Lernmittelkonzept: Mathematik Beratungshilfe für ... · Die Bereiche des Fachs sind hier...

Beratungshilfe für Fachkonferenzen und Kompetenzteams Ein Beitrag zur Unterrichtsentwicklung und individuellen Förderung

Hans-Jürgen Elschenbroich

Lernmittelkonzept: Mathematik

Impressum

HerausgeberMedienberatung NRWBertha-von-Suttner-Platz 140227 DüsseldorfT 0211.89-21836F 0211.89-29800www.medienberatung.nrw.de

HotlineT 01801.666555

FotoWolfgang Vaupel

Gestaltungwww.launchcontrol.net

DruckereiICS, Bergisch-Gladbach

aktualisierte Auflage Düsseldorf 2007

Die Medienberatung NRW ist ein gemeinsames Angebot des Medienzentrums Rheinland und des LWL-Medienzentrums für Westfalen im Auftrag des Landes NRW und der Landschaftsverbände Rheinland und Westfalen-Lippe.

Lernmittelkonzept: Mathematik

Beratungshilfe für Fachkonferenzen und Kompetenzteams Ein Beitrag zur Unterrichtsentwicklung und individuellen Förderung

Hans-Jürgen Elschenbroich

www.bibliothek.schulministerium.nrw.dewww.medienberatung.nrw.de

Vorwort

Sehr geehrte Kolleginnen und Kollegen der Mathematik,liebe Mitglieder der Kompetenzteams NRW,

unsere Schülerinnen und Schüler wollen aktiv sein im Unterricht und möglichst viel selbst entdecken. Sie lernen so mehr und besser und haben – bei aller Anstrengung – auch Spaß dabei.

Ein aktiver und tätiger Lerner braucht Werk-zeuge für seine Arbeit. Durch die Entwicklung der Medientechnik stehen heute moderne Werkzeuge im Unterricht zur Verfügung. Es handelt sich dabei sowohl um allgemeine fachübergreifende als auch um spezifisch mathematische Werkzeuge.

Der Kernlehrplan Mathematik benennt die Lernmöglichkeiten digitaler Werkzeuge, die Sie in Ihrem Unterricht – zusätzlich zum klas-sischen Schulbuch, der Tafel etc. – einsetzen,

um die geforderten Fachkompetenzen bei den Schülerinnen und Schülern ziel-gerichtet zu fördern und auszubilden. Wir geben Ihnen konkrete Hilfen für die Auswahl und den Einsatz des Computers in Ihrem Fach Mathematik.

Über die im Kernlehrplan genannten Anwendungsmöglichkeiten hinaus machen wir Ihnen auch Vorschläge für eine fachübergreifende Medienkompetenz für das Lernen, die Sie in Ihrem Unterricht fördern und gleichzeitig nutzen können.

Wenn Sie auf der Grundlage des neuen Kernlehrplans Ihr schulinternes Curri-culum erarbeiten, dann möchten wir Ihnen Tipps geben, wie und womit Sie die formulierten Kompetenzziele erreichen können. Sie müssen sich dabei für Lern-mittel entscheiden. Das Schulbuch ist dabei meist das Leitmedium, das aber die gewünschten Kompetenzen nur zusammen mit ergänzenden digitalen Lernmit-teln erreichen kann.

Erarbeiten Sie sich ein möglichst differenziertes und konkretes Lernmittelkon-zept, das neben dem klassischen Schulbuch auch klare Vereinbarungen über die einzusetzende mathematische Software und andere digitale Lern-Werkzeuge enthält. Wir wissen alle aus Erfahrung, dass unsere Schülerinnen und Schüler besser lernen, wenn ihre Lehrerinnen und Lehrer sich über Methoden und Lern-werkzeuge einig sind.

Gelingt das im Fach, dann ist das eine gute Basis für fachübergreifende Abspra-chen zu Lernmethoden und Medienkompetenz. Ziel ist ein Medienkonzept der Schule, das die Grundlage für eine Lernkultur schafft, in der die Schülerinnen und Schüler aktiv sind, Zusammenhänge entdecken und möglichst selbstständig ler-nen können, weil sie über die dazu notwendigen Methoden beherrschen und mit den entsprechenden Medienwerkzeugen kompetent umgehen können.

Ihr Kompetenzteam (www.kompetenzteams.schulministerium.nrw.de) kann Ihnen auf diesem Weg helfen. Nutzen Sie dieses Angebot. Selbst wenn es keine Fachkol-legin bzw. Fachkollegen in Ihrem Kompetenzteam geben sollte, können Sie wichtige Unterstützung erfahren und ggfs. Hilfe vermittelt bekommen.

Ich wünsche Ihnen viel Spaß bei der Lektüre. Hans-Jürgen Elschenbroich danke ich für sein großes fachliches Wissen und Engagement, das er in diese Beratungs-hilfe investiert hat, um Ihnen fachkundige Auskunft und Hilfestellung zu geben.

Wolfgang Vaupel, Medienberatung NRWWolgang Vaupel, Geschäftsführer derMedienberatung NRW

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Unterrichtsentwicklung und Medieneinsatz im Fach Mathematik Eine Beratungshilfe auf dem Weg zu einem Lernmittelkonzept

Standardsetzung

1. Von PISA zu den Bildungsstandards 10 2. Bildungsstandards Primarbereich 11 3. Richtlinien und Lehrpläne Grundschule NRW 12 4. Kernlehrpläne Mathematik NRW Sekundarstufe I 15 5. Lernstandserhebungen 16

Konzeptentwicklung

6. Lehren und Lernen 18 7. Kernlehrpläne und neue Medien 20 8. Lernkompetenzen und Medienkompetenzen 20 9. Zum Beispiel: Pythagoras 23 10. Zum Beispiel: Funktionen 24 11. Üben 26 12. Medien und Methoden 28 13. Integrierte Lernumgebungen 29 14. Lernmittelkonzept 32

Neue Medien im Mathematik-Unterricht

15. Dynamische Visualisierung 34 16. Dynamische Geometrie-Software 35 17. Raumgeometrie-Software 37 18. Tabellenkalkulation 38 19. Funktionenplotter und CAS 39 20. Handhelds und Laptops 41 21. Kostenfreie Software 43 22. Mathematik im Internet 44 23. Didaktik-Bücher zum Computereinsatz 45

Umsetzung

24. Aufgaben der Fachkonferenz 47 25. Aufgaben der Kompetenzteams NRW 48 26. Fortbildungsangebote 49 27. Checkliste 52

Literatur

FWUMEDIEN FÜR DEN UNTERRICHT

Geometrie – Berechnung von FlächenWie lässt sich der Flächeninhalt einer geo-

metrischen Figur berechnen? Die Filmse-

quenzen auf dieser didaktischen DVD zeigen

anschaulich, wie verschiedene geometrische

Formeln hergeleitet werden können. So kön-

nen z. B. durch das Falten bzw. Zerschneiden

von Papierfiguren die Formeln für die Flä-

chenberechnung von Parallelogramm, Raute,

Trapez und Dreieck erschlossen werden. Im

Kapitel „Kreis“ wird auf die Berechnung des

Umfangs und der Fläche von Kreisen einge-

gangen. Mithilfe zahlreicher Aufgaben aus

dem Alltag der Schüler kann das Erlernte

umgesetzt und vertieft werden.

(Mathematik)

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Bildung ist ein wesentlicher Motor für jede Gesellschaft. Das FWU Institut für Film und Bild in Wissenschaft und

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Medienberatung NRW > Auf dem Weg zum Lernmittelkonzept – Eine Beratungshilfe

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Kompetenzen und ihre Vernetzung mit den fachlichen Inhalten. Vor allem hier ist ein erheblicher Fortbildungsbedarf zu erwarten.

In Anlehnung sowohl an PISA als auch an die Gepflogenheiten im Abitur werden dazu drei Anforderungsbereiche charakterisiert:– I: Reproduzieren– II: Zusammenhänge herstellen– III: Verallgemeinern und Reflektieren.

Die Bundesländer haben sich verpflichtet, die Bildungsstandards der KMK umzu-setzen. Dies geschieht in NRW durch die Kernlehrpläne (siehe Kap. 4).

2. Bildungsstandards Primarbereich

Die Bildungsstandards für den Primarbereich3 sind Ende 2004, also ca. ein Jahr nach denen für den Mittleren Schulabschluss, erschienen. Sie haben mit den Stan-dards für den Mittleren Schulabschluss deutliche strukturelle Gemeinsamkeiten in der Formulierung der allgemeinen und inhaltsbezogenen mathematischen Kom-petenzen.

Als allgemeine mathematische Kompetenzen werden identifiziert: – Problemlösen – Kommunizieren – Argumentieren – Modellieren und – Darstellen.

Die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind wieder nach Leitideen strukturiert: – Zahlen und Operationen – Raum und Form – Muster und Strukturen – Größen und Messen – Daten – Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.

Dies wird dann detaillierter ausgeführt und operationalisiert formuliert. Zahlreiche Aufgabenbeispiele konkretisieren die Kompetenzen und Kompetenzerwartungen und stellen explizit den Bezug zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen und zu den inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen her.

Standardsetzung

1. Von PISA zu den Bildungsstandards

Die Ausarbeitung der Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz (KMK) für das Fach Mathematik wurde wesentlich von der PISA-Studie mit ihrer Definition der mathe-matical literacy1 geprägt:

„Mathematische Grundbildung ist die Fähigkeit einer Person, die Rolle zu erkennen und zu verstehen, die Mathematik in der Welt spielt, fundierte mathematische Urteile abzugeben und sich auf eine Weise mit der Mathematik zu befassen, die den Anforderungen des gegenwärtigen und künftigen Lebens dieser Person als konstruktivem, engagiertem und reflektierendem Bürger entspricht.“

Die Bildungsstandards der KMK für den Mittleren Schulabschluss formulieren in Anlehnung an PISA allgemeine und inhaltsbezogene mathematische Kompeten-zen. Deren Zusammenspiel wird in folgender Grafik verdeutlicht2.

Die mathematischen Inhalte werden dabei nach den Leitideen Zahl, Messen, Raum und Form, funktionaler Zusammenhang, Daten und Zufall gegliedert. Dies ist für die meisten Lehrerinnen und Lehrer weder überraschend noch strittig. Neu ist jedoch die an PISA orientierte Formulierung der allgemeinen mathematischen

1 www.mpib-berlin.mpg.de/pisa/ 2 www.kmk.org/schul/Bildungsstandards/Mathematik_MSA_BS_04-12-2003.pdf

3 http://www.kmk.org/schul/Bildungsstandards/Grundschule_Mathematik_BS_307KMK.pdf

Problememathematisch

lösen

mathematisch modellieren

mathematisch argumentieren

mathematische Darstellungen

verwendenkommunizieren

Auseinandesetzung mit mathematischen

Inhalten

mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der

Mathematik umgehen

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Aufgabenstellung:Wilhelm hat mit Holzwürfeln gebaut.

1. Aufgabe: Aus wie vielen Würfeln besteht dieses Bauwerk? (AB II)

Bezug zu den Standards:• mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden • eine Darstellung in eine andere übertragen

° über räumliches Vorstellungs- vermögen verfügen ° zwei- und dreidimensionale Dar- stellungen von Bauwerken (z. B. Würfelgebäuden) zueinander in Be- ziehung setzen (nach Vorlage bauen, zu Bauten Baupläne erstellen, Kanten- modelle und Netze untersuchen)

3. Richtlinien und Lehrpläne Grundschule NRW

Die Richtlinien und Lehrpläne4 formulieren im allgemeinen Richtlinienteil unter Lernen und Lehren in der Grundschule (S. 18) folgende Grundsätze für das Arbei-ten mit Medien:

Die Informations- und Kommunikationstechnologien sind ebenso wie die traditionellen Medien Hilfsmittel des Lernens und Gegenstand des Unterrichts. Der Unterricht in der Grundschule vermittelt den Schülerinnen und Schülern demnach eine Orientierung über wich-tige Informationsmöglichkeiten und leitet sie an, die Informations- und Kommunikationsmedien sinnvoll zu nutzen. Indem die Medien selbst zum Gegenstand der Arbeit im Unterricht werden, erfahren die Schülerinnen und Schüler Möglichkeiten und Beschränkungen einer durch Medien geprägten Lebenswirklichkeit. Die systemati-sche Arbeit mit Medien trägt dazu bei, die Medienkompetenz der Schülerinnen und Schüler zu entwickeln.

