Lutz v. Wangenheim Aktive Filter und...

Lutz v. Wangenheim

Aktive Filter und Oszillatoren

Lutz v. Wangenheim

Aktive Filterund OszillatorenEntwurf und Schaltungstechnikmit integrierten Bausteinen

Mit 153 Abbildungen und 26 Tabellen

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Prof. Dipl.-Ing. Lutz v. Wangenheim

Hochschule BremenNeustadtswall 3028199 Bremene-mail: [email protected]

Ursprünglich erschienen bei Hüthig unter dem Titel: Aktive Filter in RC- und SC-Technik (1991).

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ISBN 978-3-540-71737-9 Springer Berlin Heidelberg New York

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SPIN 11935858 7/3180/YL – 5 4 3 2 1 0 Gedruckt auf säurefreiem Papier

Vorwort

Die Dimensionierung einer elektronischen Schaltung zur Realisierung einer aus-gewählten Filterfunktion ist Routine – entweder über zugehörige Formeln (nachder „Kochbuch“-Methode) oder auch mit dem PC und einem Programm zumFilterentwurf. Aber dieses ist bereits der dritte Schritt.

Der erste Schritt besteht darin, erst einmal die Entscheidung für eine geeigneteFiltercharakteristik zu treffen, mit der die Vorgaben einzuhalten sind – und dabeihat man die Wahl zwischen vier bis fünf „klassischen“ Funktionen (Stichworte:Butterworth, Tschebyscheff, Cauer, ...) und etwa zehn weiteren „exotischen“Varianten. Kompliziert wird diese Auswahl zusätzlich noch dadurch, dass gleich-zeitig auch schaltungstechnische Konsequenzen zu berücksichtigen sind, da derRealisierungsaufwand bei den einzelnen Funktionen durchaus unterschiedlich ist.

Und danach kommt der zweite – der entscheidende und wohl auch der schwie-rigste – Schritt: Die Auswahl einer Schaltung. Das vorliegende Buch bietet bei-spielsweise für einen Tiefpass zweiten Grades etwa 20 Schaltungskonfigurationenan – teilweise noch mit bis zu jeweils drei unterschiedlichen Dimensionierungs-Strategien. Zudem eröffnen sich für Funktionen vierten oder höheren Grades nochweitere – leistungsstarke und durchaus empfehlenswerte – Möglichkeiten.

Eines von diesen zahlreichen Schaltungskonzepten wird wahrscheinlich das„Optimum“ darstellen – bezogen auf Anforderungen und Randbedingungen tech-nischer, operationeller oder auch wirtschaftlicher Art (Stichworte: Selektivität,Genauigkeit, Leistungsverbrauch, Spannungsversorgung, Kosten). Aber auf dieseFrage nach der „richtigen“ Schaltung können keine PC-Programme, keine Inter-net-Recherchen und auch keine – notwendigerweise knapp gehaltenen – Kapitelzur Filtertechnik in allgemeinen Elektronik-Fachbüchern eine Antwort geben.

Auch dieses Buch kann das nicht. Es hat aber das Ziel, den interessierten Leserzu befähigen, selber eine angemessene Lösung für seine spezielle Aufgabenstel-lung zu finden. Dazu ist es unerlässlich, die aktuellen Entwicklungen auf demSektor der analogen Filtertechnik nicht nur zu kennen, sondern die Entwurfs-grundlagen dazu sowie die besonderen Merkmale und Einschränkungen der ver-schiedenen Verfahren auch zu verstehen. Nur dann besteht die Chance, in einemsystematischen Auswahlprozess das richtige Filter für eine bestimmte Anwendungdefinieren zu können.

Mit dieser Zielsetzung stellt das vorliegende Buch eine Einführung in die Sys-temtheorie und die Praxis des Entwurfs aktiver Filterschaltungen dar.

Ein Buch über moderne analoge Filtertechnik ist zugleich auch ein Buch überdie analoge Signalverarbeitung – ein Gebiet, das auch im „digitalen Zeitalter“keinesfalls an Bedeutung verloren hat.

VI Vorwort

Gerade innerhalb der letzten Jahre haben sich durch den weiteren Ausbau derKommunikationsnetze – insbesondere der mobilen Dienste – für die Analogtech-nik ganz neue Herausforderungen und zusätzliche Anwendungsbereiche ergeben.

Das Kernstück der analogen Signalverarbeitung sind Aktivfilter mit elektroni-schen Verstärkern, welche – abgesehen vom Mikrowellenbereich – heute prak-tisch ausschließlich als integrierte Bausteine eingesetzt werden. Dabei spielt derklassische Operationsverstärker zwar immer noch die Hauptrolle; im vorliegendenBuch werden aber auch aktuelle Neuentwicklungen berücksichtigt, die sich hinterden Abkürzungen wie z. B. CFA, OTA und CC verbergen. Weitergehende Infor-mationen zu den Themenbereichen und Schwerpunkten liefert das Inhaltsver-zeichnis – trotzdem sollen drei Kapitel hier gesondert angesprochen werden.

Vor dem Hintergrund der zahlreichen Methoden, mit denen Filterschaltungenentworfen werden können, erscheint es sinnvoll, die einzelnen Strukturvariantenund unterschiedlichen Strategien zunächst im Zusammenhang vorzustellen, bevorsie später jeweils in einem eigenen Kapitel oder Abschnitt anhand von Zahlenbei-spielen detailliert diskutiert werden. Diesem Zweck dient das zweite Kapitel.

Ein eigenes Kapitel wird auch den Filtern mit geschalteten Kapazitäten gewid-met (SC-Filter) – eine mittlerweile schon etablierte Technik, die in Form komplettintegrierter Filterbausteine breite Anwendung findet. Systemtechnisch gesehenstellen diese getakteten Systeme den Übergang dar von den zeitkontinuierlichenAnalogfiltern zu den zeitdiskreten Digitalfiltern.

Selbstverständlich sollten die Fähigkeiten moderner und leistungsstarker PC-Programme auch für das Gebiet der Filtertechnik genutzt werden. Das gilt sowohlfür die Schaltungssimulation – zur Überprüfung eines Schaltungskonzepts und dergewählten Dimensionierung – als auch für den Filterentwurf selber. Aus diesemGrund werden in einem separaten Kapitel neun kostenfrei erhältliche Entwurfs-programme auf ihre Leistungsfähigkeit und ihre Grenzen hin untersucht.

Das Buch ist ein Fachbuch – geschrieben für Ingenieure und Naturwissen-schaftler, die ihre Kenntnisse über die Filtertechnik auffrischen und vor dem Hin-tergrund vieler neuer Entwicklungen aktualisieren wollen oder müssen.

Es ist aber auch ein Lehrbuch für Studierende der Informations- und Kommu-nikationstechnik sowie verwandter Fachrichtungen, die sich – aufbauend auf demmitgelieferten systemtheoretischen Fundament – in das Gebiet der Filtertechnikeinarbeiten wollen. Als Voraussetzung dafür sind Kenntnisse in Mathematik undElektrotechnik in einem Umfang erforderlich, wie sie in den ersten drei Semesterneines ingenieurwissenschaftlichen Studiums vermittelt werden.

Der Inhalt des Buches ist entstanden aus meiner 25-jährigen Lehr- und For-schungstätigkeit an der Hochschule Bremen im Bereich der analogen Signalverar-beitung. In diesem Zusammenhang möchte ich besonders den zahlreichen ehema-ligen Studierenden danken, die in Form von Projekten, Studien- und Diplomar-beiten wesentlich zu den hier präsentierten Ergebnissen beigetragen haben.

