Martin Grötschel DFG-Forschungszentrum “Mathematik für Schlüsseltechnologien”...

München, 09.01.2006

http://www.zib.de/[email protected]

DFG-Forschungszentrum “Mathematik für Schlüsseltechnologien” Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) Institut für Mathematik,Technische Universität Berlin

Martin Grötschel

Mathematik:Schlüsselwissenschaft für

Schlüsseltechnologien

Prof. Dr. Martin Grötschel

Münchner Regionalgruppe GI/GChACM

Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin Martin Grötschel

Gliederung Vorbemerkungen1. DFG-Forschungszentrum MATHEON

„Mathematik für Schlüsseltechnologien“2. Modellieren, Simulieren, Optimieren3. vom Landkartenfärben zur Frequenzplanung4. von kürzesten Wegen zum

Behindertentransport und öffentlichen Nahverkehr

5. von aufspannenden Bäumen zum Chip-Design

6. vom Handlungsreisenden zur Maschinensteuerung

7. vermischte Katastrophen8. weitere Projektbeispiele aus dem MATHEON


Konrad Zuse1910-1995

• 1938: Z1 (vollmechanischer, programmierbarer Ziffernrechner, Nachbau im Museum für Verkehr und Technik in Berlin)

• 1941: Z3 (erste funktionierende frei programmierbare vollautomatische Rechenanlage)

• 1945/46: “Plankalkül” (Programmiersprache)


Die Aufgaben des ZIB

• Forschung & Entwicklung auf dem Gebiet der Informationstechnik

Anwendungsorientierte algorithmische

Mathematik

• Zentrum für Höchstleistungs- rechner (Supercomputing)

München, 09.01.2006

DFG Research Center

MATHEON on the Web

www.fzt86.de www.matheon.de


Vorbemerkungen zur Mathematik


Zusammenfassung

Mathematik: Schlüsselwissenschaft für Schlüsseltechnologien

Mathematik, das ist unbestritten, ist die Sprache der Wissenschaft.

Dass die Mathematik aber zugleich eine treibende Kraft fast aller Hochtechnologien ist, ist nur wenigen bewusst.

Die Rolle der Mathematik bei der Entwicklung von Schlüsseltechnologien, bei der Implementierung dieser Technologien in der Praxis und bei ihrem Einsatz wird in diesem Vortrag erläutert. Dazu werden viele Beispiele dienen.


Frage• Wer von den Anwesenden ist heute

schon mit Mathematik in “Berührung” gekommen, die von meiner Arbeitsgruppe entwickelt wurde?


Gliederung1. DFG-Forschungszentrum MATHEON






München, 09.01.2006

DFG Research Center

MATHEON on the Web

www.fzt86.de www.matheon.de

München, 09.01.2006

DFG Research Centers

Ocean margins

Nanostructures

Biomedicine

Applied Mathematics

Brain physiology

Regenerative therapies

Six DFG Research Centers exist:2001• rcom:

research center ocean margins (Bremen) • CFN:

Center for Functional Nanostructures (Karlsruhe)

• Rudolf-Virchow-Center for Experimental Biomedicine (Würzburg)

2002• MATHEON:

Mathematics for key technologies (Berlin) • CMPB:

DFG Research Center Molecular Physiology of the Brain (Göttingen

2005• CRTD:

Centre for Regenerative Therapies (Dresden)

München, 09.01.2006

DFG Research Center

MATHEON

Mathematics for key technologies:

Modelling, simulation and optimization of

real-world processes

MATHEON Facts

• Founded: June 1, 2002• Participating Institutions in detail: three universities

» Freie Universität Berlin (FU), Fachbereich Mathematik and Informatik

» Humboldt-Universität Berlin (HU), Institut für Mathematik and Institut für Informatik

» Technische Universität Berlin (TU), Institut für Mathematik

and two research institutes:» Weierstraß-Institut für Angewandte

Analysis und Stochastik (WIAS)» Konrad-Zuse-Zentrum für

Informationstechnik (ZIB)

• Leading university: Technische Universität Berlin (TU)

