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Lineare AlgebraII

Christian Ebert &Fritz Hamm

Skalarprodukt,Norm, Metrik

Matrizen

LineareAbbildungen

LineareAbbildungen undMatrizen

Lineare Algebra II

Christian Ebert & Fritz Hamm

2. Dezember 2011

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Übersicht

Lineare Algebra IGruppen & KörperVektorräume, Basis & Dimension

Lineare Algebra IISkalarprodukt, Norm & MetrikLineare Abbildung & Matrizen

Lineare Algebra IIIEigenwerte, EigenwertzerlegungSingulärwertzerlegung

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Das Skalarprodukt I

Definition (Skalarprodukt)

Sei K ∈ {R,C} und V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung

〈·, ·〉 : V × V → K, (v,w) 7→ 〈v,w〉

heißt Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:S1 〈v + v′,w〉 = 〈v,w〉+ 〈v′,w〉

〈λv,w〉 = λ〈v,w〉S2 〈v,w + w′〉 = 〈v,w〉+ 〈v,w′〉

〈v, λw〉 = λ〈v,w〉

S3 〈v,w〉 = 〈w, v〉S4 〈v, v〉 > 0R für alle v 6= 0V

Hierbei ist λ die zu λ konjugiert komplexe Zahl:

(a + ib) = a− ib

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Das Skalarprodukt II

Ein Skalarprodukt ist einepositiv definite (S4)hermitesche (S3)Sesquilinearform, d.h.

linear im ersten Argument (S1) undsemilinear im zweiten Argument (S2)

Ist K = R, dann ist λ = λ und das Skalarprodukt damit einepositive definite symmetrische BilinearformWegen (S3) ist 〈v, v〉 ∈ R (also insbes. auch für K = C)

Ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischerVektorraum, ein C-Vektorraum mit Skalarprodukt unitärerVektorraum

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Norm & Metrik I

Definition (Norm)

Sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Abbildung

‖ · ‖ : V → R, v 7→ ‖v‖

heißt Norm auf V, falls für alle v,w ∈ V und alle λ ∈ K gilt:N1 ‖λv‖ = |λ|‖v‖N2 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (Dreiecksungleichung)N3 ‖v‖ = 0K gdw. v = 0V

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierterVektorraumFür alle v ∈ V gilt: ‖v‖ ≥ 0

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Norm & Metrik II

Bemerkung

Für einen euklidischen bzw. unitären Vektorraum V definiertman eine Norm mittels

‖v‖ :=√〈v, v〉 für alle v ∈ V

Für einen normierten Vektorraum V definiert man eine Metrikmittels

d(v, v′) := ‖v− v′‖ für alle v ∈ V

Euklidischer/unitärer VR⇒ normierter VR⇒ metrischer VR

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Orthonormalbasis

Definition

Sie V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum.Zwei Vektoren v,w ∈ V heißen orthogonal falls 〈v,w〉 = 0.Eine Familie von Vektoren (vi)i∈I aus V heißt orthogonal, fallsje zwei Vektoren vi, vj; i, j ∈ I, i 6= j orthogonal sind.Eine Familie von Vektoren (vi)i∈I aus V heißt orthonormal,falls sie orthogonal ist und ‖vi‖ = 1 für alle i ∈ I.Eine Familie von Vektoren (vi)i∈I aus V heißtOrthonormalbasis, falls sie Basis von V und orthonormal ist.

Jeder endlich-dimensionale euklidische bzw. unitäreVektorraum besitzt eine Orthonormalbasis

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Hilbertraum

Definition

Ein Vektorraum mit Skalarprodukt heißtPrähilbertraum/Skalarproduktraum/Innenproduktraum.Ein Prähilbertraum heißt Hilbertraum, wenn er bzgl. derinduzierten Metrik vollständig ist.

Definition

Sei (M, d) ein metrischer Raum mit Metrik d.(M, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folgekonvergiert, d.h. ihr Grenzwert in M liegt.Eine Folge (ai)i∈N heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ε > 0ein N ∈ N existiert, sodass

d(an, am) < ε für alle n,m ≥ N

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Der Begriff der Matrix I

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

......

am1 am2 am3 . . . amn

A ist eine m× n-Matrix.

