Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik)...

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Lineare Algebra Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de ©Klemens Fersch 31. März 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Matrix 2 1.1 Matrix ........................................................ 5 1.1.1 Aufgaben .................................................. 5 1.1.2 Lösungen .................................................. 6 2 Determinante 8 2.1 Aufgaben ...................................................... 8 2.2 Lösungen ...................................................... 10 2.3 Aufgaben ...................................................... 12 2.4 Lösungen ...................................................... 13 2.5 Determinante .................................................... 16 2.5.1 Aufgaben .................................................. 16 2.5.2 Lösungen .................................................. 17 3 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 19 3.1 Aufgaben ...................................................... 21 3.2 Lösungen ...................................................... 23 3.3 n-Gleichungen .................................................... 34 3.3.1 Aufgaben .................................................. 34 3.3.2 Lösungen .................................................. 35 3.4 Aufgaben ...................................................... 47 3.5 Lösungen ...................................................... 48 1

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Lineare AlgebraAufgaben und Lösungen

http://www.fersch.de

©Klemens Fersch

31. März 2018

Inhaltsverzeichnis1 Matrix 2

1.1 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Determinante 82.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 193.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 n-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1

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Matrix

1 MatrixDefinition

Eine m × n–Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema ausm Zeilen und n Spalten.

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

A = (aik)

aik : Elemente der Matrixi : Zeilenindexk : Spaltenindex• Quadratische MatrixDie Anzahl der Zeilen ist gleich der Anzahl der Spaltenm = n.

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

B =

[a11 a12

a21 a22

]

3× 3Quadratische Matrix

A =

1 2 34 5 67 8 9

a11 = 1 a12 = 2 a13 = 3a21 = 4 a22 = 5 a23 = 6a31 = 7 a32 = 8 a33 = 9

2× 3 Matrix

B =

[1 0 134 5 6

]1× 3 Zeilenmatrix (Zeilenvektor)C =

[1 4 5

]3× 1 Spaltenmatrix (Spaltenvektor)

D =

123

Besondere Matrizen

• Einheitsmatrix

E1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

E2 =

[1 0

0 1

]• Transponierte MatrixVertauschenden von Zeilen- und Spaltenindex.

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

AT =

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

A = (AT )T

symmetrische Matrix 10 4 −24 3 6−2 6 5

obere Dreiecksmatrix 10 4 −2

0 3 60 0 5

untere Dreiecksmatrix 10 0 0

4 3 0−2 6 5

Diagonalmatrix 10 0 0

0 3 00 0 5

Nullmatrix[

0 00 0

]Transponierte Matrix

[1 2 4 5

]T=

1245

[

1 2 42 3 0

]T

=

1 22 34 0

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Matrix

Addition von Matrizen

Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik)

Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beidenMatrizen müssen gleich sein. A+B = aik + bik

• Summe 2× 2 Matrix[a11 a12

a21 a22

]+

[b11 b12

b21 b22

]=[

a11 + b11 a12 + b12

a21 + b21 a22 + b22

]• Summe 3× 3 Matrix a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

+

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 a33

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23

a31 + b31 a32 + b32 a33 + a33

Summe zweier 2× 3 Matrizen[1 7 00 1 2

]+

[1 0 10 1 5

]=

[2 7 10 2 7

]

Multiplikation von Matrizen

• Produkt aus der Matrix A = (aik) mit einer Konstantenλ ∈ R:λA = λaik

2× 2 Matrix

λ

[a11 a12

a21 a22

]=

[λa11 λa12

λa12 λa22

]

• Produkt aus Matrix A = (aij) und Matrix B = (bjk)

Anzahl der Zeilen von A muß gleich der Anzahl derSpalten von B sein.Zeilenelemente von A mal Spaltenelemente von B.• Produkt zweier 2× 2 Matrizen[

a11 a12

a21 a22

[b11 b12

b21 b22

]=[

a11 · b11 + a12 · b21 a11 · b12 + a12 · b22a21 · b11 + a22 · b21 a21 · b21 + a22 · b22

]

Produkt 2× 3 Matrix mit 3

3 ·[

1 0 50 4 2

]=

[3 0 150 12 6

]Produkt 2× 3 Matrix mit einer 3× 2 Matrix[

3 4 −12 −7 6

] 1−23

=[3 · 1 + 4 · (−2) + 1 · 3

2 · 2 + (−7) · (−2) + 6 · 3

]=

[−834

]

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Matrix

Inverse Matrix

•Produkt aus der Matrix A und der inversen Matrix A−1

ist gleich der Einheitsmatrix.AA−1 = E

A =

[a11 a12

a21 a22

]A−1 =

[x11 x12

x21 x22

][

a11 a12

a21 a22

][x11 x12

x21 x22

]=

[1 0

0 1

]•Die inverse Matrix ist nur möglich, wenn die Determi-nante von A ungleich Null ist.detA ̸= 0

• Berechnung von A−1 mit dem Gauß-Jordan-AlgorithmusMatrix A und Einheitsmatrix E in der Form schreiben

A E

a11 a12 1 0

a21 a22 0 1

Umformen durch:- Multiplizieren oder Dividieren der Zeilen mit einer Zahl- Addieren oder Subtrahieren der Zeilen- Vertauschen der Zeilenin die Form Einheitsmatrix und inverse Matrix A−1

E A−1

1 0 x11 x12

0 1 x21 x22

A =

[2 34 1

]det(A) = (−10) ⇒ Matrix ist invertierbar

A−1 =

[2 34 1

]−1

[2 34 1

] [1 00 1

]Zeile2 = Zeile2 - Zeile1 · 4

2a21 = 4 − 2 · 4

2= 0

a22 = 1 − 3 · 42

= −5

b21 = 0 − 1 · 42

= 0

b22 = 1 − 0 · 42

= 1[2 30 −5

] [1 0−2 1

]Zeile1 = Zeile1 - Zeile2 · 3

−5a12 = 3 − (−5) · 3

−5= 0

b11 = 1 − (−2) · 3−5

= 1

b12 = 0 − 1 · 3−5

= 0[2 00 −5

] [− 1

535

−2 1

]Zeile1 = Zeile1 : 2Zeile2 = Zeile2 : −5

A−1 =

[− 1

10310

25

− 15

]A =

1 2 −12 5 −11 2 0

A E

1 2 −1 1 0 02 5 −1 0 1 01 2 0 0 0 1

E E′ = A−1

1 0 0 2 −2 30 1 0 −1 1 −10 0 1 −1 0 1

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Matrix Matrix

Eigenwert und Eigenvektor

Gegegeben: A - MatrixGesucht: x - Eigenvektor (Spaltenvektor)λ - EigenwertDas Produkt aus Matrix A und Eigenvektor x ist gleichdem Produkt aus Eigenwert λ und Eigenvektor x.Ax = λx[

a11 a12

a21 a22

][x11

x21

]= λ

[x11

x21

]

•Eigenwert aus folgender Gleichung:det(A− λ · E) = 0

A =

[a11 a12

a21 a22

]∣∣∣∣∣[

a11 a12

a21 a22

]−

[λ 0

0 λ

]∣∣∣∣∣ = 0∣∣∣∣∣[

a11 − λ a12

a21 a22 − λ

]∣∣∣∣∣ = 0

(a11 − λ)(a22 − λ)− a12a21 = 0

charakteristisches Polynomλ2 − (a11 + a22) · λ+ a11 · a22 − a21 · a12 = 0

•Eigenvektoren durch einsetzen der λ-Werte(A− λE)x = 0[

a11 − λ a12

a21 a22 − λ

][x1

x2

]= 0

a11 · x1 + a12 · x2 = λ · x1

a21 · x1 + a22 · x2 = λ · x2

A =

7 2 0−2 6 −20 −2 5

det(A− λ · E) = 0 7− λ 2 0

−2 6− λ −20 −2 5− λ

= 0

1.1 Matrix1.1.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:

Matrix A Matrix Ba11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

......

...bm1 bm2 . . . bmn

(1) Invertieren(2) Addieren

(3) Mutliplizierenkeine Aufgaben

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Matrix Matrix

1.1.2 LösungenAufgabe (1)

A =

[3 56 7

]det(A) = (−9) ⇒ Matrix ist invertierbar

Matrix invertieren[3 56 7

] [1 00 1

]Zeile2 = Zeile2 - Zeile1 · 6

3a21 = 6 − 3 · 6

3= 0

a22 = 7 − 5 · 63

= −3

b21 = 0 − 1 · 63

= 0

b22 = 1 − 0 · 63

= 1[3 50 −3

] [1 0−2 1

]Zeile1 = Zeile1 - Zeile2 · 5

−3a12 = 5 − (−3) · 5

−3= 0

b11 = 1 − (−2) · 5−3

= 1

b12 = 0 − 1 · 5−3

= 0[3 00 −3

] [−2 1

31 23

−2 1

]Zeile1 = Zeile1 : 3Zeile2 = Zeile2 : −3

A−1 =

[− 7

959

23

− 13

]

Aufgabe (2)

[1 2 34 5 67 8 9

]+

[1 2 34 5 67 8 9

]=[

1 + 1 2 + 2 3 + 34 + 4 5 + 5 6 + 67 + 7 8 + 8 9 + 9

]=[

2 4 68 10 1214 16 18

]

Aufgabe (3)

A =

[3 56 7

]det(A) = (−9) ⇒ Matrix ist invertierbar

Matrix invertieren[3 56 7

] [1 00 1

]Zeile2 = Zeile2 - Zeile1 · 6

3a21 = 6 − 3 · 6

3= 0

a22 = 7 − 5 · 63

= −3

b21 = 0 − 1 · 63

= 0

b22 = 1 − 0 · 63

= 1[3 50 −3

] [1 0−2 1

]Zeile1 = Zeile1 - Zeile2 · 5

−3a12 = 5 − (−3) · 5

−3= 0

b11 = 1 − (−2) · 5−3

= 1

b12 = 0 − 1 · 5−3

= 0[3 00 −3

] [−2 1

31 23

−2 1

]Zeile1 = Zeile1 : 3Zeile2 = Zeile2 : −3

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Matrix Matrix

A−1 =

[− 7

959

23

− 13

]

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Determinante

2 DeterminanteDefiniton

Aus quadratischen Matrix kann eine Determinante (Zah-lenwert) berechnet werden.D=detA = |A|Anwendung der Determinante:- Lineare Gleichungssysteme- Volumenberechnung im R3- Flächenberechnungen im R2- Spatprodukt- Lineare Abhängigkeit von Vektoren - inverse Matrix

2-reihige Determinante

Determinante einer 2× 2 Matrix

D = detA = |A| =

∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11 a22 − a12 a21

D = detA = |A| =∣∣∣∣ 3 −24 5

∣∣∣∣ = 3 · 5− (−2) · 4 = 23

3-reihige Determinante

Determinante einer 3× 3 MatrixMethode 1

D = detA = |A| =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ =a11 ·

∣∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣− a12 ·

∣∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ a13 ·

∣∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣= a11(a22 · a33 − a23 · a32)− a12(a21 · a33 − a23 · a31) +a13(a21 · a32 − a22 · a31)

Methode 2 (Regel von Sarrus)

D=a1 b1 c1 a1 b1

a2 b2 c2 a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3

+ + +

- - -

~ ~ ~~ ~ ~= = =

= = =

D = a1 · b2 · c3 + b1 · c2 · a3 + c1 · a2 · b3− c1 · b2 · a3− a1 · c2 · b3− b1 · a2 · c3

D = detA = |A| =

∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

D = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3−4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54

D3 =

∣∣∣∣∣∣11 12 913 14 34 5 3

∣∣∣∣∣∣ =11 ·

∣∣∣∣ 14 35 3

∣∣∣∣− 13 ·∣∣∣∣ 12 9

5 3

∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 12 914 3

∣∣∣∣ = 54

D2 =

∣∣∣∣ 12 914 3

∣∣∣∣ = 12 · 3− 14 · 9 = −90

D2 =

∣∣∣∣ 12 95 3

∣∣∣∣ = 12 · 3− 5 · 9 = −9

D2 =

∣∣∣∣ 14 35 3

∣∣∣∣ = 14 · 3− 5 · 3 = 27

D3 = 11 · 27− 13 · (−9) + 4 · (−90) = 54det(D) = 54

2.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben: D =

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣Gesucht:Wert der Determinante D

(1) D =

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣(2) D =

∣∣∣∣ − 12 02 3

∣∣∣∣(3) D =

∣∣∣∣ − 12 26 0

∣∣∣∣(4) D =

∣∣∣∣ −2 −80 −3

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Determinante Aufgaben

(5) D =

∣∣∣∣ 14 0−2 −1

∣∣∣∣(6) D =

∣∣∣∣ 14 −1−2 4

∣∣∣∣(7) D =

∣∣∣∣ 12

15

2 5

∣∣∣∣(8) D =

∣∣∣∣ 2 40 1

∣∣∣∣(9) D =

∣∣∣∣ − 12 25 4

∣∣∣∣(10) D =

∣∣∣∣ −2 34 − 1

3

∣∣∣∣(11) D =

∣∣∣∣ 12 6−2 4

5

∣∣∣∣(12) D =

∣∣∣∣ − 13

25

5 0

∣∣∣∣(13) D =

∣∣∣∣ −3 23

12

23

∣∣∣∣(14) D =

∣∣∣∣ 1 69 3

∣∣∣∣

(15) D =

∣∣∣∣ 7 51 1

∣∣∣∣(16) D =

∣∣∣∣ 8 52 4

∣∣∣∣(17) D =

∣∣∣∣ 712 4 3

419

67

∣∣∣∣(18) D =

∣∣∣∣ 5 13 1 3

523

1117

∣∣∣∣(19) D =

∣∣∣∣ 15

12

1 114

1117

∣∣∣∣(20) D =

∣∣∣∣ 3 56 7

∣∣∣∣(21) D =

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣(22) D =

∣∣∣∣ 4 67 8

∣∣∣∣(23) D =

∣∣∣∣ 3 −24 5

∣∣∣∣

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Determinante Lösungen

2.2 LösungenAufgabe (1)

D =

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 3 = (−2)

Aufgabe (2)

D =

∣∣∣∣ − 12 02 3

∣∣∣∣ = (− 1

2

)· 3− 0 · 2 =

(−1 1

2

)

Aufgabe (3)