München, 09.01.2006

DFG Research Center

MATHEON Mathematics for key technologies

MATHEON Facts

Members: • ~40 professors of the institutions

above, together with their chairs, etc.• 6 new (DFG financed) professors • ~ 80 new research positions • ~ 80 additional scientists

Projects (currently ~ 60) funded by the DFG Research Center MATHEON, many with industrial cooperation, in

• 7 application areas and• 3 mathematical fields

Funding:• 5,6 Mio Euro/year from DFG• 3,3 Mio Euro/year from participating

institutions

München, 09.01.2006

MATHEON

Application areas

with scientists in charge

A Life sciences P. Deuflhard (FU, ZIB), H. J. Prömel (HU), Ch. Schütte (FU), A. Bockmayr (FU)

B Traffic and communication networks M. Grötschel (TU, ZIB), V. Kaibel (ZIB) R. Möhring (TU)

C Production C. Carstensen (HU), J. Sprekels (HU, WIAS), F. Tröltzsch (TU)

D Electronic circuits and optical technologies V. Mehrmann (TU), F. Schmidt (ZIB), C. Tischendorf (TU)

E Finance A. Bovier (TU, WIAS), P. Imkeller (HU), A. Schied (TU)

F Visualization K. Polthier (ZIB), J. Sullivan (TU), G. M. Ziegler (TU)

G Education U. Kortenkamp (TU), J. Kramer (HU)

München, 09.01.2006

MATHEON

Mathematical fields

with scientists in charge

I Optimization and discrete mathematics A. Griewank (HU), M. Grötschel (TU, ZIB), G. M. Ziegler (TU)

II Numerical analysis and scientific computing P. Deuflhard (FU, ZIB), V. Mehrmann (TU), H. Yserentant (TU)

III Applied and stochastic analysis H. Föllmer (HU), A. Mielke (HU, WIAS), J. Sprekels (HU, WIAS)


Mathematik ist relevant für:

• Komplexe Fragestellungen• Formalisierbare und

quantifizierbare Probleme

- Mathematik hat natürlich auch Grenzen.- Diese müssen ehrlich genannt werden.

Rollen der Mathematik


Schlagworte unserer Zeit und ihr Bezug zur Mathematik

• Wettbewerb– Optimale Resourcennutzung

• Neue Märkte – Planung unter Unsicherheit– Entscheidungsunterstützung

• Geschwindigkeit– Strategische, taktische, betriebliche Planung

• Technologische Entwicklung– Entwurfswerkzeuge

• Globalität– „large scale“


Wettbewerbsunterlagen des Philip Morris Forschungspreises• Schlüsseltechnologien bieten die Chance, die

Gesellschaft weiterzuentwickeln, Arbeitsplätze zu schaffen und Märkte zu erschließen.....

• Zu ihrer Produktion müssen oftmals Verfahren entwickelt werden, deren innovative Elemente sich auch auf andere Prozesse anwenden lassen....

• Kontinuierliche wissenschaftliche Durchbrüche verändern nicht nur unser Weltbild, sondern verbessern nachhaltig die Wettbewerbsfähigkeit. Sie kann nur erhalten werden, wenn Innovation und neue Erkenntnisse zügig umgesetzt werden....

Wettbewerbsfeld 02_Mensch und Schlüsseltechnologien


Mathematik & Schlüsseltechnologien

Charakteristisch für Schlüsseltechnologien ist das Auftreten komplexer Systeme.

Die Mathematik • stellt hier den formalen Apparat zur präzisen

Modellierung der Fragestellungen bereit. • liefert die theoretischen Werkzeuge zu ihrer

strukturellen Durchdringung, • entwirft die Algorithmen zu ihrer effizienten Lösung

(in Zusammenarbeit mit der Informatik).

Sie ist damit eine Schlüsselwissenschaft, die (vielfach noch) im Verborgenen wirkt.


Schlüsseltechnologien des Zentrums

• Lebenswissenschaften• Verkehrs- und Kommunikationsnetze• Produktion und Produktionsplanung• Elektronische Schaltkreise und Optische

Technologien (Nanostrukturen)• Risiken der Finanzmärkte• Visualisierung

• Ausbildung


Modellierung: Was ist das?

