Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders...

21

Transcript of Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders...

Page 1: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also
Page 2: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 4 — le-tex

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der DeutschenNationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internetüber <http://dnb.dnb.de> abrufbar.

Die Informationen in diesem Buch werden ohne Rücksicht auf einen eventuellen Patentschutzveröffentlicht. Warennamen werden ohne Gewährleistung der freien Verwendbarkeitbenutzt.Bei der Zusammenstellung von Texten und Abbildungen wurde mit größter Sorgfaltvorgegangen. Trotzdem können Fehler nicht ausgeschlossen werden. Verlag, Herausgeberund Autoren können für fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristischeVerantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Für Verbesserungsvorschläge undHinweise auf Fehler sind Verlag und Herausgeber dankbar.

Alle Rechte vorbehalten, auch die der fotomechanischen Wiedergabe und der Speicherung inelektronischen Medien. Die gewerbliche Nutzung der in diesem Produkt gezeigten Modelleund Arbeiten ist nicht zulässig.

Es konnten nicht alle Rechteinhaber von Abbildungen ermittelt werden. Sollte dem Verlaggegenüber der Nachweis der Rechtsinhaberschaft geführt werden, wird das branchenüblicheHonorar nachträglich gezahlt.

Fast alle Produktbezeichnungen und weitere Stichworte und sonstige Angaben, die in diesemBuch verwendet werden, sind als eingetragene Marken geschützt. Da es nicht möglich ist, inallen Fällen zeitnah zu ermitteln, ob ein Markenschutz besteht, wird das ® Symbol in diesemBuch nicht verwendet.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

15 14 13

ISBN 978-3-86894-160-9

© 2013 by Pearson Deutschland GmbHMartin-Kollar-Straße 10–12, D-81829 München/GermanyAlle Rechte vorbehaltenwww.pearson.deA part of Pearson plc worldwide

Lektorat: Martin Milbradt, [email protected]: Petra Kienle, FürstenfeldbruckEinbandgestaltung: Thomas Arlt, [email protected]: Elisabeth Prümm, [email protected]: le-tex publishing services GmbH, LeipzigDruck und Verarbeitung: Drukarnia Dimograf, Bielsko-Biała

Printed in Poland

Print; 978-3-86326-700-1 PDF; 978-3-86326-026-2 ePUB

Page 3: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 81 — le-tex

ÜB

ER

BL

ICK

3

Rentenrechnung

3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten . . . . . 82

3.2 Das Prinzip der Ersatzrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3 Ewige Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4 Zusammengesetzte Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5 Dynamische Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Page 4: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 82 — le-tex

3 Rentenrechnung

Lernziele

Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, um die es geht, nominell identisch sind. Dies ist in der Regel bei sämt-lichen Arten regelmäßiger Bezüge der Fall, wie etwa bei Gehaltszahlungen oderRückzahlungen von Krediten. Wir sprechen dann allgemein von einer Rente,und die regelmäßigen Zahlungen nennt man die Raten der Rente.

In diesem Kapitel wird das grundlegende Prinzip der nachschüssigen und vor-schüssigen Rente eingeführt. Gibt man zu einer Rente einen Kalkulationszins an,so können auch hier die Beträge, die an verschiedene Fälligkeitsdaten gebundensind, zusammengefasst und verglichen werden. So können die zentralen Begriffewie Barwert und Endwert von Zahlungsströmen auf Renten übertragen werden.

Mit dem Prinzip der Ersatzrente, das bei unterperiodischen Zahlungenbetrachtet werden muss, wird schon der Grundstein für die Tilgungsrechnunggelegt. Weitere wichtige Konzepte wie ewige Renten und dynamische Rentenbeschließen das Kapitel.

3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten

Wir beginnen mit einem kleinen Beispiel: Stellen Sie sich vor, Sie legen zehnmalhintereinander jeweils am Ende eines Jahres, also nachschüssig, 5.000 C bei einemJahreszinssatz von 2 % an. Der zugehörige Zahlungsstrom ist dann

5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

und hat nach (2.23) den Barwert

Z0 =5.0001,02

+5.0001,022 +

5.0001,023 + � � � + 5.000

1,0210 � 44.912,93 C .

Da hier alle Zahlungen nominell konstant sind, muss dieser Barwert nun nichtumständlich mit einer langen Addition berechnet werden, sondern mithilfe dergeometrischen Summenformel (1.23) können die Summanden geschickt zusammen-gefasst werden:

Z0 =10X

k=1

5.000

1,02k= 5.000 �

10Xk=1

�1

1,02

�k

= 5.000 �1

1,02 ��

11,02

�11

1 � 11,02

.

Erweitern wir den letzten Bruch mit 1,0211, so erhalten wir schließlich

Z0 = 5.000 � 1,0210 � 11,0210(1,02 � 1)

. (3.1)

Der Endwert ergibt sich (wie schon von allgemeinen Zahlungsströmen bekannt)durch Aufzinsen:

Z10 = Z0 � 1,0210 = 5.000 � 1,0210 � 11,02 � 1

� 54.748,61 C . (3.2)

82

Page 5: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 83 — le-tex

3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten

Damit ist das grundlegende Prinzip einer Rente bereits voll erfasst, und mit (3.1)und (3.2) sind auch die allgemeinen Rentenformeln bereits hergeleitet.

Definition Eine nachschüssige Rente ist ein Zahlungsstrom mit immer gleichbleibenden Zahlungen des Betrags r jeweils am Ende der Periode:

r r r r0

0 1 2 3 4

� � �

� � �

r

n

(3.3)

Eine vorschüssige Rente ist ein Zahlungsstrom mit immer gleich bleibendenZahlungen des Betrags r0 jeweils zu Beginn der Periode:

r0 r0 r0 r0 r0

0 1 2 3 n � 1

� � �

� � �

0

n

(3.4)

Wir folgen hier der in der Literatur üblichen Vorgehensweise und nutzen einen hoch-gestellten Strich (wie etwa bei r0) für die Kennzeichnung von vorschüssig. Ist für eineRente ein Kalkulationszins gegeben, so können Barwert und Endwert genauso berech-net werden, wie wir es bereits im vorhergehenden Kapitel für allgemeine Zahlungs-ströme gesehen haben. Und wie im einführenden Beispiel mit (3.1) und (3.2) lassensich für Barwert und Endwert mithilfe der geometrischen Summenformel kompakteDarstellungen dafür finden, deren Herleitung wir hier auch für den nachschüssigenFall angeben:

Kalkulieren wir mit dem Aufzinsungsfaktor q, so hat eine nachschüssige Rente vonder Form (3.3) nach (2.23) den Barwert

Z0 =nX

k=1

rqk

= r �nX

k=1

�1q

�k

= r �1q �

�1q

�n+1

1 � 1q

= r � qn � 1qn(q � 1)

. (3.5)

Hierbei wurde für die letzte Gleichung der Bruch mit qn+1 erweitert, um eine ange-nehmere Form zu erhalten.

