La Conjecture ABC

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A very lucid description of the ABC conjecture in number theory

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  • LA CONJECTURE abc

    Autor(en): Nitaj, Abderrahmane

    Objekttyp: Article

    Zeitschrift: L'Enseignement Mathmatique

    Band(Jahr): 42(1996)

    Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHMATIQUE

    Persistenter Link: http://dx.doi.org/10.5169/seals-87869

    Erstellt am: Jul 17, 2013

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    Ein Dienst der ETH-BibliothekRmistrasse 101, 8092 Zrich, Schweiz

    [email protected]://retro.seals.ch

  • LA CONJECTURE abc

    par Abderrahmane Nitaj

    1. Introduction

    En 1637, Pierre de Fermt crivait dans la marge des uvres de Diophantequ'il avait trouv une belle dmonstration du thorme suivant:

    Thorme 1.1. Pour tout entier n 3, les seules solutions entires(x, y, z) de l'quation

    sont telles que xyz = 0.

    Non seulement cette dmonstration ne fut jamais retrouve, mais jusqu'en1995 personne n'a russi dmontrer ce thorme dans sa gnralit. Lestravaux rcents de A. Wiles viennent enfin d'y parvenir. Le thormede Fermt se distingue donc particulirement par la simplicit de son noncet par la difficult de sa rsolution. Il a illustr l'volution de certainesbranches des mathmatiques (thorie des nombres, gomtrie algbrique, ...).Pourtant, isol, le thorme de Fermt n'a pas une grande importance. Ila repris de l'intrt ds qu'on l'a reli d'autres problmes de mathmatiqueset notamment la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil. Laconjecture abc de J. Oesterl et D. W. Masser est ne dans ce contexte: romprel'isolement du thorme de Fermt. Mme si cette conjecture n'impliqueque la version asymptotique du thorme de Fermt, son importance enthorie des nombres est grande. Sa dmonstration permet en effet de rsoudreplusieurs autres problmes ouverts.

    Le but de cet article est de donner une description de la conjecture abc(partie 2) et d'numrer la plupart de ses consquences (partie 3). La partie 4est consacre l'tude de certaines mthodes permettant de tester numriquementla conjecture abc et d'en prvoir une forme effective. Enfin, lapartie 5 prsente quelques gnralisations possibles de la conjecture abc.

  • 2. La conjecture abc

    Dans cette partie, nous allons rappeler la conjecture abc, ainsi que lesquelques tentatives qui ont t faites pour essayer de la dmontrer. Ladfinition suivante est troitement lie la conjecture abc.

    Dfinition 2.1. Soit n un entier non nul. On appelle radical de net on crit r(n) le produit

    des facteurs premiers distincts divisant n, avec par convention r(\) = 1Le radical est quelquefois appel support, conducteur ou noyau et

    vrifie r{n) \n.Motivs par un thorme de Mason ([lo], [20]) sur les polynmes et

    par certaines conjectures de Szpiro [31], J. Oesterl et D.W. Masseront formul en 1985 la conjecture suivante, plus connue sous le nom deconjecture abc [20]:

    Conjecture 2.2. {abc). Pour tout s>o, // existe une constantec(s) >0 telle que pour tout triplet (a, b, c) d'entiers positifs, vrifianta+b=c et (a, b) = 1 on ait:

    Une premire analyse de l'ingalit de la conjecture abc montre que siun triplet (a,b,c) d'entiers positifs vrifie a + b = c et (a, b) = 1, alorsle produit abc est compos de nombres premiers distincts avec pour laplupart un exposant relativement petit. On peut constater ce fait dans lestables de factorisation de nombres de la forme a n - b n , donnes la fin dulivre de H. Riesel (voir [24], pp. 388-437).

    Pour s > 0 fix, la constante c(s) qui lui correspond dans la conjectureabc peut tre unique, en prenant:

    (2.3)

    avec /= {(a, b, c) e N 3 , (a, b) =I,a+b= c}. Quant la possibilit deprendre s = 0 dans la conjecture abc, la proposition suivante montre que cechoix n'est pas possible.

  • Proposition 2.4. Pour s>o, soit c(z) la constante dfiniepar (2.3) vrifiant l'ingalit de la conjecture abc. Alors

    Preuve. On dfinit les entiers x n et y n par la relation:

    Alors pour tout 1, 1+ 2y2n2

    n= xx

    2

    n.

    Si n= 2 m , on vrifie facilementpar rcurrence que 2m2 m + l \y n . Appliquons la conjecture abc la relationxx

    2

    n=

    1 + 2j^. On obtient pour n = 2 m :

    Alors c(e) 2m2 m < 1 + E V** e et donc

    ce qui montre que lim c(s) =+ 00.s-> 0Des dmonstrations diffrentes de la proposition 2.4. se trouvent

    dans [10] et [20].Depuis sa formulation en 1985, peu de rsultats thoriques ont t

    dcouverts sur la conjecture abc. Il n'existe actuellement que deux thormesla concernant. Les dmonstrations de ces deux thormes s'appuyent surdes mthodes utilisant des formes linaires de logarithmes complexes et/?-adiques. Nous donnons ici ces deux thormes. Leurs dmonstrations setrouvent dans [29] et [30] respectivement.