D =

∣∣∣∣ − 12 26 0

∣∣∣∣ = (− 1

2

)· 0− 2 · 6 = (−12)

Aufgabe (4)

D =

∣∣∣∣ −2 −80 −3

∣∣∣∣ = (−2) · (−3)− (−8) · 0 = 6

Aufgabe (5)

D =

∣∣∣∣ 14 0−2 −1

∣∣∣∣ = 14 · (−1)− 0 · (−2) =

(− 1

4

)

Aufgabe (6)

D =

∣∣∣∣ 14 −1−2 4

∣∣∣∣ = 14 · 4− (−1) · (−2) = (−1)

Aufgabe (7)

D =

∣∣∣∣ 12

15

2 5

∣∣∣∣ = 12 · 5− 1

5 · 2 = 2 110

Aufgabe (8)

D =

∣∣∣∣ 2 40 1

∣∣∣∣ = 2 · 1− 4 · 0 = 2

Aufgabe (9)

D =

∣∣∣∣ − 12 25 4

∣∣∣∣ = (− 1

2

)· 4− 2 · 5 = (−12)

Aufgabe (10)

D =

∣∣∣∣ −2 34 − 1

3

∣∣∣∣ = (−2) ·(− 1

3

)− 3 · 4 =

(−11 1

3

)

Aufgabe (11)

D =

∣∣∣∣ 12 6−2 4

5

∣∣∣∣ = 12 · 4

5 − 6 · (−2) = 12 25

Aufgabe (12)

D =

∣∣∣∣ − 13

25

5 0

∣∣∣∣ = (− 1

3

)· 0− 2

5 · 5 = (−2)

Aufgabe (13)

D =

∣∣∣∣ −3 23

12

23

∣∣∣∣ = (−3) · 23 − 2

3 · 12 =

(−2 1

3

)

Aufgabe (14)

D =

∣∣∣∣ 1 69 3

∣∣∣∣ = 1 · 3− 6 · 9 = (−51)

Aufgabe (15)

D =

∣∣∣∣ 7 51 1

∣∣∣∣ = 7 · 1− 5 · 1 = 2

Aufgabe (16)

D =

∣∣∣∣ 8 52 4

∣∣∣∣ = 8 · 4− 5 · 2 = 22

Aufgabe (17)

D =

∣∣∣∣ 712 4 3

419

67

∣∣∣∣ = 712 · 6

7 − 4 34 · 1

9 =(− 1

36

)

Aufgabe (18)

D =

∣∣∣∣ 5 13 1 3

523

1117

∣∣∣∣ = 5 13 · 11

17 − 1 35 · 2

3 = 2, 38

Aufgabe (19)

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Determinante Lösungen

D =

∣∣∣∣ 15

12

1 114

1117

∣∣∣∣ = 15 · 11

17 − 12 · 1 1

14 = (−0, 406)

Aufgabe (20)

D =

∣∣∣∣ 3 56 7

∣∣∣∣ = 3 · 7− 5 · 6 = (−9)

Aufgabe (21)

D =

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ = 3 · 6− 4 · 5 = (−2)

Aufgabe (22)

D =

∣∣∣∣ 4 67 8

∣∣∣∣ = 4 · 8− 6 · 7 = (−10)

Aufgabe (23)

D =

∣∣∣∣ 3 −24 5

∣∣∣∣ = 3 · 5− (−2) · 4 = 23

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Determinante Aufgaben

2.3 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung

Gegeben: D =

∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣Gesucht:Wert der Determinante D

(1) D =

∣∣∣∣∣∣1 −2 3−4 5 67 8 −9

∣∣∣∣∣∣(2) D =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣(3) D =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 2 32 6 0

∣∣∣∣∣∣(4) D =

∣∣∣∣∣∣−2 −8 0−3 1

4 0−2 −1 8

∣∣∣∣∣∣(5) D =

∣∣∣∣∣∣14 −1 −24 7 1

215 2 5

∣∣∣∣∣∣(6) D =

∣∣∣∣∣∣14 2 40 4 − 1

22 5 4

∣∣∣∣∣∣(7) D =

∣∣∣∣∣∣−2 3 4− 1

312 6

−2 4 45

∣∣∣∣∣∣(8) D =

∣∣∣∣∣∣6 5 66 3 36 6 2

∣∣∣∣∣∣

(9) D =

∣∣∣∣∣∣1 9 44 8 26 3 1

∣∣∣∣∣∣(10) D =

∣∣∣∣∣∣1 2 68 3 94 8 1

∣∣∣∣∣∣(11) D =

∣∣∣∣∣∣1415 2 4

5 11 613 1 1

2 191 38

516

111

∣∣∣∣∣∣(12) D =

∣∣∣∣∣∣117 14 1

41 217

13 6 1

223

811

817

∣∣∣∣∣∣(13) D =

∣∣∣∣∣∣1 45

913 3 3

425 1 5

14 558

12 1

∣∣∣∣∣∣(14) D =

∣∣∣∣∣∣2 4 00 0 50 4 5

∣∣∣∣∣∣(15) D =

∣∣∣∣∣∣2 4 00 5 00 0 6

∣∣∣∣∣∣(16) D =

∣∣∣∣∣∣4 6 00 7 80 0 7

∣∣∣∣∣∣

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Determinante Lösungen

2.4 LösungenAufgabe (1)

D =

∣∣∣∣∣∣1 −2 3−4 5 67 8 −9

∣∣∣∣∣∣1 −2−4 57 8

D = 1 · 5 · (−9) + (−2) · 6 · 7 + 3 · (−4) · 8− 3 · 5 · 7− 1 · 6 · 8− (−2) · (−4) · (−9) = −306

Aufgabe (2)

D =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣1 24 57 8

D = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8− 3 · 5 · 7− 1 · 6 · 8− 2 · 4 · 9 = 0

Aufgabe (3)

D =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 2 32 6 0

∣∣∣∣∣∣1 24 22 6

D = 1 · 2 · 0 + 2 · 3 · 2 + 3 · 4 · 6− 3 · 2 · 2− 1 · 3 · 6− 2 · 4 · 0 = 54

Aufgabe (4)

D =

∣∣∣∣∣∣−2 −8 0−3 1

4 0−2 −1 8

∣∣∣∣∣∣−2 −8−3 1

4−2 −1

D = (−2) · 14 · 8 + (−8) · 0 · (−2) + 0 · (−3) · (−1)

− 0 · 14 · (−2)− (−2) · 0 · (−1)− (−8) · (−3) · 8 = −196

Aufgabe (5)

D =

∣∣∣∣∣∣14 −1 −24 7 1

215 2 5

∣∣∣∣∣∣14 −14 715 2

D = 14 · 7 · 5 + (−1) · 1

2 · 15 + (−2) · 4 · 2

− (−2) · 7 · 15 − 1

4 · 12 · 2− (−1) · 4 · 5 = 15 1

5

Aufgabe (6)

D =

∣∣∣∣∣∣14 2 40 4 − 1

22 5 4

∣∣∣∣∣∣14 20 42 5

D = 14 · 4 · 4 + 2 ·

(− 1

2

)· 2 + 4 · 0 · 5

− 4 · 4 · 2− 14 ·

(− 1

2

)· 5− 2 · 0 · 4 = −29 3

8

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Determinante Lösungen

Aufgabe (7)

D =

∣∣∣∣∣∣−2 3 4− 1

312 6

−2 4 45

∣∣∣∣∣∣−2 3− 1

312

−2 4

D = (−2) · 12 · 4

5 + 3 · 6 · (−2) + 4 ·(− 1

3

)· 4

− 4 · 12 · (−2)− (−2) · 6 · 4− 3 ·

(− 1

3

)· 45 = 10 2

3

Aufgabe (8)

D =

∣∣∣∣∣∣6 5 66 3 36 6 2

∣∣∣∣∣∣6 56 36 6

D = 6 · 3 · 2 + 5 · 3 · 6 + 6 · 6 · 6− 6 · 3 · 6− 6 · 3 · 6− 5 · 6 · 2 = 66

Aufgabe (9)

D =

∣∣∣∣∣∣1 9 44 8 26 3 1

∣∣∣∣∣∣1 94 86 3

D = 1 · 8 · 1 + 9 · 2 · 6 + 4 · 4 · 3− 4 · 8 · 6− 1 · 2 · 3− 9 · 4 · 1 = −70

Aufgabe (10)

D =

∣∣∣∣∣∣1 2 68 3 94 8 1

∣∣∣∣∣∣1 28 34 8

D = 1 · 3 · 1 + 2 · 9 · 4 + 6 · 8 · 8− 6 · 3 · 4− 1 · 9 · 8− 2 · 8 · 1 = 299

Aufgabe (11)

D =

∣∣∣∣∣∣1415 2 4

5 11 613 1 1

2 191 38

516

111

∣∣∣∣∣∣1415 2 4

51 613 1 1

21 38

516

D = 1415 · 1 1

2 · 111 + 2 4

5 · 19 · 1 38 + 1 · 1 6

13 · 516

− 1 · 1 12 · 1 3

8 − 1415 · 19 · 5

16 − 2 45 · 1 6

13 · 111 = 65, 8

Aufgabe (12)

D =

∣∣∣∣∣∣117 14 1

41 217

13 6 1

223

811

817

∣∣∣∣∣∣117 141 217

13

23

811

D = 117 · 1

3 · 817 + 14 · 6 1

2 · 23 + 1

4 · 1 217 · 8

11− 1

4 · 13 · 2

3 − 117 · 6 1

2 · 811 − 14 · 1 2

17 · 817 = 53, 2

Aufgabe (13)

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Determinante Lösungen

D =

∣∣∣∣∣∣1 45

913 3 3

425 1 5

14 558

12 1

∣∣∣∣∣∣1 45

913

25 1 5

1458

12

D = 1 45 · 1 5

14 · 1 + 913 · 5 · 5

8 + 3 34 · 2

5 · 12

− 3 34 · 1 5

14 · 58 − 1 4

5 · 5 · 12 − 9

13 · 25 · 1 = −2, 6

Aufgabe (14)

D =

∣∣∣∣∣∣2 4 00 0 50 4 5

∣∣∣∣∣∣2 40 00 4

D = 2 · 0 · 5 + 4 · 5 · 0 + 0 · 0 · 4− 0 · 0 · 0− 2 · 5 · 4− 4 · 0 · 5 = −40

Aufgabe (15)

D =

∣∣∣∣∣∣2 4 00 5 00 0 6

∣∣∣∣∣∣2 40 50 0

D = 2 · 5 · 6 + 4 · 0 · 0 + 0 · 0 · 0− 0 · 5 · 0− 2 · 0 · 0− 4 · 0 · 6 = 60

Aufgabe (16)

D =

∣∣∣∣∣∣4 6 00 7 80 0 7

∣∣∣∣∣∣4 60 70 0

D = 4 · 7 · 7 + 6 · 8 · 0 + 0 · 0 · 0− 0 · 7 · 0− 4 · 8 · 0− 6 · 0 · 7 = 196

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Determinante Determinante

2.5 Determinante2.5.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Determinante von der quadratischen Matrix:∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(1) a(2) b

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Determinante Determinante

2.5.2 LösungenAufgabe (1)

D4 =

∣∣∣∣∣∣∣1 −2 6 −12 0 3 20 3 2 05 4 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·

∣∣∣∣∣ 0 3 23 2 04 1 1

∣∣∣∣∣− 2 ·

∣∣∣∣∣ −2 6 −13 2 04 1 1

∣∣∣∣∣− 5 ·

∣∣∣∣∣ −2 6 −10 3 23 2 0

∣∣∣∣∣ = −250

D3 =

∣∣∣∣∣ −2 6 −10 3 23 2 0

∣∣∣∣∣ = (−2) ·∣∣∣∣ 3 22 0

∣∣∣∣+ 3 ·∣∣∣∣ 6 −13 2

∣∣∣∣ = 53

D2 =

∣∣∣∣ 6 −13 2

∣∣∣∣ = 6 · 2− 3 · (−1) = 15

D2 =

∣∣∣∣ 3 22 0

∣∣∣∣ = 3 · 0− 2 · 2 = −4

D3 =

∣∣∣∣∣ −2 6 −13 2 04 1 1

∣∣∣∣∣ = (−2) ·∣∣∣∣ 2 01 1

∣∣∣∣− 3 ·∣∣∣∣ 6 −11 1

∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 6 −12 0

∣∣∣∣ = −17

D2 =

∣∣∣∣ 6 −12 0

∣∣∣∣ = 6 · 0− 2 · (−1) = 2

D2 =

∣∣∣∣ 6 −11 1

∣∣∣∣ = 6 · 1− 1 · (−1) = 7

D2 =

∣∣∣∣ 2 01 1

∣∣∣∣ = 2 · 1− 1 · 0 = 2

D3 =

∣∣∣∣∣ 0 3 23 2 04 1 1

∣∣∣∣∣ = −3 ·∣∣∣∣ 3 21 1

∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 3 22 0

∣∣∣∣ = −19

D2 =

∣∣∣∣ 3 22 0

∣∣∣∣ = 3 · 0− 2 · 2 = −4

D2 =

∣∣∣∣ 3 21 1

∣∣∣∣ = 3 · 1− 1 · 2 = 1

det(D) = (−250)

Aufgabe (2)

D4 =

∣∣∣∣∣∣∣−4 −2 5 13 3 3 212 −2 3 45 4 −4 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (−4) ·

