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Klausuraufgaben, PL 12/06, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI WB-WMT-P11–061202 / WI-WMT-P12–061202

Studiengang WirtschaftsingenieurwesenFach Mathematik / WirtschaftsmathematikArt der Leistung PrüfungsleistungKlausur-Knz. WB-WMT-P11–061202 / WI-WMT-P12–061202Datum 01.12.2006

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und gebenSie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausurwieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestan-den.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte aufjeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie-ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas-sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus demeindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs-mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs-versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :Bearbeitungszeit: 120 Minuten Formelsammlung WirtschaftsmathematikAnzahl Aufgaben: – 6 – HFH-TaschenrechnerHöchstpunktzahl: – 100 –

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut90 94,5 1,3 sehr gut85 89,5 1,7 gut80 84,5 2,0 gut75 79,5 2,3 gut70 74,5 2,7 befriedigend65 69,5 3,0 befriedigend60 64,5 3,3 befriedigend55 59,5 3,7 ausreichend50 54,5 4,0 ausreichend0 49,5 5,0 nicht ausreichend

Viel Erfolg!

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/06, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI HFH Hamburger Fern-Hochschule

WB-WMT-P11–061202 / WI-WMT-P12–061202 Seite 1/4

Bitte beachten Sie:

Die Aufgaben 1 und 2 sind nur von den Studierenden des Studienganges Wirtschaftsingenieurwesen zu be-arbeiten. Studierende des Sonderstudienganges Technik für Absolventen wirtschaftswissenschaftlicher Fach-richtungen bearbeiten bitte anstelle dieser Aufgaben die Aufgaben W1 und W2 am Ende der Aufgabenblätter.

Aufgabe 1 nur für Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen 10 Punkte

Für eine Annuitätenschuld von 80.000,00 € werden 10 Jahre lang Annuitäten von jeweils 8.000,00 € zurückge-zahlt. Für diese 10 Jahre ist ein Jahreszinssatz von 7 % vereinbart. Danach erhöht das Kreditinstitut den Zinssatzauf 8 %.

Wie hoch muss die neue Annuität sein, damit die Restschuld nach weiteren 10 Jahren (bei einem Jahreszinssatzvon dann 8 %) getilgt ist.

Aufgabe 2 nur für Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen 20 Punkte

Ein Bausparer schließt einen Bausparvertrag über 200.000,00 € ab. Bis zur Zuteilung in 8 Jahren sollen ein-schließlich anfallender Zinsen 40 % der Bausparsumme eingezahlt sein.

2.1 Welcher konstante Betrag muss vierteljährlich vorschüssig 8 Jahre lang eingezahlt werden bei ei-nem jährlichen Guthabenzinssatz von 2,5 %?

9

Hinweis:

Berechnen Sie zur Lösung dieser Teilaufgabe in einem ersten Schritt die (nachschüssige) Jahres-ersatzrate.

2.2 Nach der Zuteilung wird ein Darlehen über 120.000,00 € ausgezahlt. Die Verzinsung erfolgtjährlich zu einem nominellen Jahreszinssatz von 4,5 %. Wann ist das Darlehen getilgt bei einerjährlichen (nachschüssigen) Annuität in Höhe von 10.000,00 €?

6

2.3 Bestimmen Sie die Annuität im letzten Jahr. 5

Aufgabe 3 15 Punkte

Gegeben ist die folgende Matrix

−=

1000sincos0cossin

αααα

A .

3.1 Bestimmen Sie die zu A transponierte Matrix TA . 2

3.2 Berechnen Sie TAA ⋅ und fassen Sie die erhaltenen Terme soweit wie möglich zusammen. 11

3.3 Was können Sie aus dem Ergebnis von Teilaufgabe 3.2 über die inverse Matrix 1−A sagen? 2



Aufgabe 4 20 Punkte

Zwei Treibräder mit den Radien cm40=R und cm25=r sollen durch einen straff gespannten Treibriemen ver-bunden werden (s. Bild). Der Abstand ihrer Mittelpunkte A bzw. B beträgt cmd 100= . Für die Bestimmung derLänge des Treibriemens sind der Abstand CD und der Winkel ϕ wichtige Kenngrößen.

Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Kenntnisse zu trigonometrischen Funktionen den Abstand CD und die Größe desWinkels ϕ .

Hinweis:

Bestimmen Sie zuerst den Winkel ϕ und anschließend den Abstand CD .

Aufgabe 5 20 Punkte

Lösen Sie die Differentialgleichung

149 2 −+=+′′ xxyy .

SB

D

r

R

C

A d



Aufgabe 6 15 Punkte

Der Flächeninhalt des unten skizzierten Dreiecks wird für gegebene Werte von b, c und α nach der Formel

αα sin5,0),,(DD ⋅⋅⋅== cbcbAA

berechnet.

Im konkreten Fall seien die Seiten cm5=b , cm8=c und der Winkel °= 30α gegeben.

C

A B

b a

cα β

γ

6.1 Berechnen Sie die exakte Änderung DA∆ der Fläche DA , wenn b, c und α wie folgt verändertwerden:

%2+=∆b , %3−=∆c , °−=∆ 1α .

6

6.2 Die Änderung DA∆ der Fläche DA kann näherungsweise in Abhängigkeit der Einzeländerungenbb d=∆ , cc d=∆ und αα d=∆ über das totale Differential bestimmt werden.

Ermitteln Sie für die gegebenen Zahlenwert den Näherungswert Dd AAD ∆≈ der Flächenände-rung mit Hilfe des totalen Differentials.

9

Hinweis:

Rechnen Sie für diesen Aufgabenteil Grad in Bogenmaß um (wird nur für die Änderung α∆ be-nötigt).



Bitte beachten Sie:

Die Aufgaben W1 und W2 sind ausschließlich nur von den Studierenden des Sonderstudienganges Technikfür Absolventen wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen zu bearbeiten.

Aufgabe W1 nur für Sonderstudiengang Technik 15 Punkte

Bestimmen Sie von der Funktion

)ee(3)( 23

2xx

xfy−−

−⋅== mit R=D

die Nullstellen und Extremwerte.

Aufgabe W2 nur für Sonderstudiengang Technik 15 Punkte

2.1 Bestimmen Sie eine Stammfunktion von

xxxf2sin1

cos)(+

= .

8

2.2 Welcher Flächeninhalt wird vom Graphen der Funktion )(xf und der positiven x-Achse im In-tervall [ ]01,0 x eingeschlossen? 01x bezeichne die erste Nullstelle von )(xf auf der positivenx-Achse.

7

Hinweis:

Bestimmen Sie zunächst die Nullstelle 01x von )(xf .

Korrekturrichtlinie, PL 12/06, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI WB-WMT-P11–061202 / WI-WMT-P12–061202

Korrekturrichtlinie zur PrüfungsleistungMathematik / Wirtschaftsmathematik am 02.12.2006

WirtschaftsingenieurwesenWB-WMT-P11 – 061202 / WI-WMT-P12 – 061202

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summari-sche Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nichtgestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung aufdie einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö-sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einemfalschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohneweiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende

Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste)ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Notevon bis einschl.95 100 1,0 sehr gut90 94,5 1,3 sehr gut85 89,5 1,7 gut80 84,5 2,0 gut75 79,5 2,3 gut70 74,5 2,7 befriedigend65 69,5 3,0 befriedigend60 64,5 3,3 befriedigend55 59,5 3,7 ausreichend50 54,5 4,0 ausreichend0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

20. Dezember 2006

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Terminist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung ab-zeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (040/35094-311bzw. [email protected]).

