1

• Direkte Verfahren: Das Überlagerungsprinzip

• Das Randwertproblem: Lösung durch Separation der Variablen

• Die Spiegelungsmethode: Randwertproblem mit speziellen Symmetrien

• Grafische Verfahren: Das Verfahren von Lehmann

• Seminanalytische Methoden: Das Ersatzladungsverfahren

• Numerische Methoden: Die Methode der finiten Differenzen

Lösung elektrostatischer Feldprobleme Übersicht einiger Lösungsverfahren

Analytisch

Numerisch

(Kontinuierliche Raum- und Feldbeschreibung)

(Diskretisierte Raum- und/oder Feldbeschreibung)

-172-

• Im unendlich ausgedehnten, freien Raum ohne «Ränder» (ausser dem Quellen- gebiet V‘).

• Das Medium des Raumes ( ) ist linear; es gilt das Superpositionsprinzip.

• Die Potentiale der infinitesimalen Teilladun- gen dQ im Quellengebiet dürfen überlagert

werden.

• Die direkte Lösung ergibt sich aus dem Coulomb-Integral (Folie 31) bezüglich der Raum-, Flächen-, oder Linienladungsdichte.

Das Überlagerungsprinzip I Das direkte Lösungsverfahren

dQ = r( ) dV

r( ) =1

4

r( )r rV

dVBis auf Widerruf werden Feldprobleme für die «einfachere Feldgrösse», d.h. für das (skalare) Potentialfeld gelöst.

-173-

2

• Geladener, unendlich dünner Ring C‘ mit der Linienladungsdichte befindet sich im Vakuum.

• Gesucht: Das Potential im Punkt P, d.h. (zP) bzw. entlang der z-Achse.

Das Überlagerungsprinzip II Beispiel: «Geladener Ring»

z( ) =1

4 0 r rds

C

=1

4 0 02+ z2

0 d0

2

= 0 2

4 0 02+ z2

= 0

2 0 02+ z2

RP P = r r = 02+ z2

ds = ds = 0 d

-174-

Das Überlagerungsprinzip III Beispiel: «Geladener Ring»

E z( ) = grad z( ) =d z( )dz

ez =0 z

2 0 02+ z2( )

3 ez

-175-

3

Das Randwertproblem I Feldgleichungen der Elektrostatik

E dl = 0 rotE = 0

(1) Rekapitulation der Grundgleichungen der Elekrostatik:

D dFV

= dVV

divD =

(A) Integralform: (B) Differentialform:

E dl = E = grad

Konservatives Feld ist die Voraussetzung für

Das Potentialfeld (als ein- fachere Repräsentation des statischen E-Feldes).

Der Satz von Gauss (Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes).

D = E

D = E

Die Materialgleichung.

Beziehung ortsunabhängiger, physikalisch messbarer Grössen.

«Echte» Feldtheorie für lokal definierte Feldgrössen.

-176-

div grads( ) = divs

x,s

y,s

z=

2s

x2+

2s

y2+

2s

z2:= s

div grads( ) = s

=2

x2+

2

y2+

2

z2= = =

2Der Laplace-Operator

Das Randwertproblem II Feldgleichungen der Elektrostatik (2) Zur Vektoranalysis:

div s v( ) = v grads + s divv v : s :Vektorfeld Skalarfeld

Nabla-Operator

Korrekte Schreibweise

Häufig verwendete Schreibweisen

-177-

4

+grad

grad ==const.

=

= 0= 0

Vakuum

Das Randwertproblem III Feldgleichungen der Elektrostatik (3) Grundgleichungen der Potentialtheorie:

Ziel: Es ist eine partielle Differentialgleichung zu finden, welche alle Grundgleichungen der Elektrostatik erfüllt.

Die Poisson- Gleichung.

divD = div E( ) = div grad[ ]( )= grad grad div grad( )

= grad grad =

Die Laplace- Gleichung.

homogen, isotrop

grad ln( )

-178-

Feldgleichung im Feldraum

Das Randwertproblem IV Lösen der Laplace-Gleichung (1) Allgemeine Struktur der Problemstellung:

= 0

r( ) = f1 r( )

n= f2 r( )

r G

r G1

r G2

Dirichlet‘sche Randbedingung

Neumann‘sche Randbedingung

(2) Allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung in karthesischen Koordinaten:

=

2

x2+

2

y2= 0 x, y( ) := X x( ) Y y( )

Separation der Variablen mittels Produkteansatz

Randbedingung für die Normal-komponente des E-Feldes

-179-

5

=

2

x2+

2

y2= 0 Einsetzen x, y( ) := X x( ) Y y( )

Y2X

x2+ X

2Y

y2= 0

1

XY 1

X

2X

x2

nur Funktion von x

+1

Y

2Y

y2

nur Funktion von y

= 0

Das Randwertproblem V Lösen der Laplace-Gleichung (2) Allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung in karthesischen Koordinaten:

Die zwei Teilfunktionen können die Gleichung nur dann erfüllen, wenn jede der Teilfunktionen konstant ist.