∣∣∣∣∣ 3 3 2−2 3 44 −4 1

∣∣∣∣∣− 3 ·

∣∣∣∣∣ −2 5 1−2 3 44 −4 1

∣∣∣∣∣+ 12 ·

∣∣∣∣∣ −2 5 13 3 24 −4 1

∣∣∣∣∣− 5 ·

∣∣∣∣∣ −2 5 13 3 2−2 3 4

∣∣∣∣∣ = −423

D3 =

∣∣∣∣∣ −2 5 13 3 2−2 3 4

∣∣∣∣∣ = (−2) ·∣∣∣∣ 3 23 4

∣∣∣∣− 3 ·∣∣∣∣ 5 13 4

∣∣∣∣+ (−2) ·∣∣∣∣ 5 13 2

∣∣∣∣ = −77

D2 =

∣∣∣∣ 5 13 2

∣∣∣∣ = 5 · 2− 3 · 1 = 7

D2 =

∣∣∣∣ 5 13 4

∣∣∣∣ = 5 · 4− 3 · 1 = 17

D2 =

∣∣∣∣ 3 23 4

∣∣∣∣ = 3 · 4− 3 · 2 = 6

D3 =

∣∣∣∣∣ −2 5 13 3 24 −4 1

∣∣∣∣∣ = (−2) ·∣∣∣∣ 3 2−4 1

∣∣∣∣− 3 ·∣∣∣∣ 5 1−4 1

∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 5 13 2

∣∣∣∣ = −21

D2 =

∣∣∣∣ 5 13 2

∣∣∣∣ = 5 · 2− 3 · 1 = 7

D2 =

∣∣∣∣ 5 1−4 1

∣∣∣∣ = 5 · 1− (−4) · 1 = 9

D2 =

∣∣∣∣ 3 2−4 1

∣∣∣∣ = 3 · 1− (−4) · 2 = 11

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Determinante Determinante

D3 =

∣∣∣∣∣ −2 5 1−2 3 44 −4 1

∣∣∣∣∣ = (−2) ·∣∣∣∣ 3 4−4 1

∣∣∣∣− (−2) ·∣∣∣∣ 5 1−4 1

∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 5 13 4

∣∣∣∣ = 48

D2 =

∣∣∣∣ 5 13 4

∣∣∣∣ = 5 · 4− 3 · 1 = 17

D2 =

∣∣∣∣ 5 1−4 1

∣∣∣∣ = 5 · 1− (−4) · 1 = 9

D2 =

∣∣∣∣ 3 4−4 1

∣∣∣∣ = 3 · 1− (−4) · 4 = 19

D3 =

∣∣∣∣∣ 3 3 2−2 3 44 −4 1

∣∣∣∣∣ = 3 ·∣∣∣∣ 3 4−4 1

∣∣∣∣− (−2) ·∣∣∣∣ 3 2−4 1

∣∣∣∣+ 4 ·∣∣∣∣ 3 23 4

∣∣∣∣ = 103

D2 =

∣∣∣∣ 3 23 4

∣∣∣∣ = 3 · 4− 3 · 2 = 6

D2 =

∣∣∣∣ 3 2−4 1

∣∣∣∣ = 3 · 1− (−4) · 2 = 11

D2 =

∣∣∣∣ 3 4−4 1

∣∣∣∣ = 3 · 1− (−4) · 4 = 19

det(D) = (−423)

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus

3 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-AlgorithmusLineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise

Ax = b x = A−1bA Koeffizientenmatrixb Spaltenvektor der rechten Seitex Lösungsvektora11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

x1

x2

...xn

=

b1

b2...bn

Inhomogenes Gleichungssystema11 · x1 + a12 · x2 + · · ·+ a1n · xn = b1a21 · x1 + a22 · x2 + · · ·+ a2n · xn = b2...am1 · x1 + am2 · x2 + · · ·+ amn · xn = bmHomogenes Gleichungssystema11 · x1 + a12 · x2 + · · ·+ a1n · xn = 0

a21 · x1 + a22 · x2 + · · ·+ a2n · xn = 0...am1 · x1 + am2 · x2 + · · ·+ amn · xn = 0

Variablen:x1,x2,x3

a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 = b1a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 = b2a31 · x1 + a32 · x2 + a33 · x3 = bmoder in der Schreibweise mit den Variablen:x, y, za1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1

a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2

a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Erweiterte Koeffizientenmatrixx y z

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

Ax = b

A =

11 13 412 14 59 3 3

b =

374015

x =

x1

x2

x3

11 13 4

12 14 59 3 3

·

x1

x2

x3

=

374015

11x1 + 13x2 + 4x3 = 3712x1 + 14x2 + 5x3 = 409x1 + 3x2 + 3x3 = 15

oder11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus

Gaußsches Eliminationsverfahren

a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1

a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2

a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Koeffizientenmatrix erstellen:x y z

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

x y z

Zeile1Spalte1 z1s2 z1s3 z1s4

z2s1 z2s2 z2s3 z2s4

z3s1 z3s2 z3s3 z3s4

Die Lösungsmenge ändert sich nicht durch:• Multiplizieren oder Dividieren der Zeilen mit einer Zahl• Addieren oder Subtrahieren der Zeilen• Vertauschen der Zeilen

Umformen in die Stufenform• Eindeutige Lösung

x y z

Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4

0 z2s2 z2s3 z2s4

0 0 z3s3 z3s4

Rückwärtseinsetzenz = z3s3

z3s4

z in die 2. Zeile einsetzen ⇒ yz und y in die 1. Zeile einsetzen ⇒ x

• Keine Lösungx y z

Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4

0 z2s2 z2s3 z2s4

0 0 0 z3s4

• Unendlich viele Lösungenx y z

Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4

0 z2s2 z2s3 z2s4

0 0 0 0

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2 · 11− Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4

x y z

11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15

Zeile3 = Zeile3 · 11− Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168

Zeile3 = Zeile3 · (−2)− Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0

z = 0594

= 0y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}

www.fersch.de 20

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Aufgaben

Gauß-Jordan-Algorithmus

a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1

a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2

a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Koeffizientenmatrix erstellen:x y z

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

x y z

Zeile1Spalte1 z1s2 z1s3 z1s4

z2s1 z2s2 z2s3 z2s4

z3s1 z3s2 z3s3 z3s4

Die Lösungsmenge ändert sich nicht durch:• Multiplizieren oder Dividieren der Zeilen mit einer Zahl• Addieren oder Subtrahieren der Zeilen• Vertauschen der Zeilen

Ziel ist das Umformen in die Diagonalenform• Eindeutige Lösung

x y z

z1s1 0 0 z1s4

0 z2s3 0 z2s4

0 0 z3s3 z3s4

x = z1s4z1s1

y = z2s4z2s3

z = z3s3z3s4

• Keine Lösungx y z

z1s1 0 0 z1s4

0 z2s3 0 z2s4

0 0 0 z3s4

• Unendlich viele Lösungenx y z

z1s1 0 0 z1s4

0 z2s3 0 z2s4

0 0 0 0

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2− Zeile1 · 1211

z2s1 = 12− 11 · 1211

= 0z2s2 = 14− 13 · 12

11= − 2

11

z2s3 = 5− 4 · 1211

= 711

z2s4 = 40− 37 · 1211

= − 411

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

9 3 3 15

Zeile3 = Zeile3− Zeile1 · 911

z3s1 = 9− 11 · 911

= 0z3s2 = 3− 13 · 9

11= −7 7

11

z3s3 = 3− 4 · 911

= − 311

z3s4 = 15− 37 · 911

= −15 311

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile1 = Zeile1− Zeile2 · 13

− 211

z1s2 = 13− (− 211) · 13

− 211

= 0

z1s3 = 4− 711

· 13

− 211

= 49 12

z1s4 = 37− (− 411) · 13

− 211

= 11

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile3 = Zeile3− Zeile2 · −7 711

− 211

z3s2 = −7 711

− (− 211) · −7 7

11

− 211

= 0

z3s3 = − 311

− 711

· −7 711

− 211

= −27

z3s4 = −15 311

− (− 411) · −7 7

11

− 211

= 0

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile1 = Zeile1− Zeile3 · 49 12

−27

z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1

2−27

= 0

z1s4 = 11− 0 · 49 12

−27= 11

x y z

11 0 0 110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile2 = Zeile2− Zeile3 ·711

−27

z2s3 = 711

− (−27) ·711

−27= 0

z2s4 = − 411

− 0 ·711

−27= − 4

11

x y z

11 0 0 110 − 2

110 − 4

11

0 0 −27 0

x = 1111

= 1

y =− 4

11

− 211

= 2

z = 0−27

= 0

L = {1/2/0}

3.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Gesucht:x,y,z

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Aufgaben

(1)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(2)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(3)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7

(4)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(5)1x+ 2 + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0

(6)−2x− 8 + 0z = 11x+ 4y + 0z = − 1

28x− 2y +−1z = 8

(7)−2x+ 2 + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8

(8)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(9)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7

(10)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(11)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(12)2x+ 3 + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

(13)6x+ 4 + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

(14)1x+ 1 + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5

(15)1x− 2 + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

(16)1x+ 3 +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

3.2 LösungenAufgabe (1)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1211

z2s1 = 12− 11 · 1211

= 0z2s2 = 14− 13 · 12

11= − 2

11

z2s3 = 5− 4 · 1211

= 711

z2s4 = 40− 37 · 1211

= − 411

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

9 3 3 15

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 911

z3s1 = 9− 11 · 911

= 0z3s2 = 3− 13 · 9

11= −7 7

11

z3s3 = 3− 4 · 911

= − 311

z3s4 = 15− 37 · 911

= −15 311

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 13

− 211

z1s2 = 13− (− 211) · 13

− 211

= 0

z1s3 = 4− 711

· 13

− 211

= 49 12

z1s4 = 37− (− 411) · 13

− 211

= 11

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −7 711

− 211

z3s2 = −7 711

− (− 211) · −7 7

11

− 211

= 0

z3s3 = − 311

− 711

· −7 711

− 211

= −27

z3s4 = −15 311

− (− 411) · −7 7

11

− 211

= 0

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 49 12

−27

z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1

2−27

= 0

z1s4 = 11− 0 · 49 12

−27= 11

x y z

11 0 0 110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·711

−27

z2s3 = 711

− (−27) ·711

−27= 0

z2s4 = − 411

− 0 ·711

−27= − 4

11

x y z

11 0 0 110 − 2

110 − 4

11

0 0 −27 0

x = 1111 = 1

y =− 4

11

− 211

= 2

z = 0−27 = 0

L = {1/2/0}

Aufgabe (2)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

x y z

9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 69

z2s1 = 6− 9 · 69= 0

z2s2 = 3− 5 · 69= − 1

3

z2s3 = −5− 4 · 69= −7 2

3

z2s4 = 17− 13 · 69= 8 1

3

x y z

9 5 4 130 − 1

3−7 2

38 13

3 −10 6 23

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 39

z3s1 = 3− 9 · 39= 0

z3s2 = −10− 5 · 39= −11 2

3

z3s3 = 6− 4 · 39= 4 2

3

z3s4 = 23− 13 · 39= 18 2

3

x y z

9 5 4 130 − 1

3−7 2

38 13

0 −11 23

4 23

18 23

www.fersch.de 23

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 5

− 13

z1s2 = 5− (− 13) · 5

− 13

= 0

z1s3 = 4− (−7 23) · 5

− 13

= −111

z1s4 = 13− 8 13· 5

− 13

= 138

x y z

9 0 −111 1380 − 1

3−7 2

38 13

0 −11 23

4 23

18 23

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −11 23

− 13

z3s2 = −11 23− (− 1

3) · −11 2

3

− 13

= 0

z3s3 = 4 23− (−7 2

3) · −11 2

3

− 13

= 273

z3s4 = 18 23− 8 1

3· −11 2

3

− 13

= −273

x y z

9 0 −111 1380 − 1

3−7 2

38 13

0 0 273 −273

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −111273

z1s3 = −111− 273 · −111273

= 0z1s4 = 138− (−273) · −111

273= 27

x y z

9 0 0 270 − 1

3−7 2

38 13

0 0 273 −273

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 23

273

z2s3 = −7 23− 273 · −7 2

3273

= 0

z2s4 = 8 13− (−273) · −7 2

3273

= 23

x y z

9 0 0 270 − 1

30 2

3

0 0 273 −273

x = 279 = 3

y =23

− 13

= −2

z = −273273 = −1

L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (3)

4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7

x y z

4 −3 2 105 6 −7 410 2 −3 7

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54

z2s1 = 5− 4 · 54= 0

z2s2 = 6− (−3) · 54= 9 3

4

z2s3 = −7− 2 · 54= −9 1

2

z2s4 = 4− 10 · 54= −8 1

2

x y z

4 −3 2 100 9 3

4−9 1

2−8 1

2

10 2 −3 7

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 104

z3s1 = 10− 4 · 104

= 0z3s2 = 2− (−3) · 10

4= 9 1

2

z3s3 = −3− 2 · 104

= −8z3s4 = 7− 10 · 10

4= −18

x y z

4 −3 2 100 9 3

4−9 1

2−8 1

2

0 9 12

−8 −18

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −3

9 34

z1s2 = −3− 9 34· −3

9 34

= 0

z1s3 = 2− (−9 12) · −3

9 34

= − 1213

z1s4 = 10− (−8 12) · −3

9 34

= 7 513

x y z

4 0 − 1213

7 513

0 9 34

−9 12

−8 12

0 9 12

−8 −18

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 9 12

9 34

z3s2 = 9 12− 9 3

4· 9 1

2

9 34

= 0

z3s3 = −8− (−9 12) · 9 1

2

9 34

= 1 1039

z3s4 = −18− (−8 12) · 9 1

2

9 34

= −9 2839

x y z

4 0 − 1213

7 513

0 9 34

−9 12

−8 12

0 0 1 1039

−9 2839

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · − 1213

1 1039

z1s3 = − 1213

− 1 1039

· − 1213

1 1039

= 0

z1s4 = 7 513

− (−9 2839) · − 12

13

1 1039

= 1249

x y z

4 0 0 1249

0 9 34

−9 12

−8 12

0 0 1 1039

−9 2839

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −9 12

1 1039

z2s3 = −9 12− 1 10

39· −9 1

2

1 1039

= 0

z2s4 = −8 12− (−9 28

39) · −9 1

2

1 1039

= −81 4849

x y z

4 0 0 1249

0 9 34

0 −81 4849

0 0 1 1039

−9 2839

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

x =1249

4 = 349

y =−81 48

49

9 34

= −8 2049

z =−9 28

39

1 1039

= −7 3649

L = { 349/− 8 20

49/− 7 3649}

Aufgabe (4)

