Lineares Gleichungssystem - Aufgaben und Lösungen · Lineares Gleichungssystem Aufgaben und...

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Lineares Gleichungssystem Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de ©Klemens Fersch 25. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Einsetzverfahren (2) 2 1.1 Interaktiv ..................................................... 2 1.1.1 Aufgaben ................................................. 2 1.1.2 Lösungen ................................................. 4 2 Gleichsetzungsverfahren (2) 17 2.1 Aufgaben ..................................................... 17 2.2 Lösungen ..................................................... 19 3 Additionsverfahren (2) 33 3.1 Aufgaben ..................................................... 33 3.2 Lösungen ..................................................... 35 4 2-reihige Determinante 47 4.1 Aufgaben ..................................................... 47 4.2 Lösungen ..................................................... 48 5 3-reihige Determinante 50 5.1 Aufgaben ..................................................... 50 5.2 Lösungen ..................................................... 51 6 Determinantenverfahren (2) 54 6.1 Aufgaben ..................................................... 54 6.2 Lösungen ..................................................... 56 7 Determinantenverfahren (3) 64 7.1 Aufgaben ..................................................... 64 7.2 Lösungen ..................................................... 66 8 Gaußsches Eliminationsverfahren 75 8.1 Aufgaben ..................................................... 75 8.2 Lösungen ..................................................... 77 9 Gauß-Jordan-Algorithmus 86 9.1 Aufgaben ..................................................... 86 9.2 Lösungen ..................................................... 88 9.3 Matrix ...................................................... 99 9.3.1 Aufgaben ................................................. 99 9.3.2 Lösungen ................................................. 100 1

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Lineares GleichungssystemAufgaben und Lösungen

http://www.fersch.de

©Klemens Fersch

25. April 2013

Inhaltsverzeichnis1 Einsetzverfahren (2) 2

1.1 Interaktiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Gleichsetzungsverfahren (2) 172.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Additionsverfahren (2) 333.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 2-reihige Determinante 474.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 3-reihige Determinante 505.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Determinantenverfahren (2) 546.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Determinantenverfahren (3) 647.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8 Gaußsches Eliminationsverfahren 758.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Gauß-Jordan-Algorithmus 869.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1

Einsetzverfahren (2)

1 Einsetzverfahren (2)I a1 · x+ b1 · y = c1

II a2 · x+ b2 · y = c42

• Gleichung I oder II nach x oder y auflösen

• Term in die andere Gleichung einsetzen

• Gleichung nach der Unbekannten auflösen

• zweite Unbekannte berechnen

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 5y3x = 19− 5y / : 3x = 6 1

3− 1 2

3y

I in II7(6 1

3− 1 2

3y) + 5y = 31

44 13− 11 2

3y + 5y = 31 /− 44 1

3

−11 23y + 5y = 31− 44 1

3

−6 23y = −13 1

3/ :

(−6 2

3

)y =

−13 13

−6 23

y = 2x = 6 1

3− 1 2

3y

x = 6 13− 1 2

3· 2

x = 3L = {3/2}

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 3x5y = 19− 3x / : 5y = 3 4

5− 3

5x

I in II7x+ 5(3 4

5− 3

5x) = 31

19− 3x+ 5x = 31 /− 19−3x+ 5x = 31− 194x = 12 / : 4x = 12

4

x = 3y = 3 4

5− 3

5x

y = 3 45− 3

5· 3

y = 2L = {3/2}

1.1 Matrix

1.1.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnungdfgdfgdf

(1)(2)

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Einsetzverfahren (2) Matrix

1.1.2 LösungenAufgabe (1)

a+ 2b+ 3c = 45a+ 6b+ 7c = 89a+ 10b+ 11c = 12

a b c

1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 51

z2s1 = 5− 1 · 51= 0

z2s2 = 6− 2 · 51= −4

z2s3 = 7− 3 · 51= −8

z2s4 = 8− 4 · 51= −12

a b c

1 2 3 40 −4 −8 −129 10 11 12

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 91

z3s1 = 9− 1 · 91= 0

z3s2 = 10− 2 · 91= −8

z3s3 = 11− 3 · 91= −16

z3s4 = 12− 4 · 91= −24

a b c

1 2 3 40 −4 −8 −120 −8 −16 −24

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−4

z1s2 = 2− (−4) · 2−4

= 0

z1s3 = 3− (−8) · 2−4

= −1

z1s4 = 4− (−12) · 2−4

= −2

a b c

1 0 −1 −20 −4 −8 −120 −8 −16 −24

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −8−4

z3s2 = −8− (−4) · −8−4

= 0

z3s3 = −16− (−8) · −8−4

= 0

z3s4 = −24− (−12) · −8−4

= 0

a b c

1 0 −1 −20 −4 −8 −120 0 0 0

L = unendlich

123456789101112

Aufgabe (2)

a+ 2b+ 3c = 45a+ 6b+ 7c = 89a+ 10b+ 11c = 12

a b c

1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 51

z2s1 = 5− 1 · 51= 0

z2s2 = 6− 2 · 51= −4

z2s3 = 7− 3 · 51= −8

z2s4 = 8− 4 · 51= −12

a b c

1 2 3 40 −4 −8 −129 10 11 12

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Einsetzverfahren (2) Matrix

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 91

z3s1 = 9− 1 · 91= 0

z3s2 = 10− 2 · 91= −8

z3s3 = 11− 3 · 91= −16

z3s4 = 12− 4 · 91= −24

a b c

1 2 3 40 −4 −8 −120 −8 −16 −24

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−4

z1s2 = 2− (−4) · 2−4

= 0

z1s3 = 3− (−8) · 2−4

= −1

z1s4 = 4− (−12) · 2−4

= −2

a b c

1 0 −1 −20 −4 −8 −120 −8 −16 −24

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −8−4

z3s2 = −8− (−4) · −8−4

= 0

z3s3 = −16− (−8) · −8−4

= 0

z3s4 = −24− (−12) · −8−4

= 0

a b c

1 0 −1 −20 −4 −8 −120 0 0 0

L = unendlich

123456789101112

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Einsetzverfahren (2) Interaktiv

1.2 Interaktiv1.2.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y = c1a2 · x+ b2 · y = c2

Gesucht:x und y

(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31

(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4

(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1

(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7

(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6

(6) 7x+ 1 12y = 1

2x− 5y = 22

(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0

(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24

(9) −12x+ 1y = 2

12x− 3y = −3

(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5

(11) 1 15x− 1 1

3y = 5 13

2 12x− 1

4y = 12 38

(12)23x− 5

7y = 23

1x+ 1y = 10 23

(13) 112x− 2y = 9

25x+ 1

3y = 5

(14) 2x+ 3y = 413x− 1

5y = 12

(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5

(16) 2x+ 4y = 4−1

2x+ 3y = 3

(17) −12x+ 4y = 6

−2x− 8y = 2

(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2

(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3

(20) −1 45x+ 1 1

3y = −1−2

3x+ 19y = 9

(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9

(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4

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Einsetzverfahren (2) Interaktiv

(23) 2x+ 2y = 1 710

3x+ 6y = 3

(24) 3x+ 5y = 89x+ 0y = 7

(25) 3x+ 6y = 89x+ 0y = 9

(26) 3x+ 6y = 89x+ 0y = 9

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Einsetzverfahren (2) Interaktiv

1.2.2 LösungenAufgabe (1)

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 5y3x = 19− 5y / : 3x = 6 1

3 − 1 23y

I in II7(6 1

3 − 1 23y) + 5y = 31

4413 − 11 2

3y + 5y = 31 /− 44 13

−11 23y + 5y = 31− 44 1

3−6 2

3y = −13 13 / :

(−6 2

3

)y =

−13 13

−6 23

y = 2x = 6 1

3 − 1 23y

x = 6 13 − 1 2

3 · 2x = 3L = {3/2}

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 3x5y = 19− 3x / : 5y = 3 4

5 − 35x

I in II7x+ 5(3 4

5 − 35x) = 31

19− 3x+ 5x = 31 /− 19−3x+ 5x = 31− 194x = 12 / : 4x = 12

4x = 3y = 3 4

5 − 35x

y = 3 45 − 3

5 · 3y = 2L = {3/2}

Aufgabe (2)

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach x auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1y1x = 10− 1y / : 1x = 10− 1yI in II1(10− 1y) +−1y = 410− 1y − 1y = 4 /− 10−1y − 1y = 4− 10−2y = −6 / : (−2)y = −6

−2

y = 3x = 10− 1yx = 10− 1 · 3x = 7L = {7/3}

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach y auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1x1y = 10− 1x / : 1y = 10− 1xI in II1x+−1(10− 1x) = 4−10 + 1x− 1x = 4 /− (−10)+1x− 1x = 4− (−10)2x = 14 / : 2x = 14

2x = 7y = 10− 1xy = 10− 1 · 7y = 3L = {7/3}

Aufgabe (3)

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Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach x auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 / + 2y9x = 5 + 2y / : 9x = 5

9 + 29y

I in II5( 59 + 2

9y) +−2y = 1279 + 1 1

9y − 2y = 1 /− 2 79

+119y − 2y = 1− 2 7

9−8

9y = −1 79 / :

(−8

9

)y =

−1 79

− 89

y = 2x = 5

9 + 29y

x = 59 + 2

9 · 2x = 1L = {1/2}

I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach y auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 /− 9x−2y = 5− 9x / : (−2)y = −2 1

2 + 4 12x

I in II5x+−2(−2 1

2 + 4 12x) = 1

5− 9x− 2x = 1 /− 5−9x− 2x = 1− 5−4x = −4 / : (−4)x = −4

−4

x = 1y = −2 1

2 + 4 12x

y = −2 12 + 4 1

2 · 1y = 2L = {1/2}

Aufgabe (4)

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach x auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 / + 2y9x = 1 + 2y / : 9x = 1

9 + 29y

I in II−3( 19 + 2

9y) +−3y = −7−1

3 − 23y − 3y = −7 /−

(−1

3

)−2

3y − 3y = −7−(− 1

3

)−3 2

3y = −6 23 / :

(−3 2

3

)y =

−6 23

−3 23

y = 1 911

x = 19 + 2

9yx = 1

9 + 29 · 1 9

11x = 17

33L = { 17

33/1911}

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach y auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 /− 9x−2y = 1− 9x / : (−2)y = −1

2 + 4 12x

I in II−3x+−3(−1

2 + 4 12x) = −7

1 12 − 13 1

2x− 3x = −7 /− 1 12

−13 12x− 3x = −7− 1 1

2−16 1

2x = −8 12 / :

(−16 1

2

)x =

−8 12

−16 12

x = 1733

y = −12 + 4 1

2xy = −1

2 + 4 12 · 17

33y = 1 9

11L = { 17

33/1911}

Aufgabe (5)

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Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach x auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 3y1x = 9− 3y / : 1x = 9− 3yI in II3(9− 3y) +−2y = −627− 9y − 2y = −6 /− 27−9y − 2y = −6− 27−11y = −33 / : (−11)y = −33

−11

y = 3x = 9− 3yx = 9− 3 · 3x = 0L = {0/3}

I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach y auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 1x3y = 9− 1x / : 3y = 3− 1

3xI in II3x+−2(3− 1

3x) = −6−6 + 2

3x− 2x = −6 /− (−6)+ 2

3x− 2x = −6− (−6)3 23x = 0 / : 3 2

3x = 0

3 23

x = 0y = 3− 1

3xy = 3− 1

3 · 0y = 3L = {0/3}

Aufgabe (6)

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I nach x auflösen7x+ 1 1

2y = 17x+ 1 1

2y = 1 /− 1 12y

7x = 1− 1 12y / : 7

x = 17 − 3

14yI in II2( 17 − 3

14y) +−5y = 2227 − 3

7y − 5y = 22 /− 27

−37y − 5y = 22− 2

7−5 3

7y = 21 57 / :

(−5 3

7

)y =

21 57

−5 37

y = −4x = 1

7 − 314y

x = 17 − 3

14 · (−4)x = 1L = {1/− 4}

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I nach y auflösen7x+ 1 1

2y = 17x+ 1 1

2y = 1 /− 7x1 12y = 1− 7x / : 1 1

2y = 2

3 − 423x

I in II2x+−5( 23 − 4 2

3x) = 22−3 1

3 + 23 13x− 5x = 22 /−

(−31

3

)+23 1

3x− 5x = 22−(−3 1

3

)25 1

3x = 25 13 / : 25 1

3

x =25 1

3

25 13

x = 1y = 2

3 − 423x

y = 23 − 42

3 · 1y = −4L = {1/− 4}

Aufgabe (7)

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Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach x auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 / + 5y4x = 43 + 5y / : 4x = 10 3

4 + 1 14y

I in II−3(10 3

4 + 1 14y) +−7y = 0

−32 14 − 33

4y − 7y = 0 /−(−32 1

4

)−3 3

4y − 7y = 0−(−321

4

)−10 3

4y = 32 14 / :

(−10 3

4

)y =

32 14

−10 34

y = −3x = 10 3

4 + 1 14y

x = 10 34 + 1 1

4 · (−3)x = 7L = {7/− 3}

I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach y auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 /− 4x−5y = 43− 4x / : (−5)y = −8 3

5 + 45x

I in II−3x+−7(−8 3

5 + 45x) = 0

60 15 − 5 3

5x− 7x = 0 /− 60 15

−535x− 7x = 0− 60 1

5−83

5x = −60 15 / :

(−83

5

)x =

−60 15

−8 35

x = 7y = −8 3

5 + 45x

y = −8 35 + 4

5 · 7y = −3L = {7/− 3}

Aufgabe (8)

I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I nach x auflösen8x− 3y = 108x− 3y = 10 / + 3y8x = 10 + 3y / : 8x = 1 1

4 + 38y

I in II12(11

4 + 38y) +−5y = 24

15 + 4 12y − 5y = 24 /− 15

+412y − 5y = 24− 15

−12y = 9 / :

(−1

2

)y = 9

− 12

y = −18x = 1 1

4 + 38y

x = 1 14 + 3

8 · (−18)x = −5 1

2L = {−5 1

2/− 18}

I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I nach y auflösen8x− 3y = 108x− 3y = 10 /− 8x−3y = 10− 8x / : (−3)y = −3 1

3 + 2 23x

I in II12x+−5(−3 1

3 + 2 23x) = 24

1623 − 13 1

3x− 5x = 24 /− 16 23

−13 13x− 5x = 24− 16 2

3−1 1

3x = 7 13 / :

(−1 1

3

)x =

7 13

−1 13

x = −5 12

y = −3 13 + 2 2

3xy = −3 1

3 + 2 23 ·

(−5 1

2

)y = −18L = {−5 1

2/− 18}

Aufgabe (9)

www.fersch.de 10

Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I nach x auflösen−1

2x+ 1y = 2−1

2x+ 1y = 2 /− 1y−1

2x = 2− 1y / :(−1

2

)x = −4 + 2yI in II12 (−4 + 2y) +−3y = −3−2 + 1y − 3y = −3 /− (−2)+1y − 3y = −3− (−2)−2y = −1 / : (−2)y = −1

−2

y = 12

x = −4 + 2yx = −4 + 2 · 1

2x = −3L = {−3/ 1

2}

I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I nach y auflösen− 1

2x+ 1y = 2− 1

2x+ 1y = 2 / + 12x

1y = 2 + 12x / : 1

y = 2 + 12x

I in II12x+−3(2 + 1

2x) = −3−6− 1 1

2x− 3x = −3 /− (−6)−1 1

2x− 3x = −3− (−6)−1x = 3 / : (−1)x = 3

−1

x = −3y = 2 + 1

2xy = 2 + 1

2 · (−3)y = 1

2L = {−3/ 1

2}

Aufgabe (10)

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I nach x auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 /− 1y−1x = 3− 1y / : (−1)x = −3 + 1yI in II12 (−3 + 1y) +−4y = 5−1 1

2 + 12y − 4y = 5 /−

(−1 1

2

)+1

2y − 4y = 5−(−1 1

2

)−3 1

2y = 6 12 / :

(−3 1

2

)y =

6 12

−3 12

y = −1 67

x = −3 + 1yx = −3 + 1 ·

(−1 6

7

)x = −4 6

7L = {−4 6

7/− 1 67}

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I nach y auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 / + 1x1y = 3 + 1x / : 1y = 3 + 1xI in II12x+−4(3 + 1x) = 5−12− 4x− 4x = 5 /− (−12)−4x− 4x = 5− (−12)−3 1

2x = 17 / :(−3 1

2

)x = 17

−3 12

x = −4 67

y = 3 + 1xy = 3 + 1 ·

(−4 6

7

)y = −1 6

7L = {−4 6

7/− 1 67}

Aufgabe (11)

www.fersch.de 11

Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I 1 15x− 11

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I nach x auflösen115x− 1 1

3y = 5 13

115x− 1 1

3y = 5 13 / + 1 1

3y115x = 5 1

3 + 1 13y / : 1 1

5x = 4 4

9 + 1 19y

I in II212 (4

49 + 1 1

9y) +−14y = 12 3

8111

9 + 2 79y −

14y = 12 3

8 /− 11 19

+279y −

14y = 12 3

8 − 1119

21936y = 1 19

72 / : 2 1936

y =1 19

72

2 1936

y = 12

x = 4 49 + 1 1

9yx = 4 4

9 + 1 19 · 1

2x = 5L = {5/ 1

2}

I 1 15x− 1 1

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I nach y auflösen1 15x− 11

3y = 5 13

1 15x− 11

3y = 5 13 /− 1 1

5x−1 1

3y = 5 13 − 1 1

5x / :(−1 1

3

)y = −4 + 9

10xI in II2 12x+−1

4 (−4 + 910x) = 12 3

81− 9

40x− 14x = 12 3

8 /− 1− 9

40x− 14x = 12 3

8 − 12 1140x = 11 3

8 / : 2 1140

x =11 3

8

2 1140

x = 5y = −4 + 9

10xy = −4 + 9

10 · 5y = 1

2L = {5/ 1

2}

Aufgabe (12)

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I nach x auflösen23x− 5

7y = 23

23x− 5

7y = 23 / + 5

7y23x = 2

3 + 57y / : 2

3x = 1 + 1 1

14yI in II1(1 + 1 1

14y) + 1y = 10 23

1 + 1 114y + 1y = 10 2

3 /− 1+1 1

14y + 1y = 10 23 − 1

2 114y = 9 2

3 / : 2 114

y =9 2

3

2 114

y = 4 23

x = 1 + 1 114y

x = 1 + 1 114 · 4 2

3x = 6L = {6/4 2

3}

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I nach y auflösen23x− 5

7y = 23

23x− 5

7y = 23 /− 2

3x−5

7y = 23 − 2

3x / :(− 5

7

)y = − 14

15 + 1415x

I in II1x+ 1(− 14

15 + 1415x) = 10 2

3−14

15 + 1415x+ 1x = 10 2

3 /−(− 14

15

)+14

15x+ 1x = 10 23 −

(−14

15

)11415x = 11 3

5 / : 1 1415

x =11 3

5

1 1415

x = 6y = − 14

15 + 1415x

y = − 1415 + 14

15 · 6y = 4 2

3L = {6/4 2

3}

Aufgabe (13)

www.fersch.de 12

Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I nach x auflösen112x− 2y = 9

112x− 2y = 9 / + 2y

112x = 9 + 2y / : 1 1

2x = 6 + 1 1

3yI in II25 (6 + 1 1

3y) +13y = 5

225 + 8

15y +13y = 5 /− 2 2

5+ 8

15y +13y = 5− 2 2

51315y = 2 3

5 / : 1315

y =2 3

51315

y = 3x = 6 + 1 1

3yx = 6 + 1 1

3 · 3x = 10L = {10/3}

I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I nach y auflösen112x− 2y = 9

112x− 2y = 9 /− 1 1

2x−2y = 9− 1 1

2x / : (−2)y = −4 1

2 + 34x

I in II25x+ 1

3 (−412 + 3

4x) = 5−11

2 + 14x+ 1

3x = 5 /−(−11

2

)+1

4x+ 13x = 5−

(−1 1

2

)1320x = 6 1

2 / : 1320

x =6 1

21320

x = 10y = −4 1

2 + 34x

y = −4 12 + 3

4 · 10y = 3L = {10/3}

Aufgabe (14)

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I nach x auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 3y2x = 4− 3y / : 2x = 2− 1 1

2yI in II13 (2− 1 1

2y) +−15y = 12

23 − 1

2y −15y = 12 /− 2

3−1

2y −15y = 12− 2

3− 7

10y = 11 13 / :

(− 7

10

)y =

11 13

− 710

y = −16 421

x = 2− 1 12y

x = 2− 1 12 ·

(−16 4

21

)x = 26 2

7L = {26 2

7/− 16 421}

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I nach y auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 2x3y = 4− 2x / : 3y = 1 1

3 − 23x

I in II13x+−1

5 (113 − 2

3x) = 12− 4

15 + 215x− 1

5x = 12 /−(− 4

15

)+ 2

15x− 15x = 12−

(− 4

15

)715x = 12 4

15 / : 715

x =12 4

15715

x = 26 27

y = 1 13 − 2

3xy = 1 1

3 − 23 · 26 2

7y = −16 4

21L = {26 2

7/− 16 421}

Aufgabe (15)

www.fersch.de 13

Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach x auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 2y1x = −4− 2y / : 1x = −4− 2yI in II−1(−4− 2y) + 2y = 54 + 2y + 2y = 5 /− 4+2y + 2y = 5− 44y = 1 / : 4y = 1

4y = 1

4x = −4− 2yx = −4− 2 · 1

4x = −4 1

2L = {−4 1

2/14}

I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach y auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 1x2y = −4− 1x / : 2y = −2− 1

2xI in II−1x+ 2(−2− 1

2x) = 5−4− 1x+ 2x = 5 /− (−4)−1x+ 2x = 5− (−4)−2x = 9 / : (−2)x = 9

−2

x = −412

y = −2− 12x

y = −2− 12 ·

(−4 1

2

)y = 1

4L = {−4 1

2/14}

Aufgabe (16)

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I nach x auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 4y2x = 4− 4y / : 2x = 2− 2yI in II−1

2 (2− 2y) + 3y = 3−1 + 1y + 3y = 3 /− (−1)+1y + 3y = 3− (−1)4y = 4 / : 4y = 4

4y = 1x = 2− 2yx = 2− 2 · 1x = 0L = {0/1}

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I nach y auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 2x4y = 4− 2x / : 4y = 1− 1

2xI in II−1

2x+ 3(1− 12x) = 3

3− 1 12x+ 3x = 3 /− 3

−1 12x+ 3x = 3− 3

−2x = 0 / : (−2)x = 0

−2

x = 0y = 1− 1

2xy = 1− 1

2 · 0y = 1L = {0/1}

Aufgabe (17)

www.fersch.de 14

Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I nach x auflösen−1

2x+ 4y = 6−1

2x+ 4y = 6 /− 4y−1

2x = 6− 4y / :(−1

2

)x = −12 + 8yI in II−2(−12 + 8y) +−8y = 224− 16y − 8y = 2 /− 24−16y − 8y = 2− 24−24y = −22 / : (−24)y = −22

−24

y = 1112

x = −12 + 8yx = −12 + 8 · 11

12x = −4 2

3L = {−4 2

3/1112}

I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I nach y auflösen− 1

2x+ 4y = 6− 1

2x+ 4y = 6 / + 12x

4y = 6 + 12x / : 4

y = 1 12 + 1

8xI in II−2x+−8(1 1

2 + 18x) = 2

−12− 1x− 8x = 2 /− (−12)−1x− 8x = 2− (−12)−3x = 14 / : (−3)x = 14

−3

x = −4 23

y = 1 12 + 1

8xy = 1 1

2 + 18 ·

(−4 2

3

)y = 11

12L = {−42

3/1112}

Aufgabe (18)

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach x auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1y1x = 1− 1y / : 1x = 1− 1yI in II2(1− 1y) + 2y = 22− 2y + 2y = 2 /− 2−2y + 2y = 2− 2

L = unendlich

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach y auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1x1y = 1− 1x / : 1y = 1− 1xI in II2x+ 2(1− 1x) = 22− 2x+ 2x = 2 /− 2−2x+ 2x = 2− 2

L = unendlich

Aufgabe (19)

I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach x auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1y1x = 2− 1y / : 1x = 2− 1yI in II3(2− 1y) + 3y = 36− 3y + 3y = 3 /− 6−3y + 3y = 3− 6

