Lineare und Ganzzahlige Optimierung(ADM II)

Skript

Rolf MöhringWS 2010/11

Contents

1-1

1. Einführung............................................................................................................................ 31.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)

..................................................................................................................................................................... 41.2 Inhalt von ADM II................................................................................................................................................................... 51.3 VL im WS 2010/11

2. Optimierungsprobleme................................................................................................................................................................................... 72.1 Beispiele

...................................................................................................................................................................... 82.2 Nachbarschaften............................................................................................................................................ 92.3 Konvexe Mengen und Funktionen

............................................................................................................................................ 102.4 Konvexe Optimierungsprobleme3. Der Simplexalgorithmus

.......................................................................................................................... 123.1 Formen des Linearen Optimierungsproblem....................................................................................................................................................... 133.2 Zulässige Basislösungen

............................................................................................................................. 143.3 Die Geometrie von Linearen Programmen............................................................................................................... 153.4 Lokale Suche unter den zulässigen Basislösungen

........................................................................................................................................................ 163.5 Organisation in Tableaus................................................................................................................................................... 173.6 Wahl einer günstigen Spalte

........................................................................................................................................................ 183.7 Pivotregeln und Kreiseln........................................................................................................................................... 193.8 Phase I des Simplexalgorithmus

.............................................................................................................................. 203.9 Geometrische Aspekte beim Pivotisieren4. Dualität

.................................................................................................................................. 224.1 Dualität von LPs und der Dualitätssatz................................................................................................................... 234.2 Die Bedingungen vom komplementären Schlupf

............................................................................................... 244.3 Das Kürzeste-Wege-Problem und zugehörige duale Problem................................................................................................................................................................ 254.4 Das Farkas Lemma

................................................................................................................................................ 264.5 Duale Information im Tableau............................................................................................................................................... 274.6 Der duale Simplexalgorithmus

5. Berechnungsaspekte des Simplexalgorithmus............................................................................................................................................ 295.1 Das revidierte Simplexverfahren

..................................................................................... 305.2 Algorithmische Konsequenzen des revidierten Simplex Verfahrens....................................... 315.3 Lösung des Max-Fluss Problem mit dem revidierten Simplex Verfahren und Column Generation

Contents

1-2

............................................................................................... 325.4 Der Simplex Algorithmus mit unteren und oberen Schranken................................................................................................................ 335.5 Ein Spezialfall: Der Netzwerk-Simplexalgorithmus

6. Primal-duale Algorithmen.............................................................................................................................................................................. 356.1 Einführung

................................................................................................................................................. 366.2 Der primal-duale Algorithmus....................................................................................................................... 376.3 Bemerkungen zum primal-dualen Algorithmus

............................................................................................ 386.4 Ein primal-dualer Algorithmus für das Kürzeste-Wege-Problem....................................................................................................... 396.5 Ein primal-dualer Algorithmus für das Transportproblem

............................................................................................. 406.6 Ein primal-dualer Algorithmus für Weighted Matching (Skizze)7. Ganzzahlige Lineare Optimierung

.............................................................................................................................................................................. 427.1 Einführung.......................................................................................................................................... 437.2 Vollständig unimodulare Matrizen

.............................................................................................................................................. 447.3 Branch and Bound Algorithmen............................................................................................................................................................... 457.4 Lagrange Relaxation

......................................................................................................................................................... 467.5 Schnittebenenverfahren................................................................................................................................................. 477.6 Optimierung und Separierung

8. Von Kombinatorischen Optimierungsproblemen induzierte Polytope.............................................................................................................................................................................. 498.1 Einführung

............................................................................................................................................... 508.2 Einige lineare Beschreibungen

............................................................................................................................................... 518.3 Separierung und Branch & Cut9. LP-basierte Approximationsalgorithmen

................................................................................................... 539.1 Einfaches Runden und Verwendung von dualen Lösungen......................................................................................................................................................... 549.2 Randomisiertes Runden

............................................................................................ 559.3 Primal-duale Approximationsalgorithmen und Netzwerk Design10. Komplexität der Linearen Optimierung und Innere Punkte Methoden

............................................................................................................................................................. 5710.1 LP ist in NP ∩ coNP................................................................................................................................... 5810.2 Zur Laufzeit des Simplexalgorithmus

............................................................................................................................................................ 5910.3 Die Ellipsoidmethode...................................................................................................................................................... 6010.4 Innere Punkte Methoden

1. Einführung

2

............................................................................................................................... 31.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)........................................................................................................................................................................ 41.2 Inhalt von ADM II...................................................................................................................................................................... 51.3 VL im WS 2010/11

1. Einführung1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)

3-1

…Zur Entstehung der ADM

Junges Gebiet, hat Wurzeln in

Algebra, Graphentheorie, Kombinatorik

Informatik (Algorithmik)

Optimierung

Behandelt Optimierungsfragen bei Diskreten Strukturen

Graphen, Netzwerke

endliche Lösungsmenge

Anwendungen

Telekommunikations- und Verkehrsnetze

Logistik, Produktionsplanung, Standortoptimierung

...

