KOMPETENZHEFT – TERMRECHNUNG · 2020. 12. 2. · MathematikmachtFreu(n)de KH–Termrechnung...

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Mathematik macht Freu(n)de KH – Termrechnung KOMPETENZHEFT – TERMRECHNUNG Inhaltsverzeichnis 1. Bruchrechnung 2 2. Potenzen, Wurzeln und Bruchterme 4 3. Lineare Gleichungen & Bruchgleichungen 9 4. Quadratische Terme und Gleichungen 11 5. Polynomgleichungen 14 6. Wurzelgleichungen 16 7. Exponential- und Logarithmusgleichungen 17 8. Lineare Gleichungssysteme 18 9. Weitere nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 19 Eine traditionsreiche Aufgabe für Erstsemestrige ist, die ansprechende Formel (1 + 2 + ··· + n) 2 =1 3 +2 3 + ··· + n 3 mit vollständiger Induktion – übrigens eine tolle Sache – zu beweisen. Dabei kommt man nicht darum herum, Terme wie (n + 1) 3 richtig auszumultiplizieren, was Stoff der Unterstufe ist. Genau daran scheitern viele. Das ist bitter für alle, besonders wenn die Aufgabe bei Prüfungen gestellt wird. Mit der vorliegenden Aufgabensammlung können Sie sich für Ihr Studium topfit rechnen. Beginnen Sie unbedingt mit jenen Fragen, die Ihnen besonders sympathisch und vertraut sind. Aufgaben, die mit einem gekennzeichnet sind, sind sehr knifflig. Heben Sie sich solche Leckerbissen für später auf. Den Taschenrechner sollten Sie nur bei den extra dafür gekennzeichneten Aufgaben verwenden. Bis in die 60er-Jahre wurde an österreichischen Schulen die Methodisch geordnete Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra von Dr. Karl Rosenberg (1861-1936) verwendet. Wir haben dieses Schulbuch für Sie digitalisieren lassen. Das war offenbar ein Goldenes Zeitalter für das Termrechnen. Der Anblick „eines Rosenbergs“ treibt Älteren gerne einmal die Tränen in die Augen. Wir wünschen Ihnen viele schöne Anfänge im Zuge Ihres Studienbeginns. Wir freuen uns sehr, dass wir Sie dabei ein Stück weit begleiten dürfen. Datum: 2. Dezember 2020. 1

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Mathematik macht Freu(n)de KH – Termrechnung

KOMPETENZHEFT – TERMRECHNUNG

Inhaltsverzeichnis

1. Bruchrechnung 22. Potenzen, Wurzeln und Bruchterme 43. Lineare Gleichungen & Bruchgleichungen 94. Quadratische Terme und Gleichungen 115. Polynomgleichungen 146. Wurzelgleichungen 167. Exponential- und Logarithmusgleichungen 178. Lineare Gleichungssysteme 189. Weitere nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 19

Eine traditionsreiche Aufgabe für Erstsemestrige ist, die ansprechende Formel

(1 + 2 + · · ·+ n)2 = 13 + 23 + · · ·+ n3

mit vollständiger Induktion – übrigens eine tolle Sache – zu beweisen. Dabei kommt man nicht darumherum, Terme wie (n + 1)3 richtig auszumultiplizieren, was Stoff der Unterstufe ist. Genau daranscheitern viele. Das ist bitter für alle, besonders wenn die Aufgabe bei Prüfungen gestellt wird.

Mit der vorliegenden Aufgabensammlung können Sie sich für Ihr Studium topfit rechnen. BeginnenSie unbedingt mit jenen Fragen, die Ihnen besonders sympathisch und vertraut sind. Aufgaben, diemit einem gekennzeichnet sind, sind sehr knifflig. Heben Sie sich solche Leckerbissen für späterauf. Den Taschenrechner sollten Sie nur bei den extra dafür gekennzeichneten Aufgaben verwenden.

Bis in die 60er-Jahre wurde an österreichischen Schulen die Methodisch geordnete Sammlung vonAufgaben aus der Arithmetik und Algebra von Dr. Karl Rosenberg (1861-1936) verwendet. Wirhaben dieses Schulbuch für Sie digitalisieren lassen. Das war offenbar ein Goldenes Zeitalter für dasTermrechnen. Der Anblick „eines Rosenbergs“ treibt Älteren gerne einmal die Tränen in die Augen.

Wir wünschen Ihnen viele schöne Anfänge im Zuge Ihres Studienbeginns.Wir freuen uns sehr, dass wir Sie dabei ein Stück weit begleiten dürfen.

Datum: 2. Dezember 2020.

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Mathematik macht Freu(n)de KH – Termrechnung

1. Bruchrechnung

Auf dem Übungsblatt – Bruchrechnung behandeln wir die folgenden Fragen:

Wie rechnet man mit Brüchen?

Welche Grundvorstellungen stehenhinter den Rechenregeln?

1 m

1 m23 m

35 m

A =2

3·3

5m2

AA =

2 · 33 · 5

m2

Übungsblatt – Bruchrechnung

1.1. In den nachstehenden 7 Abbildungen sind Rechenoperationen mit Brüchen veranschaulicht.

Ordne die Rechenoperationen den Abbildungen zu,und schreibe jeweils die dargestellte Rechnung an.a) Bruch kürzenb) Bruch erweiternc) Bruch mit Bruch multiplizierend) Brüche addierene) Brüche subtrahierenf) Bruch mit natürlicher Zahl multipliziereng) Bruch durch natürliche Zahl dividieren

︷ ︸︸ ︷1 ︷︸︸

1

︷︸︸

2/3

︸ ︷︷ ︸3/5

· 3 =

= : 2 = + = = − =

1.2. Stelle das Ergebnis als gekürzten Bruch dar.

a) 3 + 15 −

23 −

(79 −

1115

)b) 5−

(14 −

17

)−(3

5 −1112

)c)

23 : 5

2 − 2 · 43 + 1

3 : 5

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1.3. Stelle das Ergebnis als gekürzten Bruch dar.Berechne mit dem Taschenrechner die zugehörige Dezimalzahl.

a) 2 + 12 b) 2 + 1

2 + 12

c) 2 + 12 + 1

2+ 12

d) 2 + 12 + 1

2+ 12+ 1

2

e) 2 + 12 + 1

2+ 12+ 1

2+ 12

Setzt man diesen Prozess unendlich fort, spricht man von einem Kettenbruch. Der Grenzwert ist 1 +√

2 = 2,4142....