L = {}

I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach y auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1x1y = 2− 1x / : 1y = 2− 1xI in II3x+ 3(2− 1x) = 36− 3x+ 3x = 3 /− 6−3x+ 3x = 3− 6

L = {}

Aufgabe (20)

www.fersch.de 15

Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I nach x auflösen−1 4

5x+ 1 13y = −1

−1 45x+ 1 1

3y = −1 /− 1 13y

−1 45x = −1− 1 1

3y / :(−1 4

5

)x = 5

9 + 2027y

I in II−2

3 (59 + 20

27y) +19y = 9

−1027 − 40

81y +19y = 9 /−

(− 10

27

)−40

81y +19y = 9−

(−10

27

)−31

81y = 9 1027 / :

(− 31

81

)y =

9 1027

− 3181

y = −24 1531

x = 59 + 20

27yx = 5

9 + 2027 ·

(−2415

31

)x = −17 18

31L = {−17 18

31/− 24 1531}

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I nach y auflösen−14

5x+ 1 13y = −1

−145x+ 1 1

3y = −1 / + 1 45x

113y = −1 + 1 4

5x / : 1 13

y = − 34 + 1 7

20xI in II−2

3x+ 19 (−

34 + 1 7

20x) = 9− 1

12 + 320x+ 1

9x = 9 /−(− 1

12

)+ 3

20x+ 19x = 9−

(− 1

12

)−31

60x = 9 112 / :

(−31

60

)x =

9 112

− 3160

x = −17 1831

y = − 34 + 1 7

20xy = − 3

4 + 1 720 ·

(−17 18

31

)y = −24 15

31L = {−17 18

31/− 24 1531}

Aufgabe (21)

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach x auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 / + 7y2x = −8 + 7y / : 2x = −4 + 3 1

2yI in II7(−4 + 3 1

2y) +−1y = −9−28 + 24 1

2y − 1y = −9 /− (−28)+241

2y − 1y = −9− (−28)231

2y = 19 / : 23 12

y = 1923 1

2

y = 3847

x = −4 + 3 12y

x = −4 + 3 12 · 38

47x = −1 8

47L = {−1 8

47/3847}

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach y auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 /− 2x−7y = −8− 2x / : (−7)y = 1 1

7 + 27x

I in II7x+−1(1 1

7 + 27x) = −9

−1 17 − 2

7x− 1x = −9 /−(−1 1

7

)−2

7x− 1x = −9−(−1 1

7

)6 57x = −7 6

7 / : 6 57

x =−7 6

7

6 57

x = −1 847

y = 1 17 + 2

7xy = 1 1

7 + 27 ·

(−1 8

47

)y = 38

47L = {−1 8

47/3847}

Aufgabe (22)

www.fersch.de 16

Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach x auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 /− 9y−7x = −3− 9y / : (−7)x = 3

7 + 1 27y

I in II5( 37 + 1 2

7y) +−6y = −4217 + 6 3

7y − 6y = −4 /− 217

+637y − 6y = −4− 2 1

737y = −6 1

7 / : 37

y =−6 1

737

y = −14 13

x = 37 + 1 2

7yx = 3

7 + 1 27 ·

(−141

3

)x = −18L = {−18/− 14 1

3}

I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach y auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 / + 7x9y = −3 + 7x / : 9y = −1

3 + 79x

I in II5x+−6(− 1

3 + 79x) = −4

2− 4 23x− 6x = −4 /− 2

−4 23x− 6x = −4− 2

13x = −6 / : 1

3x = −6

13

x = −18y = −1

3 + 79x

y = −13 + 7

9 · (−18)y = −14 1

3L = {−18/− 14 1

3}

Aufgabe (23)

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I nach x auflösen2x+ 2y = 1 7

102x+ 2y = 1 7

10 /− 2y2x = 1 7

10 − 2y / : 2x = 17

20 − 1yI in II3( 1720 − 1y) + 6y = 321120 − 3y + 6y = 3 /− 211

20−3y + 6y = 3− 2 11

203y = 9

20 / : 3

y =920

3y = 3

20x = 17

20 − 1yx = 17

20 − 1 · 320

x = 710

L = { 710/

320}

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I nach y auflösen2x+ 2y = 1 7

102x+ 2y = 1 7

10 /− 2x2y = 1 7

10 − 2x / : 2y = 17

20 − 1xI in II3x+ 6( 1720 − 1x) = 35 110 − 6x+ 6x = 3 /− 5 1

10−6x+ 6x = 3− 5 1

10−3x = −2 1

10 / : (−3)

x =−2 1

10

−3

x = 710

y = 1720 − 1x

y = 1720 − 1 · 7

10y = 3

20L = { 7

10/320}

Aufgabe (24)

www.fersch.de 17

Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I 3x+ 5y = 8II 9x+ 0y = 7I nach x auflösen3x+ 5y = 83x+ 5y = 8 /− 5y3x = 8− 5y / : 3x = 2 2

3 − 1 23y

I in II9(2 2

3 − 1 23y) + 0y = 7

24− 15y + 0y = 7 /− 24−15y + 0y = 7− 24−15y = −17 / : (−15)y = −17

−15

y = 1 215

x = 2 23 − 1 2

3yx = 2 2

3 − 1 23 · 1 2

15x = 7

9L = { 7

9/1215}

I 3x+ 5y = 8II 9x+ 0y = 7I nach y auflösen3x+ 5y = 83x+ 5y = 8 /− 3x5y = 8− 3x / : 5y = 1 3

5 − 35x

I in II9x+ 0(1 3

5 − 35x) = 7

0− 0x+ 0x = 7 /− 0−0x+ 0x = 7− 09x = 7 / : 9x = 7

9x = 7

9y = 1 3

5 − 35x

y = 1 35 − 3

5 · 79

y = 1 215

L = {79/1

215}

Aufgabe (25)

I 3x+ 6y = 8II 9x+ 0y = 9I nach x auflösen3x+ 6y = 83x+ 6y = 8 /− 6y3x = 8− 6y / : 3x = 2 2

3 − 2yI in II9(2 2

3 − 2y) + 0y = 924− 18y + 0y = 9 /− 24−18y + 0y = 9− 24−18y = −15 / : (−18)y = −15

−18

y = 56

x = 2 23 − 2y

x = 2 23 − 2 · 5

6x = 1L = {1/ 5

6}

I 3x+ 6y = 8II 9x+ 0y = 9I nach y auflösen3x+ 6y = 83x+ 6y = 8 /− 3x6y = 8− 3x / : 6y = 1 1

3 − 12x

I in II9x+ 0(1 1

3 − 12x) = 9

0− 0x+ 0x = 9 /− 0−0x+ 0x = 9− 09x = 9 / : 9x = 9

9x = 1y = 1 1

3 − 12x

y = 1 13 − 1

2 · 1y = 5

6L = {1/ 5

6}

Aufgabe (26)

www.fersch.de 18

Einsetzverfahren (2) Interaktiv

I 3x+ 6y = 8II 9x+ 0y = 9I nach x auflösen3x+ 6y = 83x+ 6y = 8 /− 6y3x = 8− 6y / : 3x = 2 2

3 − 2yI in II9(2 2

3 − 2y) + 0y = 924− 18y + 0y = 9 /− 24−18y + 0y = 9− 24−18y = −15 / : (−18)y = −15

−18

y = 56

x = 2 23 − 2y

x = 2 23 − 2 · 5

6x = 1L = {1/ 5

6}

I 3x+ 6y = 8II 9x+ 0y = 9I nach y auflösen3x+ 6y = 83x+ 6y = 8 /− 3x6y = 8− 3x / : 6y = 1 1

3 − 12x

I in II9x+ 0(1 1

3 − 12x) = 9

0− 0x+ 0x = 9 /− 0−0x+ 0x = 9− 09x = 9 / : 9x = 9

9x = 1y = 1 1

3 − 12x

y = 1 13 − 1

2 · 1y = 5

6L = {1/ 5

6}

www.fersch.de 19

Gleichsetzungsverfahren (2)

2 Gleichsetzungsverfahren (2)I a1 · x+ b1 · y = c1

II a2 · x+ b2 · y = c42

• beide Gleichungen nach x oder y auflösen

• Terme gleichsetzen

• Gleichung nach der Unbekannten auflösen

• zweite Unbekannte berechnen

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 3x5y = 19− 3x / : 5y = 3 4

5− 3

5x

II nach y auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 7x5y = 31− 7x / : 5y = 6 1

5− 1 2

5x

I = II3 45− 3

5x = 6 1

5− 1 2

5x / + 3

5x

3 45= 6 1

5− 4

5x /− 6 1

5

−2 25= − 4

5x / :

(− 4

5

)x = 3x in Iy = 3 4

5− 3

53

y = 2L = {3/2}

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 5y3x = 19− 5y / : 3x = 6 1

3− 1 2

3y

II nach x auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 5y7x = 31− 5y / : 7x = 4 3

7− 5

7y

I = II6 13− 1 2

3y = 4 3

7− 5

7y / + 1 2

3y

6 13= 4 3

7+ 20

21y /− 4 3

7

1 1921

= 2021y / : 20

21

y = 2y in Ix = 6 1

3− 1 2

32

x = 3L = {3/2}

2.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y = c1a2 · x+ b2 · y = c2

Gesucht:x und y

(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31

(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4

(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1

(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7

(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6

(6) 7x+ 1 12y = 1

2x− 5y = 22

(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0

(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24

(9) − 12x+ 1y = 2

12x− 3y = −3

(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5

www.fersch.de 20

Gleichsetzungsverfahren (2) Aufgaben

(11) 1 15x− 1 1

3y = 5 13

2 12x− 1

4y = 12 38

(12)23x− 5

7y = 23

1x+ 1y = 10 23

(13) 1 12x− 2y = 9

25x+ 1

3y = 5

(14) 2x+ 3y = 413x− 1

5y = 12

(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5

(16) 2x+ 4y = 4−1

2x+ 3y = 3

(17) −12x+ 4y = 6

−2x− 8y = 2

(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2

(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3

(20) −1 45x+ 1 1

3y = −1−2

3x+ 19y = 9

(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9

(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4

(23) 2x+ 2y = 1 710

3x+ 6y = 3

(24) 34x+ 5y = 77x+ 9y = 8

(25) 34x+ 5y = 77x+ 9y = 8

(26) 34x+ 5y = 77x+ 9y = 8

(27) 2x+ 5y = 7−4x+ 2y = −6

(28) 2x+ 5y = 7−4x+ 2y = −6

www.fersch.de 21

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

2.2 LösungenAufgabe (1)

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 3x5y = 19− 3x / : 5y = 3 4

5 − 35x

II nach y auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 7x5y = 31− 7x / : 5y = 6 1

5 − 1 25x

I = II345 − 3

5x = 6 15 − 12

5x / + 35x/− 6 1

5345 − 61

5 = −1 25x+ 3

5x−2 2

5 = − 45x / :

(− 4

5

)x = 3x in Iy = 3 4

5 − 35 · 3

y = 2L = {3/2}

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 5y3x = 19− 5y / : 3x = 6 1

3 − 1 23y

II nach x auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 5y7x = 31− 5y / : 7x = 4 3

7 − 57y

I = II613 − 12

3y = 4 37 − 5

7y / + 1 23y/− 43

7613 − 43

7 = − 57y + 1 2

3y11921 = 20

21y / : 2021

y = 2y in Ix = 6 1

3 − 1 23 · 2

x = 3L = {3/2}

Aufgabe (2)

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach y auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1x1y = 10− 1x / : 1y = 10− 1xII nach y auflösen1x− 1y = 41x− 1y = 4 /− 1x−1y = 4− 1x / : (−1)y = −4 + 1xI = II10− 1x = −4 + 1x / + 1x/ + 410 + 4 = 1x+ 1x14 = 2x / : 2x = 7x in Iy = 10− 1 · 7y = 3L = {7/3}

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach x auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1y1x = 10− 1y / : 1x = 10− 1yII nach x auflösen1x− 1y = 41x− 1y = 4 / + 1y1x = 4 + 1y / : 1x = 4 + 1yI = II10− 1y = 4 + 1y / + 1y/− 410− 4 = 1y + 1y6 = 2y / : 2y = 3y in Ix = 10− 1 · 3x = 7L = {7/3}

Aufgabe (3)

www.fersch.de 22

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach y auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 /− 9x−2y = 5− 9x / : (−2)y = −2 1

2 + 4 12x

II nach y auflösen5x− 2y = 15x− 2y = 1 /− 5x−2y = 1− 5x / : (−2)y = − 1

2 + 2 12x

I = II−2 1

2 + 4 12x = −1

2 + 2 12x /− 4 1

2x/ +12

−2 12 + 1

2 = 2 12x− 4 1

2x−2 = −2x / : (−2)x = 1x in Iy = −2 1

2 + 4 12 · 1

y = 2L = {1/2}

I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach x auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 / + 2y9x = 5 + 2y / : 9x = 5

9 + 29y

II nach x auflösen5x− 2y = 15x− 2y = 1 / + 2y5x = 1 + 2y / : 5x = 1

5 + 25y

I = II59 + 2

9y = 15 + 2

5y /− 29y/−

15

59 − 1

5 = 25y −

29y

1645 = 8

45y / : 845

y = 2y in Ix = 5

9 + 29 · 2

x = 1L = {1/2}

Aufgabe (4)

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach y auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 /− 9x−2y = 1− 9x / : (−2)y = − 1

2 + 4 12x

II nach y auflösen−3x− 3y = −7−3x− 3y = −7 / + 3x−3y = −7 + 3x / : (−3)y = 2 1

3 − 1xI = II−1

2 + 4 12x = 2 1

3 − 1x /− 4 12x/− 21

3−1

2 − 2 13 = −1x− 4 1

2x−2 5

6 = −5 12x / :

(−5 1

2

)x = 17

33x in Iy = − 1

2 + 4 12 · 17

33y = 1 9

11L = { 17

33/1911}

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach x auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 / + 2y9x = 1 + 2y / : 9x = 1

9 + 29y

II nach x auflösen−3x− 3y = −7−3x− 3y = −7 / + 3y−3x = −7 + 3y / : (−3)x = 2 1

3 − 1yI = II19 + 2

9y = 2 13 − 1y /− 2

9y/− 2 13

19 − 2 1

3 = −1y − 29y

−2 29 = −1 2

9y / :(−1 2

9

)y = 1 9

11y in Ix = 1

9 + 29 · 1 9

11x = 17

33L = { 17

33/1911}

Aufgabe (5)

www.fersch.de 23

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach y auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 1x3y = 9− 1x / : 3y = 3− 1

3xII nach y auflösen3x− 2y = −63x− 2y = −6 /− 3x−2y = −6− 3x / : (−2)y = 3 + 1 1

2xI = II3− 1

3x = 3 + 1 12x / + 1

3x/− 33− 3 = 1 1

2x+ 13x

0 = 1 56x / : 1 5

6x = 0x in Iy = 3− 1

3 · 0y = 3L = {0/3}

I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach x auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 3y1x = 9− 3y / : 1x = 9− 3yII nach x auflösen3x− 2y = −63x− 2y = −6 / + 2y3x = −6 + 2y / : 3x = −2 + 2

3yI = II9− 3y = −2 + 2

3y / + 3y/ + 29 + 2 = 2

3y + 3y11 = 3 2

3y / : 3 23

y = 3y in Ix = 9− 3 · 3x = 0L = {0/3}

Aufgabe (6)

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I nach y auflösen7x+ 1 1

2y = 17x+ 1 1

2y = 1 /− 7x112y = 1− 7x / : 1 1

2y = 2

3 − 4 23x

II nach y auflösen2x− 5y = 222x− 5y = 22 /− 2x−5y = 22− 2x / : (−5)y = −4 2

5 + 25x

I = II23 − 4 2

3x = −4 25 + 2

5x / + 4 23x/ + 4 2

523 + 4 2

5 = 25x+ 4 2

3x5 115 = 5 1

15x / : 5 115

x = 1x in Iy = 2

3 − 4 23 · 1

y = −4L = {1/− 4}

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I nach x auflösen7x+ 1 1

2y = 17x+ 1 1

2y = 1 /− 1 12y

7x = 1− 1 12y / : 7

x = 17 − 3

14yII nach x auflösen2x− 5y = 222x− 5y = 22 / + 5y2x = 22 + 5y / : 2x = 11 + 2 1

2yI = II17 − 3

14y = 11 + 2 12y / + 3

14y/− 1117 − 11 = 2 1

2y +314y

−10 67 = 2 5

7y / : 2 57

y = −4y in Ix = 1

7 − 314 · −4

x = 1L = {1/− 4}

Aufgabe (7)

www.fersch.de 24

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach y auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 /− 4x−5y = 43− 4x / : (−5)y = −8 3

5 + 45x

II nach y auflösen−3x− 7y = 0−3x− 7y = 0 / + 3x−7y = 0 + 3x / : (−7)y = 0− 3

7xI = II−8 3

5 + 45x = 0− 3

7x /− 45x/− 0

−8 35 − 0 = −3

7x− 45x

−8 35 = −1 8

35x / :(−1 8

35

)x = 7x in Iy = −8 3

5 + 45 · 7

y = −3L = {7/− 3}

I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach x auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 / + 5y4x = 43 + 5y / : 4x = 10 3

4 + 1 14y

II nach x auflösen−3x− 7y = 0−3x− 7y = 0 / + 7y−3x = 0 + 7y / : (−3)x = 0− 21

3yI = II10 3

4 + 1 14y = 0− 2 1

3y /− 114y/− 0

10 34 − 0 = −21

3y − 114y

10 34 = −3 7

12y / :(−3 7

12

)y = −3y in Ix = 10 3

4 + 1 14 · −3

x = 7L = {7/− 3}

Aufgabe (8)

I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I nach y auflösen8x− 3y = 108x− 3y = 10 /− 8x−3y = 10− 8x / : (−3)y = −3 1

3 + 2 23x

II nach y auflösen12x− 5y = 2412x− 5y = 24 /− 12x−5y = 24− 12x / : (−5)y = −4 4

5 + 2 25x

I = II−3 1

3 + 2 23x = −4 4

5 + 2 25x /− 2 2

3x/ + 4 45

−3 13 + 4 4

5 = 2 25x− 22

3x1 715 = − 4

15x / :(− 4

15

)x = −5 1

2x in Iy = −3 1

3 + 2 23 · −51

2y = −18L = {−5 1

2/− 18}

I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I nach x auflösen8x− 3y = 108x− 3y = 10 / + 3y8x = 10 + 3y / : 8x = 1 1

4 + 38y

II nach x auflösen12x− 5y = 2412x− 5y = 24 / + 5y12x = 24 + 5y / : 12x = 2 + 5

12yI = II114 + 3

8y = 2 + 512y /− 3

8y/− 2114 − 2 = 5

12y −38y

−34 = 1

24y / : 124

y = −18y in Ix = 1 1

4 + 38 · −18

x = −5 12

L = {−5 12/− 18}

Aufgabe (9)

www.fersch.de 25

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I nach y auflösen−1

2x+ 1y = 2−1

2x+ 1y = 2 / + 12x

1y = 2 + 12x / : 1

y = 2 + 12x

II nach y auflösen12x− 3y = −312x− 3y = −3 /− 1

2x−3y = −3− 1

2x / : (−3)y = 1 + 1

6xI = II2 + 1

2x = 1 + 16x /− 1

2x/− 12− 1 = 1

6x− 12x

1 = −13x / :

(−1

3

)x = −3x in Iy = 2 + 1

2 · −3y = 1

2L = {−3/ 1

2}

I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I nach x auflösen−1

2x+ 1y = 2−1

2x+ 1y = 2 /− 1y−1

2x = 2− 1y / :(− 1

2

)x = −4 + 2yII nach x auflösen12x− 3y = −312x− 3y = −3 / + 3y12x = −3 + 3y / : 1

2x = −6 + 6yI = II−4 + 2y = −6 + 6y /− 2y/ + 6−4 + 6 = 6y − 2y2 = 4y / : 4y = 1

2y in Ix = −4 + 2 · 1

2x = −3L = {−3/ 1

2}

Aufgabe (10)

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I nach y auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 / + 1x1y = 3 + 1x / : 1y = 3 + 1xII nach y auflösen12x− 4y = 512x− 4y = 5 /− 1

2x−4y = 5− 1

2x / : (−4)y = −1 1

4 + 18x

I = II3 + 1x = −1 1

4 + 18x /− 1x/ + 1 1

43 + 1 1

4 = 18x− 1x

414 = − 7

8x / :(− 7

8

)x = −4 6

7x in Iy = 3 + 1 · −4 6

7y = −1 6

7L = {−4 6

7/− 1 67}

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I nach x auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 /− 1y−1x = 3− 1y / : (−1)x = −3 + 1yII nach x auflösen12x− 4y = 512x− 4y = 5 / + 4y12x = 5 + 4y / : 1

2x = 10 + 8yI = II−3 + 1y = 10 + 8y /− 1y/− 10−3− 10 = 8y − 1y−13 = 7y / : 7y = −1 6

7y in Ix = −3 + 1 · −1 6

7x = −46

7L = {−4 6

7/− 167}

Aufgabe (11)

www.fersch.de 26

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 1 15x− 11

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I nach y auflösen115x− 1 1

3y = 5 13

115x− 1 1

3y = 5 13 /− 11

5x−1 1

3y = 5 13 − 1 1

5x / :(−1 1

3

)y = −4 + 9

10xII nach y auflösen212x− 1

4y = 12 38

212x− 1

4y = 12 38 /− 21

2x−1

4y = 12 38 − 2 1

2x / :(−1

4

)y = −49 1

2 + 10xI = II−4 + 9

10x = −49 12 + 10x /− 9

10x/ + 49 12

−4 + 49 12 = 10x− 9

10x451

2 = 9 110x / : 9 1

10x = 5x in Iy = −4 + 9

10 · 5y = 1

2L = {5/ 1

2}

I 1 15x− 11

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I nach x auflösen115x− 1 1

3y = 5 13

115x− 1 1

3y = 5 13 / + 1 1

3y115x = 5 1

3 + 1 13y / : 1 1

5x = 4 4

9 + 1 19y

II nach x auflösen212x− 1

4y = 12 38

212x− 1

4y = 12 38 / + 1

4y212x = 12 3

8 + 14y / : 2 1

2x = 4 19

20 + 110y

I = II449 + 1 1

9y = 4 1920 + 1

10y /− 119y/− 4 19

20449 − 419

20 = 110y − 11

9y−0, 506 = −1 1

90y / :(−1 1

90

)y = 1

2y in Ix = 4 4

9 + 1 19 · 1

2x = 5L = {5/ 1

2}

Aufgabe (12)

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I nach y auflösen23x− 5

7y = 23

23x− 5

7y = 23 /− 2

3x−5

7y = 23 − 2

3x / :(− 5

7

)y = − 14

15 + 1415x

II nach y auflösen1x+ 1y = 10 2

31x+ 1y = 10 2

3 /− 1x1y = 10 2

3 − 1x / : 1y = 10 2

3 − 1xI = II−14

15 + 1415x = 10 2

3 − 1x /− 1415x/− 10 2

3−14

15 − 10 23 = −1x− 14

15x−11 3

5 = −1 1415x / :

(−1 14

15

)x = 6x in Iy = − 14

15 + 1415 · 6

y = 4 23

L = {6/4 23}

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I nach x auflösen23x− 5

7y = 23

23x− 5

7y = 23 / + 5

7y23x = 2

3 + 57y / : 2

3x = 1 + 1 1

14yII nach x auflösen1x+ 1y = 10 2

31x+ 1y = 10 2

3 /− 1y1x = 10 2

3 − 1y / : 1x = 10 2

3 − 1yI = II1 + 1 1

14y = 10 23 − 1y /− 1 1

14y/− 10 23

1− 1023 = −1y − 1 1

14y−92

3 = −2 114y / :

(−2 1

14

)y = 4 2

3y in Ix = 1 + 1 1

14 · 4 23

x = 6L = {6/4 2

3}

Aufgabe (13)

www.fersch.de 27

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I nach y auflösen112x− 2y = 9

112x− 2y = 9 /− 1 1

2x−2y = 9− 1 1

2x / : (−2)y = −4 1

2 + 34x

II nach y auflösen25x+ 1

3y = 525x+ 1

3y = 5 /− 25x

13y = 5− 2

5x / : 13

y = 15− 1 15x

I = II−4 1

2 + 34x = 15− 1 1

5x /− 34x/− 15

−4 12 − 15 = −1 1

5x− 34x

−19 12 = −1 19

20x / :(−1 19

20

)x = 10x in Iy = −4 1

2 + 34 · 10

y = 3L = {10/3}

I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I nach x auflösen1 12x− 2y = 9