4 MSJK (2003): Richtlinien und Lehrpläne zur Erprobung für die Grundschule in Nordrhein-Westfalen. Ritterbach Verlag, Frechen.

Als Anforderungsbereiche werden wie beim Mittleren Schulabschluss benannt: – I: Reproduzieren– II: Zusammenhänge herstellen– III: Verallgemeinern und Reflektieren.

Das neue Duden-Lehrwerk Mathematik

Konsequente und praktikable Verbindung der prozessorientiertenKompetenzentwicklung mit den mathematischen Inhalten

Attraktives und umfassendes Aufgabenangebot, mit dem alleAnforderungen an die Kompetenzentwicklung erfüllt werden

Klare Strukturen für ein selbstständiges Lernen

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2006059_Anz_NRW_Mathe 17.02.2006 14:58 Uhr Seite 1

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Im Lehrplan Mathematik wird dann unter Prinzipien der Unterrichtsgestaltung (S. 75) zum Medieneinsatz weiter ausgeführt:

Im Mathematikunterricht lernen die Schülerinnen und Schüler auch Lernmöglichkeiten mit elektronischen Medien kennen. Informations-plattformen und Software für Grundschülerinnen und Grundschüler, die die didaktischen Leitvorstellungen eines entdeckenden Mathema-tikunterrichts berücksichtigen, können in einem differenzierenden Un-terricht mit offenen Lernformen eine sinnvolle Unterstützung darstel-len. Taschenrechner gehören zum Alltag. Sie ergänzen das mündliche, halbschriftliche und schriftliche Rechnen und unterstützen Prozesse des Entdeckens mit hohem numerischen Aufwand oder die Kontrol-le von Rechnungen. Der verständige Gebrauch setzt sichere Kopfre-chenfertigkeiten voraus und trägt dazu bei, diese weiterzuentwickeln.

Die Bereiche des Fachs sind hier Arithmetik, Geometrie und Sachrechnen mit den Kompetenzbereichen kreativ sein, mathematisieren, begründen, darstellen und kooperieren, in denen die Schülerinnen und Schüler am Ende der Klasse 4 folgende verbindlichen Anforderungen erfüllen sollen (S. 85):

• Kreativ sein: problemhaltige Situationen erforschen, erlernte Ge-setzmäßigkeiten erkennen und anwenden, eigene Lösungswege ge-hen, Gedanken auf ähnliche Sachverhalte übertragen und Aufgaben selbst erfinden

• Mathematisieren: lebensweltlichen Situationen relevante Informati-onen entnehmen, die Situationen modellieren, mit Hilfe des mathe-matischen Modells eine Lösung entwickeln und die Ergebnisse auf die Ausgangssituation zurückbeziehen

• Begründen: Vermutungen über mathematische Sachverhalte (Ge-setzmäßigkeiten, Beziehungen, Ausnahmen) aufstellen und anhand von repräsentativen Beispielen oder von allgemeinen Überlegungen bestätigen oder widerlegen

• Darstellen: eigene Überlegungen übersichtlich und für andere nachvoll-ziehbar mündlich oder schriftlich ausdrücken, dabei wichtige mathema-tische Zeichen, Fachbegriffe und Konventionen sachgerecht verwenden

• Kooperieren: gemeinsam komplexere Aufgaben bearbeiten, dabei Verabredungen treffen und einhalten sowie eigene und fremde Standpunkte zueinander in Verbindung setzen.

Es ist wichtig, dass auch die Sek-I-Lehrkräfte wissen, welche Kompetenzen die Schülerinnen und Schüler in der Grundschule erworben haben und worauf sie aufbauen können/müssen!

4. Kernlehrpläne Mathematik NRW Sekundarstufe I

Die Bildungsstandards der KMK sind schulformübergreifend und abschlussbezo-gen, sie formulieren das Ziel. Die Kernlehrpläne setzen in NRW die Bildungsstan-dards (zunächst für die Sekundarstufe I) um, sie beschreiben gewissermaßen den Weg. Sie sind auf die einzelnen Schulformen bezogen, um den unterschiedlichen Ansprüchen und Fähigkeiten gerecht zu werden. Sie sind in Doppeljahrgangsstu-fen sequenziert, um den Lernfortschritt der Schüler beschreiben und ermitteln zu können. Sie haben das Zusammenspiel von allgemeinen und inhaltsbezogenen Kompetenzen so definiert, dass beide gleichberechtigt als zwei Säulen nebenein-ander stehen. Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden hier nach den gängigen mathematischen Themenbereichen strukturiert. Dies wird in folgender Grafik be-schrieben:

Die Schüler erwerben prozess- und inhaltsbezogene Kompetenzen bei der Be-schäftigung mit konkreten mathematischen Inhalten und Themen. Dabei soll es um einen für das Fach typischen, unverzichtbaren Kern5 gehen, den Schulen soll Freiraum bleiben, darüber hinaus eigene Akzente zu setzen.

Die Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufen 6, 8 und 10 werden so beschrieben6, dass sie Schüleraktivitäten benennen, operationalisierbar und damit überprüfbar machen. Diese Kompetenzen sind für die verschiedenen Schul-formen von einer gemeinsamen Kommission formuliert worden, was dazu führte,

5 In der Diskussion im Lande ist nicht unumstritten, ob die Kernlehrpläne diesem An-spruch gerecht werden oder ob sie nicht vielmehr doch Volllehrpläne sind, siehe www.gew-nrw.de/binarydata/download/STE_2004-05-04_Ko_DGB_und_GEW_Stellungnahme_Mathematik_Gym.pdf

6 Die Kernlehrpläne können in gedruckter Form beim Ritterbach Verlag, Frechen, erwor-ben werden oder nach einer Anmeldung kostenfrei im Internet herunter geladen werden. www.schul-welt.de

fachbezogene Kompetenzen

prozessbezogene Kompetenzen inhaltsbezogene Kompetenzen

Argumentieren Argumentieren und Kommentieren

Arithmetik/Algebra

mit Zahlen und Symbolen umgehen

Problemlösen Problemlösen, erkunden und lösen Funktionen Beziehungen und Veränderung

beschreiben und erkunden

Modellieren Modelle erstellen und nutzen Geometrie ebene und räumliche Strukturen

nach Maß und Form erfassen

Werkzeuge Medien und Werk verwenden Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten

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dass sich die Kernlehrpläne für die verschiedenen Schulformen in NRW durch ein hohes Maß an Gemeinsamkeit auszeichnen, das in früheren Lehrplänen unerreich-bar war. Bei schulformtypischen Unterschieden in Themenumfang und erwarteten Kompetenzstufen gibt es einen deutlich sichtbaren gemeinsamen Kern, der den Bildungsanspruch des Faches formuliert. Die intendierten Kompetenzen werden abschließend in den Kernlehrplänen durch Beispielaufgaben konkretisiert.

Bemerkenswert ist der Kompetenzbereich Werkzeuge, denn hier werden neben altbekannten Medien wie Zirkel, Geodreieck und Taschenrechner auch Dynami-sche Geometrie-Software, Tabellenkalkulation und Funktionenplotter verbindlich festgeschrieben! Dies dürfte zu einem erheblichen Fortbildungs- und Beratungs-bedarf in den Schulen führen und stellt auch die Schulträger vor neue Aufgaben.

Für das Gymnasium treten im Rahmen des verkürzten Bildungsgangs bis zum Abi-tur (G8) überarbeitete Fassungen der Kernlehrpläne ab 2007 in Kraft, die die Schulzeitverkürzung berücksichtigen.

5. Lernstandserhebungen

Verfolgen Bildungsstandards und Kernlehrpläne einen ergebnisorientierten An-satz, so ist es zwangsläufig, dass die erreichten Lernfortschritte, die erworbenen Kompetenzen, auch evaluiert werden müssen. Für länderübergreifende Untersu-chungen haben die Länder ein Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen gegründet, eine Art nationales PISA-Institut, einen Bildungs-TÜV gewissermaßen. In NRW finden landesweit Lernstandserhebungen statt, bis 2005 in den Klassen 4 und 9 und ab 2006 in den Klassen 3 und 8. Die Aufgaben der Primarstufe werden von sieben Ländern in einem gemeinsamen Projekt namens VERA7 unter Begleitung der Universität Koblenz-Landau entwickelt und ausgewertet. Die Auf-gaben der Sekundarstufe werden von der Universität Essen in Zusammenarbeit mit der schwedischen Schulbehörde Skolverket entwickelt. Es gibt zwei Ausferti-gungen der Lernstandsaufgaben: Setting A für Hauptschule und Gesamtschule G-Kurs, Setting B für Gesamtschule E-Kurs, Realschule und Gymnasium.

An diesen Lernstandserhebungen nehmen (im Gegensatz zu repräsentativen Stichproben wie bei PISA und künftig beim IQB) alle Schülerinnen und Schüler der jeweiligen Klassen teil. Die Ergebnisse dienen nicht der Leistungsbewertung, son-dern sollen genutzt werden, um differenzierte Hinweise auf individuellen Förder-bedarf zu geben und um eine schulische Standortbestimmung vorzunehmen. Für Letzteres erhalten die Schulen nicht nur Informationen über die Durchschnitts-werte der jeweiligen Schulform, sondern als Vergleichsdaten die Durchschnitts-werte für Schulen mit vergleichbaren Rahmenbedingungen.

Mit punktuellen Maßnahmen wird diese Aufgabe nicht zu erfüllen sein. Dies wird ein jahrelanger, kontinuierlicher Prozess werden müssen, in den auch die Erfah-rungen aus schon durchgeführten Lernstandserhebungen einfließen müssen. Er kann auch nicht bloß verordnet werden, sondern bedarf der Akzeptanz und Unter-stützung durch die Lehrerschaft. Diese ins Boot zu holen und mitzunehmen und die Rolle der Medien im Auge zu behalten, wird eine wichtige Aufgabe der Lehrer-fortbildung und des Unterstützungssystems der Kompetenzteams NRW.

Über die Standardsicherung in NRW wird auf den Seiten von learn:line NRW aus-führlich informiert8. Neben Informationen für Lehrer und Eltern finden sich auch Beispielaufgaben, die Orientierung geben sollen. Eine Zusammenfassung der aktu-ellen Maßnahmen zur Standardsicherung liefert das Ministerium für Schule, Ju-gend und Kinder in seiner Broschüre Standardsetzung und Standardüberprüfung in Nordrhein-Westfalen.

Eine weitere Facette der Standardsicherung kommt ab 2007 durch die zentra-le Abschlussprüfung am Ende der Klasse 10 zur Vergabe des Mittleren Schulab-schlusses (Fachoberschulreife) bzw. des Hauptschulabschlusses hinzu. In Deutsch, Fremdsprache (meist Englisch) und Mathematik werden zentral schriftliche Aufga-ben gestellt. Über das Verfahren, die Unterrichtsaufgaben und demnächst erschei-nende Beispielaufgaben wird auf dem Bildungsserver learn:line9 informiert.

7 www.uni-landau.de/vera/

8 www.learn-line.nrw.de/angebote/standardsicherung/ www.learn-line.nrw.de/angebote/vergleichsarbeiten4/download/vera_broschuere.pdf www.learn-line.nrw.de/angebote/lernstand9/download/lse_broschuere.pdf www.forum-schule.de/archiv/11/fs11/magztp.html www.learn-line.nrw.de/angebote/lernstand9/download/mathematikaufg_l9_v13.pdf www.learn-line.nrw.de/angebote/standardsicherung/downloads/standardsicherung_nrw.pdf 9 www.learn-line.nrw.de/angebote/pruefungen10/mathe.html

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Konzeptentwicklung6. Lehren und Lernen

In der Pädagogik hat sich die Erkenntnis durchgesetzt, dass Lehren nicht gleich Lernen zur Folge hat. Lernen ist ein individueller Vorgang der Wissenskonstruk-tion, der durch geeignete Lernarrangements erleichtert oder behindert werden kann. Dass Schüler durch Zuhören bei Vorträgen weniger lernen als durch eigene Tätigkeit, ist eine sprichwörtlich gewordene Binsenweisheit, die aber noch lange nicht immer beachtet wird. Selbstverständlich kann ein gut gemachter Lehrervor-trag an passender Stelle hervorragend wirken, als Standardmethode versagt er aber zu oft. Lernen vollzieht sich nur selten im Gleichschritt. Haben Methoden für differenziertes Lernen in der Grundschule schon länger Eingang gefunden, so tut sich die Sekundarschule damit traditionell schwer. Frei-arbeit, Stationenlernen, Nutzung von Medienecken, Selbstlernzentren sind den meisten Sekundarschulen und –lehrern noch fremd. Gerade hier bieten die Neuen Medien erweiterte Möglichkeiten zum differenzierten Lernen und Üben und auch zur Diagnose.

