Lineare Algebra und analytische Geometrie

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LineareAlgebraundAnalytischeGeometrieIW.P.Barth,P.KnabnerWintersemester08/09DepartmentMathematikderUniversitatErlangen,Bismarckstrae112e-mail:barth@mi.uni-erlangen.deVersionvom14.Januar2009Inhaltsverzeichnis0 Einf uhrung 21 DerZahlenraumIRn41.1 LineareGleichungssysteme . . . . . 41.1.1 BeispieleundSpezialfalle . 41.1.2 DasEliminationsverfahren. 101.2 IR-Vektorraume. . . . . . . . . . . 171.2.1 VektorrechnungimIRn. . . 171.2.2 AllgemeineIR-Vektorraume 261.3 Untervektorraume . . . . . . . . . 291.4 Lineare(Un-)Abhangigkeit . . . . 351.4.1 Dimension. . . . . . . . . . 351.4.2 Lineare GleichungssystemeundzugehorigeUnterraume 451.5 DasSkalarprodukt. . . . . . . . . 491.5.1 SkalarproduktimIRn. . . 491.5.2 Skalarprodukt und Norm inIR-Vektorraumen . . . . . . 531.5.3 Orthogonalitat . . . . . . . 552 Matrizen 632.1 Bewegungen im IRnund lineare Ab-bildungen . . . . . . . . . . . . . . 632.2 LineareAbbildungenundMatrizen 702.3 Matrizenrechnung . . . . . . . . . 752.3.1 Matrizenprodukt . . . . . . 752.3.2 Tensorprodukt vonVektoren 812.3.3 Projektionen . . . . . . . . 832.3.4 InvertierbareMatrizen. . . 862.3.5 DietransponierteMatrix . 912.4 Ausgleichsrechnung und Pseudo-Inverse. . . . . . . . . . . . . . . . 962.4.1 Spezialfall: VollerSpaltenrang 992.4.2 Allgemeinfall . . . . . . . . 1002.5 PermutationenundPermutations-matrizen. . . . . . . . . . . . . . . 1042.6 DieDeterminante. . . . . . . . . . 1102.6.1 Denition . . . . . . . . . . 1102.6.2 Eigenschaften. . . . . . . . 1142.6.3 OrientierungundDetermi-nante . . . . . . . . . . . . 1222.7 DieLR-Zerlegung. . . . . . . . . . 1243 Rechenstrukturen 1313.1 Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . 1313.2 Korper. . . . . . . . . . . . . . . . 1353.3 K-Vektorraume. . . . . . . . . . . 1393.4 DerQuotientenvektorraum . . . . 1443.5 DerDualraum . . . . . . . . . . . 1483.6 DasVektorprodukt . . . . . . . . . 1523.7 Euklidische und unitare Vektorraume15710 Einf uhrungAnallendeutschenUniversitatenm ussendieStudentenderMathematik(undauchderPhysik)indenerstenSemesterndieVorlesungenAnalysisundLineareAlgebraundAnalytischeGeometriehoren. Dasistsinnvoll, weil derStobeiderVorlesungenf urjedeArtvonMathematik-sei siereinoderangewandt- fundamental ist. Der StoderAnalysis-VorlesungenistDierentiationundInte-gration, daskenntmanimPrinzipausdemGymnasium. DieseArtvonMathematikwurdeumdasJahr1700herum, imwesentlichenvonI. NewtonundG.W. Leibnizerfunden. DieEntwicklungderAnalysisverliefHandinHandmitderEntwicklungihrerAnwendungeninPhysikundIngenieurwis-senschaften.Um1700warenjaauchdieWissenschaftenMathematikundPhysikbeiweitemnichtsovoneinanderabgegrenztwieheute.DieAnalysishatdannum1900ihrenEinzugindenMathematik-stoderGymnasiengefunden.Sieisteinenat urlichgewachseneDisziplin, mitstarkerBeziehungzuAnwendungen.Anders ist es mit der Linearen Algebra. Die gab es vor dem zweiten Weltkrieg nicht als eigenstandi-geVorlesung.Nat urlichgabesihreRechentechniken(vorallemlineareGleichungssysteme,Matrizen,Determinanten)schonvielfr uher. AbermanhatdieseRechentechnikendamalsnichtzueinemstruk-turiertenSystemzusammengefasst. Dastatmanerst, nachdemauchdieAlgebra, fr uherdieLehrevondenGleichungen, seit denzwanziger Jahrendes letztenJahrhunderts, zueiner LehrevonRe-chenstrukturenwurde. Vor demKrieggeschahdies vor allemunter demEinuss der inErlangengeborenen MathematikerinEmmy Noether, nach dem Krieg vor allem unter dem Einuss einer SchulefranzosischerMathematiker,diesichhinterdemPseudonymN.Bourbakiverbargen.Vorlesungen uberGeometrie,seiesanalytischeoderandere,dagegengibtes,seitesMathematik-vorlesungengibt. Geometrie, schondenantikenAgypternundGriechenbekannt, istzusammenmitder Algebra die alteste Teildisziplin der Mathematik. Die Analytische Geometrie verlor nach und nachihreneigenstandigenCharakter, seit Descartes diekartesischenKoordinatenerfand. SeitdemkannmangeometrischeBeweiseauchdurchKoordinatenrechnungenerbringen.Diesf uhrte-vorallemim19.Jahrhundert-zueinemerbittertenGegensatzzwischendenreinen(synthetischen)Geometern,unddenKoordinatenrechnern,diedieGeometriealseineAnwendungderAlgebrasahen.Und es stellte sich eben heraus, dass genau das, was man unterAnalytischer Geometrieversteht,eine Anwendung der Linearen Algebra ist. So wurde dann aus der VorlesungAnalytische Geometrie,fr uher eine Standardvorlesung f ur Anfanger, die VorlesungLineare Algebraund AnalytischeGeome-trie.NachundnachtratendabeidieStrukturenderLinearenAlgebraindenVordergrund,unddiez.T. Jahrtausende altengeometrischenInhalte inden Hintergrund. Dashat sichbis in die Gymnasienausgewirkt,woleiderauchderStellenwertderGeometriesehrgelittenhat.DiegrundlegendenRechenmethodenderAnalysis(Grenzwertbildung,Dierenzieren,Integrieren)undder LinearenAlgebra (Lineare Gleichungssysteme, Vektoren, Matrizen) sindzumindest rudi-mentarvomGymnasiumhervertraut.IchhabedieErfahrung gemacht,dassdieStudentenimerstenSemestermitderLinearenAlgebraganzandersartigeProbleme, alsmitderAnalysishaben. InderLinearenAlgebraliegtnamlichsehrbalddasSchwergewicht auf derUntersuchungmathematischerStrukturen.DasistinderGeschichtederMathematiketwasrelativNeues.Erstindenletzten100bis150JahrenschenktmandiesemGesichtspunktinderMathematikAufmerksamkeit. Undleiderist esgenaudas,was denAnfangern immergroeSchwierigkeitenbereitet.Aber weileseben einederganzwichtigenMethodenindermodernenMathematikist,m ussenwirunsdamitbefassen.Jetztsollteeigentlicheine Liste vonLehrb uchern der Linearen Algebrakommen. Eine solcheListezusammenzustellenistnichteinfach: B ucherzurLinearenAlgebragibtesviele, aberkeines, welchesmirwirklichzusagt. DasistauchderGrunddaf ur,dassichimWS91/92einSkriptumgeschriebenhabe, das ich damals an die Studenten ausgab. Das positive Echo auf jenes Skriptum hat mich bewogen,2seitdem zu den meisten meiner Vorlesungen den Studenten ein eigenes Skriptum an die Hand zu geben.DasvorliegendeSkriptumistz.T. eineaufpolierteVersionmeinesSkriptumsvon91/92. Z.T.hatesaber durch Zusammenarbeit mit meinem KollegenP. Knabner sehr anInhalt gewonnen. Dabeifolgenwir einer Tendenz, dieindenletztenJahrzehnteninder MathematikstarkanBedeutunggwann.Fr uhergabeseineklareUnterscheidungzwischenreiner(zweckfreier)undangewandter(n utzlicher)Mathematik. DieseAbgrenzunghat sichzueinemgroenTeil aufgelost. ImJahr 2006/07hielt P.KnabnerdieseAnfangervorlesungLineareAlgebra. Dabei orientierteersichwesentlichanmeinemvorliegendenSkriptum, erganzteesallerdingsumInhalte, diefr uherderangewandtenMathematikzugerechnetwaren. IchbeabsichtigeseineErganzungenauchindieserVorlesungzubesprechen. Ichkannnurhoen,dassichmitdemSchreibendessomodiziertenSkriptumszeitlichzurechtkomme.Trotzdem,nocheineListevonStandardlehrb uchern:E.Brieskorn:LineareAlgebraundanalytischeGeometrie1,2,Vieweg1983,85G.Fischer:LineareAlgebra,Vieweg1975W.Graeub:LineareAlgebra,Springer1958H.J.Kowalsky:LineareAlgebra,deGruyter1963F.Lorenz:LineareAlgebraI,II,BI1981,1982G.Strang:LineareAlgebra,Springer2003NachjedemAbschnitt ndenSieeineAnzahl vonUbungsaufgaben. Einigehabeichmir selbstausgedacht, andereausQuellen ubernommen, andieichmichjetztnichtmehrerinnere. SehrvieleaberstammenausStaatsexamensklausuren: entwederausdemfr uherenVorexamenoderdemnicht-vertieftenExamen.AusdiesenAufgabenwerdeichIhreUbungsaufgabenauswahlen.Erlangen,13.10.08WolfBarth31 DerZahlenraumIRn1.1 LineareGleichungssysteme1.1.1 BeispieleundSpezialfalleLineareGleichungssystemesinddieeinzigeArtvonGleichungeninderMathematik, welchewirklichexaktlosbarsind.WirbeginnenmiteinemBeispiel,wieesschonausderAntike uberliefertist.Beispiel1.1IneinemKagseienHasenundHuhner. DieAnzahl derKopfesei insgesamt 4, dieAnzahl derBeineseiinsgesamt10.Frage:WievieleHasenundwievieleHuhnersindes?Losung:EsseixdieAnzahl derHasenundydieAnzahl derHuhner.Danngiltalsox + y = 44x + 2y = 10DiesisteinSystemauszweilinearen GleichungeninzweiUnbekanntenxundy.WirkonnenausdererstenGleichungx = 4 yeliminierenundindiezweiteeinsetzen:4(4 y) + 2y = 1016 2y = 102y = 6y = 3x = 1Antwort:EssinddreiHuhnerundeinHase.Beispiel1.2GegebenseieinelektrischesNetzwerkderFormUR1R2R3'' 'I1I2I3DabeiseienU, R1, R2, R3gegebenundI1, I2undI3gesucht.WeilesunshiernuraufdieMathematikankommt, vermeidenwir Fragender Benennung. DievorkommendenGroenU, R, I, =1, 2, 3,sindalsoreelleZahlen.UnddieWiderstandeRsindZahlen> 0.Losung: Nach densogenanntenKirchhoschen Gesetzender Physik hat mandie GleichungenI1=I2+ I3, sowieR2I2=R3I3undR1I1+ R2I2=U. Das Aufstellendieser GleichungenheitmathematischeModellierungdes Problems. WirschreibendieGleichungenals einSystemaus dreilinearenGleichungenindendreiUnbekanntenI1, I2undI3:I1 I2 I3= 0R2I2 R3I3= 0R1I1+ R2I2= U4WirkonnenhieretwaI1=I2 + I3eliminieren, umfolgendesSystemauszwei linearenGleichungenindenUnbekanntenI2undI3zuerhalten:R2I2 R3I3= 0(R1 +R2)I2+ R1I3= UHiereliminierenwirI2=R3R2I3(dasgehtso,weil R2 ,= 0)underhaltenschlielichdieGleichung(R1 +R2)R3R2I3 +R1I3= U,(R1R2 +R1R3 +R2R3)I3= R2U.Weil R1R2 +R1R3 +R2R3> 0ist,konnenwirhierausI3=R2UR1R2 +R1R3 +R2R3berechnen.AusdenEliminationsgleichungenfurI2undI1erhaltenwirI2=R3UR1R2 +R1R3 +R2R3, I1=(R2 +R3)UR1R2 +R1R3 +R2R3.Denition1.1EinelineareGleichungisteineGleichungderArta1x1 +a2x2 +... +anxn= b.Dabei sinddieKoezientena1, ..., anunddierechteSeitebgegeben, unddieUnbekanntenx1, ..., xnsindgesucht.EinlinearesGleichungssystemkurzLGSisteinSystema1,1x1+ a1,2x2+ ... + a1,nxn= b1a2,1x1+ a2,2x2+ ... + a2,nxn= b2............am,1x1+ am,2x2+ ... + am,nxn= bmausmehrerenlinearenGleichungen. Dabei sinddieKoezientena,unddierechtenSeitenbfur = 1, ..., m, = 1, ..., ngegeben.DieUnbekanntenx,= 1, ..., n, sindgesucht.ZunachstsollenalleKoezientenundauchdieUnbekanntenreelleZahlensein. DieMengederreellenZahlenbezeichnenwirwie ublichmitIR.WirbenutzendieRechenstrukturenAddition:a +b, Multiplikation:abbzw.kurzab (a, b IR)wieinderSchule,ohnesiehierweiterzuanalysierenoderzuproblematisieren.Zahlenx1, ..., xn IR,wiesieetwazueinerLosungdesobigenLGSgehoren,fassenwirzusammenzueinemSpaltenvektorx =___x1...xn___ = (x)=1,...,n.DieMengeallersolcherSpaltenvektorennenntmandenZahlenraumIRn.5Denition1.2Die Koezientenmatrixdes LGS aus Denition 1.1ist das rechteckigeZahlenschemaA =______a1,1a1,2... a1,na2,1a2,2... a2,n.........am,1am,2... am,n______.Der Zeilenvektor a= (a,1, ..., a,n), = 1, ..., m, heit die -te Zeile der Matrix A. Der Spaltenvektora=___a1,...am,___, = 1, ..., n,heitdie-teSpaltederMatrixA.WennwirandieMatrixAnochdierechtenSeitendesLGSanfugen,A =______a1,1a1,2... a1,nb1a2,1a2,2... a2,nb2............am,1am,2... am,nbm______,sonennenwirdiesdieerweiterteKoeizentenmatrix.Beispiel 1.1istsoziemlichdieeinfachsteSorteeineslinearenGleichungssytems. Beispiel 1.2gibtaber einen ersten Eindruck davon, wie lineare Gleichungssysteme Fragen aus Naturwissenschaften undTechnik, aberauchausderOkonomiemodellieren. Schondeswegenisteswichtig, siemathematischzuuntersuchen.DabeistellensichzweiwesentlichemathematischeFragen:A) Das Existenzproblem: Hat ein vorgelegtes LGS (mindestens) eine Losung? Diese Frage kannmanpositiventscheidendurch:a) Konkrete Angabe einer Losung. Das geht allerdings nur bei einemkonkretenBeispiel, nichtDiskussion einer allgemeinenSituation. Es bleibt dann auch die Frage,woher eine solche Losungkommt.b) AbstrakteArgumentation, z.B., durcheinenWiderspruchsbeweis. AusderAnnahme, esgebekeine Losungfolgert manlogischeinenWiderspruch. Eine Losungwirddadurchaber nichtbekannt.c) Angabe, bzw. Herleitung eines Algorithmus (= Rechenvorschrift) zur Bestimmung einer Losung.Wenn dies nur endlich viele Rechenschritte erfordert, dann erhalt man bei (exakter) Durchf uhrungdesAlgorithmuseine(exakte)Losung.B)DasEindeutigkeitsproblem:IstdieLosungdesvorgelegtenLGSeindeutigbestimmt?Dasheit auf deutsch: Wennxundy Losungensind, gilt dannx=y?Dies ist nur durchabstrakteArgumentationzuklaren.Die Fragen A) und B) sind i.A. unabhangig voneinander. Wenn beide positiv zu beantwortensind,dannsagtman:EsgibtgenaueineLosung.EinLGS,dasausdenAnwendungenkommt,isttypischerweisesehrgro,esenthaltetwa103bis108Unbekannte bzw. Gleichungen. Das Rechnenmit der Hand, wie in den obigen Beispielen,ist nicht6mehrmoglich. DieFragenach(ezienten)Algorithmenistdeswegenbesonderswichtig. WirwollendieseFragehiersoweitwiemoglichmitbehandeln.VertieftwirdsieinderNumerik-Vorlesung. Wirdiskutieren alsojetztdenAllgemeinfalleines LGS, wobei wirbesonders darauf achtenm ussen, welcheSpezialfalleundAusnahmenauftretenkonnen:Spezialfall1:EineGleichung.BeiderBehandlungeinerlinearenGleichunga1x1 +a2x2 +... +anxn= b,m ussenwirleiderverschiedeneFalleunterscheiden:A: Nicht alleKoezientena1, ..., ansind=0. Dannsei etwaam, 1 m n, der erstevon0verschiedeneKoezient.DieGleichungsiehtsoaus:0x1 +... + 0xm1 +am xm +am+1 xm+1 +... +an xn= b.Wir konnen also x1, ..., xm1beliebig wahlen, auf die G ultigkeit der Gleichung hat dies keinen Einu.Ebensokonnenwirxm+1, ..., xnbeliebigwahlen.Anschlieendsetzenwirxm:= (b am+1xm+1... anxn)/am.Damithabenwirf urjedeWahl derx1, ..., xm1, xm+1, ..., xndieGleichunggelost. DiesistaufdieseWeisenurmoglich, weilam ,= 0.Esfalltauf,dasshiern 1Unbekanntefreiwahlbarsind.DieZahldieserFreiheitsgradezuprazisieren,istTeilderzuentwickelndenTheorie.B1: AlleKoezientena1, ..., ansind0, aber es ist b ,=0. Das Gleichungssystemhat danndiemerkw urdigeForm0x1 +... + 0xn= b.Egal, wie manauchdie Unbekanntenx1, ..., xnwahlt, diese Gleichung ist nie zuerf ullen. Sie istunlosbar.B2:AlleKoezientena1, ..., ansind= 0undauchb = 0.IndiesemreichlichuninteressantenFallistdieGleichungstetserf ullt,siestelltkeinerleiBedingungenandieUnbekannten.Spezialfall2:Diagonalsystem.HierhatdieKoezientenmatrixeineFormA =_____________a1,10 ... ... ... 00......... ar,r...... 0............0 ... ... ... ..._____________mita,= 0f ur ,= .DieDiagonalelementea,sollensoangeordnetsein,dassa, ,= 0f ur runda,= 0f ur > r.Fallsr< mist,habenwirhierNullzeilena= (0, ..., 0). Dasistz.B. immerdannderFall, wennn ista,= 0,- esf ur > rnurNullzeilengibt,d.h.,f ur > rista,= 0,- dieDiagonaleintragea, ,= 0sindf ur = 1, ..., r.Wieder entscheiden die rechten Seiten b, = r+1, ..., n, dar uber, ob das System losbar ist oder nicht.ImlosbarenFall br+1=...=bm=0sinddieletztenm rZeilenaussagelosunddieUnbekanntenxr+1, ..., xnfreiwahlbar.Wegenar,r ,= 0istdier-teGleichungnachxrauosbarvermogexr=1ar,r__brn

