Lernprogramm : „Quadratische Funktionen“ von W. Liebisch

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Du kannst dich während der Präsentation mit den Pfeiltasten vorwärts und rückwärts bewegen.

Von W. Liebisch

Anleitung :

Du benötigst Schreib- und Zeichengeräte sowie Papier.

Außerdem benötigst du eine Kurvenschablone für qua-

dratische Funktionen .

„Klicke immer erst weiter, wenn du es bereits selbst

versucht hast ! (Musik kannst du mit der rechten Maustaste anhalten)

Und jetzt wünsche ich dir viel Erfolg !

Dieses Programm ist nur sinnvoll, wenn du die Präsentation in der Reihenfolge bearbeitest !

Die einfachste quadratische Funktion (Normalparabel)Die einfachste quadratische Funktion (Normalparabel)

1. Ergänze die Wertetabelle

zu y = x²

x -3 -2 -1 0 0,5 1 2 3

y 9 4 1 0 0,25 1 4 9

2. Stelle diese Funktion in einem Koordinatensystem dar ! (Überlege dir gut, wie du die Koordinatenachsen einteilst !)

y

x

Und nun trage die Punkte ein ;auf der nächsten Folie siehst du die Lösung :

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

y

Verbinde nun die Punkte mit der Kurvenschablone !

-5

-3

-1

1

3

5

7

9

11

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

y

Der Scheitelpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Parabel und ihrer Symmetrieachse.

Lies den Scheitelpunkt ab :

Übrigens :

Die Nullstelle ist :

0

und der Schnittpunkt

mit der y – Achse lautet :

( 0 ; 0 )

Bei Funktionen der Form y = x² + e wird die Normalparabel einfach nach oben oder nach unten (je nach Vorzeichen von e) parallel verschoben .

3. Zeichne die

Funktionen

y = x² + 1,

y = x² - 2 und

y = x² - 5 in

dasselbe Koordinatensystem ! -10

-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

101112131415

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

x

y

y = x² + 1 y = x² - 2 y = x² - 5

Bei Funktionen der Form y = (x + d)² wird die Normalparabel nur nach rechts (d negativ) oder nach links (d positiv)

parallel verschoben !4. Zeichne die Funktionen y =(x + 3)² und y = (x – 3)² in ein gemeinsames Koordinatensystem !

-3-2-10123456789

101112131415161718

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

y

y = (x +3)² y = (x - 3)²

Nun wird’s allgemeiner !

Bei Funktionen mit der Gleichung y = (x + d)² + e kann die Normalparabel logischerweise in jede Richtung ver-

schoben sein. Ihr Scheitelpunkt lautet nämlich jetzt : S ( -d ; e )5. Gib zu folgenden Beispielen die Scheitelpunktskoordinaten und die Funktionsgleichungen an :

Nr.

Scheitelpunkt Gleichung

1

2

3

4

5

S ( -4 ; 0 ) y = (x+4)²

S (-1 ; -3) y = (x+1)² -3

S (2 ; -2) y = (x – 2)² - 2

S ( 3 ; 1 ) y = (x – 3)² + 1

S ( 6 ; -5 ) y = (x – 6)² - 5

Gut gemacht !

Fülle die Tabelle erst selbst aus !

Nun kannst Du es selbst versuchen !6. Zeichne folgende Funktionen in ein KS : y = (x + 1)² - 2 (1) und y = (x – 2)² + 1 (2)

7. Gib die Scheitelpunkte an und lies die Nullstellen der beiden Funktionen ab ! Gib

außerdem den Schnittpunkt A der

Parabeln an !

Scheitelpunkte :

(1) : S (- 1 ; - 2 )

(2) : S ( 2 ; 1 )

A

Prima !

Nullstellen :

(1) : - 2,35 und 0,4

(2) : keine

Schnittpunkt A der

Parabeln : A( 1 ; 2 )

y=x²+4x-3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x

y

x x²+4x-34 29

3,5 23,253 18

2,5 13,252 9

1,5 5,251 2

0,5 -0,750,2 -2,160 -3

-0,2 -3,76-0,5 -4,75-1 -6

-1,5 -6,75-2 -7

-2,5 -6,75-3 -6

-3,5 -4,75-4 -3

-4,5 -0,75-5 2

-5,5 5,25-6 9

-6,5 13,25-7 18

-7,5 23,25-8 29

Hier siehst du, wie die Parabel der Funktion y = x² + 4x – 3 entsteht :

In dieser Normalform y = x² + px + q sind quadratische Funktionen leider

meistens gegeben . Die nächste Folie soll zeigen, wie man mit weniger Aufwand zu so einer Parabel kommt :

