Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik)...
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Lineare AlgebraAufgaben und Lösungen
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©Klemens Fersch
31. März 2018
Inhaltsverzeichnis1 Matrix 2
1.1 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Determinante 82.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 193.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 n-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
Matrix
1 MatrixDefinition
Eine m × n–Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema ausm Zeilen und n Spalten.
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
...am1 am2 . . . amn
A = (aik)
aik : Elemente der Matrixi : Zeilenindexk : Spaltenindex• Quadratische MatrixDie Anzahl der Zeilen ist gleich der Anzahl der Spaltenm = n.
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
B =
[a11 a12
a21 a22
]
3× 3Quadratische Matrix
A =
1 2 34 5 67 8 9
a11 = 1 a12 = 2 a13 = 3a21 = 4 a22 = 5 a23 = 6a31 = 7 a32 = 8 a33 = 9
2× 3 Matrix
B =
[1 0 134 5 6
]1× 3 Zeilenmatrix (Zeilenvektor)C =
[1 4 5
]3× 1 Spaltenmatrix (Spaltenvektor)
D =
123
Besondere Matrizen
• Einheitsmatrix
E1 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
E2 =
[1 0
0 1
]• Transponierte MatrixVertauschenden von Zeilen- und Spaltenindex.
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
AT =
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
A = (AT )T
symmetrische Matrix 10 4 −24 3 6−2 6 5
obere Dreiecksmatrix 10 4 −2
0 3 60 0 5
untere Dreiecksmatrix 10 0 0
4 3 0−2 6 5
Diagonalmatrix 10 0 0
0 3 00 0 5
Nullmatrix[
0 00 0
]Transponierte Matrix
[1 2 4 5
]T=
1245
[
1 2 42 3 0
]T
=
1 22 34 0
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Matrix
Addition von Matrizen
Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik)
Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beidenMatrizen müssen gleich sein. A+B = aik + bik
• Summe 2× 2 Matrix[a11 a12
a21 a22
]+
[b11 b12
b21 b22
]=[
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
]• Summe 3× 3 Matrix a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
+
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 a33
=
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23
a31 + b31 a32 + b32 a33 + a33
Summe zweier 2× 3 Matrizen[1 7 00 1 2
]+
[1 0 10 1 5
]=
[2 7 10 2 7
]
Multiplikation von Matrizen
• Produkt aus der Matrix A = (aik) mit einer Konstantenλ ∈ R:λA = λaik
2× 2 Matrix
λ
[a11 a12
a21 a22
]=
[λa11 λa12
λa12 λa22
]
• Produkt aus Matrix A = (aij) und Matrix B = (bjk)
Anzahl der Zeilen von A muß gleich der Anzahl derSpalten von B sein.Zeilenelemente von A mal Spaltenelemente von B.• Produkt zweier 2× 2 Matrizen[
a11 a12
a21 a22
]·
[b11 b12
b21 b22
]=[
a11 · b11 + a12 · b21 a11 · b12 + a12 · b22a21 · b11 + a22 · b21 a21 · b21 + a22 · b22
]
Produkt 2× 3 Matrix mit 3
3 ·[
1 0 50 4 2
]=
[3 0 150 12 6
]Produkt 2× 3 Matrix mit einer 3× 2 Matrix[
3 4 −12 −7 6
] 1−23
=[3 · 1 + 4 · (−2) + 1 · 3
2 · 2 + (−7) · (−2) + 6 · 3
]=
[−834
]
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Matrix
Inverse Matrix
•Produkt aus der Matrix A und der inversen Matrix A−1
ist gleich der Einheitsmatrix.AA−1 = E
A =
[a11 a12
a21 a22
]A−1 =
[x11 x12
x21 x22
][
a11 a12
a21 a22
][x11 x12
x21 x22
]=
[1 0
0 1
]•Die inverse Matrix ist nur möglich, wenn die Determi-nante von A ungleich Null ist.detA ̸= 0
• Berechnung von A−1 mit dem Gauß-Jordan-AlgorithmusMatrix A und Einheitsmatrix E in der Form schreiben
A E
a11 a12 1 0
a21 a22 0 1
Umformen durch:- Multiplizieren oder Dividieren der Zeilen mit einer Zahl- Addieren oder Subtrahieren der Zeilen- Vertauschen der Zeilenin die Form Einheitsmatrix und inverse Matrix A−1
E A−1
1 0 x11 x12
0 1 x21 x22
A =
[2 34 1
]det(A) = (−10) ⇒ Matrix ist invertierbar
A−1 =
[2 34 1
]−1
[2 34 1
] [1 00 1
]Zeile2 = Zeile2 - Zeile1 · 4
2a21 = 4 − 2 · 4
2= 0
a22 = 1 − 3 · 42
= −5
b21 = 0 − 1 · 42
= 0
b22 = 1 − 0 · 42
= 1[2 30 −5
] [1 0−2 1
]Zeile1 = Zeile1 - Zeile2 · 3
−5a12 = 3 − (−5) · 3
−5= 0
b11 = 1 − (−2) · 3−5
= 1
b12 = 0 − 1 · 3−5
= 0[2 00 −5
] [− 1
535
−2 1
]Zeile1 = Zeile1 : 2Zeile2 = Zeile2 : −5
A−1 =
[− 1
10310
25
− 15
]A =
1 2 −12 5 −11 2 0
A E
1 2 −1 1 0 02 5 −1 0 1 01 2 0 0 0 1
E E′ = A−1
1 0 0 2 −2 30 1 0 −1 1 −10 0 1 −1 0 1
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Matrix Matrix
Eigenwert und Eigenvektor
Gegegeben: A - MatrixGesucht: x - Eigenvektor (Spaltenvektor)λ - EigenwertDas Produkt aus Matrix A und Eigenvektor x ist gleichdem Produkt aus Eigenwert λ und Eigenvektor x.Ax = λx[
a11 a12
a21 a22
][x11
x21
]= λ
[x11
x21
]
•Eigenwert aus folgender Gleichung:det(A− λ · E) = 0
A =
[a11 a12
a21 a22
]∣∣∣∣∣[
a11 a12
a21 a22
]−
[λ 0
0 λ
]∣∣∣∣∣ = 0∣∣∣∣∣[
a11 − λ a12
a21 a22 − λ
]∣∣∣∣∣ = 0
(a11 − λ)(a22 − λ)− a12a21 = 0
charakteristisches Polynomλ2 − (a11 + a22) · λ+ a11 · a22 − a21 · a12 = 0
•Eigenvektoren durch einsetzen der λ-Werte(A− λE)x = 0[
a11 − λ a12
a21 a22 − λ
][x1
x2
]= 0
a11 · x1 + a12 · x2 = λ · x1
a21 · x1 + a22 · x2 = λ · x2
A =
7 2 0−2 6 −20 −2 5
det(A− λ · E) = 0 7− λ 2 0
−2 6− λ −20 −2 5− λ
= 0
1.1 Matrix1.1.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:
Matrix A Matrix Ba11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
...am1 am2 . . . amn
b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...
......
...bm1 bm2 . . . bmn
(1) Invertieren(2) Addieren
(3) Mutliplizierenkeine Aufgaben
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Matrix Matrix
1.1.2 LösungenAufgabe (1)
A =
[3 56 7
]det(A) = (−9) ⇒ Matrix ist invertierbar
Matrix invertieren[3 56 7
] [1 00 1
]Zeile2 = Zeile2 - Zeile1 · 6
3a21 = 6 − 3 · 6
3= 0
a22 = 7 − 5 · 63
= −3
b21 = 0 − 1 · 63
= 0
b22 = 1 − 0 · 63
= 1[3 50 −3
] [1 0−2 1
]Zeile1 = Zeile1 - Zeile2 · 5
−3a12 = 5 − (−3) · 5
−3= 0
b11 = 1 − (−2) · 5−3
= 1
b12 = 0 − 1 · 5−3
= 0[3 00 −3
] [−2 1
31 23
−2 1
]Zeile1 = Zeile1 : 3Zeile2 = Zeile2 : −3
A−1 =
[− 7
959
23
− 13
]
Aufgabe (2)
[1 2 34 5 67 8 9
]+
[1 2 34 5 67 8 9
]=[
1 + 1 2 + 2 3 + 34 + 4 5 + 5 6 + 67 + 7 8 + 8 9 + 9
]=[
2 4 68 10 1214 16 18
]
Aufgabe (3)
A =
[3 56 7
]det(A) = (−9) ⇒ Matrix ist invertierbar
Matrix invertieren[3 56 7
] [1 00 1
]Zeile2 = Zeile2 - Zeile1 · 6
3a21 = 6 − 3 · 6
3= 0
a22 = 7 − 5 · 63
= −3
b21 = 0 − 1 · 63
= 0
b22 = 1 − 0 · 63
= 1[3 50 −3
] [1 0−2 1
]Zeile1 = Zeile1 - Zeile2 · 5
−3a12 = 5 − (−3) · 5
−3= 0
b11 = 1 − (−2) · 5−3
= 1
b12 = 0 − 1 · 5−3
= 0[3 00 −3
] [−2 1
31 23
−2 1
]Zeile1 = Zeile1 : 3Zeile2 = Zeile2 : −3
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Matrix Matrix
A−1 =
[− 7
959
23
− 13
]
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Determinante
2 DeterminanteDefiniton
Aus quadratischen Matrix kann eine Determinante (Zah-lenwert) berechnet werden.D=detA = |A|Anwendung der Determinante:- Lineare Gleichungssysteme- Volumenberechnung im R3- Flächenberechnungen im R2- Spatprodukt- Lineare Abhängigkeit von Vektoren - inverse Matrix
2-reihige Determinante
Determinante einer 2× 2 Matrix
D = detA = |A| =
∣∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣ = a11 a22 − a12 a21
D = detA = |A| =∣∣∣∣ 3 −24 5
∣∣∣∣ = 3 · 5− (−2) · 4 = 23
3-reihige Determinante
Determinante einer 3× 3 MatrixMethode 1
D = detA = |A| =
∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣ =a11 ·
∣∣∣∣∣ a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣∣− a12 ·
∣∣∣∣∣ a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣∣+ a13 ·
∣∣∣∣∣ a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣∣= a11(a22 · a33 − a23 · a32)− a12(a21 · a33 − a23 · a31) +a13(a21 · a32 − a22 · a31)
Methode 2 (Regel von Sarrus)
D=a1 b1 c1 a1 b1
a2 b2 c2 a2 b2
a3 b3 c3 a3 b3
+ + +
- - -
~ ~ ~~ ~ ~= = =
= = =
D = a1 · b2 · c3 + b1 · c2 · a3 + c1 · a2 · b3− c1 · b2 · a3− a1 · c2 · b3− b1 · a2 · c3
D = detA = |A| =
∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3
∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3
D = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3−4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54
D3 =
∣∣∣∣∣∣11 12 913 14 34 5 3
∣∣∣∣∣∣ =11 ·
∣∣∣∣ 14 35 3
∣∣∣∣− 13 ·∣∣∣∣ 12 9
5 3
∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 12 914 3
∣∣∣∣ = 54
D2 =
∣∣∣∣ 12 914 3
∣∣∣∣ = 12 · 3− 14 · 9 = −90
D2 =
∣∣∣∣ 12 95 3
∣∣∣∣ = 12 · 3− 5 · 9 = −9
D2 =
∣∣∣∣ 14 35 3
∣∣∣∣ = 14 · 3− 5 · 3 = 27
D3 = 11 · 27− 13 · (−9) + 4 · (−90) = 54det(D) = 54
2.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben: D =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣Gesucht:Wert der Determinante D
(1) D =
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣(2) D =
∣∣∣∣ − 12 02 3
∣∣∣∣(3) D =
∣∣∣∣ − 12 26 0
∣∣∣∣(4) D =
∣∣∣∣ −2 −80 −3
∣∣∣∣www.fersch.de 8
Determinante Aufgaben
(5) D =
∣∣∣∣ 14 0−2 −1
∣∣∣∣(6) D =
∣∣∣∣ 14 −1−2 4
∣∣∣∣(7) D =
∣∣∣∣ 12
15
2 5
∣∣∣∣(8) D =
∣∣∣∣ 2 40 1
∣∣∣∣(9) D =
∣∣∣∣ − 12 25 4
∣∣∣∣(10) D =
∣∣∣∣ −2 34 − 1
3
∣∣∣∣(11) D =
∣∣∣∣ 12 6−2 4
5
∣∣∣∣(12) D =
∣∣∣∣ − 13
25
5 0
∣∣∣∣(13) D =
∣∣∣∣ −3 23
12
23
∣∣∣∣(14) D =
∣∣∣∣ 1 69 3
∣∣∣∣
(15) D =
∣∣∣∣ 7 51 1
∣∣∣∣(16) D =
∣∣∣∣ 8 52 4
∣∣∣∣(17) D =
∣∣∣∣ 712 4 3
419
67
∣∣∣∣(18) D =
∣∣∣∣ 5 13 1 3
523
1117
∣∣∣∣(19) D =
∣∣∣∣ 15
12
1 114
1117
∣∣∣∣(20) D =
∣∣∣∣ 3 56 7
∣∣∣∣(21) D =
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣(22) D =
∣∣∣∣ 4 67 8
∣∣∣∣(23) D =
∣∣∣∣ 3 −24 5
∣∣∣∣
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Determinante Lösungen
2.2 LösungenAufgabe (1)
D =
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 3 = (−2)
Aufgabe (2)
D =
∣∣∣∣ − 12 02 3
∣∣∣∣ = (− 1
2
)· 3− 0 · 2 =
(−1 1
2
)
Aufgabe (3)
D =
∣∣∣∣ − 12 26 0
∣∣∣∣ = (− 1
