Kompaktkurs Elementarmathematik - HTW...

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Kompaktkurs Elementarmathematik ur Studienanf¨ anger technischer und Informatik-Studieng¨ ange Stand: 8. Januar 2017

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Kompaktkurs ElementarmathematikFur Studienanfanger technischer und Informatik-Studiengange

Stand: 8. Januar 2017

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Vorwort

Sehr geehrter Nutzer,

der vorliegende interaktive Kompaktkurs verfolgt die Zielstellung, einige mathematischeelementare Kenntnisse und Fahigkeiten zu vertiefen und noch einmal vor Studienanfangaufzuarbeiten: Gleichungen, Ungleichungen, Funktionen einer reellen Variablen und de-ren Abhangigkeit von Steuergroßen bzw. von Parametern.

Auf die theoretischen Grundlagen wird dabei nur im begrenzten Umfang eingegangen.Schwerpunkt des Kompaktkurses ist das selbstandige Uben. Sie reaktivieren damit Sach-verhalte des Schulstoffes, die im Studium vorausgesetzt werden und trainieren eine me-thodische Vorgehensweise des Lernens. Dabei geht es nicht nur um das grundsatzlicheVerstandnis, sondern auch um eine zugige Umsetzung von elementaren Umformungen.

Ein studentisches Team hat mit viel Fleiß diesen Kompaktkurs im Rahmen eines von derHTW Berlin geforderten eLearning-Projekts umgesetzt und dabei eigene Erfahrungenaus der Tatigkeit als Tutor im Prasenzkurs eingebracht. An dieser Stelle mochte ich michbei allen Beteiligten Frau Olga Becker, Frau Nadja Kohlsmann, Frau Sanaz Mortazavi,Herrn Andre Heber, Herrn Benjamin Hoffmann und Herrn Ali Sinai fur Ihre Mitwirkungherzlich bedanken. Frau Sanaz Mortazavi und Herr Ali Sinai haben die Anregung zudiesem Kurs gegeben. Es war fur mich ein großes Vergnugen, dieses Team leiten zudurfen. Mein Dank gilt auch Frau Liane Beuster vom eLearning-Competence Center derHTW fur ihre Unterstutzung und wertvollen Hinweise, sowie allen Tutoren, die zumGelingen des Onlinekurses beigetragen haben.

Prof. Dr. Joachim Siegert

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

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Einfuhrung

In der letzten Zeit sind viele online verfugbare Materialien zur Unterstutzung der Vorbe-reitung auf ein Studium bereitgestellt worden. Zum Uberprufen und Bewerten des vor-handenen Wissensstandes stehen ebenfalls verschiedene Moglichkeiten zur Verfugung,beispielsweise die Lernsoftware von R. Schwenkert und Y. Stry, FH Munchen und derEingangstest der FH Wildau.

Unser Kompaktkurs beschaftigt sich mit ausgewahlten Sachverhalten, die insbesonderefur ein Ingenieurstudium wichtig sind. Das Material ist so aufgebaut, dass man dieAbschnitte der Reihenfolge nach oder auch ungeordnet bearbeiten kann. Am Ende jedesKapitels wird ein Selbsttest angeboten, der zu Beginn der Bearbeitung durchgefuhrt undnach dem Durcharbeiten des Stoffes wiederholt werden kann. Dabei sollen Sie aus denvorgeschlagenen Losungen jeweils die korrekte Antwort auswahlen. Nachfolgend werdendie jeweils relevanten theoretischen Grundlagen kurz erklart und an Beispielaufgabenerlautert. Dann soll der Nutzer selbststandig Aufgaben losen.

Falls sich dabei Fragen ergeben besteht die Moglichkeit, zu den einzelnen Teilschrittengezielt unterstutzende Kommentare abzurufen. Es werden verschiedene Zwischenergeb-nisse diskutiert. Wenn es dem Bearbeiter nicht gelingt, die angegebene Losung zu erhal-ten, kann er im Hilfekapitel die kompletten Losungsansatze, -wege und Erklarungen zuden einzelnen Aufgaben finden.

Die Einbindung von Pencasts vom Pulse Smartpen und erganzenden Videos von derVideoplattform sofatutor.com runden die Hilfe-Angebote ab.

Fur die Vertiefung der Themen unseres Kompaktkurses und die Wiederholung der Sach-verhalte empfehlen wir besonders das Portal Mathebibel von Herrn A. Schneider unddie angegebene Literatur.

Viele weitere unterstutzende Videos zur Mathematik (einschließlich der Elementarma-thematik) und zur Informatik, die auch im Studium genutzt werden konnen, sind aufder Webseite von Prof. Dr. J. Loviscach (FH Bielefeld) abrufbar.

Wir wunschen Ihnen beim Durcharbeiten viel Erfolg und hoffen, Ihnen damit insbe-sondere bei der Vorbereitung auf das Studium eine zusatzliche Unterstutzung und eine

”Hilfe zur Selbsthilfe“ gegeben zu haben. Fur Hinweise, Anmerkungen und Verbesse-

rungsvorschlage sind wir sehr dankbar.

Ihr eLearning-Team Kompaktkurs Elementarmathematik

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

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Literatur

1. M. Ruhrlander: Bruckenkurs Mathematik (mit MyMathLab) Neuer-scheinung!!!, Pearson-Verlag

2. M. Knorrenschild: Vorkurs Mathematik, Fachbuchverlag, Leipzig

3. W. Schirotzek, S. Scholz: Starthilfe Mathematik, Reihe Mathematik furIngenieure u. Naturwissenschaftler, Teubner-Verlag, Stuttgart/Leipzig

4. W. Schafer, K. Georgi: Mathematik-Vorkurs, Teubner-Verlag, Stutt-gart/Leipzig

5. M. Knorrenschild: Mathematik fur Ingenieure, Fachbuchverlag Leipzig

6. E. Berane u.a.: Programmiertes Lehrmaterial, Wiederholungsprogramm

”Gleichungen und Funktionen“, Fachbuchverlag Leipzig

7. R. Ku, H. P. Dodge: Barron’s SAT Subject Test Math Level 2, Barron’sEducational Series, Hauppauge

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

Inhaltsverzeichnis

1 Umstellen von Gleichungen 81.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Potenzen und Wurzeln 122.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln, binomischer Lehrsatz 183.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Polynomdivision 234.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Mengenlehre 295.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Funktionen 316.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.1.1 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.1.2 Wirkung von Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7 Lineare Funktionen 377.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.1.2 Schnittpunkt von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.1.3 Orthogonale Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.1.4 Abstand eines Punktes zu einer Geraden . . . . . . . . . . . . 397.1.5 Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.1.6 Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Inhaltsverzeichnis

7.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.4 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 Quadratische Funktionen 518.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.1.1 Scheitelpunktform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.1.2 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.1.3 Losungen einer quadratischen Gleichung . . . . . . . . . . . . 528.1.4 Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden . . . . . . . . . 538.1.5 Schnittpunkt von Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.1.6 Quadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.4 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen 679.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.1.1 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.1.2 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.1.3 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.4 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen 7710.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.1.1 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.1.2 Logarithmus und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . 7810.1.3 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.1.4 Logarithmusgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

10.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410.4 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11 Trigonometrische Funktionen 8711.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11.1.1 Winkeleinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.1.2 Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . 8711.1.3 Grafische Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . 8911.1.4 Umkehrfunktionen fur Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . 9011.1.5 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.1.6 Winkeltabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

Inhaltsverzeichnis 7

11.1.7 Hinweise zur Notation und Benutzung des Taschenrechners . . 9211.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.4 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

12 Funktionen in Polarkoordinaten 9712.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

12.1.1 Definition Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.1.2 Beziehungen zwischen kartesischen und Polarkoordinaten . . . 9712.1.3 Kurvengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

12.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10412.4 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen 10613.1 Umstellen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10613.2 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10913.3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln und binomischer Lehrsatz 11213.4 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11613.5 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11913.6 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12713.7 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . 14413.8 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen . . . . . 14713.9 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15213.10 Funktionen in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

14 Hinweise und Losungen zu den Tests 15914.1 Umstellen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15914.2 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16314.3 Binomialkoeffizienten und Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . 16814.4 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17214.5 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17614.6 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18214.7 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19014.8 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen . . . . . 19314.9 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19814.10 Funktionen in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

8 1 Umstellen von Gleichungen

1 Umstellen von Gleichungen

1.1 Theorie

In diesem Abschnitt geht es um das Umstellen und Zusammenfassen von gebrochen-rationalen Termen der Form a · x

b= c, die nach einer Variable, z.B. nach x umgestellt

werden sollen.

Dazu benotigen Sie folgende Grundkenntnisse zur Bruchrechnung:

• Addition bzw. Subtraktion gleichnamiger Bruche:

a

c± b

c=a± bc

• Addition bzw. Subtraktion ungleichnamiger Bruche, indem man diese gleichnamigmacht:

a

c± b

d=a · d± b · c

c · dTipp: Bruche werden gleichnamig gemacht, indem die Bruche erweitert werden. Eingeeigneter gemeinsamer Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beidenNenner.

• Multiplikation von Bruchen:a

c· bd

=a · bc · d

• Division von Bruchen:a

c:b

d=a

c· db

=a · dc · b

Tipp: Bruche konnen dividiert werden, indem man den einen Bruch mit dem Kehr-wert des anderen Bruchs multipliziert.

Im gesamten Material setzen wir voraus, dass Ausdrucke in einem Nenner jeweils ver-schieden von Null sind. Die Division durch 0 wird nicht gesondert ausgeschlossen.

1.2 Beispiele

Beispiel 1.2.1 Stellen Sie folgende Gleichung nach f um!

1

f=

1

g+

1

b

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1.2 Beispiele 9

Losung: Addieren Sie zuerst die Bruche der rechten Seite durch Bildung eines Haupt-nenners:

1

f=

1

g· bb

+1

b· gg

=b

b · g+

g

b · g1

f=

b+ g

bg

1 =b+ g

bg· f

f =bg

b+ g

Beispiel 1.2.2 Stellen Sie folgende Gleichung nach µ um!

FL =1− 4H

1 + 4hdµ· Fk ·

(D

d

)2

Losung: Beachten Sie, dass µ an zwei Stellen vorkommt. Um nach µ umstellen zukonnen, darf µ nur einmal in der Gleichung stehen.

Zuerst wird der Nenner durch multiplizieren mit 1 + 4hdµ beseitigt:

FL ·(

1 + 4h

)=

(1− 4

H

)· Fk ·

D2

d2

Anschließend folgt das Ausmultiplizieren der Gleichung:

FL + 4FLh

dµ = Fk

D2

d2− 4

H

DµFk

D2

d2

Es bietet sich an, bereits zu kurzen und zu vereinfachen, um die Ubersichtlichkeit zuerhohen:

FL +4FLhµ

d=FkD

2

d2− 4HµFkD

d2

Zur weiteren Vereinfachung werden alle Terme, die µ enthalten, auf eine Seite der Glei-

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10 1 Umstellen von Gleichungen

chung gebracht, alle anderen Terme auf die andere Seite. Ziel ist es, µ auszuklammern:

4FLhµ

d+

4HµFkD

d2=

FkD2

d2− FL

µ ·(

4FLh

d+

4HFkD

d2

)=

FkD2

d2− FL

µ ·(

4FLhd+ 4HFkD

d2

)=

FkD2 − FLd

2

d2

µ =FkD

2−FLd2

d2

4FLhd+4HFkDd2

=(FkD

2 − FLd2) · d2

d2 · (4FLhd+ 4HFkD)

µ =FkD

2 − FLd2

4 (FLhd+ FkHD)

Tipp: In der Technik werden Doppelbruche in der Regel beseitigt.

1.3 Ubungen

Die Losungen zu den hier gestellten Aufgaben finden Sie im Kapitel”Hilfe und komplette

Losungen“. Zu jeder Aufgabe wird eine Bearbeitungszeit vorgegeben.

Ubung 1.3.1 (4 Min.) Stellen Sie bitte nach µ um!

PU =F

dπ(d4

+ µh)

→ Losung auf Seite 106

Ubung 1.3.2 (8 Min.) Vereinfachen Sie bitte folgenden Doppelbruch:

i1 =

u1R+ 1

jωC

R + 1jωC

→ Losung auf Seite 107

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1.4 Tests 11

Ubung 1.3.3 (6 Min.) Stellen Sie folgende Gleichung nach x um:

x

%Ag

+10− x%Sx

=10

%0

→ Losung auf Seite 108

Ubung 1.3.4 (10 Min.) Stellen Sie folgende Gleichung nach R1 um:

U2 =R2

R1 +R2

U1 −R1R2

R1 +R2

I2

→ Losung auf Seite 109

1.4 Tests

Test 1.4.1 (8 Min.) Stellen Sie die folgende Gleichung nach g um:

y =g2 ·R3 ·R2

g ·R4

− R0 · 10 · x2 · gC4 ·R3

1 g = y ·(R3 ·R2

R4

− R0 · 10 · x2

C4 ·R3

)2 g =

y ·R3 ·R4 · C4

C4 ·R32 ·R2 −R4 ·R0 · 10 · x2

3 g =C4 ·R2

3 ·R2 −R4 ·R0 · 10 · x2

y ·R3 ·R4 · C4

4 g =y

R3·R2

R4− R0·10·x2

C4·R3

→ Losung auf Seite 159

Test 1.4.2 (8 Min.) Stellen Sie die folgende Gleichung nach fL um:

m1 =3√a5 + β

(1√fL

)+ ut

1 fL =(

(m1 − 3√a5 − ut) · β

)22 fL =

(m1 − 3

√a5 − utβ

)2

3 fL =

m1 − 3√a5 − ut

)2

4 fL =(

(m1 +3√a5 + ut) · β

)2→ Losung auf Seite 160

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12 2 Potenzen und Wurzeln

Test 1.4.3 (8 Min.) Stellen Sie folgende Gleichung nach c um:

f =Ua − UbUc

A− Ud

c

1 c = Ud ·1

−Ua−Ub

f+ Uc

A

2 c = Ud ·1

−Ua−Ub

f+ Uc

A

3 c =Ud · f · A

(Ub − Ua) · A+ Uc · f4 c =

(Ua − Ud) · f(Ua − Ub) · A

→ Losung auf Seite 161

Test 1.4.4 (12 Min.) Stellen Sie die folgende Gleichung nach r2 um:

φ =Q1

4πε

(1

r1− r0d

A√r2 +B

+r0d· 1

r3

)

1 r2 =

(Q1 · r1 · d · r3

−4 · φ · π · ε · r1 · d · r3 +Q1 · d · r3 + r0 ·Q1 · r1

)2

·(r0A

d

)2

−B

2 r2 =

(−4φπε

Q1

+1

r1+

r0d · r3

)2

·(r0A

d

)2

+B

→ Losung auf Seite 162

2 Potenzen und Wurzeln

2.1 Theorie

Im folgenden Abschnitt sollen komplizierte Gleichungen, die Potenzen und Wurzeln ent-halten, vereinfacht werden.

Als Grundlage dienen die Potenz- und Wurzelgesetze:

• Multiplikation bzw. Division von Potenzen mit gleicher Basis:

an · am = a(n+m)

an : am = a(n−m)

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2.2 Beispiele 13

• Multiplikation bzw. Division von Potenzen mit gleichem Exponenten:

an · bn = (a · b)n

an : bn = (a : b)n

• Potenzieren von Potenzen:(an)m = a(n·m)

Zudem gelten folgende Definitionen:

a−n = 1an

fur a 6= 0

a0 = 1 fur a 6= 0

m√an = an/m fur a ≥ 0, und n,m positiv ganzzahlig

Im gesamten Material setzen wir voraus, dass Ausdrucke in einem Nenner jeweils ver-schieden von Null sind, die Division durch 0 wird nicht gesondert ausgeschlossen.

2.2 Beispiele

Beispiel 2.2.1 Vereinfachen Sie folgenden Term (a 6= 0) unter Anwendung der jeweili-gen Gesetze so weit wie moglich:

5anbn+4c2n+1

abxn+1yn+2zn+3:

3an−1b3cn+1

2xy2−nz3−n

Ein moglicher erster Schritt ist das Ausfuhren der Division:

5anbn+4c2n+1 · 2xy2−nz3−n

abxn+1yn+2zn+3 · 3an−1b3cn+1

Es ist wieder ratsam, den Term zu sortieren, um die Ubersichtlichkeit zu erhohen:

10anbn+4c2n+1xy2−nz3−n

3aan−1bb3cn+1xn+1yn+2zn+3

Entweder kurzt man nun direkt oder schreibt einen Term fur jede Basis, um die Gesetzeleichter anwenden zu konnen:

10

3· an

a · an−1· b

n+4

b · b3· c

2n+1

cn+1· x

xn+1· y

2−n

yn+2· z

3−n

zn+3

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14 2 Potenzen und Wurzeln

Nun kann das Gesetz fur die Division von Potenzen mit gleicher Basis angewendet wer-den:

10

3· an−(1+n−1) · bn+4−(1+3) · c2n+1−(n+1) · x1−(n+1) · y2−n−(n+2) · z3−n−(n+3)

=10

3· an−1−n+1 · bn+4−1−3 · c2n+1−n−1 · x1−n−1 · y2−n−n−2 · z3−n−n−3

=10

3· a0 · bn · cn · x−n · y−2n · z−2n

=10

3· bncn

xny2nz2n

=10

3·(

bc

xy2z2

)n

Beispiel 2.2.2 Der folgende Term ist so weit wie moglich durch Anwendung der Potenz-und Wurzelgesetze zu vereinfachen:

125a7b11

138x10y8:

175a4b18

92x9y8

Losung: Zuerst wird die Division durchgefuhrt, um die Terme auf einen Bruch zu bringen:

=125a7b11 · 92x9y8

138x10y8 · 175a4b18

Falls es schwer fallt richtig zu kurzen, sollte man Zahler und Nenner sortieren:

=125 · 92a7b11x9y8

138 · 175a4b18x10y8

Treten in derartigen Ausdrucken ganzzahlige Faktoren auf, konnen Sie diese leicht durchZerlegung in Primfaktoren (Primzahlen: naturliche Zahlen, die nur durch 1 oder durchsich selbst teilbar sind) in Potenzausdrucke umschreiben.

Dabei werden beginnend mit 2 die ganzzahligen Teiler der gegebenen Zahl in wachsenderReihenfolge ermittelt. Oft sind diese Faktoren mehrfach vorhanden, wodurch entspre-chenden Potenzen auftreten:

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2.3 Ubungen 15

125︸︷︷︸ist nicht durch 2 und 3 teilbar

= 5 · (25) = 5 · (5 · 5) = 53

92 = 2 · (46) = 2 · (2 · 23︸︷︷︸Primzahl

) = 22 · 23

138 = 2 · (69) = 2 · (3 · 23︸︷︷︸Primzahl

) = 2 · 3 · 23

175︸︷︷︸ist nicht durch 2 und 3 teilbar

= 5 · (35) = 5 · (5 · 7) = 52 · 7

Durch Anwendung von Potenzgesetzen konnen Sie nun weiter vereinfachen:

125 · 92

138 · 175=

(53) · (22 · 23)

(2 · 3 · 23) · (52 · 7)=

53−2 · 22−1 · 231−1

3 · 7=

5 · 23 · 7

=10

21

Tipp: Manchmal hilft es die Terme einzeln zu betrachten, damit direkt erkannt wird,welches Gesetz angewendet werden kann:

=10

21· a

7

a4· b

11

b18· x

9

x10· y

8

y8

=10

21· a7−4 · b11−18 · x9−10

=10

21· a3 · b−7 · x−1

=10

21· a

3

b7x

2.3 Ubungen

Ubung 2.3.1 (8 Min.) Vereinfachen Sie so weit wie moglich:(a−4b−5

x−1y3

)2

·(a−2x

b3y2

)−3

→ Losung auf Seite 109

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16 2 Potenzen und Wurzeln

Ubung 2.3.2 (8 Min.) Vereinfachen Sie bitte folgenden Ausdruck:

6√vw3 · 4

√n5v8w−2 ·

√nv3

→ Losung auf Seite 110

Ubung 2.3.3 (10 Min.) Vereinfachen Sie bitte folgenden Ausdruck:

√ax (a2x)

13 (b2)

x

6√ax (bx)3

→ Losung auf Seite 111

2.4 Tests

Test 2.4.1 (8 Min.) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:

y =(α · β)k−3µ2 · ψm+2

αm+f · γ5:

Ω · αl−1√β · µ

1 y = αk−m−f+l−4 · βk− 72 · µ 3

2 · ψm+2 · γ−5 · Ω

2 y = αk−3

(m+f)(l−1) · β k−32 · µ · ψm+2 · γ−5 · Ω

3 y = αk−m−f−l−2 · βk− 52 · µ 5

2 · ψm+2 · γ−5 · Ω−1

4 y = αk+m+f+l−4 · βk− 52 · µ 5

2 · ψm+2 · γ−5 · Ω−1

→ Losung auf Seite 163

Test 2.4.2 (4 Min.) Stellen Sie folgende Gleichung nach r um:

y =rn+1 · apq

rn−1 · ym

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2.4 Tests 17

1 r = ±√

ym+1

apq2 r = ±

√yapq

3 r = ± 2n

√ym+1

apq4 rn−r

rn+r= apq

ym+1

→ Losung auf Seite 164

Test 2.4.3 (15 Min.) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:

y =3

√√√√√(a0,5b

14

)24

:3

√√√√√ 3

√√√√( 3√b · aa

)81

1 y =b2

a42 y =

a8

b4

3 y =a2

b4 y = a · b2

→ Losung auf Seite 165

Test 2.4.4 (15 Min.) Stellen Sie folgenden Ausdruck nach h um:

3√α4 · β5

4

√λ3

h7

=

3

√(x · β)6 · 7

√h4

α5

5

√(x · β)125

1 h = α2772917 ·β− 2016

131 ·x 1596131 ·λ− 63

131 2 h = α−924917 ·β− 2072

131 ·x− 1932131 ·λ 63

131

3 h = α63262 · β 1344

655 · x 4536131 · λ− 273

131 4 h = α924917 · β 1344

655 · x 1932131 · λ− 273

131

→ Losung auf Seite 166

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18 3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln, binomischer Lehrsatz

3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln,binomischer Lehrsatz

3.1 Theorie

Mit Hilfe des Binomialkoeffizienten kann bestimmt werden, auf wie viel verschiedeneArten k Elemente aus einer n-elementigen Menge ausgewahlt werden konnen. Dabei istdie Reihenfolge unerheblich und die Elemente durfen nicht zuruckgelegt werden.

Der Binomialkoeffizient wird folgender Maßen berechnet:(n

k

)=

n!

k! · (n− k)!fur n,k ∈ N0 ,n ≥ k

Der Ausdruck fur den Binomialkoeffizienten wird”n uber k“ gesprochen. Das Symbol

‘!’ wird Fakultat genannt und bezeichnet das Produkt aller naturlichen Zahlen von 1 bisn. Beispielsweise ist 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.Weiterhin definiert man im Sonderfall 0! = 1.

Ein bekanntes Beispiel ware zum Beispiel die Ziehung der Lottozahlen ohne Zusatzzah-len, denn es werden 6 Zahlen aus 49 gezogen. Es gibt also entsprechend viele Moglichkeiten:(

49

6

)=

49!

6! · 43!

=49 · 48 · . . . · 2 · 1

6 · 5 · . . . · 2 · 1 · 43 · 42 · . . . · 2 · 1

=49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 13 983 816

Tipp: Sollten die Fakultaten zu groß fur die Taschenrechnerkapazitat sein, so kann manwie im Beispiel Faktoren, die im Nenner und Zahler vorkommen, kurzen.

Der Name Binomialkoeffizient stammt von der Verwendung des Terms als Koeffizientenim binomischen Lehrsatz. Dieser dient zur Berechnung von potenzierten Summen zweierVariablen, bekannt sind vor allem die so genannten binomischen Formeln.

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3.2 Beispiele 19

Der binomische Lehrsatz ist definiert durch:

(x+ y)n =

(n

0

)xn +

(n

1

)xn−1y + . . .+

(n

n− 1

)xyn−1 +

(n

n

)yn

=n∑k=0

(n

k

)xn−kyk

Die benotigten Binomialkoeffizienten konnen berechnet werden oder aus dem Pascal-schen Dreieck abgelesen werden:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

Der binomische Lehrsatz liefert auch die bekannten binomischen Formeln:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

(a+ b) · (a− b) = a2 − b2

3.2 Beispiele

Beispiel 3.2.1 Berechnen Sie den Binomialkoeffizienten(106

).

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20 3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln, binomischer Lehrsatz

Losung:

10!

6! 4!

=10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 16 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1

=10 · 9 · 8 · 74 · 3 · 2 · 1

=5 · 3 · 2 · 7

1

= 210

Beispiel 3.2.2 Bestimmen Sie (a+ b)3 mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes!

Losung:

(a+ b)3 =3∑

k=0

(3

k

)a3−k bk

=

(3

0

)· a3 · b0 +

(3

1

)a2b1 +

(3

2

)a1b2 +

(3

3

)a0b3

= 1 · a3 + 3 · a2b+ 3 · ab2 + 1 · b3

3.3 Ubungen

Ubung 3.3.1 (3 Min.) Bitte berechnen Sie den Binomialkoeffizienten(9087

).

→ Losung auf Seite 112

Ubung 3.3.2 (5 Min.) Bestimmen Sie eine Formel fur (a+ b)4 mit Hilfe des binomi-schen Lehrsatzes!

→ Losung auf Seite 112

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3.4 Tests 21

Ubung 3.3.3 (10 Min.) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck so weit wie moglich:

4a2

2a(2a+ b)− 2ab− b2+

(b2 +

4ab− 2a2b

a− 2

)a

b3 − 4ab2 + 4a2b

→ Losung auf Seite 113

Ubung 3.3.4 (8 Min.) Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie moglich:

1

a2 + 2ab+ b2+

1

a2 − b2− b2

a4 − a2b2− 1

a2

→ Losung auf Seite 114

Ubung 3.3.5 (15 Min.) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:√1 +

((a

23 − x 2

3

) 12x−

13

)2−6 − 1

a2

√(a2 − x2)2 + 4a2x2

→ Losung auf Seite 115

3.4 Tests

Test 3.4.1 (8 Min.) Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck:

y =

√(n

n− 1

)· (n2 + 2n+ 1)(n+ 1)

(n3 − n)(n− 1)

1 y =n+ 1

n− 1·√

1

n− 12 y =

n+ 1

n− 13 y =

n+ 1

n− 1·√n+ 1

n− 1

→ Losung auf Seite 168

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22 3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln, binomischer Lehrsatz

Test 3.4.2 (10 Min.) Vereinfachen Sie die folgende Gleichung und stellen Sie diesenach h um:

(α− β)(β − µ)

(0,25h2 + 2h+ 4) (0,04µ2 − 1)=

(β2 − µ2)

(α + β) (0. 2µ+ 1)

1 h = ±

√(α− β)2

(β − µ)(µ5− 1) − 2

2 h = ± 2

√(α− β)2

(β − µ)(µ5− 1) − 4

3 h = ± 2

√5 (α2 − β2)

(β + µ) (µ− 5)− 4

→ Losung auf Seite 169

Test 3.4.3 (10 Min.) Der binomische Ausdruck (x + y)15 kann mit Hilfe des bino-mischen Satzes als Summe dargestellt werden. Bestimmen Sie die Koeffizienten A undB bei den Summanden mit den Potenzen x4y11 bzw. x12y3.

1 A = 455 B = 1365

2 A = 1265 B = 455

3 A = 330 B = 72 600

→ Losung auf Seite 170

Test 3.4.4 (15 Min.) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:

y =

√α3 + α2 + 3αγ2 + 2αγ + 3α2γ + γ3 + γ2

(α4 + γ4 − 2α2γ2) · (α2 − γ2 − 2γ − 1)

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4.1 Theorie 23

1 y =1

(α2 − γ2)

√α5 + 8α4γ4 + γ5

α2 − (γ2 + 2γ + 1)

2 y =1

α− γ

√1

(α− γ − 1)

3 y =α√α + 2α2γ2

√2 + γ

√γ

(α2 − γ2) · (α− (γ + 2))

→ Losung auf Seite 171

4 Polynomdivision

4.1 Theorie

Polynome sind Audrucke der Form

Pn(x) =n∑i=0

aixi = anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0, ai ∈ R; i,n ∈ N0.

Dabei wird ai als Koeffizient bezeichnet und es wird an 6= 0 vorausgesetzt; n ist derGrad des Polynoms (Polynom n-ten Grades).

Ein Polynom n-ten Grades kann durch ein anderes Polynom m-ten Grades dividiertwerden, wenn n ≥ m erfullt ist:

Pn(x)

Pm(x)= Pn(x) : Pm(x) = . . .

Das Verfahren funktioniert analog zur schriftlichen Division von Zahlen mit Rest. Dabeiwird vom Dividenden das passende Vielfache des Divisors abgezogen, bis die Rechnungkomplett aufgeht oder ein Rest ubrig bleibt, der nicht mehr durch den Divisor teilbarist. Eine genaue Erlauterung der Vorgehensweise erfolgt in den Beispielen.

