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  • Kompakte Objekte in der Astrophysik

    � Weisse Zwerge

    � Neutronensterne

    � Schwarze Löcher

    � Beobachtung / Physikalische Prozesse: ART

    � Aufbau: Zustandsgleichung ...

    � Entwicklung: Akkretion / Kühlung ...

    Vorlesung im SS2004 von Christian Fendt

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3d. Chandrasekhar-Grenzmasse

    Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas:

    --> polytropes Gasgesetz: Γ = 5/3 , 4/3

    --> löse hydrostatisches Gleichgewicht:

    durch Substitution:

    Γ = 5/3,

    1 r 2

    d dr

    r 2

    dP dr

    =�4�G � r

    M =4� R 3 � n / 1� n n�1 K 4�G

    n / n � 1

    �1 3 � n / 1� n

    �1 2 � ' �1

    �=� c � n

    r =a � � =1�1/ n

    a= n�1 K � c

    1 /n � 1

    4�G

    1 / 2

    � � =0 for �� �1

    R=1.12×10 4 � c

    10 6 g

    cm 3

    � 1 6

    � e

    2

    � 5 6

    km

    M =0.70 R

    10 4 km

    �3

    � e

    2

    �5

    M o

    Γ = 4/3,

    R=3.35×10 4

    � c

    10 6 g

    cm 3

    � 1 3

    � e

    2

    � 2 3

    km

    M =1.447 � e

    2

    � 2

    M o

    n= 3 2

    , �1=3.65.., �1 2 � ' �1 =2.71.. n=3, �1=6.89..., �1

    2 � ' �1 =2.01...

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3f. Verbesserte WD-Modelle

    Zusätzliche Effekte verändern Chandrasekhar-Modell für weiße Zwerge (z.B. Hamada & Salpeter 1961):

    (1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte: --> lokale Ladungsverteilung: --> Elektronen im Coulomb-Potential der Ionen --> Anziehung vermindert Druck

    --> Annahme: n_e konstant im Ionengitter: --> Gitterzelle um Ion mit Z Elektronen mit Radius:

    --> elektrostatische Energie:

    --> zw.Elektronen: --> zw. Ion u. Elektr.:

    --> Coulomb-Energie pro Elektron:

    --> Coulomb-Druck:

    --> Druck durch Coulomb-Kräfte:

    r 0� 4� 3

    r 0 3 =n N

    �1

    E ee =� 0

    r 0 q dq

    r =

    3 5

    Z 2 e 2

    r 0

    q =�Z e r / r 0 3

    E ei = Z e� 0

    r 0 dq r

    =� 3 2

    Z 2 e 2

    r 0

    E c Z

    = E ee�E ei

    Z =�

    9 10

    e 2 4 3 � n e Z

    2

    1 3

    P c =n e 2 d

    dn e

    E c Z

    =� 3

    10 e 2

    4 3 � n e

    4 Z 2 1 3

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3f. Verbesserte WD-Modelle

    Elektrostatischer Druck:

    --> vgl. zu Chandrasekhar-Modell

    (1) extrem relativistisch:

    ( α = 1/137 Feinstruktur-Konstante) --> kleiner Effekt, aber wichtig in dichten WD / wenig dichten NS

    (2) nicht relativistisch:

    --> P = 0 für

    --> Beispiel Eisen: --> Abweichung: Elektronengas nicht gleichförmig bei kleinen Dichten, Rand-Effekte --> Ansatz ok für WD und große Planeten

    P 0 =� h c 8�

    3� 2 n e 4

    1 3 P

    P 0 =

    P 0� P c P 0

    =1� 2

    5 3

    5 3 �

    1 3

    � Z 2 3

    P 0 ~n e

    5 3 P

    P 0 =1�

    4 �m e e 2

    h 2 Z 2

    2 n e

    1 3

    n e = Z 2

    2�3 a 0 3 , a 0 =

    h 2

    2�m e e 2 � 0�0.4 Z

    2 g / ccm

    � 0�250 g / ccm , Laborwert � 0 =7.86 g / ccm

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3f. Verbesserte WD-Modelle

    (1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte:

    --> besserer Ansatz: Thomas-Fermi-Methode:

    --> Dichte:

    --> Potential V(r) sphärisch, leicht variabel, Poisson-Gl.:

