Matemática

MATEMÁTICA Professores: Gustavo Rodrigues e

Stheffanie Machado

Tópico 01: Razão e proporção • Razão: do número natural a pelo número natural b≠ 𝟎𝟎 ao quociente a

b .

É um número que relaciona duas medidas ou quantidades.

• Proporção: é a igualdade entre duas razões 𝒂𝒂𝒃𝒃 =

𝒄𝒄𝒅𝒅

Como se aplica: (ENEM 2018)

Apesar de os valores apresentados estarem corretos e a largura das colunas ser a mesma, muitos leitores criticam o formato do Gráfico 2 impresso no jornal, alegando que houve prejuízo visual para o candidato B. A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna A nos gráficos 1 e 2 é:

a) 0

b) 12

c) 15

d) 215

e) 𝟖𝟖𝟑𝟑𝟑𝟑

(ENEM 2018) Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à marca do tesouro meça 7,6 cm. A medida real, em quilômetros, desse segmento de reta é: a) 4 408 b) 7 632 c) 44 080 d) 76 316 e) 440 800

Tópico 02: Regra de três

O que é grandeza? É tudo aquilo que pode ser medido.

• DUAS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS QUANDO VARIAM NA MESMA RAZÃO.

𝑨𝑨 ∝ 𝑩𝑩 𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑪𝑪𝑸𝑸𝑨𝑨𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝑨𝑨𝑩𝑩

= 𝑲𝑲

Exemplo: Para fazer uma viagem de 320 Km, um motorista gastou 3 horas. Nas mesmas condições, esse motorista levaria 6 horas para percorrer 640 km.

• DUAS GRANDEZAS SÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAIS QUANDO VARIAM UMA NA RAZÃO INVERSA DA OUTRA.

𝑨𝑨 ∝𝟏𝟏𝑩𝑩

𝑷𝑷𝑷𝑷𝑸𝑸𝑷𝑷𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 É 𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑪𝑪𝑸𝑸𝑨𝑨𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝑨𝑨.𝑩𝑩 = 𝑲𝑲

Exemplo: Para fazer uma viagem, a uma velocidade constante de 60km/h, um motorista gastou 6 horas. Para percorrer a mesma distância, nas mesmas condições, a uma velocidade de 120 km/h, esse motorista gastaria 3 horas.

• SE A VARIAÇÃO DE DUAS GRANDEZAS NÃO GERAM RAZÕES IGUAIS E NEM PRODUTOS IGUAIS, ENTÃO ESSAS GRANDEZAS NÃO SÃO PROPORCIONAIS.

Não variam em razão direta nem inversa

Exemplo: Aos 7 anos de idade, Pedro tinha 1,20 m de estatura, aos 13 anos está com 1,40 m.

• REGRA DE TRÊS, tanto Simples, Inversa ou Composta, temos sempre duas grandezas envolvidas, com pelo menos três valores conhecidos e um valor desconhecido a ser calculado.

Dica Coloque as grandezas de mesmo tipo na mesma unidade de medida.

Como se aplica: (ENEM 2017)

a) 11 200 b) 1 120 c) 112

d) 11,2 e) 1,12

(ENEM 2017)

Em que horário começou a manutenção do esgotamento? a) 16 h 45 min. b) 18 h 30 min. c) 19 h 50 min. d) 21 h 15 min. e) 22 h 30 min.

Tópico 03: Porcentagem

• PORCENTAGEM A porcentagem é uma forma especial de representar uma razão de denominador igual a 100, sendo também chamada de razão centesimal ou taxa percentual.

• ACRÉSCIMOS Um determinado produto custa x reais e sofre um aumento de 20%.

• DECRÉSCIMOS Um determinado produto custa x reais e sofre um desconto de 20%.

𝑥𝑥 + 0,20. 𝑥𝑥 = 1,2𝑥𝑥

𝑥𝑥 − 0,20. 𝑥𝑥 = 0,8𝑥𝑥

Como se aplica: (ENEM 2018)

De acordo com o resultado do segundo exame, a classificação da taxa de LDL do paciente é

a) Ótima b) Próxima de ótima

c) Limite d) Alta

e) Muito alta

Qual é a porcentagem do total de pessoas desses grupos de risco já vacinadas?

a) 12 b) 18 c) 30 d) 40 e) 50

Tópico 04: Análise de tabelas e gráficos As tabelas servem como método mais comum para resumir dados e apresentá-los de forma condensada. O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados, onde o objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e visual do fenômeno em estudo.

