MATHEMATHIK

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Mathematik

Klasse 10.Epoche 2

Maximilian Ernestus

Arithmetische Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist eine gesetzmäßige Aufeinanderfolge von Zahlen

Beispiel:Die Temperatur in 25 m Tiefe beträgt 10° C. Je 100 m Tiefe steigt die Temperatur um 3° C. Es ergibt sich die Folge:

Beispiel:In einem Saal befinden sich in der ersten Reihe 81 Stühle. Bei jeder weiteren Reihe verringert sich die Anzahl um drei Stühle. Wie viele Stühle befinden sich in der neun-ten Reihe?

Tn = 81-((n-1)×3)

T9 = 81-(9-1)×3)

T9 = 57

In der neunten Reihe befinden sich 57 Stühle.

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N = 1T1 = 13 °C

N = 2T2 = 16 °C

N = 3T3 = 19 °C

N = 4T4 = 22 °C

Nummer:Temperatur

+ 1 × 3 °C

+ 2 × 3 °C

+ 3 × 3 °C

Bildungsgesetz:an = a1 + (n-1) × d

a1 = Anfangsglied

d = Differenz zweier aufeinander folgender Glieder

n = Nummer

an = Wert des n-ten Gliedes

Ergänzung:Wieviele Stühle befinden sich im Ganzen Saal?

Antwort:Wir schreiben die Summe in zwei Arten untereinander.

S = 81+78+75 ... +60+57

S = 60+57+ ... +78+81

2×S = 138 + ... +138+138

2×S = 138×9

S = (138×9)÷2

S = 621

Ergebnis:Es sind insgesamt 621 Stühle.

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Arithmetische Folgen höherer Ordnung

Ein Kreis wir durch Sehnen in Teilgebiete unterteilt. Es soll darauf geachtet werden, dass jeweils die maximal mögliche Anzahl von Teilgebieten entsteht.

Anzahl der Sehnen n = 1 n = 2 N = 3

Max Anzahl der Gebiete

A1 = 2 A2 = 4 A3 = 7

Die Maximale Anzahl von Gebieten erreicht man dadurch, dass man die neue Linie alle vorhandenen Linien kreuzen lässt. Die Anzahl der Flächen die sich hinzufügen steigt Pro schritt um eins, da nach jedem Schritt eine Linie mehr vorhanden ist.

A1 = 2 A2 = 4 A3 = 7 A4 = 11 A5 = 16

2 3 4 5

2 3 4Wir bilden die Differenzen aufeinander folgender Glieder und erhalten die erste und zweite Differenzfolge. Liegt eine Arithmetische Folge zweiter Ordnung vor, treten die gleichen Zahlen erst in der dritten Differenzfolge auf.

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Geometrische Folgen

Wir betrachten einen Bakterienstamm, der aus 14,2 Mio. Bakterien besteht. Nach je-der Stunde wird gezählt auf wie viel Mio. sich die Bakterien vermehrt haben. Diese Zahlen bilden eine Folge. Das Anfangsglied wird im Unterschied zur arithmetischen Folge mit A0 = 14,2 bezeichnet und nicht mit a1.

Anfangsglied 1. Glied 2. Glied 3. Glied n-tes Glied

A0 = 14,2 A1 = 15,34 A2 = 16,56 A3 = 17,89 An=14,2×1,08n

Bei dieser Zahlenfolge ist der Quotient zwei aufeinander folgender Glieder stets 1,08. Um ein Glied zu berechnen multipliziere ich das Anfangsglied so oft mit 1,08 wie die Nummer des Platzes angibt. Der Quotient 1,08 wird als Wachstumsfaktor bezeichnet und mit dem Buchstabe q abgekürzt. Eine Zahlenfolge bei der jedes Glied durch Mul-tiplikation mit demselben Faktor q aus dem vorherigen Glied hervorgeht, heißt geo-metrische Folge.