Die Polynomdivision ist u.a. hilfreich bei der Ermittlung von Nullstellen von Polynomen.Es ist i.d.R. kompliziert bzw. unmoglich, die Nullstellen eines Polynoms hoheren alszweiten Grades exakt zu berechnen. Wenn man allerdings eine Nullstelle x∗ gefundenhat, kann das Polynom Pn(x) ohne Rest durch das Binom x− x∗ geteilt werden:

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24 4 Polynomdivision

Pn(x)

x− x∗= Pn(x) : (x− x∗) = Pn−1(x)

Das entstehende Restpolynom Pn−1(x) wird dann weiter untersucht. Ist zum Beispielzunachst ein Polynom 3. Grades gegeben,

P3(x)

x− x∗= P3(x) : (x− x∗) = P2(x)

kann dann fur das Restpolynom P2(x) die p-q-Formel zur exakten Berechnung der wei-teren zwei Nullstellen eingesetzt werden.

4.2 Beispiele

Beispiel 4.2.1 Berechnet werden soll die Division(x2 + 2x3 − 1

):(−2 + x2

)Losung: Bevor mit der Division begonnen werden kann, mussen die Terme absteigendnach dem Grad des Polynoms zu(

2x3 + x2 − 1)

:(x2 − 2

)sortiert werden, da man zuerst die großte Potenz dividiert. Nun uberlegt man, wie oft(x2 − 2) in 2x3 passt. Dafur geht man wie folgt vor: Zuerst teilt man 2x3 : x2 = 2x, umdas erste Glied des Ergebnisses zu berechnen.

Nun multipliziert man das erste Teilergebnis mit dem Divisor und subtrahiert das Er-gebnis vom Dividenden, um zu ermitteln, welcher Rest noch dividiert werden muss.2x · (x2 − 2) = 2x3 − 4x

Man verwendet folgende Notation, die analog zur schriftlichen Division funktioniert. Zurbesseren Ubersicht sollten gleiche Potenzen untereinander geschrieben werden:

(2x3 +x2 − 1) : (x2 − 2) = 2x

− (2x3 − 4x)

(=) x2 + 4x − 1

Die −1 entsteht als Ubertrag aus der ersten Zeile.

Der bei der Subtraktion entstandene Rest x2 + 4x − 1 hat bereits nur noch einen Po-lynomgrad von 2. Nun dividiert man x2 : x2 = 1 und multipliziert das Ergebnis mit

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4.2 Beispiele 25

(x2 − 2). Anschließend kann die Berechnung fortgeschrieben werden:

(2x3 + x2 − 1) : (x2 − 2) = 2x+ 1

− (2x3 − 4x)

(=) x2 + 4x − 1

− (x2 − 2)

(=) 4x + 1

Nun entsteht ein Rest 4x+1, der jedoch nicht ganzzahlig durch x2−2 teilbar ist, da dasRestpolynom einen kleineren Grad als der Divisor hat. Deswegen lautet das Ergebnis:

(2x3 + x2 − 1) : (x2 − 2) = 2x+ 1 + 4x+1x2−2

− (2x3 − 4x)

(=) x2 + 4x − 1

− (x2 − 2)

(=) 4x + 1 (Rest)

Beispiel 4.2.2 Das folgende Beispiel zeigt, dass auch eine Polynomdivision mit zweiVariablen funktioniert. Es soll folgende Division ausgefuhrt werden:(

a3 − b3)

: (a− b)

Losung: Hier sind die Terme nach Variable und Potenz bereits sortiert und es kann(a3 − b3) durch (a− b) geteilt werden. Vorab erfolgt folgender Zwischenschritt:

a3 : a = a2

a2 · (a− b) = a3 − a2b

Nun kann der erste Schritt ausgefuhrt werden:

(a3 − b3) : (a− b) = a2

− (a3 − a2b)(=) a2b − b3

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26 4 Polynomdivision

Der entstandene Rest ist (a2b− b3), der nun durch (a− b) dividiert werden muss:

(a3 − b3) : (a− b) = a2 + ab

− (a3 − a2b)(=) a2b − b3

− (a2b − ab2)(=) ab2 − b3

Der neue Rest ist (ab2 − b3). Die Schritte werden so lange fortgefuhrt, bis die Rechnungaufgegangen ist oder ein nicht teilbarer Rest ubrig bleibt:

(a3 − b3) : (a− b) = a2 + ab+ b2

− (a3 − a2b)(=) a2b − b3

− (a2b − ab2)(=) ab2 − b3

− (ab2 − b3)(=) 0

In diesem Fall geht die Division ohne Rest auf und die Aufgabe ist damit gelost.

4.3 Ubungen

Ubung 4.3.1 (6 Min.) Losen Sie folgende Aufgabe:(2x4 − x2

): (x− 5)

→ Losung auf Seite 116

Ubung 4.3.2 (8 Min.) Berechnen Sie alle Nullstellen des Polynoms

x3 + x2 − 10x+ 8

→ Losung auf Seite 116

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4.4 Tests 27

Ubung 4.3.3 (10 Min.) Fuhren Sie die folgende Division aus:(3x4 − 3x2 − 54x− 54

):(2x− x2 + 3

)→ Losung auf Seite 118

Ubung 4.3.4 (10 Min.) Fuhren Sie bitte folgende Polynomdivision aus:(a2b− 3b3 + ab2 + a3

): (a− b)

→ Losung auf Seite 118

4.4 Tests

Test 4.4.1 (8 Min.) Bestimmen Sie mit Hilfe der Polynomdivision die Nullstellendes folgenden Polynoms

y = P3(x) = x3−6x2 − x+ 6

1 x1 = 1 x2 = −2 x3 = −3

2 x1 = 1 Der Rest der Polynomdivision ist 8.

3 x1 = 1 x2 = 6 x3 = −1

→ Losung auf Seite 172

Test 4.4.2 (12 Min.) Fuhren Sie folgende Division durch und bestimmen Sie denRest R.

(2a5bx+2 − 2a3bx+5 + 3a4b2x−1 − 3a2b2x+2

):(a2 − b3

)1 2a3bx+2 + 3a2b2x−1 , R = 0

2 2a3 , R = bx+2 + 2a2b3 − 2a3bx+5 + 3a4b2x−1 − 3a2b2x+2

3 2a3bx+2 + 3a2b2x−1 , R = 2a3bx+2 − 2a3bx+5 − 3a2b2x−1

→ Losung auf Seite 173

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28 4 Polynomdivision

Test 4.4.3 (12 Min.) Fuhren Sie folgende Division durch und bestimmen Sie denRest R.

(5λ8 − 3λ4 + 2λ3 + λ2 − 1) : (λ+ 1)

1 5λ7 + 5λ6 + 5λ5 + 5λ4 + 2λ3 + λ+ 1 , R = 0

2 5λ7 − 5λ6 + 5λ5 − 5λ4 + 2λ3 + λ− 1 , R = 0

3 5λ8 − 3λ4 + 2λ3 , R = λ

→ Losung auf Seite 174

Test 4.4.4 (15 Min.) Fuhren Sie folgende Division durch und bestimmen Sie denRest R.

(α4βx+4 − α2λy+6βx−6 + α2λ6βx+8

):(α2β4 + λ6β8

)1 α2βx − λy+6βx−10 , R = λy+12βx−2

2 α2βx − λy+6βx−10 , R = 0

3 α2λy−1βx − λyβx , R = λy+12βx−2

→ Losung auf Seite 175

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5.1 Theorie 29

5 Mengenlehre

5.1 Theorie

Ein wichtiger Bestandteil der mathematischen Theorie ist die Mengenlehre. Sie wirdbeispielsweise benutzt, um Losungsmengen anzugeben oder wird in der Wahrschein-lichkeitsrechnung angewendet. Daher sollten Sie Grundbegriffe und Schreibweisen derMengenlehre kennen. Den Mengenbegriff setzen wir hier als bekannt voraus.

Gehort ein Element x zu einer Menge M, schreibt man das in der Form x ∈ M oderauch mit der Angabe einer Eigenschaft der Elemente

Mengenname = x | Eigenschaft

Diese Menge enthalt alle Elemente x, die die entsprechende Eigenschaft besitzen, densenkrechten Strich ” | ”liest man als ”mit der Eigenschaft”. Beispielsweise enthalt dieMenge

M= x | R, x > 1

alle reellen Zahlen großer als 1.

Ublich ist auch die Darstellung im Venn-Diagramm:

Mx

Die leere Menge, die kein Element enthalt, wird durch ∅ oder symbolisiert.

Verschiedene Schreibweisen von Mengen sind:

• Mengenname = Element 1,. . . ,Element n aufzahlende Angabe der Elemente

• Mengenname = [a,b](Intervallschreibweise): Diese Menge beinhaltet alle Elemente(reelle Zahlen) zwischen a und b inklusive der Grenzen a und b. Sind die Grenzenkein Teil der Menge (offenes Intervall), zeigen die Klammern nach außen oder eswerden runde Klammern gesetzt:

Mengenname = ]a,b] = (a,b]

Diese Menge beinhaltet alle Element ab a bis einschließlich b.

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30 5 Mengenlehre

Besonders wichtig sind die moglichen Verknupfungen von (zwei) Mengen:

• Durchschnitt der Mengen M und N (Schnittmenge):

M ∩N ist definiert durch die Menge = x | x ∈M ∧ x ∈ N

Der Durchschnitt zweier Mengen ist diejenige Teilmenge, die die Elemente enthalt,die in beiden Mengen enthalten sind.

M N

• Vereinigung:

M ∪N ist definiert durch die Menge = x | x ∈M ∨ x ∈ N

Die Vereinigung von zwei Mengen ist eine Menge, die alle Element aus M und alleElement aus N enthalt.

M N

• Differenzmenge:

M \N ist definiert durch die Menge = x | x ∈M ∧ x /∈ N

Die Differenzmenge von M und N enthalt alle Elemente aus M, die nicht in Nenthalten sind.

M N

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6.1 Theorie 31

6 Funktionen

6.1 Theorie

Eine Funktion ordnet jedem Wert x aus einer Menge durch eine Vorschrift f eindeutigeinen Wert y aus einer weiteren Menge zu. Notiert wird eine Funktion durch y = f(x).y ist eine von x abhangige Variable.

Die Menge aus der die Variable x stammt nennt man Definitionsmenge, y ist ein Ele-ment des Wertebereichs. Funktionen zeichnen sich durch die Eigenschaften Monotonie,Symmetrie und Periodizitat aus, die nachfolgend erlautert werden.

6.1.1 Eigenschaften von Funktionen

Monotonie Mit Hilfe des Monotoniebegriffes lasst sich der Verlauf einer Funktionnaher beschreiben. Es existieren 4 Monotoniearten:

• Eine Funktion heißt streng monoton wachsend, wenn der nachfolgende Funktions-wert stets großer ist als der vorherige.

Fur x1 < x2 gilt f(x1) < f(x2) .

Beispielhaft dargestellt ist die streng monoton wachsende Funktion y = f(x) = x :

x

y

• Eine Funktion heißt monoton wachsend, wenn auch die Gleichheit der Funktions-werte zugelassen wird.

Fur x1 < x2 gilt f(x1) ≤ f(x2) .

Die Abbildung zeigt eine monoton wachsende Funktion:

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32 6 Funktionen

x

y

• Eine Funktion kann auch streng monoton fallend sein.

Fur x1 < x2 gilt f(x1) > f(x2) .

Das Beispiel zeigt die streng monoton fallende Funktion y = f(x) = −x :

x

y

• Analog heißt eine Funktion monoton fallend, wenn auch eine Gleichheit der Funk-tionswerte zugelassen ist.

Fur x1 < x2 gilt f(x1) ≥ f(x2) .

Diese Abbildung zeigt eine monoton fallende Funktion:

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6.1 Theorie 33

x

y

Hinweis: Die dargestellten Beispiele sind fur den gesamten Definitionsbereich monoton.Die Monotonie einer Funktion kann auch auf Intervallen beschrieben werden, wenn ei-ne Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich nicht einer Monotonieart zugeordnetwerden kann.

Symmetrie Der Graph einer Funktion kann symmetrisch zu einer Geraden oder sym-metrisch zu einem Punkt verlaufen. Man unterscheidet folgende Symmetriearten:

• Achsensymmetrie: Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt:

Fur alle x ∈ Df gilt f(x) = f(−x) .

Die unten abgebildete Funktion ist achsensymmetrisch, da gilt

f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x)

x

y

Hinweis: Es existieren auch noch Achsensymmetrien bezuglich anderer Achsen,jedoch soll auf diese hier nicht weiter eingegangen werden.

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34 6 Funktionen

• Punktsymmetrie: Eine Funktion wird als punktsymmetrisch zum Ursprung be-zeichnet, wenn gilt:

Fur alle x ∈ Df gilt −f(x) = f(−x) .

Die Grafik zeigt eine punktsymmetrische Funktion, fur die die Bedingung erfulltist:

f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x)

x

y

Hinweis: Wiederum existieren auch noch Punktsymmetrien bezuglich anderer Punk-te, jedoch soll auf diese hier nicht weiter eingegangen werden.

Periodizitat Eine Funktion heißt periodisch, wenn sich die Funktionswerte in regelmaßigenAbstanden wiederholen. Mathematisch wird dies durch folgende Formel ausgedruckt:

f(x) = f(x+ kT ) k = 0,± 1,± 2, . . .

T bezeichnet man als Periode. Wichtige periodische Funktionen sind die trigonome-trischen Funktionen, von denen z.B. Sinus und Cosinus eine kleinste Periode von 2πbesitzen.

Umkehrbarkeit Funktionen sind umkehrbar, wenn sie fur den gesamten Definitionsbe-reich streng monoton wachsen oder streng monoton fallend sind. Sollte dieses Kriteriumnur fur Intervalle des Definitionsbereichs erfullt sein, so ist die Funktion nur fur dieseIntervalle umkehrbar. Es existiert die Umkehrfunktion

y = f−1(x)

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6.1 Theorie 35

Dies darf nicht mit y = 1/f(x) verwechselt werden! Der Definitionsbereich der Funktionentspricht dem Wertebereich der Umkehrfunktion und der Wertebereich der Funktionentspricht dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion.

Wenn das Kriterium uberpruft wurde, kann die Umkehrfunktion gezeichnet werden,indem man die Funktion an der Winkelhalbierenden y = x spiegelt. Dabei sollte beachtetwerden, dass jede Umkehrfunktion pro Intervall eine eigenstandige Funktion ist.

Die Umkehrfunktion kann berechnet werden, indem man

1. Die Funktion umstellt, bis die Variable x allein auf einer Seite steht.

2. Anschließend die Variablen formal vertauscht, so dass y durch x ersetzt wird undx durch y.

Auch bei der Berechnung der Umkehrfunktion sind die moglichen Intervalle, auf denendie Umkehrfunktionen existieren, zu berucksichtigen. Dies werden wir z.B. im Kapitel 8uben.

6.1.2 Wirkung von Parametern

In der Technik ist es von Bedeutung zu wissen, wie sich die Parameter a, b, c und d aufFunktionen der Art y = a · f(b x+ c) + d auswirken. Im folgenden wird auf den Einflussder einzelnen Parameter eingegangen.

Verschieben durch c und d

y = f(x) + d Der Graph der Funktion f(x) wird um d nach oben verschoben.

y = f(x)− d Der Graph der Funktion f(x) wird um d nach unten verschoben.

y = f(x− c) Der Graph der Funktion f(x) wird um c nach rechts verschoben.

y = f(x+ c) Der Graph der Funktion f(x) wird um c nach links verschoben.

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36 6 Funktionen

f(x + c) f(x − c)f(x)

f(x) + d

f(x) − d

x

y

Stauchen, Strecken und Spiegeln durch a und b

|a| > 1 Streckung in y-Richtung.

|a| < 1 Stauchung in y-Richtung.

a < 0 Spiegelung an der x-Achse.

|b| > 1 Stauchung in x-Richtung.

|b| < 1 Streckung in x-Richtung.

b < 0 Spiegelung an der y-Achse.

Hinweis: Wenn b 6= 1, dann wird in der Funktion y = f(bx+ c) der um b gestreckte bzw.gestauchte Funktionsgraph nur um (c/b) verschoben.

y = x3y = (10x)3

y = (− x)3 y = (0.1x)3

x

y

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7.1 Theorie 37

7 Lineare Funktionen

7.1 Theorie

7.1.1 Einleitung

Lineare Funktionen sind Polynome ersten Grades bzw. Geraden der Form y = a1x+ a0.Es werden nur zwei Punkte benotigt, um eine lineare Funktion eindeutig zu bestimmen.

Es gibt drei verschiedene Darstellungsformen, dabei ist die Wahl der Formeln ist abhangigvon der Aufgabenstellung:

• ParameterdarstellungEine Gerade ist definiert durch einen Anstieg und den Punkt, wo sie die y-Achseschneidet, was folgende Formeln ausdruckt:

y = mx+ n

mit m als Anstieg und n als y-Achsenabschnitt.

• Zwei-Punkte-FormelEine lineare Funktion kann auch durch zwei Punkte (x0; y0) und (x1; y1) definiertsein, dann gilt die Gleichung

y − y0y1 − y0

=x− x0x1 − x0

.

• PunktrichtungsformelDie Punktrichtungsformel berucksichtigt die Steigung und einen beliebigen Punkt(x0; y0). Sie lautet

y = m(x− x0) + y0.

Die Steigung einer Geraden kann leicht durch das Steigungsdreieck ermittelt werden,was durch folgende Formel ausgedruckt wird:

m =y1 − y0x1 − x0

= tanα

α ist der Steigungswinkel der Geraden.

Die lineare Funktion ist eine besonders einfache und wichtige Funktion, fur die folgende(im Kapitel uber allgemeine Funktionen bereits vorgestellten) Eigenschaften gelten:

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38 7 Lineare Funktionen

Monotonie:

Ist m > 0, handelt es sich um eine streng monoton steigende Funktion.Fur m < 0 ist eine lineare Funktion immer streng monoton fallend.

Deswegen sind lineare Funktionen immer umkehrbar, da es sich immer um strengmonoton wachsende oder streng monoton fallende Funktionen handelt.

Symmetrie:

Eine Gerade kann nur achsensymmetrisch sein, wenn m = 0 ist.Punktsymmetrisch sind lineare Funktionen nur, wenn sie durch den Koordi-natenursprung verlaufen, also n = 0 ist.

Außerdem sind Geraden keine periodischen Funktionen.

7.1.2 Schnittpunkt von Geraden

Wenn zwei Geraden sich schneiden, nennt man den gemeinsamen Punkt Schnittpunkt.In diesem Punkt wird dem x-Wert von beiden linearen Funktionen der gleiche y-Wertzugeordnet:

f1(x) = y = f2(x)

Die Ermittlung des Schnittpunktes erfolgt demnach folgendermaßen:

1. Geradengleichungen gleich setzen

2. Nach x auflosen, um die Schnittstelle zu erhalten

3. Den berechneten x-Wert in eine der zwei Gleichungen einsetzen, um den y-Wertzu bestimmen.

In den vorgerechneten Beispielen dieses Kapitels wird noch die Vorgehensweise an einemkonkreten Beispiel erlautert.

7.1.3 Orthogonale Geraden

Zwei Geraden nennt man orthogonal, wenn sie sich in einem rechten Winkel schneiden.Fur die Steigungen und orthogonaler Geraden gilt

m1 ·m2 = −1.

Mit Hilfe dieser Gleichung kann man Geraden auf Orthogonalitat prufen oder eine or-thogonale Gerade zu einer anderen Geraden bestimmen.

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7.1 Theorie 39

7.1.4 Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Mit Abstand bezeichnet man immer den kurzesten Abstand d zwischen einem PunktP und der Geraden y = mx + n. Dieser ist in der Abbildung durchgehend schwarzgekennzeichnet.

P ( x ; y )

PS ( xS ; yS )

Der Punkt P liegt also auf einer orthogonalen Geraden, die bei der Berechnung hilfreichsein wird.

Der Abstand wird wie folgt berechnet:

1. Berechnung einer orthogonalen Hilfsgeraden, die durch P verlauft und orthogonalzu der gegebenen Geraden ist. Dies bezeichnet man auch als

”Fallen eines Lots“

von Punkt P auf die Gerade.

2. Bestimmung des Schnittpunktes PS der Geraden und der orthogonalen Hilfsgera-den.

3. Den Abstand d zwischen dem Punkt P und dem Schnittpunkt PS bzw. die Langedes Lots berechnet man mit der folgenden Formel, die auf dem Satz des Pythagorasbasiert:

d =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

7.1.5 Betragsfunktion

Die Betragsfunktion f(x) = |x| ordnet jedem Wert x dessen Absolutbetrag zu. Dieserist definiert durch

|x| =

x fur x ≥ 0

−x fur x < 0.

Die Grafik zeigt beispielhaft die Funktion f(x) = |x|:

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40 7 Lineare Funktionen

x

y

Die Funktion ist fur x ≤ 0 streng monoton fallend und wachst streng monoton fur x ≥ 0.Im Punkt (0; 0) nimmt die Betragsfunktion ein Minimum an, ist an dieser Stelle jedochnicht differenzierbar.

Bitte beachten Sie, dass nicht nur Betragsfunktionen basierend auf linearen Funktionenexistieren. Es gibt auch Funktionen, die sich aus Betragsfunktionen zusammensetzen.Beispiele sind f(x) = |sinx|, f(x) = |x2 − 4| oder f(x) = | lnx| + 1. Uberlegen Sie sichbitte selbst, was der Betrag im jeweiligen Fall bewirkt.

7.1.6 Lineare Ungleichungen

Ungleichungen verknupfen Variablen nicht durch das Gleichheitszeichen sondern durchdie Zeichen < , ≤ , > und ≥ ; so z.B. die Ungleichung x + 3 > 4x + 2. In diesem Fallware zu untersuchen, welche Werte fur die Variable x aus dieser Ungleichung eine wahreAussage liefern. Lineare Ungleichungen sind besonders einfach, da nur Fallunterschei-dung vorgenommen werden mussen, wenn neben der einen Variablen auch Parametervorkommen.

Lineare Ungleichungen konnen zeichnerisch gelost werden, was anhand der vorgerechne-ten Beispiele noch naher erlautert wird, oder durch Umstellen. Lineare Ungleichungenmussen nach der Variablen umgestellt werden. Der Losungsbereich wird mit einer geeig-neten Schreibweise fur Mengen dargestellt.

Die Sachverhalte dieses Kapitels werden nun an Beispielen noch einmal erlautert.

7.2 Beispiele

Beispiel 7.2.1 Zeichnen Sie die Funktionen und bestimmen Sie die Geradengleichunganhand der gegebenen Angaben

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7.2 Beispiele 41

1.) P1(4; 3) P2(1; 2)

2.) P1(2; 0) m = 3

3.) n = 1 m = 0

Rechnerische Losung:

1.) Da zur Aufstellung der Geraden zwei Punkte angegeben sind, bietet es sich an, dieZwei-Punkte-Formel zu verwenden:

y − 3

2− 3=x− 4

1− 4

Diese Formel kann man durch Umstellen leicht in die Parameterform, die fur weitereBerechnungen geeigneter ist, uberfuhren:

y − 3

−1=

x− 4

−3

−3(y − 3) = −1(x− 4)

−3y + 9 = −x+ 4

−3y = −x− 5

y =1

3x+

5

3

2.) Fur dieses Beispiel bietet sich die Punktrichtungsformel an:

y = 3(x− 2) + 0 = 3x− 6

3.) Die Angaben konnen direkt in die Parameterdarstellung ubernommen werden:

y = 0 · x+ 1 = 1

Grafische Losung:

1.) Die Gerade lasst sich schnell zeichnen, indem man die zwei gegebenen Punkte eintragtund diese miteinander verbindet.

2.) Die Gerade kann gezeichnet werden, indem man das Wissen uber die Parameter ausdem Kapitel uber allgemeine Funktionseigenschaften anwendet. Alternativ kann manauch das Steigungsdreieck verwenden.

3.) Hier handelt es sich um eine spezielle Gerade, die parallel zur x-Achse durch y = 1verlauft.

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42 7 Lineare Funktionen

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−1

1

2

3

4

5

x

y

y = 1 3x + 5 3y = 3(x − 2)y = 1

Beispiel 7.2.2 Bestimmen Sie den Schnittpunkt zwischen der Geraden aus Beispiel7.2.1 (1.) und f(x) = 2x.

Losung: Der Schnittpunkt wird durch Gleichsetzen der beiden linearen Funktionen be-rechnet:

1

3x+

5

3= 2x

Nun wird diese Gleichung nach x aufgelost:

5

3= 2x− 1

3x

5

3=

6

3x− 1

3x

5

3=

5

3x

x = 1

Um den y-Wert zu ermitteln, muss der x-Wert des Schnittpunktes in eine der beidenFunktionen eingesetzt werden:

y = 2 · 1 = 2

Der Schnittpunkt beider Geraden lautet somit S(1; 2).

Beispiel 7.2.3 Berechnen Sie den Abstand der Geraden aus Beispiel 7.2.1 (1.) zu demPunkt P (4; 5).

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7.2 Beispiele 43

Losung: Um diese Aufgabe zu losen, wird zunachst der Anstieg der orthogonalen Hilfs-geraden bestimmt:

m1 ·mH = −1 ∧ m1 =1

3

mH =−113

mH = −3

Da fur die Hilfsgerade der Punkt P (4; 5) und der Anstieg mH = −3 gegeben sind, kannnun leicht die Punktrichtungsformel angewendet werden:

y = −3(x− 4) + 5 .

Fur die Berechnung des Schnittpunktes ist die Parameterform besser geeignet. Deshalbsollte man die Gleichung gleich ausmultiplizieren:

y = −3x+ 12 + 5 = −3x+ 17 .

Anschließend wird der Schnittpunkt beider Geraden (durch Gleichsetzen) bestimmt:

1

3x+

5

3= −3x+ 17 .

Nun wird nach x aufgelost:

1

3x+ 3x = 17− 5

3

1

3x+

9

3x =

51

3− 5

3

10

3x =

46

3

x =46

10

x =23

5.

Der y-Wert des Schnittpunktes wird ermittelt indem man den x-Wert in eine der Gera-

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44 7 Lineare Funktionen

dengleichungen einsetzt:

y = −3 · 23

5+ 17 =

16

5.

Der Schnittpunkt lautet also SH(235

; 165

).

Es wird nun der Abstand zwischen den Punkten P (4; 5) und SH(235

; 165

)mit der oben

erlauterten Formel berechnet:

d =

√(4− 23

5

)2

+

(5− 16

5

)2

d =

√(20

5− 23

5

)2

+

(25

5− 16

5

)

d =

√(−3

5

)2

+

(9

5

)2

d =

√9

25+

81

25

d =

√90

25

d =

√90

5

d =3 ·√

10

5.

Der kurzeste Abstand zwischen dem Punkt P (4; 5) und der Geraden betragt 3√105

.

Beispiel 7.2.4 Zeichnen Sie die folgenden Funktionen:

a) f(x) = 2(x+ 1)− 3

b) f(x) = 3|x− 2| − 1

Hinweis: Zeichnen Sie zuerst die Funktion f(x) = x bzw. f(x) = |x| und verschie-ben, spiegeln und stauchen Sie diese Funktion mit Hilfe der Parameterangaben. Die

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7.2 Beispiele 45

Bedeutung der einzelnen Parameter konnen Sie im Kapitel uber die allgemeinen Funk-tionseigenschaften nachlesen.

Losung:

a) Es handelt sich um die lineare Funktion f(x) = x, die

• um 1 nach links verschoben wird,

• gestreckt wird in y-Richtung (bzw. deren Steigung sich von m = 1 auf m = 2erhoht) und

• um 3 nach unten verschoben wird.

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

y = xy = x + 1y = 2(x + 1)y = 2(x + 1) − 3

b) Es handelt sich um eine Betragsfunktion, die

• um 2 nach rechts verschoben wird,

• gestreckt wird in y-Richtung und

• um 1 nach unten verschoben wird.

−10 −8 −6 −4 −2 4 6 8 10

−2

2

4

6

8

1010

x

y

y = xy = x − 2y = 3x − 2y = 3x − 2 − 1

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46 7 Lineare Funktionen

Beispiel 7.2.5 Losen Sie folgende Ungleichungen und diskutieren Sie deren grafischeBedeutung.

a) 4(x+ 3) + 20 > −17x− 4(2− x)

b) ax+ 2 < 3x+ 4 fur a ∈ R

Losung: Beide Aufgaben sollen zunachst rechnerisch, Teil a) anschließend auch grafischausgewertet werden.

a) Zuerst wird ausmultipliziert:

4x+ 12 + 20 > −17x− 8 + 4x

Dann kann die Ungleichung so umgestellt werden, dass x auf einer Seite isoliert ist:

4x+ 17x− 4x > −8− 12− 20

17x > −40

Nun sollte das Ergebnis noch in Mengenschreibweise formuliert werden:

L =

x | x > −40

17

Grafisch kann man sich unter der Ungleichung 17x > −40 bzw. 17x+ 40 > 0 vorstellen,fur welche x die Funktion 17x + 40 positiv ist (schwarz dargestellt). Oder aber manuberlegt, ab welcher Stelle x die Funktion 4x+12+20 großere Funktionswerte annimmtals die Funktion 17x− 8 + 4x (farbig dargestellt) :

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2−5

5

10

15

20

25

30

35

40y = 17x + 40y = 4x + 32y = − 13x − 8

x

yx = − 17 40

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7.2 Beispiele 47

b) Das besondere an dieser Gleichung ist, dass a unbekannt ist. Deswegen muss eineFallunterscheidung vorgenommen werden.