Bremen, im Herbst 2007 Lutz v. Wangenheim

Inhalt

Einführung ...................................................................................................... 1

1 Systemtheoretische Grundlagen ............................................................... 31.1 Lineare Vierpole ................................................................................. 3

1.1.1 Die komplexe Frequenz ........................................................... 31.1.2 Die Übertragungsfunktion ....................................................... 61.1.3 Die Systemfunktion ................................................................. 91.1.4 Lineare Netzwerke im Zeit- und Frequenzbereich ................... 101.1.5 Polverteilung und Stabilität ..................................................... 13

1.2 Filtercharakteristiken zweiten Grades ................................................. 161.2.1 Die biquadratische Systemfunktion ......................................... 171.2.2 Filterklassifikation ................................................................... 181.2.3 Polkenngrößen ......................................................................... 19

1.3 Der Referenztiefpass ........................................................................... 241.3.1 Der Tiefpass zweiten Grades ................................................... 241.3.2 Das Toleranzschema ................................................................ 271.3.3 Das Prinzip der Tiefpass-Approximation ................................ 281.3.4 Der Tiefpass n-ten Grades ....................................................... 29

1.4 Tiefpass-Approximationen ................................................................. 311.4.1 Butterworth-Charakteristik ...................................................... 321.4.2 Tschebyscheff-Charakteristik .................................................. 361.4.3 Inverse Tschebyscheff-Charakteristik ...................................... 391.4.4 Elliptische Charakteristik ......................................................... 441.4.5 Thomson-Bessel-Charakteristik ............................................... 471.4.6 Vergleich der Standard-Approximationen ............................... 571.4.7 Andere Approximationsverfahren ........................................... 601.4.8 Zusammenfassung ................................................................... 64

1.5 Frequenztransformationen .................................................................. 641.5.1 Tiefpass-Tiefpass-Transformation ........................................... 651.5.2 Tiefpass-Hochpass-Transformation ......................................... 661.5.3 Tiefpass-Bandpass-Transformation ......................................... 681.5.4 Tiefpass-Bandsperre-Transformation ...................................... 771.5.5 Tiefpass-Allpass-Transformation ............................................ 771.5.6 Transformation normierter Tiefpasselemente .......................... 79

VIII Inhalt

2 Grundstrukturen aktiver Filter ................................................................ 852.1 Kaskadentechnik ................................................................................. 86

2.1.1 Rückkopplungsmodell und Übertragungsfunktion .................. 862.1.2 Erzeugung konjugiert-komplexer Pole .................................... 882.1.3 Erzeugung endlicher Übertragungsnullstellen ......................... 912.1.4 GIC-Stufen ............................................................................... 922.1.5 Parallelstrukturen ..................................................................... 92

2.2 Zweipolnachbildung mit Impedanzkonvertern ................................... 932.2.1 Impedanzkonverter ................................................................... 932.2.2 Elektronische Nachbildung von Induktivitäten ........................ 942.2.3 FDNR-Technik ........................................................................ 952.2.4 Einbettungstechnik .................................................................. 992.2.5 Entwurfsrichtlinien für die GIC-Technik ................................. 101

2.3 Mehrfachkopplungstechnik ................................................................. 1022.3.1 Die Leapfrog-Synthese............................................................. 1022.3.2 Die Zustandsvariablen-Struktur zweiten Grades ..................... 1072.3.3 Die FLF-Struktur ..................................................................... 110

2.4 Zusammenfassung ............................................................................... 112

3 Aktive Grundelemente .............................................................................. 1153.1 Operationsverstärker ........................................................................... 116

3.1.1 Eigenschaften und Kenndaten ................................................. 1163.1.2 Der nicht-invertierende Verstärker .......................................... 1253.1.3 Der invertierende Verstärker .................................................... 1263.1.4 Der Addierverstärker ................................................................ 1283.1.5 Der invertierende Integrator .................................................... 1293.1.6 Der nicht-invertierende Integrator ........................................... 1313.1.7 Der Tiefpass ersten Grades (gedämpfter Integrator) ................ 1343.1.8 Der Negativ-Impedanzkonverter (NIC) ................................... 135

3.2 Der Allgemeine Impedanzkonverter (GIC) ......................................... 1383.2.1 Prinzip und Eigenschaften ....................................................... 1383.2.2 Der GIC als Zweipol zur Induktivitätsnachbildung ................. 1403.2.3 Der GIC als Zweipol zur FDNR-Realisierung ........................ 1413.2.4 Der GIC als Anpassungsvierpol (Einbettungstechnik) ............ 1423.2.5 Der GIC als kaskadierbarer Filtervierpol ................................. 143

3.3 Transimpedanzverstärker .................................................................... 1443.3.1 Eigenschaften und Kenndaten ................................................. 1443.3.2 Grundschaltungen .................................................................... 149

3.4 Transkonduktanzverstärker ................................................................ 1503.4.1 Eigenschaften und Kenndaten ................................................. 1503.4.2 OTA-Schaltungstechnik .......................................................... 152

3.5 Stromkonverter (Current Conveyor) .................................................. 1563.5.1 Prinzip und Eigenschaften ....................................................... 1563.5.2 Grundschaltungen ................................................................... 157

Inhalt IX

4 Kaskadentechnik ....................................................................................... 1594.1 Überblick ............................................................................................ 1594.2 Filterstufen mit Einfach-Rückkopplung ............................................. 160

4.2.1 Allgemeine Filterstruktur ......................................................... 1604.2.2 Tiefpassfilter ............................................................................ 1644.2.3 Hochpassfilter .......................................................................... 1744.2.4 Bandpassfilter ......................................................................... 180

4.3 Filterstufen mit Zweifach-Gegenkopplung ......................................... 1894.3.1 Allgemeine Filterstruktur ......................................................... 1894.3.2 Tiefpassfilter ............................................................................ 1924.3.3 Hochpassfilter ......................................................................... 1954.3.4 Bandpassfilter .......................................................................... 197

4.4 Filterstufen mit Impedanzkonverter .................................................... 2034.4.1 Tiefpass .................................................................................... 2044.4.2 Hochpass .................................................................................. 2054.4.3 Bandpass .................................................................................. 2054.4.4 Einfluss realer Verstärkereigenschaften ................................... 207

4.5 Filterstufen mit endlichen Nullstellen ................................................. 2084.5.1 Allpassfilter ............................................................................. 2084.5.2 Filterstufen mit Sperrcharakteristik ......................................... 2154.5.3 Elliptische Tiefpässe ................................................................ 219

4.6 Biquadratische Filterstufen und Universalfilter .................................. 2254.6.1 Grundstruktur für Zustandsvariablentechnik ........................... 2254.6.2 Schaltung mit invertierenden Integratoren .............................. 2264.6.3 Schaltung mit gedämpftem Integrator ...................................... 2304.6.4 Struktur mit Vorkopplung ....................................................... 2354.6.5 Parallelstruktur ......................................................................... 237

4.7 OTA- und CC-Filterstufen .................................................................. 2394.7.1 OTA-Filterstufen ...................................................................... 2394.7.2 OTA-C-Strukturen ................................................................... 2424.7.3 CC-Filterstufen ......................................................................... 246

4.8 Zusammenfassung und Empfehlungen ............................................... 2494.8.1 Entscheidungskriterien zur Schaltungswahl ............................ 2504.8.2 Vergleichende Übersicht ......................................................... 255

5 Direkte Filtersynthese .............................................................................. 2595.1 Aktive Komponentennachbildung ..................................................... 259

5.1.1 Tiefpassfilter ............................................................................ 2595.1.2 Hochpassfilter .......................................................................... 2635.1.3 Bandpassfilter .......................................................................... 264

5.2 Filterstrukturen mit Mehrfachkopplungen .......................................... 2665.2.1 Die Leapfrog-Struktur ............................................................. 2665.2.2 Die FLF-Struktur .................................................................... 270

X Inhalt

6 Aktive Filter in SC-Technik ...................................................................... 2776.1 Einführung in die zeitdiskrete Signalverarbeitung .............................. 278

6.1.1 Systemfunktion und z-Transformation .................................... 2786.1.2 Transformation der Frequenzvariablen .................................... 282

6.2 SC-Grundelemente .............................................................................. 2876.2.1 Der invertierende EV-Integrator ............................................... 2886.2.2 Der invertierende ER-Integrator ............................................... 2916.2.3 Der invertierende Bilinear-Integrator ...................................... 2926.2.4 Der Differenz-Integrator .......................................................... 2936.2.5 Der Tiefpass ersten Grades ...................................................... 294

6.3 Entwurf und Betrieb von SC-Filtern ................................................... 2946.3.1 Entwurfsverfahren ................................................................... 2946.3.2 Verstärkertechnik .................................................................... 2996.3.3 Betrieb von integrierten Filterbausteinen ................................ 300

6.4 Simulation von SC-Filtern im Frequenzbereich ................................. 3046.4.1 Zeitkontinuierliche Modelle der SC-Kombinationen ............... 3046.4.2 Simulationsbeispiel: SC-Tiefpass ersten Grades ...................... 310

7 Rechnergestützter Filterentwurf .............................................................. 3157.1 Allgemeines ........................................................................................ 3157.2 PC-Programme zum Filterentwurf ...................................................... 315

7.2.1 Systematische Übersicht .......................................................... 3157.2.2 Beispiel zum PC-gestützten Filterentwurf ............................... 3217.2.3 Zusammenfassung, Einschränkungen und Bewertung ............. 323