2
)· 0− 2 · 6 = (−12)
Aufgabe (4)
D =
∣∣∣∣ −2 −80 −3
∣∣∣∣ = (−2) · (−3)− (−8) · 0 = 6
Aufgabe (5)
D =
∣∣∣∣ 14 0−2 −1
∣∣∣∣ = 14 · (−1)− 0 · (−2) =
(− 1
4
)
Aufgabe (6)
D =
∣∣∣∣ 14 −1−2 4
∣∣∣∣ = 14 · 4− (−1) · (−2) = (−1)
Aufgabe (7)
D =
∣∣∣∣ 12
15
2 5
∣∣∣∣ = 12 · 5− 1
5 · 2 = 2 110
Aufgabe (8)
D =
∣∣∣∣ 2 40 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− 4 · 0 = 2
Aufgabe (9)
D =
∣∣∣∣ − 12 25 4
∣∣∣∣ = (− 1
2
)· 4− 2 · 5 = (−12)
Aufgabe (10)
D =
∣∣∣∣ −2 34 − 1
3
∣∣∣∣ = (−2) ·(− 1
3
)− 3 · 4 =
(−11 1
3
)
Aufgabe (11)
D =
∣∣∣∣ 12 6−2 4
5
∣∣∣∣ = 12 · 4
5 − 6 · (−2) = 12 25
Aufgabe (12)
D =
∣∣∣∣ − 13
25
5 0
∣∣∣∣ = (− 1
3
)· 0− 2
5 · 5 = (−2)
Aufgabe (13)
D =
∣∣∣∣ −3 23
12
23
∣∣∣∣ = (−3) · 23 − 2
3 · 12 =
(−2 1
3
)
Aufgabe (14)
D =
∣∣∣∣ 1 69 3
∣∣∣∣ = 1 · 3− 6 · 9 = (−51)
Aufgabe (15)
D =
∣∣∣∣ 7 51 1
∣∣∣∣ = 7 · 1− 5 · 1 = 2
Aufgabe (16)
D =
∣∣∣∣ 8 52 4
∣∣∣∣ = 8 · 4− 5 · 2 = 22
Aufgabe (17)
D =
∣∣∣∣ 712 4 3
419
67
∣∣∣∣ = 712 · 6
7 − 4 34 · 1
9 =(− 1
36
)
Aufgabe (18)
D =
∣∣∣∣ 5 13 1 3
523
1117
∣∣∣∣ = 5 13 · 11
17 − 1 35 · 2
3 = 2, 38
Aufgabe (19)
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Determinante Lösungen
D =
∣∣∣∣ 15
12
1 114
1117
∣∣∣∣ = 15 · 11
17 − 12 · 1 1
14 = (−0, 406)
Aufgabe (20)
D =
∣∣∣∣ 3 56 7
∣∣∣∣ = 3 · 7− 5 · 6 = (−9)
Aufgabe (21)
D =
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ = 3 · 6− 4 · 5 = (−2)
Aufgabe (22)
D =
∣∣∣∣ 4 67 8
∣∣∣∣ = 4 · 8− 6 · 7 = (−10)
Aufgabe (23)
D =
∣∣∣∣ 3 −24 5
∣∣∣∣ = 3 · 5− (−2) · 4 = 23
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Determinante Aufgaben
2.3 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung
Gegeben: D =
∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣Gesucht:Wert der Determinante D
(1) D =
∣∣∣∣∣∣1 −2 3−4 5 67 8 −9
∣∣∣∣∣∣(2) D =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣(3) D =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 2 32 6 0
∣∣∣∣∣∣(4) D =
∣∣∣∣∣∣−2 −8 0−3 1
4 0−2 −1 8
∣∣∣∣∣∣(5) D =
∣∣∣∣∣∣14 −1 −24 7 1
215 2 5
∣∣∣∣∣∣(6) D =
∣∣∣∣∣∣14 2 40 4 − 1
22 5 4
∣∣∣∣∣∣(7) D =
∣∣∣∣∣∣−2 3 4− 1
312 6
−2 4 45
∣∣∣∣∣∣(8) D =
∣∣∣∣∣∣6 5 66 3 36 6 2
∣∣∣∣∣∣
(9) D =
∣∣∣∣∣∣1 9 44 8 26 3 1
∣∣∣∣∣∣(10) D =
∣∣∣∣∣∣1 2 68 3 94 8 1
∣∣∣∣∣∣(11) D =
∣∣∣∣∣∣1415 2 4
5 11 613 1 1
2 191 38
516
111
∣∣∣∣∣∣(12) D =
∣∣∣∣∣∣117 14 1
41 217
13 6 1
223
811
817
∣∣∣∣∣∣(13) D =
∣∣∣∣∣∣1 45
913 3 3
425 1 5
14 558
12 1
∣∣∣∣∣∣(14) D =
∣∣∣∣∣∣2 4 00 0 50 4 5
∣∣∣∣∣∣(15) D =
∣∣∣∣∣∣2 4 00 5 00 0 6
∣∣∣∣∣∣(16) D =
∣∣∣∣∣∣4 6 00 7 80 0 7
∣∣∣∣∣∣
www.fersch.de 12
Determinante Lösungen
2.4 LösungenAufgabe (1)
D =
∣∣∣∣∣∣1 −2 3−4 5 67 8 −9
∣∣∣∣∣∣1 −2−4 57 8
D = 1 · 5 · (−9) + (−2) · 6 · 7 + 3 · (−4) · 8− 3 · 5 · 7− 1 · 6 · 8− (−2) · (−4) · (−9) = −306
Aufgabe (2)
D =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣1 24 57 8
D = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8− 3 · 5 · 7− 1 · 6 · 8− 2 · 4 · 9 = 0
Aufgabe (3)
D =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 2 32 6 0
∣∣∣∣∣∣1 24 22 6
D = 1 · 2 · 0 + 2 · 3 · 2 + 3 · 4 · 6− 3 · 2 · 2− 1 · 3 · 6− 2 · 4 · 0 = 54
Aufgabe (4)
D =
∣∣∣∣∣∣−2 −8 0−3 1
4 0−2 −1 8
∣∣∣∣∣∣−2 −8−3 1
4−2 −1
D = (−2) · 14 · 8 + (−8) · 0 · (−2) + 0 · (−3) · (−1)
− 0 · 14 · (−2)− (−2) · 0 · (−1)− (−8) · (−3) · 8 = −196
Aufgabe (5)
D =
∣∣∣∣∣∣14 −1 −24 7 1
215 2 5
∣∣∣∣∣∣14 −14 715 2
D = 14 · 7 · 5 + (−1) · 1
2 · 15 + (−2) · 4 · 2
− (−2) · 7 · 15 − 1
4 · 12 · 2− (−1) · 4 · 5 = 15 1
5
Aufgabe (6)
D =
∣∣∣∣∣∣14 2 40 4 − 1
22 5 4
∣∣∣∣∣∣14 20 42 5
D = 14 · 4 · 4 + 2 ·
(− 1
2
)· 2 + 4 · 0 · 5
− 4 · 4 · 2− 14 ·
(− 1
2
)· 5− 2 · 0 · 4 = −29 3
8
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Determinante Lösungen
Aufgabe (7)
D =
∣∣∣∣∣∣−2 3 4− 1
312 6
−2 4 45
∣∣∣∣∣∣−2 3− 1
312
−2 4
D = (−2) · 12 · 4
5 + 3 · 6 · (−2) + 4 ·(− 1
3
)· 4
− 4 · 12 · (−2)− (−2) · 6 · 4− 3 ·
(− 1
3
)· 45 = 10 2
3
Aufgabe (8)
D =
∣∣∣∣∣∣6 5 66 3 36 6 2
∣∣∣∣∣∣6 56 36 6
D = 6 · 3 · 2 + 5 · 3 · 6 + 6 · 6 · 6− 6 · 3 · 6− 6 · 3 · 6− 5 · 6 · 2 = 66
Aufgabe (9)
D =
∣∣∣∣∣∣1 9 44 8 26 3 1
∣∣∣∣∣∣1 94 86 3
D = 1 · 8 · 1 + 9 · 2 · 6 + 4 · 4 · 3− 4 · 8 · 6− 1 · 2 · 3− 9 · 4 · 1 = −70
Aufgabe (10)
D =
∣∣∣∣∣∣1 2 68 3 94 8 1
∣∣∣∣∣∣1 28 34 8
D = 1 · 3 · 1 + 2 · 9 · 4 + 6 · 8 · 8− 6 · 3 · 4− 1 · 9 · 8− 2 · 8 · 1 = 299
Aufgabe (11)
D =
∣∣∣∣∣∣1415 2 4
5 11 613 1 1
2 191 38
516
111
∣∣∣∣∣∣1415 2 4
51 613 1 1
21 38
516
D = 1415 · 1 1
2 · 111 + 2 4
5 · 19 · 1 38 + 1 · 1 6
13 · 516
− 1 · 1 12 · 1 3
8 − 1415 · 19 · 5
16 − 2 45 · 1 6
13 · 111 = 65, 8
Aufgabe (12)
D =
∣∣∣∣∣∣117 14 1
41 217
13 6 1
223
811
817
∣∣∣∣∣∣117 141 217
13
23
811
D = 117 · 1
3 · 817 + 14 · 6 1
2 · 23 + 1
4 · 1 217 · 8
11− 1
4 · 13 · 2
3 − 117 · 6 1
2 · 811 − 14 · 1 2
17 · 817 = 53, 2
Aufgabe (13)
www.fersch.de 14
Determinante Lösungen
D =
∣∣∣∣∣∣1 45
913 3 3
425 1 5
14 558
12 1
∣∣∣∣∣∣1 45
913
25 1 5
1458
12
D = 1 45 · 1 5
14 · 1 + 913 · 5 · 5
8 + 3 34 · 2
5 · 12
− 3 34 · 1 5
14 · 58 − 1 4
5 · 5 · 12 − 9
13 · 25 · 1 = −2, 6
Aufgabe (14)
D =
∣∣∣∣∣∣2 4 00 0 50 4 5
∣∣∣∣∣∣2 40 00 4
D = 2 · 0 · 5 + 4 · 5 · 0 + 0 · 0 · 4− 0 · 0 · 0− 2 · 5 · 4− 4 · 0 · 5 = −40
Aufgabe (15)
D =
∣∣∣∣∣∣2 4 00 5 00 0 6
∣∣∣∣∣∣2 40 50 0
D = 2 · 5 · 6 + 4 · 0 · 0 + 0 · 0 · 0− 0 · 5 · 0− 2 · 0 · 0− 4 · 0 · 6 = 60
Aufgabe (16)
D =
∣∣∣∣∣∣4 6 00 7 80 0 7
∣∣∣∣∣∣4 60 70 0
D = 4 · 7 · 7 + 6 · 8 · 0 + 0 · 0 · 0− 0 · 7 · 0− 4 · 8 · 0− 6 · 0 · 7 = 196
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Determinante Determinante
2.5 Determinante2.5.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Determinante von der quadratischen Matrix:∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
...am1 am2 . . . amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(1) a(2) b
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Determinante Determinante
2.5.2 LösungenAufgabe (1)
D4 =
∣∣∣∣∣∣∣1 −2 6 −12 0 3 20 3 2 05 4 1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·
∣∣∣∣∣ 0 3 23 2 04 1 1
∣∣∣∣∣− 2 ·
∣∣∣∣∣ −2 6 −13 2 04 1 1
∣∣∣∣∣− 5 ·
∣∣∣∣∣ −2 6 −10 3 23 2 0
∣∣∣∣∣ = −250
D3 =
∣∣∣∣∣ −2 6 −10 3 23 2 0
∣∣∣∣∣ = (−2) ·∣∣∣∣ 3 22 0
∣∣∣∣+ 3 ·∣∣∣∣ 6 −13 2
∣∣∣∣ = 53
D2 =
∣∣∣∣ 6 −13 2
∣∣∣∣ = 6 · 2− 3 · (−1) = 15
D2 =
∣∣∣∣ 3 22 0
∣∣∣∣ = 3 · 0− 2 · 2 = −4
D3 =
∣∣∣∣∣ −2 6 −13 2 04 1 1
∣∣∣∣∣ = (−2) ·∣∣∣∣ 2 01 1
∣∣∣∣− 3 ·∣∣∣∣ 6 −11 1
∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 6 −12 0
∣∣∣∣ = −17
D2 =
∣∣∣∣ 6 −12 0
∣∣∣∣ = 6 · 0− 2 · (−1) = 2
D2 =
∣∣∣∣ 6 −11 1
∣∣∣∣ = 6 · 1− 1 · (−1) = 7
D2 =
∣∣∣∣ 2 01 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− 1 · 0 = 2
D3 =
∣∣∣∣∣ 0 3 23 2 04 1 1
∣∣∣∣∣ = −3 ·∣∣∣∣ 3 21 1
∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 3 22 0
∣∣∣∣ = −19
D2 =
∣∣∣∣ 3 22 0
∣∣∣∣ = 3 · 0− 2 · 2 = −4
D2 =
∣∣∣∣ 3 21 1
∣∣∣∣ = 3 · 1− 1 · 2 = 1
det(D) = (−250)
Aufgabe (2)
D4 =
∣∣∣∣∣∣∣−4 −2 5 13 3 3 212 −2 3 45 4 −4 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (−4) ·
∣∣∣∣∣ 3 3 2−2 3 44 −4 1
∣∣∣∣∣− 3 ·
∣∣∣∣∣ −2 5 1−2 3 44 −4 1
∣∣∣∣∣+ 12 ·
∣∣∣∣∣ −2 5 13 3 24 −4 1
∣∣∣∣∣− 5 ·
∣∣∣∣∣ −2 5 13 3 2−2 3 4
∣∣∣∣∣ = −423
D3 =
∣∣∣∣∣ −2 5 13 3 2−2 3 4
∣∣∣∣∣ = (−2) ·∣∣∣∣ 3 23 4
∣∣∣∣− 3 ·∣∣∣∣ 5 13 4
∣∣∣∣+ (−2) ·∣∣∣∣ 5 13 2
∣∣∣∣ = −77
D2 =
∣∣∣∣ 5 13 2
∣∣∣∣ = 5 · 2− 3 · 1 = 7
D2 =
∣∣∣∣ 5 13 4
∣∣∣∣ = 5 · 4− 3 · 1 = 17
D2 =
∣∣∣∣ 3 23 4
∣∣∣∣ = 3 · 4− 3 · 2 = 6
D3 =
∣∣∣∣∣ −2 5 13 3 24 −4 1
∣∣∣∣∣ = (−2) ·∣∣∣∣ 3 2−4 1
∣∣∣∣− 3 ·∣∣∣∣ 5 1−4 1
∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 5 13 2
∣∣∣∣ = −21
D2 =
∣∣∣∣ 5 13 2
∣∣∣∣ = 5 · 2− 3 · 1 = 7
D2 =
∣∣∣∣ 5 1−4 1
∣∣∣∣ = 5 · 1− (−4) · 1 = 9
D2 =
∣∣∣∣ 3 2−4 1
∣∣∣∣ = 3 · 1− (−4) · 2 = 11
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Determinante Determinante
D3 =
∣∣∣∣∣ −2 5 1−2 3 44 −4 1
∣∣∣∣∣ = (−2) ·∣∣∣∣ 3 4−4 1
∣∣∣∣− (−2) ·∣∣∣∣ 5 1−4 1
∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 5 13 4
∣∣∣∣ = 48
D2 =
∣∣∣∣ 5 13 4
∣∣∣∣ = 5 · 4− 3 · 1 = 17
D2 =
∣∣∣∣ 5 1−4 1
∣∣∣∣ = 5 · 1− (−4) · 1 = 9
D2 =
∣∣∣∣ 3 4−4 1
∣∣∣∣ = 3 · 1− (−4) · 4 = 19
D3 =
∣∣∣∣∣ 3 3 2−2 3 44 −4 1
∣∣∣∣∣ = 3 ·∣∣∣∣ 3 4−4 1
∣∣∣∣− (−2) ·∣∣∣∣ 3 2−4 1
∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 3 23 4
∣∣∣∣ = 103
D2 =
∣∣∣∣ 3 23 4
∣∣∣∣ = 3 · 4− 3 · 2 = 6
D2 =
∣∣∣∣ 3 2−4 1
∣∣∣∣ = 3 · 1− (−4) · 2 = 11
D2 =
∣∣∣∣ 3 4−4 1
∣∣∣∣ = 3 · 1− (−4) · 4 = 19
det(D) = (−423)
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus
3 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-AlgorithmusLineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise
Ax = b x = A−1bA Koeffizientenmatrixb Spaltenvektor der rechten Seitex Lösungsvektora11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
am1 am2 · · · amn
x1
x2
...xn
=
b1
b2...bn
Inhomogenes Gleichungssystema11 · x1 + a12 · x2 + · · ·+ a1n · xn = b1a21 · x1 + a22 · x2 + · · ·+ a2n · xn = b2...am1 · x1 + am2 · x2 + · · ·+ amn · xn = bmHomogenes Gleichungssystema11 · x1 + a12 · x2 + · · ·+ a1n · xn = 0
a21 · x1 + a22 · x2 + · · ·+ a2n · xn = 0...am1 · x1 + am2 · x2 + · · ·+ amn · xn = 0
Variablen:x1,x2,x3
a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 = b1a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 = b2a31 · x1 + a32 · x2 + a33 · x3 = bmoder in der Schreibweise mit den Variablen:x, y, za1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1
a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2
a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3
Erweiterte Koeffizientenmatrixx y z
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
Ax = b
A =
11 13 412 14 59 3 3
b =
374015
x =
x1
x2
x3
11 13 4
12 14 59 3 3
·
x1
x2
x3
=
374015
11x1 + 13x2 + 4x3 = 3712x1 + 14x2 + 5x3 = 409x1 + 3x2 + 3x3 = 15
oder11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus
Gaußsches Eliminationsverfahren
a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1