Zunachst wird die Ungleichung wieder nach x umgestellt:

ax− 3x < 4− 2

(a− 3)x < 4− 2

Nun muss durch (a− 3) dividiert werden. Dabei ist zu beachten, dass fur diesen Schritta 6= 3 sein muss. Wenn (a−3) > 0 ist, bleibt das Verhaltniszeichen

’<‘. Sollte (a−3) < 0

sein, so muss es umgekehrt werden, also wird’<‘ zu

’>‘ geandert. Anschließend erfolgt

die Unterscheidung der verschiedenen moglichen Falle:

1. Fall: a = 3

(3− 3)x < 2

0 < 2

wahre Aussage

2. Fall: a− 3 > 0

x <2

a− 3

3. Fall: a− 3 < 0

x >2

a− 3

Zusammenfassen kann man das Ergebnis aller Falle durch folgende Losungsmenge:

L =

x | x < 2

a− 3fur (a− 3) > 0

x | x ∈ R fur a = 3

x | x > 2

a− 3fur (a− 3) < 0

.

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48 7 Lineare Funktionen

7.3 Ubungen

Ubung 7.3.1 (5/5/7 Min.) Berechnen Sie die Geradengleichungen und zeichnen Siedie linearen Funktionen.

a) m = 2 P (0; 1)

b) P1(0; 1) P2(0; 4)

c) Verschieben der Geraden y = x um 2 nach rechts, Spiegelung an der

x-Achse. Keine Stauchung bzw. Streckung.

→ Losung auf Seite 119

Ubung 7.3.2 (4/6/8 Min.)

a) Bestimmen Sie die orthogonale Gerade zur Funktion y = 4x−2, die durch denPunkt P1(0; 3) verlauft.

b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden:

y1 = 4x− 2

y2 = −1

4x+ 3

c) Berechnen Sie den Abstand der Punkte P1(0; 3) und P2

(2017

; 4617

).

→ Losung auf Seite 121

Ubung 7.3.3 (4/8/10 Min.) Berechnen Sie die Losungsmenge folgender Ungleichun-gen und stellen Sie das Problem aus Aufgabe a) grafisch dar.

a) 2x− 1 ≤ 3

b)x+ 4

3− x− 3

4>x+ 4

2

c) (x− 3)2 − (x+ 2)2 < 3(2− x)

→ Losung auf Seite 123

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7.4 Tests 49

Ubung 7.3.4 (10/12 Min.) Berechnen Sie jeweils die Losungsmenge folgender Un-gleichungen. Bitte beachten Sie dabei, dass Fallunterscheidungen notwendig sind.

a) −ax+ 5 ≥ −2ax+ 10

b) (ax+ b)2 − (ax− b)2 ≤ 5

→ Losung auf Seite 125

7.4 Tests

Test 7.4.1 (8/8 Min.)

a) Wie lautet die Geradengleichung, die den Punkt A(−1;−2) besitzt und senkrecht zuder Gerade verlauft, die die Punkte B(−2,3) und C(−5,− 6) beinhaltet?

b) Wie lautet die Geradengleichung, die durch den Punkt D(2;−4) verlauft und senk-recht zu der Geraden 5x+ 3y − 8 = 0 ist?

1 a) y = 3x− 5 b) y =5

3x− 22

3

2 a) y = −1

3x− 7

3b) y =

3

5x− 26

5

3 a) y =1

3x− 5

3b) y = −3

5x− 14

5

→ Losung auf Seite 176

Test 7.4.2 (insgesamt 8 Min.) Gegeben seien zwei Geraden mit:

2x− y − 4 = 0

6x− 2y = 10

a) Sind die beiden Geraden parallel zueinander?

b) Falls die beiden Geraden nicht parallel sind, so ist der Schnittpunkt zu bestimmen.

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50 7 Lineare Funktionen

1 a) Die Geraden sind parallel. b) Es gibt keinen Schnittpunkt.

2 a) Die Geraden sind nicht parallel. b) S

(1

5;−18

5

)3 a) Die Geraden sind nicht parallel. b) S (1;−2)

→ Losung auf Seite 178

Test 7.4.3 (12 Min.) Berechnen Sie die Langen der Seitenhalbierenden a, b und cdes folgenden Dreiecks:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

A

B

C

Pm1

Pm2

Pm3

c

ba

1 |a| = 1

2

√233 |b| = 5

√5 |c| = 1

2

√421

2 |a| = 1

2

√145 |b| =

√37 |c| = 1

2

√109

3 |a| = 1

2

√85 |b| =

√74 |c| = 1

2

√365

→ Losung auf Seite 179

Test 7.4.4 (14 Min.) Welche der Funktionen gehort zu folgendem Diagramm?

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8.1 Theorie 51

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

1 y = |2x− 1|

2 y = |x− 1|+ x

3 y = |x+ 1| − x

→ Losung auf Seite 180

8 Quadratische Funktionen

8.1 Theorie

8.1.1 Scheitelpunktform

Eine quadratische Funktion ist eine Polynomfunktion zweiten Grades der Form

y = a2 · x2 + a1 · x+ a0 .

Die Scheitelpunktformy = a(x− xs)2 + ys

ist eine zweite Darstellungsform, an der der Scheitelpunkt (xs; ys) direkt abgelesen wer-den kann. Anhand dieser Darstellung kann ermittelt werden, wie die Normalparabely = x2 verschoben und gespiegelt wird, denn der x-Wert des Scheitelpunktes entsprichtdem allgemeinen Paramter c und der y-Wert dem Parameter d.

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52 8 Quadratische Funktionen

Die erste Form kann durch quadratische Erganzung in die Scheitelpunktsform umgewan-delt werden. Dazu erzeugt man eine Binomische Formel der Art x2 + 2ax+ a2, um diesedann als Quadrat (x + a)2 zu notieren. Die quadratische Erganzung und das Verschie-ben und Spiegeln durch die Parameter werden an den Einfuhrungsbeispielen genauererlautert und geubt.

8.1.2 Nullstellen

Eine quadratische Funktion kann die x-Achse zweimal, einmal oder gar nicht schneiden,wie die folgende Grafik zeigt.

x

y

Um die Nullstellen zu ermitteln muss die quadratische Funktion Null gesetzt werden,

a2 · x2 + a1 · x+ a0 = 0

da Nullstellen die Schnittpunkte mit der x-Achse sind. Nun muss ermittelt werden, furwelche x-Werte die Funktion Null wird.

8.1.3 Losungen einer quadratischen Gleichung

Die Losungen einer quadratische Gleichung (Nullstellen einer quadratischen Funktion)werden entweder mit der so genannten Mitternachtsformel (auf diese wird hier nichteingegangen) oder mit der p-q-Formel berechnet. Letztere erfordert die Normalform derquadratischen Gleichung 1x2 + px + q = 0, wobei p und q Parameter sind. Die Losunglautet

x1,2 = −p2±√(p

2

)2− q .

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8.1 Theorie 53

Ist(p2

)2 − q > 0 , dann existieren zwei reelle Losungen x1 und x2.

Ist(p2

)2 − q = 0 , so gibt es eine doppelte reelle Losung.

Ist(p2

)2 − q < 0 , dann gibt es keine reelle Losung.

8.1.4 Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden

Im Unterschied zu dem Schnittpunkt zweier Geraden kann eine Gerade eine Parabelnicht nur gar nicht oder einmal, sondern sogar zweimal schneiden, wie folgende Grafikzeigt:

x

y

Um die Schnittpunkte zu berechnen, mussen beide Funktionsgleichungen gleichgesetztwerden:

m · x+ n = a2 · x2 + a1 · x+ a0 .

Im Gegensatz zu dem Schnittpunkt zweier Geraden entsteht eine quadratische Glei-chung, die zu der Gleichung x2 + px+ q = 0 umgeformt werden kann. Mit Hilfe der p-q-Formel werden die x-Werte ermittelt, die die obere Gleichung erfullen. Nun mussen diex-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen eingesetzt werden, um die zugehorigeny-Werte zu berechnen.

8.1.5 Schnittpunkt von Parabeln

Auch der Schnittpunkt zweier Parabeln wird ermittelt, indem beide Parabelgleichungengleichgesetzt werden. Zwei Parabeln konnen sich ebenfalls in keinem, einem oder zweiSchnittpunkten schneiden.

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54 8 Quadratische Funktionen

x

y

Die Gleichung wird anschließend nach 0 umgestellt, sodass eine lineare (wenn die qua-dratischen Terme sich aufheben) oder eine quadratische Gleichung entsteht. Um qua-dratische Gleichungen zu losen, kann wieder die p-q-Formel angewendet werden.

8.1.6 Quadratische Ungleichungen

Quadratische Ungleichungen sind Ungleichungen mit einer Variablen, die im Gegensatzzu den linearen Ungleichungen auch in quadratischer Form vorkommen, wie z.B.

x2 − 5x ≤ 2x2 + 3x− 2 .

Quadratische Ungleichungen haben nach Umstellung eine der folgenden Formen:

(1) a2 · x2 + a1 · x+ a0 ≥ 0

(2) a2 · x2 + a1 · x+ a0 > 0

(3) a2 · x2 + a1 · x+ a0 ≤ 0

(4) a2 · x2 + a1 · x+ a0 < 0 .

Geometrisch bedeutet dies fur Fall (1), dass man eine Parabel f(x) = a2 ·x2 + a1 ·x+ a0gegeben hat und pruft, fur welche reellen Zahlen x die Parabel uber bzw. auf der x-Achseliegt. Analog dazu sind auch die anderen Falle auszuwerten.

Zur genauen Ermittlung der Losungsmenge werden die Nullstellen der Parabel

f(x) = a2 · x2 + a1 · x+ a0

bestimmt. Anschließend wird durch Zeichnen bzw. das Einsetzen von Probewerten er-mittelt, wie die Funktion verlauft, um z.B. bestimmen zu konnen, in welchem Bereichdie Funktion z.B. positiv oder gleich 0 ist wie bei der Form (1) gefordert.

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8.2 Beispiele 55

8.2 Beispiele

Beispiel 8.2.1 Zeichnen Sie die folgenden quadratischen Funktionen. Gehen Sie dabeischrittweise vor, indem Sie zunachst die Normalparabel zeichnen und diese anschließendverschieben und strecken bzw. stauchen.

1.) y = 2(x− 1)2 − 1

2.) y = |2x2 − 2|

Losung:

1.) Zeichnen Sie zuerst die Normalparabel y = x2. Verschieben Sie diese um 1 nachrechts. Anhand des Parameters 2 ist ersichtlich, dass die Parabel in y-Richtung gestrecktwerden muss. Anschließend wird der Graph um 1 nach unten verschoben.

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−2

2

4

6

8

1010y = x2

y = (x − 1)2

y = 2(x − 1)2

y = 2(x − 1)2 − 1

x

y

2.) Zeichnen Sie zuerst die Funktion y = 2x2 − 2, indem Sie die Normalparabel in y-Richtung strecken und um 2 nach unten verschieben. Der Betrag von 2x2 − 2 bedeutetgeometrisch, dass der Teil der Parabel 2x2−2, der negativ ist, an der x-Achse gespiegeltwird, denn der Betrag ist definiert durch

∣∣2x2 − 2∣∣ =

2x2 − 2 fur 2x2 − 2 ≥ 0

−(2x2 − 2

)fur 2x2 − 2 < 0

.

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56 8 Quadratische Funktionen

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−2

2

4

6

8

1010y = x2

y = 2x2

y = 2x2 − 2y = 2x2 − 2

x

y

Beispiel 8.2.2 Bringen Sie folgende Funktionsvorschrift durch quadratische Erganzungin die Scheitelpunktform und zeichnen Sie diese anschließend.

y = 2x2 + 12x+ 24

Losung: Zuerst sollte man 2 ausklammern:

y = 2(x2 + 6x+ 12

).

Auf der rechten Seite steht nun schon fast eine quadratische Formel, welche jedoch 9 alsAbsolutglied haben musste. Deswegen wird die 12 als 9 + 3 = 32 + 3 notiert:

y = 2(x2 + 2 · 3 · x+ 32 + 3

).

Auf der rechten Seite der Gleichung ist eine binomische Formel entstanden:

y = 2((x+ 3)2 + 3

).

Die Losung lautet:y = 2(x+ 3)2 + 6 .

Es handelt sich um eine Normalparabel, die um 3 nach links verschoben, in y-Richtunggestreckt und um 6 nach oben verschoben wird.

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8.2 Beispiele 57

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−2

2

4

6

8

1010

y = x2

y = (x + 3)2

y = 2(x + 3)2

y = 2(x + 3)2 + 6

x

y

Beispiel 8.2.3 Gegeben sei die Parabel aus Beispiel 8.2.2:

y = 2x2 + 12x+ 24 .

a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion.

b) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Funktion mit der Parabel

x2 − 10x+ 47 mit Hilfe der p-q-Formel.

Losung:

a) Setzen Sie die Funktion gleich 0:

2x2 + 12x+ 24 = 0 .

Stellen Sie die Gleichung nun so um, dass die p-q-Formel angewendet werden kann.Dividieren Sie dafur durch 2:

x2 + 6x+ 12 = 0

Wenden Sie nun die p-q-Formel an:

x1,2 = −6

√(6

2

)2

− 12

= −3±√

9− 12

= −3±√−3 .

Da unter der Wurzel eine negative Zahl steht, hat diese Funktion keine reellen Nullstellen.

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58 8 Quadratische Funktionen

Dieses Ergebnis war bereits an der Zeichnung aus Beispiel 8.2.2 zu erkennen.

b) Setzen Sie zunachst beide Funktionsvorschriften gleich:

2x2 + 12x+ 24 = x2 − 10x+ 47 .

Nun muss die Gleichung so umgeformt werden, dass die p-q-Formel angewendet werdenkann:

2x2 − x2 + 12x+ 10x+ 24− 47 = 0

x2 + 22x− 23 = 0 .

Losen Sie die Gleichung nun mit Hilfe der p-q-Formel:

x1,2 = −22

√(22

2

)2

+ 23

= −11±√

121 + 23

= −11±√

144

= −11± 12

x1 = 1 x2 = −23 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen, mussen noch die y-Werte ermittelt werden:

f(1) = 2 · 12 + 12 · 1 + 24 = 38

f(−23) = 2 · (−23)2 + 12 · (−23) + 24 = 806 .

Die Parabeln schneiden sich in den Punkten P1(1; 38) und P2(−23; 806).

Beispiel 8.2.4 Losen Sie folgende quadratische Ungleichung durch Einsetzen eines Pro-bewertes nach Ermittlung der Nullstellen:

x2 − 10x ≥ 510− 23x .

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8.2 Beispiele 59

Losung: Zuerst muss die Ungleichung umgestellt werden:

x2 − 10x+ 23x− 510 ≥ 0

x2 + 13x− 510 ≥ 0

Nun konnen die Nullstellen der Funktion f(x) = x2+13x−510 berechnet werden. Dafurwird die p-q-Formel angewendet:

x1,2 = −13

√(13

2

)2

+ 510

= −6,5±√

42,25 + 510

= −6,5±√

552,25

= −6,5± 23,5

x1 = 17 x2 = −30 .

Es muss uberpruft werden, ob die Funktion zwischen den Nullstellen oberhalb oderunterhalb der x-Achse verlauft, um zu identifizieren, wo die Funktion Werte großer Nullannimmt. Dazu reicht es, einen Wert zwischen −30 und 17 in die Funktion einzusetzen:

f(0) = 02 + 13 · 0− 510 = −510 .

Die Funktion verlauft zwischen den Nullstellen unterhalb der x-Achse. Also ist die Funk-tion links von der linken Nullstelle (−30) und rechts von der rechten Nullstelle (17) großeroder gleich Null:

L = (−∞,− 30] ∪ [17,+∞) bzw.

L = x |x ≤ −30 ∨ x ≥ 17 .

Bei der Darstellung der Losungsmenge ist darauf zu achten, dass die Nullstellen einge-schlossen sind, da die Funktion großer oder gleich Null sein soll.

Beispiel 8.2.5 Losen Sie die folgende Ungleichung durch Zeichnen nach Ermittlungder Nullstellen:

x(x+ 7) < 5(x+ 1,6) .

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60 8 Quadratische Funktionen

Losung: Stellen Sie die Ungleichung zuerst um.

x2 + 7x < 5x+ 8

x2 + 7x− 5x− 8 < 0

x2 + 2x− 8 < 0 .

Anschließend mussen die Nullstellen ermittelt werden;

x1,2 = −2

√(2

2

)2

+ 8

= −1±√

9

= −1± 3

x1 = 2 x2 = −4 .

Zur Uberprufung des Funktionsverlaufs soll diese gezeichnet werden. Dazu wird die Funk-tion in die Scheitelpunktform umgewandelt:

f(x) = x2 + 2 · 1 · x+ 12 − 9

f(x) = (x+ 1)2 − 9 .

Es handelt sich also um eine Normalparabel, die um 1 nach links und um 9 nach untenverschoben wird.

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

Da diese Parabel nach oben geoffnet ist, nimmt sie zwischen den Nullstellen negativeWerte an. Die Losungsmenge lautet somit

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8.2 Beispiele 61

L = (−4,2) bzw.

L = x |x ∈ (−4,2) .

In diesem Fall gehoren die Nullstellen nicht zur Losungsmenge.

Beispiel 8.2.6 Losen Sie folgende quadratrische Gleichung:

x2 −(

1 +1− 2p

p

)x− 1

p= 0 .

Losung: Bevor Sie die p-q-Formel anwenden, sollten Sie den Ausdruck als Bruch schrei-ben:

x2 −(p

p+

1− 2p

p

)x− 1

p= 0

x2 −(p+ 1− 2p

p

)x− 1

p= 0

x2 −(

1− pp

)x− 1

p= 0 .

Nun kann die p-q-Formel angewendet werden:

x1,2 =1− p

2p±

√(1− p

2p

)2

+1

p

=1− p

2p±

√(1− p)2

4p2+

1

p.

Der Ausdruck unter der Wurzel sollte vereinfacht werden. Dafur werden die Bruchegleichnamig gemacht:

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62 8 Quadratische Funktionen

x1,2 =1− p

2p±

√(1− p)2

4p2+

4p

4p2

=1− p

2p±

√1− 2p+ p2 + 4p

4p2

=1− p

2p±

√1 + 2p+ p2

4p2

=1− p

2p±

√(1 + p)2

4p2

=1− p

2p± 1 + p

2p.

x1 =1− p

2p+

1 + p

2p

=1− p+ 1 + p

2p=

2

2p

x1 =1

p

x2 =1− p

2p− 1 + p

2p

=1− p− 1− p

2p= −2p

2p

x2 = −1

Nun sollten Sie noch eine Probe durchfuhren:

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8.2 Beispiele 63

x1 =1

p(1

p

)2

−(

1 +1− 2p

p

)· 1

p− 1

p= 0

1

p2−(

1− pp

)· 1

p− 1

p= 0

1

p2− 1− p

p2− 1

p= 0

1

p2− 1− p

p2− p

p2= 0

1− 1 + p− pp2

= 0

0 = 0

x2 = −1

(−1)2 −(

1 +1− 2p

p

)· (−1)− 1

p= 0

1 +1− pp− 1

p= 0

p

p+

1− pp− 1

p= 0

p+ 1− p− 1

p= 0

0 = 0

Somit ist die Losung

L =

(1

p

); −1

.

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64 8 Quadratische Funktionen

8.3 Ubungen

Ubung 8.3.1 (3/5/7/8 Min.) Zeichnen Sie die folgenden Parabeln, indem Sie schritt-weise die Normalparabel verschieben, stauchen oder strecken.

a) y = −(x− 1)2 + 1

b) y = |−(x+ 1)2|+ 2

c) y = x2 + 14x+ 52

d) y = 5x2 − 30x+ 2 .

→ Losung auf Seite 127

Ubung 8.3.2 (5/2/10 Min.) Berechnen Sie die Nullstellen folgender quadratischerFunktionen.

a) f(x) = 5x2 − 10x+ 5

b) f(x) = (x+ 5) · (x− 2)

c) f(x) = ax2 − (a2m−m)x− am2 fur a 6= 0; a,m ∈ R

→ Losung auf Seite 132

Ubung 8.3.3 (4/6/8 Min.) Gegeben sei die Parabel

y = 4x2 + 10x− 3 .

Berechnen Sie die Schnittpunkte mit

a) der Geraden y = 5x+ 2

b) der Parabel y = x2 + x+ 3

c) der Parabel y = 3x2 + (10− 2a)x− 2 + 2a

→ Losung auf Seite 135

Ubung 8.3.4 (8/10/10 Min.)

Berechnen Sie die Losungsmenge folgender quadratischer Ungleichungen

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8.4 Tests 65

a) x2 + 3x− 2 < −2x2 − 3x+ 7

indem Sie die Funktion nach der Nullstellenermittlung zeichnen.

b) x ·(x+ 2

5

)− x+ 3

15>x+ 5

3durch Einsetzen eines Probewertes nach Ermittlung der Nullstellen.

c) (2x+ 8)(2x− 8) < 4x

durch ein selbstgewahltes Verfahren.

→ Losung auf Seite 140

8.4 Tests

Test 8.4.1 (6 Min.) Formen Sie die folgende Funktionsgleichung in die Form y = a(x+ b)n + cum. Bestimmen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Funktionsverlauf in der Um-gebung des Scheitels.

y = −x2 + 6x− 8

1 y = −(x+ 6)2 − 8 Keine Nullstellen

2 y = −(x− 3)2 + 1 x01 = 2 x02 = 4

3 y = −(x+ 3)2 + 1 x01 = −2 x02 = −4

→ Losung auf Seite 182

Test 8.4.2 (8 Min.) Gegeben ist das folgende Bild einer Funktion, die aus der Nor-malparabel erzeugt wurde. Welche Funktion gehort zu diesem Diagramm?

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66 8 Quadratische Funktionen

1 2 3 4 5 6 7 8

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

1 y = (x− 5)2 − 1

2 y = |(x− 5)2 − 3|+ 1

3 y = |(x− 5)2 − 3| − 1

→ Losung auf Seite 184

Test 8.4.3 (12 Min.) Bestimmen Sie die Losungsmenge der Betragsungleichung

−x2 + 3x+ 8 ≤ |x− 1|+ x

1 L =(−∞,3−

√37

2

]∪[1+√37

2,∞)

2 L =(−∞,1−

√37

2

]∪[1+√37

2,∞)

3 L =[3−√37

2,1+√37

2

]→ Losung auf Seite 186

Test 8.4.4 (12 Min.) Welche der angegebenen Optionen sind die Losungen der fol-genden Gleichung?

x2 − 2a · (a2 + b2)

a2 − b2· x+

(a2 + b2)2

a2 − b2= 0

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9.1 Theorie 67

1 x1 =(a+ b)2

a− bx2 = a+ b

2 x1 = a+√a2 − a+ b x2 = a−

√a2 − a+ b

3 x1 =a2 + b2

a− bx2 =

a2 + b2

a+ b

→ Losung auf Seite 188

9 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen

9.1 Theorie

9.1.1 Potenzfunktionen

Eine Funktion der Form

f(x) = xn mit x ∈ R und n ∈ N

heißt eine Potenzfunktion vom Grade n. Der Definitionsbereich ist der Bereich der reellenZahlen. Der Funktionsgraph stellt die Parabel n-ter Ordnung dar.

Eigenschaften der Potenzfunktion f(x) = xn:

(I) n ist eine gerade Zahl (n = 2k, k ∈ N)

• Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, d.h. Funktionist gerade. Fur alle x ∈ R gilt:

f(x) = f(−x)

.

• (0; 0), (−1; 1) und (1; 1) gehoren zu dem Graphen.

• Die Funktion ist fur x ∈ (−∞; 0) streng monoton fallend und fur x ∈ (0;∞)streng monoton wachsend.

• Der Wertebereich der Funktion ist W ∈ [0;∞)

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68 9 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen

Beispiele:

y = x2

y = x4

y = x6

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

8

1010

x

y

(II) n ist eine ungerade Zahl (n = 2k + 1, k ∈ N)

• Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung,d.h. Funktion ist ungerade. Fur alle x ∈ R gilt:

f(x) = −f(−x).

• (0; 0), (−1;−1) und (1; 1) gehoren zu dem Graphen.

• Die Funktion ist fur x ∈ R streng monoton steigend.

• Der Wertebereich ist W ∈ (−∞;∞)

Beispiele:

y = x3

y = x5

y = x7

−6 −4 −2 2 4 6

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

Fur n = 0 und n = 1 ergeben sich die bereits bekannten Potenzfunktionen

f(x) = x0 = 1 (konstante Funktion), f(x) = x1 = x (lineare Funktion)

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9.1 Theorie 69

Die Potenzfunktion der Form

f(x) = x−n mit x ∈ R, (x 6= 0) und n ∈ N

nennt man Hyperbelfunktion vom Grade n, der Graph ist eine Hyperbel n-ter Ordnung.Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen außer 0.

Eigenschaften der Hyperbelfunktion f(x) = x−n:

(I) n ist eine gerade Zahl (n = 2k, k ∈ N)

• Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, d.h. Funktionist gerade. Fur alle x ∈ R gilt:

f(x) = f(−x).

• Der Graph besteht aus zwei Hyperbel-Asten und schmiegt sich an die positivey-Achse und an die x-Achse.

• (−1; 1) und (1; 1) gehoren zu dem Graphen.

• Die Funktion ist fur x ∈ (−∞; 0) streng monoton wachsend und fur x ∈ (0;∞)streng monoton fallend. (Zwei monotone Hyperbelaste)

• Der Wertebereich ist W ∈ R+

Beispiele:

y = x−2

y = x−4

y = x−6

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

8

1010

x

y

(II) n ist eine ungerade Zahl (n = 2k + 1, k ∈ N)

• Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung,d.h. Funktion ist ungerade. Fur alle x ∈ R gilt:

f(x) = −f(−x).

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70 9 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen

• Der Graph besteht aus zwei Hyperbel-Asten, die sich jeweils an die positivenund negativen Achsen anschmiegen.

• (−1;−1) und (1; 1) gehoren zu dem Graphen.

• Die Funktion ist sowohl fur x ∈ (−∞; 0) als auch fur x ∈ (0;∞) strengmonoton fallend. (Zwei monotone Hyperbelaste)

• Der Wertebereich ist W ∈ R0.

Beispiele:

y = x−3

y = x−5

y = x−7

−6 −4 −2 2 4 6

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

9.1.2 Wurzelfunktionen

Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion ist die Wurzelfunktion

f(x) = n√x mit n ∈ N.

Der Definitionsbereich ist

fur gerade n: D ∈ [0;∞) bzw.

fur ungerade n: D ∈ R .

Wie schon aus dem Abschnitt uber die Umkehrfunktion bekannt ist, spielt fur die Um-kehrbarkeit einer Funktion die Monotonie eine wichtige Rolle. Ein Hindernis der Umkehr-barkeit der Potenzfunktion ist der Monotoniewechsel bei den geraden Potenzfunktionen.Also muss man den Definitionsbereich geeignet einschranken, damit man eine Umkehr-funktion bilden kann. Bei den ungeraden Potenzfunktionen treten solche Probleme nichtauf, weil diese Funktionen auf gesamten Definitionsbereich monoton steigend sind.

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9.2 Beispiele 71

Eine Wurzelfunktion ist eine Potenzfunktion mit einem rationalem Exponenten, denn esgilt

n√x = x

1n

9.1.3 Wurzelgleichungen

Gleichungen, bei denen im Radikanden einer Wurzel eine Variable auftritt, nennt manWurzelgleichungen. Der Umgang mit Wurzelgleichungen wird am besten an den nachfol-genden Beispielen deutlich, in denen die Losung solcher Gleichungen ausfuhrlich erklartwird.

Zu beachten ist, dass Wurzelausdrucke in R nur fur nicht-negative Radikanten erklartsind. Deshalb muss man immer den entsprechenden Definitionsbereich vor der Bestim-mung der Losungsmenge untersuchen.

9.2 Beispiele

Beispiel 9.2.1 Gesucht ist die Umkehrfunktion fur die Funktion

f(x) = x2 − 1, x ≥ 0

Bestimmen Sie anschließend den Definitionsbereich der Umkehrfunktion!

Losung: Zuerst muss die Funktionsgleichung nach x umgestellt werden:

y = x2 − 1

y + 1 = x2

±√y + 1 = x

Gesucht ist nur +√y + 1 wegen x ≥ 0. Anschließend werden formal die Variablen ver-

tauscht:

y =√x+ 1

Somit ist die Umkehrfunktionf−1(x) =

√x+ 1

Nun muss noch der Definitionsbereich ermittelt werden. Fur√x+ 1 muss x + 1 ≥ 0

gelten, weil der Radikand x+ 1 nicht negativ sein darf (damit der Wert der Wurzel reell

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72 9 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen

bleibt).

x+ 1 ≥ 0

x ≥ −1

Der Definitionsbereich ist somitD = [−1;∞) .

Beispiel 9.2.2 Losen Sie die Gleichung

√x+ 5− 4 = 1 .

Losung: Zuerst muss der Definitionsbereich bestimmt werden:

x+ 5 ≥ 0

x ≥ −5

Daraus folgtx ∈ [−5;∞) .