7.3 PC-gestützte Filteroptimierung............................................................ 3257.3.1 Problemstellung ....................................................................... 3257.3.2 Filteroptimierung durch Polanpassung..................................... 3277.3.3 Beispiel zur Filteroptimierung durch Polanpassung ................ 3287.3.4 Zusammenfassung ................................................................... 333

8 Lineare Oszillatoren .................................................................................. 3358.1 Grundlagen .......................................................................................... 335

8.1.1 Das Oszillatorprinzip ............................................................... 3358.1.2 Die Schwingbedingung ............................................................ 337

8.2 Oszillatorstrukturen ............................................................................. 3448.2.1 Vierpoloszillatoren .................................................................. 3448.2.2 Zweipoloszillatoren ................................................................. 3458.2.3 Auswahlkriterien ..................................................................... 345

8.3 Vierpol-Oszillatorschaltungen ............................................................ 3468.3.1 RC-Bandpass-Oszillator ........................................................... 3468.3.2 RC-Tiefpass-Oszillator ............................................................. 3488.3.3 Allpass-Oszillator .................................................................... 3498.3.4 Quadratur-Oszillatoren ............................................................ 351

Inhalt XI

8.4 Zweipol-Oszillatorschaltungen............................................................ 3548.4.1 Resonanzkreisentdämpfung mit NIC........................................ 3548.4.2 GIC-Resonator ......................................................................... 358

8.5 Zusammenfassung ............................................................................... 362

Literaturverzeichnis ....................................................................................... 365

Sachverzeichnis ............................................................................................... 369

Verwendete Symbole und Abkürzungen

Symbole

Symbol Bedeutung

A Verstärkung allgemein, AmplitudeA(ω ) Betrag der Übertragungsfunktion, AmplitudengangA(jω ) komplexe Übertragungsfunktion eines VierpolsA0 Grundverstärkung bei f=0 (Tiefpass)AM Mittenverstärkung (Bandpass)A∞ Verstärkungswert für f→∞AU(jω ) frequenzabhängige Spannungsverstärkung (Operationsverstärker)AU(s) komplexe Verstärkungsfunktion (Operationsverstärker)AU0 Gleichspannungsverstärkung (Operationsverstärker)aD Durchlassdämpfung in dBaS Sperrdämpfung in dBB 3-dB-Bandbreite (Bandpass)BSR GroßsignalbandbreiteC Kapazitätswert des KondensatorsCB Bezugskapazitätswertc auf die Bezugsgröße CB normierter KapazitätswertD* Kenngröße des FDNR mit der Impedanz ZD= -1/ω2D* DS SperrdämpfungsfaktorF allgemeines Symbol für einen idealen Rückkopplungs-VierpolF Symbol für die Fourier-TransformationFD Symbol für die Fourier-Transformation diskreter Signalef Frequenz in HzfA Abtastfrequenz, AbtastratefD Durchlassgrenze in HzfG 3-dB-Grenzfrequenz in HzfT Taktrate, TaktfrequenzfT Transitfrequenz (Operationsverstärker)g(t) Sprungantwort einer Übertragungseinheitgm Übertragungsleitwert bzw. Steilheit des OTA (Verstärkung)H allgemeines Symbol für einen idealen Übertragungs-VierpolH(s) Systemfunktion eines zeitkontinuierlichen SystemsH(z) Systemfunktion eines zeitdiskreten Systems

XIV Verwendete Symbole und Abkürzungen

HE(s) EinkopplungsfunktionHR(s) RückkopplungsfunktionHS(s) Schleifensystemfunktionh(t) ImpulsantwortI elektrischer Gleichstrom, Effektivwert des Wechselstromsi(t) Zeitfunktion des elektrischen StromesK Skalierungsfaktork Komponentenspreizung (Verhältnis zweier Bauteilwerte)k(jω) Konversionsfaktor (Impedanzkonverter)L Induktivitätswert einer SpuleLB BezugsinduktivitätswertL Symbol für die Laplace-Transformationl auf die Bezugsgröße LB normierter InduktivitätswertN(s) Nennerpolynom, allgemeinn Grad der Systemfunktion, FiltergradP(η) Polynomfunktion, ApproximationsfunktionQ Güte eines Resonanzkreises, Kondensatorladung (SC-Technik)QP PolgüteQZ NullstellengüteR Ohmscher WiderstandRB Bezugswiderstandr auf die Bezugsgröße RB normierter ohmscher WiderstandrE SignaleingangswiderstandrA SignalausgangswiderstandS auf die Polfrequenz normierte komplexe Frequenz (S=s/ωP)s komplexe (Kreis-)frequenz (s=σ+jω)sN komplexe Nullstelle der charakteristischen Gleichung,

komplexe Polstelle der Systemfunktion (Eigenwert)sZ komplexe Nullstelle der Systemfunktion

xyS passive Empfindlichkeit von x gegenüber Änderungen von y

SR Slew Rate (Großsignal-Anstiegsrate, Anstiegsgeschwindigkeit)T ZeitkonstanteT(ω) reelle FrequenztransformationsfunktionT(s) komplexe FrequenztransformationsfunktionTA Abtastperiode TA=1/fATT Taktperiode TT=1/fTt kontinuierliche ZeitvariableU Elektrische Gleichspannung, Effektivwert einer WechselspannungU komplexer Effektivwert einer WechselspannungU(z) z-Transformierte einer Folge von Spannungswerten u(n)

ˆ u komplexe Spannungsamplitude jˆ ˆ eu u ϕ= ⋅u(t) Zeitfunktion der elektrischen Spannungu(t) elektrische Wechselspannung in komplexer SchreibweiseuE, uA Eingangs-/Ausgangssignalspannungen (allgemein)

Symbole XV

uD Differenzspannung (OPV-Eingang)u(n) Folge diskreter Spannungswertev Spannungsverstärkungsfaktorv(s) komplexer Wert der Spannungsverstärkungw Welligkeit (einer Betragsfunktion)X(jω) Fourier-Transformierte der Funktion x(t), Eingangsspektrumx(t) Eingangssignal (allgemein) im Zeitbereichx(n) Wertefolge am Eingang eines zeitdiskreten SystemsY(jω) Fourier-Transformierte der Funktion y(t), Ausgangsspektrumy(t) Ausgangssignal (allgemein) im Zeitbereichy(n) Wertefolge am Ausgang eines zeitdiskreten SystemsY komplexer Leitwert, Admittanz,Z komplexer Widerstand, ImpedanzZ Symbol der z-TransformationZ(s) ZählerpolynomZD negative Impedanz des FDNRZTR Transferimpedanz, Transimpedanz (CFA)z Frequenzvariable in zeitdiskreten Systemen

–––––––––––δ(t) Impulsfunktion (Dirac-Impuls)ε Spreizungsfaktor (Amplitudenstabilisierung, Oszillator)ε (t) EinheitssprungfunktionεD Toleranzfaktor (Betragsfunktion, Amplitudengang)φ Phasenwinkelφ Taktphase (SC-Technik)γ Maß für das Überschwingen (in %)η auf die Polfrequenz ωP normierte allgemeine Frequenzvariable,σ Realteil der komplexen (Kreis-)frequenz sσN Abklingkonstante, Realteil des komplexen Eigenwertes sNτ ZeitkonstanteτG(jω ) frequenzabhängige GruppenlaufzeitτG0 Gruppenlaufzeit bei ω=0τN Skalierungsgröße (Bruton-Transformation)τSC Skalierungsgröße (SC-Technik)ω Kreisfrequenz ω=2πf , Imaginärteil der komplexen Kreisfrequenz sωD DurchlassgrenzeωG 3-dB-GrenzkreisfrequenzωM Mittenkreisfrequenz (Bandpass)ωN Eigenkreisfrequenz, Imaginärteil des komplexen Eigenwertes sNωP Polkreisfrequenz, ωP=|sN|ωS Beginn des Sperrbereichs, SperrgrenzeωZ Übertragungsnullstelle, Imaginärteil von sZΩ auf die Durchlassgrenze ωD normierte allgemeine Frequenzvariableζ Dämpfungsfaktor (Resonanzkreis)

