Ma it Spiralen

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(Schule) (Wohnort) Facharbeit in Mathematik

Spiralenvorgelegt von Maximilian Lber

20xx

(Schule) (Wohnort) Facharbeit im Leistungskurs Mathematik Jahrgangsstufe 12. Schuljahr 20xx/20xx Fachlehrer: Fach: Themenstellung: Abgabe: StR Schuldt Mathematik (Leistungskurs) 14.02.20xx 28.03.20xx

Thema der Facharbeit:

SpiralenVon Galaxien ber Frischhaltefolie bis zu Schneckenhusern. Spiralen existieren in Natur und Technik. Beschreiben und vergleichen Sie insbesondere archimedische und logarithmische Spirale.

Inhaltsverzeichnis1 EINLEITENDES ......................................................................................................................................... 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 BERBLICK ........................................................................................................................................... 1 HISTORISCHES ...................................................................................................................................... 1 EINFHRUNG IN POLARKOORDINATEN ................................................................................................. 2 VERSCHIEDENE SPIRALTYPEN .............................................................................................................. 3

DIE ARCHIMEDISCHE SPIRALE.......................................................................................................... 5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 DEFINITION ........................................................................................................................................... 5 TANGENTENWINKEL ............................................................................................................................. 6 FLCHE................................................................................................................................................. 6 BOGENLNGE ...................................................................................................................................... 8 WEITERE EIGENSCHAFTEN ................................................................................................................... 9

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DIE LOGARITHMISCHE SPIRALE..................................................................................................... 10 3.1 3.2 3.3 3.4 DEFINITION ......................................................................................................................................... 10 KONSTANZ DES TANGENTENWINKELS ................................................................................................ 11 BOGENLNGE ..................................................................................................................................... 12 FLCHE .............................................................................................................................................. 13

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VERGLEICH BEIDER SPIRALEN ....................................................................................................... 14 NACHWORT............................................................................................................................................. 15 ANHANG ......................................................................................................................................................I QUELLENNACHWEIS ............................................................................................................................ II 7.1 7.2 LITERATURVERZEICHNIS ...................................................................................................................... II BILDNACHWEIS .................................................................................................................................... II

Facharbeit Mathematik Maximilian Lber

Kapitel 1 Einleitendes

1 Einleitendes1.1 berblickDas Phnomen der Spirale scheint in den Naturwissenschaften ein Schattendasein zu fhren und wird bestenfalls im Praxisbezug untersucht. Tatschlich jedoch finden sich Spiralen verschiedener Art in vielen Bereichen der Natur, in der Technik und in der Kunst. Beispiele sind auf biologischem Gebiet: Schneckenhuser, die Anordnung von Pflanzenblttern oder auch nur der Wirbel im Haar des Menschen, in der Technik: Spiralfedern, die Datenspur einer CD oder so genannte Spiralturbinen, in der Kunst: die Spirale als Symbol von mystischer Dimension in nahezu allen Kulturen oder als beliebter Ausdruck von Verwirrung in Comics, um nur einige zu nennen. Selbst in den Sprachgebrauch hat es der Begriff der Spirale geschafft: Wir sprechen von der Spirale der Gewalt, Wirtschaftstheoretiker benutzen den Ausdruck Lohn-Preisspirale. Die mathematische Auseinandersetzung mit dem Phnomen ist also lohnenswert, um einerseits praktische Anwendungen bewltigen zu knnen, aber auch, weil es sich um ein recht unkonventionelles Thema der Mathematik handelt, das den ein oder anderen verblffenden Zusammenhang offenbart. In der Tat lassen sich mit dem Wissen um die Eigenschaften verschiedener Spiralarten Probleme angehen, die auf den ersten Blick mit jenen berhaupt nichts zu tun haben. Im Mittelpunkt dieser Arbeit stehen zwei besonders bedeutungsvolle Spiraltypen: die archimedische und die logarithmische Spirale, die nach eingehender Untersuchung miteinander verglichen werden. Vorerst werden jedoch der geschichtliche Hintergrund geklrt und die Voraussetzung fr eine mathematische Diskussion von Spiralen geschaffen. Dabei liegt die Beschrnkung auf grundlegenden Elementen des polaren Koordinatensystems. Die Erschlieung der Eigenschaften beider Spiralarten soll weniger mit den bewiesenen Formeln aus der Analysis erfolgen, sondern eher auf elementarer Ebene mit allgemeineren Methoden ablaufen.

