Knabner • Angermann Numerik partieller Differentialgleichungen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Peter Knabner • Lutz Angermann

Numerik partieller Differentialgleichungen

Eine anwendungsorientierte Einführung

Springer

Professor Dr. Peter Knabner Friedrich -Alexander-Universitat Erlangen-N iirnberg Institut fUr Angewandte Mathematik MartensstraJ3e 3 91058 Erlangen, Deutschland e-mail: knabner@am.uni-erlangen.de

Professor Dr. Lutz Angermann Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg Institut fUr Analysis und Numerik Universitiitsplatz 2 39106 Magdeburg, Deutschland e-mail: lutz.angermann@mathematik.uni-magdeburg.de

Mathematics Subitct Classification (2000); 65N, 65N30, 65M60, 65Fl 0, 65H 1 0, 76S05

Oie Dfcutsdle Bibliotllek - CIP-Einheitsaufnahme

Kn~bne" Ptrt.: Numnik partieUn DifferentiaJgleiehungen: eine .n~ndungsorientierte Einfnhrungl Peter Kn. bner; Lull Angerm.nn.· Btrlin; Heide1berg; New York; Sarcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Singapu'; Tokio: Sp.in~r, 2000 (Sprin~r-Lebrb\l(h)

ISBN 978-3-540-6623 1-0

Dit~. Wuk iSI urht~rreclltlich gesdliiul. Oie dadurch begrO.ndeten Rechit, i .... ~sonde •• die de. Obe.Sdzung. des Nad>drudu, dtl VO.t"'gl, dor Enlnallmt von Abbildungen und Ta~Uen, der Funk_ sendung, der Mikroverr.tmung odor der Vervielflltigung au! andeun Wtgen und der S~id>erung in Oatenve""beitungsanla~n, bleiben, aud> bei nut aUlzugs~iRr Verwertung. ro.behalten_ Eine Ver­vielflltisung die .. s Werkel oder von Tei1.n diese5 Werkes iSI auch im Einzc!faU nut in den G.enzen der geselZlicll.n Btltimmungen des U.heberreclltsgesetzes der BundesRpublik Deulsdll.nd vom 9. Sep­tember 1965 in der j....,i1s gc!tenden Fauung zullssig.Sie iSI grundsllzlich vergOtungspflichtig. Zuwi­derhandhmgen unlerliegen den Slratbellimmuo~n des U.heberrechu,gesetzel.

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ISBN 978-3-540-66231-0 ISBN 978-3-642-57181-7 (eBook)DOI 10.1007/978-3-642-57181-7

