28.04.2005 Space Physics WS 2003/2004 - Kap. 3: Magnetohydrodynamik 1

Magnetohydrodynamik (MHD)

Übersicht:Grundgleichungen magnetischer Zug und Druck (Magnetohydrostatik)eingefrorene Magnetfelder (Magnetohydrokinematik)Dissipation von Feldern (Magnetohydrokinematik)Feldlinienverschmelzung (Reconnection)Magnetohydrodynamischer Dynamo

Voraussetzungen:Teilchen werden als Flüssigkeit behandelt (keine Verteilungsfunk-tion, monoenergetisches Teilchenensemble; → kinetische Theorie)das elektromagnetische Feld wird nicht vorgegeben sondern ist durch die Positionen und Bewegungen der Ladungen bestimmt ⇒ selbst-konsistente Lösungen gesucht (zeitabhängig!)

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Allgemeines

Bewegungsgleichung: Übergang vom Einzelteilchen zur Teilchendichte und damit zur Kraftdichte

mit u=<v>.zusätzlich interne Kräfte (WeWi der Teilchen unter einander)

die totale zeitliche Ableitung setzt sich zusammen aus der lokalen zeitlichen Ableitung und der Advektion/Konvektion

Ableitung nach Kettenregel ε=ε(x,y,z,t)

lokale zeitliche Ableitung

advektiver Term

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Grundannahmen MHD

Das Medium kann weder polarisiert noch magnetisiert werden: ε=µ=1.

Strömungsgeschwindigkeiten und Änderungsgeschwindigkeiten sind klein gegen die Lichtgeschwindigkeit:

u/c<<1v_phase/c <<1

Daher können elektromagnetische Wellen im Rahmen der MHD nicht beschrieben werden.Die Leitfähigkeit ist hoch:

σ→∞Daher können sich keine starken elektrischen Felder ausbilden.MHD basiert auf den wesentlichen Erhaltungsgrößen der Strömungsmechanik: Masse, Impuls und Energie

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Grundgleichungen MHD I

Maxwell Gleichungen:

Ohm´sches Gesetz:

Bewegungsgleichung (Navier-Stokes):

Lorentz

Gravitation

Coriolis

Zentrifugal

Schubspannungstensor

Druckgradientenkraft Gravitation

Reibungskräfte Lorentz-Kraft

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Grundgleichungen MHD II

Anmerkung Bewegungsgleichung: einfach, da keine Coulomb-Stöße, keine Reibung zwischen unterschiedlichen Plasmakomponenten, keine Quellen und Senken (z.B. Ionisation, Rekombination)Kontinuitätsgleichung:

Zustandsgleichung:

Charakterisierung: Plasma-β

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Grundgleichungen MHD 2-Fluid

Maxwell Gleichungen:

Ohm´sches Gesetz:

Bewegungsgleichung:

Kontinuitätsgleichung:

Zustandsgleichung:

Reibungskräfte (Coulomb-Stöße)

Strombeschleunigung

Hall effect (Lorentz-Kraft)

Diffusionsstrom durch Druckgradienten

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Magnetohydrostatik

Voraussetzung: das Medium ist in Ruhe, d.h. der Trägheitsterm in der Bewegungsgleichung verschwindet

betrachtet wird die Energiebilanz von Teilchen und Feld

Konzepte:magnetischer Druck: die Tendenz magnetischer Feldlinien, sich ab zu stoßenmagnetischer Zug: die Tendenz magnetischer Feldlinien, sich zu verkürzen

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Magnetischer Druck

Formale Basis: Bewegungsgleichung (Trägheitsterm verschwindet) + Ampere´sches Gesetz:

Formal: magnetischer Druck (entspricht Energiedichte)

Anschaulich:

Bsp: homogenes Magnetfeld, B=5T, magnetischer Druck entspricht 100fachem Atmosphärendruck am Boden

ACHTUNG:

magnetischer Druck nicht isotropsondern senkrecht zum Feld!!

dyadischs Produkt (Tensor),

Tangentialspannungen (erst bei magnetischem Zug

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Sonnenfleck und magnetischer Druck

Beobachtung:kalt, daher dunkel (4000 K statt 6000 k)starkes Magnetfeld (3000 G statt wenige G)dunkel ist relativ (vergleichbar Vollmond)

Modell: Druckgleichgewicht + hydrostatische Grundgleichung + ∂B/∂z=0 + Zustandsglg:

nur erfüllbar wenn entsprechend der Beobachtungen die Temperatur im Fleck geringer ist als außen.

