Christian Ho�mann

Linear Parameter-Varying Control of Systems of High Complexity

Linear Parameter-Varying Control of Systems of High Complexity

L I N E A R PA R A M E T E R - VA RY I N G C O N T R O L O F

S Y S T E M S O F H I G H C O M P L E X I T Y

Vom Promotionsausschuss der

Technischen Universität Hamburg-Harburg

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.)

genehmigte Dissertation

von

Christian Hoffmann

aus

Bremerhaven, Bremen, Deutschland

2016

Betreuer: Prof. Dr. Herbert Werner

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN: 978-3-8439-2682-9

Umschlagsfotografie: Julian Theis

Vorsitzende des Promotionsverfahrens: Prof. Dr. Sibylle Schupp

1. Gutachter: Prof. Dr. Herbert Werner 2. Gutachter: Dr. James Whidborne weitere Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Robert Seifried

Prof. Dr.-Ing. Uwe Weltin

Tag der mündlichen Prüfung: 04. Dezember 2015

© Verlag Dr. Hut, München 2016 Sternstr. 18, 80538 München Tel.: 089/66060798 www.dr.hut-verlag.de

Die Informationen in diesem Buch wurden mit großer Sorgfalt erarbeitet. Dennoch können Fehler nicht vollständig ausgeschlossen werden. Verlag, Autoren und ggf. Übersetzer übernehmen keine juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen.

Alle Rechte, auch die des auszugsweisen Nachdrucks, der Vervielfältigung und Verbreitung in besonderen Verfahren wie fotomechanischer Nachdruck, Fotokopie, Mikrokopie, elektronische Datenaufzeichnung einschließlich Speicherung und Übertragung auf weitere Datenträger sowie Übersetzung in andere Sprachen, behält sich der Autor vor.

1. Auflage 2016

URN: urn:nbn:de:gbv:830-88214409

Z U S A M M E N FA S S U N G

I n der vorliegenden Arbeit werden Regelstrecken als Lineare parameterveränder-

liche (LPV)-Systeme betrachtet, die einen hohen Aufwand in der Modellierung

sowie der Synthese und Implementierung entsprechender LPV-Regler aufweisen

können, weil sie entweder stark nichtlinear gekoppelte Systeme mit vielen Pa-

rametern darstellen, oder aus einer großen Anzahl verteilter, interagierender

LPV-Subsysteme bestehen. Für komplexe LPV Systeme der ersten Klasse wer-

den systematische Werkzeuge zur exakten mathematischen Modellierung mit ver-

ringerter Komplexität bereitgestellt und deren gewinnbringende Verwendung im

Rahmen von erweiterten LPV-Reglersynthesemethoden behandelt. Der grundsätz-

liche Ansatz beruht dabei auf einer Überführung nichtlinearer Differentialgle-

ichungen in eine Deskriptor-LPV-Zustandsraumdarstellung, einer automatisierten

Parametrierung und möglichen Approximation mit Hilfe einer Hauptachsentrans-

formation. Einflüsse auf den Rechenaufwand während der Synthese und Im-

plementierung werden identifiziert und durch mathematisch equivalente Umfor-

mulierungen reduziert. Die Methoden werden an den nichtlinearen Modellen eines

industriellen Roboters und eines Control Moment Gyroscopes (CMG) validiert. Dabei

gelingt es, LPV-Regler für die exakten und für die approximierten Modelle zu

synthetisieren und mit niedrigem Implementierungsaufwand experimentell zu va-

lidieren.

Des Weiteren wird zunächst ein allgemeines Framework für die Formulierung

verteilter LPV Systeme eingeführt. Ein Aufstellen der Synthesebedingungen für

ein solches verteiltes System erlaubt die Reduktion der Synthesekomplexität durch

strukturelle Randbedingungen auf Entscheidungsvariablen. So lassen sich Bedin-

gungen formulieren, die in ihrer Ordnung der Komplexität der eines einzel-

nen Subsystems multipliziert mit der Anzahl unterschiedlicher Subsystemdy-

namiken entsprechen. Die Diagonalisierbarkeit der Interaktionsmatrizen wird

durch Transformationen gewährleistet, die zu virtuellen symmetrischen oder nor-

malen Interaktionsmatrizen führen. Da solche Matrizen durch unitäre Transfor-

mationen diagonalisiert werden können, wird die direkte Komplexitätsreduk-

tion der Synthesebedingungen durch eine Kongruenztransformation bestimmter

Matrixungleichungen und somit die Berücksichtigung zeitvariabler, gerichteter

Topologien ermöglicht. Die vorgestellten Methoden werden sowohl an einem

numerischen Beispiel als auch anhand der Formationsregelung nichtlinearer

Quadrotor-Helikopter in der Simulation validiert.