1 12x− 2y = 9 / + 2y

1 12x = 9 + 2y / : 1 1

2x = 6 + 1 1

3yII nach x auflösen25x+ 1

3y = 525x+ 1

3y = 5 /− 13y

25x = 5− 1

3y / : 25

x = 12 12 − 5

6yI = II6 + 1 1

3y = 12 12 − 5

6y /− 1 13y/− 12 1

26− 12 1

2 = −56y − 1 1

3y−6 1

2 = −2 16y / :

(−21

6

)y = 3y in Ix = 6 + 1 1

3 · 3x = 10L = {10/3}

Aufgabe (14)

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I nach y auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 2x3y = 4− 2x / : 3y = 1 1

3 − 23x

II nach y auflösen13x− 1

5y = 1213x− 1

5y = 12 /− 13x

−15y = 12− 1

3x / :(− 1

5

)y = −60 + 1 2

3xI = II113 − 2

3x = −60 + 1 23x / + 2

3x/ + 60113 + 60 = 1 2

3x+ 23x

6113 = 2 1

3x / : 2 13

x = 26 27

x in Iy = 1 1

3 − 23 · 26 2

7y = −16 4

21L = {26 2

7/− 16 421}

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I nach x auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 3y2x = 4− 3y / : 2x = 2− 1 1

2yII nach x auflösen13x− 1

5y = 1213x− 1

5y = 12 / + 15y

13x = 12 + 1

5y / : 13

x = 36 + 35y

I = II2− 1 1

2y = 36 + 35y / + 1 1

2y/− 362− 36 = 3

5y + 1 12y

−34 = 2 110y / : 2 1

10y = −16 4

21y in Ix = 2− 1 1

2 · −16 421

x = 26 27

L = {26 27/− 16 4

21}

Aufgabe (15)

www.fersch.de 28

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach y auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 1x2y = −4− 1x / : 2y = −2− 1

2xII nach y auflösen−1x+ 2y = 5−1x+ 2y = 5 / + 1x2y = 5 + 1x / : 2y = 2 1

2 + 12x

I = II−2− 1

2x = 2 12 + 1

2x / + 12x/− 21

2−2− 2 1

2 = 12x+ 1

2x−4 1

2 = 1x / : 1x = −4 1

2x in Iy = −2− 1

2 · −4 12

y = 14

L = {−4 12/

14}

I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach x auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 2y1x = −4− 2y / : 1x = −4− 2yII nach x auflösen−1x+ 2y = 5−1x+ 2y = 5 /− 2y−1x = 5− 2y / : (−1)x = −5 + 2yI = II−4− 2y = −5 + 2y / + 2y/ + 5−4 + 5 = 2y + 2y1 = 4y / : 4y = 1

4y in Ix = −4− 2 · 1

4x = −4 1

2L = {−41

2/14}

Aufgabe (16)

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I nach y auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 2x4y = 4− 2x / : 4y = 1− 1

2xII nach y auflösen−1

2x+ 3y = 3−1

2x+ 3y = 3 / + 12x

3y = 3 + 12x / : 3

y = 1 + 16x

I = II1− 1

2x = 1 + 16x / + 1

2x/− 11− 1 = 1

6x+ 12x

0 = 23x / : 2

3x = 0x in Iy = 1− 1

2 · 0y = 1L = {0/1}

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I nach x auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 4y2x = 4− 4y / : 2x = 2− 2yII nach x auflösen−1

2x+ 3y = 3−1

2x+ 3y = 3 /− 3y−1

2x = 3− 3y / :(− 1

2

)x = −6 + 6yI = II2− 2y = −6 + 6y / + 2y/ + 62 + 6 = 6y + 2y8 = 8y / : 8y = 1y in Ix = 2− 2 · 1x = 0L = {0/1}

Aufgabe (17)

www.fersch.de 29

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I nach y auflösen−1

2x+ 4y = 6−1

2x+ 4y = 6 / + 12x

4y = 6 + 12x / : 4

y = 1 12 + 1

8xII nach y auflösen−2x− 8y = 2−2x− 8y = 2 / + 2x−8y = 2 + 2x / : (−8)y = − 1

4 − 14x

I = II112 + 1

8x = −14 − 1

4x /− 18x/ +

14

112 + 1

4 = − 14x− 1

8x134 = − 3

8x / :(− 3

8

)x = −4 2

3x in Iy = 1 1

2 + 18 · −42

3y = 11

12L = {−4 2

3/1112}

I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I nach x auflösen− 1

2x+ 4y = 6− 1

2x+ 4y = 6 /− 4y− 1

2x = 6− 4y / :(−1

2

)x = −12 + 8yII nach x auflösen−2x− 8y = 2−2x− 8y = 2 / + 8y−2x = 2 + 8y / : (−2)x = −1− 4yI = II−12 + 8y = −1− 4y /− 8y/ + 1−12 + 1 = −4y − 8y−11 = −12y / : (−12)y = 11

12y in Ix = −12 + 8 · 11

12x = −4 2

3L = {−42

3/1112}

Aufgabe (18)

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach y auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1x1y = 1− 1x / : 1y = 1− 1xII nach y auflösen2x+ 2y = 22x+ 2y = 2 /− 2x2y = 2− 2x / : 2y = 1− 1xI = II1− 1x = 1− 1x / + 1x/− 11− 1 = −1x+ 1x

L = unendlich

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach x auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1y1x = 1− 1y / : 1x = 1− 1yII nach x auflösen2x+ 2y = 22x+ 2y = 2 /− 2y2x = 2− 2y / : 2x = 1− 1yI = II1− 1y = 1− 1y / + 1y/− 11− 1 = −1y + 1y

L = unendlich

Aufgabe (19)

www.fersch.de 30

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach y auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1x1y = 2− 1x / : 1y = 2− 1xII nach y auflösen3x+ 3y = 33x+ 3y = 3 /− 3x3y = 3− 3x / : 3y = 1− 1xI = II2− 1x = 1− 1x / + 1x/− 12− 1 = −1x+ 1x

L = {}

I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach x auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1y1x = 2− 1y / : 1x = 2− 1yII nach x auflösen3x+ 3y = 33x+ 3y = 3 /− 3y3x = 3− 3y / : 3x = 1− 1yI = II2− 1y = 1− 1y / + 1y/− 12− 1 = −1y + 1y

L = {}

Aufgabe (20)

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I nach y auflösen−1 4

5x+ 1 13y = −1

−1 45x+ 1 1

3y = −1 / + 1 45x

113y = −1 + 1 4

5x / : 1 13

y = − 34 + 1 7

20xII nach y auflösen−2

3x+ 19y = 9

−23x+ 1

9y = 9 / + 23x

19y = 9 + 2

3x / : 19

y = 81 + 6xI = II−3

4 + 1 720x = 81 + 6x /− 1 7

20x/− 81−3

4 − 81 = 6x− 1 720x

−81 34 = 4 13

20x / : 4 1320

x = −17 1831

x in Iy = − 3

4 + 1 720 · −17 18

31y = −24 15

31L = {−17 18

31/− 24 1531}

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I nach x auflösen−1 4

5x+ 1 13y = −1

−1 45x+ 1 1

3y = −1 /− 1 13y

−1 45x = −1− 1 1

3y / :(−1 4

5

)x = 5

9 + 2027y

II nach x auflösen−2

3x+ 19y = 9

−23x+ 1

9y = 9 /− 19y

−23x = 9− 1

9y / :(− 2

3

)x = −13 1

2 + 16y

I = II59 + 20

27y = −13 12 + 1

6y /− 2027y/ + 13 1

259 + 13 1

2 = 16y −

2027y

14 118 = −31

54y / :(− 31

54

)y = −24 15

31y in Ix = 5

9 + 2027 · −24 15

31x = −17 18

31L = {−17 18

31/− 24 1531}

Aufgabe (21)

www.fersch.de 31

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach y auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 /− 2x−7y = −8− 2x / : (−7)y = 1 1

7 + 27x

II nach y auflösen7x− 1y = −97x− 1y = −9 /− 7x−1y = −9− 7x / : (−1)y = 9 + 7xI = II117 + 2

7x = 9 + 7x /− 27x/− 9

117 − 9 = 7x− 2

7x−7 6

7 = 6 57x / : 6 5

7x = −1 8

47x in Iy = 1 1

7 + 27 · −1 8

47y = 38

47L = {−1 8

47/3847}

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach x auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 / + 7y2x = −8 + 7y / : 2x = −4 + 3 1

2yII nach x auflösen7x− 1y = −97x− 1y = −9 / + 1y7x = −9 + 1y / : 7x = −12

7 + 17y

I = II−4 + 3 1

2y = −1 27 + 1

7y /− 3 12y/ + 1 2

7−4 + 1 2

7 = 17y − 3 1

2y−2 5

7 = −3 514y / :

(−3 5

14

)y = 38

47y in Ix = −4 + 3 1

2 · 3847

x = −1 847

L = {−1 847/

3847}

Aufgabe (22)

I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach y auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 / + 7x9y = −3 + 7x / : 9y = − 1

3 + 79x

II nach y auflösen5x− 6y = −45x− 6y = −4 /− 5x−6y = −4− 5x / : (−6)y = 2

3 + 56x

I = II−1

3 + 79x = 2

3 + 56x /− 7

9x/−23

−13 − 2

3 = 56x− 7

9x−1 = 1

18x / : 118

x = −18x in Iy = − 1

3 + 79 · −18

y = −14 13

L = {−18/− 14 13}

I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach x auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 /− 9y−7x = −3− 9y / : (−7)x = 3

7 + 1 27y

II nach x auflösen5x− 6y = −45x− 6y = −4 / + 6y5x = −4 + 6y / : 5x = −4

5 + 1 15y

I = II37 + 1 2

7y = −45 + 1 1

5y /− 1 27y/ +

45

37 + 4

5 = 1 15y − 12

7y1 835 = − 3

35y / :(− 3

35

)y = −14 1

3y in Ix = 3

7 + 1 27 · −14 1

3x = −18L = {−18/− 14 1

3}

Aufgabe (23)

www.fersch.de 32

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I nach y auflösen2x+ 2y = 1 7

102x+ 2y = 1 7

10 /− 2x2y = 1 7

10 − 2x / : 2y = 17

20 − 1xII nach y auflösen3x+ 6y = 33x+ 6y = 3 /− 3x6y = 3− 3x / : 6y = 1

2 − 12x

I = II1720 − 1x = 1

2 − 12x / + 1x/− 1

21720 − 1

2 = − 12x+ 1x

720 = 1

2x / : 12

x = 710

x in Iy = 17

20 − 1 · 710

y = 320

L = { 710/

320}

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I nach x auflösen2x+ 2y = 1 7

102x+ 2y = 1 7

10 /− 2y2x = 1 7

10 − 2y / : 2x = 17

20 − 1yII nach x auflösen3x+ 6y = 33x+ 6y = 3 /− 6y3x = 3− 6y / : 3x = 1− 2yI = II1720 − 1y = 1− 2y / + 1y/− 11720 − 1 = −2y + 1y− 3

20 = −1y / : (−1)y = 3

20y in Ix = 17

20 − 1 · 320

x = 710

L = { 710/

320}

Aufgabe (24)

I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach y auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 34x5y = 7− 34x / : 5y = 1 2

5 − 6 45x

II nach y auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 7x9y = 8− 7x / : 9y = 8

9 − 79x

I = II125 − 64

5x = 89 − 7

9x / + 6 45x/−

89

125 − 8

9 = − 79x+ 6 4

5x2345 = 6 1

45x / : 6 145

x = 0, 0849x in Iy = 1 2

5 − 6 45 · 0, 0849

y = 0, 823L = {0, 0849/0, 823}

I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach x auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 5y34x = 7− 5y / : 34x = 7

34 − 534y

II nach x auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 9y7x = 8− 9y / : 7x = 1 1

7 − 1 27y

I = II734 − 5

34y = 1 17 − 1 2

7y / + 534y/− 11

7734 − 11

7 = −1 27y +

534y

−0, 937 = −1, 14y / : (−1, 14)y = 0, 823y in Ix = 7

34 − 534 · 0, 823

x = 0, 0849L = {0, 0849/0, 823}

Aufgabe (25)

www.fersch.de 33

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach y auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 34x5y = 7− 34x / : 5y = 1 2

5 − 6 45x

II nach y auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 7x9y = 8− 7x / : 9y = 8

9 − 79x

I = II125 − 64

5x = 89 − 7

9x / + 6 45x/−

89

125 − 8

9 = − 79x+ 6 4

5x2345 = 6 1

45x / : 6 145

x = 0, 0849x in Iy = 1 2

5 − 6 45 · 0, 0849

y = 0, 823L = {0, 0849/0, 823}

I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach x auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 5y34x = 7− 5y / : 34x = 7

34 − 534y

II nach x auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 9y7x = 8− 9y / : 7x = 1 1

7 − 1 27y

I = II734 − 5

34y = 1 17 − 1 2

7y / + 534y/− 11

7734 − 11

7 = −1 27y +

534y

−0, 937 = −1, 14y / : (−1, 14)y = 0, 823y in Ix = 7

34 − 534 · 0, 823

x = 0, 0849L = {0, 0849/0, 823}

Aufgabe (26)

I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach y auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 34x5y = 7− 34x / : 5y = 1 2

5 − 6 45x

II nach y auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 7x9y = 8− 7x / : 9y = 8

9 − 79x

I = II125 − 64

5x = 89 − 7

9x / + 6 45x/−

89

125 − 8

9 = − 79x+ 6 4

5x2345 = 6 1

45x / : 6 145

x = 0, 0849x in Iy = 1 2

5 − 6 45 · 0, 0849

y = 0, 823L = {0, 0849/0, 823}

I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach x auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 5y34x = 7− 5y / : 34x = 7

34 − 534y

II nach x auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 9y7x = 8− 9y / : 7x = 1 1

7 − 1 27y

I = II734 − 5

34y = 1 17 − 1 2

7y / + 534y/− 11

7734 − 11

7 = −1 27y +

534y

−0, 937 = −1, 14y / : (−1, 14)y = 0, 823y in Ix = 7

34 − 534 · 0, 823

x = 0, 0849L = {0, 0849/0, 823}

Aufgabe (27)

www.fersch.de 34

Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen

I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach y auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 2x5y = 7− 2x / : 5y = 1 2

5 − 25x

II nach y auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 / + 4x2y = −6 + 4x / : 2y = −3 + 2xI = II125 − 2

5x = −3 + 2x / + 25x/ + 3

125 + 3 = 2x+ 2

5x425 = 2 2

5x / : 2 25

x = 1 56

x in Iy = 1 2

5 − 25 · 1 5

6y = 2

3L = {1 5

6/23}

I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach x auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 5y2x = 7− 5y / : 2x = 3 1

2 − 212y

II nach x auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 /− 2y−4x = −6− 2y / : (−4)x = 1 1

2 + 12y

I = II3 12 − 2 1

2y = 1 12 + 1

2y / + 2 12y/− 1 1

23 12 − 1 1

2 = 12y + 2 1

2y2 = 3y / : 3y = 2

3y in Ix = 3 1

2 − 212 · 2

3x = 1 5

6L = {1 5

6/23}

Aufgabe (28)

I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach y auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 2x5y = 7− 2x / : 5y = 1 2

5 − 25x

II nach y auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 / + 4x2y = −6 + 4x / : 2y = −3 + 2xI = II125 − 2

5x = −3 + 2x / + 25x/ + 3

125 + 3 = 2x+ 2

5x425 = 2 2

5x / : 2 25

x = 1 56

x in Iy = 1 2

5 − 25 · 1 5

6y = 2

3L = {1 5

6/23}

I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach x auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 5y2x = 7− 5y / : 2x = 3 1

2 − 212y

II nach x auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 /− 2y−4x = −6− 2y / : (−4)x = 1 1

2 + 12y

I = II3 12 − 2 1

2y = 1 12 + 1

2y / + 2 12y/− 1 1

23 12 − 1 1

2 = 12y + 2 1

2y2 = 3y / : 3y = 2

3y in Ix = 3 1

2 − 212 · 2

3x = 1 5

6L = {1 5

6/23}

www.fersch.de 35

Additionsverfahren (2)

3 Additionsverfahren (2)I a1 · x+ b1 · y = c1

II a2 · x+ b2 · y = c42

• Terme mit x und y müssen untereinanderstehen

• Gleichungen multiplizieren, so dass dieVariablen beim spaltenweisen addierenherausfallen

• Gleichung nach der Unbekannten auflösen

• zweite Unbekannte berechnen

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 7II 7x+ 5y = 31 / · (−3)I 21x+ 35y = 133II − 21x− 15y = −93I + II21x− 21x+ 35y − 15y = 133− 9320y = 40 / : 20y = 40

20

y = 2y in II 3x+ 5 · 2 = 193x+ 10 = 19 /− 103x = 19− 103x = 9 / : 3x = 9

3

x = 3L = {3/2}

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 1II 7x+ 5y = 31 / · (−1)I 3x+ 5y = 19II − 7x− 5y = −31I + II3x− 7x+ 5y − 5y = 19− 31−4x = −12 / : (−4)x = −12

−4

x = 3x in II 3 · 3 + 5y = 195y + 9 = 19 /− 95y = 19− 95y = 10 / : 5y = 10

5

y = 2L = {3/2}

3.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y = c1a2 · x+ b2 · y = c2

Gesucht:x und y

(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31

(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4

(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1

(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7

(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6

(6) 7x+ 1 12y = 1

2x− 5y = 22

(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0

(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24

(9) − 12x+ 1y = 2

12x− 3y = −3

(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5

www.fersch.de 36

Additionsverfahren (2) Aufgaben

(11) 1 15x− 1 1

3y = 5 13

2 12x− 1

4y = 12 38

(12)23x− 5

7y = 23

1x+ 1y = 10 23

(13) 1 12x− 2y = 9

25x+ 1

3y = 5

(14) 2x+ 3y = 413x− 1

5y = 12

(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5

(16) 2x+ 4y = 4−1

2x+ 3y = 3

(17) −12x+ 4y = 6

−2x− 8y = 2

(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2

(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3

(20) −1 45x+ 1 1

3y = −1−2

3x+ 19y = 9

(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9

(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4

(23) 2x+ 2y = 1 710

3x+ 6y = 3

(24) 5x+ 6y = 74x+ 6y = 4

(25) 12x+ 6y = 716x+ 6y = 4

www.fersch.de 37

Additionsverfahren (2) Lösungen

3.2 LösungenAufgabe (1)

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 7II 7x+ 5y = 31 / · (−3)I 21x+ 35y = 133II − 21x− 15y = −93I + III 21x− 21x+ 35y − 15y = 133− 9320y = 40 / : 20y = 40

20y = 2y in II 3x+ 5 · 2 = 193x+ 10 = 19 /− 103x = 19− 103x = 9 / : 3x = 9

3x = 3L = {3/2}

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 1II 7x+ 5y = 31 / · (−1)I 3x+ 5y = 19II − 7x− 5y = −31I + III 3x− 7x+ 5y − 5y = 19− 31−4x = −12 / : (−4)x = −12

−4

x = 3x in II 3 · 3 + 5y = 195y + 9 = 19 /− 95y = 19− 95y = 10 / : 5y = 10

5y = 2L = {3/2}

Aufgabe (2)

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I 1x+ 1y = 10 / · 1II 1x− 1y = 4 / · (−1)I 1x+ 1y = 10II − 1x+ 1y = −4I + III 1x− 1x+ 1y + 1y = 10− 42y = 6 / : 2y = 6

2y = 3y in II 1x+ 1 · 3 = 101x+ 3 = 10 /− 31x = 10− 31x = 7 / : 1x = 7

1x = 7L = {7/3}

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I 1x+ 1y = 10 / · (−1)II 1x− 1y = 4 / · (−1)I − 1x− 1y = −10II − 1x+ 1y = −4I + III − 1x− 1x− 1y + 1y = −10− 4−2x = −14 / : (−2)x = −14

−2

x = 7x in II 1 · 7 + 1y = 101y + 7 = 10 /− 71y = 10− 71y = 3 / : 1y = 3

1y = 3L = {7/3}

Aufgabe (3)

www.fersch.de 38

Additionsverfahren (2) Lösungen

I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I 9x− 2y = 5 / · 5II 5x− 2y = 1 / · (−9)I 45x− 10y = 25II − 45x+ 18y = −9I + III 45x− 45x− 10y + 18y = 25− 98y = 16 / : 8y = 16

8y = 2y in II 9x− 2 · 2 = 59x− 4 = 5 / + 49x = 5 + 49x = 9 / : 9x = 9

9x = 1L = {1/2}

I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I 9x− 2y = 5 / · (−1)II 5x− 2y = 1 / · 1I − 9x+ 2y = −5II 5x− 2y = 1I + III − 9x+ 5x+ 2y − 2y = −5 + 1−4x = −4 / : (−4)x = −4

−4

x = 1x in II 9 · 1− 2y = 5−2y + 9 = 5 /− 9−2y = 5− 9−2y = −4 / : (−2)y = −4

−2

y = 2L = {1/2}

Aufgabe (4)

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I 9x− 2y = 1 / · (−1)II − 3x− 3y = −7 / · (−3)I − 9x+ 2y = −1II 9x+ 9y = 21I + III − 9x+ 9x+ 2y + 9y = −1 + 2111y = 20 / : 11y = 20

11y = 1 9

11y in II 9x− 2 · 1 9

11 = 19x− 3 7

11 = 1 / + 3 711

9x = 1 + 3 711

9x = 4 711 / : 9

x =4 7

11

9x = 17

33L = { 17

33/1911}

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I 9x− 2y = 1 / · (−3)II − 3x− 3y = −7 / · 2I − 27x+ 6y = −3II − 6x− 6y = −14I + III − 27x− 6x+ 6y − 6y = −3− 14−33x = −17 / : (−33)x = −17

−33

x = 1733

x in II 9 · 17

33 − 2y = 1−2y + 4 7

11 = 1 /− 4 711

−2y = 1− 4 711

−2y = −3 711 / : (−2)

y =−3 7

11

−2

y = 1 911

L = { 1733/1

911}

Aufgabe (5)

www.fersch.de 39

Additionsverfahren (2) Lösungen

I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I 1x+ 3y = 9 / · 3II 3x− 2y = −6 / · (−1)I 3x+ 9y = 27II − 3x+ 2y = 6I + III 3x− 3x+ 9y + 2y = 27 + 611y = 33 / : 11y = 33

11y = 3y in II 1x+ 3 · 3 = 91x+ 9 = 9 /− 91x = 9− 91x = 0 / : 1x = 0

1x = 0L = {0/3}

I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I 1x+ 3y = 9 / · (−2)II 3x− 2y = −6 / · (−3)I − 2x− 6y = −18II − 9x+ 6y = 18I + III − 2x− 9x− 6y + 6y = −18 + 18−11x = 0 / : (−11)x = 0

−11

x = 0x in II 1 · 0 + 3y = 93y + 0 = 9 /− 03y = 9− 03y = 9 / : 3y = 9

3y = 3L = {0/3}

Aufgabe (6)

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I 7x+ 1 1

2y = 1 / · 2II 2x− 5y = 22 / · (−7)I 14x+ 3y = 2II − 14x+ 35y = −154I + III 14x− 14x+ 3y + 35y = 2− 15438y = −152 / : 38y = −152

38y = −4y in II 7x+ 1 1

2 · (−4) = 17x− 6 = 1 / + 67x = 1 + 67x = 7 / : 7x = 7

7x = 1L = {1/− 4}

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I 7x+ 1 1

2y = 1 / · 5II 2x− 5y = 22 / · 1 1

2I 35x+ 7 1

2y = 5II 3x− 7 1

2y = 33I + III 35x+ 3x+ 7 1

2y − 7 12y = 5 + 33

38x = 38 / : 38x = 38

38x = 1x in II 7 · 1 + 1 1

2y = 11 12y + 7 = 1 /− 7

1 12y = 1− 7

1 12y = −6 / : 1 1

2y = −6

1 12

y = −4L = {1/− 4}

Aufgabe (7)

www.fersch.de 40

Additionsverfahren (2) Lösungen

I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I 4x− 5y = 43 / · (−3)II − 3x− 7y = 0 / · (−4)I − 12x+ 15y = −129II 12x+ 28y = 0I + III − 12x+ 12x+ 15y + 28y = −129 + 043y = −129 / : 43y = −129