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Magnetischer Zug

Formale Basis: Magnetfeld wird durch ein senkrecht darauf stehendes Geschwindigkeitsfeld verformt

Magnetfeldlinien haben das Bestreben, sich zu verkürzen (wie magnetischer Druck ein anisotropes Phänomen!)Anwendung: Alfven-Welle

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Filament und magnetischer Zug

Beobachtungen Filament/Protuberanz:kalt, da in Draufsicht dunkel (7000 K vs. 1 Mio K)dicht, da am Rand gesehen hell (ca. 100fach)Höhe 30 Mm (ca. 100 Skalenhöhen)über viele Rotationen stabil, können dann aber als CME explosiv frei gesetzt werdenungefähr entlang einer Neutrallinie orientiert

Ausgangsgleichungen

erlauben Berechnung der Details der Magnetfeldkonfiguration, insbesondere im „Aufhängungspunkt“ des Filaments

N Neutrallinie S

magnetischer Zug

Gravitation

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Magnetohydrokinematik

Formale Voraussetzungen:vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld (Bewegungsglg. muss nicht gelöst werden)gesucht: dadurch bewirkte Änderung des elektromagnetischen FeldesAnnahme: keine Rückwirkung der elektromagnetischen Felder auf das Geschwindigkeitsfeld, d.h. großes Plasma-βrelevante Gleichungen: Maxwell und Ohm

Konzepte:eingefrorene Magnetfelder: ein bewegtes Plasma führt ein Magnetfeld mit sich (Voraussetzung: Leitfähigkeit unendlich)Dissipation von Magnetfeldern: ein Magnetfeld verschwindet um so schneller, je kleiner seine räumlichen Skalen sind (Leitfähigkeit endlich)

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Eingefrorene Magnetfelder I

magnetischer Fluss durch eine Fläche S umrandet von C:

C bewegt sich: Änderung im magnetischen Fluss

Umformen:

eingefrorenes Magnetfeld:Anwendung: interplanetares Magnetfeld (Archimedische Spirale)

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Eingefrorene Magnetfelder II

eingefrorenes Feld: das Plasma führt das Magnetfeld mit sich, z.B. interplanetares Feld

ausgefrorenes Feld: Plasma dringt nicht in ein Magnetfeld ein, z.B. Sonnenwind dringt nicht in die Magnetosphäre ein.

eingefrorenes Feld:

Φ ≠ 0

ausgefrorenes Feld:

Φ = 0

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Deformation von Magnetfeldern

Annahme: σ räumlich und zeitlich konstantAusgangsgleichungen: Faraday und Ohm

stationäre Gleichung:

Lösung: ein Plasmastrom ⊥ B verformt das Feld so lange, bis

erfüllt ist. Dann strömt Plasma senkrecht zum Feld.

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Dissipation von Magnetfeldern

Annahme: das äußere Geschwindigkeitsfeld verschwindet

formal analog:

eindimensional B=B(Bx(y,t),0,0)

Skalenanalyse → magnetischer Diffusionskoeffizient Dm

Bsp: Magnetfeld Sonne 1.2E10a, Sonnenfleck 1000a

Wärmeleitungsglg., Vorticityglg.

