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l ber die partiellen Differenzengleiehungen der mathematisehen Physik.

Won

R. Courant, K. Friedrichs und H. Lewy in Gfttingen~

Ersetzt man bei den klassischen linearen Differentialgleichungs- problemen der mathematischen Physik die Differentialquotienten dutch Dif[erenzenquotienten in einem -- etwa reehtwinklig angenommenen -- Gitter, so gelangt man zu algebraischen Problemen yon sehr dureh- sichtiger Struktur. Die vorliegende Arbeit untersueht nach emer elemen- taren Diskussion dieser algebraischen Probleme vor allem die Frage, wie sieh die LSsungen verhalten, wenn man die Maschen des Gitters gegen Null streben l~l~t. Dabei beschr~tnken wit uns vielfach auf die einfachsten, aber typischen F~lle, die wir derart behandeln, da6 die Anwendbarkeit der Methoden auf allgemeinere Differenzengleiehungen und solehe mit beliebig vielen unabh~ngigen Ver~nderlichen deutlich wird.

Entspreehend den fiir Dif[erentialgleichungen gel~ufigen Fragestellungen behandeln wir Randwert- und Eigenwertprobleme fiir eliiptisehe Diffe- renzengleiehungen und das Anfangswertproblem fiir hyperbolische bzw. parabolischr Differenzengleichungen. Wir werden an einigen ~ipische~ Beispielen beweisen, da6 der Grenziibergang stets m/Aglich ist, n ~ c h dal~ die L6sungen der Differenzengleichungen gegen die L6sungen der entsprechenden Differentialgleichungsprobleme konvergieren; ja wit werden sogar erkennen, da6 bei elliptischen Gleichungen i .a . die Differenzen- quo~ienten beliebig hoher Ordnung gegen die entsprechenden Differential- quotienten streben. Die L6sbarkeit der Digerentialgleichungsprobleme setzen wit n~rgencls voraus; vielmehr erhalten wir dutch den Grenziiber- gang hierfiir einen einfachen Beweisl). W~hrend abet beim elliptisehen

~) Unsere Beweismethode l ~ t sich ohne Schwierigkeit so erweitem, da6 sie bei beliebigen linearen ellip~chen Differen,tm~gleichungen das Rand- und E~enwertproblem und bei beliebigen linearen hyperbolischen Differentialg!eichungen das Anfangswert- problem zu l~sen ges ta l t .

R. Courant, K. Friedrichs u. H. Lewy. Partielle Differenzengleiehungen der Physik. 33

Falle einfache und weitgehend yon der Wahl des Gitters unabt~ngige Konvergenzverh~l~nisse herrschen, werden wit bei dem Anfangswertproblem hyperbolischer Gleichungen erkennen, da/~ die Konvergenz allgemein nur dann vorhanden ist, wenn die Verhglmisse der Gittermaschen in verschiedenen Richtungen gewissen Ungleiehungen geniigen, die dutch die Lage der Charakteristiken zum Gitter bestimmt werden.

Das typische BeispieI ist fiir uns im elliptisehen Falle das Rand- wertpcoblem der Potentialtheorie. Seine LSsung yon dec LSsung des entspceehenden Dif[erenzengleiehungsproblems her ist iibcigens in den letzten Jahren mehrfach behandelt worden ~). Allerdings wecden dabei im Gegensatz zu der vocliegenden Arbeit meist spezielle Eigenschaften der Potentialgteichung benuezt, so dal~ die Anwendbarkei~ dec Methode auf andece Probleme nicht ohne weiteres zu iibersehen ist.

Abgesehen yon dem gekennzeichneten Hauptziel dec Acbeit werden wic im Ansehlul~ an die elementare algebcaisehe Diskussion des Rand- wertpcoblems elliptischec Gleichungen dessen Zusammenhang mit dem aus der Statistik bekannten Probleme der Irrwege ecSrtern.

L Der elliptisehe Fall.

w

Vorbemerkungen.

1. Definitionen.

Wir betraehten zun~hst in der Ebene mit den reehtwinkligen Koor- dinaten x, y ein quadratisches Punktgitter der Maschenweite h > O, etwa alh Punkte mit den Koordinaten x = n h , y = m h ,

m, n ~ O, + l , ___ 2, . . . .

~) J. le Roux, Sur le probl6me de Diriehlet, Journ. de math~m, pur. et appL (6) 10 (1914), p. 189. R .G.D. Richardson, A new method in boundary problems for differential equations, Transactions of the Americ. Mathem. Soc. 18 (1917), p. 489ff. H. B. Philips and N. Wiener, Nets and the Dirichlet Problem, PubL of-the Mass. In- stitute of Technology (1925).

Leider waren diese Abhandlungen dem ersten der drei Verfasser bei der Ab- fassung seiner Note ,Zur Theorie der paxt~ellen Differenzengleiohungen", GStt. Nachr. 23. X. 1925, an welche die vorliegende Arbeit anschliel~t, entg~,ngen.

Vgl. ferner: L. Lnsternik, Uber einige Anwendungen dex direkten Methoden in der Variationsrectmung, Reeuefl de la Soci6t6 Math6m. de .Moscou, 1926. G. Bouligand, Sur le probl6me de Dirichlet, Ann. de la see. polon, de math6m. 4, Krakau 1926.

Uber die Bedeutung des Differenzenans~zes und iiber weitere aie verwendende Arbeiten vgL R. Courant, Uber direkte Methoden in der Variationsreehnung, Mat~ Annaten 97, S. 711 und die deft angegebene Literatur.

Mathematische Annalen. I00. 3

34 R. Courant, K. Friedrichs und H. Lewy.

Es sei G ein Gebiet der Ebene, begrenzt von einer stetigen, doppeI- punktfreien geschlossenen Kurve. Dann soil das zugehSr ige- bei geniigend kleiner Maschenweite eindeutig bestimm~e - - Gittergebiet G h aus allen denjenigen Gitterpunkten bestehen, welche in G liegen trod ~ sich von einem festen vorgegebenen Gitterpunkt aus G dutch eine zusammen- h~ingende Kette yon Gitterpunk%en verbinden lassen. Wir nennen zusammen- h~i~gende Kette yon GiSterpunkten eine Folge solcher PunkCe, bei der jeder Punkt einer der vier :Nachbarpunkte des folgenden ist. Als Rand- punkt von Ga bezeichnen wit einen solchen, dessen vier Nachbarpunkte nicht alle zu G h gehSren. Alle anderen Punkte von G~ nennen wir innere Punkte.

Wit betrachten Funktionen u, v, . . . des Ortes im Gitter, d.h. Funk- tionen, welche nut far die Gitterpnnlc~ definiert sind. Wit bezeiehnen sie auch mit u ( x , y ) , v ( x , y ) , . . . . Fiir ihre vorderen und hinteren Dif~erenzenquotienten verwenden wit die folgenden Abkiirzungen:

1--(u(x -~ h, y ) - - u(x , y ) ) = u x , h

1-(u(x, y ) - u(x - h, y ) ) = h

~(u(x , y ~ h) -- u(x , y)) ~- u~,

Entsprechend bilden wir Differenzenquotienten hSherer Ordnung, z.B.

(ux~ =u:~. --~ u ~ = ~ ( u ( x + h, y) -- 2u(x , y) + u(x -- h, y))

USW.

2. Differenzenausdriicke and Greensche Umformungen.

Zu der einfachsten allgemeinen Ubersicht iiber lineare Differenzen- ausdriicke zweiter Ordnung-gelangen wit nach dem Muster der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, indem wit aus zwei Funktionen u und v und ihren vorderen Diflerenzenquotienten einen bilinearen Ausdruck

B(u , v ) = au~v x ~ bu~vy-{- cuyvx--}--du,jvy .-]- t~u~v ~ fluyv-l--Tuv~ ~uvy ~ guy

bilden, wobei

a ~ - a ( x , y ) , . . . , ec~--.a(x,y), . . . , g = g ( x , y )

Funkr im Gitter sind. Aus dem BiIinearausdruck erster Ordnung leiden wit einen Differenzen-

ausdruck zweiter Ordnung in folgender Weise ab: Wit bilden die Summe

:Z•B(u, Gk

iiber alle Ptmkte eines Gebietes Ga im Gitter, wobei in B(u, v) fiir die Di~erenzenquo~ienten zwisehen einem Randpunkte und einem nicht zu G~

Partielle Differenzengleichungen der Physik. 35

gehSrigen Punkte Null zu setzen ist. Die Summe formen wit nun dureh partielle Summation um (d. h. wit ordnen naeh v), und zerspalten sie in eine Summe fiber die Menge der inneren Punkte G~ und eine Summe fiber die Menge der Randpunkte F h. Wit erhalten so:

(1) h : . , ~ . , ~ B ( u , v ) = - - h : , ~ Z v Z ( u ) - - h . Z v ~ ( u ) . a~ a~ rk

L(u) ist der fiir alle irmeren Punkte yon G h definierte lineare ,Diffe- renzenausdruck zweiter 0rdnung":

- ~u~ - ~u~, + (~,u)~ + (~u~ - gu.

~ ( u ) ist fiir jeden Randpunkt ein linearer Differenzenausdruck, dessen genaue Gestalt wit bier nicht angeben.

Ordnet man . ~ Z B (u, v) nach u, so erh~lt man Gh

(2) h e ~ Z B ( u , v ) = - - h e Z Z u M ( v ) - - h ' Z u ~ ( v ) .

M(v) heil]t der ~u L(u) adjungierte Differenzenausdruck; er lautet:

i ( v ) --- (a%)~ + (bvy)~ + ( c v ~ + (dvy)y

+ ( ,~ , )~ + ( Z v ~ - ~,~,~ - ~v, , - g~, ,

w~hrend ~ ( v ) ein ~ ( u ) entsprechender Differenzenausdruck ffir den Rand ist.

Die Formeln (1), (2) und die aus ihnen folgende FormeI

(3) h ~ , ~ . ~ ( v L ( u ) - - u M ( v ) ) + h Z ( v ~ ( u ) _ u ~ ( v ) ) = O a~ r~

nennen wit die Greenschen Formeln. Der einfachste und wichtigste Fall ergibt sich, wenn die Bflinearform

symmetriseh ist, d. h. wenn die Gleichungen b ~ c, a ~- 7, fl ~- 5 bestehen. In diesem Falle stimmt der Ausdmck L(u) mit seinem adjungierten M(u) iiberein; wit nennen ihn deshalb selbstadjungiert, under ist schon aus dem quadratischen Ausdruck

B (u, u) -- au~.-~ 2bu~u~ + du~ + 2au~ u + 2fl u~u -~ gu ~ ableitbar.

Wit beschr~inken uns im folgenden meist auf Ausdrficke L(u), die sich selbst adjungiert sind. Der Charakter des Differenzenausdruckes L (u) h~ngt vor allem yon der Natur derjenigen Glieder aus der quad2atischen Form B (u, u) ab, die in den ersten Differenzenquotienten quadratisch sin& Wit nennen diesen Teil yon B(u, u) die chaxakterisgische Form:

P(u . u) -~au~ + 2bu~u,, + du2: 3"

36 R. Couraut, K. Friedrichs und H. Lewy.

Je nachdem nun P ( u , u ) in den Differenzenquotienten (positiv)deflnit oder indefmit ist, ne_nnen wit den zugehSrigen Differenzenausclruck L (u ) elliptisch oder hyperbolisch.

Dez Differenzenausdraek u ~ u,~-~ + uu9,

mit dem wit uns vorzugsweise in den folgenden Paragraphen beschMtigen werden, ist elliptisch. Er entsteht n~mlieh aus dem quad~atischen Ausdruek

B(u,u)=u +u bzw. y x, y "

Die zugehSrigen Greenschen Formeha lauten also:

(4) h ~ Z ~ : (u~ + u~) = - - h ' Z Z u A u - - h . Z u ~ ( u ) , 8) ok a~ ra

(5) h : 2 Z ( v A u - - u A v ) + h . Z ( v ~ ( u ) - - u ~ ( v ) ) - - O .

Der Differenzenausdmck A u ~ u:-~ -~- uuy ist offenbar das Analogon

des Differentialausdruckes ~-~ ~ ~-~ flit eine Funktion u(x , y) der kon-

tinuierlichen Variablen x und y. Ausfiihrlich geschrieben lautet der Differenzenausdrack

A u = -~ {u(x + h, y ) + u ( x , y + h) + u(x- - h ,y)+ u(x, y - -h) -- 4u(x, y)}.

h ~ Es ist also T Au der UberschuB des arithmetischen Mittels der Funktions-

werte in den vier Nachbarpunkten fiber den Funktionswert in dem be- treflenden Punkt.

Ganz ~ihnliche Uberlegungen fiihren zu linearen Differenzenausdriicken vierter Ordnung und entsprechenden Greenschen Formeln, wenn wit yon bilinearen Diflerenzenausdriicken ausgehen, welche aus Dilierenzenquotienten zweiter Ordnung gebildet sind. Wit begniigen uns mit dem Beispiel des Differenzenausdrackes

A A u ~ u ~ , ~ .-{-. 2 u ~ u - ~ ~ uuy~9.

Er entspringt aus dem quadratischen Ausdruck

B(u, = u ) ' ,

wenn wit die Summe h ~ . ~ A u A v

a;

8) Der Randausdruck !~(u) l ~ t sich hier so beschreiben: Sind %, u~, . . . , u~ die Funktionswerte in dem betreffenden Raudpunkte mad seinen ~ Nachbarpunkten ( , , ~ a) , so

1 (u~+ + u , , - ~ , % ) ~ ( u ) = ~ . . . .