43y = −3y in II 4x− 5 · (−3) = 434x+ 15 = 43 /− 154x = 43− 154x = 28 / : 4x = 28

4x = 7L = {7/− 3}

I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I 4x− 5y = 43 / · (−7)II − 3x− 7y = 0 / · 5I − 28x+ 35y = −301II − 15x− 35y = 0I + III − 28x− 15x+ 35y − 35y = −301 + 0−43x = −301 / : (−43)x = −301

−43

x = 7x in II 4 · 7− 5y = 43−5y + 28 = 43 /− 28−5y = 43− 28−5y = 15 / : (−5)y = 15

−5

y = −3L = {7/− 3}

Aufgabe (8)

I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I 8x− 3y = 10 / · 3II 12x− 5y = 24 / · (−2)I 24x− 9y = 30II − 24x+ 10y = −48I + III 24x− 24x− 9y + 10y = 30− 481y = −18 / : 1y = −18

1y = −18y in II 8x− 3 · (−18) = 108x+ 54 = 10 /− 548x = 10− 548x = −44 / : 8x = −44

8x = −5 1

2L = {−5 1

2/− 18}

I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I 8x− 3y = 10 / · (−5)II 12x− 5y = 24 / · 3I − 40x+ 15y = −50II 36x− 15y = 72I + III − 40x+ 36x+ 15y − 15y = −50 + 72−4x = 22 / : (−4)x = 22

−4

x = −512

x in II 8 ·

(−5 1

2

)− 3y = 10

−3y − 44 = 10 / + 44−3y = 10 + 44−3y = 54 / : (−3)y = 54

−3

y = −18L = {−51

2/− 18}

Aufgabe (9)

www.fersch.de 41

Additionsverfahren (2) Lösungen

I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I − 12x+ 1y = 2 / ·

(−1

2

)II 1

2x− 3y = −3 / ·(−1

2

)I 1

4x− 12y = −1

II − 14x+ 1 1

2y = 1 12

I + III 1

4x− 14x− 1

2y + 1 12y = −1 + 1 1

21y = 1

2 / : 1

y =12

1y = 1

2y in II − 1

2x+ 1 · 12 = 2

−12x+ 1

2 = 2 /− 12

−12x = 2− 1

2−1

2x = 1 12 / :

(− 1

2

)x =

1 12

− 12

x = −3L = {−3/ 1

2}

I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I − 12x+ 1y = 2 / · (−3)

II 12x− 3y = −3 / · (−1)

I 112x− 3y = −6

II − 12x+ 3y = 3

I + III 11

2x− 12x− 3y + 3y = −6 + 3

1x = −3 / : 1x = −3

1x = −3x in II − 1

2 · (−3) + 1y = 21y + 1 1

2 = 2 /− 1 12

1y = 2− 112

1y = 12 / : 1

y =12

1y = 1

2L = {−3/ 1

2}

Aufgabe (10)

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I − 1x+ 1y = 3 / ·

(−1

2

)II 1

2x− 4y = 5 / · (−1)I 1

2x− 12y = −1 1

2II − 1

2x+ 4y = −5I + III 1

2x− 12x− 1

2y + 4y = −1 12 − 5

312y = −6 1

2 / : 3 12

y =−6 1

2

3 12

y = −1 67

y in II − 1x+ 1 ·

(−1 6

7

)= 3

−1x− 167 = 3 / + 1 6

7−1x = 3 + 1 6

7−1x = 4 6

7 / : (−1)

x =4 6

7

−1

x = −4 67

L = {−4 67/− 1 6

7}

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I − 1x+ 1y = 3 / · (−4)II 1

2x− 4y = 5 / · (−1)I 4x− 4y = −12II − 1

2x+ 4y = −5I + III 4x− 1

2x− 4y + 4y = −12− 53 12x = −17 / : 3 1

2x = −17

3 12

x = −4 67

x in II − 1 ·

(−4 6

7

)+ 1y = 3

1y + 4 67 = 3 /− 4 6

71y = 3− 4 6

71y = −1 6

7 / : 1

y =−1 6

7

1y = −1 6

7L = {−4 6

7/− 1 67}

Aufgabe (11)

www.fersch.de 42

Additionsverfahren (2) Lösungen

I 1 15x− 11

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I 1 15x− 11

3y = 5 13 / · 2 1

2II 2 1

2x− 14y = 12 3

8 / ·(−11

5

)I 3x− 3 1

3y = 13 13

II − 3x+ 310y = −14 17

20I + III 3x− 3x− 31

3y +310y = 13 1

3 − 14 1720

−3 130y = −1 31

60 / :(−3 1

30

)y =

−1 3160

−3 130

y = 12

y in II 1 1

5x− 113 · 1

2 = 5 13

115x− 2

3 = 5 13 / + 2

3115x = 5 1

3 + 23

115x = 6 / : 1 1

5x = 6

1 15

x = 5L = {5/ 1

2}

I 1 15x− 1 1

3y = 5 13

II 212x− 1

4y = 12 38

I 1 15x− 1 1

3y = 5 13 / ·

(−1

4

)II 21

2x− 14y = 12 3

8 / · 1 13

I − 310x+ 1

3y = −1 13

II 313x− 1

3y = 16 12

I + III − 3

10x+ 3 13x+ 1

3y −13y = −11

3 + 16 12

3 130x = 15 1

6 / : 3 130

x =15 1

6

3 130

x = 5x in II 1 1

5 · 5− 1 13y = 5 1

3−11

3y + 6 = 5 13 /− 6

−113y = 5 1

3 − 6−11

3y = −23 / :

(−1 1

3

)y =

− 23

−1 13

y = 12

L = {5/ 12}

Aufgabe (12)

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I 23x− 5

7y = 23 / · 1

II 1x+ 1y = 10 23 / ·

(− 2

3

)I 2

3x− 57y = 2

3II − 2

3x− 23y = −7 1

9I + III 2

3x− 23x− 5

7y −23y = 2

3 − 7 19

−1 821y = −6 4

9 / :(−1 8

21

)y =

−6 49

−1 821

y = 4 23

y in II 2

3x− 57 · 4 2

3 = 23

23x− 3 1

3 = 23 / + 3 1

323x = 2

3 + 3 13

23x = 4 / : 2

3x = 4

23

x = 6L = {6/4 2

3}

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I 23x− 5

7y = 23 / · (−1)

II 1x+ 1y = 10 23 / ·

(− 5

7

)I − 2

3x+ 57y = −2

3II − 5

7x− 57y = −7 13

21I + III − 2

3x− 57x+ 5

7y −57y = −2

3 − 71321

−1 821x = −8 2

7 / :(−1 8

21

)x =

−8 27

−1 821

x = 6x in II 2

3 · 6− 57y = 2

3− 5

7y + 4 = 23 /− 4

− 57y = 2

3 − 4− 5

7y = −313 / :

(−5

7

)y =

−3 13

− 57

y = 4 23

L = {6/4 23}

Aufgabe (13)

www.fersch.de 43

Additionsverfahren (2) Lösungen

I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I 1 1

2x− 2y = 9 / · 25

II 25x+ 1

3y = 5 / ·(−1 1

2

)I 3

5x− 45y = 3 3

5II − 3

5x− 12y = −7 1

2I + III 3

5x− 35x− 4

5y −12y = 3 3

5 − 712

−1 310y = −3 9

10 / :(−1 3

10

)y =

−3 910

−1 310

y = 3y in II 1 1

2x− 2 · 3 = 9112x− 6 = 9 / + 6

112x = 9 + 6

112x = 15 / : 1 1

2x = 15

1 12

x = 10L = {10/3}

I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I 1 1

2x− 2y = 9 / ·(−1

3

)II 2

5x+ 13y = 5 / · (−2)

I − 12x+ 2

3y = −3II − 4

5x− 23y = −10

I + III − 1

2x− 45x+ 2

3y −23y = −3− 10

−1 310x = −13 / :

(−1 3

10

)x = −13

−1 310

x = 10x in II 1 1

2 · 10− 2y = 9−2y + 15 = 9 /− 15−2y = 9− 15−2y = −6 / : (−2)y = −6

−2

y = 3L = {10/3}

Aufgabe (14)

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I 2x+ 3y = 4 / · 13

II 13x− 1

5y = 12 / · (−2)I 2

3x+ 1y = 1 13

II − 23x+ 2

5y = −24I + III 2

3x− 23x+ 1y + 2

5y = 1 13 − 24

125y = −22 2

3 / : 1 25

y =−22 2

3

1 25

y = −16 421

y in II 2x+ 3 ·

(−16 4

21

)= 4

2x− 48 47 = 4 / + 48 4

72x = 4 + 48 4

72x = 52 4

7 / : 2

x =52 4

7

2x = 26 2

7L = {26 2

7/− 16 421}

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I 2x+ 3y = 4 / · 15

II 13x− 1

5y = 12 / · 3I 2

5x+ 35y = 4

5II 1x− 3

5y = 36I + III 2

5x+ 1x+ 35y −

35y = 4

5 + 361 25x = 36 4

5 / : 1 25

x =36 4

5

1 25

x = 26 27

x in II 2 · 26 2

7 + 3y = 43y + 52 4

7 = 4 /− 52 47

3y = 4− 5247

3y = −4847 / : 3

y =−48 4

7

3y = −16 4

21L = {262

7/− 16 421}

Aufgabe (15)

www.fersch.de 44

Additionsverfahren (2) Lösungen

I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I 1x+ 2y = −4 / · (−1)II − 1x+ 2y = 5 / · (−1)I − 1x− 2y = 4II 1x− 2y = −5I + III − 1x+ 1x− 2y − 2y = 4− 5−4y = −1 / : (−4)y = −1

−4

y = 14

y in II 1x+ 2 · 1

4 = −41x+ 1

2 = −4 /− 12

1x = −4− 12

1x = −4 12 / : 1

x =−4 1

2

1x = −4 1

2L = {−4 1

2/14}

I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I 1x+ 2y = −4 / · 1II − 1x+ 2y = 5 / · (−1)I 1x+ 2y = −4II 1x− 2y = −5I + III 1x+ 1x+ 2y − 2y = −4− 52x = −9 / : 2x = −9

2x = −41

2x in II 1 ·

(−4 1

2

)+ 2y = −4

2y − 4 12 = −4 / + 4 1

22y = −4 + 4 1

22y = 1

2 / : 2

y =12

2y = 1

4L = {−41

2/14}

Aufgabe (16)

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I 2x+ 4y = 4 / · 1

2II − 1

2x+ 3y = 3 / · 2I 1x+ 2y = 2II − 1x+ 6y = 6I + III 1x− 1x+ 2y + 6y = 2 + 68y = 8 / : 8y = 8

8y = 1y in II 2x+ 4 · 1 = 42x+ 4 = 4 /− 42x = 4− 42x = 0 / : 2x = 0

2x = 0L = {0/1}

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I 2x+ 4y = 4 / · 3II − 1

2x+ 3y = 3 / · (−4)I 6x+ 12y = 12II 2x− 12y = −12I + III 6x+ 2x+ 12y − 12y = 12− 128x = 0 / : 8x = 0

8x = 0x in II 2 · 0 + 4y = 44y + 0 = 4 /− 04y = 4− 04y = 4 / : 4y = 4

4y = 1L = {0/1}

Aufgabe (17)

www.fersch.de 45

Additionsverfahren (2) Lösungen

I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I − 1

2x+ 4y = 6 / · (−2)II − 2x− 8y = 2 / · 1

2I 1x− 8y = −12II − 1x− 4y = 1I + III 1x− 1x− 8y − 4y = −12 + 1−12y = −11 / : (−12)y = −11

−12

y = 1112

y in II − 1

2x+ 4 · 1112 = 6

−12x+ 3 2

3 = 6 /− 3 23

−12x = 6− 3 2

3−1

2x = 2 13 / :

(− 1

2

)x =

2 13

− 12

x = −4 23

L = {−4 23/

1112}

I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I − 1

2x+ 4y = 6 / · (−2)II − 2x− 8y = 2 / · (−1)I 1x− 8y = −12II 2x+ 8y = −2I + III 1x+ 2x− 8y + 8y = −12− 23x = −14 / : 3x = −14

3x = −4 2

3x in II − 1

2 ·(−4 2

3

)+ 4y = 6

4y + 2 13 = 6 /− 21

34y = 6− 2 1

34y = 3 2

3 / : 4

y =3 2

3

4y = 11

12L = {−4 2

3/1112}

Aufgabe (18)

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I 1x+ 1y = 1 / · 2II 2x+ 2y = 2 / · (−1)I 2x+ 2y = 2II − 2x− 2y = −2I + III 2x− 2x+ 2y − 2y = 2− 2

L = unendlich

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I 1x+ 1y = 1 / · 2II 2x+ 2y = 2 / · (−1)I 2x+ 2y = 2II − 2x− 2y = −2I + III 2x− 2x+ 2y − 2y = 2− 2

L = unendlich

Aufgabe (19)

I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I 1x+ 1y = 2 / · 3II 3x+ 3y = 3 / · (−1)I 3x+ 3y = 6II − 3x− 3y = −3I + III 3x− 3x+ 3y − 3y = 6− 3

L = {}

I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I 1x+ 1y = 2 / · 3II 3x+ 3y = 3 / · (−1)I 3x+ 3y = 6II − 3x− 3y = −3I + III 3x− 3x+ 3y − 3y = 6− 3

L = {}

Aufgabe (20)

www.fersch.de 46

Additionsverfahren (2) Lösungen

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1 / ·(−2

3

)II − 2

3x+ 19y = 9 / · 1 4

5I 1 1

5x− 89y = 2

3II − 1 1

5x+ 15y = 16 1

5I + III 1 1

5x− 115x− 8

9y +15y = 2

3 + 16 15

−3145y = 16 13

15 / :(− 31

45

)y =

16 1315

− 3145

y = −24 1531

y in II − 1 4

5x+ 1 13 ·

(−2415

31

)= −1

−1 45x− 32 20

31 = −1 / + 32 2031

−1 45x = −1 + 32 20

31−1 4

5x = 31 2031 / :

(−14

5

)x =

31 2031

−1 45

x = −17 1831

L = {−17 1831/− 24 15

31}

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1 / · 19

II − 23x+ 1

9y = 9 / ·(−1 1

3

)I − 1

5x+ 427y = −1

9II 8

9x− 427y = −12

I + III − 1

5x+ 89x+ 4

27y −427y = − 1

9 − 123145x = −121

9 / : 3145

x =−12 1

93145

x = −17 1831

x in II − 1 4

5 ·(−17 18

31

)+ 1 1

3y = −1113y + 31 20

31 = −1 /− 31 2031

113y = −1− 31 20

31113y = −32 20

31 / : 1 13

y =−32 20

31

1 13

y = −24 1531

L = {−17 1831/− 24 15

31}

Aufgabe (21)

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I 2x− 7y = −8 / · 7II 7x− 1y = −9 / · (−2)I 14x− 49y = −56II − 14x+ 2y = 18I + III 14x− 14x− 49y + 2y = −56 + 18−47y = −38 / : (−47)y = −38

−47

y = 3847

y in II 2x− 7 · 38

47 = −82x− 531

47 = −8 / + 5 3147

2x = −8 + 5 3147

2x = −2 1647 / : 2

x =−2 16

47

2x = −1 8

47L = {−1 8

47/3847}

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I 2x− 7y = −8 / · (−1)II 7x− 1y = −9 / · 7I − 2x+ 7y = 8II 49x− 7y = −63I + III − 2x+ 49x+ 7y − 7y = 8− 6347x = −55 / : 47x = −55

47x = −1 8

47x in II 2 ·

(−1 8

47

)− 7y = −8

−7y − 2 1647 = −8 / + 2 16

47−7y = −8 + 2 16

47−7y = −5 31

47 / : (−7)

y =−5 31

47

−7

y = 3847

L = {−1 847/

3847}

Aufgabe (22)

www.fersch.de 47

Additionsverfahren (2) Lösungen

I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I − 7x+ 9y = −3 / · 5II 5x− 6y = −4 / · 7I − 35x+ 45y = −15II 35x− 42y = −28I + III − 35x+ 35x+ 45y − 42y = −15− 283y = −43 / : 3y = −43

3y = −14 1

3y in II − 7x+ 9 ·

(−14 1

3

)= −3

−7x− 129 = −3 / + 129−7x = −3 + 129−7x = 126 / : (−7)x = 126

−7

x = −18L = {−18/− 14 1

3}

I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I − 7x+ 9y = −3 / · (−2)II 5x− 6y = −4 / · (−3)I 14x− 18y = 6II − 15x+ 18y = 12I + III 14x− 15x− 18y + 18y = 6 + 12−1x = 18 / : (−1)x = 18

−1

x = −18x in II − 7 · (−18) + 9y = −39y + 126 = −3 /− 1269y = −3− 1269y = −129 / : 9y = −129

9y = −14 1

3L = {−18/− 14 1

3}

Aufgabe (23)

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I 2x+ 2y = 1 7

10 / · 3II 3x+ 6y = 3 / · (−2)I 6x+ 6y = 5 1

10II − 6x− 12y = −6I + III 6x− 6x+ 6y − 12y = 5 1

10 − 6−6y = − 9

10 / : (−6)

y =− 9

10

−6

y = 320

y in II 2x+ 2 · 3

20 = 1 710

2x+ 310 = 1 7

10 /− 310

2x = 1 710 − 3

102x = 1 2

5 / : 2

x =1 2

5

2x = 7

10L = { 7

10/320}

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I 2x+ 2y = 1 7

10 / · 3II 3x+ 6y = 3 / · (−1)I 6x+ 6y = 5 1

10II − 3x− 6y = −3I + III 6x− 3x+ 6y − 6y = 5 1

10 − 33x = 2 1

10 / : 3

x =2 1

10

3x = 7

10x in II 2 · 7

10 + 2y = 1 710

2y + 1 25 = 1 7

10 /− 1 25

2y = 1 710 − 12

52y = 3

10 / : 2

y =310

2y = 3

20L = { 7

10/320}

Aufgabe (24)

www.fersch.de 48

Additionsverfahren (2) Lösungen

I 5x+ 6y = 7II 4x+ 6y = 4I 5x+ 6y = 7 / · 4II 4x+ 6y = 4 / · (−5)I 20x+ 24y = 28II − 20x− 30y = −20I + III 20x− 20x+ 24y − 30y = 28− 20−6y = 8 / : (−6)y = 8

−6

y = −1 13

y in II 5x+ 6 ·

(−11

3

)= 7

5x− 8 = 7 / + 85x = 7 + 85x = 15 / : 5x = 15

5x = 3L = {3/− 1 1

3}

I 5x+ 6y = 7II 4x+ 6y = 4I 5x+ 6y = 7 / · 1II 4x+ 6y = 4 / · (−1)I 5x+ 6y = 7II − 4x− 6y = −4I + III 5x− 4x+ 6y − 6y = 7− 41x = 3 / : 1x = 3

1x = 3x in II 5 · 3 + 6y = 76y + 15 = 7 /− 156y = 7− 156y = −8 / : 6y = −8

6y = −11

3L = {3/− 11

3}

Aufgabe (25)

I 12x+ 6y = 7II 16x+ 6y = 4I 12x+ 6y = 7 / · 4II 16x+ 6y = 4 / · (−3)I 48x+ 24y = 28II − 48x− 18y = −12I + III 48x− 48x+ 24y − 18y = 28− 126y = 16 / : 6y = 16

6y = 2 2

3y in II 12x+ 6 · 2 2

3 = 712x+ 16 = 7 /− 1612x = 7− 1612x = −9 / : 12x = −9

12x = − 3

4L = {−3

4/223}

I 12x+ 6y = 7II 16x+ 6y = 4I 12x+ 6y = 7 / · 1II 16x+ 6y = 4 / · (−1)I 12x+ 6y = 7II − 16x− 6y = −4I + III 12x− 16x+ 6y − 6y = 7− 4−4x = 3 / : (−4)x = 3

−4

x = −34

x in II 12 ·

(− 3

4

)+ 6y = 7

6y − 9 = 7 / + 96y = 7 + 96y = 16 / : 6y = 16

6y = 2 2

3L = {−3

4/223}

www.fersch.de 49

2-reihige Determinante

4 2-reihige Determinante

D =

∣∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣∣ = a · d− b · cD =

∣∣∣∣ 3 −24 5

∣∣∣∣ = 3 · 5− (−2) · 4 = 23

4.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben: D =

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣Gesucht:Wert der Determinante D

(1) D =

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣(2) D =

∣∣∣∣ −12 02 3

∣∣∣∣(3) D =

∣∣∣∣ −12 26 0

∣∣∣∣(4) D =

∣∣∣∣ −2 −80 −3

∣∣∣∣(5) D =

∣∣∣∣ 14 0−2 −1

∣∣∣∣(6) D =

∣∣∣∣ 14 −1−2 4

∣∣∣∣(7) D =

∣∣∣∣ 12

15

2 5

∣∣∣∣(8) D =

∣∣∣∣ 2 40 1

∣∣∣∣(9) D =

∣∣∣∣ −12 25 4

∣∣∣∣(10) D =

∣∣∣∣ −2 34 − 1

3

∣∣∣∣(11) D =

∣∣∣∣ 12 6−2 4

5

∣∣∣∣(12) D =

∣∣∣∣ − 13

25

5 0

∣∣∣∣

(13) D =

∣∣∣∣ −3 23

12

23

∣∣∣∣(14) D =

∣∣∣∣ 1 69 3

∣∣∣∣(15) D =

∣∣∣∣ 7 51 1

∣∣∣∣(16) D =

∣∣∣∣ 8 52 4

∣∣∣∣(17) D =

∣∣∣∣ 712 4 3

419

67

∣∣∣∣(18) D =

∣∣∣∣ 513 1 3

523

1117

∣∣∣∣(19) D =

∣∣∣∣ 15

12

1 114

1117

∣∣∣∣(20) D =

∣∣∣∣ 3 56 7

∣∣∣∣(21) D =

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣(22) D =

∣∣∣∣ 4 67 8

∣∣∣∣(23) D =

∣∣∣∣ 3 −24 5

∣∣∣∣

www.fersch.de 50

2-reihige Determinante Lösungen

4.2 LösungenAufgabe (1)

D =

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 3 = (−2)

Aufgabe (2)

D =

∣∣∣∣ − 12 02 3

∣∣∣∣ = (−1

2

)· 3− 0 · 2 =

(−11

2

)

Aufgabe (3)

D =

∣∣∣∣ − 12 26 0

∣∣∣∣ = (−1

2

)· 0− 2 · 6 = (−12)

Aufgabe (4)

D =

∣∣∣∣ −2 −80 −3

∣∣∣∣ = (−2) · (−3)− (−8) · 0 = 6

Aufgabe (5)

D =

∣∣∣∣ 14 0−2 −1

∣∣∣∣ = 14 · (−1)− 0 · (−2) =

(−1

4

)

Aufgabe (6)

D =

∣∣∣∣ 14 −1−2 4

∣∣∣∣ = 14 · 4− (−1) · (−2) = (−1)

Aufgabe (7)

D =

∣∣∣∣ 12

15

2 5

∣∣∣∣ = 12 · 5− 1

5 · 2 = 2 110

Aufgabe (8)

D =

∣∣∣∣ 2 40 1

∣∣∣∣ = 2 · 1− 4 · 0 = 2

Aufgabe (9)

D =

∣∣∣∣ −12 25 4

∣∣∣∣ = (−1

2

)· 4− 2 · 5 = (−12)

Aufgabe (10)

D =

∣∣∣∣ −2 34 − 1

3

∣∣∣∣ = (−2) ·(−1

3

)− 3 · 4 =

(−11 1

3

)

Aufgabe (11)

D =

∣∣∣∣ 12 6−2 4

5

∣∣∣∣ = 12 · 4

5 − 6 · (−2) = 12 25

Aufgabe (12)

D =

∣∣∣∣ −13

25

5 0

∣∣∣∣ = (−1

3

)· 0− 2

5 · 5 = (−2)

Aufgabe (13)

D =

∣∣∣∣ −3 23

12

23

∣∣∣∣ = (−3) · 23 − 2

3 · 12 =

(−2 1

3

)

Aufgabe (14)

