Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen

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Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen Differenzengleichung (Beispiel) R C x(t) y(t) Lineare, zeitinvariante, diskrete Systeme => Differenzengleichungen dy(t)/dt ≈ (1/T s )·[y(nT s )-y((n-1)T s )] y[n] = b 0 ·x[n] - a 1 ·y[n-1] T s x[n] y[n] -a 1 b 0 RC DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 1 b 0 = T s /(T s +τ) und a 1 = b 0 -1. τ·dy(t)/dt + y(t) = x(t)

description

Differenzengleichung (Beispiel). DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 1. Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen. R. τ · dy(t)/dt + y(t) = x(t). x(t). y(t). C. Lineare, zeitinvariante, diskrete Systeme => Differenzengleichungen. - PowerPoint PPT Presentation

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Lineare zeitinvariante analoge Systeme =gt Differentialgleichungen

Differenzengleichung (Beispiel)

R

Cx(t) y(t)

Lineare zeitinvariante diskrete Systeme =gt Differenzengleichungen

dy(t)dt asymp (1Ts)[y(nTs)-y((n-1)Ts)]

y[n] = b0x[n] - a1y[n-1]Ts

x[n] y[n]

-a1

b0

RC

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 1

b0 = Ts(Ts+τ) und a1 = b0-1

τmiddotdy(t)dt + y(t) = x(t)

Differenzengleichung

Nicht-rekursive Systeme (FIR-Transversalfilter)

Rekursive Systeme (IIR-Filter)

Ts Ts

b0 b1 bN

x[n]x[n-1] x[n-N]

y[n]

Ts

-a1

y[n-1]Ts

-aM -aM-1

y[n-M]

bN-1

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 2

Impulsantwort und Faltungssumme

LTD-System

n

δ[n]

1

h[n] (Impulsantwort)

n

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n k

Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] fuumlr beliebige Eingangsfolgen x[n]

x0[n] = x[0]middotδ[n] =gt y0[n] = x[0]middoth[n]

xk[n] = x[k]middotδ[n-k] =gt yk[n] = x[k]middoth[n-k]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k

y n x k h n k h k x n k

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 3

y[10]

Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091

Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5

RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = -1

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 0

0 10 200

05

1h[

k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 1

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1y[

n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 12

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6

H(f) Frequenzgang

H(f) = H(z=ej2πfTs)

Fourier-Transformierte von h[n]

Polarkoordinatendarstellung =gt

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

IH(f)I Amplitudengang

meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)

gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I

φ(f) Phasengang

ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)

φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )

(f)jeH(f)H(f)

H(f)

Re[H(f)]

Im[H(f)]

IH(f)I

φ(f)

(-f)-jeH(-f)(-f)H

wenn h[n] reell

H(f) = H(-f)

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7

IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]

= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]

cos(2πf0middotnTs)

0

00 f2π

)(fΔ

H(f)

Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs

Linearer Phasengang

H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π

φ(f) = -Kf

wobei Zeitverzoumlgerung

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8

z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9

( ) [ ] snsT

n

X s x n e

ssTz e

( ) [ ] n

n

X z x n z

Laplace-Transformation von x[n]

Substitution

Definition z-Transformation

Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)

z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10

Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip

h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1

3middotb0 hellip

H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1

3middotb0middotz-3 hellip

-1 2 -2 00 1 1 -1

1

bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =

1+a z

h[n] = b0 (-a1)n

Impulsantwort

Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
  • Folie 2
  • Folie 3
  • Folie 4
  • Folie 5
  • Folie 6
  • Folie 7
  • Folie 8
  • Folie 9
  • Folie 10
  • Folie 11
  • Folie 12
  • Folie 13
  • Folie 14
  • Folie 15
  • Folie 16
  • Folie 17
  • Folie 18
  • Folie 19
  • Folie 20
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Differenzengleichung

Nicht-rekursive Systeme (FIR-Transversalfilter)

Rekursive Systeme (IIR-Filter)

Ts Ts

b0 b1 bN

x[n]x[n-1] x[n-N]

y[n]

Ts

-a1

y[n-1]Ts

-aM -aM-1

y[n-M]

bN-1

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 2

Impulsantwort und Faltungssumme

LTD-System

n

δ[n]

1

h[n] (Impulsantwort)

n

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n k

Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] fuumlr beliebige Eingangsfolgen x[n]

x0[n] = x[0]middotδ[n] =gt y0[n] = x[0]middoth[n]

xk[n] = x[k]middotδ[n-k] =gt yk[n] = x[k]middoth[n-k]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k

y n x k h n k h k x n k

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 3

y[10]

Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091

Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5

RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = -1

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 0

0 10 200

05

1h[

k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 1

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1y[

n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 12

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6

H(f) Frequenzgang

H(f) = H(z=ej2πfTs)

Fourier-Transformierte von h[n]

Polarkoordinatendarstellung =gt

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

IH(f)I Amplitudengang

meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)

gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I

φ(f) Phasengang

ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)

φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )

(f)jeH(f)H(f)

H(f)

Re[H(f)]

Im[H(f)]

IH(f)I

φ(f)

(-f)-jeH(-f)(-f)H

wenn h[n] reell

H(f) = H(-f)

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7

IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]

= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]

cos(2πf0middotnTs)

0

00 f2π

)(fΔ

H(f)

Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs

Linearer Phasengang

H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π

φ(f) = -Kf

wobei Zeitverzoumlgerung

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8

z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9

( ) [ ] snsT

n

X s x n e

ssTz e

( ) [ ] n

n

X z x n z

Laplace-Transformation von x[n]

Substitution

Definition z-Transformation

Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)

z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10

Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip

h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1

3middotb0 hellip

H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1

3middotb0middotz-3 hellip

-1 2 -2 00 1 1 -1

1

bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =

1+a z

h[n] = b0 (-a1)n

Impulsantwort

Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
  • Folie 2
  • Folie 3
  • Folie 4
  • Folie 5
  • Folie 6
  • Folie 7
  • Folie 8
  • Folie 9
  • Folie 10
  • Folie 11
  • Folie 12
  • Folie 13
  • Folie 14
  • Folie 15
  • Folie 16
  • Folie 17
  • Folie 18
  • Folie 19
  • Folie 20
Page 3: Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen

Impulsantwort und Faltungssumme

LTD-System

n

δ[n]

1

h[n] (Impulsantwort)

n

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n k

Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] fuumlr beliebige Eingangsfolgen x[n]

x0[n] = x[0]middotδ[n] =gt y0[n] = x[0]middoth[n]

xk[n] = x[k]middotδ[n-k] =gt yk[n] = x[k]middoth[n-k]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k

y n x k h n k h k x n k

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 3

y[10]

Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091

Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5

RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = -1

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 0

0 10 200

05

1h[

k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 1

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1y[

n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 12

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6

H(f) Frequenzgang

H(f) = H(z=ej2πfTs)

Fourier-Transformierte von h[n]

Polarkoordinatendarstellung =gt

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

IH(f)I Amplitudengang

meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)

gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I

φ(f) Phasengang

ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)

φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )

(f)jeH(f)H(f)

H(f)

Re[H(f)]

Im[H(f)]

IH(f)I

φ(f)

(-f)-jeH(-f)(-f)H

wenn h[n] reell

H(f) = H(-f)

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7

IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]

= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]

cos(2πf0middotnTs)

0

00 f2π

)(fΔ

H(f)

Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs

Linearer Phasengang

H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π

φ(f) = -Kf

wobei Zeitverzoumlgerung

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8

z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9

( ) [ ] snsT

n

X s x n e

ssTz e

( ) [ ] n

n

X z x n z

Laplace-Transformation von x[n]

Substitution

Definition z-Transformation

Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)

z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10

Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip

h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1

3middotb0 hellip

H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1

3middotb0middotz-3 hellip

-1 2 -2 00 1 1 -1

1

bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =

1+a z

h[n] = b0 (-a1)n

Impulsantwort

Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
  • Folie 2
  • Folie 3
  • Folie 4
  • Folie 5
  • Folie 6
  • Folie 7
  • Folie 8
  • Folie 9
  • Folie 10
  • Folie 11
  • Folie 12
  • Folie 13
  • Folie 14
  • Folie 15
  • Folie 16
  • Folie 17
  • Folie 18
  • Folie 19
  • Folie 20
Page 4: Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen

y[10]

Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091

Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5

RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = -1

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 0

0 10 200

05

1h[

k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 1

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1y[

n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 12

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6

H(f) Frequenzgang

H(f) = H(z=ej2πfTs)

Fourier-Transformierte von h[n]

Polarkoordinatendarstellung =gt

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

IH(f)I Amplitudengang

meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)

gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I

φ(f) Phasengang

ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)

φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )

(f)jeH(f)H(f)

H(f)

Re[H(f)]

Im[H(f)]

IH(f)I

φ(f)

(-f)-jeH(-f)(-f)H

wenn h[n] reell

H(f) = H(-f)

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7

IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]

= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]

cos(2πf0middotnTs)

0

00 f2π

)(fΔ

H(f)

Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs

Linearer Phasengang

H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π

φ(f) = -Kf

wobei Zeitverzoumlgerung

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8

z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9

( ) [ ] snsT

n

X s x n e

ssTz e

( ) [ ] n

n

X z x n z

Laplace-Transformation von x[n]