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/06, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI HFH Hamburger Fern-Hochschule


Lösung 1 vgl. SB 3, Kap. 2.3 10 Punkte

Restschuld nach Zahlung der j-ten Annuität (Formelsammlung 10.2):

11

−−⋅−⋅=

qqAqSSj

jj . 1

Mit 00,000.80=S € , 07,1100

1 =+= pq , 00,000.8=A € und 10=j ergibt sich 2

€52,840.4607,0

107,100,000.807,100,000.8010

1010 =−⋅−⋅=S . 2

Annuität für gegebene Schuld und Laufzeit (Formelsammlung 10.2):

11

−

−⋅⋅=n

n

qqqSA . 1

Mit 52,840.46=S € , 08,1100

1 =+= pq und 10=n ergibt sich 2

62,6980108,1

08,008,152,840.4610

10 =−

⋅⋅=A €. 2

Lösung 2 vgl. SB 2, Kap. 2.2 und SB 3, Kap. 1.1 / 2.3 20 Punkte

2.1 40 % von 200.000,00 € sind 80.000,00 €, dies ist der Rentenendwert. 1Berechnung der Jahresersatzrate (nachschüssige Rate) nach Formelsammlung 9.1:

11

−−⋅=

qqrRn

n mit Err = . 1

Einsetzen von 00,000.80=nR € , 025,1100

1 =+= pq und 8=n ergibt 1

025,01025,100,000.80

8E

−⋅= r . 1

Umstellen der Gleichung liefert

39,157.91025,1025,000,000.80

8E =−⋅=r €. 2

Umrechnung in eine vierteljährliche vorschüssige Rate (Formelsammlung 9.4) mit 4=m und

025,0100

== pi :

1

13,254.2)14(

2025,04

39,157.9

)1(2

E =+⋅+

=+⋅+

=mim

rr €.

2



2.2 Tilgungsdauer nach Formelsammlung 10.2:

qTAn

logloglog 1−

= , 1T Tilgung im ersten Jahr 1

Zinsen von %5,4=p im ersten Jahr der Tilgung bezogen auf Darlehensumme von00,000.120=S €:

00,400.5045,000,000.1201001 =⋅=⋅= pSZ €. 2

Tilgung im ersten Jahr bei einer Annuität von 00,000.10=A €:

00,600.400,400.500,000.1011 =−=−= ZAT €. 2Damit folgt für die Tilgungsdauer

64,17045,1log

00,600.4log00,000.10log =−=n . 1

Es müssen 17 Jahre lang die volle Annuität gezahlt werden und im 18. Jahr ein Rest.

2.3Annuität im letzten Jahr (Anwendung der Formeln aus 10.2) mit 17* =n und 045,0

100== pq : 1

15,188.6045,0

1045,100,000.10045,100,000.1201

1 1717

**

=−⋅−⋅=−

−⋅−⋅=qqAqSTn

nr € 2

47,278045,015,188.6)1( =⋅=−⋅= qTZ rr € 162,466.647,27815,188.6 =+=+= rrr ZTA € 1

Lösung 3 vgl. SB 6, Kap. 1 und SB 8, Kap. 1.5 15 Punkte

3.1

−=

1000sincos0cossin

αααα

A

−=

1000sincos0cossin

T αααα

A 2

3.2 Anwendung des FALKschen Schemas der Matrixmultiplikation:

1001000cossincossincossin0sincos0cossincossincossin0cossin1000sincos0cossin

22

22

αααααααααααααααα

αααα

+−−+−

−

9

(je 1 Punkt pro richtig berechnetem Element von TAA ⋅ im FALKschen Schema)



Mit 1cossin 22 =+ αα und Zusammenfassen folgt 1

EAA =

=

−⋅

−=⋅

100010001

1000sincos0cossin

1000sincos0cossin

T αααα

αααα

. 1

3.3 Aus EAA =⋅ T (Einheitsmatrix) folgt T1 AA =− ( TA ist die inverse Matrix). 2

Lösung 4 vgl. SB 8, Kap. 1 20 Punkte

1. Bestimmung des Winkels ϕ :

Sei x die Länge der Strecke SB . Anwendung des Sinussatzes (Formelsammlung 16.9) auf die rechtwink-ligen Dreiecke ∆ BDS und ∆ ACS liefert:

∆ BDS: xx

r 25sin ==ϕ (I) 2

∆ ACS: xxd

R+

=+

=100

40sinϕ (II) 2

Gleichsetzung von (I) und (II) liefert:

xx25

10040 =

+. 1

Auflösen nach x ergibt:

cm.67,16615

2500250015

25250040)100(2540

==

=+=

+=

x

xxxxx

3

SB

D

r

R

C

A d



Damit ist

15,010015

152500

25sin ====xrϕ und °== 627,815,0arcsinϕ .