XVI Verwendete Symbole und Abkürzungen

Abkürzungen

A-H Abtast-Halte-FunktionBL Bilineare Transformation (SC-Technik)BTC Balanced Time ConstantsCC Current Conveyor (Stromkonverter)CCCS Current Controlled Current Source (Stromgesteuerte Stromquelle)CCVS Current Controlled Voltage Source (Stromgesteuerte Spannungs quelle)CFA Current-Feedback Amplifier (Transimpedanzverstärker)ER Euler-Rückwärts-Approximation (SC-Technik)EV Euler-Vorwärts-Approximation (SC-Technik)FDNR Frequency-Dependent Negative ResistorFLF Follow-the-Leader-FeedbackGBP Gain-Bandwidth-Product (Transitfrequenz)GIC Generalized Impedance ConverterKHN Kerwin-Huelsman-Newcomb(-Filter)LDI Lossless Discrete Integrator (verlustloser zeitdiskreter Integrator)LF LeapfrogMFB Multiple-FeedbackMLF Multi-Loop-FeedbackNIC Negative Impedance ConverterOPV OperationsverstärkerOTA Operational Transconductance Amplifier (Steilheitsverstärker)PRB Primary Resonator BlockSC Switched-Capacitor (Schalter-Kondensator)VCVS Voltage-Controlled Voltage SourceVFA Voltage-Feedback Amplifier

Einführung

Elektrische Filterschaltungen spielen eine herausragende Rolle in allen Bereichender modernen Telekommunikation, der Signalverarbeitung sowie der Mess- undRegelungstechnik. Dabei entspricht die Funktion des „Filterns“ einem Auswahl-prozess, bei dem charakteristische Merkmale der zu filternden elektrischen Grö-ßen benutzt werden, um bestimmte Anteile erkennen und verarbeiten zu können.In den meisten Fällen sind es elektrische Spannungen, die auf diese Weise nachbestimmten Kriterien verarbeitet werden.

Unter diese allgemeine Definition fallen beispielsweise die auf bestimmte Mi-nimal- bzw. Maximalwerte reagierenden Amplitudenfilter sowie über spezielleImpulse synchronisierte Auswahlschalter, die als Zeitfilter angesehen werdenkönnen (Beispiel: PCM-Zeitmultiplex).

In der bei weitem überwiegenden Anzahl aller Anwendungen werden elektri-sche Filter aber eingesetzt, um die in den elektrischen Spannungen enthaltenenspektralen Anteile unterschiedlich zu bewerten und beim Durchlauf durch dasFilter gezielt zu verändern.

Dieses Buch befasst sich ausschließlich mit diesen frequenzselektiven Filtern,die – soweit es den Bereich der Elektrotechnik betrifft – im allgemeinen Sprach-gebrauch vereinfachend als „Filter“ bezeichnet werden und deren Funktion darinbesteht, aus einem Frequenzgemisch nach festgelegten Kriterien bestimmte An-teile zwecks Weiterverarbeitung oder auch Unterdrückung „herauszufiltern“.

Aus einer Vielzahl von Filteranwendungen in der modernen Elektronik seiensechs typische Beispiele herausgegriffen:• Tiefpassfilter zur Bandbegrenzung in Systemen zur digitalen Verarbeitung

analoger Signale (Anti-Aliasing-Filter);• Tiefpass als Rekonstruktionsfilter am Ausgang eines Digital-Analog-Wandlers

(Video-Filter);• Bandpassfilter zur Frequenzselektion in Empfangsgeräten für drahtlose Kom-

munikationssysteme;• Hochpassfilter für Oberschwingungsanalysen oder als Teilstufe in extrem

breitbandigen Bandpassfiltern;• Bandsperrfilter zur Unterdrückung einzelner Störfrequenzen;• Allpassfilter zum Ausgleich von Laufzeitschwankungen (Delay Equalizer).Schaltungstechnisch eng verwandt mit den Aktivfiltern sind die freischwingenden„linearen“ Oszillatoren, die entweder ein Filter als selektives Element enthaltenoder auf dem Wege einer speziellen Dimensionierung unmittelbar hervorgegan-gen sind aus aktiven Filterschaltungen.

2 Einführung

Um die Funktionsweise von Oszillatoren verstehen zu können, ist es deshalbunerlässlich, über vertiefte Kenntnisse der Filtertechnik zu verfügen. Ein Hinweisdarauf, dass es sich bei Oszillatoren um besonders interessante und anspruchs-volle Systeme handelt, ist die – zunächst widersprüchlich erscheinende – Forde-rung, dass „lineare“ Oszillatoren auch über nicht-linear wirkende Funktionenverfügen müssen, um ein qualitativ hochwertiges sinusförmiges Signal produzie-ren zu können.

Die Wirkungsweise der klassischen passiven Filternetzwerke beruht auf denvon der Frequenz abhängigen Eigenschaften des Kondensators und der gewickel-ten Spule. Diese früher als „Siebschaltungen“ und heute als „Reaktanzfilter“bezeichneten LC-Kombinationen haben auch weiterhin noch eine gewisse Be-deutung im oberen MHz-Bereich.

Angeregt durch die in den 50-er Jahren des vorigen Jahrhunderts sich stür-misch entwickelnde Halbleitertechnik konzentrierten sich zahlreiche Forschungs-aktivitäten auf die Untersuchung der Möglichkeiten, gewickelte Spulen wegenihrer gravierenden Nachteile – Kosten, Gewicht, Volumen, mechanische undelektromagnetische Eigenschaften – durch Verstärkerschaltungen zu ersetzen.

Stellvertretend für viele bahnbrechende Arbeiten auf diesem Sektor sei eineVeröffentlichung aus dem Jahre 1955 erwähnt (Sallen u. Key 1955), in der ein –auch heute noch gebräuchliches – Schaltungsprinzip für Aktivfilter auf der Basisgesteuerter Spannungsquellen beschrieben wird. Der eigentliche Durchbruch deraktiven Filtertechnik ist eng verbunden mit der Technologie der monolithischenIntegration linearer Schaltungen, die ab 1960 die ersten voll integrierten Operati-onsverstärker hervorgebracht hat und wenige Jahre später auch kompakte Filter-bausteine in Hybridtechnologie ermöglichte.

Als weiterer bedeutender Entwicklungssprung in diesem Bereich gilt die etwaseit 1980 beherrschbare monolithische Integration kompletter Filterschaltungen inMOS-Technik. Die Funktion des Widerstandes wird dabei entweder durch einenVerstärker mit Stromausgang (OTA-C-Filter) oder durch eine Kombination ausSignalschaltern und Kondensator nachgebildet (Switched-Capacitor-/SC-Filter).Diese SC-Filter nehmen – aus systemtheoretischer Sicht – eine Zwischenstellungein zwischen den zeitkontinuierlichen Analogfiltern und den zeitdiskret arbeiten-den Digitalfiltern. Gerade in diesem Bereich konnten innerhalb der letzten dreißigJahre viele interessante netzwerktheoretische Erkenntnisse gewonnen und schal-tungsmäßig umgesetzt werden.

Angeregt und motiviert durch die extremen Anforderungen der heutigen mo-bilen Kommunikationsdienste – mit Betriebsspannungen unterhalb von 1,5 V beiminimalem Leistungsverbrauch, guter Dynamik und Frequenzen im hohen MHz-Bereich – konzentriert sich der Entwicklungsaufwand seit etwa 10 Jahren aufvollständig integrierte Filterschaltungen, die im „Log-Modus“ (log domain) ar-beiten. Dabei werden die Eingangssignale zunächst über eine logarithmischeKennlinie komprimiert, bevor sie verarbeitet – d. h. gefiltert – und danach wiedernach dem Kompander-Prinzip exponentiell gedehnt werden (Frey 1996). Diesesderzeit noch nicht ganz ausgereifte Schaltungsprinzip wird im vorliegenden Buchjedoch nicht berücksichtigt.

1 Systemtheoretische Grundlagen

In diesem einleitenden Kapitel werden wichtige Definitionen und Aussagen derSystemtheorie zur Beschreibung des Übertragungsverhaltens frequenzabhängigerNetzwerke zusammengefasst.

In der überwiegenden Anzahl aller Anwendungen bestehen elektrische Filteraus einer Zusammenschaltung einzelner konzentrierter Bauelemente – man sprichtdeshalb auch von Filternetzwerken – mit jeweils zwei Eingangs- und Ausgangs-anschlüssen (oder auch: zwei Toren) zur Ein- bzw. Auskopplung von Spannun-gen. Filterschaltungen werden bei der Beschreibung, Berechnung und Messungihrer Eigenschaften also als frequenzabhängige Zweitore bzw. Vierpole zur Über-tragung elektrischer Signale angesehen.

