Logarithmen – deren Geschichte und wo sie uns heute in der...

Rechnen wie damals 22.10.2012

Logarithmen –deren Geschichte und wo sie uns heute in der Natur und im Alltag begegnen

Klaus Kühn und Stephan Weiss

Rudolf-Steiner-Schule

Gröbenzell am 22.10.2012

3Klaus Kühn

Rechnen wie damals 22.10.2012Rechnen wie damals 22.10.2012

Fragen zu Logarithmen Logarithmen nicht zu verwechseln mit Algorithmen

• Seit wann gibt es Logarithmen ?

• Von wem wurde die erste Logarithmentafel wann veröffentlicht ?

• Was sind Logarithmen und was haben sie bewirkt ?

• Welche Rechenhilfsmittel enthalten Logarithmen ?

• In welchen Bereichen des Lebens spielen die Logarithmen – immer noch - eine Rolle ?

4Klaus Kühn

Einloggen = log (in) = ?


1. Grundsätzliches

2. Lösung "einfacher" Aufgaben

3. Lösung der Aufgabe c1.) mit Hilfe des Logarithmus und der besonderen Rechenregeln

4. Logarithmentafeln und wichtige Persönlichkeiten

5. Berechnung von Logarithmen

6. Logarithmen und ihre Anwendungen (Alltag + Natur)

7. Quellenangaben

8. Diverses und Fragen

9. Nächste Themen…….

Klaus Kühn 5

Gliederung


GrundsätzlichesS(ummand) plus S+S+S = 4 mal(*)S

Beispiel: 3+3+3+3 = 4*3 = 12

(oder Faktor (4) mal Faktor (3) = Produkt (12))

B (Faktor) mal(*) B mal B mal B = B4

Beispiel: 3*3*3*3 = 34 = 81

Potenz = Basis B (3) mit Hochzahl oder Exponent 4)

Allgemeine Potenz: BH = N(umerus)

6Klaus Kühn


GrundsätzlichesSuche nach dem unbekannten Wert X

Fall a.) BH = X -> potenzieren (N gesucht) [Lösung: 34=X; X = 81]

Fall b.) XH = N -> radizieren (B gesucht) [Lösung: X = H√N; X4 = 81; X = 4√81 ; X = 3]

Fall c.) BX = N -> logarithmieren (X gesucht) [Lösung: X = log B N; log 3 81 = X; X = 4]

7Klaus Kühn

Fall b.) und c.) werden als „Umkehrungen“ von Fall a.) gesehen


• ..wurde von dem schottischen Mathematiker John Napier eingeführt und

• leitet sich von den griechischen Worten logós (Verständnis, Lehre, Verhältnis, Ursache) und arithmós (Zahl) ab.

• Wahrscheinlich hat Napier den Begriff von Caspar Peucer – Commentarius….1553

Wittenberg - “logarithmanteia“ (Wahrsagung von Wort per Zahl und umgekehrt) übernommen.

Klaus Kühn 8

Grundsätzliches –Der Name Logarithmus..


Einige "einfache" Aufgabena.) 10 hoch x = 10x = 100 ; x = ?

b.) 2x = 16; x = ?

c.) 100x = 10; x = ?

d.) 10x = 2; x = ?

wie hilft der Taschenrechner ?

9Klaus Kühn


Lösung "einfacher" Aufgaben mit Fokus auf Zahlen (nicht Winkel)

a.) 10 hoch x = 100 ; x = 2 => 102= 10 mal 10 = 100

b.) 2x = 16; x = 4 => 24 = 2*2*2*2 = 16

10Klaus Kühn

1 Million = ? 42 Milliarden = ? 1000 mal 1 Million = ?


Michael Stifel‘s Tabelle 1544

Klaus Kühn 11

Beispiel: 2 mal 16 : über der Ziffer 2 steht die 1 und über der 16 steht die 4, ergibt summiert 1 plus 4 = 5. Unter der 5 steht die Lösung 32. Und so wurde eine Multiplikation als Addition ausgeführt

Quelle: Google Books Titel + folio 249

In heutiger Schreibweise: log 2 2 + log 216 = log 2 32Gesprochen: Logarithmus von zwei zur Basis zwei plus Logarithmus 16 zur Basis zwei gleich Logarithmus von 32 zur Basis zwei


Lösung "einfacher" Aufgaben

c.) 100x = 10; x = ½ => 100½ = 2√100 = 10 (Basis = ?)