=r+1a,x__.Mit diesem bekannten xr kann dann xr1 aus der r1-ten Zeile bestimmt werden usw. Dieses VerfahrennenntmanR uckwartssubstitution.F ur = r, r 1, ..., 1erhaltmanalsox=1a,__bn

=+1a,x__.F urr = n,denFallohnefreiwahlbareUnbekannteisthierbei = rdieRegeln

n+1... = 0 (leererIndexbereich)zubeachten.BeieinigenUnterfallenlasstsichGenaueres uberdieLosungsmengesagen:Spezialfall 3a: Wennr =nist (undnotwendigerweisem n), sowieb=0ist f ur >n,dannistdasSystemlosbar. AberkeinederUnbekanntenistfrei wahlbar. DieLosungisteindeutigbestimmt.Spezialfall3b:Wennm > ristundeinb ,= 0f ur > r,dannistdasSystemunlosbar.8Spezialfall4:Zeilenstufenform.DieKoezientenmatrixhateineArtzerp uckterStaelform____________n0..0...0 #n1..... ... nr...... 0 0...0 # ... ....... . . 0...0 # .... . . . . 0 0...00...0 0 0...0 0 0...0 0 0...0____________Dabei bezeichnet#Koezienten ,=0und beliebigeKoezienten. DieStufenlangenn0, n1, ..., nrkonneneventuell =0sein,undrmit1 r m, n,dieAnzahlderStufenkannmitderGesamtzahlmallerZeilen ubereinstimmen,sodassalsokeineNullzeilenamunterenEndederMatrixauftreten.F ur = 1, ..., mdenierenwirdenIndexj()durchj() :=_mina, ,= 0 falls rn + 1 falls > rF ur = 1, ..., ristalsoa,= 0wenn j() 1, a,j() ,= 0, sowie j(1) < j(2) < ... < j(r).DieStufenlangensindn0= j(1) 1, ni= j(i + 1) j(i) 1f uri = 1, ..., r.Falls br+1=... =bm=0, ist das Systemlosbar, undauchhier lasst sichdieLosungsgesamtheitangeben:WirbeginneninderletztenZeilemitderletztenUnbekannten. EntsprechendderLangenrderletzten Stufe sind die nrUnbekannten xn, ..., xj(r)+1frei wahlbar. Zur Verdeutlichung nennen wir diesefreiwahlbarenKomponentendesLosungsvektorsParameterundbezeichnensiemit:xn:= n... IRxj(r)+1:= nrAberbeixj(r)stehteinKoezient#der ,= 0ist.DeswegenistdieseUnbekanntedurchdier-teZeiledesGleichungssystemsunddurchdiebereitsgewahltenParametereindeutigbestimmt. WeitersinddieParameterxj(r)1:= nr+1... IRxj(r1)+1:= nr+nr1freiwahlbar. Und xj(r1)istwiederdurchdas Gleichungssystemund diebishergewahltenParametereindeutigbestimmt.Dieses Verfahrenkannmaniterieren, sodass manalsonachr SchritteneineDarstellungallerLosungenmitParametern1, ..., nmit n =r

=1ni= n r.DerSpezialfall3isthierinenthaltenalsn0= ... = nr1= 0, nr= n r = n.91.1.2 DasEliminationsverfahrenJedes LGSSystemkannmanmitdem Eliminationsverfahrenbehandeln, so,wiewiresandenobigeneinfachen Beispielen 1.1 und 1.2 gesehen haben. Wir beschreiben diese Elimination jetzt in einer etwasformalerenWeise,umdieUbersichtnichtzuverlieren.Wenn alle Koezienten a1,1, ..., am,1in der ersten Spalte 0 sind, stellt das System keine BedingungandieUnbekanntex1. Dieseistvolligfrei wahlbarundauf dieersteSpaltedesSystemskommtesnicht an. Ist aber einer der Koezientena1,1, ..., am,1aus der ersten Spalte ,= 0, so sei etwaap,1davondererste.WirvertauschendieersteunddiepteZeile.DabeiandernsichdieLosungendesSystemsnicht.Aberdanachhabenwir a1,1 ,= 0.Deswegenkonnenwir dieersteZeiledurcha1,1dividierenundwiederandernsichdieLosungennicht.DannsiehtdieersteZeilesoaus:x1 +a1,2a1,1x2 +... +a1,na1,1=b1a1,1.Wir eliminierennunx1, allerdings ohnedieEliminationsgleichungexplizit hinzuschreiben, ausdenrestlichenGleichungen, indemwirvonderzweiten, ..., m-tenZeilea2,1mal, ..., am,1mal dieersteZeilesubtrahieren.Dawir dies,wenn wirwollen,auchwiederr uckgangigmachenkonnen, andern sichauchhierdieLosungennicht,undunserGleichungssystemnimmtdieFormx1+ a1,2x2+ ... + a1,nxn= b1a2,2x2+ ... + a2,nxn= b2.........am,2x2+ ... + am,nxn= bman, mit neuen Koezientena1,2, ..., am,nund neuen rechtenSeiten b1, ..., bm. Jetztkommt es nur nochdarauf an, die letztenm 1Gleichungenaufzulosen. Gelingt dies, sosetzenwir derenLosungenx2, ..., xnindieersteGleichungeinundberechnendarausx1.Beispiel1.3ZumNachweis,dassessichbeidiesemVerfahrentatsachlichnurumEliminationhan-delt betrachtenwirnocheinmal dasHasenundHuhner-Beispiel 1.1Mit dererweitertenKoezien-tenmatrix_1 1 44 2 10_II 4IWennwirhierdas4-fachedererstenZeilevonderzweitensubtrahieren,erhaltenwirdieumgeformteMatrix_1 1 40 2 6_.DerenzweiteZeilekommtgenausoinBeispiel 1.1vor.Indem wir dieses Verfahren sukzessivewiederholen, konnen wir das Gleichungssystemlosen, auerwirgelangenirgendwannzueinerunlosbarenlinearenGleichung(FallB1vonoben).WegenseinerprinzipiellenWichtigkeit m ussenwirdasEliminationsverfahrennochetwasweiterformalisieren.DazuvereinbarenwirfolgendenSprachgebrauch(Denitionen):DieVeranderungen, welchewir amGleichungssystemvornahmen, ohneseineLosungsmengezuandern,nennenwirelementareZeilenumformungen.EsgibtdreiSortendavon:TypI: VertauschenzweierZeilen,TypII: MultiplikationeinerZeilemiteinerKonstantenc ,= 0,TypIII: Additiondesc-facheneinerZeile,c IRbeliebig,zueineranderen.10Mitdiesen drei SortenelementarerZeilenumformungen konnenwir, links beginnend, eineSpalte nachderanderenleerfegen: SindalleKoezienteninderSpalte= 0,so andernwirnichts,sondern wendenuns sogleichdernachstenSpaltezu. SindKoezienteninderSpalte ,=0, davonderersteetwainderp-tenZeile, sovertauschenwir diesep-teZeilemitder ersten(UmformungvomTypI). AnschlieendmultiplizierenwirdieersteZeilemitdemKehrwertdiesesKoezientendurch(TypII),umzuerreichen, dassindiesererstenZeilederersteKoezient1ist. SchlielichaddierenwireingeeignetesVielfachesder ersten Zeile zu jeder der folgenden Zeilen (Typ III), um dort den Koezienten aus der erstenSpaltezubeseitigen. Haben wir erreicht,dass der erste Koezient einerSpalte = 1 und alleweiteren= 0 sind, lassenwirdieersteZeilebeiseiteundwendenunsdernachstenSpaltezu.Beispiel1.4gegeben_0 2 42 3 4_vertauschenersteundzweiteZeile_2 3 40 2 4_MultiplikationbeiderZeilenmit12_13220 1 2_Beispiel1.5gegeben_1 2 32 4 5_zweiteZeileminuszweimal erste_1 2 30 0 1_MultiplikationderzweitenZeilemit 1_1 2 30 0 1_DiesesVerfahrenheitGauschesEliminationsverfahrenoderkurzGau-Verfahren.WirfassendasResultatunsererMatrizen-Manipulationenzusammen:Satz1.1(Gau-Elimination) Jede Matrix lasst sich durch elementare Zeilenumformungen auf eineZeilenstufenform(obigerSpezialfall 4)bringen.DabeikonnendieStufenlangenn0, n1, ..., nreventuell= 0sein,undr,dieAnzahl derStufenkannmitderGesamtzahl allerZeilen ubereinstimmen,sodassalsokeineNullzeilenamunterenEndederMatrixauftreten.11DasichbeielementarenUmformungenderKoezientenmatrixdieLosungeneineslinearenGlei-chungssystems nichtandern, konnen wirdieseLosungen auchbestimmen, nachdemwir dieerweiterteKoezientenmatrixinZeilenstufenformvorliegenhaben. ObdasSystemlosbaristodernicht, lesenwiranderletztenStufeab:losbar unlosbar_______0...0 1 ... . ... . ... .0 0...0 1 ... . ... .0 ... . ... .... 1 ... .0 0...0 0________________0...0 1 ... . ... . ... .0 0...0 1 ... . ... .0 0...0 . ... .1 ... .0 0...0 1... 0_________In der Tat,die letzteGleichungdes rechtenSystems lautet0 xn= 1 und ist unlosbar. Und wenn eineGleichungunlosbarist,dannistdasganzeSystemauchnichtlosbar.AuseinerMatrixinZeilenstufenformkannmanzueinerMatrixinStaelformgelangen, indemman in der Matrix Spalten vertauscht.Dadurch kann man die Spalten, in denen eine Stufe steht, ganznachlinks bringen. Wennmandabei nochdie zugehorigenUnbekanntenentsprechendvertauscht,bleibenauchhierdieLosungenunverandert.Satz1.2Jede Matrix lasstsich durchelementare Zeilenumformungen und SpaltenvertauschungenaufStaelform(Spezialfall 3)bringen.Wennmandabei auchdieUnbekanntenentsprechendumnumme-riert,andernsichdabeidieLosungennicht.MancheMathematikersindmiteinerZeilenstufenformnochnichtzufrieden. WenndieKoezien-tenmatrixz.B.quadratischist,unddieZeilenstufenformsoaussiehtZ=_______1 z1,2... z1,nb10 1............... zn1,nbn10 0 1 bn_______,kannmandieUmformungennochetwasweitertreiben:VorletzteZeile - zn1,n-maldieletzteZeile,(n 2)-teZeile - zn2,n-maldieletzteZeile,...ersteZeile - z1,n-maldieletzteZeile.Damithatmanerreicht,dassinderletztenSpaltealleEintrage= 0sind, bisaufdenEintrag= 1ganzunten.MiteinemanalogenVerfahren,kannmanauchalleEintrageindervorletztenSpalteauf0bringen,bisaufdenvorletztenEintrag= 1.ManmussdazuvonjederZeilegeeigneteVielfachedervorletztenZeileabziehen. WennmandiesvonrechtsnachlinksmitallenSpaltenmacht, siehtamEndedieerweiterteKoezientenmatrixsoaus:1 0 ... 0 b10 1... b2...............0 ... 0 1 bn.12DazugehortdasbesonderseinfacheGleichungssystem1x1= b1...1xn= bnDieseMatrixhatDiagonalform(Spezialfall2).HierkannmandieLosungx1= b1, ..., xn= bnsehr einfach ablesen. Bringt man die Koezientenmatrix auf diese Form, so nennt man dies das Gau-Jordan-Verfahren.WirschreibenlineareGleichungssystemenochetwasformalern

=1a,x= b, = 1, ..., m,undbeschlieendiesenerstenAbschnittmiteinigenallgemeinenTatsachen.Dabei nennen wir ein Gleichungssystem homogen, wenn alle Zahlen b1, ..., bm auf seiner rechten Seite0sind. AndernfallsnennenwirdasGleichungssysteminhomogen. EinhomogenesGleichungssystemhatimmerdieuninteressantetrivialeLosungx1=... =xn=0. Istdabei dasSystemvomTyp3a(eindeutigeLosung),sogibtesnurdiesetrivialeLosung.Satz1.3(MehrUnbekanntealsGleichungen) DashomogenelineareGleichungssystemn

