Lösen von Extremwertaufgaben mit EXCEL - oeftg.· Fieting, Olaf 1 von 19 23.11.2013, 15:05 Lösen

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  • Fieting, Olaf 1 von 19 23.11.2013, 15:05

    Lsen von Extremwertaufgaben mit EXCEL In der Wissenschaft, aber auch in der Wirtschaft, spielt das Lsen von Extremwertaufgaben eine groe Rolle. Immer wieder wird die Frage danach gestellt, was unternommen werden muss, damit die minimalsten Kosten, der grte Gewinn, die grte Ausbeute oder auch der kleinste Materialeinsatz erreicht werden kann. In diesem Beitrag soll demonstriert werden, wie neben dem Einsatz der Differentialrechnung auch der in EXCEL integrierte Solver zur Lsung dieser Probleme genutzt werden kann. Jeder, der beide Verfahren parallel zueinander erprobt hat, wird dann feststellen knnen, welch eine Reduzierung des Arbeitsaufwandes beim Einsatz von EXCEL erreicht werden kann. Natrlich kann keinem der Nutzer von EXCEL erspart bleiben, dass er bei beiden Verfahren die ersten gleichen Schritte vornehmen muss. In diesem Beitrag sollen dem Anwender von EXCEL beide Verfahrensweisen am Standardbeispiel des Mathematikunterrichts aufgezeigt werden. Des Weiteren sollen im letzten Teil des Beitrages weitere mgliche Aufgabenstellungen aufgefhrt werden. (Die mathematischen als auch die Lsungen in EXCEL knnen ber den Autor bezogen werden).

    Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung ..................................................................................................................... 2

    2 Mathematische Lsung............................................................................................................ 2

    2.1 Finden des mathematischen Ansatzes .................................................................................... 3

    2.2 Aufstellen der mathematischen Funktion ................................................................................ 3

    2.3 Bestimmen der lokalen Extrema .............................................................................................. 4

    2.4 Analysieren des Verhaltens der Funktion an den Randstellen ............................................... 5

    2.5 Formulieren der/des Ergebnisse/s ........................................................................................... 5

    3 Lsen von Extremwertaufgaben mit EXCEL ........................................................................... 6

    3.1 Erstellen des entsprechenden Tabellenblattes ....................................................................... 6

    3.2 Lsen der Extremwertaufgabe mit Hilfe des in EXCEL integrierten Solvers ........................... 6

    4 Praktische Anwendungsbeispiele ............................................................................................ 8

    4.1 Berechnung Materialverbrauch fr eine Konservendose ........................................................ 8

    4.1.1 Mathematische Lsung............................................................................................................ 9

    4.1.2 Lsen der Aufgabe mit dem Solver ....................................................................................... 10

    4.2 Berechnung Sportanlage ....................................................................................................... 11

    4.2.1 Mathematische Lsung.......................................................................................................... 12

    4.2.2 Lsen der Aufgabe mit dem Solver ....................................................................................... 13

    4.3 Berechnung Bewsserungskanal .......................................................................................... 13

    4.3.1 Mathematische Lsung.......................................................................................................... 14

    4.3.2 Lsen der Aufgabe mit dem Solver ....................................................................................... 16

    4.4 Berechnung Kosten Wasserleitung ....................................................................................... 17

    4.2.1 Mathematische Lsung.......................................................................................................... 17

    4.2.2 Lsen der Aufgabe mit dem Solver ....................................................................................... 19

  • Fieting, Olaf 2 von 19 23.11.2013, 15:05

    1 Aufgabenstellung Aus einem rechteckigen Blech mit den Seitenlngen S1 = 16 cm und S2 = 6 cm soll ein Gef mit maximalem Fassungsvermgen (Volumen) hergestellt werden, indem aus jeder Ecke ein Quadrat herausgeschnitten wird, der Rest zu einem offenen Quader zusammengebogen und verschweit wird. Wie gro mssen die Seiten des herauszuschneidenden Quadrates sein, damit die Aufgabe realisiert werden kann? Wie gro sind die Seiten a und b des Gefes? Wie gro ist das Volumen des Behlters?

    2 Mathematische Lsung Zur Lsung von Extremwertaufgaben wird in der Mathematik als Mittel die Differentialrechnung herangezogen. Dabei ist in folgenden Schritten vorzugehen: (1) Finden des mathematischen Ansatzes

    (2) Aufstellen der mathematischen Funktion und Festlegung des Definitionsbereiches

    (3) Bestimmen der lokalen Extrema

    (4) Analysieren des Verhaltens der Funktion an den Randstellen

    (5) Formulieren des Ergebnisses

    Bei Problemstellungen, die sich mit quadratischen Funktionen beschreiben lassen sind keine Mittel der Differentialrechnung notwendig. Hier reichen Scheitelpunktbetrachtungen. Als Beispiel kann die Aufgabe herangezogen werde, dass man mit 100 m Zaun, eine mglichst groe rechteckige Flche eingezunt werden soll.