Partielle Differenzengleichungen tier Physik. 37

nach v orclnen, etwa indem wir in der Formel (5) an S~elle yon u den Ausdruck A u setzen. Wit miissen dabei beachten, dal~ in dem Ausdruck A A u der Funktionswert an einer Stelle mit den Fanktionswerten in seinen Nachbarpunkten und deren lqachbarpunkt.en verkniipft ist und daher nut flit solche Punkte des Gebietes G h definiert ist, die inhere Punk~ auch yon G; sind (vgl. 5) und deren Gesamtheit wir mit G;' bezeichnen woden. Wit erhalten dann die Greensche Formel

(6) 2 I c t t

Gh q~, _r'~ + I'h

wo ~ ( u ) ein flit jeden Punkt des Randstreifens F h ~-/~h' definierbarer linearer Differenzenausdruck ist, den wit nicht n~her angeben. F~ be- deutet dabei die Menge der Randpunkte yon G~.

w

Randwertprobleme und Eigenwertprobleme.

1. Die Theorie des Randwertproblems.

Die Randwer~aufgabe flit ]ineare elIiptische hom ogene Differenzen- gleichungen zweiter 0rdnung, welch'e der klassischen Randwertaufgabe flit partielle Differentialgleichungen entspricht, formulieren wit folgendermaBen:

In einem Gi~tergebiete G h sei ein selbstadjungierter elliptischer linearex Differenzenausdruck zweiter Ordnung L (u) gegeben. Er mSge aus einem quadratischen Ausdruck B (u, u) entspringen, der positiv-definit is~ in dem Sinne, daft er nicht verschwinden kann, wenn nicht u~ und u u selbst verschwinden.

Man bestimme nun~in G k eine solche der Differenzengleichung

geniigende Funktion u, welche in den Randpunkten dieses Gittergebietes mit vorgegebenen Werten iibereinstimmt.

Unsere Forderung wird dargestellt durch ebenso viele lineare Glei- chungen wie es inhere Git~erpunkte des Gittergebietes, also zu bestimmende Funktionswerte u gibt~). Einige dieser Gleichungen, n~mlich soweit sie zu Gitterpunkten gehSren, welehe mit ihren vier Nachba~n im Innern liegen, sind homogen; andere, bei welehen Randpunk~e des Gittergebietes m~t eingehen, sind inhomogen. Setzen wir die rechten Seiten dieses in-

4) Bfldet man zu einer beliebigen Differenzengleichung zweiter 0rdnung L ( u ) = 0, indem man sie als ein lineares Gleiehungssystem au/faBt, das transponiert~ Gleiehungs- system, so wird dieses dutch die adjnngierte Differenzengleichung M(v)= 0 dargestellt. Die oben betrachtete selbstadjungierte Differenzengleiehung stellt also ein lineares Gleichungssystem mit sym'metris~hem Koeffizientenschem~ dar,

38 R. Courant, K. Friedrichs lind H. Lewy.

homogenen Gleiehungssystems, d.h. die Randwerte yon u gleich Null, so folgt aus dor Oreenschen Formel (1), wenn wir dort u ~ v setzen, sofort das Verschwinden von B (u, u) und wegen des Definitheitscharakters von B (u, u) das Versehwinden yon u~, uy und damlt auch yon u. Die Difte- renzengteichung hat also die LSsung u ~-0, wenn die Randwerte verschwinden, oder mit anderen Worten, die LSsung ist duxch die Randwerte, wenn iiberhaupt, eindeutig bestimmt, da die Dif[erenz zweier LSsungen mit denselben Randwerten versehwinden mull. Wenn abet ein lineares Gleichungssystem mit ebenso vielen Unbekannten wie Gleichungen die Eigenschaft besitzt, dal] bei verschwinclenden rechten Seiten auch die Un- bekannten s~mtlich verschwinden miissen, so besagt der Fundamentalsatz der Gleichungstheorie, dal] bei beliebig vorgegebenen rechten Seiten genau eine LSsung vorhanden sein mu~. In unserem Falle folgt somit die Existenz einer LSsung der Randwertaufgabe.

Wit sehen also, dal] bei unseren elliptischen Dif[erenzengleiehuagen die eindeuVige Bestimmtheit und die Existenz der LSsung der Randwert- aufgabe dutch den Fundamentalsatz der Theorie der linearen OIeichungen miteinander zusammenh~ingen, w~hrend in der Theorie der partiellen Diffe- rentialgleichungen bekanntlich beide "Tatsachen mit ganz verschiedenen Methoden bewiesen werden miissen. Der Grund fiir diese Schwierigkeit ist darin zu erblicken, dal] Differentialgleiehungen nicht mehr mit endlich vielen Gleichungen ~quivalent sind; und man sich daher nieht mehr auf die Gleiehheit der Anzahl yon Unbekannten und Gleichungen berufen kann.

Da die Differenzengleiehung

A u t O

aus dem positiv-definiten quadratisehen Ausdruck v

engspringt, isg also alas Randwertproblem dieser Diff~renzengleiehung steCz eindeutig 15sbar.

Ganz en~spreehend wie flit die Differenzengleiehungen zwei~r Ordnung~ entwic~elt sich die Theorie flit Differenzengleichungen hSherer, z. B. vierter Ordnung, wofiir alas Beispiel der Differenzengleichung

z l z l u = 0

geniigen mSge. Hier miissen die Werte tier Funktion u in dem Rand- streifen/~-~- F~ vorgegeben werdem Offenbar liefert auch die Differenzen- gleichung zlA u ~-0 ebensoviel lineare Gleichungen wie unbekann~e Funk- ~ionswer~ in den Punkten yon G~ ~. Um die eindeutige L~sbarkei~ der Randwertaufgabe nachzuweisen, brauchen wit wieder nur zu zeigen, dab

Partielle Differenzengleiehungen der Physik. 39

eine LSsung, deren Werte im Randstreifen F~ + F~ Null sind, notwendig identisch versehwindet. Zu dem Zweck bemerken wir, da$ die Summe fiber den zugehSrigen quadratischen Ausdruek:

(7) h 22(Au)

fiir eine solche Funktion verschwindet, wie wir sofort erkennen, wenn wir diese Summe nach der Greenschen Formel (6) umformen. Das Verschwin- den der Summe (7) zieht abet das Verschwinden von zt u in allen Punkten von G~ nach sich, und das kann bei verschwindenden Randwerten nach dem oben Bewiesenen nut stattfinden, wenn die Funktion u fiberall den Wert Null annimmt. Damit ist aber unsere Behauptung bewiesen und die eindeutige LSsbarkeit der Randwertaufgabe des Differenzenausdruckes siehergestellt 5).

2. B e z i e h u n g e n zu M i n i m u m p r o b l e m e n .

Die obige Randwertatffgabe steht in Zusammenhang mit dem folgenden Minimumproblem: Unter allen im Gittergebiet G h definierten Funl~- tionen 9 (x , y), welche in den Randpunkten vorgesehriebene Werte annehmen, ist eine solche 9 ~ u(x, y) zu suchen, flit welche die fiber das Gittergebiet erstreckte Summe

h~2.,~B(9, 9) eh einen mSglichst kleinen Wert annimmt. Dabei setzen wit voraus, da~ der quadratische Differenzenausdruck erster Ordnung B (u, u) in dem oben (vgl. S. 36) genannten Sinne positiv-defmit ist. DaB sich aus dieser Minimum- forderung als Bedingung fiir die LSsung 9 = u ( x , y) die Differenzen- gleichung L ( 9 ) = 0 ergibt, wo L ( 9 ) der in der obigen (vgh S. 35 (I)) Weise aus B ( 9 , 9) abgeleitete Differenzenausdmck zweiter Ordnung ist, erkenn~ man entweder nach den Regeln der Differentialreclmung, indem man die Snmme h~2,.~B(9, 9) als Funktion der endliehen vielen Werte

Gk yon 9 in den Gitterpunkten ansieht oder analog dem fiblichen Veffahren in der Variationsrechnung.

Beispielsweise ist das Randwertproblem, eine LSsung der Gleichung A 9 == 0 zu linden, die vorgegebene Randwerte annimmt, mit der Aufgabe

5) Vergleiche fiir die wirklio-he Durchfiihrung d~er L6sung uniter Randwert~ probleme dutch iterierende Verfahren u.a. die Abhandlung: Uber Randwertaufgaben bei partiellen Differenzengleichungen yon P~ Courant, Zeitschr. f. angew. Mathematik u. Mec, h~nik G (1925), S. 322--825. Im iibrigen sei verwiesen ~uf den Bericht von H. Henky, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. 2 (1922), S. 58ff.


gleichwertig, die Summe h ~ ~ ' ~ ' ( ~ + ~ ) unter allen Funktionen, die aa

die Randwer~e annehmen, zum Minimum zu machen.

Ganz ~hnliches gilt fiir Differenzengleichungen vierter Ordnung, wobei wit uns wiederum auf das Beispiel yon A A~ ~ 0 beschr~uken. Die zu dieser Differenzengleichung gehSrige Randwertaufgabe ist mit dem Problem gleichwertig, die Summe h ~ ' Z ( z t ~ ) ~ unter allen Funk-tionen (p(x,y)

a~ zum Minimum zu machen, deren Werte in dem Randstreifen F~ vorgegeben sind. AuBer dieser Summe fiil~en auch noch andere in den zweiten hbleitungen quadratische Ausdriicke dutch die Forderung~ sie zum Minimum zu machen, auf die Gleichung A A u = 0, so z.B. die Summe:

2

o;

in der s~mtliche in G h auftretenden zweiten Differenzenquotienten vor- kommen soUen.

Dal~ die gesteUten Minimumprobleme immer eine LSsung besitzen, folgt aus dem Satz, da~ eine stetige Funktion yon endlichen vielen Ver- iinderlichen (den Funktionswerten von ~ in den Gitterpunkten) stets ein Minimum besitzen muD, wenn diese Funlrtion nach unten beschr~ukt ist und wenn sie gegen Unendlich strebt, sobald mindestens eine der unabh~gigen Ver~inderlichen es tute).

3. Die Greensche l~mktion.

~hnlich wie die Randwertaufgabe der homogenen Gleichung L (u) = 0 kann man auch die Randwertaufgabe der unhomogenen Gleiehung L (u) -- -- f behandeln. Es geniigt, bei der unhomogenen Gleichung sich auf den Fall zu beschr~nken, dab die Randwerte von u iiberall versehwinden, da wir flit andere Randwerte die LSsung dutch Addition einer geeigneten LSs-aug der homogenen Gleichung erhalten. Um das lineare Gleichungssystem, welches dutch die Randwertaufgabe yon L ( u ) - ~ - f repr~sentiert ist, zu 15sen, w~hlen wit zun~ichst die FunkCion f(x, y) so, dab sie in einem

Gitterpuak~e mi~ den Koordinaten x ~ ~:, y-~--~ den Wer~ 1 in allen

andern Gitterpunkten den Wer~ Null annimmt. Ist K(x , y; ~, ~) die am Rande verschw:mdende LSsung der so entstehenden speziellen noch vom Parameterpunkt (~, ~/) abl~ngigen Diffexenzengl~ichung, so wird die zu

e) DaB die Voraussetzungen ffir die Anwendungen dieses S~tzes gegeben shad, ist ~ehr leicht einzusehen.

Parfielte Differenzengleichungen der Physiko 41

einer beliebigen Funktion gehSrige LSsung dutch die Summe

u(x, y )= h ~ X X K (x, y; $, ~/) f(~, 7) (~, n) in qk

dargestellt. Die Funktion K(x, y; ~, ~) in ihrer Abh~ngigkeit yon den Punl~en

(x, y) und (~, ~) nennen wir die Greensehe Funktion des Differential- ausdruckes L(u). Bezeictmen wir mit K(x, y; ~, ~) die Greensche Funk- tion des adjungierten Ausdruckes M(v), so gilt die Relation

K(L ; $,

die man auch unmittelbar aus der Greenschen Formel (5) folgert, wenn man dort u------K(x,y;~,~) und v~ -K(x , y ;$ ,~ ) setzt. Fiir einen selbstadjungierten Differenzenausdmek ergibt sich aus der obigen Beziehung die Symmetrierelation:

K(L 7; , ) = 7; 7)-

4. Eigenwel~robleme.

Selbstadjungierte Differenzenausdriieke L(u) geben Anla& zu Eigen- wertproblemen yon folgendem Typ: Es sind die Werte eines Parameters 2

die Eigenwerte -- zu suchen, fiir die die Differenzengleichung

in G~ eine auf dem Rande F h versehwindende LSsung -- die Eigenfunk- tion -- besitzt.

Das Eigenwertproblem ist /iquivalent dem Hauptaehsenproblem der quadratischen Form B (u, u;. Es gibt ebenso viele Eigenwerte ~(1), . . -, ~(m wie innere Gitterpunkte im Gebiet G~ und ebenso viele zugehgrige Eigen- flmktionen urn, . . . , u(N~. Das System der Eigenfunktionen und Eigenwerte und ihre Existenz ergibt sieh aus dem Minimumproblem:

Unter allen am Rande versehwindenden FunkCionen ~ (x, y), die den m - 10rthogonalit~,tsbedingungen

h ~ Z ~ q~u(~) = 0 an

und der Normierungsbedingung

ah

geniigen, ist diejenige ~o = u gesueht, fiir die die 811mme

(~,--- 1, . . . , m -- 1)


den ldeinsten Weft annimmt. Der Weft dieses Minimums ist der m-re Eigenwert und die Funktion, flit die es angenommen wird, ist die m-te Eigenfunktion 7).

w 8 )

Zusammenh~nge mit dem Problem der Irrwege.

Unser Thema steht in Beziehung zu einer Frage der Wahrscheinlich- keitsrechnung, n~.mlich dem Problem der Irrwege in einem begrenzten Gebietg). Man stelle sich in einem Gittergebiet G h die Gitterstrecken aIs Wege vor, l~ings deren ein Partikel von einem Gitterpunkt zu einem Nachbar- punkt wandern kann. In diesem St~al]ennetz mSge nun unser Partikel ziellos herumirren, indem es an jeder Stral~enecke tinter den vier veffiigbaren Riehtungen eine nach dem Zufall a u s w ~ h l t - aIle vier seien gleich wahrscheinlich ~ . Die Irrfahrt endet, sobald ein Randpunkt yon G h erreicht ist, wo unsere Partikel absorbiert werden mSgen.