=1a,x= 0, = 1, ..., m,habenUnbekannteundm n 1,undseieinunlosbareslinearesGleichungssystemvonmGleichungeninnUnbekanntengegeben. Manbegrunde, dass es n + 1dieser Gleichungengibt, diebereits keineLosunghaben.Aufgabe1.14Manbestimmealle IR,furdiedaslineareGleichungssystem2x1+ x2= 13x1 x2+ 6x3= 54x1+ 3x2 x3= 25x2+ 2x3= losbarist.Aufgabe1.15GegebenseidaslineareGleichungssystem2x1+ x2+ ax3+ x4= 0x1+ ax4 ax5= 12x2+ x3+ 2x5= 2a)ManbestimmedieLosungsmengedesGleichungssystemsfura = 1.b)Gibteseina IR,furwelchesdasGleichungssytemkeineLosunghat?c)Gibteseina IR,furwelchesdasGleichungssytemgenaueineLosunghat?Aufgabe1.16Fur welcheWertedes Parameters s IRbesitzt das lineareGleichungssystemmitKoezientenmatrixAundrechterSeiteb,woA =_____s 1 1 0 10 s 2 1 11 0 s 0s 1 s 1 0_____, b =_____1s11_____,a)genaueineLosung?b)keineLosung?c)unendlichvieleLosungen?16Aufgabe1.17a)FurwelchePaare(a, b) IR2hatdasGleichungssystem2x1+ 2x2+ (a + 1)x3= 2x1+ 2x2+ x3= 0ax1+ bx3= 2keineLosung(x1, x2, x3) IR3?b)ImFalleb = 1bestimmemanalleLosungen(inAbhangigkeitvona).Aufgabe1.18FurwelchereellenZahlenbhatdasGleichungssystemx1+ x2+ x3= 0x1+ bx2+ x3= 4bx1+ 3x2+ bx3= 2keine,genaueine,unendlichvieleLosungen?MangebeimletztenFall dieLosungsmengean.Aufgabe1.19ManbestimmedieLosungsgesamtheit(imIR5)desGleichungssystemsx1 x2+ x3 x4+ x5= 2x1+ x2+ x3+ x4+ x5= 1 +x1+ x3+ x5= 2inAbhangigkeitvon IR.Aufgabe1.20BetrachtenSiedaslineareGleichungssystemx + y = x + y + z = y + z = inx, y, z IR.Furwelche, IRistdiesesGleichungssystemlosbar?1.2 IR-Vektorraume1.2.1 VektorrechnungimIRnUntereinemVektorverstehenwirvorersteinn-tupelx =___x1...xn___reeller Zahlen x1, ..., xn. Es ist ublich, sich Vektoren als derartige Spaltenvektoren vorzustellen, wahrendesausschreibtechnischenGr undenbesserware,Zeilenvektorenx = (x1, ..., xn)17zuben utzen.DerUbergangvonZeilezuSpalte(undumgekehrt)wirddurchdasSymbolt(hochge-stellt)gekennzeichnet.Esistalso___x1...xn___t= (x1, ..., xn) und (x1, ..., xn)t=___x1...xn___.Allgemeingiltf urZeilen-wieSpaltenvektorenxtt= x.WirwollenZahlenvektorenalsSpaltenauassen, sieausschreibtechnischenGr undenmeistalsZei-lenvektorenschreiben.ZurVerdeutlichungwerden,sowieauchbisherschon,Elementex IRndurchFettdruckvonZahlenc IRunterschieden.Dasn-tupel (x1, ..., xn)istetwasanderesalsdieMenge x1, ..., xn, daesbei einemn-tupel aufdieReihenfolgederEintrageankommtundbeieinerMengenicht.Denition1.3Dern-dimensionaleZahlenraumistalsodieMengeIRn:= (x1, ..., xn) : x1 IR, ..., xn IRallerdieserVektoren.Beispiel1.6WirstellendieeinfachstenFallevor:n = 1. IR1= IRistdieZahlengerade-2 -1 0 1 2 312en=2. Seit Descartes ist es ublich, nachWahl einesKoordinatensystems, diePunktederEbenedurchZahlenpaare(x1, x2)zuparametrisieren. UmgekehrtgibtdieEbeneeineVeranschaulichungdesRaumsIR2derZahlenpaare(x1, x2).ManidentiziertdenZahlenraumIR2mitderEbene._x1'x2........(x1, x2)q(-1,-1)q(0,-1)q(1,-1)q(-1,0)q(0,0)q(1,0)q(-1,1)q(0,1)q(1,1)18n=3. Ebenso, wiediePunkteder Ebenemit denZahlenpaaren(x1, x2) IR2identiziert wer-denkonnen, sokonnennachWahl einesKoordinatensystemsdiePunktedesAnschauungsraumsmitZahlentripeln(x1, x2, x3) IR3identiziertwerden._x1'x3.....x2ZZZZ(x1, x2, x3)>>n = 4. ZuBeginndes20.JahrhundertsschlugA.Einstein denvierdimensionalenZahlenraumIR4inseiner speziellen Relativitatstheorieals geometrisches Modell fur den uns umgebenden Raum vor, wobeidieZeitalsvierteKoordinateinterpretiertwird. ErstwenigeJahrevorherwaresinderMathematikublichgeworden,geometrischeBetrachtungenauchinmehralsdreiDimensionendurchzufuhren.DieitalienischenGeometerhattendiese ZahlenraumehohererDimension, welchesiezunachstHyperrau-menannten,indieMathematikeingefuhrt.BeieinemLGSmitnUnbekanntenundmZeilentretenn-tupelauf: der Vektor (x1, ..., xn)tder Unbekannten, bzw., wenn man diese ermittelt hat, der Losungsvektor, die(Transponiertender)mZeilenvektorena=(a,1, ..., a,n),=1, ..., m, derKoezienten-matrixsowieauchm-tupelals dierechteSeite(b1, ..., bm)t, dienSpaltena= (a1,, ..., am,)t,= 1, ..., n,derKoezientenmatrix.MitdenVektorendes Zahlenraums IRnkannmandiefolgendenbeidenRechenoperationendurch-f uhren:Denition1.4a)DieAddition+: IRnIRnIRnisterklartduchdieVorschriftx +y =___x1...xn___+___y1...yn___ :=___x1 +y1...xn +yn___ furallex, y IRn.DerVektorx +yheitdieSummevonxundy.b)DieOperation

: IR IRnIRn,dieMultiplikationmitSkalarenisterklartdurchcx = c ___x1...xn___ :=___cx1...cxn___ furallec IR, x IRn.DerVektorcxheitskalaresVielfachesvonx.19Beide Rechenoperationen sind komponentenweise nichts anderes als die ubliche Addition und Mul-tiplikationreellerZahlen.DeswegengeltenauchhierdiewohlbekanntenRechenregeln:(A) f urdieAddition(A.V1) x +y = y +x, (Kommutativgesetz)(A.V2) x + (y +z) = (x +y) +z) (Assoziativgesetz)(A.V3) dieGleichunga +x = bhatbeijederVorgabevona, b IRngenaueineLosung(M) f urdieMultiplikationmitSkalaren(M.V1) (c +d)x = cx +dx (1. Distributivgesetz)(M.V2) c(x +y) = cx +cy (2. Distributivgesetz)(M.V3) (cd)x = c(dx) (Assoziativgesetz)(M.V4) 1x = x (neutralesElement)DieEigenschaft(A.V3)istaquivalentmitdenfolgendenbeidenEigenschaftenzusammen.(A.V3) Esgibtgenauein0 IRnso,dassx +0 = xf urallex IRn(neutralesElement)namlich0 = (0, ..., 0)t.(A.V3) Zujedemx IRngibtesgenauein x IRnso,dass (inversesElement)x + (x) = 0,namlich x = (x1, ..., xn)t.Wie ublichbenutzenwirdieKurzschreibweisex y := x + (y) = (x1y1, ..., xnyn)t.Damitwirdx = b adieLosungderGleichunga +x = b.DurchkomponentenweiseRechnungsiehtmanunmittelbar(F.V )___0x = 0,(1)x = x,c0 = 0,cx = 0 c = 0oderx = 0.Denition1.5DerRaumIRnmitdenobigenVerknupfungen+und

heitn-dimensionalerSka-larenvektorraum uberIR.Vielmehrgibtes uberdasRechnenmitVektorenimIRnnichtzusagen.20`........

>>>>>>>>>>>>................................................................................................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ........................................................................................... ............. ............. ............. ................................................................. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ..........................y1x1x1 +y1x2y2x2 +y2xyx +y`>>>>>>>>>>>>............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ........................................................................................... ............. ............. ............. ..........................x1cx1x2cx2xcxDenIR2bzw. IR3interpretiertmanalsEbenebzw. denAnschauungsraum. Hieristdiekompo-nentenweiseAdditiondie AdditionnachdemKrafteparallelogramm.DieMultiplikationf ur [[ > 1eineStreckungundf ur [[ < 1eineStauchungdar,wobeif ur < 0dieRichtungumgekehrtwird.WirmochtennochaneinemganzeinfachenBeispieldasWesenderLinearenAlgebrademonstrie-ren, das darin besteht, Algebraauf geometrischeSachverhalteanzuwenden, bzw. umgekehrt,intuitiveMethodenausderGeometrief uralgebraischeAnwendungzuabstrahieren. AlsBeispiel diskutierenwirGeraden(inderEbeneundallgemeiner).Denition1.6EineGeradeLimZahlenraumIRnwirdgegebendurcheinenAnfangsvektorvundeinenRichtungsvektor0 ,= w IRn.SieistdieMengeL = v +tw IRn: t IR =: v + IR w.

L.......v +tw//////0v``wSatz1.5DieGeradeLstimmt mit einer zweitenGeradenL= v+ sw: s IRgenaudannuberein,wennv Lundw= cwmit0 ,= c IR.Beweis.Wenn die Mengen L = v+tw: t IR und L= v+sw: s IR ubereinstimmen,dann ist insbesondere (s = 0) der Vektorvein Vektorauf L, also von der Form v= v+t0w. Ebensoist(s=1)auchv+ wL, alsov + t0w + w=v+ w=v + tw. Darausfolgtw=cwmitc = t t0.Wegenw,= 0mussauchc ,= 0sein.Seiv= v +t0w Lundw= cw.DannistL= v+sw: s IR = v + (t0 +sc)w: s IR = v +tw: t IR,dennwegenc ,= 0durchlauftmitsaucht = t0 +scallereellenZahlen.Satz1.6DurchjezweiVektorenx ,= ydesIRngibtesgenaueineGeradeL.Beweis.Existenz:wirwahlenv := xundw := y x.DannenthaltdieGeradeL = v +tw: t IR = x +t(y x) : t IRbeideVektorenx(f urt = 0)undy(f urt = 1).21Eindeutigkeit: Sei L= v+ tw: t IReineGerade, welchedieVektorenxundyenthalt.WegenSatz1.5konnenwirdieseGeradeauchschreibenalsL= x +tw: t IR.Day = x +t0wmit t0 ,= 0 (wegenx ,= y), ist der Richtungsvektorw=1t0(yx) einVielfachesdes Richtungsvektorsy xvonL.NachSatz1.5istsomitL= L.DieGeradedurchxundylasstsichetwasandersschreiben:L = x +t(y x) : t IR = (1 t)x +ty: t IR = sx +ty: s, t IR, s +t = 1.DieGeradedurchxundyistnichtdasselbe,wiedieStreckezwischenxundyx +t(y x) : t IR , = sx +ty: 0 s, t IR, s +t = 1.F urs = t =12erhaltmandenMittelpunkt12(x +y)dieserStrecke.NachdieseneinfachenTatsachen, welcheinjedemZahlenraumIRnrichtigsind, betrachtenwirjetztdenZusammenhangvonGeradenimIR2mitlinearenGleichungeninzweiUnbekannten.Satz1.7FureineTeilmengeL IR2sindfolgendeEigenschaftenaquivalent:(i):ListeineGeradedurchdenNullpunkt(0 L).(ii):ListLosungsmengeeinerhomogenenlinearenGleichunga1x1 +a2x2= 0,mitKoezientena1, a2,dienichtbeide0sind,d.h.,wo(a1, a2)t,= 0.Beweis.(i) (ii): AlsAnfangsvektorf ur L nehmen wirden Nullvektorund beschreiben unsereGeradealsL = tw: t IR = (tw1, tw2)t: t IRmitKoezientenw1, w2,dienichtbeide0sind.F urunserehomogeneGleichungbrauchenwirKoef-zientena1, a2mitderEigenschafta1w1 +a2w2= 0.DieZahlena1:= w2,a2:= w1bietensichdaf uran. Wir behaupten, dassLmitder Menge (x1, x2)tIR2: w2x1 w1x2=0 ubereinstimmt. Wegenw2 tw1w1 tw2= 0 ist klar, dass L in dieser Menge enthalten ist. UmgekehrtistdieseMengeaber,wiewirimnachstenBeweisschrittsehenwerden,eineGerade.Dasie0undwenthalt,stimmtsienachSatz1.6mitL uberein.(ii) (i): Falls a1 ,= 0, so erf ullt x = (x1, x2)tdie Gleichunga1x1+a2x2= 0 genaudann, wennx1= a2a1x2, das heit, wenn x = x2 (a2a1, 1)tauf der Geraden durch 0 mit dem Richtungsvektor w =(a2a1, 1)tliegt. Wenn aber a1= 0, so lautet die Gleichung a2x2= 0. Da nun nach Voraussetzung a2 ,= 0,istdiesaquivalentmitx2= 0.DieseMengeistdieGeradedurchdenNullpunktmitRichtungsvektor(1, 0)t.Satz1.8FureineTeilmengeL IR2sindaquivalent:(i)ListeineGeradenichtdurchdenNullpunkt(nicht0 L).(ii) L ist Losungsmenge einer inhomogenen linearen Gleichung a1x1+a2x2= b, wobei (a1, a2)t,=0undb ,= 0.22Beweis.(i) (ii): WirschreibenL = v +tw: t IR und betrachtendie Gerade L0:= tw:t IRmitdemselbenRichtungsvektor durchdenNullpunkt. NachSatz1.7istL0LosungsmengeeinerhomogenenlinearenGleichunga1x1 +a2x2= 0.AlsoistL = v +x: x L0= v +x: a1x1 +a2x2= 0= y IR2: a1y1 +a2y2= a1v1 +a2v2.DaLnichtdurchdenNullpunktgeht,liegtvnichtaufL0,undesistb := a1v1 +a2v2 ,= 0.(ii) (i)JetztistL = x IR2: a1x1 +a2x2= b= v +y IR2: a1y1 +a2y2= 0woveinespezielleLosungder inhomogenenGleichunga1v1+ a2v2=bist (Satz1.e). NachSatz1.7beschreibtdiehomogeneGleichunga1y1 + a2y2=0eineGeradeL0= tw:t IRdurchdenNullpunkt.SomitistL = v +tw: t IReineGerade,diewegenb ,= 0nichtdurchdenNullpunktgeht.Wirsahen,dieLosungsmengeeinerlinearenGleichunginzwei Unbekannten,derenKoezientennichtbeide 0sind, isteineGeradeinderZahlenebene IR2.DieLosungsmengeeinesSystemsvonzweiderartigenlinearenGleichungena1,1x1 +a1,2x2= b1(LosungsmengeL1)a2,1x1 +a2,2x2= b2(LosungsmengeL2)istdeswegenderDurchschnittL1 L2derbeidenGeraden.F urdiesenDurchschnittgibtesfolgendeMoglichkeiten:1) L1= L2: L1 L2istdieGeradeL1= L22) L1 ,= L2, L1 L2 ,= L1 L2isteinPunkt3) L1 ,= L2, L1undL2parallel L1 L2istleerZudiesendreiMoglichkeitengehorendiefolgendendreiStufenformenderKoezientenmatrix:1)_1 0 0 0_oder_0 1 0 0 0_2)_1 0 1 _3)_1 0 0 1_oder_0 1 0 0 1_EineanalogeSituationergibtsichimIR3.StattGeradenhabenwirhierEbenen.Denition1.7Esseienv, w1, w2 IRnmitw1, w2 ,= 0.Weitergebeeskeinc IR mitw1= cw2.DannheitdieMengeE:= v +sw1 +tw2: s, t IR =: v + IRw1 + IRw2eineEbeneimIRn.23AnalogzudenSatzen1.7und1.8giltSatz1.9DieLosungsmengeeinerjedenlinearenGleichunga1x1 +a2x2 +a3x3= bmit Koezientenvektora=(a1, a2, a2)t,=0ist eineEbene. Dabei ist b=0genaudann, wennderNullvektor0zurEbenegehort.Beweis. Es sei E IR3Losungsmenge obiger Gleichung. Wegen Satz 1.4 gen ugt es, den homogenenFall b = 0 zu betrachten. Wegena ,= 0 gibt es ein ai ,= 0. NachVertauschung der Koordinaten konnenwira1 ,= 0annehmen.DannistdieallgemeineLosungderGleichungx = (a2x2a3x3, x2, x3) = x1v1 +x2v2mitx1, x2 IRundv1= (a1, 1, 0), v2= (a2, 0, 1).Oensichtlichsindv1undv2keineVielfachenvoneinander,alsoistdieseMengeeineEbene.DerDurchschnittS=E1 E2zweierEbenenEi IR3wirdalsodurcheinLGSmitdrei Unbe-kanntenundzweiGleichungenbeschrieben.DabeigibtesdieMoglichkeitenSE1= E2EbeneE1nichtparallelzuE2GeradeE1 ,= E2parallel DementsprechendwirdderDurchschnittvondreiEbenendurcheinLGSmitdreiUnbekanntenunddreiGleichungenbeschrieben.AlsweitereMoglichkeithabenwirhierSbestehtauseinemeinzigenPunkt.IndiesemFallistdasGleichungssystemeindeutiglosbar.SchlielichdenierenwirimIRnallgemeinDenition1.8Esseiena IRnmita ,= 0undb IR.DannheitH:=_x IRn:n

