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MAPLE - Grundlagen 3

Gewöhnliche DifferentialgleichungenMessdatenauswertungStatistik, Interpolation

MAPLE-Grundlagen 3Ivo Havlík, TCI 1

Ivo Havlík

Leibniz Universität Hannover

Institut für Technische Chemie

Callinstr. 5

30167 Hannover

Germany

Maple-Grundlagen 1 - Rekapitulation

• Elementare Rechenoperationen– evalf()

• Umformen von Ausdrücken– subs(), simplify(), expand(), factor(), assume()

• Gleichungen, Gleichungssysteme

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• Gleichungen, Gleichungssysteme– solve(), fsolve(), lhs(), rhs(), assign()

• Elementare Funktionen– sum(), mul(), limit(), Pi, sqrt(), sin(), ...

• Funktionen und Ausdrücke– apply(), unapply()

Ivo Havlík, TCI MAPLE-Grundlagen 3

Maple-Grundlagen 2 - Rekapitulation

• Mengen und Listen (sets, lists)• Graphische Darstellung in 2D und 3D– plot(), plot3d(), display()

• Animation– animate(), animate3d(), display()

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– animate(), animate3d(), display()

• Differenzieren von Funktionen– diff(), D(), Diff()

• Integration von Funktionen– int(), Int(), value()


Maple-Grundlagen 3 - Inhalt

• gewöhnliche Differentialgleichungen

• Messdatenauswertung

• Interpolation

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• Interpolation

• Statistik


Differentialgleichungen

• Differentialgleichung (DGL, ODE)– eine Gleichung, in der neben der gesuchten Funktion

(z.B. y) auch deren Ableitungen nach den unabhängigen Variablen (z.B. t, x1, x2, ...) auftreten

• Die zeitliche Entwicklung von chemischen oder physikalischen Systemen wird häufig über DG

5Ivo Havlík, TCI MAPLE-Grundlagen 3

200 )(

2

1ttgsstg

dt

ds−⋅+=→⋅=

)(0

0)()()( ttk

ectctckdt

tdc −⋅−⋅=→⋅−=

physikalischen Systemen wird häufig über DG beschrieben (Änderungsgeschwindigkeit):– freier Fall:

– chemische Reaktion: (1. Ordnung)

Gewöhnliche Differentialgleichungen

• Terminologie-Beispiel: radioaktiver Zerfall– Menge einer radioaktiven Substanz u(t), die

Änderung durch Zerfall ∆u zur Zeit t ist proportional zu u(t) und zur zeitlichen Änderung ∆t:� ∆u = -k*u(t)*∆t, oder ∆u/∆t = -k*u(t) -> infinitesimal:

0),(')(

>⋅−== ttukutdu

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� ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung

� gewöhnlich: keine partiellen Ableitungen; linear: die rechte Seite ist eine lineare Funktion in u; erster Ordnung: nur die erste Ableitung (und keine höheren Ableitungen)

� zur Zeit t0 die Menge u0 vorhanden: Anfangsbedingung

Ivo Havlík, TCI MAPLE-Grundlagen

0),(')(

>⋅−== ttukudt

tdu


• grundlegende Begriffe– DGL: es treten y und deren Ableitungen auf– y : die gesuchte Funktion– gewöhnliche DGL: y = f(t) - Funktion einer Variablen– partielle DGL: y = f(t,x1,x2,...)

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partielle DGL: y = f(t,x1,x2,...)– Ordnung einer DGL: höchste auftretende Ableitung

der gesuchten Funktion yy'' - y' = sin(t) : DGL 2-ter Ordnung, inhomogen

– Grad einer DGL: höchste auftretende Potenzy2*y''+2*y = e-x : DGL 3. Grades



• Grundlegende Begriffe– homogene/inhomogene DGL: b(t) - Störglied

� b(t) = 0: homogen y''+y*t*sin(t) =0� b(t) ≠ 0: inhomogen y''+y*t*sin(t) = 3*cos(t)

– lineare/nichtlineare DGL: bezieht sich auf y(t)– lineare: DGL, wo y einschließlich deren Ableitungen

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– lineare: DGL, wo y einschließlich deren Ableitungen nur in der 1. Potenz auftritt, und enthält keine nichtlinearen Funktionen von y. Daher: vom Grad 1

– an(t)*y(n)+...+a0(t)*y = b(t) : linear, n-ter Ordnung� y''+y*t*sin(t) = 3*cos(t) : linear, 2-ter Ordnung, inhomogen� y'' + y*sin(y) = 0 : nichtlinear, 2-ter Ordnung, homogen� y'' + y2 = sin(t): nichtlinear, 2-ter Ordnung, inhomogen