Die Abstände zwischen den Gliedern lassen sich auch in Prozenten ausdrücken.

A1 - A0 = 1,14 1,14÷14,2 = p÷100 ⇒ p=8%

A2 - A1 = 1,22 1,22÷15,34 = p÷100 ⇒ p=8%

Bei einer geometrischen Folge nehmen die Glieder mit gleichen Prozentsätzen zu.

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× 1,08

× 1,08 ×1,08 = 1,082

× 1,083

× 1,08n

Wachstumsfaktor Prozentsatz

q=1,08 p=8%

q=(100+p)÷100 Zunahme

q=(100-p)÷100 Abnahme

Bei Zunahmeprozessen ist q>1, bei Abnahmeprozessen ist q<1. Das Bildegesetz zu Berechnung des n-ten Gliedes lautet

Kn = K0 × qn

K0 = Anfangsglied

q = Wachstumsfaktor

n = Nummer des Gliedes

Kn = der Wert des n-ten Gliedes

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1. BeispielEin Marathonläufer steigert sein An-fangspensum a1 = 3200 täglich um 800m.

an = 3200 + (n-1) × 800

Trainingsverlauf

1.500 M

3.000 M

4.500 M

6.000 M

Tag 1Tag 2

Tag 3Tag 4

2. BeispielEin Ausgangsquadrat mit der Fläche A0 = 9 cm2 wird verdoppelt. Dieses wird wiederum verdoppelt.

Größe der Quadrate

37,5 cm²

75,0 cm²

112,5 cm²

150,0 cm²

Quadrat 0Quadrat 1Quadrat 2Quadrat 3Quadrat 4

An = 9 × 2n

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Lineares und Exponentielles Wachstum

Eine wichtige Anwendung des geometrischen Wachstums ist Zinsrechnung. Ein An-fangskapital K0 wird mit einem bestimmten Prozentsatz (Zinssatz p% ) verzinst; die Zinsen werden dem Kapital zugeschlagen und im nächsten Jahr mit verzinst.

a) Gegeben:K0 = 320,- €

Zinssatz p% = 2,5%

Laufzeit n = 7 Jahre

Bildegesetz: Kn = K0 × qn

q = (100+2,5)÷100

q = 1,025

K7 = 320 × 1,0257

K7 = 380,38 €

b) Gegeben:p% = 3%

n = 5

K5 = 985,38

Bildegesetz: Kn = K0 × qn

Einsetzen: q = (100+3) ÷ 100

q = 1,03

985,38 = K0 × 1,035

985,38 ÷ 1,035 = K0

850,- € = K0

c) Gegeben:K0 = 2250,- €

n = 5

K5 = 2608,36

Bildegesetz: Kn = K0 × qn

2608,36 ÷ 2250 = q5

1,16 = q5

q = sqr(1,16)

1,03 = q

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Einige Mathematische Begriffe

25= 32

Merke:Will ich in der Gleichung

X4 = 81

Die Basis X gewinnen, so ist diejenige Zahl gesucht, die mit vier Potenziert wieder 81 ergibt. Diese Zahl wird so geschrieben:

814X =Lösung: x = 3Probe: 34 = 81Allgemein:Xn = r

x = n√r

Die Quadratwurzeln lässt man die Wurzelexponenten meistens weg.

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Potenz

Potenzwert

Basis (Grundzahl)

Exponent (Hochzahl)

Potenzen mit ganzen Exponenten

Wir untersuchen die Potenzen zur Basis zwei.

Hochzahlen -1 -1 -1 -1 -1 -1

-3 ⇠ -2 ⇠ -1 ⇠ 0 ⇠ 1 ⇠ 2 ⇠ 3

Potenz

2-3 2-2 2-1 20 21 22 23

Potenzwerte

⅛ ¼ ½ 1 2 4 8

Ähnliche Folgen lassen sich auch für Potenzen mit anderer Basis zeigen.