• Beobachten der Umwelt, eines praktischen Problems, eines physikalischen, chemischen oder biologischen Vorgangs

• Experimente• Versuch der formalen Darstellung durch

„mathematische Formeln“ (Gleichungen, Ungleichungen, Zielfunktionen)

• Es folgen konkrete Beispiele


Simulieren

• Hinter Simulant, Simulation, Simulator oder simulieren steht das lateinische Wort simulare.

• Es bedeutet: vortäuschen, vorgeben, nachahmen, ähnlich machen.


Simulation

• „Durchrechnen“ von verschiedenen realitätsnahen Varianten des mathematischen Modells mit folgenden Zielen:– „Validierung“ der Korrektheit des Modells– Studium typischer Beispielsituationen am Modell,

um z.B. Experimente zu vermeiden oder die Funktionsfähigkeit zu prüfen (Crash-Test)

– gute Vorhersagen zu machen (Wetter)– Ermittlung guter Lösungen und Vorschläge für die

Steuerung eines Systems in der Praxis (Steuerung von Transport- und Logistik-Systemen)


Simulation• Durchrechnen vieler Beispiele bei

Variation verschiedener Parameter, • Parameter eines Auto-Crash-Tests, z. B.:

Aufprallwinkel, Geschwindigkeit, Materialsteifigkeit

3D-Rekonstruktion eines Schädels aus einer magnet-resonanztomografischen Untersuchung


Simulation: Gravitation/Weltall

Film über schwarze Löcher


Simulation/Visualisierung

• Dieser Film wurde als Beispiel für die Simulation von Vorgängen gezeigt, die nicht direkt beobachtet werden können. Man erhält dabei einen optischen Eindruck von mathematischen Formeln und Theorien.

• Der Film ist gleichzeitig ein Beispiel für die Schlüsseltechnologie „Visualisierung“. Sie „Sichtbarmachung“ von Theorien, Zusammenhängen, Phänomenen,... ist keineswegs einfach. Hier ist wiederum Mathematik erforderlich.


Optimierung

• Nebenbedingungen/Restriktionen(Gleichungen, Ungleichungen)

• Zielfunktion/Maßstab• Finde unter allen möglichen Lösungen

des vorliegenden Problems eine Optimallösung oder eine Lösung, deren Zielfunktionswert beweisbar höchstens um einen gegebenen Prozentsatz vom Optimum abweicht.


Mathematisches Modell: ein Beispiel

topology decisison capacity decisions normal operation routing component failure routing

suvs PDuvSs ,,0)( Pf suv

)(:

0

0

PfyDuv PeP

uve

uv

Ee

0

)(0

uvPuvuv Pfd Duv

1

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t te e

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eTtEe ,,1, te

te xx 1

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t

te

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0

Ee




• Jeder, der heute eine E-Mail verschickt hat.


Der Problemlösungszyklus in der

modernen Angewandten Mathematik

Das wahreProblem

Mathemat. ModellNumerische

Lösung

Hard-ware Soft-

ware

DatenGUI

Rechner-Implementation

Entwurf von Lösungs- algorithmen

Mathematische Theorie

Einsatzin derPraxis

Informatik

Computer

Fachmann mit PraxiserfahrungWissensch. anderer Disz.

Beobachtung, TestExperiment


Modellierung im Problemlösungszyklus

Beiträge der Mathematik:

• Sorgfältige Analyse und ehrliche Bewertung• Klare Trennung von

„Naturgesetzen“, Zielen, Regeln und Nebenbedingungen

• Problemdurchdringung durch Formalisierung und Abstraktion

• Strukturierung nach qualitativen und quantitativen Aspekten

Fundamentaler Beitrag zum Problemverständnis


Deutschland-Karten

16 Farben+ Umgebung

4 Farben+ Umgebung


Von Ländern zu Knoten,

von Grenzen

zu Kanten


Der Bundesländer-Graph


Der vierfarbigeBundesländer-

Graph


Vier Farben reichen

Das Vier-Farben-Problem (1852 – 1976)

1. K. Appel and W. Haken, Every planar map is four colorable. Part I. Discharging, Illinois J. Math. 21 (1977), 429-490.

2. K. Appel, W. Haken and J. Koch, Every planar map is four colorable. Part II. Reducibility, Illinois J. Math. 21 (1977), 491--567.