1.4. Stelle den gegebenen Term als gekürzten Bruch dar.

a)1

1 · 2 + 12 · 3 b)

11 · 2 + 1

2 · 3 + 13 · 4 c)

11 · 2 + 1

2 · 3 + 13 · 4 + 1

4 · 5

d)1

1 · 2 + 12 · 3 + · · ·+ 1

k · (k + 1) + · · ·+ 198 · 99 + 1

99 · 100 Tipp: 1k·(k+1) = (k+1)−k

k·(k+1) = 1k− 1k+1 .

e)1

1 · 2 · 3 + 12 · 3 · 4 + · · ·+ 1

k · (k + 1) · (k + 2) + · · ·+ 197 · 98 · 99 + 1

98 · 99 · 100

1.1Oben:iii)23·3

5=615vi)2

8·3=68

Unten:ii)23=4

6vii)12:2=1

4iv)36+2

6=56i)6

8=34v)5

6−26=3

6

1.2a)11245b)547

105c)−73

1.3a)52=2,5b)12

5=2,4c)2912=2,4166...d)70

29=2,4137...e)16970=2,4142...

1.4a)23b)3

4c)45d)99

100e)494919800

3

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2. Potenzen, Wurzeln und Bruchterme

Auf dem Arbeitsblatt – Potenzen und Wurzeln behandeln wir die folgenden Fragen:

Was bedeutet die Schreibweise 23?Was bedeutet die Schreibweise 2−3?

Warum ist 20 = 1?Warum ist 9 3

2 = 27?

232221

: 2: 2: 2

·2 ·2

· · ·

·2

20

: 2: 2: 2

·2 ·2·2

2−12−22−3· · ·

Wie kann man 3√

426 händisch berechnen?

Welche Rechenregeln gelten für Potenzen und Wurzeln?

Arbeitsblatt – Potenzen und Wurzeln

Auf dem Arbeitsblatt – Pascalsches Dreieck I behandeln wir die folgenden Fragen:Wie lauten die Binomischen Formeln und warum gelten sie?Was ist das Pascalsche Dreieck? Wie vereinfacht es das Ausmultiplizieren von Binomen?

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

(a + b)2 = 1 · a2 + 2 · a · b + 1 · b2

(a + b)3 = 1 · a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + 1 · b3

(a + b)4 = 1 · a4 + 4 · a3 · b + 6 · a2 · b2 + 4 · a · b3 + 1 · b4

Arbeitsblatt – Pascalsches Dreieck I

2.1. Vereinfache den gegebenen Term so weit wie möglich.

a) 63 · 53

b) 253 · 46 · 2502

c)843 · 12 · 24

43 · 63 · 142

d)2575 · 4120

12551 · 2241

e)223 · 353

554 · 143

f) (−1)1365

2.2. Vereinfache den gegebenen Term so weit wie möglich.

a)6 · x4 · y · z

21 · x3 · y3 · z

b)x4 − x3 + x2

2 · x

c)42 · x3 − 3 · x2

6 · x2 − 3 · x

d),8

,3

e)2 · x− 5

(2 · x− 5)4

f)x− 3x2 − 9

g)54 · a3 · b5 · c3

24 · b2 · c7 · d5

h)21 · f 3 · g2 · (2 · k − 3 ·m)56 · f 4 · g · (3 ·m− 2 · k)

i)35 · p2 · q2 + 49 · p · q3

70 · p · q + 98 · q2

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2.3. Vereinfache den gegebenen Term so weit wie möglich.

a) 4 · x · y2 · 2 · x3 · y3

b)10 · x2

4 · z : (5 · x · z2)

c)2 · x · y3 · x2 ·

6 · y2

4 · x2 · y

d)5 · x2 · y

3 · x : 2 · x5 · y6 · x2 · y

2.4. Vereinfache den gegebenen Term so weit wie möglich.

a)3 · x10 + 5

7 · x− 3 · x

35 + x

14

b)a + 1

4 + 2 + 3 · a12 − 1− a

8 − 2 · a− 56

c)y

5 + 3− y + 2 · y3 − 1− y

15

2.5. Stelle den gegebenen Term als möglichst einfachen Bruch dar.

a)1x6 + 1

x10

b)1

2 · x · y2 · z+ 1

5 · x3 · y · z4

c)1x

+ 1x + 1

d)1x2 + 1

x · (x + 1)

e)1x

+ 2x2 + 3

x3

f)1

x · y− 42

x2 + y

x

g)y

6 · x −3 · x

10 · y2

h)3

x + 1 −2

(x + 1)2

i)2 · x− 1

x2 − 3 · x + 13 · x

j)5

x− 2 + 3 · x

x + 1

k)1x

+ 1y

+ 1z

l)(

12 · x −

12 · x + y

)· 84 · x · (2 · x + y)

y

2.6. Vereinfache den gegebenen Term so weit wie möglich.

a)2 · y − 1

y − 2 − 3 · yy2 − 4 b)

x + 52 · x + 3 −

x + 42 · x− 3 + 21

4 · x2 − 9 c)4 · n2 + 16

n4 − 16 − n

n + 2 + 1

2.7. Vereinfache den gegebenen Term so weit wie möglich.

a)cd− d

ccd

+ 2 + dc

b)(

5 · r4

3 · t2 −3 · t2

5

):(

r2

3 · t −t

5

) c)2·xy− 1

2·xy

+ 1 ·4 · x2 + 4 · x · y + y2

4 · x2 − 4 · x · y + y2

d)1

1a− 1

b

· a− b

b

2.8. Vereinfache den gegebenen Term so weit wie möglich.

a)√

14 400√25 200

b) 2 ·√

5 + 2 ·√

45− 4 ·√

20 c)√

3 · (√

50 + 7 ·√

2)(5 ·√

48− 8 ·√

27) ·√

2

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2.9. Vereinfache den gegebenen Term so weit wie möglich.