Kurzschreibweise:

(aij), i = 1, . . . ,m und j = 1, . . . , n

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Der Begriff der Matrix II

Reihen und Spalten

1. Spalte a11a21...

am1

2. Reihe

(a21, a22, . . . , a2n)

aij ist die ij-te Komponente der Matrix.

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Der Begriff der Matrix III

Ai = (ai1, ai2, . . . , ain)

Aj =

a1j

a2j...

amj

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Der Begriff der Matrix IV

Beispiel

(1 1 −2−1 4 −5

)

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Spezielle Matrizen I

Ein (Reihen-)Vektor(x1, . . . , xn)

ist eine 1× n Matrix.

Ein (Spalten-)Vektor x1...

xn

ist eine n× 1 Matrix.

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Spezielle Matrizen II

Falls n = m wird die Matrix quadratische Matrix genannt. Beispielesind:

Beispiel

(1 2−1 0

) 1 −1 52 1 −13 1 −1

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Spezielle Matrizen III

Für die Nullmatrix O gilt aij = 0 für alle i, j.

O =

0 0 0 . . . 00 0 0 . . . 0...

......

......

0 0 0 . . . 0

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Addition von Matrizen I

Seien A = (aij) und B = (bij) zwei m× n-Matrizen.

A + B

ist diejenige Matrix, die die Komponente aij + bij in der i-ten Reiheund der j-ten Spalte besitzt.

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Addition von Matrizen II

Beispiel

A =

(1 −1 02 3 4

)B =

(5 1 −12 1 −1

)

A + B =

(6 0 −14 4 3

)

Es gilt:O + A = A + O = A

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Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar I

Sei c eine Zahl und A = (aij) eine Matrix. cA ist diejenige Matrix,deren ij-te Komponente gleich caij ist.

cA = (caij)

Beispiel

Seien A und B wie oben. Sei c = 2.

2A =

(2 −2 04 6 8

)2B =

(10 2 −24 2 −2

)

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Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar II

(−1)A = −A =

(−1 1 0−2 −3 −4

)

Es gilt für alle Matrizen A:

A + (−1)A = O

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Der Raum der Matrizen

Theorem

Die Matrizen (einer gegebenen Größe m× n) mit Komponentenaus einem Körper K bilden einen Vektorraum über K, der mitMatm×n(K) bezeichnet wird.

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Die transponierte Matrix I

Sei A = (aij) eine m× n-Matrix. Die n×m-Matrix B mit bji = aij wirddie transponierte Matrix von A genannt und durch tA bezeichnet.

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

......


tA =

a11 a21 a31 . . . am1a12 a22 a32 . . . am2...

......

......

a1n a2n a3n . . . amn

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Die transponierte Matrix II

Beispiel

A =

(2 1 01 3 5

)tA =

2 11 30 5

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Die transponierte Matrix III

Eine Matrix A wird symmetrisch genannt, falls gilt:

tA = A

Eine symmetrische Matrix ist immer eine quadratische Matrix.

Beispiel

Die Matrix 1 −1 2−1 0 32 3 7

ist symmetrisch.

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Die transponierte Matrix IV

Sei A = (aij) eine quadratische Matrix. Die Einträgea11, a22, . . . , ann werden die diagonalen Komponenten von Agenannt. Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, falls

alle Komponenten außer (möglicherweise) den diagonalenKomponenten gleich 0 sind; also aij = 0, falls i 6= j.

a11 0 0 . . . 00 a22 0 . . . 0...

......

......

0 0 0 . . . ann

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Die transponierte Matrix V

Definition

Die Einsmatrix In ist diejenige n× n-Diagonalmatrix, derendiagonale Komponenten gleich 1 sind.

In =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0...

......

......

0 0 0 . . . 1

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Multiplikation von Matrizen I

Definition

Sei A = (aij), i = 1, . . . ,m und j = 1, . . . , n eine m× n-Matrix. SeiB = (bjk), j = 1, . . . , n und k = 1, . . . , s eine n× s-Matrix.

A =

a11 . . . a1n

. . .am1 . . . amn

B =

b11 . . . b1s

. . .bn1 . . . bns

Das Produkt AB ist die m× s-Matrix, deren ik-te Koordinate durch

n∑j=1

aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + . . .+ ainbnk

gegeben ist.

