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Kriterien für PermanenzReplikator-Netzwerke

Kriterien für Permanenz -Replikator-Netzwerke

Eliseu Radecke

20. Dezember 2011

Spieltheorie Kriterien für Permanenz - Replikator-Netzwerke


Gliederung

1 Kriterien für PermanenzPermanenz für die Replikator-GleichungenNotwendige Bedingungen für PermanenzHinreichende Bedingungen für Permanenz

2 Replikator-NetzwerkeEin periodischer Attraktor für n = 4Permanenz und IrreduzibilitätPermanenz für katalytische Netzwerke



Permanenz für die Replikator-GleichungenNotwendige Bedingungen für PermanenzHinreichende Bedingungen für Permanenz

Gliederung






Gleichungen

Die Replikator-Gleichung lautet

xi = xi(fi(x)− f ), auf Sn, (1)

wobei f (x) =∑n

j=1 xj fj(x).

In der Ökologie tauchen Gleichungen der Form

xi = xi(fi(x)), auf Rn+ (2)

auf.

Überleben alle Spezies dieser Systeme für jedes t > 0?




Das System (1) heißt permanent, wenn ein KompaktumK ⊂ int(Sn) gibt, für das gilt: jeder Orbit in Sn endet in K .Genauer: Falls xi(0) > 0,

∃δ > 0 : lim inft→∞

xi(t) > δ, i = 1, ...,n .

Für (2) wird noch verlangt: Falls x ∈ int(Rn+),

∃D > 0 : lim supt→∞

xi(t) ≤ D, i = 1, ...,n .

So heißen ihre Orbits gleichmäßig beschränkt.Die Permanenz von (1) wurde bewiesen. Derselbe Beweisgilt für (2), falls gleichmäßige Beschränktheit vorliegt.




Brouwerscher Abbildungsgrad

Sei U ⊂ Rn offen und beschränkt, f ein Vektorfeld auf einerUmgebung von U.

x ∈ U ist regulär, falls det Dxf 6= 0.y ∈ Rn ist ein regulärer Wert, falls alle x ∈ U mit f(x) = yregulär sind.

DefinitionDer Brouwersche Abbildungsgrad von f zu einem regulärenWert y ∈ Rn \ f(∂U) ist definiert als

deg(f,y) :=∑

f(x)=y

sgn det Dxf .




Die Nullstellen von f sind die stationären Punkte desSystems x = f(x). Wir definieren den Grad der Abbildungf als deg(f,0).

Seien f, g : U → Rn zwei Abbildungen, jede mit Grad 6= 0auf dem Rand ∂U. Falls f und g auf ∂U nicht inentgegengesetzten Richtungen zeigen, so gilt

deg(f,0) = deg(g,0).




Satz(Fixpunktsatz von Brouwer) Jede stetige Abbildung h von dern-dimensionalen Einheitskugel

D = {x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ 1}

in sich selbst besitzt mindestens einen Fixpunkt, d.h.

∃x ∈ D : h(x) = x.

Beweis.Siehe Anhang.




Poincaré-Index

DefinitionSei x ein isolierter stationärer Punkt vom System x = f(x). DerPoincaré-Index von x bzgl. des Vektorfeldes f ist definiert als

i(x) = deg(f,0).

Folgerung

Ist x regulär, so entspricht i(x) dem Vorzeichen von det Dxf.Also gilt

i(x) = (−1)σ ,

wobei σ die Anzahl von negativen Eigenwerten bezeichnet.

Beispiel:i(Quelle) = 1, i(Senke) = 1, i(Sattelpunkt) = −1.




Satz(Poincaré-Hopf) Sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Randund f ein Vektorfeld auf M, das auf dem Rand nach aussenzeigt. Falls f nur endlich viele Fixpunkte besitzt, dann gilt dieBeziehung ∑

x∈FP

i(x) = χ(M) ,

wobei FP die Menge aller Fixpunkte in M und χ dieEuler-Charakteristik bezeichnet.

Die Euler-Charakteristik ist eine Verallgemeinerung deseulerschen Polyedersatz E − K + F = 2. Es giltχ(Kreis) = 1 ,

χ(Sphäre)= 2.




Beispiel: Sei B ⊂ R2 der Einheitskreis und f ein Vektorfeld, sodass gilt:

1) Es entsteht eine geschlossene Trajektorie γ und f ist überallauf int(γ) definiert.2) Auf der geschlossenen Trajektorie γ zeigt f nach aussen.