• Grundlegende Begriffe– DGL in expliziter Form: aufgelöst nach der höchsten

y-Ableitung. Andere DGL sind in impliziter Form� y' = a*y + b*sin(t) explizit� y''*y + sin(y) = e-t implizit, Umwandlung möglich� y''2 + sin(y'') + 3*y' = 0 implizit, Umwandlung nicht möglich

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� y''2 + sin(y'') + 3*y' = 0 implizit, Umwandlung nicht möglich

– Autonome DGL: keine explizite Abhängigkeit von t� y' = -k*y Anfangsbedingung: y(t=0) = y0

– Anfangswerte einer DGL: Werte für die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen für einen bestimmten Wert der unabhängigen Variablen (oft für Null)� y = 3 für t = 0



• Grundlegende Begriffe– Randwerte einer DGL: Funktions- oder

Ableitungswerte für mehrere Werte der unabhängigen Variablen

– Koeffizienten einer DGL: Faktoren, mit denen die einzelnen y-Ableitungen (inklusive der nullten Ableitung) multipliziert werden.

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einzelnen y-Ableitungen (inklusive der nullten Ableitung) multipliziert werden.

– "DGL mit konstanten Koeffizienten": Koeffizienten sind konstante Zahlen� 2*y'' + 5*y' + 2*y = t, y(0)=1, y'(1)=2

– Koeffizienten können generell Funktionen der unabhängigen Variablen oder einer anderen y-Ableitung sein



• Lösungen von DGL - Begriffe– allgemeine Lösung einer DGL n-ter Ordnung enthält

n freie Konstanten (Integrationskonstanten), es ist eine Funktionsschar

– spezielle Lösung einer DGL: durch Berücksichtigung der Anfangs- und Randbedingungen werden die

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der Anfangs- und Randbedingungen werden die Werte der Konstanten bestimmt, man erhält eineLösung

– partikulare Lösung einer DGL ist eine beliebige Funktion ohne freie Konstanten, die eine inhomogene DGL löst


• klassische Lösungsmethoden: typabhängig– Variablentrennung/Transformation und Integration– bekannte Lösungen für Spezialfälle (Bernoulli,

Riccati, ...)– und viele andere, geeignet für einzelne DGL-Typen

Maple: enthält sowohl die Lösungsmethoden als auch


– Maple: enthält sowohl die Lösungsmethoden als auch eine breite Sammlung der Speziallösungen� sowohl analytische als auch numerische Lösungsmethoden

– der häufigste Fall in der Chemie/Biotechnologie� gewöhnliche DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten,

autonom� Entwicklung einer Variablen mit der Zeit, y = f(t)

12Ivo Havlík, TCI MAPLE-Grundlagen


• Autonome Differentialgleichung

• aus der Taylor-Entwicklung

– f(y) ≈ f(y ) + f'(y )*(y - y ) = A + B*Y, y(t=0) = y

0)0(),()(

ytyyfdt

tdy===

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– f(y) ≈ f(yE) + f'(yE)*(y - yE) = A + B*Y, y(t=0) = y0

DGL analytische Lösung

– A, B: Konstanten


)()()0(,)(

00B

Aye

B

AtyytyyBA

dt

tdy Bt++−=→==⋅+=

Gewöhnliche DGL - Lösen mit Maple

• DGL: c'(t) = -k*c(t), c(t=0) = 10– gewöhnliche DGL erster Ordnung mit konst.Koeff.– 1. Ordnung -> eine Anfangsbedingung nötig– chemische Reaktion 1. Ordnung - Abbau, Zerfall

• Analytisches Lösen

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• Analytisches Lösen– dsolve(DG, y(x)) und dsolve({DG, ICS}, y(x))

� DG: Differentialgleichung dc/dt = -k*c� ICS: Anfangsbedingungen c(0) = c0� y(x): die gesuchte Funktion� >DG:=diff(c(t),t) = - k*c(t); ICS:=c(0)=c0;� >dsolve({DG, ICS},c(t)); -> c(t) = c0*e-kt

� >assign(fds,rhs(%)); plot(subs({c0=10,k=1},fds),t=1..10);


Gewöhnliche DGL - Lösen mit Maple

• Analytisches Lösen– Lösung ohne Anfangsbedingungen

� liefert die gesuchte Funktion mit einem freien Parameter� >dsolve(DG, c(t)); -> c(t) = _C1*e-kt