    Thorme 2.5. (Stewart, Tijdeman, 1986). // existe une constante effectivementcalculable k>o telle que, pour tout triplet {a, b, c) d'entierspositifs, vrifiant a+b=c et (a,b) = 1 on ait:

    Thorme 2.6. (Stewart, Yu, 1990). // existe une constante effectivementcalculable k>o telle que, pour tout triplet (a, b, c) d'entierspositifs, vrifiant a+b=c et (a, b) = 1 on ait:

    Remarquons que les ingalits des deux thormes ci-dessus sont exponentiellesen r(abc), alors que l'ingalit de la conjecture abc est seulementpolynomiale.

  • 3. Applications de la conjecture abc

    Dans cette partie, nous dcrivons la plupart des consquences de laconjecture abc montrant ainsi son importance en thorie des nombres.

    3.1. Les conjectures de SzpiroLes conjectures de Szpiro sont antrieures (1983) la conjecture abc et

    certaines d'entre elles ont les mmes consquences. Nous donnons deux de cesconjectures. La conjecture suivante est une consquence de la conjecture abcet a t trs tudie ([l3], [15], [17], [31]).

    Conjecture 3.1.1. (Szpiro, forme forte). Pour tout e>o, // existeune constante c(e) >0 telle que pour toute courbe elliptique semistableE sur Q, de discriminant minimal AEA E et de conducteur NENEon ait:

    Le conducteur d'une courbe elliptique semi-stable est le radical de son discriminantminimal. Pour une dfinition exacte du conducteur, on peutconsulter [27].

    La conjecture suivante est connue aussi sous le nom de conjecture deLang-Szpiro.

    Conjecture 3.1.2. Pour tout s>o et pour tout couple (A,B)d'entiers premiers entre eux, il existe une constante c(z,A,B) >0 telle quepour tous les entiers u, u, k vrifiant {Au, Bu) = 1 et k= Au 3 + Bu 2 ,on ait:

    Proposition 3.1.3. La conjecture abc est quivalente la conjecture3.1.2.

    Preuve. Admettons d'abord la conjecture abc. Soient A,B,u,v et kdes entiers tels que (Au, Bu) =1 et k= Au 3 + Bu 2 . La conjecture abcdonne :

  • Supposons que |,4w 3 |^|^ 2 | (le cas inverse se fait de la mmemanire), alors |u|< c 3 (A, B) \u | 2/3 . En reportant cette majoration dansl'ingalit ci-dessus, on obtient:

    et par suite:

    Prenons s tel que 1 - 5s > 0 et posons s' = 18e/(l - se), alors:

    On obtient alors pour | u \ :

    Ceci prouve la conjecture 3.1.2.Inversement, admettons la conjecture 3.1.2. Soient a, b et c des entiers

    positifs vrifiant a< b, a + b = c et (a, b) = 1 . Alors :

    Cette relation peut tre ventuellement simplifie par 333 3 si a =b (mod 3).En appliquant la conjecture 3.1.2, on obtient:

    et donc:

    et finalement

    Ceci prouve la conjecture abc.

    3.2. Consquences sur les triplets d'entiersLes propositions suivantes montrent l'influence de la conjecture abc sur

    l'architecture des triplets d'entiers.

    Proposition 3.2.1. Si la conjecture abc est vraie, alors pourtout s>o, // existe une constante c(e) telle que pour tout triplet

  • (*i ,X 2,x 3 ) d'entiers positifs, vrifiant x x +x2=x3 et (jci , x 2 ) =1, des #,-

    ,/e { 1

    ,

    2, 3 }, vrifie:

    Cette proposition fait apparatre un lien entre la conjecture #&c et lethorme de Fermt. Nous avons aussi le rsultat suivant:

    Thorme 3.2.2. Si la conjecture abc est vraie, alors pour tout s>oet tout entier a 1, // existe une constante Ci(e, a) >0 telle que pourtout entier n^2 et tout entier x^2 vrifiant (a, x) = 1 on ait:

    Preuve. Soit 8 fix tel que o

  • Conjecture 3.3.1. Soit a 2. // existe une infinit de nombrespremiers p tels que aa p ~l~ l #1 (mod p 2 ).

    J.H.Silverman [28] a montr que cette conjecture est une consquencede la conjecture abc.

    3.4. La conjecture de MordellUne des consquences les plus tonnantes de la conjecture abc est le fait

    que celle-ci implique tout simplement la conjecture de Mordell, devenuethorme de Faltings:

    Toute courbe de genre g 2 dfinie sur Q n'admet qu'un nombrefini de points rationnels.

    Cette conjecture a t redmontre par la suite par P. Vojta [34] etE. Bombieri [I]. En 1991, N.D. Elkies a dtermin son lien avec la conjectureabc (voir [4]).

    Thorme 3.4.1. (Elkies). La conjecture abc implique la conjecturede Mordell.

    A la fin de son article, Elkies donne le corollaire suivant:

    Corollaire 3.4.2. (Elkies). La conjecture abc implique que pour toutB>o et tout polynme Pe Z[X, Y], homogne, de degr d et sansfacteurs carrs, il existe une constante c(s, P) telle que pour tout couple(a,b) d'entiers premiers entre eux, vrifiant P(a, b) = 0 on ait:

    3.5. La conjecture d'Erds-WoodsLa conjecture suivante a t formule par P. Erds, puis par Woods

    en 1981.

    Conjecture 3.5.1. (Erd