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Das

Königliche Victoria-Gymnasium zu Potsdam

spricht dem

Königlich(Zn Joachlmsthalschen Gymnasium zu Berlinzu seiner

am 214. Rugust 1907

die

rzh h n lü - und n ün ehe

aus.

·

Eine konforme Abbildung als zweidimensionale Logarithmentafelzur

Re hnunq m t komplexen Zahlenvon

renn k

--4� H .. 1=i ��--

Fes s hrift des Königlichen Victoria-Gymnasiumszur

300jährigen Jubelfeierdes

önlgll hen Joach ms halschen Gymnasiums zu Berlln.

Potsdam, 1907

KrImtrSChc BuchdNthrtJ (P I u I B r I n d t) .

...

EInlei ung

Diq nc'C'lmung mit komploxon Zahl.'n il't, auch \\""1111 .t.·r lIoi"ro'8f'h" �at.z nn;..........

woudot wir.l , ,d"11I1ic'h um .. t"in.l1i. h und ,witraut..,,,.1. Ho rrfo ... lort z. U. ,li"

dir,IU" Iult ipliku! ion ZWt,j'lr kom l'I,'x,'n Z"hl"11 I � .:inz.-l ... ·c lanlln�.....n (,lnrullt.('r I�ugtl­rlthmus- o.}nr • 'um,'ruM-Auf",c Ial,.;....,IIlW· .. �, .Ii., ,Iin-�tc' Divi .. ion :H (II�, .Ii" QtH,.lri.,­rung 10 0), ,)ie, }{uhic'nlllg lli (i, •• Ii., VC'I"\\·nn.l1ung in .Ii., Form (! (UM 'I' + i t-in f[)12 7), ,li,- Iultipliknt ion ()Clt'r Uh'j",inn mit. Iltllf., .Ii(uwr t'mrormullg �1) (ltJ), cli�

lutnll1.inrun:,.t und Hllclix,«'r,mg h"i glUl1.7.Illali;... -n .:XPHIIC'ut4'n IU (10) tI ..w.

Jm l·'olg",,,lcm t4ull "in V.·rf.. l .....-n IlII� -;..... ·lH'n ""''''''''11, .Ii" H,,'danung für �olc Ja..

·'ü.11" , in donon J",hll� nlhm gI"t,c., (h'nQui�".'it .'rfonl.'rli.·1a i,..t, \·i.·lm.-hr .Ii., Zu,·.'r-

11lHHigkni .ln", J·:r;...rc'lmi"'M"M auf e twa .Irc·i U.,atimalt4t4-U«'11 ,..""uUgt, w'·f4('ntli. Ja xu ,·c'r­

oi n fu,c·lwll.)in hnigc\A"'},PIIH 'r"f.·l Mull tuhuHf''' .li., .lin·Lt_, Auf,..uc laun,s: .1.·" Ig (x + y i), .1. h.

,1nH d"lu\(liK<,1ac'n J ,ng,u'ithmuM .·in.'r Iwmplpxt'l, Zahl, un.l .I'·M Xunwnltl zu C'inrm Lum­

})ltlx"n J.,og,u·ithmuM rrml\�IiC'l...n, tU) .1.tß R1I., Multil'li�RtiUllI'n, ))i\ i .. iun.·n, Pot('llzi.,·

rUllgc'll und Wur7..,I,ul"7.i«·IHlllwon in ühnlid. l,i .. fadwr \\·.,i80 "'in .,.,i ....... ·UC·11 Zalalc-n

ILtlHg"fUhrt w«'r(hm könn.on. U,U' ')'-"R.)if4C I,,, �r"h-11l i,..t "'''''wal.lt, "."i) (114 .1t'llluollH'n

'cH't"il hiat"t wie, t,.,j r,-,�I"11 Z"h1"n.

nil' '1'n.f,,1 l'4"oUt ,.j,,,. "UUrunlw Ahl.ilclnng ,Iar. .:M i,..t. I.,tmli. Ja .Iure It «li., .'1II1�­

t,ioll � JA' v. pUllkl"'c.'i",' "in«' ZlIur.lnun� xw'·...r ZIlI.lt· ... ·[,.·uc·u .)t'nart "rfuJh"" ,lllU

(Ul' jod,'u Punkt ,l.'r JI!. Eh,',..,. ,I.-r "i.,,-m ,......'" i"""n ftlr .. 11" .',,11«.' RtI"re,ic·lwn.l"1l H.,­,·"i(·"" llug"lhlh·t t cl.',- "lItt4l'r,·daC'lI.J.' \\·.-'1 «)c-r Z - .:h,ollC' w·fun.I"11 ".,,,,,I.-n �aUlI.

1l".1.1I , .. ,,.�n m.Ul ... '"Ia .Ii., (!.i.-r .. i('lal .I"r�'",t.·llt.,) a- .:1 .. · Iu"" Ja l'"rall.·I., xu

')011 }{oOl·,1iull.tc\lUu·h ....• .. in (l .. ".lratfl \'ut) .Ipr S"it.·nläuw' I .,in;.. ·t.·ilt, .Iaum "lIt"pri. lal

,licIH,Ir J)oppnlH(·lan.• - \'«)fI U .'rn.l.tu in. I.'r Ja i.·r .I"rg" ..h-llt"n Z - 1-:1."11(\ "i IIC' llopl",1 "rIall r

von ('iIllLllclHr 1'(odll\\'ill"lig .1urrla"rc'lIz.'n.I.'n I{un"'''' U" .Ii .."" Ruf KCH)""linal""I'ßl'i"r�('7."h·IIlH't. Hie"l, "C) iMt. ('14 In.\,_;lif'h. fur j.,.I.'n \\·,'rt .1.·" x. .I,·r IUl ,I.'n ("c la\\'arJtC'1I �],urvnll tu i t, JI nU" ,I.'r ",'la wnrat"11 Znlalc'n nhJ:c·I"""11 \\ i""l, ,!t'1I xug••hurigc'l1 \\."rt .1.·"

Z Ig I mit )JUlf" ,h'r l",ll.'r«'" 1�()cU"llin:ltc.'l1 lUll1 Znhlr" x', fil1·IC'·,

LItteratur.