D =

∣∣∣∣ 1 69 3

∣∣∣∣ = 1 · 3− 6 · 9 = (−51)

Aufgabe (15)

D =

∣∣∣∣ 7 51 1

∣∣∣∣ = 7 · 1− 5 · 1 = 2

Aufgabe (16)

D =

∣∣∣∣ 8 52 4

∣∣∣∣ = 8 · 4− 5 · 2 = 22

Aufgabe (17)

D =

∣∣∣∣ 712 4 3

419

67

∣∣∣∣ = 712 · 6

7 − 4 34 · 1

9 =(− 1

36

)

Aufgabe (18)

www.fersch.de 51

2-reihige Determinante Lösungen

D =

∣∣∣∣ 5 13 1 3

523

1117

∣∣∣∣ = 5 13 · 11

17 − 135 · 2

3 = 2, 38

Aufgabe (19)

D =

∣∣∣∣ 15

12

1 114

1117

∣∣∣∣ = 15 · 11

17 − 12 · 1 1

14 = (−0, 406)

Aufgabe (20)

D =

∣∣∣∣ 3 56 7

∣∣∣∣ = 3 · 7− 5 · 6 = (−9)

Aufgabe (21)

D =

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ = 3 · 6− 4 · 5 = (−2)

Aufgabe (22)

D =

∣∣∣∣ 4 67 8

∣∣∣∣ = 4 · 8− 6 · 7 = (−10)

Aufgabe (23)

D =

∣∣∣∣ 3 −24 5

∣∣∣∣ = 3 · 5− (−2) · 4 = 23

www.fersch.de 52

3-reihige Determinante

5 3-reihige DeterminanteRegel von Sarrus

D=a1 b1 c1 a1 b1

a2 b2 c2 a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3

+ + +

- - -

Z~ Z~ Z~Z~ Z~ Z~�= �= �=

�= �= �=

D = a1 · b2 · c3 + b1 · c2 · a3 + c1 · a2 · b3−c1 · b2 · a3− a1 · c2 · b3− b1 · a2 · c3

D =

∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3−4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54

5.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung

Gegeben: D =

∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣Gesucht:Wert der Determinante D

(1) D =

∣∣∣∣∣∣1 −2 3−4 5 67 8 −9

∣∣∣∣∣∣(2) D =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣(3) D =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 2 32 6 0

∣∣∣∣∣∣(4) D =

∣∣∣∣∣∣−2 −8 0−3 1

4 0−2 −1 8

∣∣∣∣∣∣(5) D =

∣∣∣∣∣∣14 −1 −24 7 1

215 2 5

∣∣∣∣∣∣(6) D =

∣∣∣∣∣∣14 2 40 4 −1

22 5 4

∣∣∣∣∣∣(7) D =

∣∣∣∣∣∣−2 3 4−1

312 6

−2 4 45

∣∣∣∣∣∣(8) D =

∣∣∣∣∣∣6 5 66 3 36 6 2

∣∣∣∣∣∣

(9) D =

∣∣∣∣∣∣1 9 44 8 26 3 1

∣∣∣∣∣∣(10) D =

∣∣∣∣∣∣1 2 68 3 94 8 1

∣∣∣∣∣∣(11) D =

∣∣∣∣∣∣1415 2 4

5 11 613 1 1

2 191 38

516

111

∣∣∣∣∣∣(12) D =

∣∣∣∣∣∣117 14 1

41 217

13 6 1

223

811

817

∣∣∣∣∣∣(13) D =

∣∣∣∣∣∣145

913 3 3

425 1 5

14 558

12 1

∣∣∣∣∣∣(14) D =

∣∣∣∣∣∣2 4 00 0 50 4 5

∣∣∣∣∣∣(15) D =

∣∣∣∣∣∣2 4 00 5 00 0 6

∣∣∣∣∣∣(16) D =

∣∣∣∣∣∣4 6 00 7 80 0 7

∣∣∣∣∣∣

www.fersch.de 53

3-reihige Determinante Lösungen

5.2 LösungenAufgabe (1)

D =

∣∣∣∣∣∣1 −2 3−4 5 67 8 −9

∣∣∣∣∣∣1 −2−4 57 8

D = 1 · 5 · (−9) + (−2) · 6 · 7 + 3 · (−4) · 8− 3 · 5 · 7− 1 · 6 · 8− (−2) · (−4) · (−9) = −306

Aufgabe (2)

D =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣1 24 57 8

D = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8− 3 · 5 · 7− 1 · 6 · 8− 2 · 4 · 9 = 0

Aufgabe (3)

D =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 2 32 6 0

∣∣∣∣∣∣1 24 22 6

D = 1 · 2 · 0 + 2 · 3 · 2 + 3 · 4 · 6− 3 · 2 · 2− 1 · 3 · 6− 2 · 4 · 0 = 54

Aufgabe (4)

D =

∣∣∣∣∣∣−2 −8 0−3 1

4 0−2 −1 8

∣∣∣∣∣∣−2 −8−3 1

4−2 −1

D = (−2) · 14 · 8 + (−8) · 0 · (−2) + 0 · (−3) · (−1)

− 0 · 14 · (−2)− (−2) · 0 · (−1)− (−8) · (−3) · 8 = −196

Aufgabe (5)

D =

∣∣∣∣∣∣14 −1 −24 7 1

215 2 5

∣∣∣∣∣∣14 −14 715 2

D = 14 · 7 · 5 + (−1) · 1

2 · 15 + (−2) · 4 · 2

− (−2) · 7 · 15 − 1

4 · 12 · 2− (−1) · 4 · 5 = 15 1

5

Aufgabe (6)

D =

∣∣∣∣∣∣14 2 40 4 − 1

22 5 4

∣∣∣∣∣∣14 20 42 5

www.fersch.de 54

3-reihige Determinante Lösungen

D = 14 · 4 · 4 + 2 ·

(−1

2

)· 2 + 4 · 0 · 5

− 4 · 4 · 2− 14 ·

(−1

2

)· 5− 2 · 0 · 4 = −293

8

Aufgabe (7)

D =

∣∣∣∣∣∣−2 3 4− 1

312 6

−2 4 45

∣∣∣∣∣∣−2 3−1

312

−2 4

D = (−2) · 12 · 4

5 + 3 · 6 · (−2) + 4 ·(− 1

3

)· 4

− 4 · 12 · (−2)− (−2) · 6 · 4− 3 ·

(−1

3

)· 45 = 10 2

3

Aufgabe (8)

D =

∣∣∣∣∣∣6 5 66 3 36 6 2

∣∣∣∣∣∣6 56 36 6

D = 6 · 3 · 2 + 5 · 3 · 6 + 6 · 6 · 6− 6 · 3 · 6− 6 · 3 · 6− 5 · 6 · 2 = 66

Aufgabe (9)

D =

∣∣∣∣∣∣1 9 44 8 26 3 1

∣∣∣∣∣∣1 94 86 3

D = 1 · 8 · 1 + 9 · 2 · 6 + 4 · 4 · 3− 4 · 8 · 6− 1 · 2 · 3− 9 · 4 · 1 = −70

Aufgabe (10)

D =

∣∣∣∣∣∣1 2 68 3 94 8 1

∣∣∣∣∣∣1 28 34 8

D = 1 · 3 · 1 + 2 · 9 · 4 + 6 · 8 · 8− 6 · 3 · 4− 1 · 9 · 8− 2 · 8 · 1 = 299

Aufgabe (11)

D =

∣∣∣∣∣∣1415 2 4

5 11 613 1 1

2 191 38

516

111

∣∣∣∣∣∣1415 2 4

51 613 1 1

21 38

516

D = 1415 · 1 1

2 · 111 + 2 4

5 · 19 · 138 + 1 · 1 6

13 · 516

− 1 · 1 12 · 1 3

8 − 1415 · 19 · 5

16 − 245 · 1 6

13 · 111 = 65, 8

Aufgabe (12)

www.fersch.de 55

3-reihige Determinante Lösungen

D =

∣∣∣∣∣∣117 14 1

41 217

13 61

223

811

817

∣∣∣∣∣∣117 141 217

13

23

811

D = 117 · 1

3 · 817 + 14 · 61

2 · 23 + 1

4 · 1 217 · 8

11− 1

4 · 13 · 2

3 − 117 · 61

2 · 811 − 14 · 1 2

17 · 817 = 53, 2

Aufgabe (13)

D =

∣∣∣∣∣∣1 45

913 33

425 1 5

14 558

12 1

∣∣∣∣∣∣1 45

913

25 1 5

1458

12

D = 1 45 · 1 5

14 · 1 + 913 · 5 · 5

8 + 3 34 · 2

5 · 12

− 334 · 1 5

14 · 58 − 1 4

5 · 5 · 12 − 9

13 · 25 · 1 = −2, 6

Aufgabe (14)

D =

∣∣∣∣∣∣2 4 00 0 50 4 5

∣∣∣∣∣∣2 40 00 4

D = 2 · 0 · 5 + 4 · 5 · 0 + 0 · 0 · 4− 0 · 0 · 0− 2 · 5 · 4− 4 · 0 · 5 = −40

Aufgabe (15)

D =

∣∣∣∣∣∣2 4 00 5 00 0 6

∣∣∣∣∣∣2 40 50 0

D = 2 · 5 · 6 + 4 · 0 · 0 + 0 · 0 · 0− 0 · 5 · 0− 2 · 0 · 0− 4 · 0 · 6 = 60

Aufgabe (16)

D =

∣∣∣∣∣∣4 6 00 7 80 0 7

∣∣∣∣∣∣4 60 70 0

D = 4 · 7 · 7 + 6 · 8 · 0 + 0 · 0 · 0− 0 · 7 · 0− 4 · 8 · 0− 6 · 0 · 7 = 196

www.fersch.de 56

Determinantenverfahren (2)

6 Determinantenverfahren (2)I a1 · x+ b1 · y = c1

II a2 · x+ b2 · y = c42

Dh =a1 b1

a2 b2= a1 · b2− b1 · a2

Dx =c1 b1

c2 b2= c1 · b2− b1 · c2

Dy =a1 c1

a2 c2= a1 · c2− c1 · a2

• Eindeutige Lösung Dh ̸= 0

x = Dx

Dh

y =Dy

Dh

• Keine Lösung Dh = 0

Dx ̸= 0 oder Dy ̸= 0

• Unendlich viele LösungenDh = Dx = Dy = 0

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31

Dh =3 57 5

= 3 · 5− 5 · 7 = −20

Dx =19 531 5

= 19 · 5− 5 · 31 = −60

Dy =3 197 31

= 3 · 31− 19 · 7 = −40

x = −60−20

x = 3y = −40

−20

y = 2L = {3/2}

6.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungDh =

a1 b1a2 b2

= a1 · b2− b1 · a2

Dx =c1 b1c2 b2

= c1 · b2− b1 · c2

Dy =a1 c1a2 c2

= a1 · c2− c1 · a2

x = Dx

Dh

y =Dy

Dh

(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31

(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4

(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1

(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7

(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6

(6) 7x+ 1 12y = 1

2x− 5y = 22

www.fersch.de 57

Determinantenverfahren (2) Aufgaben

(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0

(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24

(9) −12x+ 1y = 2

12x− 3y = −3

(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5

(11) 1 15x− 1 1

3y = 5 13

2 12x− 1

4y = 12 38

(12)23x− 5

7y = 23

1x+ 1y = 10 23

(13) 1 12x− 2y = 9

25x+ 1

3y = 5

(14) 2x+ 3y = 413x− 1

5y = 12

(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5

(16) 2x+ 4y = 4−1

2x+ 3y = 3

(17) −12x+ 4y = 6

−2x− 8y = 2

(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2

(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3

(20) −1 45x+ 1 1

3y = −1−2

3x+ 19y = 9

(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9

(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4

(23) 2x+ 2y = 1 710

3x+ 6y = 3

(24) 4x+ 6y = 75x+ 6y = 5

www.fersch.de 58

Determinantenverfahren (2) Lösungen

6.2 LösungenAufgabe (1)

Dh =3 57 5

= 3 · 5− 5 · 7 = −20

Dx =19 531 5

= 19 · 5− 5 · 31 = −60

Dy =3 197 31

= 3 · 31− 19 · 7 = −40

x = −60−20

x = 3y = −40

−20y = 2L = {3/2}

Aufgabe (2)

Dh =1 11 −1

= 1 · (−1)− 1 · 1 = −2

Dx =10 14 −1

= 10 · (−1)− 1 · 4 = −14

Dy =1 101 4

= 1 · 4− 10 · 1 = −6

x = −14−2

x = 7y = −6

−2y = 3L = {7/3}

Aufgabe (3)

Dh =9 −25 −2

= 9 · (−2)− (−2) · 5 = −8

Dx =5 −21 −2

= 5 · (−2)− (−2) · 1 = −8

Dy =9 55 1

= 9 · 1− 5 · 5 = −16

x = −8−8

x = 1y = −16

−8y = 2L = {1/2}

Aufgabe (4)

Dh =9 −2−3 −3

= 9 · (−3)− (−2) · (−3) = −33

www.fersch.de 59

Determinantenverfahren (2) Lösungen

Dx =1 −2−7 −3

= 1 · (−3)− (−2) · (−7) = −17

Dy =9 1−3 −7

= 9 · (−7)− 1 · (−3) = −60

x = −17−33

x = 1733

y = −60−33

y = 1 911

L = {1733/1

911}

Aufgabe (5)

Dh =1 33 −2

= 1 · (−2)− 3 · 3 = −11

Dx =9 3−6 −2

= 9 · (−2)− 3 · (−6) = 0

Dy =1 93 −6

= 1 · (−6)− 9 · 3 = −33

x = 0−11

x = 0y = −33

−11y = 3L = {0/3}

Aufgabe (6)

Dh =7 1 1

22 −5

= 7 · (−5)− 112 · 2 = −38

Dx =1 1 1

222 −5

= 1 · (−5)− 1 12 · 22 = −38

Dy =7 12 22

= 7 · 22− 1 · 2 = 152

x = −38−38

x = 1y = 152

−38y = −4L = {1/− 4}

Aufgabe (7)

Dh =4 −5−3 −7

= 4 · (−7)− (−5) · (−3) = −43

Dx =43 −50 −7

= 43 · (−7)− (−5) · 0 = −301

Dy =4 43−3 0

= 4 · 0− 43 · (−3) = 129

x = −301−43

www.fersch.de 60

Determinantenverfahren (2) Lösungen

x = 7y = 129

−43y = −3L = {7/− 3}

Aufgabe (8)

Dh =8 −312 −5

= 8 · (−5)− (−3) · 12 = −4

Dx =10 −324 −5

= 10 · (−5)− (−3) · 24 = 22

Dy =8 1012 24

= 8 · 24− 10 · 12 = 72

x = 22−4

x = −5 12

y = 72−4

y = −18L = {−51

2/− 18}

Aufgabe (9)

Dh =−1

2 112 −3

= − 12 · (−3)− 1 · 1

2 = 1

Dx =2 1−3 −3

= 2 · (−3)− 1 · (−3) = −3

Dy =− 1

2 212 −3

= −12 · (−3)− 2 · 1

2 = 12

x = −31

x = −3

y =12

1y = 1

2L = {−3/1

2}

Aufgabe (10)

Dh =−1 112 −4

= −1 · (−4)− 1 · 12 = 3 1

2

Dx =3 15 −4

= 3 · (−4)− 1 · 5 = −17

Dy =−1 312 5

= −1 · 5− 3 · 12 = −6 1

2

x = −173 1

2

x = −4 67

y =−6 1

2

3 12

y = −167

L = {−467/− 16

7}

www.fersch.de 61

Determinantenverfahren (2) Lösungen

Aufgabe (11)

Dh =115 −1 1

3212 − 1

4

= 1 15 ·

(− 1

4

)−

(−1 1

3

)· 21

2 = 3 130

Dx =5 13 −11

312 3

8 −14

= 5 13 ·

(−1

4

)−(−11

3

)· 12 3

8 = 15 16

Dy =1 15 5 1

32 12 12 3

8

= 1 15 · 123

8 − 513 · 21

2 = 1 3160

x =15 1

6

3 130

x = 5y =

1 3160

3 130

y = 12

L = {5/ 12}

Aufgabe (12)

Dh =23 − 5

71 1

= 23 · 1−

(−5

7

)· 1 = 1 8

21

Dx =23 −5

710 2

3 1= 2

3 · 1−(− 5

7

)· 102

3 = 8 27

Dy =23

23

1 10 23

= 23 · 10 2

3 − 23 · 1 = 6 4

9

x =8 2

7

1 821

x = 6y =

6 49

1 821

y = 4 23

L = {6/4 23}

Aufgabe (13)

Dh =112 −225

13

= 1 12 · 1

3 − (−2) · 25 = 1 3

10

Dx =9 −25 1

3

= 9 · 13 − (−2) · 5 = 13

Dy =1 12 925 5

= 1 12 · 5− 9 · 2

5 = 3 910

x = 131 3

10

x = 10y =

3 910

1 310

y = 3L = {10/3}

www.fersch.de 62

Determinantenverfahren (2) Lösungen

Aufgabe (14)

Dh =2 313 − 1

5

= 2 ·(−1

5

)− 3 · 1

3 = −1 25

Dx =4 312 −1

5

= 4 ·(− 1

5

)− 3 · 12 = −36 4

5

Dy =2 413 12

= 2 · 12− 4 · 13 = 22 2

3

x =−36 4

5

−1 25

x = 26 27

y =22 2

3

−1 25

y = −16 421

L = {26 27/− 16 4

21}

Aufgabe (15)

Dh =1 2−1 2

= 1 · 2− 2 · (−1) = 4

Dx =−4 25 2

= −4 · 2− 2 · 5 = −18

Dy =1 −4−1 5

= 1 · 5− (−4) · (−1) = 1

x = −184

x = −4 12

y = 14

y = 14

L = {−412/

14}

Aufgabe (16)

Dh =2 4−1

2 3= 2 · 3− 4 ·

(− 1

2

)= 8

Dx =4 43 3

= 4 · 3− 4 · 3 = 0

Dy =2 4− 1

2 3= 2 · 3− 4 ·

(−1

2

)= 8

x = 08

x = 0y = 8

8y = 1L = {0/1}

Aufgabe (17)

Dh =−1

2 4−2 −8

= − 12 · (−8)− 4 · (−2) = 12

www.fersch.de 63

Determinantenverfahren (2) Lösungen

Dx =6 42 −8

= 6 · (−8)− 4 · 2 = −56

Dy =− 1

2 6−2 2

= − 12 · 2− 6 · (−2) = 11

x = −5612

x = −4 23

y = 1112

y = 1112

L = {−423/

1112}

Aufgabe (18)

Dh =1 12 2

= 1 · 2− 1 · 2 = 0

Dx =1 12 2

= 1 · 2− 1 · 2 = 0

Dy =1 12 2

= 1 · 2− 1 · 2 = 0

L = {unendlich}

Aufgabe (19)

Dh =1 13 3

= 1 · 3− 1 · 3 = 0

Dx =2 13 3

= 2 · 3− 1 · 3 = 3

Dy =1 23 3

= 1 · 3− 2 · 3 = −3

L = {}

Aufgabe (20)

Dh =−14

5 1 13

−23

19

= −145 · 1

9 − 1 13 ·

(−2

3

)= 31

45

Dx =−1 1 1

39 1

9

= −1 · 19 − 1 1

3 · 9 = −1219

Dy =−1 4

5 −1− 2

3 9= −1 4

5 · 9− (−1) ·(−2

3

)= −1613

15

x =−12 1

93145

x = −17 1831

y =−16 13

153145

y = −24 1531

L = {−171831/− 24 15

31}

Aufgabe (21)

www.fersch.de 64

Determinantenverfahren (2) Lösungen

Dh =2 −77 −1

= 2 · (−1)− (−7) · 7 = 47

Dx =−8 −7−9 −1

= −8 · (−1)− (−7) · (−9) = −55

Dy =2 −87 −9

= 2 · (−9)− (−8) · 7 = 38

x = −5547

x = −1 847

y = 3847

y = 3847

L = {−1 847/

3847}

Aufgabe (22)

Dh =−7 95 −6

= −7 · (−6)− 9 · 5 = −3

Dx =−3 9−4 −6

= −3 · (−6)− 9 · (−4) = 54

Dy =−7 −35 −4

= −7 · (−4)− (−3) · 5 = 43

x = 54−3

x = −18y = 43

−3

y = −14 13

L = {−18/− 14 13}

Aufgabe (23)

Dh =2 23 6

= 2 · 6− 2 · 3 = 6

Dx =1 710 23 6

= 1 710 · 6− 2 · 3 = 4 1

5

Dy =2 1 7

103 3

= 2 · 3− 1 710 · 3 = 9

10

x =4 1

5

6x = 7

10

y =910

6y = 3

20L = { 7

10/320}

Aufgabe (24)

Dh =4 65 6

= 4 · 6− 6 · 5 = −6

Dx =7 65 6

= 7 · 6− 6 · 5 = 12

www.fersch.de 65

Determinantenverfahren (2) Lösungen

Dy =4 75 5

= 4 · 5− 7 · 5 = −15

x = 12−6

x = −2y = −15

−6

y = 2 12

L = {−2/2 12}

www.fersch.de 66

Determinantenverfahren (3)

7 Determinantenverfahren (3)a1x+ b1y + c1z = d1

a2x+ b2y + c2z = d2

a3x+ b3y + c3z = d3

Dh =

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1

a2 b2

a3 b3Dh = a1 · b2 · c3 + b1 · c2 · a3 + c1 · a2 · b3− c1 ·b2 · a3− a1 · c2 · b3− b1 · a2 · c3

Dx =

∣∣∣∣∣∣∣d1 b1 c1

d2 b2 c2

d3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣d1 b1

d2 b2

d3 b3Dx = d1 · b2 · c3 + b1 · c2 · d3 + c1 · d2 · b3− c1 ·b2 · d3− d1 · c2 · b3− b1 · d2 · c3

Dy =

∣∣∣∣∣∣∣a1 d1 c1

a2 d2 c2

a3 d3 c3

∣∣∣∣∣∣∣a1 d1

a2 d2

a3 d3Dy = a1 · d2 · c3 + d1 · c2 · a3 + c1 · a2 · d3− c1 ·d2 · a3− a1 · c2 · d3− d1 · a2 · c3

Dz =

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 d1

a2 b2 d2

a3 b3 d3

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1

a2 b2

a3 b3Dz = a1 · b2 · d3 + b1 · d2 · a3 + d1 · a2 · b3− d1 ·b2 · a3− a1 · d2 · b3− b1 · a2 · d3 = 0

• Eindeutige Lösung Dh ̸= 0

x = Dx

Dh

y =Dy

Dh

z = Dz

Dh

• Keine Lösung Dh = 0 Dx ̸= 0 oder Dy ̸=0 oder Dz ̸= 0

• Unendlich viele LösungenDh = Dx = Dy = Dz = 0

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

Dh =

∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3−4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54

Dx =

∣∣∣∣∣∣37 13 440 14 515 3 3

∣∣∣∣∣∣37 1340 1415 3

Dx = 37 · 14 · 3 + 13 · 5 · 15 + 4 · 40 · 3−4 · 14 · 15− 37 · 5 · 3− 13 · 40 · 3 = 54

Dy =

∣∣∣∣∣∣11 37 412 40 59 15 3

∣∣∣∣∣∣11 3712 409 15

Dy = 11 · 40 · 3 + 37 · 5 · 9 + 4 · 12 · 15−4 · 40 · 9− 11 · 5 · 15− 37 · 12 · 3 = 108

Dz =

∣∣∣∣∣∣11 13 3712 14 409 3 15

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dz = 11 · 14 · 15 + 13 · 40 · 9 + 37 · 12 · 3−37 · 14 · 9− 11 · 40 · 3− 13 · 12 · 15 = 0x = 54

54

x = 1y = 108

54

y = 2z = 0

54

z = 0L = {1/2/0}

7.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Gesucht:x,y,z

www.fersch.de 67

Determinantenverfahren (3) Aufgaben

(1)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(2)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(3)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7

(4)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(5)1x+ 2 + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0

(6)−2x− 8 + 0z = 11x+ 4y + 0z = −1

28x− 2y +−1z = 8

(7)−2x+ 2 + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8

(8)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(9)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7

(10)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(11)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(12)2x+ 3 + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