a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2
a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3
Koeffizientenmatrix erstellen:x y z
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
x y z
Zeile1Spalte1 z1s2 z1s3 z1s4
z2s1 z2s2 z2s3 z2s4
z3s1 z3s2 z3s3 z3s4
Die Lösungsmenge ändert sich nicht durch:• Multiplizieren oder Dividieren der Zeilen mit einer Zahl• Addieren oder Subtrahieren der Zeilen• Vertauschen der Zeilen
Umformen in die Stufenform• Eindeutige Lösung
x y z
Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4
0 z2s2 z2s3 z2s4
0 0 z3s3 z3s4
Rückwärtseinsetzenz = z3s3
z3s4
z in die 2. Zeile einsetzen ⇒ yz und y in die 1. Zeile einsetzen ⇒ x
• Keine Lösungx y z
Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4
0 z2s2 z2s3 z2s4
0 0 0 z3s4
• Unendlich viele Lösungenx y z
Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4
0 z2s2 z2s3 z2s4
0 0 0 0
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2 · 11− Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4
x y z
11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15
Zeile3 = Zeile3 · 11− Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168
Zeile3 = Zeile3 · (−2)− Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0
z = 0594
= 0y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Aufgaben
Gauß-Jordan-Algorithmus
a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1
a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2
a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3
Koeffizientenmatrix erstellen:x y z
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
x y z
Zeile1Spalte1 z1s2 z1s3 z1s4
z2s1 z2s2 z2s3 z2s4
z3s1 z3s2 z3s3 z3s4
Die Lösungsmenge ändert sich nicht durch:• Multiplizieren oder Dividieren der Zeilen mit einer Zahl• Addieren oder Subtrahieren der Zeilen• Vertauschen der Zeilen
Ziel ist das Umformen in die Diagonalenform• Eindeutige Lösung
x y z
z1s1 0 0 z1s4
0 z2s3 0 z2s4
0 0 z3s3 z3s4
x = z1s4z1s1
y = z2s4z2s3
z = z3s3z3s4
• Keine Lösungx y z
z1s1 0 0 z1s4
0 z2s3 0 z2s4
0 0 0 z3s4
• Unendlich viele Lösungenx y z
z1s1 0 0 z1s4
0 z2s3 0 z2s4
0 0 0 0
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2− Zeile1 · 1211
z2s1 = 12− 11 · 1211
= 0z2s2 = 14− 13 · 12
11= − 2
11
z2s3 = 5− 4 · 1211
= 711
z2s4 = 40− 37 · 1211
= − 411
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
9 3 3 15
Zeile3 = Zeile3− Zeile1 · 911
z3s1 = 9− 11 · 911
= 0z3s2 = 3− 13 · 9
11= −7 7
11
z3s3 = 3− 4 · 911
= − 311
z3s4 = 15− 37 · 911
= −15 311
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile1 = Zeile1− Zeile2 · 13
− 211
z1s2 = 13− (− 211) · 13
− 211
= 0
z1s3 = 4− 711
· 13
− 211
= 49 12
z1s4 = 37− (− 411) · 13
− 211
= 11
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile3 = Zeile3− Zeile2 · −7 711
− 211
z3s2 = −7 711
− (− 211) · −7 7
11
− 211
= 0
z3s3 = − 311
− 711
· −7 711
− 211
= −27
z3s4 = −15 311
− (− 411) · −7 7
11
− 211
= 0
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile1 = Zeile1− Zeile3 · 49 12
−27
z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1
2−27
= 0
z1s4 = 11− 0 · 49 12
−27= 11
x y z
11 0 0 110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile2 = Zeile2− Zeile3 ·711
−27
z2s3 = 711
− (−27) ·711
−27= 0
z2s4 = − 411
− 0 ·711
−27= − 4
11
x y z
11 0 0 110 − 2
110 − 4
11
0 0 −27 0
x = 1111
= 1
y =− 4
11
− 211
= 2
z = 0−27
= 0
L = {1/2/0}
3.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3
Gesucht:x,y,z
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Aufgaben
(1)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
(2)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23
(3)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7
(4)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34
(5)1x+ 2 + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0
(6)−2x− 8 + 0z = 11x+ 4y + 0z = − 1
28x− 2y +−1z = 8
(7)−2x+ 2 + 4z = 04x− 1
2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8
(8)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34
(9)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7
(10)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23
(11)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
(12)2x+ 3 + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257
(13)6x+ 4 + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100
(14)1x+ 1 + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5
(15)1x− 2 + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7
(16)1x+ 3 +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
3.2 LösungenAufgabe (1)
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1211
z2s1 = 12− 11 · 1211
= 0z2s2 = 14− 13 · 12
11= − 2
11
z2s3 = 5− 4 · 1211
= 711
z2s4 = 40− 37 · 1211
= − 411
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
9 3 3 15
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 911
z3s1 = 9− 11 · 911
= 0z3s2 = 3− 13 · 9
11= −7 7
11
z3s3 = 3− 4 · 911
= − 311
z3s4 = 15− 37 · 911
= −15 311
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 13
− 211
z1s2 = 13− (− 211) · 13
− 211
= 0
z1s3 = 4− 711
· 13
− 211
= 49 12
z1s4 = 37− (− 411) · 13
− 211
= 11
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −7 711
− 211
z3s2 = −7 711
− (− 211) · −7 7
11
− 211
= 0
z3s3 = − 311
− 711
· −7 711
− 211
= −27
z3s4 = −15 311
− (− 411) · −7 7
11
− 211
= 0
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 49 12
−27
z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1
2−27
= 0
z1s4 = 11− 0 · 49 12
−27= 11
x y z
11 0 0 110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·711
−27
z2s3 = 711
− (−27) ·711
−27= 0
z2s4 = − 411
− 0 ·711
−27= − 4
11
x y z
11 0 0 110 − 2
110 − 4
11
0 0 −27 0
x = 1111 = 1
y =− 4
11
− 211
= 2
z = 0−27 = 0
L = {1/2/0}
Aufgabe (2)
9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23
x y z
9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 69
z2s1 = 6− 9 · 69= 0
z2s2 = 3− 5 · 69= − 1
3
z2s3 = −5− 4 · 69= −7 2
3
z2s4 = 17− 13 · 69= 8 1
3
x y z
9 5 4 130 − 1
3−7 2
38 13
3 −10 6 23
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 39
z3s1 = 3− 9 · 39= 0
z3s2 = −10− 5 · 39= −11 2
3
z3s3 = 6− 4 · 39= 4 2
3
z3s4 = 23− 13 · 39= 18 2
3
x y z
9 5 4 130 − 1
3−7 2
38 13
0 −11 23
4 23
18 23
www.fersch.de 23
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 5
− 13
z1s2 = 5− (− 13) · 5
− 13
= 0
z1s3 = 4− (−7 23) · 5
− 13
= −111
z1s4 = 13− 8 13· 5
− 13
= 138
x y z
9 0 −111 1380 − 1
3−7 2
38 13
0 −11 23
4 23
18 23
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −11 23
− 13
z3s2 = −11 23− (− 1
3) · −11 2
3
− 13
= 0
z3s3 = 4 23− (−7 2
3) · −11 2
3
− 13
= 273
z3s4 = 18 23− 8 1
3· −11 2
3
− 13
= −273
x y z
9 0 −111 1380 − 1
3−7 2
38 13
0 0 273 −273
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −111273
z1s3 = −111− 273 · −111273
= 0z1s4 = 138− (−273) · −111
273= 27
x y z
9 0 0 270 − 1
3−7 2
38 13
0 0 273 −273
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 23
273
z2s3 = −7 23− 273 · −7 2
3273
= 0
z2s4 = 8 13− (−273) · −7 2
3273
= 23
x y z
9 0 0 270 − 1
30 2
3
0 0 273 −273
x = 279 = 3
y =23
− 13
= −2
z = −273273 = −1
L = {3/− 2/− 1}
Aufgabe (3)
4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7
x y z
4 −3 2 105 6 −7 410 2 −3 7
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54
z2s1 = 5− 4 · 54= 0
z2s2 = 6− (−3) · 54= 9 3
4
z2s3 = −7− 2 · 54= −9 1
2
z2s4 = 4− 10 · 54= −8 1
2
x y z
4 −3 2 100 9 3
4−9 1
2−8 1
2
10 2 −3 7
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 104
z3s1 = 10− 4 · 104
= 0z3s2 = 2− (−3) · 10
4= 9 1
2
z3s3 = −3− 2 · 104
= −8z3s4 = 7− 10 · 10
4= −18
x y z
4 −3 2 100 9 3
4−9 1
2−8 1
2
0 9 12
−8 −18
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −3
9 34
z1s2 = −3− 9 34· −3
9 34
= 0
z1s3 = 2− (−9 12) · −3
9 34
= − 1213
z1s4 = 10− (−8 12) · −3
9 34
= 7 513
x y z
4 0 − 1213
7 513
0 9 34
−9 12
−8 12
0 9 12
−8 −18
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 9 12
9 34
z3s2 = 9 12− 9 3
4· 9 1
2
9 34
= 0
z3s3 = −8− (−9 12) · 9 1
2
9 34
= 1 1039
z3s4 = −18− (−8 12) · 9 1
2
9 34
= −9 2839
x y z
4 0 − 1213
7 513
0 9 34
−9 12
−8 12
0 0 1 1039
−9 2839
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · − 1213
1 1039
z1s3 = − 1213
− 1 1039
· − 1213
1 1039
= 0
z1s4 = 7 513
− (−9 2839) · − 12
13
1 1039
= 1249
x y z
4 0 0 1249
0 9 34
−9 12
−8 12
0 0 1 1039
−9 2839
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −9 12
1 1039
z2s3 = −9 12− 1 10
39· −9 1
2
1 1039
= 0
z2s4 = −8 12− (−9 28
39) · −9 1
2
1 1039
= −81 4849
x y z
4 0 0 1249
0 9 34
0 −81 4849
0 0 1 1039
−9 2839
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
x =1249
4 = 349
y =−81 48
49
9 34
= −8 2049
z =−9 28
39
1 1039
= −7 3649
L = { 349/− 8 20
49/− 7 3649}
Aufgabe (4)
2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34
x y z
2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42
z2s1 = 4− 2 · 42= 0
z2s2 = 9− 3 · 42= 3
z2s3 = −1− (−4) · 42= 7
z2s4 = 58− 16 · 42= 26
x y z
2 3 −4 160 3 7 261 6 2 34
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12
z3s1 = 1− 2 · 12= 0
z3s2 = 6− 3 · 12= 4 1
2
z3s3 = 2− (−4) · 12= 4
z3s4 = 34− 16 · 12= 26
x y z
2 3 −4 160 3 7 260 4 1
24 26
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 33
z1s2 = 3− 3 · 33= 0
z1s3 = −4− 7 · 33= −11
z1s4 = 16− 26 · 33= −10
x y z
2 0 −11 −100 3 7 260 4 1
24 26
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 4 123
z3s2 = 4 12− 3 · 4 1
23
= 0
z3s3 = 4− 7 · 4 123
= −6 12
z3s4 = 26− 26 · 4 123
= −13
x y z
2 0 −11 −100 3 7 260 0 −6 1
2−13
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −11
−6 12
z1s3 = −11− (−6 12) · −11
−6 12
= 0
z1s4 = −10− (−13) · −11