SC'it .l.'r Erfin.lullg .] ..� ]og-lu'it lrmisclu-n It.�('hC'n ...('hi(,h.'rM durch Gun t (' r 10:!tl ",iu.l

lI.un,'ntlid, in ')"r 7.w(·it.'u Halfro .1.· ... ],'I1:t€'11 JllhrlHln.h,rt� maunigfu,'lat' M"tllc�l,'n" ...1'1( ht "unl.ou. H",rhnt1n�"t'n, F.UI11IU ",,]eh,' h.·i t4o('hni"C'h"n AufgltLc'll, .li" ... ich immer

wi",l.or),olc,u, nuf ;...--raphi"{'h,'1U \\."gt� zu ••rl.,.ligc·n.Eint' Ltlrz� (�l.(·rt-idlt, di.' Ilic'ht Ruf Yulh.tiinJjg-�(·it An"prudl (·rlwht und m.·hr

Huc "",it lat Ruf rvin m'lt "Nnßt i"" I .., H,oluwJlllng als Ruf t.c"'hni",<,h,, AUW'OIHiull;,:_c'n nimmt,m,,� lai.·r fol�on.

AI" «inor .1,·r crston Io:'nh Mi.hiuK 'I I�U ('in«' lf(ltlao,l., zur MnltiJlJil\l\tion und

U"·i,,i.m mit Hulf« von Pnrul ...JIl, "'t·ih'r boiucl zu 1lC'I1I11'n CauMil1t'r�':� und La l an n« '�.1-:. Ht u m m 4 � '" hrieb I SCl� utu'r .)ica ;,....,·n ph i ",d I'" Jtt�( hnung mit �Rmwn 11\1 ioualou PU]�'­UUIIWIl, 11 .•:��"rK 6, gRh 1�4':;, Eng. _läg.'rfl) rsor, (hr�uillC\t und h:utt«'r':� Ikon

M ..thodon fl1r J..'Tlll'hi ....('11" H4·rhnull;......-n RIl. Ui,� ;....,.8p1&i,,('1.., �t.atik ,,·ur.l., von C. enl­

UlAn fit ".-it I".U r." .,ill.·r .-i;.:(o.uo" \\·i""'''('Ilt-C hilft 8u"'g.·11Ilut. B(,ilrUg«' lic·f.·.1c· ,trum lS7�M. J •• '\'� 'It. IS77 �llh ehr. A. \·o;:lt·r lC't .·is ... ",Alll,·itllUg F.lllll 1-:lIt".,,'f.oll �T"Jlhi",('lH'r"llf.·IIl" mit \·i.ol.'n Figtlrt·lltaf.·ln IwrauK.

Unt(�r cl ..., ."flltlatoWtl, ,li,· "uf .li.·",om (h·hi.ott' t-iC'h lH.\Nuu.l.·rtil luotlHigtc'n, h.t KU�'rII Ma"8llu "�, .I.'r I�SI nltc'r ;....,.nphiM"h«' Int.c.·;....,... tion sC'hrit·b, f.or'll'r J.KlI.'mflu.l n�,

.� (",..·11.,. Jotlnutl I"U, nIl. 2'.!. S. ��), .·utlnt.loC'

I, ('..I('ul rllr I .. Irllit .".,.l

-, Atm"J.·" " 1'0,,1 t C'h:atl" ....�c... 1"'4:1 uni! 40: )I.�moirtt Oh"r gr.rhi",r1lt� T .. ft·lu

•• U4·ntla ('.I 1.·1 U l •• 1 .. "'1&''1''. 1",.ml ...rdCl )I,IAn" 1"44.4: �ul ('.al('ull) gr.lf}('Q .·t ..

·t O"JU.I .. t1J..� r "'''1"AI,I .. ,,( h"n Aritllln."��, �d,"mu,u�.'n 1"«1:'•.

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't 7.-.· •• ,.C"hnft cI.·", .... t4·rt't'.C h ..... 1."n J,,�''''''u... \lud Ar('hi'A·�\(.ta'·c'r•• in... .,c1U, 1·.� 1:\, Blatt n

11, 1 )a •• Jt1"I'I,I .... , h., t',,,, ... I... ?tlr•• h I "'C�4, \·oll.tAu.ll� 041

., IA �'.a"'"luc' Or""lai'I\I.. I'ctri... "7"." A .. lc... hlt1� ''Im }: ..I" ,·rf.on "'''''r lai",('I ...r T"fe,ln n.orlän 1'77.11 � Aunll)'·. ,I.· •• A " ..u('ill'�Ull .1.·", Itlg.� .. i"\1r" "'••.., .. '" cot<, 1 "''''...

", Z. n : CtUl1Jl'''''' I'ftuclu. I""'" Ut,"r "Ilh.'lu.,. Ilt'�..... tlaull."