1

X

2X

x2= kx

2 1

Y

2Y

y2= ky

22X

x2+ kx

2 X = 02Y

y2+ ky

2 Y = 0

kx2+ ky

2= 0 kx

2+ ky

2= 0

-180-

Das Randwertproblem VI Lösen der Laplace-Gleichung (2) Allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung in karthesischen Koordinaten:

(A) Verschwindende Konstanten kx = ky = 0:

2X

x2+ kx

2 X = 02Y

y2+ ky

2 Y = 0

kx2+ ky

2= 0

2X

x2= 0 X x( ) = a0 + a1 x

2Y

y2= 0 Y y( ) = b0 + b1 y

x, y( ) = X x( ) Y y( ) = c0 + c1 x + c2 y + c3 x y (H-1)

-181-

6

Das Randwertproblem VII Lösen der Laplace-Gleichung (2) Allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung in karthesischen Koordinaten:

(B) Nichtverschwindende Konstanten:

kx = ±k : reell

ky = ± jk : imaginär

2X

x2+ k2 X = 0

X x( ) = a1 cos k x( ) + a2 sin k x( )

X x( ) = a1 ej k x

+ a2 ej k x

äquivalente Lösungen

2Y

y2k2 Y = 0

Y y( ) = b1 ek y

+ b2 ek y

Y y( ) = b1 cosh k y( ) + b2 sinh k y( )

äquivalente Lösungen

-182-

Das Randwertproblem VIII Lösen der Laplace-Gleichung (2) Allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung in karthesischen Koordinaten:

(B) Nichtverschwindende Konstanten:

kx = ±k : reell

ky = ± jk : imaginärx, y( ) = X x( ) Y y( )

x, y( ) = a1 cos k x( ) + a2 sin k x( ) b1 ek y

+ b2 ek y( ) (H-2)

(C) Nichtverschwindende Konstanten:

Diese Lösung erhält man analog zu (H-2) durch vertauschen von kx ky.

kx = ± jk : imaginär

ky =± k : reell

x, y( ) = c1 ek x

+ c2 ek x( ) d1 cos k y( ) + d2 sin k y( ) (H-3)

-183-

7

Das Randwertproblem IX Lösen der Laplace-Gleichung (2) Allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung in karthesischen Koordinaten:

(D) Die zwei allgemeinen Lösungen:

Im allgemeinen Fall sind mehr als ein Eigenwert kn ( n = 1,2,…) möglich. Die allge- meine Lösung der Laplace-Gleichung ergibt sich dann als Superposition oder jede andere Kombination der (harmonischen) Teillösungen (H-1) bis (H-3):

x, y( ) = p0 + p1 x( ) q0 +q1 y( ) +

+ an cos kn x( ) +bn sin kn x( ) cn ekn y

+dn ekn y( )

n=1

(H-4)

Die zugehörige zweite Gesamtlösung (cf. Folie 183) erhält man durch ver-tauschen der Variablen x y und umbenennen der Koeffizienten an, bn, cn, dn. Die Lösungen der Laplace-Gleichung sind harmonische Funktionen.

(H-5)

-184-

Das Randwertproblem X Lösen der Laplace-Gleichung (3) Erweiterung der allgemeinen Lösungen für räumliche Probleme:

(E) Das dreidimensionale karthesische Koordinatensystem: Die Erweiterung von (H-4) und (H-5) auf drei Dimensionen ist direkt über den entspre-chenden Produkteansatz erhältlich:

(H-6)

x, y, z( ) = X x( ) Y y( ) Z z( )

x, y, z( )= p0 + p1 x( ) q0 +q1 y( ) r0 + r1 z( ) +

+ an cos knx( ) x( ) +bn sin kn

x( ) x( ){m=1n=1

cm cos kmy( ) y( ) +dm sin km

y( ) y( )

gnm eknmz( ) z

+hnm e knmz( ) z( ) knm

z( )= kn

x( )2+ km

y( )2

Zwei weitere Lösungen durch entsprechendes vertauschen erhältlich!

mit:

-185-

8

Das Randwertproblem XI Lösen der Laplace-Gleichung (3) Erweiterung der allgemeinen Lösungen für räumliche Probleme:

(F) Zylinderkoordinaten (axialsymmetrische Probleme):

(H-8)

r, , z( ) = R r( ) ( )

r, , z( )= p0 + p1( ) q0 +q1 ln r( )( ) +

+ an rn+bn r

n( ) cn cos n( ) +dn sin n( )n=1

Legendre-Polynome erster (Pn) und zweiter (Qn) Art.

r, ,( )= p0 + an rn+bn r

n+1( )( ) cn Pn0 cos( )+dn Qn

0 cos( )n=0

(G) Kugelkoordinaten (ohne azimutale Abhängigkeit):

(H-7)

-186-

Das Randwertproblem XII Beispiel: «Schiefwinkliger Plattenkondensator»

= 0 r,0( ) = 0

r, 0( ) = V + 0

Randeffekte vernachlässigen !

r,( ) = a0 +a1r,0( ) = a0 := 0

a0 = 0

r, 0( ) = 0 + a1 0 :=V + 0

a1 =V

0

(H-1), (H-7)

r,( )= 0 +V

0

(PDG) (RB)

Allgemeine Lösung

-187-

9

Das Randwertproblem XIII Beispiel: «Schiefwinkliger Plattenkondensator»

Das elektrische Feld:

r, 0( ) = 0 +V

0

E = grad =1

re

=1

r 0 +V

0

e

=V

r 0

e Randeffekte vernachlässigt !

