Korrektur Tutoratsaufgaben V

Leider hat sich in Aufgabenblock 2, 8. der Fehlerteufel eingeschlichen. Die Kontrastgewichte in der Tabelle sollten folgendermaßen aussehen:

Auto Motorrad Fahrrad Zubehör

1/3 1/3 1/3 -3

0 1 -1 0

Tutorat Statistik II im SS 09Kontraste & post-hoc-Tests

ch-langrock@t-online.de

Memo: einfaktorielle Varianzanalyse

Was fällt euch noch ein?

Memo- Instrument für den Mittelwertsvergleich- Vorteile gegenüber dem t-Test: Vergleich von mehr als zwei Gruppen

mit einem Test bei gleichzeitiger Vermeidung einer Alpha-Fehler-Kummulierung

- Beruht mathematisch auf eine Zerlegung der Varianz in Gesamt-, Gruppen- und Fehlervarianz

- Eine Vorstufe der Varianz stellen dabei die Quadratsummen dar- Der F-Test relativiert die durch die Gruppenzugehörigkeit erklärte

Varianz an der Fehlervarianz- Die Effektgröße einer ANOVA lässt sich über Eta² bestimmen, dass

die erklärte Varianz an der Gesamtvarianz relativiert

Thema: Kontraste & post-hoc-Tests

Gliederung

I. Funktion von Kontrasten & post-hoc-Tests

II. Interpretation wichtiger post-hoc-Tests

III. Berechnung von Kontrasten

I. Funktion von Kontrasten & post-hoc-Tests

ANOVA: unspezifischer „overall-Test“

o Wenn Femp > Fkrit wird die H0 verworfen und damit die H1 angenommen.

o Es gilt also: μi ≠ μj, für mindestens ein Paar i, j

o Allerdings ist damit noch unklar, welche Mittelwerte sich unterscheiden.

strukturell bildhaft emotional

M1=5 M2=10 M3=12

? ?

?

Kontraste oder post-hoc-Tests

Kontraste oder post-hoc-Tests?

F-Test: signifikant?

keine Vermutung über Gruppenunterschiede

Vermutung über Gruppenunterschiede

post-hoc-Tests

Tukey-HSD-Test Scheffe-Test

paarweiser Vergleich von Mittelwerten

Vergleich von Mittel-wertskombinationen

Kontraste; ersetzen auch den F-Test

II. Interpretation wichtiger post-hoc-Tests

Post-hoc-Tests

o Bei signifikantem F-Wert können wir im Nachhinein prüfen, welche Mittelwerte sich unterscheiden.

o Es gibt verschiedene Verfahren hierzu. Eine besonderes hohe Teststärke haben:- Tukey‘s HSD (Honestly Significant Differences)- Scheffé-Test

Post-hoc-Tests: Tukey´s HSD

o Tukey‘s HSD beruht auf dem Vergleich der Mittelwertsdifferenzen

o Ihr müsst den Test nicht rechnen können aber wissen, wie man eine SPSS Ausgabe interpretiert

Mehrfachvergleiche

Abhängige Variable: mem

Tukey-HSD

-5.0000* 1.12546 .002 -8.0026 -1.9974

-7.0000* 1.12546 .000 -10.0026 -3.9974

5.0000* 1.12546 .002 1.9974 8.0026

-2.0000 1.12546 .219 -5.0026 1.0026

7.0000* 1.12546 .000 3.9974 10.0026

2.0000 1.12546 .219 -1.0026 5.0026

(J) bed2.00

3.00

1.00

3.00

1.00

2.00

(I) bed1.00

2.00

3.00

MittlereDifferenz (I-J)

Standardfehler Signifikanz Untergrenze Obergrenze

95% Konfidenzintervall

Basiert auf beobachteten Mittelwerten.

Die mittlere Differenz ist auf der Stufe .050 signifikant.*.

Tukey´s HSD in SPSS

Post-hoc-Vergleiche: Scheffé-Test

o Auch der Scheffé-Test beruht auf Mittelwertsvergleichen

o Analog zu Tukey‘s HSD langt es, wenn ihr eine SPSS-Ausgabe interpretieren könnt

o Der Scheffé-Test hat eine geringere Power als Tukey‘s HSD

Der Scheffe-Test in SPSS

Mehrfachvergleiche

Abhängige Variable: mem

Scheffé

-5.0000* 1.12546 .003 -8.1373 -1.8627

-7.0000* 1.12546 .000 -10.1373 -3.8627

5.0000* 1.12546 .003 1.8627 8.1373

-2.0000 1.12546 .246 -5.1373 1.1373

7.0000* 1.12546 .000 3.8627 10.1373

2.0000 1.12546 .246 -1.1373 5.1373

(J) bed2.00

3.00

1.00

3.00

1.00

2.00

(I) bed1.00

2.00

3.00

MittlereDifferenz (I-J)

Standardfehler Signifikanz Untergrenze Obergrenze

95% Konfidenzintervall

Basiert auf beobachteten Mittelwerten.

Die mittlere Differenz ist auf der Stufe .050 signifikant.*.

III. Berechnung von Kontrasten

Kontraste

o Bestehen vor der Datenerhebung Hypothesen, welche Gruppenmittelwerte sich unterscheiden, werden Kontraste formuliert

o Im Gegensatz zu post-hoc-Tests, prüfen Kontraste nur die a priori vermuteten Mittelwertsdifferenzen auf Signifikanz

Man kann Kontraste daher als geplante Mittelwertsvergleiche bezeichnen

DefinitionDer Kontrast Ψ ist die gewichtete Summe von p Populationsmittelwerten μj, in welcher mindestens ein Gewicht cj ungleich Null ist.

p

jjjc

1

Nominklatur für die Stichprobe:

p

jjj yc

1

ˆ

Voraussetzung: Die Summe aller Gewichte muss null ergeben.

p

jjc

1

0

Kontrast-Berechnung1. Hypothesen aufstellen

Können im Gegensatz zu post-hoc-Tests auch gerichtet sein!