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ltene de SauIlure ") und 1'. Poulain It), besonders Maurice ,1'Ocal-tlle IS) zu UNmNl,

ont.'r den Deutschen n. Mehmke I'). Dei beiden ftndf'n sirh auch znJ.1n,idl" liUrra­

eisehe NachwpiHe. I"etztflrer führte di., MethOtI" der "lognrilhmiMclu'll Bil.l.\rlio ein,behandelte auch mehr Probleme rein mathpmatit.cher Natur, wie .lift Io:n'phhwJan Autlo­

lung numeriscber Gleichungen,'

auch mit zwei Unbekannten, 14t,.l1to Tar.,l .. nur von

"AdJitioD!,logarithmen" zur Rechnung mit komplexen Zablen und veröfrNltlic·ht., wolal

al,lJ entter bei Oelflgftnheit eioftr AU.H8tellung mathemati8('hor M(.Hlello UHW. HUt I ellm

"graphis<,he Talflll1) zur Rechnung mit komplexen Zahl ..n", die .I.·r vorli"grnel..,a ve-r­

mutlieh Ihnlich gewesen ist, abf'r anscheinend nicht v .. rviolrciltigt wurde.Dei derselben Oelrg'ftnhftit It.. lltA J. K 1 .. i b e r .') "lloJ.-Ue zur lIultipläLntinu

mit veränderlichen komplexen Faktorftn'" aua. f:rwihllt ".,i .,in.., von Torr.' .. 11') l'r­

fundene MaHrhine zur JA;'lUng algebrahtdwr nt.�id1Un�f'n 1,.'li.,l,i�'-n Um.lt-24 u. zw.

2um AuCSnclen auch der imaginären Wurseln.

Form der Kurven.Cber die Form d..,r gf'znichnf'ten Kurven gilt nun Folgnrul.,,,: Hntzt man

Z = X + Y i = 19 z = Ig (x + 1 i), Im i24t

l()X+Y' = X + Y i = 1(}"C-. eYl1a'" = 1()X [cos (Y In 10) + iMin (Y In 1 ),a180 x = 10-'( cos In 10)

y = tOS sln In 1 ).Für konMtante Werte von x oder y stellen ,lieso Olftic11ung.-.1 ,li., g.-zoidHletcn

Karvm d� X Y-Ebene dar.Retzt man X = XI - a, MO wird x , 10- = U)X' ("01 (Y In 10), d, h. di ... Kurvf'n,

die det' Parallel,mlrnar x == C'onst. f'ntllprfOchen, Min.l einafutur kongru",lt un.l g.,hendoreb VeMichiebung parallel zur •

- (·laMe in einancler über. as l!t,i(·h.., gilt. rUr .1,,,

orthogonale Schar"

ßrins..rt man die zweite Olei('hung in die Form

y = IOX ('08 (i - Y In 10),ao erkellflt man, daß di• .Kw-Yeo heider 8du�ren auch kOllgrut-nt ...in.l.

.., L'Yu••c1ftfltiRllue 1"'D4, 2. ..,m" p. 7 "!J.

U) COtIImM, 2f), 6. 1 ,..{)ö., p. 800.

I') Nomographie, Pari. 1fi01;(.,mer In: Rnue «t\n'rale deM .dfmC.,. 9. an .. 'e 1tJOij (bAupt ..arblirb litt.,rWrh.�r Cb••rbhdo;(.,mer: TraltJ de Nomographie. Pari. 1�OO, u.w .

•., Clvilingfloieur 1AAO, Bd, M;t"mer: Z.itatchrilt tUr M"themat.ik und Phy .. ik 1'400, Dd. M, 8. 11';temer: Ebenda lkOG, Dd. 40, 8. 15;("rner: 1!henda 1�OO, BIl. .a, 8. M.

11) D"lIIprochen io: W. 1>,)'k, Nachtrag .um KAtalog mat.h.,matJ"eh.,r und mathnmati......b • .,by.,h.li.cb." Modelle UltW. MUnehen l!iU3, 8. 21, .ad. (V.rlt. hior 8. 0),

Ut) Ebenda, JlauptkataloK S. 8'J!j.

Ie) B".prochen "on M. d'Oca�e In: O'ni. clvU 1�OO, Dd. 2.'4, 8. 110.

4

Diese TatMAc I... l'nnoglic htn ett, Jio Z"idllluilg mit einem l'inligon Kurveuliueulh ...nu<4h,IIN1.·)

H.·i ,.,-rroc..m �"l'rhm .lt·" " uäh.'rt "ich rtlr .li., rinn Hrhnr "In 10 .INn rrt

bgeb Ide e Be e h

10'1 • xJ + yJtg "In 10)

X hingt al ..o nur von .1 ...n RhfiW.lutc'n H.·tn,�.·,•

nur von .1.'r ,hw.,ic·hung cln.,� rgumf'otlt ab. If"'" llt.,i.llllJlg •• n "iulI I ...malxl w.,nl.'n, um rUr oinon uuv'·I·ahl.).·.'tt'll""t'rt VOll X - lOt)) all., \V,.rlo von. uni} "Zli l,.'r"dannn, ,li" v4,r,.d,i."I.'Il.,1l,'"erton von y zugrhürt·n, 4). h, "inn j,'u.·r Kurvon 1.U kon .. truierou,

J.t�Qr. - const, l'rgiLt rnttorn Uf'irlaung x' + y' - con"t., .1. h, in ,1,'r x· Jt:bf'no