Wir ffagen:

1. Welches ist die Wahrscheinlichkeit w(P; R) dal~ man bei der Irr- fahrt yon einem Punkte P ausgehend irgend einmal in dem Randpunlrte R ankommt ?

2. Welches ist die mathematische Hoffnung v(P; Q), dal3 man bei einer solchen von P ausgehenden Irrfahrt, ohne den Rand zu treffen, einen Punkt Q yon G h beriihrt?

~) Wegen der Orthogonalit~t h22~2~ u (~) u (t~) = 0 (~ =~ it) der Eigenfunktionen qh

l ~ t sich jede am Rande verschwindende Funktion g ( x , y ) des Gitters nach den Eigenfunktionen in der Form

N Y = 2: ~(~)u (~)

entwickeln, wo die Koeffizienten c (~) dutch die Gleichung

ok bestimmt sind.

Auf diese Weise erhal~en wir insbesondere die folgende Darstellung der Green- schen Funktion:

2r 1 U(~) ( X, y ) �9 U(*'} ( ~ ~ ~])

K ( x , y ; ~ , ~1) = - - h--~ . ~ , 2 <')

, t~ . 1

s) Fiir die Durchfiihrung des Grenziiberganges in w 4 ist w 3 entbehrlictL 9) Gerade in der Art wie bier die Grenzen des Gebietes hineinspielen, liegt ein

wesentlicher Unterschied der folgenden Betrachtung gegen/iber belmnnten Uberlegungen, die z.B. im Zusammenh~.nge mit der Brownschen Molekularbewegtmg durchgefilhrt worden ~n&

Partielle Differensengleichung~n der Physik. 43

Diese Wahrseheinliohkeit bzw. mathematische Hoffnung wollen wir dutch folgenden Prozel] genauer erkl/iren. Wir denken uns im Punkte P die Einheit irgendeiner Substanzmenge vorhanden. Die Substanz mSge sich in unserem Stral]ennetz mig einer konstanten Geschwindigkeit aus- breiten, egwa in der Zeiteinheit eine Gitterstrecke zuriicklegen. In jedem Gitterpunkte soll nach jeder der vier Richmngen genau ein Viertel der dort ankommenden Substanz weiterstrSmen. Die Substanzmenge, die in einem Randpunk~e ankommt, soll dort festgehalten werden. Ist der Aus- gangspunkt P ein Randpunkt, so soll die Subs~anzmenge iiberhaupt dort bleiben.

Unter der Wahrscheinlichkei~ w (P; R) iiberhaupt bei einer von P ausgehenden Irrfahrg an den Randpunkt R zu gelangen, ohne vorher den Rand berfihrt zu haben, verstehen wir die Substanzmenge, die sich naeh unendlicher Zeit in diesem Randpunkte angesammelt hat.

Unter der Wahrscheinlichkeit E~(P;Q) in genau n Schritten yore Punkte P zum Punkte Q zu gelangen, ohne den Rand zu beriihren, verstehen wit die im Punkte Q naeh n Zeiteinheiten befindliche Substanz- menge, falls P und Q innere Punkte sind. Ist P oder Q ein Randpunkt, so setzen wir sie gleioh Null.

Die GrS/]e E~(P; Q) ist gerade die Anzahl der yon P nach Q fiihren- den den Rand nicht treffenden Wege von n Sehritten, dutch 4 ~ dividiert; es ist also E~ (P; Q) = E~ (Q; P).

Unter der mathematischen Hoffnung v(P; Q) bei einem oben gekennzeictmeten Irrwege iiberhaupt einmal von P aus zum Punkte Q zu gelangen, verstehen wir die unendliche Summe aller dieser Wahrscheinliehkeiten

v(P; Q)-= Z E,,(P; Q),lo)

also fiir innere Punkte P und Q die S~lmme aller Substanzmengen, die in den verschiedenen Zeitmomenten den Punkt Q durchlaufen haben. Es wird also dem Erreiehen des Punktes Q der Erwarmngswert 1 zugeschrieben. l~iir Randpunkte ist diese Hoffmmg gleich Null.

Bezeichnen wit die im Randpunkte R mit genau n Schritt~n ankommende Menge mit F , ( P ; R ) , so ist die Wahrscheinlichkeit w(P;R)dutch die unendliche Reihe

w(P;R)=.Z, .F,,(P;R) ~ 0

dargestellt, deren s~mtliche Glieder positiv sind, und deren Teilsummen hie gr66er ~|s Eins sein kSnnen, well die am Rande ankommende Substanz

~o) Ihre Konvergenz werden wir sogleich beweisen~

44 R. Courant, "K. Friedrichs und H. Lewy.

nut einen Tell der urspriinglichen Substanzmenge ausmacht. Damit ist abet die Konvergenz dieser Reihe gesichert.

Man kann nun leicht einsehen, dab die Wahrscheinlichkeiten E~ (P; Q), d.h. die nach genau n Schritten in einem Punkte Q anlangende Substanz- menge mit wachsendem n gegen Null strebt. Ist n~imlich in irgendeinem Punkte Q, yon dem aus ein Randpunkt R in m Schritten zu erreichen sei, E~(P;Q) > a > 0, so wird nach m Schritten in diesem Randpunkt R

~g mindestens die Substanzmenge ~-~ ankommen; da abet wegen der Kon-

vergenz der Summe ~ ' F~ (P; R) die an den Randpunkt R ankommende ~ - 0

Substanzm.enge mit der Zeit gegen Null strebt, so miissen auch die GrS~en E~ (P; Q) selber mit wachsendem n gegen Null streben; d.h. die Wahr- scheinlichkeit bei einem unendlich langen Wege im Innern zu bleiben, ist Null.

Hieraus ergibt sich, dab die gesamte Substan~menge schlie~lich an den Rand ankommen mul~; mit underen Worten, dab die iibe~ alle Rand- punkte R erstrecl~ Summe

1 R

ist. Wir haben noch die Konvergenz der unendlichen Reihe flit die mathe-

matische Hoffnung v (P; Q)

v(P;Q)= 2E,,(P;Q) ~--~0

zu beweisen. Zu dem Zweck bemerken wir, dal3 die Gr61~en E,,(P; Q) der folgenden

Relation geniigen

1 {E,,(P'Q~)+ E~,(P'Q~)-~- E~,(P;Qs)-~E~,(P;Q4) ~ E,~+~(P;Q)--~ , 1],

wo Q1 bis Q~ die vier Nachbarpunlrte des inneren Punktes Q sind. D.h. die nach n-+= 1 Schritten im Punlrte Q ankommende Substanzmenge besteht aus dem vierten Teil dez nach n Scbritten in den vier Nachbar- punkten yon Q ankommenden Substanzmenge. Ist einer der Nachbar- punkte yon Q z.B. Q ~- -R Randpankt, so kommt die Tatsache, dal~ zum Punkte Q yon diesem Randpunkte aus keine Substanzmenge weiter fliei~t, dadurch zum Ausdruck, dab wit E~(P; R) gleich Null gesetzt haben. Ferner ist flit einen inneren Punkt E o (P; P) = 1 und sonst E o (P; Q) -- 0.

Aus diesen Retationen ergeben sich flit die Teilsummen

v,,(P; Q)= _.,~E,,( P; Q)


die Gleiehungen 1 v.+~ (P; Q) = u (P; Q~) + v. (P; Q~) + % (P; Qs) ~- v. (P; Q,)},

wenn P nicht mit Q zusammenf~llt; andernialls ist

1 v:+l (P; P ) - - 1 .-J---~{v,~( P;P~) Jr- v,, (P; P+) + % ( P; P,) -~ v,,( P; P,)},

d.h. die Hoffnung, yon einem Punkte zu sieh selbst zuriickzukommen, setz~ sieh zusammen aus der Hoffnung, auf einem nicht verschwindenden Wege den Punkt P wieder zu erreiehen, n~mlich �88 (P; P1) ~- v. (P; P~ ) -{- v~ (P; Pa) + v~ (P; P4) } und aus der Hoffnung Eins, die ausdriiekt, da~ urspriinglich die gesamte Substanz in diesem Punkte vorhanden war.

Es geniigen also die GrSl~en v,~(P;Q) der folgenden Differenzen- gleichung ~)

4 Av~(P;Q)=~E~(P;Q) , wean P=bQ ist,

4(E~(P;Q)--I ) wenn P Q ist. Av,,(P;Q)=h~ , =

v~ (P; Q) ist gleich Null, wenn Q ein Randpunkt ist. Die LSsung dieser Randwertaufgabe ist, wie schon friiher auseinander-

gesetzt, fiir irgendwelche reehten Seiten eindeutig bestimmt (vgI. S. 38); sie Ningt stetig yon den rechten Seiten ab. Da nun die GrSl~en E,,(P; Q) gegen Null s~reben, so konvergieren die L6sungen %(P;Q) gegen die LSsungen v (P; Q) der Differenzengleichung

z/ v (P; Q) = 0, wenn P ~ Q ist,

Av(P;Q)-- 4 h ~' wenn P = Q ist,

mit den Randwerten v(P; R)---O.

n) Dabei bezieht sich die A-Operation ~,u/ den vaxiablen Puak~ Q. Diese Gleichung l~iBt sich Ms eine Gleichnng vom W~rmeleittmgstypus auffassen.

Betrachtet man ~ml ich die ~anktion % (p; Q) anst~t~ aJs Funktion des Index n tmserer oben zugmnde gelegten Vorstelluag gemgB als ~km]~ion der Zeit t, die zu n propor- r ist, indem man t = n~ ~nd vn (P; Q) = v (/); Q; t) = v (t) setz~, so kSnnen wit die obigen Gleichungen in der folgenden Form sehreiben ;

4v v(t-l-~)--v(t) fiir P4Q, zl v ( t ) = h a

A v ( t ) = ~ ( v" {t+r)-v(t)-~ 1) fiir P=Q.

Uber den Grenzfibergang yon einer ghnlichen Differenzengleicbnng zu einer paraboli- ~chen Differentialgleichung vgl. Tell II, w 6, S. 67.

46 K Courant, K. Friedrichs und H. Lewy.

Wit sehen also, dal~ die mathematische Hoffnung v ( P ; Q ) existiert und niehts anderes ist als die zur Differenzengleichung A u = 0 zugehSrige Greensche Funktion K ( P ; Q ) noeh mit dem Faktor 4 versehen. Die Symmetrie der Greenschen Funktion K (P; Q) = K(Q; P) ist eine un- mittelbare Folge der Symmetrie der Gr51~en E~(P;Q) , mit deren Hilfe sie definiert wurde.

Die Wahrseheinlichkeit w (P; R) geniigt hinsiehtlieh P der Relation

1 w(P;R)=u w(P~;B)},

also der Differelmengleiehung Aw=O.

Sind ns /)1, P~, Ps, P~ die vier Nachbarpunkte des inneren Punk~es P, so mug jeder Weg von P nach R fiber einen dieser vier Wege fiihren, mad jede der vier Wegrichtungen ist gleieh wahrscheinlich. Ferner ist die Wahrscheinlichkeit, yon einem Randpunkt R zu einem andern R ' zu gelangen, w(R,R') : 0, aul~er wenn die beiden Punkte R und B' zusammenfallen, wo w(R,R): 1 gilt. Es ist also w(P;R) die LSsung der Randwert- aafgabe A w -~- 0, wobei im Randpunkte R der Randwert 1 in allen anderen Punkten der Randwert 0 vorgeschrieben ist. Die LSsung der Randwert- aufgabe bei beliebig vorgegebenen Randwerten u(R) hat dann einfach die Gestalt u(P)= ~w(P;R)u(R), wobei iiber alte Randpunkte B zu sum-

mieren istl~). Setzen wit hierin fiir u die Funktion u ~ 1 ein, so erhal~en wir wieder die Relation 1 = Z w(P;B).

R Die hier gegebene Auffassung der Greenschen Funktion als Hoffnung

ls unmittetbar weitere Eigenschaften erkennen. Wit erw~tmen nur die Tatsache, da~ die Greensche Funk~ion w/~ehst, wenn man yon dem Gebiete G zu einem in G als Teilgebiet enthalten~en Teilgebiete G iibergeht; es w~chst dann n~mlich flit jedes n die Anzahl der mSgIichen Gitterwege, yon einem Punk~e P zu einem anderen Q zu gelangen, ohne den Rand zu beriihren.

Natiirlich herrschen fiir mehr ats zwei unabh~ingige Ver~nderliche erit- sprechende Beziehungen. Wir begniigen uns mit dem Hinweis, dal~ auch andere elliptische Differenzengleichungen eine ~hnlic-he Wahrscheinlichkeits- auffassung zulassen.

Fiihrt man den Grenziil~ergang zu versehwindender Maschenweite dureh, was sieh mit den Methoden des folgenden Paragraphen einfach ausfiihren

:~) Man erkennt iibrigens leieht, dab die Wahrscheinh'ctrkeit w(P; /~) , an den" Rand zu gelangen, der yon der Greenschen Funktion K ( P ; Q)hinsichflich Q gebfldete Randausdruak !~(K(/) , Q)) ist, indem man in der Greenschen FormeI (5) u ( x , y ) m i t w ( P, Q ), v ( x, y ) mit v ( P, Q) iden "tafiziert.


l~13t, so geht die Greensche Funktion im Gitter bis auf einen Zahlenfaktor in die Greensche Funktion der Potentialgleichung fiber; eine ~hnliche Be-

ziehung besteht zwischen dem Ausdruck w(P;R) und der normalen Ab- h leitung der Greenschen Funktion am Rande des Gebietes. Auf diese Weise liege sich z. B. die Greensche Funktion der Potentialgleichung als die spezifische mathematische Hoffnung deuten, von emem Punkte zu einem anderen zu gelangenlS), ohne den Rand zu berfihren.