E r,( ) =V

r 0

e

-188-

• Unendlich langer, einseitig abgeschlossener, metallischer Kanal.

• Das umgebende Medium ist Vakuum.

• In den Ecken stehen sich die Wände sehr nahe aber berühren sich nicht.

Das Randwertproblem XIV Beispiel: «Leitende Kanalanordnung»

= 100V

x

y

= 0V

0 a

= 0V

0

= 0 0, y( ) = 0 y 0,[ [

a, y( ) = 0 y 0,[ [x,( ) = 0 x 0,a[ ]

x,0( ) = 0 x 0,a[ ](PDG) (RB)

-189-

10

(1) Allgemeiner Lösungsansatz:

Das Randwertproblem XV Beispiel: «Leitende Kanalanordnung»

x, y( ) = a1 cos kn x( ) +a2 sin kn x( ) b1 ekn y

+b2 ekn y( ) (H-2)

(2) (RB-1):

0, y( ) = 0 = a1 cos kn 0( ) b1 ekn y

+b2 ekn y( ) a1 = 0

x, y( ) = a2 sin kn x( ) b1 ekn y

+b2 ekn y( )

(3) (RB-3):

x,( ) = 0 = limy

a2 sin kn x( ) b1 ekn y

+b2 ekn y( ){ } b1 = 0

x, y( ) = a2 sin kn x( ) b2 ekn y

-190-

Das Randwertproblem XVI Beispiel: «Leitende Kanalanordnung» (4) (RB-2):

a, y( ) = 0 = a2 b2 sin kn a( ) e kn y kn =n

an = 1,2,…

x, y( ) = a2 b2A

sin na x( ) e

na y

(5) (RB-4):

x,0( ) = 0 = 100V = A sin na x( )

x, y( ) = An sinna x( )

n=1

ena y

Der gewählte Ansatz kann die Randbedingung für beliebige Werte von x nicht erfüllen. Es müssen daher mehrere Eigenwertlösungen zur Funktion beitragen:

Reihenansatz.

-191-

11

0 =100V

x0 aa

0

Das Randwertproblem XVII Beispiel: «Leitende Kanalanordnung»

(5) (RB-4):

Wahl des geeigneten Reihenansatzes erfolgt nach dem Kriterium, dass der Reihenansatz die Randbedingung (RB-4) auch in den Punk-ten x = 0 und x = a erfüllen muss. Der Rand wird deshalb ungerade periodisch fortgesetzt, damit die Grenzwerte der Fourier-Reihe an den Sprungstellen jeweils = 0 betragen.

Reihenansatz Fourier-Reihe:

x,0( ) = An sin2 n2 a x( )

n=1

An =2 0

n1 1( )

n

Merke: Eine alternative Berechnung der Entwicklungskoeffizienten erfolgt z.B. über die sogenannte Momentenmethode (Folie 293).

-192-

Das Randwertproblem XVIII Beispiel: «Leitende Kanalanordnung»

(6) Die allgemeine Lösung für das Potentialfeld:

x, y( ) =2 0 1 1( )

n

nsin n

a x( )n=1

ena y

(7) Die allgemeine Lösung für das elektrische Feld:

E x, y( ) = grad =2 0

a1 1( )

ncos n

a x( )n=1

ena y ex

2 0

a1 1( )

nsin n

a x( )n=1

ena y ey

-193-

12

Das Randwertproblem XIX Beispiel: «Leitende Kanalanordnung»

-194-

rot rot v = v( ) = v( ) ( )v = graddivv v

v = graddivv rot rot v Frage: Wie kann der«vektorielle» Laplace- Operator direkt berechnet werden?