12Klaus Kühn

Arithmetisch -2 -1 0 1/2 1 2 3 4

Potenz 100-2 100-1 100 0 100 1/2 100 1 100 2 100 3 100 4

Geometrisch 1/10000 1/100 1 �� 100 10000 1000000 100000000

Arithmetisch -2 -1 0 1/2 1 2 3 4

Potenz 2-2 2-1 2 0 2 1/2 2 1 2 2 2 3 2 4

Geometrisch 1/4 1/2 1 �� 2 4 8 16

Basis = 2


Lösung der Aufgabe c1.)geht mit Hilfe des Logarithmus

und der besonderen Rechenregeln

c1.) 10x = 2; x = ? (x liegt zwischen 0 und 1,

weil 2 zwischen 100 = 1 und 101=10 liegt)

Wie hilft hier der Taschenrechner ? Ist nicht mehr "einfach" .

Umformen erforderlich:

log 10 2 (schreibt man auch = lg 2) = x;

x = 0.301 => 10 0.301 = 2

13Klaus Kühn


Definition des Logarithmus (von Zahlen)

log 10 2 = 0.301, so ist 10 0.301 = 2

14Klaus Kühn

Jede Zahl (Numerus) N >0 lässt sich als Potenz einer beliebigen positiven Basis B darstellen -> N = BX

(lösbar durch logarithmieren: X = log B N)

Der Logarithmus einer Zahl (N) ist der Exponent (X), mit dem eine Basiszahl (B) potenziert werden muss,

um die Zahl (N) zu erhalten.


Lösung des Aufgabentyps c1.)geht NUR mit Hilfe des Logarithmus und der besonderen Rechenregeln

c1.) 5x = 2; x = ? (x liegt zwischen 0 und 1,

weil 2 zwischen 50 = 1 und 51 = 5 liegt)

wie hilft hier der Taschenrechner ? Ist nicht mehr "einfach" .

Rechenregel erforderlich:

log 5 2 = log 10 2 log 10

5 = 0.3010.699 = x; x = 0.4306 -> 5 0.4306 = 2

15Klaus Kühn

0.3010.699 = lg 0.301 minus lg 0.699 = - 0.5214 – (-0.1555) = - 0.3659; 10 -0.3659 = 0.4306


Logarithmen – Zeitgeschehen • Was war los zu Beginn der Neuzeit ?

– Entdeckung Amerikas (1492) – Navigation• Intensivierung weltweiten Handels

– Erde dreht sich um Sonne (1543) – Astronomie

– Gregorianischer Kalender (1582)• Vorbereitet u.a von Regiomontan († 1476 in Rom)

– Astronomie, Navigation, Erdvermessung und Wissenschaft machten komplexere Rechnungen erforderlich [besonders in der (sphärischen) Trigonometrie]

– Suche nach Rechenvereinfachungen (Vorläufer der Logarithmen: Prosthaphärese ca. 1517 - 1620)

16Klaus Kühn


Logarithmen –Rechenoperationen und – zeichen

Operationen Rechenzeichen Logarithmus Verein-fachung

Addition + nicht anwendbar

Subtraktion __ nicht anwendbar

1. Multiplikation (kleines) x, * anwendbar +

2. Division : anwendbar -

3. Exponent mn anwendbar *4. Wurzel n√m (r=radix) anwendbar :

17Klaus Kühn

Rechenregeln zum Rechnen mit Logarithmen1. log (m*n) = log m + log n

2. log (m:n) = log m – log n

3. log mn = n * log m

4. log � = 1/n * log m

Rechnen wie damals 22.10.2012

Erste Logarithmentafeln

Klaus Kühn 18

Aus google books

John Napier

(1550-1617) 1614

Jobst Bürgi

(1552-1632) 1620

Henry Briggs

(1561-1630) 1617


Geschichte der Logarithmen –Auswahl wichtiger Persönlichkeiten

• Archimedes, Chuquet, Michael Stifel (1487 – 1567)

• John Napier (Neper), Lord of Merchiston 1552-1617 (Beruf: Mathematiker; Edinburgh; 1565 – 1571 Kontinental Europa)

