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B ESSEL, FRIEDRICH WILHELM (1784-1846), 286

BOURBAKI , NI COLAS (1934-1983 ?), VICAUCHY, AUGUSTIN (1789- 1857), 275

CAVALIERI, BONAVENTURA (1598-1647), 175

CAYLEY, A RTHUR (1821-1895), VI, 20, 251

COURANT, RI CHARD (1888-1972), V

CRAMER, GABRIEL (1704-1752), 175,205

DESCARTES, RENE (1596-1650), 1,72

DIRICHLET, PETER (1805-1859), 36

EUKLID (etwa 365-300 v.Chr.), 292

FITTING, HA NS (1906-1938), 261

FONTENE, G. (? ), 130

FROBENIUS, FERDINAND GEORG (1849-191 7), 130

GAUSS, CARL FRIEDRICH (1777-1855), 22,66

GOETHE, JOHANN WOLFGANG VON (1749-1832), 52

GRAM, J0RGEN (1850-19 16),210

HADAMARD , JAQUES (1865-1963), 298

HAMILTO N, SIR WI LLIAM (1805-1865), 251

HILBERT, DAVID (1862-1943), VIJACOBI, CARL GUSTAV (1804-1851), 145,327

JORDAN, CAMILLE (1838-1922), 264

KOWALEWSKI, GERHARD (1876-1950), VIKRONECKER, L EOPOLD (1823-1891), 93

LA NG, SERGE (1927-),251

LAPLACE, PIERRE SIMON (1749-1827), 203

LEIBNIZ, GOTTFRIED WILHELM (1646-1716), VI, 174, 192

MÖBIUS, AUGUST FERDINAND (1790-1868), 220

NOETHER, EMMY (1882-1935), VIPEANO, GUISEPPE (1858-1939), 32

PFAFF, JOHANN FRIEDRICH (1765-1825), 183

PYTHAGORAS (etwa 580-500 v.Chr.), 347

ROUCHE, EUGENE (1832-1910), 130

SARRUS, PIERRE (1798-1861), 195

SCHMIDT, ERHARD (1876-1959),296

Namensverzeichnis

SCHREIER, ÜTTO (1901-1929), VI

S CHWARZ, H ERMA NN AMA NDUS (1843-1921), 275

S TEINIT Z, ERNST (1871-1928), 89

STIRLING, JAM ES (1692-1770), 187

SYLV ESTER, JAMES (1814-1897), 322

VA NDERMONDE, ALEXANDR E (1735-1796), 196

VI ETA, FRAN~OlS (1540--1603), 70W EBER , H EINRICH (1842-1913), VI

W EIERSTRASS , KARL (1815-1897), 174, 178, 192

W EYL , H ERMA NN (1885-1955), 40

ZORN, MAX (1906-1993), 88

Einzelheiten zu Leben und Werk findet man zum Beispiel in [Le].

375

Sachwortverzeichnis

Abbildung, 34, 842rr-periodische, 84adjungierte, 342bilineare, 350duale, 334kanonische, 122, 357lineare , 109multilineare, 366

abelsch ,43Ableitungshomomorphismus, 127, 141Absolutbetrag, 58Abstand , 275, 279, 349

Punkt von Gerade, 279Punkt von Hyperebene , 280windschiefer Geraden , 349

abzählbar unendlich , 42Addition

von Abbildungen, 76, 84von Matrizen , 75von Polynomen, 62von Vektoren, 2, 76

Addition in Ringen , 54Additionstheorem, 146adjungiert , 342ähnlich, 160,273äquivalent , 40, 120, 160Äquivalenzklasse, 40Äquivalenzrelation, 40äußeres Produkt, 358, 367affiner Unterraum , 30, 116Algebra, 364alternierend, 105, 179, 184, 192,288,

358,367,371Annulator, 333, 341antihermitesch, 348Anzahl ,32

arithmetisches Mittel, 43assoziativ, 37,43,54, 147aufgespannt, 80Ausartungsraum, 322Austauschlemma, 89Austauschsatz, 90Auswahlaxiom, 39Auswahlfunktion, 38Automorphismus, 109