Vektoranalysis I Der Laplace-Operator für ein Vektorfeld (1) Aus der Vektorrechnung:

u v w( ) = u w( )v u v( )w

u v( ) w = u w( )v v w( )u

= v u w( ) u v( )w

(2) Zum Laplace-Operator:

rot v =

ex ey ez

x y z

vx vy vz

= exvzy

vyz( )

ax

+ eyvxz

vzx( )

ay

+ ezvyx

vxy( )

az

-195-

13

Vektoranalysis II Der Laplace-Operator für ein Vektorfeld (2) Zum Laplace-Operator:

rot rot v = rot exvzy

vyz( )

ax

+ eyvxz

vzx( )

ay

+ ezvyx

vxy( )

az

=

ex ey ez

x y z

ax ay az

rot rot vx=

azy

ayz( )= y

vyx

vxy( ) z

vxz

vzx( )=

2vxy2

2vxz2+

2vyx y +

2vzx z

graddivvx= grad vx

x +yyy +

vzz( )

x= x

vxx +

yyy +

vzz( )=

2vxx2+

2vyx y +

2vzx z

(A) Erste «Vorstudie»:

(B) Zweite «Vorstudie»:

-196-

Vektoranalysis III Der Laplace-Operator für ein Vektorfeld (2) Zum Laplace-Operator:

v = graddivv rot rot v =

vxvyvz

graddivvx= grad vx

x +yyy +

vzz( )

x= x

vxx +

yyy +

vzz( )=

2vxx2+

2vyx y +

2vzx z

graddivv rot rot v( )x=

2vxx2+

2vyx y +

2vzx z

2vxy2

2vxz2+

2vyx y +

2vzx z( )

=2vxx2+

2vxy2+

2vxz2= vx

(C) Auf alle drei Raumdimensionen erweitert:

Merke: (1) Der skalare und der vektor- ielle Laplace-Operator sind unterschiedlich definiert.

(2) Bei anderen Koordinatensys- temen gelten nur die Definition-

en der rechten Seite.

-197-

14

v = grad + rotA : A :

Vektoranalysis IV Das Poisson‘sche Theorem (1) Die Poisson‘sche Vektoridentität:

Skalares Potential

v =1

4

graddivv rot rot v

r rdV

V

=1

4

v

r rdV

V

(2) Einführen von Potentialen (als reine Hilfsgrössen):

Vektorpotential

grad + rotA =1

4

graddivv

r rdV +

1

4

rot rot v

r rdV

VV

=1

4

divv

r rdV + 0

V

A =1

4

rot v

r rdV

V

+ A0

v =O r r2( )

-198-

• Die Poisson-Gleichung ist eine inhomogene partielle Differentialgleichung.

• Zusammengesetzte Lösung.

Das Randwertproblem XX Die Lösung der Poisson-Gleichung (1) Struktur der Problemstellung:

=

r( ) = f1 r( )

n= f2 r( )

r V

r G1

r G2

(2) Die Lösung der Poisson-Gleichung:

= partikulär + homogen

(Allg.) Lösung der homogenen Gleichung (Laplace-Gleichung).

Partikuläre Lösung der Poisson-Gleichung

-199-

15

Das Randwertproblem XXI Die Lösung der Poisson-Gleichung (3) Lösung mit Hilfe des Poisson‘schen Theorems:

Frei wählbar, denn es hat keinen Einfluss auf das Vektor-(E)-Feld. Wahl von A0, 0 heisst Eichfreiheit.

=1

4

divv

r rdV + 0

V

v:=E

=1

4

div E( )r r

dV + 0

V

A =1

4

rot v

r rdV

V

+ A0

v:=ErotE=0

A = A0 :

=1

4 r rdV + 0

V

=1

4 r rdV + 0

V

Coulomb-Integral (Folie 31, 173). «Inverser Operator» zum Laplace-Operator!

div E( ) = div grad( ) =

(cf.Folie 198)

-200-

Das Coulomb-Integral ist eine partikuläre Lösung der Poisson-Glei-chung. Das Überlagerungsprinzip (Folie 173) ist demnach äquiva-lent zur direkten Ermittlung der entsprechenden partikulären Lösung.

Das Randwertproblem XXI Die Partikuläre Lösung der Poisson-Gleichung

=1

4 r rdV + 0

V

(4) Die partikuläre Lösung des Poisson-Problems:

=

= 0 Ergibt lediglich die unbestimmte, frei wählbare Lösung der «Konstante»:

= 0

=1

4 r rdV + an n

H

n=0V

(5) Die vollständige Lösung des Poisson-Problems: Die homogene Lösung H, d.h. die Lösung der Laplace- Gleichung, gehört hier auch zur Menge der «wählbaren» Lösungen !

-201-

16

Das Randwertproblem XXII Schlussbetrachtungen

=1

4 r rdV

V

partikulär

+ an nH

n=1

homogen

• Die homogenen Lösungen, welche durch Separation der Variablen (Produkteansatz) erzielt wurden, sind spezifisch für das gewählte Koordinatensystem.

• Ein exaktes Verfahren zur Lösung von Randwertproblemen liefert die Methode der Green‘schen Funktionen. Die Methode liefert einen (a) modifizierten Integralkern und (b) einen Ersatz für den Summenterm in , wobei (a) von der Raum- und (b) von der Randgeometrie abhängen.

• Nur wenige, speziell gestaltete Randwertprobleme sind analytisch über- haupt lösbar! Der Zoo an Lösungsmethoden ist dementsprechend gross!