".nf'n Kr,.i" UlU ,),'n •

•

ullpunkt, fllr•

durch Jen ·ullpunkt.DOIU.uu:h wi ... 1 ein K�i .. rillg d.,r x.Jo:IJtJ'u' um tlnn ·ulJplln1..t al,. )(itt4,lp"nk

auf ein n""hteck dor ?"..}:lwUfl .. l)g,�Lihl.·t.Um Iür jndo ZaJal don tl.,ka.littrl ...... J,ogaritlanua,. zu fin.I ••n , ,,·Ur.t.., ",. gnntlg'lI1,

flinrn KrciJ4ri ..g' (l.-r z-Jo:I..-ne, cl.,,,....., Jk'J:T.·llxun�L.n·i ..fl .Ii .. 1l4"lä"n lun tu .. l I(JOU (inwi1lkQrlirh�m .laCdalH') L.."itxrn, ..h7.uhiJ.lrn Jo·Ur all" ni. Itt. in .lt-In Lil1hPf' Nlthal­teuon ZAhl .. n fin.ltlt fllllU ,1.", 1�)Jtnrithmn .. c.lurdl • (ultiptaL.ntinu oJ.'r Uä\'i"iofl rni

otOIlZ"U von 1 • So i ..t x. U. l;,t (.1 + r.c. i I + 19 (,)t) + (JC ) i) 041.'r

Ig (1:Ul + H� i) :! + Ig 7.U + H:! i).Z,bt�r" Ar,.,rumftnt "' • ...-ln g.·hörNt drrn HingL"rri.·Ia., RI1. ,\ uw ,li.,,,,,,.. UruruJ., iflt. (INUJrkaJiHdu'h "(Ir JNU nnUlrlid'Nl LogaritlaruuM .I.'r ·"Bug gflg'"I.wn ,,·onl,'n •

•"t,nlf'r rrwi.,tC "ir" .. I.. R,u,r•• i('lafln,l, .Iin Taf.·1 Ruf .Ii., J,ogantluuf\n nll ..r Znhl""t.!.,,. ,,",ten ua.Jrant,·n,'1. h. "lJ.,r Znhlvn tl.·r Funn 11 + h i .. un.1 b J»u"itiv �u

Lt"sdlrÜnJum. Di., 7...aJ.1f'n .I.,r auulrn-n tlr.·i qua.lrllUlon Lrnu('larn nur \·orh ..r I\uf ,)it}ll'U

•• Z. T a... d'�"rn Uru ••tl.. ,....u.....I.·r ;\ ..... "..1Il1t «lurch ci." ••...... &I ..n Z I". d.·r \"u""� vur

d.,r illvr,....,... 10% ,,:,'g"',rn "ur.I.·.. 11.·. ,l ...�rr I.:ua.·" !'c I,,,r,·......" t" .." ...., Krr'"'' ",,,I,••I14I"r U",."lrll Itr_r" .....'l "rr.lr.. hIU",'n. "ca... "an an JAu� " 1 tJ, ...rr",l,lun" J( ••n"u

nt,...r,·it",hmmrnll.,_ KOU'1111tAtrnl'AI"I" vu",u.� ...�t�l "jlu... .:. ..,.;;tt·n ... cola .hrr t,.,l RII •• "

kauft.cb .." l'AII,,,'"'' "rh.."'.rt." "uM durt'h cl.·.. "·.I".ln8(1" y"runtAf"J.t" t"'lt,,",C""l.,.I •• , ,I.r 1,..1d ..,u a".'r .,.,,, .. tJlt•• ,, n,,,t.,,,,rtt 1',11. ,,"h, .,.,tng.... I),..... ........ , ..", r••�.,lm"n.1C WAr \Illtl dn..

Kun ..nllll.,.1 d ..r \" .."... ....,.I.",I.".l d.,. I.&u"... "nd qu,'rman...t,.b. ""'lmOt ".urd" , IIU "ci",·d,.t.,u d."." I....., b.c.ltLtt

11. Qua.laount: a+L i C b + a i]II I. " 11 b (a + h i)1\'. " a b �h + a i)

•

10 (7' • t k • ,) I••,Du. nUll i=o lI'·2k •• oder

19 i = (":/ + :1 k :r i ) Jg p

ist, HO kunu mnn rUr ,li" Lognrithmen ,).-r nh;.....-trvunten Faktoren "''-Ull •• ,. nicht

boquomor hct, di,'"n währen.l der IU;""1lrilhmi�rlwn U.·, hnuug (orl.r.ul" .......,11 un-l Une Iatra;:Jic Ja

�u�uf(1g(\n o.lor mit 0('111 LUlljugi,'rtN' \\'ert ..., XII r.-c'1a.U'n ,..·tr4'lI:

Jg i O,G.'t..! JU i; Je. 2,;:!S ro

Jg ( 1 ) I ,:IH.a:� i -t �

19 ( i) 2,()·jO r..-l i -J"

er ahg.,LiI.l"tp U,'r.,ic·1a d.·r z-EI'«'II4' i,.t .1.'mI18"'1. ('In \'iprt�l-I��i�rin,.:, .I.-r IUI�'r

von c]"f I)oHit iv roollen und imngilulrc'n Ac .. �(\ "UII z,,-.·i J�n-i� ...n mit d-u Hn..li.,u lOt)

und 1000 b('�rNuet wirel. UflUl l'nt"l'ncht in ...·r Z-Eltflu.' riu U4'C Jal.·. � mit .1.· .. �"'·g.·n­

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)"Htllit v.n ge,l,.'11 Walr.

