le

+ = + + +

.

Betrag der Beschleunigung ist gleich ( )

( )( ) ( )( )

2/32 2 2

2 2

3 /

2 1 3 6 1 2

r l

=

+ + + +

B5. Erklren Sie Bewegung eines Stuhles, wenn er etwas geneigt und freigelassen wird.

B6. Welches Glas ist stabiler: ein leeres oder mit Zucker?

B7. Hubble hat festgestellt, dass alle Sterne von uns fliehen, und zwar mit einer Geschwindigkeit proportional zur Entfernung. Kann man daraus schlieen, dass wir uns im Zentrum des Universums befinden? Lsung: Die Beobachtung von Hubble lautet:

Wi Wir kr= . Das gilt fr einen beliebigen Stern, z.B. auch fr A:

WA WAr kr= . Fr die Einwohner des Sternssystems A ist die Geschwindigkeit des Sterns i gleich

( )Wi WA Wi WAr r k r r = . Der Vektor in der Klammer ist aber genau der Vektor vom Stern A zum Stern i. Das bedeutet, dass die Einwohner des Sterns A sehen, dass alle Sterne von ihnen fliehen, und zwar mit einer Geschwindigkeit proportional zur Entfernung.

B8. Auf einer masselosen Stange (Lnge 2l) sind zwei Krper mit Masse m befestigt. Die Stange dreht sich nach dem Gesetz

( ) sint t = um eine Achse, die durch ihre

Mitte geht und senkrecht zur Stange gerichtet ist. Zu bestimmen ist das auf die Stange wirkende Kraftmoment. Das Kraftmoment bekommen wir aus dem Drehimpulssatz L M= . Zur Bestimmung des Drehimpulses benutzen wir seine Definition: i i iL m r v= . Der Drehimpuls ist demnach entlang der z-Achse gerichtet und betragsmig gleich

22 2L mlv ml = = , 22 zL ml e= . Aus dem Drehimpulssatz folgt

( )2 2 22 2 sinz zM L ml e ml t e = = = . B9. Zu bestimmen ist das Reflexionsgesetz beim Aufprall eines Wrfels auf eine rauhe

Wand (Reibungskoeffizient ). Freischnitt im Moment des Aufpralls: Impulssatz in der x- und y-Richtung:

x: 2

1

(2) (1) (0)2t

x x xt

mv mv Ndt mv = =

y: 2

1

(2) (1) (0)2t

y y xt

mv mv Ndt mv = =

Daraus folgt (1) (2) (0)2y y xv v v= tan tan 2 = .

x y

1

Mechanik II / Vorlesung 15 / Prof. Popov Trgheitsmomente, Dynamik ebener Bewegung Literatur: Hauger, Schnell und Gro. Technische Mechanik III, 3.2.2 I. Analogie zwischen einer eindimensionalen Translation und eindimensionalen Rotation Translation Rotation

x Koordinate Winkel x v= Geschwin-

digkeit = Winkelgeschwin-

digkeit

m Masse Trgheitsmoment

F Kraft M r F= Kraftmoment p mv= Impuls L = Drehimpuls

p F= Impulssatz L M= Drehimpulssatz

2

2mK v=

Kinetische Energie 2

2K =

Kinetische Ener-gie

mv F= das 2.N.G. M = sein Analog

dA Fdr= Arbeit dA Md= Arbeit

II. Berechnung der Trgheitsmomente Das Massentrgheitsmoment eines Krpers bezglich der z-Achse wird definiert als

( )2 2i