Lineares Gleichungssystem - Aufgaben und Lösungen · Lineares Gleichungssystem Aufgaben und...
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Lineares GleichungssystemAufgaben und Lösungen
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©Klemens Fersch
25. April 2013
Inhaltsverzeichnis1 Einsetzverfahren (2) 2
1.1 Interaktiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Gleichsetzungsverfahren (2) 172.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Additionsverfahren (2) 333.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 2-reihige Determinante 474.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 3-reihige Determinante 505.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 Determinantenverfahren (2) 546.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Determinantenverfahren (3) 647.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 Gaußsches Eliminationsverfahren 758.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9 Gauß-Jordan-Algorithmus 869.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1
Einsetzverfahren (2)
1 Einsetzverfahren (2)I a1 · x+ b1 · y = c1
II a2 · x+ b2 · y = c42
• Gleichung I oder II nach x oder y auflösen
• Term in die andere Gleichung einsetzen
• Gleichung nach der Unbekannten auflösen
• zweite Unbekannte berechnen
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 5y3x = 19− 5y / : 3x = 6 1
3− 1 2
3y
I in II7(6 1
3− 1 2
3y) + 5y = 31
44 13− 11 2
3y + 5y = 31 /− 44 1
3
−11 23y + 5y = 31− 44 1
3
−6 23y = −13 1
3/ :
(−6 2
3
)y =
−13 13
−6 23
y = 2x = 6 1
3− 1 2
3y
x = 6 13− 1 2
3· 2
x = 3L = {3/2}
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 3x5y = 19− 3x / : 5y = 3 4
5− 3
5x
I in II7x+ 5(3 4
5− 3
5x) = 31
19− 3x+ 5x = 31 /− 19−3x+ 5x = 31− 194x = 12 / : 4x = 12
4
x = 3y = 3 4
5− 3
5x
y = 3 45− 3
5· 3
y = 2L = {3/2}
1.1 Matrix
1.1.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnungdfgdfgdf
(1)(2)
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Einsetzverfahren (2) Matrix
1.1.2 LösungenAufgabe (1)
a+ 2b+ 3c = 45a+ 6b+ 7c = 89a+ 10b+ 11c = 12
a b c
1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 51
z2s1 = 5− 1 · 51= 0
z2s2 = 6− 2 · 51= −4
z2s3 = 7− 3 · 51= −8
z2s4 = 8− 4 · 51= −12
a b c
1 2 3 40 −4 −8 −129 10 11 12
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 91
z3s1 = 9− 1 · 91= 0
z3s2 = 10− 2 · 91= −8
z3s3 = 11− 3 · 91= −16
z3s4 = 12− 4 · 91= −24
a b c
1 2 3 40 −4 −8 −120 −8 −16 −24
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−4
z1s2 = 2− (−4) · 2−4
= 0
z1s3 = 3− (−8) · 2−4
= −1
z1s4 = 4− (−12) · 2−4
= −2
a b c
1 0 −1 −20 −4 −8 −120 −8 −16 −24
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −8−4
z3s2 = −8− (−4) · −8−4
= 0
z3s3 = −16− (−8) · −8−4
= 0
z3s4 = −24− (−12) · −8−4
= 0
a b c
1 0 −1 −20 −4 −8 −120 0 0 0
L = unendlich
123456789101112
Aufgabe (2)
a+ 2b+ 3c = 45a+ 6b+ 7c = 89a+ 10b+ 11c = 12
a b c
1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 51
z2s1 = 5− 1 · 51= 0
z2s2 = 6− 2 · 51= −4
z2s3 = 7− 3 · 51= −8
z2s4 = 8− 4 · 51= −12
a b c
1 2 3 40 −4 −8 −129 10 11 12
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Einsetzverfahren (2) Matrix
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 91
z3s1 = 9− 1 · 91= 0
z3s2 = 10− 2 · 91= −8
z3s3 = 11− 3 · 91= −16
z3s4 = 12− 4 · 91= −24
a b c
1 2 3 40 −4 −8 −120 −8 −16 −24
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−4
z1s2 = 2− (−4) · 2−4
= 0
z1s3 = 3− (−8) · 2−4
= −1
z1s4 = 4− (−12) · 2−4
= −2
a b c
1 0 −1 −20 −4 −8 −120 −8 −16 −24
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −8−4
z3s2 = −8− (−4) · −8−4
= 0
z3s3 = −16− (−8) · −8−4
= 0
z3s4 = −24− (−12) · −8−4
= 0
a b c
1 0 −1 −20 −4 −8 −120 0 0 0
L = unendlich
123456789101112
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Einsetzverfahren (2) Interaktiv
1.2 Interaktiv1.2.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y = c1a2 · x+ b2 · y = c2
Gesucht:x und y
(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31
(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4
(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1
(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7
(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6
(6) 7x+ 1 12y = 1
2x− 5y = 22
(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0
(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24
(9) −12x+ 1y = 2
12x− 3y = −3
(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5
(11) 1 15x− 1 1
3y = 5 13
2 12x− 1
4y = 12 38
(12)23x− 5
7y = 23
1x+ 1y = 10 23
(13) 112x− 2y = 9
25x+ 1
3y = 5
(14) 2x+ 3y = 413x− 1
5y = 12
(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5
(16) 2x+ 4y = 4−1
2x+ 3y = 3
(17) −12x+ 4y = 6
−2x− 8y = 2
(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2
(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3
(20) −1 45x+ 1 1
3y = −1−2
3x+ 19y = 9
(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9
(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4
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Einsetzverfahren (2) Interaktiv
(23) 2x+ 2y = 1 710
3x+ 6y = 3
(24) 3x+ 5y = 89x+ 0y = 7
(25) 3x+ 6y = 89x+ 0y = 9
(26) 3x+ 6y = 89x+ 0y = 9
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Einsetzverfahren (2) Interaktiv
1.2.2 LösungenAufgabe (1)
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 5y3x = 19− 5y / : 3x = 6 1
3 − 1 23y
I in II7(6 1
3 − 1 23y) + 5y = 31
4413 − 11 2
3y + 5y = 31 /− 44 13
−11 23y + 5y = 31− 44 1
3−6 2
3y = −13 13 / :
(−6 2
3
)y =
−13 13
−6 23
y = 2x = 6 1
3 − 1 23y
x = 6 13 − 1 2
3 · 2x = 3L = {3/2}
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 3x5y = 19− 3x / : 5y = 3 4
5 − 35x
I in II7x+ 5(3 4
5 − 35x) = 31
19− 3x+ 5x = 31 /− 19−3x+ 5x = 31− 194x = 12 / : 4x = 12
4x = 3y = 3 4
5 − 35x
y = 3 45 − 3
5 · 3y = 2L = {3/2}
Aufgabe (2)
I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach x auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1y1x = 10− 1y / : 1x = 10− 1yI in II1(10− 1y) +−1y = 410− 1y − 1y = 4 /− 10−1y − 1y = 4− 10−2y = −6 / : (−2)y = −6
−2
y = 3x = 10− 1yx = 10− 1 · 3x = 7L = {7/3}
I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach y auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1x1y = 10− 1x / : 1y = 10− 1xI in II1x+−1(10− 1x) = 4−10 + 1x− 1x = 4 /− (−10)+1x− 1x = 4− (−10)2x = 14 / : 2x = 14
2x = 7y = 10− 1xy = 10− 1 · 7y = 3L = {7/3}
Aufgabe (3)
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Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach x auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 / + 2y9x = 5 + 2y / : 9x = 5
9 + 29y
I in II5( 59 + 2
9y) +−2y = 1279 + 1 1
9y − 2y = 1 /− 2 79
+119y − 2y = 1− 2 7
9−8
9y = −1 79 / :
(−8
9
)y =
−1 79
− 89
y = 2x = 5
9 + 29y
x = 59 + 2
9 · 2x = 1L = {1/2}
I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach y auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 /− 9x−2y = 5− 9x / : (−2)y = −2 1
2 + 4 12x
I in II5x+−2(−2 1
2 + 4 12x) = 1
5− 9x− 2x = 1 /− 5−9x− 2x = 1− 5−4x = −4 / : (−4)x = −4
−4
x = 1y = −2 1
2 + 4 12x
y = −2 12 + 4 1
2 · 1y = 2L = {1/2}
Aufgabe (4)
I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach x auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 / + 2y9x = 1 + 2y / : 9x = 1
9 + 29y
I in II−3( 19 + 2
9y) +−3y = −7−1
3 − 23y − 3y = −7 /−
(−1
3
)−2
3y − 3y = −7−(− 1
3
)−3 2
3y = −6 23 / :
(−3 2
3
)y =
−6 23
−3 23
y = 1 911
x = 19 + 2
9yx = 1
9 + 29 · 1 9
11x = 17
33L = { 17
33/1911}
I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach y auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 /− 9x−2y = 1− 9x / : (−2)y = −1
2 + 4 12x
I in II−3x+−3(−1
2 + 4 12x) = −7
1 12 − 13 1
2x− 3x = −7 /− 1 12
−13 12x− 3x = −7− 1 1
2−16 1
2x = −8 12 / :
(−16 1
2
)x =
−8 12
−16 12
x = 1733
y = −12 + 4 1
2xy = −1
2 + 4 12 · 17
33y = 1 9
11L = { 17
33/1911}
Aufgabe (5)
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Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach x auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 3y1x = 9− 3y / : 1x = 9− 3yI in II3(9− 3y) +−2y = −627− 9y − 2y = −6 /− 27−9y − 2y = −6− 27−11y = −33 / : (−11)y = −33
−11
y = 3x = 9− 3yx = 9− 3 · 3x = 0L = {0/3}
I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach y auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 1x3y = 9− 1x / : 3y = 3− 1
3xI in II3x+−2(3− 1
3x) = −6−6 + 2
3x− 2x = −6 /− (−6)+ 2
3x− 2x = −6− (−6)3 23x = 0 / : 3 2
3x = 0
3 23
x = 0y = 3− 1
3xy = 3− 1
3 · 0y = 3L = {0/3}
Aufgabe (6)
I 7x+ 1 12y = 1
II 2x− 5y = 22I nach x auflösen7x+ 1 1
2y = 17x+ 1 1
2y = 1 /− 1 12y
7x = 1− 1 12y / : 7
x = 17 − 3
14yI in II2( 17 − 3
14y) +−5y = 2227 − 3
7y − 5y = 22 /− 27
−37y − 5y = 22− 2
7−5 3
7y = 21 57 / :
(−5 3
7
)y =
21 57
−5 37
y = −4x = 1
7 − 314y
x = 17 − 3
14 · (−4)x = 1L = {1/− 4}
I 7x+ 1 12y = 1
II 2x− 5y = 22I nach y auflösen7x+ 1 1
2y = 17x+ 1 1
2y = 1 /− 7x1 12y = 1− 7x / : 1 1
2y = 2
3 − 423x
I in II2x+−5( 23 − 4 2
3x) = 22−3 1
3 + 23 13x− 5x = 22 /−
(−31
3
)+23 1
3x− 5x = 22−(−3 1
3
)25 1
3x = 25 13 / : 25 1
3
x =25 1
3
25 13
x = 1y = 2
3 − 423x
y = 23 − 42
3 · 1y = −4L = {1/− 4}
Aufgabe (7)
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Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach x auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 / + 5y4x = 43 + 5y / : 4x = 10 3
4 + 1 14y
I in II−3(10 3
4 + 1 14y) +−7y = 0
−32 14 − 33
4y − 7y = 0 /−(−32 1
4
)−3 3
4y − 7y = 0−(−321
4
)−10 3
4y = 32 14 / :
(−10 3
4
)y =
32 14
−10 34
y = −3x = 10 3
4 + 1 14y
x = 10 34 + 1 1
4 · (−3)x = 7L = {7/− 3}
I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach y auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 /− 4x−5y = 43− 4x / : (−5)y = −8 3
5 + 45x
I in II−3x+−7(−8 3
5 + 45x) = 0
60 15 − 5 3
5x− 7x = 0 /− 60 15
−535x− 7x = 0− 60 1
5−83
5x = −60 15 / :
(−83
5
)x =
−60 15
−8 35
x = 7y = −8 3
5 + 45x
y = −8 35 + 4
5 · 7y = −3L = {7/− 3}
Aufgabe (8)
I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I nach x auflösen8x− 3y = 108x− 3y = 10 / + 3y8x = 10 + 3y / : 8x = 1 1
4 + 38y
I in II12(11
4 + 38y) +−5y = 24
15 + 4 12y − 5y = 24 /− 15
+412y − 5y = 24− 15
−12y = 9 / :
(−1
2
)y = 9
− 12
y = −18x = 1 1
4 + 38y
x = 1 14 + 3
8 · (−18)x = −5 1
2L = {−5 1
2/− 18}
I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I nach y auflösen8x− 3y = 108x− 3y = 10 /− 8x−3y = 10− 8x / : (−3)y = −3 1
3 + 2 23x
I in II12x+−5(−3 1
3 + 2 23x) = 24
1623 − 13 1
3x− 5x = 24 /− 16 23
−13 13x− 5x = 24− 16 2
3−1 1
3x = 7 13 / :
(−1 1
3
)x =
7 13
−1 13
x = −5 12
y = −3 13 + 2 2
3xy = −3 1
3 + 2 23 ·
(−5 1
2
)y = −18L = {−5 1
2/− 18}
Aufgabe (9)
www.fersch.de 10
Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I − 12x+ 1y = 2
II 12x− 3y = −3
I nach x auflösen−1
2x+ 1y = 2−1
2x+ 1y = 2 /− 1y−1
2x = 2− 1y / :(−1
2
)x = −4 + 2yI in II12 (−4 + 2y) +−3y = −3−2 + 1y − 3y = −3 /− (−2)+1y − 3y = −3− (−2)−2y = −1 / : (−2)y = −1
−2
y = 12
x = −4 + 2yx = −4 + 2 · 1
2x = −3L = {−3/ 1
2}
I − 12x+ 1y = 2
II 12x− 3y = −3
I nach y auflösen− 1
2x+ 1y = 2− 1
2x+ 1y = 2 / + 12x
1y = 2 + 12x / : 1
y = 2 + 12x
I in II12x+−3(2 + 1
2x) = −3−6− 1 1
2x− 3x = −3 /− (−6)−1 1
2x− 3x = −3− (−6)−1x = 3 / : (−1)x = 3
−1
x = −3y = 2 + 1
2xy = 2 + 1
2 · (−3)y = 1
2L = {−3/ 1
2}
Aufgabe (10)
I − 1x+ 1y = 3II 1
2x− 4y = 5I nach x auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 /− 1y−1x = 3− 1y / : (−1)x = −3 + 1yI in II12 (−3 + 1y) +−4y = 5−1 1
2 + 12y − 4y = 5 /−
(−1 1
2
)+1
2y − 4y = 5−(−1 1
2
)−3 1
2y = 6 12 / :
(−3 1
2
)y =
6 12
−3 12
y = −1 67
x = −3 + 1yx = −3 + 1 ·
(−1 6
7
)x = −4 6
7L = {−4 6
7/− 1 67}
I − 1x+ 1y = 3II 1
2x− 4y = 5I nach y auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 / + 1x1y = 3 + 1x / : 1y = 3 + 1xI in II12x+−4(3 + 1x) = 5−12− 4x− 4x = 5 /− (−12)−4x− 4x = 5− (−12)−3 1
2x = 17 / :(−3 1
2
)x = 17
−3 12
x = −4 67
y = 3 + 1xy = 3 + 1 ·
(−4 6
7
)y = −1 6
7L = {−4 6
7/− 1 67}
Aufgabe (11)
www.fersch.de 11
Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I 1 15x− 11
3y = 5 13
II 2 12x− 1
4y = 12 38
I nach x auflösen115x− 1 1
3y = 5 13
115x− 1 1
3y = 5 13 / + 1 1
3y115x = 5 1
3 + 1 13y / : 1 1
5x = 4 4
9 + 1 19y
I in II212 (4
49 + 1 1
9y) +−14y = 12 3
8111
9 + 2 79y −
14y = 12 3
8 /− 11 19
+279y −
14y = 12 3
8 − 1119
21936y = 1 19
72 / : 2 1936
y =1 19
72
2 1936
y = 12
x = 4 49 + 1 1
9yx = 4 4
9 + 1 19 · 1
2x = 5L = {5/ 1
2}
I 1 15x− 1 1
3y = 5 13
II 2 12x− 1
4y = 12 38
I nach y auflösen1 15x− 11
3y = 5 13
1 15x− 11
3y = 5 13 /− 1 1
5x−1 1
3y = 5 13 − 1 1
5x / :(−1 1
3
)y = −4 + 9
10xI in II2 12x+−1
4 (−4 + 910x) = 12 3
81− 9
40x− 14x = 12 3
8 /− 1− 9
40x− 14x = 12 3
8 − 12 1140x = 11 3
8 / : 2 1140
x =11 3
8
2 1140
x = 5y = −4 + 9
10xy = −4 + 9
10 · 5y = 1
2L = {5/ 1
2}
Aufgabe (12)
I 23x− 5
7y = 23
II 1x+ 1y = 10 23
I nach x auflösen23x− 5
7y = 23
23x− 5
7y = 23 / + 5
7y23x = 2
3 + 57y / : 2
3x = 1 + 1 1
14yI in II1(1 + 1 1
14y) + 1y = 10 23
1 + 1 114y + 1y = 10 2
3 /− 1+1 1
14y + 1y = 10 23 − 1
2 114y = 9 2
3 / : 2 114
y =9 2
3
2 114
y = 4 23
x = 1 + 1 114y
x = 1 + 1 114 · 4 2
3x = 6L = {6/4 2
3}
I 23x− 5
7y = 23
II 1x+ 1y = 10 23
I nach y auflösen23x− 5
7y = 23
23x− 5
7y = 23 /− 2
3x−5
7y = 23 − 2
3x / :(− 5
7
)y = − 14
15 + 1415x
I in II1x+ 1(− 14
15 + 1415x) = 10 2
3−14
15 + 1415x+ 1x = 10 2
3 /−(− 14
15
)+14
15x+ 1x = 10 23 −
(−14
15
)11415x = 11 3
5 / : 1 1415
x =11 3
5
1 1415
x = 6y = − 14
15 + 1415x
y = − 1415 + 14
15 · 6y = 4 2
3L = {6/4 2
3}
Aufgabe (13)
www.fersch.de 12
Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I 1 12x− 2y = 9
II 25x+ 1
3y = 5I nach x auflösen112x− 2y = 9
112x− 2y = 9 / + 2y
112x = 9 + 2y / : 1 1
2x = 6 + 1 1
3yI in II25 (6 + 1 1
3y) +13y = 5
225 + 8
15y +13y = 5 /− 2 2
5+ 8
15y +13y = 5− 2 2
51315y = 2 3
5 / : 1315
y =2 3
51315
y = 3x = 6 + 1 1
3yx = 6 + 1 1
3 · 3x = 10L = {10/3}
I 1 12x− 2y = 9
II 25x+ 1
3y = 5I nach y auflösen112x− 2y = 9
112x− 2y = 9 /− 1 1
2x−2y = 9− 1 1
2x / : (−2)y = −4 1
2 + 34x
I in II25x+ 1
3 (−412 + 3
4x) = 5−11
2 + 14x+ 1
3x = 5 /−(−11
2
)+1
4x+ 13x = 5−
(−1 1
2
)1320x = 6 1
2 / : 1320
x =6 1
21320
x = 10y = −4 1
2 + 34x
y = −4 12 + 3
4 · 10y = 3L = {10/3}
Aufgabe (14)
I 2x+ 3y = 4II 1
3x− 15y = 12
I nach x auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 3y2x = 4− 3y / : 2x = 2− 1 1
2yI in II13 (2− 1 1
2y) +−15y = 12
23 − 1
2y −15y = 12 /− 2
3−1
2y −15y = 12− 2
3− 7
10y = 11 13 / :
(− 7
10
)y =
11 13
− 710
y = −16 421
x = 2− 1 12y
x = 2− 1 12 ·
(−16 4
21
)x = 26 2
7L = {26 2
7/− 16 421}
I 2x+ 3y = 4II 1
3x− 15y = 12
I nach y auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 2x3y = 4− 2x / : 3y = 1 1
3 − 23x
I in II13x+−1
5 (113 − 2
3x) = 12− 4
15 + 215x− 1
5x = 12 /−(− 4
15
)+ 2
15x− 15x = 12−
(− 4
15
)715x = 12 4
15 / : 715
x =12 4
15715
x = 26 27
y = 1 13 − 2
3xy = 1 1
3 − 23 · 26 2
7y = −16 4
21L = {26 2
7/− 16 421}
Aufgabe (15)
www.fersch.de 13
Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach x auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 2y1x = −4− 2y / : 1x = −4− 2yI in II−1(−4− 2y) + 2y = 54 + 2y + 2y = 5 /− 4+2y + 2y = 5− 44y = 1 / : 4y = 1
4y = 1
4x = −4− 2yx = −4− 2 · 1
4x = −4 1
2L = {−4 1
2/14}
I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach y auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 1x2y = −4− 1x / : 2y = −2− 1
2xI in II−1x+ 2(−2− 1
2x) = 5−4− 1x+ 2x = 5 /− (−4)−1x+ 2x = 5− (−4)−2x = 9 / : (−2)x = 9
−2
x = −412
y = −2− 12x
y = −2− 12 ·
(−4 1
2
)y = 1
4L = {−4 1
2/14}
Aufgabe (16)
I 2x+ 4y = 4II − 1
2x+ 3y = 3I nach x auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 4y2x = 4− 4y / : 2x = 2− 2yI in II−1
2 (2− 2y) + 3y = 3−1 + 1y + 3y = 3 /− (−1)+1y + 3y = 3− (−1)4y = 4 / : 4y = 4
4y = 1x = 2− 2yx = 2− 2 · 1x = 0L = {0/1}
I 2x+ 4y = 4II − 1
2x+ 3y = 3I nach y auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 2x4y = 4− 2x / : 4y = 1− 1
2xI in II−1