S U M M A RY

T he present work considers plant representations in the framework of linear

parameter-varying (LPV) systems that may involve a high degree of complexity.

This class contains nonlinear systems that lead to high costs in modeling, synthe-

sis and implementation of associated LPV controllers on the one hand as well as

systems consisting of a large number of LPV subsystems interconnected through a

possibly time-varying topology on the other hand. For complex LPV systems of the

first kind, the contribution of this thesis consists in the development of systematic

tools for mathematically exact modeling with reduced complexity and the subse-

quent efficient exploitation by extended LPV synthesis methods. The fundamental

approach follows a translation of nonlinear differential equations into a descriptor

state space LPV representation, parameterization and possible approximation by

means of a principle component analysis. The synthesis conditions and implemen-

tation are analyzed in terms of their respective computational effort and reduced by

mathematically equivalent modification. The methods are validated on nonlinear

models of an industrial robot and a Control Moment Gyroscope (CMG). LPV con-

trollers are synthesized for both the exact as well as the approximated models and

experimentally implemented with low computational costs.

Furthermore, a general framework for the representation of distributed LPV sys-

tems is introduced. A straightforward formulation of synthesis conditions for the

entire system allows reducing the synthesis complexity via the introduction of

structural constraints on decision variables. In this vein, synthesis conditions are

formulated whose complexity ranges in the order of a single subsystem times the

number of different subsystem dynamics. The diagonalizability of interaction ma-

trices is achieved by a transformation that leads to virtual symmetric or normal

interaction matrices. Such matrices can be diagonalized by unitary transformations,

which allows the direct congruence transformation of synthesis conditions for the

consideration of time-varying, directed topologies. The presented methods are eval-

uated against state-of-the-art techniques and validated in a numerical example as

well as in a simulated leader-follower-based formation of a group of heterogeneous

nonlinear quadrotor helicopters interconnected through arbitrary directed topolo-

gies.

K U R Z Z U S A M M E N FA S S U N G

Der Entwurf von Reglern für komplexe nichtlineare Regelstrecken im Frame-

work Linear Parameterveränderlicher (LPV) Systeme führt zu hohem Modellierungs-,

Synthese- und Implementierungsaufwand. Zugleich können Regelstrecken durch

eine verteilte Struktur ähnlicher interagierender LPV-Subsysteme eine hohe Kom-

plexität erlangen. Die vorliegende Arbeit behandelt Methoden zur Modellierung

komplexer LPV-Systeme, sowohl im Sinne nichtlinearer, als auch verteilter Regel-

strecken, und beinhaltet verbesserte Entwurfswerkzeuge, die zu niedrigerem

Synthese- und Implementierungsaufwand führen.

A B S T R A C T

The controller design for complex nonlinear systems using the framework of linear

parameter-varying (LPV) systems often leads to high costs in modeling, synthesis

and implementation. Interconnected LPV subsystems also yield complex systems.

This thesis presents methods for the modeling of complex LPV systems, in the

sense of nonlinear as well as interconnected subsystems and introduces improved

controller synthesis tools that lead to reduced synthesis and implementation costs.

A C K N O W L E D G M E N T S

T he present thesis is the result of about four years of work at the Institute

of Control Systems, Hamburg University of Technology. It has been heavily

supported by colleagues, friends and much more experienced researchers.

Without all of their inspiration, guidance and friendly advice, this thesis would not

have turned out the way it did or would probably not even have come into existence.

First and foremost, I am grateful to my supervisor, Prof. Dr. Herbert Werner, for

many reasons. Among them, I am humbly acknowledging the amount of trust put

in me. Letting students off the leash can spur creativity and a sense of identification

with the work. On the other hand, I do not want to deny the occasional nudges,

scientific rigor in seminars and attention to mathematical details that did not let me

stray too f