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Multiplikation von Matrizen II

Beispiel

A =

(2 1 51 3 2

)B =

3 4−1 22 1

AB ist die 2× 2-Matrix mit

AB =

(15 154 12

)

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Multiplikation von Matrizen III

Beispiel

Sei

C =

(1 3−1 −1

)und A, B wie oben.

BC =

3 4−1 −22 1

( 1 3−1 −1

)=

−1 5−3 −51 5

und

A(BC) =

(2 1 51 3 2

) −1 5−3 −51 5

=

(0 30−8 0

)

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Multiplikation von Matrizen IV

Sei A eine m× n-Matrix und B eine n× 1-Matrix; d.h. B ist einSpaltenvektor. Dann ist das Produkt von A und B: a1 . . . a1n

......

am1 . . . amn

b1

...bn

=

c1...

cm

mit

ci =

n∑j=1

aijbj = ai1b1 + . . .+ ainbn

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Multiplikation von Matrizen V

Sei X = (x1, . . . , xm) ein Reihenvektor; d.h. eine 1× m-Matrix. DasProdukt XA wird dann wie folgt gebildet:

(x1, . . . , xm)

a1 . . . a1n...

...am1 . . . amn

= (y1, . . . , yn)

mityk = x1a1k + . . .+ xmamk

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Multiplikation von Matrizen VI

Theorem

Seien A,B,C Matrizen. Angenommen A,B und A,C könnenmultipliziert werden und B,C können addiert werden. Dannkönnen A und B + C multipliziert werden und es gilt:

A(B + C) = AB + AC

Falls x eine Zahl ist, gilt ferner:

A(xB) = x(AB)

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Multiplikation von Matrizen VII

Theorem

Seien A,B,C Matrizen. Angenommen A,B und B,C könnenmultipliziert werden. Dann kann A mit BC und AB mit Cmultipliziert werden und es gilt:

(AB)C = A(BC)

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Multiplikation von Matrizen VIII

Definition

Sei A eine quadratische n× n-Matrix. A heißt invertierbar odernicht-singulär falls eine n× n-Matrix B existiert mit

AB = BA = In

B wird die zu A inverse Matrix genannt und durch A−1

bezeichnet.

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Multiplikation von Matrizen IX

Theorem

Seien A,B Matrizen, die multipliziert werden können. Dannkönnen tB und tA multipliziert werden und es gilt:

t(AB) = tBtA

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Der Begriff der Linearen Abbildung I

Definition

Seien V und V ′ Vektorräume über einem Körper K. Eine lineareAbbildung

F : V → V ′

ist eine Abbildung, die die folgenden Eigenschaften hat:1 für beliebige Elemente u, v ∈ V gilt:

F(u + v) = F(u) + F(v)

2 für alle c ∈ K und v ∈ V gilt:

F(cv) = cF(v)

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Der Begriff der Linearen Abbildung II

Beispiel

Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über K und sei{v1, . . . , vn} eine Basis von V. Definiere

F : V → Kn

durch Abbildung von v auf den Koordinatenvektor X bezüglich derBasis. Also falls

v = x1v1 + . . .+ xnvn

ist, mit xi ∈ K dann ist

F(v) = (x1, . . . , xn)

Die Abbildung F ist eine lineare Abbildung.

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Der Raum der Linearen Abbildung I

Seien V,V ′ Vektorräume über einem Körper K. Die Abbildung O,die jedem Element v ∈ V das Element 0 in V ′ zuordnet ist einelineare Abbildung.

Seien T : V → V ′ und F : V → V ′ lineare Abbildungen. Definieredie Summe T + F für ein Element u ∈ V durch:

(T + F)(u) = T(u) + F(u)

Die Abbildung T + F ist dann linear.

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Der Raum der Linearen Abbildung II

Sei a ∈ K und T : V → V ′ eine lineare Abbildung. Definiere füru ∈ V eine Abbildung aT durch:

(aT)(u) = aT(u)

aT ist dann eine lineare Abbildung.

Die Menge L der linearen Abbildungen von V nach V ′ bildetbezüglich dieser Operationen einen Vektorraum.