2x+ 3(1− 12x) = 3
3− 1 12x+ 3x = 3 /− 3
−1 12x+ 3x = 3− 3
−2x = 0 / : (−2)x = 0
−2
x = 0y = 1− 1
2xy = 1− 1
2 · 0y = 1L = {0/1}
Aufgabe (17)
www.fersch.de 14
Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I − 12x+ 4y = 6
II − 2x− 8y = 2I nach x auflösen−1
2x+ 4y = 6−1
2x+ 4y = 6 /− 4y−1
2x = 6− 4y / :(−1
2
)x = −12 + 8yI in II−2(−12 + 8y) +−8y = 224− 16y − 8y = 2 /− 24−16y − 8y = 2− 24−24y = −22 / : (−24)y = −22
−24
y = 1112
x = −12 + 8yx = −12 + 8 · 11
12x = −4 2
3L = {−4 2
3/1112}
I − 12x+ 4y = 6
II − 2x− 8y = 2I nach y auflösen− 1
2x+ 4y = 6− 1
2x+ 4y = 6 / + 12x
4y = 6 + 12x / : 4
y = 1 12 + 1
8xI in II−2x+−8(1 1
2 + 18x) = 2
−12− 1x− 8x = 2 /− (−12)−1x− 8x = 2− (−12)−3x = 14 / : (−3)x = 14
−3
x = −4 23
y = 1 12 + 1
8xy = 1 1
2 + 18 ·
(−4 2
3
)y = 11
12L = {−42
3/1112}
Aufgabe (18)
I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach x auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1y1x = 1− 1y / : 1x = 1− 1yI in II2(1− 1y) + 2y = 22− 2y + 2y = 2 /− 2−2y + 2y = 2− 2
L = unendlich
I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach y auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1x1y = 1− 1x / : 1y = 1− 1xI in II2x+ 2(1− 1x) = 22− 2x+ 2x = 2 /− 2−2x+ 2x = 2− 2
L = unendlich
Aufgabe (19)
I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach x auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1y1x = 2− 1y / : 1x = 2− 1yI in II3(2− 1y) + 3y = 36− 3y + 3y = 3 /− 6−3y + 3y = 3− 6
L = {}
I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach y auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1x1y = 2− 1x / : 1y = 2− 1xI in II3x+ 3(2− 1x) = 36− 3x+ 3x = 3 /− 6−3x+ 3x = 3− 6
L = {}
Aufgabe (20)
www.fersch.de 15
Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I − 1 45x+ 1 1
3y = −1II − 2
3x+ 19y = 9
I nach x auflösen−1 4
5x+ 1 13y = −1
−1 45x+ 1 1
3y = −1 /− 1 13y
−1 45x = −1− 1 1
3y / :(−1 4
5
)x = 5
9 + 2027y
I in II−2
3 (59 + 20
27y) +19y = 9
−1027 − 40
81y +19y = 9 /−
(− 10
27
)−40
81y +19y = 9−
(−10
27
)−31
81y = 9 1027 / :
(− 31
81
)y =
9 1027
− 3181
y = −24 1531
x = 59 + 20
27yx = 5
9 + 2027 ·
(−2415
31
)x = −17 18
31L = {−17 18
31/− 24 1531}
I − 1 45x+ 1 1
3y = −1II − 2
3x+ 19y = 9
I nach y auflösen−14
5x+ 1 13y = −1
−145x+ 1 1
3y = −1 / + 1 45x
113y = −1 + 1 4
5x / : 1 13
y = − 34 + 1 7
20xI in II−2
3x+ 19 (−
34 + 1 7
20x) = 9− 1
12 + 320x+ 1
9x = 9 /−(− 1
12
)+ 3
20x+ 19x = 9−
(− 1
12
)−31
60x = 9 112 / :
(−31
60
)x =
9 112
− 3160
x = −17 1831
y = − 34 + 1 7
20xy = − 3
4 + 1 720 ·
(−17 18
31
)y = −24 15
31L = {−17 18
31/− 24 1531}
Aufgabe (21)
I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach x auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 / + 7y2x = −8 + 7y / : 2x = −4 + 3 1
2yI in II7(−4 + 3 1
2y) +−1y = −9−28 + 24 1
2y − 1y = −9 /− (−28)+241
2y − 1y = −9− (−28)231
2y = 19 / : 23 12
y = 1923 1
2
y = 3847
x = −4 + 3 12y
x = −4 + 3 12 · 38
47x = −1 8
47L = {−1 8
47/3847}
I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach y auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 /− 2x−7y = −8− 2x / : (−7)y = 1 1
7 + 27x
I in II7x+−1(1 1
7 + 27x) = −9
−1 17 − 2
7x− 1x = −9 /−(−1 1
7
)−2
7x− 1x = −9−(−1 1
7
)6 57x = −7 6
7 / : 6 57
x =−7 6
7
6 57
x = −1 847
y = 1 17 + 2
7xy = 1 1
7 + 27 ·
(−1 8
47
)y = 38
47L = {−1 8
47/3847}
Aufgabe (22)
www.fersch.de 16
Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach x auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 /− 9y−7x = −3− 9y / : (−7)x = 3
7 + 1 27y
I in II5( 37 + 1 2
7y) +−6y = −4217 + 6 3
7y − 6y = −4 /− 217
+637y − 6y = −4− 2 1
737y = −6 1
7 / : 37
y =−6 1
737
y = −14 13
x = 37 + 1 2
7yx = 3
7 + 1 27 ·
(−141
3
)x = −18L = {−18/− 14 1
3}
I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach y auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 / + 7x9y = −3 + 7x / : 9y = −1
3 + 79x
I in II5x+−6(− 1
3 + 79x) = −4
2− 4 23x− 6x = −4 /− 2
−4 23x− 6x = −4− 2
13x = −6 / : 1
3x = −6
13
x = −18y = −1
3 + 79x
y = −13 + 7
9 · (−18)y = −14 1
3L = {−18/− 14 1
3}
Aufgabe (23)
I 2x+ 2y = 1 710
II 3x+ 6y = 3I nach x auflösen2x+ 2y = 1 7
102x+ 2y = 1 7
10 /− 2y2x = 1 7
10 − 2y / : 2x = 17
20 − 1yI in II3( 1720 − 1y) + 6y = 321120 − 3y + 6y = 3 /− 211
20−3y + 6y = 3− 2 11
203y = 9
20 / : 3
y =920
3y = 3
20x = 17
20 − 1yx = 17
20 − 1 · 320
x = 710
L = { 710/
320}
I 2x+ 2y = 1 710
II 3x+ 6y = 3I nach y auflösen2x+ 2y = 1 7
102x+ 2y = 1 7
10 /− 2x2y = 1 7
10 − 2x / : 2y = 17
20 − 1xI in II3x+ 6( 1720 − 1x) = 35 110 − 6x+ 6x = 3 /− 5 1
10−6x+ 6x = 3− 5 1
10−3x = −2 1
10 / : (−3)
x =−2 1
10
−3
x = 710
y = 1720 − 1x
y = 1720 − 1 · 7
10y = 3
20L = { 7
10/320}
Aufgabe (24)
www.fersch.de 17
Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I 3x+ 5y = 8II 9x+ 0y = 7I nach x auflösen3x+ 5y = 83x+ 5y = 8 /− 5y3x = 8− 5y / : 3x = 2 2
3 − 1 23y
I in II9(2 2
3 − 1 23y) + 0y = 7
24− 15y + 0y = 7 /− 24−15y + 0y = 7− 24−15y = −17 / : (−15)y = −17
−15
y = 1 215
x = 2 23 − 1 2
3yx = 2 2
3 − 1 23 · 1 2
15x = 7
9L = { 7
9/1215}
I 3x+ 5y = 8II 9x+ 0y = 7I nach y auflösen3x+ 5y = 83x+ 5y = 8 /− 3x5y = 8− 3x / : 5y = 1 3
5 − 35x
I in II9x+ 0(1 3
5 − 35x) = 7
0− 0x+ 0x = 7 /− 0−0x+ 0x = 7− 09x = 7 / : 9x = 7
9x = 7
9y = 1 3
5 − 35x
y = 1 35 − 3
5 · 79
y = 1 215
L = {79/1
215}
Aufgabe (25)
I 3x+ 6y = 8II 9x+ 0y = 9I nach x auflösen3x+ 6y = 83x+ 6y = 8 /− 6y3x = 8− 6y / : 3x = 2 2
3 − 2yI in II9(2 2
3 − 2y) + 0y = 924− 18y + 0y = 9 /− 24−18y + 0y = 9− 24−18y = −15 / : (−18)y = −15
−18
y = 56
x = 2 23 − 2y
x = 2 23 − 2 · 5
6x = 1L = {1/ 5
6}
I 3x+ 6y = 8II 9x+ 0y = 9I nach y auflösen3x+ 6y = 83x+ 6y = 8 /− 3x6y = 8− 3x / : 6y = 1 1
3 − 12x
I in II9x+ 0(1 1
3 − 12x) = 9
0− 0x+ 0x = 9 /− 0−0x+ 0x = 9− 09x = 9 / : 9x = 9
9x = 1y = 1 1
3 − 12x
y = 1 13 − 1
2 · 1y = 5
6L = {1/ 5
6}
Aufgabe (26)
www.fersch.de 18
Einsetzverfahren (2) Interaktiv
I 3x+ 6y = 8II 9x+ 0y = 9I nach x auflösen3x+ 6y = 83x+ 6y = 8 /− 6y3x = 8− 6y / : 3x = 2 2
3 − 2yI in II9(2 2
3 − 2y) + 0y = 924− 18y + 0y = 9 /− 24−18y + 0y = 9− 24−18y = −15 / : (−18)y = −15
−18
y = 56
x = 2 23 − 2y
x = 2 23 − 2 · 5
6x = 1L = {1/ 5
6}
I 3x+ 6y = 8II 9x+ 0y = 9I nach y auflösen3x+ 6y = 83x+ 6y = 8 /− 3x6y = 8− 3x / : 6y = 1 1
3 − 12x
I in II9x+ 0(1 1
3 − 12x) = 9
0− 0x+ 0x = 9 /− 0−0x+ 0x = 9− 09x = 9 / : 9x = 9
9x = 1y = 1 1
3 − 12x
y = 1 13 − 1
2 · 1y = 5
6L = {1/ 5
6}
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Gleichsetzungsverfahren (2)
2 Gleichsetzungsverfahren (2)I a1 · x+ b1 · y = c1
II a2 · x+ b2 · y = c42
• beide Gleichungen nach x oder y auflösen
• Terme gleichsetzen
• Gleichung nach der Unbekannten auflösen
• zweite Unbekannte berechnen
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 3x5y = 19− 3x / : 5y = 3 4
5− 3
5x
II nach y auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 7x5y = 31− 7x / : 5y = 6 1
5− 1 2
5x
I = II3 45− 3
5x = 6 1
5− 1 2
5x / + 3
5x
3 45= 6 1
5− 4
5x /− 6 1
5
−2 25= − 4
5x / :
(− 4
5
)x = 3x in Iy = 3 4
5− 3
53
y = 2L = {3/2}
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 5y3x = 19− 5y / : 3x = 6 1
3− 1 2
3y
II nach x auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 5y7x = 31− 5y / : 7x = 4 3
7− 5
7y
I = II6 13− 1 2
3y = 4 3
7− 5
7y / + 1 2
3y
6 13= 4 3
7+ 20
21y /− 4 3
7
1 1921
= 2021y / : 20
21
y = 2y in Ix = 6 1
3− 1 2
32
x = 3L = {3/2}
2.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y = c1a2 · x+ b2 · y = c2
Gesucht:x und y
(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31
(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4
(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1
(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7
(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6
(6) 7x+ 1 12y = 1
2x− 5y = 22
(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0
(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24
(9) − 12x+ 1y = 2
12x− 3y = −3
(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5
www.fersch.de 20
Gleichsetzungsverfahren (2) Aufgaben
(11) 1 15x− 1 1
3y = 5 13
2 12x− 1
4y = 12 38
(12)23x− 5
7y = 23
1x+ 1y = 10 23
(13) 1 12x− 2y = 9
25x+ 1
3y = 5
(14) 2x+ 3y = 413x− 1
5y = 12
(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5
(16) 2x+ 4y = 4−1
2x+ 3y = 3
(17) −12x+ 4y = 6
−2x− 8y = 2
(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2
(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3
(20) −1 45x+ 1 1
3y = −1−2
3x+ 19y = 9
(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9
(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4
(23) 2x+ 2y = 1 710
3x+ 6y = 3
(24) 34x+ 5y = 77x+ 9y = 8
(25) 34x+ 5y = 77x+ 9y = 8
(26) 34x+ 5y = 77x+ 9y = 8
(27) 2x+ 5y = 7−4x+ 2y = −6
(28) 2x+ 5y = 7−4x+ 2y = −6
www.fersch.de 21
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
2.2 LösungenAufgabe (1)
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 3x5y = 19− 3x / : 5y = 3 4
5 − 35x
II nach y auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 7x5y = 31− 7x / : 5y = 6 1
5 − 1 25x
I = II345 − 3
5x = 6 15 − 12
5x / + 35x/− 6 1
5345 − 61
5 = −1 25x+ 3
5x−2 2
5 = − 45x / :
(− 4
5
)x = 3x in Iy = 3 4
5 − 35 · 3
y = 2L = {3/2}
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 5y3x = 19− 5y / : 3x = 6 1
3 − 1 23y
II nach x auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 5y7x = 31− 5y / : 7x = 4 3
7 − 57y
I = II613 − 12
3y = 4 37 − 5
7y / + 1 23y/− 43
7613 − 43
7 = − 57y + 1 2
3y11921 = 20
21y / : 2021
y = 2y in Ix = 6 1
3 − 1 23 · 2
x = 3L = {3/2}
Aufgabe (2)
I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach y auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1x1y = 10− 1x / : 1y = 10− 1xII nach y auflösen1x− 1y = 41x− 1y = 4 /− 1x−1y = 4− 1x / : (−1)y = −4 + 1xI = II10− 1x = −4 + 1x / + 1x/ + 410 + 4 = 1x+ 1x14 = 2x / : 2x = 7x in Iy = 10− 1 · 7y = 3L = {7/3}
I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach x auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1y1x = 10− 1y / : 1x = 10− 1yII nach x auflösen1x− 1y = 41x− 1y = 4 / + 1y1x = 4 + 1y / : 1x = 4 + 1yI = II10− 1y = 4 + 1y / + 1y/− 410− 4 = 1y + 1y6 = 2y / : 2y = 3y in Ix = 10− 1 · 3x = 7L = {7/3}
Aufgabe (3)
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Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach y auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 /− 9x−2y = 5− 9x / : (−2)y = −2 1
2 + 4 12x
II nach y auflösen5x− 2y = 15x− 2y = 1 /− 5x−2y = 1− 5x / : (−2)y = − 1
2 + 2 12x
I = II−2 1
2 + 4 12x = −1
2 + 2 12x /− 4 1
2x/ +12
−2 12 + 1
2 = 2 12x− 4 1
2x−2 = −2x / : (−2)x = 1x in Iy = −2 1
2 + 4 12 · 1
y = 2L = {1/2}
I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach x auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 / + 2y9x = 5 + 2y / : 9x = 5
9 + 29y
II nach x auflösen5x− 2y = 15x− 2y = 1 / + 2y5x = 1 + 2y / : 5x = 1
5 + 25y
I = II59 + 2
9y = 15 + 2
5y /− 29y/−
15
59 − 1
5 = 25y −
29y
1645 = 8
45y / : 845
y = 2y in Ix = 5
9 + 29 · 2
x = 1L = {1/2}
Aufgabe (4)
I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach y auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 /− 9x−2y = 1− 9x / : (−2)y = − 1
2 + 4 12x
II nach y auflösen−3x− 3y = −7−3x− 3y = −7 / + 3x−3y = −7 + 3x / : (−3)y = 2 1
3 − 1xI = II−1
2 + 4 12x = 2 1
3 − 1x /− 4 12x/− 21
3−1
2 − 2 13 = −1x− 4 1
2x−2 5
6 = −5 12x / :
(−5 1
2
)x = 17
33x in Iy = − 1
2 + 4 12 · 17
33y = 1 9
11L = { 17
33/1911}
I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach x auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 / + 2y9x = 1 + 2y / : 9x = 1
9 + 29y
II nach x auflösen−3x− 3y = −7−3x− 3y = −7 / + 3y−3x = −7 + 3y / : (−3)x = 2 1
3 − 1yI = II19 + 2
9y = 2 13 − 1y /− 2
9y/− 2 13
19 − 2 1
3 = −1y − 29y
−2 29 = −1 2
9y / :(−1 2
9
)y = 1 9
11y in Ix = 1
9 + 29 · 1 9
11x = 17
33L = { 17
33/1911}
Aufgabe (5)
www.fersch.de 23
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach y auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 1x3y = 9− 1x / : 3y = 3− 1
3xII nach y auflösen3x− 2y = −63x− 2y = −6 /− 3x−2y = −6− 3x / : (−2)y = 3 + 1 1
2xI = II3− 1
3x = 3 + 1 12x / + 1
3x/− 33− 3 = 1 1
2x+ 13x
0 = 1 56x / : 1 5
6x = 0x in Iy = 3− 1
3 · 0y = 3L = {0/3}
I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach x auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 3y1x = 9− 3y / : 1x = 9− 3yII nach x auflösen3x− 2y = −63x− 2y = −6 / + 2y3x = −6 + 2y / : 3x = −2 + 2
3yI = II9− 3y = −2 + 2
3y / + 3y/ + 29 + 2 = 2
3y + 3y11 = 3 2
3y / : 3 23
y = 3y in Ix = 9− 3 · 3x = 0L = {0/3}
Aufgabe (6)
I 7x+ 1 12y = 1
II 2x− 5y = 22I nach y auflösen7x+ 1 1
2y = 17x+ 1 1
2y = 1 /− 7x112y = 1− 7x / : 1 1
2y = 2
3 − 4 23x
II nach y auflösen2x− 5y = 222x− 5y = 22 /− 2x−5y = 22− 2x / : (−5)y = −4 2
5 + 25x
I = II23 − 4 2
3x = −4 25 + 2
5x / + 4 23x/ + 4 2
523 + 4 2
5 = 25x+ 4 2
3x5 115 = 5 1
15x / : 5 115
x = 1x in Iy = 2
3 − 4 23 · 1
y = −4L = {1/− 4}
I 7x+ 1 12y = 1
II 2x− 5y = 22I nach x auflösen7x+ 1 1
2y = 17x+ 1 1
2y = 1 /− 1 12y
7x = 1− 1 12y / : 7
x = 17 − 3
14yII nach x auflösen2x− 5y = 222x− 5y = 22 / + 5y2x = 22 + 5y / : 2x = 11 + 2 1
2yI = II17 − 3
14y = 11 + 2 12y / + 3
14y/− 1117 − 11 = 2 1
2y +314y
−10 67 = 2 5
7y / : 2 57
y = −4y in Ix = 1
7 − 314 · −4
x = 1L = {1/− 4}
Aufgabe (7)
www.fersch.de 24
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach y auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 /− 4x−5y = 43− 4x / : (−5)y = −8 3
5 + 45x
II nach y auflösen−3x− 7y = 0−3x− 7y = 0 / + 3x−7y = 0 + 3x / : (−7)y = 0− 3
7xI = II−8 3
5 + 45x = 0− 3
7x /− 45x/− 0
−8 35 − 0 = −3
7x− 45x
−8 35 = −1 8
35x / :(−1 8
35
)x = 7x in Iy = −8 3
5 + 45 · 7
y = −3L = {7/− 3}
I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach x auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 / + 5y4x = 43 + 5y / : 4x = 10 3
4 + 1 14y
II nach x auflösen−3x− 7y = 0−3x− 7y = 0 / + 7y−3x = 0 + 7y / : (−3)x = 0− 21
3yI = II10 3
4 + 1 14y = 0− 2 1
3y /− 114y/− 0
10 34 − 0 = −21
3y − 114y
10 34 = −3 7
12y / :(−3 7
12
)y = −3y in Ix = 10 3
4 + 1 14 · −3
x = 7L = {7/− 3}
Aufgabe (8)
I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I nach y auflösen8x− 3y = 108x− 3y = 10 /− 8x−3y = 10− 8x / : (−3)y = −3 1
3 + 2 23x
II nach y auflösen12x− 5y = 2412x− 5y = 24 /− 12x−5y = 24− 12x / : (−5)y = −4 4
5 + 2 25x
I = II−3 1
3 + 2 23x = −4 4
5 + 2 25x /− 2 2
3x/ + 4 45
−3 13 + 4 4
5 = 2 25x− 22
3x1 715 = − 4
15x / :(− 4
15
)x = −5 1
2x in Iy = −3 1
3 + 2 23 · −51
2y = −18L = {−5 1
2/− 18}
I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I nach x auflösen8x− 3y = 108x− 3y = 10 / + 3y8x = 10 + 3y / : 8x = 1 1
4 + 38y
II nach x auflösen12x− 5y = 2412x− 5y = 24 / + 5y12x = 24 + 5y / : 12x = 2 + 5
12yI = II114 + 3
8y = 2 + 512y /− 3
8y/− 2114 − 2 = 5
12y −38y
−34 = 1
24y / : 124
y = −18y in Ix = 1 1
4 + 38 · −18
x = −5 12
L = {−5 12/− 18}
Aufgabe (9)
www.fersch.de 25
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I − 12x+ 1y = 2
II 12x− 3y = −3
I nach y auflösen−1
2x+ 1y = 2−1
2x+ 1y = 2 / + 12x
1y = 2 + 12x / : 1
y = 2 + 12x
II nach y auflösen12x− 3y = −312x− 3y = −3 /− 1
2x−3y = −3− 1
2x / : (−3)y = 1 + 1
6xI = II2 + 1
2x = 1 + 16x /− 1
2x/− 12− 1 = 1
6x− 12x
1 = −13x / :
(−1
3
)x = −3x in Iy = 2 + 1
2 · −3y = 1
2L = {−3/ 1
2}
I − 12x+ 1y = 2
II 12x− 3y = −3
I nach x auflösen−1
2x+ 1y = 2−1
2x+ 1y = 2 /− 1y−1
2x = 2− 1y / :(− 1
2
)x = −4 + 2yII nach x auflösen12x− 3y = −312x− 3y = −3 / + 3y12x = −3 + 3y / : 1
2x = −6 + 6yI = II−4 + 2y = −6 + 6y /− 2y/ + 6−4 + 6 = 6y − 2y2 = 4y / : 4y = 1
2y in Ix = −4 + 2 · 1
2x = −3L = {−3/ 1
2}
Aufgabe (10)
I − 1x+ 1y = 3II 1
2x− 4y = 5I nach y auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 / + 1x1y = 3 + 1x / : 1y = 3 + 1xII nach y auflösen12x− 4y = 512x− 4y = 5 /− 1
2x−4y = 5− 1
2x / : (−4)y = −1 1
4 + 18x
I = II3 + 1x = −1 1
4 + 18x /− 1x/ + 1 1
43 + 1 1
4 = 18x− 1x
414 = − 7
8x / :(− 7
8
)x = −4 6
7x in Iy = 3 + 1 · −4 6
7y = −1 6
7L = {−4 6
