Kreis - · PDF file1 Kreis Kreisabschnitt Kreissegment Kreisbogen Bezeichnung in einem Kreis:...

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1 Kreis Kreisabschnitt Kreissegment Kreisbogen Bezeichnung in einem Kreis: M= Mittelpunkt d= Durchmesser r= Radius k= Kreislinie Die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Punkt M (= Mittelpunkt) denselben Abstand r=(Radius) haben, ergeben einen Kreis. Der Durchmesser des Kreises hat die doppelte Länge des Radius: d = 2 r
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    07-Feb-2018
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    KreisKreisabschnittKreissegmentKreisbogen

    BezeichnungineinemKreis:M= Mittelpunktd= Durchmesserr= Radiusk= Kreislinie

    DieMengeallerPunkte,dievoneinembestimmtenPunktM(=Mittelpunkt)denselbenAbstandr=(Radius)haben,ergebeneinenKreis.

    DerDurchmesserdesKreiseshatdiedoppelteLngedesRadius:d=2r

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    UmfangeinesKreisesHerleitungderFormel:Wiruntersuchen,obeseinenZusammenhangzwischendemKreisumfangunddemDurchmessereinesKreisesgibt.VoneinemZylindermessenwirunszuerstmiteinemMabanddenUmfangab.DieseristzugleichauchderUmfangunseresKreises.(=gelbeKreislinieinunsererSkizze).

    DieQuerschnittsflcheeinesZylindersistein

    NehmenwireinenDurchmesservond=1m,dannistderUmfang3,14159m.Istd=10m,sohabenwireinenUmfangvon31,4159m.Istd=100m,sohabenwireinenUmfangvon314,159m.

    DasBedeutet:dasVerhltnisistimmer1:3,14159.

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    bungsaufgabena)MessedenDurchmesserundberechnedenUmfang

    b)UmeinekreisfrmigeRasenflcheeinzufassenbrauchtman376Pflastersteine(10x10cm)

    c)EinRadlegtbei60UmdrehungeneineStreckevon75,4mzurck.

    37610cm=3760cm=UmfangRasenflcheU=d |:U:=d3760cm:=1196,8461cmistderDurchmesser

    d=25,75mm

    U=dU=25,75mmU=80,895mm

    EineUmdrehung=UmfangdesRadesEineUmdrehung=75,4m:60=1,2566mU=d |:U:=d1,2566m:=0,40mDurchmesser(=40cm)

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    DieZahlPiDieZahlPi Wirwissenbereits,dassmanimmerdenselbenWerterhlt,wennmandenUmfangdurchdenDurchmessereinesKreisesdividiert.DieserWertliegtinetwabei3,14undwirdalsKreiszahlbezeichnet. DieZahl[sprich:pi]isteineirrationaleZahl(einenichtperiodischeDezimalzahlmitunendlichvielenDezimalstellen). =3,141592653...

    GeschichtlichesberdieZahlPi EsgibtwohlkaumeineZahl,diedieMenschheitmehrbeschftigthat,alsdieKreiszahlPi. Archimedesgelangesbereitsum250v.Chr.mitHilfedeseinundumgeschriebenen96EcksdieZahlPiabzuschtzen. Erst1766konnteJohannHeinrichLambertbeweisen,dassPieineirrationaleZahlist. HeuteistdieZahlPivonSupercomputernaufmehrereBillionenDezimalstellengenaudefiniert.

    NherungsweiseHerleitungderZahlPi WirkonstruiereneinenKreismitdemRadiusr=5cm.Diesemwirdz.B.einregelmiges6Eckumgeschriebenundengeschrieben. VerbindetmanalleEckpunktemitdemMittelpunktM,soentsteheninjedem6Eckjeweils6gleichseitigeDreiecke.

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    KreisflcheStelltEuchvor:WirzerschneidendieKreisflcheinSektoren.HierimBeispielsindes16Sektoren.DannnehmenwirdieSektorenundlegensienebeneinander.EinenSektorhalbierenwirundlegendiesebeidenTeileandenAnfangundEndederAufreihung.

    JetzthabenwirfasteinRechteck!UnddasknnenwirmitA=abeinfachberechnen.