– Mirifici Canonis Logarithmorum Descriptio; 1614 (vor fast 400 Jahren)

• Jost Bürgi 1552 – 1632 (Beruf: Uhrmacher, Astronom, Mathematiker; Kassel, Prag)

– Aritmetische und Geometrische Progresstabulen..; 1620

• Henry Briggs 1560 – 1630 (Beruf: Professor der Geometrie; London, Oxford)

– Arithmetica Logarithmica sive logarithmorum chiliades triginta, pro numerisnaturali serie crescentibus ab unitate ad 20000 et a 90000 ad 100000 ; 1624

• Pierre-Simon Laplace 1749 – 1827 (Mathematiker): “Die Logarithmen haben das Leben der Astronomen verdoppelt, weil sie deren Arbeit halbiert haben.“

19Klaus Kühn


Geschichte der Logarithmen –Auswahl wichtiger Persönlichkeiten

• Kontinentaleuropa (Deutschsprachig) – Johannes Kepler 1571 – 1630 (Astronom – Chilias

Logarithmorum 1624; Rudolfinische Tafeln 1627)

– Adrian Vlacq 1600 – 1666/7 (Buchhändler in Gouda -Arithmetica Logarithmica 1628; 1673 deutsche Version) ; Ezechiel de Decker 1603 – 1647 (Geodät, Mathematiklehrer)

– Juri (Georg) Vega, Baron von Vega 1756 – 1802 (Offizier, Mathematikprofessor)

– Leonhard Euler 1707 – 1783 (Mathematikprofessor)

– Carl Friedrich Gauss 1777 – 1855 („Fürst der Mathematiker“)

– Friedrich Gustav Gauss 1829 – 1915 (Geodät; „Kataster-Gauss“)

– Oskar Schlömilch 1823 – 1901 (Mathematikprofessor)

– Und viele weitere Tafelmacher/Herausgeber (Bremiker, Schrön, Bruhns, Jordan, siehe Tabelle)

20Klaus Kühn


Logarithmentafelmacher – eine Auswahl (D)Adam, V.

Schubert, Andreas

Ferrol, F. Günther, Ursula

Jahn, Gustav Adolph

Halberstadt, Ernst

Reuschel, Arnulf

Rex, Friedrich Wilhelm

Schülke, Albert

Voellmy, Erwin

Adler, AugustBrandenburg,

Hermann

Frobenius, Georg

LudwigHammer, E.

Jelinek, Laurenz

Kraft, A.Markusche-

witsch, A.Rohrbach, C.l Schultz, E.

Waage, Eugen

Albrecht, Theodor

Bürgi Fulst, OttoHantschl,

Joseph

Jocher, Wolfgang

vonKüster, F.W. Martens, H.

Rottmann, Karl

Schulz, PaulWittstein, Theodor

August, Ernst Ferdinand

Bremiker, CarlGauss, Carl Friedrich

Hartenstein, H.

Johnscher, Alphons

Küstner, Herbert

Matthiessen, Erhard Adolph

Rühlmann, Moritz

Seemiller, Hermann+

Adolf

Wolff, Christian

Autoren-kollektiv

Bruhns, Christian

Gernerth, August

Heger, R.Jordan,

Wilhelm

Lambert, Johann

Heinrich Matzek, Franz

Schaefer, Werner

Sicken-berger, A.

Zech, Julius

Bauschinger, Julius

Brunn, JosephGiese, Gustav

Hertzer, Hugo

Kewitsch, Georg

Laub, Josef; Minsinger,

FranzSchärf, Julius

Sieber, Helmut

Mühlbauer, Paul

Peters, Johann

TheodorCohn, Berthold Girndt, M.;

Hobert, Johann Philipp

Kleyer, Adolph

Schärf, JuliusMocnik, Franz

Ritter vonWörle, Helmut

Stampfer, Simon

Zimmer-mann,

LudwigBecker, Ernst Emil Hugor

Crüger, PeterLiebmann,

A.Kepler,

JohannesKoch, Albert Leder, Ernst

Morawetz, Johann

Schlömilch, Oskar

Steinhauser, Anton

Beyrodt, Gustav;

Dietrichkeit, O.Gravelius,

H.Ideler, Louis

Putschbach, Rolf

Ligowski, W. Müller, FritzSchmidt,

Georg Gottlieb

Strauchius, Aegidius

Küstner, Herbert

Domke, F.Greve, Adolf

Nell, A.M.Köhler,

Heinrich Gottlieb

Lindner, Ignaz

Oppolzer, Theodor

Schnellinger, Josef

Treutlein, P.