−6 12
= 12
x y z
2 0 0 120 3 7 260 0 −6 1
2−13
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 7
−6 12
z2s3 = 7− (−6 12) · 7
−6 12
= 0
z2s4 = 26− (−13) · 7
−6 12
= 12
x y z
2 0 0 120 3 0 120 0 −6 1
2−13
x = 122 = 6
y = 123 = 4
z = −13−6 1
2
= 2
L = {6/4/2}
Aufgabe (5)
x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 62y + 6z = 0
x y z
1 2 3 42 3 2 60 2 6 0
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 21
z2s1 = 2− 1 · 21= 0
z2s2 = 3− 2 · 21= −1
z2s3 = 2− 3 · 21= −4
z2s4 = 6− 4 · 21= −2
x y z
1 2 3 40 −1 −4 −20 2 6 0
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−1
z1s2 = 2− (−1) · 2−1
= 0
z1s3 = 3− (−4) · 2−1
= −5
z1s4 = 4− (−2) · 2−1
= 0
x y z
1 0 −5 00 −1 −4 −20 2 6 0
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 2−1
z3s2 = 2− (−1) · 2−1
= 0
z3s3 = 6− (−4) · 2−1
= −2
z3s4 = 0− (−2) · 2−1
= −4
x y z
1 0 −5 00 −1 −4 −20 0 −2 −4
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −5−2
z1s3 = −5− (−2) · −5−2
= 0
z1s4 = 0− (−4) · −5−2
= 10
x y z
1 0 0 100 −1 −4 −20 0 −2 −4
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −4−2
z2s3 = −4− (−2) · −4−2
= 0
z2s4 = −2− (−4) · −4−2
= 6
x y z
1 0 0 100 −1 0 60 0 −2 −4
x = 101 = 10
y = 6−1 = −6
z = −4−2 = 2
L = {10/− 6/2}
Aufgabe (6)
−2x− 8y = 1x+ 4y = − 1
2
8x− 2y − z = 8
x y z
−2 −8 0 11 4 0 − 1
2
8 −2 −1 8
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1−2
z2s1 = 1− (−2) · 1−2
= 0
z2s2 = 4− (−8) · 1−2
= 0
z2s3 = 0− 0 · 1−2
= 0
z2s4 = − 12− 1 · 1
−2= 0
x y z
−2 −8 0 10 0 0 08 −2 −1 8
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 8−2
z3s1 = 8− (−2) · 8−2
= 0
z3s2 = −2− (−8) · 8−2
= −34
z3s3 = −1− 0 · 8−2
= −1
z3s4 = 8− 1 · 8−2
= 12
x y z
−2 −8 0 10 0 0 00 −34 −1 12
Zeilen vertauschen
x y z
−2 −8 0 10 −34 −1 120 0 0 0
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −8−34
z1s2 = −8− (−34) · −8−34
= 0
z1s3 = 0− (−1) · −8−34
= 417
z1s4 = 1− 12 · −8−34
= −1 1417
x y z
−2 0 417
−1 1417
0 −34 −1 120 0 0 0
L = unendlich
Aufgabe (7)
−2x+ 2y + 4z = 04x− 1
2y + 2z = 5
4x− 2y − z = 8
x y z
−2 2 4 04 − 1
22 5
4 −2 −1 8
www.fersch.de 26
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 4−2
z2s1 = 4− (−2) · 4−2
= 0
z2s2 = − 12− 2 · 4
−2= 3 1
2
z2s3 = 2− 4 · 4−2
= 10
z2s4 = 5− 0 · 4−2
= 5
x y z
−2 2 4 00 3 1
210 5
4 −2 −1 8
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 4−2
z3s1 = 4− (−2) · 4−2
= 0
z3s2 = −2− 2 · 4−2
= 2
z3s3 = −1− 4 · 4−2
= 7
z3s4 = 8− 0 · 4−2
= 8
x y z
−2 2 4 00 3 1
210 5
0 2 7 8
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2
3 12
z1s2 = 2− 3 12· 2
3 12
= 0
z1s3 = 4− 10 · 2
3 12
= −1 57
z1s4 = 0− 5 · 2
3 12
= −2 67
x y z
−2 0 −1 57
−2 67
0 3 12
10 50 2 7 8
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 2
3 12
z3s2 = 2− 3 12· 2
3 12
= 0
z3s3 = 7− 10 · 2
3 12
= 1 27
z3s4 = 8− 5 · 2
3 12
= 5 17
x y z
−2 0 −1 57
−2 67
0 3 12
10 50 0 1 2
75 17
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −1 57
1 27
z1s3 = −1 57− 1 2
7· −1 5
7
1 27
= 0
z1s4 = −2 67− 5 1
7· −1 5
7
1 27
= 4
x y z
−2 0 0 40 3 1
210 5
0 0 1 27
5 17
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 10
1 27
z2s3 = 10− 1 27· 10
1 27
= 0
z2s4 = 5− 5 17· 10
1 27
= −35
x y z
−2 0 0 40 3 1
20 −35
0 0 1 27
5 17
x = 4−2 = −2
y = −353 1
2
= −10
z =5 1
7
1 27
= 4
L = {−2/− 10/4}
Aufgabe (8)
2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34
x y z
2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42
z2s1 = 4− 2 · 42= 0
z2s2 = 9− 3 · 42= 3
z2s3 = −1− (−4) · 42= 7
z2s4 = 58− 16 · 42= 26
x y z
2 3 −4 160 3 7 261 6 2 34
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12
z3s1 = 1− 2 · 12= 0
z3s2 = 6− 3 · 12= 4 1
2
z3s3 = 2− (−4) · 12= 4
z3s4 = 34− 16 · 12= 26
x y z
2 3 −4 160 3 7 260 4 1
24 26
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 33
z1s2 = 3− 3 · 33= 0
z1s3 = −4− 7 · 33= −11
z1s4 = 16− 26 · 33= −10
x y z
2 0 −11 −100 3 7 260 4 1
24 26
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 4 123
z3s2 = 4 12− 3 · 4 1
23
= 0
z3s3 = 4− 7 · 4 123
= −6 12
z3s4 = 26− 26 · 4 123
= −13
x y z
2 0 −11 −100 3 7 260 0 −6 1
2−13
www.fersch.de 27
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −11
−6 12
z1s3 = −11− (−6 12) · −11
−6 12
= 0
z1s4 = −10− (−13) · −11
−6 12
= 12
x y z
2 0 0 120 3 7 260 0 −6 1
2−13
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 7
−6 12
z2s3 = 7− (−6 12) · 7
−6 12
= 0
z2s4 = 26− (−13) · 7
−6 12
= 12
x y z
2 0 0 120 3 0 120 0 −6 1
2−13
x = 122 = 6
y = 123 = 4
z = −13−6 1
2
= 2
L = {6/4/2}
Aufgabe (9)
4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7
x y z
4 −3 2 105 6 −7 410 −2 −3 7
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54
z2s1 = 5− 4 · 54= 0
z2s2 = 6− (−3) · 54= 9 3
4
z2s3 = −7− 2 · 54= −9 1
2
z2s4 = 4− 10 · 54= −8 1
2
x y z
4 −3 2 100 9 3
4−9 1
2−8 1
2
10 −2 −3 7
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 104
z3s1 = 10− 4 · 104
= 0z3s2 = −2− (−3) · 10
4= 5 1
2
z3s3 = −3− 2 · 104
= −8z3s4 = 7− 10 · 10
4= −18
x y z
4 −3 2 100 9 3
4−9 1
2−8 1
2
0 5 12
−8 −18
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −3
9 34
z1s2 = −3− 9 34· −3
9 34
= 0
z1s3 = 2− (−9 12) · −3
9 34
= − 1213
z1s4 = 10− (−8 12) · −3
9 34
= 7 513
x y z
4 0 − 1213
7 513
0 9 34
−9 12
−8 12
0 5 12
−8 −18
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 5 12
9 34
z3s2 = 5 12− 9 3
4· 5 1
2
9 34
= 0
z3s3 = −8− (−9 12) · 5 1
2
9 34
= −2 2539
z3s4 = −18− (−8 12) · 5 1
2
9 34
= −13 839
x y z
4 0 − 1213
7 513
0 9 34
−9 12
−8 12
0 0 −2 2539
−13 839
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · − 1213
−2 2539
z1s3 = − 1213
− (−2 2539) · − 12
13
−2 2539
= 0
z1s4 = 7 513
− (−13 839) · − 12
13
−2 2539
= 12
x y z
4 0 0 120 9 3
4−9 1
2−8 1
2
0 0 −2 2539
−13 839
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −9 12
−2 2539
z2s3 = −9 12− (−2 25
39) · −9 1
2
−2 2539
= 0
z2s4 = −8 12− (−13 8
39) · −9 1
2
−2 2539
= 39
x y z
4 0 0 120 9 3
40 39
0 0 −2 2539
−13 839
x = 124 = 3
y = 399 3
4
= 4
z =−13 8
39
−2 2539
= 5
L = {3/4/5}
Aufgabe (10)
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23
x y z
9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 69
z2s1 = 6− 9 · 69= 0
z2s2 = 3− 5 · 69= − 1
3
z2s3 = −5− 4 · 69= −7 2
3
z2s4 = 17− 13 · 69= 8 1
3
x y z
9 5 4 130 − 1
3−7 2
38 13
3 −10 6 23
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 39
z3s1 = 3− 9 · 39= 0
z3s2 = −10− 5 · 39= −11 2
3
z3s3 = 6− 4 · 39= 4 2
3
z3s4 = 23− 13 · 39= 18 2
3
x y z
9 5 4 130 − 1
3−7 2
38 13
0 −11 23
4 23
18 23
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 5
− 13
z1s2 = 5− (− 13) · 5
− 13
= 0
z1s3 = 4− (−7 23) · 5
− 13
= −111
z1s4 = 13− 8 13· 5
− 13
= 138
x y z
9 0 −111 1380 − 1
3−7 2
38 13
0 −11 23
4 23
18 23
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −11 23
− 13
z3s2 = −11 23− (− 1
3) · −11 2
3
− 13
= 0
z3s3 = 4 23− (−7 2
3) · −11 2
3
− 13
= 273
z3s4 = 18 23− 8 1
3· −11 2
3
− 13
= −273
x y z
9 0 −111 1380 − 1
3−7 2
38 13
0 0 273 −273
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −111273
z1s3 = −111− 273 · −111273
= 0z1s4 = 138− (−273) · −111
273= 27
x y z
9 0 0 270 − 1
3−7 2
38 13
0 0 273 −273
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 23
273
z2s3 = −7 23− 273 · −7 2
3273
= 0
z2s4 = 8 13− (−273) · −7 2
3273
= 23
x y z
9 0 0 270 − 1
30 2
3
0 0 273 −273
x = 279 = 3
y =23
− 13
= −2
z = −273273 = −1
L = {3/− 2/− 1}
Aufgabe (11)
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1211
z2s1 = 12− 11 · 1211
= 0z2s2 = 14− 13 · 12
11= − 2
11
z2s3 = 5− 4 · 1211
= 711
z2s4 = 40− 37 · 1211
= − 411
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
9 3 3 15
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 911
z3s1 = 9− 11 · 911
= 0z3s2 = 3− 13 · 9
11= −7 7
11
z3s3 = 3− 4 · 911
= − 311
z3s4 = 15− 37 · 911
= −15 311
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 13
− 211
z1s2 = 13− (− 211) · 13
− 211
= 0
z1s3 = 4− 711
· 13
− 211
= 49 12
z1s4 = 37− (− 411) · 13
− 211
= 11
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −7 711
− 211
z3s2 = −7 711
− (− 211) · −7 7
11
− 211
= 0
z3s3 = − 311
− 711
· −7 711
− 211
= −27
z3s4 = −15 311
− (− 411) · −7 7
11
− 211
= 0
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 49 12
−27
z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1
2−27
= 0
z1s4 = 11− 0 · 49 12
−27= 11
x y z
11 0 0 110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·711
−27
z2s3 = 711
− (−27) ·711
−27= 0
z2s4 = − 411
− 0 ·711
−27= − 4
11
x y z
11 0 0 110 − 2
110 − 4
11
0 0 −27 0
x = 1111 = 1
y =− 4
11
− 211
= 2
z = 0−27 = 0
L = {1/2/0}
Aufgabe (12)
2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257
x y z
2 3 4 1754 6 5 2873 2 8 257
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42
z2s1 = 4− 2 · 42= 0
z2s2 = 6− 3 · 42= 0
z2s3 = 5− 4 · 42= −3
z2s4 = 287− 175 · 42= −63
x y z
2 3 4 1750 0 −3 −633 2 8 257
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 32
z3s1 = 3− 2 · 32= 0
z3s2 = 2− 3 · 32= −2 1
2
z3s3 = 8− 4 · 32= 2
z3s4 = 257− 175 · 32= −5 1
2
x y z
2 3 4 1750 0 −3 −630 −2 1
22 −5 1
2
Zeilen vertauschen
x y z
2 3 4 1750 −2 1
22 −5 1
2
0 0 −3 −63
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3
−2 12
z1s2 = 3− (−2 12) · 3
−2 12
= 0
z1s3 = 4− 2 · 3
−2 12
= 6 25
z1s4 = 175− (−5 12) · 3
−2 12
= 168 25
x y z
2 0 6 25
168 25
0 −2 12
2 −5 12
0 0 −3 −63
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 6 25
−3
z1s3 = 6 25− (−3) · 6 2
5−3
= 0
z1s4 = 168 25− (−63) · 6 2
5−3
= 34
x y z
2 0 0 340 −2 1
22 −5 1
2
0 0 −3 −63
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 2−3
z2s3 = 2− (−3) · 2−3
= 0
z2s4 = −5 12− (−63) · 2
−3= −47 1
2
x y z
2 0 0 340 −2 1
20 −47 1
2
0 0 −3 −63
x = 342 = 17