7/− 1 67}
I − 1x+ 1y = 3II 1
2x− 4y = 5I nach x auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 /− 1y−1x = 3− 1y / : (−1)x = −3 + 1yII nach x auflösen12x− 4y = 512x− 4y = 5 / + 4y12x = 5 + 4y / : 1
2x = 10 + 8yI = II−3 + 1y = 10 + 8y /− 1y/− 10−3− 10 = 8y − 1y−13 = 7y / : 7y = −1 6
7y in Ix = −3 + 1 · −1 6
7x = −46
7L = {−4 6
7/− 167}
Aufgabe (11)
www.fersch.de 26
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 1 15x− 11
3y = 5 13
II 2 12x− 1
4y = 12 38
I nach y auflösen115x− 1 1
3y = 5 13
115x− 1 1
3y = 5 13 /− 11
5x−1 1
3y = 5 13 − 1 1
5x / :(−1 1
3
)y = −4 + 9
10xII nach y auflösen212x− 1
4y = 12 38
212x− 1
4y = 12 38 /− 21
2x−1
4y = 12 38 − 2 1
2x / :(−1
4
)y = −49 1
2 + 10xI = II−4 + 9
10x = −49 12 + 10x /− 9
10x/ + 49 12
−4 + 49 12 = 10x− 9
10x451
2 = 9 110x / : 9 1
10x = 5x in Iy = −4 + 9
10 · 5y = 1
2L = {5/ 1
2}
I 1 15x− 11
3y = 5 13
II 2 12x− 1
4y = 12 38
I nach x auflösen115x− 1 1
3y = 5 13
115x− 1 1
3y = 5 13 / + 1 1
3y115x = 5 1
3 + 1 13y / : 1 1
5x = 4 4
9 + 1 19y
II nach x auflösen212x− 1
4y = 12 38
212x− 1
4y = 12 38 / + 1
4y212x = 12 3
8 + 14y / : 2 1
2x = 4 19
20 + 110y
I = II449 + 1 1
9y = 4 1920 + 1
10y /− 119y/− 4 19
20449 − 419
20 = 110y − 11
9y−0, 506 = −1 1
90y / :(−1 1
90
)y = 1
2y in Ix = 4 4
9 + 1 19 · 1
2x = 5L = {5/ 1
2}
Aufgabe (12)
I 23x− 5
7y = 23
II 1x+ 1y = 10 23
I nach y auflösen23x− 5
7y = 23
23x− 5
7y = 23 /− 2
3x−5
7y = 23 − 2
3x / :(− 5
7
)y = − 14
15 + 1415x
II nach y auflösen1x+ 1y = 10 2
31x+ 1y = 10 2
3 /− 1x1y = 10 2
3 − 1x / : 1y = 10 2
3 − 1xI = II−14
15 + 1415x = 10 2
3 − 1x /− 1415x/− 10 2
3−14
15 − 10 23 = −1x− 14
15x−11 3
5 = −1 1415x / :
(−1 14
15
)x = 6x in Iy = − 14
15 + 1415 · 6
y = 4 23
L = {6/4 23}
I 23x− 5
7y = 23
II 1x+ 1y = 10 23
I nach x auflösen23x− 5
7y = 23
23x− 5
7y = 23 / + 5
7y23x = 2
3 + 57y / : 2
3x = 1 + 1 1
14yII nach x auflösen1x+ 1y = 10 2
31x+ 1y = 10 2
3 /− 1y1x = 10 2
3 − 1y / : 1x = 10 2
3 − 1yI = II1 + 1 1
14y = 10 23 − 1y /− 1 1
14y/− 10 23
1− 1023 = −1y − 1 1
14y−92
3 = −2 114y / :
(−2 1
14
)y = 4 2
3y in Ix = 1 + 1 1
14 · 4 23
x = 6L = {6/4 2
3}
Aufgabe (13)
www.fersch.de 27
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 1 12x− 2y = 9
II 25x+ 1
3y = 5I nach y auflösen112x− 2y = 9
112x− 2y = 9 /− 1 1
2x−2y = 9− 1 1
2x / : (−2)y = −4 1
2 + 34x
II nach y auflösen25x+ 1
3y = 525x+ 1
3y = 5 /− 25x
13y = 5− 2
5x / : 13
y = 15− 1 15x
I = II−4 1
2 + 34x = 15− 1 1
5x /− 34x/− 15
−4 12 − 15 = −1 1
5x− 34x
−19 12 = −1 19
20x / :(−1 19
20
)x = 10x in Iy = −4 1
2 + 34 · 10
y = 3L = {10/3}
I 1 12x− 2y = 9
II 25x+ 1
3y = 5I nach x auflösen1 12x− 2y = 9
1 12x− 2y = 9 / + 2y
1 12x = 9 + 2y / : 1 1
2x = 6 + 1 1
3yII nach x auflösen25x+ 1
3y = 525x+ 1
3y = 5 /− 13y
25x = 5− 1
3y / : 25
x = 12 12 − 5
6yI = II6 + 1 1
3y = 12 12 − 5
6y /− 1 13y/− 12 1
26− 12 1
2 = −56y − 1 1
3y−6 1
2 = −2 16y / :
(−21
6
)y = 3y in Ix = 6 + 1 1
3 · 3x = 10L = {10/3}
Aufgabe (14)
I 2x+ 3y = 4II 1
3x− 15y = 12
I nach y auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 2x3y = 4− 2x / : 3y = 1 1
3 − 23x
II nach y auflösen13x− 1
5y = 1213x− 1
5y = 12 /− 13x
−15y = 12− 1
3x / :(− 1
5
)y = −60 + 1 2
3xI = II113 − 2
3x = −60 + 1 23x / + 2
3x/ + 60113 + 60 = 1 2
3x+ 23x
6113 = 2 1
3x / : 2 13
x = 26 27
x in Iy = 1 1
3 − 23 · 26 2
7y = −16 4
21L = {26 2
7/− 16 421}
I 2x+ 3y = 4II 1
3x− 15y = 12
I nach x auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 3y2x = 4− 3y / : 2x = 2− 1 1
2yII nach x auflösen13x− 1
5y = 1213x− 1
5y = 12 / + 15y
13x = 12 + 1
5y / : 13
x = 36 + 35y
I = II2− 1 1
2y = 36 + 35y / + 1 1
2y/− 362− 36 = 3
5y + 1 12y
−34 = 2 110y / : 2 1
10y = −16 4
21y in Ix = 2− 1 1
2 · −16 421
x = 26 27
L = {26 27/− 16 4
21}
Aufgabe (15)
www.fersch.de 28
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach y auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 1x2y = −4− 1x / : 2y = −2− 1
2xII nach y auflösen−1x+ 2y = 5−1x+ 2y = 5 / + 1x2y = 5 + 1x / : 2y = 2 1
2 + 12x
I = II−2− 1
2x = 2 12 + 1
2x / + 12x/− 21
2−2− 2 1
2 = 12x+ 1
2x−4 1
2 = 1x / : 1x = −4 1
2x in Iy = −2− 1
2 · −4 12
y = 14
L = {−4 12/
14}
I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach x auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 2y1x = −4− 2y / : 1x = −4− 2yII nach x auflösen−1x+ 2y = 5−1x+ 2y = 5 /− 2y−1x = 5− 2y / : (−1)x = −5 + 2yI = II−4− 2y = −5 + 2y / + 2y/ + 5−4 + 5 = 2y + 2y1 = 4y / : 4y = 1
4y in Ix = −4− 2 · 1
4x = −4 1
2L = {−41
2/14}
Aufgabe (16)
I 2x+ 4y = 4II − 1
2x+ 3y = 3I nach y auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 2x4y = 4− 2x / : 4y = 1− 1
2xII nach y auflösen−1
2x+ 3y = 3−1
2x+ 3y = 3 / + 12x
3y = 3 + 12x / : 3
y = 1 + 16x
I = II1− 1
2x = 1 + 16x / + 1
2x/− 11− 1 = 1
6x+ 12x
0 = 23x / : 2
3x = 0x in Iy = 1− 1
2 · 0y = 1L = {0/1}
I 2x+ 4y = 4II − 1
2x+ 3y = 3I nach x auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 4y2x = 4− 4y / : 2x = 2− 2yII nach x auflösen−1
2x+ 3y = 3−1
2x+ 3y = 3 /− 3y−1
2x = 3− 3y / :(− 1
2
)x = −6 + 6yI = II2− 2y = −6 + 6y / + 2y/ + 62 + 6 = 6y + 2y8 = 8y / : 8y = 1y in Ix = 2− 2 · 1x = 0L = {0/1}
Aufgabe (17)
www.fersch.de 29
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I − 12x+ 4y = 6
II − 2x− 8y = 2I nach y auflösen−1
2x+ 4y = 6−1
2x+ 4y = 6 / + 12x
4y = 6 + 12x / : 4
y = 1 12 + 1
8xII nach y auflösen−2x− 8y = 2−2x− 8y = 2 / + 2x−8y = 2 + 2x / : (−8)y = − 1
4 − 14x
I = II112 + 1
8x = −14 − 1
4x /− 18x/ +
14
112 + 1
4 = − 14x− 1
8x134 = − 3
8x / :(− 3
8
)x = −4 2
3x in Iy = 1 1
2 + 18 · −42
3y = 11
12L = {−4 2
3/1112}
I − 12x+ 4y = 6
II − 2x− 8y = 2I nach x auflösen− 1
2x+ 4y = 6− 1
2x+ 4y = 6 /− 4y− 1
2x = 6− 4y / :(−1
2
)x = −12 + 8yII nach x auflösen−2x− 8y = 2−2x− 8y = 2 / + 8y−2x = 2 + 8y / : (−2)x = −1− 4yI = II−12 + 8y = −1− 4y /− 8y/ + 1−12 + 1 = −4y − 8y−11 = −12y / : (−12)y = 11
12y in Ix = −12 + 8 · 11
12x = −4 2
3L = {−42
3/1112}
Aufgabe (18)
I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach y auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1x1y = 1− 1x / : 1y = 1− 1xII nach y auflösen2x+ 2y = 22x+ 2y = 2 /− 2x2y = 2− 2x / : 2y = 1− 1xI = II1− 1x = 1− 1x / + 1x/− 11− 1 = −1x+ 1x
L = unendlich
I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach x auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1y1x = 1− 1y / : 1x = 1− 1yII nach x auflösen2x+ 2y = 22x+ 2y = 2 /− 2y2x = 2− 2y / : 2x = 1− 1yI = II1− 1y = 1− 1y / + 1y/− 11− 1 = −1y + 1y
L = unendlich
Aufgabe (19)
www.fersch.de 30
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach y auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1x1y = 2− 1x / : 1y = 2− 1xII nach y auflösen3x+ 3y = 33x+ 3y = 3 /− 3x3y = 3− 3x / : 3y = 1− 1xI = II2− 1x = 1− 1x / + 1x/− 12− 1 = −1x+ 1x
L = {}
I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach x auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1y1x = 2− 1y / : 1x = 2− 1yII nach x auflösen3x+ 3y = 33x+ 3y = 3 /− 3y3x = 3− 3y / : 3x = 1− 1yI = II2− 1y = 1− 1y / + 1y/− 12− 1 = −1y + 1y
L = {}
Aufgabe (20)
I − 1 45x+ 1 1
3y = −1II − 2
3x+ 19y = 9
I nach y auflösen−1 4
5x+ 1 13y = −1
−1 45x+ 1 1
3y = −1 / + 1 45x
113y = −1 + 1 4
5x / : 1 13
y = − 34 + 1 7
20xII nach y auflösen−2
3x+ 19y = 9
−23x+ 1
9y = 9 / + 23x
19y = 9 + 2
3x / : 19
y = 81 + 6xI = II−3
4 + 1 720x = 81 + 6x /− 1 7
20x/− 81−3
4 − 81 = 6x− 1 720x
−81 34 = 4 13
20x / : 4 1320
x = −17 1831
x in Iy = − 3
4 + 1 720 · −17 18
31y = −24 15
31L = {−17 18
31/− 24 1531}
I − 1 45x+ 1 1
3y = −1II − 2
3x+ 19y = 9
I nach x auflösen−1 4
5x+ 1 13y = −1
−1 45x+ 1 1
3y = −1 /− 1 13y
−1 45x = −1− 1 1
3y / :(−1 4
5
)x = 5
9 + 2027y
II nach x auflösen−2
3x+ 19y = 9
−23x+ 1
9y = 9 /− 19y
−23x = 9− 1
9y / :(− 2
3
)x = −13 1
2 + 16y
I = II59 + 20
27y = −13 12 + 1
6y /− 2027y/ + 13 1
259 + 13 1
2 = 16y −
2027y
14 118 = −31
54y / :(− 31
54
)y = −24 15
31y in Ix = 5
9 + 2027 · −24 15
31x = −17 18
31L = {−17 18
31/− 24 1531}
Aufgabe (21)
www.fersch.de 31
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach y auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 /− 2x−7y = −8− 2x / : (−7)y = 1 1
7 + 27x
II nach y auflösen7x− 1y = −97x− 1y = −9 /− 7x−1y = −9− 7x / : (−1)y = 9 + 7xI = II117 + 2
7x = 9 + 7x /− 27x/− 9
117 − 9 = 7x− 2
7x−7 6
7 = 6 57x / : 6 5
7x = −1 8
47x in Iy = 1 1
7 + 27 · −1 8
47y = 38
47L = {−1 8
47/3847}
I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach x auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 / + 7y2x = −8 + 7y / : 2x = −4 + 3 1
2yII nach x auflösen7x− 1y = −97x− 1y = −9 / + 1y7x = −9 + 1y / : 7x = −12
7 + 17y
I = II−4 + 3 1
2y = −1 27 + 1
7y /− 3 12y/ + 1 2
7−4 + 1 2
7 = 17y − 3 1
2y−2 5
7 = −3 514y / :
(−3 5
14
)y = 38
47y in Ix = −4 + 3 1
2 · 3847
x = −1 847
L = {−1 847/
3847}
Aufgabe (22)
I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach y auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 / + 7x9y = −3 + 7x / : 9y = − 1
3 + 79x
II nach y auflösen5x− 6y = −45x− 6y = −4 /− 5x−6y = −4− 5x / : (−6)y = 2
3 + 56x
I = II−1
3 + 79x = 2
3 + 56x /− 7
9x/−23
−13 − 2
3 = 56x− 7
9x−1 = 1
18x / : 118
x = −18x in Iy = − 1
3 + 79 · −18
y = −14 13
L = {−18/− 14 13}
I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach x auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 /− 9y−7x = −3− 9y / : (−7)x = 3
7 + 1 27y
II nach x auflösen5x− 6y = −45x− 6y = −4 / + 6y5x = −4 + 6y / : 5x = −4
5 + 1 15y
I = II37 + 1 2
7y = −45 + 1 1
5y /− 1 27y/ +
45
37 + 4
5 = 1 15y − 12
7y1 835 = − 3
35y / :(− 3
35
)y = −14 1
3y in Ix = 3
7 + 1 27 · −14 1
3x = −18L = {−18/− 14 1
3}
Aufgabe (23)
www.fersch.de 32
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 2x+ 2y = 1 710
II 3x+ 6y = 3I nach y auflösen2x+ 2y = 1 7
102x+ 2y = 1 7
10 /− 2x2y = 1 7
10 − 2x / : 2y = 17
20 − 1xII nach y auflösen3x+ 6y = 33x+ 6y = 3 /− 3x6y = 3− 3x / : 6y = 1
2 − 12x
I = II1720 − 1x = 1
2 − 12x / + 1x/− 1
21720 − 1
2 = − 12x+ 1x
720 = 1
2x / : 12
x = 710
x in Iy = 17
20 − 1 · 710
y = 320
L = { 710/
320}
I 2x+ 2y = 1 710
II 3x+ 6y = 3I nach x auflösen2x+ 2y = 1 7
102x+ 2y = 1 7
10 /− 2y2x = 1 7
10 − 2y / : 2x = 17
20 − 1yII nach x auflösen3x+ 6y = 33x+ 6y = 3 /− 6y3x = 3− 6y / : 3x = 1− 2yI = II1720 − 1y = 1− 2y / + 1y/− 11720 − 1 = −2y + 1y− 3
20 = −1y / : (−1)y = 3
20y in Ix = 17
20 − 1 · 320
x = 710
L = { 710/
320}
Aufgabe (24)
I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach y auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 34x5y = 7− 34x / : 5y = 1 2
5 − 6 45x
II nach y auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 7x9y = 8− 7x / : 9y = 8
9 − 79x
I = II125 − 64
5x = 89 − 7
9x / + 6 45x/−
89
125 − 8
9 = − 79x+ 6 4
5x2345 = 6 1
45x / : 6 145
x = 0, 0849x in Iy = 1 2
5 − 6 45 · 0, 0849
y = 0, 823L = {0, 0849/0, 823}
I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach x auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 5y34x = 7− 5y / : 34x = 7
34 − 534y
II nach x auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 9y7x = 8− 9y / : 7x = 1 1
7 − 1 27y
I = II734 − 5
34y = 1 17 − 1 2
7y / + 534y/− 11
7734 − 11
7 = −1 27y +
534y
−0, 937 = −1, 14y / : (−1, 14)y = 0, 823y in Ix = 7
34 − 534 · 0, 823
x = 0, 0849L = {0, 0849/0, 823}
Aufgabe (25)
www.fersch.de 33
Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach y auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 34x5y = 7− 34x / : 5y = 1 2
5 − 6 45x
II nach y auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 7x9y = 8− 7x / : 9y = 8
9 − 79x
I = II125 − 64
5x = 89 − 7
9x / + 6 45x/−
89
125 − 8
9 = − 79x+ 6 4
5x2345 = 6 1
45x / : 6 145
x = 0, 0849x in Iy = 1 2
5 − 6 45 · 0, 0849
y = 0, 823L = {0, 0849/0, 823}
I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach x auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 5y34x = 7− 5y / : 34x = 7
34 − 534y
II nach x auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 9y7x = 8− 9y / : 7x = 1 1
7 − 1 27y
I = II734 − 5
34y = 1 17 − 1 2
7y / + 534y/− 11
7734 − 11
7 = −1 27y +
534y
−0, 937 = −1, 14y / : (−1, 14)y = 0, 823y in Ix = 7
34 − 534 · 0, 823
x = 0, 0849L = {0, 0849/0, 823}
Aufgabe (26)
I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach y auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 34x5y = 7− 34x / : 5y = 1 2
5 − 6 45x
II nach y auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 7x9y = 8− 7x / : 9y = 8
9 − 79x
I = II125 − 64
5x = 89 − 7
9x / + 6 45x/−
89
125 − 8
9 = − 79x+ 6 4
5x2345 = 6 1
45x / : 6 145
x = 0, 0849x in Iy = 1 2
5 − 6 45 · 0, 0849
y = 0, 823L = {0, 0849/0, 823}
I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach x auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 5y34x = 7− 5y / : 34x = 7
34 − 534y
II nach x auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 9y7x = 8− 9y / : 7x = 1 1
7 − 1 27y
I = II734 − 5
34y = 1 17 − 1 2
7y / + 534y/− 11
7734 − 11
7 = −1 27y +
534y
−0, 937 = −1, 14y / : (−1, 14)y = 0, 823y in Ix = 7
34 − 534 · 0, 823
x = 0, 0849L = {0, 0849/0, 823}
Aufgabe (27)
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Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen
I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach y auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 2x5y = 7− 2x / : 5y = 1 2
5 − 25x
II nach y auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 / + 4x2y = −6 + 4x / : 2y = −3 + 2xI = II125 − 2
5x = −3 + 2x / + 25x/ + 3
125 + 3 = 2x+ 2
5x425 = 2 2
5x / : 2 25
x = 1 56
x in Iy = 1 2
5 − 25 · 1 5
6y = 2
3L = {1 5
6/23}
I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach x auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 5y2x = 7− 5y / : 2x = 3 1
2 − 212y
II nach x auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 /− 2y−4x = −6− 2y / : (−4)x = 1 1
2 + 12y
I = II3 12 − 2 1
2y = 1 12 + 1
2y / + 2 12y/− 1 1
23 12 − 1 1
2 = 12y + 2 1
2y2 = 3y / : 3y = 2
3y in Ix = 3 1
2 − 212 · 2
3x = 1 5
6L = {1 5
6/23}
Aufgabe (28)
I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach y auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 2x5y = 7− 2x / : 5y = 1 2
5 − 25x
II nach y auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 / + 4x2y = −6 + 4x / : 2y = −3 + 2xI = II125 − 2
5x = −3 + 2x / + 25x/ + 3
125 + 3 = 2x+ 2
5x425 = 2 2
5x / : 2 25
x = 1 56
x in Iy = 1 2
5 − 25 · 1 5
6y = 2
3L = {1 5
6/23}
I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach x auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 5y2x = 7− 5y / : 2x = 3 1
2 − 212y
II nach x auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 /− 2y−4x = −6− 2y / : (−4)x = 1 1
2 + 12y
I = II3 12 − 2 1
2y = 1 12 + 1
2y / + 2 12y/− 1 1
23 12 − 1 1
2 = 12y + 2 1
2y2 = 3y / : 3y = 2
3y in Ix = 3 1
2 − 212 · 2
3x = 1 5
6L = {1 5
6/23}
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Additionsverfahren (2)
3 Additionsverfahren (2)I a1 · x+ b1 · y = c1
II a2 · x+ b2 · y = c42
• Terme mit x und y müssen untereinanderstehen
• Gleichungen multiplizieren, so dass dieVariablen beim spaltenweisen addierenherausfallen
• Gleichung nach der Unbekannten auflösen
• zweite Unbekannte berechnen
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 7II 7x+ 5y = 31 / · (−3)I 21x+ 35y = 133II − 21x− 15y = −93I + II21x− 21x+ 35y − 15y = 133− 9320y = 40 / : 20y = 40
20
y = 2y in II 3x+ 5 · 2 = 193x+ 10 = 19 /− 103x = 19− 103x = 9 / : 3x = 9
3
x = 3L = {3/2}
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 1II 7x+ 5y = 31 / · (−1)I 3x+ 5y = 19II − 7x− 5y = −31I + II3x− 7x+ 5y − 5y = 19− 31−4x = −12 / : (−4)x = −12
−4
x = 3x in II 3 · 3 + 5y = 195y + 9 = 19 /− 95y = 19− 95y = 10 / : 5y = 10
5
y = 2L = {3/2}
3.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y = c1a2 · x+ b2 · y = c2
Gesucht:x und y
(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31
(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4
(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1