2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34

x y z

2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42

z2s1 = 4− 2 · 42= 0

z2s2 = 9− 3 · 42= 3

z2s3 = −1− (−4) · 42= 7

z2s4 = 58− 16 · 42= 26

x y z

2 3 −4 160 3 7 261 6 2 34

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12

z3s1 = 1− 2 · 12= 0

z3s2 = 6− 3 · 12= 4 1

2

z3s3 = 2− (−4) · 12= 4

z3s4 = 34− 16 · 12= 26

x y z

2 3 −4 160 3 7 260 4 1

24 26

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 33

z1s2 = 3− 3 · 33= 0

z1s3 = −4− 7 · 33= −11

z1s4 = 16− 26 · 33= −10

x y z

2 0 −11 −100 3 7 260 4 1

24 26

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 4 123

z3s2 = 4 12− 3 · 4 1

23

= 0

z3s3 = 4− 7 · 4 123

= −6 12

z3s4 = 26− 26 · 4 123

= −13

x y z

2 0 −11 −100 3 7 260 0 −6 1

2−13

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −11

−6 12

z1s3 = −11− (−6 12) · −11

−6 12

= 0

z1s4 = −10− (−13) · −11

−6 12

= 12

x y z

2 0 0 120 3 7 260 0 −6 1

2−13

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 7

−6 12

z2s3 = 7− (−6 12) · 7

−6 12

= 0

z2s4 = 26− (−13) · 7

−6 12

= 12

x y z

2 0 0 120 3 0 120 0 −6 1

2−13

x = 122 = 6

y = 123 = 4

z = −13−6 1

2

= 2

L = {6/4/2}

Aufgabe (5)

x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 62y + 6z = 0

x y z

1 2 3 42 3 2 60 2 6 0

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 21

z2s1 = 2− 1 · 21= 0

z2s2 = 3− 2 · 21= −1

z2s3 = 2− 3 · 21= −4

z2s4 = 6− 4 · 21= −2

x y z

1 2 3 40 −1 −4 −20 2 6 0

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−1

z1s2 = 2− (−1) · 2−1

= 0

z1s3 = 3− (−4) · 2−1

= −5

z1s4 = 4− (−2) · 2−1

= 0

x y z

1 0 −5 00 −1 −4 −20 2 6 0

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 2−1

z3s2 = 2− (−1) · 2−1

= 0

z3s3 = 6− (−4) · 2−1

= −2

z3s4 = 0− (−2) · 2−1

= −4

x y z

1 0 −5 00 −1 −4 −20 0 −2 −4

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −5−2

z1s3 = −5− (−2) · −5−2

= 0

z1s4 = 0− (−4) · −5−2

= 10

x y z

1 0 0 100 −1 −4 −20 0 −2 −4

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −4−2

z2s3 = −4− (−2) · −4−2

= 0

z2s4 = −2− (−4) · −4−2

= 6

x y z

1 0 0 100 −1 0 60 0 −2 −4

x = 101 = 10

y = 6−1 = −6

z = −4−2 = 2

L = {10/− 6/2}

Aufgabe (6)

−2x− 8y = 1x+ 4y = − 1

2

8x− 2y − z = 8

x y z

−2 −8 0 11 4 0 − 1

2

8 −2 −1 8

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1−2

z2s1 = 1− (−2) · 1−2

= 0

z2s2 = 4− (−8) · 1−2

= 0

z2s3 = 0− 0 · 1−2

= 0

z2s4 = − 12− 1 · 1

−2= 0

x y z

−2 −8 0 10 0 0 08 −2 −1 8

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 8−2

z3s1 = 8− (−2) · 8−2

= 0

z3s2 = −2− (−8) · 8−2

= −34

z3s3 = −1− 0 · 8−2

= −1

z3s4 = 8− 1 · 8−2

= 12

x y z

−2 −8 0 10 0 0 00 −34 −1 12

Zeilen vertauschen

x y z

−2 −8 0 10 −34 −1 120 0 0 0

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −8−34

z1s2 = −8− (−34) · −8−34

= 0

z1s3 = 0− (−1) · −8−34

= 417

z1s4 = 1− 12 · −8−34

= −1 1417

x y z

−2 0 417

−1 1417

0 −34 −1 120 0 0 0

L = unendlich

Aufgabe (7)

−2x+ 2y + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 5

4x− 2y − z = 8

x y z

−2 2 4 04 − 1

22 5

4 −2 −1 8

www.fersch.de 26

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 4−2

z2s1 = 4− (−2) · 4−2

= 0

z2s2 = − 12− 2 · 4

−2= 3 1

2

z2s3 = 2− 4 · 4−2

= 10

z2s4 = 5− 0 · 4−2

= 5

x y z

−2 2 4 00 3 1

210 5

4 −2 −1 8

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 4−2

z3s1 = 4− (−2) · 4−2

= 0

z3s2 = −2− 2 · 4−2

= 2

z3s3 = −1− 4 · 4−2

= 7

z3s4 = 8− 0 · 4−2

= 8

x y z

−2 2 4 00 3 1

210 5

0 2 7 8

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2

3 12

z1s2 = 2− 3 12· 2

3 12

= 0

z1s3 = 4− 10 · 2

3 12

= −1 57

z1s4 = 0− 5 · 2

3 12

= −2 67

x y z

−2 0 −1 57

−2 67

0 3 12

10 50 2 7 8

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 2

3 12

z3s2 = 2− 3 12· 2

3 12

= 0

z3s3 = 7− 10 · 2

3 12

= 1 27

z3s4 = 8− 5 · 2

3 12

= 5 17

x y z

−2 0 −1 57

−2 67

0 3 12

10 50 0 1 2

75 17

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −1 57

1 27

z1s3 = −1 57− 1 2

7· −1 5

7

1 27

= 0

z1s4 = −2 67− 5 1

7· −1 5

7

1 27

= 4

x y z

−2 0 0 40 3 1

210 5

0 0 1 27

5 17

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 10

1 27

z2s3 = 10− 1 27· 10

1 27

= 0

z2s4 = 5− 5 17· 10

1 27

= −35

x y z

−2 0 0 40 3 1

20 −35

0 0 1 27

5 17

x = 4−2 = −2

y = −353 1

2

= −10

z =5 1

7

1 27

= 4

L = {−2/− 10/4}

Aufgabe (8)

2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34

x y z

2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42

z2s1 = 4− 2 · 42= 0

z2s2 = 9− 3 · 42= 3

z2s3 = −1− (−4) · 42= 7

z2s4 = 58− 16 · 42= 26

x y z

2 3 −4 160 3 7 261 6 2 34

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12

z3s1 = 1− 2 · 12= 0

z3s2 = 6− 3 · 12= 4 1

2

z3s3 = 2− (−4) · 12= 4

z3s4 = 34− 16 · 12= 26

x y z

2 3 −4 160 3 7 260 4 1

24 26

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 33

z1s2 = 3− 3 · 33= 0

z1s3 = −4− 7 · 33= −11

z1s4 = 16− 26 · 33= −10

x y z

2 0 −11 −100 3 7 260 4 1

24 26

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 4 123

z3s2 = 4 12− 3 · 4 1

23

= 0

z3s3 = 4− 7 · 4 123

= −6 12

z3s4 = 26− 26 · 4 123

= −13

x y z

2 0 −11 −100 3 7 260 0 −6 1

2−13

www.fersch.de 27

Page 28: Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik) Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beiden

Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −11

−6 12

z1s3 = −11− (−6 12) · −11

−6 12

= 0

z1s4 = −10− (−13) · −11

−6 12

= 12

x y z

2 0 0 120 3 7 260 0 −6 1

2−13

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 7

−6 12

z2s3 = 7− (−6 12) · 7

−6 12

= 0

z2s4 = 26− (−13) · 7

−6 12

= 12

x y z

2 0 0 120 3 0 120 0 −6 1

2−13

x = 122 = 6

y = 123 = 4

z = −13−6 1

2

= 2

L = {6/4/2}

Aufgabe (9)

4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7

x y z

4 −3 2 105 6 −7 410 −2 −3 7

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54

z2s1 = 5− 4 · 54= 0

z2s2 = 6− (−3) · 54= 9 3

4

z2s3 = −7− 2 · 54= −9 1

2

z2s4 = 4− 10 · 54= −8 1

2

x y z

4 −3 2 100 9 3

4−9 1

2−8 1

2

10 −2 −3 7

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 104

z3s1 = 10− 4 · 104

= 0z3s2 = −2− (−3) · 10

4= 5 1

2

z3s3 = −3− 2 · 104

= −8z3s4 = 7− 10 · 10

4= −18

x y z

4 −3 2 100 9 3

4−9 1

2−8 1

2

0 5 12

−8 −18

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −3

9 34

z1s2 = −3− 9 34· −3

9 34

= 0

z1s3 = 2− (−9 12) · −3

9 34

= − 1213

z1s4 = 10− (−8 12) · −3

9 34

= 7 513

x y z

4 0 − 1213

7 513

0 9 34

−9 12

−8 12

0 5 12

−8 −18

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 5 12

9 34

z3s2 = 5 12− 9 3

4· 5 1

2

9 34

= 0

z3s3 = −8− (−9 12) · 5 1

2

9 34

= −2 2539

z3s4 = −18− (−8 12) · 5 1

2

9 34

= −13 839

x y z

4 0 − 1213

7 513

0 9 34

−9 12

−8 12

0 0 −2 2539

−13 839

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · − 1213

−2 2539

z1s3 = − 1213

− (−2 2539) · − 12

13

−2 2539

= 0

z1s4 = 7 513

− (−13 839) · − 12

13

−2 2539

= 12

x y z

4 0 0 120 9 3

4−9 1

2−8 1

2

0 0 −2 2539

−13 839

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −9 12

−2 2539

z2s3 = −9 12− (−2 25

39) · −9 1

2

−2 2539

= 0

z2s4 = −8 12− (−13 8

39) · −9 1

2

−2 2539

= 39

x y z

4 0 0 120 9 3

40 39

0 0 −2 2539

−13 839

x = 124 = 3

y = 399 3

4

= 4

z =−13 8

39

−2 2539

= 5

L = {3/4/5}

Aufgabe (10)

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

x y z

9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 69

z2s1 = 6− 9 · 69= 0

z2s2 = 3− 5 · 69= − 1

3

z2s3 = −5− 4 · 69= −7 2

3

z2s4 = 17− 13 · 69= 8 1

3

x y z

9 5 4 130 − 1

3−7 2

38 13

3 −10 6 23

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 39

z3s1 = 3− 9 · 39= 0

z3s2 = −10− 5 · 39= −11 2

3

z3s3 = 6− 4 · 39= 4 2

3

z3s4 = 23− 13 · 39= 18 2

3

x y z

9 5 4 130 − 1

3−7 2

38 13

0 −11 23

4 23

18 23

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 5

− 13

z1s2 = 5− (− 13) · 5

− 13

= 0

z1s3 = 4− (−7 23) · 5

− 13

= −111

z1s4 = 13− 8 13· 5

− 13

= 138

x y z

9 0 −111 1380 − 1

3−7 2

38 13

0 −11 23

4 23

18 23

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −11 23

− 13

z3s2 = −11 23− (− 1

3) · −11 2

3

− 13

= 0

z3s3 = 4 23− (−7 2

3) · −11 2

3

− 13

= 273

z3s4 = 18 23− 8 1

3· −11 2

3

− 13

= −273

x y z

9 0 −111 1380 − 1

3−7 2

38 13

0 0 273 −273

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −111273

z1s3 = −111− 273 · −111273

= 0z1s4 = 138− (−273) · −111

273= 27

x y z

9 0 0 270 − 1

3−7 2

38 13

0 0 273 −273

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 23

273

z2s3 = −7 23− 273 · −7 2

3273

= 0

z2s4 = 8 13− (−273) · −7 2

3273

= 23

x y z

9 0 0 270 − 1

30 2

3

0 0 273 −273

x = 279 = 3

y =23

− 13

= −2

z = −273273 = −1

L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (11)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1211

z2s1 = 12− 11 · 1211

= 0z2s2 = 14− 13 · 12

11= − 2

11

z2s3 = 5− 4 · 1211

= 711

z2s4 = 40− 37 · 1211

= − 411

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

9 3 3 15

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 911

z3s1 = 9− 11 · 911

= 0z3s2 = 3− 13 · 9

11= −7 7

11

z3s3 = 3− 4 · 911

= − 311

z3s4 = 15− 37 · 911

= −15 311

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 13

− 211

z1s2 = 13− (− 211) · 13

− 211

= 0

z1s3 = 4− 711

· 13

− 211

= 49 12

z1s4 = 37− (− 411) · 13

− 211

= 11

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

www.fersch.de 29

Page 30: Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik) Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beiden

Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −7 711

− 211

z3s2 = −7 711

− (− 211) · −7 7

11

− 211

= 0

z3s3 = − 311

− 711

· −7 711

− 211

= −27

z3s4 = −15 311

− (− 411) · −7 7

11

− 211

= 0

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 49 12

−27

z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1

2−27

= 0

z1s4 = 11− 0 · 49 12

−27= 11

x y z

11 0 0 110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·711

−27

z2s3 = 711

− (−27) ·711

−27= 0

z2s4 = − 411

− 0 ·711

−27= − 4

11

x y z

11 0 0 110 − 2

110 − 4

11

0 0 −27 0

x = 1111 = 1

y =− 4

11

− 211

= 2

z = 0−27 = 0

L = {1/2/0}

Aufgabe (12)

2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

x y z

2 3 4 1754 6 5 2873 2 8 257

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42

z2s1 = 4− 2 · 42= 0

z2s2 = 6− 3 · 42= 0

z2s3 = 5− 4 · 42= −3

z2s4 = 287− 175 · 42= −63

x y z

2 3 4 1750 0 −3 −633 2 8 257

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 32

z3s1 = 3− 2 · 32= 0

z3s2 = 2− 3 · 32= −2 1

2

z3s3 = 8− 4 · 32= 2

z3s4 = 257− 175 · 32= −5 1

2

x y z

2 3 4 1750 0 −3 −630 −2 1

22 −5 1

2

Zeilen vertauschen

x y z

2 3 4 1750 −2 1

22 −5 1

2

0 0 −3 −63

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3

−2 12

z1s2 = 3− (−2 12) · 3

−2 12

= 0

z1s3 = 4− 2 · 3

−2 12

= 6 25

z1s4 = 175− (−5 12) · 3

−2 12

= 168 25

x y z

2 0 6 25

168 25

0 −2 12

2 −5 12

0 0 −3 −63

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 6 25

−3

z1s3 = 6 25− (−3) · 6 2

5−3

= 0

z1s4 = 168 25− (−63) · 6 2

5−3

= 34

x y z

2 0 0 340 −2 1

22 −5 1

2

0 0 −3 −63

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 2−3

z2s3 = 2− (−3) · 2−3

= 0

z2s4 = −5 12− (−63) · 2

−3= −47 1

2

x y z

2 0 0 340 −2 1

20 −47 1

2

0 0 −3 −63

x = 342 = 17

y =−47 1

2

−2 12

= 19

z = −63−3 = 21

L = {17/19/21}

Aufgabe (13)

www.fersch.de 30

Page 31: Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik) Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beiden

Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

x y z

6 4 9 325 7 10 174 8 5 100

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 56

z2s1 = 5− 6 · 56= 0

z2s2 = 7− 4 · 56= 3 2

3

z2s3 = 10− 9 · 56= 2 1

2

z2s4 = 17− 32 · 56= −9 2

3

x y z

6 4 9 320 3 2

32 12

−9 23

4 8 5 100

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 46

z3s1 = 4− 6 · 46= 0

z3s2 = 8− 4 · 46= 5 1

3

z3s3 = 5− 9 · 46= −1

z3s4 = 100− 32 · 46= 78 2

3

x y z

6 4 9 320 3 2

32 12

−9 23

0 5 13

−1 78 23

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4

3 23

z1s2 = 4− 3 23· 4

3 23

= 0

z1s3 = 9− 2 12· 4

3 23

= 6 311

z1s4 = 32− (−9 23) · 4

3 23

= 42 611

x y z

6 0 6 311

42 611

0 3 23

2 12

−9 23

0 5 13

−1 78 23

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 5 13

3 23

z3s2 = 5 13− 3 2

3· 5 1

3

3 23

= 0

z3s3 = −1− 2 12· 5 1

3

3 23

= −4 711

z3s4 = 78 23− (−9 2

3) · 5 1

3

3 23

= 92 811

x y z

6 0 6 311

42 611

0 3 23

2 12

−9 23

0 0 −4 711

92 811

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 6 311

−4 711

z1s3 = 6 311

− (−4 711) · 6 3

11

−4 711

= 0

z1s4 = 42 611

− 92 811

· 6 311

−4 711

= 168

x y z

6 0 0 1680 3 2

32 12

−9 23

0 0 −4 711

92 811

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 2 12

−4 711

z2s3 = 2 12− (−4 7

11) · 2 1

2

−4 711

= 0

z2s4 = −9 23− 92 8

11· 2 1

2

−4 711

= 40 13

x y z

6 0 0 1680 3 2

30 40 1

3

0 0 −4 711

92 811

x = 1686 = 28

y =40 1

3

3 23

= 11

z =92 8

11

−4 711

= −20

L = {28/11/− 20}

Aufgabe (14)

x+ y = 1x+ z = 6y − z = 5

x y z

1 1 0 11 0 1 60 1 −1 5

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 11

z2s1 = 1− 1 · 11= 0

z2s2 = 0− 1 · 11= −1

z2s3 = 1− 0 · 11= 1

z2s4 = 6− 1 · 11= 5

x y z

1 1 0 10 −1 1 50 1 −1 5

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−1

z1s2 = 1− (−1) · 1−1

= 0

z1s3 = 0− 1 · 1−1

= 1

z1s4 = 1− 5 · 1−1

= 6

x y z

1 0 1 60 −1 1 50 1 −1 5

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−1

z3s2 = 1− (−1) · 1−1

= 0

z3s3 = −1− 1 · 1−1

= 0

z3s4 = 5− 5 · 1−1

= 10

x y z

1 0 1 60 −1 1 50 0 0 10

www.fersch.de 31

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

L = {}

Aufgabe (15)

x− 2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

x y z

1 −2 3 93 8 9 52 3 6 7

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 31

z2s1 = 3− 1 · 31= 0

z2s2 = 8− (−2) · 31= 14

z2s3 = 9− 3 · 31= 0

z2s4 = 5− 9 · 31= −22

x y z

1 −2 3 90 14 0 −222 3 6 7

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 21

z3s1 = 2− 1 · 21= 0

z3s2 = 3− (−2) · 21= 7

z3s3 = 6− 3 · 21= 0

z3s4 = 7− 9 · 21= −11

x y z

1 −2 3 90 14 0 −220 7 0 −11

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −214

z1s2 = −2− 14 · −214

= 0z1s3 = 3− 0 · −2

14= 3

z1s4 = 9− (−22) · −214

= 5 67

x y z

1 0 3 5 67

0 14 0 −220 7 0 −11

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 714

z3s2 = 7− 14 · 714

= 0z3s3 = 0− 0 · 7

14= 0

z3s4 = −11− (−22) · 714

= 0

x y z

1 0 3 5 67

0 14 0 −220 0 0 0

L = unendlich

Aufgabe (16)

x+ 3y − 2z = 33x+ 2y + z = 2y + 3z = 5

x y z

1 3 −2 33 2 1 20 1 3 5

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 31

z2s1 = 3− 1 · 31= 0

z2s2 = 2− 3 · 31= −7

z2s3 = 1− (−2) · 31= 7

z2s4 = 2− 3 · 31= −7

x y z

1 3 −2 30 −7 7 −70 1 3 5

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3−7

z1s2 = 3− (−7) · 3−7

= 0

z1s3 = −2− 7 · 3−7

= 1

z1s4 = 3− (−7) · 3−7

= 0

x y z

1 0 1 00 −7 7 −70 1 3 5

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−7

z3s2 = 1− (−7) · 1−7

= 0

z3s3 = 3− 7 · 1−7

= 4

z3s4 = 5− (−7) · 1−7

= 4

x y z

1 0 1 00 −7 7 −70 0 4 4

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 14

z1s3 = 1− 4 · 14= 0

z1s4 = 0− 4 · 14= −1

x y z

1 0 0 −10 −7 7 −70 0 4 4

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 74

z2s3 = 7− 4 · 74= 0

z2s4 = −7− 4 · 74= −14

x y z

1 0 0 −10 −7 0 −140 0 4 4

www.fersch.de 32

Page 33: Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik) Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beiden

Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

x = −11 = −1

y = −14−7 = 2

z = 44 = 1

L = {−1/2/1}

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

3.3 n-Gleichungen3.3.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:Lineares Gleichungssytema1 · x1 + b1 · x2 + c1 · x3.... = d1a2 · x1 + b2 · x2 + c2 · x3..... = d2a3 · x1 + b3 · x2 + c3 · x3.... = d3.....Gesucht: x1, x2, x3....

(1) a(2) b(3) c(4) d(5) e(6) f(7) g(8) h(9) i(10) j(11) k(12) l(13) m(14) n

(15) o(16) p(17) q(18) r(19) s(20) t(21) u(22) v(23) w(24) x(25) y(26) zkeine Aufgaben

www.fersch.de 34

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

3.3.2 LösungenAufgabe (1)

x1 + 2x2 + 3x3 = 45x1 + 6x2 + 7x3 = 89x1 + 10x2 + 11x3 = 12

x1 x2 x3

1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 51

z2s1 = 5− 1 · 51= 0

z2s2 = 6− 2 · 51= −4

z2s3 = 7− 3 · 51= −8

z2s4 = 8− 4 · 51= −12

x1 x2 x3

1 2 3 40 −4 −8 −129 10 11 12

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 91

z3s1 = 9− 1 · 91= 0

z3s2 = 10− 2 · 91= −8

z3s3 = 11− 3 · 91= −16

z3s4 = 12− 4 · 91= −24

x1 x2 x3

1 2 3 40 −4 −8 −120 −8 −16 −24

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−4

z1s2 = 2− (−4) · 2−4

= 0

z1s3 = 3− (−8) · 2−4

= −1

z1s4 = 4− (−12) · 2−4

= −2

x1 x2 x3

1 0 −1 −20 −4 −8 −120 −8 −16 −24

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −8−4

z3s2 = −8− (−4) · −8−4

= 0

z3s3 = −16− (−8) · −8−4

= 0

z3s4 = −24− (−12) · −8−4

= 0

x1 x2 x3

1 0 −1 −20 −4 −8 −120 0 0 0

L = unendlich

Aufgabe (2)

x1 + 2x2 + 3x3 = 45x1 + 6x2 + 7x3 = 89x1 + 10x2 + 11x3 = 12

x1 x2 x3

1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 51

z2s1 = 5− 1 · 51= 0

z2s2 = 6− 2 · 51= −4

z2s3 = 7− 3 · 51= −8

z2s4 = 8− 4 · 51= −12

x1 x2 x3

1 2 3 40 −4 −8 −129 10 11 12

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 91

z3s1 = 9− 1 · 91= 0

z3s2 = 10− 2 · 91= −8

z3s3 = 11− 3 · 91= −16

z3s4 = 12− 4 · 91= −24

x1 x2 x3

1 2 3 40 −4 −8 −120 −8 −16 −24

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−4

z1s2 = 2− (−4) · 2−4

= 0

z1s3 = 3− (−8) · 2−4

= −1

z1s4 = 4− (−12) · 2−4

= −2

x1 x2 x3

1 0 −1 −20 −4 −8 −120 −8 −16 −24

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −8−4

z3s2 = −8− (−4) · −8−4

= 0

z3s3 = −16− (−8) · −8−4

= 0

z3s4 = −24− (−12) · −8−4

= 0

x1 x2 x3

1 0 −1 −20 −4 −8 −120 0 0 0

L = unendlich

Aufgabe (3)

www.fersch.de 35

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

4x1 + 3x2 = 1213x1 +

14x2 = 3

x1 x2

4 3 1213

14

3

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 ·134

z2s1 = 13− 4 ·

134= 0

z2s2 = 14− 3 ·

134= 0

z2s3 = 3− 12 ·134= 2

x1 x2

4 3 120 0 2

L = {}

Aufgabe (4)

3x1 + 2x2 = 12x1 − 3x2 = 5

x1 x2

3 2 12 −3 5

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 23

z2s1 = 2− 3 · 23= 0

z2s2 = −3− 2 · 23= −4 1

3

z2s3 = 5− 1 · 23= 4 1

3

x1 x2

3 2 10 −4 1

34 13

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2

−4 13

z1s2 = 2− (−4 13) · 2

−4 13

= 0

z1s3 = 1− 4 13· 2

−4 13

= 3

x1 x2

3 0 30 −4 1

34 13

x1 = 33 = 1

x2 =4 1

3

−4 13

= −1

L = {1/− 1}

Aufgabe (5)

3x1 + x2 − x3 = 015x1 + 2x2 + 4x3 = 12x1 − 2x2 + x3 = 1

x1 x2 x3

3 1 −1 015 2 4 12 −2 1 1

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 153

z2s1 = 15− 3 · 153

= 0z2s2 = 2− 1 · 15

3= −3

z2s3 = 4− (−1) · 153

= 9z2s4 = 1− 0 · 15

3= 1

x1 x2 x3

3 1 −1 00 −3 9 12 −2 1 1

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 23

z3s1 = 2− 3 · 23= 0

z3s2 = −2− 1 · 23= −2 2

3

z3s3 = 1− (−1) · 23= 1 2

3

z3s4 = 1− 0 · 23= 1

x1 x2 x3

3 1 −1 00 −3 9 10 −2 2

31 23

1

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−3

z1s2 = 1− (−3) · 1−3

= 0

z1s3 = −1− 9 · 1−3

= 2

z1s4 = 0− 1 · 1−3

= 13

x1 x2 x3

3 0 2 13

0 −3 9 10 −2 2

31 23

1

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −2 23

−3

z3s2 = −2 23− (−3) · −2 2

3−3

= 0

z3s3 = 1 23− 9 · −2 2

3−3

= −6 13

z3s4 = 1− 1 · −2 23

−3= 1

9

x1 x2 x3

3 0 2 13

0 −3 9 10 0 −6 1

319

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 2

−6 13

z1s3 = 2− (−6 13) · 2

−6 13

= 0

z1s4 = 13− 1

9· 2

−6 13

= 719

x1 x2 x3

3 0 0 719

0 −3 9 10 0 −6 1

319

www.fersch.de 36

Page 37: Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik) Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beiden

Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 9

−6 13

z2s3 = 9− (−6 13) · 9

−6 13

= 0

z2s4 = 1− 19· 9

−6 13

= 1 319

x1 x2 x3

3 0 0 719

0 −3 0 1 319

0 0 −6 13

19

x1 =719

3 = 757

x2 =1 3

19

−3 = − 2257

x3 =19

−6 13

= − 157

L = { 757/−

2257/−

157}

Aufgabe (6)

3x1 + x2 − x3 = 0x1 + 2x2 + 4x3 = 12x1 − 2x2 + x3 = 1

x1 x2 x3

3 1 −1 01 2 4 12 −2 1 1

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 13

z2s1 = 1− 3 · 13= 0

z2s2 = 2− 1 · 13= 1 2

3

z2s3 = 4− (−1) · 13= 4 1

3

z2s4 = 1− 0 · 13= 1

x1 x2 x3

3 1 −1 00 1 2

34 13

12 −2 1 1

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 23

z3s1 = 2− 3 · 23= 0

z3s2 = −2− 1 · 23= −2 2

3

z3s3 = 1− (−1) · 23= 1 2

3

z3s4 = 1− 0 · 23= 1

x1 x2 x3

3 1 −1 00 1 2

34 13

10 −2 2

31 23

1

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1

1 23

z1s2 = 1− 1 23· 1

1 23

= 0

z1s3 = −1− 4 13· 1

1 23

= −3 35

z1s4 = 0− 1 · 1

1 23

= − 35

x1 x2 x3

3 0 −3 35

− 35

0 1 23

4 13

10 −2 2

31 23

1

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −2 23

1 23

z3s2 = −2 23− 1 2

3· −2 2

3

1 23

= 0

z3s3 = 1 23− 4 1

3· −2 2

3

1 23

= 8 35

z3s4 = 1− 1 · −2 23

1 23

= 2 35

x1 x2 x3

3 0 −3 35

− 35

0 1 23

4 13

10 0 8 3

52 35

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −3 35

8 35

z1s3 = −3 35− 8 3

5· −3 3

5

8 35

= 0

z1s4 = − 35− 2 3

5· −3 3

5

8 35

= 2143

x1 x2 x3

3 0 0 2143

0 1 23

4 13

10 0 8 3

52 35

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 4 13

8 35

z2s3 = 4 13− 8 3

5· 4 1

3

8 35

= 0

z2s4 = 1− 2 35· 4 1

3

8 35

= −0, 31

x1 x2 x3

3 0 0 2143

0 1 23

0 −0, 310 0 8 3

52 35

x1 =2143

3 = 743

x2 = −0,311 2

3

= − 843

x3 =2 3

5

8 35

= 1343

L = { 743/−

843/

1343}

Aufgabe (7)