Börgen, C.Eilmann, Mauritz

Grüson, Johann Philipp

Hoffmann, Johann Josef

Ignaz vonKoitzsch, R.

Lötzbeyer, Philipp

Pasquich, Johann

Schrön, Ludwig

Ursinus, Benjamin

Bornitz, Ulrich;

Faulhaber, Johannes

Gundel-finger, S.

Horn, AlfredKoschemann,

Otto; Ludwig, Emil

Prasse, Moritz von

Schubert, Hermann

Vega, Georg

21Klaus Kühn

Rechnen wie damals 22.10.2012Rechnen wie damals 22.10.2012 Klaus Kühn 22

Tafelmacheranlässe


Logarithmentafelmacher –ihre Verdienste

• Logarithmentafeln enthielten anfänglich die Geschichte der Logarithmen und viele, genaue Erklärungen (diese fielen später weg – Druckkostenerparnis)

• Viele Beispielaufgaben, um Anwenderkreis zu erhöhen

• Rechenverständnis vermittelt durch praktische (kaufmännische) Aufgaben mit Lösungswegen

• Anpassung an die Genauigkeitserfordernisse –neue Berechnungsmethoden, Stellenzahl, Lesbarkeit

• Tafeln waren fast 400 Jahre im Einsatz (Werte wurden auch kopiert oder verkürzt)

• Anpassung an Schulbedürfnisse– weniger Stellen, weniger Umfang (transportierbarer und preiswerter)

23Klaus Kühn


Logarithmendarstellung –Napier vs Wandtafel 4stellig

24Klaus Kühn

Beispiel 2: lg 2 = 0,3010; lg 20 = 1,3010; lg 2000 = 3,3010; lg 0,2 = 0,3010 - 1


Berechnung von Logarithmen mit natürlichen Logarithmen

(nach William Oughtred im Appendix von Edward Wright: A Description of the Admirable Table of Logarithms; 1618 2. Auflage)


Logarithmenberechner


Berechnung von Logarithmen mit Potenztafeln

(nach Adolf Greve: Fünfstellige logarithmische und trigonometrische Tafeln nebst einer größeren Anzahl von Hilfstafeln; 1897)


Berechnung von Logarithmen mit Potenztafeln (nach Greve 1897)

(8-stellig)


Berechnung von Logarithmen

31Klaus Kühn


Berechnung von Logarithmen

• Napier, Bürgi, Kepler, Vega, Peters und andere haben jeder eine eigene (sehr zeitaufwändige und genaue) Methode benutzt

• Wurzelmethode (nachvollziehbar und einfach)

32Klaus Kühn

2� = 1024~1000 = 10�

2� = 10�

2 = 10��

2 = 10�

��

log 10 � = �

��= 0,3

3� = 19683~20000 = 2 ∗ 10000

10�

�� * 10� =10�,�

3� = 10�,�

3 = 10�,��

= 10�,�

� = 10�,��

log 10 3 = 0,48

log 10 6 = ?log 10 5 = ? log 10 7 = ? log 10 8 = ?log 10 4 = ?


Logarithmen - Stellenzahl

Vega Thesaurus 1794

10-stellig (Wissenschaft)

Folio 305 Seiten (N5)

305*300 = 91.500 Werte

Bauschinger+Peters 1910

8-stellig (Astronomie)

~DIN A4 360 Seiten 100.000 - 200.000 N6 (Seite 2 – 203)

20.000 – 100.009 N5 (Seite 204 - 363)

362*510= 184.620 Werte

Gauß (Gauss; Gausz) FG 1870

5-stellig (Schule)

~ DIN A5 18 Seiten (N4)

18*510=9.180 Werte


Logarithmen – Tafeln anderer Länder

Hindiziffern der Araber

des Ostens

(Kein Autor; Stammt aus

Constantinopel; 1846)

S. Pineto

St. Petersburg

1871F.G. Gauss : China


Logarithmentypenhttp://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/funktion/leit06.pdf

Warum ist der Einsatz von lg vorteilhafter als der von ln oder ld ?