…Vorlesungszyklus ADM an der TU Berlin

Grundvorlesungen

Graphen- und Netzwerkalgorithmen (ADM I)

1. Einführung1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)

3-2

Lineare Optimierung (ADM II)

Vertiefung (ADM III) eine Vorlesung aus Katalog

Scheduling Probleme

Angewandte Netzwerkoptimierung

Polyedertheorie

...

Seminar (teils bereits parallel zu ADM II oder ADM III)

Bachelorarbeit

1. Einführung1.2 Inhalt von ADM II

4-1

…Lineare Optimierungsprobleme

lineare Zielfunktion, lineare Ungleichungen als Nebenbedingungen

Lineare Optimierung: min cTx unter Ax ! b, x " 0

Simplexalgorithmus

Dualität

Geometrie linearer Optimierungsprobleme

Ax ! b, x " 0 definieren Polyeder

1. Einführung1.2 Inhalt von ADM II

4-2

Optimum wird auf Ecke angenommen

Simplexalgorithmus durchläuft Ecken

1. Einführung1.2 Inhalt von ADM II

4-3

…Diskrete Probleme als Lineare Optimierungsprobleme

Polyedertheorie

diskrete Probleme als geometrische Probleme

minimal spannende Bäume als Vektoren

gegebener Graph G

1. Einführung1.2 Inhalt von ADM II

4-4

1 2

3

minimal spannende Bäume von G als Vektoren (Inzidenzvektoren)

2

3

1 2 1

3110

!101

!011

!

Konvexe Hülle der Inzidenzvektoren = Polytop (gelbe Menge)

Polytop = gelbe Menge

Ermittlung minimal spannender Baum = lineare Optimierung über diesem Polytop

1. Einführung1.2 Inhalt von ADM II

4-5

Ganzzahlige lineare Optimierung

Variablen dürfen nur ganzzahlige Werte annehmen

deutlich schwierigere Probleme

Lösungsverfahren

Lagrange Relaxation

Schnittebenenverfahren

LP-basierte Approximationsalgorithmen

...

Übungen mit Implementationsaufgaben

1. Einführung1.3 VL im WS 2010/11

5-1

Torsten Gellert (Übung)

Christoph Hansknecht (Tutorien)

Webseite zur VL

http://www.math.tu-berlin.de/coga/teaching/wt08/adm2/

http://www.math.tu-berlin.de/coga/teaching/wt10/adm2/

Notebook: http://www.math.tu-berlin.de/~moehring/adm2/

Literatur

C.#H. Papadimitriou and K.#Steiglitz

Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity

Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1982

Taschenbuch - 512 Seiten - Dover Publications

Erscheinungsdatum: Juli 1998

Auflage: Unabridged

ISBN: 0486402584

B. Korte, J. Vygen:

Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms

Springer, 2000/2002/2006/2008

1. Einführung1.3 VL im WS 2010/11

5-2

Springer, 2000/2002/2006/2008

jetzt auch auf deutsch

V.#Chvátal

Linear Programming

Freeman, New York, 1983

W. J. Cook, W. H. Cunningham, W. R. Pulleyblank und A. Schrijver

Combinatorial Optimization

Wiley 1998

G.#L. Nemhauser and L.#A. Wolsey

Integer and Combinatorial Optimization

John Wiley & Sons, New#York, 1988

M.#Grötschel, L.#Lovász, and A.#Schrijver

Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization

Springer-Verlag, Berlin, 2nd#ed., 1993

D.#S. Hochbaum, ed.

Approximation Algorithms for NP-hard Problems

PWS Publishing Company, Boston, MA, 1997

1. Einführung1.3 VL im WS 2010/11

5-3

PWS Publishing Company, Boston, MA, 1997

H.#M. Salkin and K.#Mathur

Foundations of Integer Programming

North-Holland, Amsterdam, 1989.

R.#J. Vanderbei

Linear Programming: Foundations and Extensions

Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2nd#ed., 2001.

http://www.princeton.edu/~rvdb/LPbook/index.html

als Enzyklopädie

A. Schrijver:

Combinatorial Optimization: Polyhedra and Efficiency

Springer, 2003

3 bändig mit 1881 Seiten, auch als CD erhältlich