Jetzt konnen wir die Gleichung losen. Durch Quadrieren kann die Wurzel verschwinden.In diesem Beispiel ist es aber nicht sehr sinnvoll, die Gleichung in der ursprunglichenForm zu quadrieren, weil sonst auf der linken Gleichungsseite die 2. Binomische Formelentsteht. Also muss die Gleichung umgeformt werden:

√x+ 5− 4 = 1√x+ 5 = 5 .

Nun kann die Gleichung leicht quadriert werden:(√x+ 5

)2= 52 .

Durch Anwendung der Potenzgesetze ((√a)2 = a) erhalt man

x+ 5 = 25

x = 20

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9.2 Beispiele 73

Nun erfolgt eine Uberprufung, ob das Ergebnis auch Teil des Definitionsbereiches derFunktion ist. Dies trifft fur dieses Beispiel zu:

20 ∈ [−5;∞)

Zuletzt setzen wir den gefundenen Wert zur Probe in die Ausgangsgleichung ein:

√20 + 5− 4 = 1√

25− 4 = 1

5− 4 = 1

1 = 1 wahre Aussage .

Die Losungsmenge lautet somitL = 20 .

Hinweis: Die gefundenen Losungen mussen immer kontrolliert werden, da Quadrieren(und Potenzieren mit einem geraden Exponenten allgemein) keine Aquivalenzumformungist! (d.h. wenn aus der Gleichheit a = b die Gleichheit a2 = b2 folgt, gilt dies nicht inumgekehrter Richtung!)

Beispiel 9.2.3 Gesucht ist die Losungsmenge der Gleichung

√7x+ 8 = 4 +

√7x− 24 .

Losung: Zunachst erfolgt die Bestimmung des Definitionsbereiches. Dabei muss gelten

7x+ 8 ≥ 0 und 7x− 24 ≥ 0 .

Lost man beide Ungleichungen nach x auf, so erhalt man

x ≥ −8

7und x ≥ 24

7.

Daraus folgt fur den Definitionsbereich

D =

x | x ≥ 24

7

.

Nun wird die in der Aufgabe gegebene Gleichung gelost. In diesem Beispiel konnen

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74 9 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen

wir keine weitere Vereinfachungen vornehmen, also quadrieren wir auf beiden Seiten(Vorsicht: auf der rechten Gleichungsseite entsteht 1. Binomische Formel!).(√

7x+ 8)2

=(4 +√

7x− 24)2

7x+ 8 = 16 + 8√

7x− 24 + (7x− 24)

16 = 8√

7x− 24

Nun wird die Gleichung noch einmal quadriert, um die Wurzel zu beseitigen:

162 =(8√

7x− 24)2

256 = 64(7x− 24)

4 = 7x− 24

28 = 7x

x = 4

Schließlich wird noch eine Probe durchgefuhrt:

√7 · 4 + 8 = 4 +

√7 · 4− 24

6 = 4 + 2

6 = 6 wahre Aussage .

Die Losungsmenge lautet somitL = 4 .

9.3 Ubungen

Ubung 9.3.1 (10 Min.) Losen Sie die Gleichung

√x− 1 +

√x+ 1 =

√2x+ 1 .

→ Losung auf Seite 144

Ubung 9.3.2 (10 Min.) Losen Sie die Gleichung

5√

3x+ 4− 3√

2x− 5 = 4√

3x− 5 .

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9.4 Tests 75

→ Losung auf Seite 145

Ubung 9.3.3 (10 Min.) Losen Sie die Gleichung

√x+ 5a2 = 4a−

√x− 3a2 .

→ Losung auf Seite 146

Ubung 9.3.4 (10 Min.) Losen Sie die Gleichung

√x− 4ab+

√9x+ 4ab = 4

√x− ab, ab > 0 .

→ Losung auf Seite 147

9.4 Tests

Test 9.4.1 (6 Min.) Welcher x-Wert ist die Losung der folgenden Gleichung und wielautet der Definitionsbereich dieser Gleichung?

4√

2x− 8 + 5 = 7

1 x = 6 , x ≥ 4

2 x = 8 , x ≥ 4

3 x = 12 , x ≥ 4

→ Losung auf Seite 190

Test 9.4.2 (10 Min.)

Gegeben sind die Funktionen f1(x) = y1 und f2(x) = y2. Finden Sie den (bzw. die)Schnittpunkt(e) der beiden Funktionen.

y1 =√x2 + 3− 1

y2 =√x2 + 2x− 10

1 x = 6 2 x = 7 3 x = 237

→ Losung auf Seite 191

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76 9 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen

Test 9.4.3 (12 Min.) Wie lautet die Umkehrfunktion der folgenden Funktion?

y = f(x) =3

√1−√x

1 y = (x3 − 1)2

2 x = 3√

1−√y3 y = (x2 − 1)

3

→ Losung auf Seite 192

Test 9.4.4 (12 Min.) Wie lautet die Losung der folgenden Gleichung?

1√x4 − 18x2 + 81

=x+ 2

(x− 3)√x2 + 5x+ 6

1 x1,2 = −5

2± 1

2

√5

2 x1 = −2 x2 = −3

3 Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter!

→ Losung auf Seite 192

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10.1 Theorie 77

10 Exponential- und Logarithmusfunktionen und-gleichungen

10.1 Theorie

10.1.1 Exponentialfunktionen

Eine Funktion der Form

f(x) = ax mit a ∈ R+

heißt Exponentialfunktion zur Basis a.

Grundlegende Eigenschaften sind:

• Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion ist D(f) = R.

• Der Wertebereich ist W (f) = R+.

• Fur a > 1 ist die Funktion streng monoton steigend, fur 0 < a < 1 ist die Funktionstreng monoton fallend. Alle Graphen enthalten den Punkt (0; 1), denn es gilta0 = 1 fur alle a ∈ R+.

Beispiel:

y = (2 3)x

y = (1 2)x

y = 2x

y = (3 2)x

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

2

4

6

8

1010

x

y

Ein Spezialfall der Exponentialfunktion ist die e-Funktion

f(x) = ex .

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78 10 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen

In der Literatur wird die e-Funktion auch oft dargestellt durch

f(x) = ex = exp(x) .

Die Zahl e heißt Eulerzahl mit e = 2,718281828 . . . und hat in der Mathematik, Technikund Informatik eine große Bedeutung. Das Besondere an der e-Funktion ist, dass dasVerhaltnis aus der Kurvensteigung und dem Funktionswert an jeder Stelle konstantgleich 1 ist.

10.1.2 Logarithmus und Logarithmusfunktion

Was bedeutet log? Die Gleichung ax = b ist losbar und die Losung lautet x = loga bmit a,b ∈ R+ und x ∈ R.

Definition: Der Logarithmus von einer positiven reellen Zahl b zur Basis a ist diejenigeZahl x, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten.

Beispiel:2x = 8 ⇔ log2 8 = x ⇔ x = 3

Spezialfalle des Logarithmus:

log10 b = lg b wird als dekadischer Logarithmus bezeichnet (a = 10).

loge b = ln b wird als naturlicher Logarithmus bezeichnet (a = e).

log2 b = lb b wird als binarer Logarithmus bezeichnet (a = 2).

Logarithmengesetze (Die Basis a wird oft nicht angegeben):

log(x · y) = log(x) + log(y) log(xy

)= log(x)− log(y)

log(xy) = y · log(x) log ( y√x) = 1

y· log(x)

loga 1 = 0 loga a = 1

logx b =loga b

loga x

Eine Funktion der Formf(x) = loga x, a ∈ R+

heißt Logarithmusfunktion. Sie ist fur Exponentialfunktion f(x) = ax die Umkehrfunk-tion.

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10.1 Theorie 79

y = 3x

y = log3x

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

Grundlegende Eigenschaften sind:

• Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist R+.

• Der Wertevorrat ist W (f) = R.

• Auf Grund vona0 = 1 ⇔ loga 1 = 0

haben alle Graphen der Logarithmusfunktion den gemeinsamen Punkt (0; 1).

• Fur a > 1 ist die Funktion streng monoton steigend.

• Fur 0 < a < 1 ist die Funktion streng monoton fallend.

Beispiel:

y = log0.5xy = log2x

2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

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80 10 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen

10.1.3 Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable ausschließlich im Expo-nenten auftritt. Solche Gleichungen lassen sich durch Gleichsetzen der Exponenten (beigleicher Basis) oder durch Logarithmieren (bei unterschiedlicher Basis) losen. Dabei sinddie Potenz- und Logarithmengesetze zu beachten.

Die praktische Losung dieser Art von Gleichungen wird ausfuhrlich an den nachfolgendenBeispielen erlautert.

10.1.4 Logarithmusgleichungen

Beim Losen von Logarithmusgleichungen ist zu beachten, dass der Definitionsbereich derGleichung stark eingeschrankt sein kann. Deswegen ist es wichtig, jede Losung mit einerabschließenden Proberechnung zu uberprufen.

Allgemein lassen sich logarithmische Gleichungen durch geeignete Umformungen (ins-besondere durch die Anwendung der Logarithmengesetze) losen. Nachfolgende Beispieleerlautern den genauen Losungsweg.

10.2 Beispiele

Beispiel 10.2.1 Losen Sie die Gleichung

63x+9 = 362x+5 .

Losung: Zunachst sehen die beiden Basen unterschiedlich aus. Betrachtet diese abergenauer, so fallt auf, dass man 36 zerlegen kann zu

36 = 6 · 6 = 62 .

Anschließend kann man wie folgt umformen:

63x+9 =(62)2x+5

.

Jetzt kann man das Potenzgesetz (an)m = anm anwenden:

63x+9 = 62(2x+5) .

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10.2 Beispiele 81

Wenn zwei Potenzen mit gleicher Basis gleich sein sollen, dann mussen auch die Expo-nenten ubereinstimmen:

3x+ 9 = 2(2x+ 5)

3x+ 9 = 4x+ 10

−x = 1

x = −1 .

Schließlich kann noch eine Probe durchgefuhrt werden:

63·(−1)+9 = 362·(−1)+5

66 = 363

46656 = 46656 .

Beispiel 10.2.2 Losen Sie die Gleichung

5x − 5x−1 = 100 .

Losung: Diese Gleichung kann man nicht mit der gleichen Methode wie im Beispiel 1losen, da hier neben den Potenzen noch ein Term ohne Exponenten auftritt. Daher sollteman als erstes versuchen, die Gleichung soweit moglich zu vereinfachen:

5x − 5x · 5−1 = 100

Nun kann man 5x ausklammern:

5x(

1− 1

5

)= 100

5x · 0,8 = 100

5x = 125 .

Nun sollten die Gleichung auf beiden Seiten logarithmieren, um spater nach x auflosenzu konnen:

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82 10 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen

x · lg 5 = lg 125

x =lg 125

lg 5

x = 3 .

Anschließend sollten Sie noch eine Probe durchfuhren:

53 − 53−1 = 100

100 = 100 .

Beispiel 10.2.3 Losen Sie folgende Gleichung:

logx 9 = 1 + logx 3 .

Losung: Als erstes sollten Sie die Gleichung umformen, um sie auf die Form logx b = azu bringen:

log9− logx 3 = 1 .

Nun kann man die Logarithmengesetze anwenden:

logx

(9

3

)= 1

logx 3 = 1 .

Nun kann die Gleichung in eine Potenz umgeformt werden:

3 = x1

x = 3 .

Nun sollten Sie noch eine Probe durchfuhren:

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10.2 Beispiele 83

log3 9 = 1 + log3 3

2 = 2 .

Beispiel 10.2.4 Losen Sie die Gleichung

ln(x2 + 4x+ 2

)− ln(x+ 12) = 0 .

Losung: Formen Sie die Gleichung zunachst um:

ln(x2 + 4x+ 2

)= ln(x+ 12) .

Nun konnen Sie die Regel loga T1(x) = loga T2(x) ⇔ T1(x) = T2(x) anwenden, wobeiT1(x) und T2(x) Funktionen sind.

x2 + 4x+ 2 = x+ 12

Nun ist die Gleichung einfach zu losen durch Umformung und Anwendung der p-q-Formel:

x2 + 3x− 10 = 0

x1,2 = −1,5±√

2,25 + 10

x1 = −5 x2 = 2

Abschließend ist noch die Proberechnung durchzufuhren:

x = −5 x = −2

ln(25− 20 + 2)− ln(−5 + 12) = 0 ln(4 + 8 + 2)− ln(2 + 12) = 0

ln 7− ln 7 = 0 ln 14− ln 14 = 0

0 = 0 0 = 0

Die Losungsmenge ist demnachL = −5; 2 .

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84 10 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen

10.3 Ubungen

Ubung 10.3.1 (8 Min.) Losen Sie die Gleichung

22x+3 + 3 · 22x = 22 .

→ Losung auf Seite 147

Ubung 10.3.2 (8 Min.) Losen Sie die Gleichung:

√a3x−7 =

3√a4x−3 .

→ Losung auf Seite 148

Ubung 10.3.3 (10 Min.) Losen Sie die Gleichung

4x+3 − 13 · 4x+1 = 23x−1 − 23x−3 .

→ Losung auf Seite 148

Ubung 10.3.4 (12 Min.) Losen Sie die Gleichung

322x+1x+2 = 4

6x−14x−1 .

→ Losung auf Seite 149

Ubung 10.3.5 (10 Min.)

Losen Sie die Gleichung

lg(2x+ 3) = lg(x+ 1) + 1 .

→ Losung auf Seite 150

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10.4 Tests 85

Ubung 10.3.6 (12 Min.) Losen Sie die Gleichung

logx√

2 + logx 4 =1

2.

→ Losung auf Seite 150

Ubung 10.3.7 (12 Min.) Losen Sie folgende Gleichung nach x auf:

1

2lg(2x− 1) + lg

√x− 9 = 1 .

→ Losung auf Seite 151

Ubung 10.3.8 (12 Min.) Losen Sie die Gleichung nach x auf:

3 ·√

lg(x)− lg(x) = 2 .

→ Losung auf Seite 151

10.4 Tests

Test 10.4.1 (6 Min.) Berechnen Sie den Wert von x in der folgenden Gleichung:

log3(log2 x) = 5

1 x = 30 2 x =5

63 x = 2243

→ Losung auf Seite 193

Test 10.4.2 (10 Min.) Was ist der Wert von A?

A = log5(125)− 4 log2

(√2)

+

[log3

(1

27

)]·(

log73√

49)

1 A = 1 2 A = −2 3 A = −1

→ Losung auf Seite 194

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86 10 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen

Test 10.4.3 (10 Min.) Losen Sie die folgende Gleichung:

log(8x)− log(1 +√x)

= 2

1 x1 ≈ 12,188 ; x2 ≈ 13,076

2 x1 ≈ 180,384 ; x2 ≈ 0,866

3 x ≈ 10174

4 x ≈ 180,384

→ Losung auf Seite 195

Test 10.4.4 (12 Min.) Gegeben ist die folgende Gleichung:

log3

(x2 − 1

)= 1 + log3(x+ 3) .

Was ist (sind) der (die) x-Wert(e), der (die) diese Gleichung erfullt (erfullen)?

1 x1 =1 +√

29

2; x2 =

1−√

29

2

2 x = 9

3 x1 = 5 ; x2 = −2

→ Losung auf Seite 197

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11.1 Theorie 87

11 Trigonometrische Funktionen

11.1 Theorie

11.1.1 Winkeleinheiten

Jeder Winkel kann durch einen Punkt auf einem Einheitskreis (d.h. ein Kreis mit demMittelpunkt M(0; 0) im kartesischen Koordinatensystem und dem Radius r = 1) darge-stellt werden.

Teilt man den Kreis in 360 gleiche Teile, wird jedes einzelne Stuck als Grad bezeichnet.(Notation: 1 )

Das Bogenmaß ist eine weitere Moglichkeit zur Messung von Winkeln, dabei gilt:

360 = 2π .

Die Winkeleinheit im Bogenmaß ist”rad“ (Radiant), diese wird aber oft weggelassen.

Fur die Umrechnung sind folgende Beziehungen wichtig:

1 =1

360· 2π =

π

180

1 rad =1

2π · 360 =

180

π.

Bei den Berechnungen im Taschenrechner muss man auf richtige Einstellung achten:DEG steht fur Grad (Degree) und RAD fur Radiant!

11.1.2 Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck kann das Verhaltnis zweier Seiten in Abhangigkeit ei-nes Winkels dargestellt werden. Die langste Seite bezeichnet man Hypotenuse c (dengegenuberliegenden Winkel als γ), die beiden anderen werden Katheten genannt: Ge-genkathete a (gegenuberliegender Winkel ist α) und Ankathete b (gegenuberliegenderWinkel ist β).

Es gelten folgende Definitionen:

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88 11 Trigonometrische Funktionen

Sinus: sinα = GegenkatheteHypothenuse

= ac

Kosinus: cosα = AnkatheteHypothenuse

= bc

Tangens: tanα = GegenkatheteAnkathete

= ab

Kotangens: cotα = AnkatheteGegenkathete

= ab

Diese Definitionen lassen sich zur Veranschaulichung gut auf den Einheitskreis ubertragen:

Da die Winkelbeziehungen uber den Einheitskreis definiert sind, lasst sich der Satz vonPythagoras anwenden (a2 + b2 = c2) und man erhalt einen sehr wichtigen Satz:

sin2 x+ cos2 x = 1 .

Dieser Satz wird auch als”Trigonometrischer Pythagoras“ bezeichnet.

Weiterhin gilt fur die Winkelbeziehungen folgende Periodizitat, die sich aus der Definiti-on ableiten lasst und auch sehr gut in der grafischen Darstellung der jeweiligen Funktionwiderspiegelt. (Diese wird weiter unten behandelt.)

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11.1 Theorie 89

sin(180 − α) = sinα

cos(180 − α) = − cosα

sin(180 + α) = − sinα

cos(180 + α) = − cosα

sin(360 − α) = − sinα

cos(360 − α) = cosα

Fur die Winkel 360+α ergibt sich wieder derselbe Winkel, weil das einer Drehung von360 (oder 2π) im Einheitskreis entspricht.

11.1.3 Grafische Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion

− 3π − 2π − π π 2π 3π

−2

−1

1

2

x

y

y = sin(x)y = cos(x)

Anhand der Funktionsgraphen lassen sich grundlegende Funktionseigenschaften erken-nen:

• Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodisch. Die kleinste Periode ist 2π,

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90 11 Trigonometrische Funktionen

deshalb gilt

sin(x+ 2π) = sinx

cos(x+ 2π) = cosx .

• Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch, denn es gilt

sin(−x) = − sin(x) .

• Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, denn es gilt

cos(−x) = cos(x) .

• Sinus- und Kosinusfunktion sind wie folgt miteinander verknupft:

sin(x+

π

2

)= cos(x)

cos(x+

π

2

)= − sin(x) .

11.1.4 Umkehrfunktionen fur Sinus- und Kosinusfunktion

Wie bereits bekannt ist, lassen sich nur solche Funktionen umkehren, die streng monotonsteigend bzw. fallend sind. Ist dies nicht der Fall, muss ein geeigneter Abschnitt derFunktion gewahlt werden, auf dem die Funktion streng monoton fallend bzw. steigendist. Die Umkehrfunktion einer trigonometrischen Funktion heißt Arcusfunktion.

Wenn man den Verlauf der sin-Funktion betrachtet, bietet sich das Intervall[−π

2; π2

]fur die Umkehrfunktion an, weil die sin-Funktion in diesem Intervall streng monotonsteigend ist. Die Umkehrfunktion bezeichnet man dann als

f(x) = arcsin(x) = sin−1 x .

Dabei darf der Ausdruck(sin−1 x

)nicht mit dem reziproken Wert

(1

sinx

)verwechselt

werden.

Der Definitionsbereich ist dann [−1; 1] und Wertebereich[−π

2; π2

].

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11.1 Theorie 91

− π π

−1

1

x

y

Fur die cos-Funktion kann man das Intervall [0;π] wahlen, da die Funktion in diesemAbschnitt streng monoton fallend ist. Die Umkehrfunktion wird als

f(x) = arccos(x) = cos−1 x

bezeichnet, der Definitionsbereich ist [−1; 1] und der Wertebereich ist [0;π].

Dabei darf der Ausdruck (cos−1 x) nicht mit dem reziproken Wert

(1

cosx

)verwechselt

werden.

− π π

−1

1

2

3

4

x

y

11.1.5 Additionstheoreme

Fur die trigonometrischen Funktionen gelten folgende Beziehungen, die so genanntenAdditionstheoreme:

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92 11 Trigonometrische Funktionen

sin(x± y) = sinx · cos y ± sin y · cosx

cos(x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y

cos(2x) = cos2 x− sin2 x

sin(2x) = 2 sin x · cosx

11.1.6 Winkeltabelle

Um bestimmte Werte fur sinx und cosx leichter ermitteln zu konnen, erhalten Sie eineTabelle mit den wichtigsten Winkeln:

Bogenmaß 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

Winkel 0 30 45 60 90 120 135 150 180

sinx 0 12

√22

√32

1√32

√22

12

0

cosx 1√32

√22

12

0 −12−√22−√32

−1

11.1.7 Hinweise zur Notation und Benutzung des Taschenrechners

Zur Umkehrfunktion der trigonometrischen Funktionen sollten Sie folgenden Sachverhaltbeachten:

Man kann schreiben:arccosx = cos−1 x ,

aber es gilt:

(cosx)−1 =1

cosx.

Es ist wichtig, dass Sie diesen Unterschied kennen, damit es nicht zu Verwechselungenkommt.

Auch das folgende Zitat aus dem Buch”Mathematik fur Ingenieure“ von M. Knorren-

schild (Hanser Verlag) auf Seite 24 kann in diesem Zusammenhang hilfreich sein:

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11.2 Beispiele 93

”Auf den meisten Taschenrechnern mussen Sie fur arcsin die Tastenfolge

inv ⇒ sin oder die Taste sin−1 wahlen. Kein Problem fur Sie, denn Sie wissenja, dass arcsin die Umkehrfunktion (inverse Funktion) von sin ist, also istarcsin = sin−1.“

11.2 Beispiele

Beispiel 11.2.1 Eine Anwendung der trigonometrischen Funktionen sind die trigono-metrischen Gleichungen. Bei diesen ist es wichtig, dass Sie die Periodizitat beachten.Falls der Definitionsbereich von x nicht eingeschrankt ist, muss die Losung mit (+2kπ)erweitert werden.

Gesucht sind alle Losungen fur x:

sin(x

3

)=

√3

2.

Als erstes muss man den Wert ermitteln, fur den der Sinus√32

ist. Das geschieht entwederdurch Berechnung oder durch einen Blick in die Tabelle fur Winkelwerte. Man erhalt π

3.

Daraus folgt:

x

3=π

3.

Nach Umstellen der Gleichung ist leicht ersichtlich, dass

x1 = π .

Außerdem hat die Sinusfunktion den gleichen Funktionswert an der Stelle 2π3

, also giltauch

x2 = 2π .

Außerdem muss bei den trigonometrischen Gleichungen die Periodizitat beachtet werden.Die Losungen lauten also:

x1 = π + 6kπ und x2 = 2π + 6kπ .

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94 11 Trigonometrische Funktionen

Beispiel 11.2.2 Gesucht sind alle Losungen fur x im Intervall [0; 2π]:

2 sinx+ sin(2x) = 0 .

Zunachst sollten Sie die Gleichung vereinfachen. Aus dem Abschnitt Additionstheoremeist bekannt, dass sin(2x) = 2 sinx · cosx ist. Daraus folgt

2 sinx+ 2 sinx · cosx = 0 .

Nun kann 2 sinx ausgeklammert werden:

2 sinx(1 + cos x) = 0 .

Wenn ein Produkt gleich 0 ist, dann muss mindestens einer der Faktoren auch 0 sein.

2 sinx = 0 oder 1 + cosx = 0

sinx = 0 oder cos x = −1 .

Nun kann man die beiden einfachen trigonometrischen Gleichungen losen. Aus der Ta-belle erhalt man

sin 0 = 0 sowie cosπ = −1 .

Außerdem gilt wegen der Periodizitat

sin(2π) = 0 .

Also sind die Losungen

x1 = 0 , x2 = π , x3 = 2π .

11.3 Ubungen

Ubung 11.3.1 (8 Min.) Losen Sie folgende Gleichung:

tanx+ sinx = 0 , x ∈ [0; 2π] .

→ Losung auf Seite 152

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11.4 Tests 95

Ubung 11.3.2 (10 Min.) Losen Sie die Gleichung

cos2 x− 2 sinx+ 2 = 0 , x ∈ [0; 2π] .

→ Losung auf Seite 153

Ubung 11.3.3 (10 Min.) Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck:

sin4 x+1

2sin2(2x) + cos4 x .

→ Losung auf Seite 154

Ubung 11.3.4 (10 Min.) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:

sin4 x− cos4 x .

→ Losung auf Seite 154

11.4 Tests

Test 11.4.1 (6 Min.) Berechnen Sie den Betrag von sin(π

3

), wenn cos

(π3

)= 0,5

vorgegeben ist. Das Ergebnis lautet

1 0,5 2 123100

3√32

→ Losung auf Seite 198

Test 11.4.2 (12 Min.) Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

(a) 30 =π

4(b) 60 =

π

3(c) 90 =

π

3

(e) 30 =π

6(h) 150 =

6(i) 45 =

π

4

(j) 60 = sinπ

6(l) 270 =

2(n) 120 =

3

(r) sin π = sin 7π (t)

√3

2= cos

π

6(w) sin 405 = sin

π

4

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96 11 Trigonometrische Funktionen

1 a-b-r-t-w 2 h-t-w-b-e-r-l-i-n 3 i-j-l-n-r-t

→ Losung auf Seite 200

Test 11.4.3 (12 Min.) Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

(a)1

cos2 x− 1 = tan2 x (b)

1

sinx cotx= (cosx)

−1

(c) sinx+ (cosx · cotx) =1

sinx(d)

tanx − sinx · cosx

tanx= sin2 x

(e)1

cosx− (sinx · tanx) = cos x

1 c-d-e 2 a-b-c-d-e 3 a-c-e

→ Losung auf Seite 200

Test 11.4.4 (14 Min.)

(a) sin

(cos−1

1

2

)=

√3

2(b) sin−1

(√2

2

)=π

4

(c) sin−1 1 + sin−1(−1) = 0 (d) cos−1 1 + cos−1(−1) = π

(e) wenn cos(3x) =1

2, dann ist x = 20 ± k · 120, k = 0,± 1,± 2,. . .

1 Keine der Aussagen ist richtig 2 Alle Aussagen sind richtig 3 a-d-e

→ Losung auf Seite 201

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12.1 Theorie 97

12 Funktionen in Polarkoordinaten

12.1 Theorie

12.1.1 Definition Polarkoordinaten

Jeden Punkt in der Ebene kann man neben den kartesischen Koordinaten auch mit Po-larkoordinaten beschreiben. Vor allem fur Aufgaben, die sich auf Kreise bzw. Kreisab-schnitte beziehen, ist die Arbeit mit Polarkoordinaten vorteilhafter als die Verwendungvon kartesischen Koordinaten.

Bei den Polarkoordinaten wird ein Strahl, der vom Ursprung O in Richtung der positivenx-Achse ausgeht, als Polarachse bezeichnet. Dann ist jeder Punkt der Ebene eindeutigdurch die Strecke r (r > 0) und den Winkel ϕ , den die Strecke r mit der Polarachsebildet, festgelegt.

φ

r

P(r,φ)

O

r und ϕ sind die Polarkoordinaten eines Punktes der Ebene. Der Winkel kann sowohl inGrad als auch im Bogenmaß angegeben werden.

12.1.2 Beziehungen zwischen kartesischen und Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten lassen sich einfach in die kartesische umrechnen. Es gilt:

x = r · cos(ϕ)

y = r · sin(ϕ) .

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98 12 Funktionen in Polarkoordinaten

Bei gegebenen r und ϕ sind die kartesischen Koordinaten x und y eindeutig definiert.Umgekehrt gilt:

r =√x2 + y2

tanϕ =y

x.

Dabei ist der Winkel ϕ nicht eindeutig definiert. Die Gleichung tanϕ = yx

hat unend-lich viele Losungen. Sogar wenn man sich auf das Intervall [0; 360) beschrankt, gibt esimmer noch 2 Losungen zur Auswahl. An dieser Stelle muss man uberlegen, in welchemQuadranten der betrachtete Punkt liegt, um sich fur einen richtigen Winkel entscheidenzu konnen.

12.1.3 Kurvengleichungen

Eine Kurve kann als eine Punktmenge aufgefasst werden. Die Vorschrift zur Bildungeiner Kurve wird in Form einer Gleichung mit den Variablen x und y (wenn man einkartesisches Koordinatensystem verwendet) bzw. r und ϕ (bei der Verwendung der Po-larkoordinaten) angegeben.

Ist diese Gleichung nach einer der Variablen aufgelost, spricht man von einer explizitenForm der Kurvengleichung. Zum Beispiel

f(x) = y = x2 .

Ist die Gleichung nicht nach einer Variablen aufgelost, spricht man von einer implizitenForm der Kurvengleichung. Zum Beispiel:

K(x,y) : x2 + y2 − 25 = 0 .

