Level Set Methoden

Inkompressible Flüsse

Def.: inkompressibles Fluid

• Ein Fluid, das seine Dichte bei Druck von Außen nicht ändert, wird inkompressibel genannt

• In der Natur nicht existent, aber für die meisten Berechnungen kann man von Inkompressibilität ausgehen

→ große Vereinfachung der Rechnung bei vernachlässigbar kleinem Fehler

18.1 Gleichungen

• Es gilt die Bedingung der Divergenzfreiheit:

V=0– d.h. es existieren keine Kompressionen oder

Expansionen innerhalb des Flussfeldes

Gleichung für die Massenerhaltung

Navier-Stokes-Gleichung(en) für viskose inkompressible Flüsse (in

Vektor Schreibweise)

• Navier-Stokes-Gleichungen:– Grundgleichungen der Strömungsmechanik– Beschreiben die Strömungsgeschwindigkeit und die

Druckverteilung in Flüssigkeiten und Gasen

Navier-Stokes-Gleichungen für viskose imkompressible Flüsse

• Diese Gleichungen für den inkompressiblen Fluss modellieren Ereignisse von langsamen Fluiden, die oft im alltäglichen Leben beobachtet werden können.

18.2 MAC Gitter

• MAC: Marker-and-Cell-Method– basiert auf einem fixen eulerschen Gitter– Position des Fluids im Gitter wird durch

Marker-Partikel definiert, welche sich mit der Flüssigkeit bewegen, ansonsten aber keine Eigenschaften wie Volumen oder Masse aufweisen

• Harlow und Welch entwickelten ein spezielles Gitter zur Berechnung von inkompressiblen Flüssen– Gitter zerlegt den zu berechnenden Bereich

in Zellen mit auf den Cell-Faces definierten Geschwindigkeiten und in den Cell-Centern definierten Skalaren:

• Geschwindigkeiten: u i+/-0.5,j,k, vi,j+/-0.5,k, wi,j,k+/-0.5

• Skalare: pi,j,k, ρi,j,k, μi,j,k

Berechnung der Massenerhaltungsgleichung

• Gleichung (18.1) wird gelöst, indem man zuerst die Cell-Center-Geschwindigkeiten durch einfache Durchschnittsberechnung definiert:

• Räumliche Ableitungen werden direkt berechnet, z.B. durch Hamilton-Jacobi ENO (third order accurate)

Berechnung der Navier-Stokes-Gleichungen

• Um u, v, w auf den entsprechenden Cell-Faces zu aktualisieren, löst man dort die Navier-Stokes-Gleichungen.

Beispiel: Diskretisierung von V u an der Stelle xi+/-0.5,j,k

• 1. Definiere V durch Durchschnittsberechnung:

ui+1/2,j,k ist bereits definiert

• 2. Diskretisierung von V u an der Stelle xi+/-0.5,j,k:

Hamilton-Jacobi ENO (third order accurate)

• Berechnung der entsprechenden Terme in (18.3) und (18.4) erfolgt analog.

• Diskretisierung der rechten Seite der Navier-Stokes-Gleichungen durch Zentralen Differenzenquotienten

Beispiel: Berechnung der ersten Ableitung von u

• μ und ρ sind im Cell-Center definiert

→ Definition auf Cell-Faces durch Durschnittsberechnung

• Beispiel:

• Berechnung der zweiten Ableitung erfolgt ebenfalls durch Zentralen Differenzenquotienten

Beispiel: (μ(uy+vx))y in Gleichung

(18.2) an der Stelle xi+1/2,j,k

18.3 Projektions-Methode

• 1. Berechnung einer vorläufigen Geschwindigkeit V* unter Nichtbeachtung des Druckterms:

• 2. Berechnung des Divergenzfreien Geschwindigkeitsfeldes Vn+1, wobei der Druck als Korrektur benutzt wird:

• 3. Bildung der Ableitung von Gleichung (18.20) unter Berücksichtigung der Divergenzfreiheit (18.22) führt zur Poisson-Gleichung:

• Die Randbedingung für den Druck p erhalten wir durch Projektion der Vektorgleichung (18.20) auf den Normalenvektor N am Rand.

• Somit erhalten wir die Neumannbedingung:

• Folgende Bedingung muss erfüllt sein, um das Neumann-Problem zu lösen:

• Diese ist dank der Randbedingung (18.24) erfüllt.