2

Hinweis:

Die gleichen Lösungen für x und ϕ erhält man alternativ, wenn in (I) oder (II) nach x aufgelöst wird undder Ausdruck dann in (II) bzw. (I) eingesetzt wird. Die Punkte sind dann entsprechend zu vergeben.

2. Bestimmung des Abstandes CD :

Aus der Skizze folgt:

DSCSCD −= . 1

Die Streckenlängen DS=y und CS=z bestimmen sich durch Anwendung des Cosinussatzes (Formel-sammlung 16.9) auf die rechtwinkligen Dreiecke ∆ BDS und ∆ ACS:

∆ BDS: xy=ϕcos 2

67,166627,8cos y= ⇒ cm78,164627,8cos67,166 =⋅=y 2

∆ ACS: x

z+

=100

cosϕ 2

67,26667,166100627,8cos zz =

+= ⇒ cm65,263627,8cos67,266 =⋅=z 2

Damit ist

cm87,9878,16465,263DSCSCD =−=−=−= yz . 1

Lösung 5 vgl. SB 8, Kap. 7.3 20 Punkte

1. Schritt: Bestimmung der Lösung hy der homogenen Dgl 09 =+′′ yy

Ansatz kxy e= und Lösung der charakteristischen Gleichung 1

092 =+k . 1

92,1 −±=k 1

Da für die Diskriminante 0<D gilt, gibt es zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen i31 =k undi32 −=k . 1

Der Ansatz für die Lösungsgesamtheit der homogene Dgl lautet (Formelsammlung 21.3, Fall 0<D ):

)sincos( 21δ xAxAey x ωω += − . 1



Mit 021 ==aδ und 39

2

21

0 ==

−=a

aω folgt 2

xAxAy 3sin3cos 21h += . 1

2. Schritt: Bestimmung einer speziellen Lösung py

Störfunktion 14)( 2 ++= xxxh ist Polynom 2. Grades, daher Ansatz

012

2p BxBxBy ++= . 2

12p 2 BxBy +=′ 1

2p 2By =′′ 1

Einsetzen in die Ausgangs-Dgl 149 2 −+=+′′ xxyy :

14)(92 201

222 −+=+++ xxBxBxBB 1

142999 2201

22 −+=+++ xxBBxBxB 1

Koeffizientenvergleich liefert folgendes Gleichungssystem:

1294919

20

1

2

−=+==

BBBB

1

Daraus erhält man die Lösung

91

2 =B

94

1 =B 3

8111

0 −=B .

Somit ist 8111

94

91 2 −+= xxy p . 1

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist somit

8111

94

913sin3cos 2

21 −+++= xxxAxAy , mit R∈21, AA . 1

Lösung 6 SB 9, Kap. 1.3.3 15 Punkte

6.1 Ausgangsfläche:22

D cm10cm30sin855,0 =°⋅⋅⋅=A 1

Fläche mit den Änderungen %2+=∆b , %3−=∆c , °−=∆ 1α :



neue Werte:

cm1,51,05%2~=+=+= bb 1

cm76,724,08%3~ =−=−= cc 1°=°−°=°−= 291301~ αα 1

22Dneu cm593,9cm29sin76,71,55,0 =°⋅⋅⋅=A 1

Exakte Flächenänderung:222

DDneuD cm407,0cm10cm593,9 −=−=−=∆ AAA (die Fläche wird kleiner). 1

6.2 totales Differential (nach Formelsammlung 18.5):

