Leseprobe

zu

Maschinenelemente

Formeln

von Decker

ISBN (Buch): 978-3-446-45031-8

ISBN (E-Book): 978-3-446-45306-7

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© Carl Hanser Verlag, München

Inhaltsverzeichnis

1 Konstruktionstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Maße, Abmaße und Toleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9ISO-Toleranzsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Rauheit der Oberflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Festigkeitsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Allgemeine Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Hertz’sche Pressung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Beanspruchbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Kerbwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Betriebsfestigkeit nach der FKM-Richtlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Schmelzschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Berechnung der Spannungen in Schweißnahten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Schweißverbindungen im Maschinen- und Geratebau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Pressschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Punktschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Buckelschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Lotverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Berechnung von Lotverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Klebverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Berechnung von Klebverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Nietverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Berechnung von Nietverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9 Reibschlussige Welle-Nabe-Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Grundlagen der Berechnung zylindrischer Pressverbande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Berechnung bei rein elastischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Berechnung bei elastisch-plastischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Einpresskraft und Fugetemperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Spannelementverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Klemmverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10 Befestigungsschrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Berechnung: Vordimensionierung und �berschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Schraubenanziehmoment, Anziehfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Berechnung: Nachgiebigkeit von Schraube und Bauteilen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Berechnung: Bleibende Verformung durch Setzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Berechnung: Betriebskrafte Zug, Druck und Schwingungen auf vorgespannte Schraubenverbindungen 66Haltbarkeit der Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Standardisierte Vorgehensweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Berechnung querbeanspruchter Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11 Bewegungsschrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Gewinde, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Berechnung der Haltbarkeit und der Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12 Formschlussige Welle-Nabe-Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Langskeilverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Passfederverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Keilwellenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Zahnwellenverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Polygonwellenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Kegelverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Stirnzahnverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

13 Stift- und Bolzenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Gelenkstifte oder Bolzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Steckstifte unter Biegekraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Querstifte unter Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Langsstifte unter Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

14 Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Federsteifigkeit, Federarbeit, Schwingverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Zusammenwirken mehrerer Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drahten oder Staben . . . . . . . . . . . . . . . 80Tellerfedern als Druckfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Spannungen in den Punkten OM, I bis IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Gewundene Schenkelfedern als Drehfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Stabfedern als Drehfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Spiralfedern als Drehfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Blattfedern als Biegefedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Ringfedern als Druckfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Luftfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Gummifedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

15 Achsen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Biegemomente, Langskrafte und Torsionsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98�berschlagsrechnung auf Torsion und Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Achsen und Wellen gleicher Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Berechnung auf Gestaltfestigkeit (Dauerhaltbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Durchbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Verdrehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Kritische Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Tragfahigkeitsberechnung von Wellen und Achsen nach DIN 743 . . . . . . . . . . . . . . 108

16 Tribologie: Reibung, Schmierung und Verschleiß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Schmierole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

17 Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Berechnung der Radiallager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Berechnung der Axiallager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

18 Walzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Tragfahigkeit und Lebensdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Berechnung von Kegelrollen- und Schragkugellagern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Besondere Belastungsfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Grenzdrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Schmierung der Walzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

19 Lager- und Wellendichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

20 Wellenkupplungen und -bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Kupplungsmomente bei Ausgleichskupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Reibungskupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

21 Grundlagen fur Zahnrader und Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141�bersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Evolventenverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Planetengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Inhaltsverzeichnis 7

22 Abmessungen und Geometrie der Stirn- und Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Null-Außenverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Null-Innenverzahnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Null-Schragverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Profilverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Geometrische Grenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Profiluberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Geradverzahnte Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Schrag- und bogenverzahnte Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

23 Gestaltung und Tragfahigkeit der Stirn- und Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Zahnkrafte an Stirnradern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Zahnkrafte an Kegelradern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Wirkungsgrad und Gesamtubersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Gestaltung der Rader aus Stahl und aus Gusseisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Gestaltung der Rader aus Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Schmierung, Schmierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Allgemeine Einflussfaktoren fur die Tragfahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Zahnfußtragfahigkeit der Stirnrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Grubchentragfahigkeit der Stirnrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Zahnfußtragfahigkeit der Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Grubchentragfahigkeit der Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Berechnung der Rader aus thermoplastischen Kunstoffen auf Tragfahigkeit und Verformung. . . 175