a) (a32 · a16 · a8 · a4 · a2 · a) · a

b)(5 · x2 · y3)−1

(25 · x−2 · y4)−2

c) 2 · 3 · a−2 · b4

12 · a−2 · b−4

d) 2√

a3 · 4√

a5 · 6√

a7

e) (a · 2√

a · 4√

a · 8√

a · 16√

a · 32√

a) · 32√

a

f) 6√

(((2 ·m · n)−3)−1)−2

g) 4√

92 · (x2 · y−12)2

h)(x−

3/2 · y6/5)10/3

2.10. Schreibe den gegebenen Term als Potenz von a.

a) a(bc) · a(bc) b) (ab)c · (ab)c c) a(bc) · (ab)c

2.11. Vereinfache den gegebenen Term so weit wie möglich.

a) (a + b)4 − (a− b)4 b) (x− x2−a) · (xa + x) c)(m2 + n2)2

(2 ·m · n)2 + (m2 − n2)2

2.12. Multipliziere den gegebenen Term aus und stelle das Ergebnis möglichst übersichtlich dar.

a) (1 + x) · (1− x)

b) (1 + x + x2) · (1− x)

c) (1 + x + x2 + . . . + xk + . . . + x99) · (1− x)

d) (1 + x + x2 + . . . + xk + . . . + xn−1) · (1− x)

2.13. Leite die geometrische Summenformel her:

1 + q + q2 + · · · + qn−1︸ ︷︷ ︸n Summanden

=1 − qn

1 − q, q 6= 1

2.14. Berechne das Ergebnis mithilfe der geometrischen Summenformel.

a) 1 + 2 + 22 + · · ·+ 29

b) 1 + 12 + 1

22 + · · ·+ 129

c) 2 + 2 · 3 + 2 · 32 + · · ·+ 2 · 37

d)1− 3 + 32 − 33 + 34 − 35 + 36 − 37 + 38 − 39

1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39

2.15. Stelle das Ergebnis der Multiplikation möglichst übersichtlich dar.

a) (x− a) · (x + a)

b) (x− a) · (x2 + a · x + a2)

c) (x− a) · (x3 + a · x2 + a2 · x + a3)

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d) (x− a) · (xn + a · xn−1 + a2 · xn−2 + . . . + ak · xn−k + . . . + an−2 · x2 + an−1 · x + an)

2.16. Stelle das Ergebnis der Multiplikation möglichst übersichtlich dar.

a) (1 + x + x2) · (1− x + x2)

b) (1 + x + x2 + x3 + x4) · (1− x + x2 − x3 + x4)

2.17. Stelle das Ergebnis der Multiplikation möglichst übersichtlich dar.

a) (x2 + 1) · (x4 + 1)

b) (x2 + 1) · (x4 + 1) · (x8 + 1)

c) (x2 + 1) · (x4 + 1) · (x8 + 1) · (x16 + 1)

d) (x2 + 1) · (x4 + 1) · (x8 + 1) · . . . · (x(2k) + 1) · . . . · (x512 + 1) · (x1024 + 1)

2.18. Finde eine bequeme Formel, mithilfe der du den Ausdruck

s = 1 + 2 · x + 3 · x2 + . . . + k · xk−1 + . . . + n · xn−1

für beliebige Werte von x und z.B. n = 100 berechnen kannst. Tipp: s · (1− x)

2.19. Multipliziere aus und vereinfache so weit wie möglich.

a) (1 + x)5 + (1− x)5

b) (x6 − y6)/√

5, wobei x = (1 +√

5)/2 und y = (1−√

5)/2. Ist (x37 − y37)/√

5 eine rationale Zahl?

2.20. Kürze den gegebenen Bruch so weit wie möglich.

a)x6 − y6

x3 + y3

b)x3 − y3

x− y

c)x3 + y3

x + y

d)x4 − y4

x− y

e)x4 − y4

x + y

f)x5 − y5

x− y

g)x5 + y5

x + y

h)x6 − y6

x− y

i)x6 − y6

x2 − y2

2.21. Vereinfache den gegebenen Term so weit wie möglich.

a) (x + y)2 − (x− y)2

b) (√

x +√y)2

c)(√

ab

+√

ba

)2−(√

ab−√

ba

)2

d)(√

a + b−√

a +√

b)·(√

a + b +√

a−√

b)

7

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2.22. Vereinfache den gegebenen Term. Tipp: Berechne zuerst das Quadrat der angegebenen Zahl.

a)√

7 + 2 ·√

10 +√

7− 2 ·√

10

b)√

8− 2 ·√

7−√

8 + 2 ·√

7

c)√

7 ·√

2 + 4 ·√

6 +√

7 ·√

2− 4 ·√

6

d)√

a +√

a2 − b2 +√

a−√

a2 − b2

2.23. Es ist x1 = −p

2 +√(

p

2

)2− q und x2 = −p

2 −√(

p

2

)2− q .

Berechne und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

a) x1 + x2 b) x1 · x2 c) (x− x1) · (x− x2)

2.1a)27000b)4000000000000c)42d)1250e)1

55f)−12.2a)2·x

7·y2b)x3−x2+x

2c)14·x2−x2·x−1d),5e)1

(2·x−5)3f)1x+3g)9·a3·b3

4·c4·d5h)−3·g8·fi)

p·q2

2.3a)8·x2

3·yb)x

2·z3c)y2

x3d)5·yx2

2.4a)xb)7·a+2724c)44−y

15

2.5a)x4+1x10b)5·x2·z3+2·y

10·x3·y2·z4c)2·x+1x·(x+1)d)2·x+1

x2·(x+1)e)x2+2·x+3

x3f)x·y2+x−42·y

x2·yg)5·y3−9·x2

30·x·y2h)3·x+1(x+1)2

i)−3·x2+5·x−33·x2j)3·x2−x+5

(x−2)·(x+1)k)x·y+x·z+y·z

x·y·zl)422.6a)2·

y2−1y2−4b)2

3−2·xc)2·nn2−4

2.7a)c−dc+db)5·r2+3·t2

tc)2·x+y2·x−yd)−a

2.8a)2√7b)0c)−3

2.9a)a64b)125·y5·x−6c)12·b8d)a

10948

e)a2f)12·|m|·|n|g)3·|x|·y−6h)x−5·y4

2.10a)a2·(bc

)b)a(2·b·c)c)a(bc

)+b·c

2.11a)8·a3·b+8·a·b3b)x1+a−x3−ac)12.12a)1−x2b)1−x3c)1−x100d)1−x

n

2.13(1+q+q2+···+qn−1)·(1−q)=1+q+q2+···+q

n−1−q−q2−···−qn−1−qn=1−qn�

2.14a)210−1=1023b)2−129=1023

512c)38−1=6560d)−12

2.15a)x2−a2b)x3−a3c)x4−a4d)xn+1−an+1

2.16a)1+x2+x4b)1+x2+x4+x6+x8

2.17a)1+x2+x4+x6

b)1+x2+x4+x6+x8+x10+x12+x14

c)1+x2+x4+x6+x8+x10+x12+x14+···+x30

d)1+x2+x4+...+x2044+x2046

2.18s={1−xn

(1−x)2−n·x

n

(1−x)wennx6=1n·(n+1)