In den letzten Jahren hat es in NRW etliche richtungsweisende Modellversuche (nicht nur für das Fach Mathematik) gegeben, zum Beispiel:

– das BLK-Projekt SINUS-Transfer10 als Fortführung von SINUS Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts – SelGO11 Selbstlernen in der Gymnasialen Oberstufe – SelMa12 Selbstlernen im Mathematikunterricht – das BLK-Projekt SEMIK13 Systematische Einbeziehung von Medien, Informations- und Kommunikationstechnologien in Lehr- und Lernprozesse– KIRPP14 Kommunizieren, Informieren, Reflektieren, Produzieren, Präsentieren.

Auf einen Aspekt im Zusammenhang mit der Umsetzung der Bildungsstandards muss besonders hingewiesen werden: Es ist eine nahe liegende Reaktion von Leh-rern, Eltern und Schülern auf Tests und Lernstandserhebungen, sich auf solche Überprüfungen vorbereiten zu wollen. Geschieht dies nicht mit einer Entfaltung der Schülerkompetenzen, sondern mit einem kurzsichtigen Üben von Testaufgaben, so

10 www.learn-line.nrw.de/angebote/sinus/ http://blk.mat.uni-bayreuth.de/indexblk.html www.sinus-transfer.de/ 11 www.selgo.de/ 12 www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/ 13 www.fwu.de/semik/ 14 www.medienberatung.nrw.de/fachthema/publikationen/schriften/ medienecke+im+unterricht.htm und e-nitiative.nrw: Die Medienecke im Unterricht

MathBox liefert eine Fülle verschie-dener Übungsaufgaben für das Lern-training im Klassenzimmer oder zu Hause: Zahlraumerweiterung, Grund-rechenarten, Eigenschaften von Zahlen, Große Reihen, Brüche, Dezi-malzahlen, Prozentrechnen, Längen-, Flächen-, Gewichts- und Hohlmaße, Zeit und Geld, Kopfrechenspiele.

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MatheBlatt36

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wird mit einem solchen ‚teaching to the test’ das Gegenteil von dem erreicht, was die Bildungsstandards vernünftigerweise intendieren. So werden weder Fachkom-petenz noch Methodenkompetenz noch Sozialkompetenz dauerhaft erworben. Testaufgaben sind zwangsläufigerweise relativ kurzschrittig operationalisiert und auf bestimmte Kompetenzen ausgerichtet, sie liefern keine Lernumgebung für ein vielfältiges, vernetztes Lernen. Durch serienweises Trainieren solcher Aufgaben würde paradoxerweise genau das verstärkt, was als enge Kalkülorientierung in TIMMS und PISA am deutschen Mathematikunterricht kritisiert wurde. Hier bleibt nur die Hoffnung, dass die Aufgaben der Tests und Lernstandserhebungen so gut gemacht sind, dass nicht diejenigen, die vorher intensiv Testaufgaben trainiert haben, am besten abschneiden, sondern diejenigen, die einen schüleraktiven, kom-petenzorientierten Unterricht durchgeführt bzw. erlebt haben.

7. Kernlehrpläne und neue Medien

Die Kernlehrpläne weisen über die Fächer hinweg dem Medieneinsatz eine größere Bedeutung zu, sie gehen in ihren Vorgaben für NRW auch weiter als die Bildungsstan-dards der KMK. Dabei werden Medien und besonders neue Medien sowohl als Inhalte wie auch als Werkzeuge eingesetzt. Die nebenstehende Übersicht aus den jeweiligen Kernlehrplänen15 zeigt, dass der Einsatz der neuen Medien zwar fachliche Ausprägun-gen hat, aber keine fachliche Besonderheit ist und dass die Schulen Medienkonzepte für einen sinnvollen und abgestimmten Medieneinsatz entwickeln müssen.

Diese müssen insbesondere berücksichtigen, dass für das Fach Mathematik der Einsatz von Tabellenkalkulation, Dynamischer Geometrie-Software und Funktionen-plottern verbindlich vorgeschrieben ist.

8. Lernkompetenzen und Medienkompetenzen

Der Einsatz von Medien in der Schule, beim Lehren und Lernen, hat eine lange Tradition. Die sogenannten ‚neuen’ Medien setzen mit den erweiterten Möglichkei-ten der Digitalisierung das fort, was auch schon mit den ‚alten’ Medien betrieben wurde16. In den verschiedenen Fächern kann man immer wieder auftauchende Lernkompetenzen und Medienkompetenzen identifizieren:

• Strukturieren – „Was wollen wir wie bearbeiten?“ von der Tafel über die Kartenabfrage bis zur digitalen Mindmap

Deutsch

Jahrgangsstufen 5/6 Jahrgangsstufen 7/8 Jahrgangsstufen 9/10

Sie nutzen in Ansätzen das Internet. Sie ent-nehmen aus Bildern und diskontinuierlichen Texten Informationen.

Sie verwenden Suchma-schinen des Internets und das Internet. Sie untersuchen und bewer-ten Sachtexte, Bilder und diskontinuierliche Texte.

Sie nutzen selbstständig Bücher und Medien zur Recherche, z. B. Rund-funk- und Fernsehangebo-te, Bibliotheken, Such-maschinen des Internets und das Internet.

Sie erfassen Inhalte medial vermittelter jugendspezifischer Texte, z. B. Fernsehsendungen, Hörbuch.

Sie untersuchen Texte audiovisueller Medien, z. B. Werbesports und einfache Hypertexte.

Sie kennen medienspezifi-sche Formen, z. B. Print- und Online-Zeitungen, Infotain-ment, Hypertexte, Werbe-kommunikation und Film.

Englisch


Sie verwenden Schüler-wörterbücher, Kassetten und CDs als Hilfsmittel. Sie setzen einfache Lernsoftware-Program-me ein.

Sie führen Internetre-cherchen durch und bereiten Arbeitsergeb-nisse mit Hilfe von Text-verarbeitungsprogram-men auf.

Sie nutzen selbstständig das Internet für Recher-che und Kommunikation. Sie verfügen über grund-legende Kompetenzen in media literacy/IT

Mathematik


Sie nutzen Präsentations-medien, z. B. Folie, Plakat und Tafel zur Darstellung und recherchieren in selbst erstellten Dokumen-ten und Schulbüchern.

Sie nutzen Tabellenkalku-lation und Geometrie-software zum Erkunden inner- und außermathe-matischer Zusammen-hänge. Sie tragen Daten in elektronischer Form zusammen und nutzen Lexika, Schulbücher und Internet zur Informations-beschaffung.

Sie nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalku-lation, Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkunden und Lösen mathe-matischer Probleme. Zur Informationsbeschaffung nutzen sie selbstständig Print- und elektronische Me-dien und wählen geeignete Medien für die Dokumenta-tion und Präsentation aus.

15 www.medienberatung.nrw.de/FachThema/Schule/Unterrichtsentwicklung/ kernlehrplaene.htm 16 www.medienberatung.nrw.de/FachThema/Schule/unterrichtsentwicklung/

fuenf+medienkompetenzen.htm www.medienberatung.nrw.de/FachThema/Schule/unterrichtsentwicklung/69_nrw.pdf


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• Recherchieren – „Ich mache mich schlau“ vom Schulbuch über die Bibliothek bis zum Internet• Kooperieren – „Wir arbeiten gemeinsam“ vom Lernplakat über E-Mail bis zur Lernplattform • Produzieren – „Ich stelle was her“ vom Heft über Office-Anwendungen bis zum Videofilm• Präsentieren – „Ich erkläre euch das“ von der OHP-Folie über digitale Folien bis zur multimedialen Präsentation

Diese Medienkompetenzdimension wird in den fachlich geprägten Standards und Lehrplänen in der Regel nicht explizit angesprochen. Ihr kommt aber große Bedeu-tung zu, weil sie über die Fächer hinweg eine Gliederung und Orientierung geben kann und weil Basiskompetenzen für das Lernen in allen Fächern aufgebaut wer-den. In der Arbeit an einem schulischen Medienkonzept17 hat man damit die Chan-ce, nicht bloß allgemein zu bleiben, sondern das Medienkonzept jeweils fachlich zu füllen und zu konkretisieren.

Eine solche methodenorientierte, mediendidaktische Sicht ist für die Fach-Lehrer noch oft ungewohnt und mit Ablehnung, Bedenken oder Ängsten verbunden (Tritt das Fachliche ganz in den Hintergrund? Soll jetzt alles anders werden? Kann ich das? Wie soll ich das auch noch schaffen?). Aber es muss im Unterricht keines-wegs alles anders und neu gemacht werden, es türmt sich kein unüberwindlicher Berg von Zusatzanforderungen auf. Denn was recherchiert wird, was kooperativ produziert wird, muss präsentiert werden usw. und dies alles an fachlichen The-men, die sowieso behandelt werden, nur bislang ohne den ‚roten Faden’.

Überfachliche Lernmethoden/Medienkompetenzen und fachliche Kompetenzen sind aber weder Gegensatz noch Additum, sondern untrennbar miteinander ver-netzt. Dies soll im Folgenden an zwei Beispielen zum Satz des Pythagoras und zu Funktionen konkret aufgezeigt werden.

An jeder Schule sollte im schuleigenen Medienkonzept geklärt und verbindlich abge-sprochen sein, wann und von wem z. B. Textverarbeitung oder Tabellenkalkulation oder Internet-Recherche eingeführt werden, um Lücken oder Dopplungen zu vermeiden und einen effizienten Medieneinsatz zu sichern. Und es sollte in den einzelnen Fächern, aber über die Fächer hinweg, geklärt werden, welchen Beitrag die jeweiligen Fächer zu Präsentieren, Produzieren etc. leisten und welche Medien sie dazu benötigen.

Die Unterstützung der Schulen bei der Entwicklung eines solchen Medienkonzepts und der Kommunen bei der Medienentwicklungsplanung ist eine wichtige Aufgabe der Medienberatung NRW und der Kompetenzteams NRW vor Ort.

9. Zum Beispiel: Pythagoras

Die Satzgruppe des Pythagoras ist ein klassisches Thema der Klasse 9 und eignet sich ideal für den schüleraktiven Einsatz von alten und neuen Medien18. An diesem Beispiel soll gezeigt werden, wie die fachlichen und überfachlichen Kompetenzen umgesetzt werden können, wo sie in vielfach schon gepflegten Aktivitäten zu fin-den sind oder wie sie mit geringem Aufwand eingebunden werden können.

Überfachliche Lernkomptenzen/Medienkompetenzen– Strukturieren: Am Ende der Reihe zur Satzgruppe des Pythagoras erstellen die

Schüler eine Mindmap, die die Sätze und Anwendungen gliedert und vernetzt.– Recherchieren: Im Internet, in digitalen und klassischen Bibliotheken wird zum

Leben des Pythagoras und zu den Pythagoräern recherchiert. – Kooperieren: In Arbeitsgruppen bearbeiten die Schüler Themen vertieft, z. B.

zum Satz des Pythagoras, zu Anwendungen, zu Beweisen, zur Geschichte oder in Partnerarbeit (dynamische) Arbeitsblätter.

– Produzieren: Zu den Arbeitsgruppen-Themen werden Lernplakate oder Webseiten erstellt. – Präsentieren: Die Produkte der Arbeitsgruppen werden der Klasse vorgestellt

oder auf einem Tag der offenen Tür der Schulöffentlichkeit ausgestellt, oder es wird in einer Unterrichtstunde die erarbeitete Lösung eines (elektronischen) Arbeitsblatts der Klasse vorgestellt und zur Diskussion gestellt.

Fachliche prozessbezogene Kompetenzen– Argumentieren: Bei der Bearbeitung (elektronischer) Arbeitsblätter gehen die

Schüler der Frage nach: Warum ist das so, wieso passt das zusammen etc. Jeder auch präformale Ansatz zur Begründung gehört zur Kompetenz Argumentieren. Ebenso das Vergleichen verschiedener Beweise des Satzes von Pythagoras.

– Problemlösen: Das Addieren von Quadraten anhand der Figur „Stuhl der Braut“ ist ein Jahrtausende altes Problem; bei einer eigenen Zerteilung der Quadrate ohne Hilfsli-nien passen die Teile nicht mehr zusammen. Welche Strategien können genutzt wer-den, um dieses unerwartete Problem zu lösen? Wie können bei der Perigal-Zerlegung die Kathetenquadrate-Teile im Hypotenusen-Quadrat zusammengesetzt werden?