Mit Hilfe von Polarkoordinaten lassen sich verschiedene Kurvengleichungen darstellen.Zum Beispiel:

• Spiralen:

K1 : r = ϕ

K2 : r = eϕ

K3 : r = ϕ−1 .

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12.1 Theorie 99

Folgende Abbildung stellt die Archimedische Spirale K1 fur ϕ ≥ 0 dar:

0

20

40

60

80100

120

140

160

180

200

220

240

260 280

300

320

340

0 200 400 600 800 1000

• Kardioiden:K4 : r = 1 + cosϕ .

0

20

40

60

80100

120

140

160

180

200

220

240

260 280

300

320

340

0 0.5 1 1.5 2

• Lemniskaten:K5 : r = cos2 ϕ .

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100 12 Funktionen in Polarkoordinaten

0

20

40

60

80100

120

140

160

180

200

220

240

260 280

300

320

340

0.2 0.4 0.6 0.8 1

12.2 Beispiele

Beispiel 12.2.1 Wie lauten die kartesischen Koordinaten des Punktes P (4√

2; 225)?Prufen Sie Ihr Ergebnis an einer Skizze nach!

Losung:

x = r · cosϕ

= 4√

2 · cos(225)

= 4√

2 ·

(−√

2

2

)= −4

y = r · sinϕ

= 4√

2 · sin(225)

= 4√

2 ·

(−√

2

2

)= −4

Der Punkt P hat die kartesischen Koordinaten

P (−4;−4) .

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

12.2 Beispiele 101

0

20

40

6080100

120

140

160

180

200

220

240260 280

300

320

340

0 1 2 3 4 5 6−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

Beispiel 12.2.2 Welche Polarkoordinaten besitzt der Punkt P (−2; 3)? Prufen Sie IhrErgebnis an einer Skizze nach!

Losung:

r =√

(−2)2 + 32

=√

13 ≈ 3,61

tanϕ =3

−2= −1,5

Daraus folgen zwei Winkel

ϕ1 ≈ 123,69 und ϕ2 ≈ 303,69 .

Da aber der Punkt P im zweiten Quadranten liegt, kommt nur ϕ1 in Frage. Die Polar-koordinaten des Punktes lauten somit

P (3,61; 123,69) .

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

102 12 Funktionen in Polarkoordinaten

−4 −2 2 4

−4

−2

2

4

x

y

0

20

40

6080100

120

140

160

180

200

220

240260 280

300

320

340

0 1 2 3 4

Beispiel 12.2.3 Ein Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung hat in kartesischenKoordinaten folgende Gleichung:

K(x,y) : x2 + y2 − 25 = 0 .

Wie lautet diese Kreisgleichung in Polarkoordinaten?

Losung: Fur die Umrechnung der Kurvengleichung wird fur x der Ausdruck r ·cosϕ undfur y der Ausdruck r · sinϕ eingesetzt. Man erhalt:

(r cosϕ)2 + (r sinϕ)2 − 25 = 0

r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ− 25 = 0

r2(cos2 ϕ+ sin2ϕ

)− 25 = 0 .

Beachtet man, dass sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1 ist, dann erhalt man

r2 − 25 = 0

r = 5 .

Also lautet die Kreisgleichung

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12.2 Beispiele 103

K : r = 5 .

Beispiel 12.2.4 Wie lautet die Kurvengleichung

K : r = 2 sinϕ

in kartesischen Koordinaten?

Losung: Fur r konnen Sie sofort√x2 + y2 einsetzen:

√x2 + y2 = 2 sinϕ .

Weiterhin konnen Sie aus der Formel y = r · sinϕ leicht den Ausdruck sinϕ herleiten:

sinϕ =y

r

=y√

x2 + y2.

Daraus erhalten Sie

√x2 + y2 = 2

y√x2 + y2(√

x2 + y2)2

= 2y

x2 + y2 = 2y

x2 + y2 − 2y = 0 .

Die Kurvengleichung in kartesischen Koordinaten lautet beispielsweise

K(x,y) : x2 + y2 − 2y = 0 .

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104 12 Funktionen in Polarkoordinaten

12.3 Ubungen

Ubung 12.3.1 (5/5 Min.)

a) Welche Polarkoordinaten besitzen die Punkte A (3; 2), B (−7;−9)?

b) Wie lauten die kartesischen Koordinaten der Punkte C (5; 30), D (2,5; 270) ?

→ Losung auf Seite 155

Ubung 12.3.2 (7 Min.) Wie lautet die folgende Kurvengleichung in Polarkoordina-ten?

K(x; y) :(x2 + y2

)2 − (x2 − y2) = 0 .

→ Losung auf Seite 156

Ubung 12.3.3 (7 Min.) Wie lautet die folgende Kurvengleichung in kartesischenKoordination?

K : r =a

b cosϕ+ c sinϕ

→ Losung auf Seite 157

Ubung 12.3.4 (7 Min.) Wie lautet die Kurvengleichung in kartesischen Koordina-ten?

K : r2 = 2e2 cos 2ϕ

→ Losung auf Seite 158

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12.4 Tests 105

12.4 Tests

Test 12.4.1 (5 Min.) Welche Polarkoordinaten besitzt der Punkt

A

(3

2;

√3

2

)?

1 r =√

3; ϕ = 60 2 r =√

3; ϕ = 30 3 r =

√3

2; ϕ = 60

→ Losung auf Seite 202

Test 12.4.2 (8 Min.) Wie groß ist der Abstand des Punktes

(7;

4

)in Polarkoor-

dinaten von der x- bzw. y-Achse?

1 x = −√

2

2y =

√2

2

2 x =7√

2

2y = −7

√2

2

3 x = −7√

2

2y =

7√

2

2

→ Losung auf Seite 203

Test 12.4.3 (8 Min.) Welche Winkel besitzen die Punkte einer Kurve mit der ange-gebenen Kurvengleichung und dem Radius r = 3/2 ?

r = 1 + cosϕ

1 ϕ1,2 = ±60 2 ϕ1,2 = ±30 3 ϕ1,2 = ±120

→ Losung auf Seite 204

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

106 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Test 12.4.4 (12 Min.) Was sind die Schnittpunkte der angegebenen Kurven?

r = 4 · (1 + cosϕ)

r · (1− cosϕ) = 3

1 ϕ1,2 = ±60 r1,2 = 6

2 ϕ1,2 = ±120 r1,2 = 2

3 ϕ1,2 = ±60 , ϕ3,4 = ±120 r1,2 = 6 , r3,4 = 2

→ Losung auf Seite 205

13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

13.1 Umstellen von Gleichungen

Ubung 1.3.1

Tipp: Um leichter nach µ umstellen zu konnen, empfiehlt es sich, die Gleichung soumzuformen, dass µ im Zahler steht:

PU ·(d

4+ µh

)=

F

Tipp: Bringen Sie alle Terme, in denen µ nicht vorkommt, auf die andere Seite derGleichung:

d

4+ µh =

F

dπPU

µh =F

dπPU

− d

4

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13.1 Umstellen von Gleichungen 107

Tipp: Es ist immer ratsam, die Terme so weit wie moglich zu vereinfachen (in diesemFall durch Bilden des Hauptnenners). Schließlich muss noch durch h dividiert werden:

µh =F

dπPU

· 4

4− d

4· dπPU

dπPU

=4F − d2πPU

4dπPU

µ =4F − d2πPU

4dπPUh

Die Losung lautet:

µ =4F − d2πPU

4dπPUh

→ Zur Aufgabe auf Seite 10

Ubung 1.3.2

Tipp: Formen Sie die Summen in den Nennern zu Produkten um, indem Sie die jeweilsR mit jωC erweitern:

i1 =

u1R· jωC

jωC+ 1

jωC

R · jωCjωC

+ 1jωC

=

u1RjωC+1

jωC

RjωC+1jωC

Tipp: Vereinfachen lasst sich dieser Ausdruck, indem man den Doppelbruch im Zahler eli-miniert durch Multiplikation mit dem Kehrwert des Nenners (siehe Division von Bruchenim Theorieteil):

i1 =

u1jωCRjωC+1

RjωC+1jωC

Tipp: Beseitigen Sie nun den letzten Doppelbruch und fassen Sie schließlich das Ergebniszusammen:

i1 =u1jωC · jωC

(RjωC + 1)(RjωC + 1)

=u1(jωC)2

(RjωC + 1)2

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108 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Die Losung lautet:

i1 =u1(jωC)2

(RjωC + 1)2

→ Zur Aufgabe auf Seite 10

Ubung 1.3.3

Tipp: Stellen Sie die Gleichung so um, dass auf der linken Seite nur noch zwei Termemit x allein im Zahler stehen:

x

%Ag

+10

%Sx− x

%Sx=

10

%0

x

%Ag

− x

%Sx=

10

%0− 10

%Sx

Tipp: Klammern Sie nun x aus, damit x nur noch an einer Stelle in der Gleichung steht:

x

(1

%Ag

− 1

%Sx

)=

10

%0− 10

%Sx

Tipp: Nun mussen Sie nur noch durch den Term dividieren, der als Faktor vor x auftrittund anschließend die Doppelbruche beseitigen:

x = 10

(1

%0− 1

%Sx

)· 1

1%Ag− 1

%Sx

x = 10%Sx − %0%0 · %Sx

· 1%Sx−%Ag

%Ag·%Sx

x = 10(%Sx − %0)%0 · %Sx

· %Ag · %Sx%Sx − %Ag

Die Losung lautet:

x = 10%Ag

%0

(%Sx − %0)(%Sx − %Ag)

→ Zur Aufgabe auf Seite 11

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13.2 Potenzen und Wurzeln 109

Ubung 1.3.4

Tipp: Wieder sollte die Gleichung so umgestellt werden, dass R1 nur an einer Stelle inder Gleichung steht. Dazu sollten Sie zunachst die Bruche beseitigen:

U2 =R2

R1 +R2

U1 −R1R2

R1 +R2

I2

U2(R1 +R2) = R2U1 −R1R2I2

U2R1 + U2R2 = R2U1 −R1R2I2

Tipp: Sortieren Sie nun die Gleichung, indem Sie alle Terme mit R1 auf eine Seitebringen:

U2R1 +R1R2I2 = R2U1 − U2R2

Tipp: Klammern Sie anschließend R1 sowie R2 aus:

R1(U2 +R2I2) = R2(U1 − U2)

Tipp: Die Gleichung kann nun leicht umgestellt und vereinfacht werden:

R1 =R2(U1 − U2)

U2 +R2I2

Die Losung lautet dann:

R1 =R2(U1 − U2)

U2 +R2I2

→ Zur Aufgabe auf Seite 11

13.2 Potenzen und Wurzeln

Ubung 2.3.1

Tipp: Wenden Sie das Gesetz uber die Division bzw. Multiplikation von Potenzen mitgleichen Exponenten an. Dann ergibt sich folgender Ausdruck:

(a−4b−5)2

(x−1y3)2· (a−2x)

−3

(b3y2)−3

=(a−4)

2 · (b−5)2

(x−1)2 · (y3)2· (a−2)

−3 · x−3

(b3)−3 · (y2)−3

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110 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Tipp: Nun kann das Gesetz uber das Potenzieren von Potenzen verwendet werden, umden Ausdruck spater zu vereinfachen:

a−8b−10

x−2y6· a

6x−3

b−9y−6

Tipp: Die Terme konnen nun leicht multipliziert werden

a−8b−10a6x−3

x−2y6b−9y−6

Tipp: Wenn notig sollte der Bruch nun wieder sortiert werden, um anschließend dieGesetze fur Potenzen mit gleicher Basis anzuwenden:

a−8a6b−10x−3

b−9x−2y6y−6

= a−8+6 · b−10−(−9) · x−3−(−2) · y−6−(−6)

= a−2 · b−1 · x−1 · 1

Die Losung lautet:1

a2bx

→ Zur Aufgabe auf Seite 15

Ubung 2.3.2

Tipp: Schreiben Sie die Wurzeln als Exponenten um:(vw3

) 16 ·(n5v8w−2

) 14 ·(nv3) 1

2

Tipp: Da die Wurzeln gleiche Exponenten fur verschiedene Basen sind, kann der Aus-druck umgeformt werden zu:(

v1) 1

6 ·(w3) 1

6 ·(n5) 1

4 ·(v8) 1

4 ·(w−2

) 14 ·(n1) 1

2 ·(v3) 1

2

Tipp: Nun konnen die doppelten Potenzen zu einfachen Potenzen vereinfacht werden:

v16 · w

36 · n

54 · v

84 · w−

24 · n

12 · v

32

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13.2 Potenzen und Wurzeln 111

Tipp: Fassen Sie nun die Ausdrucke zusammen, indem Sie das Gesetz zur Multiplikationvon Potenzen mit gleicher Basis verwenden:

v16+ 8

4+ 3

2 · w36− 2

4 · n54+ 1

2

= v212

+ 2412

+ 1812 · w

612− 6

12 · n54+ 2

4

= v4412 · w0 · n

74

= v113 · n

74

Die Losung lautet:3√v11 · 4

√n7

→ Zur Aufgabe auf Seite 16

Ubung 2.3.3

Tipp: Schreiben Sie den Ausdruck so um, dass jede Basis nur einen Exponenten hat:

ax2 · a 2x

3 · b2x

ax6 · b3x

Tipp: Nun kann die Anwendung der Gesetze fur gleiche Basis erfolgen:

ax2+ 2x

3−x

6 · b2x−3x

= a3x6+ 4x

6−x

6 · b2x−3x

= a6x6 · b−x

= ax · b−x

Die Losung lautet: (ab

)x

→ Zur Aufgabe auf Seite 16

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112 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

13.3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln und binomischerLehrsatz

Ubung 3.3.1

Tipp: Wenden Sie die Definition des Binomialkoeffizienten an:(90

87

)=

90!

87! 3!

Tipp: Nutzen Sie die Definition der Fakultat um kurzen zu konnen:

90!

87! 3!=

90 · 89 · 88 · 87 · . . . · 187 · . . . · 1 · 3 · 2 · 1

Tipp: Kurzen Sie soweit wie moglich. Beachten Sie dabei, dass ein Teil des Zahlers imNenner enthalten ist.

90 · 89 · 88 · 87 · . . . · 187 · . . . · 1 · 3 · 2 · 1

=90 · 89 · 88

3 · 2 · 1= 30 · 89 · 44

Die Losung lautet117 480 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 20

Ubung 3.3.2

Tipp: Wenden Sie die Definition des binomischen Lehrsatzes an:

(a+ b)4 =4∑

k=0

(4

k

)a4−k bk

Tipp: Schreiben Sie die Summanden einzeln auf:(4

0

)a4−0 b0 +

(4

1

)a4−1 b1 +

(4

2

)a4−2 b2 +

(4

3

)a4−3 b3 +

(4

4

)a4−4 b4

Die Losung lautet:1a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

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13.3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln und binomischer Lehrsatz 113

→ Zur Aufgabe auf Seite 20

Ubung 3.3.3

Tipp: Gestalten Sie die Nenner einfacher, indem Sie z.B. Variablen ausklammern unddie Nenner als Produkte darstellen. Kurzen Sie sofern moglich:

4a2

(2a− b)(2a+ b)+

(b2 − 2ab

1

)a

b(b− 2a)2

Tipp: Versuchen Sie den zweiten Summanden zu vereinfachen, indem Sie ausklammernund kurzen. Vergleichen Sie dafur, wo ahnliche Ausdrucke im zweiten Summanden ent-halten sind:

4a2

(2a− b)(2a+ b)+ b(b− 2a)

a

b(b− 2a)2

=4a2

(2a− b)(2a+ b)+

a

(b− 2a)

Tipp: Machen Sie die Bruche gleichnamig. Beachten Sie dabei, dass der Nenner deszweiten Terms schon fast mit einem Teil des ersten Terms ubereinstimmt:

4a2

(2a− b)(2a+ b)− a

2a− b

=4a2

(2a− b)(2a+ b)− a(2a+ b)

(2a− b)(2a+ b)

Tipp: Fuhren Sie die Rechenoperationen aus und vereinfachen Sie so weit wie moglich:

4a2 − a(2a+ b)

(2a− b)(2a+ b)

=2a2 − ab

(2a− b)(2a+ b)

=a(2a− b)

(2a− b)(2a+ b)

Die Losung lautet:a

2a+ b

→ Zur Aufgabe auf Seite 20

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114 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Ubung 3.3.4

Tipp: Um einen geeigneten Nenner zu finden, wendet man die Gesetze fur binomischeFormeln an und formt die Nenner entsprechend um:

1

(a+ b)2+

1

(a+ b)(a− b)− b2

a2(a+ b)(a− b)− 1

a2

Tipp: Nun konnen die Bruche gleichnamig gemacht werden, um die Zahler zu addierenbzw. subtrahieren.

a2(a− b)(a+ b)2a2(a− b)

+a2(a+ b)

(a+ b)(a− b)a2(a+ b)

− b2(a+ b)

a2(a+ b)(a− b)(a+ b)− (a+ b)2(a− b)a2(a+ b)2(a− b)

=a2(a− b) + a2(a+ b)− b2(a+ b)− (a+ b)2(a− b)

(a+ b)2a2(a− b)

Tipp: In Teilen des Zahlers kann nun (a+ b) ausgeklammert werden:

a2(a− b) + (a+ b) [a2 − b2 − (a+ b)(a− b)](a+ b)2a2(a− b)

Tipp: Die letzte Klammer des Zahlers ergibt 0, wenn man die dritte binomische Formelanwendet:

a2(a− b) + (a+ b)

=0︷ ︸︸ ︷[a2 − b2 −

(a2 − b2

)](a+ b)2a2(a− b)

=a2(a− b)

(a+ b)2a2(a− b)

Tipp: Anschließend muss nur noch gekurzt werden.

Die Losung lautet:1

(a+ b)2

→ Zur Aufgabe auf Seite 21

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13.3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln und binomischer Lehrsatz 115

Ubung 3.3.5

Tipp: Verwenden Sie Ihr erworbenes Wissen uber Potenzen und Wurzeln. Der erste Aus-druck lasst sich durch Ausmultiplizieren und der zweite durch Anwenden der binomischenFormeln vereinfachen:(

1 +

((a

23 − x

23

) 22x−

23

))−3− 1

a2

√a4 + 2a2x2 + x4

=(

1 +(a

23x−

23 − x

23x−

23

))−3− 1

a2

√a4 + 2a2x2 + x4

Tipp: Benutzen Sie fur den zweiten Term die Umkehrung der binomischen Formeln undwenden Sie weiter Potenzgesetze an:(

1 +(a

23x−

23 − x0

))−3− 1

a2

√(a2 + x2)2

=(

1 + a23x−

23 − 1

)−3− 1

a2(a2 + x2

)=

(a

23x−

23

)−3− 1

a2(a2 + x2

)Tipp: Der erste Term kann weiter nur durch Potenzgesetze vereinfacht werden. Umden zweiten Term vom ersten zu subtrahieren, sollte man zuerst den zweiten Termausmultiplizieren, falls dies noch nicht geschehen ist:(

a−63x−

−63

)−(a2

a2+x2

a2

)=

(a−2x2

)−(a2

a2+x2

a2

)=

(xa

)2−(

1 +x2

a2

)

Damit ist die Losung leicht erkennbar.

Die Losung lautet−1 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 21

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116 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

13.4 Polynomdivision

Ubung 4.3.1

Tipp: Da die Polynome bereits sortiert sind, konnen Sie direkt mit der Division begin-nen. Dividieren Sie 2x4 durch x und multiplizieren Sie das Ergebnis mit dem Divisor.Achten Sie von Anfang an darauf, Potenzen mit gleichem Exponenten unter einander zuschreiben. Dies erleichtert spater die Ubersicht:

(2x4 −x2) : (x− 5) = 2x3

− (2x4 − 10x3)

Tipp: Ermitteln Sie den entstehenden Rest, der noch dividiert werden muss und fuhrenSie das Verfahren erneut aus.

(2x4 − x2) : (x− 5) = 2x3 + 10x2 + 49x+ 245 + 1225x−5

− (2x4 − 10x3)

(=) 10x3 − x2

− (10x3 − 50x2)

(=) 49x2

− (49x2 − 245x)

(=) 245x

− (245x − 1225)

(=) 1225

Die Losung lautet:

2x3 + 10x2 + 49x+ 245 +1225

x− 5

→ Zur Aufgabe auf Seite 26

Ubung 4.3.2

Tipp: Ermitteln Sie eine Nullstelle. Meist ist das Absolutglied ( in diesem Fall 8 ) einVielfaches der Nullstellen. Eine Moglichkeit ware die Zahl 1, da 1 · 8 = 8. Die Probeergibt: 13 + 12 − 10 + 8 = 0. x01 = 1 ist also eine geeignete Nullstelle.

Tipp: Dividieren Sie nun das Polynom durch (x− x01) und fahren Sie mit der Polynom-division fort: (

x3 + x2 − 10x+ 8)

: (x− 1)

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13.4 Polynomdivision 117

Tipp: Ermitteln Sie das erste Glied des Ergebnisses, indem Sie x3 durch x dividierenund multiplizieren Sie dieses mit dem Divisor:(

x3 + x2 − 10x+ 8)

: (x− 1) = x2

−(x3 − x2

)Tipp: Ermitteln Sie den Rest und dividieren Sie diesen wie unter dem vorherigen Tippbeschrieben. Setzen Sie diese Schritte solange fort, bis kein teilbarer Rest mehr ubrigbleibt.

(x3 + x2 − 10x + 8) : (x− 1) = x2 + 2x− 8

− (x3 + x2)

(=) (2x2 − 10x)

− (2x2 − 2x)

(=) (− 8x + 8)

− (− 8x + 8)

(=) 0

Tipp: Berechnen Sie nun die anderen Nullstellen, indem Sie die p-q-Formel fur x2+2x−8anwenden:

x2,3 = −2

√(2

2

)2

+ 8

= −1±√

9

= −1± 3

x2 = +2 x2 = −4

Die Nullstellen lauten:

x1 = 1

x2 = 2

x3 = −4

→ Zur Aufgabe auf Seite 26

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118 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Ubung 4.3.3

Tipp: Sortieren Sie zunachst den Divisor entsprechend der Exponenten (großte Potenzzuerst). Dividieren Sie dann 3x4 durch −x2. Lassen Sie sich nicht davon irritieren, dassder Divisor drei Glieder hat, sondern gehen Sie wie gewohnt vor. Ermitteln Sie dann denRest und wiederholen Sie das Verfahren so oft wie notig.

(3x4 − 3x2 − 54x − 54) : (−x2 + 2x+ 3) = −3x2 − 6x− 18

− (3x4 − 6x3 − 9x2)

(=) 6x3 + 6x2 − 54x

− (6x3 − 12x2 − 18x)

(=) 18x2 − 36x − 54

− (18x2 − 36x − 54)

(=) 0

Die Losung lautet:−3x2 − 6x− 18

→ Zur Aufgabe auf Seite 27

Ubung 4.3.4

Tipp: Sortieren Sie nach Variable und Potenz. Dann erhalten Sie:(a3 + a2b+ ab2 − 3b3

): (a− b)

Tipp: Teilen Sie a3 durch a und multiplizieren Sie das Ergebnis mit dem Divisor und er-mitteln Sie den Rest. Ermitteln Sie dann den Rest und gehen Sie schließlich in gewohnterWeise erneut so vor.

(a3 + a2b + ab2 − 3b3) : (a− b) = a2 + 2ab+ 3b2

− (a3 − a2b)

(=) 2a2b + ab2

− (2a2b − 2ab2)

(=) 3ab2 − 3b3

− (3ab2 − 3b3)

(=) 0

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13.5 Lineare Funktionen 119

Die Losung lautet:a2 + 2ab+ 3b2

→ Zur Aufgabe auf Seite 27

13.5 Lineare Funktionen

Ubung 7.3.1

a) Tipp: Verwenden Sie eine geeignetet Formel, die die gegebenen Angaben berucksichtigt:

y = m (x− x0) + y0 .

Tipp: Setzen Sie die Angaben in die Formel ein:

y = 2(x− 0) + 1 .

Die Losung lautety = 2x+ 1 .

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

10

x

y

→ Zur Aufgabe auf Seite 48

b) Tipp: Kontrollieren Sie zunachst, ob die Zuordnung der Punkte die Definition einerFunktion erfullen kann.

Hinweis: Es handelt sich um keine Funktion, da dem x-Wert 0 unendlich viele (anstatteinem eindeutigen) y-Werte zugeordnet werden.

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120 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

→ Zur Aufgabe auf Seite 48

c) Tipp: Stellen Sie zuerst eine Funktionsgleichung auf, die die Gerade y = x um 2verschiebt. Die Wirkung der einzelnen Parameter kann im Kapitel uber die allgemeinenFunktionseigenschaften nachgelesen werden. Diese Funktion lautet:

y = (x− 2) .

Tipp: Der Parameter a in einer Funktion y = a · f(bx + c) sorgt fur eine Spiegelung ander x-Achse. Die gesuchte Funktion hat also die Form

y = a · (x− 2) .

Tipp: Da angegeben ist, dass die Spiegelung ohne Stauchung bzw. Streckung erfolgensoll, kann a leicht bestimmt werden. Somit ist a = −1.

Die Funktion lautet:y = −1 · (x− 2) .

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

10

y = xy = x − 2y = −(x − 2)

x

y

→ Zur Aufgabe auf Seite 48

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13.5 Lineare Funktionen 121

Ubung 7.3.2

a) Tipp: Berechnen Sie den Anstieg der gesuchten Geraden mit Hilfe der Formel

m1 ·m2 = −1 .

4 ·m2 = −1

m2 = −1

4

Tipp: Verwenden Sie nun die Formel, die eine Gerade durch die Steigung und einenPunkt definiert:

y = −1

4(x− 0) + 3 .

Die Losung lautet

y = −1

4x+ 3 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 48

b) Tipp: Setzen Sie die Funktionsgleichungen gleich:

4x− 2 = −1

4x+ 3 .

Tipp: Losen Sie die Gleichung nach x auf:

4x+1

4x = 3 + 2

16

4x+

1

4x = 5

17

4x = 5

x =20

17

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122 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Tipp: Setzen Sie den x-Wert in eine Gleichung ein, um den y-Wert zu berechnen:

y = 4 · 20

17− 2

=80

17− 2

=80

17− 34

17

=46

17.

Der Schnittpunkt lautet

S

(20

17;46

17

).

→ Zur Aufgabe auf Seite 48

Tipp: Verwenden Sie die Abstandsformel

d =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 .

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13.5 Lineare Funktionen 123

Tipp: Setzen Sie nun die notigen Angaben in die Formel ein:

d =

√(20

17− 0

)2

+

(46

17− 3

)2

=

√(20

17

)2

+

(46

17− 51

17

)2

=

√(20

17

)2

+

(−5

17

)2

=

√400

289+

25

289

=

√425

289

=

√25

17

d =5 ·√

17

17

Der Abstand zwischen den Punkten betragt

5 ·√

17

17.

Hinweis: Durch die Aufgaben a) bis c) haben Sie zugleich den Abstand zwischen demPunkt P1(0; 3) und der Geraden y = 4x− 2 berechnet.

→ Zur Aufgabe auf Seite 48

Ubung 7.3.3

a) Tipp: Stellen Sie zunachst die Ungleichung nach x um:

2x ≤ 4

x ≤ 2 .

Tipp: Formulieren Sie nun das Ergebnis in Mengenschreibweise.

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124 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Die Losung lautetL = x |x ≤ 2 .

Es wurde also untersucht, fur welchen Definitionsbereich die Funktion f(x) = 2x− 1kleiner oder gleich dem y-Wert 3 ist. Dieser Sachverhalt wird auch in der Grafik darge-stellt:

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

10

x

y x = 2

y = 3

→ Zur Aufgabe auf Seite 48

b) Tipp: Beseitigen Sie zuerst die Bruche:

4(x+ 4)

12− 3(x− 3)

12>

6(x+ 4)

12

4(x+ 4)− 3(x− 3) > 6(x+ 4) .

Tipp: Stellen Sie nun die Ungleichung nach x um:

4x+ 16− 3x+ 9 > 6x+ 24

4x− 3x− 6x > 24− 16− 9

−5x > −1 .

Hinweis: Bitte beachten Sie, dass das multiplizieren bzw. dividieren mit einer negativenZahl zu einer Umkehrung des Verhaltniszeichens fuhrt. Somit ergibt sich

x <1

5.

Tipp: Stellen Sie das Ergebnis nun in Mengenschreibweise dar.

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13.5 Lineare Funktionen 125

Die Losung lautet

L =

x |x < 1

5

.

→ Zur Aufgabe auf Seite 48

c) Tipp: Verwenden Sie die binomischen Formeln und fassen Sie dann die Ausdruckezusammen:

x2 − 6x+ 9−(x2 + 4x+ 4

)< 3(2− x)

x2 − 6x+ 9− x2 − 4x− 4 < 6− 3x

−10x+ 5 < 6− 3x .

Tipp: Stellen Sie die Ungleichung nach x um.

−7x < 1

x > −1

7

Tipp: Notieren Sie die Losung in Mengenschreibweise.

Das Ergebnis lautet

L =

x |x > −1

7

.

→ Zur Aufgabe auf Seite 48

Ubung 7.3.4

a) Tipp: Fassen Sie die Terme mit x auf einer Seite zusammen:

−ax+ 2ax ≥ 10− 5

ax ≥ 5 .