Ebenso macht man sich klar, dass für die Berechnung des Endwertes mittels dergeometrischen Summenformel vorgegangen werden kann:

Zn =nX

k=1

r � qn�k = r �nX

k=1

qn�k = r �n�1Xk=0

qk = r � qn � 1

q � 1. (3.6)

Hier wurde beim vorletzten Schritt lediglich der kleine Kniff angewandt, die Sum-mationsreihenfolge umzudrehen, um die Summe in eine Form zu bringen, die zuunserer Version der geometrischen Summe passt.

Das Vorgehen bei vorschüssigen Renten ist analog; dies sei als einfache Übung demLeser überlassen. Insgesamt erhalten wir damit die vier Formeln:

83

Page 6: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 84 — le-tex

3 Rentenrechnung

Rentenformeln auf einen Blicknachschüssig vorschüssig

Barwert R0 = r � qn � 1qn (q � 1)

R 00 = r 0 � q � qn � 1

qn (q � 1)

Endwert Rn = r � qn � 1q � 1

R 0n = r 0 � q � qn � 1

q � 1

(3.7)

Wir sehen, dass bei vorschüssigen Renten als einziger Unterschied jeweils noch einFaktor q hinzukommt, was daran liegt, dass hier jede Rate eine Periode länger verzinstwird. In der Literatur begegnet man hin und wieder Bezeichnungen wie „nachschüs-siger Rentenendwertfaktor“. Damit gemeint ist der Faktor qn�1

q�1 in der oben aufgeführ-ten Formel. Entsprechend gibt es auch den „vorschüssigen Rentenendwertfaktor“und den „vor- oder nachschüssigen Rentenbarwertfaktor“; merken muss man sichdiese Bezeichnungen sicher nicht.

Außerdem stellen wir fest, dass sich Barwert und Endwert letztlich nur in demFaktor qn im Nenner unterscheiden. Wie schon bei allgemeinen Zahlungsströmengilt also ein einfacher Zusammenhang:

Zusammenhang zwischen Barwert und Endwert einer Rente

Zwischen Barwert und Endwert einer Rente gilt der folgende wichtige Zusam-menhang:

Rn = R0 � qn und R0 = Rn � q�n (3.8)

Interpretiert werden kann dies so: Die (einmalige) Anlage eines Betrags in der Höhevon R0 bzw. R0

0 liefert bei gleichem Kalkulationszins nach n Perioden denselben End-wert wie die Rente.

Beispiel 3.1 Eine nachschüssige Jahresrente werde in Beträgen von 1.200 Csechs Jahre lang bei einem Jahreszins von i = 3 % gezahlt.

Gesucht sind Barwert und Endwert der Rente.

Lösung: Für den Endwert ergibt sich

R6 = 1.200 � 1,036 � 11,03� 1

� 7.762,09 C .

Der Barwert dieser Rente lässt sich durch Abzinsen berechnen:

R0 =7.762,09

1,036 � 6.500,63 C .

Dieser Wert entspricht demjenigen Einmalbetrag, der zu Beginn angelegt werdenmüsste, um nach sechs Jahren ein Kapital von 7.762,09 C zu erhalten. Wie vonZahlungsströmen schon bekannt liegen natürlich auch die nominellen Werte vonBarwert bzw. Endwert unter bzw. über der nominellen Summe der Beträge.

84

Page 7: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 85 — le-tex

3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten

Wie gesagt ist man bei der Berechnung keinesfalls an Jahre gebunden. StimmenZinsperiode und Zahlungsperiode überein, so gelten die Formeln für beliebige Peri-oden:

Beispiel 3.2 Jeweils zu Quartalsbeginn erfolgen Zahlungen in Höhe von400 C, und es werde ein Quartalszins von iQ = 1,2 % zugrunde

gelegt. Welcher Endwert ergibt sich nach drei Jahren?

Lösung: Die drei Jahre sind als zwölf Quartale aufzufassen, und die Rente hatdaher die Laufzeit n = 12. Es ergibt sich

R012 = 400 � 1,012 � 1,01212 � 1

1,012� 1� 5.191,38 C .

Häufig sind nicht die Berechnungen von Bar- oder Endwerten interessant, sondernman möchte lieber zu einem bekannten Barwert die zugehörigen Raten ermitteln.Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn ein Kredit zurückgezahlt werden soll:Welche Rückzahlungen sind etwa pro Jahr fällig, wenn eine Laufzeit vorgegeben ist?Wir geben für diesen Fall ein Beispiel:

Beispiel 3.3 Es soll ein Betrag mit dem heutigen Wert 400.000 C in viernachschüssige Zahlungen umgewandelt werden. Dabei liege

ein Kalkulationsjahreszins von 6 % zugrunde. Mögliche Realisierungen für die-ses Szenario sind beispielsweise:

1. Die 400.000 C werden zu einem Jahreszins von 6 % angelegt und für einenZeitraum von vier Jahren als jährliche nachschüssige Rente genutzt.

2. Ein Kredit über 400.000 C soll in vier Ratenzahlungen jeweils zum Jahres-ende zurückgezahlt werden.

Lösung: In jedem Fall sind die 400.000 C als Barwert einer nachschüssigen Jah-resrente aufzufassen. Aus dem Ansatz

R0 = r � qn � 1qn � (q � 1)

= 400.000

erhalten wir

r = R0 � qn � (q � 1)qn � 1

= 400.000 � 1,064 � 0,061,064 � 1

� 115.436,60 C .

und haben somit die Höhe der Ratenzahlung bestimmt.