Basis, 86, 88kanonische, 86orthonormale, 295verformbare , 215

Basisauswahlsatz, 88Basisergänzungssatz, 91Beschränkung, 35Besselsche Ungleichung, 301Bidualraum, 336bijektiv, 35, 37Bild, 35, 114Bilinearform, 288

alternierende, 288nicht ausgeartete , 340symmetrische, 288

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, 275,293

Cavalierisches Prinzip, 175Cayley-Hamilton

Satz von, 251Charakteristik, 61charakteristisches Polynom, 229, 230Cosinussatz, 278Cramersche Regel, 175,205

Sachwortverzeichnis

Darboux-Basis, 302darstellende Matrix, 288Determinante , 198

einer Matrix 174, 178, 192, 197eines Endomorphismus, 210Grarn sche , 298

Determinanten-Multiplikat ionssatz, 180Determinanten-Multiplikationstheorem,

208diagon alisierbar, 224 ,225,234,235, 270,

307simultan, 239

Diagonalm atrix , 225Diagramm,

kommutatives, 157Diedergruppe, 53Differentialglei chung, 199, 200 , 227 , 240Differenzrnenge , 34Dimension, 1,91,11 7Dimensionsformel ,

für Kern und Bild , 117für Summen, 100

direkte Summe, 10Idirektes Produkt, 38Diskriminante , 69distributiv , 54, 56, 147Divi sion mit Rest, 63Drehung, 106, 146,223,231,305Dreieck , 175Dreiecksmatrix, 175, 243Dreiecksungleichung. 275dual e Basis, 332Dualraum , 331Durchschnitt, 33, 79

Ebene, 13Eigenraum , 226 , 231 , 259Eigenvektor, 223Eigenwert, 222Einheitsmatrix , 92, 147Einselement, 54

377

Eintrag, 21Element , 32

inverses, 43 , 45negatives, 44neutrales, 43, 44 , 147

Elementarma trix, 164element arsymmetrisch 70Elim ination, 22 , 30Eliminationsverfahren von Gauß , 20, 30,

130, 171Ellipse , 320endl ich erzeugt, 86Endornorphismenring, 112Endornorphismu s, 109, 112

adjunktiver, 312ähnlicher, 273diagonalisierb arer , 224nilpotenter, 257normaler, 344orthogonaler, 303selbsta djungierter, 312trigonalisierbarer, 244unit ärer , 303

Entwicklung, 203Erzeugendensystem, 86, 87erzeugt, 80, 166Erzeugung von line aren Abbildungen, 138euklidisch, 292Exp onentialfunktion , 272

Fahneinvariante , 243

Faktorgruppe, 53Faktorisierungssatz, 119Fakultät, 187Famil ie, 38, 80Faser, 114Faserun g, 115Fehl stand, 189Fitting

Lemma von, 261

378

Fixpunkt , 112Folge

beschränkte, 85konvergente, 85

Fourierkoeffizient, 30IFundamentalsatz der Algebra , 66Fundamentalsy stem, 133Funktion

differenzierbare, 78lineare , 106rationale , 74stetige, 78

FußballSatz vom, 307

Gerade, 4, 8, 346gleichmäßig , 42Gleichung

lineare , 2Gleichungssystem

lineares, 20,129,337Grad, 61, 73Gram-Schmidtscher Orthogonalisierungs-

satz, 296Gramsehe Determinante, 210, 298Graph, 39, 40Grassmann-Identität, 284Gruppe , 43

allgemeine lineare , 150alternierende, 192orthogonale, 304spezielle orthogonale, 304symmetrische, 44, 186unitäre, 304zyklische, 49, 53