Tipp: Untersuchen Sie die drei moglichen Falle a = 0, a > 0 und a < 0.

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126 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

(1) a = 0 0 · x ≥ 5 Unwahre Aussage

L1 = ∅

(2) a > 0 x ≥ 5

a

L2 =

x |x ≥ 5

a

fur a > 0

(3) a < 0 x ≤ 5

a

L3 =

x |x ≤ 5

a

fur a < 0

Tipp: Fassen Sie nun die einzelnen Losungsmengen der drei Falle zusammen.

Die Losung lautet

L =

x | x ≤ 5

afur a < 0

∅ fur a = 0

x | x ≥ 5

afur a > 0

.

→ Zur Aufgabe auf Seite 49

b) Tipp: Verwenden Sie die binomischen Formeln, um zusammenzufassen:

a2x2 + 2abx+ b2 −(a2x2 − 2abx+ b2

)≤ 5

a2x2 + 2abx+ b2 − a2x2 + 2abx− b2 ≤ 5

4abx ≤ 5

abx ≤ 5

4.

Tipp: Nehmen Sie nun die Fallunterscheidungen fur ab = 0, ab > 0 und ab < 0 vor.

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13.6 Quadratische Funktionen 127

(1) ab = 0 Das bedeutet, dass a oder b null sein mussen.

L1 = R fur a = 0 ∨ b = 0

(2) ab > 0 Beide Parameter mussen positiv/negativ sein

x ≤ 5

4ab

L2 =

x |x ≤ 5

4ab

fur (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)

(3) ab < 0 Genau ein Parameter muss negativ sein

x ≥ 5

4ab

L3 =

x |x ≥ 5

4ab

fur (a < 0 ∧ b > 0) ∨ (a > 0 ∧ b < 0)

Tipp: Fassen Sie die Ergebnisse der Fallunterscheidungen zusammen.

Die Losung lautet

L =

x | x ≥ 5

4abfur ab < 0

R fur ab = 0

x | x ≤ 5

4abfur ab > 0

.

→ Zur Aufgabe auf Seite 49

13.6 Quadratische Funktionen

Ubung 8.3.1

a) Tipp: Gehen Sie von einer Normalparabel aus und zeichnen Sie zuerst (x−1)2. Dabeihandelt es sich um eine nach rechts verschobene Parabel.

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128 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

Tipp: Zeichnen Sie nun −(x− 1)2, indem Sie die Funktion an der x-Achse spiegeln.

y = (x − 1)2

y = −(x − 1)2

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

Tipp: Nun wird die Funktion −(x− 1)2 um eine Einheit nach oben verschoben.

Nachfolgende Grafik zeigt die Losung:

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13.6 Quadratische Funktionen 129

y = (x − 1)2

y = −(x − 1)2

y = −(x − 1)2 + 1

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

b) Tipp: Zeichnen Sie die Funktion −(x+ 1)2 schrittweise:

y = x2

y = (x + 1)2

y = −(x + 1)2

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

Tipp: Spiegeln Sie den Bereich der Funktion, der unterhalb der x-Achse liegt, an derx-Achse.

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130 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

y = x2

y = (x + 1)2

y = −(x + 1)2

y = −(x + 1)2

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

Tipp: Nun muss die erhaltene Funktion noch um 2 Einheiten nach oben verschobenwerden.

Die Grafik zeigt die richtige Losung der Aufgabe:

y = x2

y = (x + 1)2

y = −(x + 1)2

y = −(x + 1)2

y = −(x + 1)2 + 2

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

c) Tipp: Um die Funktion exakt zeichnen zu konnen, muss sie durch quadratischeErganzung in die Scheitelpunktsform gebracht werden.

In der Funktion steckt eine binomische Formel der Art x2 + 2ax + a2. Es muss nunermittelt werden, wie groß a ist:

y = x2 + 14x+ 52

= x2 + 2 · 7x+ 72 + 3 .

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13.6 Quadratische Funktionen 131

Tipp: Nachdem a = 7 ermittelt wurde, kann das Wissen uber binomische Formeln an-gewendet werden:

y = (x+ 7)2 + 3 .

Tipp: Zeichnen Sie die Funktion. indem Sie die Normalparabel um 7 Einheiten nachlinks und um 3 Einheiten nach oben verschieben.

Die Losung wird in der Grafik dargestellt:

y = x2

y = (x + 7)2

y = (x + 7)2 + 3

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−2

2

4

6

8

1010

x

y

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

d) Tipp: Bringen Sie die Funktion durch quadratische Erganzung in die Scheitelpunkt-form. Klammern Sie dazu zunachst 5 aus:

y = 5

(x2 − 6x+

2

5

).

Hinweis: Wenn Sie 5 nicht ausklammern mochten, mussen Sie berucksichtigen, dass diebinomische Formel die Form 5x2−2

√5ax+a2 hat. Dies macht die Losung komplizierter.

Tipp: Ermitteln Sie nun in der Klammer die binomische Formel:

y = 5

(x2 − 2 · 3x+ 9− 8

3

5

)= 5

(x2 − 6x+ 9

)− 5 · 83

5

= 5(x− 3)2 − 43 .

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132 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Tipp: Zeichnen Sie nun die Funktion, indem Sie ihr Wissen uber Parameter bei Funk-tionen anwenden.

Die grafische Losung ist in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

y = x2

y = (x − 3)2

y = 5(x − 3)2

y = 5(x − 3)2 − 43

−25 −20 −15 −10 −5 5 10 15 20 25

−50

−40

−30

−20

−10

10

20

30

40

50

x

y

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

Ubung 8.3.2

a) Tipp: Die Nullstellen sind dadurch definiert, dass der y-Wert Null ist. Deshalb mussdie Funktion Null gesetzt werden:

5x2 − 10x+ 5 = 0 .

Tipp: Formen Sie die Gleichung so um, dass die p-q-Formel angewendet werden kann:

x2 − 2x+ 1 = 0 .

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13.6 Quadratische Funktionen 133

Tipp: Wenden Sie nun die p-q-Formel an.

x1,2 =2

√(2

2

)2

− 1

= 1±√

1− 1

= 1±√

0

= 1

Die Funktion hat nur eine Nullstelle bei

x0 = 1.

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

b) Tipp: Die Funktion ist auf ungewohnliche Weise dargestellt, doch es ist nicht notwen-dig das Produkt auszumultiplizieren. Setzen Sie die Funktion stattdessen gleich Null:

(x+ 5) · (x− 2) = 0 .

Tipp: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Deswegen reicht es aus,die Faktoren einzeln Null zu setzen.

x+ 5 = 0 x− 2 = 0

x = −5 x = 2

Die Funktion hat zwei Nullstellen in den Punkten

P1(−5; 0) und P2(2; 0).

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

c) Tipp: Da a und m unbekannt sind, handelt es sich bei diesem Beispiel um eineFunktionsschar. Gehen Sie dennoch wie gewohnt vor, indem Sie die Funktion Null setzen:

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134 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

ax2 −(a2m−m

)x− am2 = 0 .

Tipp: Nun muss die Gleichung so umgeformt werden, dass die p-q-Formel anwendbar ist:

ax2 −m(a2 − 1

)x− am2 = 0

x2 − m (a2 − 1)

ax−m2 = 0

Tipp: Wenden Sie die p-q-Formel an und vereinfachen Sie bereits in den Zwischenschrit-ten so weit wie moglich, um optimal zusammenfassen zu konnen.

x1,2 =

m(a2−1)a

√√√√( m(a2−1)a

2

)2

=m (a2 − 1)

2a±

√m2 (a2 − 1)2

(2a)2+m2

=m (a2 − 1)

2a±

√m2 (a2 − 1)2 + 4a2m2

4a2

=m (a2 − 1)

2a±√m2 (a4 − 2a2 + 1 + 4a2)

4a2

=m (a2 − 1)

2a±√m2 (a4 + 2a2 + 1)

4a2

=m (a2 − 1)

2a±

√m2 (a2 + 1)2

4a2

Tipp: Da wegen der quadratischen Ausdrucke gesichert ist, dass der Ausdruck unter derWurzel positiv ist, kann nun die Wurzel gezogen werden.

x1,2 =m (a2 − 1)

2a± m (a2 + 1)

2a

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13.6 Quadratische Funktionen 135

x1 =m (a2 − 1)

2a+m (a2 + 1)

2a

=m (a2 − 1) +m (a2 + 1)

2a

=m (a2 − 1 + a2 + 1)

2a

=m · 2a2

2a

= m · a

x2 =m (a2 − 1)

2a− m (a2 + 1)

2a

=m (a2 − 1)−m (a2 + 1)

2a

=m (a2 − 1− a2 − 1)

2a

=m · (−2)

2a

= −ma

Die Funktionsschar besitzt Nullstellen in den Punkten

P1(ma; 0) und P2(−ma

; 0).

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

Ubung 8.3.3

a) Tipp: Setzen Sie beide Funktionen gleich, da ein Schnittpunkt den gleichen y-Wertin beiden Funktionen annimmt.

4x2 + 10x− 3 = 5x+ 2

Tipp: Formen Sie die Gleichung um, so dass die p-q-Formel angewendet werden kann:

4x2 + 10x− 5x− 3− 2 = 0

4x2 + 5x− 5 = 0

x2 +5

4x− 5

4= 0

Tipp: Mit Hilfe der p-q-Formel konnen die x-Werte der Schnittpunkte (also die Schnitt-stellen) ermittelt werden:

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136 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

x1,2 =−5

4

√(−54

2

)2

+5

4

= −5

√(5

8

)2

+5

4

= −5

8±√

25

64+

80

64

= −5

8±√

105

64

= −5

8±√

105

8

x1 = −5

8+

√105

8=−5 +

√105

8≈ 0,66

x2 = −5

8−√

105

8=−5−

√105

8≈ −1,91

Tipp: Nun mussen noch die y-Werte der Punkte ermittelt werden, indem man die x-Werte in eine der Funktionen einsetzt. Es bietet sich an, dazu die Geradengleichung zuverwenden.

f

(−5 +

√105

8

)= 5 ·

(−5 +

√105

8

)+ 2

=−25 + 5

√105

8+

16

8

=−9 + 5

√105

8

≈ 5,28

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13.6 Quadratische Funktionen 137

f

(−5−

√105

8

)= 5 ·

(−5−

√105

8

)+ 2

=−25− 5

√105

8+

16

8

=−9− 5

√105

8

≈ −7,53

Die Funktionen schneiden sich naherungsweise in den Punkten

P1(0,66; 5,28) und P2(−1,91;−7,53).

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

b) Tipp: Setzen Sie die Funktionen gleich:

4x2 + 10x− 3 = x2 + x+ 3 .

Tipp: Formen Sie die Gleichungen um und wenden Sie die p-q-Formel an.

4x2 − x2 + 10x− x− 3− 3 = 0

3x2 + 9x− 6 = 0

x2 + 3x− 2 = 0

x1,2 = −3

√(3

2

)2

+ 2

= −3

2±√

9

4+

8

4

= −3

2±√

17

4

= −3

2±√

17

2

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138 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

x1 =−3 +

√17

2≈ 0,56

x2 =−3−

√17

2≈ −3,56

Tipp: Es mussen noch die y-Werte der Schnittpunkte berechnet werden. Setzen Sie dazudie x-Werte in eine der Funktionen ein.

f

(−3 +

√17

2

)=

(−3 +

√17

2

)2

+

(−3 +

√17

2

)+ 3

=

(−3 +

√17)2

4+−6 + 2

√17

4+

12

4

=9− 6

√17 + 17

4+−6 + 2

√17

4+

12

4

=9 + 17− 6 + 12− 6

√17 + 2

√17

4

=32− 4

√17

4

≈ 3,88

f

(−3−

√17

2

)=

(−3−

√17

2

)2

+

(−3−

√17

2

)+ 3

=

(−3−

√17)2

4+−6− 2

√17

4+

12

4

=9 + 6

√17 + 17

4+−6− 2

√17

4+

12

4

=9 + 17− 6 + 12 + 6

√17− 2

√17

4

=32 + 4

√17

4

≈ 12,12

Die Parabeln scheiden ungefahr in den Punkten

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13.6 Quadratische Funktionen 139

P1(0,56; 3,88) und P2(−3,56; 12,12).

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

c) Tipp: Gehen Sie trotz des Parameters a wie gewohnt vor, indem Sie die Funktions-vorschriften gleich setzen:

4x2 + 10x− 3 = 3x2 + (10− 2a)x− 2 + 2a .

Tipp: Formen Sie die Gleichung um und wenden Sie die p-q-Formel an.

4x2 − 3x2 + 10x− 10x+ 2ax− 3 + 2− 2a = 0

x2 + 2ax− 1− 2a = 0

x1,2 = −2a

2±√a2 + 2a+ 1

= −a±√

(a+ 1)2

Achtung: Es muss gesichert sein, dass der Term unter der Wurzel positiv ist. Dies istwegen des quadratischen Ausdrucks in diesem Fall gesichert.

x1,2 = −a± (a+ 1)

x1 = −a+ (a+ 1)

= −a+ a+ 1

= 1

x2 = −a− (a+ 1)

= −a− a− 1

= −2a− 1

Tipp: Nun mussen die y-Werte ermittelt werden.

f(1) = 4 · 12 + 10 · 1− 3

= 11

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140 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

f(−2a− 1) = 4(−2a− 1)2 + 10(−2a− 1)− 3

= 4(4a2 + 4a+ 1

)− 20a− 10− 3

= 16a2 + 16a+ 4− 20a− 10− 3

= 16a2 − 4a− 9

Die Parabel schneidet die Parabelschar in den Punkten

P1(1; 11) und P2(−2a− 1; 16a2 − 4a− 9).

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

Ubung 8.3.4

a) Tipp: Stellen Sie die Ungleichung so um, dass die p-q-Formel anwendbar ist.

x2 + 2x2 + 3x+ 3x− 2− 7 < 0

3x2 + 6x− 9 < 0

x2 + 2x− 3 < 0

Tipp: Wenden Sie die p-q-Formel nun an, um die Nullstellen der Funktionf(x) = x2 + 2x− 3 zu ermitteln.

x1,2 = −2

√(2

2

)2

+ 3

= −1±√

1 + 3

= −1±√

4

= −1± 2

x1 = 1 x2 = −3

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

13.6 Quadratische Funktionen 141

Tipp: Nehmen Sie eine quadratische Erganzung vor, um die Funktion besser zeichnenzu konnen.

f(x) = x2 + 2x− 3

= x2 + 2 · 1 · x+ 12 − 4

= (x+ 1)2 − 4

Tipp: Zeichnen Sie die Funktion und notieren Sie die Losungsmenge.

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

1010

x

y

Die Losung lautet

L = (−3; 1) bzw. L = x | − 3 < x < 1

Hinweis: Bitte beachten Sie, dass die Nullstellen nicht Teil der Losungsmenge sind.

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

b) Tipp: Beseitigen Sie zuerst die Bruche:

3x(x+ 2)

15− x+ 3

15>

5x+ 25

15

3x(x+ 2)− x− 3 > 5x+ 25 .

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142 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Tipp: Stellen Sie die Ungleichung so um, dass Sie die Nullstellen berechnen konnen.

3x2 + 6x− x− 3 > 5x+ 25

3x2 + 6x− x− 5x− 3− 25 > 0

3x2 − 28 > 0

x2 − 28

3> 0

Tipp: Nun konnen die Nullstellen ermittelt werden.

x1,2 = −0

√(0

2

)2

+28

3

= 0±√

28

3

x1 =

√28

3≈ 3,06

x2 = −√

28

3≈ −3,06

Tipp: Setzen Sie nun z.B. einen Wert zwischen −√

283

und√

283

ein um zu ermitteln, ob

die Funktion x2− 283

zwischen oder außerhalb der Nullstellen großer Null ist. Wir wahlenden Testwert 0:

f(0) = 02 − 28

3= −28

3.

Die Funktion ist also außerhalb der Nullstellen großer Null.

Die Losung lautet demnach

L = (−∞;−√

28

3) ∪ (

√28

3; +∞)

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13.6 Quadratische Funktionen 143

bzw.

L = x | x < −√

28

3∨ x >

√28

3 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

c) Tipp: Stellen Sie die Ungleichung um, sodass Sie leicht die Nullstellen ermittelnkonnen. Prufen Sie genau, wie Sie dies moglichst leicht erreichen konnen.

(2x+ 8) · (2x− 8) = (2x)2 − 82

4x2 − 64 < 4x

4x2 − 64− 4x < 0

x2 − x− 16 < 0

Hinweis: Anstatt auszumultiplizieren kann leicht eine binomische Formel angewendetwerden. Dadurch kann wahrend der Berechnung Zeit gespart werden, was auch in Klau-suren von großem Vorteil sein kann. Sollten Sie mit den binomischen Formeln nochProbleme haben, konnen Sie diese im entsprechenden Kapitel erneut uben.

Tipp: Ermitteln Sie nun die Nullstellen.

x1,2 =1

√(1

2

)2

+ 16

=1

2±√

0,25 + 16

=1

2±√

16,25

x1 =1

2+√

16,25 ≈ 4,53

x2 =1

2−√

16,25 ≈ −3,53

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144 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Tipp: Ermitteln Sie, ob die Funktion f(x) = x2 − x − 16 zwischen oder außerhalb derNullstellen negativ ist. Sie konnen diese Untersuchung mit einem der beiden Verfahrenaus den Teilaufgaben a) und b) durchfuhren. Zum Beispiel konnen Sie den Testwert 0einsetzen:

f(0) = 02 − 0− 16 = −16 .

Die Funktion ist also zwischen den Nullstellen negativ.

Die Losung lautetL = x | − 3,53 < x < 4,53 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 64

13.7 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen

Ubung 9.3.1

Tipp: Als erstes empfiehlt es sich, den Definitionsbereich zu bestimmen. Dabei mussgelten

x− 1 ≥ 0, x+ 1 ≥ 0 und 2x+ 1 ≥ 0

x ≥ 1, x ≥ −1 und x ≥ −12

Somit lautet der Definitionsbereich

x ∈ [1; +∞) .

Tipp: Nun sollte man die Gleichung auf beiden Seiten quadrieren. Dabei ist besonderszu beachten, dass auf der linken Seite eine binomische Formel entsteht.

(√x− 1 +

√x+ 1

)2=

(√2x+ 1

)2x− 1 + 2

√x2 − 1 + x+ 1 = 2x+ 1

Tipp: Nun ist die Gleichung so umzuformen, dass auf einer Seite die Wurzel steht undauf der anderen die restlichen Terme:

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13.7 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen 145

√x2 − 1 = 0,5

Tipp: Nun lasst sich die Gleichung noch einmal auf beiden Seiten quadrieren:

x2 − 1 = 0,25

Die Losung lautet ausschließlich

x =

√5

2,

da die andere denkbare Losung x = −√52

entfallt. Diese ist kein Teil des Definitionsbe-reiches.

→ Zur Aufgabe auf Seite 74

Ubung 9.3.2

Tipp: Bestimmen Sie zunachst den Definitionsbereich fur x:

3x+ 4 ≥ 0, 2x− 5 ≥ 0 und 3x− 5 ≥ 0

Damit lautet der Definitionsbereich

x ∈[

5

2; +∞

).

Tipp: Anschließend sollten Sie die Gleichung wieder auf beiden Seiten quadrieren. Wie-derum ergibt sich auf der linken Seite eine binomische Formel.

75x+ 100− 30√

3x+ 4√

2x− 5 + 18x− 45 = 48x− 80

Tipp: Nun konnen Sie die Gleichung so umformen, dass die Wurzel auf einer Seite stehtund der Rest auf der anderen:

−30√

6x2 − 7x− 20 = −45x− 135

Tipp: Jetzt konnen Sie die Gleichung noch einmal quadrieren und die entstandene qua-dratische Gleichung losen:

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146 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

x2 − 82

15x− 161

15= 0

DIe Losung lautetx = 7 .

Die Losung x = −1 815

entfallt auf Grund der Unvereinbarkeit mit dem Definitionsbereich.

→ Zur Aufgabe auf Seite 74

Ubung 9.3.3

Tipp: Bestimmen Sie zunachst wie gewohnt den Definitionsbereich fur x. Auf Grund desQuadrates bleibt der Term a2 unter der Wurzel immer positiv.

x+ 5a2 ≥ 0 und x− 3a2 ≥ 0

Damit gilt fur den Definitionsbereich

x ∈[3a2,+∞

).

Tipp: Nun kann die Gleichung auf beiden Seiten quadriert werden. Dabei ist auf dierechte Seite zu achten, da dort eine binomische Formel auftritt.

x+ 5a2 = 16a2 − 8a√x− 3a2 + x− 3a2

Tipp: Analog zu den vorherigen Ubungen wird die Gleichung nun so umgeformt, dassdie Wurzel auf einer Seite der Gleichung isoliert ist:

a =√x− 3a2 .

Tipp: Anschließend wird der Ausdruck noch einmal quadriert und die Formel nach xumgestellt:

a2 = x− 3a2 .

Die Losung lautetx = 4a2 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 75

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13.8 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen 147

Ubung 9.3.4

Tipp: Bestimmen Sie zunachst den Definitionsbereich fur x:

x− 4ab ≥ 0 9x+ 4ab ≥ 0 und x− ab ≥ 0 .

Der Definitionsbereich lautet somit

x ∈ [4ab; +∞) .

Tipp: Die Gleichung wird nun auf beiden Seiten quadriert. Dabei ist wiederum dasAuftreten einer binomischen Formel auf der linken Seite der Gleichung zu beachten.

x− 4ab+ 2√x− 4ab

√9x+ 4ab+ 9x+ 4ab = 16x− 16ab

Tipp: In gewohnter Vorgehensweise wird die Wurzel auf einer Seite der Gleichung isoliert:

√9x2 − 32abx− 16a2b2 = 3x− 8ab .

Tipp: Jetzt mussen Sie die Gleichung nur noch ein weiteres Mal quadrieren und schließ-lich nach x auflosen.

Die Losung lautetx = 5ab .

→ Zur Aufgabe auf Seite 75

13.8 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen

Ubung 10.3.1

Tipp: Wenden Sie die Potenzgesetze an und formen Sie die Gleichung entsprechend um:

22x(23 + 3

)= 22 .

Tipp: Vereinfachen Sie nun die Gleichung:

22x = 2 .

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148 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Tipp: Bei gleicher Basis mussen die Exponenten gleich sein, also muss gelten:

2x = 1 .

Die Losung lautet somit

x =1

2.

→ Zur Aufgabe auf Seite 84

Ubung 10.3.2

Tipp: Wenden Sie zunachst wieder die Potenzgesetze an:

a3x−7

2 = a4x−3

3 .

Tipp: Bei gleicher Basis mussen auch die Exponenten gleich sein:

3x− 7

2=

4x− 3

3

Nun muss die Gleichung nur noch nach x umgestellt werden.

Die Losung lautetx = 15 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 84

Ubung 10.3.3

Tipp: Wenden Sie zunachst das entsprechende Potenzgesetz an und formen Sie die Glei-chung um:

4x(43 − 13 · 4

)= 23x

(2−1 − 2−3

).

Tipp: Vereinfachen Sie anschließend den Term:

32 · 4x = 23x .

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13.8 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen 149

Tipp: An dieser Stelle konnen Sie die Gleichung entweder logarithmieren oder weitervereinfachen. (32 = 25 und 4 = 22)

a) x lg 4 + lg 32 = 3x lg 2

b) 25+2x = 23x .

Beide Rechenwege fuhren zur Losung

x = 5 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 84

Ubung 10.3.4

Tipp: Da die Basis auf beiden Seiten der Gleichung verschieden ist, sollten Sie zuerstlogarithmieren:

2x+ 1

x+ 2lg 32 =

6x− 1

4x− 1lg 4 .

Tipp: Die Gleichung sollten Sie nun so umformen, dass die Logarithmen auf einer Seitestehen und Bruche auf der anderen:

2x+ 1

x+ 2· 4x− 1

6x− 1= 0,4 .

Nun konnen Sie die Gleichung leicht umformen und vereinfachen:

5,6x2 − 2,4x− 0,2 = 0

Die entstandene quadratische Gleichung konnen Sie nun in gewohnter Weise losen. Ab-schließend sollten Sie die Probe nicht vergessen.

Die Losung lautet

x1 = 0,5

x2 = − 1

14.

→ Zur Aufgabe auf Seite 84

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150 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Ubung 10.3.5

Tipp: Stellen Sie die Gleichung so um, dass alle logarithmischen Ausdrucke auf einerSeite stehen:

lg(2x+ 3)− lg(x+ 1) = 1 .

Tipp: Wenden Sie nun das betreffende Logarithmengesetz an, um die beiden Ausdruckezusammenzufassen:

lg

(2x+ 3

x+ 1

)= 1 .

Tipp: Da es sich um einen dekadischen Logarithmus handelt, folgt

2x+ 3

x+ 1= 101 = 10 .

Tipp: Nun mussen Sie die Gleichung nur noch nach x auflosen.

Die Losung lautet

x = −7

8.

→ Zur Aufgabe auf Seite 84

Ubung 10.3.6

Tipp: Fassen Sie zunachst die beiden Logarithmus-Ausdrucke zusammen:

logx

(4√

2)

=1

2.

Tipp: Losen Sie nun den Logarithmus auf:

4√

2 = x12 =√x .

Tipp: Nun konnen Sie die Gleichung auf beiden Seiten quadrieren.

Als Losung erhalten Sie

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13.8 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen 151

x = 32 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 85

Ubung 10.3.7

Tipp: Untersuchen Sie zuerst den Definitionsbereich der Gleichung, beide Logarithmenmussen existieren. Deshalb gilt

D = x ∈ <|x > 9 .

Tipp: Formen Sie die Gleichung nun mit den passenden Logarithmengesetzen um undversuchen Sie dabei eine Vereinfachung herbeizufuhren:

1

2lg((2x− 1)(x− 9)

)= 1 .

Tipp: Losen Sie nun den Logarithmus auf:

2x2 − 19x+ 9 = 102 .

Tipp: Die somit entstandene Gleichung lasst sich nun leicht mit Hilfe der p-q-Formelauflosen.

Sie erhalten die beiden Losungen

x1 = 13 und x2 = −3,5 .

Da x2 = −3,5 /∈ D, ist dieser Wert eine Scheinlosung und entfallt.

→ Zur Aufgabe auf Seite 85

Ubung 10.3.8

Tipp: Formen Sie die Gleichung zunachst um:

3(lg(x)

) 12− lg(x) = 2 .

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152 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Tipp: In dieser Situation bietet sich eine Substitution der Form z = lg(x) an:

3 ·√z − z = 2 .

Tipp: Stellen Sie die Gleichung nun so um, dass der Wurzelausdruck auf einer Seiteisoliert ist:

3 ·√z = 2 + z .

Tipp: Nun konnen Sie die Gleichung quadrieren und erhalten

9z = z2 + 4z + 4

z1 = 4 z2 = 1 .

Tipp: Schließlich mussen Sie die Ausdrucke resubstituieren und erhalten

4 = lg(x) und 1 = lg(x) .

Die Losungen lauten

x1 = 10000 und x2 = 10 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 85

13.9 Trigonometrische Funktionen

Ubung 11.3.1

Tipp: Ersetzen Sie zunachst tanx durch sinxcosx

:

sinx

cosx+ sinx = 0 .

Tipp: Klammern Sie nun sinx aus:

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13.9 Trigonometrische Funktionen 153

sinx

(1

cosx+ 1

)= 0 .

Tipp: Bei einem Produkt, das gleich 0 ist, muss einer der Faktoren ebenfalls 0 sein:

sinx = 0 oder 1cosx

+ 1 = 0 .

Tipp: Nun konnen Sie beide Gleichungen separat losen:

sinx = 0 ∨ cosx = −1 .

Die Losungen lauten:

x1 = 0 , x2 = π , x3 = 2π .

→ Zur Aufgabe auf Seite 94

Ubung 11.3.2

Tipp: Wenden Sie den trigonometrischen Satz des Pythagoras an: sin2 x+ cos2 x = 1.

(1− sin2 x

)− 2 sinx+ 2 = 0 .

Tipp: Nun konnen Sie die Gleichung vereinfachen und sinx = u substituieren:

−u2 − 2u+ 3 = 0 .

Tipp: Losen Sie anschließend die quadratische Gleichung und resubstituieren Sie dietrigonometrische Funktion.

sinx = −3 und sinx = 1 .

Die Losung heißt

x =π

2.

Hinweis: Der Ausdruck sinx = −3 ist nicht losbar, da der Wertebereich der Sinusfunk-tion [−1,1] ist.

→ Zur Aufgabe auf Seite 95

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154 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

Ubung 11.3.3

Tipp: Nutzen Sie die Formel sin(2x) = 2 sinx cosx. Fur sin2(2x) gilt dann:

sin2(2x) = (2 sinx cosx)2 .

Es folgt fur die Ausgangsgleichung somit

sin4 x+1

2· 4 sin2 x cos2 x+ cos4 x

= sin4 x+ 2 sin2 x cos2 x+ cos4 x .

Tipp: Wenden Sie nun die erste binomische Formel an:

sin4 x+ 2 sin2 x cos2 x+ cos4 x

=(sin2 x+ cos2 x

)2.

Tipp: Jetzt konnen Sie den trigonometrischen Pythagoras nutzen:

(sin2 x+ cos2 x

)2= (1)2 .

