Lineare Gleichungen - mathi.uni-heidelberg.deflemmermeyer/HA/G9-gleich.pdf · (x2 2)(2x 1) = 0 kann...

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LOSEN VON GLEICHUNGEN

Viele mathematische (und naturwissenschaftliche) Probleme lassen sichdadurch losen, dass man eine Gleichung (oder auch mehrere) aufstelltund diese dann lost. Wir werden im Folgenden die haufigsten in derSchulmathematik auftretenden Gleichungen besprechen.

1. Lineare Gleichungen

Gleichungen, in welchen die Unbekannte x nur in der ersten Potenzauftritt, nennt man lineare Gleichungen. Diese sind sehr einfach zulosen: man bringt alle Terme, die x enthalten, auf eine Seite, etwa dielinke, und alle andern auf die rechte Seite.

Beispiel.

3x+ 5x− 7 = 12− 2x+ 3x− 5

8x− 7 = x+ 7∣∣ − x

7x− 7 = 7∣∣ + 7

7x = 14∣∣ : 7

x = 2

Wichtig ist: einen Term “−7” bekommt man mit “+7” auf die andereSeite, wahrend man ein “·7” durch “: 7” weg bekommt.

Fuhrt das Umformen auf eine Gleichung der Form 0 = 1, hat die Glei-chung keine Losung:

2x+ 3 = 3x− 1− x2x+ 3 = 2x− 1

∣∣ − 2x

3 = −1

1

2 LOSEN VON GLEICHUNGEN

Abbildung 1. Schnittpunkt der Gerade y = 2x−3 undy = −3x+ 2.

Fuhrt eine Gleichung dagegen auf 0 = 0, so ist die Gleichung fur allex richtig:

(2x+ 1)2 − 1 = 4x(x+ 1)

4x2 + 4x+ 1− 1 = 4x2 + 4x∣∣ − 4x2 − 4x

0 = 0

Sehr oft tauchen lineare Gleichungen auf, wenn man den Schnittpunktzweier Geraden berechnet. Sind etwa die Geraden y = 2x− 3 und y =−3x+2 gegeben, so setzt man diese Ausdrucke gleich (im Schnittpunktmussen beide Geraden denselben y-Wetr haben):

2x− 3 = −3x+ 2

Auflosen ergibt x = 1. Setzt man dies in die beiden Geradengleichungenein, erhalt man y = 2 · 1 − 3 = −1 bzw. y = −3 · 1 + 2 = −1. DerSchnittpunkt ist also gegeben durch S(1| − 1).

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Enthalt die Gleichung außer der Unbekannten x weitere Parameter a,b, c usw., dann werden diese behandelt wie gewohnliche Zahlen:

ax+ 5 = 2x− 3∣∣ − 2x− 5

ax− 2x = −3− 5

(a− 2)x = −8∣∣ : (a− 2)

x = − 8

a− 2

Hier haben wir links im Ausdruck ax−2x den Faktor x ausgeklammert;alle anderen Umformungen sollten vertraut sein. Die Division durcha− 2 ist naturlich nur erlaubt, falls a 6= 2 ist.

In Zwischenrechnungen durfen durchaus auch einmal hohere Potenzenvon x auftauchen. Ein Beispiel dafur ist die folgende Gleichung

(2x− 1)2 = (3− 2x)2

4x2 − 4x+ 1 = 9− 12x+ 4x2∣∣ − 4x2 + 12x− 1

12x− 4x = 9− 1

8x = 8∣∣ : 8

x = 1

Eine Probe zeigt, dass wir richtig gerechnet haben:

(2 · 1− 1)2 = (2− 1)2 = 12 = 1, (3− 2 · 1)2 = (3− 2)2 = 12 = 1.

2. Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind solche, die neben konstanten und linea-ren auch qiadratische Terme enthalten. Sie lassen sich immer auf dieForm

ax2 + bx+ c = 0

mit Zahlen a, b, c bringen, von denen a 6= 0 sein muss, denn sonstwurde eine lineare Gleichung vorliegen.

Die einfachsten quadratischen Gleichungen sind solche, bei denen b = 0oder c = 0 ist.

