Lineare Optimierung Aufgaben der linearen Optimierung für eine 8. Klasse Marcus Schreyer.

Lineare OptimierungLineare Optimierung

Aufgaben der linearen Optimierung für eine 8. KlasseAufgaben der linearen Optimierung für eine 8. KlasseMarcus SchreyerMarcus Schreyer


Lineare OptimierungLineare OptimierungAgendaAgenda

• Definition• Lineare Gleichungssysteme 8. Klasse• Motivation und Beweggründe• Hinführung zur Optimierung – LUGS• Aufgabe• Erfahrungen• Diskussion


Lineare OptimierungLineare OptimierungDefinitionDefinition

• Was ist das?

„Lineare Optimierung beschäftigt sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen über einer Menge, die durch lineare Nebenbedingungen eingeschränkt sind“


Lineare OptimierungLineare OptimierungBeispiel – Maximierung einer ZielfunktionBeispiel – Maximierung einer Zielfunktion

550

350

0

6

0

x,y

x,y

y

x

x

Nebenbedingungen:

yx)y,x(Z 155

Zielfunktion: Lösung:

L = { (2|4) }

Maximaler Zielwert:

Z(2,4) = 70


Lineare OptimierungLineare OptimierungLGS 8. Klasse - PlanungLGS 8. Klasse - Planung

Lineare Ungleichungssysteme

Lineare Ungleichung mit zwei Variablen

Grafisches Lösungsverfahren

Lineares Optimieren

EinstiegLineare Gleichung mit zwei Variablen

Graph einer linearen Gleichung mit zwei Variablen

Lineare Gleichungssysteme

Grafisches Lösungsverfahren

Gleichsetzungsverfahren

Einsetzungsverfahren

Lösbarkeit von Gleichungssystemen

Anwendungen


Lineare OptimierungLineare OptimierungLGS 8. Klasse - PlanungsgrundlageLGS 8. Klasse - Planungsgrundlage

• Kernkurrikulum• Schulbücher

– Neue Wege

– Elemente der Mathematik

– Lambacher Schweizer

• Feinplanung Ungleichungssysteme & Optimierung– Neue Wege

– Lambacher Schweizer

– Internet


Lineare OptimierungLineare OptimierungMotivation und BeweggründeMotivation und Beweggründe

• Optimierungsprobleme vielfach in Industrie und Wirtschaft anzutreffen– speziell lineare Optimierung

• Schüler kennen Optimierungsfragestellungen– Gewinnmaximierung, Kostenminimierung

– Maximaler Gewinn bei minimalen Kosten

• Gegenwartsbedeutung, Zukunftsbedeutung


Lineare OptimierungLineare OptimierungHinführung - VoraussetzungenHinführung - Voraussetzungen

• Behandlung von linearen Ungleichungssystemen• Zusammenhang zwischen LGS und LUGS• Grafisches Lösungsverfahren

550

350

0

6

0

x,y

x,y

y

x

x

Ungleichungssystem:


Lineare OptimierungLineare OptimierungHinführung – LUGS AufgabeHinführung – LUGS Aufgabe

Zelte-Aufgabe

Eine Pfadfinder-Gruppe beschließt, für einen großen Ausflug

Zelte einzukaufen. Im Sonderangebot stehen zwei Zelte:

eines für 10 Personen und eines für 15 Personen. Von den

10-er Zelten sind aber nur noch 5 und von den 15-er Zelten

nur noch 4 Stück vorrätig. Die 10-er Zelte kosten 100 Euro

pro Stück und die 15-er Zelte kosten 200 Euro pro Stück. Die

Pfadfinder können insgesamt höchstens 900 Euro für die

Zelte ausgeben. Gib die Nebenbedingungen an und

bestimme das Planungsvieleck!


Lineare OptimierungLineare OptimierungZelte-Aufgabe Zelte-Aufgabe

• Nebenbedingungen – Lineare Ungleichungen

900200100

4

0

5

0

yx

y

y

x

x

5450

4

0

5

0

.x.y

y

y

x

x


Lineare OptimierungLineare OptimierungZelte-Aufgabe - PlanungsvieleckZelte-Aufgabe - Planungsvieleck


Lineare OptimierungLineare OptimierungEingesetzte Medien Eingesetzte Medien – – Teil ITeil I

• Grafisches Lösungsverfahren– konventionell angewendet zeitaufwendig

– GTR unübersichtlich und eingeschränkt

• Anwendung von GeoGebra– Einfache Bedienung

– Allgemeine Verfügbarkeit – Internet

– Open Source – Schüler in Heimarbeit !!