2wennx=12.19a)2+20·x2+10·x4b)82.20a)x3−y3b)x2+x·y+y2c)x2−x·y+y2

d)(x2+y2)·(x+y)e)(x2+y2)·(x−y)f)x4+x3·y+x2·y2+x·y3+y4

g)x4−x3·y+x2·y2−x·y3+y4h)x5+x4·y+x3·y2+x2·y3+x·y4+y5i)x4+x2·y2+y4

2.21a)4·x·yb)x+y+2·√x·yc)4d)2·√a·b

2.22a)2·√

5b)−2c)4·4√

2d)√

2·√a+|b|2.23a)−pb)qc)x2+p·x+q

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3. Lineare Gleichungen & Bruchgleichungen

Auf dem Übungsblatt – Bruchgleichungen behandeln wir die folgenden Fragen:

Was sind Grundmenge, Definitionsmenge und Lösungsmengeeiner Gleichung? L D G

Wie formt man Bruchgleichungen systematisch in „handlichere“ Gleichungen um?

Übungsblatt – Bruchgleichungen

3.1. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a)x

6 + 3 · x4 = 2 · x + 1 b) 4 · (x− 2)− 3 · x = x

5 c) 2 · x3 = x− x

33.2. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) 3 · (2 · x− 4) = 5 · x− 1

b)2 · x

5 + 1 = 5

c)4 · x

3 − 3 · x2 = 2 · x + 13

d) (x− 3)2 − 2 · x · (x + 2) = 19− x2

3.3. Stelle eine Gleichung auf, und berechne die unbekannte Zahl.

a) Verdoppelt man diese Zahl und subtrahiert man anschließend 42 vom Ergebnis, dann erhält mandie Hälfte der ursprünglichen Zahl.

b) Die Hälfte dieser Zahl ist um 3 größer als ein Drittel dieser Zahl.

3.4. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) x− 36x

= 5

b)4

5 · x + 13 · x −

56 · x = 1

10

c)1

1 + x= 1

x+ 1

d)2

3 · x + 9 −15 = x + 2

5 · x− 15 −715

e)1

x− 1 = 3x + 1 −

2x + 2

f)1 + 1

x

2 + 12·x

=x4 −

136

x9

g)x

1 + 23+x

= 4 + x

h)2 · x− 32 · x + 3 + 2 · x + 3

2 · x− 3 = 504 · x2 − 9

i)4− 5 · x

x + 1 + x2 + 8 · xx2 − 1 = 3 + 4 · x

1− x+ 17

1− x2

j)x

x + 1 + 5x2 + x

= 1 + 1x

3.5. Forme die gegebene Gleichung nach a um. Gib das Ergebnis ohne Doppelbruch an.1

1a

+ 1b

+ 1c

= d mit a, b, c, d > 0

9

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3.6. Gibt es eine Zahl, die die folgende Bedingung erfüllt? „Vermehrt man den Zähler von 57 um diese

Zahl und vermindert gleichzeitig den Nenner um dieselbe Zahl, so erhält man 2.“

3.7. Welchen Ausdruck muss man vom Zähler und vom Nenner eines allgemeinen Bruches abmit

a 6= 0 subtrahieren, um den Kehrwert dieses Bruches zu erhalten?

3.8. Welchen Ausdruck muss man vom Zähler und vom Nenner eines allgemeinen Bruches abmit

a 6= 0 subtrahieren, um den negativen Wert dieses Bruches zu erhalten? Für welche Brüche gibt eskeinen solchen Ausdruck?

3.9. Die Anzahl der Lösungen der folgenden Gleichung hängt von der reellen Zahl a ab:(a− 2) · x

2 = a · (x + 1)2 − x

a) Gibt es ein a, sodass die Gleichung keine Lösung hat? Falls ja, gib ein solches a an.b) Gibt es ein a, sodass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat? Falls ja, gib ein solches a an.c) Gibt es ein a, sodass die Gleichung genau eine Lösung hat? Falls ja, gib ein solches a an.

3.10. Lukas behauptet: „Wenn x = 42 ist, dann ist 2 = 1.“ Wo ist der Fehler in seiner Rechnung?

x = 42 | − 42

x− 42 = 0 | + (x− 42)

(x− 42) + (x− 42) = (x− 42)

2 · (x− 42) = (x− 42) | : (x− 42)

2 = (x− 42)(x− 42)

2 = 1

3.1a)x=−1213b)x=10c)L=R

3.2a)L={11}b)L={10}c)L={−6}d)L={−1}3.3a)28b)183.4a){−4,9}b){3}c)∅d){−7,12}e)∅

f){−1/7,1/4}g){−10/3}h){−2,2}i){−2/3}j){2}3.5a=

b·c·db·c−b·d−c·d

3.6Ja,dieZahl3.3.7a+b

3.82·a·ba+b,fallsa+b6=0.KeinsolcherAusdruck,fallsa+b=0.

3.9DieGleichungkannauf0=aumgeformtwerden.a)Wenna6=0ist,bleibteinefalscheAussagestehen.DieGleichunghatdannalsokeineLösung.b)Wenna=0ist,dannbleibteinewahreAussagestehen.JedeZahlx∈RistdanneineLösungderGleichung.c)GenaueineLösungistalsonichtmöglich.

3.10Wennx=42ist,danndividiertLukasdurchx−42=0.

10

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4. Quadratische Terme und Gleichungen

Auf dem Arbeitsblatt– Quadratische Funktionen behandeln wir die folgenden Fragen:

Was ist die Polynomform einer quadratischen Funktion?

Was ist die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?

Was ist der Scheitelpunkt und wie berechnet man ihn?

Arbeitsblatt– Quadratische Funktionen

Auf dem Arbeitsblatt– Quadratische Gleichungen behandeln wir die folgenden Fragen:

Was ist eine quadratische Gleichung?

Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichungüber der Grundmenge R haben?

Wie hilft quadratisches Ergänzen beim Lösenquadratischer Gleichungen weiter?

