Klausurbesprechung

Referent: Dipl.-Kfm. René Herrmann Raum 221 Tel.: 03834/86 - 2456 Fax: 03834/86 - 2475 Email: rene.herrmann@uni-greifswald.de

Aufgabe 1

Eine Berufungskommission besteht aus 8 Mitgliedern. Fünf Kandidaten stehen zur Auswahl. In einem ersten Schritt hat jedes Kommissionsmitglied die Kandidaten in eine Reihenfolge (bester Kandidat: 1, schlechter: 5) gebracht. Nun soll der für die ganze Gruppe beste Kandidat mit Hilfe von Abstimmungs-regeln ermittelt werden.

Aufgabe 1

Kandidat 1 Kandidat 2 Kandidat 3 Kandidat 4 Kandidat 5

Mitglied 1 1 2 3 4 5

Mitglied 2 5 2 1 4 3

Mitglied 3 1 2 4 3 5

Mitglied 4 1 2 5 4 3

Mitglied 5 2 5 3 4 1

Mitglied 6 2 1 4 5 3

Mitglied 7 3 5 1 2 4

Mitglied 8 1 4 3 2 5

Aufgabe 1

Welcher Kandidat ist „der Beste“, falls folgende

Abstimmungsregeln angewendet werden (Rechen- und

Entscheidungsgang muss erkenntlich sein)

a) Regel der einfachen Mehrheit

b) Regel der absoluten Mehrheit

c) Borda-Regel

Hinweis: Falls Sie aus den Daten keine eindeutige Aussage

treffen können, so beschreiben Sie weitere notwendigen Schritte,

um zu einem eindeutigen Abstimmungsergebnis zu kommen.

Lösung Aufgabe 1

a) Regel der einfachen Mehrheit:

Die einfache Mehrheit ist dann erreicht wenn ein Kandidat mehr Stimmen der Stimmberechtigten auf sich vereinigen kann als ein der anderer Kandidat.Single-Vote-Kriterium (Laux, S. 423 f)

Hier: Pro vergebenem 1. Platz gibt es einen Punkt.

Reihenfolge: Kandidat 1 vor Kandidat 3 vor Kandidaten 2 und 5 vor Kandidat 4

Lösung Aufgabe 1b) Regel der absoluten Mehrheit:

Die absolute Mehrheit ist dann erreicht wenn ein Kandidat mehr als 50% der Stimmen der Stimmberechtigten auf sich vereinigen kann.

Die absolute Mehrheit würde aus 5 oder mehr Stimmen

bei 8 Stimmberechtigten bestehen. Dies erreicht aber

keiner der Kandidaten. Dementsprechend muss nun

eine andere Art der Lösung gefunden werden.

Möglichkeiten: Hare-Regel, Würfeln, Losen, etc.

Lösung Aufgabe 1b) Hare-Regel:

Jedes Mitglied votiert mit einer Stimme. Der

Kandidat mit der absoluten Mehrheit erhält den

Zuschlag. Gibt es keine absolute Mehrheit wird

der Kandidat mit der geringsten Stimmenanzahl

eliminiert. Die Entscheidung ist dann getroffen,

wenn erstmals ein Kandidat die absolute

Mehrheit erhält. (Vgl. Laux S.425 f)

Lösung Aufgabe 1c) Borda-Regel:Jedes Mitglied gibt seine Präferenzordnung ab. Die beste Bewertung erhält dann die höchste Punktzahl und die zweit beste die zweit höchste usw.Die schlechteste Alternative erhält einen Punkt.Daraus folgt, dass der Kandidat mit der insgesamthöchsten Punktzahl den Zuschlag erhält.Die Borda-Regel nimmt damit auch Rücksicht auf die Präferenzordnung der einzelnen Stimmberechtigten.

Lösung Aufgabe 1

c) Borda-Regel:

Kandidat 1: 5 + 1 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 5 = 32

Kandidat 2: 4 + 4 + 4 + 4 + 1 + 5 + 1 + 2 = 25

Kandidat 3: 3 + 5 + 2 + 1 + 3 + 2 + 5 + 3 = 24

Kandidat 4: 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 + 5 + 5 = 22

Kandidat 5: 1 + 3 + 1 + 3 + 5 + 1 + 2 + 1 = 17

Kandidat 1 ist die beste Alternative!

Aufgabe 2Gegeben ist folgende Ergebnismatrix (erwartete Gewinne) für fünf

Alternativen und vier Umweltzustände:

a) Eliminieren Sie die (alle) dominierte Alternative(n)

b) Ermitteln Sie die zu präferierende Alternative bei Anwendung der µ-Regel

c) Stellen Sie die Vorgehensweise bei Verwendung der µ-σ-Regel dar und berechnen Sie die entsprechenden Werte

d) Welche Regeln kennen Sie, wenn keine Wahrscheinlichkeiten bekannt sind? (Nennung, nicht Diskussion!)