(13)6x+ 4 + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

(14)1x+ 1 + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5

(15)1x− 2 + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

(16)6x+ 4 + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9

(17)1x+ 3 +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5

www.fersch.de 68

Determinantenverfahren (3) Lösungen

7.2 LösungenAufgabe (1)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

Dh =

∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3− 4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54

Dx =

∣∣∣∣∣∣37 13 440 14 515 3 3

∣∣∣∣∣∣37 1340 1415 3

Dx = 37 · 14 · 3 + 13 · 5 · 15 + 4 · 40 · 3− 4 · 14 · 15− 37 · 5 · 3− 13 · 40 · 3 = 54

Dy =

∣∣∣∣∣∣11 37 412 40 59 15 3

∣∣∣∣∣∣11 3712 409 15

Dy = 11 · 40 · 3 + 37 · 5 · 9 + 4 · 12 · 15− 4 · 40 · 9− 11 · 5 · 15− 37 · 12 · 3 = 108

Dz =

∣∣∣∣∣∣11 13 3712 14 409 3 15

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dz = 11 · 14 · 15 + 13 · 40 · 9 + 37 · 12 · 3− 37 · 14 · 9− 11 · 40 · 3− 13 · 12 · 15 = 0x = 54

54x = 1y = 108

54y = 2z = 0

54z = 0L = {1/2/0}

Aufgabe (2)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

Dh =

∣∣∣∣∣∣9 5 46 3 −53 −10 6

∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10

Dh = 9 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 3 + 4 · 6 · (−10)− 4 · 3 · 3− 9 · (−5) · (−10)− 5 · 6 · 6 = −819

Dx =

∣∣∣∣∣∣13 5 417 3 −523 −10 6

∣∣∣∣∣∣13 517 323 −10

Dx = 13 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 23 + 4 · 17 · (−10)− 4 · 3 · 23− 13 · (−5) · (−10)− 5 · 17 · 6 = −2, 46 · 103

Dy =

∣∣∣∣∣∣9 13 46 17 −53 23 6

∣∣∣∣∣∣9 136 173 23

Dy = 9 · 17 · 6 + 13 · (−5) · 3 + 4 · 6 · 23− 4 · 17 · 3− 9 · (−5) · 23− 13 · 6 · 6 = 1, 64 · 103

Dz =

∣∣∣∣∣∣9 5 136 3 173 −10 23

∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10

Dz = 9 · 3 · 23 + 5 · 17 · 3 + 13 · 6 · (−10)− 13 · 3 · 3− 9 · 17 · (−10)− 5 · 6 · 23 = 819

x = −2,46·103−819

x = 3

www.fersch.de 69

Determinantenverfahren (3) Lösungen

y = 1,64·103−819

y = −2z = 819

−819z = −1L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (3)

4x+−3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7

Dh =

∣∣∣∣∣∣4 −3 25 6 −710 2 −3

∣∣∣∣∣∣4 −35 610 2

Dh = 4 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 10 + 2 · 5 · 2− 2 · 6 · 10− 4 · (−7) · 2− (−3) · 5 · (−3) = 49

Dx =

∣∣∣∣∣∣10 −3 24 6 −77 2 −3

∣∣∣∣∣∣10 −34 67 2

Dx = 10 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 7 + 2 · 4 · 2− 2 · 6 · 7− 10 · (−7) · 2− (−3) · 4 · (−3) = 3

Dy =

∣∣∣∣∣∣4 10 25 4 −710 7 −3

∣∣∣∣∣∣4 105 410 7

Dy = 4 · 4 · (−3) + 10 · (−7) · 10 + 2 · 5 · 7− 2 · 4 · 10− 4 · (−7) · 7− 10 · 5 · (−3) = −412

Dz =

∣∣∣∣∣∣4 −3 105 6 410 2 7

∣∣∣∣∣∣4 −35 610 2

Dz = 4 · 6 · 7 + (−3) · 4 · 10 + 10 · 5 · 2− 10 · 6 · 10− 4 · 4 · 2− (−3) · 5 · 7 = −379x = 3

49x = 3

49y = −412

49y = −820

49z = −379

49z = −736

49L = { 3

49/− 8 2049/− 7 36

49}

Aufgabe (4)

2x+ 3y +−4z = 164x+ 9y − 1z = 581x+ 6y + 2z = 34

Dh =

∣∣∣∣∣∣2 3 −44 9 −11 6 2

∣∣∣∣∣∣2 34 91 6

Dh = 2 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 6− (−4) · 9 · 1− 2 · (−1) · 6− 3 · 4 · 2 = −39

Dx =

∣∣∣∣∣∣16 3 −458 9 −134 6 2

∣∣∣∣∣∣16 358 934 6

Dx = 16 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 34 + (−4) · 58 · 6− (−4) · 9 · 34− 16 · (−1) · 6− 3 · 58 · 2 = −234

Dy =

∣∣∣∣∣∣2 16 −44 58 −11 34 2

∣∣∣∣∣∣2 164 581 34

Dy = 2 · 58 · 2 + 16 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 34− (−4) · 58 · 1− 2 · (−1) · 34− 16 · 4 · 2 = −156

www.fersch.de 70

Determinantenverfahren (3) Lösungen

Dz =

∣∣∣∣∣∣2 3 164 9 581 6 34

∣∣∣∣∣∣2 34 91 6

Dz = 2 · 9 · 34 + 3 · 58 · 1 + 16 · 4 · 6− 16 · 9 · 1− 2 · 58 · 6− 3 · 4 · 34 = −78x = −234

−39x = 6y = −156

−39y = 4z = −78

−39z = 2L = {6/4/2}

Aufgabe (5)

1x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0

Dh =

∣∣∣∣∣∣1 2 32 3 20 2 6

∣∣∣∣∣∣1 22 30 2

Dh = 1 · 3 · 6 + 2 · 2 · 0 + 3 · 2 · 2− 3 · 3 · 0− 1 · 2 · 2− 2 · 2 · 6 = 2

Dx =

∣∣∣∣∣∣4 2 36 3 20 2 6

∣∣∣∣∣∣4 26 30 2

Dx = 4 · 3 · 6 + 2 · 2 · 0 + 3 · 6 · 2− 3 · 3 · 0− 4 · 2 · 2− 2 · 6 · 6 = 20

Dy =

∣∣∣∣∣∣1 4 32 6 20 0 6

∣∣∣∣∣∣1 42 60 0

Dy = 1 · 6 · 6 + 4 · 2 · 0 + 3 · 2 · 0− 3 · 6 · 0− 1 · 2 · 0− 4 · 2 · 6 = −12

Dz =

∣∣∣∣∣∣1 2 42 3 60 2 0

∣∣∣∣∣∣1 22 30 2

Dz = 1 · 3 · 0 + 2 · 6 · 0 + 4 · 2 · 2− 4 · 3 · 0− 1 · 6 · 2− 2 · 2 · 0 = 4x = 20

2x = 10y = −12

2y = −6z = 4

2z = 2L = {10/− 6/2}

Aufgabe (6)

− 2x+−8y + 0z = 11x+ 4y + 0z = −1

28x− 2y − 1z = 8

Dh =

∣∣∣∣∣∣−2 −8 01 4 08 −2 −1

∣∣∣∣∣∣−2 −81 48 −2

Dh = (−2) · 4 · (−1) + (−8) · 0 · 8 + 0 · 1 · (−2)− 0 · 4 · 8− (−2) · 0 · (−2)− (−8) · 1 · (−1) = 0

Dx =

∣∣∣∣∣∣1 −8 0− 1

2 4 08 −2 −1

∣∣∣∣∣∣1 −8− 1

2 48 −2

www.fersch.de 71

Determinantenverfahren (3) Lösungen

Dx = 1 · 4 · (−1) + (−8) · 0 · 8 + 0 ·(−1

2

)· (−2)− 0 · 4 · 8− 1 · 0 · (−2)− (−8) ·

(−1

2

)· (−1) = 0

Dy =

∣∣∣∣∣∣−2 1 01 −1

2 08 8 −1

∣∣∣∣∣∣−2 11 −1

28 8

Dy = (−2) ·(− 1

2

)· (−1) + 1 · 0 · 8 + 0 · 1 · 8− 0 ·

(−1

2

)· 8− (−2) · 0 · 8− 1 · 1 · (−1) = 0

Dz =

∣∣∣∣∣∣−2 −8 11 4 − 1

28 −2 8

∣∣∣∣∣∣−2 −81 48 −2

Dz = (−2) · 4 · 8 + (−8) ·(− 1

2

)· 8 + 1 · 1 · (−2)− 1 · 4 · 8− (−2) ·

(− 1

2

)· (−2)− (−8) · 1 · 8 = 0

L = unendlich

Aufgabe (7)

− 2x+ 2y + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 54x− 2y − 1z = 8

Dh =

∣∣∣∣∣∣−2 2 44 − 1

2 24 −2 −1

∣∣∣∣∣∣−2 24 − 1

24 −2

Dh = (−2) ·(−1

2

)· (−1) + 2 · 2 · 4 + 4 · 4 · (−2)− 4 ·

(−1

2

)· 4− (−2) · 2 · (−2)− 2 · 4 · (−1) = −9

Dx =

∣∣∣∣∣∣0 2 45 −1

2 28 −2 −1

∣∣∣∣∣∣0 25 −1

28 −2

Dx = 0 ·(− 1

2

)· (−1) + 2 · 2 · 8 + 4 · 5 · (−2)− 4 ·

(− 1

2

)· 8− 0 · 2 · (−2)− 2 · 5 · (−1) = 18

Dy =

∣∣∣∣∣∣−2 0 44 5 24 8 −1

∣∣∣∣∣∣−2 04 54 8

Dy = (−2) · 5 · (−1) + 0 · 2 · 4 + 4 · 4 · 8− 4 · 5 · 4− (−2) · 2 · 8− 0 · 4 · (−1) = 90

Dz =

∣∣∣∣∣∣−2 2 04 −1

2 54 −2 8

∣∣∣∣∣∣−2 24 − 1

24 −2

Dz = (−2) ·(−1

2

)· 8 + 2 · 5 · 4 + 0 · 4 · (−2)− 0 ·

(−1

2

)· 4− (−2) · 5 · (−2)− 2 · 4 · 8 = −36

x = 18−9

x = −2y = 90

−9y = −10z = −36

−9z = 4L = {−2/− 10/4}

Aufgabe (8)

2x+ 3y +−4z = 164x+ 9y − 1z = 581x+ 6y + 2z = 34

Dh =

∣∣∣∣∣∣2 3 −44 9 −11 6 2

∣∣∣∣∣∣2 34 91 6

Dh = 2 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 6− (−4) · 9 · 1− 2 · (−1) · 6− 3 · 4 · 2 = −39

Dx =

∣∣∣∣∣∣16 3 −458 9 −134 6 2

∣∣∣∣∣∣16 358 934 6

www.fersch.de 72

Determinantenverfahren (3) Lösungen

Dx = 16 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 34 + (−4) · 58 · 6− (−4) · 9 · 34− 16 · (−1) · 6− 3 · 58 · 2 = −234

Dy =

∣∣∣∣∣∣2 16 −44 58 −11 34 2

∣∣∣∣∣∣2 164 581 34

Dy = 2 · 58 · 2 + 16 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 34− (−4) · 58 · 1− 2 · (−1) · 34− 16 · 4 · 2 = −156

Dz =

∣∣∣∣∣∣2 3 164 9 581 6 34

∣∣∣∣∣∣2 34 91 6

Dz = 2 · 9 · 34 + 3 · 58 · 1 + 16 · 4 · 6− 16 · 9 · 1− 2 · 58 · 6− 3 · 4 · 34 = −78x = −234

−39x = 6y = −156

−39y = 4z = −78

−39z = 2L = {6/4/2}

Aufgabe (9)

4x+−3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7

Dh =

∣∣∣∣∣∣4 −3 25 6 −710 −2 −3

∣∣∣∣∣∣4 −35 610 −2

Dh = 4 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 10 + 2 · 5 · (−2)− 2 · 6 · 10− 4 · (−7) · (−2)− (−3) · 5 · (−3) = −103

Dx =

∣∣∣∣∣∣10 −3 24 6 −77 −2 −3

∣∣∣∣∣∣10 −34 67 −2

Dx = 10 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 7 + 2 · 4 · (−2)− 2 · 6 · 7− 10 · (−7) · (−2)− (−3) · 4 · (−3) = −309

Dy =

∣∣∣∣∣∣4 10 25 4 −710 7 −3

∣∣∣∣∣∣4 105 410 7

Dy = 4 · 4 · (−3) + 10 · (−7) · 10 + 2 · 5 · 7− 2 · 4 · 10− 4 · (−7) · 7− 10 · 5 · (−3) = −412

Dz =

∣∣∣∣∣∣4 −3 105 6 410 −2 7

∣∣∣∣∣∣4 −35 610 −2

Dz = 4 · 6 · 7 + (−3) · 4 · 10 + 10 · 5 · (−2)− 10 · 6 · 10− 4 · 4 · (−2)− (−3) · 5 · 7 = −515x = −309

−103x = 3y = −412

−103y = 4z = −515

−103z = 5L = {3/4/5}

Aufgabe (10)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

www.fersch.de 73

Determinantenverfahren (3) Lösungen

Dh =

∣∣∣∣∣∣9 5 46 3 −53 −10 6

∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10

Dh = 9 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 3 + 4 · 6 · (−10)− 4 · 3 · 3− 9 · (−5) · (−10)− 5 · 6 · 6 = −819

Dx =

∣∣∣∣∣∣13 5 417 3 −523 −10 6

∣∣∣∣∣∣13 517 323 −10

Dx = 13 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 23 + 4 · 17 · (−10)− 4 · 3 · 23− 13 · (−5) · (−10)− 5 · 17 · 6 = −2, 46 · 103

Dy =

∣∣∣∣∣∣9 13 46 17 −53 23 6

∣∣∣∣∣∣9 136 173 23

Dy = 9 · 17 · 6 + 13 · (−5) · 3 + 4 · 6 · 23− 4 · 17 · 3− 9 · (−5) · 23− 13 · 6 · 6 = 1, 64 · 103

Dz =

∣∣∣∣∣∣9 5 136 3 173 −10 23

∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10

Dz = 9 · 3 · 23 + 5 · 17 · 3 + 13 · 6 · (−10)− 13 · 3 · 3− 9 · 17 · (−10)− 5 · 6 · 23 = 819

x = −2,46·103−819

x = 3y = 1,64·103

−819y = −2z = 819

−819z = −1L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (11)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

Dh =

∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3− 4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54

Dx =

∣∣∣∣∣∣37 13 440 14 515 3 3

∣∣∣∣∣∣37 1340 1415 3

Dx = 37 · 14 · 3 + 13 · 5 · 15 + 4 · 40 · 3− 4 · 14 · 15− 37 · 5 · 3− 13 · 40 · 3 = 54

Dy =

∣∣∣∣∣∣11 37 412 40 59 15 3

∣∣∣∣∣∣11 3712 409 15

Dy = 11 · 40 · 3 + 37 · 5 · 9 + 4 · 12 · 15− 4 · 40 · 9− 11 · 5 · 15− 37 · 12 · 3 = 108

Dz =

∣∣∣∣∣∣11 13 3712 14 409 3 15

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dz = 11 · 14 · 15 + 13 · 40 · 9 + 37 · 12 · 3− 37 · 14 · 9− 11 · 40 · 3− 13 · 12 · 15 = 0x = 54

54x = 1y = 108

54y = 2z = 0

54z = 0L = {1/2/0}

Aufgabe (12)

www.fersch.de 74

Determinantenverfahren (3) Lösungen

2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

Dh =

∣∣∣∣∣∣2 3 44 6 53 2 8

∣∣∣∣∣∣2 34 63 2

Dh = 2 · 6 · 8 + 3 · 5 · 3 + 4 · 4 · 2− 4 · 6 · 3− 2 · 5 · 2− 3 · 4 · 8 = −15

Dx =

∣∣∣∣∣∣175 3 4287 6 5257 2 8

∣∣∣∣∣∣175 3287 6257 2

Dx = 175 · 6 · 8 + 3 · 5 · 257 + 4 · 287 · 2− 4 · 6 · 257− 175 · 5 · 2− 3 · 287 · 8 = −255

Dy =

∣∣∣∣∣∣2 175 44 287 53 257 8

∣∣∣∣∣∣2 1754 2873 257

Dy = 2 · 287 · 8 + 175 · 5 · 3 + 4 · 4 · 257− 4 · 287 · 3− 2 · 5 · 257− 175 · 4 · 8 = −285

Dz =

∣∣∣∣∣∣2 3 1754 6 2873 2 257

∣∣∣∣∣∣2 34 63 2

Dz = 2 · 6 · 257 + 3 · 287 · 3 + 175 · 4 · 2− 175 · 6 · 3− 2 · 287 · 2− 3 · 4 · 257 = −315x = −255

−15x = 17y = −285

−15y = 19z = −315

−15z = 21L = {17/19/21}

Aufgabe (13)

6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

Dh =

∣∣∣∣∣∣6 4 95 7 104 8 5

∣∣∣∣∣∣6 45 74 8

Dh = 6 · 7 · 5 + 4 · 10 · 4 + 9 · 5 · 8− 9 · 7 · 4− 6 · 10 · 8− 4 · 5 · 5 = −102

Dx =

∣∣∣∣∣∣32 4 917 7 10100 8 5

∣∣∣∣∣∣32 417 7100 8

Dx = 32 · 7 · 5 + 4 · 10 · 100 + 9 · 17 · 8− 9 · 7 · 100− 32 · 10 · 8− 4 · 17 · 5 = −2, 86 · 103

Dy =

∣∣∣∣∣∣6 32 95 17 104 100 5

∣∣∣∣∣∣6 325 174 100

Dy = 6 · 17 · 5 + 32 · 10 · 4 + 9 · 5 · 100− 9 · 17 · 4− 6 · 10 · 100− 32 · 5 · 5 = −1, 12 · 103

Dz =

∣∣∣∣∣∣6 4 325 7 174 8 100

∣∣∣∣∣∣6 45 74 8

Dz = 6 · 7 · 100 + 4 · 17 · 4 + 32 · 5 · 8− 32 · 7 · 4− 6 · 17 · 8− 4 · 5 · 100 = 2, 04 · 103

x = −2,86·103−102

x = 28y = −1,12·103

−102y = 11

z = 2,04·103−102

z = −20

www.fersch.de 75

Determinantenverfahren (3) Lösungen

L = {28/11/− 20}

Aufgabe (14)

1x+ 1y + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y − 1z = 5

Dh =

∣∣∣∣∣∣1 1 01 0 10 1 −1

∣∣∣∣∣∣1 11 00 1

Dh = 1 · 0 · (−1) + 1 · 1 · 0 + 0 · 1 · 1− 0 · 0 · 0− 1 · 1 · 1− 1 · 1 · (−1) = 0

Dx =

∣∣∣∣∣∣1 1 06 0 15 1 −1

∣∣∣∣∣∣1 16 05 1

Dx = 1 · 0 · (−1) + 1 · 1 · 5 + 0 · 6 · 1− 0 · 0 · 5− 1 · 1 · 1− 1 · 6 · (−1) = 10

Dy =

∣∣∣∣∣∣1 1 01 6 10 5 −1

∣∣∣∣∣∣1 11 60 5

Dy = 1 · 6 · (−1) + 1 · 1 · 0 + 0 · 1 · 5− 0 · 6 · 0− 1 · 1 · 5− 1 · 1 · (−1) = −10

Dz =

∣∣∣∣∣∣1 1 11 0 60 1 5

∣∣∣∣∣∣1 11 00 1

Dz = 1 · 0 · 5 + 1 · 6 · 0 + 1 · 1 · 1− 1 · 0 · 0− 1 · 6 · 1− 1 · 1 · 5 = −10

L = {}

Aufgabe (15)

1x+−2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

Dh =

∣∣∣∣∣∣1 −2 33 8 92 3 6

∣∣∣∣∣∣1 −23 82 3

Dh = 1 · 8 · 6 + (−2) · 9 · 2 + 3 · 3 · 3− 3 · 8 · 2− 1 · 9 · 3− (−2) · 3 · 6 = 0

Dx =

∣∣∣∣∣∣9 −2 35 8 97 3 6

∣∣∣∣∣∣9 −25 87 3

Dx = 9 · 8 · 6 + (−2) · 9 · 7 + 3 · 5 · 3− 3 · 8 · 7− 9 · 9 · 3− (−2) · 5 · 6 = 0

Dy =

∣∣∣∣∣∣1 9 33 5 92 7 6

∣∣∣∣∣∣1 93 52 7

Dy = 1 · 5 · 6 + 9 · 9 · 2 + 3 · 3 · 7− 3 · 5 · 2− 1 · 9 · 7− 9 · 3 · 6 = 0

Dz =

∣∣∣∣∣∣1 −2 93 8 52 3 7

∣∣∣∣∣∣1 −23 82 3

Dz = 1 · 8 · 7 + (−2) · 5 · 2 + 9 · 3 · 3− 9 · 8 · 2− 1 · 5 · 3− (−2) · 3 · 7 = 0

L = unendlich

Aufgabe (16)

www.fersch.de 76

Determinantenverfahren (3) Lösungen

6x+ 4y + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9

Dh =

∣∣∣∣∣∣6 4 54 2 35 3 4

∣∣∣∣∣∣6 44 25 3

Dh = 6 · 2 · 4 + 4 · 3 · 5 + 5 · 4 · 3− 5 · 2 · 5− 6 · 3 · 3− 4 · 4 · 4 = 0

Dx =

∣∣∣∣∣∣8 4 57 2 39 3 4

∣∣∣∣∣∣8 47 29 3

Dx = 8 · 2 · 4 + 4 · 3 · 9 + 5 · 7 · 3− 5 · 2 · 9− 8 · 3 · 3− 4 · 7 · 4 = 3

Dy =

∣∣∣∣∣∣6 8 54 7 35 9 4

∣∣∣∣∣∣6 84 75 9

Dy = 6 · 7 · 4 + 8 · 3 · 5 + 5 · 4 · 9− 5 · 7 · 5− 6 · 3 · 9− 8 · 4 · 4 = 3

Dz =

∣∣∣∣∣∣6 4 84 2 75 3 9

∣∣∣∣∣∣6 44 25 3

Dz = 6 · 2 · 9 + 4 · 7 · 5 + 8 · 4 · 3− 8 · 2 · 5− 6 · 7 · 3− 4 · 4 · 9 = −6

L = {}

Aufgabe (17)

1x+ 3y +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5

Dh =

∣∣∣∣∣∣1 3 −23 2 10 1 3

∣∣∣∣∣∣1 33 20 1

Dh = 1 · 2 · 3 + 3 · 1 · 0 + (−2) · 3 · 1− (−2) · 2 · 0− 1 · 1 · 1− 3 · 3 · 3 = −28

Dx =

∣∣∣∣∣∣3 3 −22 2 15 1 3

∣∣∣∣∣∣3 32 25 1

Dx = 3 · 2 · 3 + 3 · 1 · 5 + (−2) · 2 · 1− (−2) · 2 · 5− 3 · 1 · 1− 3 · 2 · 3 = 28

Dy =

∣∣∣∣∣∣1 3 −23 2 10 5 3

∣∣∣∣∣∣1 33 20 5

Dy = 1 · 2 · 3 + 3 · 1 · 0 + (−2) · 3 · 5− (−2) · 2 · 0− 1 · 1 · 5− 3 · 3 · 3 = −56

Dz =

∣∣∣∣∣∣1 3 33 2 20 1 5

∣∣∣∣∣∣1 33 20 1

Dz = 1 · 2 · 5 + 3 · 2 · 0 + 3 · 3 · 1− 3 · 2 · 0− 1 · 2 · 1− 3 · 3 · 5 = −28x = 28

−28x = −1y = −56

−28y = 2z = −28

−28z = 1L = {−1/2/1}

www.fersch.de 77

Gaußsches Eliminationsverfahren

8 Gaußsches Eliminationsverfahren

a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1

a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2

a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Koeffizientenmatrix erstellenx y z

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

x y z

Zeile1Spalte1 z1s2 z1s3 z1s4

z2s1 z2s2 z2s3 z2s4

z3s1 z3s2 z3s3 z3s4

Die Lösungsmenge ändert sich nicht durch:

• Multiplizieren oder Dividieren der Zeilen miteiner Zahl

• Addieren oder Subtrahieren der Zeilen

• Vertauschen der Zeilen

Umformen in die Stufenform

• Eindeutige Lösungx y z

Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4

0 z2s2 z2s3 z2s4

0 0 z3s3 z3s4

Rückwärtseinsetzenz = z3s3

z3s4

z in die 2. Zeile einsetzen → yz und y in die 1. Zeile einsetzen → x

• Keine Lösungx y z

Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4

0 z2s2 z2s3 z2s4

0 0 0 z3s4

• Unendlich viele Lösungenx y z

Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4

0 z2s2 z2s3 z2s4

0 0 0 0

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2 · 11− Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4

x y z

11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15

Zeile3 = Zeile3 · 11− Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168

Zeile3 = Zeile3 · (−2)− Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0

z = 0594

= 0y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}

8.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:

www.fersch.de 78

Gaußsches Eliminationsverfahren Aufgaben

a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Gesucht:x,y,z

(1)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(2)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(3)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7

(4)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(5)1x+ 2 + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0

(6)−2x− 8 + 0z = 11x+ 4y + 0z = −1

28x− 2y +−1z = 8

(7)−2x+ 2 + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8

(8)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(9)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7

(10)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(11)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(12)2x+ 3 + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

(13)6x+ 4 + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

(14)1x+ 1 + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5

(15)1x− 2 + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

(16)6x+ 4 + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9

(17)1x+ 3 +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5

(18)4x+ 6 + 8z = 05x+ 6y + 67z = 88x+ 87y + 6z = 6

www.fersch.de 79

Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen

8.2 LösungenAufgabe (1)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2 · 11-Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4

x y z

11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15

Zeile3 = Zeile3 · 11-Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168

Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0

z = 0594 = 0

y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}

Aufgabe (2)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

x y z

9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23

Zeile2 = Zeile2 · 9-Zeile1 · 6z2s1 = 6 · 9− 9 · 6 = 0z2s2 = 3 · 9− 5 · 6 = −3z2s3 = (−5) · 9− 4 · 6 = −69z2s4 = 17 · 9− 13 · 6 = 75

x y z

9 5 4 130 −3 −69 753 −10 6 23

Zeile3 = Zeile3 · 9-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 9− 9 · 3 = 0z3s2 = (−10) · 9− 5 · 3 = −105z3s3 = 6 · 9− 4 · 3 = 42z3s4 = 23 · 9− 13 · 3 = 168

x y z

9 5 4 130 −3 −69 750 −105 42 168

Zeile3 = Zeile3 · (−3)-Zeile2 · (−105)z3s2 = (−105) · −3− (−3) · (−105) = 0z3s3 = 42 · −3− (−69) · (−105) = −7, 37 · 103z3s4 = 168 · −3− 75 · (−105) = 7, 37 · 103

x y z

9 5 4 130 −3 −69 750 0 −7, 37 · 103 7, 37 · 103

z = 7,37·103−7,37·103 = −1

y · (−3) + (−69) · −1 = 75y = −2x · 9 + 5 · −2 + 4 · (−1) = 13x = 3L = {3/− 2/− 1}

www.fersch.de 80

Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen

Aufgabe (3)

4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7

x y z

4 −3 2 105 6 −7 410 2 −3 7

Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− (−3) · 5 = 39z2s3 = (−7) · 4− 2 · 5 = −38z2s4 = 4 · 4− 10 · 5 = −34

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −3410 2 −3 7

Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 10z3s1 = 10 · 4− 4 · 10 = 0z3s2 = 2 · 4− (−3) · 10 = 38z3s3 = (−3) · 4− 2 · 10 = −32z3s4 = 7 · 4− 10 · 10 = −72

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −340 38 −32 −72

Zeile3 = Zeile3 · 39-Zeile2 · 38z3s2 = 38 · 39− 39 · 38 = 0z3s3 = (−32) · 39− (−38) · 38 = 196z3s4 = (−72) · 39− (−34) · 38 = −1, 52 · 103

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −340 0 196 −1, 52 · 103

z = −1,52·103196 = −7 36

49y · 39 + (−38) · −7 36

49 = (−34)y = −820

49x · 4 + (−3) · −8 20

49 + 2 · (−7 3649 ) = 10

x = 349

L = { 349/− 8 20

49/− 7 3649}

Aufgabe (4)

2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34

x y z

2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34

Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 9 · 2− 3 · 4 = 6z2s3 = (−1) · 2− (−4) · 4 = 14z2s4 = 58 · 2− 16 · 4 = 52

x y z

2 3 −4 160 6 14 521 6 2 34

Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 1z3s1 = 1 · 2− 2 · 1 = 0z3s2 = 6 · 2− 3 · 1 = 9z3s3 = 2 · 2− (−4) · 1 = 8z3s4 = 34 · 2− 16 · 1 = 52

x y z

2 3 −4 160 6 14 520 9 8 52

Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile2 · 9z3s2 = 9 · 6− 6 · 9 = 0z3s3 = 8 · 6− 14 · 9 = −78z3s4 = 52 · 6− 52 · 9 = −156

x y z

2 3 −4 160 6 14 520 0 −78 −156

z = −156−78 = 2

y · 6 + 14 · 2 = 52y = 4x · 2 + 3 · 4 + (−4) · 2 = 16x = 6L = {6/4/2}

www.fersch.de 81

Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen

Aufgabe (5)

x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 62y + 6z = 0

x y z

1 2 3 42 3 2 60 2 6 0

Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 2z2s1 = 2 · 1− 1 · 2 = 0z2s2 = 3 · 1− 2 · 2 = −1z2s3 = 2 · 1− 3 · 2 = −4z2s4 = 6 · 1− 4 · 2 = −2

x y z

1 2 3 40 −1 −4 −20 2 6 0

Zeile3 = Zeile3 · (−1)-Zeile2 · 2z3s2 = 2 · −1− (−1) · 2 = 0z3s3 = 6 · −1− (−4) · 2 = 2z3s4 = 0 · −1− (−2) · 2 = 4

x y z

1 2 3 40 −1 −4 −20 0 2 4

z = 42 = 2

y · (−1) + (−4) · 2 = (−2)y = −6x · 1 + 2 · −6 + 3 · 2 = 4x = 10L = {10/− 6/2}

Aufgabe (6)

−2x− 8y = 1x+ 4y = − 1

2

8x− 2y − z = 8

x y z

−2 −8 0 11 4 0 − 1

2

8 −2 −1 8

Zeile2 = Zeile2 · (−2)-Zeile1 · 1z2s1 = 1 · −2− (−2) · 1 = 0z2s2 = 4 · −2− (−8) · 1 = 0z2s3 = 0 · −2− 0 · 1 = 0z2s4 = (− 1

2) · −2− 1 · 1 = 0

x y z

−2 −8 0 10 0 0 08 −2 −1 8

Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile1 · 8z3s1 = 8 · −2− (−2) · 8 = 0z3s2 = (−2) · −2− (−8) · 8 = 68z3s3 = (−1) · −2− 0 · 8 = 2z3s4 = 8 · −2− 1 · 8 = −24

x y z

−2 −8 0 10 0 0 00 68 2 −24

Zeilen vertauschen

x y z

−2 −8 0 10 68 2 −240 0 0 0

L = unendlich

Aufgabe (7)

−2x+ 2y + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 5

4x− 2y − z = 8

x y z

−2 2 4 04 − 1

22 5

4 −2 −1 8

www.fersch.de 82

Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen

Zeile2 = Zeile2 · (−2)-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · −2− (−2) · 4 = 0z2s2 = (− 1

2) · −2− 2 · 4 = −7

z2s3 = 2 · −2− 4 · 4 = −20z2s4 = 5 · −2− 0 · 4 = −10

x y z

−2 2 4 00 −7 −20 −104 −2 −1 8

Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile1 · 4z3s1 = 4 · −2− (−2) · 4 = 0z3s2 = (−2) · −2− 2 · 4 = −4z3s3 = (−1) · −2− 4 · 4 = −14z3s4 = 8 · −2− 0 · 4 = −16

x y z

−2 2 4 00 −7 −20 −100 −4 −14 −16

Zeile3 = Zeile3 · (−7)-Zeile2 · (−4)z3s2 = (−4) · −7− (−7) · (−4) = 0z3s3 = (−14) · −7− (−20) · (−4) = 18z3s4 = (−16) · −7− (−10) · (−4) = 72

x y z

−2 2 4 00 −7 −20 −100 0 18 72

z = 7218 = 4

y · (−7) + (−20) · 4 = (−10)y = −10x · (−2) + 2 · −10 + 4 · 4 = 0x = −2L = {−2/− 10/4}

Aufgabe (8)

2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34

x y z

2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34

Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 9 · 2− 3 · 4 = 6z2s3 = (−1) · 2− (−4) · 4 = 14z2s4 = 58 · 2− 16 · 4 = 52

x y z

2 3 −4 160 6 14 521 6 2 34

Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 1z3s1 = 1 · 2− 2 · 1 = 0z3s2 = 6 · 2− 3 · 1 = 9z3s3 = 2 · 2− (−4) · 1 = 8z3s4 = 34 · 2− 16 · 1 = 52

x y z

2 3 −4 160 6 14 520 9 8 52

Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile2 · 9z3s2 = 9 · 6− 6 · 9 = 0z3s3 = 8 · 6− 14 · 9 = −78z3s4 = 52 · 6− 52 · 9 = −156

x y z

2 3 −4 160 6 14 520 0 −78 −156

z = −156−78 = 2

y · 6 + 14 · 2 = 52y = 4x · 2 + 3 · 4 + (−4) · 2 = 16x = 6L = {6/4/2}

Aufgabe (9)

4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7

x y z

4 −3 2 105 6 −7 410 −2 −3 7

www.fersch.de 83

Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen

Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− (−3) · 5 = 39z2s3 = (−7) · 4− 2 · 5 = −38z2s4 = 4 · 4− 10 · 5 = −34

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −3410 −2 −3 7

Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 10z3s1 = 10 · 4− 4 · 10 = 0z3s2 = (−2) · 4− (−3) · 10 = 22z3s3 = (−3) · 4− 2 · 10 = −32z3s4 = 7 · 4− 10 · 10 = −72

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −340 22 −32 −72

Zeile3 = Zeile3 · 39-Zeile2 · 22z3s2 = 22 · 39− 39 · 22 = 0z3s3 = (−32) · 39− (−38) · 22 = −412z3s4 = (−72) · 39− (−34) · 22 = −2, 06 · 103

x y z

4 −3 2 100 39 −38 −340 0 −412 −2, 06 · 103

z = −2,06·103−412 = 5

y · 39 + (−38) · 5 = (−34)y = 4x · 4 + (−3) · 4 + 2 · 5 = 10x = 3L = {3/4/5}

Aufgabe (10)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

x y z

9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23

Zeile2 = Zeile2 · 9-Zeile1 · 6z2s1 = 6 · 9− 9 · 6 = 0z2s2 = 3 · 9− 5 · 6 = −3z2s3 = (−5) · 9− 4 · 6 = −69z2s4 = 17 · 9− 13 · 6 = 75

x y z

9 5 4 130 −3 −69 753 −10 6 23

Zeile3 = Zeile3 · 9-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 9− 9 · 3 = 0z3s2 = (−10) · 9− 5 · 3 = −105z3s3 = 6 · 9− 4 · 3 = 42z3s4 = 23 · 9− 13 · 3 = 168

x y z

9 5 4 130 −3 −69 750 −105 42 168

Zeile3 = Zeile3 · (−3)-Zeile2 · (−105)z3s2 = (−105) · −3− (−3) · (−105) = 0z3s3 = 42 · −3− (−69) · (−105) = −7, 37 · 103z3s4 = 168 · −3− 75 · (−105) = 7, 37 · 103

x y z

9 5 4 130 −3 −69 750 0 −7, 37 · 103 7, 37 · 103

z = 7,37·103−7,37·103 = −1

y · (−3) + (−69) · −1 = 75y = −2x · 9 + 5 · −2 + 4 · (−1) = 13x = 3L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (11)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

www.fersch.de 84

Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen

Zeile2 = Zeile2 · 11-Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4

x y z

11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15

Zeile3 = Zeile3 · 11-Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168

Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0

x y z

11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0

z = 0594 = 0

y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}

Aufgabe (12)

2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

x y z

2 3 4 1754 6 5 2873 2 8 257

Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 6 · 2− 3 · 4 = 0z2s3 = 5 · 2− 4 · 4 = −6z2s4 = 287 · 2− 175 · 4 = −126

x y z

2 3 4 1750 0 −6 −1263 2 8 257

Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 2− 2 · 3 = 0z3s2 = 2 · 2− 3 · 3 = −5z3s3 = 8 · 2− 4 · 3 = 4z3s4 = 257 · 2− 175 · 3 = −11

x y z

2 3 4 1750 0 −6 −1260 −5 4 −11

Zeilen vertauschen

x y z

2 3 4 1750 −5 4 −110 0 −6 −126

z = −126−6 = 21

y · (−5) + 4 · 21 = (−11)y = 19x · 2 + 3 · 19 + 4 · 21 = 175x = 17L = {17/19/21}

Aufgabe (13)

6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

x y z

6 4 9 325 7 10 174 8 5 100

www.fersch.de 85

Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen

Zeile2 = Zeile2 · 6-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 6− 6 · 5 = 0z2s2 = 7 · 6− 4 · 5 = 22z2s3 = 10 · 6− 9 · 5 = 15z2s4 = 17 · 6− 32 · 5 = −58

x y z

6 4 9 320 22 15 −584 8 5 100

Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile1 · 4z3s1 = 4 · 6− 6 · 4 = 0z3s2 = 8 · 6− 4 · 4 = 32z3s3 = 5 · 6− 9 · 4 = −6z3s4 = 100 · 6− 32 · 4 = 472

x y z

6 4 9 320 22 15 −580 32 −6 472

Zeile3 = Zeile3 · 22-Zeile2 · 32z3s2 = 32 · 22− 22 · 32 = 0z3s3 = (−6) · 22− 15 · 32 = −612z3s4 = 472 · 22− (−58) · 32 = 1, 22 · 104

x y z

6 4 9 320 22 15 −580 0 −612 1, 22 · 104

z = 1,22·104−612 = −20

y · 22 + 15 · −20 = (−58)y = 11x · 6 + 4 · 11 + 9 · (−20) = 32x = 28L = {28/11/− 20}

Aufgabe (14)

x+ y = 1x+ z = 6y − z = 5

x y z

1 1 0 11 0 1 60 1 −1 5

Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 1z2s1 = 1 · 1− 1 · 1 = 0z2s2 = 0 · 1− 1 · 1 = −1z2s3 = 1 · 1− 0 · 1 = 1z2s4 = 6 · 1− 1 · 1 = 5

x y z

1 1 0 10 −1 1 50 1 −1 5

Zeile3 = Zeile3 · (−1)-Zeile2 · 1z3s2 = 1 · −1− (−1) · 1 = 0z3s3 = (−1) · −1− 1 · 1 = 0z3s4 = 5 · −1− 5 · 1 = −10

x y z

1 1 0 10 −1 1 50 0 0 −10

L = {}

Aufgabe (15)

x− 2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

x y z

1 −2 3 93 8 9 52 3 6 7

Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 3z2s1 = 3 · 1− 1 · 3 = 0z2s2 = 8 · 1− (−2) · 3 = 14z2s3 = 9 · 1− 3 · 3 = 0z2s4 = 5 · 1− 9 · 3 = −22

x y z

1 −2 3 90 14 0 −222 3 6 7

www.fersch.de 86

Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen

Zeile3 = Zeile3 · 1-Zeile1 · 2z3s1 = 2 · 1− 1 · 2 = 0z3s2 = 3 · 1− (−2) · 2 = 7z3s3 = 6 · 1− 3 · 2 = 0z3s4 = 7 · 1− 9 · 2 = −11

x y z

1 −2 3 90 14 0 −220 7 0 −11

Zeile3 = Zeile3 · 14-Zeile2 · 7z3s2 = 7 · 14− 14 · 7 = 0z3s3 = 0 · 14− 0 · 7 = 0z3s4 = (−11) · 14− (−22) · 7 = 0

x y z

1 −2 3 90 14 0 −220 0 0 0

L = unendlich

Aufgabe (16)

6x+ 4y + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9

x y z

6 4 5 84 2 3 75 3 4 9

Zeile2 = Zeile2 · 6-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 6− 6 · 4 = 0z2s2 = 2 · 6− 4 · 4 = −4z2s3 = 3 · 6− 5 · 4 = −2z2s4 = 7 · 6− 8 · 4 = 10

x y z

6 4 5 80 −4 −2 105 3 4 9

Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile1 · 5z3s1 = 5 · 6− 6 · 5 = 0z3s2 = 3 · 6− 4 · 5 = −2z3s3 = 4 · 6− 5 · 5 = −1z3s4 = 9 · 6− 8 · 5 = 14

x y z

6 4 5 80 −4 −2 100 −2 −1 14

Zeile3 = Zeile3 · (−4)-Zeile2 · (−2)z3s2 = (−2) · −4− (−4) · (−2) = 0z3s3 = (−1) · −4− (−2) · (−2) = 0z3s4 = 14 · −4− 10 · (−2) = −36

x y z

6 4 5 80 −4 −2 100 0 0 −36

L = {}

Aufgabe (17)

x+ 3y − 2z = 33x+ 2y + z = 2y + 3z = 5

x y z

1 3 −2 33 2 1 20 1 3 5

Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 3z2s1 = 3 · 1− 1 · 3 = 0z2s2 = 2 · 1− 3 · 3 = −7z2s3 = 1 · 1− (−2) · 3 = 7z2s4 = 2 · 1− 3 · 3 = −7

x y z

1 3 −2 30 −7 7 −70 1 3 5

Zeile3 = Zeile3 · (−7)-Zeile2 · 1z3s2 = 1 · −7− (−7) · 1 = 0z3s3 = 3 · −7− 7 · 1 = −28z3s4 = 5 · −7− (−7) · 1 = −28

x y z

1 3 −2 30 −7 7 −70 0 −28 −28

z = −28−28 = 1

y · (−7) + 7 · 1 = (−7)y = 2x · 1 + 3 · 2 + (−2) · 1 = 3

www.fersch.de 87

Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen

x = −1L = {−1/2/1}

Aufgabe (18)

4x+ 6y + 8z = 05x+ 6y + 67z = 88x+ 87y + 6z = 6

x y z

4 6 8 05 6 67 88 87 6 6

Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− 6 · 5 = −6z2s3 = 67 · 4− 8 · 5 = 228z2s4 = 8 · 4− 0 · 5 = 32

x y z

4 6 8 00 −6 228 328 87 6 6

Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 8z3s1 = 8 · 4− 4 · 8 = 0z3s2 = 87 · 4− 6 · 8 = 300z3s3 = 6 · 4− 8 · 8 = −40z3s4 = 6 · 4− 0 · 8 = 24

x y z

4 6 8 00 −6 228 320 300 −40 24

Zeile3 = Zeile3 · (−6)-Zeile2 · 300z3s2 = 300 · −6− (−6) · 300 = 0z3s3 = (−40) · −6− 228 · 300 = −6, 82 · 104z3s4 = 24 · −6− 32 · 300 = −9, 74 · 103

x y z

4 6 8 00 −6 228 320 0 −6, 82 · 104 −9, 74 · 103

z = −9,74·103−6,82·104 = 0, 143

y · (−6) + 228 · 0, 143 = 32y = 0, 0991x · 4 + 6 · 0, 0991 + 8 · 0, 143 = 0x = −0, 435L = {−0, 435/0, 0991/0, 143}

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Gauß-Jordan-Algorithmus

9 Gauß-Jordan-Algorithmus

a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1

a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2

a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Koeffizientenmatrix erstellenx y z

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

x y z

Zeile1Spalte1 z1s2 z1s3 z1s4

z2s1 z2s2 z2s3 z2s4

z3s1 z3s2 z3s3 z3s4

Die Lösungsmenge ändert sich nicht durch:

• Multiplizieren oder Dividieren der Zeilen miteiner Zahl

• Addieren oder Subtrahieren der Zeilen

• Vertauschen der Zeilen

Ziel ist das Umformen in die Diagonalenform.

• Eindeutige Lösungx y z

z1s1 0 0 z1s4

0 z2s3 0 z2s4

0 0 z3s3 z3s4

x = z1s4z1s1

y = z2s4z2s3

z = z3s3z3s4

• Keine Lösungx y z

z1s1 0 0 z1s4

0 z2s3 0 z2s4

0 0 0 z3s4

• Unendlich viele Lösungenx y z

z1s1 0 0 z1s4

0 z2s3 0 z2s4

0 0 0 0

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2− Zeile1 · 1211

z2s1 = 12− 11 · 1211

= 0z2s2 = 14− 13 · 12

11= − 2

11

z2s3 = 5− 4 · 1211

= 711

z2s4 = 40− 37 · 1211

= − 411

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

9 3 3 15

Zeile3 = Zeile3− Zeile1 · 911

z3s1 = 9− 11 · 911

= 0z3s2 = 3− 13 · 9

11= −7 7

11

z3s3 = 3− 4 · 911

= − 311

z3s4 = 15− 37 · 911

= −15 311

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile1 = Zeile1− Zeile2 · 13

− 211

z1s2 = 13− (− 211) · 13

− 211

= 0

z1s3 = 4− 711

· 13

− 211

= 49 12

z1s4 = 37− (− 411) · 13

− 211

= 11

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile3 = Zeile3− Zeile2 · −7 711

− 211

z3s2 = −7 711

− (− 211) · −7 7

11

− 211

= 0

z3s3 = − 311

− 711

· −7 711

− 211

= −27

z3s4 = −15 311

− (− 411) · −7 7

11

− 211

= 0

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile1 = Zeile1− Zeile3 · 49 12

−27

z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1

2−27

= 0

z1s4 = 11− 0 · 49 12

−27= 11

x y z

11 0 0 110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile2 = Zeile2− Zeile3 ·711

−27

z2s3 = 711

− (−27) ·711

−27= 0

z2s4 = − 411

− 0 ·711

−27= − 4

11

x y z

11 0 0 110 − 2

110 − 4

11

0 0 −27 0

x = 1111

= 1

y =− 4

11

− 211

= 2

z = 0−27

= 0

L = {1/2/0}

9.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:

www.fersch.de 89

Gauß-Jordan-Algorithmus Aufgaben

a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Gesucht:x,y,z

(1)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(2)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(3)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7

(4)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(5)1x+ 2 + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0

(6)−2x− 8 + 0z = 11x+ 4y + 0z = −1

28x− 2y +−1z = 8

(7)−2x+ 2 + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8

(8)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(9)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7

(10)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(11)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(12)2x+ 3 + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

(13)6x+ 4 + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

(14)1x+ 1 + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5

(15)1x− 2 + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

(16)1x+ 3 +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5

www.fersch.de 90

Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

9.2 LösungenAufgabe (1)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1211

z2s1 = 12− 11 · 1211

= 0z2s2 = 14− 13 · 12

11= − 2

11

z2s3 = 5− 4 · 1211

= 711

z2s4 = 40− 37 · 1211

= − 411

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

9 3 3 15

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 911

z3s1 = 9− 11 · 911

= 0z3s2 = 3− 13 · 9

11= −7 7

11

z3s3 = 3− 4 · 911

= − 311

z3s4 = 15− 37 · 911

= −15 311

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 13

− 211

z1s2 = 13− (− 211) · 13

− 211

= 0

z1s3 = 4− 711

· 13

− 211

= 49 12

z1s4 = 37− (− 411) · 13

− 211

= 11

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −7 711

− 211

z3s2 = −7 711

− (− 211) · −7 7

11

− 211

= 0

z3s3 = − 311

− 711

· −7 711

− 211

= −27

z3s4 = −15 311

− (− 411) · −7 7

11

− 211

= 0

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 49 12

−27

z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1

2−27

= 0

z1s4 = 11− 0 · 49 12

−27= 11

x y z

11 0 0 110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·711

−27

z2s3 = 711

− (−27) ·711

−27= 0

z2s4 = − 411

− 0 ·711

−27= − 4

11

x y z

11 0 0 110 − 2

110 − 4

11

0 0 −27 0

x = 1111 = 1

y =− 4

11

− 211

= 2

z = 0−27 = 0

L = {1/2/0}

Aufgabe (2)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

x y z

9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 69

z2s1 = 6− 9 · 69= 0

z2s2 = 3− 5 · 69= − 1

3

z2s3 = −5− 4 · 69= −7 2

3

z2s4 = 17− 13 · 69= 8 1

3

x y z

9 5 4 130 − 1

3−7 2

38 13

3 −10 6 23

www.fersch.de 91

Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 39

z3s1 = 3− 9 · 39= 0

z3s2 = −10− 5 · 39= −11 2

3

z3s3 = 6− 4 · 39= 4 2

3

z3s4 = 23− 13 · 39= 18 2

3

x y z

9 5 4 130 − 1

3−7 2

38 13

0 −11 23

4 23

18 23

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 5

− 13

z1s2 = 5− (− 13) · 5

− 13

= 0

z1s3 = 4− (−7 23) · 5

− 13

= −111

z1s4 = 13− 8 13· 5

− 13

= 138

x y z

9 0 −111 1380 − 1

3−7 2

38 13

0 −11 23

4 23

18 23

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −11 23

− 13

z3s2 = −11 23− (− 1

3) · −11 2

3

− 13

= 0

z3s3 = 4 23− (−7 2

3) · −11 2

3

− 13

= 273

z3s4 = 18 23− 8 1

3· −11 2

3

− 13

= −273

x y z

9 0 −111 1380 − 1

3−7 2

38 13

0 0 273 −273

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −111273

z1s3 = −111− 273 · −111273

= 0z1s4 = 138− (−273) · −111

273= 27

x y z

9 0 0 270 − 1

3−7 2

38 13

0 0 273 −273

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 23

273

z2s3 = −7 23− 273 · −7 2

3273

= 0

z2s4 = 8 13− (−273) · −7 2

3273

= 23

x y z

9 0 0 270 − 1

30 2

3

0 0 273 −273

x = 279 = 3

y =23

− 13

= −2

z = −273273 = −1

L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (3)

