Vorlesungsskript

Lineare Algebra

PROF. DR. WALTER GUBLER

im Wintersemester 2010/2011 und Sommersemester 2011an der Eberhard-Karls-Universitt Tbingen

gesetzt von JULIEN SESSLER und TANJA PAPADOPOULOU mit LATEX

Korrektur gelesen von CHRISTIAN POWER

Letzte nderung: 12. Juli 2012

Vorwort

Dieses Skript wurde whrend meiner Vorlesung Lineare Algebra im WS 10/11 und SS 11 an derEberhard-Karls-Universtitt Tbingen von Julien Sessler und Tanja Papadopoulou getippt und vonChristian Power berarbeitet, denen ich dafr vielmals danke. Das Skript kann nur fr die Hrermeiner Vorlesung von Nutzen sein. Wer sich sonst fr Lineare Algebra interessiert, der sei auf dieLiteraturliste am Ende verwiesen. Mein Dank geht auch an Christian Christensen, der das Skriptgrndlich gelesen und mich auf viele Fehler hingewiesen hat. Wir sind dem Leser dankbar, wenn ergefundene Fehler an walter.gubler@mathematik.uni-regensburg.de meldet.

Notation

Mit N bezeichnen wir die natrlichen Zahlen mit 0. Eine echte Inklusion von Mengen bezeichnen wirmit A B, wenn Gleichheit zugelassen ist, dann bentzen wir A B. Die Gruppe der invertierbarenElemente eines Ringes R bezeichnen wir mit R.

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mailto:walter.gubler@mathematik.uni-regensburg.de

Inhaltsverzeichnis

Vorwort iii

I. Lineare Algebra I 1

I. Einfhrung 31. Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Elementare Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II. Algebraische Grundlagen 171. Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. Ringe und Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213. Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

III. Vektorrume 291. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292. Kartesische Produkte, Unterrume und Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323. Quotientenrume und Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

IV. Dimensionstheorie 391. Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392. Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

V. Matrizenrechnung 511. Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512. Rang und Invertierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573. Zusammenhang zu linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604. Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

VI. Determinanten 671. Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672. Determinantenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693. Eigenschaften von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764. Adjungierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

VII. Eigenwerte 831. Ergnzungen zu Polynomen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832. Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873. Charakteristisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924. Trigonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

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Inhaltsverzeichnis

II. Lineare Algebra II 101

VIII.Euklidische und unitre Vektorrume 1031. Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032. Symmetrische Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063. Skalarprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094. Orthogonalitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145. Adjungierte Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166. Isometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217. Selbstadjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

IX. Anwendungen in der Geometrie 1331. Affine Rume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332. Affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353. Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384. Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415. Quadriken im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

X. Normalformen 1551. Polynomfaktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552. Primrzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583. Jordan-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614. Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

XI. Multilineare Algebra 1691. Direkte Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692. Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1703. Die Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754. Die symmetrische Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785. uere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Index 185

Literaturverzeichnis 189

vi

Teil I.

Lineare Algebra I

1

1Kapitel I.

Einfhrung

1. Logik

1.1. In der Logik gibt es Aussagen. Wir gehen davon aus, dass eine Aussage entweder wahr oderfalsch ist (Widerspruchsfreiheit der Mathematik).

1.2 Beispiel. Aussage A: Jede Primzahl ist ungerade. Diese Aussage ist falsch, da 2 gerade undeine Primzahl istWiderspruchsbeweis. Aussage B: Jede ungerade Quadratzahl hat den Rest 1 beiDivision durch 8. Diese Aussage ist wahr (Beweis: siehe 1.9).

1.3. Die Mathematik ist aus Axiomen aufgebaut. Das sind Aussagen, die von allen als richtiganerkannt werden, aber die nicht beweisbar sind.

Als Beispiel erwhnen wir das Parallelenaxiom aus der ebenen euklidischen Geometrie: Durchjeden Punkt P auerhalb einer Geraden g, gibt es genau eine Parallele zu g.

1.4. Aus gegebenen Aussagen A und B kann man folgendermaen neue Aussagen bilden:

A (Negation von A, nicht A)

AB (A und B)

AB (A oder B)

A = B (wenn A gilt, dann gilt auch B, aus A folgt B)

A B (A gilt genau dann, wenn B gilt, A ist quivalent zu B)

1.5. Es ist wahr= 1 und falsch= 0.

A B A AB AB A = B A B1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 00 1 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1 1

1.6. Interessante Aussagen erhlt man, in dem man die Quantoren fr alle (kurz: ) oder es exis-tiert (kurz: ) benutzt. Die Negation von ist @ (es existiert kein). Es existiert genau ein krztman mit ! ab.

1.7 Beispiel. Die Aussage A aus Beispiel 1.2 kann man folgendermaen formulieren: p Primzahl p ungerade (Vorsicht: falsch). Beachte, dass die Umkehrung auch nicht gilt! Die Negation derAussage A lautet: p Primzahl mit p gerade (wahr, p = 2).

1.8. Um in der Mathematik die Wahrheit einer Aussage zu prfen, muss man einen Beweis fhren.Dabei muss man die Aussage aus frher bewiesenen Aussagen und Axiomen herleiten (mit Hilfe von=)

1.9 Beispiel. Wir beweisen Aussage B von 1.2: Jede ungerade Quadratzahl hat bei Division durch 8den Rest 1.

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KAPITEL I. EINFHRUNG

Beweis: Sei q ungerade Quadratzahl. Da die Quadrate gerader Zahlen wieder gerade sind, mussq = (2k+1)2 gelten, fr eine natrliche Zahl k.

q = 4 k2 +4 k+1 = 4 k (k+1)+1

Von den benachbarten Zahlen k, k+1 ist genau eine gerade und deshalb ist 4 k (k+1) ein Vielfachesvon 8. Das zeigt die Behauptung.

1.10. Eine wichtige (wahre) Aussage wird als Theorem bezeichnet. Ein Zwischenergebnis, das frden Beweis eines Theorems bentigt wird, heit Lemma. Eine Proposition ist eine naheliegende oderweniger wichtige Aussage. Eine Behauptung ist ebenfalls eine Aussage, die man beweisen muss. EinKorollar ist eine Folgerung. Eine Vermutung ist eine Aussage, die man fr wahr hlt, aber bis jetztnicht beweisen kann.

2. Elementare Zahlentheorie

2.1. Die natrlichen Zahlen werden durch die folgenden 5 Peano-Axiome charakterisiert:

P1 0 ist eine natrliche Zahl.

P2 Fr jede natrliche Zahl n gibt es einen Nachfolger n.

P3 0 ist kein Nachfolger einer natrlichen Zahl.

P4 Wenn zwei natrliche Zahlen denselben Nachfolger haben, dann sind sie gleich.

P5 Es gilt das Prinzip der vollstndigen Induktion.

2.2. Das Prinzip der vollstndigen Induktion ist ein wichtiges Beweismittel. Es funktioniert fol-gendermaen: Wir nehmen an, dass wir zu jeder natrlichen Zahl n eine Aussage A(n) haben. Weitersoll folgendes gelten:

A(0) sei wahr (Induktionsanfang).

Wenn A(n) fr eine natrliche Zahl n wahr ist, dann ist auch A(n) wahr (Induktionsschritt).

Die vollstndige Induktion besagt dann, dass jedes A(n) wahr ist.

2.3 Beispiel. Wir schreiben dann 0, 1 := 0, 2 := 1, 3 := 2, . . . Es kennzeichnet := hierbei eineDefinition. Behauptung: Wir erhalten mit dieser Liste alle natrlichen Zahlen.

Beweis mit vollstnd