As principais representações:

• Gráfico de colunas: Servem, geralmente, para indicar um dado quantitativo sobre diferentes variáveis, lugares ou setores e não dependem de proporções. Os dados são indicados na posição vertical, enquanto as divisões qualitativas apresentam-se na posição horizontal.

• Gráfico de barras: Possuem basicamente a mesma função dos gráficos em colunas, com os dados na posição horizontal e as informações e divisões na posição vertical.

• Gráfico de linhas: São usados quando queremos mostrar o comportamento de uma grandeza ao longo do tempo.

• Gráfico de setores: ₋ A área do gráfico equivale à totalidade de casos (360º = 100%); ₋ Cada “fatia” representa a percentagem de cada categoria.

• Gráfico Pictograma: É a forma de escrita pela qual ideias e objetivos são transmitidos através de desenhos.

Como se aplica: (ENEM 2018)

GABARITO: 139. A 160. D 172. E

Tópico 05: Estatística Uma medida de tendência central é um valor no centro ou no meio de um conjunto de dados. As três medidas da tendência central mais comumente usadas são a média, a mediana e a moda.

• Média Aritmética ( x ̅ ) A média (aritmética) é, de modo geral, a mais importante de todas as mensurações numéricas descritivas.

Média: 𝑥𝑥1+𝑥𝑥2+𝑥𝑥3+⋯𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑛𝑛 ixx

nΣ

=

• Média Ponderada ( x ̅_p ) de um conjunto de valores é a soma da multiplicação de cada valor pelo seu respectivo peso e dividido pelas soma dos pesos.

Média: 𝑥𝑥1.𝑝𝑝1+𝑥𝑥2 .𝑝𝑝2+𝑥𝑥3 .𝑝𝑝3 +⋯𝑥𝑥𝑛𝑛 .𝑝𝑝𝑛𝑛

𝑝𝑝1+𝑝𝑝2+𝑝𝑝3+⋯ 𝑝𝑝𝑛𝑛 �̅�𝑥 = ∑𝑥𝑥𝑖𝑖.𝑓𝑓

∑𝑓𝑓

Moda: A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior frequência. Mediana: A mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto, quando os valores estão dispostos em ordem crescente (ou decrescente).

₋ Se o número de valores é ímpar, a mediana é o número localizado exatamente no meio da lista.

₋ Se o número de valores é par, a mediana é a média dos dois valores do meio.

Como se aplica: (ENEM 2018)

(ENEM 2015) (ENEM 2018)

(ENEM 2016)

GABARITO: 145. D 143. C 166. D 170. D

Tópico 06: Geometria Plana

- Perímetro: soma das medidas de todos os lados.

Teorema de Pitágoras

Como se aplica: (ENEM 2018)

GABARITO 155. E 145. C 169. A

Tópico 07: Geometria Espacial

Como se aplica: (ENEM 2018)

GABARITO 159. A 157. C

Tópico 08: Trigonometria

• As razões trigonométricas

Seno Cosseno

Tangente

30º 45º 60º

Sen

Cos

Tg

Como se aplica: (ENEM 2018)

Tópico 09: Análise Combinatória

Arranjo X Combinação

Como se aplica: (ENEM 2017)

Tópico 10: Probabilidade

É o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório.

• Espaço amostral (TUDO QUE EU TENHO): é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

ordens diferentes, conjuntos

diferentes (respostas diferentes)

ordens diferentes, conjuntos

iguais (respostas iguais)

• Evento (TUDO QUE EU QUERO): é a ocorrência de um fato ou situação.

Resumindo... Espaço amostral (TENHO) x Evento (QUERO)

Assim, PROBABILIDADE = (QUERO)/(TENHO)

Sempre entre 0 e 1.

Como se aplica: (ENEM 2018)

(ENEM 2015)