Allgemeine Lösung des

Poisson-Problems

-202-

• Anordnung von n leitenden Körpern (Elektroden) im Vakuum.

• Die im Feldgebiet auftretenden Feldlösun- gen sind eindeutig, falls eine der folgen- den drei Bedingungen erfüllt ist:

(A) Das Potential i ( i = 1,…,n) auf jeder Elektrodenoberflächen ist gegeben.

(B) Die Gesamtladung Qi ( i = 1,…,n) auf allen Elektroden ist bekannt.

(C) Für eine gewisse Anzahl der Elektro- den ( i = 1,…,k) ist das Potential i, für die restliche Anzahl ( i = k+1,…,n) ist die Gesamtladung Qi bekannt.

Eindeutigkeit der Lösungen I Zum Feldgebiet

(1) Bedingungen an das Feldgebiet:

Das Feldgebiet wird durch die geschlos-sene Hülle A = {A1,…, An, A } zu einem eindeutig zusammenhängenden Gebiet.

-203-

17

Eindeutigkeit der Lösungen II Zur Vektoranalysis (1) Vektoridentitäten (Folie 177):

div s v( ) = v grads + s divv

div grads( ) = s

(2) Für das Potentialfeld :

s

v grad

div grad( ) = grad grad + ==0

grad( )2

div grad( ) = grad( )2

v : s :Vektorfeld Skalarfeld

-204-

Eindeutigkeit der Lösungen III Zur Vektoranalysis (3) Integralbeziehungen für das Feldgebiet:

=O r1( ) grad =O r

2( )grad =O r

3( ) A r( ) r2

limr

grad( ) n dAA

= 0

div grad( ) dVV

= grad( )2dV

V

grad( ) n dAdFA

= grad( )2dV

V

Satz von Gauss

Geschlossene Hülle A = {A1,…, An, A } Verhalten

entlang von A

Folie 112

-205-

18

grad( ) n dAA

= grad( ) ni dAiAii=1

n

= grad( )2dV

V

grad n =n ni

dAiAii=1

n

= grad( )2dV

V

(a) Integrationen entlang der «Schnittflächen» in den Hüllkurven kompensiert sich und können daher weggelassen werden.

(b) Zudem ergibt sich für die Integration entlang von A :

Es muss also nur über die einzelnen Elektrodenoberflächen Ai integriert werden:

Eindeutigkeit der Lösungen IV Zur Vektoranalysis (3) Integralbeziehungen für das Feldgebiet:

grad( ) n dAA

= 0

(cf. Folie 41)

-206-

I II( ) I II( )ni

dAiAii=1

k

+ I II( ) I II( )ni

dAiAii=k+1

n

=

= grad I II( )( )2dV

V

I = II := i; i = 1,…,k

I II( ) I II( )ni

dAiAii=k+1

n

= grad I II( )( )2dV

V

Betrachten der Bedingung (C): Für eine gewisse Anzahl der Elektroden ( i = 1,…,k) ist das Potential i, für die restliche Anzahl ( i = k+1,…,n)

ist die Gesamtladung Qi bekannt.

Eindeutigkeit der Lösungen V Indirekter Eindeutigkeitsbeweis (4) Ansetzen von zwei Lösungen I und II :

Verschwindet auf den Elektroden Ai i = 1,…,k

-207-

19

n12 DI ,II = n12 EI ,II = ni grad I ,II( ) = I ,II

ni=

I II( ) I II( )ni

dAiAii=k+1

n

= I II( ) I II dAiAii=k+1

n

=

= I II( ) I II dAiAii=k+1

n

=

= I II( )Qi,I Qi,II

i=k+1

n

= 0

Eindeutigkeit der Lösungen VI Indirekter Eindeutigkeitsbeweis (4) Ansetzen von zwei Lösungen I und II :

Die Elektrodenoberflächen Ai ist eine metallische Grenzschicht:

Potential ist konstant auf Ai

denn die Elektrode ist eine Äquipotentialfläche !

Gemäss Bedingung (C) ist die Gesamtladung Qi vorgegeben.

-208-

grad I II( )( )2dV

V

= 0

grad I II( )V= 0 EII EI = 0

EI EII inV

EI dlraI

r

= EI dlraII

r

I = II +C

I II inV

Eindeutigkeit der Lösungen VII Indirekter Eindeutigkeitsbeweis (5) Schlussfolgerung

Fazit: Nur (zwei) identische Felder können Lösungen des selben Randwertproblems sein: die Feldlösung des Randwert- roblems ist daher eindeutig!

C = I raI( )= 0raI

II raII( )= 0raII

-209-

20

• Für Randwertprobleme mit ideal leitenden Berandungen des Feldgebiets.

• Weder generelles noch allgemeines Verfahren.

Die Spiegelungsmethode I

Grundprinzip

Ideal leitender Rand sei die Äquipotentiallinie/-Fläche

= 0 V einer um entspre-chende Spiegelladungen ergänzten, aber wesentlich einfacher lösbaren Pro-blemkonfiguration.