Gruppentafel, 46

Hadarrnadsche Ungleichung, 298Hauptachsentransformation , 319Hauptminor, 327

Sachwortverzeichnis

Hauptminoren-Kriterium für Definitheit ,327

Hauptraum, 259hermitesch, 291Hesse-Matrix , 153Hessesehe Normalform , 280, 281homogen , 73, 290Homomorphismus

von Gruppen , 48von Ringen, 56von Vektorräumen, 109

Hyperbel , 320Hyperebene, 280

Ideal, 251, 255imaginäre Einheit, 58Imaginärteil , 58Indexmenge, 33, 38Induktion , 32induziert, 48, 78injektiv, 35, 37invariant, 242Isometrie, 303Isomorphismus, 48, 109, 118, 149

kanonischer, 336, 340

Jacobi-Identität, 284Jakobi-Matrix , 145, 153Jordanblock, 269Jordanmatrix, 264Jordansehe Normalform, 268

kanonisch , 41, 86, 122, 140, 214, 274,336

Kern, 114Klasse, 41, 49Koeffizient, 4, 61Koeffizientenmatrix , 21, 129

erweiterte , 21, 131Körper, 56kommutativ, 43, 54, 157

Sachwortverzeichnis

Kompl ement, 34orthogonale s, 294 , 341

komplementär, 20 Ikomplexe Struktur, 287 , 311

w-kalibrierte, 311Komplexifizierung, 253, 310 , 356Komponente, 1,38Komposition, 36, 38kongruent, 50Konjugation, 291konjugiert, 58Koordinaten, 154

karte sische, IKoordinatensystem, 138, 154Kronecker-Symbol, 93Kürzungsregel, 45, 161

Länge einer Basis , 86, 90Längenmessung, 297Laplacescher Entwicklungssatz, 203Leibnizsche Formel, 192linear abhängig, 18, 81linear unabhängig, 18, 81lineare Optimierung, 2lineares Gleichungssystem, 20Linearfaktor, 66Linearform, 331Linearkombination, 79

triviale, 81Linkstranslation. 45Lösung, 4, 11,21, 129

allgemeine, 130eindeutige, 134spezielle, 133triviale, 26, 130, 134universelle, 134

Lösungsmenge, 21,78Lösungsräume, 129

379

Matrix , 20, 75ähnliche, 160, 230äquivalente, 160antihermitesche, 348darstellende, 139,156,288,291diagonalisierbare , 225dünn besetzt, 151hermitesche, 292 , 312inverse , ISO, 166,204invertierbare, 149, 166komplementäre, 201normale, 344orthogonale, 304positiv definite, 292 , 321, 327Rang einer, 30symmetrische, 104,312,315,319,

325transponierte, 334trigonalisierbare , 244unit äre , 304 , 307

Matrizenring, 148Menge, 32

endliche, 32leere, 32unendliche, 32

Metrik, 275, 294, 300Minimalpolynom, 256Minor, 206 , 207Modul,92Möbiusband, 220Monom, 355multilinear, 366Multiplikation

mit Skalaren, 2, 76von Endomorphismen, 112von Matrizen, 144von Polynomen, 62

Multiplikation in Ringen, 54

380

negativ definit , 330Negatives, 44, 76nicht ausgeartet , 370nilpotent, 227,257,264Norm, 274, 286, 293, 294, 300normal,344Normalenvektor, 280Normalform, 161,309

ähnliche Matri zen, 268äquivalente Matrizen , 261Jordan sche, 268nilpotenter Endomorphismus, 264orthogonaler Endomorphismus, 308selbstadjungierter Endomorphismus,

312symmetrischer Bilinearformen, 324unitärer Endom orphi smen , 307

normiert, 61, 179n-Tupel ,38Nullelement, 44, 54Nullpol ynom , 61Nullstelle, 64

mehrfache, 66Vielfachheit, 66

nullstellenfrei, 57nullteilerfei , 55Nullvektor, 3, 76

Optimierunglineare , 2

Orientierung, 214kanoni sche, 214

orientierungstreu, 213orthogonal,279,294, 303,304,308,333orthonormal, 295Orthonormalisierung, 296, 324

paarweise verschieden, 32parallel , 346Parallelogramm, 175, 283Parallelogramm-Gleichung, 278, 300