Reinquadratische Gleichungen. Quadratische Gleichungen der Formx2 = a nennt man reinquadratische Gleichungen. Diese lassen sichdurch Wurzelziehen losen: x2 = 16 hat die beiden Losungen x1 = −4uznd x2 = 4. Entsprechend hat x2 = 5 die beiden Losungen x1 = −

√5

und x2 =√

5.


Auch die Gleichung (x− 1)2 = 4 kann man durch Wurzelziehen losen:Man findet x − 1 = ±2; die Gleichung x − 1 = −2 liefert die Losungx1 = −1, die Gleichung x− 1 = 2 dagegen x2 = 3.

Entsprechend fuhrt (x− 2)2 = (2x)3 auf x− 2 = ±2x, also auf x1 = 23

und x2 = −2.

Quadratische Gleichungen ohne Absolutglied. Gleichungen derForm ax2 + bx + c = 0, in welcher das Absolutglied c = 0 ist, lassensich ganz einfach durch Ausklammern losen. Ist etwa 3x2 − 7x = 0, sohat man nach Ausklammern von x die Gleichung x(3x − 7) = 0. Aufder linken Seite steht das Produkt zweier Faktoren, namlich von x und3x− 7. Damit dieses Produkt 0 ergibt, muss einer der beiden Faktoren0 sein: Multipliziert man namlich zwei von 0 verschiedene Zahlen, so istauch das Produkt 6= 0. Im vorliegenden Fall muss also entweder x1 = 0oder 3x− 7 = 0 und damit x2 = 7

3sein.

Das Vorhandensein weiterer Parameter macht die Sache nicht schwie-riger: Die Gleichung ax2 + bx = 0 mit a 6= 0 hat wegen x(ax + b) = 0die beiden Losungen x1 = 0 und x2 = − b

a.

Manchmal liegt der Ausdruck schon als Produkt vor: die Losungen von

(x2 − 2)(2x− 1) = 0

kann man direkt ablesen: x1,2 = ±√

2 und x2 = 12.

Allgemeine quadratische Gleichungen. Um die Gleichung x2 +6x−7 = 0 zu losen, kann man die Gleichung mit quadratischer Erganzungin eine reinquadratische Gleichung verwandeln. Dazu schreibt man

x2 + 6x− 7 = (x2 + 6x+ 9− 9− 7 Addition von 9− 9 = 0

= (x+ 3)2 − 16 binomische Formel

Also ist (x+ 3)2− 16 = 0, folglich (x+ 3) = 16 und nach Wurzelziehenx+ 3 = ±4. Daraus folgen die beiden Losungen x1 = −7 und x2 = 1.

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Hat die quadratische Gleichung die Form x2 + px + q = 0, so verlauftder Weg uber die quadratische Erganzung so:

x2 + px+ q = 0(x+

p

2

)2−(p

2

)2+ q = 0(

x+p

2

)2=(p

2

)2− q

∣∣ √x+

p

2= ±

√(p2

)2− q

∣∣ − p

2

x = −p2±√(p

2

)2− q.

Die letzte Formel nennt man die p-q-Formel zur Losung quadratischerGleichungen. Bei der Anwendung ist darauf zu achten, dass der Koef-fizient von x2 gleich 1 ist.

Etwas allgemeiner ist die a-b-c-Formel zur Losung der Gleichung

ax2 + bx+ c = 0.

Um die quadratische Erganzung ohne Nenner zu ermoglichen, multi-plizieren wir die Gleichung mit 4a:

ax2 + bx+ c = 0∣∣ · 4a

4a2x2 + 4ab+ 4ac = 0

(2ax+ b)2 − b2 + 4ac = 0∣∣ + b2 − 4ac

(2ax+ b)2 = b2 − 4ac∣∣ √

2ax+ b = ±√b2 − 4ac

∣∣ − b2ax = −b±

√b2 − 4ac

∣∣ : 2a

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

Die Idee hinter der Herleitung dieser Formel ist einfach: man verwandeltdie quadratische Gleichung durch quadratische Erganzung in eine reinquadratische Gleichung, woraus man durch Wurzelziehen eine (genauerin zwei) lineare Gleichung erhalt, die man dann nach x auflost.