Was ist die kleine Lösungsformel? Was ist die große Lösungsformel?

Arbeitsblatt– Quadratische Gleichungen

Auf dem Übungsblatt – Quadratische Gleichungen findest du durchgerechnete Aufgaben undÜbungsaufgaben zum Lösen von quadratischen Gleichungen.

Übungsblatt – Quadratische Gleichungen

4.1. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) (3 · x− 2)2 − 2 · (x− 3) · (3 · x− 1) = 14 · x + 22 b)5 · x− 23 · x + 1 = 9 · x− 1

8 · x− 44.2. Ermittle die Extremstelle, den Extremwert sowie die Nullstellen der quadratischen Funktion f .

Schaffst du diese Aufgaben auch ohne Differentialrechnung und Lösungsformeln?

a) f(x) = x2 − 15 · x + 26

b) f(x) = x2 + 3 · x− 18

c) f(x) = 12 · x2 − x− 1

d) f(x) = −4 ·x2 + 12 ·x− 9

e) f(x) = 2 · x2 + 11 · x + 12

f) f(x) = 3 · x2 − 4 · x + 44.3. Für welche Werte von k hat die gegebene Gleichung genau eine reelle Lösung?

a) x2 + 2 · k · x− (10 · k + 9) = 0 b) 4 · x2 = (2 · k · x− 12)2 + 3Tipp: Bei b) legt der Wert von k fest, ob die Gleichung linear oder quadratisch in x ist.

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4.4. Zeige, dass die quadratische Gleichung

(a− x) · (c− x) = b2 mit a, b, c ∈ R

immer reelle Lösungen hat. Unter welchen Bedingungen für a, b, c hat sie genau eine Lösung?Tipp: Skizziere den Graphen der quadratischen Funktion f mit f(x) = (a− x) · (c− x).

4.5. Wir nehmen zwei reelle Zahlen mit Summe 10 und bilden ihr Produkt.Was ist das größte Produkt, das man auf diese Weise bilden kann?

Geometrische Interpretation: Welches Rechteck mit Umfang 20 hat den größten Flächeninhalt?

4.6. Wir schreiben einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten der Länge a und b Rechtecke mitSeiten parallel zu den Katheten ein.

Was ist der größte Flächeninhalt, den ein solches Rechteck haben kann?a

b

·

4.7. Wir schreiben einem Halbkreis mit Radius r > 0 Rechtecke ein, sodass eine Seite auf demDurchmesser zu liegen kommt.Was ist der größte Flächeninhalt, den ein solches Rechteck haben kann?

4.8. Der Punkt (−2 | 4) liegt auf der Parabel y = x2. In wie vielen Punkten schneidet die Geradedurch den Punkt (−2 | 4) mit Steigung k die Parabel? Interpretiere dein Ergebnis auch geometrisch.

4.9. „Der Kehrwert der um 1 vermehrten Zahl ist gleich dem um 1 vermehrten Kehrwert der Zahl.“Gibt es eine reelle Zahl, die diese Bedingung erfüllt? Falls ja, berechne sie.

4.10. Gegeben sind die Punkte A = (1 | −4), B = (2 | −7) und C = (3 | 5). Ermittle jenenPunkt der Ebene, für den die Summe der Quadrate der Abstände zu A, B und C minimal ist.

4.11. Seien a, b ∈ R mit a, b > 0.

a) Zeige: Die Gerade mit Gleichung

y = k · x + d

und die Ellipse mit Gleichung

b2 · x2 + a2 · y2 = a2 · b2

schneiden einander genau dann in genau einem Punkt, wenn

a2 · k2 + b2 = d2. „Berührbedingung der Ellipse“

b) In der nebenstehenden Abbildung sind eine Ellipse und eine Gerade dargestellt.Lies die Parameter a, b, k und d ab. Rechne nach, dass die Berührbedingung erfüllt ist.

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4.12. Sei p > 0.Gesucht ist der größte Radius r > 0, sodass der Kreis mit Gleichung

(x− r)2 + y2 = r2

und die Parabel mit Gleichung

y2 = 2 · p · x

einander in genau einem Punkt schneiden. „Schmiegkreis an die Parabel“

r = p = 1

4.13. Seien a, b ∈ R mit a > b > 0.Gesucht ist der größte Radius r mit 0 < r < a, sodassder Kreis mit Gleichung

(x− r)2 + y2 = r2

und die Ellipse mit Gleichung

b2 · (x− a)2 + a2 · y2 = a2 · b2

einander in genau einem Punkt schneiden.„Schmiegkreis an die Ellipse“

a = 3, b = 2, r = 43

4.1a)L={−2,4}b)L={313,3}

4.2a)N={2,13},S=(15/2|−121/4)b)N={−6,3},S=(−3/2|−81/4)c)N={−14,1/3},S=(1/24,−49/48)

d)N={3/2},S=(3/2,0)e)N={−4,−3/2},S=(−11/4,−25/8)f)N=∅,=S(2/3,8/3)4.3a)k∈{−9,−1}b)k∈{−7,−1,1,7}4.4a=cundb=04.5254.6

a·b4

4.7r2

4.8SieschneidensichineinemPunktwennk=−4.(Tangente)SieschneidensichinzweiPunktenwennk6=−4.(Sekante)

4.9Nein.(DiequadratischeGleichungx2+x+1=0hatkeinereellenLösungen.)4.10(2|−2)4.11a)DieSchnittstellensinddieLösungenvon(b2+a2·k2)·x2+2·a2·d·k·x+a2·d2−a2·b2=0.

DieDiskriminantedieserquadratischenGleichungistgenaudann0,wenna2·k2+b2=d2gilt.b)a=3,b=2,k=1

2,d=52

4.12r=p

4.13r=b2

a

13

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5. Polynomgleichungen

Auf dem Arbeitsblatt – Polynomdivision behandeln wir die folgenden Fragen:

Warum funktioniert der Divisionsalgorithmus,den bereits Kinder in der Volksschule lernen?

Wie kann man das Ergebnis der Polynomdivision(6 · x4 + 10 · x3 − 10 · x2 + 42 · x− 10

):(2 · x2 − 4

)berechnen?