2x1 + 4x2 + 7x3 = 93x1 + 3x2 + 3x3 = 3x1 + 3x2 + 3x3 = 3

x1 x2 x3

2 4 7 93 3 3 31 3 3 3

www.fersch.de 37

Page 38: Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik) Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beiden

Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32

z2s1 = 3− 2 · 32= 0

z2s2 = 3− 4 · 32= −3

z2s3 = 3− 7 · 32= −7 1

2

z2s4 = 3− 9 · 32= −10 1

2

x1 x2 x3

2 4 7 90 −3 −7 1

2−10 1

2

1 3 3 3

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12

z3s1 = 1− 2 · 12= 0

z3s2 = 3− 4 · 12= 1

z3s3 = 3− 7 · 12= − 1

2

z3s4 = 3− 9 · 12= −1 1

2

x1 x2 x3

2 4 7 90 −3 −7 1

2−10 1

2

0 1 − 12

−1 12

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−3

z1s2 = 4− (−3) · 4−3

= 0

z1s3 = 7− (−7 12) · 4

−3= −3

z1s4 = 9− (−10 12) · 4

−3= −5

x1 x2 x3

2 0 −3 −50 −3 −7 1

2−10 1

2

0 1 − 12

−1 12

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−3

z3s2 = 1− (−3) · 1−3

= 0

z3s3 = − 12− (−7 1

2) · 1

−3= −3

z3s4 = −1 12− (−10 1

2) · 1

−3= −5

x1 x2 x3

2 0 −3 −50 −3 −7 1

2−10 1

2

0 0 −3 −5

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −3−3

z1s3 = −3− (−3) · −3−3

= 0

z1s4 = −5− (−5) · −3−3

= 0

x1 x2 x3

2 0 0 00 −3 −7 1

2−10 1

2

0 0 −3 −5

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 12

−3

z2s3 = −7 12− (−3) · −7 1

2−3

= 0

z2s4 = −10 12− (−5) · −7 1

2−3

= 2

x1 x2 x3

2 0 0 00 −3 0 20 0 −3 −5

x1 = 02 = 0

x2 = 2−3 = − 2

3

x3 = −5−3 = 1 2

3

L = {0/− 23/1

23}

Aufgabe (8)

2x1 + 4x2 + 7x3 = 93x1 + 3x2 + 3x3 = 3x1 + 3x2 + 3x3 = 3

x1 x2 x3

2 4 7 93 3 3 31 3 3 3

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32

z2s1 = 3− 2 · 32= 0

z2s2 = 3− 4 · 32= −3

z2s3 = 3− 7 · 32= −7 1

2

z2s4 = 3− 9 · 32= −10 1

2

x1 x2 x3

2 4 7 90 −3 −7 1

2−10 1

2

1 3 3 3

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12

z3s1 = 1− 2 · 12= 0

z3s2 = 3− 4 · 12= 1

z3s3 = 3− 7 · 12= − 1

2

z3s4 = 3− 9 · 12= −1 1

2

x1 x2 x3

2 4 7 90 −3 −7 1

2−10 1

2

0 1 − 12

−1 12

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−3

z1s2 = 4− (−3) · 4−3

= 0

z1s3 = 7− (−7 12) · 4

−3= −3

z1s4 = 9− (−10 12) · 4

−3= −5

x1 x2 x3

2 0 −3 −50 −3 −7 1

2−10 1

2

0 1 − 12

−1 12

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−3

z3s2 = 1− (−3) · 1−3

= 0

z3s3 = − 12− (−7 1

2) · 1

−3= −3

z3s4 = −1 12− (−10 1

2) · 1

−3= −5

x1 x2 x3

2 0 −3 −50 −3 −7 1

2−10 1

2

0 0 −3 −5

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −3−3

z1s3 = −3− (−3) · −3−3

= 0

z1s4 = −5− (−5) · −3−3

= 0

x1 x2 x3

2 0 0 00 −3 −7 1

2−10 1

2

0 0 −3 −5

www.fersch.de 38

Page 39: Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik) Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beiden

Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 12

−3

z2s3 = −7 12− (−3) · −7 1

2−3

= 0

z2s4 = −10 12− (−5) · −7 1

2−3

= 2

x1 x2 x3

2 0 0 00 −3 0 20 0 −3 −5

x1 = 02 = 0

x2 = 2−3 = − 2

3

x3 = −5−3 = 1 2

3

L = {0/− 23/1

23}

Aufgabe (9)

2x1 + 4x2 = 03x1 + x2 = 0= 0

x1 x2 x3

2 4 0 03 1 0 00 0 0 0

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32

z2s1 = 3− 2 · 32= 0

z2s2 = 1− 4 · 32= −5

z2s3 = 0− 0 · 32= 0

z2s4 = 0− 0 · 32= 0

x1 x2 x3

2 4 0 00 −5 0 00 0 0 0

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−5

z1s2 = 4− (−5) · 4−5

= 0

z1s3 = 0− 0 · 4−5

= 0

z1s4 = 0− 0 · 4−5

= 0

x1 x2 x3

2 0 0 00 −5 0 00 0 0 0

L = unendlich

Aufgabe (10)

2x1 + 4x2 = 03x2 = 1

x1 x2

2 4 00 3 1

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 43

z1s2 = 4− 3 · 43= 0

z1s3 = 0− 1 · 43= −1 1

3

x1 x2

2 0 −1 13

0 3 1

x1 =−1 1

3

2 = − 23

x2 = 13 = 1

3L = {− 2

3/13}

Aufgabe (11)

2x1 + 4x2 = 0x1 + 3x2 = 1

x1 x2

2 4 01 3 1

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 12

z2s1 = 1− 2 · 12= 0

z2s2 = 3− 4 · 12= 1

z2s3 = 1− 0 · 12= 1

x1 x2

2 4 00 1 1

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 41

z1s2 = 4− 1 · 41= 0

z1s3 = 0− 1 · 41= −4

x1 x2

2 0 −40 1 1

x1 = −42 = −2

x2 = 11 = 1

L = {−2/1}

www.fersch.de 39

Page 40: Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik) Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beiden

Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

Aufgabe (12)

2x1 + 4x2 = 0x1 + 3x2 = 0

x1 x2

2 4 01 3 0

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 12

z2s1 = 1− 2 · 12= 0

z2s2 = 3− 4 · 12= 1

z2s3 = 0− 0 · 12= 0

x1 x2

2 4 00 1 0

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 41

z1s2 = 4− 1 · 41= 0

z1s3 = 0− 0 · 41= 0

x1 x2

2 0 00 1 0

x1 = 02 = 0

x2 = 01 = 0

L = {0/0}

Aufgabe (13)

2x1 + 4x2 = 03x2 = 0

x1 x2

2 4 00 3 0

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 43

z1s2 = 4− 3 · 43= 0

z1s3 = 0− 0 · 43= 0

x1 x2

2 0 00 3 0

x1 = 02 = 0

x2 = 03 = 0

L = {0/0}

Aufgabe (14)

2x1 + 4x2 = 9x1 + x2 = 3

x1 x2

2 4 91 1 3

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 12

z2s1 = 1− 2 · 12= 0

z2s2 = 1− 4 · 12= −1

z2s3 = 3− 9 · 12= −1 1

2

x1 x2

2 4 90 −1 −1 1

2

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−1

z1s2 = 4− (−1) · 4−1

= 0

z1s3 = 9− (−1 12) · 4

−1= 3

x1 x2

2 0 30 −1 −1 1

2

x1 = 32 = 1 1

2

x2 =−1 1

2

−1 = 1 12

L = {1 12/1

12}

Aufgabe (15)

2x1 + 4x2 = 263x1 + 2x2 = 19

x1 x2

2 4 263 2 19

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32

z2s1 = 3− 2 · 32= 0

z2s2 = 2− 4 · 32= −4

z2s3 = 19− 26 · 32= −20

x1 x2

2 4 260 −4 −20

www.fersch.de 40

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−4

z1s2 = 4− (−4) · 4−4

= 0

z1s3 = 26− (−20) · 4−4

= 6

x1 x2

2 0 60 −4 −20

x1 = 62 = 3

x2 = −20−4 = 5

L = {3/5}

Aufgabe (16)

2x1 + 4x2 = 263x1 + 2x2 = 19

x1 x2

2 4 263 2 19

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32

z2s1 = 3− 2 · 32= 0

z2s2 = 2− 4 · 32= −4

z2s3 = 19− 26 · 32= −20

x1 x2

2 4 260 −4 −20

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−4

z1s2 = 4− (−4) · 4−4

= 0

z1s3 = 26− (−20) · 4−4

= 6

x1 x2

2 0 60 −4 −20

x1 = 62 = 3

x2 = −20−4 = 5

L = {3/5}

Aufgabe (17)

2x1 + 4x2 = 263x1 + 2x2 = 19

x1 x2

2 4 263 2 19

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 32

z2s1 = 3− 2 · 32= 0

z2s2 = 2− 4 · 32= −4

z2s3 = 19− 26 · 32= −20

x1 x2

2 4 260 −4 −20

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4−4

z1s2 = 4− (−4) · 4−4

= 0

z1s3 = 26− (−20) · 4−4

= 6

x1 x2

2 0 60 −4 −20

x1 = 62 = 3

x2 = −20−4 = 5

L = {3/5}

Aufgabe (18)

4x1 + 2x2 = 225x1 + x2 = 17

x1 x2

4 2 225 1 17

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54

z2s1 = 5− 4 · 54= 0

z2s2 = 1− 2 · 54= −1 1

2

z2s3 = 17− 22 · 54= −10 1

2

x1 x2

4 2 220 −1 1

2−10 1

2

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2

−1 12

z1s2 = 2− (−1 12) · 2

−1 12

= 0

z1s3 = 22− (−10 12) · 2

−1 12

= 8

x1 x2

4 0 80 −1 1

2−10 1

2

x1 = 84 = 2

x2 =−10 1

2

−1 12

= 7

www.fersch.de 41

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

L = {2/7}

Aufgabe (19)

4x1 + 2x2 = 225x1 + x2 = 17

x1 x2

4 2 225 1 17

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54

z2s1 = 5− 4 · 54= 0

z2s2 = 1− 2 · 54= −1 1

2

z2s3 = 17− 22 · 54= −10 1

2

x1 x2

4 2 220 −1 1

2−10 1

2

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2

−1 12

z1s2 = 2− (−1 12) · 2

−1 12

= 0

z1s3 = 22− (−10 12) · 2

−1 12

= 8

x1 x2

4 0 80 −1 1

2−10 1

2

x1 = 84 = 2

x2 =−10 1

2

−1 12

= 7

L = {2/7}

Aufgabe (20)

4x1 + 2x2 + x3 = 146x1 + x2 + x3 = 88x1 + 4x2 + x3 = 18

x1 x2 x3

4 2 1 146 1 1 88 4 1 18

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 64

z2s1 = 6− 4 · 64= 0

z2s2 = 1− 2 · 64= −2

z2s3 = 1− 1 · 64= − 1

2

z2s4 = 8− 14 · 64= −13

x1 x2 x3

4 2 1 140 −2 − 1

2−13

8 4 1 18

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 84

z3s1 = 8− 4 · 84= 0

z3s2 = 4− 2 · 84= 0

z3s3 = 1− 1 · 84= −1

z3s4 = 18− 14 · 84= −10

x1 x2 x3

4 2 1 140 −2 − 1

2−13

0 0 −1 −10

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−2

z1s2 = 2− (−2) · 2−2

= 0

z1s3 = 1− (− 12) · 2

−2= 1

2

z1s4 = 14− (−13) · 2−2

= 1

x1 x2 x3

4 0 12

10 −2 − 1

2−13

0 0 −1 −10

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 ·12

−1

z1s3 = 12− (−1) ·

12

−1= 0

z1s4 = 1− (−10) ·12

−1= −4

x1 x2 x3

4 0 0 −40 −2 − 1

2−13

0 0 −1 −10

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · − 12

−1

z2s3 = − 12− (−1) · − 1

2−1

= 0

z2s4 = −13− (−10) · − 12

−1= −8

x1 x2 x3

4 0 0 −40 −2 0 −80 0 −1 −10

x1 = −44 = −1

x2 = −8−2 = 4

x3 = −10−1 = 10

L = {−1/4/10}

Aufgabe (21)

www.fersch.de 42

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

4x1 + 2x2 + x3 = 146x1 + x2 + x3 = 88x1 + 4x2 + x3 = 18

x1 x2 x3

4 2 1 146 1 1 88 4 1 18

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 64

z2s1 = 6− 4 · 64= 0

z2s2 = 1− 2 · 64= −2

z2s3 = 1− 1 · 64= − 1

2

z2s4 = 8− 14 · 64= −13

x1 x2 x3

4 2 1 140 −2 − 1

2−13

8 4 1 18

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 84

z3s1 = 8− 4 · 84= 0

z3s2 = 4− 2 · 84= 0

z3s3 = 1− 1 · 84= −1

z3s4 = 18− 14 · 84= −10

x1 x2 x3

4 2 1 140 −2 − 1

2−13

0 0 −1 −10

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−2

z1s2 = 2− (−2) · 2−2

= 0

z1s3 = 1− (− 12) · 2

−2= 1

2

z1s4 = 14− (−13) · 2−2

= 1

x1 x2 x3

4 0 12

10 −2 − 1

2−13

0 0 −1 −10

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 ·12

−1

z1s3 = 12− (−1) ·

12

−1= 0

z1s4 = 1− (−10) ·12

−1= −4

x1 x2 x3

4 0 0 −40 −2 − 1

2−13

0 0 −1 −10

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · − 12

−1

z2s3 = − 12− (−1) · − 1

2−1

= 0

z2s4 = −13− (−10) · − 12

−1= −8

x1 x2 x3

4 0 0 −40 −2 0 −80 0 −1 −10

x1 = −44 = −1

x2 = −8−2 = 4

x3 = −10−1 = 10

L = {−1/4/10}

Aufgabe (22)