Vorwort

Dieses Buch entstand aus Vorlesungen, die wir an den Universitäten Erlangen­Nürnberg und Magdeburg gehalten haben. Wir standen dabei oft vor dem Problem einer heterogenen Hörerschaft aus Studierenden der Mathematik und der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Dies bedeutete neben einer unterschiedlichen Erwartungshaltung hinsichtlich mathematischer Stringenz und außermathematischer Anwendbarkeit, auch die Tatsache, weder generell Beispielmaterial in Form von Differentialgleichungsmodellen noch Kenntnis­se aus der (modernen) Theorie partieller Differentialgleichungen voraussetzen zu können. Um dieser Grundsituation zu begegnen, haben wir einen praxisre­levanten Ausschnitt an Modellen und Verfahren (dessen Erweiterung gewiss wünschenswert wäre) gewählt und versucht, das ganze Spektrum von der Theorie bis zur Implementierung zu beleuchten, ohne über das Grundstudium hinausgehende Kenntnisse vorauszusetzen. Viele der für Nicht-Mathematiker schwierigen theoretischen Hürden sind sehr "induktiv" angegangen worden. Generell benutzen wir einen erklärenden "erzählerischen" Stil, ohne dadurch (wie wir hoffen) Abstriche an der mathematischen Präzision zu machen. Wir haben den Untertitel des Buches gewählt in der Hoffnung, gerade die Studierenden der Mathematik auch mit den Informationen zu versehen, die zum Verständnis und der Durchführung von Finite-Element-/Volumen­Programmierung notwendig sind. Für Studierende der Natur- und Ingenieur­wissenschaften bietet der Text über die oft schon vorhandenen Kenntnis­se der Anwendung von Verfahren im engeren Fachgebiet hinaus eher eine Einführung in die mathematischen "Grundlagen, die einen Transfer der Kennt­nisse auf andere Fachgebiete erleichtern sollte. Wir möchten uns für die wertvolle Hilfe bedanken, die wir während des Schrei­bens dieses Buches erhalten haben: Die Herren Dr. M. Bause, Dipl.-Math. S. Bitterlich, Dr. Ch. Eck, Dipl.-Math. A. Prechtel, Dipl.-Math.techn. J. Rang und Dipl.-Phys. E. Schneid haben Teile des Textes Korrektur gelesen und wichtige Verbesserungsvorschläge geliefert. Von den anonymen Gutachtern haben wir nützliche Kommentare erhalten. An erster Stelle sind aber Frau Magdalena Ihle und Herr Dipl.-Math. Gerhard Summ zu nennen. Frau Ihle hat mit unermüdlichem Einsatz große Teile des Textes schnell und präzise in 'lEX umgesetzt. Herr Summ hat nicht nur die Skript-Urfassung bearbeitet und ihr eine 'lEX-Form gegeben, bei ihm liefen auch alle Fäden des vielschich-

VI Vorwort

tigen und verteilten Umarbeitungs- und Erweiterungsprozesses zusammen, ohne dass er jemals den Überblick verloren hat. Die Beseitigung vieler Inkon­sistenzen ist ihm zu verdanken. Darüber hinaus hat er Teile der Abschnitte 3.4 und 3.8 durch seine hervorragende Diplomarbeit [63] mitbeeinflusst. Bei Herrn Dr. eh. Tapp bedanken wir uns für die Bereitstellung der Titelgraphik und weiterer Graphiken aus seiner Dissertation [64]. Hinweise auf (Druck-) Fehler und Verbesserungsvorschläge sind selbstver­ständlich weiterhin willkommen. Dem Springer-Verlag danken wir für die konstruktive Zusammenarbeit. Nicht zuletzt wollen wir schließlich unseren Familien unsere Dankbarkeit aus­drücken für das Verständnis und die Nachsicht mit uns, die nicht nur, aber gerade in den letzten Monaten notwendig waren.

