L£¶sungen zu Training Abschlusspr£¼fung Realschule 2021 ... Vorwort Liebe...

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  • Inhalt

    Vorwort

    Training Grundwissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Grundwissen 5. – 8. Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    2 Grundwissen 9. Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Flächeninhalt ebener Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.5 Vierstreckensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.6 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    3 Grundwissen 10. Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.1 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2 Weitere Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4 Berechnungen am Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.5 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 Raumgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    Komplexe Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Ebene Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Raumgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    Aufgaben im Stil der Prüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Teil A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Teil B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    Original-Abschlussprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019-1 Abschlussprüfung 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019-1 Teil A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019-1 Teil B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019-6

    Abschlussprüfung 2020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . www.stark-verlag.de/mystark Das Corona-Virus hat im vergangenen Schuljahr auch die Prüfungsabläufe durcheinandergebracht und manches verzögert. Daher sind die Lösungen zur Prüfung 2020 in diesem Jahr nicht im Buch abgedruckt, sondern erscheinen in digitaler Form. Sobald die Original-Prüfungsaufgaben 2020 zur Veröffentlichung freigegeben sind, kannst du die Lösungen als PDF auf der Plattform MyStark herunterladen (Zugangscode vorne im Buch).

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  • Vorwort

    Liebe Schülerin, lieber Schüler,

    dies ist das Lösungsbuch zu dem Band Training Abschlussprüfung Realschule 2021 – Mathematik II / III – Bayern (Bestell-Nr. 915111) und zur Kombination aus Trainingsband und interaktivem Training (Bestell- Nr. 91511ML). Es enthält zu allen Aufgaben von unseren Autoren ausgearbeitete Lösungen, die jeden Rechen- schritt ausführlich erklären. Dabei wird besonderer Wert auf die Lösungsansätze und Vorüberlegungen gelegt. Zur Veranschaulichung und dem besseren Verständnis der Lösungen helfen dir zahlreiche Skizzen.

    Versuche stets, jede Aufgabe zunächst selbstständig zu lösen, und dann deine Lösung mit den Lösungen im Buch zu vergleichen. Solltest du nicht weiterkommen, helfen dir die r Hinweise und Tipps. Hast du eine Aufgabe nicht richtig gelöst, ist es ganz wichtig, diese zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal durchzurechnen. Durch das Üben wirst du dich sicher fühlen und kannst beruhigt in die Prüfung gehen.

    Wir wünschen dir viel Erfolg!

    Autoren: Markus Hochholzer, Markus Schmidl Lösung der Original-Abschlussprüfung: Alois Einhauser

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  • r 1

    Training Grundwissen

    1 Grundwissen 5. – 8. Klasse

    r Hinweise und Tipps

    1 Zähler und Nenner mit dem Erweiterungsterm mul- tiplizieren bzw. durch den Kürzungsterm dividieren

    a) 8 : 2

    8 : 2

    3 24 12 5

    ⋅ = =

    40 20

    Erweitern mit 8 und anschließend kürzen mit 2 Beachte: Die Brüche sind wertgleich.

    b) : 7 2

    : 7 2

    49 61 28 4

    ⋅ = =7

    8

    Kürzen mit 7 und anschließend erweitern mit 2

    c) 2

    2

    :11a 8c

    2:11a 8c

    33ab 3b 121a 88c

    ⋅ = =

    224bc 11

    Kürzen mit 11a und anschließend erweitern mit 8c2

    d) 2

    2

    : 4x 24x y2

    2: 4x 24x y

    12x y 3xy 16x 96x y

    ⋅ = =

    3 272x y 4

    Kürzen mit 4x und anschließend erweitern mit 24x2y

    2 a) :18

    :18

    36 2 90 5

    = oder: : 6 : 3

    : 6 : 3

    36 6 2 90 15 5

    = = Das schrittweise Kürzen ist aufwendiger, aber oft ein-

    facher.

    b) 3

    3

    : 55x y3 2

    5 2: 55x y

    55x y y 220x y 4x

    = oder: 3

    3

    :11x y : 53 2

    5 2 2:11x y : 5

    55x y 5y y 220x y 20x 4x

    = = Das schrittweise Kürzen ist aufwendiger, aber oft ein-

    facher.

    c) 95 26 55 143 25 76

    95 26

    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

    ⋅= 2

    55⋅ 11

    143 11

    25⋅ 5 76

    95

    = 19

    2⋅ 1 11⋅ 1

    11 1

    5⋅ 1 76⋅ 38

    19= 1

    38 2

    1 2

    =

    Hier empfiehlt es sich, schrittweise zu kürzen, um die Übersicht zu behalten.

    d) 25(a b)

    0,5(a b)(a b)

    5

    − − +

    = 10

    (a b) (a b)− −

    0,5 1 · (a b)− (a b)

    10(a b)

    (a b)

    +

    −= +

    Zähler und Nenner liegen als Produktterm vor.

    Auch Faktoren wie (a – b) können gekürzt werden.

    Beachte: 5 : 0,5 = 10

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  • 2 r Lösungen: Training Grundwissen – 1 Grundwissen 5. – 8. Klasse

    r Hinweise und Tipps

    3 a) 11 2 2 HN: 36 12 9 3

    − + Bestimme den Hauptnenner (bzw. das kgV der Nenner) und erweitere die Brüche auf ihn.

    11 2 2 12 9 3

    = − +3 4 12 3 4 12      

    33 8 24 36 36 36 33 8 24

    36 49 36 131 36

    = − +

    − +=

    =

    =

    Addiere bzw. subtrahiere nun die gleichnamigen Brüche.

    Forme im Endergebnis den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um.

    b) ( ) ( ) ( ) ( )

    27 4 11 5 4 3 16 8

    27 4 11 5 4 3 16 8

    − + −

    = − + −3 4 2 3 4 2      

    Bestimme jeweils klammerweise den Hauptnenner

    und erweitere die Brüche in der Klammer auf den jeweiligen Hauptnenner.

    ( ) ( ) ( ) ( ) 81 16 11 10 12 12 16 16 81 16 11 10

    12 16

    = − + −

    − −= +

    Addiere bzw. subtrahiere die nun gleichnamigen Brüche in den Klammern.

    65 1 HN: 48 12 16 65 1 12 16 260 3 48 48

    = +

    = +

    = +

    4 3 4 3    

    Bestimme den Hauptnenner, erweitere und fasse die gleichnamigen Brüche zusammen.

    263 48 235 48

    =

    =

    Forme im Endergebnis den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um.

    c) 4 4 1 112 4 3 17 5 7 2 5 4 1 4 112 17 4 3 5 5 7 2

    8 730 4 3 14 14

    1530 7 14 130 8

    14 1321 14

     − + +   

     = + − +   

     = − +   

    = −

    = −

    =

    2 7 2 7    

    Hier empfiehlt es sich, das Kommutativgesetz der Addition anzuwenden, um die bereits gleichnamigen Brüch