Aufgabe 2

p=0,1 p=0,3 p=0,1 p=0,5

S1 S2 S3 S4

A1 200 300 400 500

A2 500 400 200 200

A3 300 300 300 300

A4 200 300 400 400

A5 700 400 100 200

Lösung Aufgabe 2a) Eliminieren Sie die (alle) dominierte Alternative(n)

Eine Alternative dominiert dann eine andere, wenn sie

im Vergleich zu dieser zweiten Alternative in keinem

Zustand ein schlechteres Ergebnis, jedoch in

mindestens einem Zustand ein besseres Ergebnis

bietet. (Vgl. Laux, S. 105)

Für die Aufgabe gilt: Suche die Alternative, die dominiert wird und eliminiere Sie!

Lösung Aufgabe 2p=0,1 p=0,3 p=0,1 p=0,5

S1 S2 S3 S4

A1 200 300 400 500

A2 500 400 200 200

A3 300 300 300 300

A4 200 300 400 400

A5 700 400 100 200

Alternative A 4 wird von A1 dominiert und eliminiert !

A1 = A4 A1 = A4 A1 = A4 A1 > A4

Lösung Aufgabe 2

p=0,1 p=0,3 p=0,1 p=0,5

S1 S2 S3 S4

A1 200 300 400 500

A2 500 400 200 200

A3 300 300 300 300

A5 700 400 100 200

Lösung Aufgabe 2b) Ermitteln Sie die zu präferierende Alternative bei

Anwendung der µ-Regel

n

µ-Regel: Σ p(Si) * Aj (Vgl. Laux S.146f)i,j=1

µ1 = 0,1 * 200 + 0,3 * 300 + 0,1 * 400 + 0,5 * 500 = 400µ2 = 0,1 * 500 + 0,3 * 400 + 0,1 * 200 + 0,5 * 200 = 290µ3 = 0,1 * 300 + 0,3 * 300 + 0,1 * 300 + 0,5 * 300 = 300µ5 = 0,1 * 700 + 0,3 * 400 + 0,1 * 100 + 0,5 * 200 = 300

Lösung Aufgabe 2

c) Stellen Sie die Vorgehensweise bei Verwendung der µ-σ-Regel dar und berechnen Sie die entsprechen-den Werte

n 0,5

µ-σ-Regel: Φ(µ, σ)= Σ pj * (µ - eij)2

i,j=1

(Vgl. Laux, S. 155 ff)

Lösung Aufgabe 2 2 2

Φ(µ1, σ1)= [0,1 * (400 – 200) + 0,3 * (400 – 300) 2 2 0,5

+ 0,1 * (400 – 400) + 0,5 * (400 – 500) ]

Φ(µ1, σ1)= 109,54 2 2

Φ(µ2, σ2)= [0,1 * (290 – 500) + 0,3 * (290 – 400) 2 2 0,5

+ 0,1 * (290 – 200) + 0,5 * (290 – 200) ]

Φ(µ2, σ2)= 113,58

Lösung Aufgabe 2 2 2

Φ(µ3, σ3)= [0,1 * (300 – 300) + 0,3 * (300 – 300) 2 2 0,5

+ 0,1 * (300 – 300) + 0,5 * (300 – 300) ]

Φ(µ3, σ3)= 0 2 2

Φ(µ5, σ5)= [0,1 * (300 – 700) + 0,3 * (300 – 400) 2 2 0,5

+ 0,1 * (300 – 100) + 0,5 * (300 – 200) ]

Φ(µ5, σ5)= 167,33

Lösung Aufgabe 2d) Welche Regeln kennen Sie, wenn keine

Wahrscheinlichkeiten bekannt sind? (Nennung,

nicht Diskussion!)

Maximin (Minimax-)-Regel (Vgl. Laux, S.107 f) Maximax-Regel (Vgl. Laux, S. 108 f) Hurwicz-Prinzip (Vgl. Laux, S. 110 ff) Laplace-Regel (Vgl. Laux, S.115 ff) Niehans-Savage-Regel (Vgl. Laux, S. 112 ff)

Aufgabe 3

Definieren Sie die folgenden Begriffe, die Sie als

Axiome des Bernoulli-Prinzips kennen gelernt

haben:

a) Ordinales Prinzip

b) Stetigkeitsprinzip

c) Substitutionsprinzip

Lösung Aufgabe 3a) Ordinales Prinzip (Vgl. Laux, S. 172)

- Vollständigkeit: Der Entscheidungsträger kann

sämtliche Ergebnisse in eine Rangordnung bringen.