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Kern und Bild einer Linearen Abbildung I

Definition

Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und seiF : V → W eine lineare Abbildung. Der Kern von F ist die Mengealler v ∈ V mit F(v) = O. Der Kern von F wird durch Ker Fbezeichnet.

Der Kern von F ist ein Teilraum von V.

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Kern und Bild einer Linearen Abbildung II

Beispiel

Sei L : R3 → R die Abbildung mit

L(x, y, z) = 3x− 2y + z

Falls A = (3,−2, 1) kann L wie folgt geschrieben werden:

L(X) = X · A

Der Kern von L ist die Menge aller Lösungen der Gleichung:

3x− 2y + z = 0

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Kern und Bild einer Linearen Abbildung III

Lemma

Die folgenden Aussagen sind äquivalent.1 Der Kern von F ist gleich {O}.2 Falls v,w Elemente von V mit F(v) = F(w) sind, dann ist

v = w, d.h. F ist injektiv.

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Kern und Bild einer Linearen Abbildung IV

Theorem

Sei F : F → W eine lineare Abbildung mit Kern gleich {O}. Fallsv1, . . . , vn linear unabhängige Elemente aus V sind, dann sindF(v1), . . . ,F(vn) linear unabhängige Elemente von W.

Definition

Sei F : V → W eine lineare Abbildung. Das Bild von F ist dieMenge der Elemente w ∈ W für die ein Element v ∈ V existiert mitF(v) = w. Das Bild von F wird durch Im F bezeichnet.

Das Bild von F ist ein Teilraum von W.

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Kern und Bild einer Linearen Abbildung V

Theorem

Sei V ein Vektorraum. Sei L : V → W eine lineare Abbildung vonV in einen anderen Raum W. Sei n die Dimension von V, q dieDimension des Kerns von L und s die Dimension des Bildes vonL. Dann ist n = q + s. Also:

dimV = dim Ker L + dim Im L

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Die einer Matriz entsprechende LineareAbbildung I

Definition

Sei

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

......


eine m× n-Matrix. Die A entsprechende lineare Abbildung

LA : Rn → Rm

ist definiert durch:LA(X) = AX

für jeden Spaltenvektor X in Rn.

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Die einer Matriz entsprechende LineareAbbildung II

Es gilt:A(X + Y) = AX + AY und A(cX) = cAX

Beispiel

A =

(2 1−1 5

)und X =

(37

)Dann (

2 1−1 5

)(37

)=

(6 + 7−3 + 35

)=

(1332

)

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Die einer Matriz entsprechende LineareAbbildung III

Theorem

Falls A,B m× n-Matrixen sind und falls LA = LB, dann A = B. Fallsalso zwei Matrizen dieselbe lineare Abbildung induzieren, sind siegleich.

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Die einer Linearen Abbildung entsprechendeMatriz I

Zuerst ein Spezialfall: Sei

L : Rn → R

eine lineare Abbildung. Zu zeigen: Es existiert ein Vektor A in Rn

mit der Eigenschaft L = LA, d.h. für jedes X gilt:

LA(X) = AX

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Die einer Linearen Abbildung entsprechendeMatriz II

Generalisierung

Theorem

Sei L : Kn → Km eine lineare Abbildung. Dann gibt es eine(eindeutig bestimmte) Matrix A mit L = LA.

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

x1

...xn

=

a11x1 + . . . + a1nxn...

am1x1 + . . . + amnxn

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Die einer Linearen Abbildung entsprechendeMatriz III

Beispiel

Sei F : R3 → R2 eine Projektion, d.h. die Abbildung mit:

F(x1, x2, x3) = (x1, x2)

Die mit F assoziierte Matrix ist dann:(1 0 00 1 0

)

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Die einer Linearen Abbildung entsprechendeMatriz IV

Beispiel

Eine lineare Abbildungh L : R2 → R2 wir eine Rotation genannt,falls ihre Matrix in der folgenden Form geschrieben werden kann:(

cosθ −sinθsinθ cosθ

)

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Die einer Linearen Abbildung entsprechendeMatriz V

Es gilt:LA+B = LA + LB und LcA = cLA

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