Dann folgt mit dem Satz von Poincaré-Hopf, dass esmindestens einen kritischen Punkt in int(γ) gibt:∑

x∈FP

i(x) = χ(B) = 1.

Wenn alle kritischen Punkte regulär sind, dann muss ihreAnzahl ungerade sein, 2n + 1, und davon müssen genau nSattelpunkte sein.




Ein Index-Satz für permanente Systeme

Satz

Sei U eine beschränkte Menge mit U ⊆ int(Rn+), die alle

ω-Limesmengen und ihre Inneren enthält, und sei g einVektorfeld auf einer Umgebung von U. Falls das System

xi = xi(fi(x)), auf Rn+

permanent ist, dann gilt

deg(g,0) = (−1)n .

Insbesondere existiert ein stationärer Punkt in int(Rn+).




Gesättigter stationärer Punkt

DefinitionEin stationärer Punkt p von

xi = xi(fi(x)) , ( bzw. xi = xi(fi(x)− f ) )

heißt gesättigt, wenn aus pi = 0

fi(p) ≤ 0 , ( bzw. fi(p) ≤ f (p) )

folgt.

Jeder innere stationäre Punkt ist gesättigt.




SatzDie Replikator-Gleichung

xi = xi(fi(x)− f )

besitzt mindestens einen gesättigten stationären Punkt. Fallsalle gesättigten stationären Punkte regulär sind, so beträgt dieSumme ihrer Indizes (−1)n−1.

Bem. Bei der speziellen Replikator-Gleichung

xi = xi((Ax)i − xAx)

ist der stationäre Punkt p gesättigt, falls aus pi = 0,(Ap)i ≤ p · Ap folgt. Somit enspricht p dem symmetrischenNash-Gleichgewicht für das Spiel mit einer Payoff-Matrix A :

x · Ap ≤ p · Ap, ∀x ∈ Sn.




DefinitionDie Replikator-Gleichung

xi = xi(fi(x)− f ), auf Sn (3)

heißt stark persistent, wenn es trotz kleiner Störungen in fipermanent bleibt.

Satz1) Wenn das System (3) stark persistent ist, dann besitzt eseinen inneren stationären Punkt.

2) Sei U eine offene Menge, U ⊆ int(Sn), die alle innerenstationären Punkte enthält. Dann beträgt der Grad desVektorfeldes

(−1)n−1 .




Gliederung






Wir betrachten zunächst die spezielle Replikator-Gleichung

xi = xi((Ax)i − xAx), auf Sn (4)

bzw. die Lotka-Volterra-Gleichung

xi = xi(ri + (Ax)i), auf Rn+. (5)

SatzWenn das System (4) oder (5) permanent ist, dann existiertgenau ein innerer stationäre Punkt p. Ferner gilt für jedes x ausdem Inneren des Zustandsraums

limT→∞

1T

T∫0

x(t)dt = p .




Satz1) Wenn (5) permanent ist, dann gilt

(−1)n det(D) > 0 ,tr(D) > 0 ,

(−1)n det(A) > 0 ,

hierbei bezeichnet D die zugehörige Jacobi-Matrix an deminneren stationären Punkt p.2) Wenn (4) mit aii = 0 und innerem stationären Punkt p,permanent ist, dann gilt

p · Ap > 0

sowie(−1)n−1 det A > 0.




Gliederung






SatzDas Replikator-System (4) ist permanent, wenn es einen Punkty ∈ int(Sn) gibt, so dass

y · Ax > x · Ax

für alle stationären Punkte x ∈ ∂Sn gilt.

Bem. Es sei hier betont, dass auf ∂Sn nur stationäre Punktevorkommen dürfen (keine ω−Limesmenge).




SatzMan betrachtet das Lotka-Volterra-System

xi = xi(ri + (Ax)i), auf Rn+

mit gleichmäßig beschränkten Orbits:

∃k > 0 : lim supt→∞

xi(t) ≤ k .

Wenn die Menge

D ={

x ∈ Rn+ : r + Ax ≤ 0

}und die konvexe Hülle C von allen Fixpunkten im Rand desZustandsraums disjunkt sind, so ist dieses System permanent.




Beispiel: Das Lotka-Volterra-System mit n = 2. Existiertein stationärer Punkt im Inneren des Zustandsraums, sosind für dieses System zwei Arten von Verhältnissenmöglich:

1 globale Stabilität (und somit Permanenz): falls der innerestationäre Punkt oberhalb der Geraden, die durch beideein-speziesche stationäre Punkte läuft, liegt.