(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7
(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6
(6) 7x+ 1 12y = 1
2x− 5y = 22
(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0
(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24
(9) − 12x+ 1y = 2
12x− 3y = −3
(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5
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Additionsverfahren (2) Aufgaben
(11) 1 15x− 1 1
3y = 5 13
2 12x− 1
4y = 12 38
(12)23x− 5
7y = 23
1x+ 1y = 10 23
(13) 1 12x− 2y = 9
25x+ 1
3y = 5
(14) 2x+ 3y = 413x− 1
5y = 12
(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5
(16) 2x+ 4y = 4−1
2x+ 3y = 3
(17) −12x+ 4y = 6
−2x− 8y = 2
(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2
(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3
(20) −1 45x+ 1 1
3y = −1−2
3x+ 19y = 9
(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9
(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4
(23) 2x+ 2y = 1 710
3x+ 6y = 3
(24) 5x+ 6y = 74x+ 6y = 4
(25) 12x+ 6y = 716x+ 6y = 4
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Additionsverfahren (2) Lösungen
3.2 LösungenAufgabe (1)
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 7II 7x+ 5y = 31 / · (−3)I 21x+ 35y = 133II − 21x− 15y = −93I + III 21x− 21x+ 35y − 15y = 133− 9320y = 40 / : 20y = 40
20y = 2y in II 3x+ 5 · 2 = 193x+ 10 = 19 /− 103x = 19− 103x = 9 / : 3x = 9
3x = 3L = {3/2}
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 1II 7x+ 5y = 31 / · (−1)I 3x+ 5y = 19II − 7x− 5y = −31I + III 3x− 7x+ 5y − 5y = 19− 31−4x = −12 / : (−4)x = −12
−4
x = 3x in II 3 · 3 + 5y = 195y + 9 = 19 /− 95y = 19− 95y = 10 / : 5y = 10
5y = 2L = {3/2}
Aufgabe (2)
I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I 1x+ 1y = 10 / · 1II 1x− 1y = 4 / · (−1)I 1x+ 1y = 10II − 1x+ 1y = −4I + III 1x− 1x+ 1y + 1y = 10− 42y = 6 / : 2y = 6
2y = 3y in II 1x+ 1 · 3 = 101x+ 3 = 10 /− 31x = 10− 31x = 7 / : 1x = 7
1x = 7L = {7/3}
I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I 1x+ 1y = 10 / · (−1)II 1x− 1y = 4 / · (−1)I − 1x− 1y = −10II − 1x+ 1y = −4I + III − 1x− 1x− 1y + 1y = −10− 4−2x = −14 / : (−2)x = −14
−2
x = 7x in II 1 · 7 + 1y = 101y + 7 = 10 /− 71y = 10− 71y = 3 / : 1y = 3
1y = 3L = {7/3}
Aufgabe (3)
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Additionsverfahren (2) Lösungen
I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I 9x− 2y = 5 / · 5II 5x− 2y = 1 / · (−9)I 45x− 10y = 25II − 45x+ 18y = −9I + III 45x− 45x− 10y + 18y = 25− 98y = 16 / : 8y = 16
8y = 2y in II 9x− 2 · 2 = 59x− 4 = 5 / + 49x = 5 + 49x = 9 / : 9x = 9
9x = 1L = {1/2}
I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I 9x− 2y = 5 / · (−1)II 5x− 2y = 1 / · 1I − 9x+ 2y = −5II 5x− 2y = 1I + III − 9x+ 5x+ 2y − 2y = −5 + 1−4x = −4 / : (−4)x = −4
−4
x = 1x in II 9 · 1− 2y = 5−2y + 9 = 5 /− 9−2y = 5− 9−2y = −4 / : (−2)y = −4
−2
y = 2L = {1/2}
Aufgabe (4)
I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I 9x− 2y = 1 / · (−1)II − 3x− 3y = −7 / · (−3)I − 9x+ 2y = −1II 9x+ 9y = 21I + III − 9x+ 9x+ 2y + 9y = −1 + 2111y = 20 / : 11y = 20
11y = 1 9
11y in II 9x− 2 · 1 9
11 = 19x− 3 7
11 = 1 / + 3 711
9x = 1 + 3 711
9x = 4 711 / : 9
x =4 7
11
9x = 17
33L = { 17
33/1911}
I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I 9x− 2y = 1 / · (−3)II − 3x− 3y = −7 / · 2I − 27x+ 6y = −3II − 6x− 6y = −14I + III − 27x− 6x+ 6y − 6y = −3− 14−33x = −17 / : (−33)x = −17
−33
x = 1733
x in II 9 · 17
33 − 2y = 1−2y + 4 7
11 = 1 /− 4 711
−2y = 1− 4 711
−2y = −3 711 / : (−2)
y =−3 7
11
−2
y = 1 911
L = { 1733/1
911}
Aufgabe (5)
www.fersch.de 39
Additionsverfahren (2) Lösungen
I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I 1x+ 3y = 9 / · 3II 3x− 2y = −6 / · (−1)I 3x+ 9y = 27II − 3x+ 2y = 6I + III 3x− 3x+ 9y + 2y = 27 + 611y = 33 / : 11y = 33
11y = 3y in II 1x+ 3 · 3 = 91x+ 9 = 9 /− 91x = 9− 91x = 0 / : 1x = 0
1x = 0L = {0/3}
I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I 1x+ 3y = 9 / · (−2)II 3x− 2y = −6 / · (−3)I − 2x− 6y = −18II − 9x+ 6y = 18I + III − 2x− 9x− 6y + 6y = −18 + 18−11x = 0 / : (−11)x = 0
−11
x = 0x in II 1 · 0 + 3y = 93y + 0 = 9 /− 03y = 9− 03y = 9 / : 3y = 9
3y = 3L = {0/3}
Aufgabe (6)
I 7x+ 1 12y = 1
II 2x− 5y = 22I 7x+ 1 1
2y = 1 / · 2II 2x− 5y = 22 / · (−7)I 14x+ 3y = 2II − 14x+ 35y = −154I + III 14x− 14x+ 3y + 35y = 2− 15438y = −152 / : 38y = −152
38y = −4y in II 7x+ 1 1
2 · (−4) = 17x− 6 = 1 / + 67x = 1 + 67x = 7 / : 7x = 7
7x = 1L = {1/− 4}
I 7x+ 1 12y = 1
II 2x− 5y = 22I 7x+ 1 1
2y = 1 / · 5II 2x− 5y = 22 / · 1 1
2I 35x+ 7 1
2y = 5II 3x− 7 1
2y = 33I + III 35x+ 3x+ 7 1
2y − 7 12y = 5 + 33
38x = 38 / : 38x = 38
38x = 1x in II 7 · 1 + 1 1
2y = 11 12y + 7 = 1 /− 7
1 12y = 1− 7
1 12y = −6 / : 1 1
2y = −6
1 12
y = −4L = {1/− 4}
Aufgabe (7)
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Additionsverfahren (2) Lösungen
I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I 4x− 5y = 43 / · (−3)II − 3x− 7y = 0 / · (−4)I − 12x+ 15y = −129II 12x+ 28y = 0I + III − 12x+ 12x+ 15y + 28y = −129 + 043y = −129 / : 43y = −129
43y = −3y in II 4x− 5 · (−3) = 434x+ 15 = 43 /− 154x = 43− 154x = 28 / : 4x = 28
4x = 7L = {7/− 3}
I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I 4x− 5y = 43 / · (−7)II − 3x− 7y = 0 / · 5I − 28x+ 35y = −301II − 15x− 35y = 0I + III − 28x− 15x+ 35y − 35y = −301 + 0−43x = −301 / : (−43)x = −301
−43
x = 7x in II 4 · 7− 5y = 43−5y + 28 = 43 /− 28−5y = 43− 28−5y = 15 / : (−5)y = 15
−5
y = −3L = {7/− 3}
Aufgabe (8)
I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I 8x− 3y = 10 / · 3II 12x− 5y = 24 / · (−2)I 24x− 9y = 30II − 24x+ 10y = −48I + III 24x− 24x− 9y + 10y = 30− 481y = −18 / : 1y = −18
1y = −18y in II 8x− 3 · (−18) = 108x+ 54 = 10 /− 548x = 10− 548x = −44 / : 8x = −44
8x = −5 1
2L = {−5 1
2/− 18}
I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I 8x− 3y = 10 / · (−5)II 12x− 5y = 24 / · 3I − 40x+ 15y = −50II 36x− 15y = 72I + III − 40x+ 36x+ 15y − 15y = −50 + 72−4x = 22 / : (−4)x = 22
−4
x = −512
x in II 8 ·
(−5 1
2
)− 3y = 10
−3y − 44 = 10 / + 44−3y = 10 + 44−3y = 54 / : (−3)y = 54
−3
y = −18L = {−51
2/− 18}
Aufgabe (9)
www.fersch.de 41
Additionsverfahren (2) Lösungen
I − 12x+ 1y = 2
II 12x− 3y = −3
I − 12x+ 1y = 2 / ·
(−1
2
)II 1
2x− 3y = −3 / ·(−1
2
)I 1
4x− 12y = −1
II − 14x+ 1 1
2y = 1 12
I + III 1
4x− 14x− 1
2y + 1 12y = −1 + 1 1
21y = 1
2 / : 1
y =12
1y = 1
2y in II − 1
2x+ 1 · 12 = 2
−12x+ 1
2 = 2 /− 12
−12x = 2− 1
2−1
2x = 1 12 / :
(− 1
2
)x =
1 12
− 12
x = −3L = {−3/ 1
2}
I − 12x+ 1y = 2
II 12x− 3y = −3
I − 12x+ 1y = 2 / · (−3)
II 12x− 3y = −3 / · (−1)
I 112x− 3y = −6
II − 12x+ 3y = 3
I + III 11
2x− 12x− 3y + 3y = −6 + 3
1x = −3 / : 1x = −3
1x = −3x in II − 1
2 · (−3) + 1y = 21y + 1 1
2 = 2 /− 1 12
1y = 2− 112
1y = 12 / : 1
y =12
1y = 1
2L = {−3/ 1
2}
Aufgabe (10)
I − 1x+ 1y = 3II 1
2x− 4y = 5I − 1x+ 1y = 3 / ·
(−1
2
)II 1
2x− 4y = 5 / · (−1)I 1
2x− 12y = −1 1
2II − 1
2x+ 4y = −5I + III 1
2x− 12x− 1
2y + 4y = −1 12 − 5
312y = −6 1
2 / : 3 12
y =−6 1
2
3 12
y = −1 67
y in II − 1x+ 1 ·
(−1 6
7
)= 3
−1x− 167 = 3 / + 1 6
7−1x = 3 + 1 6
7−1x = 4 6
7 / : (−1)
x =4 6
7
−1
x = −4 67
L = {−4 67/− 1 6
7}
I − 1x+ 1y = 3II 1
2x− 4y = 5I − 1x+ 1y = 3 / · (−4)II 1
2x− 4y = 5 / · (−1)I 4x− 4y = −12II − 1
2x+ 4y = −5I + III 4x− 1
2x− 4y + 4y = −12− 53 12x = −17 / : 3 1
2x = −17
3 12
x = −4 67
x in II − 1 ·
(−4 6
7
)+ 1y = 3
1y + 4 67 = 3 /− 4 6
71y = 3− 4 6
71y = −1 6
7 / : 1
y =−1 6
7
1y = −1 6
7L = {−4 6
7/− 1 67}
Aufgabe (11)
www.fersch.de 42
Additionsverfahren (2) Lösungen
I 1 15x− 11
3y = 5 13
II 2 12x− 1
4y = 12 38
I 1 15x− 11
3y = 5 13 / · 2 1
2II 2 1
2x− 14y = 12 3
8 / ·(−11
5
)I 3x− 3 1
3y = 13 13
II − 3x+ 310y = −14 17
20I + III 3x− 3x− 31
3y +310y = 13 1
3 − 14 1720
−3 130y = −1 31
60 / :(−3 1
30
)y =
−1 3160
−3 130
y = 12
y in II 1 1
5x− 113 · 1
2 = 5 13
115x− 2
3 = 5 13 / + 2
3115x = 5 1
3 + 23
115x = 6 / : 1 1
5x = 6
1 15
x = 5L = {5/ 1
2}
I 1 15x− 1 1
3y = 5 13
II 212x− 1
4y = 12 38
I 1 15x− 1 1
3y = 5 13 / ·
(−1
4
)II 21
2x− 14y = 12 3
8 / · 1 13
I − 310x+ 1
3y = −1 13
II 313x− 1
3y = 16 12
I + III − 3
10x+ 3 13x+ 1
3y −13y = −11
3 + 16 12
3 130x = 15 1
6 / : 3 130
x =15 1
6
3 130
x = 5x in II 1 1
5 · 5− 1 13y = 5 1
3−11
3y + 6 = 5 13 /− 6
−113y = 5 1
3 − 6−11
3y = −23 / :
(−1 1
3
)y =
− 23
−1 13
y = 12
L = {5/ 12}
Aufgabe (12)
I 23x− 5
7y = 23
II 1x+ 1y = 10 23
I 23x− 5
7y = 23 / · 1
II 1x+ 1y = 10 23 / ·
(− 2
3
)I 2
3x− 57y = 2
3II − 2
3x− 23y = −7 1
9I + III 2
3x− 23x− 5
7y −23y = 2
3 − 7 19
−1 821y = −6 4
9 / :(−1 8
21
)y =
−6 49
−1 821
y = 4 23
y in II 2
3x− 57 · 4 2
3 = 23
23x− 3 1
3 = 23 / + 3 1
323x = 2
3 + 3 13
23x = 4 / : 2
3x = 4
23
x = 6L = {6/4 2
3}
I 23x− 5
7y = 23
II 1x+ 1y = 10 23
I 23x− 5
7y = 23 / · (−1)
II 1x+ 1y = 10 23 / ·
(− 5
7
)I − 2
3x+ 57y = −2
3II − 5
7x− 57y = −7 13
21I + III − 2
3x− 57x+ 5
7y −57y = −2
3 − 71321
−1 821x = −8 2
7 / :(−1 8
21
)x =
−8 27
−1 821
x = 6x in II 2
3 · 6− 57y = 2
3− 5
7y + 4 = 23 /− 4
− 57y = 2
3 − 4− 5
7y = −313 / :
(−5
7
)y =
−3 13
− 57
y = 4 23
L = {6/4 23}
Aufgabe (13)
www.fersch.de 43
Additionsverfahren (2) Lösungen
I 1 12x− 2y = 9
II 25x+ 1
3y = 5I 1 1
2x− 2y = 9 / · 25
II 25x+ 1
3y = 5 / ·(−1 1
2
)I 3
5x− 45y = 3 3
5II − 3
5x− 12y = −7 1
2I + III 3
5x− 35x− 4
5y −12y = 3 3
5 − 712
−1 310y = −3 9
10 / :(−1 3
10
)y =
−3 910
−1 310
y = 3y in II 1 1
2x− 2 · 3 = 9112x− 6 = 9 / + 6
112x = 9 + 6
112x = 15 / : 1 1
2x = 15
1 12
x = 10L = {10/3}
I 1 12x− 2y = 9
II 25x+ 1
3y = 5I 1 1
2x− 2y = 9 / ·(−1
3
)II 2
5x+ 13y = 5 / · (−2)
I − 12x+ 2
3y = −3II − 4
5x− 23y = −10
I + III − 1
2x− 45x+ 2
3y −23y = −3− 10
−1 310x = −13 / :
(−1 3
10
)x = −13
−1 310
x = 10x in II 1 1
2 · 10− 2y = 9−2y + 15 = 9 /− 15−2y = 9− 15−2y = −6 / : (−2)y = −6
−2
y = 3L = {10/3}
Aufgabe (14)
I 2x+ 3y = 4II 1
3x− 15y = 12
I 2x+ 3y = 4 / · 13
II 13x− 1
5y = 12 / · (−2)I 2
3x+ 1y = 1 13
II − 23x+ 2
5y = −24I + III 2
3x− 23x+ 1y + 2
5y = 1 13 − 24
125y = −22 2
3 / : 1 25
y =−22 2
3
1 25
y = −16 421
y in II 2x+ 3 ·
(−16 4
21
)= 4
2x− 48 47 = 4 / + 48 4
72x = 4 + 48 4
72x = 52 4
7 / : 2
x =52 4
7
2x = 26 2
7L = {26 2
7/− 16 421}
I 2x+ 3y = 4II 1
3x− 15y = 12
I 2x+ 3y = 4 / · 15
II 13x− 1
5y = 12 / · 3I 2
5x+ 35y = 4
5II 1x− 3
5y = 36I + III 2
5x+ 1x+ 35y −
35y = 4
5 + 361 25x = 36 4
5 / : 1 25
x =36 4
5
1 25
x = 26 27
x in II 2 · 26 2
7 + 3y = 43y + 52 4
7 = 4 /− 52 47
3y = 4− 5247
3y = −4847 / : 3
y =−48 4
7
3y = −16 4
21L = {262
7/− 16 421}
Aufgabe (15)
www.fersch.de 44
Additionsverfahren (2) Lösungen
I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I 1x+ 2y = −4 / · (−1)II − 1x+ 2y = 5 / · (−1)I − 1x− 2y = 4II 1x− 2y = −5I + III − 1x+ 1x− 2y − 2y = 4− 5−4y = −1 / : (−4)y = −1
−4
y = 14
y in II 1x+ 2 · 1
4 = −41x+ 1
2 = −4 /− 12
1x = −4− 12
1x = −4 12 / : 1
x =−4 1
2
1x = −4 1
2L = {−4 1
2/14}
I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I 1x+ 2y = −4 / · 1II − 1x+ 2y = 5 / · (−1)I 1x+ 2y = −4II 1x− 2y = −5I + III 1x+ 1x+ 2y − 2y = −4− 52x = −9 / : 2x = −9
2x = −41
2x in II 1 ·
(−4 1
2
)+ 2y = −4
2y − 4 12 = −4 / + 4 1
22y = −4 + 4 1
22y = 1
2 / : 2
y =12
2y = 1
4L = {−41
2/14}
Aufgabe (16)
I 2x+ 4y = 4II − 1
2x+ 3y = 3I 2x+ 4y = 4 / · 1
2II − 1
2x+ 3y = 3 / · 2I 1x+ 2y = 2II − 1x+ 6y = 6I + III 1x− 1x+ 2y + 6y = 2 + 68y = 8 / : 8y = 8
8y = 1y in II 2x+ 4 · 1 = 42x+ 4 = 4 /− 42x = 4− 42x = 0 / : 2x = 0
2x = 0L = {0/1}
I 2x+ 4y = 4II − 1
2x+ 3y = 3I 2x+ 4y = 4 / · 3II − 1
2x+ 3y = 3 / · (−4)I 6x+ 12y = 12II 2x− 12y = −12I + III 6x+ 2x+ 12y − 12y = 12− 128x = 0 / : 8x = 0
8x = 0x in II 2 · 0 + 4y = 44y + 0 = 4 /− 04y = 4− 04y = 4 / : 4y = 4
4y = 1L = {0/1}
Aufgabe (17)
www.fersch.de 45
Additionsverfahren (2) Lösungen
I − 12x+ 4y = 6
II − 2x− 8y = 2I − 1
2x+ 4y = 6 / · (−2)II − 2x− 8y = 2 / · 1
2I 1x− 8y = −12II − 1x− 4y = 1I + III 1x− 1x− 8y − 4y = −12 + 1−12y = −11 / : (−12)y = −11
−12
y = 1112
y in II − 1
2x+ 4 · 1112 = 6
−12x+ 3 2
3 = 6 /− 3 23
−12x = 6− 3 2
3−1
2x = 2 13 / :
(− 1
2
)x =
2 13
− 12
x = −4 23
L = {−4 23/
1112}
I − 12x+ 4y = 6
II − 2x− 8y = 2I − 1
2x+ 4y = 6 / · (−2)II − 2x− 8y = 2 / · (−1)I 1x− 8y = −12II 2x+ 8y = −2I + III 1x+ 2x− 8y + 8y = −12− 23x = −14 / : 3x = −14
3x = −4 2
3x in II − 1
2 ·(−4 2
3
)+ 4y = 6
4y + 2 13 = 6 /− 21
34y = 6− 2 1
34y = 3 2
3 / : 4
y =3 2
3
4y = 11
12L = {−4 2
3/1112}
Aufgabe (18)
I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I 1x+ 1y = 1 / · 2II 2x+ 2y = 2 / · (−1)I 2x+ 2y = 2II − 2x− 2y = −2I + III 2x− 2x+ 2y − 2y = 2− 2
L = unendlich
I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I 1x+ 1y = 1 / · 2II 2x+ 2y = 2 / · (−1)I 2x+ 2y = 2II − 2x− 2y = −2I + III 2x− 2x+ 2y − 2y = 2− 2
L = unendlich
Aufgabe (19)
I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I 1x+ 1y = 2 / · 3II 3x+ 3y = 3 / · (−1)I 3x+ 3y = 6II − 3x− 3y = −3I + III 3x− 3x+ 3y − 3y = 6− 3
L = {}
I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I 1x+ 1y = 2 / · 3II 3x+ 3y = 3 / · (−1)I 3x+ 3y = 6II − 3x− 3y = −3I + III 3x− 3x+ 3y − 3y = 6− 3
L = {}
Aufgabe (20)
www.fersch.de 46
Additionsverfahren (2) Lösungen
I − 1 45x+ 1 1
3y = −1II − 2
3x+ 19y = 9
I − 1 45x+ 1 1
3y = −1 / ·(−2
3
)II − 2
3x+ 19y = 9 / · 1 4
5I 1 1
5x− 89y = 2
3II − 1 1
5x+ 15y = 16 1
5I + III 1 1
5x− 115x− 8
9y +15y = 2
3 + 16 15
−3145y = 16 13
15 / :(− 31
45
)y =
16 1315
− 3145
y = −24 1531
y in II − 1 4
5x+ 1 13 ·
(−2415
31
)= −1
−1 45x− 32 20
31 = −1 / + 32 2031
−1 45x = −1 + 32 20
31−1 4
5x = 31 2031 / :
(−14
5
)x =
31 2031
−1 45
x = −17 1831
L = {−17 1831/− 24 15
31}
I − 1 45x+ 1 1
3y = −1II − 2
3x+ 19y = 9
I − 1 45x+ 1 1
3y = −1 / · 19
II − 23x+ 1
9y = 9 / ·(−1 1
3
)I − 1
5x+ 427y = −1
9II 8
9x− 427y = −12
I + III − 1
5x+ 89x+ 4
27y −427y = − 1
9 − 123145x = −121
9 / : 3145
x =−12 1
93145
x = −17 1831
x in II − 1 4
5 ·(−17 18
31
)+ 1 1
3y = −1113y + 31 20
31 = −1 /− 31 2031
113y = −1− 31 20
31113y = −32 20
31 / : 1 13
y =−32 20
31
1 13
y = −24 1531
L = {−17 1831/− 24 15
31}
Aufgabe (21)
I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I 2x− 7y = −8 / · 7II 7x− 1y = −9 / · (−2)I 14x− 49y = −56II − 14x+ 2y = 18I + III 14x− 14x− 49y + 2y = −56 + 18−47y = −38 / : (−47)y = −38
−47
y = 3847
y in II 2x− 7 · 38
47 = −82x− 531
47 = −8 / + 5 3147
2x = −8 + 5 3147
2x = −2 1647 / : 2
x =−2 16
47
2x = −1 8
47L = {−1 8
47/3847}
I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I 2x− 7y = −8 / · (−1)II 7x− 1y = −9 / · 7I − 2x+ 7y = 8II 49x− 7y = −63I + III − 2x+ 49x+ 7y − 7y = 8− 6347x = −55 / : 47x = −55
47x = −1 8
47x in II 2 ·
(−1 8
47
)− 7y = −8
−7y − 2 1647 = −8 / + 2 16
47−7y = −8 + 2 16
47−7y = −5 31
47 / : (−7)
y =−5 31
47
−7
y = 3847
L = {−1 847/
3847}
Aufgabe (22)
www.fersch.de 47
Additionsverfahren (2) Lösungen
I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I − 7x+ 9y = −3 / · 5II 5x− 6y = −4 / · 7I − 35x+ 45y = −15II 35x− 42y = −28I + III − 35x+ 35x+ 45y − 42y = −15− 283y = −43 / : 3y = −43
3y = −14 1
3y in II − 7x+ 9 ·
(−14 1
3
)= −3
−7x− 129 = −3 / + 129−7x = −3 + 129−7x = 126 / : (−7)x = 126
−7
x = −18L = {−18/− 14 1
3}
I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I − 7x+ 9y = −3 / · (−2)II 5x− 6y = −4 / · (−3)I 14x− 18y = 6II − 15x+ 18y = 12I + III 14x− 15x− 18y + 18y = 6 + 12−1x = 18 / : (−1)x = 18
−1
x = −18x in II − 7 · (−18) + 9y = −39y + 126 = −3 /− 1269y = −3− 1269y = −129 / : 9y = −129
9y = −14 1
3L = {−18/− 14 1
3}
Aufgabe (23)
I 2x+ 2y = 1 710
II 3x+ 6y = 3I 2x+ 2y = 1 7
10 / · 3II 3x+ 6y = 3 / · (−2)I 6x+ 6y = 5 1
10II − 6x− 12y = −6I + III 6x− 6x+ 6y − 12y = 5 1
10 − 6−6y = − 9
10 / : (−6)
y =− 9
10
−6
y = 320
y in II 2x+ 2 · 3
20 = 1 710
2x+ 310 = 1 7
10 /− 310
2x = 1 710 − 3
102x = 1 2
5 / : 2
x =1 2
5
2x = 7
10L = { 7
10/320}
I 2x+ 2y = 1 710
II 3x+ 6y = 3I 2x+ 2y = 1 7
10 / · 3II 3x+ 6y = 3 / · (−1)I 6x+ 6y = 5 1
10II − 3x− 6y = −3I + III 6x− 3x+ 6y − 6y = 5 1
10 − 33x = 2 1
10 / : 3
x =2 1
10
3x = 7
10x in II 2 · 7
10 + 2y = 1 710
2y + 1 25 = 1 7