3. K. Appel and W. Haken, Every planar map is four colorable, Contemporary Math. 98 (1989).


The Four Color TheoremThis page gives a brief summary of a new proof of the Four Color Theorem and a four-coloring algorithm found by Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour and Robin Thomas.

Table of Contents:

1.History. 2.Why a new proof? 3.Outline of the proof. 4.Main features of our proof. 5.Configurations. 6.Discharging rules. 7.Pointers. 8.A quadratic algorithm. 9.Discussion. 10.References.

History. The Four Color Problem dates back to 1852 when Francis Guthrie, while trying to color the map of counties of England noticed that four colors sufficed. He asked his brother Frederick if it was true that any map can be colored using four colors in such a way that adjacent regions receive different colors.


Ein Mobiltelefon

Telekommunikation:Ein riesiges Feld für

mathematischeOptimierung

und natürlich für die Informatik.

Ein modernes Handy enthältSoftware mit 1 Million

Lines of Code!

Handy-Foto


Was ist das Telekom-Problem?Entwerfe exzellente technische Geräteund ein robustes Netzwerk, das gegen Fehler und Störungen tolerant ist, und

organisiere den Verkehr so, dassTelekommunikation hoher Qualität

zwischen vielen Teilnehmern an vielenOrten gleichzeitig möglich ist und

die Gesamtkosten niedrig sind.Sprache, Daten,

Video, etc.


Was ist das Telekom-Problem?Entwerfe exzellente technische Geräteund ein robustes Netzwerk, das gegen Fehler und Störungen tolerant ist, und

organisiere den Verkehr so, dassTelekommunikation hoher Qualität

zwischen vielen Teilnehmern an vielenOrten gleichzeitig möglich ist und

die Gesamtkosten niedrig sind.

Das Problem ist zu allgemein, es

kann nicht ineinem Schritt

gelöst werden.

Ansatz in der Praxis:• Zerlege das Gesamtproblem in Teilprobleme• Untersuche die Problemhierarchie• Löse die Teilprobleme einzeln• Rekombiniere die Einzellösungen zu einer (hoffentlich guten) Gesamtlösung


Mobiltelefone und Mathematik

Entwurf von Mobiltelefonen

• Chip-Design (VLSI)• Aufgaben-Partitionierung• Komponenten-Design

•Computational Logic•Kombinatorische Optimierung •Differentiell Algebr. Gleichungen

Produktion von Mobiltelefonen•Produktionsanlagen-Layout•Kontrolle von CNC-Machinen•Robotersteuerung •Lagerhaltung•Reihenfolgeplanung•Logistik

•Operations Research•Lineare/ganzahlige Optimierung•Kombinatorische Optimierung•gew. Differentialgleichungen

Marketing und Vertrieb von Handies•Finanzmathematik •Transport-Optimierung


Handies verbinden: Was ist zu tun?

BSC

MSC

BSC

BSC

BSC

BSC

BSC

BSC

MSC

MSCMSC

MSC


FAP-Film


Antennen & Interferenz

xx

Antenne

„Backbone Network“

xx

xxStandort

xx

Zelle

Co- & Nachbar-Kanal-

Interferenz

Zelle


Interferenz

Die Interferenzstärke hängt ab von– dem Abstand zwischen zwei Sendern, – der geographischen Position, – der Signalstärke, – der Richtung der Signale,– den Wetterbedingungen– der Frequenzuweisung

• Co-Kanal-Interferenz• Nachbar-Kanal-Interferenz

ZIB

Verallgemeinertes

Färbungsproblem


weitere Restriktionen

Einschränkungen an das Spektrum:– durch Regierungsvorgaben,– Abmachungen mit Telekom-Firmen

in Nachbarländern, – militärische Einschränkungen, – etc.

Standort

Blockierte Kanäle

Separation: Frequenzen, die Antennen an einem gemeinsamen Standort zugewiesen werden, müssen separiert sein.