24 Zahnradpaare mit sich kreuzenden Achsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Eingriffsverhaltnisse von Schraub-Stirnradpaaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Wirkungsgrad und Zahnkrafte an Schraub-Stirnradpaaren . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Tragfahigkeit von Schraub-Stirnradpaaren, Schmierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Geometrie der Schneckenradsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Wirkungsgrad und Zahnradkrafte an Schneckenradsatzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Gestaltung der Schnecken und Schneckenrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Schmierung von Schneckenradsatzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Tragfahigkeit von Schneckenradsatzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

25 Kettentriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Kettenrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Schmierung der Kettentriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

26 Flachriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Theoretische Grundlagen fur Riementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Riemenscheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Geometrie der Flachriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189�bersetzung, Riemengeschwindigkeit, Biegefrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Berechnung der Antriebe mit Leder- und Geweberiemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Berechnung von Antrieben mit Mehrschichtriemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Spannrollentrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

27 Keilriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Berechnung der Antriebe mit Keilriemen und Keilrippenriemen . . . . . . . . . . . . . . . 194

28 Synchron- oder Zahnriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196�bersetzung und Geometrie der Synchronriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Berechnung von Antrieben mit Synchron- oder Zahnriemen . . . . . . . . . . . . . . . . 198

29 Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Temperaturbedingte Langenanderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Berechnung von Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Inhaltsverzeichnis8

Vorwort

Diese Formelsammlung ist eine Erganzung zu der im gleichen Verlag erschienenen 20. Auf-lage des tausendfach bewahrten Lehrbuches „Decker, Maschinenelemente“. Sie enthalt ineiner ubersichtlichen Anordnung alle wichtigen Gleichungen zur Berechnung von Maschinen-elementen. Bei der Vielzahl an Formeln fur die Bemessung und den Festigkeitsnachweis vonMaschinenelementen ist es zweckmaßig, eine Zusammenfassung in kompakter Form zur Ver-fugung zu haben, was auch von vielen Benutzern des Lehrbuches gewunscht wurde. Mit derFormelsammlung kann ohne das Lehrbuch gearbeitet werden.Die Systematik und die Gleichungsnummern stimmen vollstandig mit dem Lehrbuch uberein,ebenso die Bezeichnungen der zu berechnenden Großen. Ihre Bedeutung ist erlautert, dievorzugsweise anzuwendenden Einheiten sind angegeben. Zum besseren Verstandnis der Zu-sammenhange wurden Bilder eingefugt. Die Angabe von Normen und andere wichtige Hin-weise, die beim Berechnen von Maschinenelementen zu beachten sind, erganzen das Ange-bot der Berechnungsunterlagen.Auf die Tabellen und Diagramme fur erforderliche Werte von Festigkeiten, Sicherheiten, zu-lassigen Spannungen, Berechnungsfaktoren, Reibzahlen, Normteil- und Profilabmessungen,Toleranzen und dergleichen wird hingewiesen. Alle fur die Berechnungen benotigten Wertebefinden sich ausnahmslos im Tabellenband, der dem oben genannten Lehrbuch beigefugtist.Mit dieser Formelsammlung liegt eine Arbeitshilfe vor, die eine rationelle Losung von Auf-gabenstellungen zur Berechnung von Maschinenelementen wahrend des Studiums und in derPraxis ermoglicht. Sie ist deshalb besonders geeignet fur Klausuren und Prufungsarbeiten.Auch fur das Durchrechnen von �bungsaufgaben bietet sie Vorteile, da ein aufwendigesBlattern im Lehrbuch entfallt.Hierzu wird auf die im gleichen Verlag erschienene Aufgabensammlung „Decker/Kabus,Maschinenelemente – Aufgaben“ hingewiesen. Dieses bewahrte Buch mit �bungsaufgabenzur Berechnung von Maschinenelementen ist vollstandig auf das Lehrbuch abgestimmt. ZurAbrundung kann eine Vielzahl von Informationen und kostenlosen Zusatzmaterialien zumDecker Gesamtwerk unter www.hanser-fachbuch.de/decker nachgeschlagen werden.Verfasser und Bearbeiter hoffen, dass die Formelsammlung allen Benutzern eine wertvolleHilfe sein wird. Allen Kolleginnen und Kollegen sagen wir hiermit herzlichen Dank fur ihreRatschlage, auch Frau Ute Eckardt vom Carl Hanser Verlag fur die gute Zusammenarbeit.