10 /− 1 25
2y = 1 710 − 12
52y = 3
10 / : 2
y =310
2y = 3
20L = { 7
10/320}
Aufgabe (24)
www.fersch.de 48
Additionsverfahren (2) Lösungen
I 5x+ 6y = 7II 4x+ 6y = 4I 5x+ 6y = 7 / · 4II 4x+ 6y = 4 / · (−5)I 20x+ 24y = 28II − 20x− 30y = −20I + III 20x− 20x+ 24y − 30y = 28− 20−6y = 8 / : (−6)y = 8
−6
y = −1 13
y in II 5x+ 6 ·
(−11
3
)= 7
5x− 8 = 7 / + 85x = 7 + 85x = 15 / : 5x = 15
5x = 3L = {3/− 1 1
3}
I 5x+ 6y = 7II 4x+ 6y = 4I 5x+ 6y = 7 / · 1II 4x+ 6y = 4 / · (−1)I 5x+ 6y = 7II − 4x− 6y = −4I + III 5x− 4x+ 6y − 6y = 7− 41x = 3 / : 1x = 3
1x = 3x in II 5 · 3 + 6y = 76y + 15 = 7 /− 156y = 7− 156y = −8 / : 6y = −8
6y = −11
3L = {3/− 11
3}
Aufgabe (25)
I 12x+ 6y = 7II 16x+ 6y = 4I 12x+ 6y = 7 / · 4II 16x+ 6y = 4 / · (−3)I 48x+ 24y = 28II − 48x− 18y = −12I + III 48x− 48x+ 24y − 18y = 28− 126y = 16 / : 6y = 16
6y = 2 2
3y in II 12x+ 6 · 2 2
3 = 712x+ 16 = 7 /− 1612x = 7− 1612x = −9 / : 12x = −9
12x = − 3
4L = {−3
4/223}
I 12x+ 6y = 7II 16x+ 6y = 4I 12x+ 6y = 7 / · 1II 16x+ 6y = 4 / · (−1)I 12x+ 6y = 7II − 16x− 6y = −4I + III 12x− 16x+ 6y − 6y = 7− 4−4x = 3 / : (−4)x = 3
−4
x = −34
x in II 12 ·
(− 3
4
)+ 6y = 7
6y − 9 = 7 / + 96y = 7 + 96y = 16 / : 6y = 16
6y = 2 2
3L = {−3
4/223}
www.fersch.de 49
2-reihige Determinante
4 2-reihige Determinante
D =
∣∣∣∣∣ a b
c d
∣∣∣∣∣ = a · d− b · cD =
∣∣∣∣ 3 −24 5
∣∣∣∣ = 3 · 5− (−2) · 4 = 23
4.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben: D =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣Gesucht:Wert der Determinante D
(1) D =
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣(2) D =
∣∣∣∣ −12 02 3
∣∣∣∣(3) D =
∣∣∣∣ −12 26 0
∣∣∣∣(4) D =
∣∣∣∣ −2 −80 −3
∣∣∣∣(5) D =
∣∣∣∣ 14 0−2 −1
∣∣∣∣(6) D =
∣∣∣∣ 14 −1−2 4
∣∣∣∣(7) D =
∣∣∣∣ 12
15
2 5
∣∣∣∣(8) D =
∣∣∣∣ 2 40 1
∣∣∣∣(9) D =
∣∣∣∣ −12 25 4
∣∣∣∣(10) D =
∣∣∣∣ −2 34 − 1
3
∣∣∣∣(11) D =
∣∣∣∣ 12 6−2 4
5
∣∣∣∣(12) D =
∣∣∣∣ − 13
25
5 0
∣∣∣∣
(13) D =
∣∣∣∣ −3 23
12
23
∣∣∣∣(14) D =
∣∣∣∣ 1 69 3
∣∣∣∣(15) D =
∣∣∣∣ 7 51 1
∣∣∣∣(16) D =
∣∣∣∣ 8 52 4
∣∣∣∣(17) D =
∣∣∣∣ 712 4 3
419
67
∣∣∣∣(18) D =
∣∣∣∣ 513 1 3
523
1117
∣∣∣∣(19) D =
∣∣∣∣ 15
12
1 114
1117
∣∣∣∣(20) D =
∣∣∣∣ 3 56 7
∣∣∣∣(21) D =
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣(22) D =
∣∣∣∣ 4 67 8
∣∣∣∣(23) D =
∣∣∣∣ 3 −24 5
∣∣∣∣
www.fersch.de 50
2-reihige Determinante Lösungen
4.2 LösungenAufgabe (1)
D =
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 3 = (−2)
Aufgabe (2)
D =
∣∣∣∣ − 12 02 3
∣∣∣∣ = (−1
2
)· 3− 0 · 2 =
(−11
2
)
Aufgabe (3)
D =
∣∣∣∣ − 12 26 0
∣∣∣∣ = (−1
2
)· 0− 2 · 6 = (−12)
Aufgabe (4)
D =
∣∣∣∣ −2 −80 −3
∣∣∣∣ = (−2) · (−3)− (−8) · 0 = 6
Aufgabe (5)
D =
∣∣∣∣ 14 0−2 −1
∣∣∣∣ = 14 · (−1)− 0 · (−2) =
(−1
4
)
Aufgabe (6)
D =
∣∣∣∣ 14 −1−2 4
∣∣∣∣ = 14 · 4− (−1) · (−2) = (−1)
Aufgabe (7)
D =
∣∣∣∣ 12
15
2 5
∣∣∣∣ = 12 · 5− 1
5 · 2 = 2 110
Aufgabe (8)
D =
∣∣∣∣ 2 40 1
∣∣∣∣ = 2 · 1− 4 · 0 = 2
Aufgabe (9)
D =
∣∣∣∣ −12 25 4
∣∣∣∣ = (−1
2
)· 4− 2 · 5 = (−12)
Aufgabe (10)
D =
∣∣∣∣ −2 34 − 1
3
∣∣∣∣ = (−2) ·(−1
3
)− 3 · 4 =
(−11 1
3
)
Aufgabe (11)
D =
∣∣∣∣ 12 6−2 4
5
∣∣∣∣ = 12 · 4
5 − 6 · (−2) = 12 25
Aufgabe (12)
D =
∣∣∣∣ −13
25
5 0
∣∣∣∣ = (−1
3
)· 0− 2
5 · 5 = (−2)
Aufgabe (13)
D =
∣∣∣∣ −3 23
12
23
∣∣∣∣ = (−3) · 23 − 2
3 · 12 =
(−2 1
3
)
Aufgabe (14)
D =
∣∣∣∣ 1 69 3
∣∣∣∣ = 1 · 3− 6 · 9 = (−51)
Aufgabe (15)
D =
∣∣∣∣ 7 51 1
∣∣∣∣ = 7 · 1− 5 · 1 = 2
Aufgabe (16)
D =
∣∣∣∣ 8 52 4
∣∣∣∣ = 8 · 4− 5 · 2 = 22
Aufgabe (17)
D =
∣∣∣∣ 712 4 3
419
67
∣∣∣∣ = 712 · 6
7 − 4 34 · 1
9 =(− 1
36
)
Aufgabe (18)
www.fersch.de 51
2-reihige Determinante Lösungen
D =
∣∣∣∣ 5 13 1 3
523
1117
∣∣∣∣ = 5 13 · 11
17 − 135 · 2
3 = 2, 38
Aufgabe (19)
D =
∣∣∣∣ 15
12
1 114
1117
∣∣∣∣ = 15 · 11
17 − 12 · 1 1
14 = (−0, 406)
Aufgabe (20)
D =
∣∣∣∣ 3 56 7
∣∣∣∣ = 3 · 7− 5 · 6 = (−9)
Aufgabe (21)
D =
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ = 3 · 6− 4 · 5 = (−2)
Aufgabe (22)
D =
∣∣∣∣ 4 67 8
∣∣∣∣ = 4 · 8− 6 · 7 = (−10)
Aufgabe (23)
D =
∣∣∣∣ 3 −24 5
∣∣∣∣ = 3 · 5− (−2) · 4 = 23
www.fersch.de 52
3-reihige Determinante
5 3-reihige DeterminanteRegel von Sarrus
D=a1 b1 c1 a1 b1
a2 b2 c2 a2 b2
a3 b3 c3 a3 b3
+ + +
- - -
Z~ Z~ Z~Z~ Z~ Z~�= �= �=
�= �= �=
D = a1 · b2 · c3 + b1 · c2 · a3 + c1 · a2 · b3−c1 · b2 · a3− a1 · c2 · b3− b1 · a2 · c3
D =
∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3
∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3
Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3−4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54
5.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung
Gegeben: D =
∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣Gesucht:Wert der Determinante D
(1) D =
∣∣∣∣∣∣1 −2 3−4 5 67 8 −9
∣∣∣∣∣∣(2) D =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣(3) D =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 2 32 6 0
∣∣∣∣∣∣(4) D =
∣∣∣∣∣∣−2 −8 0−3 1
4 0−2 −1 8
∣∣∣∣∣∣(5) D =
∣∣∣∣∣∣14 −1 −24 7 1
215 2 5
∣∣∣∣∣∣(6) D =
∣∣∣∣∣∣14 2 40 4 −1
22 5 4
∣∣∣∣∣∣(7) D =
∣∣∣∣∣∣−2 3 4−1
312 6
−2 4 45
∣∣∣∣∣∣(8) D =
∣∣∣∣∣∣6 5 66 3 36 6 2
∣∣∣∣∣∣
(9) D =
∣∣∣∣∣∣1 9 44 8 26 3 1
∣∣∣∣∣∣(10) D =
∣∣∣∣∣∣1 2 68 3 94 8 1
∣∣∣∣∣∣(11) D =
∣∣∣∣∣∣1415 2 4
5 11 613 1 1
2 191 38
516
111
∣∣∣∣∣∣(12) D =
∣∣∣∣∣∣117 14 1
41 217
13 6 1
223
811
817
∣∣∣∣∣∣(13) D =
∣∣∣∣∣∣145
913 3 3
425 1 5
14 558
12 1
∣∣∣∣∣∣(14) D =
∣∣∣∣∣∣2 4 00 0 50 4 5
∣∣∣∣∣∣(15) D =
∣∣∣∣∣∣2 4 00 5 00 0 6
∣∣∣∣∣∣(16) D =
∣∣∣∣∣∣4 6 00 7 80 0 7
∣∣∣∣∣∣
www.fersch.de 53
3-reihige Determinante Lösungen
5.2 LösungenAufgabe (1)
D =
∣∣∣∣∣∣1 −2 3−4 5 67 8 −9
∣∣∣∣∣∣1 −2−4 57 8
D = 1 · 5 · (−9) + (−2) · 6 · 7 + 3 · (−4) · 8− 3 · 5 · 7− 1 · 6 · 8− (−2) · (−4) · (−9) = −306
Aufgabe (2)
D =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣1 24 57 8
D = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8− 3 · 5 · 7− 1 · 6 · 8− 2 · 4 · 9 = 0
Aufgabe (3)
D =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 2 32 6 0
∣∣∣∣∣∣1 24 22 6
D = 1 · 2 · 0 + 2 · 3 · 2 + 3 · 4 · 6− 3 · 2 · 2− 1 · 3 · 6− 2 · 4 · 0 = 54
Aufgabe (4)
D =
∣∣∣∣∣∣−2 −8 0−3 1
4 0−2 −1 8
∣∣∣∣∣∣−2 −8−3 1
4−2 −1
D = (−2) · 14 · 8 + (−8) · 0 · (−2) + 0 · (−3) · (−1)
− 0 · 14 · (−2)− (−2) · 0 · (−1)− (−8) · (−3) · 8 = −196
Aufgabe (5)
D =
∣∣∣∣∣∣14 −1 −24 7 1
215 2 5
∣∣∣∣∣∣14 −14 715 2
D = 14 · 7 · 5 + (−1) · 1
2 · 15 + (−2) · 4 · 2
− (−2) · 7 · 15 − 1
4 · 12 · 2− (−1) · 4 · 5 = 15 1
5
Aufgabe (6)
D =
∣∣∣∣∣∣14 2 40 4 − 1
22 5 4
∣∣∣∣∣∣14 20 42 5
www.fersch.de 54
3-reihige Determinante Lösungen
D = 14 · 4 · 4 + 2 ·
(−1
2
)· 2 + 4 · 0 · 5
− 4 · 4 · 2− 14 ·
(−1
2
)· 5− 2 · 0 · 4 = −293
8
Aufgabe (7)
D =
∣∣∣∣∣∣−2 3 4− 1
312 6
−2 4 45
∣∣∣∣∣∣−2 3−1
312
−2 4
D = (−2) · 12 · 4
5 + 3 · 6 · (−2) + 4 ·(− 1
3
)· 4
− 4 · 12 · (−2)− (−2) · 6 · 4− 3 ·
(−1
3
)· 45 = 10 2
3
Aufgabe (8)
D =
∣∣∣∣∣∣6 5 66 3 36 6 2
∣∣∣∣∣∣6 56 36 6
D = 6 · 3 · 2 + 5 · 3 · 6 + 6 · 6 · 6− 6 · 3 · 6− 6 · 3 · 6− 5 · 6 · 2 = 66
Aufgabe (9)
D =
∣∣∣∣∣∣1 9 44 8 26 3 1
∣∣∣∣∣∣1 94 86 3
D = 1 · 8 · 1 + 9 · 2 · 6 + 4 · 4 · 3− 4 · 8 · 6− 1 · 2 · 3− 9 · 4 · 1 = −70
Aufgabe (10)
D =
∣∣∣∣∣∣1 2 68 3 94 8 1
∣∣∣∣∣∣1 28 34 8
D = 1 · 3 · 1 + 2 · 9 · 4 + 6 · 8 · 8− 6 · 3 · 4− 1 · 9 · 8− 2 · 8 · 1 = 299
Aufgabe (11)
D =
∣∣∣∣∣∣1415 2 4
5 11 613 1 1
2 191 38
516
111
∣∣∣∣∣∣1415 2 4
51 613 1 1
21 38
516
D = 1415 · 1 1
2 · 111 + 2 4
5 · 19 · 138 + 1 · 1 6
13 · 516
− 1 · 1 12 · 1 3
8 − 1415 · 19 · 5
16 − 245 · 1 6
13 · 111 = 65, 8
Aufgabe (12)
www.fersch.de 55
3-reihige Determinante Lösungen
D =
∣∣∣∣∣∣117 14 1
41 217
13 61
223
811
817
∣∣∣∣∣∣117 141 217
13
23
811
D = 117 · 1
3 · 817 + 14 · 61
2 · 23 + 1
4 · 1 217 · 8
11− 1
4 · 13 · 2
3 − 117 · 61
2 · 811 − 14 · 1 2
17 · 817 = 53, 2
Aufgabe (13)
D =
∣∣∣∣∣∣1 45
913 33
425 1 5
14 558
12 1
∣∣∣∣∣∣1 45
913
25 1 5
1458
12
D = 1 45 · 1 5
14 · 1 + 913 · 5 · 5
8 + 3 34 · 2
5 · 12
− 334 · 1 5
14 · 58 − 1 4
5 · 5 · 12 − 9
13 · 25 · 1 = −2, 6
Aufgabe (14)
D =
∣∣∣∣∣∣2 4 00 0 50 4 5
∣∣∣∣∣∣2 40 00 4
D = 2 · 0 · 5 + 4 · 5 · 0 + 0 · 0 · 4− 0 · 0 · 0− 2 · 5 · 4− 4 · 0 · 5 = −40
Aufgabe (15)
D =
∣∣∣∣∣∣2 4 00 5 00 0 6
∣∣∣∣∣∣2 40 50 0
D = 2 · 5 · 6 + 4 · 0 · 0 + 0 · 0 · 0− 0 · 5 · 0− 2 · 0 · 0− 4 · 0 · 6 = 60
Aufgabe (16)
D =
∣∣∣∣∣∣4 6 00 7 80 0 7
∣∣∣∣∣∣4 60 70 0
D = 4 · 7 · 7 + 6 · 8 · 0 + 0 · 0 · 0− 0 · 7 · 0− 4 · 8 · 0− 6 · 0 · 7 = 196
www.fersch.de 56
Determinantenverfahren (2)
6 Determinantenverfahren (2)I a1 · x+ b1 · y = c1
II a2 · x+ b2 · y = c42
Dh =a1 b1
a2 b2= a1 · b2− b1 · a2
Dx =c1 b1
c2 b2= c1 · b2− b1 · c2
Dy =a1 c1
a2 c2= a1 · c2− c1 · a2
• Eindeutige Lösung Dh ̸= 0
x = Dx
Dh
y =Dy
Dh
• Keine Lösung Dh = 0
Dx ̸= 0 oder Dy ̸= 0
• Unendlich viele LösungenDh = Dx = Dy = 0
I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31
Dh =3 57 5
= 3 · 5− 5 · 7 = −20
Dx =19 531 5
= 19 · 5− 5 · 31 = −60
Dy =3 197 31
= 3 · 31− 19 · 7 = −40
x = −60−20
x = 3y = −40
−20
y = 2L = {3/2}
6.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungDh =
a1 b1a2 b2
= a1 · b2− b1 · a2
Dx =c1 b1c2 b2
= c1 · b2− b1 · c2
Dy =a1 c1a2 c2
= a1 · c2− c1 · a2
x = Dx
Dh
y =Dy
Dh
(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31
(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4
(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1
(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7
(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6
(6) 7x+ 1 12y = 1
2x− 5y = 22
www.fersch.de 57
Determinantenverfahren (2) Aufgaben
(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0
(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24
(9) −12x+ 1y = 2
12x− 3y = −3
(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5
(11) 1 15x− 1 1
3y = 5 13
2 12x− 1
4y = 12 38
(12)23x− 5
7y = 23
1x+ 1y = 10 23
(13) 1 12x− 2y = 9
25x+ 1
3y = 5
(14) 2x+ 3y = 413x− 1
5y = 12
(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5
(16) 2x+ 4y = 4−1
2x+ 3y = 3
(17) −12x+ 4y = 6
−2x− 8y = 2
(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2
(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3
(20) −1 45x+ 1 1
3y = −1−2
3x+ 19y = 9
(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9
(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4
(23) 2x+ 2y = 1 710
3x+ 6y = 3
(24) 4x+ 6y = 75x+ 6y = 5
www.fersch.de 58
Determinantenverfahren (2) Lösungen
6.2 LösungenAufgabe (1)
Dh =3 57 5
= 3 · 5− 5 · 7 = −20
Dx =19 531 5
= 19 · 5− 5 · 31 = −60
Dy =3 197 31
= 3 · 31− 19 · 7 = −40
x = −60−20
x = 3y = −40
−20y = 2L = {3/2}
Aufgabe (2)
Dh =1 11 −1
= 1 · (−1)− 1 · 1 = −2
Dx =10 14 −1
= 10 · (−1)− 1 · 4 = −14
Dy =1 101 4
= 1 · 4− 10 · 1 = −6
x = −14−2
x = 7y = −6
−2y = 3L = {7/3}
Aufgabe (3)
Dh =9 −25 −2
= 9 · (−2)− (−2) · 5 = −8
Dx =5 −21 −2
= 5 · (−2)− (−2) · 1 = −8
Dy =9 55 1
= 9 · 1− 5 · 5 = −16
x = −8−8
x = 1y = −16
−8y = 2L = {1/2}
Aufgabe (4)
Dh =9 −2−3 −3
= 9 · (−3)− (−2) · (−3) = −33
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Determinantenverfahren (2) Lösungen
Dx =1 −2−7 −3
= 1 · (−3)− (−2) · (−7) = −17
Dy =9 1−3 −7
= 9 · (−7)− 1 · (−3) = −60
x = −17−33
x = 1733
y = −60−33
y = 1 911
L = {1733/1
911}
Aufgabe (5)
Dh =1 33 −2
= 1 · (−2)− 3 · 3 = −11
Dx =9 3−6 −2
= 9 · (−2)− 3 · (−6) = 0
Dy =1 93 −6
= 1 · (−6)− 9 · 3 = −33
x = 0−11
x = 0y = −33
−11y = 3L = {0/3}
Aufgabe (6)
Dh =7 1 1
22 −5
= 7 · (−5)− 112 · 2 = −38
Dx =1 1 1
222 −5
= 1 · (−5)− 1 12 · 22 = −38
Dy =7 12 22
= 7 · 22− 1 · 2 = 152
x = −38−38
x = 1y = 152
−38y = −4L = {1/− 4}
Aufgabe (7)
Dh =4 −5−3 −7
= 4 · (−7)− (−5) · (−3) = −43
Dx =43 −50 −7
= 43 · (−7)− (−5) · 0 = −301
Dy =4 43−3 0
= 4 · 0− 43 · (−3) = 129
x = −301−43
www.fersch.de 60
Determinantenverfahren (2) Lösungen
x = 7y = 129
−43y = −3L = {7/− 3}
Aufgabe (8)
Dh =8 −312 −5
= 8 · (−5)− (−3) · 12 = −4
Dx =10 −324 −5
= 10 · (−5)− (−3) · 24 = 22
Dy =8 1012 24
= 8 · 24− 10 · 12 = 72
x = 22−4
x = −5 12
y = 72−4
y = −18L = {−51
2/− 18}
Aufgabe (9)
Dh =−1
2 112 −3
= − 12 · (−3)− 1 · 1
2 = 1
Dx =2 1−3 −3
= 2 · (−3)− 1 · (−3) = −3
Dy =− 1
2 212 −3
= −12 · (−3)− 2 · 1
2 = 12
x = −31
x = −3
y =12
1y = 1
2L = {−3/1
2}
Aufgabe (10)
Dh =−1 112 −4
= −1 · (−4)− 1 · 12 = 3 1
2
Dx =3 15 −4
= 3 · (−4)− 1 · 5 = −17
Dy =−1 312 5
= −1 · 5− 3 · 12 = −6 1
2
x = −173 1
2
x = −4 67
y =−6 1
2
3 12
y = −167
L = {−467/− 16
7}
www.fersch.de 61
Determinantenverfahren (2) Lösungen
Aufgabe (11)
Dh =115 −1 1
3212 − 1
4
= 1 15 ·
(− 1
4
)−
(−1 1
3
)· 21
2 = 3 130
Dx =5 13 −11
312 3
8 −14
= 5 13 ·
(−1
4
)−(−11
3
)· 12 3
8 = 15 16
Dy =1 15 5 1
32 12 12 3
8
= 1 15 · 123
8 − 513 · 21
2 = 1 3160
x =15 1
6
3 130
x = 5y =
1 3160
3 130
y = 12
L = {5/ 12}
Aufgabe (12)
Dh =23 − 5
71 1
= 23 · 1−
(−5
7
)· 1 = 1 8
21
Dx =23 −5
710 2
3 1= 2
3 · 1−(− 5
7
)· 102
3 = 8 27
Dy =23
23
1 10 23
= 23 · 10 2
3 − 23 · 1 = 6 4
9
x =8 2
7
1 821
x = 6y =
6 49
1 821
y = 4 23
L = {6/4 23}
Aufgabe (13)
Dh =112 −225
13
= 1 12 · 1
3 − (−2) · 25 = 1 3
10
Dx =9 −25 1
3
= 9 · 13 − (−2) · 5 = 13
Dy =1 12 925 5
= 1 12 · 5− 9 · 2
5 = 3 910
x = 131 3
10
x = 10y =
3 910
1 310
y = 3L = {10/3}
www.fersch.de 62
Determinantenverfahren (2) Lösungen
Aufgabe (14)
Dh =2 313 − 1
5
= 2 ·(−1
5
)− 3 · 1
3 = −1 25
Dx =4 312 −1
5
= 4 ·(− 1
5
)− 3 · 12 = −36 4
5
Dy =2 413 12
= 2 · 12− 4 · 13 = 22 2
3
x =−36 4
5
−1 25
x = 26 27
y =22 2
3
−1 25
y = −16 421
L = {26 27/− 16 4
21}
Aufgabe (15)
Dh =1 2−1 2
= 1 · 2− 2 · (−1) = 4
Dx =−4 25 2
= −4 · 2− 2 · 5 = −18
Dy =1 −4−1 5
= 1 · 5− (−4) · (−1) = 1
x = −184
x = −4 12
y = 14
y = 14
L = {−412/
14}
Aufgabe (16)
Dh =2 4−1
2 3= 2 · 3− 4 ·
(− 1
2
)= 8
Dx =4 43 3
= 4 · 3− 4 · 3 = 0
Dy =2 4− 1
2 3= 2 · 3− 4 ·
(−1
2
)= 8
x = 08
x = 0y = 8
8y = 1L = {0/1}
Aufgabe (17)
Dh =−1
2 4−2 −8
= − 12 · (−8)− 4 · (−2) = 12
www.fersch.de 63
Determinantenverfahren (2) Lösungen
Dx =6 42 −8
= 6 · (−8)− 4 · 2 = −56
Dy =− 1
2 6−2 2
= − 12 · 2− 6 · (−2) = 11
x = −5612
x = −4 23
y = 1112
y = 1112
L = {−423/
1112}
Aufgabe (18)
Dh =1 12 2
= 1 · 2− 1 · 2 = 0
Dx =1 12 2
= 1 · 2− 1 · 2 = 0
Dy =1 12 2
= 1 · 2− 1 · 2 = 0
L = {unendlich}
Aufgabe (19)
Dh =1 13 3
= 1 · 3− 1 · 3 = 0
Dx =2 13 3
= 2 · 3− 1 · 3 = 3
Dy =1 23 3
= 1 · 3− 2 · 3 = −3
L = {}
Aufgabe (20)
Dh =−14
5 1 13
−23
19
= −145 · 1
9 − 1 13 ·
(−2
3
)= 31
45
Dx =−1 1 1
39 1
9
= −1 · 19 − 1 1
3 · 9 = −1219
Dy =−1 4
5 −1− 2
3 9= −1 4
5 · 9− (−1) ·(−2
3
)= −1613
15
x =−12 1
93145
x = −17 1831
y =−16 13
153145
y = −24 1531
L = {−171831/− 24 15
31}
Aufgabe (21)
www.fersch.de 64
Determinantenverfahren (2) Lösungen
Dh =2 −77 −1
= 2 · (−1)− (−7) · 7 = 47
Dx =−8 −7−9 −1
= −8 · (−1)− (−7) · (−9) = −55
Dy =2 −87 −9
= 2 · (−9)− (−8) · 7 = 38
x = −5547
x = −1 847
y = 3847
y = 3847
L = {−1 847/
3847}
Aufgabe (22)
Dh =−7 95 −6
= −7 · (−6)− 9 · 5 = −3
Dx =−3 9−4 −6
= −3 · (−6)− 9 · (−4) = 54
Dy =−7 −35 −4
= −7 · (−4)− (−3) · 5 = 43
x = 54−3
x = −18y = 43
−3
y = −14 13
L = {−18/− 14 13}
Aufgabe (23)
Dh =2 23 6
= 2 · 6− 2 · 3 = 6
Dx =1 710 23 6
= 1 710 · 6− 2 · 3 = 4 1
5
Dy =2 1 7
103 3
= 2 · 3− 1 710 · 3 = 9
10
x =4 1
5
6x = 7
10
y =910
6y = 3
20L = { 7
10/320}
Aufgabe (24)
Dh =4 65 6
= 4 · 6− 6 · 5 = −6
Dx =7 65 6
= 7 · 6− 6 · 5 = 12
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Determinantenverfahren (2) Lösungen
Dy =4 75 5
= 4 · 5− 7 · 5 = −15
x = 12−6
x = −2y = −15
−6
y = 2 12
L = {−2/2 12}
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Determinantenverfahren (3)
7 Determinantenverfahren (3)a1x+ b1y + c1z = d1
a2x+ b2y + c2z = d2
a3x+ b3y + c3z = d3
Dh =
∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣∣a1 b1
a2 b2
a3 b3Dh = a1 · b2 · c3 + b1 · c2 · a3 + c1 · a2 · b3− c1 ·b2 · a3− a1 · c2 · b3− b1 · a2 · c3
Dx =
∣∣∣∣∣∣∣d1 b1 c1
d2 b2 c2
d3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣∣d1 b1
d2 b2
d3 b3Dx = d1 · b2 · c3 + b1 · c2 · d3 + c1 · d2 · b3− c1 ·b2 · d3− d1 · c2 · b3− b1 · d2 · c3
Dy =
∣∣∣∣∣∣∣a1 d1 c1
a2 d2 c2
a3 d3 c3
∣∣∣∣∣∣∣a1 d1
a2 d2
a3 d3Dy = a1 · d2 · c3 + d1 · c2 · a3 + c1 · a2 · d3− c1 ·d2 · a3− a1 · c2 · d3− d1 · a2 · c3
Dz =
∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 d1
a2 b2 d2
a3 b3 d3
∣∣∣∣∣∣∣a1 b1
a2 b2
a3 b3Dz = a1 · b2 · d3 + b1 · d2 · a3 + d1 · a2 · b3− d1 ·b2 · a3− a1 · d2 · b3− b1 · a2 · d3 = 0
• Eindeutige Lösung Dh ̸= 0