    --> Thomas-Fermi-Gleichung: mit

    --> Druck:

    --> für kleine ρ (für große ρ s.o.):

    P = 8�

    15 h 3 m e p F

    5 r 0 = Z 2 e 2

    10�� 4 � x 0

    x 0

    5 2

    E F =�e V r �

    p F 2 r

    2 m e =constant

    � 2 V r =4� e n e� nukl. Anteil

    n e = 8�

    3 h 3 p F

    3 =

    8�

    3 h 3 2 m e E F �e V r

    3 2

    d 2�

    dx 2 =

    � 3

    x E F �e V r =

    Z e 2� x r

    r =� x , �=a 0 9� 2

    128 Z

    1 3

    P = 2 h 3

    1 3 �0

    p F p 2

    m e 4� p 2 dp

    � x ~144 x �3 , x �� : P ~ x 0 �10

    ~ 0 10 / 3x 0 �� ,

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3f. Verbesserte WD-Modelle

    (2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):

    --> bei hohen Dichten:

    für

    Bedingung: kein β-Zerfall: --> erfüllt bei hoher Dichte: --> alle Energieniveaus für e besetzt

    --> Mischung aus p, n, e:

    --> chem. Potentiale: --> relativity parameter:

    Ladungserhaltung -->

    --> Zustandsgleichung der (p,n,e)-Mischung:

    u.ä. für innere Energie u

    --> Kritische Dichte für Neutronen (x_p

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3f. Verbesserte WD-Modelle

    (2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):

    --> Zunahme Neutronen bei höheren Dichten:

    -->

    --> Verhältnis n_p/n_n : -- sinkt erst für steigendes x_n -- ist minimal (=0.0026) für -- steigt dann auf 1/8 für

    --> Probleme: - Neutrino-Emission - thermodyn. GG (offenes System) - n/p/e aus nukl. Reaktionsraten

    m e 2 �m p

    2 x p 2 �m p 1� x p

    2 =m n 1� x n

    2

    n p n n

    � 1 8

    1�4 m n �m p m n x n

    2 �4 m n �m p

    2 �m e

    2

    m n 2 x n

    4

    1�1/ x n 2

    3 / 2

    � 0=7.8×10 11 g

    cm 3

    x n �� , � 0 ��

    10 7�� 0�4×10 11 g cm�3

    4×10 11 g / cm 3

    4×10 12 g

    cm 3

    u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n

    --> Harrison-Wheeler-Zustandsgleichung: --> für und Baryonenzahl --> Problem: welche Nukleonen?

    --> Nuklearbrennen im thermodyn. GG --> stabile (minimale) Energiezustände (z.B. Eisen Fe(56,26) für A=56) --> Neutronenreichere Kerne bei hohen ρ --> kritische n/p-Verhältnis ab --> neutron drip: freie Neutronen (+ Elektronen + Kerne N) definieren niedrigsten Energiezustand --> Druck freier Neutronen ab

    --> Energiedichte eines (N,n,e)-Gemischs:

    --> M(A,Z) = ??? (Kern-Energie, Massengleichung) --> HW: M(A,Z) semi-empirisch

    A=10 57

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3f. Verbesserte WD-Modelle

    Harrison & Wheeler, 1958 (HW):

    --> Zustandsgleichung P(ρ):

    -- neutron drip bei hier: (A,Z) ~ (122, 39.1) -- 60% n-Druck bei hier: (A,Z) ~ (187, 48.8)

    --> vgl. zu Eisen (56, 26): (ideales Elektronengas) Abweichungen ab

    --> Baym-Pethick-Sutherland, 1971 (BPS):

    --> Verbesserungen für

    --> A und Z sind diskret ! --> Gitter-Energie ~> nukl. Zusammens. ~> u_e

    --> Phasenübergang zwischen Nukleonen --> Diskontinuität in n und ρ = u/c^2:

    --> Beispiel: für Fe56 -> Ni62, also Z/A=0.464 -> Z/A=0.452

    10 7�� 0�4×10 11 g cm�3

    ¿

    � c 2=u=n e M A , Z

    Z �u ' n e �u n n n

    P= P e� P n

    n=n e A Z �n n u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n �u L

    � �

    � � � n n ��

    � Z / A Z / A

    3.18×