Ladung Q über leitender Ebene

Ladung Q und Spiegelladung –Q

Spiegelung

-210-

Spiegelung ist nur dann eindeutig, falls gilt:

Die Spiegelungsmethode II Spiegelungen an ebenen leitenden Flächen (A) Spiegelung an einer Ecke: (B) Unendlichfache Spiegelung:

=n

n(ansonsten können Spiegelladungen «aufeinanderfallen»)

Führt sinngemäss auf unendliche Summen von Punktladungs- feldern

-211-

21

Gegeben:

• Leitende Kugel mit Radius R

• Punktladung +Q1 mit Abstand d = D–R

Gesucht:

• Ort und Grösse der Spiegelladung –Q2

Die Spiegelungsmethode III Spiegelungen an einer Kugeloberfläche

-212-

(A) Überlagertes Potential in P:

Die Spiegelungsmethode IV Spiegelungen an einer Kugeloberfläche

P( ) =1

4 0

Q1r1

+1

4 0

Q2

r2:= 0

r1r2=

Q1Q2

:= k

Vorgehen:

Potentiale in den Punkten P, P1 und P2 berechnen und Null setzen.

r0 R

Merke: Konstantes Verhältnis k der beiden Radien r1 und r2 ergeben für den geometrischen Ort des Punktes P einen Apollonischen Kreis.

-213-

22

(B) Überlagertes Potential je in P1 und P2:

Die Spiegelungsmethode V Spiegelungen an einer Kugeloberfläche

P1( ) =1

4 0

Q1D r0

+1

4 0

Q2

r0 x0:= 0

D r0r0 x0

=Q1Q2

= k

P2( ) =1

4 0

Q1D+ r0

+1

4 0

Q2

r0 + x0:= 0

D+ r0r0 + x0

=Q1Q2

= k

Gleichsetzen:

D r0r0 x0

=D+ r0r0 + x0

= k D r0( ) r0 + x0( )= D+ r0( ) r0 x0( )= k r02 x0

2( )

r0 D x0( )d

+Dx0 r02= r0 D x0( )

d

Dx0 r02( ) = k r0

2 x02( )

-214-

Die Spiegelungsmethode VI Spiegelungen an einer Kugeloberfläche

r0d +Dx0 r02

1( )

= r0d Dx0 r02( )

2( )

= k r02 x0

2( )3( )

r02= Dx0 = d + x0( )x0

r0x0

= k

r0x0

=D

r0= k =

Q1Q2

x0 =r02

D=D

k2=d + x0k2

k =Q1Q2

=D

r0x0 =

D

k2

d =D x0

-215-

23

Die Spiegelungsmethode VII Spiegelungen an Kugeloberfläche Zusammenfassung

D = dQ12

Q12 Q2

2

R = dQ1 Q2

Q12 Q2

2

(B) Lösungssatz #2:

(Q1,Q2,d) (R, D)

(A) Lösungssatz #1:

(Q1,R,D) (Q2, d) d = D x0 =D2 R2

DQ2 = Q1

R

D

(folgt aus d und k, ohne Herleitung, Vermassung gilt für IQ1I > IQ2I)

-216-

Das Verfahren von Lehmann I

Funktionsprinzip des grafischen Verfahrens

Elektrischer Fluss

«Flussröhre» im Material .

U = E a=D a

=a

A=

l

a

b:= const.

Ansatz: Potentialdifferenz U zwischen zwei Äquipotentiallinien ist konstant.

= D A durch

-217-

24

Merke: E-Feldlinien schneiden sich nur in Quellen bzw. Senken und sonst niemals.

Das Verfahren von Lehmann II Funktionsprinzip des grafischen Verfahrens

Übliche Wahl:

Feldröhre= const.

U =l

a

b:= const. graphische

Konstruktion

b

a= k := const.

k =b

a:= 1

k 1Kreis:

.

Asymptoten der Feldlinien im Fernfeld

-218-

-219-

Das Verfahren von Lehmann III Funktionsprinzip des grafischen Verfahrens

Vorgehen: (1) Zeichne einige Potentiallinien unter Beachtung, dass die Elektrodenoberflächen jeweils auch Äquipotential- linien darstellen.

(2) Einzeichnen der Feldlinien unter Beachtung, dass die E-Feldlinien die Potentiallinien senkrecht kreuzen und dass die E-Feldlinien senkrecht auf die Elektroden oberfläche auftreffen.

(3) Zudem gilt die Relation k = 1. Will heissen, dass ein eingeschriebener Kreis sowohl die beiden Potential- linien berühren muss, als auch die beiden E-Feldlinien.

(4) Bei geschichteten Dielektrika müssen für die E-Feld- linien zudem noch die Brechungsgesetze eingehalten werden.

(5) Korrigiere das Bild durch Einführung einer immer feineren Unterteilung.