2x1 + 3x2 + x3 = 15x1 + 3x2 + x3 = 113x1 + 2x2 + 2x3 = 18

x1 x2 x3

2 3 1 151 3 1 113 2 2 18

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 12

z2s1 = 1− 2 · 12= 0

z2s2 = 3− 3 · 12= 1 1

2

z2s3 = 1− 1 · 12= 1

2

z2s4 = 11− 15 · 12= 3 1

2

x1 x2 x3

2 3 1 150 1 1

212

3 12

3 2 2 18

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 32

z3s1 = 3− 2 · 32= 0

z3s2 = 2− 3 · 32= −2 1

2

z3s3 = 2− 1 · 32= 1

2

z3s4 = 18− 15 · 32= −4 1

2

x1 x2 x3

2 3 1 150 1 1

212

3 12

0 −2 12

12

−4 12

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3

1 12

z1s2 = 3− 1 12· 3

1 12

= 0

z1s3 = 1− 12· 3

1 12

= 0

z1s4 = 15− 3 12· 3

1 12

= 8

x1 x2 x3

2 0 0 80 1 1

212

3 12

0 −2 12

12

−4 12

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −2 12

1 12

z3s2 = −2 12− 1 1

2· −2 1

2

1 12

= 0

z3s3 = 12− 1

2· −2 1

2

1 12

= 1 13

z3s4 = −4 12− 3 1

2· −2 1

2

1 12

= 1 13

x1 x2 x3

2 0 0 80 1 1

212

3 12

0 0 1 13

1 13

www.fersch.de 43

Page 44: Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen · Matrix Addition von Matrizen Summe der Matrix A = (aik) und der Matrix B = (bik) Die Anzahl der Spalten (i) und der Zeilen(k) der beiden

Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·12

1 13

z2s3 = 12− 1 1

12

1 13

= 0

z2s4 = 3 12− 1 1

12

1 13

= 3

x1 x2 x3

2 0 0 80 1 1

20 3

0 0 1 13

1 13

x1 = 82 = 4

x2 = 31 1

2

= 2

x3 =1 1

3

1 13

= 1

L = {4/2/1}

Aufgabe (23)

2x1 + 3x2 + x3 = 15x1 + 3x2 + x3 = 113x1 + 2x2 + 2x3 = 18

x1 x2 x3

2 3 1 151 3 1 113 2 2 18

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 12

z2s1 = 1− 2 · 12= 0

z2s2 = 3− 3 · 12= 1 1

2

z2s3 = 1− 1 · 12= 1

2

z2s4 = 11− 15 · 12= 3 1

2

x1 x2 x3

2 3 1 150 1 1

212

3 12

3 2 2 18

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 32

z3s1 = 3− 2 · 32= 0

z3s2 = 2− 3 · 32= −2 1

2

z3s3 = 2− 1 · 32= 1

2

z3s4 = 18− 15 · 32= −4 1

2

x1 x2 x3

2 3 1 150 1 1

212

3 12

0 −2 12

12

−4 12

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3

1 12

z1s2 = 3− 1 12· 3

1 12

= 0

z1s3 = 1− 12· 3

1 12

= 0

z1s4 = 15− 3 12· 3

1 12

= 8

x1 x2 x3

2 0 0 80 1 1

212

3 12

0 −2 12

12

−4 12

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −2 12

1 12

z3s2 = −2 12− 1 1

2· −2 1

2

1 12

= 0

z3s3 = 12− 1

2· −2 1

2

1 12

= 1 13

z3s4 = −4 12− 3 1

2· −2 1

2

1 12

= 1 13

x1 x2 x3

2 0 0 80 1 1

212

3 12

0 0 1 13

1 13

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·12

1 13

z2s3 = 12− 1 1

12

1 13

= 0

z2s4 = 3 12− 1 1

12

1 13

= 3

x1 x2 x3

2 0 0 80 1 1

20 3

0 0 1 13

1 13

x1 = 82 = 4

x2 = 31 1

2

= 2

x3 =1 1

3

1 13

= 1

L = {4/2/1}

Aufgabe (24)

4x1 + x2 + 8x3 = 28x1 + x2 + x3 = 13x1 + 6x2 + 2x3 = 10

x1 x2 x3

4 1 8 28 1 1 13 6 2 10

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 84

z2s1 = 8− 4 · 84= 0

z2s2 = 1− 1 · 84= −1

z2s3 = 1− 8 · 84= −15

z2s4 = 1− 2 · 84= −3

x1 x2 x3

4 1 8 20 −1 −15 −33 6 2 10

www.fersch.de 44

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 34

z3s1 = 3− 4 · 34= 0

z3s2 = 6− 1 · 34= 5 1

4

z3s3 = 2− 8 · 34= −4

z3s4 = 10− 2 · 34= 8 1

2

x1 x2 x3

4 1 8 20 −1 −15 −30 5 1

4−4 8 1

2

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−1

z1s2 = 1− (−1) · 1−1

= 0

z1s3 = 8− (−15) · 1−1

= −7

z1s4 = 2− (−3) · 1−1

= −1

x1 x2 x3

4 0 −7 −10 −1 −15 −30 5 1

4−4 8 1

2

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 5 14

−1

z3s2 = 5 14− (−1) · 5 1

4−1

= 0

z3s3 = −4− (−15) · 5 14

−1= −82 3

4

z3s4 = 8 12− (−3) · 5 1

4−1

= −7 14

x1 x2 x3

4 0 −7 −10 −1 −15 −30 0 −82 3

4−7 1

4

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −7

−82 34

z1s3 = −7− (−82 34) · −7

−82 34

= 0

z1s4 = −1− (−7 14) · −7

−82 34

= −0, 387

x1 x2 x3

4 0 0 −0, 3870 −1 −15 −30 0 −82 3

4−7 1

4

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −15

−82 34

z2s3 = −15− (−82 34) · −15

−82 34

= 0

z2s4 = −3− (−7 14) · −15

−82 34

= −1, 69

x1 x2 x3

4 0 0 −0, 3870 −1 0 −1, 690 0 −82 3

4−7 1

4

x1 = −0,3874 = −0, 0967

x2 = −1,69−1 = 1, 69

x3 =−7 1

4

−82 34

= 0, 0876

L = {−0, 0967/1, 69/0, 0876}

Aufgabe (25)

4x1 + x2 + 8x3 = 28x1 − x2 + x3 = 13x1 − 6x2 + 2x3 = 10

x1 x2 x3

4 1 8 28 −1 1 13 −6 2 10

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 84

z2s1 = 8− 4 · 84= 0

z2s2 = −1− 1 · 84= −3

z2s3 = 1− 8 · 84= −15

z2s4 = 1− 2 · 84= −3

x1 x2 x3

4 1 8 20 −3 −15 −33 −6 2 10

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 34

z3s1 = 3− 4 · 34= 0

z3s2 = −6− 1 · 34= −6 3

4

z3s3 = 2− 8 · 34= −4

z3s4 = 10− 2 · 34= 8 1

2

x1 x2 x3

4 1 8 20 −3 −15 −30 −6 3

4−4 8 1

2

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−3

z1s2 = 1− (−3) · 1−3

= 0

z1s3 = 8− (−15) · 1−3

= 3

z1s4 = 2− (−3) · 1−3

= 1

x1 x2 x3

4 0 3 10 −3 −15 −30 −6 3

4−4 8 1

2

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −6 34

−3

z3s2 = −6 34− (−3) · −6 3

4−3

= 0

z3s3 = −4− (−15) · −6 34

−3= 29 3

4

z3s4 = 8 12− (−3) · −6 3

4−3

= 15 14

x1 x2 x3

4 0 3 10 −3 −15 −30 0 29 3

415 1

4

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 3

29 34

z1s3 = 3− 29 34· 3

29 34

= 0

z1s4 = 1− 15 14· 3

29 34

= −0, 538

x1 x2 x3

4 0 0 −0, 5380 −3 −15 −30 0 29 3

415 1

4

www.fersch.de 45

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus n-Gleichungen

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −15

29 34

z2s3 = −15− 29 34· −15

29 34

= 0

z2s4 = −3− 15 14· −15

29 34

= 4, 69

x1 x2 x3

4 0 0 −0, 5380 −3 0 4, 690 0 29 3

415 1

4

x1 = −0,5384 = −0, 134

x2 = 4,69−3 = −1, 56

x3 =15 1

4

29 34

= 0, 513

L = {−0, 134/− 1, 56/0, 513}

Aufgabe (26)

2x1 + x2 + 8x3 = 28x1 − x2 + x3 = 13x1 − 6x2 + 2x3 = 10

x1 x2 x3

2 1 8 28 −1 1 13 −6 2 10

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 82

z2s1 = 8− 2 · 82= 0

z2s2 = −1− 1 · 82= −5

z2s3 = 1− 8 · 82= −31

z2s4 = 1− 2 · 82= −7

x1 x2 x3

2 1 8 20 −5 −31 −73 −6 2 10

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 32

z3s1 = 3− 2 · 32= 0

z3s2 = −6− 1 · 32= −7 1

2

z3s3 = 2− 8 · 32= −10

z3s4 = 10− 2 · 32= 7

x1 x2 x3

2 1 8 20 −5 −31 −70 −7 1

2−10 7

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−5

z1s2 = 1− (−5) · 1−5

= 0

z1s3 = 8− (−31) · 1−5

= 1 45

z1s4 = 2− (−7) · 1−5

= 35

x1 x2 x3

2 0 1 45

35

0 −5 −31 −70 −7 1

2−10 7

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −7 12

−5

z3s2 = −7 12− (−5) · −7 1

2−5

= 0

z3s3 = −10− (−31) · −7 12

−5= 36 1

2

z3s4 = 7− (−7) · −7 12

−5= 17 1

2

x1 x2 x3

2 0 1 45

35

0 −5 −31 −70 0 36 1

217 1

2

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 1 45

36 12

z1s3 = 1 45− 36 1

2· 1 4

5

36 12

= 0

z1s4 = 35− 17 1

2· 1 4

5

36 12

= −0, 263

x1 x2 x3

2 0 0 −0, 2630 −5 −31 −70 0 36 1

217 1

2

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −31

36 12

z2s3 = −31− 36 12· −31

36 12

= 0

z2s4 = −7− 17 12· −31

36 12

= 7 6373

x1 x2 x3

2 0 0 −0, 2630 −5 0 7 63

73

0 0 36 12

17 12

x1 = −0,2632 = −0, 132

x2 =7 63

73

−5 = −1, 57

x3 =17 1

2

36 12

= 3573

L = {−0, 132/− 1, 57/ 3573}

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Aufgaben

3.4 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Gesucht:x,y,z

(1)11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(2)9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(3)4x− 3y + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7

(4)2x+ 3y +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(5)1x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0

(6)−2x− 8y + 0z = 11x+ 4y + 0z = − 1

28x− 2y +−1z = 8

(7)−2x+ 2y + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8

(8)2x+ 3y +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(9)4x− 3y + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7

(10)9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(11)11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(12)2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

(13)6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

(14)1x+ 1y + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5

(15)1x− 2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

(16)6x+ 4y + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9

(17)1x+ 3y +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5

(18)4x+ 6y + 8z = 05x+ 6y + 67z = 88x+ 87y + 6z = 6

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

3.5 LösungenAufgabe (1)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2 · 11-Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4

x y z

11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15

Zeile3 = Zeile3 · 11-Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168

Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0

z = 0594 = 0

y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}

Aufgabe (2)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

x y z

9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23

Zeile2 = Zeile2 · 9-Zeile1 · 6z2s1 = 6 · 9− 9 · 6 = 0z2s2 = 3 · 9− 5 · 6 = −3z2s3 = (−5) · 9− 4 · 6 = −69z2s4 = 17 · 9− 13 · 6 = 75

x y z

9 5 4 130 −3 −69 753 −10 6 23

Zeile3 = Zeile3 · 9-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 9− 9 · 3 = 0z3s2 = (−10) · 9− 5 · 3 = −105z3s3 = 6 · 9− 4 · 3 = 42z3s4 = 23 · 9− 13 · 3 = 168

x y z

9 5 4 130 −3 −69 750 −105 42 168

Zeile3 = Zeile3 · (−3)-Zeile2 · (−105)z3s2 = (−105) · −3− (−3) · (−105) = 0z3s3 = 42 · −3− (−69) · (−105) = −7, 37 · 103z3s4 = 168 · −3− 75 · (−105) = 7, 37 · 103

x y z

9 5 4 130 −3 −69 750 0 −7, 37 · 103 7, 37 · 103

z = 7,37·103−7,37·103 = −1

y · (−3) + (−69) · −1 = 75y = −2x · 9 + 5 · −2 + 4 · (−1) = 13x = 3L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (3)

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7

x y z

4 −3 2 105 6 −7 410 2 −3 7

Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− (−3) · 5 = 39z2s3 = (−7) · 4− 2 · 5 = −38z2s4 = 4 · 4− 10 · 5 = −34

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −3410 2 −3 7

Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 10z3s1 = 10 · 4− 4 · 10 = 0z3s2 = 2 · 4− (−3) · 10 = 38z3s3 = (−3) · 4− 2 · 10 = −32z3s4 = 7 · 4− 10 · 10 = −72

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −340 38 −32 −72

Zeile3 = Zeile3 · 39-Zeile2 · 38z3s2 = 38 · 39− 39 · 38 = 0z3s3 = (−32) · 39− (−38) · 38 = 196z3s4 = (−72) · 39− (−34) · 38 = −1, 52 · 103

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −340 0 196 −1, 52 · 103

z = −1,52·103196 = −7 36

49y · 39 + (−38) · −7 36

49 = (−34)y = −8 20

49x · 4 + (−3) · −8 20

49 + 2 · (−7 3649 ) = 10

x = 349

L = { 349/− 8 20

49/− 7 3649}

Aufgabe (4)