Das Frequenzplanungsproblem

Finde eine Zuordnung von Frequenzen zu Sendern, so dass– alle Separationsbedingungen und– alle Kanalblockierungen

eingehalten werden und– die „gesamte Interferenz“ so gering

wie möglich ist.


Frequenzminimierung

Ganzzahliges Lineares Programm:

min

. . 1

1 , ( )

1 ,

1 , 1

, , 0,1

co ad

v

co co ad advw vw vw vw

vw E vw E

vff F

dvf wg

co covf wf vw v w

ad advf wg vw

co advf vw vw

c z c z

s t x v V

x x vw E f g d vw

x x z vw E f F F

x x z vw E f g

x z z


Region Berlin - Dresden

2877 Antennen

50 Kanäle

Interferenz-

Reduktion: 83.6%




• Jeder, der heute eine E-Mail verschickt hat.

• Jeder, der heute schon sein Mobiltelefon benutzt hat.


Routenplanungfür Autofahrer

Mein kürzester Weg von zu Hause

zum Büro im ZIBBerlin

- Algorithmen im Internet

- Datenstrukturen und Informatik


Optimierung des öffentlichen Nahverkehrs: gigantische Einsparungen

• Film über Busumlaufplanung


AlgorithmenMCF (Autor Andreas Löbel, ZIB)

- ein min-cost flow-Code (Code in SPEC CPU 2000) - benutzt als Unterprogramm in Umlaufplanungsoftware - löst, auf einem Standard-PC, Anwendungsbeispiele mit 100 Million Variablen, in der Bus-Umlaufplanung, routinemäßig in wenigen Minuten.


Frage• Wer von den Anwesenden ist heute schon

mit Mathematik in “Berührung” gekommen, die von meiner Arbeitsgruppe entwickelt wurde?

• Jeder, der heute eine E-Mail verschickt hat.• Jeder, der heute schon sein Mobiltelefon

benutzt hat. • Jeder, der heute schon mit der BVG

gefahren ist.


Einsatzplanung beim ADAC

Pannenzentrale

Disponent

Datenfunk

„Gelber Engel“


Online-Problematik beim ADAC

Optimal:

10 min

10 min

•Aufträge sind nicht im Voraus bekannt

•Entscheidungen auf Basis unvollständigen Wissens

•Suboptimale Ergebnisse

•Wie bewertet man einen Online-Algorithmus?


Frage• Wer von den Anwesenden ist heute schon mit

Mathematik in “Berührung” gekommen, die von meiner Arbeitsgruppe entwickelt wurde?

• Jeder, der heute eine E-Mail verschickt hat.• Jeder, der heute schon sein Mobiltelefon benutzt

hat. • Jeder, der heute schon mit der BVG gefahren ist.• Jeder, der heute einen gelben Engel bestellt hat.



ein aufspannender Baum



ein aufspannender Baum,nicht der kürzeste


Chip-Design

Schematic for four-transistor static-memory cell.

CMOS layout for four-transistor static-memory cell

CMOS layout for two four-transistor static-memory cells.

Compacted CMOS layout for two four-transistor static-memory cells.

PlacementRouting

Compactification


Phasen der Chip-Entwicklung und –Produktion

• Logik-Entwurf• Layout-Entwurf

– Globale Platzierung– Globale Verdrahtung– Lokale Platzierung– Lokale Verdrahtung– Lagenzuweisung– Kompaktierung

• Testen (Logiksimulation, zeitkritische Signale)– Laufzeitbestimmung– Schaltwerksimulation

Kombinatorische

Optimierung

Differential-gleichungen

Mathematische MethodikProblemfeld

Erfüllbarkeitsproblem


Phasen der Chip-Entwicklung und –Produktion

• Produktionsvorbereitung– Maskenzeichnung

• Produktion – Produktionsüberwachung– Produktionssteuerung

• Physikalische Tests– Testmustergenerierung– Steuerung und Konstruktion

der Testautomaten

Kombinatorische

Optimierung

Kombinatorische

Optimierung

OperationsResearch


Kooperationen meiner Arbeitsgruppe mit einem großen deutschen Elektrokonzern

• Chip-Design– Platzieren quadratische 0/1-Opt.– Verdrahten Packen von Steinerbäumen– Kontaktlochminimierung Max-Cut-Problem