25

Das Verfahren von Lehmann IV Beispiel: «Flachschiene in Luft»

U = N +1( ) U

(B) Beispiel:

Q = D A M

= E l b( ) M

= Ua l b( ) M

Q = M U l kN = 2

M = 13

= 0

C 38 pF / m

(A) Kapazitätsbelag C‘:

C =C

l=Q

U l=

M

N +1k

-220-

• Kn : Konturpunkte (Übereinstimmung des Potentials)

• Qj : Ersatzladungen (nicht im Feldgebiet ansetzen)

• VE : Elektrodenpotential (vorgegeben)

Das Ersatzladungsverfahren I Prinzip:

pij =1

4

1

rKi rj

Ki= pi1 Q1 +…+ pin Qn :=VE

Ki= pij Qj :=VE

j=1

n

Beim Ersatzladungsverfahren (auch Bildladungsverfahren) wird das (Potential-)Feld einer vorhandenen Oberflächenladung mit Hilfe des Feldes fiktiver, diskreter Ersatzladungen Qj (wie z.B. Punkt-, Linien- oder Ringladungen im Innern der Elektrode) nachgebildet.

: Potentialkoeffizient (hier für Punktladungen, Folie 30)

Gleichungssystem für unbekannte Ersatzladungen Qj.

Symmetrie- Achse

-221-

26

1. Vorgabe von j Ersatzladungen (nach Elektrodenform und Symmetrien).

2. Wahl von n Konturpunkten Ki (n # Ersatzladungen)

3. Aufstellen des Gleichungssystems für Qj :

4. Lösen

5. Potentialfeld:

6. Fehler- kontrolle im Testpunkt T

Das Ersatzladungsverfahren II Vorgehen:

p11 p12 … p1np21 p22 … p2n

pn1 pn2 pnn

Q1Q2

Qn

=

VEVE

VE

r( ) = pj r( )j=1

n

Qj

-222-

-Q1

-Q2

Spiegel- Ladungen

Das Ersatzladungsverfahren III Beispiel (in p.u.)

K1=Q1

1

2 3

1

2+ 3+Q2

1

2 2.5

1

2+2.5

K2=Q1

1

4 3

1

4+ 3+Q2

1

4 2.5

1

4+2.5

Qj =Qj

4

K1=Q1 0.80+Q2 1.78:= 1

K2=Q1 0.86+Q2 0.51:= 1

Q1Q2

=1.130

0.053

T =Q11

1

1

62 +12+Q2

1

0.52 +121

5.52 +12= 0.98

im Test- punkt T

-223-

27

= 1V

= 0V

• Ansatz mit zwei Ersatzladungen ergibt lediglich 2% Fehler.

• Wahl der Ersatzladungen, d.h. Typ und Position ist «kritisch».

• Das Feld auf dem Rand G der Elektrode G soll in diskreten Punkten die Randbedingungen möglichst exakt erfüllen. Randmethode.

• Randmethoden sind semianalytisch:

Das Ersatzladungsverfahren IV Lösung:

r( ) = pj r( )j=1

n

Qj

-224-

x

y

1 2 i 1 i i+1

j 1

j

j +1

1

2

i+1, ji 1, j

i, j 1

i, j+1

i, j

h

h

• Methode der Finite Differenzen (FD) gehört zu den ältesten nume- rischen Verfahren (seit 1966).

• FD ist eine sehr einfache Methode.

• FD ist ein sehr robustes Verfahren.

• FD ist eine Gebietsmethode, weil ein Gebiet/Volumen mittels eines Gitters diskretisiert wird.

• Es ist das Randwertpoblem auf diesem Gitter zu lösen:

+ (RB)

• Laplace-Operator diskretisieren!

Methode der finiten Differenzen I Der diskretisierte Laplace-Operator

=

Zweidimensionales (2D) Gitter

-225-

28

i+1, ji 1, j

i, j 1

i, j+1

i, j

h

h

Methode der finiten Differenzen II Der diskretisierte Laplace-Operator

i+1, j = i, j +i, j

xh+1

2

2i, j

x2h2 +O h3( )

i 1, j = i, ji, j

xh+1

2

2i, j

x2h2 +O h3( )

i, j+1 = i, j +i, j

yh+1

2

2i, j

y2h2 +O h3( )

i, j 1 = i, ji, j

yh+1

2

2i, j

y2h2 +O h3( )

i+1, j + i 1, j + i, j+1 + i, j 1 4 i, j +h

2i, j

Taylorentwicklung des Potentials an der Stelle (xi, yj).

