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  • Lineares GleichungssystemAufgaben und Lsungen

    http://www.fersch.de

    Klemens Fersch

    25. April 2013

    Inhaltsverzeichnis1 Einsetzverfahren (2) 2

    1.1 Interaktiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2 Gleichsetzungsverfahren (2) 172.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3 Additionsverfahren (2) 333.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    4 2-reihige Determinante 474.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    5 3-reihige Determinante 505.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    6 Determinantenverfahren (2) 546.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    7 Determinantenverfahren (3) 647.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    8 Gausches Eliminationsverfahren 758.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    9 Gau-Jordan-Algorithmus 869.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.2 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    9.3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.3.2 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    1

    http://www.fersch.de/

  • Einsetzverfahren (2)

    1 Einsetzverfahren (2)I a1 x+ b1 y = c1II a2 x+ b2 y = c42

    Gleichung I oder II nach x oder y auflsen

    Term in die andere Gleichung einsetzen

    Gleichung nach der Unbekannten auflsen

    zweite Unbekannte berechnen

    I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflsen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 / 5y3x = 19 5y / : 3x = 6 1

    3 1 2

    3y

    I in II7(6 1

    3 1 2

    3y) + 5y = 31

    44 13 11 2

    3y + 5y = 31 / 44 1

    3

    11 23y + 5y = 31 44 1

    3

    6 23y = 13 1

    3/ :

    (6 2

    3

    )y =

    13 13

    6 23

    y = 2x = 6 1

    3 1 2

    3y

    x = 6 13 1 2

    3 2

    x = 3L = {3/2}

    I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflsen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 / 3x5y = 19 3x / : 5y = 3 4

    5 3

    5x

    I in II7x+ 5(3 4

    5 3

    5x) = 31

    19 3x+ 5x = 31 / 193x+ 5x = 31 194x = 12 / : 4x = 12

    4

    x = 3y = 3 4

    5 3

    5x

    y = 3 45 3

    5 3

    y = 2L = {3/2}

    1.1 Matrix1.1.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lsen, klicken Sie hier: Neue Rechnungdfgdfgdf

    (1)(2)

    www.fersch.de 2

    http://www.fersch.de/vorlage.cshtml?nr=linearessystem2ein&nrform=Textgauss

  • Einsetzverfahren (2) Matrix

    1.1.2 LsungenAufgabe (1)

    a+ 2b+ 3c = 45a+ 6b+ 7c = 89a+ 10b+ 11c = 12

    a b c

    1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

    Zeile2 = Zeile2-Zeile1 51

    z2s1 = 5 1 51= 0

    z2s2 = 6 2 51= 4

    z2s3 = 7 3 51= 8

    z2s4 = 8 4 51= 12

    a b c

    1 2 3 40 4 8 129 10 11 12

    Zeile3 = Zeile3-Zeile1 91

    z3s1 = 9 1 91= 0

    z3s2 = 10 2 91= 8

    z3s3 = 11 3 91= 16

    z3s4 = 12 4 91= 24

    a b c

    1 2 3 40 4 8 120 8 16 24

    Zeile1 = Zeile1-Zeile2 24z1s2 = 2 (4) 24 = 0z1s3 = 3 (8) 24 = 1z1s4 = 4 (12) 24 = 2

    a b c

    1 0 1 20 4 8 120 8 16 24

    Zeile3 = Zeile3-Zeile2 84z3s2 = 8 (4) 84 = 0z3s3 = 16 (8) 84 = 0z3s4 = 24 (12) 84 = 0

    a b c

    1 0 1 20 4 8 120 0 0 0

    L = unendlich

    123456789101112

    Aufgabe (2)

    a+ 2b+ 3c = 45a+ 6b+ 7c = 89a+ 10b+ 11c = 12

    a b c

    1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

    Zeile2 = Zeile2-Zeile1 51

    z2s1 = 5 1 51= 0

    z2s2 = 6 2 51= 4

    z2s3 = 7 3 51= 8

    z2s4 = 8 4 51= 12

    a b c

    1 2 3 40 4 8 129 10 11 12

    www.fersch.de 3

  • Einsetzverfahren (2) Matrix

    Zeile3 = Zeile3-Zeile1 91

    z3s1 = 9 1 91= 0

    z3s2 = 10 2 91= 8

    z3s3 = 11 3 91= 16

    z3s4 = 12 4 91= 24

    a b c

    1 2 3 40 4 8 120 8 16 24

    Zeile1 = Zeile1-Zeile2 24z1s2 = 2 (4) 24 = 0z1s3 = 3 (8) 24 = 1z1s4 = 4 (12) 24 = 2

    a b c

    1 0 1 20 4 8 120 8 16 24

    Zeile3 = Zeile3-Zeile2 84z3s2 = 8 (4) 84 = 0z3s3 = 16 (8) 84 = 0z3s4 = 24 (12) 84 = 0

    a b c

    1 0 1 20 4 8 120 0 0 0

    L = unendlich

    123456789101112

    www.fersch.de 4

  • Einsetzverfahren (2) Interaktiv

    1.2 Interaktiv1.2.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lsen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 x+ b1 y = c1a2 x+ b2 y = c2