• Baugruppenentwurf – Modulpositionierung Multiple-Knapsack-

ProblemMehrfachschnitt-Problem

• Leiterplattenherstellung – Maskenzeichnen Rural-Postman-Problem– Steuerung von Sym. Travelling-

Bohrmaschinen Salesman- Problem


Kooperationen meiner Arbeitsgruppe mit einem großen deutschen Elektrokonzern

(Siemens)• Produktion von Flachbaugruppen

– Optimale Maschinen- mehrdim. Zuordn.-Problembestückung

– Steuerung der Bestückungs-Cutting-Stock-Problemautomaten

– Reihenfolgeplanung Scheduling

• PC-Herstellung – Hochregallagersteuerung Dynam. Asym. TSP

Assignment-ProblemGAP

– Steuerung eines fahrerlosen Dynam. Set-Partitioning-ProblemTransportsystems


Frage• Wer von den Anwesenden ist heute schon mit

Mathematik in “Berührung” gekommen, die von meiner Arbeitsgruppe entwickelt wurde?

• Jeder, der heute eine E-Mail verschickt hat.• Jeder, der heute schon sein Mobiltelefon

benutzt hat. • Jeder, der heute schon mit der BVG gefahren

ist.• Jeder, der heute einen gelben Engel bestellt

hat.• Jeder, der heute einen Siemens/Infineon-Chip

benutzt hat


Ein Graph

Eine Tour oder

Rundreiseauch

hamiltonscher Kreis

genannt

Some TSP World Records

year authors # cities # variables

1954 DFJ 42/49 1146

1977 G 120 7140

1987 PR 532 141,246

1988 GH 666 221,445

1991 PR 2,392 2,859,636

1992 ABCC 3,038 4,613,203

1994 ABCC 7,397 27,354,106

1998 ABCC 13,509 91,239,786

2001 ABCC 15,112 114,178,716

2004 ABCC 24,978 311,937,753

number of cities

700xincreas

e

500,000

timesproble

msize

increase

in 51years

2005 W. Cook, D. Epsinoza, M. Goycoolea 33,810 571,541,145


USA 49

49 cities1146 variables

1954

G. Dantzig, D.R. Fulkerson, S. Johnson


The tour around the world

666 cities221.445 var.

1987/1991

M. Grötschel, O. Holland


Overlay of3 OptimalGermanytours

http://www.math.princeton.edu/tsp/d15sol/dhistory.html

115 mio variables2001

Applegate, Bixby, Chvátal, Cook


Optimale Schweden-Rundreise

311,937,753variables

ABCCplusKeld

HelsgaunRoskilde

Univ. Denmark.


2103 Löcher sind zu bohren

Travelling Salesman Problem


Siemens Leiterplatte

da1

vorher nachher


Typische Probleme bei Siemens

da1 da2 da3 da4

Anzahl der LöcherAnzahl der BohrerWeglänge

24577

3518728

4237

1049956

22036

1958161

210410

4347902

Table 4


Schnelle Heuristiken

da1 da2 da3 da4

CPU Zeit (min:sec)Weglänge

Verbesserung in %

1:581695042

56.87

0:05984636

14.60

1:431642027

26.94

1:43192837

1

58.38

Table 5


ICs und Leiterplatten

Integrierte Schaltung (IC) Leiterplatte (PCB)

Probleme: Platzierung, Verdrahtung,Via-Minimierung, Löcher bohren,

optimale Maschinensteuerung, etc.

Via Minimierung bei 2 Lagen

transient routing 7 nets

standard solution 10 vias trivial solution 28 vias

Via Minimierung bei 2 Lagen

transient routing 7 nets

optimal solution 4 viasstandard solution 10 vias

zweilagige Leiterplatten von Siemens

Ausschnitt eineroptimalen Lösung einer echtenSiemens-Leiterplatte

Grötschel, Jünger, Reinelt

Dissertation Thorsten Koch (gestern war die Verteidigung)

optimale Lösungvon Verdrahtungs-problemen mit gleichzeitigerVia-Minimierung


Zusammenfassung


Ende

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