1.2 HistorischesIm Folgenden soll der Blick auf die Beschftigung mit Spiralen in der Mathematikgeschichte gerichtet werden. Diese lsst sich zurckverfolgen bis zu Archimedes, der im 3. Jh. v. Chr. die Abhandlung ber Spiralen verffentlichte. Darin definierte er die Spirale, die heute nach ihm benannt ist. Des Weiteren fasste er sie als eine arithmetische Reihe auf und machte Angaben zur Konstruierbarkeit. Obwohl es bis zu den ersten Begriffen zur Differentialrechnung noch lange hin war, bestimmte Archimedes schon zu seiner Zeit die Tangentenlage seiner Spirale. Selbst die eingeschlossene Flche der ersten Spiralwindung bestimmte er mithilfe einzelner Sektoren. Damit griff er auch wesentliche Elemente aus der Integralrechnung voraus. Allein zur Rektifikation, d.h. zur Bestimmung der Bogenlnge des Spiralastes, schrieb er nichts. Natrlich waren Spiralen nur ein Gebiet unter vielen, mit denen sich Archimedes befasste, man nenne nur die von ihm erfundenen Hebelgesetze und die berlegungen zur Kreiszahl dennoch prgte er entscheidend die Untersuchungen spteren Mathematiker zu diesem Thema. Vom 16. bis zum 18. Jahrhundert kamen schlielich neue Erkenntnisse und Methoden in Zusammenhang mit Kurven, Koordinaten und Variablen auf. So gelang Isaac Barrow 1670 die Rek-

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Facharbeit Mathematik Maximilian Lber

Kapitel 1 Einleitendes

tifikation der archimedischen Spirale dank eines schon zuvor vorgenommenen Vergleichs mit einer Parabel.1 Die logarithmische Spirale wurde zuerst in einer Zeichnung Albrecht Drers (1471-1528) gesichtet. Obgleich er ihre Eigenschaft kannte, sich dem Ursprung asymptotisch zu nhern, wusste er diese nicht zu definieren. Dies geschah erst durch Ren Descartes (1596-1650) und zwar ber Proportionalitt von Radius und Bogenlnge. Er war es auch, der die Konstanz des Tangentenwinkels feststellte. Fast zeitgleich gelang es Torricelli, die logarithmische Spirale ber eine Gleichung in Polarkoordinaten zu definieren. Zudem bestimmte er sowohl ihre Bogenlnge als auch die von ihr umschlossene Flche.2

1.3 Einfhrung in PolarkoordinatenAnhand der allgemeinen Definition von Spiralen, die Proportionalitt von Winkel und Radius, wird deutlich, dass sich fr ihre mathematische Beschreibung die kartesischen Koordinaten, wie sie aus dem Schulunterricht bekannt sind, wenig eignen. Zudem kann man nicht von einer Funktion sprechen, da keine eindeutige Zuordnung gegeben ist. Es wrden in einem kartesischen System bei einer Spirale sogar jedem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet, da sich die Spirale bis ins unendliche fortsetzt. Folglich scheiden nahezu alle in der Oberstufe bekannten Mittel zur Kurvendiskussion aus. Durch die Einfhrung eines neuen Koordinatensystems jedoch lsst sich die Spiralkurve mit einer Gleichung beschreiben und es ergeben sich neue Mittel, um die Kurve auf verschiedene Kriterien wie Bogenlnge oder Flcheninhalt zu untersuchen. In diesem System mit so genannten Polarkoordinaten kann jeder Punkt mit dem Winkel zur Polarachse und mit einem Radius, also der Entfernung zum Ursprung, beschrieben werden. In Abb. 1.3.1 besitzt der Punkt P den Abstand r zum Ursprung O, wobei die Strecke OP den Winkel mit der senkrechten Polarachse einschliet. Der Winkel wird fr gewhnlich im Bogenma angegeben und nimmt in mathematischer Richtung, also gegen den UrzeiAbb. 1.3.1: Polarkoordinaten gersinn, zu. Da sowohl als auch r gerichtete Gren sind, knnen sie negative Werte annehmen. Doch weil Streckenlngen immer positiv sein mssen, legt man fr fest: r IR ; P1 ( r ; ) = P2 ( r ; + ) 3 oder anders formuliert: P (r ; ) ist die Punktspiegelung von P(r ; ) an O.

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vgl. HEITZER, Spiralen. 1998, S. 36-50 ebd. S.52-59 3 STEINBERG, Polarkoordinaten. 1993, S. 20

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Kapitel 1 Einleitendes Nun lassen sich polare und kartesische Koordinaten ineinander umwandeln. Wie aus Abb. 1.3.2 ersichtlich, lsst sich dies mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen realisieren: x = r cos y = r sin

= tan = arctanr = x2 + y2Abb. 1.3.2: Beziehung zwischen p