Sachwortverzeichnis

Parallelotop, 177Parallelprojektion, 119Parameter, 4, 24Parameterdarstellung, 11Parametrisierung,4, 13,22,30,131ParsevaIsche Ungleichung, 30 IPeano-Axiorne, 32Permutation, 44, 186

gerade, 189ungerade, 189

Pfaffsches Polynom, 183, 199Pivot, 23, 29Plückerkoordinaten, 211Polarisierung, 291, 292Polynom, 61, 73, 106,350,355

charakteristisches, 229, 230homogenes, 73,98,370trigonometrisches, 84, 30 I

Polynomring, 62, 73positiv definit , 292, 321, 327Produkt

äußere s, 358, 370direktes , 38, 84, 98, 104symmetrisches , 364, 370von Matrizen, 144

Projektion, 38, 296Pythagoras,

Satz von, 278

quadratische Ergänzung, 326quadratische Form , 290Quotientenmenge, 41Quotientenvektorraum , 123

Rang, 114, 148, 159,206,335Rang einer Matrix, 30Raum

affiner, 30Realteil , 58Rechtstranslation, 45reflexiv, 40

Sachwortverzeichnis

Reiheabsolut konvergente, 85

Relation, 40Repräsentant , 41, 50Restklasse, 50Restklassenring, 55Resultante , 185Ring, 54Römerfläche , 51

Sarrussche Regel, 195Scherung , 177schiefsymmetri sch, 105, 183, 288Schnitt , 119, 132Schubladenprinzip, 36Schwingung, 238Schwingungsgleichung, 240selbstadjungiert, 312semilinear, 291senkrecht , 277sesquilinear, 291Signum, 189Skalarprodukt , 292, 300

kanonisches, 274, 286Spaltenrang, 96, 99, 159Spaltenraum, 96Spaltenumformung, 165Spat, 177,298spezielle lineare Gruppe, 199Spiegelung, 223, 231, 305Spur, 229Standardba sis, 86Standardebene, 13Standardraum, 75

reeller, Istetig verformbar, 215Stirlingsche Formel , 187Sturmsehe Ketten, 72Summand

direkter, 102, 120Summations index, 21

381

Summedirekte , 101, 102orthogonale, 295von Vektorräumen , 100

Summenzeichen, 21surjektiv, 35, 37Sylvestersches Trägheitsgesetz, 322symmetrisch, 40, 104, 232, 288, 358, 367,

369symmetrische Gruppe, 44, 186Symmetri sierung, 105, 310symplektischer Vektorraum, 302, 311

Teiler, 62Teilmatrix, 206Teilmenge, 32, 33Tensor, 350, 353

kontravarianter, 367kovarianter, 367

Tensorprodukt , 353, 366Trägheitssatz , 322Transformationsformel, 290, 291

für Bilinearformen, 290für Endomorphi smen, 158für lineare Abbildungen, 158für Sesquiline arformen , 291

Transformationsmatrix, 154, 169,325transitiv, 40Translation , 45Transposition, 95, 188,337trigonalisierbar, 244

überabzählbar, 42Umkehrabbildung, 35Unbestimmte, 4, 61, 73,182unitär, 292, 303, 304, 307universelle Eigenschaft, 369

des äußeren Produkts , 359, 368des Quotientenvektorraums, 123des Tensorprodukts, 353, 366

Untergruppe , 47

382

Unterraumaffiner, 116invarianter, 254

Unterring, 56Untervektorraum, 77

invarianter, 242Urbild,35Ursprung, 2

Vandermonde-Determinante, 196, 198Variable

freie, 24gebundene , 24

Vektor, 1,76liegender, 20stehender, 20

Vektorprodukt, 282, 285verallgemeinertes, 285

Vektorraum, 76verbindbar, 221Vereinigung, 33Verknüpfung, 43

äußere, 75innere, 75

Verknüpfungstafel, 46Vielfachheit, 66Vietascher Wurzelsatz , 70Vorzeichenregel, 72, 321