Frank RiegFrank WeidermannGerhard Engelken

Reinhard HackenschmidtBettina Alber-Laukant

1 Konstruktionstechnik

Maße, Abmaße und Toleranzen

Oberes Abmaß ES ðbzw: esÞ ¼ Go �N , Unteres Abmaß EI ðbzw: eiÞ ¼ Gu �N ,

Istabmaß Ai ¼ I �N ,

Maßtoleranz T ¼ Go �Gu oder T ¼ ES � EI ðbzw: es� eiÞN Nennmaß, I Istmaß, Go Hochstmaß, Gu Mindestmaß

Allgemeintoleranzen nach DIN ISO 2768-1 (siehe Tab. 1.7).

ISO-Toleranzsystem

Fur die Grundtoleranzgrade IT 5 bis IT 18 und Nennmaße bis 500 mm:

Toleranzfaktor i ¼ 0,45ffiffiffiffi

D3pþ 0,001 D in mm ð1:1Þ

und fur Nennmaße uber 500 mm bis 3150 mm:

Toleranzfaktor I ¼ 0,004 Dþ 2,1 in mm ð1:2Þ

D ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

D1 �D2p

geometrisches Mittel aus den Zahlenwerten der Grenzwerte D1 und D2 des Nenn-maßbereichs.

Eine ISO-Grundtoleranz T ist ein Vielfaches des Toleranzfaktors i bzw. I (siehe Tab. 1.2).Die errechneten Werte sind nach vorgegebenen Regeln zu runden, und zwar die nachGl. (1.1) bis 100 mm auf 1 mm, bis 200 mm auf 5 mm und bis 500 mm auf 10 mm genau.Verbindliche Werte der Grundtoleranzen bis 3150 mm sind in DIN EN ISO 286-1 angegeben(Auszug siehe Tab. 1.2). Fur Nennmaße uber 3150 mm gilt weiterhin DIN 7172.

Passungen

Spielpassung

Hochstspiel Sg ¼ ES � ei ¼ GoB �GuW ð1:3Þ

Mindestspiel Sk ¼ EI � es ¼ GuB �GoW ð1:4Þ

Bild 1.1 Maße und Abmaßea) an einer Welle,b) an einer Bohrung

1

�bermaßpassung

Hochstubermaß Ug ¼ es� EI ¼ GoW �GuB ð1:5Þ

Mindestubermaß Uk ¼ ei � ES ¼ GuW �GoB ð1:6Þ

�bergangspassung

Hochstspiel Sg nach Gl. (1.3) und Hochstubermaß Ug nach Gl. (1.5)

ES, EI, es, ei oberes und unteres Abmaß der Bohrung bzw. der Welle,GoB, GuB, GoW, GuW Hochstmaß und Mindestmaß der Bohrung bzw. der Welle.

Toleranz der Passung

Passtoleranz Tp ¼ Sg � Sk bei Spielpassung ð1:7Þ

Tp ¼ Sg þUg bei Ubergangspassung ð1:8Þ

Tp ¼ Ug �Uk bei Ubermaßpassung ð1:9Þ

Tp ¼ TB þ TW allgemein ð1:10Þ

Auswahl von Passungen siehe Tab. 1.9.

Rauheit der Oberflachen

Rauheitsmessgroßen

Arithmetischer Mittenrauwert Ra (kurz Mittenrauwert) ¼ arithmetisches Mittel derabsoluten Betrage der Profilabweichungen y von der Mittellinie innerhalb derGesamtmessstrecke ln (Bild 1.2a).

Gemittelte Rautiefe Rz ¼ ðZ1 þ Z2 þ Z3 þ Z4 þ Z5Þ=5 als arithmetisches Mittel ausden Einzelrautiefen Zi funf aneinander grenzender Einzelmessstrecken le (Bild 1.2b).