– Modellieren: Erarbeitung des Umkehrsatzes anhand der Fragen „Welche Eigen-schaft haben Dreiecke, für die gilt a2 + b2 = c2? Auf welcher Linie liegen die Eckpunkte C dieser Dreiecke?“. Für die Klasse 9 wird das Resultat als geometri-sches Objekt beschrieben, für die Klasse 11 als Gleichung.

– Werkzeuge: Arbeiten mit Zirkel und Geodreieck, mit Schere und Klebstoff, mit Dynamischer Geometrie-Software und elektronischen Arbeitsblättern.

Fachliche inhaltsbezogene KompetenzenHier ist offensichtlich in der Aufgliederung der Kernlehrpläne der Bereich Geome-trie angesprochen.

18 Siehe Mathe-Welt: Der Satz des Pythagoras mit Schere und Computer, Beilage zu mathematik lehren Heft 109

17 www.medienberatung.nrw.de/FachThema/Publikationen/Schriften/planung_medienkonzept.htm

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10. Zum Beispiel: Funktionen

Überfachliche Lernkompetenzen– Strukturieren: Die Schüler erstellen eine Mindmap zum Zusammenhang der Re-

präsentationsformen Text-Tabelle-Graph-Term.– Recherchieren: Sie recherchieren im Internet und in Bibliotheken zur Geschich-

te des Funktionsbegriffs und zur Alltagsbedeutung des Begriffs. – Kooperieren: In Arbeitsgruppen oder in Partnerarbeit bearbeiten die Schüler

(dynamische) Arbeitsblätter. – Produzieren: Sie erstellen Lernplakate oder Webseiten mit dynamischen Ap-

plets, sie bearbeiten dynamische Arbeitsblätter zur Untersuchung von Eigen-schaften von Funktionenklassen (z. B. Steigung bei Linearen Funktionen/Gera-den, Scheitelpunkt bei Quadratischen Funktionen/Parabeln, Bestimmung von Gleichungen für Brückenbögen).

– Präsentieren: Die Produkte der Arbeitsgruppen werden der Klasse oder auf einem Tag der offenen Tür der Schulöffentlichkeit vorgestellt.

Fachliche prozessbezogene Kompetenzen– Argumentieren: Die Schüler formulieren funktionale Zusammenhänge, schreiben

eine ‚Geschichte’ zum Graphen (z. B. bei Füllkurven); sie entdecken und formulie-ren Eigenschaften von Funktionenklassen bei der Variation von Parametern.

– Problemlösen: Die Schüler entdecken Zusammenhänge zwischen der Lage des Scheitelpunktes und den Nullstellen einer Parabel.

– Modellieren: Die Schüler ermitteln Gleichungen bzw. Funktionenklassen für Objek-te aus ihrer Umwelt wie Brückenbögen, Köln-Arena-Bogen, Autostadt-Logo etc.

Funktionen sind aus keinem Mathematikunterricht wegzudenken. Zum schulischen Thema wurden sie vor hundert Jahren durch die von Felix Klein ge-prägte Meraner Reform, in der die ‚Erziehung zum funktionalen Denken’ gefordert wurde. Neue Medien bieten interaktive und visuelle Neue Medien bieten dynamische Werkzeuge für einen schülerorientierten, interaktiven und visuellen Um-gang mit Funktionen. Am Beispiel einer Unterrichtsreihe zu Funktionen und Gleichungen wird gezeigt, wie die fachlichen und die überfachlichen Kompetenzen umgesetzt werden können, wo sie in schon gepflegten Akti-vitäten zu finden sind oder wie sie mit geringem Aufwand eingebunden werden können.

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– Werkzeuge: Sie arbeiten bei der Erstellung von Funktionsgrafen mit Papier, Stift und Taschenrechner und mit dynamischen Funktionenplottern und nutzen Schie-beregler zur Parametervariation.

Fachliche inhaltsbezogene KompetenzenHier ist offensichtlich in der Aufgliederung der Kernlehrpläne der Bereich Funktio-nen angesprochen, bei den Leitideen funktionaler Zusammenhang.

11. Üben

Üben muss sein, das ist seit eh und je unbestritten. „Üben dient der Festigung, Sicherung und Konsolidierung von Lernergebnissen und ist somit eine wichtige Bedingung für den Aufbau dauerhaft und sicher verfügbaren Wissens“ stellten Helmke, Schrader, Weinert in der Münchener Studie 1987 fest.

Dabei kommt es aber nicht alleine darauf an, dass und was geübt wird, sondern vor allem, wie geübt wird. Heinrich Winter19 verband das Üben mit dem entde-ckenden Lernen. Entdeckungen sind nur möglich, wenn Wissen und Fertigkeiten verfügbar sind, worauf aufgebaut werden kann. Und beim entdeckenden Lernen wiederum wird ständig wiederholt und geübt.

„Übungen unter immer wieder neuen Gesichtspunkten, an immer wieder ande-rem Material, in immer wieder neuen Zusammenhängen, anderen Anwendungen, unter immer wieder neuen größeren Aufgaben – darin steckt das Geheimnis des Übens“, diese Erkenntnis hatte Heinrich Roth schon vor Jahrzehnten.

In jüngster Zeit hat sich im Gefolge von PISA der Begriff „intelligentes Üben“20 eta-bliert. Was unterscheidet den ‚intelligentes’ Üben von ‚nicht-intelligentem’ Üben? Natürlich gibt es in jedem Fach Fakten, die schlicht auswendig gelernt werden müssen. Aber darüber hinaus geht es um variantenreiche Übungsformen, damit das Üben kein Anhängsel wird, sondern Teil des Lernprozesses. Wie sich ‚intelli-gentes’ Üben von sturem Drill unterscheidet und wie es mit dem Aufbau von Kom-petenzen zusammenhängt, beantwortet Heymann21: „Durch Üben werden also neu angelegte Wissenselemente und Prozeduren zu anwendbarem Wissen und Können verdichtet. Mit anderen Worten: Als Ergebnis des mit Übung verbundenen Lernens entwickeln sich Kompetenzen. … Intelligent geübt werden kann nur, wenn das Üben an das vorhandene Wissen und Können anknüpft. Sowohl Überforde-rung als auch Unterforderung führen zu Ineffizienz, Lustlosigkeit und Verminde-rung der Anstrengungsbereitschaft.“

19 Winter, H. (1984): Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht. 20 siehe Gudjons u.a. (2005): Pädagogik Heft 11/2005: Intelligentes Üben21 Heymann, H. W. (2005): Was macht Üben »intelligent«? In: Pädagogik Heft 11/2005,

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lag zum einen vermutlich an den methodischen Konzepten, in denen differenzier-tes Lernen einen viel größeren Stellenwert hat als in den weiterführenden Schulen und zum anderen an der Ausstattung mit Medienecken statt PC-Räumen. Technische und methodische Aspekte sollten gemeinsam mitbedacht und nicht isoliert betrachtet werden. Zu Methodenschulungen gehören von vorneherein die Neuen Medien, zu Schulungen und Fortbildungen zum Einsatz Neuer Medien im Fachunterricht gehören unbedingt methodische Gesichtspunkte zur Organisation eines schülerorientierten Lernprozesses.

Dass das bloße Vorhandensein Neuer Medien nicht automatisch zu einer schü-lerorientierten Lernkultur führt, zeigt auch eine Untersuchung aus Bayern25, die feststellte, „dass neue Medien überdurchschnittlich häufig als Präsentations- und Demonstrationsmittel der Lehrkräfte eingesetzt wurden“.

Die nebenstehenden Übersichten sollen helfen, in Fortbildungen und bei der Erar-beitung von schulischen Medienkonzepten die Vielfalt und den gegenseitigen Be-zug der technischen und methodischen Aspekte im Blick zu behalten:

13. Integrierte Lernumgebungen

Das klassische Schulbuch ist das verbreitetste Lernmittel und wird auf absehba-re Zeit auch Leitmedium bleiben. Ergänzungen durch Filme/Videos, Arbeitshefte, Kopiervorlagen und ähnliche Materialien sind schon lange üblich. CD/DVD und Internet eröffnen neue multimediale Möglichkeiten, die weit über das Recherchie-ren im Internet hinausgehen. Standen bislang entsprechende Programme oder Internet-Applets als Addendum in Konkurrenz zu den herkömmlichen Lernmitteln, so stehen wir derzeit an der Schwelle zu einer Integration.

Dies spiegelt sich auch im Lernmittel-Erlass26 wider. Dort heißt es: „Lernmittel sind Schulbücher und andere Medien, die von den Schülerinnen und Schülern über einen längeren Zeitraum genutzt werden. Dazu gehören auch Verbünde unter-

25 Bofinger (2004): Neue Medien im Fachunterricht. ISB Arbeitsbericht. 26 BASS 16-01, www.bildungsportal.nrw.de/BP/Schule/System/Lernmittel/index.html

Technische Arrangements: Methodische Arrangements:

• Lehrer-Laptop & Beamer • Computerraum• Handhelds/Laptopklassen • Medienecken • Selbstlernzentren

• Lehrerdemonstration• Einzelarbeit/Partnerarbeit • Gruppenarbeit• Stationenlernen • Freiarbeit

Was verstanden ist, ist noch nicht gleich sicher beherrscht. Es muss durch Üben gefestigt werden. Es kann aber nur das geübt werden, was schon verstanden ist. Üben statt Unterricht, ohne Lehrer ist sinnlos. Üben und Wiederholen müssen betreut werden und kontrolliert werden. Auch hier sind Lehrer unverzichtbar. Das häusliche Üben entwickelt sich oft zum Desaster, weil zu oft falsch geübt oder un-verstanden gepaukt wird und Eltern wie Schüler überfordert sind. Ganztagsschu-len bieten hier gerade schwächeren Schülern besondere Fördermöglichkeiten.

Wie man herkömmliche Aufgabenplantagen so umarbeiten kann, dass sie intelli-gentes Üben statt sturen Drill ermöglichen, zeigt Timo Leuders22 und benennt als Techniken Umkehren, Öffnen und Einschränken, Struktur schaffen – Ziele geben.

Eine brauchbare Unterstützung der Lehrkräfte durch Neue Medien ist bislang Man-gelware und eine wichtige Aufgabe für die Lernmittel-Verlage. Denn die Infotainment-Programme für den Nachmittagsmarkt passen meist nicht zum Unterricht und sind eng geführt und Multiple-Choice Tests setzen schon eine Stufe nach dem Üben an. Ein Schritt in die Richtung digitales Lehrwerk/Lernmittel ist das Programm „Mathe-matik verstehen und Üben“, das sich als elektronisches Mathematikbuch von Klasse 5 bis zum Abitur versteht23.

12. Medien und Methoden

Medien und Methoden sind nicht zu trennen. Von Seiten der Nutzer neuer Medien wächst die Erkenntnis, dass dazu ein entsprechendes Methodenrepertoire nötig ist, will man über bloße Handlingkurse von Programmen hinaus kommen. Von Sei-ten der Methodentrainer (Lernen lernen, Eigenverantwortliches Lernen, Wechsel-seitiges Lehren und Lernen, Lernen durch Lehren) wächst die Erkenntnis, dass der Einsatz der Neuen Medien unumgänglich wird und dass diese sich hervorragend methodisch nutzen lassen. Neue Medien und Methoden zusammenzubringen und dies vor Ort weiter zu entwickeln, ist eine wichtige Aufgabe der Lehrerfortbildung und der Kompetenzteams NRW.