3. Satz von Vieta

Viele quadratische Gleichungen, die im Schulunterricht auftauchen, ha-ben ganzzahlige Losungen. Mit dem Satz von Vieta kann man diese


oft schneller erraten als man die Gleichung mit der a-b-c-Formel losenkann.

Ganz uberflussig wird das Raten, wenn man (aus was fur Grunden auchimmer) bereits eine Losung kennt. Weiß man etwa, dass x2−−7x+12 =0 die Losung x1 = 3 hat, dann muss

x2 − 7x+ 12 = (x− 3)(x− b)sein, denn nach dem Ausmultiplizieren muss vorne x2 herauskommenund nach dem Nullproduktsatz muss sich 0 ergeben, wenn man x = 3einsetzt. Ausmultiplizieren (bzw. Betrachten des konstanten Glieds)und Vergleichen der beiden Seiten liefert 3b = 12, also b = 4 und damit

x2 − 7x+ 12 = (x− 3)(x− 4).

Also hat die Ausgangsgleichung die Losungen x1 = 3 und x2 = 4.

Muss man beide Losungen raten, so setzt man

x2 + px+ q = (x− a)(x− b)und lost die Klammern auf:

x2 + px+ q = x2 − ax− bx+ ab = x2 − (a+ b)x+ ab.

Es muss also p = −a−b und q = ab sein. Wenn die Losungen ganzzahligsind, gibt es nur endlich viele Moglichkeiten. Hat man etwa

x2 − 5x+ 6 = 0

zu losen, dann muss ab = 6 sein, was (bis auf Vertauschung von a undb) nur die Moglichkeiten

(a, b) = (1, 6), (−1,−6), (2, 3), (−2,−3)

zulasst. Wir setzen also

x2 − 5x+ 6 = (x± 1)(x± 6) oder x2 − 5x+ 6 = (x± 2)(x± 3),

wobei in beiden Klammern dasselbe Vorzeichen stehen muss, weil 6 > 0ist. Die Summe von a und b muss gleich 5 sein: Das geht nur bei derzweiten Moglichkeit, also gilt

x2 − 5x+ 6 = (x− 2)(x− 3),

und die Ausgangsgleichung hat nach dem Nullproduktsatz die Losun-gen x1 = 2 und x2 = 3.

4. Gleichungen hoheren Grades

Gleichungen hoheren Grades, die in der Schule auftreten, lassen sichimmer auf einer der folgenden drei Arten losen.

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Reine Gleichungen. Damit sind Gleichungen der Form x4 = 4 oderx3 = −2 gemeint.

Im ersten Fall erhalt man durch Ziehen der Quadratwurzel x2 = ±2;die Gleichung x2 = −2 hat keine Losung, aus x2 = 2 folgt x1,2 = ±

√2.

Bei der zweiten Gleichung liefert Ziehen der dritten Wurzel die Losungx = − 3

√2.

Nullproduktsatz. Zwar gibt es fur Gleichungen dritten oder vier-ten Grades Losungsformeln wie fur quadratische Gleichungen, die aberzum einen kein Schulstoff sind und zum andern kaum zur numerischenLosung solcher Gleichungen taugen. Gleichungen dritten Grades, die inder Schule auftauchen, haben also immer die Form ax3+bx2+cx+d = 0mit verschwindendem Absolutglied d = 0. Zur Losung klammert manx aus und benutzt den Nullproduktsatz:

ax3 + bx2 + cx = 0

x(ax2 + bx+ c) = 0

x1 = 0, ax2 + bx+ c = 0

Die zweite Gleichung lost man mit der a-b-c-Formel.

Substitution. Eine der wichtigsten Techniken zum Losen etwas kom-plizierterer Gleichungen ist die Substitution. Ist etwa die Gleichung

(2x+ 1)2 + 5(2x+ 1) + 4 = 0

gegeben, so muss man die Klammern nicht auflosen, sondern kann die

”Abkurzung“ 2x+ 1 = z einfuhren. Damit wird dann aus unserer Glei-

chungz2 + 5z + 4 = 0

mit den beiden Losungen (Vieta) z1 = −1 und z2 = −4. Weil z aberfur 2x + 1 steht, bedeutet dies (Resubstitution) 2x1 + 1 = −1 bzw.2x2 + 1 = −4, was auf x1 = −1 und x2 = −5

2fuhrt.