18.4 Poisson Gleichung

• Berechnung des Drucks mit Hilfe der Poisson-Gleichung (18.21), um dann aus der vorläufigen Geschwindigkeit V* die um den Druckterm korrigierte Divergenzfreie Geschwindigkeit Vn+1 zu bestimmen

• Poisson-Gleichung ist elliptisch (Inkompressibilitäts-Bedingung äquivalent zu der Annahme einer unendlich großen Schallgeschwindigkeit)→ CFL-Bedingung hängt nur von der Fluid-Geschwindigkeit ab

Einschub: CFL-Zahl

• Die CFL-Zahl (Courant-Friedrichs-Lewy-Zahl) gibt an, um wie viele Zellen sich eine betrachtete Größe pro Zeitschritt maximal fortbewegt.

• CFL-Bedingung - anal. Abhängigkeitsgebiet Teilmenge von num. Abhängigkeitsgebiet - muss erfüllt sein, damit der Algorithmus stabil ist– sonst könnte man die Anfangsdaten im anal.

Abh.gebiet außerhalb des num. Abh.gebietes ändern und damit die Lösung ändern, ohne dass sich die num. Approximation ändert

• Berechnung der rechten Seite von (18.21) mit Hilfe des Zentralen Differenzenquotientens in jedem Cell-Center

Beispiel: Berechnung von u*x

• Berechnung der Komponenten von p/ρ an den Cell-Faces

Beispiel: Berechnung an der Stelle xi+0.5,j,k

• Diese Diskretisierung wird sowohl in Gleichung (18.20) zur Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes als auch in Gleichung (18.21) zur Berechnung des Drucks verwendet.

• Die zweite Ableitung in Gleichung (18.21) wird ebenfalls durch den Zentralen Differenzenquotienten berechnet.

Beispiel: Ableitung in x-Richtung

• Die Diskretisierung von (18.21) in jedem Cell-Center führt am Ende zu einem linearen Gleichungssystem für die unbekannten Drücke.

• Dieses Gleichungssystem ist symmetrisch und kann direkt mit der Preconditioned Conjugate Gradient (PCG) Method (im Zusammenhang mit der unvollständigen Cholesky Vorkonditionierung) gelöst werden.

• Anschließen können die Ableitungen auf den Cell-Faces berechnet werden, um somit Vn+1 in Gleichung (18.20) zu bestimmen.

PCG-Methode

• Numerischer Algorithmus zur Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax=b, A symmetrisch

• A große Kondition K(A)

→ benutze eine Vorkonditionierungsmatrix zur Steigerung der Effizienz

• Häufiger Vorkonditionierer: unvollständige Cholesky-Zerlegung

18.5 Computergrafische Simulation von Rauch

• Genauigkeit weniger wichtig als Recheneffizienz, solange optisch glaubwürdige Ergebnisse erzielt werden

→ Methoden, die grobe Gitter benutzen und große Zeitschritte zulassen

• Beliebte numerische Methode: Semi-Lagrangemethode

Semi-Lagrange-Methode

• Diskretisierung mit Hilfe der Semi-Lagrange-Methode hat sich u.a. im Bereich der Simulation von Ozean- und Atmosphäremodellen etabliert

• entscheidender Vorteil des Verfahrens:

nicht an die CFL-Bedingung gebunden (diese Stabilitätsbedingung lässt nur kleine Zeitschritte zu)

Beispiel: Rauchsimulation

19 Freie Oberflächen

(Free Surfaces)

Definition: Freie Oberfläche

• Eine freie Oberfläche ist eine Grenzfläche zwischen einem Gas und einer Flüssigkeit. Der Grund für die Kennzeichnung mit dem Begriff „frei“ entsteht aus dem großen Dichteunterschied zwischen Gas und Flüssigkeit. Die niedrige Gasdichte bedeutet, dass die Massenträgheitskraft des Gases im Allg. ignoriert werden kann im Vergleich zur Massenträgheitskraft der Flüssigkeit.→ Flüssigkeitsbewegung ist „unabhängig“ oder „frei“ von der Massenträgheitskraft des Gases.

19.1 Beschreibung des Modells

• Betrachtung eines zwei-phasigen inkompressiblen Flusses, bestehend aus Wasser und Luft

• Oft dominiert das Verhalten des schwereren Fluids signifikant das des leichteren. In diesem Fall kann das Modell vereinfacht werden, indem man die Luft als einfaches Fluid mit konstantem Druck und ohne andere Wirkung auf das Interface behandelt.

Entwicklung des Models

• Harlow und Welch: benutzten Marker-Partikel, um Rasterfelder des Wassers und Rasterfelder der Luft zu unterscheiden

• Raad: verbesserte die Behandlung der Randbedingungen an dem Interface durch Einführung von Unterzellen

• Chen:– verbesserte die Randwerte der Geschwindigkeit an

der Freien Oberfläche, um ein genaures Flussfeld zu erreichen

– entwickelte eine Methode, die nur Partikel in der Nähe der Freien Oberfläche betrachtet

• Partikel-Methode gibt nur einen groben Eindruck von der Lage der Freien Oberfläche

→ Benutzung der Level-Set-Funktion Φ , um ein genaueres Modell zu erhalten.