Der Zusammenhang von Medien und Methoden muss bewusst angegangen wer-den. Weder führt das bloße zur Verfügung stellen von Technologie automatisch zu einem methodisch besseren Unterricht noch führt die Methodenschulung als sol-che zwangsläufig zum Einsatz von Neuen Medien. Dass dem methodischen Aspekt besonderes Gewicht beizumessen ist, zeigt die Evaluation der e-nitiative.nrw durch das IFS24. Obwohl die Grundschulen in NRW schlechter ausgestattet waren als die anderen Schulformen, war dort die Nutzung der Neuen Medien am höchsten. Dies

22 Leuders, T. (2005): Intelligentes Üben selbst gestalten! In: Pädagogik Heft 11/2005, S. 29 - 32

23 www.klsoft.de 24 Rösner, Bräuer, Riegas-Staackmann (2004): Neue Medien in den Schulen Nordrhein-

Westfalens

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Standardsoftware wie Office-Pakete oder Werkzeug-Software wie DGS, CAS oder Funktionenplotter brauchen keine Zulassung. Werden allerdings integrierte Lern-umgebungen angeboten, in denen Bücher, Arbeitshefte, Software, Multimedia-An-gebote und Webseiten in einem Gesamtkonzept aufeinander abgestimmt sind, wird dadurch die Software Teil des Zulassungsverfahrens. Indem der neue Lernmittel-Erlass festlegt, „Lernmittel sind Schulbücher und andere Medien, die von den Schü-lerinnen und Schülern über einen längeren Zeitraum genutzt werden“, erweitert er deutlich das bisherige Spektrum. Daraus folgt unter anderem, dass Schulen jetzt die Möglichkeit haben, aus dem Lernmittel-Etat auch Software anzuschaffen!

So wie die Schulen in einem Medienkonzept nicht nur Festlegungen über Hardware und Software treffen sollen, sondern auch über deren unterrichtliche Nutzung, so ist es angezeigt, sich nicht nur über anzuschaffende Lernmittel (zu denen auch Software gehören kann) Gedanken zu machen, sondern insgesamt ein stimmi-ges Lernmittelkonzept zu entwickeln. Dazu gehören neben dem Medienkonzept die Vorgaben durch Lehrpläne und die Beachtung wie Ausnutzung der Möglichkeiten des Lernmittelfreiheitserlasses29.

Hier muss es in den Konferenzen neben Beschlüssen über Materialien und ihren zeit-lichen Einsatz auch methodische Festlegungen geben. Wenn eine Lehrkraft Freiarbeit macht und eine andere dagegen arbeitet, wenn eine Lehrkraft intensiv mit dem Com-puter arbeitet oder eine Medienecke nutzen will und andere das kritisch sehen, ent-stehen viele Reibungsverluste und häufig Resignation. Medien und Methoden hängen eng zusammen. Die verbreitete Nutzung der Medienecken in den Grundschulen und die ebenso verbreitete Ablehnung in weiterführenden Schulen hängen wesentlich mit unterschiedlichen pädagogischen Konzepten zum differenzierten Lernen zusammen.

Das Medienkonzept kann nur so gut sein wie die fachlichen Lernmittelkonzepte. Dies betrifft natürlich nicht nur das Fach Mathematik und die zugehörige Fachkonferenz, sondern muss als Aufgabe der Schule, als Aufgabe des gesamten Kollegiums und als Aufgabe der Schulleitung begriffen werden und letztlich ins Schulprogramm ein-gehen. Nur wenn es ein alle Fächer umfassendes und verbindliches Konzept zum Ein-satz von Medien und Lernmitteln gibt, können die Lernumgebungen für das selbst-ständige Lernen der Schülerinnen und Schüler optimal gestaltet werden. Dabei ist zu beachten, dass die Zugänglichkeit gesichert sein muss. Die Schüler müssen an verschiedenen Orten in der Schule und zu Hause Zugriff haben, die Schulen und Schulträger müssen die Zugänglichkeit auch für solche Schüler sichern, die von zu Hause noch keinen Zugang zu Neuen Medien haben. Dies kann z. B. durch geeignete Gestaltung der Nachmittagsangebote, durch Selbstlernzentren etc. geschehen.

Die Unterstützung der Schulen in diesem Prozess durch Information, Beratung und Fortbildung ist eine wichtige Aufgabe der Medienberatung NRW und der Kom-petenzteams NRW.

29 BASS 1-7: Lernmittelfreiheitsgesetz (LFG) in der Fassung vom 29.4.2003

schiedlicher Medienarten, sog. integrierte Lernumgebungen.“

Solche integrierten Medienverbünde können von den Schulen als Set selbst aus verschiedenen Verlagsangeboten zusammengestellt werden, sie können aber auch von den Verlagen als integriertes Paket angeboten werden. Stehen nämlich die einzelnen Medien so nebeneinander, dass Lehrer und Schüler mit oder ohne dieses Medium arbeiten können, so hat dies zur Folge, dass es sinnlose Doppelungen gibt, dass das Schulbuch ein bisschen wie Internet wird und das Internetangebot wie ein digitalisiertes Buch anmutet. Werden stattdessen die Möglichkeiten verzahnt, kann das Buch schlanker werden und das beinhalten, was man in der jeweiligen Klassen-stufe immer mit sich tragen sollte. Die CD bietet dann vielfältiges Hintergrundma-terial oder Übungen, das Internet aktuelle Daten usw. Kurz gesagt: Es muss nicht mehr wie beim Nebeneinander jedes Medium alles bieten und können, sondern jedes Medium bietet im Miteinander das, wozu es am besten geeignet ist.

Die Entwicklung solcher integrierten Lernumgebungen ist noch nicht soweit fort-geschritten wie z. B. in den benachbarten Niederlanden, wo es von dem Lehrwerk „Getal and Ruimte“ Serien von Arbeitsheften mit jeweils einliegender CD gibt. Aber es gibt erste Schritte wie z. B. der MatheTiger von Mildenberger, das Angebot www.mathe-plus.de von Cornelsen oder das Basiswissen Mathematik von DUDEN mit CD und der Webseite www.schuelerlexikon.de.

Wie und wie schnell sich diese Entwicklung fortsetzen wird, hängt dann auch von der Akzeptanz der neuen integrierten Lernumgebungen bei den Schulen ab. Aktuelle Informationen sind auf der Webseite der Medienberatung NRW27 zu finden.

14. Lernmittelkonzept

Lernmittel, die an den Schulen eingesetzt werden, müssen zugelassen sein. Für manche gibt es eine pauschale Zulassung (Formelsammlung, Geodreieck, Arbeits-hefte), andere werden einem Gutachter-Verfahren unterzogen (Schulbücher). Sie werden dann im Verzeichnis der zugelassenen Lernmittel aufgelistet28.

Print-Medien Offline-Medien Online-Medien

Lehrerin/Lehrer Handbuch, Kopier-vorlagen

elektronische Kopiervorlagen

zusätzliches Mate-rial, Links, Archiv, Forum

Schülerin/Schüler Schülerbuch, Arbeitshefte

DGS, TK, Fkt.-Plot-ter, Übungssoftwa-re, Filme

zusätzliche Aufga-ben, Links, Forum

27 www.medienberatung.nrw.de/FachThema/Schule/Lernmittel/ 28 www.bildungsportal.nrw.de/BP/Schule/System/Lernmittel/index.html

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16. Dynamische Geometrie-Software

Geometrische Konstruktionen werden klassischerweise mit Zirkel und Lineal durchgeführt, heutzutage üblicherweise auch mit dem Geodreieck. Die Geometrie-programme der ersten Generation wie KoBesch ermöglichten es, genau wie mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. Das Ergebnis waren jeweils einzelne, starre Kon-struktionen, ein didaktischer Mehrwert war kaum erkennbar.

Anfang der 90er Jahre entstand Dynamische Geometrie-Software (DGS), Pioniere waren Cabri Géomètre und Geometer’s Sketchpad. Entscheidendes Merkmal war der sogenannte Zugmodus. Man konnte die Position einzelner Basispunkte durch Ziehen mit der Maus verändern, dabei wurden alle konstruktiven Relationen beibehalten (Mit-telsenkrechte blieb Mittelsenkrechte usw.). Ziel des Arbeitens ist dann nicht so sehr die Erstellung einer konkreten Zeichnung, sondern die Untersuchung von Eigenschaf-ten, die in der Veränderung beim Zugmodus invariant bleiben. Die gesamte Palette der klassischen geometrischen Sätze kann somit im Zugmodus entdeckt werden.

Die Dynamik der Geometrie-Software ermöglicht auch einen neuen Umgang mit Beweisen.

Nicht mehr die Frage ‚Ist das so?’ steht im Vordergrund, sondern ‚Warum ist das so?’ oder ‚Warum passt das zusammen?’. Der formale, zeilenweise Beweis steht weniger im Vordergrund, sondern mehr das präformale Begründen, das plausible Schließen und das heuristische Arbeiten. ‚Anschauliche Beweise’ (Wittmann, Ben-der) oder ‚Siehe-Beweise’ (Winter) waren auch schon vor dem Aufkommen von DGS in der Mathematikdidaktik ein Thema, können aber jetzt mit den visuellen und dynamischen Möglichkeiten der modernen Software ideal umgesetzt werden.

Der Zugmodus ist auch die Grundlage für ein weiteres Charakteristikum von DGS, die Ortslinien. Beim Variieren eines freien Punktes kann man einen anderen, ab-hängigen Punkt eine Spur, eine Ortslinie zeichnen lassen. Durch entsprechend konstruierte Gelenkmechanismen erhält man dann alle klassischen Kurven wie Kegelschnitte, Kardioide, Kissoide etc. und erschließt so alte, in der Schule fast vergessene Themen neu für den Mathematikunterricht.

Mittlerweile gibt es ein großes Angebot an DGS, eine Übersicht30 findet sich auf learn:line und auf Dynamische-Geometrie.de. Am weitesten verbreitet ist in NRW das Windows-Programm Euklid DynaGeo31. Zunehmender Beliebtheit erfreut sich auch das kostenlose Programm Geonext32, das auf diversen Plattformen lauffähig

30 www.learn-line.nrw.de/angebote/neuemedien/medio/softuebl/mathe/ggeom.htm www.dynamische-geometrie.de 31 www.dynageo.de 32 http://geonext.uni-bayreuth.de/

Medienberatung NRW > Unterrichtsentwicklung und Medieneinsatz im Fach Mathematik 2006

Neue Medien im Mathematik-Unterricht

15. Dynamische Visualisierung

Der Einsatz von Medien hat im Mathematikunterricht eine lange Tradition: Papier und Stift, Tafel und Kreide, Zirkel und Lineal/Geodreieck, Schere und Klebstoff, mathematische Modelle, stochastische Tafelwerke, Formelsammlungen, Log-arithmentafel, Rechenschieber und Taschenrechner werden schon seit langem genutzt. Grafiktaschenrechner, Computer und (mathematische) Software sind hin-zugekommen, haben teils die alten Medien ersetzt und teils neue Möglichkeiten eröffnet. All die Fähigkeiten der Neuen Medien beruhen letztlich darauf, in sehr kurzer Zeit sehr viele Rechenoperationen durchführen zu können. Entscheidend für den Qualitätssprung ist, dass dadurch vorher nicht gekannte Möglichkeiten zur Visualisierung und zur Interaktion eröffnet werden. In den 80er Jahren ging es vorwiegend darum, kleine Programme zu schreiben, die Zahlen verarbeiten, die nach der Eingabe von Zahlen schließlich als Ergebnis eine Zahl liefern. In den 90er Jahren entwickelte sich (zunächst bei Dynamischer Geometrie-Software durch den Zugmodus und bei Tabellenkalkulationen durch die sofortige Aktualisierung von Tabellen und Diagrammen) die Möglichkeit, Parameter interaktiv zu verändern und sofort die Auswirkungen zu sehen. Dynamische Visualisierung ist der Begriff dafür, der weit über das hinausgeht, was früher als Veranschaulichung bekannt war. Bei einer Veranschaulichung ist dem Begriff immanent, dass jemand (der Leh-rer) anderen (den Schülern) etwas veranschaulicht. Dynamische Visualisierung ist mehr als bloße Veranschaulichung und Bebilderung, es ist damit eine aktive Rolle der Lernenden verbunden. Sie können selbst tätig werden, explorieren und experi-mentieren und das in ihrer eigenen Geschwindigkeit und selbstgesteuert. Dynami-sche Visualisierung unterscheidet sich damit auch von Lehrfilmen und Lehrvideos, in denen die Schüler passive Betrachter sind und die ganze Klasse im Gleichschritt das Geschehen passiv verfolgen muss.

Demonstrationen mit altbekannten sogenannten Anschau-ungsmodellen waren von ähnlichem Charakter. Die Modelle waren selten, teuer und anfällig, sie blieben Medien in Leh-rerhand wie z. B. der ‚Funktionenschieber’ aus den 50er Jahren, ein mechanischer Vorläufer heutiger Funktionen-plotter. Als ideales Software-Werkzeug zur dynamischen Visualisierung haben sich Schieberegler erwiesen, mit denen man mittlerweile in Dynamischer Geometrie-Soft-ware, Tabellenkalkulation, Funktionenplottern und Compu-ter-Algebrasystemen Parameter kontinuierlich variieren kann. Die Schüler können damit selbst visuell unterstützt der Frage nachgehen ‚Was passiert, wenn … ?‘.