Erlangen und Magdeburg, im Februar 2000

Peter Knabner Lutz Angermann

Vorwort VII

Hinweise für den Leser und zur Benutzung in Lehrveranstaltungen

Der dargebotene Text übersteigt den Umfang einer vierstündigen einsemest­rigen Lehrveranstaltung. Für eine solche Veranstaltung ist eine Auswahl nötig, die sich auch am Hörerkreis orientieren sollte. Wir empfehlen folgende "Schnitte": Kapitel 0 ist entbehrlich, wenn die behandelten Differentialgleichungen ander­weitig geläufig sind. Abschnitt 0.4 sollte aber wegen der dort versammelten Sprechweisen konsultiert werden. Analoges gilt für Kap. 1, eventuell muss dann Abschn. 1.4 in Kap. 3 nachgeholt werden, wenn der Abschn. 3.9 behan­delt werden soll. Die Kapitel 2 und 3 bilden den Kern des Buches. Die für einige theoreti­sche Aspekte gewählte induktive Darstellungsmethode kann für Studieren­de der Mathematik eventuell verkürzt werden. Je nach persönlichem Ge­schmack des Dozenten bzw. Vorkenntnissen der Hörer in Numerischer Ma­thematik kann auf Abschn. 2.5 verzichtet werden, was die Behandlung der ILU-Vorkonditionierung in Abschn. 5.3 erschweren könnte. Bei den Abschnit­ten 2.1-2.3 ist zu beachten, dass sie die Behandlung des Modellproblems mit grundlegenden abstrakten Aussagen vermischen. Soll also auf die Behandlung des Modellproblems verzichtet werden, müssen diese Aussagen aus dem Text herausgenommen und in Kap. 3 integriert werden. Bei dieser Vorgehensweise könnte leicht Abschn. 2.4 mit Abschn. 3.5 kombiniert werden. Bei Kap. 3 besteht der theoretische Kern aus den Abschnitten 3.1, 3.2.1, 3.3-3.4. Kapitel 4 hat übersichtsartigen Charakter und stellt zusammen mit den Ka­piteln 8 und 9 Vertiefungen des klassischen Stoffes dar. In dem umfangreichen Kap. 5 ist eine Schwerpunktsetzung möglich, bis hin zu einer Reduktion auf die Abschnitte 5.2, 5.3 (und 5.4), um zumindest ein praxistaugliches modernes iteratives Verfahren darzustellen. In Kap. 7 gehören Abschn. 7.1 und der erste Teil von Abschn. 7.2 zum Grund­wissen der Numerischen Mathematik und können je nach Hörerschaft entfal­len. Die Anhänge dienen nur der Konsultation und sollen notwendige Ergänzun­gen zu den Grundvorlesungen der Analysis und Linearen Algebra bzw. der Höheren Mathematik für Ingenieure geben. Sollte die Vorlesung stattdessen zweisemestrig angelegt sein, so empfehlen wir Ergänzungen um einen der Themenbereiche:

• die Finite-Element-Methode in der Strukturmechanik, • Finite-Differenzen-Verfahren für hyperbolische Erhaltungssätze in einer

Raumdimension, • die Finite-Element-Methode für laminare Strömungen (Navier-Stokes-Glei­

chungen)

Als entsprechende Lehrbücher seien beispielhaft [5J bzw. [21J bzw. [12] ge­nannt.

VIII Vorwort

Hinweise zur Notation

Kursivdruck hebt die Definition von Sprechweisen hervor, auch wenn dies nicht als nummerierte Definition erfolgt. Vektoren treten mit verschiedener Bedeutung auf: Neben den "kurzen" Ortsvektoren x E ]Rd gibt es "lange" Darstellungsvektoren u E ]RM, die im Allgemeinen die Freiheitsgrade einer Finite-Element (oder -Volumen)­Approximation oder die Gitterpunktswerte einer Finite-Differenzen-Approxi­mation darstellen. Hier wird Fettdruck gewählt, auch zur Unterscheidung von den oft gleich bezeichneten erzeugten Funktionen oder Gitterfunktionen. Abweichungen stellen Kap. 0 dar, in dem auch vektorielle Größen aus ]Rd

fettgedruckt werden, und Kap. 5 und 7, in denen die Unbekannte des linearen oder nichtlinearen Gleichungssystemes, das dort allgemein behandelt wird, mit x E ]Rm bezeichnet wird. Auf Komponenten von Vektoren wird durch einen unteren Index zugegriffen, was bei indizierten Vektoren zu Doppelindizes führt. Folgen von Vektoren werden oben (in Klammern) indiziert, nur im abstrakten Kontext erfolgt die Indizierung auch unten.

Inhaltsverzeichnis

o. Zum Beispiel: Differentialgleichungsmodelle für Prozesse in porösen Medien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.1 Transport- und Reaktionsprozesse in porösen Medien. . . . . . . 1 0.2 Fluidtransport in porösen Medien ........................ 3 0.3 Reaktiver Lösungstransport in porösen Medien. . . . . . . . . . . . . 7 0.4 Randwert- und Anfangs-Randwert-Aufgaben.. . . . . . . . . . . . .. 10

Übungen .............................................. 14

1. Zu Beginn: Die Finite-Differenzen-Methode idr die Poisson-Gleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 1.1 Das Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung ........... 17 1.2 Die Finite-Differenzen-Methode .......................... 18 1.3 Verallgemeinerung und Grenzen

der Finite-Differenzen-Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27 1.4 Maximumprinzipien und Stabilität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31