Benutzung de ale1m r.u (,irwr �nmpl('xC'n Zulal ,I.'n Logarithmu. 1tal 6n,I.-n, lu".t.o.l num ZUlul, h�t,

wio vot'h(w atl�.\g(·h"'l, PutC'U1.l'" "un i UIl.1 10 "h, Li" ,It·r Ol.ngl.lt·ilt"II,I.. Jo'a"tur .Ii.,

4�()rm u. t- b i nnuimmt u.lt) .lt'm "1,�,Lil,,,,t4'l' ·it,rt •• lring an;.....·laurt. t..t·tzt.,f'1'" t rit l

"in, WNUl 100 c � ."t 1 t,2 c 10eJU i .. t. Hin.l .Inun RU"') b gAIIZ" ,h..,z. ,Iurt'h r; ((-H-

hUloll) 1.ILlall'll, He) HUelit muu ch,,, Hc lanittl'lIIl�t ,!tor mit a l"',e·i. hll.'''''' au("'t.·i;.. ",I,·n uu,1

d(lr mit h i l)(1�wi,·Ia .... t ... , 8L"t.·i�.-a)cl.·n I�ur\'eon IUl( unel li.·"t an ,Ie'n 1a.·Ut'r "" Je.·idll ...h'"

{oolo.Hamit'tl ..lt·1I Lug." itlunUfl\\ e'rt ab. I.i.,�t .I ..'r \\·c'rt .. ie ht BUr .. i1uom J�Ur\'t'II"'( lanitt-

puukt, ....0 IUUß "im- .lu1'Iwl1,.(' t:iu�elmlt"ng �r{()lgen. iD�.m. 1Jla,O in dem JJC'inC'n von den

Kurven IIn .J.'I· h.'II'('ff"ntl"11 Ht.t·lIe J,.t't,hilJ<At.('n Qu8.t)rat in ..Ier einen Ric:-htung die Zehntel,1.-,. a, in dor I\lItl.·n1 .li.,. ')C''' b ah�c1liUzt Otl ..r mit einem aur Gl8.s oder P8.u�papi ..r ,.,�F..·jc-Juwh'n Vrl:i(lugul1�",maß�tab al»mißt. ß<,i der Ahl('tmng a.n den Koordinaten sind

I-!"It·idl(•..tls 7A'llIlt(,1 in F.w(1'i Rlchtungon EU KChl.u(1'n.Mn dor S U m e ru 11 �'(ull,)(1'n wt'rcl(1'n. so sucht man an den Koordinaten auf und

Ji.·"t an den Kurvon ab, ."incl.-t hieh ,)t'r J..ogl\rithmuM nicht in dem von dor Taf.·l

.lar�...."h'llt(·n H.c·chtc·c k, M.rleJ,'nl li.,gt li n k .. o,h-r reell h& du-on, so wird die K(�nnzifT6r,.•• r,::rt.C.'rt oder ,·c'rLl .. inert, .1. h, .1,'m ....",·1I<'n Ue"t.anclt.('il werden �ovi(·t }�illl�r z\1Jo......�fü,\,.'1.o,).·r Illtgc'�ogNI, elaß er It" ilooc,JWII 2 UII') :llil'�11 der �an ZEI Num ..rus aber mit �nbprN::hen­,Je'U l'ut4'IlJef'n von 10 div i�li('rt (�J.'r multipliaiert, I.;i,,� der IAgarithmus 0 bf\ rhal boc),'r unterhalt. ,1"" Ta(c·l",·('ht.�·k", �) w.-rcl�n nach l'WdarC Yh·1fä.('1a� von O,6.�2t88 i

)� i) ohg-e·1.0�·U «(le).'r zugC'(0Io.... t, .laR Erg('\mill aL.-r mit den entsprechenden Potoneenvon i Illuhiplizi,ort (ot)"r dividiert].

I )i.. mm t).ar gt'rü(llinigl'n ]\oo,..linah·u rut",pft'ch�u ,·in�r Eich«-it UE'.J' dritten Dczi­ma)",t.·ll.- ..I.·s JJ(l�'llrithmt1�, .Jio QlIll(lralto.t'it(\n tlt-r linkt'n Ta(ol1t,'ite ,aicer }�inh('it, die der

�h(t'n Ü .:in1a.'it�n ,lt't4 XUnWMlM.

Fehlergrenzen.J-:" ibt 8llztuwhmNl, (laß ,).-r Uf'illl�t.c J.c�(1'hlf\r in df'r rA.� der KurvenschniUpunkte

0,:1 mm kaum ülK'nw:'hrt'it�n \\,i,..1. ßc·i .Jf.'r ALl<�s\lng ohne }�ilUK'haltun� mag ein weiterer

}\'hlflr "Hll Iho 111m W-mü('ht \\'('I'tl"n. bt l:illsdlaltung nötig und ,,·irJ diese ull'h d(_\m

Au��-nIll8ß auf Z,·lllltcl d.'r N_,j(('n ,).'M Lcnut.ztC'1l Quadrats "or�nommen, 80 mag.),'r },\.hl<-r in je',hor ltidltun;.: ('in balht�M Zchn�'l der N_'ät .. , in d.·r Dia,gonalri('btungIllto>() ')aK I :! - (ne Ia� t.c.'tragcon. H1t,iht a1�o .He QtlaJrats�iLl' unter 3 mm - bei den

gri,c.''''''11 liU�t. hid. ,lurch S ad,m.-,..I'('u (,int' '°C'rha.1tni�lUiiCig J,.'TlH1.'ro Ocu8.uiglr.t'it crzi('lf.'n- M) lt,.'tnig1. ')"r ALlc.,l'ull;._""'(.·hh,r U,2 mlU. Es ('rJ,.-iüt "ich df'mnach f(1r d�n ungün­"t iW'hall }"'aJl, .laß ()i� :Mu.imalf.·lal('r in J,!'h.idwm Sinn(\ 'Wirkc'n, .. äne Ab"'E'ic-hung dosöI'rn J"o:.:-aritIUlllUt"�<,rtP ('ntloop....,�c1lt'ncl'·11 g"fundE'nf'n Punktt'8 ,·on J ..m wirklidu'n um

•I IDOl, ,I. h. ,'ill" Put,ie la,'rht'it im üL�olut"lI \\·c-rtt' d"" J�()ga.rithmuM von 0,000:». Das

('l1t"'llrkht ll.'r (j('naui�l..·it "ilu'r :1-"tc'1ligC'n JAgorithm('nt.aft·1. DIA. EU J ..uLPrc·m Log....

rillullu�..·('rt� ,)t'r Xum,'rult l,fkH 15 W'hl\rt, t'O ,,·ia·kt eiu Ho)c-her J.c"'c·hh'r auf Jpll Nu.