Alte didaktische Ideen wie Bewegungsgeometrie oder funktionales Denken können so mit neuen Medien schülerorientiert, interaktiv umgesetzt werden.

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ist, und ein interessanter Newcomer ist das ebenfalls kostenlose GeoGebra33, das Geometrie und Algebra verbindet.

Für den erfolgreichen Einsatz im Unterricht haben sich mittlerweile interaktive elektronische Arbeitsblätter34 etabliert, zunehmend auch in einer Internet-Umge-bung. Solche internetbasierten Arbeitsblätter sind natürlich auch offline nutzbar, der Internet-Browser fungiert hier als komfortable und offene Lernumgebung.

17. Raumgeometrie-Software

Die Raumanschauung wird seit Thurstone 1938 als einer der Primärfaktoren der In-telligenz angesehen. Dennoch spielt sie in der Schule oft nur eine untergeordnete Rol-le. Wenn in der Sekundarstufe I Raumgeometrie überhaupt betrieben wird, werden meist Berechnungsaufgaben durchgeführt und es wird nicht gezeichnet oder Modelle gebaut. Die Raumlehre und die Darstellende Geometrie sind de facto weitgehend aus der deutschen Schulpraxis verschwunden. Eine Unterstützung durch geeignete Soft-ware ist noch bei weitem nicht so ausgeprägt wie bei der ebenen Geometrie.

Ein einfaches Programm, in dem aus Würfeln weitere Körper gebaut werden, ist BauWas35, welches nicht nur in der Grundschule seinen Platz haben sollte.

Körpergeometrie36 ist ein Programm für die konstruktive Raumgeometrie der Sek I.

Mit Cabri 3D ist jüngst ein dynamisches Raumgeometrie-Programm entstanden37, das einen 3D-Zugmodus realisiert und möglicherweise die Raumgeometrie in die-sem Jahrzehnt ähnlich stark beeinflussen wird wie DGS im vergangenen Jahr-zehnt die ebene Geometrie. Das Programm Archimedes 3DGeo38 hat wie Cabri 3D einen 3D-Zugmodus, kommt aber mehr von der Analytischen Geometrie her und ist stärker auf das Arbeiten mit Koordinaten und Vektoren ausgelegt. Ein sehr mächtiges, aber für Ungeübte und Nicht-Programmierer kaum nutzba-res Raumgeometrie-Programm ist das Raytracing-Programm PovRay39. Wer sich damit auskennt, kann faszinierende Bilder mit professioneller Qualität program-

33 www.geogebra.at/ 34 Elschenbroich/ Seebach: Dynamisch Geometrie entdecken mit Euklid Dynageo. Klasse5/6,7,8,9,10. CoTec. bzw. Dynamische Arbeitsblätter Mathematik 7/8 (für Geonext). Friedrich Verlag35 www.bauwas.de/ 36 www.cornelsen.de/ 37 www.cotec.de/produkte/produkt.asp?IDProduct=2521338 www.raumgeometrie.de 39 www.povray.org/download/, www.mbork.de/frame.htm, www.f-lohmueller.de/pov_tut/pov_

_ger.htm

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Cabri eignet sich besonders für die analytische Geometrie, die Untersuchung von Transformationen der Ebene und die gra sche Untersuchung von Funktionen, mit unendlicher Erweiterung der Möglich-keiten von Cabri. (Systemvoraussetzungen: WIN 95/98/ME/2000/XP bzw. MAC OS ab 8.6 bis 10.3)

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Geometrie

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Eingangswerte kontinuierlich verändert werden können, hat sich die Tabellenkalku-lation als mathematisches Werkzeug für interaktive Erkundungen etabliert.

Eine Tabellenkalkulation kann auch als Werkzeug für dynamische Simulationen genutzt werden (learn:line-Arbeitsbereich Modellbildung44) und sie kann sogar als ein dynami-scher Funktionenplotter eingesetzt werden (vgl. folgendes Kapitel). Des Weiteren bie-tet sie eine Fülle von statistischen Werkzeugen und Funktionen und ist mit der Vielfalt der Diagramme ein ideales Werkzeug für die Behandlung statischer Probleme.

Der Einsatz von vorbereiteten elektronischen Arbeitsblättern hat sich (noch?) nicht in dem Maße entwickelt wie bei DGS. Beispiele zum Einsatz von Tabellenkalku-lationen im Mathematikunterricht liegen aber schon vor.45 Soweit Schüler selber Kalkulationsblätter erstellen sollen, ist zu beachten, dass dies eine implizite Form des Programmierens ist, die sowohl mathematische Schwierigkeiten hat (man muss erst den formelmäßigen Zusammenhang vollständig verstanden haben, be-vor man ihn in eine Tabellenkalkulation umsetzen kann) als auch informatische (un-terschiedliche Arten der Adressierung der Zellen, verschachtelte wenn-Befehle, Einsatz von Schiebereglern).

Die bekannteste und meistgenutzte Tabellenkalkulation dürfte wohl das Microsoft-Progamm Excel® als Teil des Office-Paketes sein, früher war auch das etwas ein-fachere Microsoft-Programmpaket Works® gebräuchlich. Das StarOffice®-Paket wurde allen Schulen in NRW in einer Kooperation der Medienberatung NRW mit SUN® kostenlos zur Verfügung46 gestellt. Ebenfalls kostenfrei ist das verwandte Open-Office-Paket47, das aus der Open-Source-Bewegung heraus entstanden ist.

Tabellenkalkulationen sind nach Textverarbeitungen wohl die im täglichen Leben am meisten genutzten Anwendungsprogramme. Im Gegensatz zu DGS ist ihr Ein-satz nicht auf das Fach Mathematik beschränkt, sie können in zahlreichen Fächern genutzt werden. Das hat auch zur Konsequenz, dass die Einführung in die Handha-bung nicht zwangsläufig Aufgabe des Fachs Mathematik sein muss, sondern auch anderweitig geleistet werden kann. Die Schulen sollten in ihrem Medienkonzept festlegen, welches Fach in welcher Stufe hierfür zuständig ist, damit ohne Brüche und ohne Doppelungen gearbeitet werden kann. Aufgabe der Kompetenzteams NRW ist es, in ihrer Beratungstätigkeit auf diesen Aspekt hinzuweisen.

mieren. Dessen Einsatz bietet sich ggfs. in Differenzierungskursen des Wahl-pflichtbereichs oder in AGs an, in denen ‚hartes’ Programmieren ausdrücklich vorgesehen ist.

Vektor40 ist ein kostenloses Programm, mit dem in der Sekundarstufe II sämtli-che Standardaufgaben der Vektorrechnung und Analytischen Geometrie bewältigt werden können, ebenso das Programm Analytische Geometrie41 von Kaese-Schul-software und das Programm Analytische Geometrie von W. Pieper42. Für die Zwe-cke der Raumgeometrie im Unterricht der Sekundarstufe I sind sie aber wenig geeignet, sie sind für den Unterricht in vektorieller analytischer Geometrie der Sekundarstufe II geschaffen.

18. Tabellenkalkulation und Stochastik-Software

Die Tabellenkalkulation ist von ihrer Genese her kein typisch mathematisches Werk-zeug, sondern ein Werkzeug des Sachrechnens, des kaufmännischen Rechnens ge-wesen. Das zeigt sich auch heute noch darin, dass sie durchgängig Teil eines ‚Office’-Programmpaketes ist. Dies hatte zur Folge, dass es lange Zeit das wohl am meisten unterschätzte mathematische Werkzeug war und in den Augen vieler Mathematik-lehrer vorwiegend als überdimensionierter Taschenrechner gesehen wurde.

Tabellenkalkulationen sind mittlerweile auch zu den meistgenutzten Werkzeugen im Stochastik-Unterricht geworden. Daneben gibt es das Programm Grafstat, das insbe-sondere zur einfachen Durchführung und Auswertung von Umfragen genommen wird. Neu und bemerkenswert ist das erste dynamische Stochastik-Programm Fathom43, das noch erheblich stärker als eine Tabellenkalkulation dynamische Aspekte umsetzt.

Tabellenkalkulationen sind entwickelt worden, um durch Formeln gegebene Zu-sammenhänge effizient in Tabellen bearbeiten zu können. Sie sind in Zellen auf-gebaut und diese Zellen haben zwei Ebenen. In der unteren, (meist) unsichtba-ren Ebene befinden sich Zahlen oder Formeln, die auf andere Zellen zugreifen. In der Bildschirmansicht werden meist nur konkrete Zahlenwerte angezeigt. Die besondere Stärke von Tabellenkalkulationen liegt darin, dass große Datenmengen durch Diagramme visualisiert werden können und dass sich Änderungen in Ein-gangsparametern sofort in den Tabellen und in den Diagrammen niederschlagen. Dadurch können sie sich in Sachen Dynamik mit DGS messen. Dies wurde lange unterschätzt, aber spätestens seit der Einführung von Schiebereglern, mit denen

40 www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za186/#geosek 41 www.kaese-schulsoftware.de/ 42 www.online-club.de/~mathe-quelle/schmath/analytgeom.htm 43 www.fathom.de

44 www.learn-line.nrw.de/angebote/neuemedien/medio/softuebl/modell/gmodell.htm45 H. G. Meyer: Tabellenkalkulation … und Mathematik wird anschaulich. Klett Verlag sowie H. G. Meyer: Excel erfolgreich nutzen - Mathematik in Klasse 5 – 10. Aulis Verlag46 www.medienberatung.nrw.de/fachthema/medienberatung/sun_star_office.htm 47 www.openoffice.org/

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Moderne Funktionenplotter eignen sich ideal, um die schon vor 100 Jahren im Meraner Reformprogramm geforderte ‚Erziehung zum funktionalen Denken’ um-zusetzen und eine ‚fortwährende Betrachtung der Änderungen’ durchzuführen und dies in Schülerhand zu geben. Das kann sowohl bei der Untersuchung inner-mathematischer Zusammenhänge (z. B. Zusammenhang zwischen Scheitelpunkt und Nullstellen von Parabeln) geschehen wie auch bei Anwendungsaufgaben (z. B. experimentelle Bestimmung der Gleichung von parabelförmigen Brücken bei Einsatz eines Hintergrundbildes).

20. Handhelds und Laptops

Die unterrichtliche Nutzung von Computerräumen stößt schnell an ihre Grenzen. Ein – vor allem in Grundschulen verbreiteter Ansatz – ist das Medienecken-Kon-zept. Ein anderer Ansatz besteht darin, die Geräte mobil und jederzeit verfügbar zu halten. Hier gibt es derzeit zwei Ausprägungen: Notebook-Klassen oder Nutzung von mathematische Handhelds.

Bei den Notebook-Klassen erwerben die Schüler bzw. Eltern in einem geeigneten Fi-nanzierungsmodell die Laptops. In Niedersachen gibt es die Initiative 1000x1000, in NRW das Projekt Ziel Zukunft52. Nicht unproblematisch ist der derzeit noch ver-gleichsweise hohe Preis der Notebooks und nicht zu unterschätzen ist auch der tech-nische Aufwand für Infrastruktur und Wartung. Dafür gibt es aber ein universell in al-len Fächern einsetzbares Gerät. Praxis-Tipps für ein Mobiles Lernen gibt eine DVD53. Die Mathematik-Handhelds sind demgegenüber spezialisierte Geräte, hochentwi-ckelte Taschenrechner (TR), die in der Regel noch in den naturwissenschaftlichen Fächern nutzbar sind. Diese können sowohl in der Sekundarstufe I als TR und als Funktionenplotter genutzt werden als auch in der Sekundarstufe II bis zum Abitur in CAS-Kursen. Teilweise haben diese Geräte auch noch Module für Tabellenkalku-lation und DGS. In NRW gibt es zum Einsatz von Handhelds das Projekt math-e54.

52 www.stiftung-partner-fuer-schule.nrw.de/notebook.php 53 Miller/ Berger: Mobiles Lernen – besser lernen. Siehe auch www.learnmobile.de

19. Funktionenplotter und CAS

Vorreiter des Computer-Einsatzes im Mathematikunterricht waren die Compu-teralgebra-Systeme (CAS). Sie ermöglichten symbolische Rechnungen und Ope-rationen, sie erweiterten gewissermaßen den Taschenrechner auf das Rechnen mit Variablen. In der Schule wurden sie lange vorwiegend in der Sekundarstufe II eingesetzt, dazu gab es 1998 auch einen umfangreichen Schulversuch in NRW. Weitere Materialien finden sich in den learn:line-Arbeitsbereichen Lernen mit Neu-en Medien und Neue Medien im Mathematikunterricht48.