Die Losung lautet schließlich

1 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 95

Ubung 11.3.4

Tipp: Mit Hilfe des trigonometrischen Satzes des Pythagoras erhalten Sie

(1− cos2 x

)2 − cos4 x .

Tipp: Nun konnen Sie die zweite binomische Formel anwenden:

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13.10 Funktionen in Polarkoordinaten 155

1− 2 cos2 x+ cos4 x− cos4 x .

Tipp: Nun wenden Sie nochmals den trigonometrischen Satz des Pythagoras an:

sin2 x+ cos2 x− 2 cos2 x .

Tipp: Nun konnen Sie noch −1 ausklammern und das Additionstheorem fur cos(2x)anwenden:

−(− sin2 x+ cos2 x

).

Als Losung erhalten Sie

− cos(2x) .

→ Zur Aufgabe auf Seite 95

13.10 Funktionen in Polarkoordinaten

Ubung 12.3.1

a) Tipp: Nutzen Sie die gegebenen Formeln fur die Umrechnung und setzen Sie die Werteein:

r =√x2 + y2

tanϕ =y

x

Tipp: Der Winkel ϕA liegt im 1. Quadranten, der Winkel ϕB befindet sich im 3. Qua-dranten.

Die Losung lautet

A(3,61; 33,69)

B(11,4; 232,13)

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156 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

→ Zur Aufgabe auf Seite 104

b) Tipp: Die Werte fur r und ϕ mussen nur in die entsprechenden Formeln eingesetztwerden:

x = r · cosϕ

y = r · sinϕ

Die Losung ist demnach

C(4,33; 2,5)

D(0;−2,5)

→ Zur Aufgabe auf Seite 104

Ubung 12.3.2

Tipp: Zur Umrechnung einer Kurvengleichung werden die folgenden Formeln verwendet:

x = r · cosϕ

y = r · sinϕ .

Diese konnen Sie in die gegebene Kurvengleichung einsetzen:

(r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ

)2 − (r2 cos2 ϕ− r2 sin2 ϕ).

Tipp: Klammern Sie nun r aus beiden Ausdrucken aus:

(r2(cos2 ϕ+ sin2 ϕ

))2 − r2 (cos2 ϕ− sin2 ϕ)

= 0

r4(cos2 ϕ+ sin2 ϕ

)2 − r2 (cos2 ϕ− sin2 ϕ)

= 0 .

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13.10 Funktionen in Polarkoordinaten 157

Tipp: Beachten Sie, dass sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 und cos2 ϕ − sin2 ϕ = cos 2ϕ ist, dannerhalten Sie folgende Vereinfachung:

r4 − r2 cos 2ϕ = 0 .

Tipp: Teilen Sie die ganze Gleichung durch r2 und stellen Sie diese dann nach r um.

Die Losung lautet

K : r =√

cos 2ϕ .

→ Zur Aufgabe auf Seite 104

Ubung 12.3.3

Tipp: Die Formeln

x = r · cosϕ

y = r · sinϕ

konnen Sie nach cosϕ und sinϕ umstellen. Beachtet man noch, dass r =√x2 + y2 ist,

dann erhalten Sie

cosϕ =x√

x2 + y2

sinϕ =y√

x2 + y2.

Nun konnen Sie diese Ausdrucke in die ursprungliche Formel einsetzen:

√x2 + y2 =

a

b · x√x2+y2

+ c · y√x2+y2

.

Tipp: Nun konnen Sie die beiden Terme im Nenner zusammenfassen:

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158 13 Hinweise und Losungen zu den Ubungen

√x2 + y2 =

abx+cy√x2+y2

=a√x2 + y2

bx+ cy.

Tipp: Nun konnen Sie die Gleichung auf beiden Seiten mit bx + cy multiplizieren. An-

schließend konnen Sie die Gleichung durch√x2 + y2 teilen und alles auf eine Seite der

Gleichung bringen.

Die Losung lautet

K(x,y) : bx+ cy − a = 0 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 104

Ubung 12.3.4

Tipp: Es gilt:

cos 2ϕ = cos2 ϕ− sin2 ϕ

r2 = 2e2(cos2 ϕ− sin2 ϕ

).

Tipp: Aus den Formeln x = r cosϕ, y = r sinϕ und r =√x2 + y2 konnen Sie cosϕ und

sinϕ herleiten. Diesen Schritt haben Sie bereits in Aufgabe 3 geubt. Nun setzen Sie dieAusdrucke in die gegebene Gleichung ein:

(√x2 + y2

)2= 2e2

x2(√x2 + y2

)2 − y2(√x2 + y2

)2

x2 + y2 = 2e2 · x2 − y2

x2 + y2.

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14.1 Umstellen von Gleichungen 159

Tipp: Die Gleichung konnen Sie jetzt mit x2 + y2 multiplizieren und anschließend alleTerme auf eine Seite bringen.

Die Losung lautet demnach

K(x,y) :(x2 + y2

)2 − 2e2(x2 − y2

)= 0 .

→ Zur Aufgabe auf Seite 104

14 Hinweise und Losungen zu den Tests

14.1 Umstellen von Gleichungen

Test 1.4.1

1 g = y ·(R3 ·R2

R4

− R0 · 10 · x2

C4 ·R3

)Falsch! Diese Antwort ist leider falsch.

2 g =y ·R3 ·R4 · C4

C4 ·R32 ·R2 −R4 ·R0 · 10 · x2

Richtige Losung!

3 g =C4 ·R2

3 ·R2 −R4 ·R0 · 10 · x2

y ·R3 ·R4 · C4

Falsch! Sie haben vermutlich einen Fehler beim Beseitigen der Doppelbruche gemacht.

4 g =y

R3·R2

R4− R0·10·x2

C4·R3

Richtige Losung! Diese Losung ist zwar nicht falsch, jedoch sollten noch die Doppel-bruche beseitigt werden, um auf die Form 2 zu kommen.

Der Losungsweg lautet

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160 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

y =g2 ·R3 ·R2

g ·R4

− R0 · 10 · x2 · gC4 ·R3

y =g ·R3 ·R2

R4

− R0 · 10 · x2 · gC4 ·R3

y = g ·(R3 ·R2

R4

− R0 · 10 · x2

C4 ·R3

)g =

yR3·R2

R4− R0·10·x2

C4·R3

=y ·R3 ·R4 · C4

C4 ·R32 ·R2 −R4 ·R0 · 10 · x2

→ Zur Aufgabe auf Seite 11

Test 1.4.2

1 fL =(

(m1 − 3√a5 − ut) · β

)2Falsch! Sie mussen beachten, dass bei der Division der Gleichung durch β dieser Para-meter in den Nenner der Gleichung gelangt.

2 fL =

(m1 − 3

√a5 − utβ

)2

Falsch! Wenn Sie den Ausdruck 1√fL

umkehren, dann mussen Sie dies auch mit deranderen Seite machen.

3 fL =

m1 − 3√a5 − ut

)2

Richtige Losung!

4 fL =(

(m1 +3√a5 + ut) · β

)2Falsch! Sie haben zusatzlich zu dem Fehler in 1 auch einen Vorzeichenfehler gemacht.

Der Losungsweg lautet

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14.1 Umstellen von Gleichungen 161

m1 −3√α5 − ut = β ·

(1√fL

)m1 − 3

√α5 − utβ

=1√fL√

fL =β

m1 − 3√α5 − ut

fL =

m1 − 3√α5 − ut

)2

→ Zur Aufgabe auf Seite 11

Test 1.4.3

1 c = Ud ·1

−Ua−Ub

f+ Uc

A

Falsch! Der Ausdruck Uc

A− Ud

Cmuss mit f multipliziert werden. Sie haben aber den

genannten Ausdruck durch f geteilt.

2 c = Ud ·1

−Ua−Ub

f+ Uc

A

Richtige Losung! Sie sollten allerdings noch die Doppelbruche beseitigen, um auf dieForm 3 zu kommen.

3 c =Ud · f · A

(Ub − Ua) · A+ Uc · f

Richtige Losung!

4 c =(Ua − Ud) · f(Ua − Ub) · A

Falsch! Vermutlich haben Sie einen Fehler beim Bilden des gemeinsamen Nenners ge-macht:

UcA− UdC6= Uc − Ud

A · C.

Der Losungsweg lautet

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162 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

f ·(UcA− UdC

)= Ua − Ub

UcA− UdC

=Ua − Ub

f

−UdC

=Ua − Ub

f− UcA

UdC

= −Ua − Ubf

+UcA

1

C=

1

Ud

(−Ua − Ub

f+UcA

)C = Ud ·

1

(−Ua−Ub

f+ Uc

A)

=Ud · f · A

(Ub − Ua) · A+ Uc · f

→ Zur Aufgabe auf Seite 12

Test 1.4.4

1 r2 =

(Q1 · r1 · d · r3

−4 · φ · π · ε · r1 · d · r3 +Q1 · d · r3 + r0 ·Q1 · r1

)2

·(r0A

d

)2

−B

Richtige Losung! Sie haben die Aufgabe richtig gelost.

2 r2 =

(−4φπε

Q1

+1

r1+

r0d · r3

)2

·(r0A

d

)2

+B

Falsch! Diese Losung ist leider nicht korrekt.

Der Losungsweg lautet

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14.2 Potenzen und Wurzeln 163

4φπε

Q1

=1

r1− r0d

A√r2 +B

+r0d · r3

4φπε

Q1

− 1

r1− r0d · r3

= −r0d

A√r2 +B

−4φπε

Q1

+1

r1+

r0d · r3

=r0d

A√r2 +B(

−4φπε

Q1

+1

r1+

r0d · r3

)· d

r0A=

1√r2 +B

1(−4φπε

Q1+ 1

r1+ r0

d·r3

) · r0Ad

=√r2 +B

r2 =1(

−4φπεQ1

+ 1r1

+ r0d·r3

)2 · (r0Ad)2

−B

r2 =

(Q1 · r1 · d · r3

−4 · φ · π · ε · r1 · d · r3 +Q1 · d · r3 + r0 ·Q1 · r1

)2

·(r0A

d

)2

−B

→ Zur Aufgabe auf Seite 12

14.2 Potenzen und Wurzeln

Test 2.4.1

1 y = αk−m−f+l−4 · βk− 72 · µ 3

2 · ψm+2 · γ−5 · Ω

Falsch! Sie haben in der Aufgabenstellung die Division ubersehen.

2 y = αk−3

(m+f)(l−1) · β k−32 · µ · ψm+2 · γ−5 · Ω

Falsch! Wenn zwei Ausdrucke mit gleicher Basis multipliziert bzw. dividiert werden,dann werden die Potenzen miteinander addiert bzw. voneinander subtrahiert. Sie habenaber multipliziert bzw. dividiert.

3 y = αk−m−f−l−2 · βk− 52 · µ 5

2 · ψm+2 · γ−5 · Ω−1

Richtige Losung!

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

164 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

4 y = αk+m+f+l−4 · βk− 52 · µ 5

2 · ψm+2 · γ−5 · Ω−1

Falsch! Sie haben vergessen, dass der positive Exponent im Nenner negativ wird, wennman den entsprechenden Ausdruck in den Zahler schreibt. Statt ak−3 · a−(m+f) wurdemit ak−3 · a+(m+f) gerechnet.

Der Losungsweg lautet

y =αk−3 · βk−3 · µ2 · ψm+2

αm+f · γ5:

Ω · αl−1

β12 · µ 1

2

=αk−3 · βk−3 · µ2 · ψm+2

αm+f · γ5· β

12 · µ 1

2

Ω · αl−1

= αk−3 · α−(m+f) · α−(l−1) · βk−3 · β12 · µ2 · µ

12 · ψm+2 · γ−5 · Ω−1

= αk−m−f−l−2 · βk−52 · µ

52 · ψm+2 · γ−5 · Ω−1

→ Zur Aufgabe auf Seite 16

Test 2.4.2

1 r = ±√

ym+1

apq

Sie haben die Aufgabe richtig gelost!

2 r = ±√

yapq

Falsch! Falls Sie diese Losung erhalten haben, wurde bei der Multiplikation von y mitym einen Fehler gemacht.

3 r = ± 2n

√ym+1

apq

Falsch! Die Expenenten von rn+1 und rn−1 werden nicht addiert, sondern aufgrund desPotenzgesetzes voneinander subtrahiert.

4 rn−rrn+r

= apq

ym+1

Falsch! Folgende Fehler wurden gemacht:

rn−1 6= rn − rn; rn−1 6= rn + rn

→ Zur Aufgabe auf Seite 17

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

14.2 Potenzen und Wurzeln 165

Test 2.4.3

1 y =b2

a4

Falsch! Diese Antwort ist falsch, weil Sie die Division nicht berucksichtigt haben.

2 y =a8

b4

Richtige Losung!

3 y =a2

b

Falsch!Sie haben falschlicherweise Potenzen mit verschiedener Basis gekurzt.

4 y = a · b2

Falsch! Sie haben folgende Fehler gemacht:

a12

b14

6= (ab)12− 1

4

(ab)13

a6= b

13

1

Der Losungsweg lautet

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

166 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

y =3

√√√√√(a0,5b

14

)24

:3

√√√√√ 3

√√√√( 3√b · aa

)81

y =3

√√a12

b6:

3

√√√√√ 3

√√√√((b · a)13

a

)81

y =3

√a

122

b62

:3

√3

√(b · a)27

a81

y =3

√a6

b3:

3

√(b · a)

273

a813

y =a

63

b33

:3

√(b · a)9

a27

y =a2

b:

(b · a)93

a273

y =a2

b:

(b · a)3

a9

y =a2

b· a9

b3 · a3

→ Zur Aufgabe auf Seite 17

Test 2.4.4

1 h13184 = α

337 β−24x19λ−

34

h = α2772917 · β− 2016

131 · x 1596131 · λ− 63

131

Falsch! Sie sollten beachten:

3√α4 · β5

4

√λ3

h7

=

3

√(x · β)6 · 7

√h4

α5

5

√(x · β)125

6= α4 · β5

4

√λ3

h7

=(x · β)6 · 7

√h4

α5

5

√(x · β)125

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

14.2 Potenzen und Wurzeln 167

2 h−13184 = α

117 · β 74

3 · x23 · λ− 34

h = α−924917 · β− 2072

131 · x− 1932131 · λ 63

131

Richtige Losung!

3 h13184 = α

38 · β 16

5 · x54 · λ− 134

h = α63262 · β 1344

655 · x 4536131 · λ− 273

131

Falsch! Sie haben einen Fehler in Ihrer Rechnung.

4 h13184 = α

3321 · β 16

5 · x23 · λ− 134

h = α924917 · β 1344

655 · x 1932131 · λ− 273

131

Falsch! Sie haben einen Fehler in Ihrer Rechnung.

Der Losungsweg lautet

α43 · β 5

3

λ34

h74

=

3

√(x · β)6 · h

47

α57

(x · β)1255

α43 · β 5

3

λ34

h74

=(x · β)

63 ·(h

47

α57

) 13

(x · β)1255

α43 · β 5

3

λ34

h74

=(x · β)2 · h

421

α521

(xβ)25

α43 · β 5

3

λ34 · h− 7

4

=(x · β)2 · h 4

21 · α− 521

(x · β)25

α43 · β 5

3 · (xβ)25

λ34· (xβ)2 · α− 5

21

= h421 · h−

74

43α

521

)·(β

53β25β−2

)·(x25x−2

)· λ−

34 = h

421h−

74

α117 · β

743 · x23 · λ−

34 = h−

13184

h = α−924917 · β−

2072131 · x−

1932131 · λ

63131

→ Zur Aufgabe auf Seite 17

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

168 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

14.3 Binomialkoeffizienten und Binomische Formeln

Test 3.4.1

1 y =n+ 1

n− 1·√

1

n− 1

Falsch! Bitte beachten Sie:

(n

n− 1

)· (n2 + 2n+ 1) (n+ 1)

(n3 − n) (n− 1)6= n

n− 1· (n2 + 2n+ 1) (n+ 1)

(n3 − n) (n− 1),

wobei gilt:

(n

n− 1

)=

n!

(n− 1)!= n .

2 y =n+ 1

n− 1

Richtige Losung!

3 y =n+ 1

n− 1·√n+ 1

n− 1

Falsch! Sie mussen bitte beachten, dass

(n2 − 1) · (n− 1) 6= (n− 1)3 .

Die dritte binomische Formel liefert

n2 − 1 = n2 − 12 = (n− 1)(n+ 1) .

Der Losungsweg lautet

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

14.3 Binomialkoeffizienten und Binomische Formeln 169

y =

√(n

n− 1

)· (n2 + 2n+ 1) (n+ 1)

(n3 − n) (n− 1)

=

√n!

(n− 1)!· (n+ 1)2 (n+ 1)

n (n2 − 1) (n− 1)

=

√n · (n− 1)!

(n− 1)!· (n+ 1)2 (n+ 1)

n(n− 1)(n+ 1)(n− 1)

=

√(n+ 1)2

(n− 1)2

=n+ 1

n− 1

→ Zur Aufgabe auf Seite 22

Test 3.4.2

1 h = ±

√(α− β)2

(β − µ)(µ5− 1) − 2

Falsch! In Ihrer Losung sind drei Fehler enthalten. Bitte beachten Sie:

β2 − µ2

β − µ6= β − µ

(α− β)(α + β) 6= (α− β)2

h2

4+ h+ 4 6= (h+ 2)2

2 h = ±2

√(α− β)2

(β − µ)(µ5− 1) − 4

Falsch! Sie haben Sie folgenden Sachverhalt nicht berucksichtigt:

(β2 − µ2) 6= (β − µ)2

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170 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

3 h = ±2

√5 (α2 − β2)

(β + µ) (µ− 5)− 4

Richtige Losung!

Der Losungsweg lautet

(α− β)(β − µ)

(0,25h2 + 2h+ 4) (0,04µ2 − 1)=

(β2 − µ2)

(α + β)(0. 2µ+ 1)

(α− β)(β − µ)(α + β)(0. 2µ+ 1) =(β2 − µ2

) (0,25h2 + 2h+ 4

) (0,04µ2 − 1

)(α2 − β2

)(β − µ)

(µ5

+ 1)

= (β − µ)(β + µ)

(h2

4+ 2h+ 4

)(µ2

25− 1

)(α2 − β2

) (µ5

+ 1)

= (β + µ)

(h

2+ 2

)2 (µ5− 1)(µ

5+ 1)

(α2 − β2

)= (β + µ)

(h

2+ 2

)2 (µ5− 1)

(h

2+ 2

)2

=(α2 − β2)

(β + µ)(µ5− 1)

=5 (α2 − β2)

(β + µ)(µ− 5)

h = ±2

√5 (α2 − β2)

(β + µ)(µ− 5)− 4

→ Zur Aufgabe auf Seite 22

Test 3.4.3

1 A = 455 B = 1365

Richtige Losung!

2 A = 1365 B = 455

Falsch!(154

)= 1365 und

(1512

)= 455. Fur A bzw. B muss

(153

)bzw.

(1511

)berechnet werden.

3 A = 330 B = 72 600

Falsch! Fur A bzw. B muss(153

)bzw.

(1511

)berechnet werden, Sie haben aber

(114

)bzw.(

123

)bestimmt.

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14.3 Binomialkoeffizienten und Binomische Formeln 171

Der Losungsweg lautet

(x+ y)n =

(n

0

)xn +

(n

1

)xn−1y + · · ·+

(n

n− 1

)xyn−1 +

(n

n

)yn

(x+ y)15 =

(15

0

)x15 + · · ·+

(15

3

)x12y3 + · · ·+

(15

11

)x4y11 + . . .

A =

(15

3

)=

15!

3! · 12!=

15 · 14 · 13 · 12!

3 · 2 · 12!= 5 · 7 · 13 = 455

B =

(15

11

)=

15!

11! · 4!=

15 · 14 · 13 · 12 · 11!

11! · 4 · 3 · 2=

15 · 14 · 13 · 12

4 · 3 · 2= 1365

→ Zur Aufgabe auf Seite 22

Test 3.4.4

1 y =1

(α2 − γ2)

√α5 + 8α4γ4 + γ5

α2 − (γ2 + 2γ + 1)

Falsch! Sie sollten das Kapitel Potenzen und Wurzeln nochmals wiederholen.

2 y =1

α− γ

√1

(α− γ − 1)

Richtige Antwort!

3 y =α√α + 2α2γ2

√2 + γ

√γ

(α2 − γ2) · (α− (γ + 2))

Falsch! Wir empfehlen Ihnen, das Kapitel Potenzen und Wurzeln nochmals zu wieder-holen. Außerdem sollen Sie beachten:√

α + β + γ 6=√α +

√β +√γ .

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172 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

Der Losungsweg lautet

y =

√α3 + 3α2γ + 3αγ2 + γ3 + α2 + 2αγ + γ2

(α2 − γ2)2 · (α2 − (γ2 + 2γ + 1))

=

√(α3 + 3α2γ + 3αγ2 + γ3) + (α2 + 2αγ + γ2)

([α− γ][α + γ])2 ·(α2 − (γ + 1)2

)=

√(α + γ)3 + (α + γ)2

[α− γ]2 · [α + γ]2 · (α− (γ + 1)) · (α + (γ + 1))

=

√(α + γ)2 (1 + (α + γ))

[α− γ]2 · [α + γ]2 · (α− (γ + 1)) · (α + (γ + 1))

=

√(α + γ)2 (1 + α + γ)

[α− γ]2 [α + γ]2 · (α− γ − 1) · (α + γ + 1)

=

√1

[α− γ]2 · (α− γ − 1)

=1

α− γ

√1

(α− γ − 1)

→ Zur Aufgabe auf Seite 22

14.4 Polynomdivision

Test 4.4.1

1 x1 = 1 , x2 = −2 , x3 = −3

Falsch! Sie haben sich bei der Bestimmung von x2 und x3 verrechnet.

2 x1 = 1 , Der Rest der Polynomdivision ist 8.

Falsch! Dies ist falsch, bei der Polynomdivision haben Sie sich verrechnet. Der Vorzei-chenwechsel beim Substrahieren der Ausdrucke wurde vergessen.

3 x1 = 1 , x2 = 6 , x3 = −1

Richtige Losung!

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14.4 Polynomdivision 173

Losung:

Zunachst muss eine Nullstelle x1 bestimmt werden.

Bei akademischen Beispielen mit ganzzahligem Absolutglied sind die Nullstellen oft ganz-zahlige Teiler von a0

an. Mit diesen ganzzahligen Teilern wird dann die Division durch das

Binom (x− x1) durchgefuhrt. Betragt der Rest der Division 0, wurde diese eine Nullstellex1 gefunden.

Hier in unserem Polynom P3(x) = x3−6x2−x+ 6 ergibt sich 61

= 6, die ganzzahligenTeiler davon sind ±1, ±2, ±3 und ±6. Eine erste mogliche Nullstelle ist die 1. Wird dieserx1-Wert eingesetzt, ergibt sich (zum Beispiel aus der Quersumme der Koeffizienten)P3(1) = 0, x1 = 1 ist also eine geeignete Nullstelle.

Die Division durch (x− x1) liefert dann:

(+x3 − 6x2 − x+ 6)

− (x3 − x2): (x− 1) = x2−5x− 6︸ ︷︷ ︸

=P2(x) Restpolynom

0x3 − 5x2 − x+ 6

− (−5x2 + 5x)

0x2 − 6x+ 6

−(−6x+ 6)

0

Nun lassen sich mit der p-q-Formel die zwei restlichen Nullstellen vom Rest-PolynomP2(x) = x2 − 5x− 6 bestimmen:

x2 − 5x− 6 = 0 → x2,3 = 2,5±√

(2,5)2 + 6 → x2 = 6 und x3 = −1

→ Zur Aufgabe auf Seite 27

Test 4.4.2

1 2a3bx+2 + 3a2b2x−1 , R = 0

Richtige Losung!

2 2a3 , R = bx+2 + 2a2b3 − 2a3bx+5 + 3a4b2x−1 − 3a2b2x+2

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174 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

Falsch! Bei der Berechnung des ersten Summanden des Quotienten mussen Sie beachten,dass die Multiplikation dieses Terms mit dem Divisor den kompletten ersten Term vomDividenden ergeben muss.

Der erste Summand ist (2a5bx+2

): a2 = 2a3bx+2

3 2a3bx+2 + 3a2b2x−1 , R = 2a3bx+2 − 2a3bx+5 − 3a2b2x−1

Falsch! Diese Antwort ist falsch. Beachten Sie bitte:

2a3bx+2 ·(−b3

)= −2a3bx+5

3a2b2x−1 ·(−b3

)= −3a2b2x−2

Losung:

(2a5bx+2−2a3bx+5+3a4b2x−1−3a2b2x+2

)−(2a5bx+2−2a3bx+5)

: (a2 − b3) = 2a3bx+2 + 3a2b2x−1

+3a4b2x−1 − 3a2b2x+2

− (3a4b2x−1 − 3a2b2x+2)

0

→ Zur Aufgabe auf Seite 27

Test 4.4.3

1 5λ7 + 5λ6 + 5λ5 + 5λ4 + 2λ3 + λ+ 1 , R = 0

Falsch! Sie haben den Vorzeichenwechsel beim Subtrahieren der Ausdrucke vergessen.

2 5λ7 − 5λ6 + 5λ5 − 5λ4 + 2λ3 + λ− 1 , R = 0

Richtige Losung!

3 5λ8 − 3λ4 + 2λ3 , R = λ

Falsch!

Sie haben nicht beachtet, dass man das erste Teilergebnis mit dem Divisor multipliziertund das Ergebnis vom Dividenden subtrahiert!

Losung:

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14.4 Polynomdivision 175

(+5λ8 − 3λ4 + 2λ3 + λ2 − 1)

−(5λ8+5λ7)

: (λ+ 1) = 5λ7 − 5λ6 + 5λ5 − 5λ4 + 2λ3 + λ− 1︸ ︷︷ ︸=Q

−5λ7 − 3λ4 + 2λ3 + λ2 − 1

−(−5λ7 − 5λ6)

+5λ6 − 3λ4 + 2λ3 + λ2 − 1

−(5λ6 + 5λ5)

−5λ5 − 3λ4 + 2λ3 + λ2 − 1

−(−5λ5−5λ4)

+2λ4+2λ3+λ2−1

−(2λ4+2λ3)

+λ2−1

−(λ2+λ)

−λ− 1

−(−λ− 1)

0

→ Zur Aufgabe auf Seite 28

Test 4.4.4

1 α2βx − λy+6βx−10 , R = λy+12βx−2

Richtige Losung!

2 α2βx − λy+6βx−10 , R = 0

Falsch! Diese Antwort ist leider nicht korrekt.

3 α2λy−1βx − λyβx , R = λy+12βx−2

Falsch! Das ist leider das falsche Ergebnis.

Losung:

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176 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

(+α4βx+4−α2λy+6βx−6+α2λ6βx+8)

−(α4βx+4+α2λ6βx+8)

: (α2β4+λ6β8) = α2βx−λy+6βx−10+

+λy+12βx−2 :(α2β4+λ6β8

)−α2λy+6βx−6

−(−α2λy+6βx−6−λy+12βx−2)

λy+12βx−2

Rest der Division

→ Zur Aufgabe auf Seite 28

14.5 Lineare Funktionen

Test 7.4.1

1 a) y = 3x− 5 b) y =5

3x− 22

3

Falsch! Diese Antwort ist falsch. Sie haben bei der Losung den Zusammenhang zwischenzwei senkrechten Geraden nicht richtig benutzt.

2 a) y = −1

3x− 7

3b) y =

3

5x− 26

5

Richtige Losung!

3 a) y =1

3x− 5

3b) y = −3

5x− 14

5

Falsch! Diese Antwort ist falsch. Sie haben bei der Losung den Zusammenhang zwischenzwei senkrechten Geraden nicht richtig benutzt.

Losung:

a) Die Steigung der Geraden, die durch die Punkte B(−2; 3) und C(−5;−6) verlauft,wird mit m2 bezeichnet und folgendermaßen berechnet:

m2 =(−6)− (3)

(−5)− (−2)= 3

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14.5 Lineare Funktionen 177

Die gesuchte Gerade hat die Steigungm1. Da beide Geraden zueinander senkrecht stehen,gilt die Beziehung:

m1 =−1

m2

m1 = −1

3

Da zusatzlich ein Punkt der Geraden mit A(−1;−2) bekannt ist, kann man deren Glei-chung wie folgt schreiben:

y − (−2) = −1

3

(x− (−1)

)y = −1

3x− 7

3

b) Um die Steigung der Geraden 5x + 3y − 8 = 0 zu finden, wird die Gleichung soumgestellt:

y = −5

3x+

8

3.

Die Steigung dieser Geraden lautet:

m3 = −5

3.

Die gesuchte Gleichung hat dann die Steigung 35

und verlauft durch den Punkt D(2;−4).Man kann die Gleichung der Geraden so schreiben:

y − (−4) =3

5(x− 2)

y =3

5x− 26

5.

→ Zur Aufgabe auf Seite 49

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178 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

Test 7.4.2

1 a) Die Geraden sind parallel. b) Es gibt keinen Schnittpunkt.

Falsch! Diese Antwort ist falsch. Sie sollten die Steigungen der beiden Geraden zuerst be-stimmen. Dann konnen Sie erkennen, dass die beiden Geraden nicht parallel zueinanderverlaufen.