(6 · x4 + 10 · x3 − 10 · x2 + 42 · x− 10) :(2 · x2 − 4

)= 3 · x2 + 5 · x+ 1 +

62 · x− 6

2 · x2 − 4

6 · x4

2 · x2

10 · x3

2 · x2

2 · x2

2 · x2

6 · x4

10 · x3 + 2 · x2 + 42 · x− 1010 · x3 − 20 · x

2 · x2 − 4

62 · x− 6 Rest

− 12 · x2

2 · x2 + 62 · x− 10

︸︷︷︸− ︸︷︷︸−

︸︷︷︸−

︸︷︷︸−

Arbeitsblatt – Polynomdivision

Auf dem Arbeitsblatt – Polynomfunktionen behandeln wir die folgenden Fragen:

Was ist eine Polynomfunktion?

Was ist der Grad einer Polynomfunktion?

Was sagt der Fundamentalsatz der Algebra aus?

Wie kann man die Lösungen der Gleichung

x6 − 7 · x3 − 8 = 0

mit einer Substitution berechnen?

Wie kann man die Lösungen der Gleichung

42 · (x + 7) · (x2 − x− 6) · (x2 + 4 · x− 5) = 0

mit dem Produkt-Null-Satz berechnen?

Wie zerlegt man ein Polynom in Linearfaktoren?

8 · x3 − 38 · x2 + 23 · x + 42 = ·(

x−)·(

x−)·(

x−)

Wie kann die Zerlegung in Linearfaktoren beim Lösen von Polynomgleichungen helfen?

Arbeitsblatt – Polynomfunktionen

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5.1. Löse die gegebene Polynomgleichung über der Grundmenge R.

a) x44 − 3 · x43 − 10 · x42 = 0

b) 2 · x8 − 34 · x4 + 32 = 0

c) 3 · (x + 3)4 + 15 · (x + 3)2 − 108 = 0

d) x · (x2 − 2 · x− 15) · (x2 + 1)− 2 · (x2 − 2 · x− 15) · (x2 + 1) = 0

5.2. Führe die Polynomdivision durch.

a) (3 · x3 − 19 · x2 + 30 · x− 8) : (x− 4)

b) (−3 · x5 + 14 · x4 − 29 · x3 + 20 · x2 + 2 · x− 4) : (−x3 + 3 · x2 − 4 · x− 2)

c) (8 · x + 23 · x3 − 39 · x2 − 12 · x4 − 9) : (2 · x− 3 · x2 − 5)

5.3. Prüfe, dass die Polynomfunktion f mit

f(x) = 5 · x3 − 31 · x2 − 40 · x + 84

die Nullstellen −2 und 7 hat. Berechne die dritte Nullstelle, und schreibe die Gleichung von f alsProdukt von Linearfaktoren.

5.4. Prüfe, dass die Polynomfunktion f mit

f(x) = 12 · x4 − 19 · x3 − 192 · x2 − 71 · x + 30

die Nullstellen −3 und 5 hat. Berechne die anderen beiden Nullstellen, und schreibe die Gleichungvon f als Produkt von Linearfaktoren.

5.5. Über die 3 reellen Nullstellen x1, x2 und x3 der Polynomfunktion f mit

f(x) = x3 + b · x2 + c · x + 60 = (x− x1) · (x− x2) · (x− x3)

sind folgende Informationen bekannt:1) x2 ist eine natürliche Zahl. 2) x3 ist dreimal so groß wie x2. 3) x2

2 ist um 9 größer als x1.

Berechne die Koeffizienten b und c.

5.1a)L={−2,0,5}b)L={−2,−1,1,2}c)L={−5,−1}d)L={−3,2,5}5.2a)3·x2−7·x+2b)3·x2−5·x+2c)4·x2−5·x+3+−23·x+6

−3·x2+2·x−5

5.3x3=65f(x)=5·(x+2)·(x−7)·(x−6

5)5.4x3=−2

3,x4=14f(x)=12·(x+3)·(x−5)·(x+2

3)·(x−14)

5.5b=−3,c=−28

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6. Wurzelgleichungen

Auf dem Übungsblatt – Wurzelgleichungen behandeln wir die folgenden Fragen:

Warum ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung?

Welche Strategien gibt es zum Lösen von Wurzelgleichungen?

Übungsblatt – Wurzelgleichungen

6.1. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a)√

x− 6 = −2

b)√

7 · x + 2− 3 = 1

c) 6−√

1 + 3 · x = 11

d) x +√

8− 7 · x = 2

6.2. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) 3 ·√

2 · x− 11−√

27 · x− 135 = 0

b)√

x2 + 2 · x− 3 =√

2− 2 · x

c) 5 ·√

10− 2 · x− 4 ·√

16− 3 · x = 0

d)√

2 · x + 5 =√

8 · x + 9−√

2 · x6.3. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a)√

2 · x + 6 +√

3− 2 · x = 3

b)√

x + 1 +√

x− 6 =√

2 · x + 19

c)√

x + 6−√

x− 2 =√

x + 3

d)√

x + 24 +√

x− 8 =√

x + 34

6.4. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) x+10 ·√

x−24 = 0 b)√

2 · x− 5− 25√2 · x− 5

+24 = 0 c)√

x + 2+√

x− 4 =√

2 · x− 2

6.5. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a)√

a + x +√

b + x√a + x−

√b + x

= 5 (a > b > 0) b)√

4− x

x + 3 +√

x + 34− x

= 52

6.1a)L={}(Scheinlösung:x=10)b)L={2}c)L={}(Scheinlösung:x=8)d)L={1,−4}6.2a)L={}(Scheinlösung:x=4)b)L={−5,1}c)L={−3}d)L={2}6.3a)L={−3,3/2}b)x=15c)x=7/3d)x=26/3

6.4a)x=4b)x=3c)x=46.5a)x=1

5·(4·a−9·b)b)L={−8/5,13/5}

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7. Exponential- und Logarithmusgleichungen

Auf dem Übungsblatt – Exponential- und Logarithmusgleichungen behandeln wir die folgendenFragen:

Wie kann man Exponentialgleichungen, bei denen die gesuchte Variable nur in einem Exponentenauftritt, systematisch lösen?

Wie kann man Logarithmusgleichungen, bei denen die gesuchte Variable nur im Argument einesLogarithmus auftritt, systematisch lösen?

Wie können Faktorisierung und Substitution beim Lösen helfen?