=1ax= b_eineHyperebeneimIRn.EineHyperebene imIRnistalsodieLosungsmengeeinereinzigenlinearenGleichunginnUnbe-kannten. Im IRnmit n = 2 bzw. = 3 ist eine Hyperebene eine Gerade bzw. Ebene. Jede Zeile eines LGSbeschreibt eineHyperebene. DieLosungsmenge des LGSistderDurchschnitt alldieserHyperebenen.DasistdiezeilenweiseInterpretationeinesLGS. DieHyperebene Henthaltgenaudann denNullvek-tor0, wennb=0ist. DeswegenenthaltdieLosungsmengeeinesLGSgenaudanndenNullvektor,wenndasLGShomogenist.SchlielichnocheinWortzurNomenklatur:DieBeschreibungL = v + tw: t IR = v+IRwheitParametrisierungoderexpliziteBeschreibungderGeradenL. DieBeschreibunga1x1 +a2x2= beinerGeradeninIR2heitimplizit.24Wennc ,=0,soistca1x1 + ca2x2=cbeineimpliziteBeschreibungdergleichenGeraden(Zeilen-umformungvomTypII).Wahltman-imFalleb ,= 0-zumBeispielc =1b,soerhaltmanf ura1=1p ,= 0, a2=1q ,= 0dieAchsenabschnittsform1px1 +1qx2= 1.x1`x2```````qpAufgabe1.21ZeigenSie:a)DiedreiGeradenimIR2L1:=_ 70_+ IR _21_, L2:=_50_+ IR_ 11_, L3:=_08_+ IR _ 14_schneidensichineinemPunkt.b)DiedreiPunkte_104_,_40_,_ 56_liegenaufeinerGeraden.Aufgabe1.22Es seienL IR2die Gerade durchdie Punkte (1, 3) und(5, 2), sowie MdieGeradedurchdiePunkte(2, 2)und(1, 6). BerechnenSiedenSchnittpunktvonLundM.Aufgabe1.23ZeigenSie,dassdiedreiGeradenimIR2mitdenGleichungenx + 2y 1 = 0, 3x + 2y + 2 = 0, x + 3y 4 = 0durcheinenPunktgehenundberechnenSiediesenPunkt.Aufgabe1.24UntersuchenSie,obdieGeradeL1:=___520___+ IR___317___imIR3dieGeradeL2:=___61517___+ IR ___241___, bzw. L3:=___103___+ IR ___421___schneidetundbestimmenSieggf.denSchnittpunkt.25Aufgabe1.25BeweisenSie, dass sichdiedrei Seitenhalbierendeneines Dreiecks ineinemPunkttreen.Aufgabe1.26Beweisen Sie: Bei einem Tetraederschneiden sich die Verbindungsgeradender MittengegenuberliegenderKantenineinemPunkt.Aufgabe1.27EsseienL1, L2, L3undL4vierverschiedeneGeradeninderEbeneIR2derart, dasssichjezwei dieserGeradenineinemPunkttreen. Si,jbezeichnedenSchnittpunkt derGeradenSiundSj,(1 i < j 4).DiesechsSchnittpunkteSi,j,1 i < j 4, seienalleverschieden.BweisenSie,dassdieMittelpunktederdreiStreckenS1,2S3,4,S1,3S2,4sowieS1,4S2,3aufeinerGeradenliegen.1.2.2 AllgemeineIR-VektorraumeIndiesemAbschnittverallgemeinernwirdieRechenstrukturen+und

vomIRnaufallgemeinereRaume. Dies tun wir in zwei Schritten. Zunachst betrachten wir Raume, die sich vom Zahlenraum IRnnurunwesentlichunterscheiden,d.h.,nurinderArt,wiewirihreElementehinschreiben.Beispiel1.7(PolynomevomGradn) EinPolynomvomGrad nisteineFunktionderFormf(x) =n

=0ax, a0, ..., an IR.Mit IRn[x] bezeichnenwirdieMengeallerdieserPolynomevomGrad n. AuchindiesemRaumsindAddition+undMultiplikation

mitSkalarendeniert:Addition:Sindf(x) =n

=0axund g(x) =n

=0bx IRn[x]solchePolynome,soistihreSumme(f+g)(x) =n

=0ax+n

=0bx=n

=0(a+b)x.Skalarenmultiplikation: Istf(x) IRn[x]wieebenundc IR,soistderenProdukt(cf)(x) =n

=0cax.EinemPolynomf(x) IRn[x] konnenwirseinenKoezientenvektor(a0, ..., an)tIRn+1zuord-nen. Undumgekehrt ist das PolynomdurchdiesenKoezientenvektor eindeutig bestimmt. Die sodenierteAbbildungIRn[x] IRn+1istbijektiv.UnterdieserZuordungentsprichtdieAdditionzweierPolynomederAdditionihrerKoef-zientenvektoren, dieMultiplikationeinesPolynomsmiteinemSkalarderMultiplikationseinesKo-ezientenvektorsmitdiesemSkalar. DeswegengelteninIRn[x] genaudiegleichenRechenregelnwieimZahlenraumIRn+1.26Beispiel1.8(Treppenfunktionen) Wir betrachteneinabgeschlossenes Intervall [a, b]IRundeineZerlegungdiesesIntervallsinngleichlangeIntervallederLangeh :=b an.DieseZerlegungwirddeniertdurchdieMenge = x0, ..., xnihrerZwischenpunktemitxi:= a +ih,0 i n, a = x0< x1< ... < xn1< xn= b.EineTreppenfunktion,bzw. einHistogrammzudieserZerlegungisteineFunktiont:[a, b] IR,welcheaufdenTeilintervallendieserZerlegungkonstantist,alsot(x) = aifurx [xi1, xi[,i = 1, ..., n 1, und t(x) = anfurx [xn1, b].WirbezeichnenmitT()dieMengedieserTreppenfunktionen.Einer solchenTreppenfunktiont kannman ihrenWerte-Vektor (a1, ..., an) IRnzuordnen,und sieistumgekehrtdurchdiesenVektoreindeutigbestimmt.WiederistdiesodenierteAbbildungT() IRnbijektiv.AuchindiesemRaumT()kannmanzweiTreppenfunktionenaddieren, indemmanpunktweiseihre Werte addiert. Und man multipliziert eine Treppenfunktion mit einem Skalar, indem man alle ihreWertemit diesemSkalarmultipliziert. Undwiederentspricht dasunterderAbbildungT() IRndenanalogenRechenoperationenimZahlenraumIRnBeispiel1.9(Matrizen) WirbetrachtenhierMatrizenunabhangigvonihrerInterpretationalsKo-ezientenmatrizenlinearerGleichungssysteme. Einemn-Matrixist alsoeinrechteckigesZahlen-schemaA =______a1,1a1,2... a1,na2,1a2,2... a2,n............am,1am,2... am,n______= (a,)=1,...,m=1,...,nmitZahlena, IR. Dabei heitderZeilenindexundderSpaltenindex. DieMengeallerdiesermn-MatrizenbezeichenwirmitM(mn).AufdiesemRaumM(m n)wirdAdditionzweierMatrizenundMultiplikationeinerMatrixmiteinemSkalarkomponentenweisedeniertdurchA+B= (a,) + (b,) := (a, +b,) , cA = c(a,) := (ca,) .Einemn-MatrixAkannmanauassen,alseinenetwasseltsamhingeschriebenenVektor(a1,1, ..., a1,n, a2,1, ..., a2,n, ........., am,n)t IRmn.UndwiederentsprechendabeidieebendeniertenRechenoperationenderMatrizendenRechenopera-tionenimZahlenraumRmn.NachdiesenVorbereitungennunDenition1.9EsseiV einenichtleereMengemitzweiVerknupfungenAddition:V V V, Skalarmultiplikation: IR V Vso, dass die Regeln A.V1-3 und M.V1-4 gelten. Dann heit (V, +, ) oder kurz Vein reeller Vektorraum(IR-Vektorraum).DieElementex V heienVektoren.DasneutraleElementwirdmit0unddaszuxinverseElementmit xbezeichnet.27DieZahlenraumeIRnunddieindenBeispielen1.7-1.9deniertenRaumesindIR-Vektorraume.Esgibtauchwelche,dievondiesenVektorraumenwesentlichverschiedensind:Beispiel1.10Essei IRdieMengeallerunendlichenFolgen(a)INreellerZahlenmit denRe-chenoperationen(a) + (b) := (a +b) , c(a) := (ca) .Dadurch wird einIR-Vektorraumdeniert. Es ist intuitiv klar, dass dieser RaumIRwesentlichgroer ist als die Zahlenraume IRn. Aber das prazise zumachenist nicht ganz einfach(s. De-nitionen1.17und1.18)DieMengeallerreellenPolynome(vonbeliebiggroem,aberendlichenGrad)bezeichnetmanmitIR[x]. DieAdditionundSkalarenmultiplikationwirdwieinBeispiel 1.7deniert. Damit wirddieserPolynomraumIR[x]einIR-Vektorraum.Es sei Meine beliebige unendliche Menge und f: M IR eine Abbildung. SowasnenntmanauchreelleFunktionaufderMengeM.DieMengeall dieserFunktionenbezeichenwirmitAbb(M, IR).Indieser Allgemeinheit ist sie zu nichtsgut, auer alsBeispiel fur einen i.A. echtgroenIR-Vektorraum.DiebeidenRechenoperationenfurFunktionenwerdendabeiwieinBeispiel 1.7punktweiseerklart.Die Rechenstrukturen in Beispiel 1.10 kann man nicht so mit den Vektorraumen IRnidentizieren,wie es in den Beispielen1.7-1.9gelungen ist. Deswegensind die Regeln(F.V)keineswegsintuitiv klar.AbermankannsieausdenRegelnA.V 1 A.V 3, M.V 1 M.V 4herleiten.Satz1.10DieFormeln(F.V)gelteninjedembeliebigenIR-Vektorraum(V, +, ).Beweis.Esseix V undc IR.0x = 0 : WegenM.V1(erstesDistributivgesetz)ist0x = (0 + 0)x = 0x + 0x.SubtrahiertmandenVektor0xaufbeidenSeitendieserGleichung, soerhaltmandiezuzeigendeFormel.x = (1)x : WiedermitdemDistributivgesetzfolgtdiesausx + (1)x = (1 1)x = 0x = 0.c0 = 0 : MitdemzweitenDistributivgesetzberechnenwirc0 = c(0 +0) = c0 +c0underhaltendiebehaupteteFormel indemwirauf beidenSeitendieserGleichungdenVektorc0subtrahieren.cx = 0 c = 0oderx = 0 : EsistnurnochdieRichtungzuzeigen.Entwederistc = 0oderwirkonnenc ,= 0annehmen.Dannschreibenwirx = 1x = (1cc)x =1c(cx) =1c0 = 0.281.3 UntervektorraumeDieHyperebeneH IRnseigegebendurchdiehomogeneGleichungh(x) := a1x1 +... +anxn= 0.DieFunktionhhatoensichtlichdieEigenschaftenh(x +y) = h(x) +h(y) f ur x, y IRn, h(cx) = ch(x) f ur c IR, x IRn.Darausfolgtx, y H,s, t IR sx +th H.SeinuneinhomogeneslinearesGleichungssystemn

=1a,x= 0, ( = 1, ..., m)gegeben.SeineLosungsmengeU= u IRn:n

=1a,u= 0, = 1, ..., m IRnistDurchschnittvonHyperebenenHwieeben.Deswegengiltalso:x, y U,s, t IR sx +ty U (LIN)DieseEigenschaft(LIN)kannauchinzweiTeilengeschriebenwerden:x, y U x +y U (LIN,add)x U, c IR cx U (LIN,mul)Sieistf urdieLineareAlgebrasowichtig,dasswirsiedurcheineDenitionhervorheben:Denition1.10EsseiV einIR-Vektorraum.EineTeilmenge , = U V heitlinearerUnterraumoderUntervektorraumwennsiedieEigenschaft(LIN)besitzt.BevorwirweitereBeispielegeben, notierenwir, dassjederlineareUnterraumUdenNullvektorenthalt: Dennweil Unicht leer ist, enthalt Umindestens einenVektor x, unddannwegen(LIN)auchdenNullvektor0=0x. DieRechenregelnf urAddition+undMultiplikation

geltenauchinU,weil sieinV gelten. DamitwirddieMengeUmitdiesenbeidenRechenoperationenselbsteinIR-Vektorraum.Beispiel1.11Sei V einIR-Vektorraum. EineGeradeL V durchdenNullpunktist(inVerallge-meinerungvonDenition1.6)eineMengederFormL = ww,w IR mit 0 ,= w V.SieisteinlinearerUnterraum:Seienx = w1 wundy = w2 wVektoreninL.Dannistauchx +y = (w1 +w2)w L, cx = (cw1)w L.29Beispiel1.12EineEbeneE V durchdenNullpunktist(inVerallgemeinerungvonDenition1.7)eineMengederFormE= vv +ww : v, w IR(wovundwkeine Vielfache voneinander sind). WieinBeispiel 1.11zeigt man: EV ist einUntervektorraum.Beispiel1.13AusganztrivialenGrundensindderNullraum 0, dernurdenNullvektorenthalt,undderTotalraumV deralleVektorenenthalt,lineareUnterraume.Beispiel1.14Sind U1und U2 Vzwei lineare Unterraume, so ist auch ihr Durchschnitt U1U2 VeinlinearerUnterraum.IhreVereinigungisti.A.keinlinearerUnterraum.DagegendeniertmanU1 +U2= u1 +u2 V: u1 U1, u2 U2.DieseMengeisteinlinearerUnterraum:Mitu1 +u2 U1 +U2undu1 +u2 U1 +U2gehortauch(u1 +u2) + (u1 +u2) = (u1 +u1) + (u2 +u2) zu U1 +U2.Undfurc IRistc(u1 +u2) = cu1 +cu2 U1 +U2oensichtlich.Denition1.11EsseiA V einebeliebige(endlicheoderunendliche)abernichtleereTeilmenge.JedeendlicheSummex =k

=1ca, c IR, a A, k IN,nennenwireineLinearkombinationvonVektorenausA. UnddieMengeallerLinearkombinationenvonVektorenausAspan(A) :=_k