2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34

x y z

2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34

Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 9 · 2− 3 · 4 = 6z2s3 = (−1) · 2− (−4) · 4 = 14z2s4 = 58 · 2− 16 · 4 = 52

x y z

2 3 −4 160 6 14 521 6 2 34

Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 1z3s1 = 1 · 2− 2 · 1 = 0z3s2 = 6 · 2− 3 · 1 = 9z3s3 = 2 · 2− (−4) · 1 = 8z3s4 = 34 · 2− 16 · 1 = 52

x y z

2 3 −4 160 6 14 520 9 8 52

Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile2 · 9z3s2 = 9 · 6− 6 · 9 = 0z3s3 = 8 · 6− 14 · 9 = −78z3s4 = 52 · 6− 52 · 9 = −156

x y z

2 3 −4 160 6 14 520 0 −78 −156

z = −156−78 = 2

y · 6 + 14 · 2 = 52y = 4x · 2 + 3 · 4 + (−4) · 2 = 16x = 6L = {6/4/2}

Aufgabe (5)

x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 62y + 6z = 0

x y z

1 2 3 42 3 2 60 2 6 0

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 2z2s1 = 2 · 1− 1 · 2 = 0z2s2 = 3 · 1− 2 · 2 = −1z2s3 = 2 · 1− 3 · 2 = −4z2s4 = 6 · 1− 4 · 2 = −2

x y z

1 2 3 40 −1 −4 −20 2 6 0

Zeile3 = Zeile3 · (−1)-Zeile2 · 2z3s2 = 2 · −1− (−1) · 2 = 0z3s3 = 6 · −1− (−4) · 2 = 2z3s4 = 0 · −1− (−2) · 2 = 4

x y z

1 2 3 40 −1 −4 −20 0 2 4

z = 42 = 2

y · (−1) + (−4) · 2 = (−2)y = −6x · 1 + 2 · −6 + 3 · 2 = 4x = 10L = {10/− 6/2}

Aufgabe (6)

−2x− 8y = 1x+ 4y = − 1

2

8x− 2y − z = 8

x y z

−2 −8 0 11 4 0 − 1

2

8 −2 −1 8

Zeile2 = Zeile2 · (−2)-Zeile1 · 1z2s1 = 1 · −2− (−2) · 1 = 0z2s2 = 4 · −2− (−8) · 1 = 0z2s3 = 0 · −2− 0 · 1 = 0z2s4 = (− 1

2) · −2− 1 · 1 = 0

x y z

−2 −8 0 10 0 0 08 −2 −1 8

Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile1 · 8z3s1 = 8 · −2− (−2) · 8 = 0z3s2 = (−2) · −2− (−8) · 8 = 68z3s3 = (−1) · −2− 0 · 8 = 2z3s4 = 8 · −2− 1 · 8 = −24

x y z

−2 −8 0 10 0 0 00 68 2 −24

Zeilen vertauschen

x y z

−2 −8 0 10 68 2 −240 0 0 0

L = unendlich

Aufgabe (7)

−2x+ 2y + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 5

4x− 2y − z = 8

x y z

−2 2 4 04 − 1

22 5

4 −2 −1 8

Zeile2 = Zeile2 · (−2)-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · −2− (−2) · 4 = 0z2s2 = (− 1

2) · −2− 2 · 4 = −7

z2s3 = 2 · −2− 4 · 4 = −20z2s4 = 5 · −2− 0 · 4 = −10

x y z

−2 2 4 00 −7 −20 −104 −2 −1 8

Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile1 · 4z3s1 = 4 · −2− (−2) · 4 = 0z3s2 = (−2) · −2− 2 · 4 = −4z3s3 = (−1) · −2− 4 · 4 = −14z3s4 = 8 · −2− 0 · 4 = −16

x y z

−2 2 4 00 −7 −20 −100 −4 −14 −16

Zeile3 = Zeile3 · (−7)-Zeile2 · (−4)z3s2 = (−4) · −7− (−7) · (−4) = 0z3s3 = (−14) · −7− (−20) · (−4) = 18z3s4 = (−16) · −7− (−10) · (−4) = 72

x y z

−2 2 4 00 −7 −20 −100 0 18 72

www.fersch.de 50

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

z = 7218 = 4

y · (−7) + (−20) · 4 = (−10)y = −10x · (−2) + 2 · −10 + 4 · 4 = 0x = −2L = {−2/− 10/4}

Aufgabe (8)

2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34

x y z

2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34

Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 9 · 2− 3 · 4 = 6z2s3 = (−1) · 2− (−4) · 4 = 14z2s4 = 58 · 2− 16 · 4 = 52

x y z

2 3 −4 160 6 14 521 6 2 34

Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 1z3s1 = 1 · 2− 2 · 1 = 0z3s2 = 6 · 2− 3 · 1 = 9z3s3 = 2 · 2− (−4) · 1 = 8z3s4 = 34 · 2− 16 · 1 = 52

x y z

2 3 −4 160 6 14 520 9 8 52

Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile2 · 9z3s2 = 9 · 6− 6 · 9 = 0z3s3 = 8 · 6− 14 · 9 = −78z3s4 = 52 · 6− 52 · 9 = −156

x y z

2 3 −4 160 6 14 520 0 −78 −156

z = −156−78 = 2

y · 6 + 14 · 2 = 52y = 4x · 2 + 3 · 4 + (−4) · 2 = 16x = 6L = {6/4/2}

Aufgabe (9)

4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7

x y z

4 −3 2 105 6 −7 410 −2 −3 7

Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− (−3) · 5 = 39z2s3 = (−7) · 4− 2 · 5 = −38z2s4 = 4 · 4− 10 · 5 = −34

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −3410 −2 −3 7

Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 10z3s1 = 10 · 4− 4 · 10 = 0z3s2 = (−2) · 4− (−3) · 10 = 22z3s3 = (−3) · 4− 2 · 10 = −32z3s4 = 7 · 4− 10 · 10 = −72

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −340 22 −32 −72

Zeile3 = Zeile3 · 39-Zeile2 · 22z3s2 = 22 · 39− 39 · 22 = 0z3s3 = (−32) · 39− (−38) · 22 = −412z3s4 = (−72) · 39− (−34) · 22 = −2, 06 · 103

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −340 0 −412 −2, 06 · 103

z = −2,06·103−412 = 5

y · 39 + (−38) · 5 = (−34)y = 4

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

x · 4 + (−3) · 4 + 2 · 5 = 10x = 3L = {3/4/5}

Aufgabe (10)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

x y z

9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23

Zeile2 = Zeile2 · 9-Zeile1 · 6z2s1 = 6 · 9− 9 · 6 = 0z2s2 = 3 · 9− 5 · 6 = −3z2s3 = (−5) · 9− 4 · 6 = −69z2s4 = 17 · 9− 13 · 6 = 75

x y z

9 5 4 130 −3 −69 753 −10 6 23

Zeile3 = Zeile3 · 9-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 9− 9 · 3 = 0z3s2 = (−10) · 9− 5 · 3 = −105z3s3 = 6 · 9− 4 · 3 = 42z3s4 = 23 · 9− 13 · 3 = 168

x y z

9 5 4 130 −3 −69 750 −105 42 168

Zeile3 = Zeile3 · (−3)-Zeile2 · (−105)z3s2 = (−105) · −3− (−3) · (−105) = 0z3s3 = 42 · −3− (−69) · (−105) = −7, 37 · 103z3s4 = 168 · −3− 75 · (−105) = 7, 37 · 103

x y z

9 5 4 130 −3 −69 750 0 −7, 37 · 103 7, 37 · 103

z = 7,37·103−7,37·103 = −1

y · (−3) + (−69) · −1 = 75y = −2x · 9 + 5 · −2 + 4 · (−1) = 13x = 3L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (11)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2 · 11-Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4

x y z

11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15

Zeile3 = Zeile3 · 11-Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168

Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0

z = 0594 = 0

y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

Aufgabe (12)

2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

x y z

2 3 4 1754 6 5 2873 2 8 257

Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 6 · 2− 3 · 4 = 0z2s3 = 5 · 2− 4 · 4 = −6z2s4 = 287 · 2− 175 · 4 = −126

x y z

2 3 4 1750 0 −6 −1263 2 8 257

Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 2− 2 · 3 = 0z3s2 = 2 · 2− 3 · 3 = −5z3s3 = 8 · 2− 4 · 3 = 4z3s4 = 257 · 2− 175 · 3 = −11

x y z

2 3 4 1750 0 −6 −1260 −5 4 −11

Zeilen vertauschen

x y z

2 3 4 1750 −5 4 −110 0 −6 −126

z = −126−6 = 21

y · (−5) + 4 · 21 = (−11)y = 19x · 2 + 3 · 19 + 4 · 21 = 175x = 17L = {17/19/21}

Aufgabe (13)

6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

x y z

6 4 9 325 7 10 174 8 5 100

Zeile2 = Zeile2 · 6-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 6− 6 · 5 = 0z2s2 = 7 · 6− 4 · 5 = 22z2s3 = 10 · 6− 9 · 5 = 15z2s4 = 17 · 6− 32 · 5 = −58

x y z

6 4 9 320 22 15 −584 8 5 100

Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile1 · 4z3s1 = 4 · 6− 6 · 4 = 0z3s2 = 8 · 6− 4 · 4 = 32z3s3 = 5 · 6− 9 · 4 = −6z3s4 = 100 · 6− 32 · 4 = 472

x y z

6 4 9 320 22 15 −580 32 −6 472

Zeile3 = Zeile3 · 22-Zeile2 · 32z3s2 = 32 · 22− 22 · 32 = 0z3s3 = (−6) · 22− 15 · 32 = −612z3s4 = 472 · 22− (−58) · 32 = 1, 22 · 104

x y z

6 4 9 320 22 15 −580 0 −612 1, 22 · 104

z = 1,22·104−612 = −20

y · 22 + 15 · −20 = (−58)y = 11x · 6 + 4 · 11 + 9 · (−20) = 32x = 28L = {28/11/− 20}

Aufgabe (14)

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

x+ y = 1x+ z = 6y − z = 5

x y z

1 1 0 11 0 1 60 1 −1 5

Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 1z2s1 = 1 · 1− 1 · 1 = 0z2s2 = 0 · 1− 1 · 1 = −1z2s3 = 1 · 1− 0 · 1 = 1z2s4 = 6 · 1− 1 · 1 = 5

x y z

1 1 0 10 −1 1 50 1 −1 5

Zeile3 = Zeile3 · (−1)-Zeile2 · 1z3s2 = 1 · −1− (−1) · 1 = 0z3s3 = (−1) · −1− 1 · 1 = 0z3s4 = 5 · −1− 5 · 1 = −10

x y z

1 1 0 10 −1 1 50 0 0 −10

L = {}

Aufgabe (15)

x− 2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

x y z

1 −2 3 93 8 9 52 3 6 7

Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 3z2s1 = 3 · 1− 1 · 3 = 0z2s2 = 8 · 1− (−2) · 3 = 14z2s3 = 9 · 1− 3 · 3 = 0z2s4 = 5 · 1− 9 · 3 = −22

x y z

1 −2 3 90 14 0 −222 3 6 7

Zeile3 = Zeile3 · 1-Zeile1 · 2z3s1 = 2 · 1− 1 · 2 = 0z3s2 = 3 · 1− (−2) · 2 = 7z3s3 = 6 · 1− 3 · 2 = 0z3s4 = 7 · 1− 9 · 2 = −11

x y z

1 −2 3 90 14 0 −220 7 0 −11

Zeile3 = Zeile3 · 14-Zeile2 · 7z3s2 = 7 · 14− 14 · 7 = 0z3s3 = 0 · 14− 0 · 7 = 0z3s4 = (−11) · 14− (−22) · 7 = 0

x y z

1 −2 3 90 14 0 −220 0 0 0

L = unendlich

Aufgabe (16)

6x+ 4y + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9

x y z

6 4 5 84 2 3 75 3 4 9

Zeile2 = Zeile2 · 6-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 6− 6 · 4 = 0z2s2 = 2 · 6− 4 · 4 = −4z2s3 = 3 · 6− 5 · 4 = −2z2s4 = 7 · 6− 8 · 4 = 10

x y z

6 4 5 80 −4 −2 105 3 4 9

Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile1 · 5z3s1 = 5 · 6− 6 · 5 = 0z3s2 = 3 · 6− 4 · 5 = −2z3s3 = 4 · 6− 5 · 5 = −1z3s4 = 9 · 6− 8 · 5 = 14

x y z

6 4 5 80 −4 −2 100 −2 −1 14

Zeile3 = Zeile3 · (−4)-Zeile2 · (−2)z3s2 = (−2) · −4− (−4) · (−2) = 0z3s3 = (−1) · −4− (−2) · (−2) = 0z3s4 = 14 · −4− 10 · (−2) = −36

x y z

6 4 5 80 −4 −2 100 0 0 −36

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Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Lösungen

L = {}

Aufgabe (17)

x+ 3y − 2z = 33x+ 2y + z = 2y + 3z = 5

x y z

1 3 −2 33 2 1 20 1 3 5

Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 3z2s1 = 3 · 1− 1 · 3 = 0z2s2 = 2 · 1− 3 · 3 = −7z2s3 = 1 · 1− (−2) · 3 = 7z2s4 = 2 · 1− 3 · 3 = −7

x y z

1 3 −2 30 −7 7 −70 1 3 5

Zeile3 = Zeile3 · (−7)-Zeile2 · 1z3s2 = 1 · −7− (−7) · 1 = 0z3s3 = 3 · −7− 7 · 1 = −28z3s4 = 5 · −7− (−7) · 1 = −28

x y z

1 3 −2 30 −7 7 −70 0 −28 −28

z = −28−28 = 1

y · (−7) + 7 · 1 = (−7)y = 2x · 1 + 3 · 2 + (−2) · 1 = 3x = −1L = {−1/2/1}

Aufgabe (18)

4x+ 6y + 8z = 05x+ 6y + 67z = 88x+ 87y + 6z = 6

x y z

4 6 8 05 6 67 88 87 6 6

Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− 6 · 5 = −6z2s3 = 67 · 4− 8 · 5 = 228z2s4 = 8 · 4− 0 · 5 = 32

x y z

4 6 8 00 −6 228 328 87 6 6

Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 8z3s1 = 8 · 4− 4 · 8 = 0z3s2 = 87 · 4− 6 · 8 = 300z3s3 = 6 · 4− 8 · 8 = −40z3s4 = 6 · 4− 0 · 8 = 24

x y z

4 6 8 00 −6 228 320 300 −40 24

Zeile3 = Zeile3 · (−6)-Zeile2 · 300z3s2 = 300 · −6− (−6) · 300 = 0z3s3 = (−40) · −6− 228 · 300 = −6, 82 · 104z3s4 = 24 · −6− 32 · 300 = −9, 74 · 103

x y z

4 6 8 00 −6 228 320 0 −6, 82 · 104 −9, 74 · 103

z = −9,74·103−6,82·104 = 0, 143

y · (−6) + 228 · 0, 143 = 32y = 0, 0991x · 4 + 6 · 0, 0991 + 8 · 0, 143 = 0x = −0, 435L = {−0, 435/0, 0991/0, 143}

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