Sachwortverzeichnis

windschief, 11, 346Winkel, 276, 279winkeltreu, 311wohldefiniert , 50, 123Wronski-D eterminante . 199

Zahlenganze, 33komplexe, 33, 57natürliche, 32rationale , 33, 57reelle, 33, 57

Zeichen wechsel, 71Zeilenrang, 96, 99, 159,335Zeilenraum, 94Zeilenstufenform, 22, 28, 94,131Zeilenumformung, 26, 93, 165zusammenhängend, 221

Symbolverzeichnis

0 Ende eines Beweises ( , ) Skalarprodukt , 274oder Beweis klar

11 11 Norm, 274a := b a ist definiert durch b, 32 ,{ Winkel,276a=}b aus a folgt b

d Abstand,275a ~ b a und b sind gleichwertig

{) Mengenklamm ern C komplexe Zahlen, 33, 57

0 leere Menge, 32 JK IRoder C, 292

E Element, 32 N natürliche Zahlen, 32

C Teilmenge,32 o rationale Zahlen, 33

U Vereinigun g, 33 IR reelle Zahlen, I , 33

n Durchschnitt , 33 IR+ nicht-negative reelle Zahlen, 35<, Differenzmenge, 34 IR* positive reelle Zahlen , 43+x direktes Produkt , 38 IRn reeller Standardraum, I

oder Vektorprodukt , 269 Z ganze Zahlen, 33---+ , t-> Abbildungspfeile, 34 ZjmZ zyklische Gruppe , 50, 510 Komposition von

Abbildungen , 36K * Elemente ungleich Null, 56

Beschränkung vonAbbildungen , 35 V* dualer Vektorraum, 331

r l Umkehrabbildung von J ,35 K n Standardraum, 75

äquivalent, 40 K[t] Polynomring über K , 62

(Xj) jEI Familie , 39 K kanonische Basis, 86

L Summen zeichen, 21 e, kanonischer Basisvektor, 81

L ' eingeschränkte Summe , 352 8ij Kronecker-Symbol, 93

n Produktzeichen, 190 C stetige Funktionen, 78

+ Summe, 102 V differenzierbare Funktionen, 78EIl direkte Summe, 101Q) orthogonale Summe, 295 An alternierende Gruppe , 1920 Tensorprodukt , 353 Sn symmetrische Gruppe, 44&/ k-faches Tensorprodukt , 368 M(m x n; K) Matrizenraum, 751\ äußeres Produkt, 359

GL (n ; K) allgemeine lineare Gruppe, 150I\k k-faches äußeres Produkt von V ,368

O(n) orthogonale Gruppe, 304

v symmetrisches Produkt , 364 SO(n) spezielle orthogonale Gruppe, 304

Vk k-faches symmetrisches Produkt, U(n ) unitäre Gruppe , 304

369

384 Symbo lverzeichnis

A - 1 inverse Matrix, 150 Abb Abbildungen, 34TA transponierte Matrix, 95 Alt alternierende Abbildungen, 361A~ komplementäre Matrix, 201 371

Ej Basismatrix, 86 Bil bilineare Abbildungen, 350, 361I

En n-rei hige Einheitsmatrix, 92 char Charakteristik, 61

MA darstellende Matrix , 139 deg Grad,61BMB darstellende Matrix, 140, det Determinante, 176, 178,

158,288 192,212TA Transformationsmatrix, 155 dirn Dimension, 91B

Qf Elementarmatrix, 163 Eig Eigenraum, 226

Q{()..) Elementarmatrix, 164 Hau Hauptraum, 259

s.o: Elementarmatrix, 163 End Endomorphismen, 112

p j Eleme ntarmatrix, 164 Horn Homomorphismen, 111I

Im Bi1d,114

<PB Koordinatensystem, 138 Ker Kern, 114

Fj Basishomomorphismen, 139 Lös Lösungsmenge, 20T

Fad adjungierte Abbildung, 342 rang Rang, 114, 159

I F Ideal von F, 251 sign Signum, 190

span aufgespannter Vektorraum. 80