Übungsblatt – Exponential- und Logarithmusgleichungen

Weitere Erklärungen und Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusfunktionen findest du . . .. . . im Kompetenzheft – Exponential- und Logarithmusfunktionen.. . . am Arbeitsblatt – Exponentialfunktionen.. . . am Arbeitsblatt – Logarithmusfunktionen.

Exponential- und Logarithmusfunktionen

7.1. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) 7x = 4 b) 3 · 42·x−1 − 2 = 46 c)e5·x + 3

4 = 2 d)−3

e2·x−3 − 8 = 5 e) 8x2−4·x+1 = 5

7.2. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) 2 · lg(4 · x + 2) = 3 b)ln(5 · x2 − 3 · x + 10)

8 = 1 c) log2(x4) = 40

7.3. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) 4x2−1 = 2x2+1 b) 7 · 2x+2 = 5 · 3x−1 − 4 · 2x c) ln [(9 · x + 8)2] = 3 · ln(3 · x + 4)

7.4. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

log4(x) + logx(4) = 103

7.5. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R. Tipp: Produkt-Null-Satz

a) lg3(2 · x + 16)− 4 · lg(2 · x + 16) = 0 b) 30x − 16 · 15x − 125 · 6

x + 1625 · 3

x = 0

7.1a)L={0,7124...}b)L={32}c)L={0,3218...}d)L={2,5007...}e)L={0,0573...,3,942...}

7.2a)L={7,405...}b)L={−24,07...,24,67...}c)L={−1024,1024}7.3a)L={−

√3,√

3}b)L={7,287...}c)L={−1,0}7.4L={

3√4,64}

7.5a)L={−1599200,−15

2,42}b)L={−2,4}

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8. Lineare Gleichungssysteme

8.1. Löse das gegebene Gleichungssystem.

a)

3 · x− 5 · y = 2

−4 · x + 3 · y = −10c)

2 · x− 3 · y = 5

−4 · x + 6 · y = −10

b)

−x + 7 · y = 12

2 · x + 5 · y = −5d)

−4 · x + y = 3

8 · x− 2 · y = 5

8.2. Für welche Werte von a und b hat das gegebene Gleichungssystem genau eine Lösung?

a)

3 · x + a · y = 7

−5 · x− 6 · y = bb)

3 · x + 2 · y = 18

a · x + b · y = 30c)

a · x + 5 · y = 40

b · x− 2 · y = 12

8.3. Für welche reellen Werte von a und b hat das gegebene Gleichungssystem . . .1) . . . keine Lösung? 2) . . . genau eine Lösung? 3) . . . unendlich viele Lösungen?

a)

3 · x− 4 · y = 5

a · x + 16 · y = b

b)

4 · x + a · y = 15

3 · x + 2 · y = b

c)

10 · x + a · y = 18

b · x + 4 · y = 12

d)

−12 · x + b · y = −3

a · x− 4 · y = 2

8.4. Löse das gegebene Gleichungssystem.

a)

1x− 1

y= 4

1x

+ 1z

= 61y− 1

z= 8

b)

x− y − z = 2 · a

x + y − z = 2 · b

x− y + z = 2 · c

c)

x + y

2 + z4 = 21

x + y3 + z

6 = 15

x + y4 + z

8 = 12

d)

x+3y−3 = 1y+2z−2 = 2z+1x−1 = 3

8.1a)(x|y)=(4|2)b)(x|y)=(−5|1)c)alle(x|y)∈R2mit2·x−3·y=5d)keineLösungen8.2a)a6=18

5,bbeliebigb)allePaare(a|b)mit2·a6=3·bc)allePaare(a|b)mit−2·a6=5·b8.3a)1)a=−12,b6=−202)a6=−12,bbeliebig3)a=−12,b=−20

b)1)a=83,b6=45

42)a6=83,bbeliebig3)a=8

3,b=454

c)1)alle(a|b)mita·b=40unda6=62)alle(a|b)mita·b6=403)a=6,b=203

d)1)alle(a|b)mita·b=48unda6=82)alle(a|b)mita·b6=483)a=8,b=68.4a)x=1/9,y=1/5,z=−1/3

b)x=b+c,y=b−a,z=c−ac)genaudieTupel(x|y|z)inderMengeL={(3|36−t/2|t):t∈R}DieLösungistalsoeineGerade.d)x=4,y=10,z=8

18

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9. Weitere nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme

9.1. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

x · (2 · x + 14) · (x2 + 8 · x + 15) = 0

9.2. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) x2 − 4 · x = 0b) x3 − 4 · x = 0

c) x3 + 4 · x = 0d) x3 + 4 · x2 = 0

e) x4 − 4 · x2 = 0f) x4 + 4 · x2 = 0

9.3. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) x4 − 13 · x2 + 36 = 0

b) 3 · x4 − 17 · x2 − 28 = 0

c) x6 + 28 · x3 + 27 = 0

d) x8 − 25 · x4 + 144 = 0

e) x2 − 144x2 = 7

f) x2 − 2 · x−( 15

x− 1

)2= 15

9.4. Ermittle die Null- und Extremstellen der Polynomfunktion f .

a) f(x) = x4 − 8 · x2 + 7b) f(x) = −x4 + 6 · x2 + 27

c) f(x) = x4 + 2 · x2 + 2d) f(x) = x6 − 26 · x3 − 27

9.5. Zeige, dass die Ungleichung für alle x ∈ R gilt. Für welche Werte von x gilt Gleichheit?

a) x2 + 1 ≥ 2 · x b)3√

x2 − 4 · x + 13≤ 1 c) −1

4 ≤ sin2(x)− sin(x) d) sin2(x)− sin(x) ≤ 2

9.6. Löse die gegebene Gleichung über der Grundmenge R.

a) x3 − 2 · x2 + 27 · (2− x) = 6 · x · (x− 2)

b) x2 · (x− 6)2 − 2 · x · (x− 6)− 35 = 0

c) 3 · (x2 − 8 · x + 21) = (x2 − 8 · x) · (x2 − 8 · x + 1)

9.7. Zerlege das Polynom in Linearfaktoren. Tipp: Suche nach ganzzahligen Nullstellen.

a) x2 − 6 · x− 91b) x3 + 3 · x2 + 2 · x

c) x4 − 10 · x3 + 35 · x2 − 50 · x + 24d) 2 · x4 − 3 · x3 − x2 + 3 · x− 1

9.8. Zerlege das Polynom in Linearfaktoren.

a) x2 − 3 · x− 40 b) 6 · x2 − x− 1 c) a2 − 3 · a · b− 40 · b2 d) 6 · a2 − a · b− b2

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9.9. Für welche x ∈ R gilt die Ungleichung?

a) (x− 2) · (x− 3) > 0b) x2 + 1 > 2 · xc) x2 + 2 > 2 · x

d) x3 + x > 2 · x2

e) x4 + 4 ≤ 5 · x2

f) x4 + x2 + 2 · x > 2 · x3 + 2

9.10. Wir wählen eine Zahl a ∈ ]0; 4].Betrachte die Funktion f : [0; 1]→ R mit f(x) = a · x · (1− x).

1) Erkläre, weshalb 0 ≤ f(x) ≤ 1 für alle x ∈ [0; 1].2) Für welche x ∈ [0; 1] gilt f(x) = x?3) Für welche x ∈ [0; 1] gilt f( f(x) ) = x? Tipp: Zwei Lösungen kennst du schon.