Nach dem Grenzfibergang vom Gitter ~lm Kontinuum ist der EintiuB der bei den Irrwegen vorgeschriebenen Gitterrichtungen verschwunden. Dieser Tatsache Rechnung zu tragen, indem man den Grenziibergang mit einem allgemeineren Irrfahrtenproblem ohne Richtungsbeschr~i~kung vor- nimmt, ist eine prinzipiell interessante Aufgabe, welche jedoch fiber den Rahmen dieser Abhandlung hinaus fiihrt und auf die wit bei anderer Ge- legenheit zuriickzukommen hoffen.

w

Grenziibergang zur L~sung der Differentialgleichung.

1. Die Randwertaufgabe der Potentialtheorie.

Bei der Durc~iihrung des Grenzfiberganges v o n d e r LSsung der Differenzengleichungsprobleme zu der LSsung der entsprechenden Differen- tialgleichungen wollen wit hinsichtlich des Randes und der Randwerte auf die grS$tmSgliche Allgemeinheit in der Formulierung verzichten, um das flit unsere Methoden Charakteristische klarer hervortreten zu lassen14). Wir setzen demgem~il~ voraus, dat] in der Ebene ein einfach zusammen- h~ingendes Gebiet G vorgegeben ist, (lessen Berandung aus endlich vielen mit stetiger Tangente versehenen KurvenbSgen gebildet wird. In einem G im Innern enthaltenden Gebiete sei eine stetige und mit ste$igen partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung versehene Funktion f(x, y) gegeben. Fiir das zu der Maschenweite h und zum Gebiete G gehSrige Gittergebiet G sei die Randwertaufgabe der Differenzengleichung A u ~-0 mit denjenigen Randwerten, welche yon tier Funktion f (x, y) in den Rand- punkten yon G h angenommen werden, gelSst; die LSsung heine uh(x, y). Wit wollen beweisen, dab die Gitterfunk~on u~ mit verschwindender Maschenweite h gegen die LSsung u der Randwextaufgabe der partiellen

~3) Dabei ist dem Erreichen eines F~henstiicks a~ Erwartungswert sein Fl~chen- inhalt zugeschrieben.

z4) Es sei jedoch bemerkt, dab die Au~dehnung un~erer Methoden auf allgemeiner~ R~nder und Randwerte keinerlei priu~piel!e Schwierigkeiten bereitet.

48 R. Coura~t, K. Friedriehs und H. Lewy.

Differentialgleiohung a'~u a2u ~- ~-~ ---- 0" flit das Gebiet G konvergiert, wobei

die Randwerte flit das Gebiet G wiederum dutch diejenigen Werte geliefert werdbn, welche die Funktion f(x, y) auf demRande von G annimmt. Weiter werden wit zeigen, dab fiir jedes ganz im Innern yon G liegende Gebie~ die Differenzencluotienten behebiger Orduung von u h gleichm~i~ig gegen die entspreehenden partiellen Differentialquofienten der Grenzfunktion

(x, y) streben. Bei der Durehfiihrung des Konvergenzbeweises ist es bequem, die

Forderung, dab u ( x , y) die Randwerte annimmt, dutch die folgende sohw~ohere Forderung zu ersetzen: Ist ~. derjenige Randstreifen des Ge- bietes G, dessen Punk~ vom Rande eine Enffe~nung kleiner als r be. ~itzen, so strebt das Integral

f f f)~dxdy Sr

mit abnehmendem r gegen Null~a). Unser Konvergenzbeweis beruhg auf der Tagsache, dab flit jedes ganz

im Innern des Gebietes G liegende Teilgebiet G* die Ftmktion u~(x, y) trod jeder Differen~enquogieng bei abnehmendem h beschr~nkt bleib~ und ,gleichaztig stetig" is$ in folgendem Sinne: Es gibt flit jede dieser Funk- tionen wa(x, y) eine ntu: yon dem Gebiege tmd niehg yon h abh~ngige GrSBe ~ (~) derart, dab

l w a ( P ) - w a ( P x ) ] < e

ist, sobald die beiden Gitterpunkte P und />1 des Oittergebietes Ga in dem gegebenen Teilgebiet liegen und voneinander einen kleineren Abstand als ~ (e) besitzen.

zs) DaB tats~chlich nnsere schw~ichere l~ndwer~forderun__g zur ,indeutige~ Kenn~eiohnung der LSsung geniigt, folgt aus dora leicht zu beweisenden Satze:

~Su ~ u Wenn fiir eine im lnnem ,yon a der Differentialgleichung ~-~+~-~ =0 geniigende

Fnnlrtion die obige Form der Randbedingung mit [ (x , y ) = 0 erfiillt ist und

~ \ - ~ j ] dxdy exist~ert, so ist u (x ,y ) identisoh Null. (Vgl. Courant,

G ~Uber die LSsungen der Diff.-GL der Phys'~k", Magh. Annalen 85, insbesondere S. 296 ft.)

Im Fai]e von zwei unabtfiingigen Ver~nderlichen l~Bt sich aus nn~erer schwgcheren Porderung die tats~chliche Annahme der Raudwerte folgern; im Falle yon mehr Variab!en daft man das Entsprechende schon deswegen nioht allgemein erwart~, weil es dort bekannttich Ausnahmepnnl(~e ~m Rande geben ka_nn, in denen die Randwert~ nicht mehr angenommen zu werden brauchen, w~-r~nd jedoch fiir die schw~chere Forderung st~s eine ~__~g existiert~

Par~ielle Differenzengleichungen der Physik. 49

Haben wit einmal die behauptet~ gleichartige Stetigkeit bewiesen, so kSnnen wir bekanntiich eine Teilfolge nn~erer Funktionen u h so ausw~llen, da$ sie mit ihren Differenzenquotienten jeder Ordnung in jedem Teflge- biet G* gleichm~l~ig gegen eine Grenzfunktion u(x , y) bzw. deren Differen- tialquotienten strebt. Die Grenzfunktion besitzt dementspreehend Ablei- tungen beliebig hoher Ordnung in jedem inneren Teilgebie~ G* yon G und

~ u . ~ u geniigt dort der partiellen Differentialgleichung ~ - ~ - ~ - ~ ~ 0. Wenn wit

dann noeh zeigen, dal] sie die Randbedingung befriedigt, so erkennen wit in ihr die LSsung unseres Randwertproblems ffir das Gebiet G. Da diese LSsung eindeutig bestimmt is~, so zeig$ sich naehtr/iglich, dal~ nieht nur eine Teilfolge der Fun~tionen uh, sondern diese Funktionenfolge selbst die ausgesprochene Konvergenzeigenschaft besitzt.

Die gleichartige Stetigkeit unserer GrSSen wird sieh dutch den Naeh- weis folgender Tatsachen ergeben:

1. Bei abnehmendem h bleiben die fiber das GiStergebiet G~ erstreck- ten Summen

Z. u und Z(u: + q~ q~

beschr~inkt is).

2. Geniigt w = w h in einem Gitterpunk~ G~ der Differenzengleichung A w ~-0 und bleibt bei abnehmendem h die Summe

h~ Z 2 w ' a;

erstreckt fiber ein zu einem Teilgebiet G* yon G gehSriges Gittergebiet G~, beschr~nk~, so bleibt ffir jedes feste ganz im Innern yon G* liegende Teilgebiet G** auch die fiber das zugehSrige Gittergebiet G~* erstreck~e Summe

a;,*

bei abnehmendem h besehr nke.

Zusammen mit 1. folgt hieraus, da s/~mtliche Differenzenquotienten w tier Funktion u h wieder der Differenzengleichung A w = 0 geniigen, da$ jede der Summen

besckr~nkt ist. a;,

3. Aus der Beschr~nl~heit dieser Summen folgt sehlie$1ich die Be- schr~nktheit und gleichartige Stetigkeit atler Differenzenquotienten selbst.

lo) Hier und gelegenttich im folgenden lassen wi_r bei Gitteffunktionen den I n ~ x .~ fort.

Mathem~tische Annaler~ 100. 4

50 R. Courant, K. Friedriehs und H. Lewy.

2. Beweis der Hi~ss~tze.

Der Beweis der Tatsache 1 folgt daraus, da6 die Funktionswerte u~ selbst beschrgnkt sind. Denn der gr56te und der kleLuste Wert der Funktion wi~d am Rande angenommenIT), strebt also gegen vorgegebene endliche Werte. Die Beschr~nktheit der Summe he ~ ~ ( u ~ -~- u~) ist

G~

eine u~mittelbare Folge der i m w 2, 2. formulierten Minimumeigenschaft unserer Gitterfunktion, wonach sicherlich

Gh ah

gilt. Die Summe rechts strebt aber mit abnehmender Maschenweite gegen

das Integral I I I(-~)~ ~ ~ \ Oy Of'~j dx d y, welches nach unseren Voraussetzungen

existiert, a Um den unter 2. formulierten Hilfssatz zu beweisen, betrachten wit

die Quadratsumme he w

Q~

wobei die Summation sich auf alle inneren Punkte eines Quadrates Q1 bezieht (vgl. Fig. 1). Die Funktionswerte auf den guBeren Seiten S~ des

Quadrates Q1 bezeichnen wit mit wl, die auf der 3n zwei~en Randreihe S o mit w o. Dann liefert die

31 Greensche Formel

so I (s) s Q~

= 2 ( w : - w:) Z w e - e, S S~ So

wobei die Summation rechts fiber die beiden Fig. 1. ~iu~eren Ra~clreihen S~ und S o zu erstrecken ist,

und wo w~ und w o sich auf benachbarte Punkte beziehen. Wir betrachten nun eine Reihe yon konzentrischen Quadraten Qo, Q1, Qe,- - . , Qiv mit den R~ndern S o, S~, . . . , S~, von denen jedes aus dem vorangehenden dadurch entsteht, dag der Kranz der ngchsten Nach- barpunkte hinzukommen wird (vgl. Fig. 1). Auf jedes dieser Quadrat~ wenden wit die Absch~tzung (8) an und beachten, dag stets

Qo Qk

17) Ausdrficklieh bemerken wit im Hinblick auf die Ubertragung tier Methode auf andere Differentialgleichungen, da6 wit uns yon dieser FAgenschaft unabh~ugig maehen kSnnen. Dazu brauchen wir nut die Ungleichung (15) heranzuziehen oder clio Schlufiweise der Al~mat~ve anzuwenden (vgk S. 55~.

Partielle Differenzengleiehungen der Physik. 51

fiir k ~ 1 fist.

Qo Sk+l Sk so erhalten wir

h ~ 2~ Z Z ( ~ + w ~ ) < Z w ~ Z ~ <=Zw '. Qo S~ So Sa

-Diese Ungleichung summieren wir yon n ~-1 bis n - ~ N .

~ h : ZZ(w~ +w~) <= 2 Z w : , ~o

Addieren wir der Reihe nach die n Ungleiehungen

2 h ~ Z Z ( w ~ + w ~ ) < = Z w ~ - Z w ~ (0__<~<n),

So ergibt sich

wobei wir die Summe rechts nu~ vergrS~ern, wenn wir sie fiber das ganze Quadrat Q~ erstrecken.

Lassen wit nun bei Verkleinerung der Maschenweite die Quadrate Qa und Q/v gegen zwei feste im Innern yon G liegende konzentrische Qua- drate mit dem Abstande a streben, so konvergiert Nh gegen a, und wit finden, dal~ unabh~ngig yon der Maschenweite

1 (9) h~ (w: + s h ZZ w

Qo Q~ bleibt.

Diese Ungleichung gil~ ~ bei hinreichend kleiner Maschenweite ~ natiirlich nicht nut fiir zwei Quadrate Qo trod Q/~, sondern mit einer anderen Konstanten a fiir irgend zwei Teilgebiete yon G, yon denen das eine ganz im Innern des anderen liegt. Damit ist die Behauptung yon 2. bewiesen is).

Um nun drittens nachzuweisen, dal~ in jedem inneren Teilgebiet die Funktion u a fo und ihre s~mtlichen Differenzenquotienten w~ a[ - die Verfeinerung der Maschenweite beschr~nkt und gleichartig stetig bleiben, be- go ..... trachten wit ein Rechteck R mit den Eck- punkten P0, Qo, P, Q (vgl. Fig. 2), dessen

b

Fig. 2.

Seiten Po Q~ and PQ der x-Achse paralleI sind and die L~inge a haben. Wir gehen aus yon der Darstellung

w(Qo)- ~(Po) = h Z w x + h: ZZw~y

~s) Wenn wix nicht annehmen, da6 A w = 0 ist, so erhal~n wit an Stelle der Ungleichung (9)

2 (~o) ~ ~ ( w ; + w;) ~ c I ~ , y w ~ +c~ h ~ 2J,Y, (~ w) ~ G** q . ~ .

bei gee/gaeten yon h anabhiingigen Konstante~ c!,c~, wobei G** ganz im Innem des Gebiebes G* liegt, dam ~einea~eits im Inaer~. yon G enthalten i ~

4*

52 R. Courant, K. Friedrichs und H. Linty.

und der aus ihr folgenden Ungleichung

(11) t w(Qo)- w (No)[ s Zlw~[-4- h ~ Z X t w~[. PQ R

Wit lassen nun die Reehtecksseite PQ zwischen einer Anfangslage P1Q~ im Abstande b yon PoQo und einer Endlage P~ Qe im Abstande 2 b yon

b PoQo laufen und summieren die ~ + 1 zugehSrigen Ungleiclmngen (11).