x = Dx
Dh
y =Dy
Dh
z = Dz
Dh
• Keine Lösung Dh = 0 Dx ̸= 0 oder Dy ̸=0 oder Dz ̸= 0
• Unendlich viele LösungenDh = Dx = Dy = Dz = 0
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
Dh =
∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3
∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3
Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3−4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54
Dx =
∣∣∣∣∣∣37 13 440 14 515 3 3
∣∣∣∣∣∣37 1340 1415 3
Dx = 37 · 14 · 3 + 13 · 5 · 15 + 4 · 40 · 3−4 · 14 · 15− 37 · 5 · 3− 13 · 40 · 3 = 54
Dy =
∣∣∣∣∣∣11 37 412 40 59 15 3
∣∣∣∣∣∣11 3712 409 15
Dy = 11 · 40 · 3 + 37 · 5 · 9 + 4 · 12 · 15−4 · 40 · 9− 11 · 5 · 15− 37 · 12 · 3 = 108
Dz =
∣∣∣∣∣∣11 13 3712 14 409 3 15
∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3
Dz = 11 · 14 · 15 + 13 · 40 · 9 + 37 · 12 · 3−37 · 14 · 9− 11 · 40 · 3− 13 · 12 · 15 = 0x = 54
54
x = 1y = 108
54
y = 2z = 0
54
z = 0L = {1/2/0}
7.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3
Gesucht:x,y,z
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Determinantenverfahren (3) Aufgaben
(1)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
(2)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23
(3)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7
(4)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34
(5)1x+ 2 + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0
(6)−2x− 8 + 0z = 11x+ 4y + 0z = −1
28x− 2y +−1z = 8
(7)−2x+ 2 + 4z = 04x− 1
2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8
(8)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34
(9)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7
(10)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23
(11)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
(12)2x+ 3 + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257
(13)6x+ 4 + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100
(14)1x+ 1 + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5
(15)1x− 2 + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7
(16)6x+ 4 + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9
(17)1x+ 3 +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5
www.fersch.de 68
Determinantenverfahren (3) Lösungen
7.2 LösungenAufgabe (1)
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
Dh =
∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3
∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3
Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3− 4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54
Dx =
∣∣∣∣∣∣37 13 440 14 515 3 3
∣∣∣∣∣∣37 1340 1415 3
Dx = 37 · 14 · 3 + 13 · 5 · 15 + 4 · 40 · 3− 4 · 14 · 15− 37 · 5 · 3− 13 · 40 · 3 = 54
Dy =
∣∣∣∣∣∣11 37 412 40 59 15 3
∣∣∣∣∣∣11 3712 409 15
Dy = 11 · 40 · 3 + 37 · 5 · 9 + 4 · 12 · 15− 4 · 40 · 9− 11 · 5 · 15− 37 · 12 · 3 = 108
Dz =
∣∣∣∣∣∣11 13 3712 14 409 3 15
∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3
Dz = 11 · 14 · 15 + 13 · 40 · 9 + 37 · 12 · 3− 37 · 14 · 9− 11 · 40 · 3− 13 · 12 · 15 = 0x = 54
54x = 1y = 108
54y = 2z = 0
54z = 0L = {1/2/0}
Aufgabe (2)
9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23
Dh =
∣∣∣∣∣∣9 5 46 3 −53 −10 6
∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10
Dh = 9 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 3 + 4 · 6 · (−10)− 4 · 3 · 3− 9 · (−5) · (−10)− 5 · 6 · 6 = −819
Dx =
∣∣∣∣∣∣13 5 417 3 −523 −10 6
∣∣∣∣∣∣13 517 323 −10
Dx = 13 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 23 + 4 · 17 · (−10)− 4 · 3 · 23− 13 · (−5) · (−10)− 5 · 17 · 6 = −2, 46 · 103
Dy =
∣∣∣∣∣∣9 13 46 17 −53 23 6
∣∣∣∣∣∣9 136 173 23
Dy = 9 · 17 · 6 + 13 · (−5) · 3 + 4 · 6 · 23− 4 · 17 · 3− 9 · (−5) · 23− 13 · 6 · 6 = 1, 64 · 103
Dz =
∣∣∣∣∣∣9 5 136 3 173 −10 23
∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10
Dz = 9 · 3 · 23 + 5 · 17 · 3 + 13 · 6 · (−10)− 13 · 3 · 3− 9 · 17 · (−10)− 5 · 6 · 23 = 819
x = −2,46·103−819
x = 3
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Determinantenverfahren (3) Lösungen
y = 1,64·103−819
y = −2z = 819
−819z = −1L = {3/− 2/− 1}
Aufgabe (3)
4x+−3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7
Dh =
∣∣∣∣∣∣4 −3 25 6 −710 2 −3
∣∣∣∣∣∣4 −35 610 2
Dh = 4 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 10 + 2 · 5 · 2− 2 · 6 · 10− 4 · (−7) · 2− (−3) · 5 · (−3) = 49
Dx =
∣∣∣∣∣∣10 −3 24 6 −77 2 −3
∣∣∣∣∣∣10 −34 67 2
Dx = 10 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 7 + 2 · 4 · 2− 2 · 6 · 7− 10 · (−7) · 2− (−3) · 4 · (−3) = 3
Dy =
∣∣∣∣∣∣4 10 25 4 −710 7 −3
∣∣∣∣∣∣4 105 410 7
Dy = 4 · 4 · (−3) + 10 · (−7) · 10 + 2 · 5 · 7− 2 · 4 · 10− 4 · (−7) · 7− 10 · 5 · (−3) = −412
Dz =
∣∣∣∣∣∣4 −3 105 6 410 2 7
∣∣∣∣∣∣4 −35 610 2
Dz = 4 · 6 · 7 + (−3) · 4 · 10 + 10 · 5 · 2− 10 · 6 · 10− 4 · 4 · 2− (−3) · 5 · 7 = −379x = 3
49x = 3
49y = −412
49y = −820
49z = −379
49z = −736
49L = { 3
49/− 8 2049/− 7 36
49}
Aufgabe (4)
2x+ 3y +−4z = 164x+ 9y − 1z = 581x+ 6y + 2z = 34
Dh =
∣∣∣∣∣∣2 3 −44 9 −11 6 2
∣∣∣∣∣∣2 34 91 6
Dh = 2 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 6− (−4) · 9 · 1− 2 · (−1) · 6− 3 · 4 · 2 = −39
Dx =
∣∣∣∣∣∣16 3 −458 9 −134 6 2
∣∣∣∣∣∣16 358 934 6
Dx = 16 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 34 + (−4) · 58 · 6− (−4) · 9 · 34− 16 · (−1) · 6− 3 · 58 · 2 = −234
Dy =
∣∣∣∣∣∣2 16 −44 58 −11 34 2
∣∣∣∣∣∣2 164 581 34
Dy = 2 · 58 · 2 + 16 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 34− (−4) · 58 · 1− 2 · (−1) · 34− 16 · 4 · 2 = −156
www.fersch.de 70
Determinantenverfahren (3) Lösungen
Dz =
∣∣∣∣∣∣2 3 164 9 581 6 34
∣∣∣∣∣∣2 34 91 6
Dz = 2 · 9 · 34 + 3 · 58 · 1 + 16 · 4 · 6− 16 · 9 · 1− 2 · 58 · 6− 3 · 4 · 34 = −78x = −234
−39x = 6y = −156
−39y = 4z = −78
−39z = 2L = {6/4/2}
Aufgabe (5)
1x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0
Dh =
∣∣∣∣∣∣1 2 32 3 20 2 6
∣∣∣∣∣∣1 22 30 2
Dh = 1 · 3 · 6 + 2 · 2 · 0 + 3 · 2 · 2− 3 · 3 · 0− 1 · 2 · 2− 2 · 2 · 6 = 2
Dx =
∣∣∣∣∣∣4 2 36 3 20 2 6
∣∣∣∣∣∣4 26 30 2
Dx = 4 · 3 · 6 + 2 · 2 · 0 + 3 · 6 · 2− 3 · 3 · 0− 4 · 2 · 2− 2 · 6 · 6 = 20
Dy =
∣∣∣∣∣∣1 4 32 6 20 0 6
∣∣∣∣∣∣1 42 60 0
Dy = 1 · 6 · 6 + 4 · 2 · 0 + 3 · 2 · 0− 3 · 6 · 0− 1 · 2 · 0− 4 · 2 · 6 = −12
Dz =
∣∣∣∣∣∣1 2 42 3 60 2 0
∣∣∣∣∣∣1 22 30 2
Dz = 1 · 3 · 0 + 2 · 6 · 0 + 4 · 2 · 2− 4 · 3 · 0− 1 · 6 · 2− 2 · 2 · 0 = 4x = 20
2x = 10y = −12
2y = −6z = 4
2z = 2L = {10/− 6/2}
Aufgabe (6)
− 2x+−8y + 0z = 11x+ 4y + 0z = −1
28x− 2y − 1z = 8
Dh =
∣∣∣∣∣∣−2 −8 01 4 08 −2 −1
∣∣∣∣∣∣−2 −81 48 −2
Dh = (−2) · 4 · (−1) + (−8) · 0 · 8 + 0 · 1 · (−2)− 0 · 4 · 8− (−2) · 0 · (−2)− (−8) · 1 · (−1) = 0
Dx =
∣∣∣∣∣∣1 −8 0− 1
2 4 08 −2 −1
∣∣∣∣∣∣1 −8− 1
2 48 −2
www.fersch.de 71
Determinantenverfahren (3) Lösungen
Dx = 1 · 4 · (−1) + (−8) · 0 · 8 + 0 ·(−1
2
)· (−2)− 0 · 4 · 8− 1 · 0 · (−2)− (−8) ·
(−1
2
)· (−1) = 0
Dy =
∣∣∣∣∣∣−2 1 01 −1
2 08 8 −1
∣∣∣∣∣∣−2 11 −1
28 8
Dy = (−2) ·(− 1
2
)· (−1) + 1 · 0 · 8 + 0 · 1 · 8− 0 ·
(−1
2
)· 8− (−2) · 0 · 8− 1 · 1 · (−1) = 0
Dz =
∣∣∣∣∣∣−2 −8 11 4 − 1
28 −2 8
∣∣∣∣∣∣−2 −81 48 −2
Dz = (−2) · 4 · 8 + (−8) ·(− 1
2
)· 8 + 1 · 1 · (−2)− 1 · 4 · 8− (−2) ·
(− 1
2
)· (−2)− (−8) · 1 · 8 = 0
L = unendlich
Aufgabe (7)
− 2x+ 2y + 4z = 04x− 1
2y + 2z = 54x− 2y − 1z = 8
Dh =
∣∣∣∣∣∣−2 2 44 − 1
2 24 −2 −1
∣∣∣∣∣∣−2 24 − 1
24 −2
Dh = (−2) ·(−1
2
)· (−1) + 2 · 2 · 4 + 4 · 4 · (−2)− 4 ·
(−1
2
)· 4− (−2) · 2 · (−2)− 2 · 4 · (−1) = −9
Dx =
∣∣∣∣∣∣0 2 45 −1
2 28 −2 −1
∣∣∣∣∣∣0 25 −1
28 −2
Dx = 0 ·(− 1
2
)· (−1) + 2 · 2 · 8 + 4 · 5 · (−2)− 4 ·
(− 1
2
)· 8− 0 · 2 · (−2)− 2 · 5 · (−1) = 18
Dy =
∣∣∣∣∣∣−2 0 44 5 24 8 −1
∣∣∣∣∣∣−2 04 54 8
Dy = (−2) · 5 · (−1) + 0 · 2 · 4 + 4 · 4 · 8− 4 · 5 · 4− (−2) · 2 · 8− 0 · 4 · (−1) = 90
Dz =
∣∣∣∣∣∣−2 2 04 −1
2 54 −2 8
∣∣∣∣∣∣−2 24 − 1
24 −2
Dz = (−2) ·(−1
2
)· 8 + 2 · 5 · 4 + 0 · 4 · (−2)− 0 ·
(−1
2
)· 4− (−2) · 5 · (−2)− 2 · 4 · 8 = −36
x = 18−9
x = −2y = 90
−9y = −10z = −36
−9z = 4L = {−2/− 10/4}
Aufgabe (8)
2x+ 3y +−4z = 164x+ 9y − 1z = 581x+ 6y + 2z = 34
Dh =
∣∣∣∣∣∣2 3 −44 9 −11 6 2
∣∣∣∣∣∣2 34 91 6
Dh = 2 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 6− (−4) · 9 · 1− 2 · (−1) · 6− 3 · 4 · 2 = −39
Dx =
∣∣∣∣∣∣16 3 −458 9 −134 6 2
∣∣∣∣∣∣16 358 934 6
www.fersch.de 72
Determinantenverfahren (3) Lösungen
Dx = 16 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 34 + (−4) · 58 · 6− (−4) · 9 · 34− 16 · (−1) · 6− 3 · 58 · 2 = −234
Dy =
∣∣∣∣∣∣2 16 −44 58 −11 34 2
∣∣∣∣∣∣2 164 581 34
Dy = 2 · 58 · 2 + 16 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 34− (−4) · 58 · 1− 2 · (−1) · 34− 16 · 4 · 2 = −156
Dz =
∣∣∣∣∣∣2 3 164 9 581 6 34
∣∣∣∣∣∣2 34 91 6
Dz = 2 · 9 · 34 + 3 · 58 · 1 + 16 · 4 · 6− 16 · 9 · 1− 2 · 58 · 6− 3 · 4 · 34 = −78x = −234
−39x = 6y = −156
−39y = 4z = −78
−39z = 2L = {6/4/2}
Aufgabe (9)
4x+−3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7
Dh =
∣∣∣∣∣∣4 −3 25 6 −710 −2 −3
∣∣∣∣∣∣4 −35 610 −2
Dh = 4 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 10 + 2 · 5 · (−2)− 2 · 6 · 10− 4 · (−7) · (−2)− (−3) · 5 · (−3) = −103
Dx =
∣∣∣∣∣∣10 −3 24 6 −77 −2 −3
∣∣∣∣∣∣10 −34 67 −2
Dx = 10 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 7 + 2 · 4 · (−2)− 2 · 6 · 7− 10 · (−7) · (−2)− (−3) · 4 · (−3) = −309
Dy =
∣∣∣∣∣∣4 10 25 4 −710 7 −3
∣∣∣∣∣∣4 105 410 7
Dy = 4 · 4 · (−3) + 10 · (−7) · 10 + 2 · 5 · 7− 2 · 4 · 10− 4 · (−7) · 7− 10 · 5 · (−3) = −412
Dz =
∣∣∣∣∣∣4 −3 105 6 410 −2 7
∣∣∣∣∣∣4 −35 610 −2
Dz = 4 · 6 · 7 + (−3) · 4 · 10 + 10 · 5 · (−2)− 10 · 6 · 10− 4 · 4 · (−2)− (−3) · 5 · 7 = −515x = −309
−103x = 3y = −412
−103y = 4z = −515
−103z = 5L = {3/4/5}
Aufgabe (10)
9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23
www.fersch.de 73
Determinantenverfahren (3) Lösungen
Dh =
∣∣∣∣∣∣9 5 46 3 −53 −10 6
∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10
Dh = 9 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 3 + 4 · 6 · (−10)− 4 · 3 · 3− 9 · (−5) · (−10)− 5 · 6 · 6 = −819
Dx =
∣∣∣∣∣∣13 5 417 3 −523 −10 6
∣∣∣∣∣∣13 517 323 −10
Dx = 13 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 23 + 4 · 17 · (−10)− 4 · 3 · 23− 13 · (−5) · (−10)− 5 · 17 · 6 = −2, 46 · 103
Dy =
∣∣∣∣∣∣9 13 46 17 −53 23 6
∣∣∣∣∣∣9 136 173 23
Dy = 9 · 17 · 6 + 13 · (−5) · 3 + 4 · 6 · 23− 4 · 17 · 3− 9 · (−5) · 23− 13 · 6 · 6 = 1, 64 · 103
Dz =
∣∣∣∣∣∣9 5 136 3 173 −10 23
∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10
Dz = 9 · 3 · 23 + 5 · 17 · 3 + 13 · 6 · (−10)− 13 · 3 · 3− 9 · 17 · (−10)− 5 · 6 · 23 = 819
x = −2,46·103−819
x = 3y = 1,64·103
−819y = −2z = 819
−819z = −1L = {3/− 2/− 1}
Aufgabe (11)
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
Dh =
∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3
∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3
Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3− 4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54
Dx =
∣∣∣∣∣∣37 13 440 14 515 3 3
∣∣∣∣∣∣37 1340 1415 3
Dx = 37 · 14 · 3 + 13 · 5 · 15 + 4 · 40 · 3− 4 · 14 · 15− 37 · 5 · 3− 13 · 40 · 3 = 54
Dy =
∣∣∣∣∣∣11 37 412 40 59 15 3
∣∣∣∣∣∣11 3712 409 15
Dy = 11 · 40 · 3 + 37 · 5 · 9 + 4 · 12 · 15− 4 · 40 · 9− 11 · 5 · 15− 37 · 12 · 3 = 108
Dz =
∣∣∣∣∣∣11 13 3712 14 409 3 15
∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3
Dz = 11 · 14 · 15 + 13 · 40 · 9 + 37 · 12 · 3− 37 · 14 · 9− 11 · 40 · 3− 13 · 12 · 15 = 0x = 54
54x = 1y = 108
54y = 2z = 0
54z = 0L = {1/2/0}
Aufgabe (12)
www.fersch.de 74
Determinantenverfahren (3) Lösungen
2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257
Dh =
∣∣∣∣∣∣2 3 44 6 53 2 8
∣∣∣∣∣∣2 34 63 2
Dh = 2 · 6 · 8 + 3 · 5 · 3 + 4 · 4 · 2− 4 · 6 · 3− 2 · 5 · 2− 3 · 4 · 8 = −15
Dx =
∣∣∣∣∣∣175 3 4287 6 5257 2 8
∣∣∣∣∣∣175 3287 6257 2
Dx = 175 · 6 · 8 + 3 · 5 · 257 + 4 · 287 · 2− 4 · 6 · 257− 175 · 5 · 2− 3 · 287 · 8 = −255
Dy =
∣∣∣∣∣∣2 175 44 287 53 257 8
∣∣∣∣∣∣2 1754 2873 257
Dy = 2 · 287 · 8 + 175 · 5 · 3 + 4 · 4 · 257− 4 · 287 · 3− 2 · 5 · 257− 175 · 4 · 8 = −285
Dz =
∣∣∣∣∣∣2 3 1754 6 2873 2 257
∣∣∣∣∣∣2 34 63 2
Dz = 2 · 6 · 257 + 3 · 287 · 3 + 175 · 4 · 2− 175 · 6 · 3− 2 · 287 · 2− 3 · 4 · 257 = −315x = −255
−15x = 17y = −285
−15y = 19z = −315
−15z = 21L = {17/19/21}
Aufgabe (13)
6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100
Dh =
∣∣∣∣∣∣6 4 95 7 104 8 5
∣∣∣∣∣∣6 45 74 8
Dh = 6 · 7 · 5 + 4 · 10 · 4 + 9 · 5 · 8− 9 · 7 · 4− 6 · 10 · 8− 4 · 5 · 5 = −102
Dx =
∣∣∣∣∣∣32 4 917 7 10100 8 5
∣∣∣∣∣∣32 417 7100 8
Dx = 32 · 7 · 5 + 4 · 10 · 100 + 9 · 17 · 8− 9 · 7 · 100− 32 · 10 · 8− 4 · 17 · 5 = −2, 86 · 103
Dy =
∣∣∣∣∣∣6 32 95 17 104 100 5
∣∣∣∣∣∣6 325 174 100
Dy = 6 · 17 · 5 + 32 · 10 · 4 + 9 · 5 · 100− 9 · 17 · 4− 6 · 10 · 100− 32 · 5 · 5 = −1, 12 · 103
Dz =
∣∣∣∣∣∣6 4 325 7 174 8 100
∣∣∣∣∣∣6 45 74 8
Dz = 6 · 7 · 100 + 4 · 17 · 4 + 32 · 5 · 8− 32 · 7 · 4− 6 · 17 · 8− 4 · 5 · 100 = 2, 04 · 103
x = −2,86·103−102
x = 28y = −1,12·103
−102y = 11
z = 2,04·103−102
z = −20
www.fersch.de 75
Determinantenverfahren (3) Lösungen
L = {28/11/− 20}
Aufgabe (14)
1x+ 1y + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y − 1z = 5
Dh =
∣∣∣∣∣∣1 1 01 0 10 1 −1
∣∣∣∣∣∣1 11 00 1
Dh = 1 · 0 · (−1) + 1 · 1 · 0 + 0 · 1 · 1− 0 · 0 · 0− 1 · 1 · 1− 1 · 1 · (−1) = 0
Dx =
∣∣∣∣∣∣1 1 06 0 15 1 −1
∣∣∣∣∣∣1 16 05 1
Dx = 1 · 0 · (−1) + 1 · 1 · 5 + 0 · 6 · 1− 0 · 0 · 5− 1 · 1 · 1− 1 · 6 · (−1) = 10
Dy =
∣∣∣∣∣∣1 1 01 6 10 5 −1
∣∣∣∣∣∣1 11 60 5
Dy = 1 · 6 · (−1) + 1 · 1 · 0 + 0 · 1 · 5− 0 · 6 · 0− 1 · 1 · 5− 1 · 1 · (−1) = −10
Dz =
∣∣∣∣∣∣1 1 11 0 60 1 5
∣∣∣∣∣∣1 11 00 1
Dz = 1 · 0 · 5 + 1 · 6 · 0 + 1 · 1 · 1− 1 · 0 · 0− 1 · 6 · 1− 1 · 1 · 5 = −10
L = {}
Aufgabe (15)
1x+−2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7
Dh =
∣∣∣∣∣∣1 −2 33 8 92 3 6
∣∣∣∣∣∣1 −23 82 3
Dh = 1 · 8 · 6 + (−2) · 9 · 2 + 3 · 3 · 3− 3 · 8 · 2− 1 · 9 · 3− (−2) · 3 · 6 = 0
Dx =
∣∣∣∣∣∣9 −2 35 8 97 3 6
∣∣∣∣∣∣9 −25 87 3
Dx = 9 · 8 · 6 + (−2) · 9 · 7 + 3 · 5 · 3− 3 · 8 · 7− 9 · 9 · 3− (−2) · 5 · 6 = 0
Dy =
∣∣∣∣∣∣1 9 33 5 92 7 6
∣∣∣∣∣∣1 93 52 7
Dy = 1 · 5 · 6 + 9 · 9 · 2 + 3 · 3 · 7− 3 · 5 · 2− 1 · 9 · 7− 9 · 3 · 6 = 0
Dz =
∣∣∣∣∣∣1 −2 93 8 52 3 7
∣∣∣∣∣∣1 −23 82 3
Dz = 1 · 8 · 7 + (−2) · 5 · 2 + 9 · 3 · 3− 9 · 8 · 2− 1 · 5 · 3− (−2) · 3 · 7 = 0
L = unendlich
Aufgabe (16)
www.fersch.de 76
Determinantenverfahren (3) Lösungen
6x+ 4y + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9
Dh =
∣∣∣∣∣∣6 4 54 2 35 3 4
∣∣∣∣∣∣6 44 25 3
Dh = 6 · 2 · 4 + 4 · 3 · 5 + 5 · 4 · 3− 5 · 2 · 5− 6 · 3 · 3− 4 · 4 · 4 = 0
Dx =
∣∣∣∣∣∣8 4 57 2 39 3 4
∣∣∣∣∣∣8 47 29 3
Dx = 8 · 2 · 4 + 4 · 3 · 9 + 5 · 7 · 3− 5 · 2 · 9− 8 · 3 · 3− 4 · 7 · 4 = 3
Dy =
∣∣∣∣∣∣6 8 54 7 35 9 4
∣∣∣∣∣∣6 84 75 9
Dy = 6 · 7 · 4 + 8 · 3 · 5 + 5 · 4 · 9− 5 · 7 · 5− 6 · 3 · 9− 8 · 4 · 4 = 3
Dz =
∣∣∣∣∣∣6 4 84 2 75 3 9
∣∣∣∣∣∣6 44 25 3
Dz = 6 · 2 · 9 + 4 · 7 · 5 + 8 · 4 · 3− 8 · 2 · 5− 6 · 7 · 3− 4 · 4 · 9 = −6
L = {}
Aufgabe (17)
1x+ 3y +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5
Dh =
∣∣∣∣∣∣1 3 −23 2 10 1 3
∣∣∣∣∣∣1 33 20 1
Dh = 1 · 2 · 3 + 3 · 1 · 0 + (−2) · 3 · 1− (−2) · 2 · 0− 1 · 1 · 1− 3 · 3 · 3 = −28
Dx =
∣∣∣∣∣∣3 3 −22 2 15 1 3
∣∣∣∣∣∣3 32 25 1
Dx = 3 · 2 · 3 + 3 · 1 · 5 + (−2) · 2 · 1− (−2) · 2 · 5− 3 · 1 · 1− 3 · 2 · 3 = 28
Dy =
∣∣∣∣∣∣1 3 −23 2 10 5 3
∣∣∣∣∣∣1 33 20 5
Dy = 1 · 2 · 3 + 3 · 1 · 0 + (−2) · 3 · 5− (−2) · 2 · 0− 1 · 1 · 5− 3 · 3 · 3 = −56
Dz =
∣∣∣∣∣∣1 3 33 2 20 1 5
∣∣∣∣∣∣1 33 20 1
Dz = 1 · 2 · 5 + 3 · 2 · 0 + 3 · 3 · 1− 3 · 2 · 0− 1 · 2 · 1− 3 · 3 · 5 = −28x = 28
−28x = −1y = −56
−28y = 2z = −28
−28z = 1L = {−1/2/1}
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Gaußsches Eliminationsverfahren
8 Gaußsches Eliminationsverfahren
a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1
a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2
a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3
Koeffizientenmatrix erstellenx y z
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
x y z
Zeile1Spalte1 z1s2 z1s3 z1s4
z2s1 z2s2 z2s3 z2s4
z3s1 z3s2 z3s3 z3s4
Die Lösungsmenge ändert sich nicht durch:
• Multiplizieren oder Dividieren der Zeilen miteiner Zahl
• Addieren oder Subtrahieren der Zeilen
• Vertauschen der Zeilen
Umformen in die Stufenform