Der gewöhnliche oder Briggsche Logarithmus lg wird durch die Mantisse bestimmt, die den Logarithmus der Ziffernfolge angibt. Die Kennziffer gibt die Anzahl der Stellen vor dem Komma an.

Beispiel2: lg 2 = 0,3010; lg 20 = 1,3010; lg 2000 = 3,3010; lg 0,2 = 0,3010 - 1

lg = dekadischer Logarithmus

ln = Neperscher Logarithmus

ld = lb = binärer oder Boolscher Logarithmus

Vollständiger Logarithmus = Kennziffer + Mantisse

Ca. 1985


LogarithmentypenFortsetzung

Antilogarithmen

Additions- und Subtraktionslogarithmen (Gaussische Logarithmen)

Diskrete Logarithmen

Cologarithmen

Logistische Logarithmen

Hyperbolische Logarithmen

Diurnal-Logarithmen; Ternär-Proportions-Logarithmen

Parabolische Logarithmen – Brendel; S. Günther


Logarithmen und ihre Anwendungen


Logarithmen – Anwendungen im Alltag

38Klaus Kühn

• Zinseszins; Inflation; Kaufkraft• Raketengeschwindigkeit unter Berücksichtigung des gravitationsfreien

Vakuums• Richterskala - Darstellung der Größenordnungsunterschiede, z.B. um wie viel

ist ein Erdbeben der Stärke 9 stärker als eines mit der Stärke 8,25 ?• (Bakterien) Bevölkerungs-Wachstum• pH-Wert -- Mit wie viel Wasser muss ich wie viel Aquarium/Lösung

verdünnen, um auf pH xy zu kommen ?• Rdioaktiver Zerfall • Astronomie; Helligkeit der Sterne; Lichtintensität• Medikamentenabbau• Benfords Gesetz (dient zur Aufdeckung von Datenfälschung)• Landvermessung (Geodäsie); Barometrische Höhenformel• Akustik; Dezibel - Wie laut (dB) ist eine Stimme im Vergleich zu einem Chor ?• Optometrie………• Rechenschieber von 1620 bis 1975


Zinseszins http://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/funktion/leit06.pdf


Zinseszins

Aus A.P.L. Claussen: Die Logarithmen und ihre Anwendung , Knapp Verlagsbuchhandlung Leipzig 1878


Zinseszins http://www.mathe-online.at/nml/materialien/SkriptumBlaha/KAP-09.pdf

Beispielrechnung:

log 1,04 = 0,01703334; 1,04 45 = 45 * log 1,04 = 45 * 0,017 = 0,766.500.27

num log 0,766550027 = 5,841.175


Inflationhttp://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/funktion/leit06.pdf


Kaufkraftvergleichhttp://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/funktion/leit06.pdf


Bevölkerungswachstumhttp://www.mathe-online.at/nml/materialien/SkriptumBlaha/KAP-09.pdf

log a =

�∗ log

#,�

$=

�* 0,13300636

num log a = 0,01662579

a = 1,03902452


Lichtintensitäthttp://www.mathe-online.at/nml/materialien/SkriptumBlaha/KAP-09.pdf

% = 0,93�,&' = 3,75 * log 0,93


Tablettenwirksamkeithttp://www.mathe-online.at/nml/materialien/SkriptumBlaha/KAP-09.pdf


Die Richter Skala –ein Maß für die Erdbebenstärke

Klaus Kühn 47

Aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Richterskala

Der angegebene Wert, die Magnitude Local (ursprünglich für Kalifornien) oder Größenklasse, leitet sich aus dem dekadischen Logarithmus der maximalen Amplitude (Auslenkung) im Seismogramm ab. Die Bestimmung der Magnitude erfolgt nach folgender Beziehung[1]:

wobei Amax den maximalen Ausschlag in Mikrometer (µm) angibt, mit der ein kurzperiodisches Standardseismometer (Wood-Anderson-Seismograph) ein Beben in einer Entfernung von 100 km zum Epizentrum aufzeichnen würde. Der Bezug muss zwecks Korrektur gegebenenfalls auf die Verhältnisse für Beben in abweichenden Entfernungen angepasst werden. Dazu wird die Dämpfung der Amplitude berücksichtigt, die wiederum von der regionalen Geschwindigkeits- und Dämpfungsstruktur, vom Alter der Erdkruste und deren Zusammensetzung, von der Herdtiefe sowie von den Wärmeflussbedingungen abhängt. Streng genommen sind diese Kalibrierungsfunktionen nach Richter nur für Südkalifornien gültig und müssen für andere Regionen der Erde gesondert bestimmt werden[1].Wegen des dekadischen Logarithmus bedeutet der Anstieg der Magnitude um einen Punkt auf der Skala einen etwa zehnfach höheren Ausschlag (Amplitude) im Seismogramm und näherungsweise die 32-fache Energiefreisetzung (exponentielles Wachstum) im Erdbebenherd. Eine Magnitude von zwei oder weniger wird als Mikroerdbeben bezeichnet, da es von Menschen oft nicht wahrgenommen werden kann und nur von lokalen Seismographen erfasst wird. Beben mit einer Stärke von etwa 4,5 und höher sind stark genug, um von Seismographen auf der ganzen Welt erfasst zu werden. Allerdings muss die Stärke über 5 liegen, um als mäßiges Erdbeben angesehen zu werden.


Die Richter Skala –ein Maß für die Erdbebenstärke

Klaus Kühn 48

1935 entwickelte der US-Seismologen Charles Francis Richter (*1900, +1985) ein Verfahren zur Bewertung der Stärke (Magnitude) von Erdbeben. Als Maß für die Stärke wählte er den Ausschlag eines fiktiven Seismographen, der in einer Entfernung von 100 km vom Erdbebenzentrum (Epizentrum) aufgestellt ist. Tatsächlich sich ereignende Erdbeben werden dann auf diese Standardsituation umgerechnet.

Die Richter-Skala ist nicht linear sondern logarithmisch zur Basis 10: d.h die Stärke wächst exponentiell zur Basis 10. Die jeweils nächst höhere Stufe entspricht einer 10-mal größeren Erdbebenstärke: ein Beben der Stufe 4 z.B. ist 10/100/1000 mal so stark wie ein Beben der Stufe 3/2/1.Rechenbeispiel 1:Die Kernkraftwerke in Japan sind ausgelegt für eine Magnitude bis maximal 8,25. Das Beben mit Magnitude 9,0 in Japan am 11.3.11 war 5,6 mal so stark.

109,0 / 108,25 = 109,0 - 8,25 = 100,75 = 5,6 (5,6 mal !! und nicht 9 : 8,25 = nur 1,09 mal stärker)

Aus geophysikalischen Zusammenhängen folgt, dass die bei Erdbeben freigesetzte Energie sogar exponentiell zur Basis 32 wächst: Von einer Stufe zur nächsten entlädt sich jeweils 32 mal mehr Energie: Die freigesetzte Energie z.B. auf Stufe 4 ist 32/32²/32³, also 32/1024/32768 mal so groß wie die Energie auf Stufe 3/2/1.Rechenbeispiel 2:Die Kernkraftwerke in Japan sind ausgelegt für eine Magnitude bis maximal 8,25. Das Beben mit Magnitude 9,0 in Japan am 11.3.11 setzte 13,5 mal so viel Energie frei.: 329,0 / 32 8,25 = 32 9,0 - 8,25 = 32 0,75 = 13,5

Die Richter-Skala ist zwar prinzipiell nach "oben offen". Mehr als der Wert 10 ist aber nicht realistisch: bei dieser Stärke müsste ein ganzer Kontinent aufreißen. Bei Stärke 100 würde rein rechnerisch soviel Energie freigesetzt, dass die ganze Erdkugel zerbrechen müsste.

Aus: http://www.agenda21-treffpunkt.de/lexikon/Richter-Skala


Astronomie

Klaus Kühn 49

Aus A.P.L. Claussen: Die Logarithmen und ihre Anwendung , Knapp Verlagsbuchhandlung Leipzig 1878

Einsatz der Gaussischen Logarithmen für die Winkelbestimmung mit

trigonometrischen Logarithmen


Logarithmische Formeln aus den Naturwissenschaften

Klaus Kühn 50

Aus: www.rechenschieber.org RS Brief 20, 2009


Logarithmen – Vorkommen in der Natur

• Logarithmische Spirale– Nautilus Schnecke– Sonnenblume– “Nachtfalter fliegt logarithmische Spirale“

me-lrt.de/a21-nachtfalter-laterne-mondlicht-flugbahnEin Nachtfalter orientiert sich bei seinen nächtlichen Flügen am Stand des Mondes. Er fliegt geradeaus, wenn das Mondlicht unter einem konstanten Winkel α in sein Auge fällt.