Ill('nls iu .lc'r \\·.·i"t', 81" ob "r um <,t \\"& I/UM l\('iueli ahMolutt'n \\.(1't·t�lt &u groll oJ"r zu

lJ..·jn au(Jo.....'Kehla�·n o,l.'r a.h�'"t'lrto.('n wm.

n.. ä lUu(uurt .l,·r Uc�1antln�rn ka!ln (J ..r Sdllußft'hJ"'r \\ ie lK-i d ..r �"'ühnlic:-henlu;.....u-it luniM'la.-n HAO, Jlllung .) 1o.'Ti.c..·r "·,,,..1"11. )��i o('r Erlwhuug zur n tc·u l)ot�nE E. n.

rrn-icht. �r tlt'u n-fadlC'u \\.(1'J.t, dt'" unoprünglichC'n }"'ehIC'r8.

., 1�......... Zu\·,·,l ..i�lwil � ird durd. ,!io I.i.,.,. hul.·..nd4..�1l &llhl,....idlt41D EiD&4.'lred.llut'Ct'ü (YN'g1.F...uluitun,;. "· ntJ.d. yurnnrn.,

Herstellung der Tafel.Zur D�urtei1ung .lt-r Zuverlä"Migk.-it !tin.) l'inign AngnLf'n nhM .Hn IIN,"trllul1�

notwnn.lig,Zunädutt wurcJ.-n (Ur sämtliche Qua.lrattwkrl1, die in ,I.'r Z.,khullng Rnf ...-r vom

Iinken unt .. ren E('kpunkto aUMgehen.I.'n Kurve li"gAn, die l,f>i.l.·u Koor.lilmtrn Lnrodanrt,indem in .10r Oleichung X + Y i = 19 (100 + Y i] dem y ,lift \Vrrte I, 2,. . . IOn,IO".!,. • • 200, 2Oö,. • • öOO, IH0,. • • HXX), IOtJÜ,. • • I HOO, WUU,. • • :!".!UO,u. I. w. mit immer grCiCort'tl Aln,Uln.1N& bis !J()()( l,rig"lrgt wurfJ.,n. DiUUU'" wurtl"ein Kurvenlineal aU8 Zinkblech in zwri Teilen von (""t :1 m ON4ßrntlangn Mf)r�r�,ltig lu-r­

geMtnJlt. HeiM I4agß wure]t\ rUr jeeJA Kurve jA nach ihrer I�ngn durvh :J hi" l' l.ingn­znichnfltn Punkte gfll8ichArt. Im gamwn wurd-u �o f-twa W:Jn Punkte 1,,'r.,(·I.'I-.,t und

(�Atgt,l.·gt, Die D.·rec·hnung erfolgte auf min.Ie'Mt""M r, 1>.·zirnu)",t.·IIe·n,Die QuadratgröC6 f\rlo."bt Mich 80:

, c.l Z J Jg z 19 e1,) EH IMt

d =.1 = -, alMo umg.,k�hrt I)rol,nrtiorm}�, r .. t ul ..o ,.in '\"crtZ u Z Z

tlm. z etwa ömal 80 groß wie "in an.l�r,.r, 80 Min.1 .tin Hritt·u ,l.,r an ,I.." zlIs,t"hr,rigrnSt�l1en lJer }i"unktiooM.. lJ..no li"gNuJen Qua.Jrat., zwar gl.,i,·Ja �"ri('htt,t, ).-tzt.'ro uh.,r ömnl80 groß wie erlltt.'re.

2.) Die Ol.,i,·hung I � � I = conMt. gibt an" flt"ll"11 gloid, ..r Q,u"lrlltgrr.C... 1>""

ergibt z == .'xi + y3 = con�t. 041f'r � = Jg �I

Xl t- yl _ ('nfl"t,

1'''0 Ortlinat., li"gt-nl).'h Qua.lrute JUlb.-n gl.-ic·hn H.·itt·nlüngn.AUl4 ,Ji.",,,,o Orun.)o h.t .lio engtßl"'('hi�f' Z.·id'lIung dur llnk.'11 Tnf"l·... ito ung.,r..hr

hilt zu llMMt·lLf'ln Orc.linate (x = 2,'&,.(0) (urtgf'M.-tzt ,,'or.IN1. I>iu KUrvNl wur',I"11 Iai"r HO

.!i(·ht gt'zeidlßf\t, daß ihr AbMtalltl "iru'r Y.'rf�.'hrung von x 041f\r y um I Ruf ,1.'r

r"dlt •• O Seite um r; - f'lnbpric-ht Ein T4idltung ch,,, .. ·.·tz .... re"ht" war notwt"Hlig, ,11\