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    DieBreitedesRechtecksentsprichtungefhrdemRadiusdesKreises:

    DieLngedesRechtecksentsprichtungefhrdemhalbenUmfangdesKreises:

    DieUmfangsformelkennenwirbereits:

    WirsetzendiesestattdemuindieFormelein:DadieZahl2sowohlimZhleralsauchimNennervorkommt,kannmandiesewegkrzen:

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    KreissektorInunsererSkizzewurdenineinemKreiszweiRadienanbeliebigenStelleneingezeichnet.DiesebeidenRadienundderKreisbogenzwischendenRadienschlieeneinenAusschnittdesKreisesein,deshalbwirddieserTeilauchalsKreisausschnittoderKreissektorbezeichnet.GenaugenommenschlieendiebeidenRadiennichtnurdendunkelblaumarkiertenKreissektor,

    b=KreisbogenHerleitungderFormelKreissektorAusdemvorherigenKapitelkennenwirbereitsdieFormelzurBerechnungdesKreisumfangs(Zentriwinkel=360):

    DerKreisumfangentsprichtderBogenlngeeinesKreissektorsmitdemZentriwinkel360.MchtemansichnundieBogenlngebeieinemZentriwinkelvon1ausrechnen,somussmandieFormeldurch360dividieren:

    MchtemandieBogenlngebeieinemZentriwinkelvonz.B.75ausrechnen,somussmandieFormelnochmit75multiplizieren.Wirnehmenallerdingsstatt75einenallgemeinenWert,nmlichalsomalAlpha:

    Mankannwiederkrzen.

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    HerleitungderFormel:AusdemvorherigenKapitelkennenwirbereitsdieFormelzurBerechnungdesFlcheninhaltesdesgesamtenKreises(Kreisflche):

    EinganzerKreisentstehtdann,wennderZentriwinkeleineGrevon360hat.BeimBerechnenderKreisflcheberechnetmanalsodenFlcheninhalteinesKreissektorsmitdemZentriwinkel360.MchtemansichnundenFlcheninhalteinesKreisausschnittsmiteinemZentriwinkelvon1ausrechnen,somussmandieFormeldurch360dividieren:

    MchtemandieFlcheeinesKreisausschnittsmiteinemZentriwinkelvonz.B.62ausrechnen,somussmandieFormelnochmit62multiplizieren.Wirnehmenallerdingsstatt62einenallgemeinenWert,nmlichaalsomalAlpha:

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    Kreisring

    M =MittelpunktbeiderKreiser1 =RadiusdesgrerenKreisesr2 =RadiusdeskleinerenKreisesb =BreitedesKreisringes

    FlcheeinesKreisringes

    DarausergibtsichdieFormel:

    InjederderbeidenFlchenformelnkommt vor,deshalbbietetessichan, herauszuheben,umdieFormeleleganterundkrzerzugestalten.

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    KreissegmentEinKreisabschnittentstehtdurcheineKreissehne.Sieverbindet2beliebigePunkteaufderKreisliniemiteinander.

    UmgangssprachlichgesagtwirddemKreisquasieinTeilabgeschnitten.DieserTeilbestehtausdemKreisbogenundderKreissehneundistinunsererSkizzefrbiggekennzeichnet.

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    Jetztwirdsrichtigkompliziert!!!

    ""derWinkelamMittelpunkt(SieheGrafik)"b"istdieLngedesKreisbogensvonAnachB"h"istdieHhedesSegments"r"istderRadiusdesKreises"s"istdieLngederKreissehneDarberhinausgibtnocheinigeweitereBezeichnungen.Dabeiist"A"dieFlchedesgrneingezeichnetenBereichs.Das"M"stehtfrdenMittelpunktdesKreises.ZurbesserenbersichtwurdenzudemnochdiePunkte"A"und"B"eingefhrt,welchedieEndendesKreisbogensbezeichnen.

    KreissegmentFormelnundBeispielAlsnchstessehenwirunsdieFormelnzumKreissegmentbzw.Kreisabschnittan.MitdenfolgendenFormelnkannmanBerechnungenhierfranstellen.

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    Beispiel:DieFlcheeinesKreisabschnittssollberechnetwerden.DabeigeltenfolgendeAngaben:h=2cm,s=6cmundb=9cm.WiegroistdieFlchedesKreisabschnitts?DieLsunglautet:

    erstnochmalzurAnschauung:

    WelcheFormelmssenwirnehmen?Washabenwir?....mitgrnkennzeichnen!!

    alserstesstellenwirfest:rfehlt!AlsozuerstdenRadiusausrechnen.

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