2 a) Die Geraden sind nicht parallel. b) S

(1

5;−18

5

)Falsch! Diese Antwort ist falsch. Beim Gleichsetzen der beiden Gleichungen haben Siesich verrechnet.

3 a) Die Geraden sind nicht parallel. b) S(1;−2)

Richtige Losung!

Losung:

Zunachst erhalten Sie fur die Anstiege:

2x− y − 4 = 0→ y = 2x− 4→ m1 = 2

6x− 2y = 10 → y = 3x− 5→ m2 = 3

Da die Steigungen der zwei Geraden nicht gleich sind, liegen sie nicht parallel.

Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu finden, muss man deren Gleichungen gleich-setzen:

2x− 4 = 3x− 5

x = 1.

Damit haben Sie die x-Komponente des Schnittpunkts bestimmt. Um die y-Komponenteauch zu berechnen, setzt man diesen x-Wert in einer der gegebenen Geradengleichungein und stellt nach y um.

y = 2(1)− 4 = −2

→ Zur Aufgabe auf Seite 49

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14.5 Lineare Funktionen 179

Test 7.4.3

1 |a| = 1

2

√233 |b| = 5

√5 |c| = 1

2

√421

Falsch! Diese Losung ist falsch. Sie haben einen Vorzeichenfehler gemacht. Schauen Siesich bitte die Formel zum Berechnen des Abstands zweier Punkte an.

2 |a| = 1

2

√145 |b| =

√37 |c| = 1

2

√109

Richtige Antwort!

3 |a| = 1

2

√85 |b| =

√74 |c| = 1

2

√365

Falsch! Diese Losung ist leider falsch. Sie haben sich bei der Bestimmung der Mittel-punkte verrechnet.

Losung:

Der Mittelpunkt zwischen zwei Punkten A(x1; y1) und B(x2; y2) wird wie folgt berechnet:

xm =x1 + x2

2

ym =y1 + y2

2

Der Mittelpunkt Pm1 zwischen den Punkten A und B besitzt die Koordinaten

xm1 =1 + 8

2=

9

2

ym1 =0 + 2

2= 1

Pm1

(9

2; 1

)Die Koordinaten von Pm2 zwischen B und C ergeben sich zu

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180 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

xm2 =8 + 3

2=

11

2

ym2 =2 + 6

2= 4

Pm2

(11

2; 4

)Die Koordinaten von Pm3 zwischen C und A sind

xm3 =3 + 1

2= 2

ym3 =0 + 6

2= 3

Pm3(2; 3)

Die drei Seitenhalbierenden a, b und c besitzen dann die Lange

|a| =√

(xA − xm2)2 + (yA − ym2)

2 =

√(1− 11

2)2 + (0− 4)2 =

1

2

√145

|b| =√

(xB − xm3)2 + (yB − ym3)

2 =√

(8− 2)2 + (2− 3)2 =√

37

|c| =√

(xC − xm1)2 + (yC − ym1)

2 =

√(3− 9

2)2 + (6− 1)2 =

1

2

√109

→ Zur Aufgabe auf Seite 50

Test 7.4.4

1 y = |2x− 1|

Falsch! Diese Antwort ist falsch. Das Diagramm dieser Funktion sieht so aus:

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14.5 Lineare Funktionen 181

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

2 y = |x− 1|+ x

Richtige Losung!

3 y = |x+ 1| − x

Falsch! Diese Antwort ist falsch. Das Diagramm dieser Funktion sieht so aus:

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

y = x

y = x + 1

y = x + 1

y = x + 1 − x

Losung:

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

182 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

y = x

y = x − 1

y = x − 1

y = x − 1 + x

→ Zur Aufgabe auf Seite 50

14.6 Quadratische Funktionen

Test 8.4.1

1 y = −(x+ 6)2 − 8 , Keine Nullstellen

−10 −8 −6 −4 −2

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

x

y

Falsch! Setzen Sie einen beliebigen x-Wert sowohl in der umgeformten Schreibweise alsauch in der originalen Form ein und vergleichen Sie die y-Werte. In der Regel werdenSie schon beim ersten Test feststellen, dass Ihre Umformung nicht richtig sein kann.Sie sollten aber beachten, dass man nicht nur einen x-Wert (wie z.B. 0) probieren darf,sondern mit mehreren Werten getestet werden muss.

2 y = −(x− 3)2 + 1 , x01 = 2 , x02 = 4

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

14.6 Quadratische Funktionen 183

1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

x

y

Richtige Losung!

3 y = −(x+ 3)2 + 1 , x01 = −2 , x02 = −4

−6 −5 −4 −3 −2 −1

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

x

y

Falsch! Setzen Sie einen beliebigen x-Wert sowohl in der umgeformten Schreibweise alsauch in der originalen Form ein und vergleichen Sie die y-Werte. In der Regel werdenSie schon beim ersten Test feststellen, dass Ihre Umformung nicht richtig sein kann.Sie sollten aber beachten, dass man nicht nur einen x-Wert (wie z.B. 0) probieren darf,sondern mit mehreren Werten getestet werden muss.

Losung:

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

184 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

Mit der quadratischen Erganzung ergibt sich

y = −x2 + 6x− 8

= −(x2 − 6x

)− 8

= −(x2 − 6x+ 9− 9

)− 8

= −(x2 − 6x+ 9

)− (−9)− 8

= − (x− 3)2 + 1

Die Nullstellen werden mit der p-q-Formel berechnet:

−x2 + 6x− 8 = 0

x2 − 6x+ 8 = 0

x01,02 =−(−6)

√(−6

2

)2

− 8

x01 = 2 x02 = 4

Skizze:

1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

y = (x − 3)2

y = −(x − 3)2y = −(x − 3)2 + 1

x

y

→ Zur Aufgabe auf Seite 65

Test 8.4.2

1 y = (x− 5)2 − 1

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

14.6 Quadratische Funktionen 185

Falsch! Diese Antwort ist falsch. Weil ein Teil des gegeben Funktionsgraphen an der x-Achse gespiegelt wurde, muss es sich beim gegebenen Graphen um eine Betragsfunktionhandeln.

2 y = |(x− 5)2 − 3|+ 1

Falsch! Diese Antwort ist falsch, da offenbar bei dieser Funktion eine Verschiebung inpositiver y-Richtung auftritt.

3 y = |(x− 5)2 − 3| − 1

Richtige Losung!

Losung:

Als erstes sieht man, dass das Bild aus der Normalparabel durch Verschiebung desScheitelpunkts entstanden ist (schwarze Kurve). Die zugehorige Funktion zu diesemDiagramm lautet

y = (x− 5)2 − 3 .

Weiterhin kann man erkennen, dass es sich um eine zusammengesetzte Funktion einerBetragsfunktion handeln muss. Es ist zu beachten, dass der Betrag bei einer Funktionalle negativen Teile des Graphen an der x-Achse spiegelt.

Im gegebenen Diagramm sieht man weiterhin, dass einige Punkte des Diagramms trotzder Betragsfunktion im negativen y-Bereich liegen. Man kann feststellen, dass die Be-tragsfunktion selbst um eine Einheit in negativer y-Richtung verschoben wurde.

Mit der Betragsfunktion geht die blaue Kurve in die grune Kurve uber:

y =∣∣(x− 5)2 − 3

∣∣ .Um das gewunschte Diagramm zu erhalten, muss diese Funktion um eine Einheit innegativer y-Richtung verschoben werden (schwarze Kurve):

y =∣∣(x− 5)2 − 3

∣∣− 1 .

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

186 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

1 2 3 4 5 6 7 8

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

→ Zur Aufgabe auf Seite 65

Test 8.4.3

1 L =(−∞,3−

√37

2

]∪[1+√37

2,∞)

Richtige Losung!

2 L =(−∞,1−

√37

2

]∪[1+√37

2,∞)

Falsch! Diese Antwort ist falsch, weil Sie bei der Bestimmung der Teillosungsmenge imFall x < 1 einen Fehler gemacht haben. Bestimmen Sie die Losungsmenge der quadrati-schen Ungleichung in diesem Fall noch einmal.

3 L =[3−√37

2,1+√37

2

]Falsch! Sie haben die Komplementarmenge der Losungsmenge gewahlt. Prufen Sie IhreVorgehensweise bei der Untersuchung der entstehenden quadratischen Ungleichungen.

Losung:

Offenbar ist die Ungleichung fur alle reellen x−Werte erklart, es gibt keine Einschrankungenin der Definitionsmenge. Die Losungsmenge kann wie folgt ermittelt werden.

1. Schritt: Festlegung der notwendigen Falle

Wir betrachten die Falle: 1.Fall x < 1, da fur x − 1 < 0 der Betragsterm als”Minusklammer”berucksichtigt wird: |x− 1| = − (x− 1) und 2.Fall x ≥ 1, da furx− 1 ≥ 0 die Betragsstriche wegfallen: |x− 1| = + (x− 1) = x− 1. Beide Falle konnenparallel und unabhangig voneinander abgearbeitet werden.

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

14.6 Quadratische Funktionen 187

2. Schritt: Umstellung der Ungleichung (beispielsweise) im 1. Fall

Die Ungleichung kann jetzt ohne Betrag geschrieben werden als

−x2 + 3x+ 8 ≤ − (x− 1) + x

−x2 + 3x+ 8 ≤ −x+ 1 + x

0 ≤ x2 − 3x− 7

3. Schritt: Bestimmung der Losungsmenge im 1.Fall

Die eben erhaltene quadratische Ungleichung 0 ≤ x2 − 3x − 7 kann so interpretiertwerden: Fur welche x−Werte (mit x < 1) hat die (nach oben geoffnete) Normalparabely = f(x) = x2 − 3x− 7 keine negativen y−Werte?

Dazu nutzen wir die Nullstellen mit der p− q−Formel:

x1,2 = −−3

2±√

9

4− (−7) =

3

2±√

9

4+

28

4=

3

2±√

37

4=

3

2±√

37

2=

3±√

37

2

Die Losungsmenge ist fur x < 1 (wegen der nach oben geoffneten Normalparabel)

L1 =(−∞,3−

√37

2

]4. Schritt: Umstellung der Ungleichung im 2.Fall

Die Ungleichung kann jetzt ohne Betrag geschrieben werden als

−x2 + 3x+ 8 ≤ + (x− 1) + x

−x2 + 3x+ 8 ≤ x− 1 + x

0 ≤ x2 − x− 9

5. Schritt: Bestimmung der Losungsmenge im 2.Fall

Die eben erhaltene quadratische Ungleichung 0 ≤ x2−x− 9 kann analog zum 1. Fall er-neut interpretiert werden: Fur welche x−Werte (mit x ≥ 1) hat die (nach oben geoffnete)Normalparabel y = f(x) = x2 − x− 9 keine negativen y−Werte?

Dazu nutzen wir wieder die Nullstellen mit der p− q−Formel:

x1,2 = −−1

2±√

1

4− (−9) =

1

2±√

1

4+

36

4=

1

2±√

37

4=

1

2±√

37

2=

1±√

37

2

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188 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

Die Losungsmenge ist offenbar L2 =[1+√37

2,∞)

6. Schritt: Bestimmung der Losungsmenge der Aufgabe

Die Losungsmenge ist L = L1 ∪ L2 =(−∞,3−

√37

2

]∪[1+√37

2,∞)

→ Zur Aufgabe auf Seite 66

Test 8.4.4

1 x1 =(a+ b)2

a− b, x2 = a+ b

Falsch! Sie sollten beachten:a2 + b2 6= (a+ b)2 .

2 x1 = a+√a2 − a+ b , x2 = a−

√a2 − a+ b

Falsch! Sie sollten beachten:

a2 + b2 6= (a+ b)(a− b)

Die dritte binomische Formel lautet:

a2 − b2 = (a− b)(a+ b) .

3 x1 =a2 + b2

a− b, x2 =

a2 + b2

a+ b

Richtige Losung!

Losung: Mit P = −2a·(a2+b2)a2−b2 und q = (a2+b2)2

a2−b2 kann man die Gleichung so schreiben:

x2 + p · x+ q = 0

Als erstes fallt auf, dass mit Hilfe der p-q-Formel die Losungen der Gleichung gefundenwerden sollten.

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

14.6 Quadratische Funktionen 189

x1,2 = −p2±√(p

2

)2− q

x1,2 = −−2a·(a2+b2)

a2−b2

√√√√(−2a·(a2+b2)a2−b2

2

)2

− (a2 + b2)2

a2 − b2

x1,2 = +a · (a2 + b2)

a2 − b2±

√(−a · (a

2 + b2)

a2 − b2

)2

− (a2 + b2)2

a2 − b2

x1,2 = +a · (a2 + b2)

a2 − b2±

√a2 · (a2 + b2)2

(a2 − b2)2− (a2 + b2)2

a2 − b2

x1,2 = +a · (a2 + b2)

a2 − b2±

√a2 · (a2 + b2)2 − (a2 + b2)2 . (a2 − b2)

(a2 − b2)2

x1,2 = +a · (a2 + b2)

a2 − b2±

√(a2 + b2)2 [a2 − a2 + b2]

(a2 − b2)2

x1,2 = +a · (a2 + b2)

a2 − b2±

√(a2 + b2)2 [b2]

(a2 − b2)2

x1,2 = +a · (a2 + b2)

a2 − b2± (a2 + b2) b

a2 − b2

x1,2 = +a · (a2 + b2) ± (a2 + b2) b

a2 − b2

x1,2 = +(a2 + b2) (a± b)

a2 − b2

Im Nenner wird nun die dritte binomische Formel verwendet:

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

190 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

x1,2 = +(a2 + b2) (a± b)

(a− b) · (a+ b)

x1 = +(a2 + b2) (a+ b)

(a− b) · (a+ b)

x1 =a2 + b2

a− b

x2 = +(a2 + b2) (a− b)

(a− b) · (a+ b)

x2 =a2 + b2

a+ b

→ Zur Aufgabe auf Seite 66

14.7 Potenz- und Wurzelfunktionen

Test 9.4.1

1 x = 6 x ≥ 4

Falsch! Sie sollten beachten, dass der Wurzelexponent 4 ist!

2 x = 8 x ≥ 4

Falsch! Sie sollten beachten, dass 24 6= 2 · 4 ist!

3 x = 12 x ≥ 4

Richtige Losung!

Losung:

4√

2x− 8 + 5 = 7

4√

2x− 8 = 2(4√

2x− 8)4

= 24

2x− 8 = 16

x = 12

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14.7 Potenz- und Wurzelfunktionen 191

Definitionsbereich:

2x− 8 ≥ 0

x ≥ 4

→ Zur Aufgabe auf Seite 75

Test 9.4.2

1 x = 6

Falsch! Diese Antwort ist falsch. Bei Ihren Berechnungen haben Sie vermutlich die Funk-tion y1 nicht richtig von der Aufgabenstellung abgeschrieben.

2 x = 7

Falsch! Sie haben die falsche Antwort gewahlt. Beim Quadrieren der Funktion y1 habenSie die zweite binomische Formel nicht korrekt eingesetzt.

3 x = 237

Richtige Losung!

Losung:

f1(x) = f2(x)√x2 + 3− 1 =

√x2 + 2x− 10(√

x2 + 3− 1)2

=(√

x2 + 2x− 10)2

x2 + 3− 2√x2 + 3 + 1 = x2 + 2x− 10

−2√x2 + 3 = 2x− 14

−√x2 + 3 = x− 7(

−√x2 + 3

)2= (x− 7)2

x2 + 3 = x2 − 14x+ 49

14x = 46

x =23

7≈ 3,29

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

192 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

→ Zur Aufgabe auf Seite 75

Test 9.4.3

1 y = (x3 − 1)2

Richtige Antwort!

2 x = 3√

1−√y

Falsch! Sie sollten diese Gleichung nach y umstellen!

3 y = (x2 − 1)3

Falsch! Sie haben leider die falsche Antwort gewahlt.

Losung:

y =3

√1−√x

y3 = 1−√x

y3 − 1 = −√x(

y3 − 1)2

=(−√x)2

(y3 − 1

)2= x

f−1(x) = y =(x3 − 1

)2→ Zur Aufgabe auf Seite 76

Test 9.4.4

1 x1,2 = −5

2± 1

2

√5

Richtige Losung!

2 x1 = −2 x2 = −3

Falsch! Diese Antwort ist leider falsch.

3 Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter!

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

14.8 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen 193

Hinweis: Sie sollten als erstes versuchen die Wurzeln der beiden Seiten der Gleichungzu beseitigen. Nun sollten die Ausdrucke mit Hilfe der binomischen Formeln vereinfachtwerden. Dabei sollte die zweite- bzw. dritte binomische Formel eingesetzt werden. AmEnde kann man die gesuchten x-Werte mit Hilfe der p-q-Formel bestimmen.

Losung:

(x− 3)√x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)

(√x4 − 18x2 + 81

)(

(x− 3)√x2 + 5x+ 6

)2= (x+ 2)2

(√x4 − 18x2 + 81

)2(x− 3)2

(x2 + 5x+ 6

)= (x+ 2)2

(x4 − 18x2 + 81

)(x− 3)2 (x+ 2)(x+ 3) = (x+ 2)2

(x2 − 9

)2(x− 3)2 (x+ 2)(x+ 3) = (x+ 2)2 (x− 3)2 (x+ 3)2

(x+ 2)(x+ 3) = 1

x2 + 5x+ 6 = 1

x2 + 5x+ 5 = 0

x1,2 = −5

√(5

2

)2

− 5

= −5

2± 1

2

√5

→ Zur Aufgabe auf Seite 76

14.8 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen

Test 10.4.1

1 x = 30

Falsch! Sie sollten beachten:loga b = c=b = c · a

Es gilt:loga b = c→ b = ac

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194 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

2 x =5

6

Falsch! Folgende Regel sollte man beachten:

loga b = c9 b =c

a

3 x = 2243

Richtige Losung!

Losung:

log3(log2 x) = 5

log2 x = 35 = 243

x = 2243

→ Zur Aufgabe auf Seite 85

Test 10.4.2

1 A = 1

Falsch! Sie sollten beachten:loga (bc) 6= (loga b)

c

2 A = −2

Falsch! Sie sollten beachten:loga (bc) 6= (loga b)

c

3 A = −1

Richtige Losung!

Losung:

log5(125) = log5

(53)

= 3 log5 5

= 3 · 1

= 3

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

14.8 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen 195

4 log2

(√2)

= 4 log2

(2

12

)= 4 · 1

2log2 2

= 2 · 1

= 2

log3

(1

27

)= log3

(1

33

)= log3

(3−3)

= −3 · log3 3

= −3 · 1

= −3

log73√

49 = log7

(49

13

)=

1

3(log7 49)

=1

3

[log7

(72)]

=2

3log7 7

=2

3· 1

=2

3

A = 3− 2 +

[(−3) ·

(2

3

)]= −1

→ Zur Aufgabe auf Seite 85

Test 10.4.3

1 x1 ≈ 12,188 ; x2 ≈ 13,076

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196 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

Falsch! Sie haben folgenden Fehler gehabt:

lg a− lg b = lga

b6= lg(a− b)

2 x1 ≈ 180,393 ; x2 ≈ 0,866

Falsch! Sie haben die Probe nicht richtig durchgefuhrt, denn x2 erfullt die Gleichungnicht (Scheinlosung).

3 x = 10174

Falsch! Sie sollten beachten:

log 8x 6= 8 log x

log(a+ b) 6= log a+ log b

4 x ≈ 180,384

Richtige Losung!

Losung:

lg(8x)− lg(1 +√x)

= 2

lg

(8x

1 +√x

)= 2

8x

1 +√x

= 102

= 100

8x = 100(1 +√x)

8x− 100 = 100√x

(8x− 100)2 = 10000 · x

64x2 − 1600x+ 10000 = 10000 · x

64x2 − 11600x+ 10000 = 0

x2 − 181,25 · x+ 156,25 = 0

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14.8 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen 197

x1,2 = −−181,25

√(181

2

)2

− 156,25

x1 ≈ 180,384 x2 ≈ 0,866

Wenn Sie nun eine Probe durchfuhren und beide Losungen in die Gleichung einsetzen,dann sehen Sie, dass x2 keine Losung ist.

→ Zur Aufgabe auf Seite 86

Test 10.4.4

1 x1 =1 +√

29

2; x2 =

1−√

29

2

Falsch! Sie sollten beachten:

log3 a− log3 b = log3

(ab

)6= log3(a− b)

2 x = 9

Falsch! Diese Antwort ist falsch. Dabei haben Sie folgende Fehler gemacht:

log3

(x2 − 1

)6= log3

(x2)− log3 1

log3(x+ 3) 6= log3 x+ log3 3

3 x1 = 5 ; x2 = −2

Richtige Losung!

Der Losungsweg lautet

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198 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

log3

(x2 − 1

)= 1 + log3(x+ 3)

log3

(x2 − 1

)− log3(x+ 3) = 1

log3

(x2 − 1

x+ 3

)= 1(

x2 − 1

x+ 3

)= 31 = 3

x2 − 1 = 3 · (x+ 3)

x2 − 1 = 3x+ 9

x2 − 3x− 10 = 0

x1,2 =3

√(3

2

)2

+ 10

x1 = 5 x2 = −2

→ Zur Aufgabe auf Seite 86

14.9 Trigonometrische Funktionen

Test 11.4.1

1 0,5

Falsch! Achten Sie bitte auf folgende Formel:

sin2 a+ cos2 a = 1

2 123100

Falsch! Der Betrag von sin a und cos a kann nicht großer als 1 sein. Sie haben dieUmstellung der folgenden Formel nicht korrekt durchgefuhrt.

sin2 a+ cos2 a = 1

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14.9 Trigonometrische Funktionen 199

3√32

Richtige Antwort!

Losung:

sin2 a+ cos2 a = 1

sin a = ±√

1− cos2 a

sinπ

3= ±

√1− cos2

π

3

= ±√

1− (0,5)2

= ±√

3

2

≈ ±0,87

Das”±“-Zeichen steht deswegen da, weil, wie es auf dem Einheitskreis skizziert wurde,

cos von zwei unterschiedlichen Winkeln 0,5 betragt.

−1.0 0.5 1.0

−1.00−0.86

0.861.00

cos

sin

→ Zur Aufgabe auf Seite 95

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200 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

Test 11.4.2

1 a-b-r-t-w

Falsch! Das ist die falsche Losung.

2 h-t-w-b-e-r-l-i-n

Richtige Losung!

3 i-j-l-n-r-t

Falsch! Diese Antwort ist leider nicht korrekt.

Losung:

Die Umstellung von Grad zu Radiant kann mit Hilfe dieser Formel berechnet werden:

Winkel in Rad

π· 180

→ Zur Aufgabe auf Seite 95

T 11.4.3

1 c-d-e

Falsch! Leider ist diese Antwort nicht komplett.

2 a-b-c-d-e

Richtige Losung! Alle Aussagen sind richtig.

3 a-c-e

Falsch! Es fehlen weitere Losungen.

Losung:

(a)1

cos2 x− 1 =

1− cos2 x

cos2 x=

sin2 x

cos2 x= tan2 x

(b)1

sinx cotx=

1

sinx cosxsinx

=1

cosx= (cosx)

−1

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

14.9 Trigonometrische Funktionen 201

(c) sinx+ (cosx · cotx) = sin x+ cosx · cosx

sinx= sinx+

cos2 x

sinx=

sin2 x+ cos2 x

sinx=

1

sinx

(d)tanx − sinx · cosx

tanx=

tanx

tanx− sinx · cosx

tanx= 1− sinx · cosx

sinxcosx

= 1−cos2 x = sin2 x

(e)1

cosx− (sinx · tanx) =

1

cosx−(

sinx · sinx

cosx

)=

1

cosx− sin2 x

cosx=

1− sin2 x

cosx⇒

=cos2 x

cosx= cosx

→ Zur Aufgabe auf Seite 96

Test 11.4.4

1 Keine der angegebenen Aussagen ist richtig.

Falsch!

2 Alle der angegebenen Aussagen sind richtig.

Richtige Losung!

3 a-d-e

Falsch! Es fehlen weitere Losungen.

Losung:

a)

cosα = A → cos−1A = arccosA = α

cos−11

2= B → cosB =

1

2→ B = 60

sin(60) =

√3

2

b)

sinα = A → sin−1A = arcsinA = α

sinπ

4=

√2

2

Kompaktkurs Elementarmathematik – HTW Berlin

202 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

c)

sinα = A → sin−1A = arcsinA = α

sin−1 1 = A → sinA = 1→ A = 90

sin−1(−1) = B → sinB = −1→ B = −90

A+B = 90 + (−90) = 0

d)

cosα = A → cos−1A = arccosA = α

cos−1 1 = A → cosA = 1→ A = 0

cos−1(−1) = B → cosB = −1→ B = 180

A+B = 0 + 180 = 180 = π

e) Aus der angegebenen Tabelle sollte man wissen:

cos 60 =1

2

3x = 60 ± k · 360 , k = 0,± 1,± 2,. . .

x = 20 ± k · 120 , k = 0,± 1,± 2,. . .

→ Zur Aufgabe auf Seite 96

14.10 Funktionen in Polarkoordinaten

Test 12.4.1

1 r =√

3; ϕ = 60

Falsch! Sie sollten beachten, dass

cos 30 =

√3

2←→ arccos

(√3

2

)= 30

2 r =√

3; ϕ = 30

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14.10 Funktionen in Polarkoordinaten 203

Richtige Losung!

3 r =

√3

2; ϕ = 60

Falsch! Bei der Berechnung vom Wert r haben Sie sich verrechnet.

Losung:

Weil x2 + y2 = r2 ist, gilt

(3

2

)2

+

(√3

2

)2

= r2

9

4+

3

4= r2

12

4= 3 = r2

r =√

3

x = r · cosϕ

3

2=√

3 cosϕ

arccos

(√3

2

)= ϕ

ϕ = 30

A(√

3,30)

→ Zur Aufgabe auf Seite 105

Test 12.4.2

1 x = −√

2

2y =

√2

2

Falsch! Sie haben den Radius des Punktes (r = 7) vergessen.

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204 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

2 x =7√

2

2y = −7

√2

2

Falsch! Sie sollten beachten, dass

x = r · cosϕ

y = r · sinϕ

3 x = −7√

2

2y =

7√

2

2

Richtige Losung!

Losung:

Der gegebene Punkt hat die Koordinaten r = 7 und ϕ =3π

4

x = r · cosϕ

y = r · sinϕ

x = 7 · cos

(3π

4

)

= −7√

2

2

x ≈ −4,94

y = 7 · sin(

4

)

=7√

2

2

y ≈ 4,94

→ Zur Aufgabe auf Seite 105

Test 12.4.3

1 ϕ1,2 = ±60

Richtige Antwort!

2 ϕ1,2 = ±30

Falsch! Diese Antwort ist nicht richtig. Sie sollten dabei beachten, dass

cos(±30) =

√3

2

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14.10 Funktionen in Polarkoordinaten 205

3 ϕ1,2 = ±120

Falsch! Diese Antwort ist nicht richtig. Sie sollten dabei beachten:

cos(±120) = −√

3

2

Losung:

Es gilt:r = 1 + cosϕ

Fur r =3

2

gilt3

2= 1 + cosϕ

1

2= cosϕ

ϕ1,2 = ±60 = ±π3

→ Zur Aufgabe auf Seite 105

Test 12.4.4

1 ϕ1,2 = ±60 ; r1,2 = 6

Falsch! Diese Antwort ist zwar nicht falsch, aber noch nicht komplett!

2 ϕ1,2 = ±120 ; r1,2 = 2

Falsch! Diese Antwort ist zwar nicht falsch, aber noch nicht komplett!

3 ϕ1,2 = ±60 , ϕ3,4 = ±120 ; r1,2 = 6 , r3,4 = 2

Richtige Losung!

Losung:

Die erste Kurve hat die Gleichung:

r = 4 · (1 + cosϕ)

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206 14 Hinweise und Losungen zu den Tests

Die zweite Kurve:

r · (1− cosϕ) = 3

r =3

1− cosϕ

Um den Schnittpunkt der beiden Kurven zu finden, soll man die beiden Gleichungengleich setzen. Anders ausgedruckt haben die beiden Kurven an ihrem Schnittpunkt eingemeinsames r.

4 · (1 + cosϕ) =3

1 − cosϕ

(1 + cosϕ) · (1 − cosϕ) =3

4

12 − cos2 ϕ =3

4

1− cos2 ϕ =3

4

sin2 ϕ =3

4

sinϕ = ±√

3

4

sinϕ = ±√

3

2

ϕ1,2 = ±60 = ±π3

Wie man auf den Einheitskreis sieht, gibt es zwei Winkel, deren Sinus den Betrag

+

√3

2bzw. −

√3

2

aufweist. Deswegen existieren noch zwei weitere Schnittwinkel.

ϕ3,4 = ±120

Wir haben die Winkel der Schnittpunkte herausgefunden. Um den Radius des Schnitt-

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14.10 Funktionen in Polarkoordinaten 207

punktes auch zu berechnen, setzen wir die berechneten Winkel in eine der beiden ange-gebenen Kurven ein:

r = 4 · (1 + cos(±60))

r = 4 ·(

1 +1

2

)r1,2 = 6

r = 4 · (1 + cos(±120))

r = 4 ·(

1− 1

2

)r3,4 = 2

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