y =−47 1
2
−2 12
= 19
z = −63−3 = 21
L = {17/19/21}
Aufgabe (13)
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100
x y z
6 4 9 325 7 10 174 8 5 100
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 56
z2s1 = 5− 6 · 56= 0
z2s2 = 7− 4 · 56= 3 2
3
z2s3 = 10− 9 · 56= 2 1
2
z2s4 = 17− 32 · 56= −9 2
3
x y z
6 4 9 320 3 2
32 12
−9 23
4 8 5 100
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 46
z3s1 = 4− 6 · 46= 0
z3s2 = 8− 4 · 46= 5 1
3
z3s3 = 5− 9 · 46= −1
z3s4 = 100− 32 · 46= 78 2
3
x y z
6 4 9 320 3 2
32 12
−9 23
0 5 13
−1 78 23
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4
3 23
z1s2 = 4− 3 23· 4
3 23
= 0
z1s3 = 9− 2 12· 4
3 23
= 6 311
z1s4 = 32− (−9 23) · 4
3 23
= 42 611
x y z
6 0 6 311
42 611
0 3 23
2 12
−9 23
0 5 13
−1 78 23
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 5 13
3 23
z3s2 = 5 13− 3 2
3· 5 1
3
3 23
= 0
z3s3 = −1− 2 12· 5 1
3
3 23
= −4 711
z3s4 = 78 23− (−9 2
3) · 5 1
3
3 23
= 92 811
x y z
6 0 6 311
42 611
0 3 23
2 12
−9 23
0 0 −4 711
92 811
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 6 311
−4 711
z1s3 = 6 311
− (−4 711) · 6 3
11
−4 711
= 0
z1s4 = 42 611
− 92 811
· 6 311
−4 711
= 168
x y z
6 0 0 1680 3 2
32 12
−9 23
0 0 −4 711
92 811
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 2 12
−4 711
z2s3 = 2 12− (−4 7
11) · 2 1
2
−4 711
= 0
z2s4 = −9 23− 92 8
11· 2 1
2
−4 711
= 40 13
x y z
6 0 0 1680 3 2
30 40 1
3
0 0 −4 711
92 811
x = 1686 = 28
y =40 1
3
3 23
= 11
z =92 8
11
−4 711
= −20
L = {28/11/− 20}
Aufgabe (14)
x+ y = 1x+ z = 6y − z = 5
x y z
1 1 0 11 0 1 60 1 −1 5
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 11
z2s1 = 1− 1 · 11= 0
z2s2 = 0− 1 · 11= −1
z2s3 = 1− 0 · 11= 1
z2s4 = 6− 1 · 11= 5
x y z
1 1 0 10 −1 1 50 1 −1 5
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−1
z1s2 = 1− (−1) · 1−1
= 0
z1s3 = 0− 1 · 1−1
= 1
z1s4 = 1− 5 · 1−1
= 6
x y z
1 0 1 60 −1 1 50 1 −1 5
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−1
z3s2 = 1− (−1) · 1−1
= 0
z3s3 = −1− 1 · 1−1
= 0
z3s4 = 5− 5 · 1−1
= 10
x y z
1 0 1 60 −1 1 50 0 0 10
www.fersch.de 31
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
L = {}
Aufgabe (15)
x− 2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7
x y z
1 −2 3 93 8 9 52 3 6 7
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 31
z2s1 = 3− 1 · 31= 0
z2s2 = 8− (−2) · 31= 14
z2s3 = 9− 3 · 31= 0
z2s4 = 5− 9 · 31= −22
x y z
1 −2 3 90 14 0 −222 3 6 7
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 21
z3s1 = 2− 1 · 21= 0
z3s2 = 3− (−2) · 21= 7
z3s3 = 6− 3 · 21= 0
z3s4 = 7− 9 · 21= −11
x y z
1 −2 3 90 14 0 −220 7 0 −11
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −214
z1s2 = −2− 14 · −214
= 0z1s3 = 3− 0 · −2
14= 3
z1s4 = 9− (−22) · −214
= 5 67
x y z
1 0 3 5 67
0 14 0 −220 7 0 −11
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 714
z3s2 = 7− 14 · 714
= 0z3s3 = 0− 0 · 7
14= 0
z3s4 = −11− (−22) · 714
= 0
x y z
1 0 3 5 67
0 14 0 −220 0 0 0
L = unendlich
Aufgabe (16)
x+ 3y − 2z = 33x+ 2y + z = 2y + 3z = 5
x y z
1 3 −2 33 2 1 20 1 3 5
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 31
z2s1 = 3− 1 · 31= 0
z2s2 = 2− 3 · 31= −7
z2s3 = 1− (−2) · 31= 7
z2s4 = 2− 3 · 31= −7
x y z
1 3 −2 30 −7 7 −70 1 3 5
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3−7
z1s2 = 3− (−7) · 3−7
= 0
z1s3 = −2− 7 · 3−7
= 1
z1s4 = 3− (−7) · 3−7
= 0
x y z
1 0 1 00 −7 7 −70 1 3 5
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−7
z3s2 = 1− (−7) · 1−7
= 0
z3s3 = 3− 7 · 1−7
= 4
z3s4 = 5− (−7) · 1−7
= 4
x y z
1 0 1 00 −7 7 −70 0 4 4
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 14
z1s3 = 1− 4 · 14= 0
z1s4 = 0− 4 · 14= −1
x y z
1 0 0 −10 −7 7 −70 0 4 4
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 74
z2s3 = 7− 4 · 74= 0
z2s4 = −7− 4 · 74= −14
x y z
1 0 0 −10 −7 0 −140 0 4 4
www.fersch.de 32
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
x = −11 = −1
y = −14−7 = 2
z = 44 = 1
L = {−1/2/1}
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
3.3 n-Gleichungen3.3.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Lineares Gleichungssytema1 · x1 + b1 · x2 + c1 · x3.... = d1a2 · x1 + b2 · x2 + c2 · x3..... = d2a3 · x1 + b3 · x2 + c3 · x3.... = d3.....Gesucht: x1, x2, x3....
(1) a(2) b(3) c(4) d(5) e(6) f(7) g(8) h(9) i(10) j(11) k(12) l(13) m(14) n
(15) o(16) p(17) q(18) r(19) s(20) t(21) u(22) v(23) w(24) x(25) y(26) zkeine Aufgaben
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
3.3.2 LösungenAufgabe (1)
x1 + 2x2 + 3x3 = 45x1 + 6x2 + 7x3 = 89x1 + 10x2 + 11x3 = 12
x1 x2 x3
1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 51
z2s1 = 5− 1 · 51= 0
z2s2 = 6− 2 · 51= −4
z2s3 = 7− 3 · 51= −8
z2s4 = 8− 4 · 51= −12
x1 x2 x3
1 2 3 40 −4 −8 −129 10 11 12
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 91
z3s1 = 9− 1 · 91= 0
z3s2 = 10− 2 · 91= −8
z3s3 = 11− 3 · 91= −16
z3s4 = 12− 4 · 91= −24
x1 x2 x3
1 2 3 40 −4 −8 −120 −8 −16 −24
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−4
z1s2 = 2− (−4) · 2−4
= 0
z1s3 = 3− (−8) · 2−4
= −1
z1s4 = 4− (−12) · 2−4
= −2
x1 x2 x3
1 0 −1 −20 −4 −8 −120 −8 −16 −24
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −8−4
z3s2 = −8− (−4) · −8−4
= 0
z3s3 = −16− (−8) · −8−4
= 0
z3s4 = −24− (−12) · −8−4
= 0
x1 x2 x3
1 0 −1 −20 −4 −8 −120 0 0 0
L = unendlich
Aufgabe (2)
x1 + 2x2 + 3x3 = 45x1 + 6x2 + 7x3 = 89x1 + 10x2 + 11x3 = 12
x1 x2 x3
1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 51
z2s1 = 5− 1 · 51= 0
z2s2 = 6− 2 · 51= −4
z2s3 = 7− 3 · 51= −8
z2s4 = 8− 4 · 51= −12
x1 x2 x3
1 2 3 40 −4 −8 −129 10 11 12
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 91
z3s1 = 9− 1 · 91= 0
z3s2 = 10− 2 · 91= −8
z3s3 = 11− 3 · 91= −16
z3s4 = 12− 4 · 91= −24
x1 x2 x3
1 2 3 40 −4 −8 −120 −8 −16 −24
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−4
z1s2 = 2− (−4) · 2−4
= 0
z1s3 = 3− (−8) · 2−4
= −1
z1s4 = 4− (−12) · 2−4
= −2
x1 x2 x3
1 0 −1 −20 −4 −8 −120 −8 −16 −24
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −8−4
z3s2 = −8− (−4) · −8−4
= 0
z3s3 = −16− (−8) · −8−4
= 0
z3s4 = −24− (−12) · −8−4
= 0
x1 x2 x3
1 0 −1 −20 −4 −8 −120 0 0 0
L = unendlich
Aufgabe (3)
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
4x1 + 3x2 = 1213x1 +
14x2 = 3
x1 x2
4 3 1213
14
3
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 ·134
z2s1 = 13− 4 ·
134= 0
z2s2 = 14− 3 ·
134= 0
z2s3 = 3− 12 ·134= 2
x1 x2
4 3 120 0 2
L = {}
Aufgabe (4)
3x1 + 2x2 = 12x1 − 3x2 = 5
x1 x2
3 2 12 −3 5
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 23
z2s1 = 2− 3 · 23= 0
z2s2 = −3− 2 · 23= −4 1
3
z2s3 = 5− 1 · 23= 4 1
3
x1 x2
3 2 10 −4 1
34 13
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2
−4 13
z1s2 = 2− (−4 13) · 2
−4 13
= 0
z1s3 = 1− 4 13· 2
−4 13
= 3
x1 x2
3 0 30 −4 1
34 13
x1 = 33 = 1
x2 =4 1
3
−4 13
= −1
L = {1/− 1}
Aufgabe (5)
3x1 + x2 − x3 = 015x1 + 2x2 + 4x3 = 12x1 − 2x2 + x3 = 1
x1 x2 x3
3 1 −1 015 2 4 12 −2 1 1
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 153
z2s1 = 15− 3 · 153
= 0z2s2 = 2− 1 · 15
3= −3
z2s3 = 4− (−1) · 153
= 9z2s4 = 1− 0 · 15
3= 1
x1 x2 x3
3 1 −1 00 −3 9 12 −2 1 1
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 23
z3s1 = 2− 3 · 23= 0
z3s2 = −2− 1 · 23= −2 2
3
z3s3 = 1− (−1) · 23= 1 2
3
z3s4 = 1− 0 · 23= 1
x1 x2 x3
3 1 −1 00 −3 9 10 −2 2
31 23
1
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−3
z1s2 = 1− (−3) · 1−3
= 0
z1s3 = −1− 9 · 1−3
= 2
z1s4 = 0− 1 · 1−3
= 13
x1 x2 x3
3 0 2 13
0 −3 9 10 −2 2
31 23
1
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −2 23
−3
z3s2 = −2 23− (−3) · −2 2
3−3
= 0
z3s3 = 1 23− 9 · −2 2
3−3
= −6 13
z3s4 = 1− 1 · −2 23
−3= 1
9
x1 x2 x3
3 0 2 13
0 −3 9 10 0 −6 1
319
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 2
−6 13
z1s3 = 2− (−6 13) · 2
−6 13
= 0
z1s4 = 13− 1
9· 2
−6 13
= 719
x1 x2 x3
3 0 0 719
0 −3 9 10 0 −6 1
319
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 9
−6 13
z2s3 = 9− (−6 13) · 9
−6 13
= 0
z2s4 = 1− 19· 9
−6 13
= 1 319
x1 x2 x3
3 0 0 719
0 −3 0 1 319
0 0 −6 13
19
x1 =719
3 = 757
x2 =1 3
19
−3 = − 2257
x3 =19
−6 13
= − 157
L = { 757/−
2257/−
157}
Aufgabe (6)
3x1 + x2 − x3 = 0x1 + 2x2 + 4x3 = 12x1 − 2x2 + x3 = 1
x1 x2 x3
3 1 −1 01 2 4 12 −2 1 1
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 13
z2s1 = 1− 3 · 13= 0
z2s2 = 2− 1 · 13= 1 2
3
z2s3 = 4− (−1) · 13= 4 1
3
z2s4 = 1− 0 · 13= 1
x1 x2 x3
3 1 −1 00 1 2
34 13
12 −2 1 1
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 23
z3s1 = 2− 3 · 23= 0
z3s2 = −2− 1 · 23= −2 2
3
z3s3 = 1− (−1) · 23= 1 2
3
z3s4 = 1− 0 · 23= 1
x1 x2 x3
3 1 −1 00 1 2
34 13
10 −2 2
31 23
1
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1
1 23
z1s2 = 1− 1 23· 1
1 23
= 0
z1s3 = −1− 4 13· 1
1 23
= −3 35
z1s4 = 0− 1 · 1
1 23
= − 35
x1 x2 x3
3 0 −3 35
− 35
0 1 23
4 13
10 −2 2
31 23
1
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −2 23
1 23
z3s2 = −2 23− 1 2
3· −2 2
3
1 23
= 0
z3s3 = 1 23− 4 1
3· −2 2
3
1 23
= 8 35
z3s4 = 1− 1 · −2 23
1 23
= 2 35
x1 x2 x3
3 0 −3 35
− 35
0 1 23
4 13
10 0 8 3
52 35
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −3 35
8 35
z1s3 = −3 35− 8 3
5· −3 3
5
8 35
= 0
z1s4 = − 35− 2 3
5· −3 3
5
8 35
= 2143
x1 x2 x3
3 0 0 2143
0 1 23
4 13
10 0 8 3
52 35
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 4 13
8 35
z2s3 = 4 13− 8 3
5· 4 1
3
8 35
= 0
z2s4 = 1− 2 35· 4 1
3
8 35
= −0, 31
x1 x2 x3
3 0 0 2143
0 1 23
0 −0, 310 0 8 3
52 35
x1 =2143
3 = 743
x2 = −0,311 2
3
= − 843
x3 =2 3
5
8 35
= 1343
L = { 743/−
843/
1343}
Aufgabe (7)
2x1 + 4x2 + 7x3 = 93x1 + 3x2 + 3x3 = 3x1 + 3x2 + 3x3 = 3
x1 x2 x3
2 4 7 93 3 3 31 3 3 3
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32
z2s1 = 3− 2 · 32= 0