2 Bistabilität (eine Spezies stirbt aus): falls der innerestationäre Punkt unterhalb der Geraden liegt.



Ein periodischer Attraktor für n = 4Permanenz und IrreduzibilitätPermanenz für katalytische Netzwerke

Gliederung






Für n = 2 besitzt das Lotka-Volterra-System keineω-Limesmenge. Wie sieht es aus für n = 3?Erinnerung: Der n-speziesche Replikator

xi = xi((Ax)i − x · Ax) , auf Sn (6)

ist äquivalent zu dem (n − 1)-spezieschen LV-System.Wir zeigen für n = 4, dass (6) eine ω-Limesmenge besitzt.Dafür benutzen wir die Matrix

A =

0 0 −µ 11 0 0 −µ−µ 1 0 00 −µ 1 0

.

Ein kritischer Punkt von (6) ist m = (14 ,

14 ,

14 ,

14).




Die Jacobi-Matrix D aus (6) ist zyklisch. Ihre erste Zeilelautet

−1 + µ

8,−1 + µ

8,−1− µ

8,

1 + µ

8.

Ihre Eigenwerte lauten

γ0 =−1 + µ

4, γ1 =

µ− i4

, γ2 =−1− µ

4, γ3 =

µ+ i4

.

Zu γ0 gehört der Eigenvektor 1, orthogonal zu S4. Da unsdie Einschränkung von (6) auf S4 interessiert, werden wirdiesen Eigenwert nicht mehr betrachten.

Wenn µ von −12 bis 1

2 variiert, so wird γ2 negativ, währendγ1 und γ3 von links nach rechts die imaginäre Achse beiµ = 0 überqueren.




Für µ < 0 ist der stationäre Punkt m eine Senke und fürµ < 0 ist er instabil. Für µ = 0 beschreibt die Matrix A denHyperzyklus (n = 4) mit m assymptotisch stabil.

Alle Bedingungen für Hopf-Bifurkationen sind erfüllt: Esgibt einen periodischen Attraktor in einer Umgebung von m.

Abbildung: Der Replikator (6) besitzt einen Attraktor für n = 4.Quelle: [EVO] S.172




Gliederung






Wir assoziieren die Replikator-Gleichung

xi = xi((Ax)i − x · Ax) , auf Sn, aij ≥ 0, ∀i , jmit einem direkten Graphen, dessen Knoten den Indizes ientsprechen: ein Pfeil von i nach j bedeutet aij > 0.

Abbildung: Matrix A mit entsprechendem direkten Graph.

Ein direkter Graph heißt irreduzibel, falls zu jedem Knoten-paar (i , j) einen orientierten Pfad gibt, der sie verbindet.




SatzFalls der Replikator (6) mit aij ≥ 0 permanent ist, dann ist seinGraph irreduzibel.

Die Hyperzyklus-Gleichung mit

A =

0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

entspricht tatsächlich einem irreduziblen Graphen.




Gliederung






Die Replikator-Gleichung (6) mit aij ≥ 0 und aij = 0 heißtkatalytisches Netzwerk. Hyperzyklen sind einfacheBeispiele davon.

Ein direkter Graph heißt hamiltonisch, falls er einen Pfadbesitzt, der durch alle Knoten genau einmal durchläuft.

Satz1) Für n ≤ 5 ist der Graph eines permanenten katalytischenNetzwerkes hamiltonisch.

2) Ein katalytisches Netzwerk für n = 4 ist genau dannpermanent, wenn es einen inneren stationären Punkt gibt undzusätzlich det(A) < 0 gilt.




Anhang

Satz(Brouwerscher Fixpunktsatz) Jede stetige Abbildung h von dern-dimensionalen Einheitskugel in sich selbst besitztmindestens einen Fixpunkt.

Beweis.Angenommen, h(x) 6= x für alle x ∈ D, so zeigt das Vektorfeldf(x) := h(x)− x für jedes x ∈ ∂D nach innen. Da f undg(x) := −x nie in entgegengesetzte Richtungen zeigen, giltdeg(f,0) = deg(g,0) = (−1)n 6= 0, aber dann gibt es ein x ∈ Dmit f(x) = 0. Widerspruch zur Annahme.




Literatur

[EVO] Josef Hofbauer and Karl Sigmund: EvolutionaryGames and Population Dynamics, Cambridge.


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