800",t .Ji� <luatlrate zu klt,iu g"wor,l.'" wUren. u('h JaCt �idl nnch Zurngtlilg Otl.·r I h­

trf'nnung d.,,. Y.""ktors 2, nach I'.�.larr a",.Ja f�int'" nnc).·m gf'cignf't.·n }"u�toM4, .1,·r .\r�tl­mfllntwert nu,iMtrns leicht in cl ...,. clIgm""dli�" O.,Liet in .1 ..r Miu., o.J.'r l:unz rN lat ..

vf'rlt·gnn.Holltnn c1i� Kurvf'n von .lm.. Koor.linlLtf'lIfwt% .. i,·1a cl.Hltlirh aM,f·l"'n, Mn wnr f'"

wichtig, L•• j.ln Nf'tZfl in vf'",(·hi.,.I.-rl4'n li"urLNl o.I.'r }"arlwnWr ...n zu Iuuh'n, [)"r Zw.·i­

."urh.'nelruck mit zWt,i 1'lattt.n Wl\r Wf'grn ']"r !\[ti�lid.koit imnwr rwurr unl,..rt-c·lu· .. f,;\r,·r

V .....,·},i •• lmngnn nid.t zu l,rauc·hnn. Dn.hf'r Wlarcl., UM Ilädlt.lnl('kvf'rr"lm'" g.',,"uhJt, I,,·i

.l.'m dl\l'1 im Origini\l g"Jbn Koor.linutNIfl"tz grau, ein.... Kurvonnf'tz "'('hwurz f'l1'f·l ... int,{>ie F;inz.,ltart,ln wurtt.m untc'r Ant1'-�'1ng von l'ullit,rrahnwn mit g"rin�'tr \'t.rLl.·irwruflgvon .h·r Originalzfllichnung abphotogrl\phi.,rt.

• I" ...".,n AMumdhUljiC •• n unll bt.i ,V. D y k k"",., JC"IUU''''N' AnJota,,.,n w."l •• , ut,." cll" Ur.,Qtt Iln .. h

di.. Zähl und Art d." I.ill&.,n. no.. h ob lIüt.Urlu·hn ,,.1.,, d.,k ...1i"du. 1.'''KIlI;thnu·n t,,'nuta' wur 'n.

Dl)co,h u.t b", J), k .n�"I(.,b"n, ,bQ d." imus,till:lr., T.,i. d.,,. Argurn.·nt..." i"f· ...'n () un •• 2 It 1 I ,,-tund Ilüß cl,,, Y Ir••,ul.'m, �bQ".tu" .1", di.... Jot.·�.,i"'Ih.,t wur.l.,,,. ':i,," Z••rl"gung in kl.,i" ..

Qmwrat.e kimQ d�l",r dun nicht eingntr.,ttm ...,iu, W t'I b In k e I"gt d.,.. U.uptwt'ln Auf d •., n..nutaung

6

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.. dur,," d ..., ..",,, r...kllUukt .,iu •• ,.

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0",..., Allw"n,lull.c i"i dun-h cl." O-Tr.lun,Jot ".,r vurh'·":",,.I.on TAf.·' hn AII�",n.',,,,,,, '''' ..�.t-" .. hl.,......• .. , "au" At,.,r t... ib"" "\u I ......,,,," "uM Aur" kAum "IIU-" 1,,,,,,"h ...,I,.,,, "·,'rt. .\II.'r.I"'"....h.u" ch" "",.,.,d,t, d .... Jul,(iU'.llll1l, b..n U....h.,.,....h ....,.'r .um U,ol,",,,,,11 mit kUII'I,I""'fI 1.A1aI.,,, Im

.',,, .,'l"n•• d ..n \· ...rr�r u""rrüll�la .. h .... hun t"trJ :, lIur 1I",....h.lhllllC "'''\fI' TAf.,. 111\ "AU,.,,, M .. ß­

..tAb v"""llant

Anwend nge14 n•. i ..pirl.' (ar U.,dlluangf-n mit �()ml,I.'''('tn ZuM.·n I h.·i ,IN1rn ,lio (J"flUliigkoit

,.inrr :l-"t.·llig'-n Tart�l �"'lU�rt, ".,i.-n "",'Ahnt:Dio Hrr"l'lh,lIuflg .I,·r "·i�u,,'n zu Aurgnl n Uh.·r Iwnrunuf\ .\I.hil,lun�, Wflun .. ino

,.,...-oC4l l(,"ngo von Pu nLt.... ,,.-rre luwL "..r lcn 1'011 und ..lio ALn",,,"ulIg..., nic'ht InI,i,. �) cm nh,'n-C'hr.. itrn, .....-rner ,lin lIe-",h·llun� dor • (CHIt·n., �"" i,,".'r }o'I.'c·h,·n, L.,i.1 ...1('11 knrnplfl:\t. Zahl .... XII 1,.'rN'hn,"n "'n.1. H.-icht .lio l"'1ßui�'".it Ilkllt BU", t40 kaum.lin Tur,·1 .lu Ja (Ur .lin Vurnrl'f'itf'n zur }o',."t ..h-llllflg' .IHr lI"upt�ull"tant ,1"'lwn.

}o"t.r""r LaHlil ,.io ItU Ja hNuatxt ,,'rnl.,u zur B"r,tc'hllt"'$: .I,·r \\·ul'%.·I ·i .... r �uhi".·h'·11

UI.·iellung alt'" .I,·r �"r.lilni�du·n J.o"orm.-I, "·c·nu alln rN-li .. i ...l·" .In .Iin 1\"I,i"\\'lIl'�c'llI.liUU1 � ..mplt'x" \\·t·rhl ,trg•• I,.'n, OtJ.'r imrn.·r, ",,·tH•• Ii.· hCH·(tixi.·nt.·n .h·r a.,ic·hulIA' .... lho.t

�urnl't.-"., Zulah-n .. in.1..\Ut Ja ",um ".i., zur n,·r.'rluHmg .1f'r lIypot.·nu .." "i,,..,, rorhtwiIlUig.·.. )n'iN'"'' nUM

.1.- .. I'Bt h.·,,· .. ()tl"r, \\ " .. aur .11L" ...·lh., lainnu"'�ornmt, ,It·" Rh�olllt"11 \\·,·rh'", ri""I' kHIUI'l.,'< ....