Mithilfe des Äquivalenzprinzips (2.27) lassen sich Renten – sofern Zins- und Zah-lungsperioden übereinstimmen – problemlos auch in jedem anderen beliebigen Zeit-punkt konzentrieren. Bereits Barwert und Endwert sind ja (bezogen auf den Kalku-lationszins) äquivalent, und es ist ein beliebiges „Hin- und Herschieben“ auf derZeitachse möglich:

85

Page 8: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 86 — le-tex

3 Rentenrechnung

Beispiel 3.4 Gesucht ist der Wert der Rente aus Beispiel 3.1 unmittelbarnach der dritten Ratenzahlung.

Lösung: Um den gesuchten Wert (den wir konsequenterweise mit R3 bezeichnen)zu bestimmen, gibt es zwei naheliegende und völlig gleichberechtigte Ansätze,nämlich das Aufzinsen des Barwertes um drei Perioden:

R3 = R0 � q3 = 6.500,63 � 1,033 � 7.103,41 C .

bzw. das Abzinsen des Endwertes um drei Perioden:

R3 =R6

q3 =7.762,09

1,033 � 7.103,41 C .

In Abb. 3.1 wird dies deutlich.

Als Bezugspunkt eignet sich natürlich jeder Zeitpunkt, auch wenn meist, etwa auchim Hinblick auf die Investitionsrechnung mit ihrer Kapitalwertmethode, der Null-punkt der Zeitachse gewählt wird. Der Gesamtwert einer Rente kann in jedem belie-bigen Zeitpunkt konzentriert werden:

Gesamtwert einer Rente zu einem beliebigen Zeitpunkt

Für den Wert einer Rente zum Zeitpunkt t gilt:

Rt = R0 � qt (3.9)

Besonders zu beachten ist, dass die Gleichung (3.9) nicht nur für Werte im Bereichf0 : : : ng gilt, sondern auch darüber hinaus: für (ganzzahlige) Zeitpunkte t > n (alsonach Ablauf der Ratenzahlungen) und letztendlich auch für Zeitpunkte t < 0 (alsovor Beginn der Zahlungen).

1.200 1.200 1.200 1.200 1.200 1.200

0 1 2 3 4 5 6

0

R0 = 6.500,63 R3 = 7.103,41

R6 = 7.762,09R3 = 7.103,41

�q3

H)�1,033

�1,03�3

Abbildung 3.1: Illustration von Beispiel 3.4.

86

Page 9: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 87 — le-tex

3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten

Hin und wieder kommt es vor, dass zwischen zwei Zahlungen mehrere Zinstermineliegen, dass die Zinsperioden also kürzer als die Zahlungsperiode sind. In diesemFall wird – zumindest, wenn die Zinsperioden regelmäßig sind – der Zahlungsstromeinfach mit Nullen „aufgefüllt“, wie folgendes Beispiel deutlich macht:

Beispiel 3.5 Eine Rente werde jährlich vorschüssig in Raten zu 10.000 Cgezahlt, die aber quartalsweise mit iQ = 1 % verzinst werden.

Gesucht ist der Wert der Rente nach drei Jahren.

Lösung: Um den Endwert zu berechnen, dehnen wir den Zahlungsstrom aufQuartale aus:

10.000 10.000 10.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Dann sind Zins- und Zahlungsperiode synchronisiert, und es kann der Endwertfolgendermaßen berechnet werden:

R12 = 10.000 � 1,0112 + 10.000 � 1,018 + 10.000 � 1,014 � 32.502,86 C . (3.10)

Betrachtet man die Gleichung (3.10) genau, so tauchen dort natürlich nur Vielfachevon 4 in den Exponenten auf; bei 1,014 handelt es sich aber gerade um den effektivenJahresaufzinsungsfaktor, der dem Quartalszins iQ = 1 % entspricht. Wie das Beispielzeigt, wird also im Fall sogenannter „Zwischenverzinsungen“ einfach mit dem Effek-tivzins (vgl. Abschnitt 2.5) gerechnet:

Zwischenverzinsung mit Effektivzins

Bei Zwischenverzinsung werden die einzelnen Zinsperioden zu einer Zins-periode zusammengefasst, für die der Effektivzins gilt.

Das folgende Beispiel zeigt erneut, dass die Rentenrechnung bereits die für die Til-gungsrechnung wesentlichen Elemente zur Verfügung stellt:

Beispiel 3.6 Ein Kredit über 10.000 C soll in halbjährlich vorschüssigenRaten zurückgezahlt werden. Es liege ein Quartalszins von 3 %

zugrunde. Wie hoch müssen die Raten sein, damit der Kredit innerhalb von dreiJahren vollständig getilgt ist?

Lösung: Der Effektivzins für ein Halbjahr beträgt

ie = 1,032 � 1 = 0,0609 .

Die Rückzahlungen des Kredits lassen sich als Rente auffassen, deren Zah-lungsperiode mit dem Effektivzins synchronisiert ist. Da der Barwert der sechshalbjährlich vorschüssigen Raten r0 gerade der Kreditsumme von 10.000 C ent-

87

Page 10: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 88 — le-tex

3 Rentenrechnung

spricht, ergibt sich daher der Ansatz

R00 = r0 � 1,0609 � 1,06096 � 1

0,0609 � 1,06096 = 10.000 .

Das Auflösen nach r0 ergibt schließlich die Rate

r0 � 1.922,31 C .

Aufgaben zum Abschnitt 3.1

1. Berechnen Sie bei einem Kalkulationszins von 2,5 % den Barwert und denEndwert einer acht Jahre laufenden nachschüssigen Rente mit Raten inHöhe von 2.000 C.

2. Für die Abtretung der Rechte an einer neu entwickelten Technologiesoll ein Ingenieur im Laufe der nächsten zehn Jahre jeweils zu Jahresbe-ginn 100.000 C erhalten. Der Ingenieur möchte jedoch die ihm zugedachteSumme lieber

(a) als Einmalzahlung zu Beginn

(b) als Einmalzahlung am Ende

(c) aufgeteilt in zwei nominell gleiche Zahlungen zu Beginn und nachfünf Jahren

(d) aufgeteilt in zwei nominell gleiche Zahlungen nach fünf Jahren undam Ende

erhalten. Wie hoch sind jeweils die gewünschten Zahlungen, wenn überdie ganze Zeit ein Kalkulationsjahreszins von 3 % angenommen wird?