Weitaus ofter benutzt man diese Technik zum Losen von Gleichungender Form

x4 + 3x2 − 4 = 0.

Wer Vieta beherrscht, sieht sofort, dass diese Gleichung sich in derForm

(x2 + 4)(x2 − 1) = 0

schreiben lasst, was nach dem Nullproduktsatz auf die einzigen Losun-gen x1,2 = ±1 fuhrt. Um auch ohne Vieta ans Ziel zu kommen, muss


man x2 = z setzen; damit ist dann x4 = z2, und unsere Gleichungschreibt sich in der Form z2 + 3z − 4 = 0, was (mit Vieta oder a-b-c-Formel) auf z1 = 1 und z2 = −4 fuhrt. Jetzt schreibt man wieder(Resubstitution) x2 = 1 bzw. x2 = −4, was wie zuvor auf die beidenLosungen x1,2 = ±1 fuhrt.

5. Bruchgleichungen

Bei Bruchgleichungen treten Bruche auf, deren Nenner die Unbekann-te enthalten. Diese werden gelost, indem man mit dem Hauptnennerdurchmultipliziert (hierbei ist zu beachten, dass um jeden Zahler undjeden Nenner grundsatzlich eine Klammer zu denken ist), die Klam-mern auflost und die Gleichung auf einen bekannten Typ zuruckfuhrt.

x+ 1

x− 3

x− 1= −3

2

∣∣ · xx+ 1− 3x

x− 1= −3x

2

∣∣ · (x− 1)

(x+ 1)(x− 1)− 3x = −3x(x− 1)

2

∣∣ · 22(x+ 1)(x− 1)− 2 · 3x = −3x(x− 1)

∣∣ Klammern auflosen

2(x2 − 1)− 6x = −3x2 + 3x∣∣ + 3x2 − 3x

2x2 − 2− 6x+ 3x2 − 3x = 0∣∣ zusammenfassen

5x2 − 9x− 2 = 0∣∣ a-b-c-Formel

x1 = 2, x2 = −1

5

Bei Bruchgleichungen ist nachtraglich zu prufen, ob die Losungen tatsachlichauch Losungen sind. Im vorliegenden Fall darf namlich x weder 0, noch1 sein, weil sonst die Ausgangsgleichung sinnlos ware.

Der Grund hierfur ist, dass z.B. die Multiplikation mit x nicht not-wendig eine Aquivalenzumformung ist. So hat die Gleichung x = 1selbstverstandlich nur die eine Losung x1 = 1; nach Multiplikation mitx wird daraus die Gleichung x2 = x mit den beiden Losungen x1 = 1und x2 = 0. Beim Wegschaffen der Nenner konnen also Losungen hin-zukommen, und deswegen ist hier die Probe Pflicht!

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6. Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen sind solche, bei denen die Unbekannte im Ex-ponenten steht. Ein einfaches Beispiel ist die Gleichung 2x = 16 mitder Losung x = 4.

Taucht in der Gleichung nur ein Term der Form ax auf, lost man nachdiesem auf (wie immer erst durch Addition und Subtraktion, danndurch Multiplikation und Division) und nimmt auf beiden Seiten denLogarithmus:

3 · 2x + 5 = 32∣∣ − 5

3 · 2x = 27∣∣ : 3

2x = 9∣∣ log

log(2x) = log(9)

x · log(2) = log(9)∣∣ : log(2)

x =log(9)

log(2)

Hierbei haben wir das Logarithmusgesetz log(ax) = x log(a) angewen-det.

Tauchen zwei Terme mit der Unbekannten im Exponenten auf undkann man diese nicht zusammenfassen, etwa wie bei 3 · 2x + 5 · 2x = 64,wo man 3 · 2x + 5 · 2x = 8 · 2x schreiben kann, dann kann man dieSubstitution ax = zversuchen.