Dissipationszeit:

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Magnetohydrodynamik

Voraussetzungen:Grundvoraussetzungen der MHD (s.o.)selbstkonsistente Lösung von Feld- und Bewegungsgleichungen

Konzepte:Feldlinienverschmelzung: erlaubt die Umwandlung von im Magnetfeld gespeicherter Energie in kinetische Energie des PlasmasMagnetohydrodynamischer Dynamo: erlaubt die Erzeugung magnetischer Energie aus der kinetischen Energie eines Plasmas

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Feldlinienverschmelzung I

Idee: explosive Freisetzung von Energie durch Umstrukturierung eines Magnetfeldes, ermöglicht die Speicherung (und das Anwachsen der gespeicherten Energie über längere Zeiträume)

Hinweise aus Beobachtungen:Umstrukturierung Magnetfeldtopologie auf der Sonne im Zusammenhang mit Flares und Koronalen MassenauswürfenFlux-Transfer Events an der Magnetosphäre Teilchenbeschleunigung im Schweif der Magnetosphäre

Formale Voraussetzungen: hohe Leitfähigkeit (eingefrorene Felder)

Problem: spezielle Magnetfeldtopologie benötigt

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Feldlinienverschmelzung II

Topologie:

Strom in der Neutralschicht:

Ablauf:⇒ eingefrorenes Feld ⇒ Plasmastrom komprimiert Feld an Neutralschicht ⇒ Strom in Neutralschicht nimmt zu ⇒ Dissipation des Feldes wandelt magnetische Feld in kinetische Energie um

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Details in der Neutralschicht

Annahme: Neutralschicht unendlich dünn, gleichförmiger WiderstandMagnetfeld parallel zum Plasmastrom kann bestimmt werden

zeitliche Variation Dicke der Neutralschicht:

zur Umwandlung zur Verfügung stehende Energie

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Stationäre Reconnection

Annahme: Beginn der Reconnection verändert die allgemeine Feld- und Plasmakonfiguration nicht grundlegendOhm und Ampere:

stationär: Faraday gibt E = const, also

Breite der Neutrallinie:

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Energiebilanz

Kontinuität Magnetfeld:

skalar (u⊥B):

Kontinuitätsgleichung (Massenbilanz):

ergeben zusammen: und

Energiebilanz:

Reconnectionrate:

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Reconnectionrate

Sweet-Parker Reconnection:

langsamer Prozessca. Hälfte der zugeführten magnetischen Energie wird in kinetische umgewandeltFlux-Transfer Events

Petchek Reconnection:

kleinere räumliche Skalenschneller auf Grund kleinerer Skalenlänge3/5 der magnetischen Energie wird in kinetische Energie umgewandeltStoßwellenFlares und koronale Massenausstöße

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Feldlinienverschmelzung in der Magnetosphäre

Flux Transfer Events Polarlichtteilchen

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Simulation Feldlinienverschmelzung

Feldlinienkonvektion:

Flux Transfer Events auf der TagseiteKonvektion der Magnetfeldlinien mit dem Sonnenwind auf die NachtseiteFeldlinienverschmel-zung im SchweifRotation dort geschlossener Feldlinien auf die Tagseite

http://www.ess.washington.edu/Space/SpaceModel/tailreconnection.html

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Feldlinienverschmelzung auf der Sonne

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MHD Dynamo I

Idee: Umwandlung Rotationsenergie in magnetische Energie

Hinweise aus Beobachtungen:planetare Magnetfelder hängen von Rotationsrate abmagnetisches Moment parallel RotationsachseUmpolung planetarer und stellarer Magnetfelder

Formale Voraussetzungen:hohe Leitfähigkeit (eingefrorene Felder)

Problem: Dynamo-Modelle haben Schwierigkeiten mit der Umpolung

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MHD Dynamo II

Ströme erzeugen Magnetfelder ⇒ bewegtes Plasma erzeugt B.homogener Dynamo: keine Spulen, Drähte etc. sondern rotierendes homogenes Medium:

Saatfeld parallel Drehachse;Lorentzkraft erzeugt radiale elektromotorische Kraft (Strom);Durch geschickte Anordnung der Kontakte Verstärkung des Saatfeldes;Mechanische Energie wird in Feldenergie konvertiert.

Felder sind axialsymmetrisch: unipolarer Induktor?Cowlings Theorem: es gibt kein endliches Geschwindigkeitsfeld, das stationäres axialsymmetrisches Feld erhalten kann (Herleitung aus Induktionsgleichung)Sonne: v = 1E-9 m/s ausreichend

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Formal Grundlagen Dynamo

Induktionsgleichung

Eingefrorene Felder (Erhaltung des magnetischen Flusses) zusammen mit Massenerhaltung:

in inkompressiblen turbulenten Feldern ergibt sich eine Dynamowirkung!