Der in diesem Zusammenhang elementare Begriff der Systemfunktion wird inAbschn. 1.1 eingeführt und erläutert. In Abschn. 1.2 werden geeignete Klassifizie-rungsmerkmale und Kenngrößen zur Charakterisierung des Filterübertragungs-verhaltens festgelegt. Da die Übertragungseigenschaften der wichtigsten Filterty-pen rechnerisch auf eine Tiefpassfunktion zurückgeführt werden können, wird inAbschn. 1.3 ein geeignetes Toleranzschema zur Formulierung der Anforderungenan den sog. Referenztiefpass eingeführt. Die wichtigsten Methoden zur Annähe-rung (Approximation) an den idealen Tiefpass werden in Abschn. 1.4 diskutiert.Die Verfahren, mit denen diese Tiefpassdaten auch zum Entwurf anderer klassi-scher Filterfunktionen herangezogen werden können (Frequenztransformationen),werden in Abschn. 1.5 beschrieben. Den Schluss dieses Abschnitts bildet eineÜbersicht über passive RLC-Tiefpässe, deren Strukturen auf direktem oder indi-rektem Wege in aktive Schaltungen überführt werden können.

1.1 Lineare Vierpole

1.1.1 Die komplexe Frequenz

Der für die Übertragungs- und Filtertechnik fundamentale Begriff der komplexenFrequenz soll zunächst anhand eines Beispiels, s. Abb. 1.1, eingeführt und erläu-tert werden. Eine Gleichspannung U0 wird zum Zeitpunkt t=0 über einen SchalterS auf eine Reihenschaltung aus Spule (Induktivität L), Widerstand R und Konden-sator (Kapazität C) geschaltet. Die Reaktion dieser als Serienschwingkreis be-zeichneten Schaltungsanordnung auf die sprungförmige Spannungserregung sollüber den Zeitverlauf des fließenden Stromes i(t) berechnet werden.

4 1 Systemtheoretische Grundlagen

Abb. 1.1 LRC-Reihenschaltung an Gleichspannung

Für den geschlossenen Stromkreis ergibt sich nach der Maschenregel

0d ( ) 1( ) ( )d .di tL i t R i t t Ut C+ ⋅ + =∫ (1.1)

Gleichung (1.1) wird mit C multipliziert und nach der Zeit t differenziert. Es ent-steht eine homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit reellen konstan-ten Koeffizienten:

2

2d ( ) d ( ) ( ) 0

ddi t i tLC RC i t

tt+ + = . (1.2)

Mit dem Lösungsansatz

( ) esti t I= ⋅ (1.3)folgt aus Gl. (1.2):

2e (1 ) 0stI sRC s LC⋅ + + = .

Die Größe s ist dabei ein zunächst unbekannter Faktor im Exponenten des Lö-sungsansatzes mit der Dimension 1/Zeit. Der Vorfaktor I ist eine Konstante mitder Dimension eines Stromes. Da die Zeit t immer positiv ist (der Vorgang wurdebei t=0 gestartet), kann die Gleichung nur erfüllt werden, indem der Klammer-ausdruck zu Null gesetzt wird. Es entsteht die sog. charakteristische Gleichungdes Systems, wobei die linke Seite dieser Gleichung das charakteristische Poly-nom bildet:

21 0sRC s LC+ + = . (1.4)

Diese Gleichung zweiten Grades besitzt zwei Lösungen sN1 und sN2, die auch alsEigenwerte des Systems bezeichnet werden:

2

N1,21

2 2R RsL L LC

= − ± −

. (1.5a)

Mit dem Ziel einer anschaulichen Interpretation wird dieses Ergebnis umgeformt,indem die Wurzel aus „-1“ gebildet wird:

2

N1,21j

2 2R RsL LC L

= − ± −

. (1.5b)

L RS

CU0

i(t)t=0

1.1 Lineare Vierpole 5

Mit den folgenden – zunächst willkürlich erscheinenden – Abkürzungen

N 2RL

− =σ und 2

N1

2R

LC L − =

ω (1.6a)

sind die Eigenwerte, Gl. (1.5b), dann in folgender Form anzugeben:

N1,2 N Njs = ±σ ω . (1.6b)

Mit dem Lösungsansatz, Gl. (1.3), ergibt sich daraus der zeitliche Verlauf desStromes durch Überlagerung der beiden Teillösungen:

N1 N2 N N Nj j1 2 1 2( ) e e e ( e e )s t s t t t ti t I I I Iσ ω ω−= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ . (1.7)

Zur Bestimmung der beiden Faktoren I1 und I2 werden die Anfangsbedingungenim Einschaltmoment (t=0) in Gl. (1.7) eingesetzt:

• Bei t=0 verhindert die Induktivität L den Stromfluss durch die Schaltung:

1 2 2 1( 0) 0 i t I I I I= = + = ⇒ = − .

• Bei t=0 gilt deshalb für die Spannung über L (mit uC=0):

0 0 1 N1 2 N2d( 0) ( )dL

iu t U L U L I s I st

= = = ⇒ = + .

Aus beiden Bedingungen folgt zusammen mit Gl. (1.6b):

0 0 01 2 0

N N mit:

j2 2jU I U

I I IL Lω ω

= − = = = .

Durch Einsetzen dieser beiden Konstanten in Gl. (1.7) erhält man dann für dieZeitfunktion des Stromes:

N NN

j j

0(e e )( ) e

2 j

t tti t I

ω ωσ

−−= ⋅ ⋅ . (1.8a)

Für reelle Werte von ω und mit der Euler-Formel für komplexe Ausdrücke

N Nj j

N(e e ) sin

2 j

t tt

ω ωω

−−=

lässt sich Gl. (1.8a) einfach darstellen als Produkt aus einer sinusförmigen Zeit-funktion und einem Vorfaktor (Amplitude), der ebenfalls zeitabhängig ist:

N0 N( ) e sinti t I tσ ω= ⋅ . (1.8b)

Fallunterscheidung Als Folge des Aufschaltens der Gleichspannung U0 auf dieSchaltungsanordnung nach Abb. 1.1 fließt also ein zeitlich veränderlicher Stromi(t), Gl. (1.8), bei dem grundsätzlich drei Fälle zu unterscheiden sind:


• Für den Fall unterkritischer Dämpfung mit σN2 < 1/LC ist der Ausdruck unterder Wurzel in Gl. (1.6) positiv und die Größe ωN deshalb reell. Als Stromstellen sich (mit σN negativ) nach einer e-Funktion abklingende sinusförmigeSchwingungen ein mit der Kreisfrequenz ωN (Einheit rad/s). Die GrößefN =ωN/2π wird dabei als Eigenfrequenz bezeichnet (Einheit 1/s=Hz).

Enthält die Schaltung keine aktiven Bauelemente (Verstärker), ist die GrößeσN stets negativ und führt zu einem gedämpften System. Deshalb wird dieseKenngröße auch Abkling- oder Dämpfungskonstante σN genannt. Ein in die-sem Sinne gedämpftes System wird als stabil bezeichnet.

• Für den Fall kritischer bzw. überkritischer Dämpfung mit σN2≥ 1/LC wird inGl. (1.5b) der Radikand zu Null oder negativ und beide Lösungen sind negativreell. Es kommt ohne Ausbildung von Schwingungen zu einem reinen Ab-klingvorgang.

• Für den – hier nur theoretisch denkbaren – Spezialfall eines ungedämpftenSystems mit R=0 bzw. σN=0 reagiert das System mit einer kontinuierlichenSchwingung der Frequenz ωN =ω 0 =1/LC (Schwingfall, Oszillatorprinzip,vgl. Kap. 8).

Zusammenfassend ist also festzuhalten, dass im vorliegenden Beispiel der zeitli-che Verlauf des Stromes mittels Gl. (1.5) und Gl. (1.6) durch eine Größe sN zubeschreiben ist, die als komplexe Eigen(-Kreis)frequenz bezeichnet wird.

Definition (komplexe Frequenz) In Erweiterung des Begriffs der Kreisfrequenzω wird deshalb – in Verallgemeinerung von Gl. (1.6b) – die komplexe Kreisfre-quenz definiert:

js σ ω= + . (1.9)

Damit können die in stabilen Systemen auftretenden exponentiell abklingendenSchwingungen der Kreisfrequenz ω= 2πf mathematisch auf einfache Weise er-fasst und beschrieben werden. Obwohl nicht ganz konsequent in der Ausdrucks-weise, ist es in der Praxis jedoch üblich, in der Definition nach Gl. (1.9) nur vonder komplexen Frequenz s zu sprechen.