αα

dddd∂∂+

∂∂+

∂∂= Ac

cAb

bAA 1

Umrechnung Grad in Bogenmaß:

18036021 π=π=° 1

Bildung der partiellen Ableitungen:

αsin5,0 ⋅⋅=∂∂ cbA

1

αsin5,0 ⋅⋅=∂∂ bcA

1

αα

cos5,0 ⋅⋅⋅=∂∂ cbA

1

Mit den Änderungen cm1,0d ==∆ bb , cm24,0d −==∆ cc und 180

1d π−=°−==∆ αα (siehe

Teilaufgabe 6.1) folgt:

2cm2,0cm1,0)30sincm85,0(d)sin5,0(d =⋅°⋅⋅=⋅⋅=∂∂ bcbbA α 1

2cm3,0cm)24,0()30sincm55,0(d)sin5,0(d −=−⋅°⋅⋅=⋅⋅=∂∂ cbccA α 1

2cm0,302180

)30coscm8cm55,0(d)cos5,0(d −=

π−⋅°⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

∂∂ αααα

cbA1

Somit ergibt sich als Näherungswert der Flächenänderung über das totale Differential:

22 cm402,0cm)302,03,02,0(dddd −=−−=∂∂+

∂∂+

∂∂= α

αAc

cAb

bAA . 1

Hinweis:

Alternativ kann diese Aufgabe auch durch Anwendung des linearen („Fehler“)-Fortpflanzungsgesetzes (Formelsammlung 22.3) gelöst werden – Bestimmung der absolutenMessabweichung DA∆ . Die Punkte sind dann entsprechen zu vergeben.



Lösung W1 SB 5, Kap. 3.5 15 Punkte

Nullstellen:

)ee(3 23

2xx

y−−

−⋅=

)ee(30 23

2xx −−

−⋅= 1

23

2 eexx −−

= 1

23

2xx −=−

1

0=x 1

Extrema:

Bilden der 1. und 2. Ableitung (Beachtung der Kettenregel):

+−=′

−−23

2 e23e

213

xx

y 2

−=′′

−−23

2 e49e

413

xx

y 2

Notwendige Bedingung für Extremwerte ist 0=′y .

0e23e

213 2

32 =

+−

−− xx

⇒ 23

2 e3exx −−

= 1

=

−−23

2 e3lnelnxx

1

233ln

2xx −=−

1

3ln=x 1

Hinreichende Bedingung für Extremwerte ist 0=′y und 0≠′′y .

0866,0)433,01443,0(3271

49

31

4133

493

413

e49e

413)3(ln

23

21

3ln233ln

21

<−=−=

⋅−⋅=

⋅−⋅=

−=′′

−−

−−

y

3

Bei 3ln=x liegt ein lokales Maximum vor.



Lösung W2 SB 7, Kap. 2.4 / 4.1.1 15 Punkte

2.1 Stammfunktion:

Cxx

xxF ++

= ∫ dsin1

cos)(2 1

Substitution xz sin= 1

xxz cos

dd = ⇒

xzx

cosdd = 2

Somit ist

).arctan(sinarctand1

1cos

dz1cosd

sin1cos

2

22

xzzz

xzxx

xx

==+

=

⋅+

=+

∫

∫∫3

Eine Stammfunktion (für )0=C ist )arctan(sin)( xxF = . 12.2 Flächenberechnung:

Bestimmung der ersten Nullstelle 01x :

0sin1

cos2

=+ x

x D∈≠+ xx allefür0)sin1( 21

0cos =x 1

2π=x 1

Fläche nach Formelsammlung 20.5:

∫

π

=2

0

d)( xxfA , gilt wegen 0)( ≥xf für

π∈

2,0x 1

)0arctan(sin)2

arctan(sin)arctan(sindsin1

cos 20

2

02

−π==+

=π

∫

π

xxx

xA 2

785,00arctan1arctan =−= FE 1

Hinweis:

Bei der Berechnung der arctan-Werte in der letzten Zeile ist für die Argumente Bogenmaß zuverwenden.

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