Im paarweisen Vergleich gilt stets: ej < ek oder ej > ek oder ej ~ ek

- Transitivität: Die Präferenzordnung des Entscheidungsträgers über die Ergebnisse ist transitiv. Somit gilt: ej > ek und ek > ei ej > ei

Lösung Aufgabe 3b) Stetigkeitsprinzip: (Vgl. Laux, S. 172 f)

- Existenz einer Indifferenzwahrscheinlichkeit w*, bei

welcher der Entscheidungsträger zwischen den beiden

Randergebnissen eo und e+, mit eo<e<e+ genauso gut

schätzt wie das sichere Ergebnis e.

[eo, w*, e+] ~ e

- Bestimmung der Indifferenzwahrscheinlichkeit w*: Der

Entscheidungsträger ist in der Lage, w* zu benennen.

Lösung Aufgabe 3

- Argumentation: Wenn w sehr nahe bei 1 liegt, wird der

Entscheidungsträger logischerweise die Lotterie vor-

ziehen. Wenn nun w sukzessive reduziert wird (gegen

Null), wird sich irgendwann der Übergang von der

Höherschätzung zur Gleichschätzung vollziehen und

sich bei weiter fallendem w in eine Geringschätzung

umkehren. Gleichschätzung ist bei w* erreicht.

- Das Stetigkeitsprinzip besagt jedoch nicht, dass die auf

der Basis der Indifferenzwahrscheinlichkeiten ermittelte

Nutzenfunktion stetig verläuft.

Lösung Aufgabe 3c) Substitutionsprinzip: (Vgl. Laux, S. 173)- Wird in der Wahrscheinlichkeitsverteilung ein Ergebnis

e durch die äquivalente Lotterie [eo, w*, e+] ersetzt, so ergibt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die der ursprünglichen Verteilung gleichwertig ist. - Beispiel: Der Entscheidungsträger sei indifferent zwischen dem sicheren Ergebnis von 2.000 und der Lotterie, bei der mit 25%iger Wahrscheinlichkeit ein Gewinn von 10.000 und mit 75%iger Wahrscheinlich- keit ein Verlust von 1.000 entsteht.

Lösung Aufgabe 31/4 10.000

1/4 2.000

1/2 3.000

1/4 10.000 1/4 10.000 1/4

1/2 3.000 3/4 -1.000

¼ ¼ ½

S1 S2 S3

A1 10.000 2.000 3.000

Lösung Aufgabe 3Hierbei liegt folgende Überlegung zugrunde. Ist der

Entscheider zwischen einem Ergebnis e und einer

Lotterie indifferent, erzielt er weder einen Vorteil noch

einen Nachteil, wenn er dieses Ergebnis gegen die

Lotterie tauscht. Der Entscheider muss sich nicht erst

dann zum Tausch entschließen, wenn das Ergebnis e

tatsächlich eingetreten ist. Er kann schon vorher die be-

dingte Entscheidung treffen, den Tausch vorzunehmen,

falls das Ergebnis e tatsächlich eintritt. Auch in diesem

Fall entsteht für ihn weder ein Nachteil noch ein Vorteil.

Aufgabe 4

Was versteht man unter dem St. Petersburg-

Spiel? Welche Bedeutung hat es für die

Entwicklung der Nutzentheorie?

(Vgl. Laux, S. 154 f)

Lösung Aufgabe 4Antwort: Eine Münze wird so lange geworfen, biserstmalig „Zahl“ erscheint. Der Spieler erhält eine Auszahlung, die abhängig davon ist, bei welchem Wurf dies der Fall ist: Die Auszahlung beträgt 2n wobei n misst, bei welchem Wurf „Zahl“ geworfen wird.

Die Frage die sich bei diesem Spiel stellt, ist die nach der Zahlungsbereitschaft des Spielers für eine Teilnahme.

Für eine Antwort muss man sich hierbei den Erwartungswert ansehen.

Lösung Aufgabe 4…

K ½ Z 16

½

K ½ Z 8

½

K ½ Z 4

½

½ Z 2

21 * 1 1

2+ 22 * + 23 * + 24 *1 2

21 3

21 4

2+ … = ∞

Lösung Aufgabe 4Schlussfolgerung:

Aus dieser Abbildung ergibt sich, dass jeder Spieler

bereit wäre sein ganzes Vermögen einzusetzen, um am

Spiel teilnehmen zu können. Dies stellt jedoch einen

Widerspruch zur Realität da und zeigt dabei, dass es

Probleme gibt an hand der μ-Regel allgemeine

Verhaltensnormen aufzuzeigen. Die μ-Regel hat für die

Beschreibung und Erklärung der tatsächlichen Ent-

scheidung von Individuen, aufgrund der hier gezeigten

Beobachtungen, nur eine geringe Bedeutung.