1.1.2 Die Übertragungsfunktion

Für die hier behandelten Übertragungsvierpole sollen die folgenden Vorausset-zungen gelten:

• Linearität: Der Vierpol besitzt lineares Übertragungsverhalten. Bei einem ausmehreren Anteilen zusammengesetzten Signal können deshalb die einzelnenKomponenten separat analysiert (also dem Übertragungsverhalten unterwor-fen) und am Ausgang wieder überlagert werden.

• Zeitinvarianz: Das Übertragungsverhalten ist von der Zeit unabhängig. DerÜbertragungsvierpol hat damit zu jedem Zeitpunkt die gleichen Eigenschaften.


• Stationärer Zustand: Das Übertragungsverhalten des Vierpols wird nur für deneingeschwungenen Zustand untersucht. Alle Einschwingvorgänge werdendeshalb als abgeschlossen betrachtet.

Unter diesen Voraussetzungen kann ein Vierpol (Abb. 1.2) auf ein sinusförmigesEingangssignal x(t) nur mit einem ebenfalls sinusförmigen Ausgangssignal y(t)gleicher Frequenz reagieren, wobei i. a. jedoch Phasen- und Amplitudenänderun-gen auftreten.

Abb. 1.2 Vierpolmodell (linear, zeitinvariant)

Für zwei sinusförmige Eingangssignale xi(t) und xk(t) mit gleicher Frequenz giltdeshalb der folgende Ansatz:

1 2

1 2

( ) sin( ) ( ) sin( ), ( ) cos( ) ( ) cos( ).

i i

k k

x t t y t A tx t t y t A t

ω ϕ ω ϕω ϕ ω ϕ

= + ⇒ = += + ⇒ = +

Dabei berücksichtigt der Faktor A eine vom Vierpol bewirkte Amplitudenände-rung (Verstärkung bzw. Dämpfung) und der Phasenwinkel ϕ=ϕ2-ϕ1 die Verän-derung der Phasenlage zwischen Eingangs- und Ausgangssignal. Die Größen Aund ϕ sind i. a. von der Signalfrequenz abhängig:

( ) ( ) und A A ω ϕ ϕ ω= = .

Wegen der vorausgesetzten Linearität des Systems dürfen die beiden Eingangs-größen xi(t) und xk(t) auch gemeinsam auf den Vierpol einwirken, ohne dass sichan den jeweiligen Ausgangsgrößen yi(t) und yk(t) etwas ändert. Wenn xi(t) außer-dem noch mit dem Faktor „j“ multipliziert wird, gilt für das zusammengesetzteSignal der folgende Zusammenhang:

( ) ( ) j ( ) ( ) ( ) j ( )k i k ix t x t x t y t y t y t= + ⇒ = + .

Nach dem Satz von Euler für komplexe Zahlenjcos jsin e xx x+ = (1.10)

lassen sich Eingangs- und Ausgangssignal auch in folgender Form schreiben:

1 2

1 2

j( + ) j( )

j jj( ) j( )

( ) e ( ) ( )e ,

( ) e e ( ) ( )e e .

t t

t t

x t y t A

x t y t A

ω ϕ ω ϕ

ϕ ϕω ω

ω

ω

+= ⇒ =

= ⇒ =(1.11)

Über die Bildung des Quotienten y(t) / x(t) werden die vom Vierpol verursachtenAmplituden- und Phasenänderungen als Übertragungsfunktion definiert.

VIERPOLx(t) y(t)


Definition (Übertragungsfunktion) Die komplexe Übertragungsfunktion A(jω)eines Vierpols ist definiert als Quotient aus den Zeitfunktionen von Ausgangs-und Eingangssignal für den Spezialfall sinusförmiger Vorgänge:

j

j( ) e

( )( )e ( j )

( ) tx t

y tA A

x tϕ

ωω ω

=

= = . (1.12)

Für den hier besonders interessierenden Fall, dass die Signalgrößen x(t) und y(t)durch Spannungen u1(t) bzw. u2(t) mit den Amplituden 1 2ˆ ˆ bzw. u u repräsentiertwerden, ist die Definition der Übertragungsfunktion besonders einfach zu formu-lieren. Für die Zeitfunktionen der komplexen Spannungen am Eingang bzw. amAusgang des Vierpols lässt sich dann gemäß Gl. (1.11) schreiben:

1 21 21 2j( ) j( )ˆ ˆ( ) ( ) e und ( ) ( ) e .t tx t u t u y t u t uω ϕ ω ϕ+ += = = =

Der Übergang von den komplexen Spannungen u1(t) und u2(t) auf die physika-lisch realen Spannungen u1(t) bzw. u2(t) ist gemäß Gl. (1.10) durch Bildung desImaginär- oder Realteils für sinusförmige bzw. kosinusförmige Vorgänge jeder-zeit möglich.

Mit den komplexen Amplituden

1 2j j1 21 2ˆ ˆ ˆ ˆe bzw. e u u u uϕ ϕ= =

und den zugehörigen komplexen Effektivwerten U1(t) bzw. U2(t) folgt aus der mitGl. (1.12) gegebenen Definition dann die komplexe Übertragungsfunktion

j2 2 2 2

j1 1 11

ˆ ˆ( ) e( j )

ˆ( ) ˆ e

t

tu t u u U

Au t u Uu

ω

ωω = = = = . (1.13)

Die Übertragungsfunktion einer Schaltungsanordnung, die ausschließlich lineareBauelemente bzw. im Arbeitspunkt linearisierte Elemente enthält, ist über dieGesetze der Wechselstromrechnung damit relativ einfach zu ermitteln.

Interpretation der Übertragungsfunktion Die Definition nach Gl. (1.13) kannfür alle linearen Vierpole auch auf die Überlagerung mehrerer sinusförmiger Sig-nale angewendet werden. Die dabei entstehende Summengleichung repräsentierteine komplexe Fourier-Reihe, deren Koeffizienten Betrag und Phase des aus-gangsseitigen Linienspektrums angeben. Durch Übergang auf eine unendlichgroße Periodendauer des entstehenden Summensignals geht die Fourier-Reiheüber in das Fourier-Integral, wobei aus dem Linienspektrum ein kontinuierlichesSpektrum wird.

Der Faktor, der Eingangs- und Ausgangsspektrum miteinander verknüpft, istdie bereits mit Gl. (1.12) definierte Übertragungsfunktion A(jω):

( j )( j ) ( j ) ( j ) ( j )( j )

YY A X AX

ωω ω ω ωω

= ⇒ = . (1.14)


Die Größen X(jω) und Y(jω) sind dabei das zu den Zeitfunktionen x(t) bzw. y(t)gehörende Amplitudendichtespektrum, das über die Fourier-Transformation(Symbol F) berechnet wird:

( j ) ( )X x tω = F und ( j ) ( ) .Y y tω = F

Damit kann die Übertragungsfunktion A(jω) aufgefasst werden als eine komplexeGröße, mit der das Spektrum des Eingangssignals beim Durchgang durch einenVierpol bewertet (d. h. multipliziert) wird. Sie liefert damit den mathematischenZusammenhang zwischen den Amplitudendichtespektren des Eingangs- und Aus-gangssignals und ist so einer anschaulichen physikalischen Deutung zugänglich.

1.1.3 Die Systemfunktion

In Erweiterung des mit Gl. (1.13) eingeführten Begriffs der komplexen Übertra-gungsfunktion A(jω) entsteht die Systemfunktion H(s) eines Vierpols durch denÜbergang von der variablen Größe jω auf die mit Gl. (1.9) definierte komplexeVariable s. Beide Begriffe sind eng miteinander verknüpft und können durcheinfachen Ersatz der Variablen in die jeweils andere Funktion überführt werden.

j( j ) ( )sA H sωω = = . (1.15)

Definition (Systemfunktion) Sind X(s) und Y(s) die Laplace-Transformierten(Symbol L) der Zeitfunktionen x(t) bzw. y(t), also:

( ) ( )X s x t= L und ( ) ( )Y s y t= L ,

dann geht der mit Gl. (1.14) definierte Quotient über in die Systemfunktion

( )( )( )

Y sH sX s

= . (1.16)

Durch den formalen Übergang von jω auf s gehen die Fourier-TransformiertenX(jω) und Y(jω) in Gl. (1.14) in die Laplace-Transformierten X(s) bzw. Y(s) derZeitfunktionen x(t) und y(t) über, vgl. Gl. (1.16).

Von besonderer Bedeutung ist die Systemfunktion H(s) für die Beurteilung derStabilität von Übertragungssystemen, da sie – wie in Abschn. 1.1.4 gezeigt wird –in einem direkten Zusammenhang mit der Differentialgleichung bzw. der zugehö-rigen charakteristischen Gleichung des Systems steht, deren Lösungen das Zeit-verhalten kennzeichnen.