– Dynamische Arbeitsblätter !!

• Einsatz „nebenbei“ in Computerraum vermittelt (1h)


Lineare OptimierungLineare OptimierungEingesetzte Medien – Teil IIEingesetzte Medien – Teil II

• Klasse verfügt über eigenes Mathe-Wiki - Internet• Wiki ermöglicht schnelles Erstellen und

Bearbeiten von Webseiten– Schüler & Lehrer arbeiten kollaborativ an Inhalten

– Inhalte werden einfach verfügbar gemacht

• Nutzen hier:– Aufgaben im Wiki

– Dynamische Arbeitsblätter im Wiki


Lineare OptimierungLineare OptimierungEingesetzte Medien – WikiEingesetzte Medien – Wiki


Lineare OptimierungLineare OptimierungDie AufgabeDie Aufgabe

Schülerzeitung - Ausgangssituation

Das Albert-Einstein Gymnasium gibt im Abstand

von zwei Monaten eine Schulzeitung heraus. Die

Schulzeitung soll attraktiver gestaltet werden. Dazu

hat die Redaktion beschlossen, einige Seiten farbig

zu drucken.


Lineare OptimierungLineare OptimierungDie AufgabeDie Aufgabe

Schülerzeitung – Redaktionsbeschluss

• Zahl der schwarz-weißen Seiten x darf höchstens doppelt so hoch sein wie die Zahl der farbigen Seiten y

• Aus Kostengründen darf die Zahl der farbigen Seiten y nicht größer sein als 5

• Schülerzeitung soll mindestens 8 Seiten haben


Lineare UngleichungssystemeLineare UngleichungssystemeAufgabe – Teil IAufgabe – Teil I

• Nebenbedingungen aufstellen

• Planungsvieleck festlegen– Unterstützung durch vorbereitete Arbeitsblätter

• Mögliche Lösungen herausgreifen


Lineare OptimierungLineare OptimierungAufgabe Teil I – Nebenbedingungen Aufgabe Teil I – Nebenbedingungen

8

5

0

2

0

yx

y

y

yx

x

Nebenbedingungen: Randgeraden:

8

5

0

50

0

xy

y

y

x,y

x


Lineare OptimierungLineare OptimierungAufgabe Teil I - PlanungsvieleckAufgabe Teil I - Planungsvieleck

Welche Planung?


Lineare OptimierungLineare OptimierungAufgabe Teil II – ProduktionskostenAufgabe Teil II – Produktionskosten

Die lokale Druckerei erstellt eine Schülerzeitung für

5 Cent je schwarz-weiße Seite und 10 Cent je

farbiger Seite.

• Term für die Produktionskosten? Kostengleichung?

• Es liegt eine lineare Gleichung vor!

y,x,Kosten 10050

Kostenx,y 1050


Lineare OptimierungLineare OptimierungAufgabe Teil II – ProduktionskostenAufgabe Teil II – Produktionskosten

• Welche Möglichkeiten von schwarz-weißen Seiten und farbigen Seiten bei Kosten von 50, 70 und 90 Cent ?


Lineare OptimierungLineare OptimierungAufgabe Teil II – Lineare OptimierungAufgabe Teil II – Lineare Optimierung

• Produktionskosten sollen minimal sein. Welche Kombination von schwarz-weißen und farbigen Seiten ermöglicht dies. Wie hoch sind die Produktionskosten.

• Mittels fertigem Arbeitsblatt soll Strategie entwickelt werden– Parallelverschiebung von Zielgeraden

– Verschiebung soweit, dass y-Achsenabschnitt möglichst groß ist und gleichzeitig Schnittpunkt mit Planungsvieleck vorliegt

– Lösung liegt in einer Ecke - Eckenkriterium


Lineare OptimierungLineare OptimierungErfahrungenErfahrungen

• In 4 Stunden gut durchführbar• Kalkülhaftes Vorgehen von durchschnittlichen und

schlechteren Schülern– Verständnisprobleme mit Gesamtzusammenhang

– Lineare Zielgleichung und Planungsvieleck

– Auch handwerkliche Probleme - Termumformungen

• Anspruchsvoll für sehr gute Schüler– Dennoch üben äußerst wichtig !


Lineare OptimierungLineare OptimierungGenug der Folien…Genug der Folien…

Fragen & Antworten

Diskussion

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