Wenn man die Funktionsgleichung y = (x + d)² + e weiter umformt, entsteht : y = x² + 2dx + d² + e. In denmeisten Fällen wird eine quadratische Funktion in der Normalform gegeben : y = x² + px + q .Hieraus ergibt sich, dass p = 2d und q = d² + e ist. Also gilt auch d = p/2 und e = q – p²/4 und damit kann man für den Scheitelpunkt S( -d ; e ) auch schreiben :

8. Berechne zu folgenden Funktionen den Scheitelpunkt, stelle sie dann in einem KS zeichnerisch dar und

lies folgende Eigenschaften ab : Nullstellen, Schnittpunkt mit der y – Achse und Quadranten.

a) y = x² - 4x – 1 b) y = x² + 8x + 10 und c) y = x² - x – 0,25

Funktion Scheitelpunkt Quadranten Nullstellen Schnittpunkt

mit der y-Achse

a)

b)

c)

S( - p/2 ; q – p²/4 ) !

Auf der nächsten Folie kannst du dir die zeichnerische Lösung dazu anschauen :

Fertige zunächst selbst die Zeichnung und eine Tabelle mit den Eigenschaften dazu an, bevor du weiterklickst !

S ( 2 ; - 5 )

S ( - 4 ; 6 )

S ( 0,5 ; 0 )

I,II,III,IV

I,II

I,II

- 0,3 ; 4,2

- 1,5 ; - 6,5

0,5

( 0 ; - 1 )

( 0 ; 10 )

( 0 ; 0,25 )

-2

b

1

c

1

a

-2

a : y = x² - 4x – 1

b : y = x² + 8x + 10

c : y = x² - x – 0,25

Wenn die Nullstellen genau bestimmt werden sollen, berechnet man sie. Es gilt dann : y = 0 ! Also ist

0 = (x + d)² + e . Also gilt auch : x + d = ± (- e). Und damit gilt : x1/2 = - d ±(- e) .

Weil d = - p/2 und e = q – p²/4 gilt, lautet die Lösungsformel für die Lösungen der quadratischen Gleichung 0 = x² + px + q bzw. die Formel zur Berechnung der Nullstellen der

Funktion y = x² + px + q : x1/2 = - p/2 ± p²/4 – q .

Ob die Funktion Nullstellen hat, hängt von dem Ausdruck unter der Wurzel ,der sogenannten Diskriminante D, ab.

Also : D = p²/4 – q .

Es gibt 2 Lösungen, wenn D > 0 ist.

Es gibt 1 Lösung, wenn D = 0 ist.

Es gibt keine Lösung, wenn D < 0 ist .

9. Berechne die Scheitelpunkte und Nullstellen der folgenden Funktionen, zeichne sie dann in ein

KS und vergleiche die dort abzulesenden Nullstellen mit deinen berechneten Nullstellen.

Berechne außerdem den Schnittpunkt der Parabeln mit der y - Achse und den Schnittpunkt

zwischen der 1. und 2. Parabel :

(1) y = x² + 4x + 5 (2) y = x² - 2x + 1 und(3) y = x² - 6x + 8

,Schalte erst zur nächsten Folie,wenn du fertig bist !

S1( -2 ; 1 )

S2( 1 ; 0 )S3( 3 ; -1 )

(1): keine NS (D < 0)

(2): NS: 1 (D = 0) (3): NS`n: 2 und 4

(D > 0)

D

C

B

Für die Schnittpunkte mit der y – Achse gilt : x = 0 : (1): y = 0² + 4•0 + 5 y = 5

(2): y = 0² - 2•0 + 1 y = 1

(3): y = 0² - 6•0 + 8 y = 8

Für den Schnittpunkt B der Parabeln 1 und 2 gilt : x² + 4x + 5 = x² - 2x + 1 |-x²

also : 4x + 5 = -2x + 1 |-5 und | +2x

ergibt : 6x = - 4 | :6

x = - 0,666.....

Daraus folgt: y = x² + 4x + 5 : y = (-2/3)² + 4•(-2/3) + 5 y = 2,777.....

Also ist der Schnittpunkt der Parabeln gerundet : B ( -0,7 ; 2,8 ) !

