Kombinatorische Kombinatorische Topologie Topologie in der 3d in der 3d

GeomodellierungGeomodellierung

- ein geologischer Körper besteht aus einer unendlichen Menge von Punkten (Kristalle,Atome,Strings, ...) im 3d-Raum

- Betrachtung der geologischen Körper als topologische Punktmengen mit Innerem und Rand (d.h. geol. Grenzfläche)

- Das Problem: unendliche Mengen kann man nicht im Computer speichern

Können wir mit Punktmengen Können wir mit Punktmengen geomodellieren?geomodellieren?

Die Lösung:Die Lösung:Abstraktion durch DiskretisierungAbstraktion durch Diskretisierung

Die Idee: - Alle Punkte einer Grenzfläche lassen sich als durch

Triangulation interpolierte Punktmenge darstellen- Die Grenzfläche teilt den Raum in 2 topologische

Punktmengen- der geologische Körper wird durch die Punktmenge in

der geschlossenen Grenzfläche repräsentiert

Im Modell mit mehreren Objekten:Im Modell mit mehreren Objekten:

- Grenzflächen unterteilen den Raum in topologische Räume, die geologischen Einheiten entsprechen

- z.B. 2 Schichten, 1 Störung, 1 Box => 5 Räume:

... wo ist der 5. Raum?

- Standardmethode in CAD: Modellierung von Objekten durch simpliziale Zell-komplexe

- ein simplizialer Komplex besteht aus einer Menge gleichartiger, n-dimensionaler Simplex-Zellen:

0d - Punkt

1d - gerade Kante

2d - Dreieck

3d - Tetraeder

Zellen im Detail: 0d, 1d, 2d, 3dZellen im Detail: 0d, 1d, 2d, 3d

Zell-HierarchieZell-Hierarchie

Simplexe höherer Dimension sind aus Simplexen niederer Dimension (Teilsimplexen) aufgebaut:

- Tetraeder besteht aus Grenzfläche + Innerem, Grenzfläche besteht aus 4 Dreiecken

- Dreiecke bestehen aus Rand(=3 Kanten) + Innerem- Kanten bestehen aus 2 Knotenpunkten + Innerem

Simpliziale KomplexeSimpliziale Komplexe

Ein Simplizialkomplex besteht aus zusammenhängenden Simplexen.

Beispielmodell mit 3 Simplizialkomplexen:

in Gocad:

1 surface-Objekt "Störung" bestehend aus 1 part

1 surface-Objekt "Schichtgrenze" bestehend aus 2 parts

Von einzelnen Grenzflächen zu Von einzelnen Grenzflächen zu topologischen Geomodellentopologischen Geomodellen

Von einzelnen Grenzflächen zu Von einzelnen Grenzflächen zu topologischen Geomodellentopologischen Geomodellen

2d-Simplizialkomplexe

=triangulierte Punktmenge, Fläche

Doch was passiert an den Berührungslinien mehrerer Flächen?

(Berührungslinie = topologischer Rand der Fläche)

Boundary Representation (BRep)-Boundary Representation (BRep)-Weiler ModellWeiler Modell

- Hierarchisches topologisches Modell zur Behandlung nicht-mannigfaltiger Topologie (d.h. Elemente höherer Dimensionalität grenzen an Objekte niederer Dimensionalität)

Region (topologischer 3d Raum, 3d-Makrozelle)

Shell (Menge der Grenzflächen einer Region)

Face (eine Grenzfläche)

Loop (aneinandergrenzende Kanten einer Fläche)

Edge (Kante)

Vertex (Knotenpunkt)

Kante trifft Fläche:Kante trifft Fläche:

Edge

Pair o f m ate faceuses

Pair o f m ate edgeuses

Pair o f radia l edgeuses

Simpliz. Komplexe + Weiler ModellSimpliz. Komplexe + Weiler Modell

Realisierung in Gocad: Kombination von Simplizialkomplexen und

Weiler - Modell

Beispiel - Gocad Model3d DateiBeispiel - Gocad Model3d Datei

GOCAD Model3d GOCAD Model3d TSURF TSURF 2 boxGrenze2 boxGrenze ......

TSURF TSURF 1 innereGrenze1 innereGrenze ......

REGION 3 Universe REGION 3 Universe -2-2 REGION 4 REGION 4 inneninnen +1+1 REGION 5 REGION 5 aussenaussen +2+2 -1-1

++

-- ++

--

Geometrie und TopologieGeometrie und Topologie

- Das topologische Modell ist abhängig von der Geometrie der Stützpunkte

2 Möglichkeiten der Modellerstellung:

1. ein topologisches Weiler-Modell kann aus einer Menge sich schneidender Flächen erzeugt werden (in Gocad: Model3d). Die Topologie ist hier implizit durch die Geometrie definiert.

2. man definiert die Topologie explizit, dann kann sie bei der Modellerstellung berücksichtigt werden (z.B. automatisches Beseitigen von Lücken durch snapping). Dabei wird die Geometrie der Topologie angepasst.

ZusammenfassungZusammenfassung

Ein Gocad-Geomodell umfasst im allgemeinen:

- hierarchische Diskretisierung in topologische Zellen in 2 Stufen

1. Mikro-Zellen (Simplizialkomplexe) (triang. Surfaces mit Triangles, Segments, Nodes)

2. Makro-Zellen (Weiler Modell)

(Model3d mit Regions, Faces, Borders, BorderStones)

- Geometrie wird nur für Nodes der Mikro-Zellen definiert, sonst (meist linear) interpoliert

- Topologie und Geometrie werden auch im Datenformat getrennt gespeichert.

Vorteile der topologischen Vorteile der topologischen GeomodellierungGeomodellierung

- Konsistenz: es gibt keine Lücken (...Vakuum) im Modell oder Überlappungen (ein Punkt kann nicht gleichzeitig zu 2 geol. Einheiten gehören)

- Änderungen der Geometrie (z.B. Faltung) sind möglich, ohne die Topologie zu ändern (topologische constraints)

- man kann die geologischen Strukturen (= topologische Grenzflächen) später bei der Modellierung von Eigenschaften in Gittern berücksichtigen

- Definition von Nachbarschaftsbeziehungen (GIS)

Der letzte Schrei: GMapsDer letzte Schrei: GMaps- Datenstruktur für n-dimensionale kombinatorische Topologie - einfacher geht's nicht: generalized maps haben nur einen Datentyp: Dart- Darts stehen in Beziehung: Inzidenzgraph- Vorteil gegenüber Weiler-Modell: generische, algebraische Formulierung

GMaps: Inzidenz-Graph, BeispielGMaps: Inzidenz-Graph, Beispiel

p(kalk)=1p(kalk)=1

p(granit)=1p(granit)=1

Topologie und WahrscheinlichkeitTopologie und WahrscheinlichkeitKann ein Punkt zu mehreren Regionen gehören?- eineindeutige Abbildung

Natur ↔ topolog. Geo-Objekt ist bei kategoriellen Variablen (z.B. stratigraph. Einheit) möglich,wenn man die Geometrie exakt kennt

- Geodaten haben Unsicherheiten → Punkt a gehört mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit 0.5<p<1 zu Geo-Objekt "Granit"

- "fuzzy kombinatorische Topologie" gibt es nicht

- Lösungen:- Berechnung der Zugehörigkeits-Wahrscheinlichkeit p, und

Speicherung von p mit den Stützpunkten der Grenzflächen oder in einem Voxet-Gitter

- Erstellen mehrerer Modelle (z.B. pGranit=1, pGranit=0.5)

aap(kalk,granit)=0.5p(kalk,granit)=0.5

xx

yy