4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7

x y z

4 −3 2 105 6 −7 410 2 −3 7

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54

z2s1 = 5− 4 · 54= 0

z2s2 = 6− (−3) · 54= 9 3

4

z2s3 = −7− 2 · 54= −9 1

2

z2s4 = 4− 10 · 54= −8 1

2

x y z

4 −3 2 100 9 3

4−9 1

2−8 1

2

10 2 −3 7

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 104

z3s1 = 10− 4 · 104

= 0z3s2 = 2− (−3) · 10

4= 9 1

2

z3s3 = −3− 2 · 104

= −8z3s4 = 7− 10 · 10

4= −18

x y z

4 −3 2 100 9 3

4−9 1

2−8 1

2

0 9 12

−8 −18

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −3

9 34

z1s2 = −3− 9 34· −3

9 34

= 0

z1s3 = 2− (−9 12) · −3

9 34

= − 1213

z1s4 = 10− (−8 12) · −3

9 34

= 7 513

x y z

4 0 − 1213

7 513

0 9 34

−9 12

−8 12

0 9 12

−8 −18

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 9 12

9 34

z3s2 = 9 12− 9 3

4· 9 1

2

9 34

= 0

z3s3 = −8− (−9 12) · 9 1

2

9 34

= 1 1039

z3s4 = −18− (−8 12) · 9 1

2

9 34

= −9 2839

x y z

4 0 − 1213

7 513

0 9 34

−9 12

−8 12

0 0 1 1039

−9 2839

www.fersch.de 92

Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · − 1213

1 1039

z1s3 = − 1213

− 1 1039

· − 1213

1 1039

= 0

z1s4 = 7 513

− (−9 2839) · − 12

13

1 1039

= 1249

x y z

4 0 0 1249

0 9 34

−9 12

−8 12

0 0 1 1039

−9 2839

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −9 12

1 1039

z2s3 = −9 12− 1 10

39· −9 1

2

1 1039

= 0

z2s4 = −8 12− (−9 28

39) · −9 1

2

1 1039

= −81 4849

x y z

4 0 0 1249

0 9 34

0 −81 4849

0 0 1 1039

−9 2839

x =1249

4 = 349

y =−81 48

49

9 34

= −8 2049

z =−9 28

39

1 1039

= −7 3649

L = { 349/− 8 20

49/− 7 3649}

Aufgabe (4)

2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34

x y z

2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42

z2s1 = 4− 2 · 42= 0

z2s2 = 9− 3 · 42= 3

z2s3 = −1− (−4) · 42= 7

z2s4 = 58− 16 · 42= 26

x y z

2 3 −4 160 3 7 261 6 2 34

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12

z3s1 = 1− 2 · 12= 0

z3s2 = 6− 3 · 12= 4 1

2

z3s3 = 2− (−4) · 12= 4

z3s4 = 34− 16 · 12= 26

x y z

2 3 −4 160 3 7 260 4 1

24 26

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 33

z1s2 = 3− 3 · 33= 0

z1s3 = −4− 7 · 33= −11

z1s4 = 16− 26 · 33= −10

x y z

2 0 −11 −100 3 7 260 4 1

24 26

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 4 123

z3s2 = 4 12− 3 · 4 1

23

= 0

z3s3 = 4− 7 · 4 123

= −6 12

z3s4 = 26− 26 · 4 123

= −13

x y z

2 0 −11 −100 3 7 260 0 −6 1

2−13

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −11

−6 12

z1s3 = −11− (−6 12) · −11

−6 12

= 0

z1s4 = −10− (−13) · −11

−6 12

= 12

x y z

2 0 0 120 3 7 260 0 −6 1

2−13

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 7

−6 12

z2s3 = 7− (−6 12) · 7

−6 12

= 0

z2s4 = 26− (−13) · 7

−6 12

= 12

x y z

2 0 0 120 3 0 120 0 −6 1

2−13

x = 122 = 6

y = 123 = 4

z = −13−6 1

2

= 2

L = {6/4/2}

www.fersch.de 93

Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

Aufgabe (5)

x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 62y + 6z = 0

x y z

1 2 3 42 3 2 60 2 6 0

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 21

z2s1 = 2− 1 · 21= 0

z2s2 = 3− 2 · 21= −1

z2s3 = 2− 3 · 21= −4

z2s4 = 6− 4 · 21= −2

x y z

1 2 3 40 −1 −4 −20 2 6 0

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−1

z1s2 = 2− (−1) · 2−1

= 0

z1s3 = 3− (−4) · 2−1

= −5

z1s4 = 4− (−2) · 2−1

= 0

x y z

1 0 −5 00 −1 −4 −20 2 6 0

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 2−1

z3s2 = 2− (−1) · 2−1

= 0

z3s3 = 6− (−4) · 2−1

= −2

z3s4 = 0− (−2) · 2−1

= −4

x y z

1 0 −5 00 −1 −4 −20 0 −2 −4

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −5−2

z1s3 = −5− (−2) · −5−2

= 0

z1s4 = 0− (−4) · −5−2

= 10

x y z

1 0 0 100 −1 −4 −20 0 −2 −4

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −4−2

z2s3 = −4− (−2) · −4−2

= 0

z2s4 = −2− (−4) · −4−2

= 6

x y z

1 0 0 100 −1 0 60 0 −2 −4

x = 101 = 10

y = 6−1 = −6

z = −4−2 = 2

L = {10/− 6/2}

Aufgabe (6)

−2x− 8y = 1x+ 4y = − 1

2

8x− 2y − z = 8

x y z

−2 −8 0 11 4 0 − 1

2

8 −2 −1 8

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1−2

z2s1 = 1− (−2) · 1−2

= 0

z2s2 = 4− (−8) · 1−2

= 0

z2s3 = 0− 0 · 1−2

= 0

z2s4 = − 12− 1 · 1

−2= 0

x y z

−2 −8 0 10 0 0 08 −2 −1 8

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 8−2

z3s1 = 8− (−2) · 8−2

= 0

z3s2 = −2− (−8) · 8−2

= −34

z3s3 = −1− 0 · 8−2

= −1

z3s4 = 8− 1 · 8−2

= 12

x y z

−2 −8 0 10 0 0 00 −34 −1 12

Zeilen vertauschen

x y z

−2 −8 0 10 −34 −1 120 0 0 0

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −8−34

z1s2 = −8− (−34) · −8−34

= 0

z1s3 = 0− (−1) · −8−34

= 417

z1s4 = 1− 12 · −8−34

= −1 1417

x y z

−2 0 417

−1 1417

0 −34 −1 120 0 0 0

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Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

L = unendlich

Aufgabe (7)

−2x+ 2y + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 5

4x− 2y − z = 8

x y z

−2 2 4 04 − 1

22 5

4 −2 −1 8

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 4−2

z2s1 = 4− (−2) · 4−2

= 0

z2s2 = − 12− 2 · 4

−2= 3 1

2

z2s3 = 2− 4 · 4−2

= 10

z2s4 = 5− 0 · 4−2

= 5

x y z

−2 2 4 00 3 1

210 5

4 −2 −1 8

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 4−2

z3s1 = 4− (−2) · 4−2

= 0

z3s2 = −2− 2 · 4−2

= 2

z3s3 = −1− 4 · 4−2

= 7

z3s4 = 8− 0 · 4−2

= 8

x y z

−2 2 4 00 3 1

210 5

0 2 7 8

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2

3 12

z1s2 = 2− 3 12· 2

3 12

= 0

z1s3 = 4− 10 · 2

3 12

= −1 57

z1s4 = 0− 5 · 2

3 12

= −2 67

x y z

−2 0 −1 57

−2 67

0 3 12

10 50 2 7 8

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 2

3 12

z3s2 = 2− 3 12· 2

3 12

= 0

z3s3 = 7− 10 · 2

3 12

= 1 27

z3s4 = 8− 5 · 2

3 12

= 5 17

x y z

−2 0 −1 57

−2 67

0 3 12

10 50 0 1 2

75 17

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −1 57

1 27

z1s3 = −1 57− 1 2

7· −1 5

7

1 27

= 0

z1s4 = −2 67− 5 1

7· −1 5

7

1 27

= 4

x y z

−2 0 0 40 3 1

210 5

0 0 1 27

5 17

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 10

1 27

z2s3 = 10− 1 27· 10

1 27

= 0

z2s4 = 5− 5 17· 10

1 27

= −35

x y z

−2 0 0 40 3 1

20 −35

0 0 1 27

5 17

x = 4−2 = −2

y = −353 1

2

= −10

z =5 1

7

1 27

= 4

L = {−2/− 10/4}

Aufgabe (8)

2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34

x y z

2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34

www.fersch.de 95

Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42

z2s1 = 4− 2 · 42= 0

z2s2 = 9− 3 · 42= 3

z2s3 = −1− (−4) · 42= 7

z2s4 = 58− 16 · 42= 26

x y z

2 3 −4 160 3 7 261 6 2 34

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12

z3s1 = 1− 2 · 12= 0

z3s2 = 6− 3 · 12= 4 1

2

z3s3 = 2− (−4) · 12= 4

z3s4 = 34− 16 · 12= 26

x y z

2 3 −4 160 3 7 260 4 1

24 26

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 33

z1s2 = 3− 3 · 33= 0

z1s3 = −4− 7 · 33= −11

z1s4 = 16− 26 · 33= −10

x y z

2 0 −11 −100 3 7 260 4 1

24 26

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 4 123

z3s2 = 4 12− 3 · 4 1

23

= 0

z3s3 = 4− 7 · 4 123

= −6 12

z3s4 = 26− 26 · 4 123

= −13

x y z

2 0 −11 −100 3 7 260 0 −6 1

2−13

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −11

−6 12

z1s3 = −11− (−6 12) · −11

−6 12

= 0

z1s4 = −10− (−13) · −11

−6 12

= 12

x y z

2 0 0 120 3 7 260 0 −6 1

2−13

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 7

−6 12

z2s3 = 7− (−6 12) · 7

−6 12

= 0

z2s4 = 26− (−13) · 7

−6 12

= 12

x y z

2 0 0 120 3 0 120 0 −6 1

2−13

x = 122 = 6

y = 123 = 4

z = −13−6 1

2

= 2

L = {6/4/2}

Aufgabe (9)

4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7

x y z

4 −3 2 105 6 −7 410 −2 −3 7

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54

z2s1 = 5− 4 · 54= 0

z2s2 = 6− (−3) · 54= 9 3

4

z2s3 = −7− 2 · 54= −9 1

2

z2s4 = 4− 10 · 54= −8 1

2

x y z

4 −3 2 100 9 3

4−9 1

2−8 1

2

10 −2 −3 7

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 104

z3s1 = 10− 4 · 104

= 0z3s2 = −2− (−3) · 10

4= 5 1

2

z3s3 = −3− 2 · 104

= −8z3s4 = 7− 10 · 10

4= −18

x y z

4 −3 2 100 9 3

4−9 1

2−8 1

2

0 5 12

−8 −18

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −3

9 34

z1s2 = −3− 9 34· −3

9 34

= 0

z1s3 = 2− (−9 12) · −3

9 34

= − 1213

z1s4 = 10− (−8 12) · −3

9 34

= 7 513

x y z

4 0 − 1213

7 513

0 9 34

−9 12

−8 12

0 5 12

−8 −18

www.fersch.de 96

Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 5 12

9 34

z3s2 = 5 12− 9 3

4· 5 1

2

9 34

= 0

z3s3 = −8− (−9 12) · 5 1

2

9 34

= −2 2539

z3s4 = −18− (−8 12) · 5 1

2

9 34

= −13 839

x y z

4 0 − 1213

7 513

0 9 34

−9 12

−8 12

0 0 −2 2539

−13 839

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · − 1213

−2 2539

z1s3 = − 1213

− (−2 2539) · − 12

13

−2 2539

= 0

z1s4 = 7 513

− (−13 839) · − 12

13

−2 2539

= 12

x y z

4 0 0 120 9 3

4−9 1

2−8 1

2

0 0 −2 2539

−13 839

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −9 12

−2 2539

z2s3 = −9 12− (−2 25

39) · −9 1

2

−2 2539

= 0

z2s4 = −8 12− (−13 8

39) · −9 1

2

−2 2539

= 39

x y z

4 0 0 120 9 3

40 39

0 0 −2 2539

−13 839

x = 124 = 3

y = 399 3

4

= 4

z =−13 8

39

−2 2539

= 5

L = {3/4/5}

Aufgabe (10)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

x y z

9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 69

z2s1 = 6− 9 · 69= 0

z2s2 = 3− 5 · 69= − 1

3

z2s3 = −5− 4 · 69= −7 2

3

z2s4 = 17− 13 · 69= 8 1

3

x y z

9 5 4 130 − 1

3−7 2

38 13

3 −10 6 23

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 39

z3s1 = 3− 9 · 39= 0

z3s2 = −10− 5 · 39= −11 2

3

z3s3 = 6− 4 · 39= 4 2

3

z3s4 = 23− 13 · 39= 18 2

3

x y z

9 5 4 130 − 1

3−7 2

38 13

0 −11 23

4 23

18 23

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 5

− 13

z1s2 = 5− (− 13) · 5

− 13

= 0

z1s3 = 4− (−7 23) · 5

− 13

= −111

z1s4 = 13− 8 13· 5

− 13

= 138

x y z

9 0 −111 1380 − 1

3−7 2

38 13

0 −11 23

4 23

18 23

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −11 23

− 13

z3s2 = −11 23− (− 1

3) · −11 2

3

− 13

= 0

z3s3 = 4 23− (−7 2

3) · −11 2

3

− 13

= 273

z3s4 = 18 23− 8 1

3· −11 2

3

− 13

= −273

x y z

9 0 −111 1380 − 1

3−7 2

38 13

0 0 273 −273

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −111273

z1s3 = −111− 273 · −111273

= 0z1s4 = 138− (−273) · −111

273= 27

x y z

9 0 0 270 − 1

3−7 2

38 13

0 0 273 −273

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 23

273

z2s3 = −7 23− 273 · −7 2

3273

= 0

z2s4 = 8 13− (−273) · −7 2

3273

= 23

x y z

9 0 0 270 − 1

30 2

3

0 0 273 −273

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Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

x = 279 = 3

y =23

− 13

= −2

z = −273273 = −1

L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (11)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

x y z

11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1211

z2s1 = 12− 11 · 1211

= 0z2s2 = 14− 13 · 12

11= − 2

11

z2s3 = 5− 4 · 1211

= 711

z2s4 = 40− 37 · 1211

= − 411

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

9 3 3 15

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 911

z3s1 = 9− 11 · 911

= 0z3s2 = 3− 13 · 9

11= −7 7

11

z3s3 = 3− 4 · 911

= − 311

z3s4 = 15− 37 · 911

= −15 311

x y z

11 13 4 370 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 13

− 211

z1s2 = 13− (− 211) · 13

− 211

= 0

z1s3 = 4− 711

· 13

− 211

= 49 12

z1s4 = 37− (− 411) · 13

− 211

= 11

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 −7 711

− 311

−15 311

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −7 711

− 211

z3s2 = −7 711

− (− 211) · −7 7

11

− 211

= 0

z3s3 = − 311

− 711

· −7 711

− 211

= −27

z3s4 = −15 311

− (− 411) · −7 7

11

− 211

= 0

x y z

11 0 49 12

110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 49 12

−27

z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1

2−27

= 0

z1s4 = 11− 0 · 49 12

−27= 11

x y z

11 0 0 110 − 2

11711

− 411

0 0 −27 0

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·711

−27

z2s3 = 711

− (−27) ·711

−27= 0

z2s4 = − 411

− 0 ·711

−27= − 4

11

x y z

11 0 0 110 − 2

110 − 4

11

0 0 −27 0

x = 1111 = 1

y =− 4

11

− 211

= 2

z = 0−27 = 0

L = {1/2/0}

Aufgabe (12)

2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

x y z

2 3 4 1754 6 5 2873 2 8 257

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Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42

z2s1 = 4− 2 · 42= 0

z2s2 = 6− 3 · 42= 0

z2s3 = 5− 4 · 42= −3

z2s4 = 287− 175 · 42= −63

x y z

2 3 4 1750 0 −3 −633 2 8 257

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 32

z3s1 = 3− 2 · 32= 0

z3s2 = 2− 3 · 32= −2 1

2

z3s3 = 8− 4 · 32= 2

z3s4 = 257− 175 · 32= −5 1

2

x y z

2 3 4 1750 0 −3 −630 −2 1

22 −5 1

2

Zeilen vertauschen

x y z

2 3 4 1750 −2 1

22 −5 1

2

0 0 −3 −63

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3

−2 12

z1s2 = 3− (−2 12) · 3

−2 12

= 0

z1s3 = 4− 2 · 3

−2 12

= 6 25

z1s4 = 175− (−5 12) · 3

−2 12

= 168 25

x y z

2 0 6 25

168 25

0 −2 12

2 −5 12

0 0 −3 −63

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 6 25

−3

z1s3 = 6 25− (−3) · 6 2

5−3

= 0

z1s4 = 168 25− (−63) · 6 2

5−3

= 34

x y z

2 0 0 340 −2 1

22 −5 1

2

0 0 −3 −63

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 2−3

z2s3 = 2− (−3) · 2−3

= 0

z2s4 = −5 12− (−63) · 2

−3= −47 1

2

x y z

2 0 0 340 −2 1

20 −47 1

2

0 0 −3 −63

x = 342 = 17

y =−47 1

2

−2 12

= 19

z = −63−3 = 21

L = {17/19/21}

Aufgabe (13)

6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

x y z

6 4 9 325 7 10 174 8 5 100

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 56

z2s1 = 5− 6 · 56= 0

z2s2 = 7− 4 · 56= 3 2

3

z2s3 = 10− 9 · 56= 2 1

2

z2s4 = 17− 32 · 56= −9 2

3

x y z

6 4 9 320 3 2

32 12

−9 23

4 8 5 100

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 46

z3s1 = 4− 6 · 46= 0

z3s2 = 8− 4 · 46= 5 1

3

z3s3 = 5− 9 · 46= −1

z3s4 = 100− 32 · 46= 78 2

3

x y z

6 4 9 320 3 2

32 12

−9 23

0 5 13

−1 78 23

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4

3 23

z1s2 = 4− 3 23· 4

3 23

= 0

z1s3 = 9− 2 12· 4

3 23

= 6 311

z1s4 = 32− (−9 23) · 4

3 23

= 42 611

x y z

6 0 6 311

42 611

0 3 23

2 12

−9 23

0 5 13

−1 78 23

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Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 5 13

3 23

z3s2 = 5 13− 3 2

3· 5 1

3

3 23

= 0

z3s3 = −1− 2 12· 5 1

3

3 23

= −4 711

z3s4 = 78 23− (−9 2

3) · 5 1

3

3 23

= 92 811

x y z

6 0 6 311

42 611

0 3 23

2 12

−9 23

0 0 −4 711

92 811

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 6 311

−4 711

z1s3 = 6 311

− (−4 711) · 6 3

11

−4 711

= 0

z1s4 = 42 611

− 92 811

· 6 311

−4 711

= 168

x y z

6 0 0 1680 3 2

32 12

−9 23

0 0 −4 711

92 811

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 2 12

−4 711

z2s3 = 2 12− (−4 7

11) · 2 1

2

−4 711

= 0

z2s4 = −9 23− 92 8

11· 2 1

2

−4 711

= 40 13

x y z

6 0 0 1680 3 2

30 40 1

3

0 0 −4 711

92 811

x = 1686 = 28

y =40 1

3

3 23

= 11

z =92 8

11

−4 711

= −20

L = {28/11/− 20}

Aufgabe (14)

x+ y = 1x+ z = 6y − z = 5

x y z

1 1 0 11 0 1 60 1 −1 5

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 11

z2s1 = 1− 1 · 11= 0

z2s2 = 0− 1 · 11= −1

z2s3 = 1− 0 · 11= 1

z2s4 = 6− 1 · 11= 5

x y z

1 1 0 10 −1 1 50 1 −1 5

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−1

z1s2 = 1− (−1) · 1−1

= 0

z1s3 = 0− 1 · 1−1

= 1

z1s4 = 1− 5 · 1−1

= 6

x y z

1 0 1 60 −1 1 50 1 −1 5

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−1

z3s2 = 1− (−1) · 1−1

= 0

z3s3 = −1− 1 · 1−1

= 0

z3s4 = 5− 5 · 1−1

= 10

x y z

1 0 1 60 −1 1 50 0 0 10

L = {}

Aufgabe (15)

x− 2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

x y z

1 −2 3 93 8 9 52 3 6 7

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 31

z2s1 = 3− 1 · 31= 0

z2s2 = 8− (−2) · 31= 14

z2s3 = 9− 3 · 31= 0

z2s4 = 5− 9 · 31= −22

x y z

1 −2 3 90 14 0 −222 3 6 7

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Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen

Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 21

z3s1 = 2− 1 · 21= 0

z3s2 = 3− (−2) · 21= 7

z3s3 = 6− 3 · 21= 0

z3s4 = 7− 9 · 21= −11

x y z

1 −2 3 90 14 0 −220 7 0 −11

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −214

z1s2 = −2− 14 · −214

= 0z1s3 = 3− 0 · −2

14= 3

z1s4 = 9− (−22) · −214

= 5 67

x y z

1 0 3 5 67

0 14 0 −220 7 0 −11

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 714

z3s2 = 7− 14 · 714

= 0z3s3 = 0− 0 · 7

14= 0

z3s4 = −11− (−22) · 714

= 0

x y z

1 0 3 5 67

0 14 0 −220 0 0 0

L = unendlich

Aufgabe (16)

x+ 3y − 2z = 33x+ 2y + z = 2y + 3z = 5

x y z

1 3 −2 33 2 1 20 1 3 5

Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 31

z2s1 = 3− 1 · 31= 0

z2s2 = 2− 3 · 31= −7

z2s3 = 1− (−2) · 31= 7

z2s4 = 2− 3 · 31= −7

x y z

1 3 −2 30 −7 7 −70 1 3 5

Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3−7

z1s2 = 3− (−7) · 3−7

= 0

z1s3 = −2− 7 · 3−7

= 1

z1s4 = 3− (−7) · 3−7

= 0

x y z

1 0 1 00 −7 7 −70 1 3 5

Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−7

z3s2 = 1− (−7) · 1−7

= 0

z3s3 = 3− 7 · 1−7

= 4

z3s4 = 5− (−7) · 1−7

= 4

x y z

1 0 1 00 −7 7 −70 0 4 4

Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 14

z1s3 = 1− 4 · 14= 0

z1s4 = 0− 4 · 14= −1

x y z

1 0 0 −10 −7 7 −70 0 4 4

Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 74

z2s3 = 7− 4 · 74= 0

z2s4 = −7− 4 · 74= −14

x y z

1 0 0 −10 −7 0 −140 0 4 4

x = −11 = −1

y = −14−7 = 2

z = 44 = 1

L = {−1/2/1}

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