Wit erhalten so die Abschi~tzung

1 h~

.R~ .R..

indem wit die Summationsgebiete auf das ganzo Rechteck R~ = PoQo P~ Q~ ausdehnen. Nach der Schwaxzschen Ungleichung folgt daraus:

- !/h 2 2 + 1/h 2 2 w (12) [w(Po) w ( Q o ) i ~ - ~

Da die bier auftretenden mit h ~ multiplizierten Summen nach Annahme beschriinkt bleiben, so folgt, dab die Differenz [w(Po)- w(Qo) ! zugleich mit ihrem Abstande a gegen Null strebt und zwar unabhS~ngig von der Maschenweite, da wit Iiir jedes Teilgebiet G* von G die GrSile b fest- halten kSnnen. Dami~ ist die gleichartige Stetigkeit yon w- - -w h in der x-Richtung bewiesen. Entsprechend ergibt sie sich fiir die y-Riehtung und damit fiir jedes innere Teilgebiet G* yon G. Die Beschriinkthei~ der Funktion w h in G* iolgt schliegtich aus ihrer gleiehartigen Stetigkeit und der Beschriinktheit yon h ~ Z Z w~.

dr*

Mit diesem Nachweis ist die Existenz einer Teilfotge you Funktionen u gesichert, welche gegen eine GrenzfunkCion u(x, y) konvergiert und zwar mit sgmtliehen Differenzenquotienten in dem oben gekennzeictmeten Sinne gleiehmiil]ig fiir jedes innere Teilgebiet von G. Diese Grenzfunktion u (x, y) besitzt also in G iiberall stetige partielle Differentialquotienten beIiebiger Ordnung und geniigt der partiellen Differeniiatgleichung des Potentials

3. Die Randbedingung.

Um zu beweisen, dai~ die LSsung die oben formulierte Randbedinffang erfiillt, zeigen wit zun~i~hst, daft fiir jede Gitterfunk~ion v die Ungleichung

(t3) ~ X X ~ , ~ < A , , ~ ~ 2, X(v~ + v~,) + B r h X v ~ ,St, a S t , k ra


bestoht, we S~, h derjenige TeLl des Gittergebietes G ist, tier innerhatb des Randstreifens S~ liegt. Dieser Randstreifen Sr war (vgl. S. 48) aus allen Punkten yon G gebLldet, deren Abstand veto Rande kleiner als r ist; e r

wird aul3er yon F noch yon einer Kurve /'~ begrenzt. Ferner bedeuten A und B nut veto Gebiet und nicht yon der Funk~ion v oder v o n d e r Maschenweite h abh~,ngige Konstanten.

Um die obige Ungleichung nachzuweisen, zerlegen wir den Rand T' von G in eine endliehe Anzahl yon S~iicken, fiir welehe der Winkel der Tangente entweder mit der x-Achse oder mit der y-Achse oberhalb einer positiven Schranke (etwa 30 ~ bleibt. Es sei z.B. ~, ein solches zur

Fig. 3. Fig. 4,

x-Aehse hinreiehend steil geneigtes Stiick von / ' (vgl. Fig. 4). Die Parallelen zur x-Achse durch die Endpunlrte des Stiiekes ~, schneiden aus der Ni~herungskurve T' r e i n Stiiek ~,r aus uad begrenzen zusammen mit: 7 und ~'r ein Stiick s~ des Randstreifens S r. Der in dem Streifen ,~ ent- haItene Tell des Gittergebietes G h heii]e s~, h und der zugehSrige TeLl des Randes /~ heine ~'h.

Wit denken uns durch einen Gitterpunkt p,h yon ar,~ die Parallele zur x-Achse gezogen. Sie trifft den Rand rh in einem Punkte P~. Das- jenige Stiick dieser Parallelen, das in 8~,~ liegt, bezeiehnen wit mit p~, 4- Seine L~,nge ist sicher kleiner als or, da r der grSBte senlrrecht~ Abstand eines Punktes aus S~ yon F i s t . Dabei t~ngt die Konstante c nut yon dem kleinsten Neigtmgswinkel einer Tangente yon 7 mit der x-Achse ab.

Nun best~ht zwischen dem Weft von v im Punkte Ph und ihrem Werte in P~ die Beziehung

(g,,) = ,, (P,,) _+ h 2 v, ,

woraus sieh dutch Quadrieren mad Anwendung der Sehwarzsehen Un- gleichung

v(P~) ~ =< 2 v(Ph) ~ + 2cr.h .~v~ ~ r , h


ergibt. Summieren wit hinsiehtlich Pz in der x-Richtung~ so erhalten wit

h Z v~ ~ 2 cr v (Ph) ~ -l- 2 c ~ r ~ h ~ ~ . P*" ~r

Summieren wit noch einmal in der y-Richtung, so entsteht die Relation

(14) h . ~ . ~ v ~" ~ 2 c r . ~ v ( P h ) + 2 c ~ r ~ h Z Z v 2 , Sr Th 8r

die wit nur noch flit die auderen Stficke y von F entsprechend aufzustellen und dann zu addieren haben, um leicht di~ gewiinschte Ungleichung (13) za erhalt~n 19).

Wit setzen nun Vh --~ Uh - - fh '

sodaB v h am Rande T' h verschwindet. Da dann h ~ Z Z ( v ~ + v~)bei q~

abnehmendem h beschr~nkt bleibt, so erhalten wit aus (13)

(16) ~ 7- v ~ _~ < x r, S~,, h

wo ~ eine nieht yon der Funktion v oder der ]Haschenweite abh~ingige Konstante ist. Erstreeken wit die Summe links nieht fiber den ganzen Randstreifen S~.~,, sondern nut fiber die Differenz yon zwei solehen; S,. h --Se, h, so bleibt die Ungleichung (16) mit der selben Konstanben gfiltig, und wit kSnnen den Grenzfibergang zu verschwindender Maschen- weite vollziehen. Aus der Ungleichung (16) entsteht dana

1 f l y . z d x d y < ~ r, S t - S~

V ~ - - - ~ - - f .

Lassen wir nun den kreineren Randstreifen S e dem Rande zustreben, so erhalten wir die Ungleichung

v ~ d x d y ~ 7 u - - f ) ~ d x d y ~ r , S~ sr

die gerade ausdrfickt, dab die Grenzfunktiou u die von uns geforderte Randbedingung erfiillt.

19) Dutch dieselbe Betrachtungsweise, die zum Nachweis der Ungleichung (13) ffihrt, l ~ t sich auch die Ungleichung

<15) Z Z <= h Z Z Z + ak rh ak

ableite~ in der die Konstanten ~ , c~ nut vom Gebiet G, abet nioh~ yon der Maschen- einteill~g abt~zlgen.

Paxtielle Differenzengleichungen der Physik. 55

4. Anwendbarkeit der Methode auf andere Probleme.

Unsere Methode stiitzt sich wesentlich auf die in dem obigen Hilfs- satz ausgesprochene Ungleichheitsbeziehung (10)~~ well aus ~hr die beiden letzten auf S. 49 genannten Hauptpunkte des Beweises" folgen; sie macht keinerlei Gebrauch yon speziellen GrundlSsungen oder sonstigen speziellen Eigenschaften unserer Differenzenausdriicke und l ~ t sich daher unmittelbar sowohl auf den Fall von beliebig vielen unabh~ngigen Variablen als au~

das Eigenwertproblem der Differentialgleichung ~-~ ~- ~y--Z., -~ Jt u ~ 0 iiber-

tragen und liefert dabei hinsichtlich der Konvergenzverhs genau dieselben Resultate wie oben~"~). Auch eine Ubertragung auf lineare Diffe~entialgleichungen anderer Art, insbesondere solche mit nicht konstanten Koeffizie~ten, effordert nut einige naheliegende Modifikationen. Der wesentIiche UnterscMed besteht immer nut im Nachweis der Beschrs yon h ~ ~ '~ ' u~ , die alIerclings nich~ bei einem beliebigen solchen linearen Probleme vorliegt. Aber im Falle der Unbeschr~nktheit dieser Summe l ~ t sich zeigen, dal~ das allgemeine Randwertproblem der betreffenden Differentialgleichung auch wirklich keiae L6sung besitzt, da~ aber dafiir in diesem Falle nicht verschwindende LSsungen des zugehSrigen homogenen Problems, d.h. EigenhmkCionen, exis~ieren~).

5. Das Randwertproblem von A Au-~-0 .

Um zu zeigen, dal~ sich die Methode auch auf den Fall von Diffe- rentialgleichungen hSher~r Ordnung iibertragen l~i~t, behandeln wir im folgenden kurz das Randwertproblem der Differentialgleichung

4 4 v u a4u ~4 u ~x ~ ~ 2 ~x ~y~ -~ ~y4 --~ 0.

Wir suchen eine LSsung dieser partiellen Differentialgleichung in unserem Gebiete G, flit welche die Funk~i(inswerte und ihre ersten Ab- leittmgen am Rande vo~gegeben sind, und zwar dutch diejenigen Werte, welche yon einer vorgegebenen Funktion f(x, y) am Rande defmiert werden.

2o) Hinsichtlich der Anwendung entsprechender Integralungleichungen vgL K. Friedrichs, Die Rand- und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Platten, Math. ~nn~len 98, S. 222.

~a) Es ist dann zugleich bewiesen, da~ jede LSsung eines solchen Differential- gIeichungsproblems Ableitungen jeder Orduung besitzt.

~) Vgl. Courant-l~i!bert, Methoden der mathern~tischen Physik, 1, Kap. HI, w 3, wo mit Hilfe einer entsprechenden Alternative die Theorie der Integralgleichungen behandelt wird. Vgl. auoh die demn~chst erscheinende GSt~inger Dissertation y o n W. v. Koppenfels.

56 R. Coura~t~ K. Friedrichs und tL Lewy.

Dabei setzen wit wie oben (S. 47) voraus, dab f(x, y) in einem das Gebiet G enthaltenden Gebiete der Ebene mit den ersten und zweiten hbleitungen stetig ist.

Wir ersetzen unser Differentialgleichungsproblem durch die Aufgabe, die Differenzengleichung A A u ~ 0 fiir das Gittergebiet G zu 15sen, wobei in den Punkten des Randstreifens Fh-~ F~ die Funktion u dieselben Werte wie die vorgegebene Funktion f(x, y) annehmen soll. Naeh w 2 wissen wit, dab diese Randwertaufgabe fiir G h auf eine und nut eine Weise 15sbar ist. Wit werden zeigen, dal~ bei Verfeinerung der Maschen- weite h diese LSsung in jedem inneren Teilgebiet von G mit allen Diffe- renzenquotienten gegen die LSsung ~mserer Differentialgleiehung bzw. gegen die entsprechenden Differentialquotienten konvergiert.

Zu diesem Zwecke bemerken wir erstens, dal] fiir die LSsung u ~ u~ unseres Differenzenproblems die Summe

u y) h 2 : 2 + 2u + Gk

bei abnehmender Maschenweite beschr~inkt bleibt. Wegen der Minimum- eigenschaft der LSsung unseres Differenzenproblems (vgl. S. 39) ist n~imlich diese Summe nicht grSl~er als die entsprechende Summe

h~ 2 2 ( f : z + 2f2u + f2u)

und diese konverg~er~ bei Veffeinerung der Maschenweite gegen das Integal

~ f b~f ~f~dxdy,

welches nach unseren Voraussetzangen existiert. Aus der Besehr~in~hei~ der Summe

U 2 U ~

g foIgt unmittelbar die Beschr~i-l~heit yon h:Z.,~(Au) ~, weiterhin auch die yon a~

h 22(u +u2) h Z2u al, ah

Es besteht n~mlich ffir beliebige w die Ungleichung

oh an I'h

(vgl. (15), S. 54). Iadem man in dieser Ungleichung die Funktion w dutch die ers~en Differenzenquotienten yon w ersetzt und auf diejenigen Teilgebiete yon G h anwendet, flit welche diese Differenzenquotienten de-


finiert sind, ergibt sieh die weitere Ungleiehung

~'~ 2 2 ( ~ + &,)_~ ~ 2 2 ( w L , + 2w~,, +w:,,,) + c~ 2 (w~ + w:,). a~ 4 r,+r~

wo die Konstanten c wieder nieht yon der ~mktion und der Masehenweite abhiingen. Wit wenden diese Ungleichungen au/ w ~--u a an und beachten dabei die BeschAinktheit der Summen fiber / 'a-~-/'~ auf der rechten Seite

diese Randsummen konvergieren ja deiinitionsgem~il~ gegen die entsprechenden mit f (x , y) gebildeten Integrale ~ . Somit fotgt aus der Beschrgnktheit yon

~ 2 2 ( u ~ , + 2uL, +u~,,,) oi

die Besehr~inktheit yon

h"~2:2:(u~+u~) ~d h ' 2 2 j u ~. o~ o~

Drittens setzen wit in der Ungleichung

0** O* 0"

(vgl. S. 51), wo G* ein G** im Innern enthaltendes Teilgebiet yon ist, fiir w nacheinander die Ausdriicke zi u, A u~, A uy, A u ~ , . . . ein, ja alle der Gleichung A w .---0 geniigen. Es folgt (]ann sukzessive, fiir alle inneren Teilgebiete G* yon G die Summen

0* d.h.

,~ u~ ~, ) , G'* G * x x ~ �9 �9 .

zugleich mit den schon als besehr~inkt bekannten Summen

h~ 2 2 u ~, h~ 2 2 (u~ + u:,) aa aa und

0 die da~

besehr~ukt bleiben, a~

Schlie~lieh setzen wir /fir w in die Ungleiohung (10) clef Reihe naeh die Funktionen u ~ , u~u , uyu, u ~ , . . . ein, flit die nach dem eben Be- wiesenen

h~2~Y(Zw) ~, d . k h ~ Z Z ( ~ u ~ ) ~ , ...

besehr~ukt bleibt. Wir erkennen dann, dab fiir alle Teilgebief:e auch die SumInen

~2 U2 uL,,), h 2.Z(u~,,~. + u~,,,,), . . . a; a;

beschr~nkt bleiben.

~8 R. Courant, K. Ffiedriehs und H. Lewy.

Aus dieser Tatsaehe kSnnen wir nunmehr wie auf S. 51 i~. schlieBen, dab ~ich aus unserer Folge von Gitterfunktionen eine TeiLfolge ausw/ihlen l~iBt, (lie in jedem inneren Teilgebiet yon G mit s/imtlichen Differenzenquotienten gleichm/iBig gegen eine im Innern von G stetige Grenzfunk-tion bzw. gegen �9 leren Differentialquo~ienten konvergiert.