=1ca: k IN, c IR, a A_heitdervonAaufgespannteUnterraum. FurendlicheMengenA = a1, ..., akbenutzenwirdabeiimmerdieAbkurzungspan(a1, ..., ak) := span(a1, ..., ak).Satz1.111)Die Menge span(A) istderkleinstelineareUnterraumvonV , derdieMenge A enthalt,d.h.:(i):span(A)isteinlinearerUnterraum,(ii):jederlineareUnterraumU V ,derAenthalt,enthaltauchspan(A).2)SindA1 A2 V zweinicht-leereTeilmengen.Danngiltauchspan(A1) span(A2).3)SindA1, A2 V beliebigenichtleereMengen,danngiltspan(A1 A2) = span(A1) +span(A2).InsbesondereistfurlineareUnterraumeU1, U2 Vspan(U1 U2) = U1 +U2.30Beweis 1) ( i): Seien x =

k1 caund y =

l1daElemente in span(A). Dann ist auch sx+ty =

k1 sca +

l1tdaeineLinearkombinationvonVektorena, a Aundgehortzuspan(A).(ii):EnthaltderlineareUnterraumU IRndieMengeA,sowegenwiederholterAnwendungvon(LIN)auchjedeendlicheLinearkombinationvonVektorenausA,unddamitdieMengespan(A).2)EsistA1 A2 span(A2). Weil span(A2)einlinearerUnterraumist, folgtdieBehauptungaus2).3) WeilA1A2in dem linearen Unterraum span(A1) +span(A2) enthaltenist, folgtdie Inklusionspan(A1 A2) span(A1) +span(A2)aus1).WegenA1 (A1 A2)istspan(A1) span(A1 A2)nach 2). Analog gilt span(A2) span(A1)span(A2). Weil span(A1A2) Vein linearer Unterraumist, ist dann auch jede Summe von Vektoren aus A1 und A2 diesem Unterraum enthalten. InsbesonderegiltauchdieInklusionspan(A1) +span(A2) span(A1 A2).SindA1=U1undA2=U2lineareUnterraume, soistspan(U1)=U1undspan(U2)=U2.NachdemBewiesenenistalsospan(U1 U2) = U1 +U2.WirbetrachtenSpezialfallef urderartaufgespanntelineareUnterraume.Beispiel1.15Eine GeradeIR w Vdurch0istdieMenge span(w). EineEbene IR v+IR w Vist span(v, w). Sind v, w VVektoren mit w ,= 0 und v = c wfur ein c IR, dannist span(v, w) =span(w)eineGeradeundkeineEbene.Beispiel1.16Mit eIRnwerdenwir stets denVektor bezeichnen, der ander -tenStelledenEintrag1enthaltundsonstlauterNullen:e= ( 0 , ..., 0, 1, 0, ..., 0 )t 1 nDieVektoreneheienEinheitsvektorenimIRn.Furk= 1, ..., nistdannspan(e1, ..., ek) =_x =k

1ce_= x = (c1, ..., ck, 0, ..., 0)t= x IRn: xk+1= ... = xn= 0.Beispiel1.17EsseiU= U1 +U2.Danngibteszujedemu UeineDarstellungu = u1 +u2mit u1 U1, u2 U2.Behauptung:DieseDarstellungistfuralleu Ueindeutig,genaudann,wennU1 U2= 0.Beweis. Sei dieDarstellung eindeutig. Fur jedenVektor u U1 U2hat mandannaber zweiDarstellungenu = u1 +0 mit u1= u U1= 0 +u2mit u2= u U2AusderEindeutigkeitderDarstellungfolgtu = u1= 0.AlsoistU1 U2derNullraum.SeiumgekehrtU1 U2= 0.EsgebeeinenVektorumitzweiDarstellungenu = u1 +u2= u1 +u2mitu1, u1 U, u2, u2 U2.31Darausfolgtu1u1= u2u2 U1 U2= 0,alsou1= u1undu2= u2.IstdieebendiskutierteBedingungerfullt,dannheitdieSummeU1 +U2direkt,bzw.dieseZer-legungvonUinU1undU2einedirekte-Summen-Zerlegung.ManschreibtdannU= U1U2.Beispiel1.18ImVektorraumIR[x] derPolynomebetrachtenwirdiePotenzenxi. (Mannennt sieauchMonome.)Dannistspan(1 = x0, ..., xn) = IRn[x]derUntervektorraumderPolynomevomGrad nundspanxi,i IN = IR[x]derRaumallerPolynome.Beispiel1.19Esseig= (1 x)2 IR[x].Dannistspan(x0, x1, x2, g) = span(x0, x1, x2) = IR2[x].Beispiel1.20Es sei T()derVektorraumderTreppenfunktionenzurZerlegung a = x0< x1< ... >>>>>x3

v

`````

`````U

`````

`````AanerUnterraumvonV .EsgiltalsoSatz1.14DieLosungsmengeUeinesLGSmitnUnbekanntenisteinanerUnterraumdesIRn.UistgenaudanneinlinearerUnterraum,wenndasLGShomogenist.ImWesentlichenistdasgenaudieAussagedesStruktursatzes1.4.EsseienA1= v1 +U1undA2= v2 +U2zweianeUnterraumedesIRn,wobeiU1= span(a1, ..., ak),U2= span(ak+1, ..., am) mit a1, ..., am IRn.F urdenDurchschnittA = A1 A2dieseranenUnterraumegiltdannv A esgibtx1, ..., xm IRmitv1 +k

i=1xiai= v2 +m

i=k+1xiaik

i=1xiaim

i=k+1xiai= v2v1DieBestimmungallerVektorenv Af uhrtalsodarauf,dasLGSmitKoezientenmatrix(a1, ..., ak, ak+1, ..., am)undrechterSeiteb = v2v1zubestimmen.Ist A=v+ Ueinaner Unterraumundw Abeliebig, dannist auchA=w+U. SindA1= v1 +U1undA2= v2 +U2aneUnterraume,dannistA := A1 A2entwederleeroderA = a + (U1 U2) miteinembeliebigenVektora A.EsgibtlineareUnterraumeverschiedenerGroe:0 Gerade Ebene ...0-dimensional 1-dimensional 2-dimensional ...DieseGroenenntmanDimensioneineslinearenUnterraums. DerfolgendeAbschnittdientu. a.derprazisenDenitiondesDimensionsbegris.34Aufgabe1.28BetrachtenSiedieachtMengenvonVektorenx=(x1, x2) IR2deniertdurchdieBedingungen1) x1 +x2= 0,2) (x1)2+ (x2)2= 0,3) (x1)2(x2)2= 0,4) x1x2= 1,5) (x1)2+ (x2)2= 1,6) Esgibteint IRmitx1= tundx2= t2,7) Esgibteint IRmitx1= t3undx2= t3,8) x1 ZZ.WelchedieserMengensindlineareUnterraume?Aufgabe1.29Liegt der Vektor (3, 1, 0, 1) IR4im Unterraum, der von den Vektoren (2, 1, 3, 2),(1, 1, 1, 3)und(1, 1, 9, 5)aufgespanntwird?Aufgabe1.30EsseienU1undU2 V UntervektorraumedesIR-VektorraumsV .ZeigenSie:U1U2 V istgenaudanneinUntervektorraum,wennentwederU1 U2oderU2 U1.Aufgabe1.31EsseiV einIR-VektorraumundU V einUntervektorraum.ZeigenSie:a)Furv, vV istv + U= v+ Ugenaudann, wennv vU. Insbesondereistv + U=Ugenaudann,wennv U.b)AufV wirddurchv vv v U v +U= v+U furv, v VeineAquivalenzrelationeingefuhrt,d.h.,esgeltenReexivitat:v vfurallev V ,Symmetrie:v v v v,Transitivitat:v vundv v v v.Aufgabe1.32ZeigenSie: DurchdiefolgendenBedingungenanPolynomep IR[x] werdenUnter-vektorraumevonIR[x]deniert:1) p(0) = 0, 2) p(2x) = 4p(x), 3) p(x) = p(x), 4) p(x) = p(x).1.4 Lineare(Un-)Abhangigkeit1.4.1 DimensionBeispiel1.21DiebeidenVektorene1=(1, 0, 0)unde2=(0, 1, 0) IR3spannendieEbene x IR3: x3=0auf.DieselbeEbenewirdaberauchvondendreiVektorene1,e2,e1 +e2= (1, 1, 0)aufgespannt.JedendieserdreiVektorenkonntemanweglas-sen, dierestlichenbeidenspannendieseEbeneimmernochauf.Wirsagen:DiesedreiVektorensindlinearabhangig.

_e1...e2........e1 +e235ImFolgendenseiV einbeliebigerIR-Vektorraum.Denition1.14EineMengeA IRnheit linear abhangig, wennes eineechteTeilmengeAA,A,= Agibtmitspan(A) = span(A).SonstheitAlinearunabhangig.Beispiel1.221)DieobenbetrachteteMengeA= e1, e2, e1 + e2 IR3ist linearabhangig, dennfurA= e1, e2 AgiltA,= Aundspan(A) = span(A).2)DieMengeA = e1, e2enthaltdiefolgendenechtenTeilmengen:A= e1mitspan(e1) =GeradeIRe1,A= e2mitspan(e2) =GeradeIRe2,A= mitspan() =Nullraum.Furkeinedavongiltspan(A) = span(A) =Ebene x3= 0. AlsoistAlinearunabhangig.Beispiel1.23JedeMenge,welchedenNullvektorenthalt,istlinearabhangig,dennwenn0 AundA= A 0,dannistA,= A,aberspan(A) = span(A).Beispiel1.24Enthalt AeinenVektoramit a span(A a), dannist Alinearabhangig. DennfurA:= A agiltA ,= A,aberwegena =

l1djaj, aj A,span(A) = c0a +k

1cmbm: k IN, c0, c1, ..., ck IR, bm A= c0(l

1djaj) +k

1cmbm: aj, bm A span(A).Beispiel1.25JedeObermengeeinerlinear abhangigenMengeist linear abhangig. JedeTeilmengeeinerlinearunabhangigenMengeistlinearunabhangig.Beispiel1.26Wenn (voneinander verschiedene) Vektoren v1, ..., vk A existieren und Zahlen c1, ..., ck IR,nichtc1= ... = ck= 0,mitk

m=1cmvm= 0, (nicht-trivialelineareRelation)dann ist A linear abhangig. Denn weil nicht alle cm= 0 sind, konnen wir nach Vertauschen der Indizesannehmenc1 ,= 0unddannschreibenc1v1= k

2cmvm, v1=k

2cmc1vm span(A),woA:= A v1.Diese Beispiele solltenzunachst denSachverhalt der linearenAbhangigkeit verdeutlichen. DasletzteBeispiel ist aber bereitstypischdaf ur, wiewir k unftiglineareUn-/Abhangigkeit uberpr ufenwerden:36Satz1.15(TestauflineareAbhangigkeit) EineTeilmengeA IRnist genaudannlinear ab-hangig, wennes eine nichttriviale lineare Relationzwischen(voneinander verschiedenen) VektorenausAgibt.Satz1.16(TestauflineareUnabhangigkeit) Eine Teilmenge A IRnist genau dann linearun-abhangig,wennsiefolgendeEigenschaftbesitzt:Sindv1, ..., vkendlichviele(voneinanderpaarweiseverschiedene)VektoreninAundc1, ..., ckZahleninIRmitk

m=1cmvm= 0dannistc1= ... = ck= 0.Satz1.16istnureineUmformulierungvonSatz1.15.Deswegengen ugtes,Satz1.15zubeweisen.BeweisvonSatz1.15.DieseBeweisrichtungwurdealsBeispiel1.26obenschonbehandelt.Sei A linear abhangig, d.h., es gibt eine TeilmengeA A mit span(A) = span(A) und A,=A. Dann gibt es also einen Vektor v A, der nichtzu Agehort. Wegenv A span(A) = span(A)istveineLinearkombinationv =

k1 cvvonVektorenv A.Dannist1v k

1cv= 0einenichttriviale(daveinenKoezienten ,= 0hat)lineareRelationzwischenVektorenausA.NochzweiweitereBeispiele:Beispiel1.27Essei A IRneineTeilmenge, diemehralsnVektorenenthalt. Dannist Alinearabhangig.Beweis. A enthalt mindestens n+1 Vektoren v1, ..., vn+1. Das homogenen lineare Gleichungssystemc1 v1,1+ ... + cn+1 vn+1,1= 0.........c1 v1,n+ ... + cn+1 vn+1,n= 0aus nGleichungen in denn+1 Unbekannten c1, ..., cn+1hatnachSatz1.3eine Losung(c1, ..., cn+1) ,=(0, ..., 0). Damit habenwireinenichttrivialelineareRelation n+11cv=0zwischenv1, ...., vn+1.NachSatz1.15istAlinearabhangig.Beispiel1.28Esseienz1= (0, ..., 0, 1, ..... .... ...)z2= (0, ..., 0, 0, ..., 0, 1, ... ...)...zr= (0, ..., 0, 0, ..., 0, 0, ..., 0, 1, ..)37dieerstenrZeilenvektorenauseinerMatrixinZeilenstufenform, wobei rdieAnzahl derStufenderMatrixist.DieseVektorensindlinearunabhangig.Beweis. DerVektorzkhabeseinenerstenEintrag ,=0indernk-tenSpalte, k=1, ..., r. DadieMatrixZeilenstufenformhat,ist1 n1< n2< ... < nr n.WirtestenauflineareUnabhangigkeit:seieineLinearkombination r1ckzk= 0gegeben.DanurderersteVektorz1indern1-tenSpalteeinenEintrag ,= 0besitzt, folgthierausc1= 0. VondenubrigenVektorenhatnurz2einenEintrag ,= 0indern2-tenSpalte,wasc2= 0zurFolgehat,usw.Beispiel1.27lasstsichaufbeliebigeendlich-erzeugteIR-VektorraumeV ubertragen:Satz1.17Essei V einIR-Vektorraum, dervonv1, ..., vn V aufgespannt wird. Sindw1, ..., wn+kmitk > 0VektoreninV ,sosinddieselinearabhangig.Beweis.DieVektorenwisindLinearkombinationenwi=n

j=1ai,jvj(i = 1, ..., n +k)derVektorenvj.Wirbetrachtendien +kVektorenai:= (ai,1, ..., ai,n)t IRn, i = 1, ..., n +k.NachBeispiel 1.27sinddieselinearabhangig, esgibtalsoKoezientenc1, ..., cn+k IR, nichtalle= 0,mitn+k

i=1ciai= 0, d.h.n+k

i=1ciai,j= 0f urj= 1, ..., n.MitdiesenKoezientenerhaltenwirn+k

i=1ciwi=n+k

i=1cin

j=1ai,jvj=n

j=1_n+k

i=1ciai,j_vj= 0.Satz 1.17 ist das erste Auftreteneines allgemeinen Prinzips: Eine Aussage uber beliebige IR-Vektorraume wir durch Betrachtung geeigneter Koezienten-Vektoren auf eine Aussage im IRnzur uck-gef uhrt.Beispiel1.29WirbetrachtenimVektorraumT()ausBeispiel 1.8dieinBeispiel 1.20deniertenTreppenfunktionent1, ..., tn.WirtestensieauflineareUnabhangigkeit:n

i=1citi= 0, d.h.,n

i=1citi(x) = 0furallex [a, b].ImPunkt x=ahabenalleTreppenfunktionenti,i >1, denWert =0. Setzenwirx=ainobigeGleichungein,sosehenwir0 =n

i=1citi(a) = c1.DurchEinsetzenderanderenZwischenpunktex1, ..., xn1ndenwirahnlichc2= ... = cn= 0.38Beispiel1.30DieMonomex0= 1, x, ..., xnimPolynom-VektorraumIRn[x]sindlinearunabhangig.DazusetzenwirunserenTestan:p(x) =n

i=0cixi 0seidasNullpolynom.Wegenp(0) = c0ndenwirc0= 0.Wirkonnenpalsodurchxdividierenump(x)x=n1

i=0ci+1xizuerhalten. DasPolynomp(x)/xhat denWert 0furallex ,=0. JetztmussenwireineAnleihebeiderAnalysisoderderAlgebraaufnehmen.(IneinemisoliertenBeispiel istdaserlaubt.)Z.B.ausderStetigkeitdesPolynomsp(x)/xfolgt,dassesauchinx = 0denWert0hat.Damitfolgtc1= 0usw.Beispiel1.31Aber auch die unendlich vielen Monome xi,i IN im Vektorraum IR[x] aller Polynomesindlinearunabhangig.NachSatz1.16brauchenwirnamlichimmernurendlichvieledieserMonomeaufLineareUnabhangigkeitzutesten.UnddashabenwirinBeipiel 1.30getan.Gelegentlich haben wir es nicht mit einer Menge v1, v2, ... von Vektoren zu tun, sondern mit einerFolgev1, v2, ...,inderetwaVektorenauchmehrmalsvorkommenkonnen.Einesolche(endlicheoderunendliche)FolgewerdenwirauchSystemvonVektorennennenund[v1, v2, ...]schreiben.Genauer:[v1, ..., vn] f ureinendliches[vi]iINf ureinunendlichesSystem, oder zusammenfassend [vi]iIf ur endliche oder abzahlbare Indexmengen I. Die ZeilenvektoreneinerMatrixsindz.B.soeinSystem.Denition1.14kannwortlichaufSysteme ubertragenwerden.Denition1.15EinSystem[vi]iIvonVektoreninV heitlinearabhangig,wenneseink Igibtmitvk spanviiI,i=k.AlleobigenUberlegungen ubertragensichaufSysteme.InsbesondereistderTestauflineareUn-abhangigkeitf ureinSystem:k