Maximale Rautiefe Rmax ¼ großte der auf der Gesamtmessstrecke ln vorkommendenEinzelrautiefen Zi, z. B. Rmax ¼ Z5 im Bild 1.2b.

Naherungsweise gilt Ra � 0,1 Rz und Rz � Rmax.

1 Konstruktionstechnik10

1

Bild 1.2 Rauheitskenngroßena) Arithmetischer Mittelrauwert Ra, b) Einzelrautiefen als Grundlage fur die Bestimmung der ge-mittelten Rautiefe Rz und von Rmax

3 Festigkeitsberechnungen

Krafte

allg: Kraft F ¼ m � a ð3:1Þ

F in N Kraftm in kg Massea in m

s2 Beschleunigung

Mehrere Einzelkrafte konnen im Spezialfall unter Anwendung des Satzes des Pythagoras zueiner Resultierenden zusammengefasst werden

F2R ¼ F2

1 þ F22 ! FR ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

F21 þ F2

2

q

ð3:2Þ

F in N Kraft

Momente

allg: Moment M ¼ F � l ð3:3Þ

M in Nm MomentF in N Kraftl in m Hebelarm

In der Statik konnen damit sechs Gleichgewichtsbedingungen fur den Raum aufgestellt wer-den.

X

FX ¼ 0X

FY ¼ 0X

FZ ¼ 0 ð3:4Þ

X

MX ¼ 0X

MY ¼ 0X

MZ ¼ 0 ð3:5Þ

FX in N Kraft in x-RichtungFY in N Kraft in y-RichtungFZ in N Kraft in z-RichtungMX in Nm Moment um x-AchseMY in Nm Moment um y-AchseMZ in Nm Moment um z-Achse

3

Allgemeine Festigkeitsberechnung

Die Spannung s ist ein Maß fur die Beanspruchung.

Spannung s ¼ FA

ð3:6Þ

s in Nmm2 Spannung

F in N KraftA in mm2 beanspruchte Querschnittslange

Die Verformung (z. B. Verlangerung eines Stabes infolge einer Zugkraft) bezogen auf denAusgangszustand (Ausgangslange des Stabes) liefert ein dimensionsloses Maß fur die auftre-tende Verformung, die sog. Dehnung e:

Dehnung e ¼ �ll0¼ l1 � l0

l0ð3:7Þ

e in - Dehnung�l in m Verlangerung/Verkurzungl0 in m Ausgangslangel1 in m Lange im belasteten Zustand

Der Zusammenhang zwischen der Beanspruchung, also der inneren Spannung s, und derDehnung e wird durch ein Stoffgesetz beschrieben. Im Falle eines isotropen, linear-elasti-schen Materials gilt beispielsweise:

s ¼ E � e ð3:8Þ

s in Nmm2 Spannung

E in Nmm2 E-Modul

e in - Dehnung

Beanspruchungen

Grundbeanspruchungsarten

Zugbeanspruchung sz ¼Fz

A

Druckbeanspruchung sD ¼FD

A

Flachenpressung p ¼ FA

bzw: ð3:9Þ

p ¼ FAproj

ðbspw: Zapfen in einer LagerschaleÞ ð3:10Þ

Biegebeanspruchung sb zð Þ ¼Mb

Iy� z ð3:11Þ

maximalen Biegespannung sb;max ¼Mb

Wb;yð3:12Þ

3 Festigkeitsberechnungen12

3

Schubbeanspruchung tm ¼QA

ð3:13Þ

Torsionsbeanspruchung tt zð Þ ¼Mt

It� z ð3:14Þ

maximalen Torsionsspannung tt;max z ¼ D2

� �

¼Mt

It�D

2¼Mt

Wtð3:15Þ

F in N KraftA in mm2 beanspruchte QuerschnittsflacheAproj in mm2 beanspruchte projizierte Querschnittsflache (siehe ME Bild 3.23)s in N

mm2 Spannung

t in Nmm2 Spannung

Mb in Nmm BiegemomentI in mm4 Flachentragheitsmomentz in mm RandfaserabstandWb in mm3 BiegewiderstandsmomentQ in N QuerkraftMt in Nmm TorsionsmomentIt in mm4 TorsionsflachentragheitsmomentWt in mm3 Torsionswiderstandsmoment

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Die Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand berechnen sich wie folgt:

s1 ¼sx þ sy

2þ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

sx � sy

2

� �2þ t2

xy

r

ð3:16Þ

s2 ¼sx þ sy

2�

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

sx � sy

2

� �2þ t2

xy

r

ð3:17Þ

Bild 3.1 erlautert die Spannungskomponenten.