z2s2 = 3− 4 · 32= −3
z2s3 = 3− 7 · 32= −7 1
2
z2s4 = 3− 9 · 32= −10 1
2
x1 x2 x3
2 4 7 90 −3 −7 1
2−10 1
2
1 3 3 3
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12
z3s1 = 1− 2 · 12= 0
z3s2 = 3− 4 · 12= 1
z3s3 = 3− 7 · 12= − 1
2
z3s4 = 3− 9 · 12= −1 1
2
x1 x2 x3
2 4 7 90 −3 −7 1
2−10 1
2
0 1 − 12
−1 12
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−3
z1s2 = 4− (−3) · 4−3
= 0
z1s3 = 7− (−7 12) · 4
−3= −3
z1s4 = 9− (−10 12) · 4
−3= −5
x1 x2 x3
2 0 −3 −50 −3 −7 1
2−10 1
2
0 1 − 12
−1 12
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−3
z3s2 = 1− (−3) · 1−3
= 0
z3s3 = − 12− (−7 1
2) · 1
−3= −3
z3s4 = −1 12− (−10 1
2) · 1
−3= −5
x1 x2 x3
2 0 −3 −50 −3 −7 1
2−10 1
2
0 0 −3 −5
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −3−3
z1s3 = −3− (−3) · −3−3
= 0
z1s4 = −5− (−5) · −3−3
= 0
x1 x2 x3
2 0 0 00 −3 −7 1
2−10 1
2
0 0 −3 −5
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 12
−3
z2s3 = −7 12− (−3) · −7 1
2−3
= 0
z2s4 = −10 12− (−5) · −7 1
2−3
= 2
x1 x2 x3
2 0 0 00 −3 0 20 0 −3 −5
x1 = 02 = 0
x2 = 2−3 = − 2
3
x3 = −5−3 = 1 2
3
L = {0/− 23/1
23}
Aufgabe (8)
2x1 + 4x2 + 7x3 = 93x1 + 3x2 + 3x3 = 3x1 + 3x2 + 3x3 = 3
x1 x2 x3
2 4 7 93 3 3 31 3 3 3
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32
z2s1 = 3− 2 · 32= 0
z2s2 = 3− 4 · 32= −3
z2s3 = 3− 7 · 32= −7 1
2
z2s4 = 3− 9 · 32= −10 1
2
x1 x2 x3
2 4 7 90 −3 −7 1
2−10 1
2
1 3 3 3
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12
z3s1 = 1− 2 · 12= 0
z3s2 = 3− 4 · 12= 1
z3s3 = 3− 7 · 12= − 1
2
z3s4 = 3− 9 · 12= −1 1
2
x1 x2 x3
2 4 7 90 −3 −7 1
2−10 1
2
0 1 − 12
−1 12
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−3
z1s2 = 4− (−3) · 4−3
= 0
z1s3 = 7− (−7 12) · 4
−3= −3
z1s4 = 9− (−10 12) · 4
−3= −5
x1 x2 x3
2 0 −3 −50 −3 −7 1
2−10 1
2
0 1 − 12
−1 12
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−3
z3s2 = 1− (−3) · 1−3
= 0
z3s3 = − 12− (−7 1
2) · 1
−3= −3
z3s4 = −1 12− (−10 1
2) · 1
−3= −5
x1 x2 x3
2 0 −3 −50 −3 −7 1
2−10 1
2
0 0 −3 −5
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −3−3
z1s3 = −3− (−3) · −3−3
= 0
z1s4 = −5− (−5) · −3−3
= 0
x1 x2 x3
2 0 0 00 −3 −7 1
2−10 1
2
0 0 −3 −5
www.fersch.de 38
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 12
−3
z2s3 = −7 12− (−3) · −7 1
2−3
= 0
z2s4 = −10 12− (−5) · −7 1
2−3
= 2
x1 x2 x3
2 0 0 00 −3 0 20 0 −3 −5
x1 = 02 = 0
x2 = 2−3 = − 2
3
x3 = −5−3 = 1 2
3
L = {0/− 23/1
23}
Aufgabe (9)
2x1 + 4x2 = 03x1 + x2 = 0= 0
x1 x2 x3
2 4 0 03 1 0 00 0 0 0
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32
z2s1 = 3− 2 · 32= 0
z2s2 = 1− 4 · 32= −5
z2s3 = 0− 0 · 32= 0
z2s4 = 0− 0 · 32= 0
x1 x2 x3
2 4 0 00 −5 0 00 0 0 0
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−5
z1s2 = 4− (−5) · 4−5
= 0
z1s3 = 0− 0 · 4−5
= 0
z1s4 = 0− 0 · 4−5
= 0
x1 x2 x3
2 0 0 00 −5 0 00 0 0 0
L = unendlich
Aufgabe (10)
2x1 + 4x2 = 03x2 = 1
x1 x2
2 4 00 3 1
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 43
z1s2 = 4− 3 · 43= 0
z1s3 = 0− 1 · 43= −1 1
3
x1 x2
2 0 −1 13
0 3 1
x1 =−1 1
3
2 = − 23
x2 = 13 = 1
3L = {− 2
3/13}
Aufgabe (11)
2x1 + 4x2 = 0x1 + 3x2 = 1
x1 x2
2 4 01 3 1
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 12
z2s1 = 1− 2 · 12= 0
z2s2 = 3− 4 · 12= 1
z2s3 = 1− 0 · 12= 1
x1 x2
2 4 00 1 1
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 41
z1s2 = 4− 1 · 41= 0
z1s3 = 0− 1 · 41= −4
x1 x2
2 0 −40 1 1
x1 = −42 = −2
x2 = 11 = 1
L = {−2/1}
www.fersch.de 39
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
Aufgabe (12)
2x1 + 4x2 = 0x1 + 3x2 = 0
x1 x2
2 4 01 3 0
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 12
z2s1 = 1− 2 · 12= 0
z2s2 = 3− 4 · 12= 1
z2s3 = 0− 0 · 12= 0
x1 x2
2 4 00 1 0
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 41
z1s2 = 4− 1 · 41= 0
z1s3 = 0− 0 · 41= 0
x1 x2
2 0 00 1 0
x1 = 02 = 0
x2 = 01 = 0
L = {0/0}
Aufgabe (13)
2x1 + 4x2 = 03x2 = 0
x1 x2
2 4 00 3 0
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 43
z1s2 = 4− 3 · 43= 0
z1s3 = 0− 0 · 43= 0
x1 x2
2 0 00 3 0
x1 = 02 = 0
x2 = 03 = 0
L = {0/0}
Aufgabe (14)
2x1 + 4x2 = 9x1 + x2 = 3
x1 x2
2 4 91 1 3
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 12
z2s1 = 1− 2 · 12= 0
z2s2 = 1− 4 · 12= −1
z2s3 = 3− 9 · 12= −1 1
2
x1 x2
2 4 90 −1 −1 1
2
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−1
z1s2 = 4− (−1) · 4−1
= 0
z1s3 = 9− (−1 12) · 4
−1= 3
x1 x2
2 0 30 −1 −1 1
2
x1 = 32 = 1 1
2
x2 =−1 1
2
−1 = 1 12
L = {1 12/1
12}
Aufgabe (15)
2x1 + 4x2 = 263x1 + 2x2 = 19
x1 x2
2 4 263 2 19
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32
z2s1 = 3− 2 · 32= 0
z2s2 = 2− 4 · 32= −4
z2s3 = 19− 26 · 32= −20
x1 x2
2 4 260 −4 −20
www.fersch.de 40
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−4
z1s2 = 4− (−4) · 4−4
= 0
z1s3 = 26− (−20) · 4−4
= 6
x1 x2
2 0 60 −4 −20
x1 = 62 = 3
x2 = −20−4 = 5
L = {3/5}
Aufgabe (16)
2x1 + 4x2 = 263x1 + 2x2 = 19
x1 x2
2 4 263 2 19
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32
z2s1 = 3− 2 · 32= 0
z2s2 = 2− 4 · 32= −4
z2s3 = 19− 26 · 32= −20
x1 x2
2 4 260 −4 −20
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−4
z1s2 = 4− (−4) · 4−4
= 0
z1s3 = 26− (−20) · 4−4
= 6
x1 x2
2 0 60 −4 −20
x1 = 62 = 3
x2 = −20−4 = 5
L = {3/5}
Aufgabe (17)
2x1 + 4x2 = 263x1 + 2x2 = 19
x1 x2
2 4 263 2 19
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32
z2s1 = 3− 2 · 32= 0
z2s2 = 2− 4 · 32= −4
z2s3 = 19− 26 · 32= −20
x1 x2
2 4 260 −4 −20
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−4
z1s2 = 4− (−4) · 4−4
= 0
z1s3 = 26− (−20) · 4−4
= 6
x1 x2
2 0 60 −4 −20
x1 = 62 = 3
x2 = −20−4 = 5
L = {3/5}
Aufgabe (18)
4x1 + 2x2 = 225x1 + x2 = 17
x1 x2
4 2 225 1 17
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54
z2s1 = 5− 4 · 54= 0
z2s2 = 1− 2 · 54= −1 1
2
z2s3 = 17− 22 · 54= −10 1
2
x1 x2
4 2 220 −1 1
2−10 1
2
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2
−1 12
z1s2 = 2− (−1 12) · 2
−1 12
= 0
z1s3 = 22− (−10 12) · 2
−1 12
= 8
x1 x2
4 0 80 −1 1
2−10 1
2
x1 = 84 = 2
x2 =−10 1
2
−1 12
= 7
www.fersch.de 41
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
L = {2/7}
Aufgabe (19)
4x1 + 2x2 = 225x1 + x2 = 17
x1 x2
4 2 225 1 17
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54
z2s1 = 5− 4 · 54= 0
z2s2 = 1− 2 · 54= −1 1
2
z2s3 = 17− 22 · 54= −10 1
2
x1 x2
4 2 220 −1 1
2−10 1
2
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2
−1 12
z1s2 = 2− (−1 12) · 2
−1 12
= 0
z1s3 = 22− (−10 12) · 2
−1 12
= 8
x1 x2
4 0 80 −1 1
2−10 1
2
x1 = 84 = 2
x2 =−10 1
2
−1 12
= 7
L = {2/7}
Aufgabe (20)
4x1 + 2x2 + x3 = 146x1 + x2 + x3 = 88x1 + 4x2 + x3 = 18
x1 x2 x3
4 2 1 146 1 1 88 4 1 18
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 64
z2s1 = 6− 4 · 64= 0
z2s2 = 1− 2 · 64= −2
z2s3 = 1− 1 · 64= − 1
2
z2s4 = 8− 14 · 64= −13
x1 x2 x3
4 2 1 140 −2 − 1
2−13
8 4 1 18
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 84
z3s1 = 8− 4 · 84= 0
z3s2 = 4− 2 · 84= 0
z3s3 = 1− 1 · 84= −1
z3s4 = 18− 14 · 84= −10
x1 x2 x3
4 2 1 140 −2 − 1
2−13
0 0 −1 −10
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−2
z1s2 = 2− (−2) · 2−2
= 0
z1s3 = 1− (− 12) · 2
−2= 1
2
z1s4 = 14− (−13) · 2−2
= 1
x1 x2 x3
4 0 12
10 −2 − 1
2−13
0 0 −1 −10
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 ·12
−1
z1s3 = 12− (−1) ·
12
−1= 0
z1s4 = 1− (−10) ·12
−1= −4
x1 x2 x3
4 0 0 −40 −2 − 1
2−13
0 0 −1 −10
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · − 12
−1
z2s3 = − 12− (−1) · − 1
2−1
= 0
z2s4 = −13− (−10) · − 12
−1= −8
x1 x2 x3
4 0 0 −40 −2 0 −80 0 −1 −10
x1 = −44 = −1
x2 = −8−2 = 4
x3 = −10−1 = 10
L = {−1/4/10}
Aufgabe (21)
www.fersch.de 42
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
4x1 + 2x2 + x3 = 146x1 + x2 + x3 = 88x1 + 4x2 + x3 = 18
x1 x2 x3
4 2 1 146 1 1 88 4 1 18
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 64
z2s1 = 6− 4 · 64= 0
z2s2 = 1− 2 · 64= −2
z2s3 = 1− 1 · 64= − 1
2
z2s4 = 8− 14 · 64= −13
x1 x2 x3
4 2 1 140 −2 − 1
2−13
8 4 1 18
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 84
z3s1 = 8− 4 · 84= 0
z3s2 = 4− 2 · 84= 0
z3s3 = 1− 1 · 84= −1
z3s4 = 18− 14 · 84= −10
x1 x2 x3
4 2 1 140 −2 − 1
2−13
0 0 −1 −10
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−2
z1s2 = 2− (−2) · 2−2
= 0
z1s3 = 1− (− 12) · 2
−2= 1
2
z1s4 = 14− (−13) · 2−2
= 1
x1 x2 x3
4 0 12
10 −2 − 1
2−13
0 0 −1 −10
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 ·12
−1
z1s3 = 12− (−1) ·
12
−1= 0
z1s4 = 1− (−10) ·12
−1= −4
x1 x2 x3
4 0 0 −40 −2 − 1
2−13
0 0 −1 −10
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · − 12
−1
z2s3 = − 12− (−1) · − 1
2−1
= 0
z2s4 = −13− (−10) · − 12
−1= −8
x1 x2 x3
4 0 0 −40 −2 0 −80 0 −1 −10
x1 = −44 = −1
x2 = −8−2 = 4
x3 = −10−1 = 10
L = {−1/4/10}
Aufgabe (22)
2x1 + 3x2 + x3 = 15x1 + 3x2 + x3 = 113x1 + 2x2 + 2x3 = 18
x1 x2 x3
2 3 1 151 3 1 113 2 2 18
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 12
z2s1 = 1− 2 · 12= 0
z2s2 = 3− 3 · 12= 1 1
2
z2s3 = 1− 1 · 12= 1
2
z2s4 = 11− 15 · 12= 3 1
2
x1 x2 x3
2 3 1 150 1 1
212
3 12
3 2 2 18
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 32
z3s1 = 3− 2 · 32= 0
z3s2 = 2− 3 · 32= −2 1
2
z3s3 = 2− 1 · 32= 1
2
z3s4 = 18− 15 · 32= −4 1
2
x1 x2 x3
2 3 1 150 1 1
212
3 12
0 −2 12
12
−4 12
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3
1 12
z1s2 = 3− 1 12· 3
1 12
= 0
z1s3 = 1− 12· 3
1 12
= 0
z1s4 = 15− 3 12· 3
1 12
= 8
x1 x2 x3
2 0 0 80 1 1
212
3 12
0 −2 12
12
−4 12
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −2 12
1 12
z3s2 = −2 12− 1 1
2· −2 1
2
1 12
= 0
z3s3 = 12− 1
2· −2 1
2
1 12
= 1 13
z3s4 = −4 12− 3 1
2· −2 1
2
1 12
= 1 13
x1 x2 x3
2 0 0 80 1 1
212
3 12
0 0 1 13
1 13
www.fersch.de 43
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·12
1 13