1cv= 0 c1= ... = ck= 0 ?f ur alle kIN. EinSystem, indemderselbe Vektor mehrmals vorkommt, ist somit stets linearabhangig.Denition1.16Essei Vein IR-Vektorraum.Eine BasisvonVisteine Menge viiIvonVektorenausV mit(i)V= spanviiI,(ii)dieMenge viiIistlinearunabhangig.DieZahl rheitLangederBasis.Beispiel1.32FureineGeradeIRv V durch0bildetderVektorveineBasis.EineBasisfureineEbeneIR v +IR wdurch0wieinBeispiel1.12bildendieVektorenvundweineBasis.WenndieVektorenv, wlinearabhangigwaren,wareeinereinVielfachesdesanderen.SinddieVektorenvundwlinearabhangig,dannistIR v = IR weineGerade.39Beispiel1.33DieVektorene1, ..., en,bildeneineBasisdesIRn.WirnennensiedieStandardbasis,dieVektorennennenwirKoordinatenvektoren.Beispiel1.34DerNullvektorraum 0hatdieleereMenge alsBasis.Denition1.17Ein IR-Vektorraum Vheit endlich erzeugt, wenn es endlich viele Vektoren v1, ..., vn V gibtmitV= span(v1, ..., vm).Satz1.18(Basis-Satz) JederendlicherzeugteIR-VektorraumhateineendlicheBasis.DiesistderSpezialfall W= 0desfolgendenSatzes1.19sodasswirnurdiesenSatz1.19zubeweisenbrauchen.Satz1.19(Basis-Erganzungs-Satz) DerIR-VektorraumV seiendlicherzeugt.WeiterseiW VeinUntervektorraummit einerBasis w1, ..., wr. Danngibt esVektorenv1, ..., vs V so, dass dasSystemw1, ..., wr, v1, ..., vseineBasisvonV ist.Beweis. Der Vektorraum Vwerde durch n Vektoren aufgespannt. Wenn W= Vist, dann ist nichtszubeweisen(s= 0).WennW ,= V ist,dannexistierteinv V ,dasnicht Wist.Wirbehaupten,dasSystemw1, ..., wr, vistlinearunabhangigundverwendendenTestausSatz1.16.Seialsor

1cw +cv = 0einelineareRelation.Dannmuss c = 0gelten,denn sonstw urde v = 1c

cwzuWgehoren.Weilnunc = 0,solautetdielineareRelationnurnochr

1cw= 0.Weildiew1, ..., wreineBasisvonWbilden,sindsieinsbesonderelinearunabhangig.Deswegenfolgtjetztauchc1= ... = cr= 0undw1, ..., wr, vsindlinearunabhangig.Wir setzenv1:=vundV1:=span(w1, ..., wr, v1). DannbildendieVektorenw1..., wr, v1ei-neBasis vonV1. WennV1=V ist, dannsindwir fertig. Andernfalls wiederholenwir dieseKon-struktionimmerwieder. Soerhaltenwirf urallek 1UntervektorraumeVk V miteiner Basisw1, ..., wr, v1, ..., vk. Spatestens wenn r +k = n+1 ist, konnen die n+1 Vektorenw1, ..., wr, v1, ..., vknichtmehrlinearunabhangigsein(Satz1.17). Esmussalsovorherschoneinmal eink=sgegebenhabenmitVs= V.Satz1.20(KorollarzuSatz1.19) InderSituationvonSatz1.19gibt eszuWeinenUntervek-torraumW V mitV= W W.Beweis.WirsetzenW= span(v1, ..., vs).Satz1.21(Basis-Auswahl-Satz) Es sei V= span(v1, ..., vk) ein endlich-erzeugter IR-Vektorraum.DanngibtesunterdenVektorenv1, ..., vkeineBasisvi1, ..., virfurV .40Beweis. Wenn v1, ..., vklinear unabhangig sind, dann bilden sie eine Basis von Vund wir sind fertig.AndernfallsgibtesunterihneneinenVektor vjdereineLinearkombination i=j civideranderenVektorenist. DannwirdUauchschonvondenk 1Vektorenv1, ..., vj1, vj+1, ..., vkaufgespannt.Spatestens nachdemwir diesenSchritt k 1-mal wiederholt haben, gelangenwir zueinemlinearunabhangigenTeilsystemderv1, ..., vk,welchesV aufspannt.Satz1.22(InvarianzderBasis-Lange) DieLangeeinerBasisfureinenIR-VektorraumV hangtnurvonV abundnichtvondergewahltenBasis.Beweis. Seienv1, ..., vrundw1, ..., wszwei Basenf urV . Wirhabens rzuzeigen. Wennabers>rseinsollte, dannwarendieVektorenw1, ..., wsnachSatz1.17linearabhangig. Weil sieaucheineBasisvonV bilden,gehtdasnicht.DieSatze1.18undSatz1.22ermoglichenfolgendeDenition:Denition1.18DieDimensioneinesendlich-erzeugtenIR-VektorraumsV -inZeichendimV -istdieLangeeinerBasisfurV .FurV= 0setztmandimV= 0.Beispiel1.35Dae1, ..., en IRneineBasisbildenistdim(IRn) = n.EineGeradehatdieDimension1,eineEbeneDimension2.Beispiel1.36ImRaumM(mn)derreellenmn-Matrizenxierenwirdiem nMatrizenEi,j,welcheinderi-tenZeileanderj-tenStelleeinenEintrag=1haben, undwoalleanderenEintrage= 0sind.DieseMatrizenbildeneineBasisvonM(mn),folglichistdimM(mn) = m n.Beispiel1.37Fur denRaumT() der Treppenfunktionenaus Beispiel 1.8bildendieFunktionent1, ..., tnausBeispiel 1.20eineBasis.AlsoistdimT() = n.FurdenRaumIRn[x] derPolynomevomGrad nbildendien + 1Monomexi,0 i n, eineBasis.AlsoistdimIRn[x] = n + 1.DerVektorraumIR[x]allerPolynomeistnichtendlicherzeugbar.EndlichvielePolynomekonnennamlichals Linearkombinationennur Polynomemit einemfesten, endlichenMaximalgradergeben.Alsohat derVektorraumIR[x] keineendlicheBasis. Andererseitsbildet dieMengexi,i IN, allerMonomeeineBasisdesRaumsIR[x].DieFragenachderExistenzeiner Basisinallgemeinen, nichtendlicherzeugtenVektorraumen,ber uhrenwirhiernicht. WennmandasAuswahlaxiom, bzw. aquivalentdazudasZornscheLemmaakzeptiert-wogegennichtsspricht(P.K.),wof urallerdingsauchnichts(W.B.)-kannmanf urjedenVektorraumdieExistenzeiner Basis beweisen. Dieser Beweis ist allerdings nicht konstruktiv. DenBeweiskannmanz.B.ndeninT.J.Jech:TheAxiomofChoice,NorthHolland1973,aufp.12.Die in Beispiel 1.37 angegebene Basis f ur IR[x] ist abzahlbar. Das liegt daran, dass Polynome nochsehrspezielleFunktionensind.F urdenIR-VektorraumallerstetigenFunktionenf: IR IRkanneskeineabzahlbareBasisgeben(ohneBeweis).HierbeschrankenwirunsaufdieRedeweiseDenition1.19DerIR-Vektorraumseinichtendlich-erzeugt.DannheitV unendlich-dimensional,inZeichendimV= .41Satz1.23WirbetrachtenIR-VektorraumeU V .Danngelten1)dimU dimV ,2)dimU= dimV= nendlich U= V .Beweis.1)F ur dimV= ist nichtszu zeigen.WennVendlich-dimensionalist, folgtdie AussageausdemBasis-Erganzungs-Satz1.19.2) Wegen 1) ist Uendlich-dimensional und besitzt eine endliche Basis. Nach dem Basis-Erganzungs-SatzkonnenwirdieseBasisdurchdimV dimU= 0VektorenzueinerBasisvonV erganzen.AlleVektorenausV sindLinearkombinationendieserBasisvektoren.EsfolgtV U.F urunendlich-dimensionaleVektorraumeistAussage2)vonSatz1.23i.A.falsch.SeietwaV derVektorrraumallerstetigenFunktionenf:IR IRundUseinUnterraumIR[x].BeideVektorraumesindunendlich-dimensional,stimmenabernicht uberein.Satz1.24(Dimensionsformel) Fur je zwei lineare Unterraume U1, U2eines IR-Vektorraums Vgiltdim(U1 U2) +dim(U1 +U2) = dim(U1) +dim(U2).Beweis. Sei u1, ..., udeine Basis von U1U2. Wir erganzen sie zu einer Basis u1, ..., ud, v1, ..., vrvonU1undeinerBasisu1, ..., ud, w1, ..., wsvonU2.WirtestendasSystemu1, ..., ud, v1, ..., vr, w1, ..., wsauflineareUnabhangigkeit:seietwadielineareRelationa1u1 +... +adud +b1v1 +... +brvr. .U1+c1w1 +... +csws. .U2= 0zwischendiesenVektorenvorgelegt. Dannistc1w1 +... +csws= (a1u1 +... +adud +b1v1 +... +brvr) (U1 U2),alsoc1w1 +... +csws= 1u1 +... +dudmit 1, ..., d IR.Da aber u1, ..., ud, w1, ..., wsals Basis von U2linear unabhangig waren, folgt hieraus c1= ... = cs= 0.Ganz analog folgtb1= ... = br= 0, sodass die lineare Relationschlielicha1u1+... +adud= 0 lautet.Hierausfolgtdannendlichnocha1= ... = ad= 0.Dau1, ..., ud, v1, ..., vr, w1, ..., wsdenUnterraumU1 + U2aufspannen, habenwirbewiesen, dasssieeineBasisvonU1 +U2bilden.Somitistdim(U1) = d +r dim(U2) = d +sdim(U1 U2) = d dim(U1 +U2) = d +r +sdim(U1) +dim(U2) = 2d +r +s dim(U1 U2) +dim(U1 +U2) = 2d +r +s.DamitistFormel(ii)bewiesenImSpezialfallU= U1 U2= 0wirddieDimensionsformeldimU= dim(U1 +U2) = dimU1 +dimU2.IndiesemFall ist aber U =U1 U2eine direkte Summe. Jeder UntervektorraumU2U mitU= U1U2heit einKomplementvonU1inU. Das BeispielU= IR2und U1= IR (1, 0)tzeigt,dassesi.A. unendlichvielesolcheKomplementeU2gibt. AberjedesdieserKomplementehatdiegleicheDimension= dim(U) dim(U1).42Aufgabe1.33SinddievierVektorenw1=_____1021_____, w2=_____3131_____, w3=_____0221_____, w4=_____84125_____imIR4linearabhangigoderlinearunabhangig?Aufgabe1.34ImIR3seiendieVektorenw1=___023___, w2=___232___, w3=___405___, w4=___111___gegeben.WelchederfolgendenMengensindlinearunabhangig?a) w1, w2, b) w1, w2, w3, c) w1, w2, w3, w4.Aufgabe1.35WelchederfolgendenvierTripel vonVektorenimIR3sindlinearunabhangig,welchesindlinearabhangig?a) (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0);b) (1, 1, 1), (1, 2, 1), (0, 2, 0);c) (1, 1, 0), (0, 1, 1), 1, 0, 1);d) (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9).Aufgabe1.36AusdenZeilenvektorenderMatrix_____1 2 3 45 6 0 07 8 0 09 10 0 0_____lassensich15verschiedene, nichtleereMengenvonVektorenbilden, undebensoausdenSpaltenvek-toren.Welchedieser30Mengensindlinearabhangig?Aufgabe1.37EsseiU IRneink-dimensionalerUntervektorraum.ZeigenSie,dassfurjedeTeil-mengeM UdiefolgendenEigenschaftenaquivalentsind:1)MisteineBasisvonU,2)MistlinearunabhangigundbestehtauskVektoren,3)MspanntUaufundbestehtauskVektoren.Aufgabe1.38EsseienU := x IR4: x1 + 2x2= x3 + 2x4,V := x IR4: x1= x2 +x3 +x4.BestimmenSieBasenvonU, V, U V undU+V .43Aufgabe1.39Gegebenseidiereelle4 4-MatrixA =_____1 0 1 20 1 2 11 2 1 02 1 0 1_____.BestimmenSieeineBasisfurdenLosungsraumdeshomogenenlinearenGleichungssystemsmitKo-efzientenmatrixA.Aufgabe1.40Essei Udervon(1, 2, 3) und(4, 5, 6), sowieV dervon(2, 1, 2) und(1, 2, 0) aufge-spannteUnterraumdesIR3.ManbestimmeeineBasisvonU V .Aufgabe1.41Es seien U, V, W IRnlineare Unterraume. Beweisen oder widerlegen Sie die Formelndim(U (V+W)) = dim(U V ) +dim(U W) dim(U V W),dim(U+V+W) = dim(U+V ) +dim(U+W) dim(U+ (V W)).Aufgabe1.42ImIR4seiendieUnterraumeU1= IR_____1111_____+ IR_____1234_____und U2= IR_____6512_____+ IR_____3450_____+ IR_____1021_____gegeben.ManberechneeineBasisvonU1 U2.Aufgabe1.43ImIR4seiendiefolgendenPunktmengengegeben:E1= x : x1 +x2 +x3 +x4= x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4= 0,E2= x : 5x1 + 8x2 + 11x3 + 14x4= 2x1 + 5x2 + 8x3 + 11x4= 0.Manzeige:a)E1undE2sindzweidimensionaleUnterraumedesIR4;b)E1= E2.Aufgabe1.44ImIR4seiendieVektorenv1=_____1110_____, v2=_____1203_____, v3=_____1234_____gegeben.ManbestimmeeinGleichungssystem,dessenLosungsgesamtheitIRv1 + IRv2 + IRv3ist.Aufgabe1.45GegebenseidaslineareGleichungssystem6x + 15y + 4z = a3x + 5y + 2z = b9x + 6z = cfur(x, y, z) IR3.a)MangebedieMengeEallerrechtenSeiten(a, b, c) IR3an,furdieeslosbarist.WelcheStrukturhatdieseMengeE?b)WelcheDimensionhatderaneLosungsraumfurfestes(a, b, c) E?c)MangebedenselbeninAbhangigkeitvon(a, b, c) Ean.44Aufgabe1.46GebenSiemitBegrundungdieDimensionderlinearenHulle(= span)derfolgendenTeilmengendesIR3an:a)S1:= (1 +n, 1 + 2n, 1 + 3n);n = 0, 1, ...,b)S2:= (n, n2, n3); n = 1, 2, ....Aufgabe1.47Seienn, kIN, seienv1, , v2, ..., vnIRkVektoren, undsei wi:= ij=1vjfuri = 1, ..., n.Man zeige, dassdie Folge(v1, v2, ..., vn)genau dannlinearunabhangig ist, wenndie Folge(w1, w2, ..., wn)linearunabhangigist.Aufgabe1.48U1,bzw.U2seiendiedurchdieVektoren_____1234_____,_____4321_____,_____1010_____bzw._____1000_____,_____2111_____aufgespanntenUnterraumedesIR4.ManbestimmedieDimensionundeineBasisvonU1 U2.Aufgabe1.49ImreellenVektorraumIR5seienfolgendeVektorengegeben:u1= (1, 4, 3, 0, 3); u2= (2, 6, 5, 0, 2); u3= (2, 2, 3, 0, 6).Sei Uder vonu1, u2, u3aufgespannteUnterraumimIR5. BestimmenSieeinreelles lineares Glei-chungssystem,dessenLosungsraumgenauUist.1.4.2 LineareGleichungssystemeundzugehorigeUnterraumeWir wendenunserenDimensionsbegrijetzt nochauf lineare Gleichungssysteme an. Eine MatrixA M(mn) deniertzweiUntervektorraume:denvonihrenSpaltenaaufgespanntenUnterraumSpaltenraumS(A) = span(a1, ..., an) IRmunddenvonihrenZeilenaaufgespanntenUnterraumZeilenraumZ(A) = span(a1, ..., am) IRn.Denition1.20EsseiAeinemn-Matrix.DerSpaltenrangvonAistdieDimensionihresSpaltenraumsimIRm. Damit istderSpaltenrang m.Mansagt:dieMatrixAhatvollen(bzw.maximalen)Spaltenrang, wenndieser= n,dieAnzahlallerSpaltenist.DerZeilenrangvonAistdieDimensionihresZeilenraumsimIRn.DamitistderZeilenrang n.Mansagt: dieMatrixAhatvollen(bzw. maximalen)Zeilenrang, wenndieser=m, dieAnzahl allerZeilenist.Satz1.25EsseiAeinemn-Matrix.1)DerZeilenraumvonAandert sichnicht bei elementarenZeilenumformungenunddamit andertsichauchderZeilenrangnicht.2)AuchderSpaltenrangvonAandertsichnichtbeielementarenZeilenumformungen.3)Esgilt45Zeilenrang=Spaltenrang.Beweis. 1) Bei Umformungen vom Typ I wird nur die Reihenfolge der Zeilenvektorengeandert, dervon ihnen aufgespannte Unterraum im IRnbleibt gleich. Wird die Matrix A durch eine Umformung vomTypIIoderIIIineineMatrixAumgeformt,sosindalleZeilenderMatrixALinearkombinationenvonZeilenderMatrixA. DerZeilenraumZderumgeformtenMatrixAistalsoimZeilenraumZderMatrixAenthalten. Weil mandieUmformungdurcheineUmformungvomgleichenTypwiederr uckgangigmachenkann,giltauchZ Z.2) DerSpaltenrang von A sei r. NachSatz 1.21(Basis-Auswahl-Satz)gibt es rlinearunabhangigeSpaltenb1:=a1, ..., br=arderMatrixA. Weil dieSpaltenderdamitgebildetenmr-MatrixB:= (b1, ..., br) linear unabhangig sind, hat das LGS mit dieser Matrix B x = 0 nur die Null-Losung.DieMatrixAwerdedurcheineelementareZeilenumformungindieMatrixA ubergef uhrt. DabeiwirdauchdieTeilmatrixBvonAineineMatrixB ubergef uhrt. Bei dieserZeilenumformungderMatrixBandert sichderLosungsraum des GleichungssytemsB x = 0nicht.Alsohatauchdas LGSB x = 0nurdieNull-Losung.DeswegensinddierSpaltenderMatrixBlinearunabhangig.DiesesindauchSpaltenderMatrixA. Alsogiltf urderZeilenrangrvonAdassrr. Weil mandiedurchgef uhrte Zeilenumformung durcheineUmformung vomgleichenTypwiederr uckgangigmachenkann,giltauchr r.3)Wir uberf uhren dieMatrixAdurch elementareZeilenumformungenineineMatrixZinZeilen-stufenform.Nach1)und2)andernsichdabeiwederZeilenrang,nochSpaltenrang.WirbrauchendieBehauptungalsonurf urdieMatrixZzubeweisen. DieAnzahl ihrerStufen=Anzahl ihrerZeilen,=0sei s. NachBeispiel 1.28hatZdenZeilenrangs. WendetmandieArgumentationausBeispiel1.28aufdieSpaltenvonZ, anstattaufZeilenan, sosiehtman: diesSpaltenvonZ, dieeineStufeenthalten,sindlinearunabhangig.AlsohatdieMatrixZauchdenSpaltenrangs.Denition1.21DerRangeinerMatrixistdergemeinsameWertihresZeilen-undSpaltenrangs.Satz 1.25 liefert ein allgemeines Bestimmungsverfahren f ur den Rang einer Matrix. Mit elementarenZeilenumformungenbringemandieMatrixaufZeilenstufenform. DerRangderMatrixistdanndieAnzahlderStufenbzw.dieAnzahlderZeilen ,= 0indieserZeilenstufenform.Analogkann man auchdie Dimensioneines Untervektorraums U= span(v1, ..., vk) IRnbestim-men, dervonkVektorenv1, ..., vk IRnaufgespanntwird. ManschreibedieseVektorenalsZeilenvt1, ..., vtkin eine k n-Matrix A. DerZeilenraum dieser Matrix ist U. Bringen wir die Matrix A durchelementareZeilenumformungenaufZeilenstufenformA,soandertsichderZeilenraumUnicht.EineBasisvonUbildenalsodieZeilenvektoren ,= 0dieserMatrixA.Seienweiterj1, ..., jrdieSpaltenderMatrixA,indenenihreStufenstehenundi1, ..., inr = 1, ..., n j1, ..., jr.Dienn-MatrixAentsteheausA, indemwirdieEinheitsvektoreneti1, ..., etinralsZeilenhinzu-nehmen. DurchelementareZeilenumformungen kann man diese Matrix Aso verandern, dass in jederihrerZeilenoderSpaltengenaueine1undsonstlauterNullerstehen. DieMatrixAhatalsodenRangn. SomithatdieMatrixmitdenZeileneti1, ..., etinrdenRangn rundihreZeilenvektorenspanneneinenUntervektorraumW= span(ei1, ...einr) IRn46aufmitU W= IRn.Hat einemn-MatrixAvollenZeilenrangr =m, sogibt es inihrer ZeilenstufenformkeineNullzeilen.DasLGSA x = bistalsof urjedeWahlbderrechtenSeitelosbar.HatAvollenSpaltenrangr= n,dannsinddienSpaltenvonAlinearunabhangigunddasLGSAx=0hatnurdieNull-Losung. IsteinLGSAx=blosbar, soistdieLosungxnachSatz1.4eindeutigbestimmt.Satz1.26EsseiAeinemn-Matrix.WirbetrachtendashomogeneLGSA x = 0 mitdemLosungsraum U IRn.FurdieZahlend:=DimensiondesLosungsraumsU r:=RangderKoezientenmatrixAgiltdanndieBeziehungd +r =nBeweis. BeielementarenZeilenumformungenderKoezientenmatrixandernsichwederdnochr(Satz1.25). Wir konnendaher o.B.d.A. annehmen, dieKoezientenmatrixhabeZeilenstufenform.DieZahlderStufenistdannr.Esgibtalson rSpaltenohneStufeinderKoezientenmatrix.Beielementaren Spaltenumformungen andert sich zwar der Losungsraum, aber nicht seine Dimension. Wirkonnendeswegensogarannehmen,dieMatrixAhabeStaelform.StufenstehenalsoindenerstenrSpaltenderMatrix.JederLosungsvektorx UhatdeswegeneineFormx =_xx_x IRr,x IRnr,woxbeliebiggewahltwerdenkann. Der Vektor xistdanndurchxfestgelegt. Wahlenwirhierx= er+1, .., en,soerhaltenwirn rlinearunabhangigeLosungsvektorenxi=_xiei_, i = r + 1, ..., n.Seinunx UeinebeliebigeLosung.DerzugehorigeVektorxhatdieFormx=n