3. Wie ändert sich der Betrag aus Beispiel 3.3, wenn am Ende der vier Jahre50.000 C übrig bleiben sollen?

4. Welcher Betrag r0 muss bei einem Jahreszinssatz von 6 % fünf Jahre langvorschüssig angespart werden, um dieselbe Gesamtsumme zu erhalten wiemit einer sechs Jahre lang laufenden nachschüssigen Rente mit Raten inHöhe von 5.000 C bei 5 % p. a.?

5. Bei einem nominellen Jahreszinssatz von i = 5,5 % werden sieben Jahrelang jeweils zu Quartalsbeginn 250 C angelegt. Die Zinsberechnung erfolgtvierteljährlich.

(a) Wie groß ist das Endkapital nach sieben Jahren?

(b) Welcher Einmalzahlung zu Beginn der sieben Jahre entspricht diesesEndkapital?

(c) Nehmen Sie an, dass der Zinssatz nach vier Jahren auf 6 % ansteigt.Welche vierteljährlich vorschüssigen (über die sieben Jahre konstan-ten) Raten sind in diesem Fall zu erbringen, um auf dasselbe End-kapital zu kommen?

88

Page 11: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 89 — le-tex

3.2 Das Prinzip der Ersatzrente

3.2 Das Prinzip der Ersatzrente

In der Praxis ist es selten so, dass Zahlungs- und Zinsperioden übereinstimmen,und auch der zuletzt behandelte Fall von Zwischenverzinsungen tritt kaum ein. ImGegenteil: Es werden in der Regel häufiger Zahlungen geleistet als Zinsen berechnet.Wie sind diese „Zwischenzahlungen“ zu verrechnen? Ein übliches Modell der Raten-zahlungen bei Renten ist etwa das der monatlichen Zahlungen bei jährlicher Verzin-sung. Ist ein Jahresbetrag auf zwölf Monate zu verteilen, so reicht hier natürlich nichtetwa die Division durch die Zahl 12; das würde als Überschlagsrechnung nur einenNäherungswert liefern. Es muss ein geeignetes Modell für die Zwischenverzinsungengefunden werden.

Vom mathematischen Standpunkt betrachtet wäre die entsprechende konformeVerzinsung optimal, und wir gehen am Ende des Abschnitts kurz auf solche konsis-tenteren Möglichkeiten ein, wie mit der Problematik auch umgegangen werden kann.In Deutschland hat sich jedoch eine weniger konsistente Art und Weise eingebürgert:die unterperiodische lineare Verzinsung. Solche Mischformen haben wir bereitsbei der herkömmlichen Zinsrechnung kennengelernt (Abschnitt 2.4). Was also dieallgemeine Fragestellung, wie mehrere Zahlungen innerhalb einer Zinsperiode zubehandeln sind, angeht, richten wir uns wiederum nach der in Deutschland gängigenMethode, dass bei der Rentenrechnung unterperiodisch linear verzinst wird.

Die unterzinsperiodischen Ratenzahlungen werden dabei mittels linearer Verzin-sung zu einer sogenannten Ersatzrente zusammengefasst, die am Ende der Zinsperi-ode fällig ist. Die einzelnen Raten müssen dazu verschieden lang aufgezinst werden.Wir leiten die Ersatzrentenformel anhand des folgenden Beispiels her:

Beispiel 3.7 Es sollen nachschüssige Quartalszahlungen in Höhe von 100 Cbei einem nominellen Jahreszins von 8 % zu einem Betrag am

Jahresende zusammengefasst werden.

Lösung: Wie üblich verwenden wir nun die lineare Verzinsung mit dem relativenQuartalszinssatz ir = 2%. In Abb. 3.2 ist der Zahlungsstrom mit den verschiedenlangen Zinszeiträumen zu sehen. Zusammengefasst ergibt sich also die Ersatz-rente

rErs = 100 � (1 + 3 � 0,02) + 100 � (1 + 2 � 0,02) + 100 � (1 + 1 � 0,02) + 100

= 100 � (4 + 6 � 0,02)

= 412 C .

Genauso wie in dem Beispiel geht man auch bei einer beliebigen anderen Einteilungdes Jahres, oder allgemeiner einer beliebigen anderen Einteilung der Zinsperiode vor.Angenommen, die Zinsperiode werde in m gleiche Teile eingeteilt, für die jeweils einrelativer Zinssatz ir gilt. (Im Beispiel 3.7 war m = 4 und ir = 0,02.)

Für die Zusammenfassung der verschieden lang aufgezinsten Zahlungen ergibt sichdie Summe

rErs = r � (1 + (m � 1) � ir) + r � (1 + (m � 2) � ir) + � � � + r � (1 + 1 � ir) + r ,

89

Page 12: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 90 — le-tex

3 Rentenrechnung

3 Perioden: 100 � (1 + 3 � 0,02)

2 Perioden: 100 � (1 + 2 � 0,02)

1 Periode: 100 � (1 + 1 � 0,02)

0 Perioden: 100 � (1 + 0 � 0,02)

01.01. 01.04. 01.07. 01.10. 01.01.

0 C 100 C 100 C 100 C 100 C

Abbildung 3.2: Unterperiodische Zahlungen werden verschieden lang verzinst: Prinzip der Ersatzrente.

also

rErs = r � (m + ((m � 1) + (m � 2) + � � � + 2 + 1) � ir) .