Dabei werden die Navier-Stokes-Gleichungen nur auf der Wasserseite des Interface gelöst.

Diskretisierung der Level-Set-Gleichung und der Navier-Stokes-

Gleichungen• Diskretisierung erfolgt mit Ghost-Cells für

die Werte der Geschwindigkeit auf der Luftseite

Einschub: Ghost-Fluid-Methode

• Implizite Annäherung zur Einhaltung der Erhaltungsgesetze

• Ghost-Cells werden auf jeder Seite des Interface erzeugt, entsprechend zu dem realen Fluid auf der anderen Seite des Interface

• Wenn Ghost-Cells einmal definiert sind→ standard one-phase numerical methods

• Lage der Ghost-Cells sollte so eingeführt werden, dass Kontinuität mit dem benachbarten Fluids, welches diskretisiert werden soll, besteht

Definition der Ghost-Cells

• 1. Variabeln, die schon kontinuierlich für das Interface sind: Ghost-Fluid-Values werden an jedem Gitterpunkt gleich den Werten des realen Fluids gesetzt

• 2. Diskontinuierliche Variabeln:– Bewegen sich mit der Geschwindigkeit des Interface– Informationen überqueren das Interface nicht

→ sind nicht mit den entsprechenden Informationen auf der anderen Seite des Interface gekoppelt

• Definition durch Extrapolation der Informationen von dem benachbarten realen Fluid

Fazit

• Methode ist sehr einfach

→ Erfassen der entsprechenden Interface-Bedingungen durch Definition eines Fluids, welches den Druck und die Geschwindigkeit des realen Fluids, aber eine andere Entropie aufweist

• Dirichlet-Randbedingung für den Druck können an der Freien Oberfläche angewandt werden: setze den Druck in jedem Cell-Center der Luft gleich dem Luftdruck

→ Kompatibilitätsbedingung wird implizit erfüllt

• Die Luftdruck-Randbedingung sollte direkt an der Freien Oberfläche angewandt werden und nicht in den Cell-Centern, die in einer endlichen Entfernung zu dieser liegen.

• Dadurch, dass man in den Cell-Centern den Druck gleich dem Luftdruck setzt, verursacht man eine Überbewertung des Drucks an dem Interface.

Lösungsansätze für dieses Problem

• Raad: verringerte den Fehler, indem er in der Nähe des Interfaces Mikro-Zellen nutzte

• Cheng: setzte mit speziell berechneten Werten den Druck in den Zellen niedriger als den Luftdruck

→ größere Genauigkeit (second-order)

19.2 Computergrafische Simulation von Wasser

• Problem bei der Simulation von Freien Oberflächen (und Fluiden im Allgemeinen) mit Hilfe von Level-Set-Methoden:

fehlerhafter Masseverlust in unterbestimmten Regionen

Verbesserung des Algorithmus durch Foster und Fedkiw

• Betrachteten das Problem in Zusammenhang mit spritzendem Wasser→ entwickelten eine neue numerische Annäherung, die die Partikel-Methode mit der Level-Set-Methode verbindet und die Krümmung des lokalen Interfaces als Diagnose nutzt:Die Krümmung wird benutzt, um die Topologie des Interfaces zu überwachen, indem Regionen mit großer Krümmung als unterbestimmt klassifiziert werden.

Unterschiedliche Behandlung von unterbestimmten und nicht unterbestimmten Regionen

• 1. In unterbestimmten Regionen: Benutzung der Partikel-Methode zur Remodellierung der Level-Set-Methode

→ Masseverlust wird stark reduziert

• 2. In nicht unterbestimmten Regionen:

Nutzung der Level-Set-Methode, da sie dort sehr genau ist

• In einigen Regionen des Flusses ist das Rasterfeld zu grob, um das Spritzverhalten genau einzufangen (selbst mit Hilfe der Partikel-Methode). Einige Partikel werden unvermeidlich von der Wasserseite des Interfaces in die Luft entweichen.

• Obwohl die lokale Interface-Krümmung eine gute Diagnose für den potenziellen Masseverlust der Level-Set-Methode ist, ist diese Annäherung noch etwas zu ungenau.

• Eine umfassendere Annäherung, um Partikel-Methode und Level-Set-Methode zu verbinden (Partikel-Level-Set-Methode), wurde in Kapitel 9 behandelt.