i=r+1xiei, xi IR.AuchderVektorn

i=r+1xixi=n

i=r+1xi_xiei_=_ ni=r+1xixix_47isteinLosungsvektorzumgleichenVektorx.Weilxdurchxeindeutigbestimmtist,mussx =n

i=r+1xixigelten.Dien rLosungsvektorenxibildenalsoeineBasisdesLosungsraums U.Satz1.27(Korollar) Jeder lineare Unterraum U IRnist der Losungsraumeines homogenen LGS.Beweis.Seidim(U) = kundu1, ..., uk UeineBasis.Diek n-MatrixB:=___ut1...utk___hatalsodenRangk.DieseMatrixistdieKoezientenmatrixeineshomogenenLGSBy = 0f urdieUnbekannteny1, ..., yn.NachderDimensionsformelvonSatz1.26hatseinLosungsraumW IRndieDimensionn k.WirwahleneineBasisa1, ..., ank W.Danngiltalson

=1u,a,= 0f ur = 1, ..., k, = 1, ...., n k.Jetztkehrenwirdie RollevonKoezientenund Unbekanntenindiesem Gleichungssystemum. DannsinddieVektorenu1, ..., ukLosungsvektorendeshomogenenlinearenGleichungssystemsn

=1a,u= 0, = 1, ..., n k.DieKoezientenmatrixdiesesSystemshatdieZeilenvektorenat1, ..., atnkunddamitdenZeilenrangn k.AlleVektorenu1, ..., uksindLosungendiesesneuenSystems.DamitenthaltseinLosungsraumV IRnauchU= span(u1, ..., uk).WiederverwendenwirdieDimensionsformelundfolgerndim(V ) = n (n k) = k= dim(U).WegenUV folgt daraus U=V , d.h., Uist der Losungsraumdes Gleichungssystems mit denZeilenvektorena1, ..., ank.Satz1.28EsseiAeinen n-Matrix.WirbetrachtendasquadratischeLGSA x = b.(genausoviele Gleichungenwie Unbekannte!)FurdiesesLGSsinddiefolgendenAussagen aquivalent:(i)BeijederWahl derb1, ..., bnaufderrechtenSeiteistdasGleichungssystemlosbar.(Existenz)(ii)BeijederWahl derb1, ..., bnaufderrechtenSeitegibteshochstenseineLosungdesSystems.(Eindeutigkeit)(iii)DaszugehorigehomogeneSystemAx = 0hatnurdieNull-Losung.(iv)DerRangderKoezientenmatrixistn.48Beweis. Eigenschaft (i) ist damit aquivalent, dass die Spaltenvektorender KoezientenmatrixAdenganzenVektorraumIRnaufspannen. Dies istdamitaquivalent, dassdieKoezientenmatrixden(Spalten-)Rangnbesitzt(iv). Darausfolgt, dassdienSpaltenvektorenlinearunabhangigsind.Dennwarensielinearabhangig, w urdenauchschonn 1dieserVektorendenIRnaufspannen.AusdemBasis-Auswahlsatzw urdederWiderspruchdim(IRn) < nfolgen.Eigenschaft(iii)istabernichtsanderesalsderTestauf lineareUnabhangigkeitf urdieSpaltenvektorenundfolgtsomitaus(i). Istumgekehrt (iii) erf ullt, so spannen die Spaltenvektoren von A einen n-dimensionalen Teilraum von IRnauf,derwegenSatz1.23mitIRn ubereinstimmenmuss.Deswegenfolgtauch(i)aus(iii).Eigenschaft(iii)istderSpezialfallb = 0von(ii)und folgtsomitaus (ii).Umgekehrtfolgt(ii)aus(iii)mitdemStruktursatz1.4.Aufgabe1.50BerechnenSiedenZeilenrangderMatrizenA =_____1 3 6 103 6 10 156 10 15 2110 15 21 28_____, B=_____1 3 6 103 6 10 16 10 1 310 1 3 6_____.Aufgabe1.51Esseiena, b, creelleZahlen.BestimmenSiedenZeilenrangderMatrixA =_____b 0 c 00 b 0 ca 0 b 00 a 0 b_____.1.5 DasSkalarprodukt1.5.1 SkalarproduktimIRnIn diesem Abschnitt 1.5.1 sollen zwei eng zusammenhangende Begrie betrachtet werden, welche uberdieVektorraumstrukturhinausgehen:LangenundWinkel.Wirerinnern zunachst anden elementargeometrischenBegrider Langein n = 1, 2und 3 Dimen-sionen:n=1:F urx IRist [x[ :=x2derBetragderZahlx.n=2:DieLangeeinesVektorsx = (x1, x2) IR2ist| x |:=_x21 +x22.DiesistderInhaltdeselementargeometrischenSatzesvonPythagoras.`........xx1x2| x |49n=3:DieLangeeinesVektorsx = (x1, x2, x3) IR3ist| x |:=_x21 +x22 +x23.DiesergibtsichnachzweimaligemAnwendendesPythago-ras.`

ZZ////////x| x |x1x2x3Esliegtnahe,wiedieserLangenbegrif urbeliebigeDimensionzuverallgemeinernist:Denition1.22Seix = (x1, ..., xn)t IRn.Dannheit| x |:=_x21 +x22 +... +x2ndieLangeoderdieNormvonx.Auchf urdenquadratischenAusdruckunterderWurzelf uhrenwireineeigeneNotationein:Denition1.23Seienx=(x1, ..., xn)tundy=(y1, ..., yn)tVektorenimZahlenraumIRn. Dannheit(x.y) :=n