Der Summenausdruck in der Klammer lässt sich leicht mithilfe der arithmetischenSummenformel berechnen, denn hier werden ja nur die Zahlen von 1 bis m � 1addiert. So ergibt sich:

rErs = r ��

m +m � (m � 1)

2� ir�

= r ��

m +m � 1

2� i�

,

wobei im letzten Schritt das Produkt m � ir einfach durch den Jahreszins i ersetztwurde. Damit haben wir bereits die nachschüssige Ersatzrentenformel hergeleitet:

Definition Für m nachschüssige Zahlungen von r bei einem Periodenzins-satz i berechnet sich die nachschüssige Ersatzrente so:

rErs = r ��

m +m � 1

2� i�

. (3.11)

Der vorschüssige Fall lässt sich leicht hieraus ableiten: Jede einzelne der m Zahlun-gen wird einmal mehr mit ir verzinst, das entspricht einer einmaligen zusätzlichenVerzinsung mit dem Periodenzinssatz i, sodass der Faktor m�1

2 vor dem Zinssatz i inder Formel durch

m � 12

+ 1 =m + 1

2

zu ersetzen ist:

Definition Für m vorschüssige Zahlungen von r0 bei einem Periodenzinssatz iberechnet sich die vorschüssige Ersatzrente so:

r0Ers = r0 �

�m +

m + 12� i�

. (3.12)

90

Page 13: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 91 — le-tex

3.2 Das Prinzip der Ersatzrente

Ganz wichtig ist folgende Tatsache: Da die einzelnen Ratenzahlungen aufgezinst wer-den, handelt es sich bei der Ersatzrente immer um eine nachschüssige Rente – egalob die Zahlungen, die durch sie ersetzt werden, vor- oder nachschüssig waren. DieErsatzrente ist also als einmalige nachschüssige Rentenzahlung am Ende der Periodeso viel wert wie die einzelnen unterperiodischen und aufgezinsten Teilrentenzahlun-gen:

Nachschüssigkeit der Ersatzrente

Hat man eine Ersatzrente berechnet, so bezieht sich diese stets auf das Perioden-ende. Die Verrechnung erfolgt also in jedem Fall nachschüssig.

Beispiel 3.8 Halbmonatliche Rentenzahlungen zum jeweils 1. und 15. desMonats von jeweils 100 C sollen zu einer jährlichen Ersatzrente

zusammengefasst werden. Es gelte ein Jahreszinssatz von 6 %. Wie groß ist derRentenendwert nach drei Jahren?

Lösung: Es handelt sich um eine vorschüssige unterjährige Rente mit 24 Renten-zahlungen pro Jahr. Also gilt mit (3.12):

r0Ers = 100 �

�24 +

252� 0,06

�= 2.475 C .

Mit dieser Ersatzrente rechnen wir nun nachschüssig weiter und erhalten

R3 = r0Ers �

qn � 1q � 1

= 2.475 � 1,063 � 11,06 � 1

� 7.879,41 C .

Ein weiteres Beispiel kehrt den Prozess um:

Beispiel 3.9 In acht Jahren soll eine Summe von 25.000 C zur Verfügung ste-hen, die mithilfe vorschüssiger Quartalszahlungen bei einem

Jahreszins von 5 % angespart werden soll. Wie hoch sind die erforderlichenRaten?

Lösung: Für die Ersatzrente berechnet man

r0Ers = R8 � q � 1

qn � 1= 25.000 � 0,05

1,058 � 1� 2.618,05 C ,

und wegen

r0Ers = r0 �

�4 +

52� 0,05

folgt hieraus

r0 =r0Ers

(4 + 52 � 0,05)

� 634,68 C .

91

Page 14: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 92 — le-tex

3 Rentenrechnung

Solche Überlegungen sind wie eingangs erwähnt beispielsweise dann anzustellen,wenn ein Jahresbetrag auf unterjährige Perioden (vier Quartale, zwölf Monate etc.)zu verteilen ist. Die Division durch die Anzahl der Teilperioden liefert hier immernur einen Näherungswert, dessen Abweichung vom korrekten Wert vom Kalkulati-onszinssatz abhängt. In Beispiel 3.9 etwa würde sich mit dieser Methode

r0 =2.618,05

4� 654,51 C

ergeben, eine Abweichung von immerhin etwa 20 C.Am Schluss dieses Abschnitts soll noch erwähnt werden, dass das vorgestellte

Konzept der linear berechneten Ersatzrente zwar das in Deutschland übliche, aberdennoch nicht der Weisheit letzter Schluss ist: Die Unverträglichkeiten liegen ja aufder Hand; das Äquivalenzprinzip findet hier keine exakte Anwendung.

Zwei Methoden sind hier relevant (vgl. auch Aufgabe 5): die ICMA-Methodeund die US-Methode. Bei der ICMA-Methode (ICMA: International Capital MarketAssociation) wird nicht mit dem relativen Zinssatz, sondern mit dem konformenZinssatz gerechnet; dies hat zur Folge, dass beispielsweise eine Quartalsrente (mitdem entsprechend konformen Quartalszins) als eine eigenständige Rente behandeltwird, also die bekannten Rentenformeln direkt angewendet werden können. Es istüberhaupt keine neue Betrachtungsweise (wie bei der Ersatzrente) erforderlich: DieICMA-Methode ist in sich konsistent.

Wie bei der ICMA-Methode wird auch bei der US-Methode der Zins auf die Raten-zahlungen angepasst, allerdings wählt man hier nicht den konformen, sondern (wiebei der Ersatzrente) den linearen Zinssatz. Mit diesem wird dann jedoch exponentiellverzinst, was wiederum zu (allerdings nicht ganz so starken) Verzerrungen führt.

Aufgaben zum Abschnitt 3.2

1. Kalkulieren Sie in den folgenden Teilaufgaben jeweils mit einem Jahreszinsvon 3,5 %.

(a) Welche vorschüssigen Quartalszahlungen ersetzen eine einmaligeZahlung von 3.000 C am Jahresende?

(b) Welche nachschüssigen Quartalszahlungen ersetzen eine einmaligeZahlung von 3.000 C am Jahresende?

(c) Welche vorschüssigen Monatszahlungen ersetzen eine einmalige Zah-lung von 3.000 C am Jahresende?

(d) Welche nachschüssigen Monatszahlungen ersetzen eine einmaligeZahlung von 3.000 C am Jahresende?

2. Welches Endkapital wird durch monatlich vorschüssige Zahlung von 50 Cim Lauf von zehn Jahren bei einem Jahreszinssatz von 4,1 % angespart?

3. Es soll am 01.01.2014 mit der Zahlung von Halbjahresraten im Höhe von3.000 C begonnen werden, von denen die letzte Rate am 01.07.2030 fälligist. Es liege ein Jahreszins von i = 4,8 % zugrunde.

92

Page 15: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 93 — le-tex

3.3 Ewige Renten

(a) Bestimmen Sie den Barwert und den Endwert dieser Rente.

(b) Welche einmalige Zahlung am 01.01.2020 ersetzt die gesamte Rente?

(c) Die Halbjahresraten sollen in vorschüssige Monatsraten umgewandeltwerden. Wie hoch sind diese?