Substitution

Definition z-Transformation

Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)

z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10

Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip

h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1

3middotb0 hellip

H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1

3middotb0middotz-3 hellip

-1 2 -2 00 1 1 -1

1

bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =

1+a z

h[n] = b0 (-a1)n

Impulsantwort

Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
  • Folie 2
  • Folie 3
  • Folie 4
  • Folie 5
  • Folie 6
  • Folie 7
  • Folie 8
  • Folie 9
  • Folie 10
  • Folie 11
  • Folie 12
  • Folie 13
  • Folie 14
  • Folie 15
  • Folie 16
  • Folie 17
  • Folie 18
  • Folie 19
  • Folie 20
Page 5: Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen

Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5

RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = -1

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 0

0 10 200

05

1h[

k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 1

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1y[

n]

0 10 200

05

1

x[n]

diskrete Zeit n = 12

0 10 200

05

1

h[k]

0 10 200

05

1

x[n-

k]

0 10 200

05

1

y[n]

Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6

H(f) Frequenzgang

H(f) = H(z=ej2πfTs)

Fourier-Transformierte von h[n]

Polarkoordinatendarstellung =gt

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

IH(f)I Amplitudengang

meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)

gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I

φ(f) Phasengang

ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)

φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )

(f)jeH(f)H(f)

H(f)

Re[H(f)]

Im[H(f)]

IH(f)I

φ(f)

(-f)-jeH(-f)(-f)H

wenn h[n] reell

H(f) = H(-f)

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7

IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]

= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]

cos(2πf0middotnTs)

0

00 f2π

)(fΔ

H(f)

Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs

Linearer Phasengang

H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π

φ(f) = -Kf

wobei Zeitverzoumlgerung

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8

z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9

( ) [ ] snsT

n

X s x n e

ssTz e

( ) [ ] n

n

X z x n z

Laplace-Transformation von x[n]

Substitution

Definition z-Transformation

Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)

z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10

Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip

h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1

3middotb0 hellip

H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1

3middotb0middotz-3 hellip

-1 2 -2 00 1 1 -1

1

bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =

1+a z

h[n] = b0 (-a1)n

Impulsantwort

Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
  • Folie 2
  • Folie 3
  • Folie 4
  • Folie 5
  • Folie 6
  • Folie 7
  • Folie 8
  • Folie 9
  • Folie 10
  • Folie 11
  • Folie 12
  • Folie 13
  • Folie 14
  • Folie 15
  • Folie 16
  • Folie 17
  • Folie 18
  • Folie 19
  • Folie 20
Page 6: Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6

H(f) Frequenzgang

H(f) = H(z=ej2πfTs)

Fourier-Transformierte von h[n]

Polarkoordinatendarstellung =gt

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

IH(f)I Amplitudengang

meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)

gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I

φ(f) Phasengang

ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)

φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )

(f)jeH(f)H(f)

H(f)

Re[H(f)]

Im[H(f)]

IH(f)I

φ(f)

(-f)-jeH(-f)(-f)H

wenn h[n] reell

H(f) = H(-f)

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7

IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]

= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]

cos(2πf0middotnTs)

0

00 f2π

)(fΔ

H(f)

Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs

Linearer Phasengang

H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π

φ(f) = -Kf

wobei Zeitverzoumlgerung

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8

z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9

( ) [ ] snsT

n

X s x n e

ssTz e

( ) [ ] n

n

X z x n z

Laplace-Transformation von x[n]

Substitution

Definition z-Transformation

Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)

z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10

Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip

h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1

3middotb0 hellip

H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1

3middotb0middotz-3 hellip

-1 2 -2 00 1 1 -1

1

bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =

1+a z

h[n] = b0 (-a1)n

Impulsantwort

Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
  • Folie 2
  • Folie 3
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  • Folie 9
  • Folie 10
  • Folie 11
  • Folie 12
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  • Folie 14
  • Folie 15
  • Folie 16
  • Folie 17
  • Folie 18
  • Folie 19
  • Folie 20
Page 7: Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7

IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]

= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]

cos(2πf0middotnTs)

0

00 f2π

)(fΔ

H(f)

Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs

Linearer Phasengang

H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π

φ(f) = -Kf

wobei Zeitverzoumlgerung

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8

z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9

( ) [ ] snsT

n

X s x n e

ssTz e

( ) [ ] n

n

X z x n z

Laplace-Transformation von x[n]