z2s3 = 12− 1 1
3·
12
1 13
= 0
z2s4 = 3 12− 1 1
3·
12
1 13
= 3
x1 x2 x3
2 0 0 80 1 1
20 3
0 0 1 13
1 13
x1 = 82 = 4
x2 = 31 1
2
= 2
x3 =1 1
3
1 13
= 1
L = {4/2/1}
Aufgabe (23)
2x1 + 3x2 + x3 = 15x1 + 3x2 + x3 = 113x1 + 2x2 + 2x3 = 18
x1 x2 x3
2 3 1 151 3 1 113 2 2 18
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 12
z2s1 = 1− 2 · 12= 0
z2s2 = 3− 3 · 12= 1 1
2
z2s3 = 1− 1 · 12= 1
2
z2s4 = 11− 15 · 12= 3 1
2
x1 x2 x3
2 3 1 150 1 1
212
3 12
3 2 2 18
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 32
z3s1 = 3− 2 · 32= 0
z3s2 = 2− 3 · 32= −2 1
2
z3s3 = 2− 1 · 32= 1
2
z3s4 = 18− 15 · 32= −4 1
2
x1 x2 x3
2 3 1 150 1 1
212
3 12
0 −2 12
12
−4 12
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3
1 12
z1s2 = 3− 1 12· 3
1 12
= 0
z1s3 = 1− 12· 3
1 12
= 0
z1s4 = 15− 3 12· 3
1 12
= 8
x1 x2 x3
2 0 0 80 1 1
212
3 12
0 −2 12
12
−4 12
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −2 12
1 12
z3s2 = −2 12− 1 1
2· −2 1
2
1 12
= 0
z3s3 = 12− 1
2· −2 1
2
1 12
= 1 13
z3s4 = −4 12− 3 1
2· −2 1
2
1 12
= 1 13
x1 x2 x3
2 0 0 80 1 1
212
3 12
0 0 1 13
1 13
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·12
1 13
z2s3 = 12− 1 1
3·
12
1 13
= 0
z2s4 = 3 12− 1 1
3·
12
1 13
= 3
x1 x2 x3
2 0 0 80 1 1
20 3
0 0 1 13
1 13
x1 = 82 = 4
x2 = 31 1
2
= 2
x3 =1 1
3
1 13
= 1
L = {4/2/1}
Aufgabe (24)
4x1 + x2 + 8x3 = 28x1 + x2 + x3 = 13x1 + 6x2 + 2x3 = 10
x1 x2 x3
4 1 8 28 1 1 13 6 2 10
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 84
z2s1 = 8− 4 · 84= 0
z2s2 = 1− 1 · 84= −1
z2s3 = 1− 8 · 84= −15
z2s4 = 1− 2 · 84= −3
x1 x2 x3
4 1 8 20 −1 −15 −33 6 2 10
www.fersch.de 44
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 34
z3s1 = 3− 4 · 34= 0
z3s2 = 6− 1 · 34= 5 1
4
z3s3 = 2− 8 · 34= −4
z3s4 = 10− 2 · 34= 8 1
2
x1 x2 x3
4 1 8 20 −1 −15 −30 5 1
4−4 8 1
2
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−1
z1s2 = 1− (−1) · 1−1
= 0
z1s3 = 8− (−15) · 1−1
= −7
z1s4 = 2− (−3) · 1−1
= −1
x1 x2 x3
4 0 −7 −10 −1 −15 −30 5 1
4−4 8 1
2
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 5 14
−1
z3s2 = 5 14− (−1) · 5 1
4−1
= 0
z3s3 = −4− (−15) · 5 14
−1= −82 3
4
z3s4 = 8 12− (−3) · 5 1
4−1
= −7 14
x1 x2 x3
4 0 −7 −10 −1 −15 −30 0 −82 3
4−7 1
4
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −7
−82 34
z1s3 = −7− (−82 34) · −7
−82 34
= 0
z1s4 = −1− (−7 14) · −7
−82 34
= −0, 387
x1 x2 x3
4 0 0 −0, 3870 −1 −15 −30 0 −82 3
4−7 1
4
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −15
−82 34
z2s3 = −15− (−82 34) · −15
−82 34
= 0
z2s4 = −3− (−7 14) · −15
−82 34
= −1, 69
x1 x2 x3
4 0 0 −0, 3870 −1 0 −1, 690 0 −82 3
4−7 1
4
x1 = −0,3874 = −0, 0967
x2 = −1,69−1 = 1, 69
x3 =−7 1
4
−82 34
= 0, 0876
L = {−0, 0967/1, 69/0, 0876}
Aufgabe (25)
4x1 + x2 + 8x3 = 28x1 − x2 + x3 = 13x1 − 6x2 + 2x3 = 10
x1 x2 x3
4 1 8 28 −1 1 13 −6 2 10
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 84
z2s1 = 8− 4 · 84= 0
z2s2 = −1− 1 · 84= −3
z2s3 = 1− 8 · 84= −15
z2s4 = 1− 2 · 84= −3
x1 x2 x3
4 1 8 20 −3 −15 −33 −6 2 10
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 34
z3s1 = 3− 4 · 34= 0
z3s2 = −6− 1 · 34= −6 3
4
z3s3 = 2− 8 · 34= −4
z3s4 = 10− 2 · 34= 8 1
2
x1 x2 x3
4 1 8 20 −3 −15 −30 −6 3
4−4 8 1
2
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−3
z1s2 = 1− (−3) · 1−3
= 0
z1s3 = 8− (−15) · 1−3
= 3
z1s4 = 2− (−3) · 1−3
= 1
x1 x2 x3
4 0 3 10 −3 −15 −30 −6 3
4−4 8 1
2
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −6 34
−3
z3s2 = −6 34− (−3) · −6 3
4−3
= 0
z3s3 = −4− (−15) · −6 34
−3= 29 3
4
z3s4 = 8 12− (−3) · −6 3
4−3
= 15 14
x1 x2 x3
4 0 3 10 −3 −15 −30 0 29 3
415 1
4
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 3
29 34
z1s3 = 3− 29 34· 3
29 34
= 0
z1s4 = 1− 15 14· 3
29 34
= −0, 538
x1 x2 x3
4 0 0 −0, 5380 −3 −15 −30 0 29 3
415 1
4
www.fersch.de 45
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −15
29 34
z2s3 = −15− 29 34· −15
29 34
= 0
z2s4 = −3− 15 14· −15
29 34
= 4, 69
x1 x2 x3
4 0 0 −0, 5380 −3 0 4, 690 0 29 3
415 1
4
x1 = −0,5384 = −0, 134
x2 = 4,69−3 = −1, 56
x3 =15 1
4
29 34
= 0, 513
L = {−0, 134/− 1, 56/0, 513}
Aufgabe (26)
2x1 + x2 + 8x3 = 28x1 − x2 + x3 = 13x1 − 6x2 + 2x3 = 10
x1 x2 x3
2 1 8 28 −1 1 13 −6 2 10
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 82
z2s1 = 8− 2 · 82= 0
z2s2 = −1− 1 · 82= −5
z2s3 = 1− 8 · 82= −31
z2s4 = 1− 2 · 82= −7
x1 x2 x3
2 1 8 20 −5 −31 −73 −6 2 10
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 32
z3s1 = 3− 2 · 32= 0
z3s2 = −6− 1 · 32= −7 1
2
z3s3 = 2− 8 · 32= −10
z3s4 = 10− 2 · 32= 7
x1 x2 x3
2 1 8 20 −5 −31 −70 −7 1
2−10 7
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−5
z1s2 = 1− (−5) · 1−5
= 0
z1s3 = 8− (−31) · 1−5
= 1 45
z1s4 = 2− (−7) · 1−5
= 35
x1 x2 x3
2 0 1 45
35
0 −5 −31 −70 −7 1
2−10 7
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −7 12
−5
z3s2 = −7 12− (−5) · −7 1
2−5
= 0
z3s3 = −10− (−31) · −7 12
−5= 36 1
2
z3s4 = 7− (−7) · −7 12
−5= 17 1
2
x1 x2 x3
2 0 1 45
35
0 −5 −31 −70 0 36 1
217 1
2
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 1 45
36 12
z1s3 = 1 45− 36 1
2· 1 4
5
36 12
= 0
z1s4 = 35− 17 1
2· 1 4
5
36 12
= −0, 263
x1 x2 x3
2 0 0 −0, 2630 −5 −31 −70 0 36 1
217 1
2
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −31
36 12
z2s3 = −31− 36 12· −31
36 12
= 0
z2s4 = −7− 17 12· −31
36 12
= 7 6373
x1 x2 x3
2 0 0 −0, 2630 −5 0 7 63
73
0 0 36 12
17 12
x1 = −0,2632 = −0, 132
x2 =7 63
73
−5 = −1, 57
x3 =17 1
2
36 12
= 3573
L = {−0, 132/− 1, 57/ 3573}
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Aufgaben
3.4 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3
Gesucht:x,y,z
(1)11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
(2)9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23
(3)4x− 3y + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7
(4)2x+ 3y +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34
(5)1x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0
(6)−2x− 8y + 0z = 11x+ 4y + 0z = − 1
28x− 2y +−1z = 8
(7)−2x+ 2y + 4z = 04x− 1
2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8
(8)2x+ 3y +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34
(9)4x− 3y + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7
(10)9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23
(11)11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
(12)2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257
(13)6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100
(14)1x+ 1y + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5
(15)1x− 2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7
(16)6x+ 4y + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9
(17)1x+ 3y +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5
(18)4x+ 6y + 8z = 05x+ 6y + 67z = 88x+ 87y + 6z = 6
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
3.5 LösungenAufgabe (1)
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2 · 11-Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4
x y z
11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15
Zeile3 = Zeile3 · 11-Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168
Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0
z = 0594 = 0
y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}
Aufgabe (2)
9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23
x y z
9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23
Zeile2 = Zeile2 · 9-Zeile1 · 6z2s1 = 6 · 9− 9 · 6 = 0z2s2 = 3 · 9− 5 · 6 = −3z2s3 = (−5) · 9− 4 · 6 = −69z2s4 = 17 · 9− 13 · 6 = 75
x y z
9 5 4 130 −3 −69 753 −10 6 23
Zeile3 = Zeile3 · 9-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 9− 9 · 3 = 0z3s2 = (−10) · 9− 5 · 3 = −105z3s3 = 6 · 9− 4 · 3 = 42z3s4 = 23 · 9− 13 · 3 = 168
x y z
9 5 4 130 −3 −69 750 −105 42 168
Zeile3 = Zeile3 · (−3)-Zeile2 · (−105)z3s2 = (−105) · −3− (−3) · (−105) = 0z3s3 = 42 · −3− (−69) · (−105) = −7, 37 · 103z3s4 = 168 · −3− 75 · (−105) = 7, 37 · 103
x y z
9 5 4 130 −3 −69 750 0 −7, 37 · 103 7, 37 · 103
z = 7,37·103−7,37·103 = −1
y · (−3) + (−69) · −1 = 75y = −2x · 9 + 5 · −2 + 4 · (−1) = 13x = 3L = {3/− 2/− 1}
Aufgabe (3)
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7
x y z
4 −3 2 105 6 −7 410 2 −3 7
Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− (−3) · 5 = 39z2s3 = (−7) · 4− 2 · 5 = −38z2s4 = 4 · 4− 10 · 5 = −34
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −3410 2 −3 7
Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 10z3s1 = 10 · 4− 4 · 10 = 0z3s2 = 2 · 4− (−3) · 10 = 38z3s3 = (−3) · 4− 2 · 10 = −32z3s4 = 7 · 4− 10 · 10 = −72
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −340 38 −32 −72
Zeile3 = Zeile3 · 39-Zeile2 · 38z3s2 = 38 · 39− 39 · 38 = 0z3s3 = (−32) · 39− (−38) · 38 = 196z3s4 = (−72) · 39− (−34) · 38 = −1, 52 · 103
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −340 0 196 −1, 52 · 103
z = −1,52·103196 = −7 36
49y · 39 + (−38) · −7 36
49 = (−34)y = −8 20
49x · 4 + (−3) · −8 20
49 + 2 · (−7 3649 ) = 10
x = 349
L = { 349/− 8 20
49/− 7 3649}
Aufgabe (4)
2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34
x y z
2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34
Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 9 · 2− 3 · 4 = 6z2s3 = (−1) · 2− (−4) · 4 = 14z2s4 = 58 · 2− 16 · 4 = 52
x y z
2 3 −4 160 6 14 521 6 2 34
Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 1z3s1 = 1 · 2− 2 · 1 = 0z3s2 = 6 · 2− 3 · 1 = 9z3s3 = 2 · 2− (−4) · 1 = 8z3s4 = 34 · 2− 16 · 1 = 52
x y z
2 3 −4 160 6 14 520 9 8 52
Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile2 · 9z3s2 = 9 · 6− 6 · 9 = 0z3s3 = 8 · 6− 14 · 9 = −78z3s4 = 52 · 6− 52 · 9 = −156
x y z
2 3 −4 160 6 14 520 0 −78 −156
z = −156−78 = 2