• Eindeutige Lösungx y z
Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4
0 z2s2 z2s3 z2s4
0 0 z3s3 z3s4
Rückwärtseinsetzenz = z3s3
z3s4
z in die 2. Zeile einsetzen → yz und y in die 1. Zeile einsetzen → x
• Keine Lösungx y z
Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4
0 z2s2 z2s3 z2s4
0 0 0 z3s4
• Unendlich viele Lösungenx y z
Z1S1 z1s2 z1s3 z1s4
0 z2s2 z2s3 z2s4
0 0 0 0
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2 · 11− Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4
x y z
11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15
Zeile3 = Zeile3 · 11− Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168
Zeile3 = Zeile3 · (−2)− Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0
z = 0594
= 0y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}
8.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:
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Gaußsches Eliminationsverfahren Aufgaben
a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3
Gesucht:x,y,z
(1)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
(2)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23
(3)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7
(4)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34
(5)1x+ 2 + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0
(6)−2x− 8 + 0z = 11x+ 4y + 0z = −1
28x− 2y +−1z = 8
(7)−2x+ 2 + 4z = 04x− 1
2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8
(8)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34
(9)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7
(10)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23
(11)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
(12)2x+ 3 + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257
(13)6x+ 4 + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100
(14)1x+ 1 + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5
(15)1x− 2 + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7
(16)6x+ 4 + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9
(17)1x+ 3 +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5
(18)4x+ 6 + 8z = 05x+ 6y + 67z = 88x+ 87y + 6z = 6
www.fersch.de 79
Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen
8.2 LösungenAufgabe (1)
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2 · 11-Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4
x y z
11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15
Zeile3 = Zeile3 · 11-Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168
Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0
z = 0594 = 0
y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}
Aufgabe (2)
9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23
x y z
9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23
Zeile2 = Zeile2 · 9-Zeile1 · 6z2s1 = 6 · 9− 9 · 6 = 0z2s2 = 3 · 9− 5 · 6 = −3z2s3 = (−5) · 9− 4 · 6 = −69z2s4 = 17 · 9− 13 · 6 = 75
x y z
9 5 4 130 −3 −69 753 −10 6 23
Zeile3 = Zeile3 · 9-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 9− 9 · 3 = 0z3s2 = (−10) · 9− 5 · 3 = −105z3s3 = 6 · 9− 4 · 3 = 42z3s4 = 23 · 9− 13 · 3 = 168
x y z
9 5 4 130 −3 −69 750 −105 42 168
Zeile3 = Zeile3 · (−3)-Zeile2 · (−105)z3s2 = (−105) · −3− (−3) · (−105) = 0z3s3 = 42 · −3− (−69) · (−105) = −7, 37 · 103z3s4 = 168 · −3− 75 · (−105) = 7, 37 · 103
x y z
9 5 4 130 −3 −69 750 0 −7, 37 · 103 7, 37 · 103
z = 7,37·103−7,37·103 = −1
y · (−3) + (−69) · −1 = 75y = −2x · 9 + 5 · −2 + 4 · (−1) = 13x = 3L = {3/− 2/− 1}
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Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen
Aufgabe (3)
4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7
x y z
4 −3 2 105 6 −7 410 2 −3 7
Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− (−3) · 5 = 39z2s3 = (−7) · 4− 2 · 5 = −38z2s4 = 4 · 4− 10 · 5 = −34
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −3410 2 −3 7
Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 10z3s1 = 10 · 4− 4 · 10 = 0z3s2 = 2 · 4− (−3) · 10 = 38z3s3 = (−3) · 4− 2 · 10 = −32z3s4 = 7 · 4− 10 · 10 = −72
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −340 38 −32 −72
Zeile3 = Zeile3 · 39-Zeile2 · 38z3s2 = 38 · 39− 39 · 38 = 0z3s3 = (−32) · 39− (−38) · 38 = 196z3s4 = (−72) · 39− (−34) · 38 = −1, 52 · 103
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −340 0 196 −1, 52 · 103
z = −1,52·103196 = −7 36
49y · 39 + (−38) · −7 36
49 = (−34)y = −820
49x · 4 + (−3) · −8 20
49 + 2 · (−7 3649 ) = 10
x = 349
L = { 349/− 8 20
49/− 7 3649}
Aufgabe (4)
2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34
x y z
2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34
Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 9 · 2− 3 · 4 = 6z2s3 = (−1) · 2− (−4) · 4 = 14z2s4 = 58 · 2− 16 · 4 = 52
x y z
2 3 −4 160 6 14 521 6 2 34
Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 1z3s1 = 1 · 2− 2 · 1 = 0z3s2 = 6 · 2− 3 · 1 = 9z3s3 = 2 · 2− (−4) · 1 = 8z3s4 = 34 · 2− 16 · 1 = 52
x y z
2 3 −4 160 6 14 520 9 8 52
Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile2 · 9z3s2 = 9 · 6− 6 · 9 = 0z3s3 = 8 · 6− 14 · 9 = −78z3s4 = 52 · 6− 52 · 9 = −156
x y z
2 3 −4 160 6 14 520 0 −78 −156
z = −156−78 = 2
y · 6 + 14 · 2 = 52y = 4x · 2 + 3 · 4 + (−4) · 2 = 16x = 6L = {6/4/2}
www.fersch.de 81
Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen
Aufgabe (5)
x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 62y + 6z = 0
x y z
1 2 3 42 3 2 60 2 6 0
Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 2z2s1 = 2 · 1− 1 · 2 = 0z2s2 = 3 · 1− 2 · 2 = −1z2s3 = 2 · 1− 3 · 2 = −4z2s4 = 6 · 1− 4 · 2 = −2
x y z
1 2 3 40 −1 −4 −20 2 6 0
Zeile3 = Zeile3 · (−1)-Zeile2 · 2z3s2 = 2 · −1− (−1) · 2 = 0z3s3 = 6 · −1− (−4) · 2 = 2z3s4 = 0 · −1− (−2) · 2 = 4
x y z
1 2 3 40 −1 −4 −20 0 2 4
z = 42 = 2
y · (−1) + (−4) · 2 = (−2)y = −6x · 1 + 2 · −6 + 3 · 2 = 4x = 10L = {10/− 6/2}
Aufgabe (6)
−2x− 8y = 1x+ 4y = − 1
2
8x− 2y − z = 8
x y z
−2 −8 0 11 4 0 − 1
2
8 −2 −1 8
Zeile2 = Zeile2 · (−2)-Zeile1 · 1z2s1 = 1 · −2− (−2) · 1 = 0z2s2 = 4 · −2− (−8) · 1 = 0z2s3 = 0 · −2− 0 · 1 = 0z2s4 = (− 1
2) · −2− 1 · 1 = 0
x y z
−2 −8 0 10 0 0 08 −2 −1 8
Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile1 · 8z3s1 = 8 · −2− (−2) · 8 = 0z3s2 = (−2) · −2− (−8) · 8 = 68z3s3 = (−1) · −2− 0 · 8 = 2z3s4 = 8 · −2− 1 · 8 = −24
x y z
−2 −8 0 10 0 0 00 68 2 −24
Zeilen vertauschen
x y z
−2 −8 0 10 68 2 −240 0 0 0
L = unendlich
Aufgabe (7)
−2x+ 2y + 4z = 04x− 1
2y + 2z = 5
4x− 2y − z = 8
x y z
−2 2 4 04 − 1
22 5
4 −2 −1 8
www.fersch.de 82
Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen
Zeile2 = Zeile2 · (−2)-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · −2− (−2) · 4 = 0z2s2 = (− 1
2) · −2− 2 · 4 = −7
z2s3 = 2 · −2− 4 · 4 = −20z2s4 = 5 · −2− 0 · 4 = −10
x y z
−2 2 4 00 −7 −20 −104 −2 −1 8
Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile1 · 4z3s1 = 4 · −2− (−2) · 4 = 0z3s2 = (−2) · −2− 2 · 4 = −4z3s3 = (−1) · −2− 4 · 4 = −14z3s4 = 8 · −2− 0 · 4 = −16
x y z
−2 2 4 00 −7 −20 −100 −4 −14 −16
Zeile3 = Zeile3 · (−7)-Zeile2 · (−4)z3s2 = (−4) · −7− (−7) · (−4) = 0z3s3 = (−14) · −7− (−20) · (−4) = 18z3s4 = (−16) · −7− (−10) · (−4) = 72
x y z
−2 2 4 00 −7 −20 −100 0 18 72
z = 7218 = 4
y · (−7) + (−20) · 4 = (−10)y = −10x · (−2) + 2 · −10 + 4 · 4 = 0x = −2L = {−2/− 10/4}
Aufgabe (8)
2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34
x y z
2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34
Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 9 · 2− 3 · 4 = 6z2s3 = (−1) · 2− (−4) · 4 = 14z2s4 = 58 · 2− 16 · 4 = 52
x y z
2 3 −4 160 6 14 521 6 2 34
Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 1z3s1 = 1 · 2− 2 · 1 = 0z3s2 = 6 · 2− 3 · 1 = 9z3s3 = 2 · 2− (−4) · 1 = 8z3s4 = 34 · 2− 16 · 1 = 52
x y z
2 3 −4 160 6 14 520 9 8 52
Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile2 · 9z3s2 = 9 · 6− 6 · 9 = 0z3s3 = 8 · 6− 14 · 9 = −78z3s4 = 52 · 6− 52 · 9 = −156
x y z
2 3 −4 160 6 14 520 0 −78 −156
z = −156−78 = 2
y · 6 + 14 · 2 = 52y = 4x · 2 + 3 · 4 + (−4) · 2 = 16x = 6L = {6/4/2}
Aufgabe (9)
4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7
x y z
4 −3 2 105 6 −7 410 −2 −3 7
www.fersch.de 83
Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen
Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− (−3) · 5 = 39z2s3 = (−7) · 4− 2 · 5 = −38z2s4 = 4 · 4− 10 · 5 = −34
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −3410 −2 −3 7
Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 10z3s1 = 10 · 4− 4 · 10 = 0z3s2 = (−2) · 4− (−3) · 10 = 22z3s3 = (−3) · 4− 2 · 10 = −32z3s4 = 7 · 4− 10 · 10 = −72
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −340 22 −32 −72
Zeile3 = Zeile3 · 39-Zeile2 · 22z3s2 = 22 · 39− 39 · 22 = 0z3s3 = (−32) · 39− (−38) · 22 = −412z3s4 = (−72) · 39− (−34) · 22 = −2, 06 · 103
x y z
4 −3 2 100 39 −38 −340 0 −412 −2, 06 · 103
z = −2,06·103−412 = 5
y · 39 + (−38) · 5 = (−34)y = 4x · 4 + (−3) · 4 + 2 · 5 = 10x = 3L = {3/4/5}
Aufgabe (10)
9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23
x y z
9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23
Zeile2 = Zeile2 · 9-Zeile1 · 6z2s1 = 6 · 9− 9 · 6 = 0z2s2 = 3 · 9− 5 · 6 = −3z2s3 = (−5) · 9− 4 · 6 = −69z2s4 = 17 · 9− 13 · 6 = 75
x y z
9 5 4 130 −3 −69 753 −10 6 23
Zeile3 = Zeile3 · 9-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 9− 9 · 3 = 0z3s2 = (−10) · 9− 5 · 3 = −105z3s3 = 6 · 9− 4 · 3 = 42z3s4 = 23 · 9− 13 · 3 = 168
x y z
9 5 4 130 −3 −69 750 −105 42 168
Zeile3 = Zeile3 · (−3)-Zeile2 · (−105)z3s2 = (−105) · −3− (−3) · (−105) = 0z3s3 = 42 · −3− (−69) · (−105) = −7, 37 · 103z3s4 = 168 · −3− 75 · (−105) = 7, 37 · 103
x y z
9 5 4 130 −3 −69 750 0 −7, 37 · 103 7, 37 · 103
z = 7,37·103−7,37·103 = −1
y · (−3) + (−69) · −1 = 75y = −2x · 9 + 5 · −2 + 4 · (−1) = 13x = 3L = {3/− 2/− 1}
Aufgabe (11)
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
www.fersch.de 84
Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen
Zeile2 = Zeile2 · 11-Zeile1 · 12z2s1 = 12 · 11− 11 · 12 = 0z2s2 = 14 · 11− 13 · 12 = −2z2s3 = 5 · 11− 4 · 12 = 7z2s4 = 40 · 11− 37 · 12 = −4
x y z
11 13 4 370 −2 7 −49 3 3 15
Zeile3 = Zeile3 · 11-Zeile1 · 9z3s1 = 9 · 11− 11 · 9 = 0z3s2 = 3 · 11− 13 · 9 = −84z3s3 = 3 · 11− 4 · 9 = −3z3s4 = 15 · 11− 37 · 9 = −168
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 −84 −3 −168
Zeile3 = Zeile3 · (−2)-Zeile2 · (−84)z3s2 = (−84) · −2− (−2) · (−84) = 0z3s3 = (−3) · −2− 7 · (−84) = 594z3s4 = (−168) · −2− (−4) · (−84) = 0
x y z
11 13 4 370 −2 7 −40 0 594 0
z = 0594 = 0
y · (−2) + 7 · 0 = (−4)y = 2x · 11 + 13 · 2 + 4 · 0 = 37x = 1L = {1/2/0}
Aufgabe (12)
2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257
x y z
2 3 4 1754 6 5 2873 2 8 257
Zeile2 = Zeile2 · 2-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 2− 2 · 4 = 0z2s2 = 6 · 2− 3 · 4 = 0z2s3 = 5 · 2− 4 · 4 = −6z2s4 = 287 · 2− 175 · 4 = −126
x y z
2 3 4 1750 0 −6 −1263 2 8 257
Zeile3 = Zeile3 · 2-Zeile1 · 3z3s1 = 3 · 2− 2 · 3 = 0z3s2 = 2 · 2− 3 · 3 = −5z3s3 = 8 · 2− 4 · 3 = 4z3s4 = 257 · 2− 175 · 3 = −11
x y z
2 3 4 1750 0 −6 −1260 −5 4 −11
Zeilen vertauschen
x y z
2 3 4 1750 −5 4 −110 0 −6 −126
z = −126−6 = 21
y · (−5) + 4 · 21 = (−11)y = 19x · 2 + 3 · 19 + 4 · 21 = 175x = 17L = {17/19/21}
Aufgabe (13)
6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100
x y z
6 4 9 325 7 10 174 8 5 100
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Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen
Zeile2 = Zeile2 · 6-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 6− 6 · 5 = 0z2s2 = 7 · 6− 4 · 5 = 22z2s3 = 10 · 6− 9 · 5 = 15z2s4 = 17 · 6− 32 · 5 = −58
x y z
6 4 9 320 22 15 −584 8 5 100
Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile1 · 4z3s1 = 4 · 6− 6 · 4 = 0z3s2 = 8 · 6− 4 · 4 = 32z3s3 = 5 · 6− 9 · 4 = −6z3s4 = 100 · 6− 32 · 4 = 472
x y z
6 4 9 320 22 15 −580 32 −6 472
Zeile3 = Zeile3 · 22-Zeile2 · 32z3s2 = 32 · 22− 22 · 32 = 0z3s3 = (−6) · 22− 15 · 32 = −612z3s4 = 472 · 22− (−58) · 32 = 1, 22 · 104
x y z
6 4 9 320 22 15 −580 0 −612 1, 22 · 104
z = 1,22·104−612 = −20
y · 22 + 15 · −20 = (−58)y = 11x · 6 + 4 · 11 + 9 · (−20) = 32x = 28L = {28/11/− 20}
Aufgabe (14)
x+ y = 1x+ z = 6y − z = 5
x y z
1 1 0 11 0 1 60 1 −1 5
Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 1z2s1 = 1 · 1− 1 · 1 = 0z2s2 = 0 · 1− 1 · 1 = −1z2s3 = 1 · 1− 0 · 1 = 1z2s4 = 6 · 1− 1 · 1 = 5
x y z
1 1 0 10 −1 1 50 1 −1 5
Zeile3 = Zeile3 · (−1)-Zeile2 · 1z3s2 = 1 · −1− (−1) · 1 = 0z3s3 = (−1) · −1− 1 · 1 = 0z3s4 = 5 · −1− 5 · 1 = −10
x y z
1 1 0 10 −1 1 50 0 0 −10
L = {}
Aufgabe (15)
x− 2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7
x y z
1 −2 3 93 8 9 52 3 6 7
Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 3z2s1 = 3 · 1− 1 · 3 = 0z2s2 = 8 · 1− (−2) · 3 = 14z2s3 = 9 · 1− 3 · 3 = 0z2s4 = 5 · 1− 9 · 3 = −22
x y z
1 −2 3 90 14 0 −222 3 6 7
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Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen
Zeile3 = Zeile3 · 1-Zeile1 · 2z3s1 = 2 · 1− 1 · 2 = 0z3s2 = 3 · 1− (−2) · 2 = 7z3s3 = 6 · 1− 3 · 2 = 0z3s4 = 7 · 1− 9 · 2 = −11
x y z
1 −2 3 90 14 0 −220 7 0 −11
Zeile3 = Zeile3 · 14-Zeile2 · 7z3s2 = 7 · 14− 14 · 7 = 0z3s3 = 0 · 14− 0 · 7 = 0z3s4 = (−11) · 14− (−22) · 7 = 0
x y z
1 −2 3 90 14 0 −220 0 0 0
L = unendlich
Aufgabe (16)
6x+ 4y + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9
x y z
6 4 5 84 2 3 75 3 4 9
Zeile2 = Zeile2 · 6-Zeile1 · 4z2s1 = 4 · 6− 6 · 4 = 0z2s2 = 2 · 6− 4 · 4 = −4z2s3 = 3 · 6− 5 · 4 = −2z2s4 = 7 · 6− 8 · 4 = 10
x y z
6 4 5 80 −4 −2 105 3 4 9
Zeile3 = Zeile3 · 6-Zeile1 · 5z3s1 = 5 · 6− 6 · 5 = 0z3s2 = 3 · 6− 4 · 5 = −2z3s3 = 4 · 6− 5 · 5 = −1z3s4 = 9 · 6− 8 · 5 = 14
x y z
6 4 5 80 −4 −2 100 −2 −1 14
Zeile3 = Zeile3 · (−4)-Zeile2 · (−2)z3s2 = (−2) · −4− (−4) · (−2) = 0z3s3 = (−1) · −4− (−2) · (−2) = 0z3s4 = 14 · −4− 10 · (−2) = −36
x y z
6 4 5 80 −4 −2 100 0 0 −36
L = {}
Aufgabe (17)
x+ 3y − 2z = 33x+ 2y + z = 2y + 3z = 5
x y z
1 3 −2 33 2 1 20 1 3 5
Zeile2 = Zeile2 · 1-Zeile1 · 3z2s1 = 3 · 1− 1 · 3 = 0z2s2 = 2 · 1− 3 · 3 = −7z2s3 = 1 · 1− (−2) · 3 = 7z2s4 = 2 · 1− 3 · 3 = −7
x y z
1 3 −2 30 −7 7 −70 1 3 5
Zeile3 = Zeile3 · (−7)-Zeile2 · 1z3s2 = 1 · −7− (−7) · 1 = 0z3s3 = 3 · −7− 7 · 1 = −28z3s4 = 5 · −7− (−7) · 1 = −28
x y z
1 3 −2 30 −7 7 −70 0 −28 −28
z = −28−28 = 1
y · (−7) + 7 · 1 = (−7)y = 2x · 1 + 3 · 2 + (−2) · 1 = 3
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Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungen
x = −1L = {−1/2/1}
Aufgabe (18)
4x+ 6y + 8z = 05x+ 6y + 67z = 88x+ 87y + 6z = 6
x y z
4 6 8 05 6 67 88 87 6 6
Zeile2 = Zeile2 · 4-Zeile1 · 5z2s1 = 5 · 4− 4 · 5 = 0z2s2 = 6 · 4− 6 · 5 = −6z2s3 = 67 · 4− 8 · 5 = 228z2s4 = 8 · 4− 0 · 5 = 32
x y z
4 6 8 00 −6 228 328 87 6 6
Zeile3 = Zeile3 · 4-Zeile1 · 8z3s1 = 8 · 4− 4 · 8 = 0z3s2 = 87 · 4− 6 · 8 = 300z3s3 = 6 · 4− 8 · 8 = −40z3s4 = 6 · 4− 0 · 8 = 24
x y z
4 6 8 00 −6 228 320 300 −40 24
Zeile3 = Zeile3 · (−6)-Zeile2 · 300z3s2 = 300 · −6− (−6) · 300 = 0z3s3 = (−40) · −6− 228 · 300 = −6, 82 · 104z3s4 = 24 · −6− 32 · 300 = −9, 74 · 103
x y z
4 6 8 00 −6 228 320 0 −6, 82 · 104 −9, 74 · 103
z = −9,74·103−6,82·104 = 0, 143
y · (−6) + 228 · 0, 143 = 32y = 0, 0991x · 4 + 6 · 0, 0991 + 8 · 0, 143 = 0x = −0, 435L = {−0, 435/0, 0991/0, 143}
www.fersch.de 88
Gauß-Jordan-Algorithmus
9 Gauß-Jordan-Algorithmus
a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1
a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2
a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3
Koeffizientenmatrix erstellenx y z
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
x y z
Zeile1Spalte1 z1s2 z1s3 z1s4
z2s1 z2s2 z2s3 z2s4
z3s1 z3s2 z3s3 z3s4
Die Lösungsmenge ändert sich nicht durch:
• Multiplizieren oder Dividieren der Zeilen miteiner Zahl
• Addieren oder Subtrahieren der Zeilen
• Vertauschen der Zeilen
Ziel ist das Umformen in die Diagonalenform.