Wir haben nooh zu zeigen, dab diese Grenzfunlrtion, die of[enbar der Differentialgleichung A A u ~ 0 geniigt, auch noch die vorgeschriebenen Randbedingungen effiillt. Dabei begniigen wir uns analog wie oben damit, diese Randbedingungen~ in der Form

ffll u - f)~ d x d y ~_~ cr ~, z~ s~

~f~u ~u ~-~] j d x d y ~ cr ~

auszusprechen es). DaB die Grenzfunktion diese Bedingungen erfiillt, ergibt sich aber, indem wir das SchluBveriahren yon S. 53 wSrtlich auf die Funktion u und ihre ersten Differenzenquotienten anwenden.

Wegen der eindeutigen Bestimmtheit der LSsung unserer Randwert- aufgabe erkennt man jetzt nach~r~glich, dab nicht nut eine ausgew~hlte Teilfolge, sondern die Funktionenfolge u selbst die angegebenen Konvergenz- eigenschaften besitzt.

H. Der hyperbolische Fall.

w

Die Gleichung der schwingenden Saite.

Im zweiten Tell dieser Arbeit besch~ftigen wit uns mi~ Anfangswert- problemen yon hyperbolischen linearen Differentialgleichungen und werden beweisen, dab unter gewissen Voraussetzungen die LSsungen entsprechender Differenzengleichungen bei Veffeinerung der Maschenweite des zugrunde gelegten Critters gegen die LSsung der Dii~erentialgleichung konvergieren.

Wir kSnnen die bier auftretenden Verh~ltnisse am einfachsgen an dem naheliegenden BeispieI der Schwingungsgleichung

(1) ~u a~u ~t ~ ~x ~ ~-- 0

darlegen. Dabei beschr~nken wir un's atff dasjenige Aalfangswertproblem, in dem auf der Geraden t ~-0 die Werte der LSsung u und ihrer Ab- Ieitungen gegeben sin&

~) Daft die Randwerte ffir Funktion und Ableitungen tat~ichlich angenommen wel~len, l~Bt sich unschwer zeigen. VgL die entsprechenden Betrachtungen bei K. Friedd~21s loc. cit.

PaTtielle Diffexenzengleichungen der Physik. 59

Um die entsprechende Differenzengleiehung anzugeben, legen wit in der x, t-Ebene ein quadmtisches aehsenparalleles Gitter der Masehenweir h. Wit ersetzen die Differentialgleiehnng (1) dutch die Differenzengleie~ung

u t ~ - u , ~ ~ 0

in den Bezeichnungen yon S. 34. Greifen wit einen Gitterpunkt Po heraus, so verbindet die zugehSrige Diffe~enzengleiehung den Wert der Funktion u in diesem Punkte mit den Werten in den vier Nachbarpunk~en. Kean- zeichnen wir wieder die vier Nachbarwerte dureh die vier Indizes 1, 2, 3, 4 (s. Fig. 5), so nimmt die Differenzengleiehung die einfache Gestalt

( 2 ) u~ + us - u~ - u~ = 0

an. Hierbei geht der Wert der Funktion u im Punkte P selbst nicht in die Gleichung ein.

Wir denken uns das Gitter in zwei versehiedene Teilgitter zerlegt, wie in der Fig. 5 dutch Kreise und Kreuze angedeutet ist. Die Differenzen-

I o + o +

+ o + o 3 @

0 + 0 + . . .

Q �9 @ �9

�9 . . f q- O + O �9 �9 �9 �9

Fig. 5. Fig. 6.

gleiehung verbindet dann nut die Werte der Funktion in jedem der Teil- gitte~ untereinander. Wir wollen uns daher auf eines der beiden Teilgitter beschr~rken. Als Anfangsbedingungen haben wit bier die Werte der Funk- tion u auf den beiden Gitterreihen t -- 0 und t = h vorzugeben. Wit geben zun/ichst die LSsung dieses Anfangswert;problems explizite an; d .h . wit driicken den Weft der LSstmg in irgendeinem Punkte S dutch die vorgegebenen Werte auf den beiden s aus. Man e~kennt sofort, da] der Weft in einem Punkte der Reihe t = 2h eindeutig bestimmt ist lediglieh dutch die mit ibm verkniipften drei Werte aaf den beiden ersten Reihen. Der Wert in einsm Punkte auf der vierten Reihe ist eindeutig bestimmt dutch die Werte der LSsung in gewissen drei Punkten der zweiten and dritten Reihe, also aueh dutch gewisse Werte auf den beiden ersten Reihen. Allgemein wird zu einem Punk~ S ein gewisser Abh~ingigkeits- bereich auf den beiden ersten Reihen gehSren; man erhiilt ihn, wen u man dutch den Punk~ S die Linien x + t = kons~, trod x -- t = koast, zieht, his sie die zweite Reihe in den P u ~ n a und ~ treffen (vgl. Fig. 6).

60 R. Courant, K. Friedriohs und H. Lewy.

Das Dreieck S aft nennen wir dann das Bestimmtheitsdreieck, weil in ibm s~imt]iche u-WerCe sich nicht ~dern, soba!d sie auf den ersten beiden Reihen festgehalten werden. Die SeitenIinien des Dreiecks nennen wit Bestimmtheitslinien.

Bezeichnet man nun die Differe~zen yon u in Richtung der Bestimmt- heitslinien dutch u' und u' oder genauer

t

t U2 = U2 ~ ?~3

so nimmt die Differenzengleichung etwa die Form

! ! U 1 -~- ~

an. D.h. auf einer Bestimmtheitslinie sind die Differenzen nach der anderen BesCimmtheitsrichtung konstant, also gleich einer der vorgegebenen DiKe- renzen zwisehen zwei Punkten der ersten beiden Reihen. Andererseits ist die Differenz u s - - % eine Summe tiber die Differenzen u' l~ngs der Be- stimmtheitsIinie S a, so dab wir unter Benutzung der eben gemachten Be- merkung als Schlu~formel (in leicht verst~ndlicher Bezeictmung)

B~

(3) us=uo+Zu' ~2

erhalten.

Wir lassen nun die Masehenweite h gegen Null sgreben, wobei die vorgegebenen Werte auf der zweit;en oder ersten Reihe gegen eine zweimal

stetig di~erenzierbare Fun]rtion f(x)~und die Differenzenquotienten hV~

gegen eine stetig differenzierbare Funktion g(x) gleiehmiil~ig konvergieren mSgem Ottenbar geht dabei die reehte Seite yon (3) gleiehmiil~ig in den Ausdruek

~ + t

(4)

fiber, wenn S gegen den Punkt (t, x) konvergiert. Dies ist der beAca~:n~ Ausdruck der LSsung der Schwingungsgleichung (1) mit den Anfangs-

~u werten u(x, O)--f(x) und -~-(z, O)~-~f'(x)--~ ]/-2~g(x). Damit ist gc-

zeig~, da~ die LSsungen unsexes Diiterenzengleichungsproblems bei abnehmender Maschenweite gegen die LSsung des Di~erentialgleiehung~roblems konvergieren~ wenn wit die Anfangswerte (in der oben angeg~Dene~ Weiae) konvergieren ]assen.

PartieUe Differenzengleichungea der Physik. 61

w

Uber den Einflul~ der Wahl des Gitters. Die Abhiingigkeitsgebiete bei Differenzen- und Differentialgleiehung.

Die imw 1 betrachteten Verh/kltnisse legen folgencle Uberlegtmgen nahe. Ebenso wie fiir die LSsung einer linearen hyperbolischen Differential-

gleiehung im Punkte S nut ein gewisser Tell der Anfangswerte mal3gebend ist, n~mlich das von den Charakteristiken durch S ausgeschnittene ,Ab- h~ngigkeitsgebiet", besitzt auch die L6sung einer Differenzengleichung im Punkte S ein gewisses Abh/ingigkeitsgebiet, das man erh~i|t, indem man die Bestimmtheitslinien vom Punkte S aus zieht. In w 1 fielen nun die Richtungen der BestimmtheitsIinien der DifFerenzengleichung mit den charak- teristischen RichSungen der DifferentialgIeichung zusammen, wod-~ch auch die Abh~ngigkeitsgebiete in der Grenze iibereinstimmten. Diese Tatsache hing aber wesentlich yon der Orientierung des Gitters in der (~, $)-Ebene ab und beruhte ferner daranf, dad wit das Gitter Cluadratisch gew~ihlt hatSen. Wit legen jetzt allgemeiner ein rechteckiges achsenparalleles Gitter zugrunde, dessen Maschenweite in der t-Richtung (Zeitmasche) gleich h und diejenige der x-Richtung (Raummasche) gleich ~h mit kons$antem ~ ist. Das Abh~ngigkei~sgebiet der Differenzengleichung z ~ i - ux~ = 0 ftir dieses Gitter wird ganz im Innern des Abh~ngigkei~sgebietes tier Dif[erentiat-

gleichung a~u ~% ~t~ oz~ = 0 liegen oder wird es selbst in seinem Innera eu~-

halten, je naehdem ob n < 1 oder n > 1 ist. Hie raus ergibt sich eine merkwiirdige Tatsaehe: L~l~t man im Falle

< 1 die Masehenweite h gegen Null abnehmen, so kann die LSsung der Differenzengleichung im allgemeinen nicht gegen die LSsung der Differen- tialgleiehung konvergieren. Xndert man n~imlich etwa bei der Sohwin. gungsgleiehung (1) die Anfangswerte tier LSsung der DifEerentialgleichung in der Umgebung der Endpunkte

und fl des Abh~ngigkeitsgebietes �9 (vgl. Fig. 7), so zeigt die l~ormel (4), dab sieh aueh die LSsung selbst im

/ / x \

/ \

/ / � 9 �9 Q % \ / \ \

/ \ / o �9 �9 �9 �9 %

/ / %%

/ \ / e * �9 �9 �9 �9 �9 %.

/ %. / \

/ " - \ / \

/ o . e �9 . �9 �9 \ P Fig. 7.

PunlC~e (x, t) ~ndert. Fii~ die LSsungen der Dif[erenzengIeichungen im Punkte S sincl aber die Vorgaben in den Punkten ~ und /? irrelevant, da diese aullerhalb des Abh~ngigkei~sgebietes der Differenzengleiehungen Iiegen. -- Da~ im Fa l l en > 1 Konvergenz ststthat, werden wit i m w 3 beweisen. Vgl. hierzu Fig. 9, S. 62.

62 . R. Courant, K. Friedrichs und H. Lewy.

Betraahtet man dagegen z.B. die Differentialgleichung

(5) 2 at~ ~=~ a y e = 0

in den beiden r~umlichen Variablen ~, y und der zeitlichen t , und e~setzt sie dutch entsprechende Di~erenzengleichungen in geradlinigen Gittern,. so ist es im Gegensatz zum FaIle von nut zwei unabh~ingigen Variablen un- mSglich, die Mascheneinteilung so zu w~len, dab die Abh~ngigkeitsgebiete der Diiierenzen- und Differentialgleic~ung zusammenfallen; denn das Ab- hhngigkeitsgebiet der Differenzengleichungen wird ein Viereck, w~hrend das der Diiterentialgleichung ein Kreis ist. Wit werder~ sp~,ter (vgl. w 4) die Mascheneinteilung so w~.hlen, dal~ das Bestimmtheitsgebiet der Differenzen- gleichung d ~ Bestimmtheitsgebiet der Differentialgleichung im Innern ent- ts und zeigen, dal~ wieder Konvergenz stattfindet.

Uberhaup~ wird ein wesentliches Ergebnis dieses Teils sein, dal~ man bei jeder linearefi hyperbolischen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung das Gitter so w~hlen kann, dai~ die LSsung der Differenzen- gleichung gegen die LSsung der Differentialgleichung konvergiert, wenn man die Maschenweiten gegen Null streben l~i~t (vgl. hierzu w167 3, 4, 7, 8).

w

Grenzi ibergang bei bel iebigen reehteck igen Gittern.

W~ betrachten zun~chst wieder die Schwingungsgleichung

(1) ~u 9% ~t ~ 8 x ~ -~- 0 ,

legen abet nunmehr ein rechtecldges achsenpa~alleles Gitter zugrunde, dessen zeitliche Maschenweite h, dessen Raummasche u h ist. Die zu- gehSrige Differenzengleiahung lautet:

1 (u 1 2 us) 1 (u~ - - 2 u o -}- u~) ----- 0 ( 6 ) L ( u ) = P - - U o +

wobei sich die Indizes auf den Mittelpunkt Pound die E~ken P~, P~, Ps, P4 eines ,Elementarrhombus" (vgl. Fig. 8) beziehen. VermSge der Gleichung

3 t*,,

* / / e \ o

�9 / ~ % �9

. e �9 �9 �9 ~ ' , % o �9 . 0 . z . . / . / . . . . .

/ ) . �9 ~ �9 ~ . . . . .

Fig. 8. Fig. 9.

L (u) = 0 k6nnen wir den Weft, der Funktion u in einem Punkte ~q dureh

ihre Wer~e auf demjenigen St/ick der beiden Anfan~reihen t = 0 und : = h

d~rstellen, das man erh~lt, wenn man vom PtmkC~e S aus (vgl. Fig. 6, S. 59)

P~rtielte Differenzengleichungen der Physik. 63:

die zu den Seiten eines Elementarrhombus pa~allelen ,Bestimmtheitslinien" zieht. Wit denken uns die Anfangswerte so vorgegeben, da~ sie mad di~ zwisehen ihnen, gebildeten ersten Differenzenquotienten bei abnehmender Maschenweite und bei festem x gleichm~-t~ig gegen stetige vorgegebene Funktionen auf der Geraden t ~-0 konvergieren. Fiir die LSsungen tier Differenzengleichungen li~l~t sich wohl eine explizite Darstellung dutch ihre Aniangswerte aufstellen (entspreehend (3 ) in w 1); sie ist abet nicht s(~ einfach, dag man unmittelbar den Grenziibergang zu verschwindender Maschenweite ausfiihren kann. Wir schlagen daher einen anderen Weg ein~ der uns die Behandlung auch des allgemeinen Problem ermSglichen wirde4).