10. Berechne selbst die Schnittpunkte C (Parabel 2 und 3) und D (Parabel 1 und 3)

Schnittpunkt C (Funktion (2) und (3) : Schnittpunkt D (Funktion (1) und (3) :

x² - 2x + 1 = x² - 6x + 8 | - x²

- 2x + 1 = - 6x + 8 | + 6x und | - 1

4x = 7 | : 4

x = 1,75 und weil y = x² - 2x + 1 ist, gilt: y = 0,5625

x² + 4x + 5 = x² - 6x + 8 | - x²

+ 4x + 5 = - 6x + 8 | + 6x und | - 5

10x = 3 | : 10

x = 0,3 und weil y = x² + 4x + 5 ist, gilt: y = 6,29

11. Auf der folgenden Folie sind die Funktionen a bis f abgebildet. Gib folgende Sachverhalte (wenn möglich) an :

Scheitelpunkte, Nullstellen, Schnittpunkte mit der y – Achse (wenn erkennbar), Quadranten, Funktionsgleichung in der Form y = (x + d)² + e und in der Form y = x² + px + q .

Scheitelpunkt Nullstellen Schnittp. mit der y-Achse Quadranten y = (x + d)² + e y = x² + px + q

a

b

c

d

e

f

Übernimm die Tabelle auf dein Übungsblatt !

SC( 1,75 ; 0,56 ) SD( 0,3 ; 6,29 )

e

2

c

a

d

b

f

In der nächsten In der nächsten Folie kannst du Folie kannst du dir die Lösungen dir die Lösungen anschauen !anschauen !

12. Berechne dann die Null-

stellen aller Funktionen a-f

und vergleiche deine Er-

gebnisse mit dieser Zeich-

nung !13. Berechne außerdem die

Schnittpunkte zwischen

b und f sowie zwischen a

und e !

Scheitelpunkt Nullstellen Schnittp. mit der y-Achse Quadranten y = (x + d)² + e y = x² + px + q

a

b

c

d

e

f

S ( 2 ; - 5 )

S ( - 4 ; - 6 )

S ( 0,5 ; 0 )

S ( - 6 ; 4 )

S ( 7 ; - 8 )

Lineare Funktion

- 0,3 ; 4,3

- 1,5 ; - 6,5

0,5

keine

4,3 ; 9,8

-3

( 0 ; - 1 )

( 0 ; 10 ) ?

( 0 ; 0,3 )

nicht ablesbar

nicht ablesbar

( 0 ; - 6 )

I,II,III,IV

I,II,III

I,II

I,II

I,II,IV

II,III,IV

y = ( x - 2 )² - 5

y = ( x + 4 )² - 6

y = ( x – 0,5 )²

y = ( x + 6 )² + 4

y = ( x – 7 )² - 8

y = - 2x - 6

y = x² - 4x - 1

y = x² + 8x + 10

y = x² - x + 0,25

y = x² + 12x + 40

y = x² - 14x + 41

y = mx + n

x1/2 = - p/2 ± p²/4 – q !

a: x1/2 = - (-4)/2 ± (-4)²/4 – (-1) ; x1 = 4,24 und x2 = - 0,24

b: x1/2 = -8/2 ± 8²/4 – 10 ; x1 = - 1,55 und x2 = - 6,45

c: x1/2 = - (-1)/2 ± (-1)²/4 – 0,25 ; x1 = 0,5 !

d: die Wurzel ist nicht berechenbar !

e: x1/2 = - (-14)/2 ± (-14)²/4 – 41 ; x1 = 9,83 und x2 = 4,17

f: x = 6/(-2) x = - 3 !

Der Vergleich mit der Tabelle zeigt eine ziemlich genaue Übereinstimmung !

Schnittpunkte zwischen b und f :

x² + 8x + 10 = - 2x – 6 | + 2x und | + 6

x² + 10x + 16 = 0 ; x1/2 = - 10/2 ± 10²/4 - 16

x1 = - 8 ; x2 = - 2 ; also ist y1 = -2•(-8) – 6 = 10 und y2 = -2•(-2) – 6 = - 2

S1( - 8 ; 10 ) S2( - 2 ; - 2 )

stimmt !

Schnittpunkte zwischen a und e :

x² - 4x – 1 = x² - 14x + 41 |-x² |+ 4x |+ 1

0 = - 10x + 42 also: x = 4,2 und

y = 4,2² - 4•4,2 – 1 ; y = - 0,16

S ( 4,2 : - 0,16 ) !!

stimmt auch !

14. Eine quadratische Gleichung kann auch so aussehen : 5x² - 5x + 2 = 2x² - 8x + 8

Um sie zu lösen, wird sie zuerst in die Normalform umgestellt : versuche es zuerst selbst !

3x² + 3x – 6 = 0 | :3 ! Prima !

x² + x – 2 = 0 ; x1/2 = -1/2 ± 1²/4 – (-2)

x1 = 1 und x2 = - 2 !

Ich danke dir für deine Ausdauer u. möchte mich verabschieden :