Y

X

YX

Y

YX

*

X

1

2

Bild 3.1 Ebener Spannungszustand (links) und Hauptnormalspannungen mit Hauptachsensystem (rechts)

Die Art und Weise der �berfuhrung des mehrachsigen Spannungszustands in den einachs-igen ist abhangig von der Richtung der Spannungskomponenten.

Beanspruchungen 13

3

Sind die Komponenten gleich gerichtet, wie es der Fall bei auftretender Zug-/Druck- zusam-men mit Biegebeanspruchung ist, konnen die Spannungskomponenten mit dem aus der Me-chanik bekannten Superpositionsprinzip zusammengefasst werden.

smax ¼ sZ þ sb;max

smin ¼ sZ � sb;max

Zur �berfuhrung in den einachsigen Spannungszustand gibt es grundsatzlich eine Reihe vonFestigkeitshypothesen, in der Praxis haben sich jedoch folgende Hypothesen bewahrt:Normalspannungshypothese:

Die Hauptspannungen werden nachfolgend mit s1, s2 und s3 bezeichnet und sind absteigendsortiert, sodass s1 die großte Hauptspannung darstellt.

Vergleichsspannung sV ¼ s1j j < K ð3:18Þ

Vergleichsspannung im mehrachsigen Spannungszustand sV ¼ smax ¼ 2 � tmax ð3:19Þ

sV in Nmm2 Spannung

s1 in Nmm2 Spannung

smax in Nmm2 Spannung

tmax in Nmm2 Schubspannung

K in Nmm2 Werkstoffkennwert

Gestaltanderungsenergiehypothese:

Fur den raumlichen Spannungszustand ergibt sich die Vergleichsspannung wie folgt:

sV ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

s2x þ s2

y þ s2z � sx � sy þ sy � sz þ sx � sz

� �

þ 3 � t2xy þ t2

yz þ t2zx

� �

r

ð3:20Þ

Die Vergleichsspannung fur den zwei- und einachsigen Spannungszustand vereinfacht sich zufolgenden Gleichungen:

sV ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

s2x þ s2

y � sx � sy þ 3 � t2xy

q

ð3:21Þ

sV ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

s2x þ 3 � t2

xy

q

ð3:22Þ

3 Festigkeitsberechnungen14

3

Knickung

Knickung kann bei schlanken (wesentlich kleinere Querschnittsflache im Vergleich zur Stab-lange) druck und/oder torsionsbelasteten Staben auftreten.

Maßgeblich beeinflusst wird die Knickung von der Querschnittsflache und vom Flachentrag-heitsmoment I, woraus sich der Tragheitsradius i ergibt:

Knickung i ¼ffiffiffiffi

IA

r

ð3:23Þ

i in mm TragheitsradiusI in mm4 FlachentragheitsmomentA in mm2 Querschnittsflache

Schlankheitsgrad l ¼ lK

ið3:24Þ

lK in mm freie Knicklange nach Bild 3.2l in - Schlankheitsgrad

F F F F

l

l K = 2 l l K = 1/2 ll K = l

I II III IV

l K = 1/2√2 l

Bild 3.2 Die vier Knickfalle nach Euler

Im Anschluss an die Berechnung des Schlankheitsgrads ist zum Vergleich der Grenzschlank-heitsgrad lGrenz zu ermitteln:

Grenzschlankheitsgrad lGrenz ¼ p

ffiffiffiffiffiffi

Esp

s

ð3:25Þ

E in Nmm2 E-Modul

sp in Nmm2 Proportionalitatsgrenze

Unter Verwendung des Schlankheitsgrads l und des Grenzschlankheitsgrads lGrenz erfolgt dieDifferenzierung zwischen der elastischen Knickung nach Euler und der unelastischen Kni-ckung nach Tetmajer:

l < lGrenz : Knickung nach Tetmajer ð3:26Þ

Knickung 15

3