• Eindeutige Lösungx y z
z1s1 0 0 z1s4
0 z2s3 0 z2s4
0 0 z3s3 z3s4
x = z1s4z1s1
y = z2s4z2s3
z = z3s3z3s4
• Keine Lösungx y z
z1s1 0 0 z1s4
0 z2s3 0 z2s4
0 0 0 z3s4
• Unendlich viele Lösungenx y z
z1s1 0 0 z1s4
0 z2s3 0 z2s4
0 0 0 0
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2− Zeile1 · 1211
z2s1 = 12− 11 · 1211
= 0z2s2 = 14− 13 · 12
11= − 2
11
z2s3 = 5− 4 · 1211
= 711
z2s4 = 40− 37 · 1211
= − 411
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
9 3 3 15
Zeile3 = Zeile3− Zeile1 · 911
z3s1 = 9− 11 · 911
= 0z3s2 = 3− 13 · 9
11= −7 7
11
z3s3 = 3− 4 · 911
= − 311
z3s4 = 15− 37 · 911
= −15 311
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile1 = Zeile1− Zeile2 · 13
− 211
z1s2 = 13− (− 211) · 13
− 211
= 0
z1s3 = 4− 711
· 13
− 211
= 49 12
z1s4 = 37− (− 411) · 13
− 211
= 11
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile3 = Zeile3− Zeile2 · −7 711
− 211
z3s2 = −7 711
− (− 211) · −7 7
11
− 211
= 0
z3s3 = − 311
− 711
· −7 711
− 211
= −27
z3s4 = −15 311
− (− 411) · −7 7
11
− 211
= 0
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile1 = Zeile1− Zeile3 · 49 12
−27
z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1
2−27
= 0
z1s4 = 11− 0 · 49 12
−27= 11
x y z
11 0 0 110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile2 = Zeile2− Zeile3 ·711
−27
z2s3 = 711
− (−27) ·711
−27= 0
z2s4 = − 411
− 0 ·711
−27= − 4
11
x y z
11 0 0 110 − 2
110 − 4
11
0 0 −27 0
x = 1111
= 1
y =− 4
11
− 211
= 2
z = 0−27
= 0
L = {1/2/0}
9.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:
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Gauß-Jordan-Algorithmus Aufgaben
a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3
Gesucht:x,y,z
(1)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
(2)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23
(3)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7
(4)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34
(5)1x+ 2 + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0
(6)−2x− 8 + 0z = 11x+ 4y + 0z = −1
28x− 2y +−1z = 8
(7)−2x+ 2 + 4z = 04x− 1
2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8
(8)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34
(9)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7
(10)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23
(11)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
(12)2x+ 3 + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257
(13)6x+ 4 + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100
(14)1x+ 1 + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5
(15)1x− 2 + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7
(16)1x+ 3 +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5
www.fersch.de 90
Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
9.2 LösungenAufgabe (1)
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1211
z2s1 = 12− 11 · 1211
= 0z2s2 = 14− 13 · 12
11= − 2
11
z2s3 = 5− 4 · 1211
= 711
z2s4 = 40− 37 · 1211
= − 411
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
9 3 3 15
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 911
z3s1 = 9− 11 · 911
= 0z3s2 = 3− 13 · 9
11= −7 7
11
z3s3 = 3− 4 · 911
= − 311
z3s4 = 15− 37 · 911
= −15 311
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 13
− 211
z1s2 = 13− (− 211) · 13
− 211
= 0
z1s3 = 4− 711
· 13
− 211
= 49 12
z1s4 = 37− (− 411) · 13
− 211
= 11
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −7 711
− 211
z3s2 = −7 711
− (− 211) · −7 7
11
− 211
= 0
z3s3 = − 311
− 711
· −7 711
− 211
= −27
z3s4 = −15 311
− (− 411) · −7 7
11
− 211
= 0
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 49 12
−27
z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1
2−27
= 0
z1s4 = 11− 0 · 49 12
−27= 11
x y z
11 0 0 110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·711
−27
z2s3 = 711
− (−27) ·711
−27= 0
z2s4 = − 411
− 0 ·711
−27= − 4
11
x y z
11 0 0 110 − 2
110 − 4
11
0 0 −27 0
x = 1111 = 1
y =− 4
11
− 211
= 2
z = 0−27 = 0
L = {1/2/0}
Aufgabe (2)
9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23
x y z
9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 69
z2s1 = 6− 9 · 69= 0
z2s2 = 3− 5 · 69= − 1
3
z2s3 = −5− 4 · 69= −7 2
3
z2s4 = 17− 13 · 69= 8 1
3
x y z
9 5 4 130 − 1
3−7 2
38 13
3 −10 6 23
www.fersch.de 91
Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 39
z3s1 = 3− 9 · 39= 0
z3s2 = −10− 5 · 39= −11 2
3
z3s3 = 6− 4 · 39= 4 2
3
z3s4 = 23− 13 · 39= 18 2
3
x y z
9 5 4 130 − 1
3−7 2
38 13
0 −11 23
4 23
18 23
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 5
− 13
z1s2 = 5− (− 13) · 5
− 13
= 0
z1s3 = 4− (−7 23) · 5
− 13
= −111
z1s4 = 13− 8 13· 5
− 13
= 138
x y z
9 0 −111 1380 − 1
3−7 2
38 13
0 −11 23
4 23
18 23
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −11 23
− 13
z3s2 = −11 23− (− 1
3) · −11 2
3
− 13
= 0
z3s3 = 4 23− (−7 2
3) · −11 2
3
− 13
= 273
z3s4 = 18 23− 8 1
3· −11 2
3
− 13
= −273
x y z
9 0 −111 1380 − 1
3−7 2
38 13
0 0 273 −273
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −111273
z1s3 = −111− 273 · −111273
= 0z1s4 = 138− (−273) · −111
273= 27
x y z
9 0 0 270 − 1
3−7 2
38 13
0 0 273 −273
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 23
273
z2s3 = −7 23− 273 · −7 2
3273
= 0
z2s4 = 8 13− (−273) · −7 2
3273
= 23
x y z
9 0 0 270 − 1
30 2
3
0 0 273 −273
x = 279 = 3
y =23
− 13
= −2
z = −273273 = −1
L = {3/− 2/− 1}
Aufgabe (3)
4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7
x y z
4 −3 2 105 6 −7 410 2 −3 7
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54
z2s1 = 5− 4 · 54= 0
z2s2 = 6− (−3) · 54= 9 3
4
z2s3 = −7− 2 · 54= −9 1
2
z2s4 = 4− 10 · 54= −8 1
2
x y z
4 −3 2 100 9 3
4−9 1
2−8 1
2
10 2 −3 7
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 104
z3s1 = 10− 4 · 104
= 0z3s2 = 2− (−3) · 10
4= 9 1
2
z3s3 = −3− 2 · 104
= −8z3s4 = 7− 10 · 10
4= −18
x y z
4 −3 2 100 9 3
4−9 1
2−8 1
2
0 9 12
−8 −18
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −3
9 34
z1s2 = −3− 9 34· −3
9 34
= 0
z1s3 = 2− (−9 12) · −3
9 34
= − 1213
z1s4 = 10− (−8 12) · −3
9 34
= 7 513
x y z
4 0 − 1213
7 513
0 9 34
−9 12
−8 12
0 9 12
−8 −18
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 9 12
9 34
z3s2 = 9 12− 9 3
4· 9 1
2
9 34
= 0
z3s3 = −8− (−9 12) · 9 1
2
9 34
= 1 1039
z3s4 = −18− (−8 12) · 9 1
2
9 34
= −9 2839
x y z
4 0 − 1213
7 513
0 9 34
−9 12
−8 12
0 0 1 1039
−9 2839
www.fersch.de 92
Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · − 1213
1 1039
z1s3 = − 1213
− 1 1039
· − 1213
1 1039
= 0
z1s4 = 7 513
− (−9 2839) · − 12
13
1 1039
= 1249
x y z
4 0 0 1249
0 9 34
−9 12
−8 12
0 0 1 1039
−9 2839
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −9 12
1 1039
z2s3 = −9 12− 1 10
39· −9 1
2
1 1039
= 0
z2s4 = −8 12− (−9 28
39) · −9 1
2
1 1039
= −81 4849
x y z
4 0 0 1249
0 9 34
0 −81 4849
0 0 1 1039
−9 2839
x =1249
4 = 349
y =−81 48
49
9 34
= −8 2049
z =−9 28
39
1 1039
= −7 3649
L = { 349/− 8 20
49/− 7 3649}
Aufgabe (4)
2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34
x y z
2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42
z2s1 = 4− 2 · 42= 0
z2s2 = 9− 3 · 42= 3
z2s3 = −1− (−4) · 42= 7
z2s4 = 58− 16 · 42= 26
x y z
2 3 −4 160 3 7 261 6 2 34
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12
z3s1 = 1− 2 · 12= 0
z3s2 = 6− 3 · 12= 4 1
2
z3s3 = 2− (−4) · 12= 4
z3s4 = 34− 16 · 12= 26
x y z
2 3 −4 160 3 7 260 4 1
24 26
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 33
z1s2 = 3− 3 · 33= 0
z1s3 = −4− 7 · 33= −11
z1s4 = 16− 26 · 33= −10
x y z
2 0 −11 −100 3 7 260 4 1
24 26
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 4 123
z3s2 = 4 12− 3 · 4 1
23
= 0
z3s3 = 4− 7 · 4 123
= −6 12
z3s4 = 26− 26 · 4 123
= −13
x y z
2 0 −11 −100 3 7 260 0 −6 1
2−13
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −11
−6 12
z1s3 = −11− (−6 12) · −11
−6 12
= 0
z1s4 = −10− (−13) · −11
−6 12
= 12
x y z
2 0 0 120 3 7 260 0 −6 1
2−13
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 7
−6 12
z2s3 = 7− (−6 12) · 7
−6 12
= 0
z2s4 = 26− (−13) · 7
−6 12
= 12
x y z
2 0 0 120 3 0 120 0 −6 1
2−13
x = 122 = 6
y = 123 = 4
z = −13−6 1
2
= 2
L = {6/4/2}
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Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
Aufgabe (5)
x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 62y + 6z = 0
x y z
1 2 3 42 3 2 60 2 6 0
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 21
z2s1 = 2− 1 · 21= 0
z2s2 = 3− 2 · 21= −1
z2s3 = 2− 3 · 21= −4
z2s4 = 6− 4 · 21= −2
x y z
1 2 3 40 −1 −4 −20 2 6 0
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2−1
z1s2 = 2− (−1) · 2−1
= 0
z1s3 = 3− (−4) · 2−1
= −5
z1s4 = 4− (−2) · 2−1
= 0
x y z
1 0 −5 00 −1 −4 −20 2 6 0
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 2−1
z3s2 = 2− (−1) · 2−1
= 0
z3s3 = 6− (−4) · 2−1
= −2
z3s4 = 0− (−2) · 2−1
= −4
x y z
1 0 −5 00 −1 −4 −20 0 −2 −4
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −5−2
z1s3 = −5− (−2) · −5−2
= 0
z1s4 = 0− (−4) · −5−2
= 10
x y z
1 0 0 100 −1 −4 −20 0 −2 −4
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −4−2
z2s3 = −4− (−2) · −4−2
= 0
z2s4 = −2− (−4) · −4−2
= 6
x y z
1 0 0 100 −1 0 60 0 −2 −4
x = 101 = 10
y = 6−1 = −6
z = −4−2 = 2
L = {10/− 6/2}
Aufgabe (6)
−2x− 8y = 1x+ 4y = − 1
2
8x− 2y − z = 8
x y z
−2 −8 0 11 4 0 − 1
2
8 −2 −1 8
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1−2
z2s1 = 1− (−2) · 1−2
= 0
z2s2 = 4− (−8) · 1−2
= 0
z2s3 = 0− 0 · 1−2
= 0
z2s4 = − 12− 1 · 1
−2= 0
x y z
−2 −8 0 10 0 0 08 −2 −1 8
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 8−2
z3s1 = 8− (−2) · 8−2
= 0
z3s2 = −2− (−8) · 8−2
= −34
z3s3 = −1− 0 · 8−2
= −1
z3s4 = 8− 1 · 8−2
= 12
x y z
−2 −8 0 10 0 0 00 −34 −1 12
Zeilen vertauschen
x y z
−2 −8 0 10 −34 −1 120 0 0 0
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −8−34
z1s2 = −8− (−34) · −8−34
= 0
z1s3 = 0− (−1) · −8−34
= 417
z1s4 = 1− 12 · −8−34
= −1 1417
x y z
−2 0 417
−1 1417
0 −34 −1 120 0 0 0
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Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
L = unendlich
Aufgabe (7)
−2x+ 2y + 4z = 04x− 1
2y + 2z = 5
4x− 2y − z = 8
x y z
−2 2 4 04 − 1
22 5
4 −2 −1 8
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 4−2
z2s1 = 4− (−2) · 4−2
= 0
z2s2 = − 12− 2 · 4
−2= 3 1
2
z2s3 = 2− 4 · 4−2
= 10
z2s4 = 5− 0 · 4−2
= 5
x y z
−2 2 4 00 3 1
210 5
4 −2 −1 8
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 4−2
z3s1 = 4− (−2) · 4−2
= 0
z3s2 = −2− 2 · 4−2
= 2
z3s3 = −1− 4 · 4−2
= 7
z3s4 = 8− 0 · 4−2
= 8
x y z
−2 2 4 00 3 1
210 5
0 2 7 8
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 2
3 12
z1s2 = 2− 3 12· 2
3 12
= 0
z1s3 = 4− 10 · 2
3 12
= −1 57
z1s4 = 0− 5 · 2
3 12
= −2 67
x y z
−2 0 −1 57
−2 67
0 3 12
10 50 2 7 8
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 2
3 12
z3s2 = 2− 3 12· 2
3 12
= 0
z3s3 = 7− 10 · 2
3 12
= 1 27
z3s4 = 8− 5 · 2
3 12
= 5 17
x y z
−2 0 −1 57
−2 67
0 3 12
10 50 0 1 2
75 17
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −1 57
1 27
z1s3 = −1 57− 1 2
7· −1 5
7
1 27
= 0
z1s4 = −2 67− 5 1
7· −1 5
7
1 27
= 4
x y z
−2 0 0 40 3 1
210 5
0 0 1 27
5 17
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 10
1 27
z2s3 = 10− 1 27· 10
1 27
= 0
z2s4 = 5− 5 17· 10
1 27
= −35
x y z
−2 0 0 40 3 1
20 −35
0 0 1 27
5 17
x = 4−2 = −2
y = −353 1
2
= −10
z =5 1
7
1 27
= 4
L = {−2/− 10/4}
Aufgabe (8)
2x+ 3y − 4z = 164x+ 9y − z = 58x+ 6y + 2z = 34
x y z
2 3 −4 164 9 −1 581 6 2 34
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Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42
z2s1 = 4− 2 · 42= 0
z2s2 = 9− 3 · 42= 3
z2s3 = −1− (−4) · 42= 7
z2s4 = 58− 16 · 42= 26
x y z
2 3 −4 160 3 7 261 6 2 34
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 12
z3s1 = 1− 2 · 12= 0
z3s2 = 6− 3 · 12= 4 1
2
z3s3 = 2− (−4) · 12= 4
z3s4 = 34− 16 · 12= 26
x y z
2 3 −4 160 3 7 260 4 1
24 26
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 33
z1s2 = 3− 3 · 33= 0
z1s3 = −4− 7 · 33= −11
z1s4 = 16− 26 · 33= −10
x y z
2 0 −11 −100 3 7 260 4 1
24 26
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 4 123
z3s2 = 4 12− 3 · 4 1
23
= 0
z3s3 = 4− 7 · 4 123
= −6 12
z3s4 = 26− 26 · 4 123
= −13
x y z
2 0 −11 −100 3 7 260 0 −6 1
2−13
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −11
−6 12
z1s3 = −11− (−6 12) · −11
−6 12
= 0
z1s4 = −10− (−13) · −11
−6 12
= 12
x y z
2 0 0 120 3 7 260 0 −6 1
2−13
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 7
−6 12
z2s3 = 7− (−6 12) · 7
−6 12
= 0
z2s4 = 26− (−13) · 7
−6 12
= 12
x y z
2 0 0 120 3 0 120 0 −6 1
2−13
x = 122 = 6
y = 123 = 4
z = −13−6 1
2
= 2
L = {6/4/2}
Aufgabe (9)
4x− 3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7
x y z
4 −3 2 105 6 −7 410 −2 −3 7
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 54
z2s1 = 5− 4 · 54= 0
z2s2 = 6− (−3) · 54= 9 3
4
z2s3 = −7− 2 · 54= −9 1
2
z2s4 = 4− 10 · 54= −8 1
2
x y z
4 −3 2 100 9 3
4−9 1
2−8 1
2
10 −2 −3 7
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 104
z3s1 = 10− 4 · 104
= 0z3s2 = −2− (−3) · 10
4= 5 1
2
z3s3 = −3− 2 · 104
= −8z3s4 = 7− 10 · 10
4= −18
x y z
4 −3 2 100 9 3
4−9 1
2−8 1
2
0 5 12
−8 −18
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −3
9 34
z1s2 = −3− 9 34· −3
9 34
= 0
z1s3 = 2− (−9 12) · −3
9 34
= − 1213
z1s4 = 10− (−8 12) · −3
9 34
= 7 513
x y z
4 0 − 1213
7 513
0 9 34
−9 12
−8 12
0 5 12
−8 −18
www.fersch.de 96
Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 5 12
9 34
z3s2 = 5 12− 9 3
4· 5 1
2
9 34
= 0
z3s3 = −8− (−9 12) · 5 1
2
9 34
= −2 2539
z3s4 = −18− (−8 12) · 5 1
2
9 34
= −13 839
x y z
4 0 − 1213
7 513
0 9 34
−9 12
−8 12
0 0 −2 2539
−13 839
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · − 1213
−2 2539
z1s3 = − 1213
− (−2 2539) · − 12
13
−2 2539
= 0
z1s4 = 7 513
− (−13 839) · − 12
13
−2 2539
= 12
x y z
4 0 0 120 9 3
4−9 1
2−8 1
2
0 0 −2 2539
−13 839
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −9 12
−2 2539
z2s3 = −9 12− (−2 25
39) · −9 1
2
−2 2539
= 0
z2s4 = −8 12− (−13 8
39) · −9 1
2
−2 2539
= 39
x y z
4 0 0 120 9 3
40 39
0 0 −2 2539
−13 839
x = 124 = 3
y = 399 3
4
= 4
z =−13 8
39
−2 2539
= 5
L = {3/4/5}
Aufgabe (10)
9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23
x y z
9 5 4 136 3 −5 173 −10 6 23
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 69
z2s1 = 6− 9 · 69= 0
z2s2 = 3− 5 · 69= − 1
3
z2s3 = −5− 4 · 69= −7 2
3
z2s4 = 17− 13 · 69= 8 1
3
x y z
9 5 4 130 − 1
3−7 2
38 13
3 −10 6 23
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 39
z3s1 = 3− 9 · 39= 0
z3s2 = −10− 5 · 39= −11 2
3
z3s3 = 6− 4 · 39= 4 2
3
z3s4 = 23− 13 · 39= 18 2
3
x y z
9 5 4 130 − 1
3−7 2
38 13
0 −11 23
4 23
18 23
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 5
− 13
z1s2 = 5− (− 13) · 5
− 13
= 0
z1s3 = 4− (−7 23) · 5
− 13
= −111
z1s4 = 13− 8 13· 5
− 13
= 138
x y z
9 0 −111 1380 − 1
3−7 2
38 13
0 −11 23
4 23
18 23
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −11 23
− 13
z3s2 = −11 23− (− 1
3) · −11 2
3
− 13
= 0
z3s3 = 4 23− (−7 2
3) · −11 2
3
− 13
= 273
z3s4 = 18 23− 8 1
3· −11 2
3
− 13
= −273
x y z
9 0 −111 1380 − 1
3−7 2
38 13
0 0 273 −273
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · −111273
z1s3 = −111− 273 · −111273
= 0z1s4 = 138− (−273) · −111
273= 27
x y z
9 0 0 270 − 1
3−7 2
38 13
0 0 273 −273
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · −7 23
273
z2s3 = −7 23− 273 · −7 2
3273
= 0
z2s4 = 8 13− (−273) · −7 2
3273
= 23
x y z
9 0 0 270 − 1
30 2
3
0 0 273 −273
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Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
x = 279 = 3
y =23
− 13
= −2
z = −273273 = −1
L = {3/− 2/− 1}
Aufgabe (11)
11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15
x y z
11 13 4 3712 14 5 409 3 3 15
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 1211
z2s1 = 12− 11 · 1211
= 0z2s2 = 14− 13 · 12
11= − 2
11
z2s3 = 5− 4 · 1211
= 711
z2s4 = 40− 37 · 1211
= − 411
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
9 3 3 15
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 911
z3s1 = 9− 11 · 911
= 0z3s2 = 3− 13 · 9
11= −7 7
11
z3s3 = 3− 4 · 911
= − 311
z3s4 = 15− 37 · 911
= −15 311
x y z
11 13 4 370 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 13
− 211
z1s2 = 13− (− 211) · 13
− 211
= 0
z1s3 = 4− 711
· 13
− 211
= 49 12
z1s4 = 37− (− 411) · 13
− 211
= 11
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 −7 711
− 311
−15 311
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · −7 711
− 211
z3s2 = −7 711
− (− 211) · −7 7
11
− 211
= 0
z3s3 = − 311
− 711
· −7 711
− 211
= −27
z3s4 = −15 311
− (− 411) · −7 7
11
− 211
= 0
x y z
11 0 49 12
110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 49 12
−27
z1s3 = 49 12− (−27) · 49 1
2−27
= 0
z1s4 = 11− 0 · 49 12
−27= 11
x y z
11 0 0 110 − 2
11711
− 411
0 0 −27 0
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 ·711
−27
z2s3 = 711
− (−27) ·711
−27= 0
z2s4 = − 411
− 0 ·711
−27= − 4
11
x y z
11 0 0 110 − 2
110 − 4
11
0 0 −27 0
x = 1111 = 1
y =− 4
11
− 211
= 2
z = 0−27 = 0
L = {1/2/0}
Aufgabe (12)
2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257
x y z
2 3 4 1754 6 5 2873 2 8 257
www.fersch.de 98
Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 42
z2s1 = 4− 2 · 42= 0
z2s2 = 6− 3 · 42= 0
z2s3 = 5− 4 · 42= −3
z2s4 = 287− 175 · 42= −63
x y z
2 3 4 1750 0 −3 −633 2 8 257
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 32
z3s1 = 3− 2 · 32= 0
z3s2 = 2− 3 · 32= −2 1
2
z3s3 = 8− 4 · 32= 2
z3s4 = 257− 175 · 32= −5 1
2
x y z
2 3 4 1750 0 −3 −630 −2 1
22 −5 1
2
Zeilen vertauschen
x y z
2 3 4 1750 −2 1
22 −5 1
2
0 0 −3 −63
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3
−2 12
z1s2 = 3− (−2 12) · 3
−2 12
= 0
z1s3 = 4− 2 · 3
−2 12
= 6 25
z1s4 = 175− (−5 12) · 3
−2 12
= 168 25
x y z
2 0 6 25
168 25
0 −2 12
2 −5 12
0 0 −3 −63
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 6 25
−3
z1s3 = 6 25− (−3) · 6 2
5−3
= 0
z1s4 = 168 25− (−63) · 6 2
5−3
= 34
x y z
2 0 0 340 −2 1
22 −5 1
2
0 0 −3 −63
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 2−3
z2s3 = 2− (−3) · 2−3
= 0
z2s4 = −5 12− (−63) · 2
−3= −47 1
2
x y z
2 0 0 340 −2 1
20 −47 1
2
0 0 −3 −63
x = 342 = 17
y =−47 1
2
−2 12
= 19
z = −63−3 = 21
L = {17/19/21}
Aufgabe (13)
6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100
x y z
6 4 9 325 7 10 174 8 5 100
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 56
z2s1 = 5− 6 · 56= 0
z2s2 = 7− 4 · 56= 3 2
3
z2s3 = 10− 9 · 56= 2 1
2
z2s4 = 17− 32 · 56= −9 2
3
x y z
6 4 9 320 3 2
32 12
−9 23
4 8 5 100
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 46
z3s1 = 4− 6 · 46= 0
z3s2 = 8− 4 · 46= 5 1
3
z3s3 = 5− 9 · 46= −1
z3s4 = 100− 32 · 46= 78 2
3
x y z
6 4 9 320 3 2
32 12
−9 23
0 5 13
−1 78 23
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 4
3 23
z1s2 = 4− 3 23· 4
3 23
= 0
z1s3 = 9− 2 12· 4
3 23
= 6 311
z1s4 = 32− (−9 23) · 4
3 23
= 42 611
x y z
6 0 6 311
42 611
0 3 23
2 12
−9 23
0 5 13
−1 78 23
www.fersch.de 99
Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 5 13
3 23
z3s2 = 5 13− 3 2
3· 5 1
3
3 23
= 0
z3s3 = −1− 2 12· 5 1
3
3 23
= −4 711
z3s4 = 78 23− (−9 2
3) · 5 1
3
3 23
= 92 811
x y z
6 0 6 311
42 611
0 3 23
2 12
−9 23
0 0 −4 711
92 811
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 6 311
−4 711
z1s3 = 6 311
− (−4 711) · 6 3
11
−4 711
= 0
z1s4 = 42 611
− 92 811
· 6 311
−4 711
= 168
x y z
6 0 0 1680 3 2
32 12
−9 23
0 0 −4 711
92 811
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 2 12
−4 711
z2s3 = 2 12− (−4 7
11) · 2 1
2
−4 711
= 0
z2s4 = −9 23− 92 8
11· 2 1
2
−4 711
= 40 13
x y z
6 0 0 1680 3 2
30 40 1
3
0 0 −4 711
92 811
x = 1686 = 28
y =40 1
3
3 23
= 11
z =92 8
11
−4 711
= −20
L = {28/11/− 20}
Aufgabe (14)
x+ y = 1x+ z = 6y − z = 5
x y z
1 1 0 11 0 1 60 1 −1 5
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 11
z2s1 = 1− 1 · 11= 0
z2s2 = 0− 1 · 11= −1
z2s3 = 1− 0 · 11= 1
z2s4 = 6− 1 · 11= 5
x y z
1 1 0 10 −1 1 50 1 −1 5
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 1−1
z1s2 = 1− (−1) · 1−1
= 0
z1s3 = 0− 1 · 1−1
= 1
z1s4 = 1− 5 · 1−1
= 6
x y z
1 0 1 60 −1 1 50 1 −1 5
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−1
z3s2 = 1− (−1) · 1−1
= 0
z3s3 = −1− 1 · 1−1
= 0
z3s4 = 5− 5 · 1−1
= 10
x y z
1 0 1 60 −1 1 50 0 0 10
L = {}
Aufgabe (15)
x− 2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7
x y z
1 −2 3 93 8 9 52 3 6 7
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 31
z2s1 = 3− 1 · 31= 0
z2s2 = 8− (−2) · 31= 14
z2s3 = 9− 3 · 31= 0
z2s4 = 5− 9 · 31= −22
x y z
1 −2 3 90 14 0 −222 3 6 7
www.fersch.de 100
Gauß-Jordan-Algorithmus Lösungen
Zeile3 = Zeile3-Zeile1 · 21
z3s1 = 2− 1 · 21= 0
z3s2 = 3− (−2) · 21= 7
z3s3 = 6− 3 · 21= 0
z3s4 = 7− 9 · 21= −11
x y z
1 −2 3 90 14 0 −220 7 0 −11
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · −214
z1s2 = −2− 14 · −214
= 0z1s3 = 3− 0 · −2
14= 3
z1s4 = 9− (−22) · −214
= 5 67
x y z
1 0 3 5 67
0 14 0 −220 7 0 −11
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 714
z3s2 = 7− 14 · 714
= 0z3s3 = 0− 0 · 7
14= 0
z3s4 = −11− (−22) · 714
= 0
x y z
1 0 3 5 67
0 14 0 −220 0 0 0
L = unendlich
Aufgabe (16)
x+ 3y − 2z = 33x+ 2y + z = 2y + 3z = 5
x y z
1 3 −2 33 2 1 20 1 3 5
Zeile2 = Zeile2-Zeile1 · 31
z2s1 = 3− 1 · 31= 0
z2s2 = 2− 3 · 31= −7
z2s3 = 1− (−2) · 31= 7
z2s4 = 2− 3 · 31= −7
x y z
1 3 −2 30 −7 7 −70 1 3 5
Zeile1 = Zeile1-Zeile2 · 3−7
z1s2 = 3− (−7) · 3−7
= 0
z1s3 = −2− 7 · 3−7
= 1
z1s4 = 3− (−7) · 3−7
= 0
x y z
1 0 1 00 −7 7 −70 1 3 5
Zeile3 = Zeile3-Zeile2 · 1−7
z3s2 = 1− (−7) · 1−7
= 0
z3s3 = 3− 7 · 1−7
= 4
z3s4 = 5− (−7) · 1−7
= 4
x y z
1 0 1 00 −7 7 −70 0 4 4
Zeile1 = Zeile1-Zeile3 · 14
z1s3 = 1− 4 · 14= 0
z1s4 = 0− 4 · 14= −1
x y z
1 0 0 −10 −7 7 −70 0 4 4
Zeile2 = Zeile2-Zeile3 · 74
z2s3 = 7− 4 · 74= 0
z2s4 = −7− 4 · 74= −14
x y z
1 0 0 −10 −7 0 −140 0 4 4
x = −11 = −1
y = −14−7 = 2
z = 44 = 1
L = {−1/2/1}
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