9.11. Löse das gegebene Gleichungssystem.

a)

x2 + y2 − 4 · x− 6 · y − 37 = 03 · x− y = 13

b)

4 · x2 − 3 · y2 = 882 · x− 3 · y = 4

c)

x2 + y2 + 2 · x + 4 · y − 80 = 0x2 + y2 − 12 · x− 24 · y + 130 = 0

d)

3 · x2 + 5 · y2 = 1929 · x2 − 4 · y2 = 405

e)

2 · x2 + 5 · y2 = 308x− 3 · y2 = 0

f)

x2 − y2 = 128x2 + y2 − 16 · x + 32 = 0

g)

x− y +√x− y = 6x3 − y3 = 19

h)

3√

x− 3√

y = 83√

x2 + 3√

y2 = 34

i)

5·xx+y

+√

x+y5·x = 2

x · y − (x + y) = 6

j)

x + y + x · y = 3x2 + y2 + x · y = 39

Die Lösungen der Gleichungen und Gleichungssysteme sind unten dargestellt.Ordne die 10 Gleichungssysteme a) – j) den 10 Bildern zu:

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9.12. Zeige, dass x0 eine Lösung der gegebenen Gleichung ist.Vereinfache anschließend den gegebenen Ausdruck für x0.

a) x3 + 3 · x− 14 = 0, x0 = 3√

7 + 5 ·√

2 + 3√

7− 5 ·√

2

b) x3 + 9 · x− 10 = 0, x0 = 3√

5 + 2 ·√

13 + 3√

5− 2 ·√

13

9.13. Seien a, b ∈ R. Unter welcher Bedingung an a und b gibt es Zahlen u, v ∈ R, sodass

u · v = −(

a

3

)3und u + v = −b?

Zeige: x0 = 3√

u + 3√

v ist Lösung der Gleichung x3 + a · x + b = 0. Es folgt die Cardanische Formel.

9.14. Seien v1, v2, . . . , vn ∈ R nicht alle null und w1, w2, . . . , wn ∈ R.In dieser Aufgabe interessieren wir uns für die folgende Funktion:

F : R→ R, F (x) =n∑

i=1(vi · x + wi)2

a) Erkläre mit wenigen Worten, weshalb . . .. . . F eine quadratische Funktion ist. Es gibt also a, b, c ∈ R mit a 6= 0, sodass F (x) = a · x2 + b · x + c.

. . . F keine negativen Werte annimmt.

. . . F einen kleinsten Wert annimmt.b) Zeige: Der Scheitel der Funktion F liegt an der Stelle

xS = −∑n

j=1 vj · wj∑nj=1 v2

j

.

c) Berechne den Scheitelwert yS = F (xS).d) Füge die Ergebnisse der vorigen Schritte zusammen, um folgende Ungleichung zu zeigen:( n∑

i=1vi · wi

)2≤( n∑

i=1v2

i

)·( n∑

i=1w2

i

)(1)

e) Weshalb gilt (1) auch, wenn alle vi = 0? Das ist die Ungleichung von Cauchy-Schwarz.

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9.1L={−7,−5,−3,0}9.2a)L={0,4}b)L={−2,0,2}c)L={0}d)L={−4,0}e)L={−2,0,2}f)L={0}9.3a)L={−3,−2,2,3}b)L={−

√7,√

7}c)L={−3,−1}d)L={−2,−

√3,√

3,2}e)L={−4,4}f)L={−4,6}9.4a)N={±

√7,±1},E={±2,0}b)N={±3},E={±

√3,0}

c)N=∅,E={0}d)N={−1,3},E={3√

13}9.5a)x=1

b)x=2c)x∈{

π6+k·2·π:k∈Z}∪{5·π

6+k·2·π:k∈Z}d)x∈{−

π2+k·2·π:k∈Z}

9.6a)L={−3,2,9}b)L={−1,1,5,7}c)L={−1,1,7,9}9.7a)(x−13)·(x+7)b)x·(x+2)·(x+1)c)(x−1)·(x−2)·(x−3)·(x−4)d)(x−1)2·(x+1)·(2·x−1)9.8a)(x−8)·(x+5)b)(2·x−1)·(3·x+1)

c)(a−8·b)·(a+5·b)d)(2·a−b)·(3·a+b)9.9a)x∈]−∞;2[∪]3;∞[b)x∈R\{1}c)x∈R

d)x∈]0;1[∪]1;∞[e)x∈[−2;−1]∪[1;2]f)x∈]−∞;−1[∪]1;∞[9.101)a,xund1−xsindnichtnegativ.Alsoistauchf(x)≥0.

DerScheitelvonfistanderStellex=0,5.Alsoistf(x)≤a0,52≤1.2)x=0undx=1−1/a

3)0und1−1/a.Fallsa>3,dannaußerdema+1±

√a2−2·a−3

2·a

9.11a){(3|−4),(7|8)}b){(5|2),(−7|−6)}c){(5|5),(1|7)}d){(7|3),(7|−3),(−7|3),(−7|−3)}e){(12|2),(12|−2)}f){(12|4),(12|−4)}g){(3/2|−5/2),(5/2|−3/2)}h){(27|−125),(125|−27)}i){(2|8),(−3/4,−3)}j){(−2|−5),(−5|−2),(3+2·

√3|3−2·

√3),(3−2·

√3,3+2·

√3)}

ObereReihe:c),g),a),f),e)UntereReihe:j),h),b),d),i)9.12a)x0=2b)x0=19.1327·b2+4·a3≥0

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