Z.,hl .li.'",·n, .In .1 ..... "'.· .. J.ognrilhmu", jll mit .1"111 .lir,·Lt ahxlIl ••" ••n.t.-.. \\o.'I·tn "Oll ."hl,..r.·in"t immt.

Beispiele:1 ) .:.. i .. t J. .. l"·n·c·ht .. 'n:

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nlU tlar.,Lt.· B,·n'll.n,an� mit g"\\ulal1ladll'" I"u,.:"rallan ..... t I�,l'l11 U.":.!.17 !!,II:.'C).

., Auf .h ......, A"wr ... I,,,,�.......IotI,,·,, ...-,1 1Il.1.h'rt .n,," lI.orT 11 \ Nc h" ArA " .. r... .., " .11 .....1" ... '1'1. (,lt

rnrl,rr"rt". 11m" fltllC' '1 • ., "," " ..q,rlu ta·. l t an

io abaoluton Werte Hin ..) 2,2f�i un.) 2,204l!l, ihr V('rlaillnitl i�t II

I �fj(r2. 18 eispiol inar I"ott"nzi..nmg dit'nn

•

- (I ,ö2:1 + ,00:; i)''u.f<!l <,rgibt. Ig (lö2,:1 + 6«1,ü i) = 2,:?"2Ot1 + ',lihU i

ech Aubtraktion von Jg 1 - 2 und .Inlliplikation mit.:;

Ig �}-r..7 + 0 ')4')"'1' 1,_ , u , .._.)\1 It a,.o

Ig I v - 2,27ö7 + O,22:JfJ i, und .uut der Taf.·1

va = t �t2 + oe, i, also

1 - I,U.a2 + ,O'!ß i

w raus di :1 nndorn "öHungf'n durch llultjpliJ..ation mit i, - I, i,..r genauc �..

f'rt. iHl \'1 I,U·I:1"i +- ),tt..!Sntl i,

,laLlt "rhilltniH dor aLt401ut(\n Be'trilgt' _ 11

u:!�u'3. Is laj..piol "inf'r kubischen H .. irhung mit nur .,...·lI.'n �·t1r&eolll I1lng zur ','r-

i,luug on hi r nlch in�r(1tu�i(,'rondfln WChllllllg.'1l ein solch" h"",,· ..hlt \\"(·,..I.on, I ... i

dor cli nudrutwursoln ,-war im�rilli'r, nbor rntionnl au�ai.ohbar "in.1 und ,." ••- \\·u17..·1

zur 4�1'1(�iohfl'rung dor .'aC'laprUful1g ganu"hlig i�t, nilmlid.I_

ach dor kardanischen 'ornwl wirda I

= �':! + 2 i +. �-)---�-)-uM -rgib

19 (.. + 2t i)alK Jg (2 + 2 i)

ur ,} ivit,i n mi a ful""rta

Ig (I':! + 2 i = O,lrJ).l + O�1I37 i

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stimmt, R iH

7 l'I14llUIlU,IltIi83793• OF CHtcAc

nie' Blf41"m I ... jl'oun�",·n .·rhu.lt man, wenn man die l�nhiL wurevln mit. aweic)('IWU �oml'l('x('n Kubikwurzr-ln aus 1 multiplieiort, &1",0

\\'2 l:i i l'� t �..

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(JtI.l.t.lratiM'}lt'1l (t}t·irhung ()i,' amloru W,'rt� I::t- I'a 1 :t- I ,73� ():JI.Zu"at x: B(�i J.tr I.,i.... uug .,ilwr �ul.i ...dl(411 (i!t'idlung mit komplexen l�()t·ffi,-it'lltA'n

1111,,1 '\"u�,·Jn hat man mittol-t (lt'r f..'Tapllil'tr}wll Tllf.·l ZUtlKr)a",t dio Quadratwur&(.4) und')'\1111 zw,·i goAnz ,·t'rl\,'hi<,öt'IH' Kubikwurzeln '-11 L<,n.�rhnt'n, von Jt.*UNl j.·d� 3 \\"UN!t.}­Wt'rt(� li.·ftOrt. Alllt tl.'m oinen von .lit· ....-n hind j«'- Jit' luoi.lt'll andoru ,lurch Multjplikationmit ')4'11 Luml'l,.xt.tn nul.iLwunwln RUtl I P.tJ fiudon , c)c'n'n �t'IlIlU<' JJ(,ga.rithnwn cht.lwr

- I + i 1':119 :! O,UOU zs

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lA' -=-.!.....:! i �:I= t, J 9 17 i

nie Zuunlnung VUll jt' 2 Kuhik wurzeln hat dann so zu ('rfol�'"f'n, daß ihr Produkta

!J giLt, "'0 + & c)t.\r }o"'a.kt.or .lt,1t 2, (Hi�.I'\l4 i ... t.

.' Jo:s il'tt (li.. lIypol('nuM' (·in4'!4 J'(\c)&l '\\"inJ..li�fln Drt·it�('kti zu ht·rochuNl, d('luu'nJ�ath('t(\n 12,:I� und 2:1,'&5 g-4'�",.I,c·n ... inJ.

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