22x − 9 · 2x + 8 = 0∣∣ 2x = z, 22x = z2

z2 − 9z + 8 = 0∣∣ Vieta

(z − 1)(z − 8) = 0∣∣ Nullproduktsatz

z1 = 1, z2 = 8∣∣ Resubstitution

2x = 1, 2x = 8

x1 = 0, x2 = 3

Man kann hier den Satz von Vieta auch ohne Substitution anwenden,wenn man

22x − 9 · 2x + 8 = (2x − 1)(2x − 8)

schreibt.


7. Trigonometrische Gleichungen

Der letzte Typ von Gleichungen, die man ohne große Probleme vonHand losen kann, sind ganz bestimmte Gleichungen, in welchen Sinus-und Kosinus-Funktionen auftreten. Alle solchen Gleichungen, soweit sieSchulstoff sind, lassen sich mit Nullproduktsatz oder Substitution aufeine der folgenden Gleichungen zuruckfuhren:

sinx = −1, sinx = 0, sinx = 1 bzw.

cosx = −1, cosx = 0, cosx = 1.

Deren Losungen im Intervall [0; 2π] muss man den folgenden Skizzenentnehmen konnen:

Um etwa die Losungen von sinx = 0 abzulesen, muss man schauen,an welchen Stellen (also fur welche Werte von x) das Schaubild derSinusfunktion Nullstellen (also y-Koordinate 0) besitzt. Dies ist furx1 = 0, x2 = π und x3 = 2π der Fall.

Entsprechend hat sin x = 1 im vorgegebenen Intervall die einzige Losungx1 = π

2usw.

Die Gleichung sin(πx) = 0 fuhrt man mit der Substitution πx = zauf eine der obigen zuruck: Man hat dann sin z = 0 zu losen, undResubstitution fuhrt auf πx = 0, πx = π bzw. πx = 2π, also x1 = 0,x2 = 1 und x3 = 2.

Ganz wichtig ist die Beobachtung, dass die Sinus- und Kosinus-Funktionnur Werte zwischen −1 und +1 annehmen und somit alle Gleichungender Form sinx = 2 oder cos(x) = −3 keine Losung besitzen.

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Ubungen

(1) Lose die folgenden Gleichungen.

a) 3x− 2 = 7 b) 4x− 2 = 7x+ 3

c) 2(x− 1) = 3(x− 2) d) 12x− 2 = 1

3x− 3

(2) Bestimme den Schnittpunkt der folgenden Geraden.

a) y = x− 1, y = 2x− 4 b) y = 1− 3x, y = x

c) y = 2x+ 1, y = 12x d) y = 1

3x− 1

2, y = 1

4x− 1

3

(3) Lose folgende Gleichungen.

a) 12x = 13x b) x2 − x = x2 + x+ 1

c) 2x3 − x = 2x3 + x d) (x− 2)(x+ 2) = (x− 1)2


a) ax = 2 b) mx+ b = a

c) ax+ 2 = bx d) a(x− 1) = b(x+ 1)


a) ax+ 2 = 3x− 1 b) ax+ 2 = bx+ 3

c) a(x− 1) + 2 = bx− 3 d) ax = bx+ 1


a) (3x− 4)2 = (1− 3x)2 b) x(2x− 1) = 2x(x− 3)

c) (x− 1)(x+ 1) = x2 + 4 d) 4(x− 1)2 = (1− 2x)2


a) x2 = 81 b) 2x2 = 50

c) x2 + 4 = 0 d) 4x2 + 2 = 3x2 + 11


a) x2 − 19x = 0 b) 2x2 + 50x = 0

c) 3x2 = 5x d) x2 = x

(9) Lose folgende Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

a) x2 − 5x+ 6 = 0 b) x2 − x− 6

c) x2 − 7x+ 6 = 0 d) x2 + 7x+ 6 = 0



a) x2 − 7x+ 10 = 0 b) x2 + 12 = 7x

c) x2 + x = 30 d) x2 + 2x = 35


a) x3 = −27 b) 2x4 = 32

c) 3x5 = 96 d) 2x4 = 4


a) x3 − 5x2 + 6x = 0 b) x3 − x2 = 56x

c) x3 = 17x2 d) 5x3 = 10x


a) x4 − 6x2 + 9 = 0 b) x4 − 5x2 + 4 = 0

c) x4 + 6x2 = 7 d) 2x4 + 3x2 = 5


a) x6 − 9x3 + 8 = 0 b) x5 − 13x3 + 36x = 0

c) (2x− 1)2 + 5(2x− 1) = 6 d) x− 3√x+ 2 = 0


a)1

x=

1

17b)