Wit multiplizieren den Differenzenausdruek L(u) mit ( % - ua) un& formen das Produkt unter Beachtung der folgenden Indentitiiten urn:

(7) (u~-- ~,~)(u~-- 2Uo+ U~)=(~--Uo)~--(Uo--U~) ~,

(s) (~ , -u~) (~-2~o+U,)=( ,~-Uo)~- (~ ,o -U~) 0- 1 2 [ ( ~ - u~) ~ + ( ~ - ~ , ) ~ - ( ~ - ~)~" - (~, - ~ ) ' ] -

Wir erhalten so

(9) 2 ( ~ , - ~ ) L ( ~ ) = ~

1 + h o ~ [ ( ~ - ~o.) ~ + ( ~ - ~,)~ _ ( ~ - ~ ) ~ _ (~, - ~ ) ~ ] .

Wit summieren nun das Produkt (9) fiber nile Elementarrhomben eines Bestimmtheitsclreiecks S a t3. Die auf der reehten Seito yon (9) auftretenden Differenzenquadrate kommen stets in zwei benachbargen Elemen- tarr~homben vor, mit versehiedenen Vorzeiehen versehen. der Summation fort, sobald beide geh6ren; es bleibt also nur eine Summe von Differe~zenquadraten

(10) h~ ~ . ~ , 2 ul-U~ L(u) h

1

Sie heben sich bei Elementarrhomben zum Dreieck S aft yore Rande des Dreieeks beriihrende iibrig. Wit erhalgen so die Relation=

s~

(1 1 ) ~ ~. 1 [u'~ ~ 1 [u'~: 7

~) Z~nm fotgenden vgl.K.Friedrichs und H. Lewy, Uber die Eindeutigkeit usw., M~th~ Annalen (98 1928), S. 192ff., wo analoge Ul~fomungen flit Integrale benutzt werden.

64 R. Coura~t, K. Friedrichs und H. Lewy.

Hier bedeuten u ' und u' Differenzen in Bestimmtheitsrichtungen wie in w 1, w~rend ~ die Differenz der Funktionswerte in zwei Nachbarpunkten bezeichnet, deren Verbindung~Ainie zuz t-Achse parallel ist. Die Summen sind fiber alle aus zwei Parallelreihen bestehenden Randstreifen zu erstrecken, so dab s~imtliche vorkommenden Differenzen u" u ' , ~ einmal und nut einmal au/treten.

Fiir eine L5sung yon L ( u ) = 0 verschwindet also die rechte Seite yon (10). Die dort auftre~ende Summe fiber die Anfangsreihen I und I I bleibt beschr~nkt, wenn wit die M:aschenweite h (bei festgehaltenem ~) zu Null abnehmen lassen; sie geht n~mlich in ein Integral fiber vorgegebene Funktionen auf der &nfangslinie fiber. Infolgedessen bleiben auch die in (10) fiber S~ und Sfl erstreekten Summen beschr~inkt. ]:st nun,

1 wie wir fordern miissen (vgl. S. 61), z >_ 1, also 1 -- --~ nicht negativ,

so folgt weiter die Beschr~nktheit der einzelnen Summen

' \ h i ' ~ a Sfl

die wit fiber irgendwelche Bestimmtheitslinien erstreckt denken kSnnen. Hieraus kSnnen wir die ,,gleichartige Stetigkeit" (vgl. 1. Tell w 4)

der Folge der Gitterfunktionen in allen Rich~ungen der Ebene ableiten~5); da die Werte yon u auf der Anfangslinie beschrs sind, folgt die Existenz einer gleichm~Big gegen eine Grenzfunktion u (x, t) konvergierenden TeilfoIge.

Zugleich mit der Funktion u genfigen auch flare ersten und zweiten Differenzenquotienten der Differenzengleichung L ( u ) = O. Die Anfangs- werte dieser Differenzenquotienten lassen sieh vermittelst der Gleichung L(u) = 0 dutch solche erste, zweite und dritte Differenzeaquotienten yon u ausdrficken, in denen nur Punkte der beiden Anfaugsreihen I und I I auftreten. Wir verlangen yon ihnen, dab sie gegen stetige Grenzfunktionen streben, d. h. dab etwa die vorgegebenen /knfangswer~e u (x, 0), u~ (x, 0) drei- bzw. zweimal stetig nach x differenzierbar sin&

Danach kSnnen wit unsere oben angestellte Konvergenzbetrachtung anstatt auf u auch auf seine ersten und zweiten Differenzenquo~ienten anwenden, also eine Teilfolge ausw~ihlen, so dab diese Differenzenquotienten gleichm~.fiig gegen Funktionen streben, die daun die ersten bzw. zweiten Ableitungen der Grenzfunktion u (x, t) sein mfissen. Die Grenzfunktion u

25) Sind S 1 und S 2 zwei Punkte im Abstand 8, so verbinde man sie durch einen Streckenzug aus zwei Strecken S~ S und S S~. von denen die erste der einen, die zweite der anderen Bestimmthei~richtung parallel ist. Es gilt dann die Abscl~tzung

s~s 8s~

Par~ielle Differenzengleichn~ngen der Physik. 65

geniigt infoIgedessen der Differentialgleiehung ~u 0% ~t ~ ~X ~ = 0, die in der

Grenze aus cler Differenzengleiehung L ( u ) - - - - 0 entsteht; sie stellt also die LSsung des Anfangswer~problems dar. I)a diese LSsung eindeutig bes$immt ist, konvergiert jede Teilfolge der Gitterfunktionen und damit die Folge selbst gegen die Grenzfunktion.

w

Die Sehwingungsgleichung in drei Variablen.

Wit behandeln nun die Sehwingangsgleiehung

~u ~u ~u__~ 0 (11.) 2 t~ ,~x~ ~y~

und kniipfen an die i m w 2 gemachten Bemerlmngen fiber die Beziehung der Abh~ngigkeitsbereiche an. Das Abh~ngigkeitsgebiet der Differential- gIeiehung (11 ) ist der Kreiskegel mit einer zur t- Richtung parallelen Achse

1 In irgendeinem reehtwinkligen and dem 0ffnmagswinkel a, mit tga ~ - - ~ .

aehsenparalIelen Gitter setzen wit ent~preehend die Differenzengleiehung

(12) 2 u t r - - ux~ -- uy~ ~ 0

an. Dutch sie warden die Funk~ionswerte u iu den Ptmkten eines ,,Ele- mentaroktaeders" miteinander verkniipft. Sis gestat$et, den Funktionswert in einem Ptmkte S eindeutig dutch die Funktionswerte in gewissen Punkten tier beiden Anfangsebenen t = 0 mad t ~ h auszudriicken. Wir erhalten zu jedem Ptml~e Se ine Pyramide der Bestimmtheit, die aus den beiden Grundlinien als Abh~ingigkeitsgebiet zwei Rhomben ausschneidet.

Lassen wit die Masehenweiten etwa unter Festhaltung ihrer Verhi41t- nisse gegen Null streben, so kSnnen wit eine Konvergenz der Folge der Gitterfmaktionen gegen die LSsung der Differentialgleichung hSchstens dana erwarten, wenn die Bestimmtheitspyramide den Bestimmtheitskegel der DifFerentialgleichung im Imneren enthMt. Das einfaehste Gitter dieser Eigensehaft wird dazjenige sein, das so liege, dal3 die Bestimmungspyramide <ten BestimmungskegeI yon attBen beriihrt. Unsere Differentialgleichtmg ist gerade so gewiihlt, da~ dies flit ein kubisches aehsenparalleles Gitter eintritt.

Die Differen-~ngleiehmag (12) nimmt in diesem Gitter in den Be- zeiehnungen der Figur 10 die Gestalt an:

2 1 1 ,(13) L ( u ) = - ~ ( u j - - 2 U o + U~)-" -~(u~ - - 2 uo -- us) - - -~(u~ - - 2 uo~-- u~),

~athemati~l~ Imnaien. tO0. 5

66 1~ Courant, K. Friedrichs und H. Lewy.

in die der Funktionswert u o im Mittelpunkt P fibrigens nicht mehr eingehr Die Werte der LSsung auf den beiden Anfangsebenen seien die Werte einer

viermal stetig naeh x~, y~, t differenzierbaren t

~ s

:U

+4

Fig. 10.

l~unktion. Wit benutzen zum Konvergenzbeweise wieder

die i m w 3 entwickelte Methode, indem ws fiir die LSaung unserer Differenzengleiehung die drei- faehe 8umme

h

bilden, die tiber alle Elementarok~eder der yore Punkte S ausstrahlenden Bestimmtheitspyramide zu erstreeken ist. Auf Grund der fast w5rtlieh zu iibernehmenden Sehlul]weise erkennen wir, da$ die Werte der Funktion u in inneren Punkten der Bestimmtheitspyramide herausfallen und dal~

nur noch Fl~ichensummen fiber die vier Seitendoppetfl~ichen ~' und die be/den Grundfl~ichen I II der Pyra. mide fibrigbleiben.

Bezeictmen wir mit u' die Differenz der Funk-tionswerte in zwei Punkten, die dutch eine Seitenlinie eines Elementaroktaeders verbunden wird, so lautet die entstehende Formel

(14) ~ ' Z (u') ~ -- ~ ' Z ( u ' ) ~ ~- 0, .F I I I

in der fiber s~mtliche auf diesen Fl~iehen enthaltenen Diiferenzen u' zu summieren ist, so da~ jede solehe Differenz nut einmal auftrittu). Da die Doppelsumme fiber die beiden Aniangsfl~hen besehr~i~kt bleib~, weil sie ja in ein Integral fiber Anfangswerte fibergeht, so bleibt aueh die Summe fiber die ,Bestimmtheitsfl~ichen" F b e s c h r ~ t .

Wir wenden unsere Betrachtung anstatt auf u selbst wiedex auf ihr~ ersten, zweiten und dritten Differenzenquotienten, die ja selbst der Diffe- renzengleichung (13) geniigen und deren Anfangswerte vermittels (13)sich dutch erste his vierte Differenzenquotienten allein aus Werten auf den ersten beiden Anfangsebenen ausdrficken lassen. Ist w ~- w h einer der Differenzen- quo~ienten bis zur dritten Ordnung, so wissen wit, dal~ die fiber eine

Bestimmtheitsfl~iche $' erstreckte Summe h ~ ~X~ 2 (~)~-- beschr~nkt bleibt.

Hieraus ergibt sieh abet dureh genau denselben Schluit, den wir im ersten Tell, w 4 angewandt haben, dal~ die Funktion u mit ihren ersten und

~e) Es ist d ~ Girder gerade so gewghlt, dab die Differenzen yon u zwJschen den beiden F l~hen F nicht mehr auftreten.


zweiten Differenzenquotienten gleichartig stetig ist. Es gibt also eine gegen Null abnehmende Folge yon Maschenweiten, so .dal~ diese GrS]en, die ja am Anfang beschr~nkt sind, gegen stetige Grenzhml~tionen konvexgieren, und zwar offenbar gegen die LSsung der Differentialgleichung einschIie~Iich ihrer ersten und zweiten Ableitungen, was genau wie h~iher (w 3) folgt.

Anhang.

Erganzungen und Verallgemeinerangen.

w

Beispiel einer Diilerentialgleiehung erster Ordnung.

Wit haben im w 2 gesehen, da~ unter Umst~nden das Abh~ngigkeitsgebiet der Differentialgleichung m~r einen Tell des Abh~ngigkeitsgebietes der Differenzengleichung ausmach~, and dab also der Einflu~ des Rest- gebie~es in der Grenze herausf~illt. Dies Ph~h~omen kSnnen wir an dem

bu Beispiel der Differentialgleichung erster Ordnung ~ / ~ 0 explizite verfolgen, wenn wir sie dutch die Differenzengleichung

(15) 2 u t - u~--~-u~ 0

ersetzen. Sie lautet ausgeschrieben in den Bezeiehnungeaa der Fig. 5 (S. 59) U2 + U~

(16) ul -- 2 "

Die Diffe~enzengleichung verbindet wieder nut PunkCe eines Teilgitters untereinander. Das Anfangswertproblem besteht darin, dat~ man au/ der Reihe t ~ 0 der l~unlrtion u in den Punkten x-~ 2ih diejenigen Werte f~i vorschreibt, die dor~ eine ste~ige Funktion f(x) annimm~.

Wit betrachten etwa den Punkt Sauf der t-Aehse im Abstande 2 n h. Man verifizier~ leicht die Darstellung de~ LSsung u in S:

(17) u s = 2_~ \ n+ i ) f , , "

Die Summe aui der ~echten Seite strebt bei Verfeinerung der Maschen- weite, d. h. bei n--~c~ einfach gegen den Weft fo- Man entnimmt das aus der Stetigkeit yon f(x) und dem Verhalten eler Binomialkoeffizienten bei wachsendem n. (Vgl. den n~ichsten Paragraphen.)

w

Die Warmeleitmagsgleichung. Die Differenzeng]eichung (16) des w 5 l~Bt sich aueh als A~alogon

einer ganz andezen DiIIerentialgleichung auffassen, n~hnlich dex W~irme- 5*

68 R. Couraut, K. Frie(h-iol~ und H. Lewy.

leitungagleichung Ou O'2 u

(18) 2 ~t ~x ~ = 0.

In irgendeinem rechteckigen aehsenparallelen Gitter lautet die ent- uprechende Differenzengleichung

(19) 2(~u~ u~+u'-2%'~ )"

wo l die Zeit, h die Raummasche ist. Beim Grenziibergang zu verschwindender Maschenweite behalf die Differenzengleichung nur dann ihre Form, wenn 1 proportional mit h ~ abnimmt. Setzen wir insbesondere l ~ h e, so f~,llt der Wert u o aus der Gleiehtmg heraus und es entsteht die Differenzengleichung

(16) ul ~- u~ + u" 2 '

deren. AuflSsung durch die Formel (17) gegeben wird:

(17) u(O, t ) = ~ , - (~ f~,. i---- - - n

Ein Punkt $ der x-Achse ist bei abnehmender Maschenweite immer dutch den Index

(20)

gekennzeichnet. punktes S durch die Gleichung

(21)

festgelegt.