2. Kontrastgewichte cj formulieren

3. Voraussetzungen prüfen:– Ist Summe aller Gewichte = 0?

– sind Kontraste unabhängig?

4. Kontraste berechnen:

5. Signifikanzprüfung per t-Test

p

jjc

1

0

)Ψ( estvartdf

ˆ

p

jjj cc

121 0

p

jjj yc

1

ˆ

Kontrastgewichte (Kodierung)

Kontrast A B C D

1. A vs. B 1 -1 0 0

2. A,B vs. C,D 1/2 1/2 -1/2 -1/2

3. A,B,C vs. D 1/3 1/3 1/3 -1

Die Kontrastkodierung zeigt die Gewichte für die Mittelwerte:

Voraussetzung prüfen: Addieren sich die Gewichte in jeder Zeile zu null?

Unabhängigkeit

o Alle formulierten Kontraste müssen paarweise unabhängig sein.

o Nur bei unabhängigen Kontrasten wird eineα-Fehler Kumulierung verhindert.

o Zwei Kontraste sind unabhängig, wenn gilt:

p

jjj cc

121 0

Unabhängigkeit: Beispiel I

Die Unabhängigkeit muss paarweise überprüft werden:

1 und 2?

1 und 3?

2 und 3?

Kontrast A B C D

1. A vs. B 1 -1 0 0

2. A,B vs. C,D 1/2 1/2 -1/2 -1/2

3. A,B,C vs. D 1/3 1/3 1/3 -1

4

121 0

2

10

2

10

2

11

2

11

jjj cc

4

131 010

3

10

3

11

3

11

jjj cc

67.02

1

6

1

6

1

6

1

12

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

14

132

jjj cc

ok

ok

X

Unabhängigkeit: Beispiel II

Die Unabhängigkeit muss paarweise überprüft werden:

1 und 2?

1 und 3?

2 und 3?

Kontrast A B C D

1. A vs. B 1 -1 0 0

2. A,B vs. C,D 1/2 1/2 -1/2 -1/2

3. C vs. D 0 0 1 -1

4

121 0

2

10

2

10

2

11

2

11

jjj cc

4

131 010

3

10

3

11

3

11

jjj cc

012

11

2

10

2

10

2

14

132

jjj cc

ok

ok

ok

Berechnung der Kontraste

Kontrast 1: A vs. B

DCBA yyyy 00)1(1ˆ1

Kontrast 2: A & B vs. C & D

DCBA yyyy

2

1

2

1

2

1

2

1ˆ2

Kontrast 3: A & B & C vs. D

DCBA yyyy

1

3

1

3

1

3

1ˆ3

SignifikanzprüfungKontraste werden mit einem t-Test auf Signifikanz überprüft:

p

j j

jwithin n

cMSestvar

pNdf

mit

)Ψ( estvart

1

2

ˆ

:

ˆ

ˆ H0:Der Kontrast ist gleich 0, bzw. die Mittelwerte unterscheiden sich nicht.

H1:Der Kontrast ist ungleich Null, bzw. die Mittelwerte unterscheiden sich.

Analog zu den post-hoc-Tests müsst ihr Kontraste nicht von Hand berechnen sondern lediglich in SPSS mit ihnen arbeiten können.

Kontrast (Mittelwertsdifferenz)

Standardfehler des Kontrasts

Kontraste in SPSS

Ist dieser Kontrast signifikant?

Kommt darauf an, ob eine ungerichtete oder eine gerichtete Hypothese formuliert war…

Kontraste vs. post-hoc-Tests

Eine ANOVA sagt uns lediglich, ob sich mindestens zwei Gruppen unterscheidenUm herauszufinden welche dies sind, gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Post-hoc-Tests, falls vor der Datenerhebung keine Hypothesen bestehen (exploratives Vorgehen)

2. Kontraste, falls vor der Datenerhebung bereits Hypothesen bestanden (hypothesengeleitetes Vorgehen); Kontraste ersetzen auch den F-TestBezüglich der Power gilt: Kontraste > Tukey‘s > SchefféFür Freiburger gilt daher der Merksatz: KTS

Unterschiede

mögliche Anzahl = p-1

Leonhart (2008) S. 327

Mögliche und unabhängige Kontraste

Bei p Gruppen können p - 1 unabhängige Kontraste gebildet werden.

Rechenbeispiel Kontraste

Datensatz & Hypothesen

Hypothesen:a. Therapiemethoden wirken im Vergleich zur Kontrollgruppe.b. Psychotherapien wirken besser als medikamentöse Therapie.c. Es gibt einen Unterschied zwischen Psychotherapien.

Kontrast-Gewichte

ok

ok

ok

Unabhängigkeit

ok

ok

ok

Wie viele unabhängige Kontraste sind hier möglich?

p - 1 = 4 – 1 = 3

Kontrast-Errechnung

93,94,2118,123

111

3

16,10

3

1ˆ

A

24,2108,12)1(112

16,10

2

1ˆ

B

4,04,2108,12011)1(6,101ˆ C

Signifikanzprüfung

Welche Informationen benötigen wir noch?

N

n

MSwithin

tkrit

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!