Übungen .............................................. 38

2. Die Finite-Element-Methode am Beispiel der Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39 2.1 Variationsformulierung für das Modellproblem ............. 39 2.2 Die Finite-Element-Methode am Beispiel der linearen Elemente 47 2.3 Stabilität und Konvergenz der Finite-Element-Methode ..... 60 2.4 Die Implementierung der Finite-Element-Methode - 1. Teil.. 65 2.5 Lösen dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme

mit direkten Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73 Übungen .............................................. 82

3. Die Finite-Element-Methode idr lineare elliptische Randwertaufgaben 2. Ordnung 85 3.1 Variationsgleichungen und Sobolevräume . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85 3.2 Elliptische Randwertaufgaben 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . .. 92 3.3 Elementtypen und affin-äquivalente Triangulierungen ....... 104 3.4 Konvergenzordnungsabschätzungen ....................... 121 3.5 Die Implementierung der Finite-Element-Methode - 2. Teil .. 136

X Inhaltsverzeichnis

3.6 Konvergenzordnungsaussagen bei Quadratur und Interpolation ......................... 143

3.7 Die Kondition von Finite-Element-Matrizen ................ 151 3.8 Allgemeine Gebiete und isoparametrische Elemente ......... 154 3.9 Das Maximumprinzip für Finite-Element-Methoden ......... 159

Übungen .............................................. 164

4. Gittergenerierung und a posteriori-Fehlerabschätzungen .. 169 4.1 Gittergenerierung ....................................... 169 4.2 A posteriori-Fehlerabschätzungen und Gitteradaption ....... 176

Übungen .............................................. 187

5. Iterationsverfahren ftir lineare Gleichungssysteme ........ 191 5.1 Linear stationäre Iterationsverfahren ...................... 193 5.2 Gradientenverfahren und

Methode der konjugierten Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.3 Vorkonditionierte CG-Verfahren .......................... 220 5.4 Krylov-U nterraum-Methoden

für nichtsymmetrische Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.5 Mehrgitterverfahren .................................... 231 q.6 Geschachtelte Iterationen ................................ 244

Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6. Die Finite-Element-Methode ftir parabolische Anfangs-Randwert-Aufgaben ............ 249 6.1 Problembeschreibung und Lösungsbegriff .................. 249 6.2 Semidiskretisierung mittels vertikaler Linienmethode ........ 253 6.3 Volldiskrete Schemata ................................... 257 6.4 Stabilität .............................................. 261

Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

7. Iterationsverfahren ftir nicht lineare Gleichungssysteme ... 269 7.1 Fixpunktiteration ...................................... 271 7.2 Das Newtonverfahren und Varianten ...................... 275 7.3 Semilineare Randwertaufgaben

für elliptische und parabolische Gleichungen ............... 286 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

8. Die Finite-Volumen-Methode ............................. 295 8.1 Die Grundidee der Finite-Volumen-Methode ............... 296 8.2 Die Finite-Volumen-Methode für lineare elliptische

Differentialgleichungen 2. Ordnung auf Dreiecksgittern ...... 301 Übungen .............................................. 317

Inhaltsverzeichnis XI

9. Diskretisierungsverfahren flir konvektionsdominierte Probleme ...................... 319 9.1 Die Stromliniendiffusionsmethode ......................... 323 9.2 Finite-Volumen-Methoden ............................... 330 9.3 Lagrange-Galerkin-Verfahren ............................ 333

Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

A. Anhänge .................................................. 337 A.l Bezeichnungen ......................................... 337 A.2 Einige Grundbegriffe der Analysis ........................ 340 A.3 Einige Grundbegriffe der linearen Algebra ................. 341 A.4 Einige Definitionen und Schlussweisen

der linearen Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 A.5 Funktionenräume ....................................... 351

Literaturverzeichnis .......................................... 355

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359