Merke:I. Der Exponent ist positiv: an = a × a × a ... × a

II. Der Exponent ist Null: a0 = 1

III. der Exponent ist negativ: a-1 = 1/an

Beispiele:0,2-3 = 1/0,23 = 1/(2/10)3 = 1/(1/5)3 = 1/(1/125) = 125

3,4 mm = 0,0034 m = 3,4 × 1/1000 = 3,4 × 10-3m

Rechenregeln für Potenzen

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1.) Potenzgesetz23 × 25 = ×2×2× 2×2×2×2×2 = 23+5 = 28

an × am = an+m

2.) Potenzgesetz28/25 = 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2/2× 2× 2× 2× 2

an/am = an-m

3.) Potenzgesetz(25)4 = 25 × 25 × 25 × 25 = 220

(an) = an×m

4.) Potenzgesetz

2123 =

amn = a

mn

Die Potenzen zur Basis zwei beim Hören von Oktaven

Eine Seite schwingt jeweils mit ... Schwingungen pro Sekunde (=Hertz)

Ton

a4220 × 24 = 220 × 2 × 2 × 2

× 23520

a3 220 × 23 = 220 × 2 × 2 × 2 1760

a2 220 × 22 = 220 × 2 × 2 880

a1 220 × 21 = 220 × 2 440

a 220 = 220 × 1 220

A 220 × 2-1 = 220/2 110

A1 220 × 2-2 = 220/4 55

A2 220 × 2-3 = 220/8 27,5

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2×2×2 × 2×2×2 × 2×2×2 × 2×2×2 × = 24

Logarithmenrechnung

Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Radizieren lassen sich vereinfachen, wenn wir die Zahlen mit Potenzen verwandeln und dann Potenzgesetze anwenden. Da ein Exponent auch Logarithmus genannt wird, spricht man von Logarithmenrech-nung.

Multiplizieren:64 × 8192 = 524288

↓ ↓ ↑

26 × 213 = 219

Dividieren:65536 ÷ 512 = 128

↓ ↓ ↑

216 ÷ 29 = 27

Potenzieren:643 = 262144

↓ ↑

(26)3 218

Radizieren:

2124 = 2

3

40964 = 8

Das vierte Potenzgesetz für Radizieren (Wurzelziehen) von Potenzen kann zu Po-tenzen führen, deren Exponent ein echter Bruch wird.

a) 2√64 = 2√62 = 26/2 = 23

Lösung: 2√64 = 8

Probe: 8 × 8 = 64

b) 2√8 = 2√23 = 23/2 = 21,5

Lösung: 2√8 = 21,5

Probe: 21,5 × 21,5 = 23 = 8

Das vierte Potenzgesetz liefert in Fall b) für 2√8 formal( also dem Gesetz nach) nur 21,5 was zur Berechnung ohne Taschenrechner keine Hilfe ist.

Merke:Tritt in Exponenten einer Potenz ein echter Bruch auf, so ist darunter eine Wurzel zu verstehen.

Die temperierte Stimmung beim Klavier

Töne entstehen an einer Seite wenn sie mit einer bestimmten Zahl Schwingungen pro Sekunde schwingt (Hertz). Der Ton a1 hat die Schwingungszahl 440 Hertz, die Oktave darüber ist der Ton a2 = 880 Hertz. Bei der temperierten Stimmung liegen zwischen a1 und a2 12 Halbtonschritte bzw. elf Halbtöne. Die Schwingungszahlen dieser Halbtonschritte bilden eine Strenge geometrische Folge. Das Intervall von a1 bis cis umfasst fünf Halbtonschritte, cis ist der vierte Halbton nach a1. Dieses Intervall ist also 1/3 des Oktavsprungs. Die Schwingungszahl lautet 554 und ist 26% mehr als die Schwingung von a1. Bei der reinen Stimmung der Geige beträgt dieser Zinssatz nur 25%, diese Terz ist also etwas niedriger.

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