Im Gegensatz zur der Übertragungsfunktion A(jω), die Eingangs- und Aus-gangsspektrum miteinander verknüpft, ist die Systemfunktion H(s) keiner unmit-telbaren physikalischen Deutung zugänglich. Sie steht jedoch über die Laplace-Transformation mit Zeitfunktionen in Verbindung, die auf anschauliche Weise dasÜbertragungsverhalten kennzeichnen (Impulsantwort bzw. Sprungantwort), vgl.dazu Abschn. 1.1.4.


1.1.4 Lineare Netzwerke im Zeit- und Frequenzbereich

Die wichtigsten Zusammenhänge zwischen den Funktionen, die den linearenzeitinvarianten Übertragungsvierpol (Abb. 1.2) im Zeit- bzw. Frequenzbereichbeschreiben, werden – ohne Beweisführung – nachfolgend kurz zusammenge-fasst. Eine ausführliche Darlegung der Zusammenhänge ist der Spezialliteratur zudem Thema „Systemtheorie“ zu entnehmen, z. B. (Marko 1995).• Die Übertragungsfunktion A(jω) ist über die komplexe Wechselstromrechnung

relativ einfach zu ermitteln, vgl. Gl. (1.13).• Über die Regeln der komplexen Rechnung können aus A(jω) die Betragsfunk-

tion |A(jω)|=A(ω) und die Phasenfunktion ϕ=ϕ(ω) ermittelt werden. BeideFunktionen – auch als Amplituden- bzw. Phasengang bezeichnet – beschrei-ben auf anschauliche Weise das Übertragungsverhalten eines Vierpols.

• Durch den Übergang von der Variablen „jω“ auf die komplexe Frequenz „s“entsteht aus der Übertragungsfunktion A(jω) die Systemfunktion H(s).

• Mit Gl. (1.16) und der Vorgabe X(s) = 1 gilt folgender Sonderfall:

( ) ( ) für ( ) 1 ( )Y s H s X s tδ= = = L

mit der Impulsfunktion (Dirac-Impuls) δ(t).• Deshalb ist auch:

( ) ( )H s h t= L

mit der Impulsantwort h(t) = y(t) für den Fall x(t) =δ(t).• Die Systemfunktion H(s) ist also die Laplace-Transformierte der zeitlichen

Reaktion h(t) des Systems auf eine Impulserregung δ(t) am Eingang.• Für die Einheitssprungfunktion

0 ( 0)( ) ( )

1 ( 0)t

x t tt

ε≤= = >

(1.17)

besteht der folgende Zusammenhang mit der Impulsfunktion δ(t):

d( ) ( ).d

t tt

δ ε= (1.18)

• Weil die Operation „d/dt“ gemäß Laplace-Transformation einer Multiplikationim Frequenzbereich mit „s“ entspricht, lässt sich für den als Testsignal interes-santen Einheitssprung ein einfacher Zusammenhang mit H(s) formulieren:

( ) ( )H s s g t= L mit y(t)=g(t) für x(t)=ε(t).

• Die Systemfunktion H(s) ist also die mit der Variablen „s“ multiplizierteLaplace-Transformierte der Zeitfunktion g(t) am Ausgang für den Sonderfalleiner sprungförmigen Erregung ε(t) am Eingang. Die Funktion g(t) wird des-halb als Sprungantwort bezeichnet.


• Zwischen den oben definierten Ausgangssignalen h(t) und g(t) besteht dergleiche mathematische Zusammenhang wie für die beiden zugehörigen Ein-gangsfunktionen δ(t) bzw. ε(t):

d( ) ( ).d

h t g tt

= (1.19)

Die oben genannten Möglichkeiten, ein Vierpolnetzwerk in seinem Zeit- bzw.Frequenzverhalten zu beschreiben, sind also nicht unabhängig voneinander. Diewesentlichen Zusammenhänge sind in Abb. 1.3 noch einmal zusammengefasstdargestellt.

BeispielIn Abschn. 1.1.1 wurde das Zeitverhalten einer RLC-Serienschaltung (Abb. 1.1)untersucht, die mit einem Spannungssprung am Eingang beaufschlagt wird. Diegleiche Schaltung wird nun als Übertragungsvierpol betrachtet, indem die Span-nung über dem Kondensator als Ausgangssignal U2 definiert wird, vgl. Abb. 1.4.

Für diese Anordnung, die den klassischen passiven RLC-Tiefpass darstellt, sollnun das Frequenzverhalten analysiert und die Systemfunktion H(s) ermittelt wer-den. Dabei wird sich ein wichtiger formaler Zusammenhang mit der Differential-gleichung, Gl. (1.2), ergeben, die das zeitliche Verhalten der Schaltung be-schreibt.

L: Rechenvorschrift zur Laplace-Transformation L-1: Rechenvorschrift zur inversen Laplace-Transformation

A(ω)

A(jω)

g(t)

h(t)

ϕ(ω)

S=jωSystemfunktion

Impulsantwort Amplitudengang (Betrag)

Sprungantwort Phasengang

Übertragungs- funktionH(s)

L L-1

s⋅L ( )H s s -1L

Abb. 1.3 Zusammenhänge kennzeichnender Funktionen im Zeit- und Frequenzbereich


Abb. 1.4 RLC-Vierpol

SystemfunktionÜber die komplexe Wechselstromrechnung kann die Übertragungsfunktion derRLC-Schaltung als Verhältnis der komplexen Effektivwerte von Ausgangs- undEingangsspannung angegeben werden:

2

1

1/ j( j ) .1/ j j

U CAU R C L

ωωω ω

= =+ +

Durch Übergang auf die komplexe Frequenz folgt gemäß Gl. (1.15) die System-funktion

21/ 1( ) .1/ 1+

sCH sR sC sL sRC s LC

= =+ + +

(1.20)

Der Vergleich zwischen Gl. (1.20) und Gl. (1.4) führt zu der folgenden Aussagemit allgemeiner Gültigkeit:Im Nenner der Systemfunktion steht die linke Seite der charakteristischen Glei-chung des Systems, deren Lösungen (Eigenwerte) sN1 und sN2 das Einschwing-verhalten anschaulich beschreiben.Für das vorliegende Beispiel sind diese Lösungen mit Gl. (1.5) in Abschn. 1.1.1angegeben. Der Realteil σN dieser Lösungen muss – wie in Abschn. 1.1.1 darge-legt – aus Stabilitätsgründen immer negativ sein.

EinschwingverhaltenDie Untersuchungen der Schaltungsanordnung in Abb. 1.4 sollen vervollständigtwerden durch die Berechnung des zeitlichen Verlaufes der Ausgangsspannungu2(t) für den Fall einer sprungförmigen Erregung mit

10

0 ( 0)( ) .

( 0)t

u tU t

<= ≥

Die Spannung u2(t) kann als Spannungsabfall am Kondensator durch den fließen-den Strom i(t) ausgedrückt werden. Zusammen mit Gl. (1.1) ist dann

2 01 d ( )( ) ( )d ( ) .

di tu t i t t U i t R L

C t= = − +∫

Für kleine Dämpfungen σN2 < 1/LC verläuft die Zeitfunktion des Stromes nachGl. (1.8) mit der zugehörigen Ausgangsspannung

LR

CU1 U2


N N2 0 N N

N( ) 1 e (cos sin ) .tu t U t tσ σ

ω ωω

= − −

(1.21)

Nach anfänglichem Anstieg über U0 hinaus − im Bereich negativer cos-Werte −nähert sich die Spannung u2(t) für den Fall relativ geringer Kreisdämpfung mit

22

N 21

4R

LCLσ = <

dem Endwert U0 in Form einer abklingenden Schwingung mit der Eigenkreisfre-quenz ωN, s. dazu Abschn. 1.1.1, Gl. (1.8). Bei relativ großer Dämpfung mit

2N

1LC

σ ≥

verläuft der Strom nach einer abklingenden e-Funktion und es kommt ohne Aus-bildung von Schwingungen zu einer Annäherung an U0.

Ein zahlenmäßiger Zusammenhang zwischen den Kenngrößen der Sprungant-wort im Zeitbereich, Gl. (1.21), und der Frequenzcharakteristik von Filtern wirdin Abschn. 1.2.3 (Absatz „Einschwingverhalten“) formuliert.