In den Kernlehrplänen für die Sekundarstufe I ist der Einsatz von CAS als algebra-isches Werkzeug nicht explizit angesprochen. Aber es ist der Einsatz von Funktio-nenplottern vorgesehen, dies lässt sich auch hervorragend mit an der Schule vor-handenen CAS wie Derive, MuPad, MathCad oder LiveMath realisieren. Daneben gibt es numerisch arbeitende Programme wie z. B. das umfangreiche WinFunktion oder die altbekannten MatheAss und TurboPlot, die neben dem Plotten von Funk-tionen diverse mathematische Aufgaben lösen, und es gibt spezielle Programme zum Zeichnen von Funktionen wie z. B. das dynamische AniGra49, aber auch Funk-tionenplotter, die auf Tabellenkalkulationen50 oder DGS51 aufbauen. Funktionenplot-ter erledigen heutzutage auf Knopfdruck das Zeichnen eines Funktionsgrafen, was früher in der Sekundarstufe I mit langwierigen und fehleranfälligen Wertetabellen verbunden war und in der Sekundarstufe II mit einer analysisorientierten Kurven-diskussion. Das Zeichnen eines Funktionsgrafen wird jetzt zu einer Basisoperation.

Beim Einsatz von Funktionenplottern ist eine ähnliche Dynamisierung festzustellen wie beim Einsatz von Geometriesoftware. In konkreten Fragestellungen geht es vorwiegend darum, einen bestimmten Funktionsgrafen schnell zu zeichnen und zu untersuchen. Hierzu muss man in der Regel nur den Term eingeben und die Grenzen festlegen. Dies leisteten schon DOS-Programme der 80er Jahre. Durch Veränderung der Grenzen, durch Zoomen konnte man interessante Bereiche in Ausschnittsvergrößerungen betrachten und so die alte Idee des Funktionenmik-roskops einfach umsetzen. Die Entwicklung der Software ermöglicht mittlerweile eine Dynamisierung durch Schieberegler, so dass in Termen auftauchende Form-variable systematisch variiert werden können. Auf diese Weise können ganze Funktionenklassen, Funktionenscharen wie z. B. f(x) = a.x2+ b.x + c auf ihre typi-schen Eigenschaften untersucht werden.

48 www.learn-line.nrw.de/angebote/neuemedien/medio/mathe/mathe01.htm www.learn-line.nrw.de/angebote/medienmathe/49 www.turboplot.de 50 www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/material/Excel_Plotter/DynaPlot.xls www.kohorst-lemgo.de/index.html?/helmut/funkplott.html 51 www.dynamische-geometrie.de/fktplot.htm, www.dynafunk.de

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Bekannteste Geräte und Pioniere sind der Grafik-TR TI 83 und der CAS-TR TI 89. Mittlerweile gibt es viele Entwicklungen von verschiedenen Firmen. Besonders zu nennen sind aktuell die CAS-TR TI Voyage 200 und der Casio ClassPad 300. In Nie-dersachen und in Sachsen ist der Einsatz von solchen Grafik-TR verbindlich.

Ein Problem besteht gelegentlich darin, dass wechselweise mit PCs und Handhelds gearbeitet und Dateien transferiert werden sollen. Bei den Produkten von TI gibt es die Möglichkeit, CAS-Dateien wahlweise auf Derive und TI 89/Voyage 200 oder DGS-Da-teien wahlweise auf Cabri II oder TI 84/Voyage 200 einzusetzen und zu transferieren. Der Einsatz der Mathematik-Handhelds fand bislang vorwiegend in der Sekundarstufe II statt55, als Alternative zur Nutzung von CAS in Computerräumen. In letzter Zeit gibt es aber auch eine deutlich stärkere Beachtung der Sekundarstufe I, sowohl in Ange-bot und Nachfrage von Fortbildungen als auch in der Entwicklung von Materialien56.

Derzeit ist die Entwicklung der PDAs und ihre Bedeutung für den Unterricht noch of-fen. Es ist denkbar, dass sie in absehbarer Zeit die Kompaktheit und Preisgünstigkeit der Handhelds mit der universellen Einsetzbarkeit der Laptops kombinieren könnten.

21. Kostenfreie Software

Es gibt eine ganze Reihe von Programmen, die kostenfrei im Unterricht einge-setzt werden können. Hier soll nicht auf feine Unterschiede zwischen Open Sour-ce, Freeware, Donationware etc. eingegangen werden. Aber ein Überblick (Stand Ende 2005, ohne Anspruch auf Vollständigkeit) ist sicher für Fachkonferenzen wie für die Unterstützungs- und Beratungstätigkeit der Kompetenzteams NRW hilfreich. Dies ist nur unter dem Gesichtspunkt knapper Kassen von Interesse, son-dern auch lizenzrechtlich, weil die Schülerrinnen und Schüler dann auch zu Hause die Software immer problemlos und legal einsetzen können.

TabellenkalkulationStarOffice: http://www.medienberatung.nrw.de/fachthema/medienberatung/sun_star_office.htm OpenOffice: http://de.openoffice.org/index.html

Dynamische Geometrie-Software:Geonext: http://geonext.uni-bayreuth.de/ Geogebra: www.geogebra.at/ Euklid DynaGeo 1.5: www.dynageo.de/discus/messages/4/euklid15free.zip

54 www.stiftung-partner-fuer-schule.nrw.de/math-e.php 55 z. B. Mathe „open end“ - Materialien für den Einsatz von Grafikrechnern und Computeralgebra. Teil 1: Differentialrechnung, Teil 2: Integralrechnung. Westermann. 56 z. B. verschiedene Hefte der T3-Sek-I-Materialien, zu beziehen unter www.uni-muenster.de/Lehrerbildung/webshop/index.htm

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Eine Fundgrube ist ebenfalls die Zentrale für Unterrichtsmedien im Internet (ZUM). http://mathematik.zum.de/

Lehrer-Online von Schulen ans Netz bietet ebenfalls viele Beispiele zum Einsatz Neuer Medien im Mathematik-Unterricht. www.lehrer-online.de/

Der Mathe-Treff der BR Düsseldorf bietet neben mathematischen Geschichten und mathematischem Allerlei auch ein Diskussionsforum, Knobelaufgaben und den jährlichen Online-Team-Wettbewerb. www.mathe-treff.de

Die Mathe-Kiste und die Mathe-Ecke sind Webseiten, die sich mit Schule und Aus-bildung beschäftigen. www.mathe-kiste.de, www.mathe-ecke.de

Die Mathe-Werkstatt bietet Informationen und Einschätzungen zum Mathematik-unterricht.www.mathe-werkstatt.de

Dynama bietet Unterrichtsmaterialien zur dynamischen Mathematik mit Euklid DynaGeo, Geonext und LiveMath. www.dynama.de

Mathe-online ist eine materialreiche Seite aus Österreich, mit Themen von der Sekundarstufe I bis zur Universität. http://mathe-online.at/

Das Mathe-Prisma bietet eine Sammlung von Modulen und Applets für den Ma-thematikunterricht. www.matheprisma.de/

Zahlreich bietet ein Forum mit Hausaufgabenboard. www.zahlreich.de/

Amerikanisches Mathe-Forum Ask Dr. Math, bietet einen interessanten Blick über den Zaun. http://mathforum.org/dr.math/dr-math.html

Bewegte Mathematik bietet selbst geschriebene Visual-Basic Programme zum Download. www.stauff.de/bewmath/dateien/bewmath.html

Materialien zum Lernen mit Neuen Medien, insbesondere zu Explorativer Datena-nalyse und Modellbindung & Simulation finden Sie bei www.kohorst-lemgo.de/

Freiarbeit Mathematik, Materialien mit dem Mathemac gibt es auf www.mathemac.de/

23. Didaktik-Bücher zum Computereinsatz

Die Anzahl der Didaktik-Bücher, die die brauchbare Informationen und Anregungen zum Computereinsatz im Mathematikunterricht geben, ist noch relativ klein. Auf der nächsten Seite gibt es – ohne Anspruch auf Vollständigkeit – eine Übersicht.

Cinderella 1.4: www.cinderella.de/ Zirkel-und-Lineal: http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/doc_de/index.html

Vektorielle Raumgeometrie Vektor: www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za186/Software/vektor.zip Beschreibende StatistikGrafstat: www.grafstat.de/

FunktionenplotterFunktion: www.emath.de/Lernsoftware/ Dynaplot: www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/material/Excel_Plotter/DynaPlot.xls Paraplot: www.geocities.com/unmuessig/Paraplot.zip Dynafunk: www.dynafunk.de Funkplot: www.kohorst-lemgo.de/index.html?/helmut/funkplott.html

Computeralgebra-SytemeMaxima: http://maxima.sourceforge.net/ und http://wxmaxima.sourceforge.net/

Üben & TestenTraining Sekundarstufe I: www.ateus.ch/training.htm Online Prüfen: www.online-pruefen.de/

ViewerNeben solch generell kostenfreien Programmen gibt es zu vielen anderen Program-men kostenfreie Viewer (z. B. zu Excel, LiveMath), mit denen aber in der Regel nicht weiterbearbeitet werden kann, sondern nur vorgegebene Dateien betrachtet wer-den können. Eine Ausnahme bildet die DGS Euklid DynaGeo. Hierbei können mit dem Vollprogramm erstellte Arbeitsblätter mit dem kostenlosen Viewer DynaGeoX im Internet-Explorer weiter bearbeitet und auch gespeichert werden: www.dynageo.de

22. Mathematik im Internet

Das Internet ist von Joseph Weizenbaum mit einem großen Misthaufen verglichen worden, in dem auch Perlen versteckt sind. Bei den Mathematik-Seiten ist sicher der Anteil dessen, was Weizenbaum als ‚Mist’ ansah, erheblich geringer. Aber auch hier ist das Angebot unüberschaubar geworden. Hier sollen deswegen auch nur exemplarisch einige Seiten genannt werden, die Lehrkräften, Kompetenzteams NRW und Fortbildungsmoderatoren als Start und Orientierung dienen sollen.An erster Stelle ist der NRW-Bildungsserver learn:line zu nennen, der einen um-fangreichen und differenzierten Arbeitsbereich Mathematik hat.www.learn-line.nrw.de/nav/sekundarstufen/mathematik/

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Umsetzung

24. Aufgaben der Fachkonferenz

„Die Fachkonferenz entscheidet in ihrem Fach insbesondere über1. Grundsätze zur fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit2. Grundsätze zur Leistungsbewertung3. Vorschläge an die Lehrerkonferenz zur Einführung von Lernmitteln.“57

Die Fachkonferenz ist somit der Motor der Unterrichtsentwicklung im Fach58. Auf Grundlage des Kernlehrplans erstellt sie den schuleigenen Lehrplan, legt in Ab-stimmung mit dem Medienkonzept und dem Schulprogramm die methodischen Prinzipien und die zu nutzenden Medien fest.

Ein solches fachliches Lernmittelkonzept geht weit über die bloße Entscheidung für ein Schulbuch hinaus (das dann letzten Endes von der Schulkonferenz beschlossen wird) und berücksichtigt folgende Aspekte:

– Wann werden welche Medien genutzt? – Was wird (auch in Abstimmung mit anderen Fächern) wann gelernt? – Werden Lernmittel wie Schulbuch, Arbeitshefte, Software, Internet-Angebote

in einem integrierten Verlagsangebot eingeführt oder stellt sich die Schule aus den Angeboten der Verlage ein eigenes Set zusammen?

– Welche Medien werden aus dem Lernmitteletat vom Schulträger, welche vom Elternanteil angeschafft? Der Lernmitteletat ist nicht nur für die Beschaffung von Schulbüchern zur Ausleihe einsetzbar, denn „Lernmittel sind Schulbücher und andere Medien, die dazu bestimmt sind, von den Schülerinnen und Schülern über einen längeren Zeitraum genutzt zu werden59.“

– Inwieweit sollen im Fach Methoden des selbstständigen Lernens vermittelt werden?56

– Welche technischen Arrangements vom Computerraum über die Medienecken bis zu Laptopklassen oder mathematischen Handhelds werden im Fach ange-strebt und genutzt?