• Numerisches Lösen: wenn Analytik versagt

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• Numerisches Lösen: wenn Analytik versagt– F:=dsolve({DG,ICS}, y(x), numeric)– Ergebnis: eine Prozedur, die ein Paar [y(t),t] zum

vorgegebenen t liefert: F(3) -> [t=3, c(t)=4.8]� >c0:=8:k:=0.5:F:=dsolve({DG,ICS}, c(t), numeric);� >with(plots): odeplot(F, [t,c(t)], 0..10, color=blue)

– Wertetabelle erzeugen zur Weiterverwendung� >for i from 1 to 10 do xy[i]:=F(i); end do;


Gewöhnliche DGL-Systeme

• DGL-System 1. Ordnungmit Anfangsbedingungenyn(t=0) = yn,0 ...

• Lösen mit dsolve() wie bei einer DGL

))(),...,(()(

....

))(),...,(()(

11

111

tytyftydt

d

tytyftydt

d

nn

n

=

=

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• Lösen mit dsolve() wie bei einer DGL– analytisch und numerisch– ohne Anfangsbedingungen: Lösung mit Parametern

• DGL-Systeme mit mehr als 3 Gleichungen besitzen meistens keine analytische Lösung– numerische Lösung bei DGL-Systemen bevorzugt



• Numerische Lösung - Vergleich mit Excel– die numerische Lösung in Maple ist übersichtlicher– Lösungsmethoden sind in Maple schon enthalten

• Folgereaktion im Batch-Reaktor (isotherm,

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• Folgereaktion im Batch-Reaktor (isotherm, ideal durchmischt)– A -> B -> C; cA, cB, cD sind Funktionen der Zeit– cA(t=0) = cA0, cB(t=0) = 0, cD(t=0) = 0– cA' = -k1*cA

– cB' = +k1*cA - k2*cB

– cD' = +k2*cB



• DGL-System, Anfangsbedingungen; analytisch� >DGLS:=diff(cA(t),t)=-k1*cA(t),diff(cB(t),t)=k1*cA(t) -

k2*cB(t),diff(cD(t),t)=k2*cB(t);� >IC:=cA(0)=cA0,cB(0)=0,cD(0)=0;� >L:=dsolve([DGLS,IC], [cA(t),cB(t),cD(t)]);� >assign(L);

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>assign(L);� >cA(t); -> cA0*e-k1*t (Ausdruck)� Maximum von cB(t) berechnen:� >Abl:=diff(cB(t),t);� >t_cBmax:=solve(Abl=0,t);

-> ln(k1/k2)/(k1-k2)� Wert bei k1=k2 ?� >limit(t_cBmax,k1=k2); -> 1/k2



• Numerische Lösung– DGLS, IC wie bei der analytischen Lösung

� >k1:=0.5;k2:=1;cA0:=1;� >NL:=dsolve([DGLS,IC], [cA(t),cB(t),cD(t)],numeric);� >with(plots):� >odeplot(NL,[[t,cA(t)],[t,cB(t)],[t,cD(t)]], 0..6,

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� >odeplot(NL,[[t,cA(t)],[t,cB(t)],[t,cD(t)]], 0..6, color=[red,blue,green], thickness=2);

� NL(3) liefert die WertecA, cB und cD für t=3als Liste


DGL-Systeme interaktiv lösen

• DE Solver, interaktive Eingabe/Maus– DGL-System oder Einzel-DGL definieren

� DG:=diff(c(t),t) = - k*c(t);

– rechter Mausclick auf der Maple-Ausgabe

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– und der Menü "Solve DE interactively" folgen� die Gleichung lässt sich editieren� Anfangs- und Randbedingungen können angegeben werden� Parameterwerte können angegeben werden� symbolisches oder numerisches Lösen, Methodenauswahl� Informationen über DGL-Typ und Lösungswege (Classify)


DGL n-ter Ordnung, partielle DGL

• gewöhnliche DGL n-ter Ordnung– dsolve(DG, y(x)) - ähnlich wie 1. Ordnung– analytisches und numerisches Lösen– interaktiver DE Solver

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• partielle DGL– zeitbasierte pDGL n-ter Ordnung– Befehl pdsolve(pDG, u(x,t),options)– analytisches und numerisches Lösen


Messdatenauswertung

• Warum Maple verwenden– integrierte Umgebung zum Einlesen, Auswerten,

Modellieren und Darstellen– packages Statistics, CurveFitting

• Einlesen und Darstellen von Messdaten

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Einlesen und Darstellen von Messdaten• Interpolation– Polynom, Splines durch die Messwerte legen– Modellanpassung (best fit), Datenglättung

• Statistische Datenauswertung– Mittelwert, Standardabweichung,

Korrelationskoeffizient etc.