y · 6 + 14 · 2 = 52y = 4x · 2 + 3 · 4 + (−4) · 2 = 16x = 6L = {6/4/2}
Aufgabe (5)
x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 62y + 6z = 0
x y z
1 2 3 42 3 2 60 2 6 0
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 2z2s1 = 2 · 1− 1 · 2 = 0z2s2 = 3 · 1− 2 · 2 = −1z2s3 = 2 · 1− 3 · 2 = −4z2s4 = 6 · 1− 4 · 2 = −2
x y z
1 2 3 40 −1 −4 −20 2 6 0
Zeile3 = Zeile3 · (−1)-Zeile2 · 2z3s2 = 2 · −1− (−1) · 2 = 0z3s3 = 6 · −1− (−4) · 2 = 2z3s4 = 0 · −1− (−2) · 2 = 4
x y z
1 2 3 40 −1 −4 −20 0 2 4
z = 42 = 2
y · (−1) + (−4) · 2 = (−2)y = −6x · 1 + 2 · −6 + 3 · 2 = 4x = 10L = {10/− 6/2}
Aufgabe (6)
−2x− 8y = 1x+ 4y = − 1
2
8x− 2y − z = 8
x y z
−2 −8 0 11 4 0 − 1
2
8 −2 −1 8
Zeile2 = Zeile2 · (−2)-Zeile1 · 1z2s1 = 1 · −2− (−2) · 1 = 0z2s2 = 4 · −2− (−8) · 1 = 0z2s3 = 0 · −2− 0 · 1 = 0z2s4 = (− 1
2) · −2− 1 · 1 = 0
x y z
−2 −8 0 10 0 0 08 −2 −1 8
Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile1 · 8z3s1 = 8 · −2− (−2) · 8 = 0z3s2 = (−2) · −2− (−8) · 8 = 68z3s3 = (−1) · −2− 0 · 8 = 2z3s4 = 8 · −2− 1 · 8 = −24
x y z
−2 −8 0 10 0 0 00 68 2 −24
Zeilen vertauschen
x y z
−2 −8 0 10 68 2 −240 0 0 0
L = unendlich
Aufgabe (7)
−2x+ 2y + 4z = 04x− 1
2y + 2z = 5
4x− 2y − z = 8
x y z
−2 2 4 04 − 1
22 5
4 −2 −1 8
Zeile2 = Zeile2 · (−2)-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · −2− (−2) · 4 = 0z2s2 = (− 1
2) · −2− 2 · 4 = −7
z2s3 = 2 · −2− 4 · 4 = −20z2s4 = 5 · −2− 0 · 4 = −10
x y z
−2 2 4 00 −7 −20 −104 −2 −1 8
Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile1 · 4z3s1 = 4 · −2− (−2) · 4 = 0z3s2 = (−2) · −2− 2 · 4 = −4z3s3 = (−1) · −2− 4 · 4 = −14z3s4 = 8 · −2− 0 · 4 = −16
x y z
−2 2 4 00 −7 −20 −100 −4 −14 −16
Zeile3 = Zeile3 · (−7)-Zeile2 · (−4)z3s2 = (−4) · −7− (−7) · (−4) = 0z3s3 = (−14) · −7− (−20) · (−4) = 18z3s4 = (−16) · −7− (−10) · (−4) = 72
x y z
−2 2 4 00 −7 −20 −100 0 18 72
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
z = 7218 = 4
y · (−7) + (−20) · 4 = (−10)y = −10x · (−2) + 2 · −10 + 4 · 4 = 0x = −2L = {−2/− 10/4}
Aufgabe (8)
2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34
x y z
2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34
Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 9 · 2− 3 · 4 = 6z2s3 = (−1) · 2− (−4) · 4 = 14z2s4 = 58 · 2− 16 · 4 = 52
x y z
2 3 −4 160 6 14 521 6 2 34
Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 1z3s1 = 1 · 2− 2 · 1 = 0z3s2 = 6 · 2− 3 · 1 = 9z3s3 = 2 · 2− (−4) · 1 = 8z3s4 = 34 · 2− 16 · 1 = 52
x y z
2 3 −4 160 6 14 520 9 8 52
Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile2 · 9z3s2 = 9 · 6− 6 · 9 = 0z3s3 = 8 · 6− 14 · 9 = −78z3s4 = 52 · 6− 52 · 9 = −156
x y z
2 3 −4 160 6 14 520 0 −78 −156
z = −156−78 = 2
y · 6 + 14 · 2 = 52y = 4x · 2 + 3 · 4 + (−4) · 2 = 16x = 6L = {6/4/2}
Aufgabe (9)
4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7
x y z
4 −3 2 105 6 −7 410 −2 −3 7
Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− (−3) · 5 = 39z2s3 = (−7) · 4− 2 · 5 = −38z2s4 = 4 · 4− 10 · 5 = −34
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −3410 −2 −3 7
Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 10z3s1 = 10 · 4− 4 · 10 = 0z3s2 = (−2) · 4− (−3) · 10 = 22z3s3 = (−3) · 4− 2 · 10 = −32z3s4 = 7 · 4− 10 · 10 = −72
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −340 22 −32 −72
Zeile3 = Zeile3 · 39-Zeile2 · 22z3s2 = 22 · 39− 39 · 22 = 0z3s3 = (−32) · 39− (−38) · 22 = −412z3s4 = (−72) · 39− (−34) · 22 = −2, 06 · 103
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −340 0 −412 −2, 06 · 103
z = −2,06·103−412 = 5
y · 39 + (−38) · 5 = (−34)y = 4
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x · 4 + (−3) · 4 + 2 · 5 = 10x = 3L = {3/4/5}
Aufgabe (10)
9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23
x y z
9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23
Zeile2 = Zeile2 · 9-Zeile1 · 6z2s1 = 6 · 9− 9 · 6 = 0z2s2 = 3 · 9− 5 · 6 = −3z2s3 = (−5) · 9− 4 · 6 = −69z2s4 = 17 · 9− 13 · 6 = 75
x y z
9 5 4 130 −3 −69 753 −10 6 23
Zeile3 = Zeile3 · 9-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 9− 9 · 3 = 0z3s2 = (−10) · 9− 5 · 3 = −105z3s3 = 6 · 9− 4 · 3 = 42z3s4 = 23 · 9− 13 · 3 = 168
x y z
9 5 4 130 −3 −69 750 −105 42 168
Zeile3 = Zeile3 · (−3)-Zeile2 · (−105)z3s2 = (−105) · −3− (−3) · (−105) = 0z3s3 = 42 · −3− (−69) · (−105) = −7, 37 · 103z3s4 = 168 · −3− 75 · (−105) = 7, 37 · 103
x y z
9 5 4 130 −3 −69 750 0 −7, 37 · 103 7, 37 · 103
z = 7,37·103−7,37·103 = −1
y · (−3) + (−69) · −1 = 75y = −2x · 9 + 5 · −2 + 4 · (−1) = 13x = 3L = {3/− 2/− 1}
Aufgabe (11)
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2 · 11-Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4
x y z
11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15
Zeile3 = Zeile3 · 11-Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168
Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0
z = 0594 = 0
y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}
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Aufgabe (12)
2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257
x y z
2 3 4 1754 6 5 2873 2 8 257
Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 6 · 2− 3 · 4 = 0z2s3 = 5 · 2− 4 · 4 = −6z2s4 = 287 · 2− 175 · 4 = −126
x y z
2 3 4 1750 0 −6 −1263 2 8 257
Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 2− 2 · 3 = 0z3s2 = 2 · 2− 3 · 3 = −5z3s3 = 8 · 2− 4 · 3 = 4z3s4 = 257 · 2− 175 · 3 = −11
x y z
2 3 4 1750 0 −6 −1260 −5 4 −11
Zeilen vertauschen
x y z
2 3 4 1750 −5 4 −110 0 −6 −126
z = −126−6 = 21
y · (−5) + 4 · 21 = (−11)y = 19x · 2 + 3 · 19 + 4 · 21 = 175x = 17L = {17/19/21}
Aufgabe (13)
6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100
x y z
6 4 9 325 7 10 174 8 5 100
Zeile2 = Zeile2 · 6-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 6− 6 · 5 = 0z2s2 = 7 · 6− 4 · 5 = 22z2s3 = 10 · 6− 9 · 5 = 15z2s4 = 17 · 6− 32 · 5 = −58
x y z
6 4 9 320 22 15 −584 8 5 100
Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile1 · 4z3s1 = 4 · 6− 6 · 4 = 0z3s2 = 8 · 6− 4 · 4 = 32z3s3 = 5 · 6− 9 · 4 = −6z3s4 = 100 · 6− 32 · 4 = 472
x y z
6 4 9 320 22 15 −580 32 −6 472
Zeile3 = Zeile3 · 22-Zeile2 · 32z3s2 = 32 · 22− 22 · 32 = 0z3s3 = (−6) · 22− 15 · 32 = −612z3s4 = 472 · 22− (−58) · 32 = 1, 22 · 104
x y z
6 4 9 320 22 15 −580 0 −612 1, 22 · 104
z = 1,22·104−612 = −20
y · 22 + 15 · −20 = (−58)y = 11x · 6 + 4 · 11 + 9 · (−20) = 32x = 28L = {28/11/− 20}
Aufgabe (14)
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x+ y = 1x+ z = 6y − z = 5
x y z
1 1 0 11 0 1 60 1 −1 5
Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 1z2s1 = 1 · 1− 1 · 1 = 0z2s2 = 0 · 1− 1 · 1 = −1z2s3 = 1 · 1− 0 · 1 = 1z2s4 = 6 · 1− 1 · 1 = 5
x y z
1 1 0 10 −1 1 50 1 −1 5
Zeile3 = Zeile3 · (−1)-Zeile2 · 1z3s2 = 1 · −1− (−1) · 1 = 0z3s3 = (−1) · −1− 1 · 1 = 0z3s4 = 5 · −1− 5 · 1 = −10
x y z
1 1 0 10 −1 1 50 0 0 −10
L = {}
Aufgabe (15)
x− 2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7
x y z
1 −2 3 93 8 9 52 3 6 7
Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 3z2s1 = 3 · 1− 1 · 3 = 0z2s2 = 8 · 1− (−2) · 3 = 14z2s3 = 9 · 1− 3 · 3 = 0z2s4 = 5 · 1− 9 · 3 = −22
x y z
1 −2 3 90 14 0 −222 3 6 7
Zeile3 = Zeile3 · 1-Zeile1 · 2z3s1 = 2 · 1− 1 · 2 = 0z3s2 = 3 · 1− (−2) · 2 = 7z3s3 = 6 · 1− 3 · 2 = 0z3s4 = 7 · 1− 9 · 2 = −11
x y z
1 −2 3 90 14 0 −220 7 0 −11
Zeile3 = Zeile3 · 14-Zeile2 · 7z3s2 = 7 · 14− 14 · 7 = 0z3s3 = 0 · 14− 0 · 7 = 0z3s4 = (−11) · 14− (−22) · 7 = 0
x y z
1 −2 3 90 14 0 −220 0 0 0
L = unendlich
Aufgabe (16)
6x+ 4y + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9
x y z
6 4 5 84 2 3 75 3 4 9
Zeile2 = Zeile2 · 6-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 6− 6 · 4 = 0z2s2 = 2 · 6− 4 · 4 = −4z2s3 = 3 · 6− 5 · 4 = −2z2s4 = 7 · 6− 8 · 4 = 10
x y z
6 4 5 80 −4 −2 105 3 4 9
Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile1 · 5z3s1 = 5 · 6− 6 · 5 = 0z3s2 = 3 · 6− 4 · 5 = −2z3s3 = 4 · 6− 5 · 5 = −1z3s4 = 9 · 6− 8 · 5 = 14
x y z
6 4 5 80 −4 −2 100 −2 −1 14
Zeile3 = Zeile3 · (−4)-Zeile2 · (−2)z3s2 = (−2) · −4− (−4) · (−2) = 0z3s3 = (−1) · −4− (−2) · (−2) = 0z3s4 = 14 · −4− 10 · (−2) = −36
x y z
6 4 5 80 −4 −2 100 0 0 −36
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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen
L = {}
Aufgabe (17)
x+ 3y − 2z = 33x+ 2y + z = 2y + 3z = 5
x y z
1 3 −2 33 2 1 20 1 3 5
Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 3z2s1 = 3 · 1− 1 · 3 = 0z2s2 = 2 · 1− 3 · 3 = −7z2s3 = 1 · 1− (−2) · 3 = 7z2s4 = 2 · 1− 3 · 3 = −7
x y z
1 3 −2 30 −7 7 −70 1 3 5
Zeile3 = Zeile3 · (−7)-Zeile2 · 1z3s2 = 1 · −7− (−7) · 1 = 0z3s3 = 3 · −7− 7 · 1 = −28z3s4 = 5 · −7− (−7) · 1 = −28
x y z
1 3 −2 30 −7 7 −70 0 −28 −28
z = −28−28 = 1
y · (−7) + 7 · 1 = (−7)y = 2x · 1 + 3 · 2 + (−2) · 1 = 3x = −1L = {−1/2/1}
Aufgabe (18)
4x+ 6y + 8z = 05x+ 6y + 67z = 88x+ 87y + 6z = 6
x y z
4 6 8 05 6 67 88 87 6 6
Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− 6 · 5 = −6z2s3 = 67 · 4− 8 · 5 = 228z2s4 = 8 · 4− 0 · 5 = 32
x y z
4 6 8 00 −6 228 328 87 6 6
Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 8z3s1 = 8 · 4− 4 · 8 = 0z3s2 = 87 · 4− 6 · 8 = 300z3s3 = 6 · 4− 8 · 8 = −40z3s4 = 6 · 4− 0 · 8 = 24
x y z
4 6 8 00 −6 228 320 300 −40 24
Zeile3 = Zeile3 · (−6)-Zeile2 · 300z3s2 = 300 · −6− (−6) · 300 = 0z3s3 = (−40) · −6− 228 · 300 = −6, 82 · 104z3s4 = 24 · −6− 32 · 300 = −9, 74 · 103
x y z
4 6 8 00 −6 228 320 0 −6, 82 · 104 −9, 74 · 103
z = −9,74·103−6,82·104 = 0, 143
y · (−6) + 228 · 0, 143 = 32y = 0, 0991x · 4 + 6 · 0, 0991 + 8 · 0, 143 = 0x = −0, 435L = {−0, 435/0, 0991/0, 143}
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