    x

    S1

    S2

    x

    a

    b

  • Fieting, Olaf 3 von 19 23.11.2013, 15:05

    2.1 Finden des mathematischen Ansatzes In diesem Schritt kommt es darauf an, die Gre zu definieren, die das entsprechende Extremum darstellt, von welcher Gre es abhngt und von welcher Art dieses Extremum ist. Weiterhin sind Nebenbedingungen und Einschrnkungen sowie weitere, auf der Grundlage der zu suchenden abhngigen Gre, zu bestimmende Werte mathematisch festzulegen. Lsungsansatz

    1 Gesuchtes Extremum: Volumen (V)

    2 Art des Extremums: Maximum

    3 Bestimmende Gre des Extremums: Seitenlnge des Quadrates (x)

    4 Nebenbedingungen/Einschrnkungen: 0 < x

  • Fieting, Olaf 4 von 19 23.11.2013, 15:05

    2.3 Bestimmen der lokalen Extrema Bestimmen der Extremwertstelle Zum Ermitteln der Extremwertstelle (x-Wert der Funktion, an der die Funktion ihren Extremwert hat) wird die erste Ableitung der Funktion f(V) gebildet. Anschlieend muss die erste Ableitung der Funktion zu Null gesetzt werden und man erhlt folgende Gleichung: Da es sich hier um eine quadratische Gleichung handelt, kann diese mit Hilfe des Vieta'schen Wurzelsatzes gelst werden. Dabei muss beachtet werden, dass zwei Lsungen ermittelt werden knnen. Daraus ergibt sich folgender Term: Nach Auflsung der entsprechenden Formel erhlt man zwei Ergebnisse.

    xxxxf 96444 23

    968812 2 xxxf I

    0968812 2 xx

    qpp

    x 22,1 )2

    (2

    8)6

    22(

    6

    22 22,1 x

    083

    222 xx

    36

    196

    6

    222,1 x

    6

    14

    6

    222,1 x

    66

    361 x

    333333,16

    82 x

  • Fieting, Olaf 5 von 19 23.11.2013, 15:05

    Auswertung der Ergebnisse Auf Grund der vorher festgestellten Nebenbedingungen 0 < x < 3 ist zu ersehen, dass der Wert fr x1 = 6 cm keine Lsung der Aufgabe sein kann. Es kommt also nur die Lsung x2 = 1,33333 cm als gltiges Ergebnis in Frage. Bestimmen der Art des Extremwertes Hier muss festgestellt werden, ob es sich bei dem ermittelten Ergebnis wirklich um ein Extremum (Maximum, Minimum) handelt. Dabei ist es notwendig die zweite Ableitung der aufgestellten Funktion, welcher die erste Ableitung zugrunde liegt, zu ermitteln. Fr x ist der mglich ermittelte Wert aus der Lsung der ersten Ableitung einzusetzen. In diesem Falle also 1,33333 oder auch 4/3. Sollte das Ergebnis kleiner 0 sein, handelt es sich um ein Maximum, wie es im gegeben Fall erstrebt wurde. Sollte das Ergebnis positiv sein, handelt es sich um ein Minimum.

    2.4 Analysieren des Verhaltens der Funktion an den Randstellen Weiterhin muss das Verhalten an den Randstellen der Funktion betrachtet werden. Im Falle des betrachteten Beispiels sind es die Werte, die die Nebenbedingungen beschreiben, also x=0 und X=3. Beim Einsetzen dieser Werte in die Ausgangsfunktion erhlt man jeweils ein Volumen von 0, was wiederum ein Minimum bedeuten wrde, also nicht das erstrebt Ergebnis.

    2.5 Formulieren der/des Ergebnisse/s Wie in den vorangegangenen Betrachtungen ermittelt wurde ist ein maximales Volumen zu erreichen, wenn die Seitenlnge der herauszuschneidenden Quadrate 4/3 cm betragen. Das maximale Volumen, das erreicht wird betrgt: Die Lnge der Seiten a und b betragen dementsprechend 13 1/3 cm bzw. 3 1/3 cm.

    968812 2 xxxf I

    8824 xxf II

    56883

    424)

    3

    4( fxf

    II

    3

    496

    3

    444

    3

    44

    3

    4 23 )()()(fV

    .....26,5927

    1600)

    3

    4( fV

  • Fieting, Olaf 6 von 19 23.11.2013, 15:05

    3 Lsen von Extremwertaufgaben mit EXCEL Wenn die Tabellenkalkulation EXCEL eingesetzt wird, hat der Nutzer ein mchtiges Werkzeug zur Verfgung. Dabei ist natrlich davon auszugehen, dass er die mathematisch dargelegten Schritte natrlich ebenfalls vorzunehmen hat. Das betrifft das Finden des mathematischen Ansatzes, das Definieren der mathematischen Funktion und auch der entsprechenden Nebenbedingungen/Einschrnkungen. Eine einfache, jedoch sehr arbeitsaufwendige, Lsung besteht z.B. darin, dass eine lange Liste (eventuell ber 2000 - 3000 Zeilen) erstellt wird, die den