Messdatenauswertung

• packages Statistics, CurveFitting– ?Statistics, ?CurveFitting - Help pages– Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Bernoulli bis

Weibull)– deskriptive Statistik (Abweichung, Mittelwerte..)

Wahrscheinlichkeitsrechnung

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– Wahrscheinlichkeitsrechnung– Visualisierung (charts, plots)– Regressionsanalyse: Modell/Funktionsanpassung– Datenglättung: moving average, Exponentialglättung– Hypothesenüberprüfung: t-Test, ChiSquare-Test ...– Selbstprogrammierung, falls etwas fehlt


Messdatenauswertung - Einlesen

• Einlesen und Darstellen von Daten– in Pfadangaben: 2x backslash "\\" oder 1x slash "/"

� >MD:=readdata("D:/Temp/Qwerte.dat",float,2);� >MD:=readdata("D:\\Temp\\Qwerte.dat",float,2);� qualif. Dateiname, Format, Spalten

– n:=nops(MD) : Anzahl der Wertepaare

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– n:=nops(MD) : Anzahl der Wertepaare– Umwandlung in Einzellisten, wenn nötig

� >xd:=[seq(MD[i][1],i=1..nops(MD))];� >yd:=[seq(MD[i][2],i=1..nops(MD))];

– Darstellung der Daten� >plot([MD,MD], style=[point,line], color=[blue,red]);

– Datenausgabe: writedata(FileName, MD, float)


Messdatenauswertung - Interpolieren

• Polynome oder Splines (= Teilpolynome, glatt)– Anzahl der Datenpunkte: n– with(CurveFitting)– PolynomialInterpolation(DataList,t)

� liefert ein Polynom vom Grad (n-1) durch alle Punkte

Spline(DataList,t)

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– Spline(DataList,t)� liefert ein Spline vom Grad 3 (default) durch alle Punkte� höhere Grade sind generell nicht besser

– Interpolation (Daten in MD, vorherige Folie)� >x:=5.4; y:=Spline(MD,x);

oder� >g:=Spline(MD,t): f:=unapply(g,t): x:=5.4; y:=f(x);


Messdatenauswertung - Datenglättung

• Datenglättung durch Modellanpassung– Die Modellfunktion läuft nicht direkt durch die

Messpunkte, sondern nähert sich an– Minimierung der Abstände zu den Messpunkten

durch Parameteranpassung– lineares Modell: y := a + b* x

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– lineares Modell: y := a + b* x– nichtlineare Modelle

� Polynom: y = a0 + a1*x + a2*x^2 + .. + an-1*xn-1

� exponentiell: y := a + b*exp(c*x)� logarithmisch: y = a + b*ln(c*x)� und weitere Modelle und ihre Kombinationen

– Modelle müssen keinen Bezug zum Prozess haben



• Modelle: linear, polynomisch, exponentiell, usw.– with(CurveFitting)– model:=a+b*exp(c*t) + d*t^2– par:=NonlinearFit(model, X, Y, t)– pp:=unapply(par,t) : Umwandlung in eine Funktion

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pp:=unapply(par,t) : Umwandlung in eine Funktion– plot(pp(t),t=a..b) : die dargestellt werden kann– Interpolieren: x:=3.5: y := pp(x)– X, Y: Vektoren (die Daten müssen entsprechend

umgewandelt werden)– kann auch für y:=f(x1, x2, ...) verwendet werden, X

ist dann eine Matrix der unabhängigen Variablen



• Funktionen zur Modellanpassung/Datenglättung– NonlinearFit : Modell kann frei angegeben werden– mit festen Modellen:

� ExponentialFit : y = a*exp(b*x)� PowerFit : y = a*xb

� PolynomialFit : y = a + a *x + a *x^2 + ..

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� PolynomialFit : y = a0 + a1*x + a2*x^2 + ..� LogarithmicFit : y = a + b*ln(x)� LinearFit : y = a + b*x


Messdatenauswertung - Statistik

• package Statistics: enthält komplette Statistik– ?Statistics– Beispiele

� Zufallszahlen mit verschiedener Verteilung� Mittelwerte, Median� Standardabweichung, Standardfehler

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� Standardabweichung, Standardfehler� Korrelationskoeffizient

� u:=Sample(Normal(0,1), 100)� Median(u); Mean(u); StandardDeviation(u)� v:=Sample(Normal(0,1), 100)� Correlation(u,v)


Ende Maple-Grundlagen 3

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