1.1.5 Polverteilung und Stabilität

Für die Schaltung in Abb. 1.4 hat sich die charakteristische Gleichung über denNenner der Systemfunktion, Gl. (1.20), ergeben. Diese Aussage lässt sich für allehier behandelten aktiven und passiven Übertragungsvierpole verallgemeinern.

Damit ist es also nicht notwendig, die Differentialgleichung eines Systems zurBeurteilung des Einschwingverhaltens bzw. der Stabilität zu ermitteln. Viel einfa-cher ist es in vielen Fällen, die zugehörige Systemfunktion aufzustellen, derenNenner dann direkt zur charakteristischen Gleichung und zu deren Lösung führt.

Es ist üblich, die Nullstellen sN des Nennerpolynoms als Polstellen – oder kurz:Pole – der Systemfunktion zu bezeichnen und deren Zahlenwerte in der komple-xen s-Ebene graphisch darzustellen. Zusammen mit der Darstellung der Nullstel-len sZ des Zählers (Nullstellen der gesamten Systemfunktion) wird das Übertra-gungsverhalten des Vierpols dadurch – bis auf eine Konstante – vollständig be-schrieben (Beispiele dazu in Abschn. 1.2).

Da gemäß Voraussetzungen in Abschn. 1.1.2 hier nur lineare und zeitinvarianteVierpole betrachtet werden, haben die systembeschreibenden Differentialglei-chungen reelle konstante Koeffizienten, so dass auch H(s) eine gebrochen-rationale Funktion mit reellen Koeffizienten ist. Damit können als Nullstellen desNenners nur reelle oder konjugiert komplexe Lösungen entstehen. Über eine Zer-legung des Nenners in Linearfaktoren ist diese Aussage leicht zu überprüfen. DerGrad der Differentialgleichung bzw. der Systemfunktion bestimmt dabei die An-zahl der Lösungen und damit die Anzahl der Pole.


Die wichtigsten Aussagen zu diesem Komplex werden wegen ihrer Bedeutunghier noch einmal im Überblick zusammengefasst:• Bei einem linearen und zeitinvarianten Vierpol (LTI-System) lässt sich die

charakteristische Gleichung des Systems, deren Lösungen das Einschwingver-halten im Zeitbereich charakterisieren, direkt über die Systemfunktion H(s)ermitteln. Der Nenner von H(s) ist mit dem charakteristischen Polynom iden-tisch.

• Die Nullstellen des Nennerpolynoms N(s) − die Pole der Systemfunktion −sind damit die Lösungen der charakteristischen Gleichung. Sie sind entwederreell oder konjugiert komplex. Die Anzahl der Pole ist identisch zum Grad derSystemfunktion.

• Das Vorzeichen des Realteils der Pole ist stets negativ, sofern es sich um einstabiles Übertragungssystem handelt. Die graphische Darstellung in der kom-plexen s-Ebene zeigt dann Pole nur in der linken Halbebene, vgl. Abb. 1.5.

• Bei einem passiven Vierpol ist diese Eigenschaft stets sichergestellt und mussfür ein stabiles aktives System durch die Dimensionierung erzwungen werden.

• Aus der Lage der Pole sN bzw. der Nullstellen sZ in der s-Ebene kann unmit-telbar auf das Übertragungsverhalten und die Stabilitätseigenschaften einesVierpolnetzwerks geschlossen werden.

• Für den theoretisch denkbaren Sonderfall, dass bei einem System 2. Grades fürden Realteil des Polpaares σN1,2 = 0 gilt (Pole auf der imaginären Achse der s-Ebene), handelt es sich um ein System mit der Fähigkeit zur Erzeugung unge-dämpfter Schwingungen (Oszillatorprinzip).

BeispieleBeispiel 1: RLC-Vierpol Für den RLC-Vierpol in Abb. 1.4 sind die Pole bereitsals Nullstellen der charakteristischen Gleichung ermittelt worden, s. Gl. (1.5):

2

N1,2

N N

1j2 2R RsL LC L

= − ± −

σ ω

.

Für den Ausdruck unter der Wurzel sind dabei drei charakteristische Fälle zuunterscheiden:

2 12RL LC

<

⇒ unterkritische Dämpfung (konj.-komplexes Polpaar),

2 12RL LC

=

⇒ kritische Dämpfung (negativ-reeller Doppelpol),

2 12RL LC

>

⇒ überkritische Dämpfung (zwei neg.-reelle Pole).


Der Sonderfall mit R=0 würde einem verlustfreien und ungedämpften passivenSchwingreis entsprechen, der bei einem Netzwerk aus realen Bauelementen we-gen der unvermeidbaren Verluste in der Spule und im Kondensator jedoch nichtauftreten kann.

Es ist üblich, in der komplexen s-Ebene die Pole sN der Systemfunktion durchKreuze (x) und die Nullstellen sZ durch Kreise (O) zu markieren . Für das vorlie-gende Beispiel kann in Abb. 1.5 nur das konjugiert-komplexe Polpaar dargestelltwerden, da die Systemfunktion, Gl. (1.20), nur für s→∞ verschwindet. In diesemFall ist die Nullstelle in der s-Ebene nicht darstellbar.

Beispiel 2: RC-Vierpol zweiten Grades Zum Vergleich mit der Polverteilungdes RLC-Vierpols zweiten Grades aus dem ersten Beispiel sollen jetzt die Pole derSerienschaltung zweier einfacher RC-Glieder nach Abb. 1.6 ermittelt werden.

Abb. 1.6 RC-Vierpol zweiten Grades

Über die komplexe Wechselstromrechnung und mit den abkürzenden Bezeich-nungen für die Zeitkonstanten

R1C1=T1 bzw. R2C2=T2

kann die zugehörige Systemfunktion zweiten Grades aufgestellt werden:

21 2 1 2 1 2

1( )1 ( )

H ss T T R C s T T

=+ + + +

. (1.22)

R1 R2

C1 u1 u2C2

j⋅Im(s)=jω

ωN

|σ N|

s-Ebene

Abb. 1.5 Polverteilung in der s-Ebene (zu Abb. 1.4)

Re(s)=σ


Die zugehörigen Pole (Nullstellen des Nenners) sind:

21 2 1 2 1 2 1 2

N1,21 2 1 2 1 2

( )1 1 .2 4

T T R C T T R CsT T T T T T

+ + + += − ± −

(1.23)

Da der Ausdruck unter der Wurzel für alle Werte von T immer positiv ist, besitztdie Systemfunktion der Schaltung in Abb. 1.6 zwei reelle Pole sN1 und sN2 auf dernegativ-reellen Achse der s-Ebene.

Beispiel 3: RC-Vierpol ersten Grades Für den Ansatz R2=0 und C2=0 geht dieSchaltung in Abb. 1.6 in einen RC-Vierpol ersten Grades über. Die zugehörigeSystemfunktion

1

1( )1

H ssT

=+

(1.24)

besitzt eine reelle Polstelle bei sN=-1/T1 .

VerallgemeinerungDie Ergebnisse aus den letzten beiden Beispielen lassen sich auf alle passiven RC-Schaltungen übertragen und erlauben die folgende allgemeingültige Aussage:Passive RC-Anordnungen ermöglichen keine Systemfunktionen mit konjugiert-komplexer Polverteilung. Alle Polstellen liegen auf der negativ-reellen Achse ders-Ebene.Diese Eigenschaft ist der eigentliche Grund dafür, dass spulenfreie RC-Filteraktive Elemente (d. h. Verstärker) enthalten müssen, um das Übertragungsverhal-ten passiver Filterstrukturen aus Widerständen, Spulen und Kondensatoren – mitder Fähigkeit zu konjugiert-komplexen Polen – nachbilden zu können.

1.2 Filtercharakteristiken zweiten Grades

Die wesentlichen Merkmale und Kenngrößen von Filternetzwerken werden indiesem Abschnitt abgeleitet und definiert am Beispiel einer allgemeinen System-funktion zweiten Grades, die auch bei der Konfiguration und Dimensionierungvon Filtern höheren Grades (n>2) eine wichtige Rolle spielt. Daraus ergeben sichdie Kriterien für eine sinnvolle Klassifizierung unterschiedlicher Filtertypen.

Der Grad der Systemfunktion ist identisch mit dem Grad des Nennerpolynomsund für kanonische Schaltungen – das sind Schaltungen mit der systembedingtenMinimalzahl an Bauelementen – auch identisch mit der Zahl der frequenzabhän-gigen Bauelemente (Kondensator der Kapazität C bzw. Spule der Induktivität L.

Lutz v. Wangenheim Aktive Filter und...

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