    Gesucht:x und y

    (1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31

    (2) 1x+ 1y = 101x 1y = 4

    (3) 9x 2y = 55x 2y = 1

    (4) 9x 2y = 13x 3y = 7

    (5) 1x+ 3y = 93x 2y = 6

    (6) 7x+ 112y = 1

    2x 5y = 22

    (7) 4x 5y = 433x 7y = 0

    (8) 8x 3y = 1012x 5y = 24

    (9) 12x+ 1y = 2

    12x 3y = 3

    (10) 1x+ 1y = 312x 4y = 5

    (11) 115x 1

    13y = 5

    13

    2 12x14y = 12

    38

    (12)23x

    57y =

    23

    1x+ 1y = 10 23

    (13) 112x 2y = 9

    25x+

    13y = 5

    (14) 2x+ 3y = 413x

    15y = 12

    (15) 1x+ 2y = 41x+ 2y = 5

    (16) 2x+ 4y = 412x+ 3y = 3

    (17) 12x+ 4y = 6

    2x 8y = 2

    (18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2

    (19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3

    (20) 145x+ 1

    13y = 1

    23x+19y = 9

    (21) 2x 7y = 87x 1y = 9

    (22) 7x+ 9y = 35x 6y = 4

    www.fersch.de 5

    http://www.fersch.de/vorlage.cshtml?nr=linearessystem2ein&nrform=Alglinearessystem2ein

  • Einsetzverfahren (2) Interaktiv

    (23) 2x+ 2y = 1710

    3x+ 6y = 3

    (24) 3x+ 5y = 89x+ 0y = 7

    (25) 3x+ 6y = 89x+ 0y = 9

    (26) 3x+ 6y = 89x+ 0y = 9

    www.fersch.de 6

  • Einsetzverfahren (2) Interaktiv

    1.2.2 LsungenAufgabe (1)

    I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflsen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 / 5y3x = 19 5y / : 3x = 6 13 1

    23y

    I in II7(6 13 1

    23y) + 5y = 31

    4413 1123y + 5y = 31 / 44

    13

    11 23y + 5y = 31 4413

    6 23y = 1313 / :

    (6 23

    )y =

    13 136 23

    y = 2x = 6 13 1

    23y

    x = 6 13 123 2

    x = 3L = {3/2}

    I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflsen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 / 3x5y = 19 3x / : 5y = 3 45

    35x

    I in II7x+ 5(3 45

    35x) = 31

    19 3x+ 5x = 31 / 193x+ 5x = 31 194x = 12 / : 4x = 124x = 3y = 3 45

    35x

    y = 3 45 35 3

    y = 2L = {3/2}

    Aufgabe (2)

    I 1x+ 1y = 10II 1x 1y = 4I nach x auflsen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 / 1y1x = 10 1y / : 1x = 10 1yI in II1(10 1y) +1y = 410 1y 1y = 4 / 101y 1y = 4 102y = 6 / : (2)y = 62y = 3x = 10 1yx = 10 1 3x = 7L = {7/3}

    I 1x+ 1y = 10II 1x 1y = 4I nach y auflsen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 / 1x1y = 10 1x / : 1y = 10 1xI in II1x+1(10 1x) = 410 + 1x 1x = 4 / (10)+1x 1x = 4 (10)2x = 14 / : 2x = 142x = 7y = 10 1xy = 10 1 7y = 3L = {7/3}

    Aufgabe (3)

    www.fersch.de 7

  • Einsetzverfahren (2) Interaktiv

    I 9x 2y = 5II 5x 2y = 1I nach x auflsen9x 2y = 59x 2y = 5 / + 2y9x = 5 + 2y / : 9x = 59 +

    29y

    I in II5( 59 +

    29y) +2y = 1

    279 + 119y 2y = 1 / 2

    79

    +119y 2y = 1 279

    89y = 179 / :

    (89

    )y =

    1 79 89

    y = 2x = 59 +

    29y

    x = 59 +29 2

    x = 1L = {1/2}

    I 9x 2y = 5II 5x 2y = 1I nach y auflsen9x 2y = 59x 2y = 5 / 9x2y = 5 9x / : (2)y = 2 12 + 4

    12x

    I in II5x+2(2 12 + 4

    12x) = 1

    5 9x 2x = 1 / 59x 2x = 1 54x = 4 / : (4)x = 44x = 1y = 2 12 + 4

    12x

    y = 2 12 + 412 1

    y = 2L = {1/2}

    Aufgabe (4)

    I 9x 2y = 1II 3x 3y = 7I nach x auflsen9x 2y = 19x 2y = 1 / + 2y9x = 1 + 2y / : 9x = 19 +

    29y

    I in II3( 19 +

    29y) +3y = 7

    13 23y 3y = 7 /

    (13

    )23y 3y = 7

    ( 13

    )3 23y = 6

    23 / :

    (3 23

    )y =

    6 233 23

    y = 1 911x = 19 +

    29y

    x = 19 +29 1

    911

    x = 1733L = { 1733/1

    911}

    I 9x 2y = 1II 3x 3y = 7I nach y auflsen9x 2y = 19x 2y = 1 / 9x2y = 1 9x / : (2)y = 12 + 4

    12x

    I in II3x+3(12 + 4

    12x) = 7

    1 12 1312x 3x = 7 / 1

    12

    13 12x 3x = 7 112

    16 12x = 812 / :

    (16 12

    )x =

    8 1216 12

    x = 1733