Diese Fragen kann natürlich nicht jede Fachkonferenz für sich entscheiden, sie müssen in der Lehrerkonferenz und in der Schulkonferenz zum Medienkonzept und zum Schulprogramm zusammengefasst werden. Hier entsteht ein Beratungs-bedarf nicht nur für das Fachkollegium, sondern für die gesamte Institution Schule, den die Kompetenzteams NRW aufgreifen müssen.

57 MSJK: Schulgesetz für des Land Nordrhein-Westfalen vom 15. Februar 2005, § 70 58 Meyer, D. (2001): Neue Medien im Mathematikunterricht – Fachkonferenzen als Motor

der Unterrichtsentwicklung. 59 MSJK: Schulgesetz für des Land Nordrhein-Westfalen vom 15. Februar 2005, § 30

Weitere und aktuelle Anregungen finden sich in den didaktischen Fachzeitschriften: – Praxis der Mathematik in der Schule (Aulis)– Mathematik Lehren (Friedrich Verlag)– Der Mathematik-Unterricht (Friedrich Verlag)

Volker Hole (1998): Erfolgreicher Mathematikunterricht mit dem Computer

Sehr konkretes, praxisorientiertes Buch. Moderner Nachfolger des Klassikers ‚Erfolgreicher Mathematikunterricht’.

Horst Hischer (2002): Mathematikunterricht und Neue Medien

Verfolgt - wie schon in der Heraushebung der Neuen Medien sichtbar wird - einen Ansatz einer eigenständigen Integrativen Medienpädagogik.

Hans-Georg Weigand, Thomas Weth (2002): Computer im Mathematikunterricht

Enthält grundsätzliche Ausführungen zum Computereinsatz, mehr für die universitäre Lehrerausbildung mit Neuen Medien geschrieben

Timo Leuders (Hrsg.) (2003): Mathematik-Didaktik

Innerhalb kurzer Zeit zum viel gelesenen und in der Lehreraus-bildung oft eingesetzten Buch geworden. Enthält sowohl sehr konkrete wie grundsätzliche Beiträge.

Bärbel Barzel, Stephan Hußmann, Timo Leuders (2005): Computer, Internet & Co. im Mathematikunterricht

Arbeitet an Hand von Unterrichtsbeispielen die Rolle der Neuen Medien für die Entfaltung der prozessbezogenen Kompetenzen heraus.

Volker Ulm (2005): Mathematikunterricht für individuelle Lernwege öffnen.

Methoden-orientiertes Buch aus der Reihe SINUS-Transfer mit einem Schwerpunkt auf Dynamischer Geometrie mit Geonext.

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Fachliche Anknüpfungspunkte sind Individuelle Förderung und Unterrichtsentwick-lung. Darüber hinaus vermittelt das Kompetenzteam NRW Moderatorinnen und Moderatoren für weitere Fortbildungsbereiche sowie Beratungs- und Fortbildung-sangebote weiterer Partner.Die Kompetenzteams NRW nehmen auch die inhaltlichen Schwerpunkte der bis-herigen e-teams NRW wahr. In Kooperation mit dem örtlichen Medienzentrum unterstützen sie Schulen bei der Medienkonzeptarbeit und der Vermittlung von Lernkompetenzen für individualisierten Unterricht.Die Medienberaterinnen und Medienberater in den Kompetenzteams NRW bera-ten Schulträger bei der Medienentwicklungsplanung und koordinieren Bildungs-partnerschaften mit kommunalen und anderen lokalen Partnern.

Die 4 Kernaufgaben der Kompetenzteams NRW sind:

• Beratung bei der Fortbildungsplanung • Fortbildungen in den Kernfächern • Medienberatung • Kooperationen mit kommunalen und anderen Partnern.

26. Fortbildungsangebote

Seit dem Schuljahr 2004/2005 erhalten die Schulen und Studienseminare ein Fortbildungsbudget61 für Reisekosten, Materialkosten und Honorare. Damit kön-nen schulexterne Maßnahmen für einzelne Lehrkräfte und schulinterne Maßnah-men für Kollegien bzw. Teilkollegien finanziert werden. Soweit Moderatoren der staatlichen Lehrerfortbildung dabei in Anspruch genommen werden, entstehen den Schulen keine Kosten für Honorare oder Teilnahmegebühren. Neben ihren eigenen Unterstützungsangeboten haben die Kompetenzteams NRW auch eine Agenturfunktion und können im Rahmen ihrer Beratung kompetente Fortbildun-gen vermitteln. Dazu gehört natürlich ein Überblick über das Angebot.

Die Bezirksregierungen bieten über ihre Dezernate 46 Fachfortbildungen für Real-schulen, Gesamtschulen und Gymnasien an. Die regionalen Fortbildungsangebote können über eine Portalseite62 bei learn:line aufgerufen werden.

Auf lokaler Ebene werden weiter von den Schulämtern Fortbildungen für Grund-schulen, Hauptschulen und Förderschulen angeboten.

61 BASS 20-22 Nr. 50.1: Budgetierung von Fortbildungsmitteln des Landes und Bewirt schaftung dieser Haushaltsmittel durch die Schulen.

62 www.learn-line.nrw.de/angebote/bezreglehrerfortbildung/

Aus diesen Überlegungen ergibt sich dann konsequent der Fortbildungsbedarf des Kollegiums bzw. des Fachkollegiums. Fortbildung ist nicht mehr von individuellem In-teresse geleitet (was sich oft genug gar nicht im Unterrichtsalltag niedergeschlagen hat), sondern davon, was an der jeweiligen Schule erforderlich ist, um eine Qualitäts-steigerung des Unterrichts zu erreichen. Wenn diese Unterrichtsentwicklung Ziel von Fortbildung ist, muss sie im Wesentlichen schulintern stattfinden, in den Strukturen, die den Fachunterricht tragen und ausrichten.

Die Kompetenzteams NRW haben die Aufgabe, solche Prozesse durch Beratung von Schulleitung und Schulträger, durch eigene Fortbildungsangebote und durch Vermittlung geeigneter weiterer Fortbildungsangebote zu unterstützen.

25. Aufgaben der Kompetenzteams NRW

Vor Ort bieten die Kompetenzteams NRW60 in allen 54 kreisfreien Städten und Kreisen Unterstützungsleistungen für alle Schulformen und ihre Kollegien vor Ort an. Das Kompetenzteam NRW berät Schulen im Rahmen ihrer Konzeptarbeit und bietet bedarfsorientiert Fortbildung in den Kernfächern an.

60 www.kompetenzteams.schulministerium.nrw.de/

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In den Angeboten der amtlichen Lehrerfortbildung wird gegenüber früherer Be-tonung fachlicher Spezialthemen eine Schwerpunktsetzung auf eine veränderte Unterrichtskultur und auf Kompetenzen im Sinne der Bildungsstandards und Kernlehrpläne deutlich.

Daneben gibt es noch freie Träger, zum Teil in Kooperation mit dem Land NRW:

– T3 Deutschland63 bietet regelmäßig Regionaltagungen und schulinterne Fortbil-dungen an, vorzugsweise zum Einsatz von Handhelds wie dem TI Voyage 200 und führt mit der Stiftung Partner für Schulen NRW das Projekt math-e64 durch.

– Das kirchliche Institut für Lehrerfortbildung65 bietet Kurse zum Einsatz Neuer Medien in Mathematik und Informatik an.

– INTEL führt die Online-Fortbildung „Lehren für die Zukunft“66 durch.

Darüber hinaus gibt es einen sich entwickelnden freien Markt. Zunehmend sehen auch die Schulbuchverlage in der Lehrerfortbildung ein Aktionsfeld und bieten ei-gene, oft produktorientierte Veranstaltungen an.

63 www.t3deutschland.de, www.mathematik.uni-dortmund.de/t3fortbildung/ 64 www.partner-fuer-schule.nrw.de/math-e.php 65 www.ifl-muelheim.de/66 http://aufbaukurs.intel-lehren.de/NRW/

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Fortbildungsplanung

• Welche fachdidaktische Fortbildung hat es für das Fachkollegium in der Vergangenheit gegeben? Welcher Bedarf besteht? • Welche methodische Schulung und Fortbildung hat es für das Kollegium gegeben (Klippert, Herforder Modell, Norm Green, …)? Welcher Bedarf besteht? • Welche Fortbildungs- und Unterstützungsleistung kann das Kompetenzteam NRW

anbieten? • Welche Fortbildung kann das Kompetenzteam NRW dem Kollegium aus den

vorhandenen Fortbildungsmaßnahmen vermitteln?• Wie kann das Kompetenzteam NRW die Schulleitung und den Schulträger bera-

ten und unterstützen?

Kooperationen

• Bestehen Kooperationen mit außerschulischen oder kommunalen Einrichtungen?• Gibt es Kooperationen mit anderen Schulen (gegenseitige Hospitationen, gemeinsame Fortbildungen, etc)? • Gibt es Kooperationen mit Eltern, Schüler-AGs etc. innerhalb der Schule?

27. Checkliste

In der Arbeit an der Unterrichtsentwicklung vor Ort gibt es immer wieder vorkommen-de Punkte. Folgende Checkliste soll den Kompetenzteams und den Fachkonferenzen eine Hilfestellung geben.

Organisationsentwicklung

• Auf welcher Ebene wird gearbeitet (Fachkonferenz, Lehrerkonferenz, Schulkonferenz)?• Sind die Beteiligten hinreichend über die Inhalte informiert? • Welche Absprachen auf der Leitungsebene und mit den Beteiligungsgremien

gibt es (Fachkonferenzvorsitz, Stufenkoordinator, Schulleitung, ggfs. Schulpflegschaft)? • Gibt es eine Arbeitsgruppe zur Vorbereitung?

Konzeptentwicklung

• Welche Aussagen trifft das Schulprogramm zur Medienarbeit und zur Unterrichtsentwicklung? • Gibt es an der Schule ein pädagogisches Medienkonzept, das über reine Ausstattungsfragen hinausgeht? • Wie wird es in die Praxis umgesetzt? • Wie ist die Ausstattung mit (Neuen) Medien? • Wie sind Verfügbarkeit und Zugang zu (Neuen) Medien geregelt? • Gibt es ein abgestimmtes übergreifendes oder fachbezogenes Lernmittelkonzept an der Schule?• Ist der IT-Support geregelt? Gibt es ein Service-Level-Agreement zwischen

Schule und Schulträger? • Gibt es ein pädagogisches Ganztagsangebot und werden dabei Neue Medien eingesetzt?

Unterrichtsentwicklung

• Werden (Neue) Medien regelmäßig im Unterricht genutzt? In welchen Jahrgangsstufen bzw. Klassen ist dies der Fall? • Welche Resultate ergeben sich bei den Lernstandserhebungen? Welche Schlüsse zieht die Schule, die Fachkonferenz daraus? • Gibt es fachbezogene Förderkonzepte? • Welche Formen der Zusammenarbeit innerhalb des Kollegiums gibt es? (Im Fach: gegenseitiger Austausch von Material, gemeinsame Unterrichtsvor-

bereitung, gemeinsame Klausuren, gegenseitige Hospitationen; überfachlich: Erfahrungsaustausch der Lehrkräfte der Klasse/ der Stufe, bewusste Bildung von Teams für den nächsten Jahrgang)?

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Die Dynamischen Arbeitsblätter bieten Ihren SchülerInnen Lernumgebungen, in denen sie Gesetzmäßig-keiten durch eigenes Experimentieren entdecken können. Das Ausprobieren und Experimentieren am Bild-schirm ergänzt dabei das Zeichnen mit Bleistift und Geodreieck. Ihre SchülerInnen können vieleZusammenhänge selbst erkennen oder eigene Vermutungen anstellen. Die Inhalte der Arbeitsblätter: Dreiecke, Vierecke, Achsensymmetrie. Inklusive Arbeitsaufträgen, Hilfenund weiterführenden Links. Die Lernumgebungen basieren auf der Mathematiksoftware GEONExT.

Einzelplatz-Lizenz (CD-ROM) mit Handbuch, ISBN 3-617-92355-0, € 49,80

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Henrichwark, C.; Vaupel, W. (2002): Auf dem Weg zum Medienkonzept. e-dition.nrw. www.medienberatung.nrw.de/FachThema/Publikationen/schrif ten/planung_medienkonzept.htm

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Die Medienberatung NRW ist ein gemeinsames Angebot des Medienzentrums Rheinland und des LWL-Medienzentrums für Westfalen im Auftrag des Landes NRW und der Landschaftsverbände Rheinland und Westfalen-Lippe.

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