→ Kinematischer Dynamo: Saatfeld und Geschwindigkeit werden vorgegeben, eine Rückwirkung des erzeugten Feldes auf das Geschwindigkeitsfeld erfolgt nicht.

Umwandlung mechanische Energie in Feldenergie

Bei verschwindendem Geschwindigkeitsfeld Dissipation (Zeitskala Erde 24 000 Jahre)

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Korrelationsfunktion (Produkt der fluktuierenden Größen):verschwindet nicht, da Fluktuationen nicht unabhängig sind (eingefrorenes Feld)kann angenähert werden als

α,β sind aus den Eigenschaften der fluktuierenden Größen zu bestimmen

Statistischer Dynamo I

turbulente Bewegung in der Konvektionszone der Sonne:

mittleres Magnetfeld axial-symmetrischturbulentes Feld überlagert, nicht axial-symmetrisch

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Fluktuierende Größen

die physikalischen Größen in den Grundgleichungen lassen sich durch einen Mittelwert und ihre Fluktuationen darstellen:

der Mittelwert über die Fluktuationen verschwindet:

die Fluktuationen sind klein gegen die Mittelwerte:

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Reynolds-Axiome I

Mittelwert einer Summe fluktuierender Größen:

Mittelwert der Produkte fluktuierender und mittlerer Größen:

Mittelwert der Produkte mittlerer Größen:

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Reynolds-Axiome II

Produkte momentaner Größen:

Kovarianz oder Korrelationsprodukt:

Differentiation und Integration:

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Statistischer Dynamo II

Herleitung der Korrelationsfunktion aus den Feldgleichungen unter Verwendung von Mittelwert und Fluktuation:

Ohm‘sches Gesetz

Induktionsgleichung:

Proportionalitäten:

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Korrelationsfunktion

Korrelationsfunktion:

β-Term: Zunahme magnetische Diffusion durch turbulente Bewegungα-Term: Abweichung von Axial-Symmetrische

Im Gegensatz zur Diffusionsgleichung

gilt Cowlings-Theorem hier nicht.

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Toroidale und Poloidale FelderMagnetfeld divergenzfrei → darstellbar als Summe aus toroidalem und poloidalem Feld

Erzeugende Funktionen:

Zusammenhang: ein toroidales Feld kann durch ein poloidales Stromsystem erzeugt werden und umgekehrt:

Darstellung z.B. in Kugelflächenfunktionen; Anwendung im Bullard-Gellman-Ansatz(Reihenansatz; konvergiert leider nicht)

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αΩ-Dynamo

αΩ-Dynamo ausdifferentieller RotationΩα-Effekt

Ohm‘sches Gesetz:

mit Faraday und turbulenter Leitfähigkeit:

turbulente Dissipationszeit:

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αΩ-Dynamo im Detail

Erzeugung des toroidalen Feldes aus dem poloidalen (ω-Effekt) trivialProblem: Erzeugung des poloidalen Feldes aus dem toroidalen(ω-Effekt)Daher Probleme mit der eigentlichen Umpolung!

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Dynamo-Simulation

http://www.psc.edu/research/graphics/gallery/CORRECTno_earth.mpg

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Zusammenfassung MHD

Grundgleichungen: Erhaltungsgrößen Masse, Ladung, Impuls, Energie sowie Feld- und ZustandsgleichungenUnterscheidung 1-Flüssigkeits- oder 2-Flüssigkeitsmodell

für viele Plasmen sind die Ionen ein stationärer Hintergrund und nur die Elektronen mobil (1-Flüssigkeitsbild ausreichend)

Randbedingung: sehr hohe Leitfähigkeit

Grundkonzepte (aus 1-Flüssigkeitsmodell):magnetischer Zug und Druck in der MHStatikeingefrorene Felder und Dissipation von Feldern in der MHKinematikFeldlinienverschmelzung und magnetohydrodynamischer Dynamo in der MHDynamik