-226-

= i, ji+1, j + i 1, j + i, j+1 + i, j 1 4 i, j

h2=

i, j

1

4 i+1, j + i 1, j + i, j+1 + i, j 1( ) +h2

4

i, j

1

4 i+1, j + i 1, j + i, j+1 + i, j 1( )i+1, ji 1, j

i, j 1

i, j+1

i, j

Methode der finiten Differenzen III Der diskretisierte Laplace-Operator

i, ji+1, j + i 1, j + i, j+1 + i, j 1 4 i, j

h2Diskretisierter 2D-

Laplace-Operator

Lösungsoperatoren des Poisson-/Laplace-Problems:

5-Punkte- Formel

Poisson

Laplace

-227-

29

x

y

100V

0V

0V0V

1

2

3

4

5

6

Methode der finiten Differenzen IV Direktes Lösungsverfahren

1 =14 100 + 3 + 2 + 0( )

2 =14 1 + 4 + 0 + 0( )

3 =14 100 + 5 + 4 + 1( )

4 =14 3 + 6 + 0 + 2( )

1 = 5

2 = 6

4 1 2 3 = 100

1 + 4 2 4 = 0

2 1 + 4 3 4 = 100

2 2 3 + 4 4 = 0

Symmetrie

Gleichungssystem:

-228-

x

y

100V

0V

0V0V

1

2

3

4

5

6

Methode der finiten Differenzen V Direktes Lösungsverfahren

4 1 1 0

1 4 0 1

2 0 4 1

0 2 1 4

1

2

3

4

=

100

0

100

0

Gleichungssystem:

1

2

3

4

=

41.6149

15.5280

50.9317

20.49691 = 5

2 = 6

Symmetrie

Direkte

Lösung:

-229-

30

x

y

Methode der finiten Differenzen VI Diskussion

• Wiedergabe der Geometrie:

Bei der karthesischen, äquidistanten Raumdiskretisierung (Gitter) werden die Objekte/Gebiete durch eine «Treppenstufenapproximation»

repräsentiert.

Abhilfe: Angepasste Gitter, Inter- polation der Feldgrösse.

• Komplexe Problemstellungen: Grosse Volumina bzw. feine Details führen zu grosser Anzahl von Gitter- punkten d.h. zu grossen Gleichungs- systemen. Direktes Lösen der Glei- chung ist zeit- und speicheraufwändig!

Abhilfe: Inhomogene Gitter, Untergitter, iterative Berechnung.

-230-

Methode der finiten Differenzen VII Diskussion

Diskretisiertes Modell

Elektrische Feldstärke

Rendering der Antenne

Handy- Geometrie

© SEMCAD FDTD Speag, Zürich.

-230-

31

x

y

100V

0V

0V0V

1

2

3

4

5

6

Methode der finiten Differenzen VIII Das iterative Gauss-Seidel-Verfahren

Algorithmus:

• Werte an allen Gitterpunkten auf Null setzen.

• Fünf-Punkte-Formel (Differenzen- molekül): Mittelung der 4 Randpunkte ergeben den Wert im Zentralpunkt.

• Differenzenmolekül dort «starten», wo mindestens einer der Randpunkte eine Randbedingung erfüllt.

• Zentralpunkt des Differenzenmoleküls auf Nachbarpunkt verschieben und Fünf-Punkte-Formel ausführen.

• Mit dem Differenzenmolekül solange im Gebiet «herumrutschen», bis die Gitterwerte sich kaum mehr ändern.

Zum Beispiel:

11( )

3 5 6 4 2 12( )

-231-

1 3 5 6 4 2

25.0000 31.2500 32.8125 8.2031 9.8633 8.7158

34.9915 44.4168 38.1550 12.0046 16.2843 12.8190

39.3090 48.4371 40.1104 14.0987 18.3870 14.5369

40.7435

41.2363

41.4673

41.5557

41.5917

49.8102

50.5026

50.7584

50.8640

50.9053

40.9772

41.3359

41.5104

41.5748

41.5991

14.8411

15.2832

15.4351

15.4912

15.5135

19.7970

20.2302

20.3900

20.4549

20.4804

15.1351

15.3666

15.4643

15.5026

15.5180

Methode der finiten Differenzen IX Das iterative Gauss-Seidel-Verfahren

41.6149 50.9317 41.6149 15.5280 20.4969 15.5280

#1

#2

# 3

# 4

#5

#6

# 7

#8

Anzahl Iterationen

Direkte Lösung

-232-

32

0 = 100V

0V 0V

0V

a

b

Methode der finiten Differenzen X Analytische Referenzlösung

An =2 0 1 1( )

n

n sinh na b( )

x, y( ) = An sinna x( )

n=1

sinh na y( )

Stützstellen entsprechen den FD-Lösungen

-233-

Methode der finiten Differenzen XI Vergleich der Lösungen

1 2 3 4 5 6

A 41.5917 15.5180 50.9053 20.4804 41.5991 15.5135

B 41.6149 15.5280 50.9317 20.4969 41.6149 15.5280

C 42.0774 15.2195 52.4619 20.7877 42.0774 15.2195

A: Iteratives FD-Verfahren (Gauss-Seidel)

B: Direkte FD-Lösung

C: Analytische Lösung

Merke: Auch das direkte FD-Lösungsverfahren weicht von der analytischen Lösung ab. Trotz der groben Auflösung sind die FD-Lösungen erstaunlich genau !

-234-