1

x2=

1

9

c)x

x+ 1=

3x− 2

2xd)

x

2x− 1= 4

(16) Lose folgende Gleichungen (ggf. mit WTR).

a) 3 · 2x = 48 b) 1, 2x = 100

c) 1, 5 · 0, 9x = 0, 001 d) 30 · 1, 1x + 400 = 520


a) 22x − 9 · 2x + 8 = 0 b) 32x + 8 · 3x = 9

c) 23x− 10 · 22x + 16 · 2x = 0 d) 22x+1 − 9 · 2x + 4 = 0


a) (sinx)2 = sinx b) (cosx)2 + 2 cosx = 0

c) (sinx)2−3 sin(x) + 2 = 0 d) cos(π2x)2 = 1

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Losungen

(1) a) x = 3; b) x = −53; c) x = 4; d)

(2) a) S(3|2); b) S(14|14); c) S(−2

3| − 1

3); d) S(2|1

6)

(3) a) x = 0; b) x = −12; c) x = 0; d) x = 5

2

(4) a) x = 2a; b) x = a−b

m; c) x = − 2

a−b ; d) x = a+ba−b

(5) a) x = − 3a−3

; b) x = 1a−b ; c) x = a−5

a−b ; d) x = 1a−b

(6) a) x = 56; b) x = 0; c) keine Losung; d) x = 3

4

(7) a) x1,2 = ±9; b) x1,2 = ±5; c) keine Losung; d) x1,2 = ±3

(8) a) x1 = 0, x2 = 19; b) x1 = 0, x2 = 25; c) x1 = 0, x2 = 53;

d) x1 = 0, x2 = 1;

(9) a) (x−2)(x−3) = 0, also x1 = 2, x2 = 3 b) x2 = −2, x2 = 3;c) x1 = 1, x2 = 6; d) x1 = −1, x2 = −6

(10) a) x1 = 2, x2 = 5; b) x1 = 3, x2 = 4 c) x1 = −5, x2 = 6;d) x1 = −5, x2 = 7

(11) a) x = −3; b) x1,2 = ±4; c) x = 2; d) x1,2 = ± 4√

2

(12) a) x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3; b) x1 = 0, x2 = −7, x3 = 8; c)x1 = 0, x2 = 17; d) x1 = 0, x2,3 = ±

√2

(13) a) x1,2 = ±√

3; b) x1,2 = ±1, x3,4 = ±2; c) x1,2 = ±1,

x3,4 = ±√

6; d) x1,2 = ±1

(14) a) x1 = 1, x2 = 2; b) x1 = 0, x2,3 = ±2, x4,5 = ±3; c)x1 = 1, x2 = −5

2; d) z =

√x, z2 = x; damit z1 = 1, z2 = 2

und x1 = 1, x2 = 4

(15) a) x = 17; b) x1,2 = ±3; c) x1 = 1, x2 = −2; d) x = 47

(16) a) x1 = 4; b) x = log(100)log(1,2)

≈ 25, 26 c) x = log(0,001/1,5)log(0,9)

≈ 69, 4

d) x = log(4)log(1,1)

= 14, 55

(17) a) 2x = z; z1 = 1, z2 = 8; x1 = 0, x2 = 3 b) x = 0; c)2x(2x−2)(2x−8) = 0; x1 = 1, x2 = 3; d) 2 ·22x−9 ·2x+4 = 0;z = 2x; z1 = 1

2, z2 = 4, also x1 = −1, x2 = 2

(18) a) x1 = 0, x2 = π2, x3 = π, x4 = 2π; b) x1 = π

2, x2 = 3π

2c)

x = π2

d) x1 = 0, x2 = π, x3 = 2π.

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