4. Sie zahlen, beginnend am 01.01.2014, 22 Halbjahresraten zu je 10.000 Cbei i = 4,5 % p. a. ein, um (bei unverändertem Zinssatz) ab dem 01.01.203015 Jahre lang eine vorschüssige Monatsrente beziehen zu können.Berechnen Sie die Höhe dieser Monatsrente.

5. Bei einem Jahreszinssatz von 4,8 % werden vorschüssige Quartalszahlun-gen in Höhe von 200 C geleistet. Berechnen Sie den Betrag, der sich aufdiese Weise nach fünf Jahren angesammelt hat, und zwar

(a) mithilfe der Ersatzrentenformel

(b) mit der ICMA-Methode (exponentielle Verzinsung mit dem konfor-men Quartalszins)

(c) mit der US-Methode (exponentielle Verzinsung mit dem relativenQuartalszins)

3.3 Ewige Renten

Ewige Renten sind zunächst einmal ein theoretisches Modell: Hier werden regelmä-ßig wiederkehrende Zahlungen eines konstanten Betrags geleistet, und zwar (theo-retisch) unendlich lange. Völlig klar ist, dass der Endwert einer solchen Rente nichtexistieren kann, aber sie kann sehr wohl einen Barwert besitzen. Der Grund dafür istmathematischer Natur, und wir haben ihn bereits bewiesen: Die Tatsache, dass alleZahlungen wegen ihrer Konstanz unterhalb einer bestimmten Grenze bleiben hat zurFolge, dass die entsprechende geometrische Reihe konvergiert.

Wo finden solche ewigen Renten Anwendung? Zunächst eine Vorbemerkung:Immer wenn im Rahmen von Anwendungsmethoden vom Begriff der Unendlichkeitdie Rede ist, bedeutet dies keine tatsächlich unendlichen Prozesse, sondern in derRegel „beliebig lange“ Prozesse, was wiederum so viel heißt wie: Es ist unbekannt,wie lange der Prozess dauert. Ein einfaches Beispiel sind Stiftungsfonds, wie etwadie Nobelpreise. Der schwedische Unternehmer Alfred Nobel verfügte in seinemTestament die Gründung einer Stiftung, deren Zinsen „als Preis denen zugeteiltwerden soll, die im verflossenen Jahr der Menschheit den größten Nutzen geleistethaben“. Abgesehen von den auf der Hand liegenden Schwierigkeiten, eine richtigeEntscheidung zu treffen, beruht das Konstrukt auf einem interessanten Konzept: Hierkann offenbar – ausgehend von einer endlichen Summe – zumindest theoretischbeliebig lange etwas ausgezahlt werden, und dass dies funktioniert, ist begründet inder Tatsache, dass unendlich viele Summanden einen endlichen Wert haben können:den Barwert der „ewigen Rente“.

Zur Herleitung der Barwertformel einer ewigen Rente betrachten wir beispielhaftein Kapital von 1.000.000 C, das bei einem Jahreszins von 4 % angelegt wird. AmEnde jedes Jahres belaufen sich die Zinsen auf 40.000 C und werden der Anlage ent-nommen. Da das Guthaben dann wieder auf 1.000.000 C absinkt, kann dieser Pro-

93

Page 16: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 94 — le-tex

3 Rentenrechnung

zess theoretisch beliebig lange dauern und als nachschüssige Jahresrente mit der Rater = 40.000 C interpretiert werden. Das Ausgangskapital entspricht dann dem Barwertdieser Rente: R0 = 1.000.000, und es ergibt sich somit der Zusammenhang

r = i � R0 = (q � 1) � R0 .

Durch Auflösen nach R0 resultiert daraus bereits die nachschüssige Barwertformel:

Definition Der Barwert einer ewigen nachschüssigen Rente mit Rate r beträgt:

R0 = r � 1q � 1

. (3.13)

Wie schon einige Male zuvor lässt sich dies unmittelbar auf den vorschüssigen Fallausdehnen, und zwar erneut mit der Überlegung: Sämtliche zu addierenden abge-zinsten Zahlungen werden eine Periode länger verzinst – damit muss also insgesamteinmal mehr mit dem Faktor q multipliziert werden:

Definition Der Barwert einer ewigen vorschüssigen Rente mit Rate r0 beträgt:

R00 = r0 � q

q � 1. (3.14)

Man beachte, dass sich die Formeln (3.13) und (3.14) natürlich auch in Konsistenzmit den Formeln für die Renten mit endlicher Laufzeit ergeben – das bedeutet, wirerhalten die Formeln, wenn wir den Grenzübergang n!1 durchführen. Für dennachschüssigen Fall sei dies hier kurz plausibel gemacht:

limn!1 R0 = lim

n!1 r � qn � 1qn(q � 1)

= limn!1 r �

1 � 1qn

q � 1= r � 1

q � 1, (3.15)

und Formel (3.13) ist nachgewiesen. In der Mitte der Gleichungskette wurde derBruch dabei mit qn gekürzt – ein bekannter „Trick“ bei Grenzwertbetrachtungen vonBrüchen. Analog ergibt sich die Formel (3.14).

Beispiel 3.10 Es soll der Barwert einer ewigen nachschüssigen Jahresrentevon 20.000 C bei einem Jahreszins von i = 2,3 % berechnet

werden.

Lösung: Mithilfe der Formel (3.13) erhalten wir

R0 = 20.000 � 10,023

� 869.565,22 C .

Wir machen noch einmal deutlich, wie dies interpretiert werden kann: Bei einemgleichbleibenden Jahreszins von i = 2,3 % können aus einer einmaligen Anlagevon 869.565,22 C jeweils am Jahresende „ewig“ 20.000 C entnommen werden.

94

Page 17: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 95 — le-tex

3.3 Ewige Renten

Ganz wie bei endlichen Renten muss natürlich auch bei ewigen Renten ggf. mitErsatzrenten gearbeitet werden, wie folgendes Beispiel zeigt:

Beispiel 3.11 Man berechne den Barwert einer ewigen Rente von monatlichvorschüssig 150 C bei halbjährlicher Verzinsung mit 1,8 %.