• Weber-Fechner-Gesetz• Musik (“Rechnen mit Tönen“)• Wachstum generell (ln = logarithmus naturalis)

51Klaus Kühn


Logarithmen – Vorkommen in der Natur

• Nautilus Schneckehttp://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Spirale

52Klaus Kühn

Animierte Spiralen: http://demonstrations.wolfram.com/LogarithmicSpiral/

r = Radius φ = Winkel (Bogenmaß)a = Konstante k = Steigung


Logarithmen –Vorkommen in der Natur

• Weber-Fechner-Gesetz der Sinne (Zusammenhang zwischen Reiz und Empfindung)http://www.st-stephan.de/gymnasium/faecher/fachschaften/physik/facharbeiten/weber-fechner-1.pdf

53Klaus Kühn

“Wenn sich die

Empfindung in

gleichen Schritten

erhöhen soll, dann

müssen die

entsprechenden Reize

in einem konstanten

Verhältnis erhöht

werden, d.h. in einer

geometrischen Reihe.“

nach Eli Maor


Eine logarithmische Kurve/Tabelle

Ton C

Silbermann_Orgel StGeorgenRötheSeptember 2012 StBenno Kalender

Stahlguth_OrgelMaria LaachNovember 2012 StBenno Kalender

Modernes Orgelpositiv Tafel31 in Orgelbau W_Adelung 1972

aus Hans Cousto – Die Oktave; 1987


Antworten zu Logarithmen

• Seit wann gibt es Logarithmen ? – Michael Stifel 1544

• Wann wurde die erste Logarithmentafel veröffentlicht ?

– 1614, berechnet von dem Schotten John Napier

• Was sind Logarithmen und was haben sie bewirkt ?

– Logarithmen sind Rechenhilfen

– Sie haben das Rechnen mit großen Zahlen erheblich vereinfacht (Multiplikation => Addition; etc.)

• Welche Rechenhilfsmittel enthalten Logarithmen ?

– Logarithmentafeln, Rechenschieber, Taschenrechner

• In welchen Bereichen des Lebens spielen die Logarithmen –immer noch - eine Rolle ?

– Kaufmännisch; Wissenschaftlich; Technisch

– In der Natur (logarithmus naturalis mit der Basis e)55Klaus Kühn


Logarithmen – QuellenauswahlTitel Autor Verlag Jahr

Die Zahl e – Geschichte und Geschichten Eli Maor Birkhäuser 1996

Katechismus der Logarithmen Max Meyer J.J. Weber 1898

Die Logarithmen und ihre Anwendung A.P.L. Claussen G. Knapp 1878

Lehrbuch der Logarithmen A. Kleyer Julius Maier 1884Logarithmen für Jedermann – Elementare Einführung mit Hinweisen auf höhere Gesetzmässigkeiten

Ernst Bindel; Verlag freies Geistesleben 1954

Fünfstellige logarithmische und trigonometrische Tafeln nebst einer größeren Anzahl von Hilfstafeln Adolf Greve Carl Meyer 1897

Österreichische Mathematiker um 1800 Gerlinde Faustmann ÖKK, Wien 1992

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmen 2012http://www.britannica.com/EBchecked/topic/346146/logarithm 2012

http://www.rechnerlexikon.de/artikel/Cyclopedia_of_logarithms 2012

http://www.rechenschieber.org/ 2012

Mathematik für Alle (Mathematics for the Million) Lancelot Hogben Büchergilde >1937

Geschichte der Elementarmathematik 4. Auflage Band 1 Johannes Tropfke De Gruyter 1980

Der Logarithmus – Einführung und Anwendungen Karl RöttelBayerischer Schulbuch V.

1975 + 1979

Logarithmentafeln in vielen Sprachen – seit 1614 viele viele

56Klaus Kühn


Danke für die Aufmerksamkeit !

Klaus Kühn 57

log (o*u*t) = ?

www.rechnerlexikon.dewww.rechnerlexikon.de/artikel/K%FChn_/_Weiss_Rechnen_wie_damals_2012

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