=1xydasSkalarproduktvonxmity.MitdieserDenitiondesSkalarprodukts istalso| x |=_(x.x).DasSkalarprodukt(x.y)hatfolgendeEigenschaften:(i) Bi-Linearitat:((c1x1 +c2x2).y) = c1(x1.y) +c2(x2.y), x1, x2, y IRn, c1, c2 IR,(x.(c1y1 +c2y2)) = c1(x.y1) +c2(x.y2), x, y1, y2 IRn, c1, c2 IR.(ii) Symmetrie: (x.y) = (y.x), x, y IRn.(iii) Denitheit: F urallex IRnist(x.x) 0undesgilt(x.x) = 0genaudann,wennx = 0.EigenschaftenderNormsind:(iv) Denitheit:F urallex IRnist | x | 0undesgilt | x |= 0genaudann,wennx = 0.(v) Homogenitat: | cx |= [c[ | x | f urc IRundx IRn.Die Beweisef ur diese Eigenschaftensind oensichtlich.Einen Zusammenhang zwischen Skalarpro-duktundNormbeschreibt(vi) Cauchy-Schwarz-Ungleichung: [(x.y)[ | x || y | (C.S.U.)50Beweis:F urallea, b IRist0 | ax by |2= (ax by . ax by) = a2| x |22ab(x.y) +b2| y |2,oderaquivalentdamit2ab(x.y) a2| x |2+b2| y |2.Setzenwirz.B.a =| y |undb =| x |,soerhaltenwir2 | x || y | (x.y) 2 | x |2 | y |2.Da die Behauptung f ur x = 0 oder y = 0 richtigist, konnen wir o.B.d.A.x ,= 0 ,= yannehmen. Dannd urfenwirinderletztenGleichungk urzenunderhalten(x.y) | x || y | .F ur xstattxgiltdieselbeUngleichung,sodassalsoauch(x.y) = (x.y) | x || y |gilt.Darausfolgtschlielich[(x.y)[ = max(x.y), (x.y) | x || y | .MitderCauchy-Schwarz-Ungleichungbeweistmandie(vii) Dreiecksungleichung: | x +y || x | + | y | .x

y>>>>>>>>x +yBeweis:| x +y |2= (x +y.x +y)= | x |2+2(x.y)+ | y |2 | x |2+2 | x || y | + | y |2= (| x | + | y |)2.NichtnurdieNormeinesVektors,auchdasSkalarprodukt zweierVektorenhateinegeometrischeBedeutung.DazubetrachtenwirzunachstzweiEinheitsvektoren(=VektorenderLange1)imIR2:x = (cos(), sin())y = (cos(), sin())(x.y) = cos()cos() +sin()sin()= cos( ).AusdemAdditionstheoremf urdiecos-Funktionfolgtalso,dassdasSkalarprodukt(x.y)zweierEin-heitsvektorender Cosinus des Winkels zwischenbeidenVektorenist. F ur zwei beliebige Vektorenx ,= 0 ,= ydenierenwirzunachstdieEinheitsvektoren x :=1| x |x, y :=1| y |yunderhaltendannf urdenCosinusdesWinkelszwischenxundy( x. y) =(x.y)| x || y |.DiesnehmenwirzumAnlassf urdieentsprechendeDenitionimIRn:51Denition1.24Seienx ,= 0 ,= yVektorenimIRn.AusderCauchy-Schwarz-Ungleichungfolgt1 (x.y)| x || y | 1.DadieCosinus-FunktiondasIntervall [0, ] bijektivauf dasIntervall [1, 1] abbildet, gibt esgenaueinenWinkel IRmitcos() =(x.y)| x || y |, 0 .WirnennendiesenWinkel denWinkel zwischendenVektorenxundy. (DieserWinkel hat keinVorzeichen!ErhangtnichtvonderReihenfolgederVektorenxundyab.)Hier habenwir ziemlichgroz ugigGebrauchvondenEigenschaftender Cosinus-FunktionausAnalysisIgemacht. DieBeziehungzwischenSkalarproduktundCosinusdesZwischenwinkelsistf urdasVerstandnisunddieAnwendungen(z.B. inderanalytischenGeometrie)vongroerBedeutung.Im weiteren Aufbau der Linearen Algebra selbst werden wir aber von dieser Tatsache keinen Gebrauchmachen,sondernnur,umdenBezugzurAnschauungaufrechtzuerhalten.IndiesemSinnsollteunsdeswegendieAnleihebeiderVorlesungAnalysiserlaubtsein.Denition1.25ZweiVektorenx, y IRnheienorthogonalodersenkrechtaufeinander,inZeichenx y,wennsiedenWinkel2einschlieen,alsowenn(x.y) = 0ist.(Hieristauchx = 0odery = 0zugelassen.)Satz1.29(n-dimensionalerPythagoras) Esseienv1, ..., vr IRnVektoren, diepaarweiseauf-einandersenkrechtstehen:(vk.vl) = 0furallek ,= l.Danngilt| v1 +v2 +... +vr |2=| v1 |2+ | v2 |2+...+ | vr |2.Beweis.AusderVoraussetzungfolgt,dassdielinkeSeitegleich(v1 +... +vr . v1 +... +vr) =r

k,l=1(vk.vl) =r

k=1(vk.vk)ist.Aufgabe1.52a)BeweisenSie,dasssichdiedrei MittelsenkrechteneinesDreiecksineinemPunktschneiden.b)BeweisenSie,dasssichdiedreiHoheneinesDreiecksineinemPunktschneiden.Aufgabe1.53Esseienx, y, z IRn.ZeigenSie:a) [| x | | y |[ | x y |,b) | x |=| y | (x y) (x +y),c)istx ,= 0undy ,= 0,sogilt|x| x |2 y| y |2 |=| x y || x || y |,d)| x y || z || y z || x | + | z x || y |.52Aufgabe1.54Zeigen Sie: In derCauchy-Schwarz-Ungleichung [(x.y)[ | x || y | gilt das Gleich-heitszeichengenaudann,wenndieVektorenxundy IRnlinearabhangigsind.Aufgabe1.55ManbestimmeimIR4denWinkel zwischendenVektorenx =_____1111_____, y =_____0100_____.Aufgabe1.56Zeige, dass zwei Vektorenxundy IRngenaudannzueinander orthogonal sind,wennfuralle IRgilt| x +y || x | .Aufgabe1.57ImIR3seienE1undE2zwei 2-dimensionale Untervektorraume, die sichineinerGeradenAschneiden. DerSchnittwinkel =

(E1, E2)vonE1mit E2sei wiefolgt deniert: ManwahleVektorenvi Ei(i = 1, 2)derLange1,diesenkrechtaufAstehen.Mandarfannehmen,dass(v1.v2) 0(andernfallsersetzemanv2durch v2).Dannistcos() = (v1.v2).SeiE1= (x, y, z) IR3: x y + 2z= 0,E2= (x, y, z) IR3: x + 2y 3z= 0.ManberechnedenCosinusdesSchnittwinkelsvonE1undE2.1.5.2 SkalarproduktundNorminIR-VektorraumenWirverallgemeinernhierdenBegridesSkalarproduktsaufbeliebigeIR-Vektorraume.DasSKPausAbschnitt 1.5.1auf demIRnnennenwir k unftigeuklidisches SKP. Die Normaus Abschnitt 1.5.1nennenwirentsprechendk unftigeuklidischeNorm.Denition1.26EsseiV einIR-Vektorraum.EinSkalarprodukt (SKP)aufV isteineAbbildung( . ) : V V IR, (x, y) (x.y),welchebilinear, symmetrischunddenitist, alsodieEigenschaften(i),(ii), (iii)ausAbschnitt1.5.1besitzt.Beispiel1.38Wirbezeichnenmit C[a, b] denIR-Vektorraumderauf einemIntervall [a, b] stetigenFunktionen.Mitf, g C[a, b]istauchdasProduktfgauf[a, b]stetigundinsbesondereintegrierbar.Deswegenist(f.g) :=_baf(x)g(x) dxwohldeniert.Dies ist ein SKP auf C[a, b]. Fur die Details mussen wir hier auf die Vorlesung AnalysisIverweisen.53Beispiel1.39DasSKPausBeispiel1.38istauchaufdemVektorraumT()derTreppenfunktionen(Beispiel 1.8)deniert.Sindf, g T()solcheTreppenfunktionenmitdenkonstantenWertenfi, giaufdenIntervallen]xi1, xi[,soist(f.g) =_baf(x)g(x) dx = h n

i=1fi gi.BisaufdenFaktorh = xi+1xiistesdaseuklidischeSKPfurdien-tupel (fi), (gi) IRn.DieEigenschaften(iv),(v)aus Abschnitt1.5.1sindfundamental f ur denBegrider LangeimIRn.Wirverallgemeinernsiewiefolgt:Denition1.27EsseiV einIR-Vektorraum.EineNormaufV isteineAbbildung| |: V IR, x | x |,welche denit und homogen ist und die Dreiecksungleichung erfullt. Das sind also genau die Eigenschaf-ten(iv),(v),(vii)ausAbschnitt1.5.1.EinIR-VektorraumzusammenmiteinerNormheitnormierterVektorraum.DieBeweiseder Eigenschaften(iv)-(vii)f ur die euklidische Norm in Abschnitt 1.5.1haben nur dieEigenschaften(i)-(iii)deseuklidischenSkalarproduktsaufV= IRnbenutzt.DeswegengiltSatz1.30Essei( . )einSKPaufdemIR-VektorraumV .Dannwirddurch| x |:=_(x.x)eineNormaufV deniert.InsbesonderegiltdieCauchy-Schwarz-Ungleichung.Mansagtauch:DieseNormwirdvomSKP( . )erzeugt.JedeNormaufeinemIR-VektorraumdenierteinenAbstand(Metrik)durchd(x, y) =| x y | .IstdieNormvoneinemSKPerzeugt,soerf ulltsiedieParallelogrammgleichung| x +y |2+ | x y |2= | x |2+2(x.y)+ | y |2+ | x |22(x.y)+ | y |2= 2_| x |2+ | y |2_Beispiel1.40SchonaufV= IRngibtesNormen,dienichtdurcheinSkalarprodukterzeugtwerden,z.B.| x |1:=n

i=1[xi[, oder | x |:=nmaxi=1[xi[, dieMaximumsnorm.AnalogdazulassensichaufC[a, b]Normendenierendurch| f |1:=_ba[f(x)[ dx | f |:=maxx[a,b][f(x)[.DasSKPausBeispiel 1.38deniertdieNorm| f |2=_baf(x)2dx.54Aufgabe1.58DenIR-VektorraumIRkannmanauassenals denRaumaller Folgen(a)INreellerZahlen. Mit2IRbezeichnet mandieTeilmengeallerquadrat-konvergentenFolgen, alsodieMengederFolgen(a) IRn,furwelcheeinereelleKonstanteAexistiertmit

a2< A.ZeigenSie:2isteinUntervektorraumvonIRunddurch(a.b) :=

INabwirdaufdiesemUntervektorraumeinSKPdeniert.1.5.3 OrthogonalitatZweiVektorenx, y IRnstehensenkrechtaufeinander,wennsieeinenWinkel von900einschlieen.DasistgenaudannderFall,wennihrZwischenwinkeldenCosinus-Wert= 0hat.Unddaswiederumpassiert genaudann, wennihr euklidischesSkalarprodukt (x.y) = 0 ist.Dasverallgemeinernwir jetztaufIR-VektorraumemitSKP.In diesem Abschnitt 1.5.3 sei also Vein IR-Vektorraum mit einem SKP, das wir wie immer ( . )schreiben.Denition1.28Zwei Vektorenx, y V heienorthogonal, inZeichenx y, wenn(x.y)= 0ist.Hieristx = 0odery = 0ausdrucklichzugelassen.Beispiel1.41DerNullvektor0 V ist orthogonal zujedemVektorx V . Wennx V zusichselbstorthogonal ist, dannfolgt aus(iii), dassx=0ist. Deswegenist0auchdereinzigeVektorinV ,derzuallenx V orthogonal ist.Satz1.31(AbstrakterPythagoras) Es seien x1, ..., xr Vpaarweise zueinander orthogonal,also(xk.xl) = 0furallek ,= l.Dannist| x1 +... +xr |2=| x1 |2+...+ | xk |2.DerBeweisistdergleichewief urSatz1.29.Denition1.29IstA V einebeliebigeMenge,soseiA:= x V: (x.a) = 0furallea AdieMenge derVektorenx,diezu allenVektorenausAorthogonal sind.IstinsbesondereA = U IRneinUntervektorraum, sonennenwirUdasorthogonaleKomplementzuUinV . Wenna V eineinzigerVektorist,dannschreibenwirkurzafur a.55

UUUnmittelbarausderDenitionfolgt, dassAeinUntervektorraumvonV ist. UndesistA=(span(A)).F urTeilmengenA1 A2 V giltimmerA2 A1 .F urjedenUntervektorraumU VistU U= 0, U (U).Beispiel1.42Essei V =IRnmitdemeuklidischenSKPundA= a1, ..., am IRneineendlicheMenge.Dannistalsox A (a1.x) = ... = (am.x) = 0n

=1a1,x= ... =n

=1am,x= 0n

=1a,x= 0 fur = 1, ..., mDieVektorenx a1, ..., amsindalsogenaudieLosungendeslinearenGleichungssystems,dessenKoezientenmatrixausdenZeilenvektorena1, ..., amzusammengesetztist.Andersausgedruckt:IstUderLosungsraumdesLGSAx = 0undZ(A) = span(a1, ..., am)derZeilenraumderKoezienten-matrixA,dannista1, ..., am= Z(A)= U.Satz1.26zeigtindieserSituationdima1, ..., am= n dimspan(a1, ..., am).ImFall m = 1sehenwir:Fur0 ,= a V istaeineHyperebene.Beispiel1.43EsseiV= span(v1, ..., vn)endlich-erzeugtundU= span(u1, ..., um) V einUnter-vektorraum.EinVektorv =

cvstehtsenkrechtaufUgenaudann,wenn(v, u) =n

=1c(v.u) = 0 fur = 1, ..., m.Das ist alsogenaudannder Fall, wennder Koezientenvektor c=(c1, ..., cn)tLosungsvektor desLGSmitderKoezientenmatrixA = (a,) = (u.v), Zeile,Spalteist.DasSkalarprodukt ( . )deniert eineNorm | |auf Vund damiteinenAbstand | xy |f urzweiVektorenx, y V .56Satz1.32GegebenseieneinUntervektorraumUV undeinVektor v V . Fur u U sindaquivalent:a)(v u) U.b) | v u |= minxU| v x | .Beweisa) b):F urx UistnachPythagoras| v x |2=| (v u) + (u x) |2=| v u |2+ | u x |2| v u |2wegenu x Uund(v u) (u x).b) a):F urjedesx UhatdieFunktionf(t) :=| v (u +tx) |2, t IR,beit = 0einMinimum.Nunistf(t) =| (v u) tx |2=| v u |22t(v u.x) +t2 | x |2undimMinimumt = 0istdfdt(0) = 2(v u.x) = 0.WeildieseOrthogonalitatf urallex Ugilt,habenwir(v u) U.Satz1.33FallsinSatz1.32derVektoru Uexistiert,dannisterdurchveindeutigbestimmt.Beweis.Essei(v u1) Uund(v u2) U.Dannistauchu1u2= (u1v) + (v u2) U.Wegenu1u2 Ufolgtdarausu1u2= 0.Denition1.30DernachSatz1.33eindeutigbestimmteVektoru Uheit - wennerexistiert -dieOrthogonalprojektionPU(v)vonvindenUntervektorraumU.DerAbstand| v PU(v) |,dernachSatz1.32derminimaleAbstandvonvzuVektorenx Uist,heitderAbstandd(v, U)desVektorsvzumUnterraumU.Beispiel1.44EsseiU= IR w V eineGerade.Furu = twist(v u.w) = (v.w) t | w |2= 0genaudann,wennt =(v.w)| w |2,undPU(v) =(v.w)| w |2wistdieOrthogonalprojektion.DiesesBeispielverallgemeinernwirjetztaufUntervektorraumeU V miteinerBasisu1, ..., ur.57Denition1.31DieGramscheMatrixderBasisu1, ..., uristdier r-MatrixG(u1, ..., ur) = ((ui.uj)i,j=1,...,r)derSkalarprodukte.Satz1.34DieGramscheMatrixeinerBasisu1, ..., urvonU V hatdenVollrangr.Beweis.WirtestendieSpaltenGjderGramschenMatrixauflineareUnabhangigkeit.Seidazur

j=1Gjcj= 0.AusgeschriebenlautetdieseVektorgleichung(u1.

cjuj) = 0...(ur.

cjuj) = 0DerVektoru =

cjuj UistalsoorthogonalzuallenBasisvektorenui UunddamitzumganzenUnterraumU.DannisterauchorthogonalzusichselbstunddamitderNullvektorr

j=1cjuj= 0.WeildieVektorenu1, ..., urlinearunabhangigsind,folgtdarausc1= ... = cr= 0.DieOrthogonalprojektioninendlich-dimensionaleUntervektorraumeexistiert:Satz1.35EsseiU V einUntervektorraummiteinerBasisu1, ..., ur.Furv V istdieOrthogo-nalprojektionPU(v) =r

j=1cjuj,wobeiderKoezientenvektorc = (c1, ..., cr)teindeutigbestimmtistalsLosungsvektordesLGSAc = b.DabeiistAdieGramscheMatrixderBasisu1, ..., urunddierechteSeitederVektorb = ((v.u1), ..., (v.ur))t.Beweis. Wir betrachteneinenVektor u= rj=1cjuj Umi