Lösung: Da die monatlichen Zahlungen halbjährlich verzinst werden, musszunächst eine Ersatzrente berechnet werden. Mit h = 6 (Monate pro Halbjahr)erhalten wir die vorschüssige Ersatzrente

r0Ers = 150 �

�6 +

72� 0,018

�= 909,45 C .

Damit erhalten wir als (nachschüssig zu berechnenden!) Rentenbarwert:

R0 = 909,45 � 10,018

= 50.525 C .

Werden also diese 50.525 C als Anfangskapital angelegt, so können „ewig“ zuMonatsbeginn 150 C ausgezahlt werden.

Wie bereits eingangs erwähnt, bedeutet die Verwendung des Begriffs „ewige Laufzeit“in der Praxis meist, dass die Laufzeit unbekannt ist. Der Barwert einer ewigen Rentekann dann als Schätzwert für die finanzmathematische Summe zukünftiger Zahlun-gen gedeutet werden. Da das Prinzip der ewigen Rente häufig bei Unternehmens-bewertungen eingesetzt wird, ist die Frage berechtigt: Wie gut ist die ewige Renteeigentlich als Schätzwert? Je nach Zinssatz nähern sich die tatsächlichen Zahlungendiesem Schätzwert mehr oder weniger gut an, wie die Tabelle in Abb. 3.3 zeigt. Hierwird deutlich: Mit wachsendem Zinssatz und dann natürlich auch mit wachsenderLaufzeit verbessert sich die Eignung der Barwerte ewiger Renten als Schätzwert. Fol-gendes Beispiel zeigt eine diesbezügliche Rechnung.

i = 2 % i = 5 % i = 10 % i = 20 %

n = 5 9426,92 8658,95 7.581,57 5.981,22

n = 10 17.965,17 15.443,47 12.289,13 8.384,94

n = 20 32.702,87 24.924,42 17.027,13 9.739,16

n = 50 62.847,21 36.511,85 19.829,63 9.998,90

n = 100 86.196,70 39.695,82 19.998,55 10.000,00

n !1 100.000,00 40.000,00 20.000,00 10.000,00

Abbildung 3.3: Zusammenfassung zukünftiger nachschüssiger Jahreszahlungen in Höhe von 2.000 ¤: Zinssatzab-hängige Näherung an den Barwert der ewigen Rente.

95

Page 18: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 96 — le-tex

3 Rentenrechnung

Beispiel 3.12 Wie lange muss eine (endliche) Rente laufen, bis 75 % des Bar-wertes der entsprechenden ewigen Rente erreicht sind?

Lösung: Offenbar – zumindest legt die Aufgabenstellung dies nahe – ist die Fra-gestellung von der Höhe der Raten unabhängig. Und tatsächlich: Setzen wir (beieinem Kalkulationszinssatz q) den Barwert einer Rente mit der Laufzeit n mit75 % des Barwertes der ewigen Rente gleich, also

r � qn � 1qn � (q � 1)

= 0,75 � r � 1q � 1

,

so erhalten wir

qn � 1qn = 0,75 .

Aufgelöst nach n ergibt dies

n =ln(4)ln(q)

.

Für einen Kalkulationszinssatz von 5 % ergibt die in Beispiel 3.12 durchgeführteRechnung etwa

n = ln(4)/ ln(1,05) � 28,4134 .

Damit werden erst nach 29 Jahren 75 % des Barwertes der ewigen Rente erreicht.Wird mit 10 % kalkuliert, so ergibt sich

n = ln(4)/ ln(1,1) � 14,5451 .

Hier geht die Annäherung also deutlich schneller. Als abschließender Gedanke musssich also aufdrängen – das zeigt Beispiel 3.12 –, dass man nicht vergessen darf, wiesehr das gesamte Konzept der ewigen Rente auf einem theoretischen Ansatz fußt.Neben dem Aspekt der vom Zins abhängigen Approximationsgeschwindigkeit istzusätzlich auch die Annahme eines konstanten Kalkulationszinses problematisch.Kein Zins ist ewig konstant (sonst gäbe es kein Leben auf den Finanzmärkten), aberes gibt Möglichkeiten, wie wir dies in der Praxis zu verstehen haben.

Wie gesagt bedeutet „unendlich“ oder „ewig“ für uns lediglich „für einen unbe-kannten Zeitraum“ – und es gibt selbstverständlich gewisse Methoden, zukünftigeZinssätze zu schätzen. Die hierfür erforderlichen Modelle sind allerdings teilweiseumstritten, und die jüngste Vergangenheit zeigt auch, dass dies gründlich schiefgehenkann. Halten wir also fest: Das Konzept der ewigen Rente ist als Näherungswert auf-zufassen, und der zugrunde liegende Zins als „vermuteter durchschnittlicher Zins-satz“. Wird also, was Prognosen angeht, mit der gebotenen Vorsicht agiert, so lässtsich mit den hergeleiteten Formeln durchaus arbeiten.

96

Page 19: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 97 — le-tex

3.4 Zusammengesetzte Renten

Aufgaben zum Abschnitt 3.3

1. Von einer Stiftung werde jedes Jahr ein Betrag von 250.000 C ausgeschüttet,beginnend am 01.01.2015. Wie hoch ist das hierfür erforderliche Stiftungs-kapital bei einem Kalkulationsjahreszins von 3 %?

2. Ein Lottogewinner will seinen Gewinn in Höhe von 3 Millionen C beieinem Jahreszins von 4,5 % anlegen, um hieraus eine ewige Rente zu erhal-ten. Mit welchem Jahresbetrag bzw. welchen monatlich vorschüssigen Zah-lungen kann er rechnen?

3. Die laufenden Kosten eines Unternehmens belaufen sich auf 8.000 C zuBeginn jedes Monats. Diese Kosten sollen nun durch die Zinsen einerAnlage mit dem Jahreszins 6 % gedeckt werden. Berechnen Sie die Höhedieser Anlage.

4. Bei einem Preisausschreiben wird zu Beginn jedes Monats ein Hauptge-winn in Höhe von 1.000 C verlost.

(a) Berechnen Sie den heutigen Wert sämtlicher zukünftiger Gewinne,falls Sie einen Kalkulationszins von 9 % p. a. zugrunde legen.