Substitution

Definition z-Transformation

Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)

z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10

Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip

h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1

3middotb0 hellip

H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1

3middotb0middotz-3 hellip

-1 2 -2 00 1 1 -1

1

bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =

1+a z

h[n] = b0 (-a1)n

Impulsantwort

Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
  • Folie 2
  • Folie 3
  • Folie 4
  • Folie 5
  • Folie 6
  • Folie 7
  • Folie 8
  • Folie 9
  • Folie 10
  • Folie 11
  • Folie 12
  • Folie 13
  • Folie 14
  • Folie 15
  • Folie 16
  • Folie 17
  • Folie 18
  • Folie 19
  • Folie 20
Page 8: Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8

z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9

( ) [ ] snsT

n

X s x n e

ssTz e

( ) [ ] n

n

X z x n z

Laplace-Transformation von x[n]

Substitution

Definition z-Transformation

Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)

z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10

Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip

h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1

3middotb0 hellip

H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1

3middotb0middotz-3 hellip

-1 2 -2 00 1 1 -1

1

bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =

1+a z

h[n] = b0 (-a1)n

Impulsantwort

Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
  • Folie 2
  • Folie 3
  • Folie 4
  • Folie 5
  • Folie 6
  • Folie 7
  • Folie 8
  • Folie 9
  • Folie 10
  • Folie 11
  • Folie 12
  • Folie 13
  • Folie 14
  • Folie 15
  • Folie 16
  • Folie 17
  • Folie 18
  • Folie 19
  • Folie 20
Page 9: Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen

z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9

( ) [ ] snsT

n

X s x n e

ssTz e

( ) [ ] n

n

X z x n z

Laplace-Transformation von x[n]

Substitution

Definition z-Transformation

Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)

z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10

Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip

h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1

3middotb0 hellip

H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1

3middotb0middotz-3 hellip

-1 2 -2 00 1 1 -1

1

bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =

1+a z

h[n] = b0 (-a1)n

Impulsantwort

Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
  • Folie 2
  • Folie 3
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  • Folie 14
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  • Folie 17
  • Folie 18
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  • Folie 20
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z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10

Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip

h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1

3middotb0 hellip

H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1

3middotb0middotz-3 hellip

-1 2 -2 00 1 1 -1

1

bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =

1+a z

h[n] = b0 (-a1)n

Impulsantwort

Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

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Linearitaumlt ()

Zeitverschiebung ()

Faltung ()

Multiplikation mit Exponentialfolge

Multiplikation mit der Zeit

Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo

Eigenschaften der z-Transformation

amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)

x[n-k] z-kmiddotX(z)

x[n] h[n] X(z) middot H(z)

anmiddotx[n] X(za)

nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz

)(lim]0[ zXxz

)()1(lim][lim1

zXznxzn

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11

Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
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  • Folie 15
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  • Folie 17
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  • Folie 19
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Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12

H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)

z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

  • Folie 1
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  • Folie 16
  • Folie 17
  • Folie 18
  • Folie 19
  • Folie 20
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z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13

Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)

Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)

Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)

Beispiel

Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz

fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094

=gt sTf2πj1

0

ea1

bH(f)

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18

Anwendungen

bull bull

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19

KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20

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Page 14: Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen

DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14

z-Transformation der s-Ebene

ssTez Substitution

Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet

Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

s-Ebene

Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)z-Ebene

j2πmiddotfs2

j2πmiddotfs

-j2πmiddotfs2

-j2πmiddotfs

PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

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Anwendungen

bull bull

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PN-Darstellung der UTF

Nullstelle

3 Pole

P=ej2πfTs

fuumlr f=fs8

f = 0 f = fs2

s2

s1

s3

s4

x[n] K Ts Ts Ts

1 -1 1 -1

y[n]

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15

NMM

1kk

N

1kk

0 z)p(z

)z(zbH(z)

s

s

Nj2πfT

kk 1M

j2πfTk

k 1

e zH(f) K

e p

Nullstellen der UTF

Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk

Beispiel

+

H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43

Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

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0kk k]y[nak]x[nby[n]

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Anwendungen

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Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16

-2-1

01

-10

0

100

1

2

Re(s) =

kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j

Im(s) =

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)

abs(

H)

-050

051

-1

0

10

1

Re(z)

zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)

Im(z)

abs(

H)

-10 -5 0 5 100

05

1

15

2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)

Ts

abs(

H)

Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

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M

1kk

N

0kk k]y[nak]x[nby[n]

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Zusammenfassung LTD-Systeme

h[n]x[n]

Impulsantwort

k

k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]

Faltungssumme

Differenzengleichung

Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)

n

ss

)nfH(fT

1H(f)

X(f)X(z)

1 N0 1 N

1 M1 M

b b z b zY(z)H(z) =

X(z) 1 a z a z

s-j2πf nT

n=-

H(f) = h[n] e

H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion

lt=

H(f) = H(z=ej2πfTs)

DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17

y[n]

M

1kk

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0kk k]y[nak]x[nby[n]

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