2 i $ h

Die Masehenweite h ist mit der Ordinate t des Auf-

2 n h ~ t

Wit wollen untersuehen, was aus der Formel (17) entsteht, wenn h gegen Null, d. h. n gegen unendlioh strebt. Unter Benutzung der Formel (21) schreiben wit die Gleiehtmg (17) in die Gestalt

(22) u ( 0 , t) - V

Fiir den Koeffizienten von 2 h f ~ i = 2hf ($ ) verwenden wit die Ab- kfirztmg

1 V 2 , ( 2n )

Den Grenzwert dieses Koef~enten, den man gewShnlich mit Hilfe der Stirlingschen Formel bestimmt, wollen wit hiex berechn~n, indem wir die

Par~ietle Differenzengleich~ngea der Phy~ik. 69

Funktion g~. (~) als LSsung einer gewShnliehen Differenzengleichung auf. iassen und den Grenziibergang zu vetsehwindender Masehenweite h und damit zur Differentialgleichung ausfiihren. Als diese Differenzengleichung finder man

1 ( ~ ) 2 i + 1 .

(indem wir g~ (~) anstatt g~(~) sch~eiben). 0der

~h(g~(~ + 2 h ) _ 9~(~)) = _ gn(~) ~+h t - l - h $ + 2h ~"

gn (~) geniigt aul]erdem der Normierungsbedingung

2 2 h - - 2

Diese Summe ist fiber das Abh/ingigkei~sgebiet der Differenzengleiehung zu erstreeken, das, wenn h--* 0 streb$, in der Grenze die ganze x-Achse erfiill~.

Dutch eiafache Uberlegungen erkennt man, da~ gh(~) gleichm/il~ig gegen die LSsung g(x) der Differentialgleiehung

roit der Nebenbedingung

konvergier~. Aus der Formel (2~ entsteht dann dureh Grenziibergang +~ ~

U(0, t ) = f 1 - ~

die bekannte LSsung der W~irm.eleimngsgleichung. Die Be~rach~ungen dieses Paragraphen iibertragen sich ohne weiteres

auf den Fall yon DifferentiaIgleiehungen

Ot Ox ~ by~

usw. bei mehr unabh~mgigea Ver~inderliehen.

w

Die aUgemeine lineare homogene Differentialgleiehung zweiter Ordnung in der Ebene.

Wit behandeln die Differentialgleichung

70 R. Courant, I~L Friedrichs und H. Lewy.

Die Koeftizienten sind zweimal stetig nach x, t differenzierbar, wiihrend die Anfangswerte auf der Geraden t ~--0 dreimalig stetig nach x differenzierbar sind. Wir ersetzen die Differentialgleichung in einem Gitter mit der Zeitmaschenweite h und der Raummaschenweite nh, so da~ in einer

/r Umgebung des zu betrachtenden Stiickes der Anfangsgeraden 1 -- ~-~ > e > 0 fiir unser konstantes ~ gilt, dutch die Differenzengleichung

(24) L(u)---utT(x,t)--k~ux~(x,t)+aut-~-flux-I-7'u=O

und w~hlen die Anfangswerte wie in w 3 (vgl. S. 63). Zum Konvergenzbeweis formen wit wieder die Summe

h Sail

unter Verwendung der Identit~iten (7), (8) urn. Aul~er einer Summe (vgl. (10)) fiber den Rand des Dreiecks Sail (vgl. Fig. 6) tritt dann noeh eine fiber das ganze Dreieck S aft erstreckte Summe auf, deren absoluter Betrag sich nach oben mit Hilfe der Schwarzschen Ungleiehung durch

~~ z z [(~)~ + (})~ (~)~ u~] Z afl e

abschiitzen l~il~t, wo die Konstante C nicht yon der Funktion u, der Maschenweite h und in einer gewissen Umgebung der Anfangslinie auch nicht yore Punkte S abhiingt.

Hier kSnnen wit weiter h~Z.Zu ~ nach oben dutch Sail

Sa i l I I l

abschiitzen::), wo ffir die Konstanten C 1, C~ dasselbe gilt, was iiir C gesagt wurde.

Wit erhalten so eine Ungleichung yon der Form

- ~ j (-i-)"+-~ d-)~ (21) ,,$a

+hZ[2(1--~) (h)~ +~-\-~ ) J s,e

<-s ~ , ~ ~ [(t-)~ + (~)~ (9 ~ + ~,, ,.gaff

wo D eine fiir alIe Punkte S and Maschenweiten h feste Schranke fiir die auftretenden Summen fiber die Anfangsgerade ist.

2~) YgL zum Beweise die verwandte Ungleichung S. 64 unten.


Als Spitzen S unserer Dreiecke w~hlen wir nun yon der Anfangs- geraden ausgehend der Reihe nach die Punkte So, $1, . . . , S , = S auf einer Parallelen zur t-Aehse. Dutch Summation der zagehSrigen Ungleichungen (25) kSnnen wit die Ungleiehung

(26) h~ , ~ t2 ( 1 - W~)(h) ~-{- -~Y \ h ) j S8oa

$8o/~ [ u , \ e .

s a ~

erhalten. Beachten wir nun, dal man eine Differenz u' bzw. u' durch zwei Differenzen d und eine Differenz u' bzw. u' ausdriicken kann, so ergibt sich, dab wit die Iinke Seite yon (26) hSchstens verkleinem, wenn wit sie dureh

~ ' a b >

ersetzen. Besehr~nken wit uns nun auf eine solehe Umgebung t-~ n h der Anfangsgeraden, in der

o, - ho= = Q > o ist, so erhalten wir aus (26)

+ o, D Z a 8

Aus der in (27) ausgedrfickten Beschr~ul~theit der ]jnlren Sei~e ergibt sich naeh (25) die Beschranktheit von

woraus sich wie in w 3 die gleieha~tige Stetigkeit yon u ergibt. Wit wenden die Ungleichung (25) anstatt auf die Funk~ion u selbst

auf deren erste und zweite Differenzenquotienten w an, die aueh Diffe- �9 enzengleiehungen geniigen, deren Glieder zweiter Ordnung wie in (24) lauten. In den Zusatzgliedern kBnnen zwar noch Ableitungen yon u auftreten, die sich nicht dutch w ausdriicken lassen, abet deren mit h e multiplizierte Fl~ehenquadratsumme schon als beschr~nkt angenommen werden kann. Das abet geniigt, um auf diese Differenzengleichung fiir w denselben Sehlul anzuwenden, den wit oben auf u angewandt haben. Wit kBnnen sonar die gleichartige Stetigkeit und Beschr~nktheit der F u ~ - tionen u und ihrer ersten und zweiten Ableitungen folgern, die infolgedessen eine TeflfoIge besitzen, die gleichm~iBig gegen die LSsung des

72 R. Coura~t, K. Friedrichs und H. Lewy.

Anfangswertproblems der Differentialgleiehung konvergiert. Aus deren Ein- deufigkeit folgt wieder, dal~ die Fanktionenfolge selber konvergiert.

Wit miissen dabei allerdings voraussetzen, dal] die Differenzenquor bis zur clritten Ordnung auf und zwisehen den beiden Anfangsreihen gleich- mMlig gegen stetige Grenzfunlrtionen konvergieren~S).

8. '

Das Anfangswertproblem einer beliebigen hyperbolischen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Wir wollen nun zeigen, da~ die bisher entwickelten Methoden dazu ausreichen, das Anfangswertproblem einer beliebigen linearen homogenen hyperbolischen Differentialgleichung zweiter Ordnung zu lSsen. Es geniigt dabei, sich auf den Fall yon drei Variablen zu beschr~nken. Der Gedanken- gang l~fit sich unmittelbar auf mehr Variable iibertragen. Man kann leicht einsehen, da~ das allgemeinste derartige Problem durch eine Variablen- transformation auf folgendes zuriickgefiihrt werden kann: Eine Funktion u (x, y, t) zu finden, die der Differentialgleichung

(28) u ~ t - - ( a u ~ x -+- 2 b u ~ y -}- c u y y ) -{- a u t - ~ f l u ~ + 7 u y -]-- ,~ u --- O

geniigt und die mit ihren ersten Ableitungen auf der F l~he t ~-0 vorgegebene Werte ahnimmt. Dabei sol|en die Koeffizienten Funktionen der Variablen x, y, t sein und den Bedingungen

a > O , c > O , a c - - b ~ > O geniigen.

Die Koeffizienten setzen wir dabei Ms dreimal naeh x , y , t , und die Anfangswerte u als viermal bzw. u s als dreimal naeh x , y stetig differenzierbar voraus.

Wir denken uns ferner die Koordinaten x und y um einen Punkt der Anfangsebene so gedreht, da$ in ihm b = 0 ist. Dann ist in einer gewissen Umgebung G dieses Punktes sieher die Bedingung

a--tbl>O, c--lbl>O erfiillt, huf diese Umgebung beschr~nken wit unsere Betrachtungen. Wit kSnnen dann eine dreimal stetig differenzierbare Funktion d > 0 so wiihlen, dab

(-29) c - - d > e > O

d-ib[ ~s) Diese Voran~etzung und die fiber die Differenzierbarkeit tier Koeffizienten

der DifferenCaalgleichung und ferner die Besohr~nkung auf eine geniigend kleine Um- gebung dex Anfaugsgeraden lassen sioh in Sonderf'allen mildexm


mit konstantem e gilt. Dann se~zen wit die Differentialgleichung die Form

(d + b) (u== + 2 + u~) (30) u t , - (a -- d)u:~ -- (c -- d)uy u -- -~ ux~

i (d -- b ) ( u : ~ - 2 u=~, + u,,,,) + ,u~ + ~u~ + r% + ~u = o. 2

Wir ]/egen nun in den Raum das Gitter der Punkte

in

t = l h , z + y = m z h , z - - y = n z h ( l , m , n = . . . - - 1 , O, 1 , 2 , . . . )

- I 8 - o5

4~- ,0

7 . "6

Fig. 11.

und ersetzen die Gleichung (30) (lurch eine Diffe- renzengleichung L(u)----0 in diesem Gitter. Wit ordnen zu dem Zweck jedem Gitterpunkt Po folgende Nachbarpunkte zu: Die Punkte P , bzw. P,, die aus Po dutch Verschiebung u m h bzw. - - h in Richtung der t-Achse entstehenk ferner die Punkte P~, . . . , Ps, die mit Po in derselben Parallelebene zur (x, y)- Ebene liegen; vgl. Fig. 11. Diese Punkte bilden ein ,Elementaroktaeder ~ mit a~, E~kvu~kt~. Po,, Po, p~, p~, p~, p,.

u~u dutch 1 ( u l - - 2 u o + u s) ~2h2

4 (u~ - 2uo § u~) % ~ + 2 % y - k u ~ y dutch ~ h ~

4 ( u ~ - 2 u o § u ~ -- 2 u~u -+- uuy dutch ~ h ~

Die in (30) auf~retenden ersten Differentialquotienten ersetzen wir dutch irgendwelche entsprechende Differenzene/uotienten in dem Elementar- oktaeder. Den Koeffizienten in der Differenzengleichung geben wit die Werte, die die Koeffizienten de~ Differentialgleiehung im Punkte Po annehmen.

Auf den ersten beiden Anfangsebenen t-~-0 und t----h denken wit uns die Funktionswerte so vorgegeben, dab sie bei Verfeinerung der Maschenweiten unter FesthaI~ung des Verh/iltn/sses ~ dex Raum- zur Zeif~

1 u~ ~ dutch ~ ~ h ~ (u: -- 2 u o ~ u~)

Fiir jeden Gitterpunkt Po, der innerhalb yon G liegL ersetzen wir die in (30) auitretenden zweiten Differentiatquotienten folgendermal]en durch Differenzenquotienten aus dem zu Po gehSrigen Elementaroktaeder.

Wir ersetzen

utt durch 1 ~o (uo,-2Uo+Ua)

74 R. Coumnt, K. Friedrichs u. H. Lewy. Partielle Differenzengleichungen der Physik.

maschenweite gegen die vorgegebenen knfangswer~e auf t = 0 streben, wobei die zwischen den beiden Ebenen t = 0 und t - - h gebildeten Diffe- renzenquotienten bis zur vierten Ordnung gegen die entsprechenden vorgegebenen Differentialquotienten gleichm~iBig konvergieren sollen.

Die LSsung der Differenzengleichung L ( u ) = 0 in einem Pnnkte ist eindeutig dutch die Werte auf des beiden Grundfl~ichen der dutch ihn gehenden Bestimmtheitspyramide bestimmt.

Fiir den Konvergenzbeweis bilden wit die fiber alle Elementaroktaeder einer Bestimmtheitspyramide erstreckte Summe

h

und formen sie vermittels der Identit~ten (7), (8) urn. Dadurch entsteht einmal eine mit h 3 multiplizierte Raumsumme, die in den ersten Diffe- renzenquotienten quadratisch ist, und ferner eine mit h ~ multiplizierte Summe fiber die Seitendoppelfl~ch~ in denen die Quadrate a l l e r auf und zwischen den Doppelfl~chen vorkommenden Differenzenquotienten vom Typus u~ - - u o, u ~ - u 1, . . . , u ~ - u s auftreten, wobei ihre Koeffizienten wegen (29) gr5Ber als eine feste positive Konstante sind, wenn wit fiber-

dies noch das Verh~ltnis 1 - - von Zeit- zu Raummaschenweite geniigend X

klein w~ihlen. Von bier aus kSnnen wit ganz ebenso vorgehen wie in den w167 7, 4

und nachweisen, dab die LSsungen unserer Differenzengleichung gegen die LSsung der Differentialgleichung konvergieren.

(Eingegangen am 1.9. 1927.)

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