(b) Nehmen Sie nun an, dass das Preisausschreiben nur die kommenden20 Jahre läuft und berechnen Sie auf dieser Grundlage den heutigenWert sämtlicher zukünftiger Gewinne sowie den prozentualen Fehler,d. h. um wie viel Prozent die Rechnung mit der ewigen Rente denWert für die 20 Jahre übertrifft.

5. Im Zuge der Übernahme von Unternehmensanteilen sind Abfindungennach folgendem Modus zu zahlen: 150.000 C am 01.01.2013 und 200.000 Cam 01.01.2015 sowie sechs Jahreszahlungen in Höhe von 35.000 C, begin-nend am 01.01.2017.

(a) Berechnen Sie den Wert aller Abfindungszahlungen am 01.01.2013.

(b) Wie hoch müsste die Rate einer ewigen Monatsrente mit dem gleichenBarwert sein, die ab dem 01.01.2013 zu zahlen wäre?

Legen Sie bei beiden Teilaufgaben einen Jahreszins von 5,2 % zugrunde.

6. Wie lange muss eine (endliche) Rente laufen, bis 80 % des Barwertes derentsprechenden ewigen Rente erreicht sind?

3.4 Zusammengesetzte Renten

Ein wesentliches Merkmal einer Rente ist die Konstanz der Raten. Ändern sich dieseoder auch der Kalkulationszinssatz jedoch mit der Zeit, so erlauben die Rentenfor-meln dennoch einen flexiblen Umgang mit diesem Sachverhalt: Man kann die Rentedann in Einzelrenten zerlegen, deren Bar- oder Endwert (oder was immer man wis-sen will) mit den entsprechenden Formeln berechnen und die Einzelwerte dannwiederum mithilfe finanzmathematischer Addition zusammenfassen. Der Fall, dasssich die Raten ständig verändern (und man daher in dem engen Sinn der bisherigenAbschnitte eigentlich gar nicht von einer Rente sprechen dürfte), wird im folgendenAbschnitt behandelt: die dynamischen Renten.

97

Page 20: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — 2013/4/10 — 10:07 — page 98 — le-tex

3 Rentenrechnung

Betrachten wir etwa eine nachschüssige Jahresrente, die in Raten zu 12.000 C beieinem Kalkulationszinssatz von 3 % zunächst vier Jahre lang gezahlt wird. Danachändere sich der Zinssatz auf 3,5 %. Wie groß ist dann der Endwert der Rente nachinsgesamt sieben Jahren? Wie aus Abb. 3.4 ersichtlich ist, kann die Rente geteilt wer-den: Nach den ersten vier Jahren ergibt sich ein Wert von

R4 = 12.000 � 1,034 � 11,03 � 1

� 50.203,52 C .

Die restlichen drei Zahlungen werden als Rente mit dem neuen Zinssatz zusammen-gefasst, also

R3 = 12.000 � 1,0353 � 11,035 � 1

� 37.274,70 C ,

und schließlich die beiden Zwischenwerte finanzmathematisch addiert:

Rgesamt = R4 � 1,0353 + R3 � 92.936,24 C .

Bei dieser finanzmathematischen Addition ist zu beachten, dass der ZwischenwertR4 noch weitere drei Jahre mit dem geänderten Zinssatz aufzuzinsen ist.

Man kann sich in der oben durchgeführten Beispielrechnung auch die Frage stel-len: Welcher über die sieben Jahre konstante Zinssatz würde zum gleichen Endwertführen? Mit q als gesuchtem Aufzinsungsfaktor machen wir den Ansatz

12.000 � q7 � 1

q � 1= 92.936,24 (3.16)

und erhalten q � 1,033524, also einen Kalkulationszins von ungefähr 3,3524 %. Die-sen Zinssatz dürfte man in diesem Zusammenhang den durchschnittlichen Zinssatzfür diese spezielle Rente nennen. Er stimmt weder mit dem arithmetischen Mittelder Prozentsätze noch mit dem geometrischen Mittel der Aufzinsungsfaktoren über-ein, sondern der Begriff eines „durchschnittlichen Zinssatzes“ (der, wie wir schonin Kapitel 2 gesehen haben, ein schwieriger und bei Weitem nicht eindeutiger ist)erhält somit im Rahmen der Rentenrechnung eine weitere Bedeutungsebene. Manbeachte außerdem, dass sich nach Umformen von (3.16) eine Gleichung sechstenGrades ergibt, deren Lösung nicht von Hand möglich, sondern mit einer geeignetenSoftware zu bestimmen ist. Auch bei zusammengesetzten Renten muss natürlich ggf.mit Ersatzrenten gerechnet werden:

0 1 2 3 4 5 6 7

12.000 12.000 12.000 12.000 12.000 12.000 12.000

R4

R3

�1,0353

Abbildung 3.4: Eine zusammengesetzte Rente: Nach vier Jahren ändert sich der Zinssatz.

98

Page 21: Markus Wessler: Grundzüge der Finanzmathematik — … · 3 Rentenrechnung Lernziele Ein besonders einfaches Modell eines Zahlungsstroms liegt vor, wenn die Zah-lungen, ... also

Copyright

Daten, Texte, Design und Grafiken dieses eBooks, sowie die eventuell

angebotenen eBook-Zusatzdaten sind urheberrechtlich geschützt. Dieses eBook

stellen wir lediglich als persönliche Einzelplatz-Lizenz zur Verfügung!

Jede andere Verwendung dieses eBooks oder zugehöriger Materialien und

Informationen, einschließlich

der Reproduktion,

der Weitergabe,

des Weitervertriebs,

der Platzierung im Internet, in Intranets, in Extranets,

der Veränderung,

des Weiterverkaufs und

der Veröffentlichung

bedarf der schriftlichen Genehmigung des Verlags. Insbesondere ist die

Entfernung oder Änderung des vom Verlag vergebenen Passwortschutzes

ausdrücklich untersagt!

Bei Fragen zu diesem Thema wenden Sie sich bitte an: [email protected]

Zusatzdaten

Möglicherweise liegt dem gedruckten Buch eine CD-ROM mit Zusatzdaten bei.

Die Zurverfügungstellung dieser Daten auf unseren Websites ist eine freiwillige

Leistung des Verlags. Der Rechtsweg ist ausgeschlossen.

Hinweis

Dieses und viele weitere eBooks können Sie rund um die Uhr und legal auf

unserer Website herunterladen:

http://ebooks.pearson.de